CINEMATICA

Capítulo 3

Introducción

• La cinemática corresponde al estudio de la geometría del movimiento.

• Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo.

• No hace referencia a la causa del movimiento.

Movimiento rectilíneo

• Se determina la posición, la velocidad y aceleración de la partícula (no considera la rotación alrededor de su propio centro de masa) en todo instante conforme ésta se mueve a lo largo de una línea recta.

• Método gráfico.• Dos casos de estudio:

– Movimiento uniforme– Movimiento uniformemente acelerado

• Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una partícula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partícula.

• velocidad promedio =

• velocidad instantánea =

• rapidez =

• aceleración promedio =

• aceleración instantánea =

dx

dvv

dt

xd

dt

dva

2

2

Ejercicio 1• La posición de una partícula que se mueve a lo

largo de una línea recta está definida por la relación: x(t)= t3-6t2-15t+40

• Donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine:– A) el tiempo al cual la velocidad será cero.– B) la posición y la distancia recorrida por la partícula

en ese tiempo.– C) la aceleración en ese tiempo.– D) la distancia recorrida desde los 4 seg hasta los 6

seg.

Determinación del movimiento de una partícula:

• El movimiento de una partícula es conocido si se sabe la posición de la partícula para todo valor del tiempo t.

• En la práctica se determinará por el tipo de aceleración que tenga la partícula, considerando tres clases comunes de movimiento:

1. Función del tiempo:

• La aceleración es una función dada de t

t

dttfvv

dttfdv

dttfdv

adtdv

00

)(

)(

)(

2. Función de la distancia:

• La aceleración se da en función de x

)(xfa

x

x

dxxfvv

dxxfvdv

dxxfvdv

adxvdv

0

)(2

1

2

1

)(

)(

2

0

2

3. Función de la velocidad:

• La aceleración es una función dada de v

( )a f v

( ) ( )

( ) ( )

dv dvf v f v v

dt dxdv vdv

dt dxf v f v

Ejercicio 2• Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida

verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la aceleración de la pelota es constante e igual a 9,81 m/s2 hacia abajo, determinar:

• A) la velocidad v y la elevación y de la pelota sobre el suelo en cualquier tiempo.

• B) la elevación más alta que alcanza la pelota y el valor correspondiente de t

• C) el tiempo en el que la pelota golpea al suelo y la velocidad correspondiente

• D) dibuje las curvas v-t y y-t

Ejercicio 3• El mecanismo de freno que se usa para reducir el retroceso

en ciertos tipos de cañones consiste esencialmente en un émbolo unido a un cañón que se mueve en un cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el cañón retrocede con una velocidad inicial v0 , el émbolo se mueve y el aceite es forzado a través de los orificios en el émbolo, provocando que este último y el cañón se desaceleren a una razón proporcional a su velocidad; esto es a=-kv.

• A) exprese v en términos de t• B) exprese x en términos de t• C) exprese v en términos de x• D) realice los diagramas

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

• Es un tipo de movimiento en línea recta• La aceleración = 0 para todo valor de t• La velocidad es constante

vtxx

dtvdx

vdt

dx

x

x

t

0

00

vtxx 0

constante

MOVTO. RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

• La aceleración a de la partícula es constante

0 0

0

v t

v

dva

dt

dv a dt

v v at

0v v at constante

0

dxv at

dt

0

0

0

20 0

( )

1

2

x t

x

dx v at dt

x x v t at

dvv adxvdv adx

0

2 20 02 ( )

o

v x

v x

vdv a dx

v v a x x

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS

• Se mueven en la misma línea recta• Describen ecuaciones de movimiento

independientes• El tiempo inicial debe ser común para todas

las partículas• Los desplazamientos se miden desde el origen

común y en la misma dirección

MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS

OA B

XA

XB

XB/A

x

XB/A : define la coordenada de posición relativa de B con respecto a A

XB/A = XB – XA XB = XA + XB/A

VB/A = VB – VA VB = VA + VB/A

AB/A = AB – AA AB = AA + AB/A

MOVIMIENTO DEPENDIENTES

• La posición de una partícula dependerá de la posición de una o varias partículas

A

B

XA

XB XA + 2XB = Cte

• Sistema es de 1 GDL• Para ecuaciones lineales, se obtiene:

02

02

02

2

BA

BA

BA

BA

AA

VVdt

X

dt

dX

CteXX

Problema 4

• Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 12 m en el pozo de un elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. en el mismo instante un elevador de plataforma abierta pasa por el nivel 5 m, moviéndose hacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s. determinar:

a) Cuándo y dónde golpea al elevador.b) La velocidad relativa de la pelota con respecto al

elevador cuando ésta lo golpea.

MOVIMIENTO CURVILINEO DE PARTICULAS

• Vector de Posición, Velocidad y Aceleración• El vector r se llama vector de posición• r es el cambio de dirección

• La velocidad promedio es :

• La velocidad instantánea es : dt

drv

r

vt

dt

dsv

• La magnitud del vector v es la rapidez

P

P’

r

r’

r s

v

Para la aceleración

dv

adt

• La aceleración instantánea es

P

P’

V

V’

v

Componentes rectangulares de la velocidad y aceleración

• Expresando r en componentes rectangulares

kzjyixdt

dva

kzjyixdt

drv

zkyjxir

r

v

i

j

k

Reemplazando en las ecuaciones del movimiento:

tvzzgttvyytvxx

vzvgtvyvvxv

zyx

ozzoyyoxx

00

2

0000)(

2

1)()(

)()()(

00 zagyaxazyx

0)(xv

0)(yv

0v

y

Caso del movimiento del proyectil

Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslación

• Cuando el sistema usado no es fijo (no está vinculado a la tierra)

• Si existe movimiento relativo, se habla de sistemas de referencia en movimiento.

rA

A

B

rBrB/A

ABAB

ABAB

ABAB

ABAB

aaa

vvv

rrr

rrr

/

/

/

/

Ejercicio

• En la cubierta de un barco (considerado como sistema fijo), se dispara una bala de un cañón a 250 m/s, con un ángulo de inclinación de 47° con respecto a la horizontal. Despreciar la resistencia del viento, calcular:– A) altura máxima c/r a la cubierta– B) tiempo que se demora la bala para dicha altura– C) distancia máxima que recorre la bala en forma

horizontal cuando ésta toca el agua, y la altura de la punta del barco es de 5m c/r al nivel del agua.

Componentes TANGENCIAL Y NORMAL

• La velocidad es tangente a la trayectoria d la partícula.

• En general, la aceleración no es tangente a la trayectoria

• Por lo tanto, es conveniente transformar el vector aceleración en componentes dirigidas; esto es, la tangencial y normal a la partícula.

Para el caso plano

P

P’

et

et’

et

en

Vectores unitarios tangencial y normal:

et y en

d

dee t

n

v = vet

eva e

ee

a e e

tt

tn

2

t n

dd dv= = +vdt dt dt

d v=

dt

dv v= +dt

Aceleración normal

Aceleración tangencial

an

at

tvev

Componentes radial y transversal

• Movimiento plano• La posición P de la partícula se define por sus

coordenadas polares r y • Para este caso, es conveniente descomponer la

velocidad y aceleración en componentes paralela y perpendicular a la línea OP

e

er

r=rerθ

• Al utilizar la regla de la cadena (para la función implícita del ángulo) y derivar en función del tiempo t, se tiene:

θr

rrr

rθθr

θrr

rrrdt

d

θθ

eev

eeev

eeee

Partícula en el espacio:• Se define por coordenadas cilíndricas R, , z• Se utilizan los vectores unitarios

keev

a

keer

v

ker

zRRRRdt

d

zRRdt

d

zR

R

R

R

22

r

ReR

zk

eR

ek