Cinemática de los Mecanismos

Modulo 1

Definición:

Cinemática: Es el estudio de movimiento en mecanismos e incluye el análisis de desplazamiento, velocidades, aceleraciones y síntesis de mecanismos.

Maquina: Es un dispositivo para transformar movimiento y fuerza ( Potencia ) desde una fuente a una carga.

El tipo de transformación y transferencia, será definido por las necesidades y naturaleza del tipo de movimiento suministrado a la entrada que esté disponible y también por el tipo de movimiento requerido a la salida.

Normalmente en las maquinas la mayoría de sus componentes sufren una deformación imperceptible, por lo cual en la mayoría de los casos los componentes de las maquinas se van a tomar como cuerpos rígidos

Durante nuestro estudio de la cinemática se manejaran los cuerpos rígidos bajo el paradigma de que no existe deformación causada por las fuerzas; por lo que el Movimiento relativo entre ellos se podrá estudiar sin considerar las fuerzas que lo provocan.

Por lo que podremos definir:

Cinemática.- Como la materia, la cual maneja solamente los aspectos geométricos (Restricciones) del movimiento, sin considerar las fuerzas que los provocan.

Para el estudio de la cinemática, una maquina puede referirse a un mecanismo y que cuya combinación de partes rígidas interconectadas tienen movimiento relativo entre ellas.

La clave de los movimientos de un mecanismo, recae en los tipos de interconexiones de sus partes y estas interconexiones , técnicamente se llaman “PARES CINEMATICOS”.

“PARES CINEMATICOS”

Para el estudio de la cinemática es necesario el entendimiento de los pares cinemáticos y la clase de movimiento relativo que estos pares cinemáticos permiten realizar al mecanismo.

Antes de estudiar los pares cinemáticos tendremos que explicarnos algunos aspectos técnicos.

a).- A el numero mínimo de coordenadas independientes que se requieren para describir el movimiento relativo de un par cinemático se le llama

“Grado de Libertad”

Y a estas coordenadas que su utilizaron para describir ese movimiento relativo en ese par cinemático se les llama “Variables del Par Cinemático”.

Un cuerpo no conectado a ningún otro, completamente libre tiene 6 Grados de libertad.

PARES CINEMATICOS

Los pares Cinemáticos se pueden clasificar de tres maneras:

a).- Pares inferiores

b),- Pares Superiores

c).- Pares Envolventes

a).- Pares Cinemáticos Inferiores – Son los que tienen contacto por medio de una Superficie ( Ejem. Un cojinete ; un perno en un barreno…..Etc.)

b).- Pares Cinemáticos Superiores – Son los que tienen contacto entre elementos por medio de una línea o un punto (Ejem. Una leva con seguidor de rodillo …etc.)

c).- Pares Cinemáticos Envolventes – Son los que cubren completamente al otro elemento ( Ejem. Una Banda, Una Cadena y esprocket, …..etc.)

También existe una clasificación de los pares cinemáticos que se hace tomando en cuenta la forma en que el contacto entre sus elementos e mantenido.

Si el Par esta mantenido por la forma geométrica de alguno de su elementos o si esta mantenido por una fuerza externa.

Ejemplos:

Un cojinete - el contacto es mantenido por su forma

Un seguidor de una leva con su resorte – el contacto es mantenido por Fuerza

Ejemplos de Pares Cinemáticos:

PARES CINEMATICOS SUPERIORES ( CONTACTO EN UNA LINEA O EN UN PUNTO )

TIPOS DE MECANISMOS

a).- Planares

b).- Esfericos

c).- Espaciales

a).- Mecanismos Planares. Todos los puntos de sus cuerpos ( Partes ) se mueven paralelamente y se encuentran en planos paralelos y todos esos planos se pueden representar en un solo plano que es llamado plano de movimiento,

Se tiene un solo punto de vista que es perpendicular al plano de movimiento y bajo este punto de vista se revela el movimiento relativo verdadero de todos los puntos del mecanismo.

En Cinemática existen dos tipos de problemas:

a).- Análisis Cinemático

Una ves que un mecanismo se ha dado; la tarea es determinar los movimientos relativos que se pueden llevar a cabo en ese mecanismo.

b).- Síntesis Cinemática

En la Síntesis, uno tiene que diseñar un mecanismo para generar el movimiento relativo que se requiere y que se ha descrito con anterioridad.

PARA PROSEGUIR CON EL ESTUDIO DE LA CINEMÁTICA DELOS MECANISMOS.

Se requiere recordar un poco algunos conceptos.

Se había hablado de que un cuerpo libre y suelto tenía 6 (seis) Grados de Libertad.

En el movimiento Planar (Plano)

En un movimiento plano un cuerpo libre y suelto solamente tiene 3 GRADOS DE LIBERTAD.

Tan pronto como se conecte a otro eslabón en este mecanismo plano, uno o dos grados de libertad serán restringidos y se perderan.

Veamos cuales de los pares cinemáticos serán aceptados en este mecanismo Planar.

R – 1 GDL P – 1 GDL

H – 1 GDL C – 2 GDL

h – 2 GDL

Los pares CinematicosH y C no se pueden aceptar en un mecanismo Planar

Clases de Eslabones Eslabon.- Cada cuerpo rigido que forma parte de un par cinematico es referido como ESLABON.

Cadena Cinematica.- Es una serie de eslabones conectados en pares cinemáticos.

Cadena Cinemática Cerrada.- Es cuando cada eslabón de esa cadena, esta conectado al menos a otros dos eslabones.

Si alguno de los eslabones está conectado a solo un eslabón entonces se le llamara cadena cinemática abierta

También se pueden clasificar los eslabones de la siguiente manera

En una cadena cinemática cerrada no puede existir un eslabón singular.

Podemos definir un mecanismo con un de sus eslabones fijo, a este eslabón le llamaremos marco de referencia.

En algunos casos, ese eslabón que nosotros tomamos como fijo podrá estar en movimiento relativo con respecto a otro marco de referencia.

Ejem. – En el mecanismo de los limpiaparabrisas de un automóvil el cuerpo del automóvil al cual está instalado puede estar en movimiento o no con respecto a la tierra.

En algunos libros, el eslabonamiento es definido como un mecanismo consistente de solamente pares cinemáticos inferiores, si tuviera pares superiores; entonces, no sería eslabonamiento, sería un mecanismo.

El Grado de Libertad de un mecanismo Esta dado por el mínimo de Variables de Par Cinemático independientes entre sí, que se necesitan para definir completamente los movimientos relativos entre todos sus eslabones.

Se puede decir que un mecanismo está restringido si su grado de libertad iguala (es igual) al número de entradas de movimiento independientes.

Cuando el numero de grados de liberad, no es igual al número de entradas de movimiento, no será un mecanismo restringido.

Ejem. El Diferencial – Tiene una sola entrada de movimiento y tiene dos salidas (dos Velocidades) en las ruedas.

Para el estudio de la cinemática tenemos que saber solamente el tipo de pares cinemáticos , la posición relativa , el orden secuencial y eso es todo; las demás características geométricas no nos conciernen ó los parámetros inerciales son completamente irrelevantes para el estudio cinemático.

Para el estudio de la cinemática siempre haremos diagramas gráficos, en los cuales quitaremos todos los parámetros que sean irrelevantes y solo se expondrán los datos geométricos que son esenciales para definir los movimientos relativos, o en otras palabras, los que gobiernan los movimientos relativos.

Estos diagramas son llamados DIAGRAMAS CINEMATICOS,

Para dibujar estos diagramas seguiremos ciertas convenciones, las cuales discutiremos a continuación:

- Como hemos visto, todo mecanismo tiene un eslabón fijo, y este eslabón es llamado eslabón numero 1 (uno). Y es indicado con el sombreado.

Todos los números de eslabones son dados secuencialmente empezando por el número 1 (uno).

El siguiente diagrama muestra que aunque el eslabón tiene una dimensión de ancho ó altura, es completamente irrelevante para lo que es cinemáticamente concerniente, por lo que el diagrama se escribirá como se muestra en la figura adjunta.

Representación de un Eslabón

La Siguiente figura representa a dos eslabones unidos por un par cinemático de revolución.

El eje del par de revolución está representado por el centro del circulo

Pares Prismáticos:

Eslabón Cuaternario:

El sombreado es para no confundir con cuatro eslabones binarios

3R-1P (Mecanismo Pistón, Biela. Manivela)

3R-1P (Mecanismo Piston, Biela. Manivela)

Por lo que se puede ver el par cinemático prismatico no es mas que el caso limite de un par de revolución cuando su radio de formado por la longitud de su eslabón

tiende a infinito(∞)

INVERSION CINEMATICA Lo siguiente a discutir es la inversión cinemática.

La inversión cinemática es muy útil particularmente en el proceso de Sintesis cinemática.

Hemos definido a un mecanismo como una cadena cinemática cerrada, donde uno de sus eslabones esta fijo.

La inversión Cinemática: Es el proceso de fijar diferentes eslabones de una cadena cinemática para producir deferentes mecanismos; Es decir, se va cambiando cada vez, cual es el eslabón que esta fijo , y se analiza como funciona el mecanismo resultante cada ves que se hace.

Cada vez que esto se hace se obtiene un mecanismo diferente.

Y lo mas importante de la inversión Cinemática es que El movimiento relativo entre varios eslabones es independiente de la inversión Cinemática; Esto es, El movimiento relativo entre varios eslabones se mantiene sin cambios bajo la inversión Cinemática.

Es decir el movimiento relativo entre eslabones no cambia, independientemente de cual sea el eslabón sea el que esta fijo.

r = a infinito

Inversión Cinemática de un mecanismo

Todos estos mecanismos se han obtenido de la misma cadena cinemática por el proceso de inversión cinemática, el movimiento relativo entre varios de sus eslabones permanecerá siendo el mismo.

Por ejemplo:

= = La relación de velocidades entre el eslabón 2 y el eslabón 4 en el primer mecanismo es igual a la relación de velocidades del eslabón 1 entre el eslabón 4 en el segundo mecanismo donde el eslabón 2 esta fijo y su velocidad es cero.

El Mecanismo de Cuatro Barras En esta ocasión seguiremos estudiando El Mecanismo de Cuatro Barras, podemos decir que en gran parte de este curso estudiaremos el mecanismo de cuatro barras, ya que es un mecanismo con una gran diversidad de aplicaciones.

Mecanismo plano de cuatro barras.-

Recordando:

Un mecanismo es una cadena cinemática cerrada; y para estar cerrada, por lo menos debe de contar con tres eslabones.

En esta cadena de eslabones, donde el eslabón 1 esta fijo, es obvio que no puede haber movimiento relativo entre sus tres cuerpos rígidos(eslabones), de hecho podría resistir una carga externa, por lo cual lo podemos considerar como una estructura.

Debido a esto , podemos considerar que el mecanismo mas simple que existe es el mecanismo de cuatro barras.

Para empezar consideremos un mecanismo plano de cuatro barras con cuatro pares cinemáticos de revolución.

Dimensiones relevantes del mecanismo

O2 y O4 son eslabonamientos fijos y A y B son eslabonamientos móviles,

Los eslabones 2 y 4 que están conectados al eslabón fijo, normalmente son utilizados respectivamente como entrada y salida del movimiento, y el eslabón 3 conectado al los eslabonamientos móviles A y B sería entonces el eslabón conector; También como se puede observar, este mecanismo tiene cuatro dimensiones principales L1, L2 , L3 y L4.

Cuando uno de sus eslabones da una vuelta completa, es como si tuviera un motor acoplado, a este eslabón se referirá como MANIVELA, al eslabón de salida entonces le llamaremos SEGUIDOR, y al eslabón que los interconecta le llamaremos ACOPLADOR.

Ahora consideremos un mecanismo de cuatro barras donde uno de sus pares cinemáticos fijos O4 esta en el infinito perpendicularmente localizado a la trayectoria de movimiento del par cinemático “B”

Sus dimensiones principales son O2-A que es L2 (Longitud de la Manivela), A-B

Este mecanismo es comúnmente utilizado para convertir movimiento rotacional uniforme a movimiento rectilíneo oscilante y es nombrado como mecanismo biela manivela corredera.

Ahora consideremos diferentes inversiones cinamáticas del mismo mecanismo 3R-P

También es un mecanismo de cuatro eslabones y tiene también tres pares cinematicos de revolución y un par cinemático prismatico. Pero esta configurado en forma diferente; mientras que en anterior mecanismo los pares estaban dispuestos R-R-R-P , en este están dispuestos de la forma R-R-P-R

Considerando otra Inversión Cinemática,

También otra inversión cinemática sería :

Hemos considerad Mecanismos con cadenas 3R-1P, ahora consideremos un mecanismo con dos pares de revolución y dos pares prismáticos, es decir que uno de sus pares de revolución se convierta en un par cinemático prismático y forme una cadena con 2R-2P

Cadenas Cinemáticas 2R-2P

Sin embargo podemos tener dos variantes en función del orden de cómo se acomoden los pares cinematicos. R – R – P – P ó R – P – R – P

Se puede enfatizar que en una cadena de 3R-1P ; si se empezara por un par cinemático P , sería seguido forzosamente por tres pares R , esa sería la única posibilidad.

Eslabón Eslabón Eslabón

Eslabón

Eslabón Eslabón Eslabón

Eslabón

Consideremos algunas inversiones de esta cadena 2R-2P:

Tenemos una cadena RR-PP la cual el eslabón 1 corre en sobre un par prismático horizontal sobre el eslabón 4, el eslabón 2 está conectado con el eslabón 1 por medio de un par de revolución en O2 , así mismo, el eslabón 2 está conectado con el eslabón 3 por medio de un par de revolución en O3 y el eslabón 3 corre sobre un par prismático vertical sobre el eslabón 4; Siendo que las dos correderas están a 90° una con respecto a la otra.

Luego consideremos una inversión cinemática con la sujeción del eslabón 1 (uno); y veremos que el eslabón 2 tendrá un movimiento rotativo con respecto al eslabón fijo numero 1, y el eslabón 4 tendrá un movimiento horizontal alternativo con respecto al eslabón fijo numero 1,

Este Mecanismo , “ El Yugo Escocés” convierte el movimiento rotativo uniforme del eslabón 2 en un movimiento armónico simple alternativo en la dirección horizontal del eslabón 4.

Cuando T = 0 entocesθ = 0 y se puede decir que θ = ωt ;La posición del eslabón 4, se puede definir con X y es fácil darse cuenta que X= L2 Cosθ por lo que X= L2

Cosωt. Por lo que estaríamos produciendo un movimiento armónico simple por medio de un movimiento rotativo uniforme.

Consideremos otra inversión cinemática de la misma cadena cinematica (Mecanismo) RR-PP.

En este mecanismo que también es RR-PP , se tiene al eslabón 1 como eslabón fijo, el eslabón 2 esta conectado el 1 por medio de un par de revolución a su ves este eslabón 2 esta conectado por medio de un par prismático al eslabón 3 que tiene una corredera horizontal y también tiene una corredera vertical que conecta a su ves por medio de un par prismático con el eslabón 4.

Al girar el eslabón 2 con una velocidad angular le trasmitirá el movimiento al eslabón 3 y este moverá al eslabón 4 con la misma velocidad angular.

Este mecanismo es conocido como cóple de Oldham y es utilizado para trasmitir movimiento rotatorio a ejes con des alineamiento paralelo.

Ahora consideremos otro mecanismo formado con la misma cadena de eslabones y pares cinamáticos RR-PP

En este mecanismo consideraremos que el eslabón fijo es el que tiene los dos pares cinemáticos en sus extremos; Por ejemplo, el eslabón 1 tiene par prismático con el eslabón 4 y también con el eslabón 3 en ángulo recto un con respecto del otro.

A este mecanismo se le conoce como la Traba elíptica de Arquimides. Y se utiliza para generar elipses.

Su representación física sería:

Notas sobre la Traba elíptica

La Traba elíptica (también conocido como el traba de Arquímedes) es un mecanismo sencillo que puede trazar una trayectoria elíptica exacta.

La Figura 1 muestra la geometría de este mecanismo, que consta de dos pares prismáticos (o corredera) y dos pares de revolución (o de rotación) en sus articulaciones.

Estas juntas guian el movimiento de un cuerpo rígido central.

Figura 1: Diagrama de la traba elíptica, que muestra la geometría de la trayectoria elíptica, así como las centroides fijos y móviles (círculos de trazos).

Sean A y B los puntos en el cuerpo rígido en movimiento que coincide con el eje de revolucióndela articulación.

Sea C el punto en el cuerpo en movimiento que traza un camino.

Definiendo las siguientes distancias:

Por conveniencia, se asignará un marco de referencia con el origen en la intersección de los dos ejes de los pares prismáticos de la articulación, y con vectores de la base colineal con los ejes de articulación (ver Figura 1).

Donde θ denota el ángulo entre la línea de CA ~ y el eje x. En este sistema de coordenadas, las coordenadas X y Y del punto C se dan a través de:

Consecuentemente:

que es la ecuación de una elipse con ejes mayor y menor que tiene dimensiones a y b.

En cada instante, el cuerpo central se mueve como si se gira alrededor de un polo (también conocido como centro instantáneo de rotación, o CIR). En cada ubicación del mecanismo, cada bloque deslizante se mueve en las articulaciones prismáticas con una velocidad que es equivalente a una rotación sobre cualquierpunto de la línea que pasa por el centro del bloque y que es perpendicular al eje de deslizamiento. Ambas líneas se cruzan en un punto único (P denotado en la figura.

Por lo tanto, en cada instante, el cuerpo central se mueve como si estuviera girando sobre el ICR situado en el centro de estas dos líneas.

Recordemos que el centro fijo está formado por el conjunto de posiciones instantáneas en el marco de referencia fijo, mientras que el centroide movimiento consiste en el conjunto de ubicaciones como se describe en el sistema de referencia móvil del cuerpo central. El mecanismo se mueve como si el movimiento centro de rueda sin deslizarse en el centro fijo. La geometría del centro fijo se puede encontrar como sigue. Para cada orientación posible del cuerpo central (denotado por θ),

Las coordenadas x y de la CIR P es:

En consecuencia, el centro de movimiento traza un círculo.

Cambiemos un poco el tema de discusión y veamos algunos mecanismos que tengan también pares cinemáticos superiores.

Veremos como un mecanismo que tiene pares cinemáticos superiores puede ser remplazado por un mecanismo equivalente que contenga pares cinemáticos inferiores (pares de revolución y pares prismáticos), claro que este remplazo es por un equivalente en forma instantánea y contiene la información de velocidad y aceleración par una configuración particular.

Como se observa en la figura, aprovechando la ubicación de los centros de curvatura de las superficies en contacto podemos ubicar los centros de los pares cinemáticos inferiores que se requerirían para remplazarlos con eslabones rigidos unidos por esos pares cinematicos inferiores.

Esta equivalencia es instantánea y solamente se mantendrá siempre y cuando la ubicación de los centros de curvatura de la superficies en contacto no cambie.

Entonces el mecanismo con el par cinemático superior ha sido remplazado por el mecanismo de cuatro barras con pares cinemáticos inferiores.

Otro Ejemplo:

Esto quiere decir que podemos analizar un mecanismo con pares cinemáticos superiores por medio del análisis de su mecanismo equivalente construido con pares inferiores, Recordando siempre que esta equivalencia es solamente de forma instantánea y correspondiente a la posición y del centro instantáneo de las curvaturas de las superficies que están en contacto.

Modulo 2

ANALISIS DE MOVILIDAD Por medio del análisis de movilidad podemos obtener los grados de libertad de un mecanismo.

Esto se lleva a cabo contando el número de eslabones y el número de pares cinemáticos.

Para mecanismos planos, cada eslabón tiene 3 ( tres ) grados de libertad; Dos de Traslación (correspondientes a las coordenada X y Y), y una de rotación (sobre su eje Z)

Entonces podemos decir:

N = Número Total de Eslabones (incluyendo el eslabón fijo al marco de referencia)

Luego entonces:

El número de eslabones Móviles será = ( N – 1 )

Cuando ninguno de estos eslabones está conectado a algún par cinemático el grado de libertad será entonces:

GDL = 3( N – 1 )

Dejemos que estos eslabones se conecten por medio de “J” pares cinemáticos.

J = Numero de pares cinemáticos inferiores (Pares “R” y Pares “P”)

Cada uno de ellos conectados a dos eslabones

Y hay que recordar que cada uno de estos pares cinemáticos, restringirá dos grados de libertad y solo permitirá un solo grado de libertad.

Así que si tenemos “J” Numero de pares cinemáticos, el número de Grados de Libertad restringidos será igual a:

“2J” GRADOS DE LIBERTAD RESTRINGIDOS

Por lo que nuestra formula quedara

GDL = 3( N – 1 ) – 2J

Supongamos que tenemos un mecanismo con un solo grado de libertad

GDL = 1 2J – 3N + 4 = 0 CRITERIO DE GLUBLER

Que es la ecuación de criterio de Grubler para un mecanismo de un solo grado de libertad, manejando esta ecuación de Grubler, podemos asumir que cada eslabón está conectado a otro eslabón; pero haciendo una consideración práctica, podemos pensar que mas de un eslabón puede estar conectado a otro eslabón en particular.

Ejemplo

Entonces un eslabonamiento que conecta a tres eslabones es equivalente a dos eslabonamientos simples, y también en un eslabonamiento (bisagra) compuesto que conecta a cuatro eslabones, equivaldría a tres eslabonamientos simples.

Esto nos modifica nuestra ecuación cuando existen eslabonamientos SUPERIORES , por lo cual el número de pares cinemáticos quedara:

J = J1 + 2J2 + 3J3 + 4J4 + ……………..+ iJi

Donde:

Ji = Numero de bisagras (eslabonamientos) compuestos , cada uno de ellos conecta a (i +1) Numero de eslabones

En el caso de que en un mecanismo también se tuviera un par cinemático superior, entonces este solo restringiría un solo grado de libertad, permitiendo con ello dos de los tres grados de libertad que puede tener un eslabón en un mecanismo plano.

Consecuentemente en cada par cinemático superior solo se restringirá un solo grado de libertad, y la ecuación se modificara de la siguiente manera:

GDL = 3 (N – 1) – 2J – h

Donde h = Numero de pares cinemáticos SUPERIORES.

Algunas veces, se tienen GRADOS DE LIBERTAD REDUNTANTES

Que queremos decir con grado de libertad redundante?

En algún mecanismo particular, vamos a encontrar algún eslabón que tiene movimiento, pero que no transmite ningún movimiento a ningún otro eslabón ó eslabones. Este Grado de libertad será referido como GRADO DE LIBERTAD REDUNDANTE

Ejemplo 1:

Los eslabones 2 y 4 no se pueden mover

Ejemplo 2:

La rotación de los eslabones 2 y 4 deberá ser idéntica para que pueda suceder y se puede observar que no puede existir rotación relativa entre los eslabones 2 y 3, y también en los eslabones 3 y 4.

Ejemplo 3:

Existe un grado de libertad redundante

Esto es porque el rodillo del seguidor puede girar sobre su eje sin transmitir ningún movimiento a los eslabones 2 y 4 (por esto se le llama REDUNDANTE).

Debido a que podemos encontrar Grados de libertad Redundantes, deberemos modificar nuestra formula de la forma siguiente:

퐺퐷퐿 = 3(푁 − 1)− 2퐽 − ℎ − 퐹푟

Donde

Fr = Número total de Pares Cinemáticos Redundantes.

Algunas veces se tendrá que tener cuidado y se tendrá que tener algunas consideraciones.

Según la formula, este mecanismo actúa como una estructura y no podría transmitir movimiento relativo; sin embargo, tiene un grado de libertad. ……

……¿Qué es lo que falla?

Lo que pasa es que los pares (6 -1), (4 – 1) y (4 – 5) tienen la misma dirección y uno de estos pares prismáticos actúa como redundante, J entonces sería = 7

GDL = 15 – 14 = 1

Se puede ver que esto falla por que los tres pares cinemáticos prismáticos están en la misma dirección, entonces J que fue contado como 8 es realmente 7 por que uno de los pares cinemáticos prismáticos es un par redundante.

GDL = 15 – 14 = 1

Por lo que deberemos modificar nuestra formula de la siguiente manera:

GDLefect= 3(N – 1) – 2(J – Jr) – h – Fr

Dónde:

N = Número total de eslabones

J = Número total de pares cinemáticos inferiores

Jr = Número total de pares inferiores redundantes

h = Número total de pares cinemáticos superiores

Fr = Número total de Grados de Libertad Redundantes

Ahora es muy importante hacer algunas observaciones sobre la diferencia entre los pares cinemáticos de revolución y los pares cinemáticos Prismáticos y que consecuencias presentan esas diferencias en nuestra formula de análisis de movilidad.

a).- Ambos restringen 2 grados de libertad en un mecanismo plano.

b).- También ambos permiten 1 solo grado de libertad.

A la luz de esta diferencia entre pares cinemáticos de revolución y pares cinemáticos prismáticos modificaremos nuestra formula de análisis de movilidad una vez mas, quedando de la siguiente manera:

퐺퐷퐿푒푓푒푐. = 3(푁 − 1)− 2(퐽 − 퐽푟) − ℎ − 퐺퐷퐿푟 + 푃푙

Donde Pl = Numero de circuitos Cerrados formados por tres eslabones que tienen tres pares cinemáticos Prismáticos en diferentes direcciones.

Hay que tener cuidado porque existen casos especiales y que tendremos que analizar.

Ejemplo:

Si al mecanismo de cuatro barras que según nuestra formula tiene un solo grado de libertad, le colocamos un eslabón más paralelo al eslabón 3 y conectado con dos pares cinemáticos de revolución, veremos que según nuestra formula de análisis de movilidad este mecanismo actuaría como una estructura, pero es evidente que si tiene un grado de libertad y esto es porque los eslabones 2 y 4 son paralelos como también los eslabones 3 , 5 y 1 son paralelos (Formando un paralelogramo); teniendo un solo grado de libertad.

En el caso que el eslabón se desviara de su posición paralela, como lo indica la línea punteada en la figura, entonces si actuaría como una estructura y no podría transmitir movimiento relativo entre sus eslabones.

Esto es: Si existiera una diferencia de ángulo en alguno de sus miembros actuaria como una estructura.

De Hecho este eslabón adicional se utiliza comúnmente para asegurar que se mantenga la función de paralelogramo y no se voltee y sea un anti paralelogramo.

Este sistema se utiliza para asegurar el movimiento en paralelogramo y que el mecanismo no entre en anti paralelogramo.

Como hemos visto, para mecanismos con dimensiones especiales, la fórmula para el cálculo de grados de libertad va a fallar, De hecho algunas veces cuando la formula muestra 0 (cero) grados de libertad, en realidad se tiene 1 (un) solo grado de libertad.

Para mecanismos con dimensiones especiales, cuando la fórmula para calcular el grado de libertad falla, a esos eslabonamientos se les llama eslabonamientos sobre cerrados.

Como ejemplo de ese tipo de eslabonamientos sobre cerrados mostraremos el mecanismo representado con la figura a continuación:

Al calcular los grados de libertad de este mecanismo con nuestra fórmula para el análisis de movilidad nos indica que actúa como una estructura, pe al tener dimensiones especiales ya que como podemos observar sus eslabones forman tres (3) paralelogramos, estos son los formados por O2-3-1 A C G ; O6-7-1 FCE y O10-9-1 BCD podemos observar que nuestro mecanismo tiene un solo grado de libertad.

Este es otro ejemplo de un mecanismo con eslabonamientos sobre cerrados

SINTESIS DE NÚMERO

El siguiente tema se llama síntesis de número , durante esta etapa que llamamos síntesis de número podremos determinar el tipo y número de los diferentes tipos de eslabones y el número de pares cinemáticos simples como pares de revolución y pares prismáticos que se necesitan para producir un eslabonamiento planar con un solo grado de libertad, es innecesario decir que todos los mecanismos con un solo grado de libertad van a satisfacer el criterio de Grubler el cual se discutió anteriormente; sin embargo, antes de adentrarnos en los detalles del tema de la síntesis de número, tendremos que probar ciertos resultados básicos los cuales son de vital importancia para la síntesis de número,

La primera de estas dos preguntas es ¿Cuál es el mínimo número de eslabones binarios que el mecanismo debería tener?

Así que determinaremos cual es el mínimo número de eslabones binarios que un mecanismo plano de un solo grado de libertad debe de tener.

Entonces:

N = Número total de eslabones en el mecanismo

N2 = Número Total de Eslabones binarios

N3 = Número Total de eslabones Ternarios

N4 = Número Total de eslabones Cuaternarios

…….. Y así en adelante.

Por lo que tendremos

푁 = 푁2 + 푁3 + 푁4 + ⋯… … . +푁푖

Donde “i” denota el más alto número de orden de eslabón que pueda estar presente en este mecanismo.

O sea, nuestra primera tarea es determinar el mínimo valor de “N2”

Para alcanzar este objetivo tendremos que analizarlo con la siguiente figura

En esta figura tenemos un eslabón que está conectado a otros dos eslabones a

través de dos pares de revolución los cuales son el par “1” y el par “2” los cuales

están fomados por dos elementos cada uno ( el par “1” está formado por el perno

“1-“ y el agujero “1+” ; el par “2” está formado por el perno “2-“ y el agujero “2+”)

Entonces cada par de revolución está formado por dos elementos.

Por lo que podemos contar el número total de ELEMENTOS, el cual será igual a

푒 = 2푗

También bajo el punto de vista de los eslabones como en este caso, tenemos un

eslabón binario con dos elementos podemos contar entonces:

푒 = 2푁2 + 3푁3 + 4푁4 + ⋯… + 푖푁푖

Entonces podemos contar el número total de elementos bajo dos diferentes

puntos de vista.

Si lo contamos bajo el punto de vista de los pares cinemáticos el número total de

elementos será

푒 = 2푗

y si lo contamos bajo el punto de vista de los eslabones, entonces será:

푒 = 2푁2 + 3푁3 + 4푁4 + ⋯… + 푖푁푖

Podemos igualar estas dos ecuaciones

2푗 = 2푁2 + 3푁3 + 4푁4 + ⋯… + 푖푁푖

y además de que este mecanismo para ser de un solo grado de libertad debe

satisfacer el criterio de Glubler

GDL = 1 2J – 3N + 4 = 0 CRITERIO DE GLUBLER

Donde J denota el número de pares cinemáticos y N denota el número de eslabones.

Sustituyendo:

(2푁2 + 3푁3 + 4푁4 + ⋯ . . +푖푁푖)− 3(푁2 + 푁3 + 푁4 + ⋯ . . +푁푖) + 4 = 0

Simplificando

Entonces el mínimo número de eslabones es:

푁2 = 4

Donde P denota el número de eslabones de orden mayor que puede ir desde 4 a i

Y cuando el número de eslabones de orden superior es cero, esto nos indica que el mecanismo más simple con eslabones binarios es el de cuatro barras es decir con cuatro eslabones.

La siguiente pregunta que nos vamos a hacer es:

Cuál es el eslabón de mayor orden que puede haber en un mecanismo con N número de eslabones

푁 = 2푖 Esto quiere decir que

푖 푚푎푥 = 푁/2 Si nosotros fijamos un eslabón, entonces se producirá un mecanismo con un solo grado de libertad, y este mecanismo deberá satisfacer el criterio de Glubler

Contando los eslabones

퐽 = 푖 + 2 + 2(푖 − 3) = 3푖 − 4 Debido a esto

푁 = 2푖

퐽 = 3푖 − 2

Y sustituyendo en la formula del criterio de Glubler

2퐽 − 3푁 + 4 = 2(3푖 − 2) − 3(2푖) + 4 = 0

CRITERIO DE GLUBLER 2J – 3N + 4 = 0

3푁 = 2퐽 + 4 Con esta equación nos damos cuenta que un mecanismo plano con un solo grado de liberad deberá tener un numero N de eslabones numero PAR.

Por lo que el mecanismo mas simple es el de Cuatro barras , y el mecanismo siguiente tiene que tener 6 (seis) eslabones.

Luego entonces tratemos con un mecanismo que tenga 6 eslabones

푁 = 6

Imax = N/2 = 3

El mas alto orden de eslabón entonces es un eslabón terciario

N = N2 + N3 = 6 Ecuación (1)

Para N = 6 y satisfaciendo el criterio de Glubler

2J = 3N – 4 = 3(6) - 4 = 14 Esto es: J = 7

Consigamos otra ecuación por medio de contar el número de elementos

Numero de elementos e = 2J = 2N2 + 3N3

ó 2N2 + 3N3 = 14 Ecuación (2)

Resolviendo estas dos ecuaciones lineales tenernos que

N2 = 4 y N3 = 2

Mecanismo de watt

Podemos ver que en este mecanismo tanto los dos eslabones terciarios son equivalentes puesto que los dos están conectados a dos eslabones binarios y también los dos están conectados a un eslabón terciario y también los cuatro eslabones binarios son equivalentes puesto que por un lado los cuatro están conectados a un eslabón terciario y por el otro a un eslabón binario.

Por medio de la inversión cinemática podemos obtener dos tipos de mecanismo

Uno , fijando uno de los eslabones terciarios y el otro fijando uno de los eslabones binarios.

Fijando uno de los dos eslabones terciarios tendremos:

Nuestro siguiente caso de mecanismo más complicado sería entonces un mecanismo de 8 eslabones ya que como lo hemos visto para cumplir con el CRITERIO DE GLUBLER tienen que tener un número par de eslabones.

En este mecanismo de 8 eslabones, el eslabón de orden más alto sería entonces

N = 8 i max = N/2 = 4

Luego entonces

N = N2 + N3 + N4 = 8 …………..ecuación (1)

También sabemos que el número de elementos “e” va a ser igual a:

e = 2J = 3N – 4 = 3(8) – 4 = 20 satisfaciendo el criterio de Glubler

Contando el número de elementos desde el punto de vista de los eslabones, podemos escribir que

2N2 + 3N3 + 4N4 = 20 porque esto también es igual al numero de elementos

e = 2N2 + 3N3 + 4N4 = 20………ecuación(2) ahora podemos ver que tenemos tres incógnitas N2, N3, y N4, pero solo tenemos dos ecuaciones, por lo que tendríamos un número infinito de soluciones, pensándolo un poco vemos que tenemos el mínimo número de eslabones binarios sigue siendo 4 y después podría ser 5 y así seguir.

(N2)min = 4, 5, 6, …….

y siempre sería un numero positivo y no hay ninguna posibilidad de que sea un numero negativo.

Por lo que nuestras ecuaciones

N2 + N3 + N4 = 8

2N2 + 3N3 + 4N4 = 20

N2 = 4

N3 + N4 = 8 – N2 = 8 – 4 = 4

3N3 + 4N4 = 20 – 2N2 = 20 – 2(4) = 12

Esto nos da que si el valor de N4 es cero entonces N3 =4 y la primera combinación de nuestro mecanismo seria

N2 = 4 y N3 = 4 N4 = 0

Esto es tenemos un mecanismo consistente en 4 eslabones binarios, cuatro eslabones terciarios y cero eslabones cuaternarios

Pero sigamos ahora con la combinación de cinco eslabones binarios

N2 = 5 N3 + N4 = 8 – 5 = 3

3N3 + 4N4 = 20 – 2N2 = 20 – 2(5) = 10

Resolviendo estas ecuaciones tenemos

N2 = 5 N3 = 2 N4 = 1

Y nos podemos dar cuenta que haciendo inversiones cinemáticas tendremos un gran número de diferentes mecanismos.

Rango de Movimiento y Rota habilidad En esta sección estudiaremos el rango de movimiento que un eslabón puede efectuar en un particular mecanismo y que depende de las líneas de eslabonamientos, más específicamente importante es la completa rota habilidad de un eslabón en particular, y porque esto es importante, porque en este eslabón podrá ser conectado a un motor eléctrico. Y este eje del motor electrico tendrá un movimiento circular unidireccional.

O sea que el eslabón que esté conectado a este motor, tendrá que ser capaz de girar completamente y la presencia de los otros eslabones no deberán de interferir en su rotación.

Este aspecto de la completa rota habilidad y rango de movimiento de un eslabón esta más estudiada en el mecanismo de cuatro barras y en esta condición de rota habilidad la noción más importante es conocida como

EL CRITERIO DE GRASHOF

Comencemos con un mecanismo de cuatro barras que tiene cuatro pares cinemáticos de revolución.

Criterio de Grashof ( 4R – 4 eslabones )

En este mecanismo de cuatro eslabones hay cuatro dimensiones principales que serían la longitud de los eslabones y que son las distancias entre los pares cinemáticos

Digamos ahora L min. es el eslabón más corto; L max. es el eslabón mas largo,

L’ y L’’ son los eslabones restantes

El Criterio de GRASHOF

Dice:

L min. + L max. < L’ + L’’

La longitud de la suma del eslabón mas corto mas la longitud del eslabón mas largo es menor que la suma de las longitudes de los eslabones restantes.

Si la cadena satisface el Criterio de GRASHOF le podemos llamar un cadena GRASHOF

“En Cadena Cinemática GRASHOF el Eslabón más pequeño Siempre podrá dar una rotación completa con respecto a todos los demás eslabones, mientras que los otros tres eslabones solo podrán oscilar con respecto al otro y la cantidad de esta oscilación será siempre menor a 180° y el seguidor nunca podrá cruzar la línea formada por el eslabón que sea el marco (eslabón fijo).

En un eslabonamiento GRASHOF se obtendrán dos mecanismos de manivela seguidor si el eslabón más corto (que es la manivela) es el eslabón adyacente al eslabón que constituye el marco o eslabón fijo.

1.-Esto significa que el eslabón más corto tiene dos eslabones adyacentes y si hacemos alguno de estos el eslabón fijo ( el marco del mecanismo ) entonces este eslabón más corto podrá dar revoluciones completas con respecto a los demás eslabones, esto significa también con respecto al marco del mecanismo.

Por lo que los otros serán seguidores y solo podrán oscilar con respecto al marco del mecanismo.

2.-Si hacemos una inversión cinemática de una cadena Grashof obtendremos un mecanismo doble seguidor, esto es, hacemos que el eslabón más corto sea el eslabón acoplador , el acoplador se somete a una rotación completa, pero los eslabones conectados directamente al marco (eslabón fijo) solo podrán oscilar y por ello se obtienen dos seguidores.

3.- Con otra inversión Cinemática y si hacemos el eslabón más corto el eslabón fijo ( es decir lo hacemos el marco ) obtenemos un mecanismo de doble manivela por que los otros tres eslabones podrán rotar completamente respecto al eslabón más corto porque si el eslabón más corto puede dar una rotación completa con respecto a los otros tres, entonces los otros tres eslabones podrán rotar completamente con respecto al eslabón más corto; incluso el acoplador podrá rotar completamente con respecto al eslabón fijo.

Debido a lo anterior la posición del eslabón más corto definirá las características de la cadena cinemática y podremos obtener un mecanismo manivela seguidor, doble manivela ó doble seguidor.

En una cadena que nos satisfaga el criterio de GRASHOF

Será lo siguiente: CADENA CINEMATICA NO GRASHOF

L min. + L max. > L’ + L’’

Donde L min. es el eslabón más corto; L max. es el eslabón más largo, y L’ y L’’ son los eslabones restantes

En esta tipo de cadena, sin importar la inversión cinemática que se haga, todos los eslabones solo podrán oscilar con respecto algún otro.

En un mecanismo de cuatro barras NO GRASHOF:

1.- Las cuatro inversiones serán mecanismos doble seguidor.

2.- Sin embargo las oscilaciones podrán ser mayores a 180°

3.- Los seguidores podrán cruzar la línea formada por el eslabón fijo (el marco)

4.-Existe un modo de ensamble, y En una cadena que sea NO GRASHOF se podrá conducir el mecanismo a su imagen espejo.

Esto es:

En un mecanismo no Grashof, no puede existir una manivela por lo que no se podrá conectar un motor y la posición del eslabón más largo con respecto al marco (eslabón fijo) decidirá las características del movimiento de los seguidores , ambos hacia dentro, ambos hacia afuera o uno hacia adentro y el otro hacia afuera.

Anteriormente se había mencionado que existen dos tipos de problemas en Cinemática de los mecanismos, estos son de Análisis Cinemático y los de Síntesis Cinemático

En esta sección vamos a estudiar el tópico de análisis cinemático el cual lo podemos dividir en:

a).- Análisis de Desplazamiento

b).- Análisis de Velocidad

c).- Análisis de Aceleración

Y para efectuar estos diferentes análisis podremos utilizar tanto un método Analítico como también se pueden efectuar con un método Gráfico.

Comenzaremos Discutiendo el método Gráfico y empezaremos tratando el tema de Análisis de Desplazamiento.

Tratemos de definir que queremos decir con análisis de Desplazamiento.

DADAS LAS DIMENSIONES CINEMÁTICAS DE UN MECANISMO Y LA POSICIÓN O MOVIMIENTO DEL ESLABÓN DE ENTRADA, ENTONCES DEBEREMOS SER CAPACES DE DETERMINAR LA POSICION O MOVIMIENTO DE LOS ESLABONES RESTANTES.

En el método gráfico, primero dibujaremos el diagrama cinemático a una escala razonable y las cantidades o dimensiones desconocidas que se desean saber son determinadas a través de una construcción geométrica adecuada y sus cálculos.

Demostraremos este método grafico a través de una serie de ejemplos.

Pero antes de comenzar tendremos que establecer algunos puntos importantes que deberemos de recordar y tener en cuenta para llevar a cabo este método Gráfico de análisis de desplazamiento:

Primero.- La configuración del movimiento plano de un cuerpo rígido puede ser definido completamente por la localización de dos de sus puntos, cualesquiera que sean estos; esto quiere decir que conociendo la localización de dos puntos arbitrariamente (cualesquiera que sean estos) entonces conoceremos la localización de todos los demás puntos de ese cuerpo rígido.

Segundo.- Como veremos al resolver los ejemplos, Se utilizara el dibujar un par de círculos que se intersectan o una línea que se intersecta con un circulo, y estos puntos nos serán útiles para nuestro propósito de análisis cinemático.

Tercero.- Se utilizara un papel de trazado como superposición que puede ser utilizado eficientemente para el análisis de posición, especialmente para mecanismos con eslabones de orden superior.

Cuarto.- Debemos de saber que el método gráfico de desplazamiento no podremos utilizarlo a menos que existan el número adecuado de circuitos cerrados de cuatro eslabones en el mecanismo en particular.

Empecemos con el primer ejemplo, que es un mecanismo de palanca con ranura, de regreso rápido que es comúnmente utilizado en los cepillos de maquinado.

Gráficamente podemos encontrar la longitud de la carrera y también podemos saber la relación de retorno rápido del mecanismo, el cual estará determinado por el Angulo de avance en el eslabón con movimiento circular uniforme (w) con respecto al Angulo de retorno en el movimiento de ese mismo eslabón.

ANALISIS DE DESPLAZAMIENTO

Posición La posición de un punto en el plano puede definirse por medio de un vector de posición, como se muestra en la figura. La elección de ejes de referencia es arbitraria y se elige de conformidad con el observador. La figura a muestra un punto en el plano definido en un sistema global de coordenadas y la figura b muestra el mismo punto definido en un sistema local de coordenadas, con su origen coincidente con el sistema global. Un vector bidimensional tiene dos atributos, los cuales pueden expresarse en coordenadas polares o cartesianas.

La forma polar proporciona la magnitud y el ángulo del vector. La forma cartesiana proporciona las componentes X y Y del vector. Cada forma es directamente convertible en la otra mediante el teorema de Pitágoras:

푅 = 푅푥 + 푅푦 Y trigonometría:

휃 = 푇푎푛 (푅푦푅푥)

Estas ecuaciones están expresadas en coordenadas globales, pero podrían estar expresadas en coordenadas locales. Transformación de coordenadas Con frecuencia se requiere transformar las coordenadas de un punto definido en un sistema en coordenadas de otro punto. Si los orígenes de los sistemas coinciden como se muestra en la figura b y la transformación requerida es una rotación, se puede expresar en función de las coordenadas originales y el ángulo d entre los sistemas de coordenadas. Si la posición del punto A en la figura b se expresa en el sistema local xy como Rx, Ry y se desea transformar sus coordenadas a RX, RY en el sistema global XY, las ecuaciones son:

푅푋 = 푅푥퐶표푠훿 − 푅푦푆푒푛훿

푅푌 = 푅푥푆푒푛훿 + 푅푦푐표푠훿

Teoremas Teorema de Euler: El desplazamiento general de un cuerpo rígido con un punto fijo es rotación alrededor del mismo eje. Esto se aplica a rotación pura Chasles (1793-1880) proporcionó un corolario al teorema de Euler ahora conocido como: Teorema de Chasles: Cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido equivale a la suma de una traslación de cualquier punto situado en él más una rotación alrededor de un eje que pasa por ese punto. Esto describe el movimiento complejo ANÁLISIS GRÁFICO DE LA POSICIÓN DE MECANISMOS ARTICULADOS Para cualquier mecanismo con un GDL, tal como uno de cuatro barras, se requiere sólo un parámetro para definir por completo las posiciones de todos los eslabones. El parámetro usualmente elegido es el ángulo de eslabón de entrada. Éste se muestra como θ2 en la figura. Se quieren hallar θ3 y θ4, y se conocen las longitudes de los eslabones. Observe que en estos ejemplos siempre se numera el eslabón de bancada como 1 y el motriz como 2. El análisis gráfico de este problema es trivial y puede realizarse sólo con geometría de alta escuela. Si se dibuja el mecanismo de manera cuidadosa a escala, con una regla, compás y transportador en una posición particular (dado θ2), entonces sólo es necesario medir los ángulos de los eslabones 3 y 4 con el transportador. Obsérvese que todos los ángulos de los eslabones se miden con respecto a un eje X positivo. En la fi gura 4-4, se creó una sistema de ejes xy local, paralelo al sistema XY global, en el punto A para medir θ3. La precisión de esta solución gráfica se verá limitada por el cuidado y habilidad para dibujar y por las limitaciones del transportador. No obstante, se puede hallar una solución aproximada muy rápida para cualquier posición.

Esta figura muestra la construcción de la solución gráfica de posición. Se dan las cuatro longitudes de los eslabones a, b, c, d y el ángulo θ2 del eslabón de entrada. Primero, se dibuja la bancada (1) y el eslabón de entrada (2) a una escala conveniente, de modo que se corten en el origen O2 del sistema de coordenadas XY global con el eslabón 2 colocado en el ángulo de entrada θ2. Por conveniencia, el eslabón 1 se dibuja a lo largo del eje X. El compás se abre a la longitud a escala del eslabón 3 y se traza un arco de ese radio en torno al extremo del eslabón 2 (punto A). Luego se abre el compás a la longitud a escala del eslabón 4 y se traza un segundo arco en torno al extremo del eslabón 1 (punto O4). Estos dos arcos tendrán dos intersecciones en B y B′ que definen las dos soluciones al problema de posición de un mecanismo de cuatro barras, el cual puede ensamblarse en dos configuraciones llamadas circuitos, designados como abierto y cruzado en la figura. Los circuitos en mecanismos serán analizados en una sección posterior. Los ángulos de los eslabones 3 y 4 se miden con un transportador. Un circuito tiene los ángulos θ3 y θ4, el otro θ3' y θ4'. Una solución gráfica sólo es válida para el valor particular del ángulo de entrada utilizado. Para cada análisis de posición adicional habrá que volver a dibujar por completo.

Esto puede llegar a ser tedioso si se requiere un análisis completo con cada incremento de 1 o 2 grados de θ2. En ese caso convendrá derivar una solución analítica para θ3 y θ4, la cual puede resolverse por computadora. ANÁLISIS ALGEBRAICO DE POSICIÓN DE MECANISMOS El mismo procedimiento utilizado en la fi gura 4-5 para resolver geométricamente las intersecciones B y B′ y los ángulos de los eslabones 3 y 4 puede codificarse en un algoritmo algebraico. Las coordenadas del punto A se encuentran con:

퐴푥 = 푎퐶표푠휃2

퐴푦 = 푎푆푒푛휃2 Las coordenadas del punto B se encuentran con las ecuaciones de los círculos en torno a A y O4.

퐵 = (퐵푥 − 퐴푥) + (퐵푦 − 퐴푦) …………..(i)

퐶 = (퐵푥 − 푑) + 퐵푦 …………..(ii) las cuales constituyen un par de ecuaciones simultáneas en Bx y By. Si se resta la ecuación (ii) de la (i) se obtiene una expresión para Bx.

퐵푥 = ( ) − ( )( ) = 푆 − ( )

( ) …………(iii)

Note que:

푆 =푎 − 푏 + 푐 − 푑

2(퐴푥 − 푑) Si se sustituye la ecuación (iii) en la (ii), se obtiene una ecuación cuadrática en By, la cual tiene dos soluciones correspondientes a las de la figura inmediata anterior.

퐵푦 + (푆− 퐴푦퐵푦퐴푥−푑 −푑) − 퐶 = 0

Ésta se resuelve con la expresión conocida para las raíces de una expresión cuadrática.

퐵푦 =−푄 ± 푄 − 4푃푅

2푃 Donde:

푃 = ( ) + 1 ; 푄 = ( )

푅 = (푑 − 푆) − 퐶 ; 푆 = ( )

Observe que las soluciones de esta ecuación pueden ser reales o imaginarias. Si resultan imaginarias, ello indica que los eslabones no se pueden conectar con el ángulo de entrada dado o con todos los demás. Una vez que se encuentran los dos valores de By (si son reales), pueden sustituirse en la ecuación (iii) para encontrar su componentes x correspondientes. Los ángulos de los eslabones para esta posición se determinan entonces con

휃 = 푇푎푛 (퐵푦 − 퐴푦퐵푥 − 퐴푥

)

휃 = 푇푎푛 (퐵푦

퐵푥 − 푑)

Se debe utilizar una función de arco tangente de dos argumentos para resolver las ecuaciones puesto que los ángulos pueden estar en cualquier cuadrante. Estas ecuaciones antes mostradas se pueden codificar en cualquier lenguaje de computadora o solucionador de ecuaciones y el valor de q2 puede variar dentro del rango utilizable del mecanismo para encontrar todos los valores correspondientes de los otros dos ángulos de eslabón. Método de Lazos cerrados para el análisis de posición Analítico

En esta sección se discutirá el Método Analítico para el análisis de desplazamiento llamado de cadenas cerradas o método de lazos cerrados.

¿Cuándo utilizar el método Gráfico y cuando utilizar el método analítico?

Es evidente que el método grafico tiene limitaciones de precisión principalmente aunque con las nuevas herramientas computarizadas como el AutoCad , el SolidWorks, el NX Unigrafics y el Catia se tiene una precisión muy buena; por lo que utilizaremos el método analítico cuando se requiera mayor exactitud ó cuando por el número muy grande de configuraciones, el uso de los diagramas y dibujos se haga demasiado incómodo; y otra ventaja de este método analítico, es que es compatible con métodos por computadora.

Antes de entrar de lleno del método analítico del análisis de desplazamiento y resolver algunos ejemplos, mostrando los alcances del método analítico, vayamos a través de la metodología que es seguida en el método analítico.

Como todos conocemos, los mecanismos consisten en cadenas cinemáticas cerradas de eslabones (Loops); Así que, lo primero en realizar es identificar todos

estos circuitos cinemáticos cerrados independientes, que existen en el mecanismo.

Después se expresaran todas las dimensiones cinemáticas como longitud de eslabones, offsets y desplazamientos en correderas como vectores en el plano.

El tercer paso es expresar para cada encadenamiento cerrado lo que llamamos ecuación cerrada en términos de los vectores antes mencionados.

Cada uno de esos vectores en el plano ( 2D ) que es una vinculación planar, y es equivalente a dos ecuaciones escalares; esto significa, que si hay una ecuación vectorial, que es equivalente a dos ecuaciones escalares y dos cantidades desconocidas se pueden resolver.

Una vez que se han generado todas las ecuaciones utilizando todos los encadenamientos cerrados y también una ves que sea hayan resuelto estas ecuaciones para determinar las cantidades desconocidas que son relevantes para el problema en particular, uno tiene que recordar que en general, estas ecuaciones no son ecuaciones lineales algebraicas y podrán ser resueltas numéricamente, sin embargo en algunos casos simples como los mecanismos de cuatro barras y si hay un encadenamiento cerrado, podremos mostrar que estas ecuaciones algebraicas no lineales, se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas que podrán ser resueltas analíticamente.

Metodología Básica

1- Identificar todos los circuitos cinemáticos cerrados independientes que existen en el mecanismo.

2- Expresar las dimensiones cinemáticas ( como longitud de eslabones y offsets) y desplazamiento en correderas por vectores planáres.

3- Expresar para cada encadenamiento cerrado las ecuaciones con estos vectores

4- Establecer las ecuaciones vectoriales para determinar cada uno de los encadenamientos cerrados

5- Cada una de estas ecuaciones vectoriales serán equivalentes a dos ecuaciones escalares con sus dos cantidades desconocidas

6- Reducir el sistema de ecuaciones algebraicas no lineales a ecuaciones cuadráticas y resolverlas.

Ejemplo 1 Dadas las dimensiones de los eslabones de un mecanismo de 4 barras 4R, determine las orientaciones del eslabón acoplador y del eslabón de salida (Seguidor), cuando la orientación del eslabón de entrada (manivela) es prescrita.

Este es un problema de Análisis de desplazamiento.

Se darán primero todas las dimensiones cinemáticas relevantes y también la posición del eslabón de entrada (Manivela) y la tarea es determinar la posición de todos los otros eslabones móviles para la configuración en particular.

El siguiente diagrama muestra un mecanismo de cuatro barras (4R) O2ABO4,

La posición del eslabón 2 esta determinada por el ángulo θ2 y nuestro objetivo es determinar la posición del eslabón acoplador y del cuarto eslabón (que es el eslabón O4B que es el eslabón seguidor).

Para hacer esto primero tenemos que establecer un sistema de ejes cartesianos “x-y” con su origen en el punto O2; la primera tarea, como se mencionó, es identificar el encadenamiento cerrado nombrado O2ABO4O2, entonces las longitudes L1,L2, L3, L4 son representadas por cuatro vectores llamados L1, L2, L3, L4, y estos están representados por las flechas en la figura

L1 L2 L3 L4

Ahora los ángulos que forman estos vectores con nuestro eje X, que utilizamos como sistema de referencia para determinar la orientación de estos vectores, que

serían θ2, θ3 y θ4 ; el ángulo θ1 que es el ángulo formado por O2O4 que es el vector L1 con el eje X es = 0°

Podemos expresar esta ecuación de encadenamiento cerrado simplemente como:

L1 + L2 + L3 - L4 = 0

Para analizar esta ecuación, escribiremos el vector L2 en términos de notación exponencial compleja

퐿2 = 퐿2 ∗ 푒 퐿3 = 퐿3 ∗ 푒 퐿4 = 퐿4 ∗ 푒

Como θ1 es Cero entonces 퐿1 = 퐿1 ∗ 푒 lo que quedaría 퐿1 = 퐿1 ∗ 1

Así que sustituyendo en la ecuación nos quedara:

퐿1 + 퐿2 ∗ 푒 +퐿3 ∗ 푒 -퐿4 ∗ 푒 = 0

Sabemos que 푒 es igual a 퐶표푠θ+ 푖Senθ

푒 = 퐶표푠θ+ 푖Senθ

Entonces sustituiremos todos estos 푒 en términos de 퐶표푠θ+ 푖Senθ Igualando a CERO las partes real e imaginaria de esta ecuación compleja, pero de forma por separado.

Esto no es más que igualar las componentes X a CERO y las componentes Y a CERO puesto que es un encadenamiento cinemático cerrado.

Y como resultado, nosotros obtenemos

퐿1 + 퐿2푐표푠휃2 + 퐿3푐표푠휃3 − 퐿4푐표푠휃4 = 0………(I) Añadiendo la parte imaginaria o sea los componentes Seno, obtendremos:

퐿2푠푒푛휃2 + 퐿3푠푒푛휃3 − 퐿4푠푒푛휃4 = 0…………(II) Esto es, estamos obteniendo dos ecuaciones dimensionales por cada vector; estamos obteniendo dos ecuaciones escalares por cada vector, o sea que estamos obteniendo dos ecuaciones escalares por cada ecuación vectorial.

UNA DE LAS ECUACIONES QUE IGUALAMOS A CERO ES LA SUMA DE LAS “X” QUE SON LA PARTE REAL DEL VECTOR Y LA OTRA ECUACION ES LA SUMA DE LAS “Y” QUE SON LA PARTE IMAGINARIA Y AMBAS SON IGUAL A CERO POR SER UN CIRCUITO CERRADO.

Si los vectores son dos dimensiones, de estas dos ecuaciones podemos eliminar

uno de los datos desconocidos; Digamos, 휃4 para resolver 휃3 o podemos

eliminar 휃3 para resolver 휃4, si 퐿1, 퐿2, 퐿3 푦 퐿4 son cantidades dadas

y el ángulo del eslabón de entrada 휃2, es especificado.

Llevemos a cabo las operaciones algebraicas para determinar; digamos, 휃4

Para determinar 휃4 nosotros escribimos

퐿3푠푒푛휃3 = 퐿4푠푒푛휃4 − 퐿2푠푒푛휃2 …………..(III) Y de la primera ecuación escribimos

퐿3푐표푠휃3 = 퐿4푐표푠휃4 − (퐿1 + 퐿2푐표푠휃2) ……….(IV)

De estas dos ecuaciones;

Si nosotros elevamos al cuadrado y sumamos; obviamente del lado izquierdo

obtenemos 퐿3 al cuadrado

퐿3 = 퐿4 + 퐿1 + 퐿2 − 2(퐿2퐿4)푆푒푛휃4푆푒푛휃2− 2(퐿2퐶표푠휃4)(퐿1 + 퐿2퐶표푠휃2) − 2(퐿1퐿2퐶표푠휃2)

Llevando a cabo las operaciones algebraicas

퐿3 = 퐿1 + 퐿2 + 퐿4 + 2퐿1퐿2퐶표푠휃2− 2퐿2퐿4푆푒푛휃4푆푒푛휃2− 2(퐿1 + 퐿2퐶표푠휃2)퐶표푠휃4퐿4

Si dividimos ambos términos de la ecuación por 2(퐿 2퐿4) Obtendremos una ecuación simple:

푎푆푒푛휃4 + 푏퐶표푠휃4 = 푐……………(V)

Donde “a” y “b” estand dados por:

푎 = 푆푒푛휃2 ; 푏 =퐿1퐿2

+ 퐶표푠휃2

퐶 =퐿 + 퐿 − 퐿 + 퐿

(2퐿 퐿 ) +퐿퐿퐶푂푆휃

Como se puede ver , Si 휃2 es una dimensión conocida y todas las demás dimensiones son dadas, estas cantidades “a”, “b” , y “c” son totalmente conocidas y la única desconocida es 휃4 que tendrá que resolverse; pero como podemos ver esta no es una ecuación lineal en lo que a 휃4 se refiere, ya que involucra funciones Seno y Coseno.

Para resolver este ángulo 휃4 de una forma no ambigua porque ya que tendremos que juzgar después de saber el valor del ángulo, en que cuadrante recae el ángulo, siempre es mejor remplazar Seno y Coseno por Tangente de los correspondientes medios ángulos, lo que significa que escribiremos:

푆푒푛휃4 =2푇푎푛( )

1 + 푇푎푛 휃4

퐶표푠휃4 =1 − 푇푎푛

1 + 푇푎푛

Sustituyendo esto en la ecuación (V)

Obtenemos una ecuación cuadrática en Tan( ) como sigue:

(푏 + 푐)푇푎푛휃42

− 2푎Tan휃42

+ (푐 − 푏) = 0

Finalmente obtuvimos una ecuación cuadrática en términos de Tan donde

a, b, y c, son cantidades conocidas en términos de las longitudes de los eslabones

y del ángulo de entrada dado 휃2 y aquí es donde la tangente de (휃42 ) nos es útil,

por que obtuvimos una ecuación cuadrática y dos raíces

Tan휃42

=푎 ± √푎 + 푏 − 푐

푏 + 푐

o sea que obtenemos 2 raíces donde el lado derecho de la ecuación podrá ser negativo o positivo y por supuesto no podrá ser un valor imaginario una ves que el diagrama del mecanismo este bien; esto es, que el mecanismo de cuatro barras y cuatro pares cinemáticos de revolución se haya hecho y una cadena cinemática cerrada se haya obtenido.

Los valores de a, b, c van a ser aquellos en los que esta raíz cuadrada nunca será negativa , por lo que se obtendrá o dos valores negativos, o dos valores positivos , o un valor positivo y el otro negativo.

Ahora sabemos que si 휃4 esta entre 0 y 180° entonces Tan esta entre 0 y

90° y la tangente será positiva y si 휃4 es mayor a 180° entonces Tan caería en más de 90° por lo que la tangente de 휃4 será negativa, así dependiendo del valor de la tangente del ángulo podremos determinar en forma única el valor del ángulo 휃4

Supongamos que también estamos interesados en determinar el ángulo 휃3 del eslabón que llamamos ACOPLADOR, que en nuestro mecanismo de la figura esta determinado por la longitud L3

Si nos fijamos en las ecuaciones (III) y (IV) vemos que L3 y L4 aparecen de la misma manera pero en diferente lado; L3 está apareciendo en el lado Izquierdo y L4 aparece en el lado derecho.

Es mucho más claro si observamos las ecuaciones (I) y (II) donde L3 y L4 aparecen exactamente en forma similar, lo único es que una es Positiva la otra negativa; así que, cuando eliminamos 휃4 y deseamos obtener 휃3 siguiendo el

mismo procedimiento podemos eliminar 휃4 y obtenemos 휃3

Tenemos que recordar que L4 ha sido sustituido por (-L3), El resto de la solución se mantiene como es.

Así que siguiendo exactamente el mismo método para eliminar 휃4, podemos

obtener 휃3 , una ecuación muy similar que se obtendrá:

Tan휃32

=푎 ± √푎 + 푏 − 푐′

푏 + 푐′

Observece que el valor de “a” y de “b” no involucran L3 ni L4 por lo que permanecerán igual; sin embargo c si involucra L3 y L4, por lo que se tendrá que remplazar “c” por “c´”

En el caso de “c” se substituira por el valor “ c’ ” y su valor estará dado por:

퐶′ =퐿 + 퐿 − 퐿 + 퐿

(2퐿 퐿 ) +퐿퐿퐶푂푆휃

Como se puede observar en esta solución por el método grafico los angulos θ3 y θ4 tendrán dos valores confirmando los dos valores de la solución analítica.

Análisis de Posición - Ejemplo 2

Analicemos el siguiente Mecanismo, que es un mecanismo de pantógrafo, nos va a reproducir el movimiento del punto B en el punto D con diferente escala y diferente dirección.

Podemos ver que:

O2 A = BC AB = O2 C

Y que los dos triángulos ABD es similar al triangulo BCE porque sus ángulos interiores son iguales.

Los movimientos del punto D serán copiados por el punto E; los únicos cambios solamente serán el tamaño y la orientación de la figura.

Nuestra tarea será :

Dado la longitud de los eslabones, deberemos encontrar la escala de la

reproducion 퐖퐖

= ? y cuál es el ángulo de la nueva orientación.d

Podemos escribir:

푋 = 푂 퐴 + 퐴퐷 Similarmente 푌 = 푂 퐶 + 퐶퐸

Podemos ver que el vector 푂 퐴 = 퐴퐵 porque se trata de un paralelogramo

Y podremos escribir

푌 = 퐴퐵 + 퐶퐵푒 ∝

푌 = 퐴퐷푒 ∝ + 퐶퐵푒 ∝

Como son Triangulos similares es fácil ver que la reación

퐴퐵퐴퐷 =

퐶퐸퐵퐶

Por lo que consecuentemente

푌 = 푒 (퐴퐷 + 푂 퐴)

Y (퐴퐷 + 푂 퐴) no es más que nuestro vector X

푌 =퐴퐵퐴퐷 푒 (푋)

Vemos entonces que el vector Y y el Vector X cambian con respecto al tiempo, pero las longitudes AB y AD no cambian con respecto al tiempo; como también el angulo α no cambia con respecto al tiempo

Por lo que

퐴퐵퐴퐷 푒 = 퐶푡푒.

푑푌 = 푒 (푑푋)

Donde dY representa el movimiento del Vector Y y dX representa el movimiento del vector X

El movimiento va a ser magnificado por el Factor = que es la

escala de reproducción y el cambio de orientación que es d=α

Análisis de Velocidad En la parte anterior de estos apuntes se discutió sobre el primer paso del análisis cinemático, con el nombre de análisis de posición; Ahora, estudiaremos el segundo paso para el análisis cinemático, el cual nombraremos como análisis de Velocidad.

Por análisis de velocidad queremos decir que para un mecanismo dado, con una determinada configuración, si se han especificado la velocidad de entrada de alguno de sus eslabones, deberemos de ser capaces de determinar las características de velocidad de sus demás eslabones o componentes del mismo mecanismo.

Esto es, por análisis de Velocidad determinaremos las características de Velocidad (Angular o Lineal), de todos los eslabones de un mecanismo, con una configuración dada, cuando la velocidad de entrada se haya especificada.

Y estamos hablando de Análisis de Velocidad de cuerpos rígidos interconectados en movimiento plano.

Pero antes de entrar de lleno en el análisis de Velocidad de cuerpos rígidos interconectados, recapitulemos un poco sobre los conceptos básicos de la cinemática y movimiento de un solo cuerpo rígido que está en movimiento plano.

En movimiento Plano el movimiento angular de un cuerpo rígido es igual que el movimiento de una línea en ese cuerpo rígido durante ese plano de movimiento.

Los vectores de la velocidad angular (ω) y de la aceleración angular (α) del cuerpo rígido, son siempre perpendiculares al plano de movimiento.

Porque en los cuerpos rígidos en movimiento plano, todas las cantidades angulares van a ser representadas por vectores los cuales son perpendiculares a ese plano de movimiento.

También tenemos que recordar que un movimiento plano (en general), consiste en la traslación del cuerpo rígido más la rotación del mismo cuerpo rígido.

En un mecanismo, un eslabón particular, podría ir en movimiento rotacional puro y otro podría moverse en movimiento de traslación puro; pero podría haber otros que mantuvieran un movimiento rotacional y traslacional simultáneamente.

Para definir Movimiento de traslación podremos decir que si un cuerpo tiene traslación pura, todas sus partículas o puntos que conforman ese cuerpo rígido tendrán movimiento idéntico (Paralelo).

La diferencia entre el movimiento de dos partículas o dos puntos es enteramente debida a su rotación.

Entonces traslación significa movimiento idéntico de los puntos de un cuerpo y diferencia en el movimiento de varios puntos significa movimiento rotacional.

Explicando estos puntos con la figura anterior, se tiene un cuerpo rígido en la

posición No.1 a un tiempo t , después de un intervalo de tiempo ∆t en la posición

No. 2 , tendremos t + ∆t, consideremos dos puntos en ese cuerpo rígido los cuales son B y C los cuales serán en la configuración 1 serán B1 y C1 y en la configuración 2, serán B1 y C2.

El plano de movimiento es el plano X y Y es movimiento esta representado por el plano de la hoja de papel ; X y Y es el plano de movimiento, así que todas las cantidades angulares como la velocidad angular y la aceleración angular de este cuerpo rígido serán entonces perpendiculares al plano de movimiento X, Y. y será denotado por el Eje Z. con el vector unitario “K”.

Como se dijo anteriormente el movimiento angular del cuerpo rígido será igual al movimiento de una línea en este cuerpo rígido; Ejemplo, la línea B1 C1 y lo que

vemos es que la línea B1 C1 llegara a la posición B2 C2 , es decir el cuerpo rígido se trasladara y rotara a la posición B2 C2.

Si dibujamos la línea BC, esta se trasladaría a B2 C’ y después rotaria a B2 C2

después de t + ∆t Así que podemos considerar este movimiento general en dos diferentes movimientos, uno de traslación, donde todos los puntos del cuerpo rígido tienen movimiento idéntico (de posición 1 a posición 1’) y un segundo movimiento que es un movimiento rotacional , donde el cuerpo rígido se mueve de 1’ a 2 donde B2 no se mueve y las demás partículas del cuerpo rígido se mueven en rotación la

cantidad ∆θ. Así que el vector de velocidad angular del cuerpo rígido estará definido como

휔 = lim∆ →

∆휃∆푡

Y la dirección del vector será a lo largo de la dirección del eje Z y se podrá escribir como e Vector “K”

Asi que la velocidad angular será 휃̇ que es la derivada de 휃 con respecto al tiempo

휃̇ =푑휃푑푡

En la dirección de “K”

Similarmente la aceleración angular puede ser descrita como α que es la

segunda derivada de 휃 con respecto al tiempo

훼 = 휃̈퐾 Así es que queremos decir que este es el movimiento del cuerpo rígido con el

vector de velocidad angular 휔 y el vector de aceleración 훼 , ambos perpendiculares al plano de movimiento X Y.

Ahora como ya vimos, durante el movimiento de traslación no hay diferencia en el movimiento de varios puntos del cuerpo rígido como los puntos B y C bajo un movimiento de traslación pura , la diferencia del movimiento entre B y C, es debida enteramente al movimiento de rotación por el vector de velocidad angular

El valor positivo del vector “K” denota un movimiento en contra de las manecillas del reloj.

La diferencia de velocidad entre los puntos B y C la podemos escribir como la diferencia de velocidades

푉⃑ − 푉⃑ = 푉 ⃑ = 휔⃑ ∗ 퐵퐶⃑

Esta es una formula básica que se estará utilizando constantemente en los análisis de velocidad, esto es , si consideramos dos puntos de un mismo cuerpo rígido, la diferencia de velocidad entre esos dos puntos debida a una velocidad

angular 휔 estará dada por esta ecuación 휔⃑ ∗ 퐵퐶⃑ Ahora consideremos la diferencia de aceleración entre los puntos B y C, como ya lo notaron , con respecto a el punto B ……….C tiene una trayectoria circular y como la distancia BC nunca cambia C ira en un circulo teniendo como centro a B y

su velocidad angular será 휔⃑ y su aceleración angular será ∝⃑

Por lo que podremos escribir

푎 ⃑ − 푎 ⃑ = 푎 ⃑ = 휔⃑ ∗ (휔⃑ ∗ 퐵퐶⃑) aCB es la diferencia de las aceleraciones entre el punto B y el punto C del mismo cuerpo rígido. Y esta será igual a aceleración centrípeta

y si , Existe una aceleración centrípeta dada por 휔⃑ ∗ (휔⃑ ∗ 퐵퐶⃑)

Hay una componente tangencial la cual va a lo largo del vector t1 y esta dada por

훼⃑ ∗ 퐵퐶⃑ = 휔 퐶퐵⃑ + 훼⃑ ∗ 퐵퐶⃑ Así que obtuvimos la diferencia entre dos puntos

푉⃑ − 푉⃑ = 푉 ⃑ = 휔⃑ ∗ 퐵퐶⃑

En este momento debemos saber que si conocemos la velocidad de cualquier

punto , llamémosle velocidad de B 푉⃑ que es un vector de dos componentes y

el vector 휔⃑ que es la velocidad del cuerpo rígido,

Entonces podemos determinar la velocidad de cualquier otro punto del cuerpo rígido (nombremos le C) utilizando estas ecuaciones.

푉⃑ = 푉⃑ + 휔⃑ ∗ 퐵퐶⃑

Se debe considerar que solo puede haber tres datos desconocidos

independientes, los cuales son los de las dos componentes del vector 푉⃑ y el de

휔⃑ , entonces las velocidades de todos los demás puntos del mismo cuerpo rígido podrán ser determinadas por esta ecuación,

Similarmente si conocemos la aceleración de un punto particular 푎 que tiene dos

componentes desconocidas y su velocidad angular 휔⃑ , y también la aceleración

angular 훼⃑ Entonces la aceleración de cualquier punto C podrá ser determinada utilizando las ecuaciones

푎 ⃑ = 푎 ⃑ + 휔⃑ ∗ (휔⃑ ∗ 퐵퐶⃑)

Esta información es muy útil para el análisis de velocidad y aceleración de los mecanismos.

Centros instantáneos de Velocidad (CI) Para un cuerpo rígido con movimiento Plano, existe un punto en el cuerpo rígido y en el plano de movimiento que su velocidad instantánea es CERO.

Y este punto es llamado Centro instantáneo de velocidad ó (CI)

Se debe mencionar que este centro instantáneo de velocidad, puede quedar ubicado fuera de las fronteras de la forma física del cuerpo rígido en cuestión, pero siempre estará en el plano de movimiento del cuerpo rígido.

Si el cuerpo rígido está sometido solamente a movimiento puro de traslación, entonces no habrá puntos con VELOCIDAD CERO; en ese caso podremos decir

que el centro instantáneo de velocidad se encuentra a una distancia Infinita (∞) en dirección perpendicular a la dirección del movimiento de traslación, igual como en un par cinemático prismático, consideraremos un par de revolución a una

distancia infinita (∞), en dirección perpendicular a la corredera.

Mostremos que ese punto, llamado Centro instantáneo de Velocidad existe; para probar la existencia del centro instantáneo de Velocidad, para un cuerpo rígido en movimiento plano, consideremos la siguiente figura.

Consideramos dos puntos A y B ; y cuyas velocidades están dadas por VA y VB

Ya hemos visto anteriormente que si la velocidad lineal VA y la velocidad angular

휔⃑ son conocidas, entonces VB esta completamente determinada. Eso significa que ambas velocidades AV y VB teniendo sus cuatro Componentes no pueden ser independientes.

Ahora, dibujaremos una línea perpendicular al Vector VA (que seria AI) y también otra línea perpendicular al Vector VB (que seria BI) y estas dos líneas particuares se intersectan en el Punto I.

Mostraremos entonces que la velocidad del punto I del cuerpo rígido con esta configuración debe ser CERO.

Y a este punto se le llama Centro instantáneo de Velocidad

Para mostrar que VI = 0 , consideremos la componente de la velocidad VA sobre la dirección AB la cual es y la componente de la velocidad VB en la dirección AB

será igual a 푉 푐표푠Ф Como la distancia AB nunca cambia (por ser un cuerpo rígido) esto significa que las velocidades de estas dos componentes sobre la línea AB, deben de ser iguales; esto es, la componente de la velocidad 푉 sobre la línea AB, debe ser igual a la componente de la velocidad 푉 sobre la misma línea AB, porque la distancia AB nunca cambia.

Por lo que podemos escribir

푉 푐표푠휃 = 푉 푐표푠Ф

Ahora, si consideramos el Triángulo Δ ABI y porque AI es perpendicular a 푉 y

BI es perpendicular a 푉 , podemos ver que dos de sus ángulos interiores serán igual a

− 휃 y a −Ф

Y considerando el Triángulo AIB, podemos utilizar la ley de los senos podemos escribir

= ; Ф

=

퐼퐴퐶표푠Ф =

퐼퐵퐶표푠 θ

De la ecuación inicial

푉 푐표푠휃 = 푉 푐표푠Ф Obtenemos:

푉퐶표푠Ф =

푉퐶표푠 θ

y de la geometría podemos escribir

퐼퐴퐶표푠Ф =

퐼퐵퐶표푠 θ

Y a partir de ello, podemos fácilmente escribir

푉퐼퐴 =

푉퐼퐵 = 휔

Y a esta relación le podemos llamar ”ω” que es la velocidad angular del cuerpo

rígido y por lo tanto 푉 = 퐼퐴 ∗ 휔 y 푉 = 퐼퐵 ∗ 휔

y los vectores 푉 y 푉 por construcción son perpendiculares a IA y IB

respectivamente; lo cual significa, que el punto I es el centro de rotación.

En este instante el cuerpo rígido está girando sobre ese punto “I” con velocidad

angular “ω”.

De hecho, se puede probar que la velocidad del punto “I” es Cero, considerando

la Velocidad del punto “I” en dos diferentes direcciones, llamadas estas

direcciones como IA y IB; para encontrar la velocidad del punto I a lo largo de IA, analizaremos desde el punto A, y la velocidad del punto A a lo largo de VA , será igual a la componente de VA a lo largo de IA, esta componente de velocidad del punto A a lo largo de la línea IA es CERO porque el ángulo formado entre el vector de velocidad 푉 y la línea AI es de 90° y la componente será igual al vector

multiplicado por el coseno de ese ángulo; como I y A son puntos del mismo cuerpo rígido; entonces , la velocidad del punto I a lo largo de IA también es CERO.

Y haciendo el mismo análisis, pero ahora desde el punto B, en la dirección de la línea IB nos podemos dar cuenta que la velocidad del punto I a lo largo de la dirección IB , también será CERO.

Entonces estamos viendo que la velocidad del punto I, que es un vector que tendría dos componentes y que es Cero a lo largo de dos direcciones, esto nos

indica que la velocidad del Punto I (푉 ) es CERO.

Y es por eso que al punto “I”, lo llamaremos centro instantáneo de Velocidad.

Ahora que hemos explicado el concepto de Centro instantáneo de velocidad, tratemos de extenderlo a dos cuerpos con movimiento plano.

Previamente mencionamos que en un cuerpo en movimiento plano teníamos un centro instantáneo de velocidad, ahora consideremos a dos cuerpos en movimiento plano y llamémosles 2 y 3.

Entonces podemos definir un centro instantáneo relativo, que llamaremos 퐼 , como un punto en el cuerpo 3, que tiene velocidad relativa CERO, (que es la misma velocidad absoluta) con respecto a un punto que coincide en el eslabón 2.

Con esto, llegaremos a la siguiente definición:

Centro Instantáneo Relativo:

Si dos cuerpos rígidos, llámense 2 y 3, están en movimiento relativo, entonces

podemos definir un centro instantáneo relativo de velocidad 퐼 como un punto en el cuerpo 3 que tiene velocidad relativa igual a CERO (Ejem. La misma velocidad absoluta) con respecto a un punto coincidente en el cuerpo rígido 2.

De esa definición es muy claro que

퐼 = 퐼 A la luz de este centro relativo instantáneo, podemos redefinir que el centro instantáneo absoluto (que ya habíamos discutido anteriormente), es el centro relativo de velocidad con respecto al eslabón fijo 1.

Como ya sabemos, en un mecanismo habrá un número de eslabones rígidos, que son cuerpos rígidos interconectados en movimiento plano y habrá un eslabón rígido fijo que siempre será el llamado numero 1

En cualquier mecanismo de N eslabones, nosotros se tendrán un número de centros instantáneos relativos y los centros instantáneos relativos con respecto al

enlace fijo (1), no son más que el centro instantáneo de velocidad absoluta; sobre el cual, en ese instante ese cuerpo en particular, está rotando.

Así que si tenemos un mecanismo con “N” número eslabones, entonces de acuerdo con esta clase de definición de centros instantáneos relativos, tomando dos eslabones a la ves ¿Cuántas combinaciones diferentes podemos hacer.

Para un mecanismo de “N” Eslabones, hay un total de:

푁 = 푁(푁 − 1)/2 Cetros Instantáneos Relativos

Así que se tendrán tantos centros de velocidad relativos.

Observando las interconexiones de varios eslabones rígidos de un mecanismo veamos ahora como podemos determinar los centros instantáneos de velocidad relativos; como se sabe, en un mecanismo plano, los cuerpos rígidos estarán conectados ya sea por pares cinemáticos de revolución, por pares prismáticos o por alguna clase de par cinemático de orden superior.

Si dos cuerpos están conectados por un par cinemático de revolución, entonces los centros instantáneos relativos de velocidad entre esos dos cuerpos están obviamente en ese par cinemático de revolución, porque como el mecanismo se mueve, el centro de ese par cinemático de revolución se moverá conjuntamente con los dos cuerpos simultáneamente y no habrá velocidad relativa entre esos dos puntos coincidentes de los dos cuerpos rígidos.

El centro de ese par cinemático será el centro relativo de velocidad

Si dos cuerpos rígidos están conectados por un par cinemático prismático, entonces el centro instantáneo relativo de velocidad estará a una distancia

infinita (∞) en dirección perpendicular al eje de movimiento es par prismático, porque si los dos cuerpos están conectados por un par prismático, entonces sabemos que el movimiento relativo es traslación pura, en ese caso el centro instantáneo relativo de velocidad quedara a una distancia infinita en la dirección perpendicular a la trayectoria de la

corredera, podemos recordar que un par prismático no es mas que un par de revolución a una distancia infinita en la dirección perpendicular a línea de movimiento del par prismático.

Supongamos que tenemos un par de orden superior con una constante cinemática que un cuerpo que rueda sobre otro sin deslizamiento, esto significa que no es un par superior normal, es un par superior donde el punto de contacto no desliza, así que bajo esta condición de no deslizamiento, sabemos que la velocidad de los dos puntos de contacto pertenecientes a dos diferentes cuerpos debe ser la misma, es la condición de no deslizamiento, consecuentemente el punto contacto por si miso es el centro instantáneo relativo de velocidad entre esos dos cuerpos los cuales están conectados por ese par superior sin deslizamiento.

Pero para pares superiores de la forma general (con deslizamiento), donde el deslizamiento si ocurre, esto es:

Si un cuerpo, simultáneamente rueda y se desliza sobre otro (lo que constituye un par superior normal) entonces el centro instantáneo relativo de velocidad quedara en algún punto de la línea normal común, al punto de contacto.

No podemos determinar el punto exacto donde en esta línea normal, el centro de instantáneo relativo quedara, por lo que se requerirá alguna otra información para determinarlo, pero sabemos que deberá ubicarse en esa línea normal.

Existe un muy importante teorema:

El Teorema ARNOLD – KENNEDY

de los tres centros.

Este teorema nos será muy útil para determinar todos los centros instantáneos relativos junto con la información que acabamos de estudiar, esto es que en un par de revolución el centro instantáneo estará en el centro de este par de revolución, que en un par prismático el centro instantáneo estará a una distancia infinita sobre a línea perpendicular a la trayectoria de ese par prismático y que en un par superior sin deslizamiento estará en el punto de contacto de ese par superior y a su ves , si en el par de orden superior si hay deslizamiento, el centro instantáneo se encontrara a lo largo de la línea normal común en el punto de contacto de los dos eslabones en ese par superior.

Con esa información más la aplicación del teorema Arnold – Kennedy, deberemos poder determinar todos los centros instantáneos relativos de velocidad de un mecanismo plano formado asta por seis eslabones.

El teorema de los tres centros Arnold-Kennedy se explica de la siguiente manera:

Si tres cuerpos rígidos en movimiento relativo, tendremos tres centros instantáneos relativos de velocidad por que como la lo hemos visto

푁 = 푁(푁 − 1)/2

푁 =3(3 − 1)

2 = 3

El teorema de tres centros de Aronhold Kennedy dice que estos tres centros instantáneos relativos deberán caer en una línea; esto es, deberán ser colineales,

Deberemos probar que esta aseveración es cierta y lo vamos a hacer por medio de contradicción; esto es, vamos a asumir que los centros instantáneos no son colineales y mostraremos que eso es imposible, lo que significara que tienen que ser colineales para que pueda existir el centro instantáneo relativo de velocidad.

Para probar el teorema de los tres centros de Arnold-Kennedy consideraremos tres cuerpos rígidos , llámense 1, 2 y 3.

Tenemos tres cuerpos rígidos llamados 1 , 2 y 3 , los cuales están en movimiento relativo plano, debido a que están en movimiento relativo no se perderá ninguna generalidad si se considera uno de los eslabones como fijo; entonces asumiremos que el eslabón 1 esta fijo, lo cual estará indicado por las líneas de sombreado.

Digamos que el punto 퐼 es el centro instantáneo relativo de velocidad entre el

cuerpo rígido 1 y el cuerpo rígido 2; similarmente, el punto 퐼 es el centro instantáneo relativo de velocidad entre el cuerpo 1 y 3, todo esto significa que en ese instante, el cuerpo 2 está en rotación pura con respecto al cuerpo 1 y el cuerpo 3, también está en rotación pura con respecto al cuerpo 1.

Supongamos entonces que el teorema de tres centros de Arnold-Kennedy está

mal, y que el centro instantáneo 퐼 no se ubica en la línea que une a los centros

퐼 y 퐼 y que esta en la ubicación 퐼

Y si ese punto fuera el centro instantáneo relativo de velocidad entre los cuerpos 2 y 3 entonces deberán tener en ambos cuerpos rígidos la misma velocidad los puntos coincidentes de ese centro instantáneo, porque esa es la definición de centro instantáneo relativo.

Esto es si el centro es considerado un punto en el cuerpo 2 entonces deberá tener ese punto la misma velocidad que si ese punto se considerara un punto que forma parte del cuerpo 3.

Como se puede observar que por ser un movimiento de rotación pura la trayectoria del movimiento en cada cuerpo tiene una dirección diferente y por lo tanto es imposible que puedan tener una misma velocidad lineal y que la única posibilidad que existe para que pudiera tener ese punto la misma velocidad como

punto coincidente en ambos cuerpos es que cayera en la línea que une los puntos

퐼 y 퐼 ; esto es , que fuera colineal a ellos.

Por lo que el teorema de los tres centros de Aron – Kennedy queda demostrado.

Hagamos un paréntesis………………… Para demostrar que la expresión

푉 = 푟 ∗ 휔 ; es verdadera

Y observemos la siguiente figura: y demostremos primero que 푆 = 푟 ∗ 휃

Haciendo una relación proporcional ∡∡

= = =

Esto es:

= Como 훽 = 1 푟푎푑푖푎푛

휃 = ; por lo que 푆 = 푟 ∗ 휃

Nota: el ángulo 휃 esta expresado en radianes.

Analizando la velocidad lineal

푉 =푑푠푑푡 =

푑(푟 ∗ 휃)푑푡 = 푟 ∗

푑휃푑푡 = 푟 ∗ 휔

Para proseguir viendo el tema de centros relativos instantáneos de velocidad y ver como pueden ser útiles dentro del análisis de velocidad de un mecanismo con movimiento plano, pongamos un ejemplo del mecanismo más simple, que es el mecanismo de cuatro barras, que para nosotros ya es bien conocido.

Utilizando las definiciones de centros instantáneos de velocidad que mencionamos anteriormente, vamos a ubicar primero los cuatro centros relativos instantáneos de velocidad que se encuentran en cada uno de los pares de revolución y después de ello, utilizando el teorema de Arnold Kennedy ubicaremos los otros dos faltantes, puesto que según ese teorema, habiendo tres cuerpos rígidos en movimiento plano habrá tres centros instantáneos y deberán ser colineales entre ellos para estos puedan tener velocidad CERO con respecto a los eslabones que los forman.

Esto es Si tomamos los tres cuerpos rígidos 1, 2, 3 ; entonces tendremos los centros instantáneos 1-2 , 2-3 y 1-3 los cuales deberán ser colineales por lo que el centro instantáneo deberá estar sobre la línea que une los centros 1-2 y 2-3

Ahora consideremos los cuerpos rígidos 1, 3, 4 ; consecuentemente tendremos los centros instantáneos 1-3, 1-4, 3-4; los cuales tienen que ser colineales; como ya hemos determinado la ubicación de 1-4 y de 3-4 el centro instantáneo faltante 1-3 deberá estar sobre la línea que une a los dos centros instantáneos anteriores ( el 1-4, y el 3-4 ).

De esta manera, teniendo estas dos líneas que hemos descrito, podemos ubicar el centro instantáneo 1-3 en la intersección de la extensión de estas dos líneas. (O2-A y O4-B).

Siguiendo el mismo procedimiento, localizaremos el ultimo centro instantáneo, el 2-4; para ello consideraremos los cuerpos rígidos 1, 2, 4. Por lo que tendremos los tres centros instantáneos de velocidad 1-2, 1-4, y 2-4; que deberán ser colineales,

esto nos indica que el centro relativo instantáneo de velocidad 2-4 estará ubicado sobre la línea que une los otros dos centros instantáneos (1-2 y 1-4).

Y finalmente considerando los cuerpos rígidos 2, 3, y 4, se tendrán los tres centros instantáneos 2-3, 2-4, y 3-4 ; como ya hemos ubicado los centros instantáneos que están en los pares de revolución 2-3 y 3-4 , el tercero, que es el 2-4 deberá estar en una posición colineal a estos dos , o sea sobre la línea que une a los dos centros instantáneos A-B y su posición será definida por la intersección de las extensiones de las dos líneas A-B y O2-O4.

Una vez determinados todos los centros relativos instantáneos de velocidad, podremos llevar a cabo el análisis de velocidad.

Y para llevarlo a cabo sigamos con la misma figura

Siendo 휔 la velocidad del eslabón 2 como dato conocido, la tarea será calcular

las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4, esto es 휔 y 휔 ; para ello,

sabemos que 푉 = 휔 ∗푂 퐴⃑ , por lo que podemos calcular la velocidad lineal del punto A.

El punto A es el mismo que el punto del centro instantáneo de velocidad (2-3) que será el mismo para el eslabón 2 que para el eslabón 3.

Luego entonces la velocidad lineal 푉 va a ser la misma para el eslabón 2 que para el eslabón 3, y por ello también podemos decir que:

푉 =휔3 ∗ 3,1 퐴⃑

Pudiendo calcular fácilmente la velocidad tangencial del eslabón 3 con la siguiente ecuación

휔 ∗푂 퐴⃑ = 휔 ∗ (3,1)퐴⃑

Teniendo esta velocidad lineal, podremos entonces calcular la velocidad angular

del eslabón 3, la cual es 휔 con respecto a su centro instantáneo (1,3).

Para determinar la velocidad del eslabón de salida 휔 que es la velocidad angular del eslabón 4 (línea 푂 퐵), consideraremos el Punto (2,4) que ya lo tenemos localizado, Ahora (2,4) es un punto cuya velocidad será la misma que si lo consideráramos como un punto del eslabón 2 o lo consideráramos un punto del eslabón 4.

Si lo consideramos como un punto del eslabón 2 que esta rotando con respecto al

punto 푂 , así que la velocidad de este punto (2,4) será:

푉( , ) = 휔 ∗ 푂 (2,4)⃑

Ahora consideremos el mismo punto (2,4) como un punto del eslabón 4 y nosotros deberemos obtener la misma velocidad lineal en ese mismo punto, pero ahora con respecto a la velocidad angular del eslabón 4 que está girando con respecto al

punto 푂 y podremos escribir la misma ecuación, pero con estos datos:

푉( , ) = 휔 ∗ 푂 (2,4)⃑

Igualando ambas ecuaciones, podremos despejar 휔 , que es el dato por conocer

휔 ∗ 푂 (2,4)⃑ = 휔 ∗ 푂 (2,4)⃑ De esta manera podremos conocer las velocidades angulares de todos los eslabones del mecanismo; así como también, las velocidades lineales de cualquier punto de alguno de eslabones.

Por ejemplo, ya sabiendo la velocidad angular 휔 ; si quisiéramos saber cuál es la velocidad lineal del punto P solo tendríamos que formular la siguiente ecuación:

푉 = 휔 ∗ (3,1)푃⃑ Y esta velocidad lineal del punto P seria perpendicular al radio de rotación (3,1)P , en ese instante con esa configuración.

Ahora veamos un mecanismo un poco más complicado; un mecanismo de seis eslabones

Nuestra primera tarea, será el localizar todos los centros instantáneos de velocidad y para ello tendremos primero que saber cuántos existen en esta

configuración, en el preciso instante que muestra la figura; utilizando nuestra formula de centros instantáneos:

푁 = 푁(푁 − 1)/2

푁 =6(6 − 1)

2 = 15

Después de saber que son 15 los centros instantáneos de velocidad procederemos a enumerarlos de la siguiente manera,

Después escribiremos en su posición dentro de la figura, los que podemos conocer por simple inspección

Habiendo encontrado los centros instantáneos de velocidad que podemos encontrar por simple inspección, los restantes solo los podemos ubicar invocando

el teorema de Arnold Kennedy de los 3 centros; y para ello, utilizaremos el circulo de centros instantáneos para hacerlo de forma ordenada y no correr el riesgo de equivocarnos, ya que al haber demasiados números esto puede ser muy confuso.

Utilizaremos un circulo donde pondremos todos los eslabones espaciados entre si por longitudes de arco iguales.

Y vamos a trazar líneas entre ellos; cada una de esas líneas representa un centro relativo de velocidad instantánea.

Como se puede observar, estas líneas forman triángulos, donde sus aristas son los números de los eslabones.

En cada triangulo representa las tercias de centros instantáneos que deberán estar alineados; esto es, Ejemplo:

En el triángulo formado por los eslabones 1, 2 y 3; tenemos los centros instantáneos (1,2), (2,3) y (1,3) que son los lados del triángulo, esto querrá decir que estos tres centros instantáneos deberán estar alineados; o sea, ser colineales.

Y así, subsecuentemente con todos los demás triángulos que se forman con las líneas que unen los números de todos los eslabones.

Habiendo encontrado todos los centros instantáneos de velocidad procederemos a calcular la velocidad lineal del eslabón 6 que no es más que el eslabón deslizante en el par prismático del eslabón 6 con el eslabón 1, que es la velocidad del punto

“C”. esto es: 푉

Teniendo como dato la velocidad angular 휔 Consideremos el centro instantáneo (2,6) que por definición tomándolo como punto del eslabón 2 ó como punto del eslabón 6 deberá tener la misma velocidad, por lo que la velocidad del centro instantáneo (2,6) será:

푉( , ) = 휔 ∗ 푂 (2,6)⃑

Y su movimiento será horizontal por ser perpendicular a la línea O2(2,6) y será con dirección en contra de las manecillas del reloj.

Ahora viendo el punto (2,6) como parte del eslabón 6 tendrá que tener la misma velocidad que el eslabón 6; y como el eslabón 6 tiene solo movimiento de traslación por ser una corredera entonces

푉( , ) = 푉

Entonces obtuvimos directamente la velocidad lineal del eslabón 6

Este método de centros instantáneos nos podrá ser útil en mecanismos que tengan hasta 6 eslabones.