Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015
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CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL
M.Sc. NORBIL TEJADA CAMPOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA
CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2015
![Page 2: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/2.jpg)
CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL
CINEMATICA:
0. INTRODUCCION:
Es considerada como parte de la Dinámica y se ocupa de estudiar el
movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo producen,
también se puede considerar como la Geometría del movimiento.
La cinemática describe como varia la velocidad y aceleración de un
cuerpo con el tiempo y con sus cambios de posición.
El movimiento de una partícula es entendido como “el cambio de
posición de la partícula a medida que transcurre el tiempo”, el cual
debe estar referido a un sistema de referencia, el cual permitirá
definir su posición en cualquier instante.
MOVIMIENTO:
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MOVIMIENTO:
x
y
z
0
S
Po
P
x
y
z
0
S
Po
P
x
y
z
0
P
r
x
y
z
0
P
r
x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
1º Por medio de una Ecuación Horaria: 2º Por medio de un Vector Posición:
3º Por medio de sus Coordenadas Rectangulares:
S = f (t) )(tfr
x = x (t)
y = y (t)
z = z (t)
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1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
r
a. Posición ( ) y desplazamiento ( )
Fig. Trayectoria que sigue una partícula
La partícula, en cierto instante, se hallará
en la posición P, definida por:
kzjyixrP
rd
PQ rrrd
La diferencia de posición de la partícula en dos
instantes recibe el nombre de desplazamiento
de dicha partícula, la cual se halla en P en el
instante “t” y en Q en el instante “t + Δt”, el
desplazamiento viene dado por:
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1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
v
b. velocidad ( ) y aceleración ( )
La velocidad de una partícula es, por
definición, la variación de posición por unidad
de tiempo:
PP
P rdt
rdv
a
La aceleración de una partícula es, por
definición, la variación por unidad de tiempo de
la velocidad.
kvjvivv zyxP
kzjyixvP
La dirección de la velocidad es la tangente a la
trayectoria y sentido el del desplazamiento.
El modulo de la velocidad recibe el nombre de
celeridad.
PP
P vdt
vda
kajaiaa zyxP
kzjyixvP
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a. Posición y desplazamiento
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
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b. Velocidad media ( ):v
Dt
P(x,t)
P’(x+Dx , t+Dt)
Dx
x
t
X
tO
q
of
of
tt
xx
t
xv
D
D tang
x
tq
D
D
Matemáticamente: Gráficamente:
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
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c. Velocidad instantànea ( ):v
D t
P
P’
Dx
x
t
X
tO
q
P’’
P’’’
Matemáticamente:
ó
x x v dto
t
t
o
. )(tvv ;
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
t
xvv
tm
t D
D
DD 00limlim
dt
dxv
Tenemos:
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d. Aceleraciòn media : a
av
t
v v
t t
f o
f o
D
D
e. Aceleraciòn instantànea : a
dt
dv
t
vaa
tt
D
D
DD 00limlim
v v a dto
t
t
o
. a a t ( );
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Tenemos:
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2.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU):
x
O
v
t
x = x o + v( t - t o )
x o
t o
v = constante
v
O
v
t
Ejemplo 01.-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
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2.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA):
x
0 t
x v t ato
1
2
2
to = 0
v
0 t
v = vo + a t
vo
to = 0
a = constante
a
0 t
Ejemplo 02.-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
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Ejemplo 03.- En la figura, se muestra las coordenadas de un insecto
que camina horizontalmente (en una dimensión, sobre el eje x).
Según dicha información, a) graficar su velocidad y aceleración en
función del tiempo; b) hacer un estudio del movimiento.
2.3. MOVIMIENTO RECTILINEO VARIADO (MRV):
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
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A
v
Dr
X
0 Y
X
Z
A/
s
Ds
r /
r
t
t/
kzjyixtrr
)(
Posición:
kzjyixtrr
''')(''
Velocidad Media mv
Velocidad:
t
rvm
D
D
ó vx
ti
y
tj
z
tk
D
D
D
D
D
D
Velocidad Instantánea v
t
rvv
tm
t D
D
DD
00limlim
rdt
rdv
kzjyixkdt
dzj
dt
dyi
dt
dxv
Dr
v /
v //
v ///
A
A’
A’’
A’’’v
T
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares:
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P
Q
z
0
x
y
Pr
Qr
Pv
Pv
Qv
Qv
v
DPa
Qa
curva
FIGURA.- Variación de la velocidad a lo largo de la trayectoria en
el movimiento curvilíneo
P
Q
z
0
x
y
Pr
Qr
Pv
Pv
Qv
Qv
v
DPa
Qa
curva
P
Q
z
0
x
y
Pr
Qr
Pv
Pv
Qv
Qv
v
DPa
Qa
curva
FIGURA.- Variación de la velocidad a lo largo de la trayectoria en
el movimiento curvilíneo
ma
Aceleración Media
Aceleración:
t
vam
D
D
kt
vj
t
vi
t
va zyx
m
D
D
D
D
D
D
Aceleración Instantánea a
t
vaa
tm
t D
D
DD
00limlim
rdt
vda
kzjyixkdt
dvj
dt
dvi
dt
dv
dt
vda zyx
3.1. Coordenadas Rectangulares:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
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3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 04.- Una partícula se mueve en el plano OXY; un observador
colocado en O sabe que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
escritas en el SI son: x = 2 + t, y = 2 + 3t + 2t 2. a) Determinar la forma
explícita de la trayectoria, b) La expresión del vector de posición,
velocidad y aceleración, c) Las condiciones iniciales del movimiento, d)
Los valores del vector de posición y velocidad para t = 2 s. e) Distancia
de la partícula al observador en t = 2 s, f) El vector desplazamiento y el
vector velocidad media entre t = 2 s y t = 5 s.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
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3.2. Aceleración en Coordenadas Intrinsecas: Tangencial y Normal:
NT aaa
dt
udvu
dt
dv
dt
uvd
dt
vda T
TT
NT uv
udt
dva
2
dt
dvaT
2vaN
22
NT aaa
Módulos:
2/3
2
2
2
1
dx
yd
dx
dy
rr
r
3
Radio de Curvatura:
ó
PO
z
0
x
y
TaP
Na
a
S
o
Tangente
Normal
curv
a
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
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Ejemplo Nº 05.- Se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad de 10
m/s en el campo gravitatorio. Determinar/hallar el radio de curvatura de su
trayectoria a los 2 segundos después de ser lanzado dicho objeto.
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 18: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/18.jpg)
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 19: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/19.jpg)
Ejemplo Nº 06.- Una caja se desliza por un conducto que tiene forma de
hipérbola. Cuando la caja llega al punto x = 5 m, lleva una celeridad de 5 m/s
que disminuye a razón de 0,5 m/s2. Determine la aceleración y el radio de
curvatura en dicha posición.
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 20: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/20.jpg)
Ejemplo Nº 07.- Una partícula se mueve en el plano xy y sus coordenadas
están dadas por , . Encuentre: a) la ecuación
de la trayectoria en la que se mueve la partícula su desplazamiento y
graficarlo, b) para cuando 0,75 segundos, la posición, velocidad, la
aceleración y el radio de curvatura. (Suponga que las distancias se miden en
metros, el tiempo en segundos, y que la cantidad angular 3t está expresada
en radianes).
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
ttx 3cos4 tsenty 32
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Ejemplo Nº 08.- Un tobogán viaja por una curva que puede ser
aproximadamente la parábola y = 0,01x2. Determine la magnitud de su
aceleración cuando llega al punto A, donde su rapidez es vA = 10 m/s y
está incrementándose a razón de ./3 2smvA
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
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3.3. Coordenadas Polares:
0 x
y
q
ru
Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
qu
P q
r
-x
-y
0 x
y
q
ru
Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
qu
P q
r
-x
-y
jseniur
qq cos
jisenu
)(cos)( qqq
dt
udru
dt
drur
dt
d
dt
rdv r
rr
q
qu
dt
dru
dt
drv r
qq ururv r
qqururdt
d
dt
vda r
qqqq urrurra r
22
Aceleración:
Velocidad:
Vectores unitarios:
Posición:
rurr
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 23: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/23.jpg)
Ejemplo Nº 08.- El tubo doblado que lleva agua, de sección transversal
uniforme, gira alrededor del eje vertical AB con velocidad angular
constante . Si la velocidad del agu en la porción AB del tubo
es 400 mm/s (constante), determine la magnitud de la velocidad y
aceleración de una partícula de agua inmediatamente antes que salga del
tubo en C.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
min/140revq
![Page 24: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejemplo Nº 09.- El movimiento curvilíneo plano de una partícula está
definido en coordenadas polares por y
donde r esta dado en cm, θ está en radianes y t en segundo. En el
instante en que t = 2 s; determinar las magnitudes de la velocidad,
aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria.
ttr 5833.0 3 23.0 tq
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 25: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/25.jpg)
Ejemplo Nº 10.- La rotación de la barra OA se define por ,
donde t se expresa en segundos. El collarín B se desliza a lo largo de la
barra de manera tal que su distancia desde O es . Para
t = 1 s, determine: a) su velocidad, b) su aceleración total y c) su
aceleración relativa a la barra.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
radtt 2342
1 q
mttr 32 9,025,1
![Page 26: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/26.jpg)
Ejemplo Nº 11.- La barra ranurada se encuentra fija en O y, como
resultado de la velocidad angular constante , conduce a la
partícula P por una breve distancia sobre la guía espiral r = 0,4q (m),
donde q se expresa en radianes. Determine la velocidad y aceleración de
la partícula en el instante en que abandona la ranura en la barra, es decir,
r = 0,5 m.
srad /3q
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 27: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/27.jpg)
Ejemplo Nº 12.- El perno P se desliza en las ranuras del brazo giratorio
OA y de la barra circular fija BC. Si OA gira con velocidad angular
constante encuentre la velocidad de P cuando .
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
srad /2q º60q
.
![Page 28: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/28.jpg)
0
x
y
q
Ru
Trayectoria
qu
P
r
z
Y
X
Z
R
Zu
0
x
y
q
Ru
Trayectoria
qu
P
r
z
Y
X
Z
R
Zu
ZR uZuRr
jseniuR
)()(cos qq
ZR uZuRdt
d
dt
rdv
ZR uZuRuRv
ZR uZuRuRdt
d
dt
vda
ZR uZuRRuRRa
qqqq 22
Velocidad:
Aceleracón:
Posición:
Donde:
3.4. Coordenadas Cilíndricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 29: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/29.jpg)
Ejemplo Nº 10.- La rampa de un aparcamiento tiene forma de hélice :
que baja 6 m en cada revolución completa.
Para un automóvil que baja por dicha rampa con velocidad constante,
se pide:
a. Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 0º
b. Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 90º
c. Demostrar que velocidad y aceleración son perpendiculares cuando
θ = 90º
msenr qq 315)(
srad /3,0q
3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 30: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/30.jpg)
3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 31: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/31.jpg)
P
Z
0
X
Y
q
A
qu
ru
u
r
P
Z
0
X
Y
q
A
qu
ru
u
r
kjsensenisenur
)(cos)()cos( qq
ksenjseniu
)()(cos)cos(cos qqq
jisenu
)(cos)( qqq
Vectores unitarios:
rurr
q
q
usenr
ur
urv r
q
qqq
q
q
usenrrsenr
usenrrr
usenrrra r
cos22
cos2 2
222
Posición:
Velocidad:
Aceleración:
3.5. Coordenadas Esféricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 32: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/32.jpg)
3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones:
Ejemplo Nº 11.- La grúa gira en torno al eje CD a la razón constante de 3
rad/min. Al mismo tiempo, el aguilón AB de 20 cm de largo va descendiendo
a la razón constante de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleración del
punto B cuando ϕ = 30º.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 33: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/33.jpg)
Ejemplo Nº 12.- El radar, esta siguiendo a un avión en pleno vuelo. En el instante
representado, la posición de éste viene dada por R=19500 m, θ=110º y Φ=60º.
Comparando ésta con posiciones anteriores se estiman las derivadas:
Para este instante, determinar:
a. La velocidad y aceleración del avión en coordenadas esféricas (R,Φ,θ).
b. La velocidad y aceleración del avión en coordenadas rectangulares tales que
el eje z corresponda al eje Φ = 0º y el eje x corresponda al eje Φ = 90º y θ = 0º
c. Determinar los módulos de la velocidad y aceleración del avión.
smR /5,85 2/5,4 smR sradx /100,9 3q 26 /100,20 sradx q
26 /100,80 sradx sradx /105,2 3
3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
![Page 34: Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050909/55cf8f32550346703b99d71c/html5/thumbnails/34.jpg)
Vectores unitarios:
rurr
Posición:
Velocidad:
Aceleración:
3.5. Coordenadas Esféricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL