CINEMTICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS

La mecnica de medios continuos es una rama de la mecnica que se ocupa del anlisis de la cinemtica y el comportamiento mecnico de materiales modelados como una masa continua y no como partculas discretas. El matemtico francs Augustin Louis Cauchy fue el primero en formular estos modelos en el siglo 19, pero la investigacin en la zona contina en la actualidad. El modelado de un objeto como un continuo supone que la sustancia del objeto completamente llena el espacio que ocupa. Modelado de objetos de esta manera pasan por alto el hecho de que la materia est hecha de tomos, por lo que no es continua, sin embargo, en escalas de longitud mucho mayor que la de-atmica distancias, estos modelos son muy precisos. Las leyes fsicas fundamentales como la conservacin de la masa , la conservacin del momento , y la conservacin de la energa se pueden aplicar a estos modelos para derivar las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de los objetos, y alguna informacin sobre el material en estudio se aade a travs de una constituyente relacin . Esta Mecnica de Medios Continuos se ocupa de las propiedades fsicas de los slidos y lquidos que son independientes de cualquier sistema particular de coordenadas en las que se observan. Estas propiedades fsicas son entonces representadas por tensores, que son objetos matemticos que tienen la propiedad que requiere de ser independiente del sistema de coordenadas. Estos tensores se pueden expresar en sistemas de coordenadas para la conveniencia de cmputo. La descripcin del movimiento Como todos sabemos el movimiento es uno de los fenmenos naturales ms cotidianos y se viene estudiando con profundidad desde las antiguas civilizaciones del Asia Menor. Primeramente el inters estuvo centrado en el movimiento de los astros, en particular del Sol y la Luna, con fines prcticos relacionados con el cultivo y la navegacin. Sin embargo, el concepto de movimiento actual se estableci hace unos pocos siglos y en su formulacin participaron fundamentalmente Galileo Galilei e Isaac Newton. Al comenzar a considerarse a la fsica como una ciencia independiente de la filosofa, la matemtica empez a ocupar un lugar cada vez mas preponderante en la descripcin y anlisis de la naturaleza. Como muchos fenmenos fsicos se cumplen con regularidad, la matemtica se transform en una herramienta para calcular y predecir todo tipo de movimiento, cada vez con mayor precisin. Para Galileo y Descartes, el universo presentaba una estructura matemtica. Consideraban estructurada de la misma manera la mente humana, de manera que cuando actuaba

matemticamente sobre la realidad, alcanzaba necesariamente la comprensin verdadera. En la actualidad, la concepcin es diferente. La humanidad construye una explicacin provisoria del mundo natural mediante la utilizacin de conceptos matemticos, aunque la naturaleza es s misma no es matemtica. El estudio del movimiento est enmarcado dentro del rea de la fsica llamada mecnica. A veces es necesario conocer el movimiento de los cuerpos sin importar qu lo origin; sto ocurre en la cinemtica (rama de la mecnica). Ahora bien...qu se entiende por movimiento? Aqu van algunas definiciones: 1. Un cuerpo est en movimiento con respecto a un sistema de coordenadas elegido como fijo, cuando sus coordenadas varan a medida que transcurre el tiempo (Maiztegui- Sbato). 2. El movimiento, para la mecnica, es un fenmeno fsico que implica el cambio de posicin de un cuerpo que est inmerso en un conjunto o sistema y ser esta modificacin de posicin, respecto del resto de los cuerpos, lo que sirva de referencia para notar este cambio y esto es gracias a que todo movimiento de un cuerpo deja una trayectoria. El movimiento siempre es un cambio de posicin respecto del tiempoDESCRIPCIONES DE LAGRANGE Y EULER Para describir el campo de velocidades de una regin de flujo se puede recurrir a dos enfoques: Descripcin segn Euler Se selecciona un punto en el espacio (xo, yo, zo) y se describe el movimiento de la partcula que lo ocupa en los diferentes instantes (t). As el campo se escribir V=V(xo, yo, zo, t) que es una funcin vectorial que indica cual es el valor de la velocidad en un punto fijo en el espacio (xo, yo, zo) a medida que las partculas pasan por all (t), por supuesto que esa funcin dar las componentes de la velocidad en ese punto en cada momento. Descripcin segn Lagrange En este caso se describe el comportamiento de una partcula fluida en particular. Como la partcula est en movimiento su posicin es una funcin del tiempo, y por consiguiente cada una de sus coordenadas es una funcin de posicin: x=x(t) y=y(t) z=z(t) Una vez posicionada la partcula en el espacio en un instante dado se puede indicar su velocidad en ese punto en ese instante, lo cual puede escribirse as

V=V(x(t), y(t), z(t), t) DERIVADA SUSTANCIAL O MATERIAL Debido a que generalmente adoptamos la descripcin euleriana la derivada ordinaria ya no representa toda la variacin por unidad de tiempo de una determinada propiedad del fluido siguiendo a la partcula fluida. Esto se debe al movimiento del fluido. Para reflejar esta variacin usaremos la derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partcula fluida). La derivada sustancial o derivada material se define como el operador:

Donde es la velocidad del fluido. El primer trmino representa la variacin de la propiedad en un punto fijo del espacio y por ello se la denomina derivada local, mientras que el segundo representa la variacin de la propiedad asociado al cambio de posicin de la partcula fluida, y se la denomina derivada convectiva. Este es el procedimiento que sigue Jos de Echegaray para demostrar la derivada material. Vase una demostracin de cmo llegar a una derivada material. Tomando las coordenadas de Euler como: . Calcularemos la aceleracin para estas coordenadas:

Desarrollamos cada derivada total de cada componente, as podremos seguir un desarrollo fcil de recordar:

Si se suma trmino a trmino y se saca factor comn, puede obtenerse:

Vemos que la parte de las derivadas parciales espaciales se pueden escribir como: Si ahora sustituimos velocidad por material: QU ES LA DERIVADA MATERIAL? Las leyes fundamentales que gobiernan el comportamiento de un fluido pueden formularse directamente para una partcula o sistema de fluido concreto. As por ejemplo la segunda ley de Newton formulada en un tiempo t para una partcula que est identificada por sus coordenadas lagrangianas RM y que ocupa una posicin x(RM,t) se escribe como: obtenemos formalmente la expresin de la derivada

La aceleracin, a, se define como la rapidez de variacin con el tiempo de la velocidad de la partcula. Al estar descritas las propiedades en forma Lagrangiana esto se expresa como:

Y la ecuacin de la ley queda como:

Al ver esto da la sensacin que el enfoque Lagrangiano permite formular de forma directa las ecuaciones de las leyes fundamentales. Planteando estas ecuaciones para todas las partculas que intervienen en el problema y resolviendolas se obtendra la solucin al problema desde el punto de vista Lagrangiano. Si se adopta un enfoque Euleriano del problema y se centra la atencin en un punto del espacio localizado por sus coordenadas xP, para la partcula, sin importarnos su identidad, que en el instante t considerado ocupa esta localizacin se cumplir que:

a(xP,t) expresa la aceleracin de la partcula que en el instante t est ocupando la posicin xP. La cuestin es, a la vista de la definicin de aceleracin, cmo obtener una expresin para la misma. Para ello se derivar con respecto del tiempo la velocidad de la partcula en cuestin v(xP,t), pero teniendo en cuenta que la posicin de la partcula x varia con respecto del tiempo, por lo tanto:

Siendo

la velocidad de la partcula v(xP,t).

Esto se cumplir para cualquier punto del campo de flujo por lo que se tendr el campo de aceleraciones que viene dado por:

A este tipo de expresin se le denomina derivada material o euleriana y permite a partir de una propiedad descrita en forma euleriana obtener la rapidez de cambio con el tiempo de la propiedad para una partcula. Concretamente, si se tiene una propiedad genrica b(x,t) su derivada material proporciona:

A la parte se denomina trmino local y a trmino convectivo. Como puede, el trmino convectivo no es lineal y es el culpable de la dificultad matemtica del anlisis diferencial de los flujos. Si se vuelve a escribir la ecuacin de la segunda ley de Newton escribiendo la expresin de la derivada material se obtiene:

Si se observa ahora y faltando por desarrollar el trmino de las fuerzas, gracias a la derivada material se ha transformado una ecuacin vlida para una partcula en una relacin entre las variables de flujo en un punto, por lo tanto, la derivada material es la herramienta matemtica que va a permitir formular las leyes fundamentales trabajando con un enfoque euleriano.