J. E, N. 261

porC. Sánchez del Río

JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR

MADRID ,1972

Toda correspondencia en relación con este traba-jo debe dirigirse al Servicio de Documentación Bibliotecay Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Uni-versitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes analíticos que aparecen en esta publicación.

Este trabajo se ha recibido para su impresión enMarzo de 1973.

Deposito legal nQ M-11481-1973 I.S.B.N. 84-Exento

CIHEMáTICÁ 33B IiOS FBQCESOS HÜCLEABES BE AlffiA ENERGÍA

0. Sánchez del Bfo

Este informe es la primera redacción de uno de los capítu

los de un libro en preparación que lleva por títulos "femas de J

sica Nuclear Práctica". Se publica como informe JEH por su valor

didáctico inmediato y para que la redacción definitiva venga enr

quecida por las observaciones de los lectores.

las referencias que aparecen en este informe y qué comien

zan con el niímero 3j se encuentran en el informe JEH-260.

Madrid, Febrero de 1973

-1-

4. COÍEMATICA DE LOS PROCESOS NUCLEARES DE ALTA ENERGÍA.

4.1 Introducción.

Entendemos por proceses nucleares de alta energía aquellos en

los cuales la energía cinética de las partículas que intervienen -

no es despreciable frente a la energía propia, E = me (relación

de Einatein) de dichas partículas. En este sentido, la desintegra-

ción beta es un proceso de alta energía aún cuando las energías ci_f 2

néticas sov. del orden del MeV, ya que para el electrón me = 0.511

MeV. En CÍU'DÍO, en proceso o en los que participan sólo nucleones -

(para los cuales me es del orden del GeV) sólo puede hablarse de

alta energía cuando las correspondientes energías cinéticas sean -

del orden de 100 íieV o mayores.

El sGta'iio cinemático de los procesos nucleares de alta ener-

gía se basa (cel mismo moao que en baja energía) en IOL. principios

de c un ser /aciór. ce energía y momento. La única diferencia estrioa

en que la:: relaciones clásicas entre estas magnitudes y las masas

no son válidas y es preciso utilizar las fórmulas de la Mecánica -

Relativista, así como emplear laa transformaciones de Lorentz para

pasar de un siólema de referencia a otro.

Por último, conviene señalar que en las reacciones nucleares

a muy alta energía la aparición de más de dos partículas como re-

sultado de 1;Í reacción es frecuentísima, por lo que las considera-

ciones estadí-.ticas expresadas por el factor de espacio de fase

son de nucía más aplicación q. e en los procesos de baja energía.

4.2 Las transformaciones de Lorentz.

Un acontecimiento queda especificado por el instante en que su_

cede (t) y el lugar donde ocurre (x, y, z), es decir, por un punto

en el espacio-tiempo. Según la teoría de la Relatividad Especial, -

el cuadrado de la "distancia" espacio-temporal de do;; acontecimien-

tos (subíndices 1 y 2) definida por (c es la velocidad de la luz en

el vacío)

- y , ) 2 - v2. [4.1]

tiene el misro valor observada en cualquier sistema de referencia -

de entre un conjunto de sistemas inerciales. Son siotemas inercia-

Íes aquellos en los que una partícula no sometida a fuerza alguna -

se mueve con velocidad constante. Esto se expresa más concisamente

diciendo que [4.1J es un invariante para las transformaciones de

coordenadas espacio-temporales entre do^ sistemas inerciales; éstas

transformaciones que dejan invariante ¡4 • 1 j son las transformacio-

nes de Lorentz.

j

C ( i-)

Consideremos el caso senci^

l i o de IOL, sistemas de referen-

cia S y S' que se representan -

en lu f igura 4 . 1 ; el eje x es

común, l o s ejes z .;• z1 ( lo mis-

mo y e y 1) son para le los y o* -

se a l e j a de o con vclociuúd -

constan ie v. di tomamos como -

Lnútt.n.te i n i c i a l (D = o) el mo-

mento en que o y o ' cuix.ciáen,

es te acontecían enuo qu^da espe-

cif icado por x = y = z = t = o

en el sistema S y por x1 = y1 — 9- ' — - I -z ' = - o en t i s i s cuna S 1 . La -

invariancia del cuadrado de la distancia entre la coincidencia de -

o y o1 y cualquier acontecimiento observado desae cuneo.., a. cexaas se

expresará por

2 , 2 2 2 2 2 + I 2 , 2c t - x - y - z = c t ' - x 1 - z1

Dada la particular disposición geométrica de los sistemas S y S1 es

evidente que y' = y, z1 = z por lo cual í 4 • 2j se reduce en este ca_

so a

C t - X = C MLas transformaciones

' = y (x - B ct) ct' = "Y (ex - 3 x) y' = y z' = z

donde

[4.3]

-4

satisfacen a £4. 2j como se comprueba por simple sustitución y ade-

más para velocidades v pequeñas ("T — 1 , & — o, & c = v) se con_

vierten en

y1 = y

que son, obviamente, las relaciones (llamadas de Galileo) para pa-

sar clásicamente del sistema S a S1. Las fórmulas [4-3j,j_4.4j ex-

presan las t,raiioformaciones de Lorentz en su forma más sencilla. -

Las trarioformac iones inversas para pasar del sistema S! al S ae oo_

tienen de [¿. 5] sin más qut sustituir las letras tiluadas por las

no tiluadas y canoiar f> por -f> {ya que S se mueve respecto de S'

con la velocidaa v pero con sentido opuesto). Besulta

x = r (>;• + A ct1) ct = Y (ct1 -t- B x1) y = y' z =r (•' + B ot1) ct = y (ct1 -h B x1) y = y

MLas ecuaciones f4.3J tienen dos consecuencias curiosas. De la pri~

mera de las ecuaciones para x = consx. se deduce que ¿\x' = Y ^ x

como V j> 1 un observador en S "ve" la longixuu ¿1 x' en S1 como -

J\ x <, A x 1 (contracción de Lorentz en la dirección del movimiento

relativo). De la segunua de las ecuaciones [4.3j se deduce que pa-

-4-

ra x = const. JS. t' = Y \ t poi- lo que un observador en S mide en

su reloj 4 t cuando en un reloj fijo en S' ha transcurrido el tiem-

po A, t' y ¿\ t por lo que le parece que ex reloj en S1 va más desp_a

ció (dilatación del tiempo). Es interesante que de [4.5] se deducen

las mibmas consecuencias: un cuerpo mó /il aparece siempre contraído

en la dirección dei movimiento y un reloj móvil parece siempre ir -

más aespacio que el que el observador tiene en su mano.

Vamos a deducir ahora una transformación de Lorentz más gene-

ral (la más general si b exce~-""úan las rotaciones en el espacio).

Los ejes de coordenadas cartesianas en S y S1 son paralelos y para

t = r1 = o los orígenes © y 0' coinciden como antes pero la vel£_

ci>Iaá v con que 0' se aleja de 0 puede tener una dirección cual-

quiera (ver fx¿ura 4.2). Llamaremos x ai vector de posición de un

punto en el sistema S y x1 al

vector correspondiente en S'; -

la magnitud f$ definida en £4.4J

< será añora un vector

^" ' x''Z'

Descompongamos añora x' n su_

, c ma de un vector x' parálalo a/

^0z

B y otro x'j_ perpendicular a

x1 = x' + x! =

R,

). [4.7]

Del caso particular antes expuesto se ve claramente que x' ser i -* -> / "

transforma según [4. 5j mientras que x1 será igual a x. (las comp^

nentes perpendiculares a la dirección del movimiento relativo de am-

bos sistemas no son afectadas por él). Es decir,

- 5 -

fot')

s! ) = Y ( c t ' + &il ' /

se deduce

/ ~~T , , \ . o=V ( fí ~ 3 - -h fict»)x, =V ( fí 3 -h fict) 4 x y

de donde

y como P> = ( Y" - i ) / - r , se tiene finalmente

X = X 1 +•-^ ^ r ( _ J L _ ^ . ^ + ct>) [4.9]

y (ver [¿.8])

ct = J (ct ! *ñ . x ' ) . [4.10]

Esta.: fámulas [.^•Oj J [á • 1QJ son las transformaciones de Lorentz -

buscadas para pasar del siotema S1 al S. Las inversas que permiten

pasar de S a S! se obtienen camoiando letras tildadas por no tilda-

das y sustituye-nao 6 por - p. . Resulta

T

r*1

ct' = y(ct -

[4.11]

Puede fácilmente comprobarse que las fórmulas [4-3J son un caso par_

ticular de estas ecuaciones cuando B> está en la dirección del eje

x .

-6-

4.3 Cuadrivectores en el espacio-tiempo.

En el estudio relativista que estamos llevando a cabo resulta

ventajoso el empleo de un lenguaje vectorial en cuatro dimensiones.

Definiremos como cuadrivector (que también puede escribirse 4-vec-

tor) en el espacio-tiempo a cualquier objeto matemático de cuatro -

componentes tales que al pasar de un sistema de referencia a otro -

que se mueva con respecto a él con velocidad constante se transfor-

men como ct, x, y, z, respectivamente, es decir, de acuerdo con las

transformaciones de Lorentz para estas cuatro variables. El cuadri-

vector más obvio es el constituido por estas mismas variables; es -

el cuadrivector de posición de un acontecimiento en el espacio-tiem

po al que llamaremos x y cuyas componentes son x = ct, x = x,

x - y, x, = z. También designaremos este cuadrivector como -

x = (ct, x, y, z) o como x = (ct, x) siendo x el vector de posi-

ción en el espacio tridimensional ordinario. En general, un cuadri-

vector se designará por una letra sin ningún símbolo adicional; la

flecha encima de una letra indica un vector tridimensional (cuyas -

componentes pueden ser las tres últimas componentes de un cuadrivecj_

tor) .

De acuerdo con la expresión [4»1J } para que el cuadrado de la

distancia entre dos puntos del espacio-tiempo coincida con el pro-

ducío escalar del vector, determinado por ambos puntos, con sí mi_s_

mo debemos definir el producto escalar de dos cuadrivectores del -

siguiente modo. El producto escalar del cuadrivector a = (a a1a?a7.)

por el cuadrivector b = (b b b b ) es, por definición,

ab = a b - a b - a b - a b . f4 -12!00 11 ¿ ¿ 0 0 LJ0 0 1 1

Obsérvese que no se ha puesto un punto entre a y b; reservaremos -

el punto para designar productos escalares de vectores tridimensio_

nales. Desde un punto de vista matemático, la definición J4.12J in_

dica que estamos usando una métrica en la que los componentes con-

travariantes y covariantes de un vector son distintas. Esto lleva

consigo que el vector nabla en el espacio-tiempo deba ser definido

-7-

-V ~\ —V

, __ , O O O

por sus componentes contravariantes según £j = (. -C > - ~ j -~ >

- ). Aunque en lo que sigue no vamos a utilizar este cuadrivec-

tor, con esta definición puede usarse en Í4.12J sin más sutilezas -

matemáticas. Con este lenguaje vectorial podemos decir que las

transformaciones de Lorentz representan rotaciones en el espacio-

-tiempo de cuatro dimensiones que dejan invariantes tanto al cuadra

do de un cuadrivector (definido como el producto escalar del cuadri_

vector por sí mismo) como al producto escalar de dos cuadrivectores.

Pasemos ahora a considerar algunos cuadrivectores especialmen-

te útiles. Supongamos un observador en el sistema S que estudia una

partícula en movimiento y asociemos un sistema S1 a la partícula de

modo tal que en él ella esté en reposo; S1 es el sistema fijo en c_a

da instante con la partícula. La invariancia del cuadrado del cua-

drivector (cdt, dx, dy, dz) se expresa por

2 2 2 2 2 2 2 r lc dt - dx - dy - dz = c dx /4.13J

donde ~C es el tiempo en el sistema S1 (que designamos por X en -

vez de t1 por razones que serán oovias inmediatamente) y donde fal-2 2 2

tan dx1 , dy1 , dz' en el segundo miembro, porque en el sistema S1

la partícula no se mueve. Se suele llamar a X el tiempo propio de

la partícula y según muestra [4.13] dx es un invariante de Lorentz,

Es un invariante importante, porque nos va a permitir definir un

cuadrivector velocidad. En efecto, las componentes de la velocidad

ordinaria (v_ = dx/dt ... etc.) no son componentes de un cuadrivec-

tor pero pouemoíj definir un cuadrivector velocidad u mediante

dx

u = —•'•' etc. Gomo según [_4.13J d"c = dt ]/1 - p> (siendo -o dx

p = v/c y v la velocidad de la partícula) las componentes del cua

drivector velociaad serán

Obsérvese que para velocidades pequeñas u = c y u1u9u_ son las -

componentes de la velocidad ordinaria. Como era de esperar uu = c

—fi-

es un invariante (basta, para probarlo, calcular el producto esca-

lar con la regla £4.12J)-

Multiplicando el cuadrivector u por la masa m de la partí_

cula, obtenemos el cuadrivector p de energía-momento (también -

llamado cuadrimomento) cuyas componentes son

me E mvx

Po •

[4.14]

En efecto, las tres últimas componentes son la generalización del

concepto clásico de cantidad de movimiento, ya que para velocida-

des pequeñas ( 8 — o) resulxan las expresiones clásicas. La magni_

tud E definida en p ,

E = [4.15]

es la energía relativista. Para una partícula en reposo ( & = o)2

E = me , que es la energía en reposo deEinstein). La energía cinética T será

E = me , que es la energía en reposo de la partícula (relación de

[4.16]

Esta expresión coincide para velocidades bajas con la energía ciné_O

tica definida clásicamente (T = 1/2 mv ) como puede compro oarse me_

diante un sencillo desarrollo en serie de potencias de

El cuadrado del cuadrivector energía-momento es un invariante

cuyo valor es m c (las masas son invariantes frente a las trans-

formaciones de Lorentz). En efectos

-9-

2 2 2pp ss m uu = m c .

Expresado en términos de energía E y momento p(p1 = p , p. « p ,

p_ = p ) se tiene

P2

_2 2 2 2 _ 2 22 px ~ py ~ pz ~ m c

c

que es la relación fundamental entre energía, momento y masa de

una partícula libre en el marco de la teoría relativista.

Be [4.1¿] y (4.17] se deduce fácilmente

"p2 = 2m T + T2/c2

que difiere de la correspondiente fórmula clásica [3.3J en el tér-

2 2

mino T /c . El error relativo que se comete usando fórmulas clási-

cas en lugar de relativistas es, por lo tanto,

T2 T

2 2c 2mT 2mc

Para electrones (2mc — 1 MeV) puede usarse la Ifecánica Clásica -

con error inferior al 1$ si las energías no sobrepasan 10 keV. En

el caso de protones o neutrones (2mc — 2 GeV) hasta energías de

20 MeV no se alcanza el mismo margen de error.

Son también útiles las fórmulas que relacionan energía, momexi

to y velocidad (o, lo que es lo mismo, & y Y* definidos por £4.4l

y relativos a la velocidad de la partícula); de £4.14] y [4.15] se

concluye que

E c me

-10-

Resultan las fórmulas más simétricas y su empleo más cómodo to-

mando un sistema de unidades en el cual c = 1. En este sistema -ya

introducido en el apartado 3-1- si E se mide en MeV, p en MeV/c

y m en MeV/c , el importante cuadrivector momento se escribe:

p = (E, ID

y su cuadrado (fórmula J.4.17J)

2 _2 ~*2 2p = E - p = m .

* " • — Y ^

Finalmente' [4.16J y [4.1S_/ quedan

T = E - m

E -* P•Y- * «1 m ' E

En las transformaciones de Lorentz [4.3], [4-5J, £4.9J , £4-1 oj y/4.1ij

tamoién debe omitirue el factor c, ya que el vector de posición en -

eL espacio-tiempo es ahora x = (t, x). El cuadrimomento al pasar de

un si-, tema de referencia S a otro S1 se transforma como x = (t, 5c);

es decir, en las transformaciones de Lorentz (con c = 1) debe pone_r

se E en lugar de t y p en lugar de x. Lo mismo puede decirse -

de cualquier otro cuadrivector.

En resumen, las fórmulas de transíoimación de lorentz, para pa-

sar un cuadrivector V = (V , V) del sistema S al sistema S1 - -

V = (V', V ) , para el caso en que S y S' se muevan con los ejes x

y x1 coincidentes y los y1, z' paralelos a y, z, respectivamente, -

son (ver {4 . 3J )

V =o

/4.22]

• 1 1 -

siendo fi (en unidades de c) la velocidad de S' respecto de H y -

- y = ( i - / s ) ~ . las fórmulas generales de transformación, cuan-

do los ejes coordenados de S y S! son paraleloss se expresan por

(ver [4.11,] )s

V =

[4.23]V =

donde & es el vector velocidad (en unidades e) con que se mueve

S' respecto de S, y y = (1 - £ ) ~ ' . Para pasar del sistema S1

al S basta sustituir las letras tildadas por las no tildadas y re_

emplazar B (o ~B ) por - 6 (o -/f) en £4.22J y [4.23J , respectivamente.

Si d y ¿?' son dos ángulos correspondientes medidos en S y

S1 respecto al eje de transformación que tomamos como eje x y x'

las fórmulas [4.22J permiten escribir inmediatamente

[4.24]

ya que las componentes transversales son invariantes (V, = V, =

= \VI sen 9 ). Esta fórmula es de mucha utilidad para relacionar -

los ángulos medidos en dos sistemas respecto de su dirección mutua

de movimiento.

El principio básico en cualquier proceso nuclear es la conse_r

vación de la energía y el momento que ya utilizamos en la forma -

J3.6J 13•7J. Ahora este principio puede expresarse estableciendo -

que el cuadrivector energía-momento o cuadrimomento de todas las -

partículas iniciales (subíndice i) de un proceso debe ser igual al

mismo cuadrivector referido a todas las partículas finaless

-12-

o más concisamente

Estas fórmulas son válidas en cualquier sistema de referencia. Me-

diante la aplicación de £¿.19] , [4-20] , ¿4.2i] y ¿4.25] ó £4.26Jy -

las transformaciones de Lorentz, pueden resolverse todos los proble_

mas cinemáticos de alta energía que queden exactamente especifica-

dos por [4.26] . Mucnas veces el uso hábil de invariantes (que se -

forman como productos escalares de cuadrivectores) facilita los cál_

culos y hace innecesaria la utilización de las transformaciones de

Lorentz.

Una última observación. Las fórmulas expuestas en este aparta-

do son también válidas para partículas de masa nula (fotones y neu-

trinos); basta poner m = o y B = 1 (ya que estas partículas se -

mueven a la velocidad c).

4.4 Algunos ejemplos sencillos.

Antes de entrar en problemas más complicados, y con objeto de

fijar ideas, vamos a aplicar los conceptos expuestos al cálculo ci-

nemático de algunos procesos sencillos. Usaremos letras tildadas pa.

ra el sistema del centro de masas (CM) en el cual el momento ordina

rio es^nulo y letras sin tildar para el sistema del laboratorio (L).SfH (a ¡o 5

Los gia'iiftiS'3'oa de las masas nunca llevan tilde, porque son iguales

en ambos sistemas.

Consideremos primero la desintegración del pión en un muón y -

un nentrino (TT-?•/*•+y ). En el sistema CM según ¿4.25] y puesto que

E _ = m (pión en reposo)

- 1 3 -

, S) =

donde o significa que p1 = o. Igualando componentes

•—* 2 —* 2 r ~\de donde se deduce que p ' = p1 y uti l izando |4.19j

puesto que la masa del neutrino es nula. Eliminando E' de l a s

ecuaciones anteriores

2 2,. + m-j,

[4.27]

Si el pión no está en reposo sino que tiene en el laboratorio una

energía E- , para pasar al sistema L basta aplicar al cuadrimo-

mento (Él<. , p1) la primera de las ecuaciones [4.23J cambiando le-

tras tildadas por no tildadas y sustituyendo p por -B . Además,

nay que tener en cuenta que según ¿4.21J en este caso

Resulta;

donde fr} es el ángulo que forma la dirección de movimiento del -

pión con la dirección de salida del muón en el sistema CM. Como -

la desintegración del pión es isótropa en el sistema CM todos los

valores de eos ff1 son igualmente probables y la fórmula anterior

.14-

nos da el rango de valores de E que pueden observarse equiproba-

blemente y que está comprendido entre los valores extremos de cos¿#'

que son -¡-1 y -1 . Si se desea calcular E^. para un ángulo de salida

ft (medido con respecto a la dirección del pión) en el sistema 1 es

preciso utilizar la fórmula [4.24/ que en este caso da la relación

s e nr

Insertando £4.27/ en ¿4.2s] y obteniendo de [4.29J el valor de -c o s ^ 1 , que también se introduce en £4.28J , se obtiene l a ecuaciónque relaciona E^, & , E^ y las masas. Eesulta una relación bastantecomplicada, a pesar de l a sencillez del problema. Esto es frecuen-te en cálculos r e l a t i v i s t a s cuando es preciso usar l a s transforma-ciones de Lorentz.

Como segundo ejemplo, veamos l a desintegración de l a resonan-

cia K en un kaón y un pión (K*-> K +TC ) . En el sistema en el -

que K* está en reposo, procediendo como en el ejemplo anter ior , -

puede el l ec tor fácilmente comprobar que l a energía del kaón resul_

tante es

V ~

Si se quisiera pasar al siotema L habría que proceder como en el -

primer ejemplo, para lo cual sería preciso conocer el momento (o -

la energía) de la resonancia K* en el sistema del laboratorio.

Finalmente consideraremos un protón (de energía E) que choque

con otro protón quieto y nos propondremos calcular la energía cine

tica mínima (energía umbral T ) para que se pueda crear un par pro

tón-antiprotón. Antes del choque y en el sistema L el cuadrimomen-

to total (de ambos protones) es p = (E + m, p + ~o) donde o re-

presenta que el protón blanco tiene momento nulo. A partir de este

cuadrivector se tiene el invariante

•15-

O O < ír O

p = (E + m) - p

Después del cnoque y para energía umbral en el sistema CM se encort

trarán tres protones y un antiprotón en reposo (es decir, cuatro -

partículas de masa m quietas). El correspondiente invariante que

se obtiene a partir de p1 — (m + m + m + m, o •(• ~o* + o + o) es

p'2 = (4m)2.

Igualando ambas expresiones,

(E *• m) - p = (4m) .

—* 2 2 2 2Como para el protón incidente p = E - m puede eliminarse presultando

E = 7m

que es la energía mínima para que la reacción se produzca. La ene_r

gía cinética umüral (ver ¿.20 ) será

T = E - m = 6 m ~ 5 . 6 3 GeV

, 2ya que para el protón m = 938 MeV/c .

4.5 Centro de masas de un sistema de partículas.

Supongamos dos partículas 1 y 2 en movimiento. En el sistema

del laboratorio (L) el cuadrimomento total es p = (E + E , "p1+p )

y será un invariante su cuadrado

El sistema del centro de masas (CM), también llamado de centro de

momentos es, por definición, aquel sistema en el cual el momento

-16-

ordinario total es nulo; en nuestro caso p' + p' = o (letras t i lda

das para el sistema CM) . EL cuadrimomento en este sistema es - -

p1 = (E' +• E' , "o") y su cuadrado invariante

p ' 2 = (E« + E ¿ ) 2 ,

es el cuadrado de la energía total E1 = E' + E' en el sistema CM.

Igualando ambas expresiones del invariante se tiene

= (E1 • E2)2 - ( ^ +"p2)*= (E« + E¿)2 = M2,, [4.30J

que define M (masa efectiva) cuyo cuadrado es igual al cuadrado

del cuadrimomento total (p = p1 + p?) de amoas partículas. Vemos -

que, cinemáticamente, las dos partículas son equivalentes a una paír

tícula de cuadrimomento total p y masa M igual a la energía to-

tal en el sistema CM. La extenbión de esta observación a más de dos

partículas es trivial.

Recordando j_4.21J vemos que la velocidad del sistema CM respe_c_

to del sistema L es

J C M E ( E i + B 2 )

Y el correspondiente valor de "Y"

Estas expresiones (o las correspondientes para más partículas) son

las que hay que usar en L4-22J y ¿4.23J para pasar del sistema L al

sistema CM.

Veamos ahora una transformación muy ú t i l , sobre todo en el es-

tudio de pstados resonantes. Sean dos cuadrivectores Q = (E, Q) y

-17-

q = (e, *q); cada uno puede ser por ejemplo el cuadrimomento de una

partícula o el cuadrimomento total del conjunto de varias partícu-

las. En el sistema de referencia, en que la partícula (o CM de las

partículas) descrita por Q está en reposo, el cuadrivector q pa-

sa a ser q1 = (e1, q 1); se trata de buscar una fórmula que permi-

ta calcular sencillamente las coordenadas e', q1 de q en el nuevo

sistema.

En el nuevo sistema de referencia Q1 = (M, O ) . El producto -

escalar (invariante) Qq = Q'q1 indica que

Ee - "o'.q* = Me1

de donde

1 / - * - N qQ r i

e1 = (Ee - Q.q) = . L4'33JM M

Para obtener q1 hay que utilizar la transformación general de Lo_

rentz (segunda de las fórmulas ¿4-.23J ) con

O _

E ' M

ya que q estaba dado en el sistema i, digamos, y g es la veloci_

dad del sistema en reposo descrito por Q respecto a L. Después

de algunas simplificaciones, resulta

q' = q - Q . 4.34JE + M

En conclusión, las fórmulas £4- 33j y [4.34J resuelven el importan-

te problema de hallar la energía y momento de una partícula en el

sistema de referencia de otra (o en el sistema CM de un conjunto -

de otras partículas). También resuelven, evidentemente, el proble-

ma más amplio en que q describa un conjunto de partículas.

-18-

4.6 Beacciones de alta energía con dos partículas finales.

Designaremos la partícula proyectil con el subíndice 1 , la

tícula blanco con el 2; las dos partículas finales se indican me

diante 1* y 2*. Esquemáticamente,

1 + 2 —*• 1* + 2*.

La razón de usar 1* y 2* en lugar de 3 y 4 es que, frecuentemente -

existe una relación física entre 1 y 1* (y/o entre 2 y 2*)(por ejem

pío, porque ambos son mesones o porque 1 y 1* representan la misma

partícula si la colisión es elástica, o por la relación que sea) y

conviene que quede de manifiesto en la notación.

En el estudio de estas reacciones es conveniente el uso de in-

variantes de Lorentz que pueden calcularse en el sistema de refereri

cia en que resulte más sencillo con lo que se simplifican los cálcu_

los. Definiremos a continuación tres invariantes de mucho uso y de-

duciremos después algunas fórmulas útiles para el estudio de las re_

acciones que ahora nos ocupan.

Un primer invariante que se suele designar con la letra s se

define del modo siguiente:

r\ Q Qs = (p.i + Po) = (E-i + * O - (p. •*- p 2) =

= mH + nu + 2(E.,EO - p*-po) . (4.351

Su significación física es clara; según [4.3o], s es el cuadrado de

la masa efectiva M ? de las dos partículas iniciales de la reacción

y representa la energía total disponible en el sistema CM. En el

sistema L, lo corriente es que la partícula 2 esté quieta, es decir,

E 2 = m2 y p2 = o; la expresión de s en este sistema queda

s =

•19-

donde T = E - m es la energía cinética de la partícula 1 =

El segundo invariante que introducimos se designa con la le-

tra t y se define así:

t = ( p ^ - P.,)2 = m* + m ^ - 2(E 1 E^ - Pfp*,»). [4.37]

Lo mismo podría haberse definido con los subíndices 2 y 2*s puesto

que por conservación del cuadrimomento total p + p = p „ 4- p

de donde (p1 . - P1) = (Pp* ~ Pp) • invariante t se denomina

transferencia de momento (propiamente debería decirse de cuadrimo-

mento) y su significado físico resulta claro en un sistema de refe_

rencia definido de modo que p.. * p # = o (sistema de Breit). Con-

sideremos el caso m = m 5 como p = -p1§ se sigue que E. = E 1^

t =

que indica que en este si stema de referencia, t es el cuadrado del

momento ordinario transferido de 1 a 1^. Puesto que ~p\ = -p^« y

esta relación ocurre clásicamente cuando una pelota incide perpen-

dicularmente sobre una pared rígida, al sistema de Breit se le lla_

ma también sistema de la pared rígida. En el sistema L se escribe

fácilmente la expresión correspondiente a [4-.36J si se usa la defi_

nición t = (po« - po) y resulxa

t = (

Por otra parte, de [4•37j se deduce que en el sistema CM

dt = ^ 1 ^ ) 17^1 d cos^1 4.39

y lo mismo paua los subíndices 2, 2*. Esto indica la íntima rela-

ción entre t y Q ' y justifica la extendida costumbre de expre-

sar las secciones eficaces en el sistema CM como función de t en

lugar de usar como variable 9 !.

>20-

Para el caso de colisión elást ica (m1 = m1#> m = m9&) e n e ^

sistema CM se tiene

t = -2~fi2 ( 1 - e o s 9 l ) f4*40]

siendo )p'/ = /p^j = / P2/ = / P-}*/ = I P2#í y $A el ángulo de des-

viación por la colisión medido con respecto a la dirección de la pa_r

tícula incidente. Esta fórmula se obtiene inmediatamente de £4

teniendo en cuenta que m.. = m 1 # y E' = E'^..

Un último invariante que se designa con la letra u queda

nido por

, \2 t \2u = (P-j* ~ P2' = 'P2# " P 1 ' * 4 ° 4 1

No es independiente de los anteriores. Eecordando que P1 •f- p? =

= P1 . + Pp^. 7 c o n u11 poco de manipulación algébrica se prueba que

2 2 2 2s + t + u = m •»• m2 + m # + m 2 # . 4.42

No hay ningún sistema de referencia en el que u tenga una signifi-

cación física clara.

Se pueden -y es corriente- expresar algunas fórmulas úti les en

función de estos invariantes. Gomo en el sistema L es p = (E , p )-* r 1 1 1

y p = (m2, "o) l a igualdad [4.32J queda

y teniendo en cuenta ¿4.31J

En el caso particular de las colisiones elásticas, se deduce

de j_4.43j

T2 = i * - i - [4.45JCM 2m

sieriGO T = E. - m1 ; puede calcularse 8~. usando [4.4J .

El momento p' = -pl en el sistema CM se obtiene fácilmente

con estas expresiones. Si se toma como eje x la dirección de la

partícula 1, la segunda de las fórmulas £4.22J junto con ¡_4.43j y

£4,44] dan inmediatamente

P¡

Poi" últimoj deduciremos las útilísimas fórmulas que dan los

momentos y energías en el sistema CM como función del invariante

s. En el sistema CM, p' + p' = o y, por lo tanto,

s = (Ej * E p = E.J + E¿ + 2E^ E'2.

Llamando k al valor absoluto de p' y de pl la ecuación ante_

rior se escribe

, 2 2 . 2 2 O \ / 7 Í 2 \ / 2 2s = k + m + k + m 2 - s - 2 y k •>-m1 ^ / k * m 9 .

2 l—* 12 i *—*" 12D e s p e j a n d o de a q u í k que no e s o t r a c o s a que I p i | = j p i r e ~culta

3 1 2 - l í l l 2 - - n - f • - S * m2>] [ 1 2

[4.47]

2 —*• 2 2Teniendo en cuenta que E = p +• m , se obtiene

-22*

2 2s •¥ m - m

E, ,; X_ -¿- &-48J2 \/s

que permite también calcular B' por simple permutación de los subíii

dices 1 y 2, Las fórmulas ¿4.47J y [4.48J son las expresiones busca,

das que dan momentos y energías en el sistema CM si se conoce ss -

que se calcula muy fácilmente en el sistema L mediante la fórmula -

[4.36].

4-7 Observaciones relativistas sobre el espacio de las fases.

En el apartado 3°4 se ha introducido el concepto de densidad -

de estados o factor de espacio de las fases y se ha discutido su -

utilidad sea como factor que es necesario para calcular la probabi-

lidad de un fenómeno cuya dinámica se conoee, sea para estimar dis=

tribuciones de energías y momentos cuando hay más de dos partículas

finales en un proceso nuclear.

3.33J y lineas -

siguientes) aparecen factores como el volumen geométrico o el fac-

tor de spin que se deben introducir en la normalización final, pero

que podemos ignorar por el momento; por eso escribiremos

J»n(l) .d

T T d 3 t ± [4.49]

y seguiremos llamando a 0 así definido el espacio de fase de las

n partículas, aunque más bien debería llamarse factor del espacio -

de momentos., La fórmula £4.4-9J es perfectamente válida por alta que

sea la energía de los procesos que se estudien? siempre que para re_

lacionar energías5 momentos y masas se usen las ecuaciones re la t i -

vistas apropiadas \j^AS\ , [4.20J „ Hay que tener en cuenta, claro ea_

tas, <¿us I a eaergía total

E = 2 Ei

se conserva y que uno de los momentos no es independiente porque -

viene determinado por los demás debido a la conservación del momen-

to total

P =

Como aplicación m\Xj sencilla de Í4.49J a un problema relativi_s_

ta consideremos la desintegración beta del neutrón

n —*• p * e -r y .

Como la masa del protón es muy grande frente a la del electrón e iri

finita respecto de la del neutrino que es nula, la energía de retro_

ceso del protón es despreciable y prácticamente la energía disponi-

ble Q = m - m - m se distribuye entre el electrón y el neutri-

no

Q = E + E .e

Podemos elegir los momentos de estas dos partículas como indepen-

dientes y calcular el espectro energético de los electrones inte-

grando [4.49] sólo sobre el momento de los neutrinos

P(pJ dp =

(aquí p o p representan el valor absoluto del momento ordinario

-no son cuadrimomentos; los factores 4TC provienen de integrar so-

bre los ángulos, ya que ahora las direcciones no interesan puesto -

que tratamos de calcular el espectro de los electrones). Teniendo -

en cuenta que p = E v (porque m = o ) y p = E - m resulta

=24=

= 167L2 (Q - E e )2 p2

o en función de las energías

•p(E ) dEg = 167Í2 (Q - m

Esta expresión se ajusta bastante bien al espectro experimental de

los electrones que provienen de la desintegración del neutrón y de

todas las desintegraciones beta permitidas aunque para energías -

muy bajas de los electrones el efecto de la repulsión de Coulomb -

entre el núcleo final y el electrón es apreciable y es preciso ha-

cer una pequeña corrección a la expresión anterior»

La restricción que impone la conservación del momento se te-

nía en cuenta en el apartado 3.4 extendiendo la integral de [4.49J

a solo n-1 partículas. Ss posible -y conveniente para lo que si_

gue- tener en cuenta las condiciones {_4.5Oj y £4.51J de otro modo

que conduce a una expresión más simétrica para J4»49j> Usaremos p_a

ra ello la función a de Birac, cuya definición y propiedades más

interesantes se exponen en el apartado 4.71. Si incluimos en la -

expresión subintegral de (_4.49J el factor ^ ( ]>J" "p*. - P) pode-

mos extender la integración a los momentos de las n partículas

ya que para la n-ésima queda automáticamente excluida porque

-* n~1 _*

i=1

por ser p = ? - ¿- P- según i_4«51j. X¡a condición [4.50/ puede

también incluirse ~ mediante otra función de Dirac, En efecto,

por definición

- E) dE = 1

los fundamentos del cálculo infinitesimal

n-1—a,

-25-

n n

- E) dE = S ( 2T Ei - E)•

nPodemos, por tanto, sustituir d/dE por ¿> (

do escribiremos ^4-49j en la forma

E_. - E). De este mo_

n n n

que es simétrica en las n partículas y en la que aparecen expl£ci_

tamenté la conservación de energía y momento. La fórmula ¿_4• 52J no

es, sin embargo, simétrica en E y p por lo que claramente no es -

invariante bajo las transformaciones de Lorentz; para cada sistema

de referencia hay que volver a calcular P desde el principio.

Actualmente cada vez se usa con mayor frecuencia un factor de

espacio de fase que sea invariante de Lorentz. Lo llamaremos E (E)

y lo definiremos mediantes

n n[4.53]

donae p. es el cuadrimoment o de la partícula i, P el cuadrimomeriA """"

to total del sistema de las n partículas y d p = dp dp dp dp =3-» • o 1 ¿ 3

= dEd p. El factor R es, obviamente, invariante de Lorentz y va-

mos a ver que solo difiere de p en un factor de normalización. En0 0 —i

efecto, la función o (p - m ) (cuyo papel en £4.53J consiste en

asegurar que para cada partícula se cumpla E - p = m ) se pueder o o o *7

escribir S[E -(p* -t- M~)J de donde integrando sobre la variableo o

E (ver apartado 4•71) se tiene

dE S [E 2 -(p 2 + m2)j =2E

siempre eme sea\ /-* 2 2

= y p -*• m ; se ha eliminado la rais negativa -

-26 -

ya que E_> o; las integrales sobre E se limitan a valores posi-

tivos. Introduciendo esta igualdad para cada subíndice i en¿4.53j

y escribiendo

2 p± - "íi - •*> S<

resulta

R (E, P) =

rM ^

2 E i

[4.54]

que solo d i f i e r e de P ( E ) dado por J4.52J en el f a c t o r de normali.

zacion

n

Naturalmente para realizar cálculos de probabilidades de pro-

cesoá mediante teoría cuántica de perturbaciones, si se usa E co-

mo factor de espacio de fase, es preciso que los elementos de ma-

triz sean también invariantes de Lorentz, puesto que la probabili-

dad de un proceso no depende del sistema de referencia. Para ello

es necesario normalizar las funciones de onda de manera que repre-

senten 2E partículas por cm ya que, de este modo, al cambiar de -

si.,tema de referencia la variación de E viene compensada por la -

contracción de Lorentz del elemento de volumen que aparece en la -

integral que da el elemento de matriz.

Claramente se ve, sobre todo en Í4.54j , que R es el volumen

en espacio de momentos que está disponible para n partículas de

masas dadas y con energía total E. Si se omite en Í4.54j la inte-

gración sobre el momento de la partícula k se tiene dR /d p,

que es proporcional al espectro diferencial en momento de esa par

•27-

tícula.

El cálculo de R sólo puede realizarse analíticamente para un

máximo de tres partículas. Para más de tres es preciso calcular R

numéricamente. Por este motivo s es muy útil la fórmula de recurren^

cia que vamos a deducir y que, por otra parte, podemos también -

usar para obtener expresiones analíticas cuando esto sea posible.

La definición [j4-.53J puede escribirse separando claramente la

integración sobre el momento de la particula n

n-1

Rn(P) - K S ^ - •£> [ f f ^J J Í=1

En esta expresión la segunda integral es por definición E , .(?-p ),A ¿- o o "x & Q i nA ¿- o o "x _& Q i n

por lo que sustituyendo d P n¿(p n ~ mn ) P

o r ¿ P /2E (como hici-2 2- 3n " mn

mos para obtener £4»54j^ podemos escr ib i r

rHn(P) =

J 2En• n

Rn

Ahora usamos el hecho de que R es ian invariante de lorentz para -

calcular R en el sistema CM de las n partículas en el cual P = o

por lo que escribiremos R (E, O ) ; R 1 lo calcularemos en el siste_

ma en el cual

P - Pn = (£ ,"3)

2

donde el invariante £ calculado en el sistema CM es

6 2 - (P - P n)2 - (E - B n)

2 - (? - ? n)2 = (E - EnJ

2 - t

En consecuencia, podemos escribir

- 2 8 -

En(E, t) =2E

n

que en unión con £4.55] es la fórmula de recurrencia buscada.

El factor B1 se calcula fácilmente. Para una partícula, [4.53J

da

R/E) =2m

como se deduce de las propiedades de la función de Dirac de otra -

función que se expone en el apartado 4.71. A partir de esta expre-

sión de E1 y usando [4.56] y /_4.55j podemos escribir el factor de

espacio de fase para dos partículas

1*2 (E) =(£

2E,

siendo £ = y (E

culas y ?2 ~ I

E ) - p ? (E es la energía total de ambas partí_

' C o m o

1

2 - V2 - 4 , P2 1 P2 E

2(E - E )—*- - 2 p J = —*E2 J ¿ E2

(recordar que dE/dp = p/E según se deduce de £4.19/ ) las propied_a

des de la función <? permiten escribir

7í P2E

2para £ - m1 = 0

es decir,

(E) »71 P

E[4.57]

-29-

p ' | = j p '

y E = \/~s (con s definido en Í4.35J) podemos escr ib i r

yr [4.58]

Introduciendo aquí /pí/ dado por ¿4.47J se tiene R?(s) en función

del invariante s. Del mismo modo, a partir de B.A £ ,"o) puede de-

ducirse R,(E, ~Q) (añora es E la energía de las tres partículas)

que para partículas de masa distinta aparece como una integral -

elíptica sobre djp,[.

Tiene también interés otra expresión de R de mucha utili-

dad en el estudio experimental de sistemas de tres partículas. Se-

jún [4.541, calculando en el sistema GM se tiene

P ;

E , _

tp 1

que integrada sobre d pi da

SE'áQ P >

¿ dp« dj? p'

2 dp' S(E» i- E' + B« - E)

Las integraciones sobre los ángulos, excepto é?\<-, (ángulo entre -

¡ y Pp) conducen a

947Tp'¿ dp' l¿ dp' -E)

El ángulo ^ 2 P a r a pí = lpí| y P¿ = i P2 i f iJ o s viene dado P o r

-30-

de donde

Como, por otra parte, pdp = EdE y en la anterior expresión de B

queda una función de Dirac por simple sustitución se obtiene

E 3 =]X2 I dEj dE¿. [4.59]

Esta fórmula inaica que si se representan las situaciones ci-

nemáticas de un sistema de tres partículas por puntos en un diagrá

ma de coordenadas cartesianas de ejes E' y E' (o bien 'T' y T') -

-diagrama de Dalitz- el factor de espacio de fases disponible es -

proporcional al área en ese diagrama. Dicho de otro modo, la densi_

dad de estados finales en un proceso que dé lugar a tres partícu-

las es proporcional al área en un diagrama Ti Ti y los puntos re-

presentaxivos de diversos resultados experimentales deben estar -

uniformemente distribuidos en tal diagrama si el proceso viene só_

lo regido por la densidad de estados finales. Si experimentalmente

se observa otra cosa, es indicio de que el fenómeno es más comple-

jo de lo que se ha supuesxo. Por eso el uso de este diagrama es -

particularmente conveniente en el estudio de las resonancias.

El diagrama T' T' no es la única forma de diagramas de Dalitz

que se usan en la práctica; muy utilizado es un diagrama en el que

en los dos ejes cartesianos se representan los cuadrados de las ma

sas efectivas MI, y M7_. Según [4.30] la masa efectiva es un inva_

riante que, calculado en el sistema CM, resulta

M7 = (E1 •(• E!) - (p1 + p') = (E1 - E') - p1 =

= E'2 • m2 - 2E1 E'

De aquí se ve que d(ü ?) es proporcional a dE1, por lo que tam-2 2.

bien en el diagrama M2X, MI, áreas iguales corresponden a iguales

-31-

factores de espacio de fase. Por lo tanto, recordando que E' = ys

puede también escribirse Í4.r>9j en la forma

JL [4,60]

Una última observación; los valores mínimo y máximo de la masa

efectiva vienen dados por

(min) = m1 -s-

IS 2 (max) = E -

y expresiones análogas para M y M . Con estas fórmulas puede de_

terminarse fácilmente el contorno del diagrama de Dalitz dentro -

del cual estarán los purruos representativos de las situaciones ci-

nemáticas del sistema de trea partículas.

4.71 La función de Dirac.

La función d (x) de Dirac, utilizada er. el apartado anterior,

se define por las ecuaciones

¿(x) = o para x =^= o

lim o (x)-^ c° de tal modo que a(x) dx = 1

si x = o esxá dentro del intervalo de integración.

De la definición se sigue que para cualquier función f(x)

continua en x

\f(x) ¿(x - xQ) dx = f(xQ)

-32-

si x está dentro del intervalo de integración.

Se puede también definir una función de Dirac muítidimen si onali

para tres dimensiones, por ejemplo,

de donde se deduce, en analogía con el caso unidimensional,

|f(r) S 3(r- rQ) d 3^=f(r* Q)

si r está dentro del volumen de integración.

Si el argumento de función o es a su vez una función y = g(x)

tenemos mediante un simple cambio de variables

donde se toma el valor absoluto para asegurar que dx sea positiva.

De esta fórmula se deduce que

<?[g(x)j dx = y———- si es g(xQ) = o .

Si la ecuación g(x) = o tiene varias soluciones, la integral es -

una sumatoria de términos como el expuesto. La fórmula anterior se

puede generalizar fácilmente:

f. f(:si es g(x ) = o .

Estas reglas valen para cualquier función g(x) continua en x .o

Por ejemplo,

-33-

¿E _ \ _ — ¿y2E '

siendo y = E - \¡ *p* - m (se ha eliminado la raiz negativa). Si

y = o, esto es, si E = y p* - m el valor de la integral es 1/2E.

J.E.N. 261

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid

"Cinemática de los procesos nucleares de altaenergía"SÁNCHEZ DCL RIO, C. (1973) 33 pp.

Este informe es la primera redacción de uno de los capítulos de un l ibro en

preparación que lleva por t í t u lo : "Temas de Física Nuclear Práctica". Se publ i -

ca como informe JCN por su valor didáctico inmediato y para que la redacción de

f i n i t i v a venga enriquecida por las observaciones de los lectores.

Las referencias que aparecen en este informe y que comienzan con el número 3,

se encuentran en el informe JEN-2K).

J.E.N. 261Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid

"Cinemática de los procesos nucleares de altaenergía"SÁNCHEZ DEL RIO, C. (1973) 33 pp .

Este informe es la primera redacción de uno de los capítulos de un l ibro en

preparación que l leva por t í t u l o : "Temas de Física Nuclear Práctica". Se publ i -

ca como informe JEN por su valor didáctico inmediato y para que la redacción de

f i n i t i v a venga enriquecida por las observaciones de los lectores.

Las referencias que aparecen en este informe y que comienzan con el número 3,

se encuentran en el informe JEN-26O.

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Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid."Cinemát i ca de los p r o c e s o s n u c l e a r e s de al ta

energía"

SÁNCHEZ DEL RIO, C. (1973) 33 pp.

Este informe es la primera redacción de uno de los capítulos de un l ibro enpreparación que lleva por t í t u l o : "Temas de Física Nuclear Práctica". Se publ i-ca como informe JEN por su valor didáctico inmediato y para que la redacción de-f i n i t i v a venga enriquecida por las observaciones de los lectores.

Las referencias que aparecen en este informe y que comienzan con el número 3,se encuentran en el informe JEN-260^

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"Cinemática de los procesos nucleares de alta

energía"

SÁNCHEZ DEL RIO, C. (1973) 33 pp .Este informe es la primera redacción de uno de los capítulos de un l ib ro en

preparación que lleva por t í t u l o : "Temas de Física Nuclear Práctica". Se publ i-ca como informe JEN por su valor didáctico inmediato y para que la redacción de-f i n i t i va venga enriquecida por las observaciones de los lectores.

Las referencias que aparecen en este informe y que comienzan con el número 3,se encuentran en el informe JEN-260.

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"Kinematics of high-energy nuclear processes11

SÁNCHEZ DEL RIO, C. (1973) 33 pp.This report is thc f i r s t draft of one oí ihe chapters oí a bnok being prepa-

red under tho t i t l e : "Topics on Practical Nuclear Physics". I t is published as

a report because of i t s immediate educational valué and in order to include in

i t s f ina l draft ihe suggeslions oí the readers.

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"Kinematics of high-energy nuclear processes"SANCHE? DEL RIO, C. (1973) 33 pp.

This report is the f i r s t draft of one of the chapters of a book being prepa-

rod under the l i t i o : "Topics on Practical Nuclear Physics". I t is published as

a report because of i t s immediate educalional valué and in order to include in

i t s f ina l draft Ihe suggestions of the readers.

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"K inemat i cs of h igh-energy nuclear p rocesses"

SÁNCHEZ DF1 RIO, C. (1973) 33 pp.

This report is the f i r s t draft of one of the chapters of a book baing prepa-rod under tho l i l l o : "lopics on Practical Nuclear Physics". I t is published asa reporl becauso of i t s inmediato educational valué and in order to includo ini t s final draft the suggestions of tho readnrs.

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"Kinematics of high-energy nuclear processes"SÁNCHEZ DEL RIO, C. (1973) 33 pp .

fhis report is the f i r s t draft of ono of UIP chapters of a book being prepared under tho l i l l o : "Topics on Praclical Nuclear Physics". I I is published asa roport bocauso of i t s inmediato educalional valué and in order to include ini t s final draft Ihe suggestions of the readers.