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7/25/2019 cinemat.doc

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Cinemtica

1. Introduccin2. Marco referencial3. Marco terico conceptual4. Metodologas5. Comprobacin y demostracin de iptesis!. Conclusiones y recomendaciones". #ropuesta$. %ne&os'. (ibliografa

I)*+,-CCI,)La fsica, la ms fundamental de las ciencias fsicas, tiene como objetos

de estudio los principios bsicos del universo.Es el cimiento sobre el cual se basan las otras ciencias astronmicas, biologa, qumica y geologa . La belle!a de la fsica subyace enla simplicidad de las teoras fsicas bsicas y en la forma en la que solo unpeque"o numero de conceptos esenciales, ecuaciones y suposiciones puedenalterar y e#pandir la visin del mundo en derredor.$oda la fsica puede dividirse en cinco reas principales%&. 'ecnica clsica, la cual concierne al movimiento simple de los objetos que

son grandes en comparacin con tomos y se mueven con rapide! muc(omejor que la de la lu!.

). *elatividad, que es una teora que describe a los objetos que se mueven encualquier rapide!, incluso con rapide! que se acerca a la de la lu!.

+. $ermodinmica, la cual trata del calo, trabajo, temperatura y del

comportamiento estadstico de un gran numero de partculas.. Electromagnetismo, relacionado con la electricidad, magnetismo y campos

electromagn-ticos.. 'ecnica quntica, una coleccin de teoras relacionadas con el

comportamiento de la materia a niveles tanto micro como microscpicos.El presente $rabajo /nvestigativo trata el capitulo de la mecnica clsica,

la que a veces se refiere como mecnica newtoniana o simplemente mecnica.Este es un lugar apropiado para comen!ar el estudio y tratamiento de la

fsica a su mas amplio estilo y mediante el uso de todas las (erramientas ymodelos matemticos a la disposicin0 puesto que muc(os de los principiosbsicos usados para comprender los sistemas mecnicos pueden ser usadosposteriormente para describir fenmenos naturales como las ondas y la

transferencia de energa. 1dems, las leyes de conservacin de la energa y el momentumintroducidos en mecnica retienen su importancia en las teoras fundamentalesde otras reas de la fsica.

En la actualidad, la mecnica clsica es de vital importancia para losestudiantes de todas las disciplinas. Es enormemente e#itosa al describir losmovimientos de diferentes cuerpos como planetas, co(etes y pelotas de b-isbol.

1l desarrollar la presente tesis se describirn las leyes de la mecnicaclsica, y se e#aminara una amplia gama de fenmenos que puedencomprenderse con estas ideas fundamentales.

2ara ello, como un primer paso en el estudio de la mecnica, esconveniente describir el movimiento en t-rminos del espacio y el tiempo, sintomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Esta parte de lamecnica recibe el nombre de cinemtica.


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En este trabajo de investigacin se considera el movimiento a lo largo deuna lnea recta, es decir, el movimiento unidimensional. /ndica con el conceptode despla!amiento anali!ado durante el bac(illerato, y se definen primerovelocidad y aceleracin.

3espu-s, con estos conceptos se estudia el movimiento de objetos que

viajaban en una dimensin bajo una aceleracin constante.1 partir de la e#periencia cotidiana nos damos cuenta que el movimiento

representa el cambio continuo en la posicin de un objeto. La fsica estudia trestipos de movimiento% traslacional, rotacional y vibratorio.

4n auto que se mueve por una autopista e#perimenta un movimientotraslacional, el giro diario de la $ierra sobre su eje es un ejemplo de movimientorotacional, y el movimiento (acia adelante y (acia atrs de un p-ndulo es unejemplo de movimiento vibratorio.

En esta investigacin se estudiar solo el movimiento traslacionalrectilneo. En muc(as situaciones podemos tratar al objeto en movimiento comouna partcula, lo que en matemticas se define como un punto sin tama"o.


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C%#I*/, 11. M%+C, +00+0)CI%/

1.1. *ema5EL E6$43/7, 181L/6/6 9 *E67L4:/78 3E E;E*:/:/76 67 de la ciudad de 1mbato, que seencuentra ubicado en la ciudadela Las 1cacias, la calle las Limas, en el cual serespeta las leyes y reglamentos de Educacin vigentes0 as como tambi-n, sepersigue que el estudiante cono!ca a :risto y los valores morales, religiosos ysociales del :atolicismo.

1ctualmente, el avance informtico, la simulacin, de la mano de lasestructuras algortmicas y modelos matemticos que permiten e#plicar losfenmenos que ocurren en la naturale!a a nuestro alrededor, (an variado y

mejorado las e#pectativas del investigador, permiti-ndole emitir criterios mejorfundados y con menor margen de error.1.2.2. 6nesis del #roblema

El principio del problema esta basado en que toda la vida estudiantil seenmarca en el modelo de educacin tradicionalista en todas las materias, y ennuestro caso particular en la materia de fsica, los contenidos en gran parte sonmeramente tericos, la mayora de los temas que nos facilitan no guardanrelacin con la vida diaria, ni con su futura aplicacin universitaria0encerrndonos en un mbito instrumentalista que no induce a la creacin delra!onamiento formal, reduciendo a su ms mnima y repetitiva e#presin a lainvestigacin del estudiante.1.2.3. 0stado %ctual del #roblema.

El problema esta en estado latente a trav-s de los conocimientos previosadquiridos en el bac(illerato a quedado claro el esquema de la discusin de lacinemtica de la partcula, pero es importante llegar ms all a trav?s de unainvestigacin participativa, de la observacin crtica y de un profundo estudiobibliogrfica.

En muc(os casos como estudiantes no conocemos la aplicacin del clculodiferencial en la fsica, conformndonos con reali!ar simples resolucin deejercicios con la cual definimos el valor de una magnitud incgnita.

@ran parte de los estudiantes no sabemos para que sirve o en que se aplicaestos conocimientos para la resolucin de problemas en el movimientounidimensional

$odo este marco terico y prctico deja abierto en terreno fecundo para lainvestigacin.

1.3. 7ustificacin del *ema:onocer mas a fondo todas y cada una de las aplicaciones del clculo

diferencial e integral, grficas, aplicaciones e interpretaciones geom-tricasrespecto al movimiento unidimensional de la partcula para tener una idea clarade los fenmenos que ocurren a diario en nuestro entorno.

El desarrollo del tema nos permitir en futuro inmediato cubrir con elmnimo de conocimientos necesarios para un ptimo desempe"o en los estudiossuperiores.

1.4. ,b8eti9os.1.4.1. ,b8eti9o eneral.

*eali!ar un anlisis profundo dentro de cinemtica en lo que refiereal movimiento a lo largo en una lnea recta, es decir, el movimiento

unidimensional.


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2rofundi!ar el anlisis del movimiento traslacional tratando al objetocomo una partcula, para conocer%

6u movimiento, trayectoria, velocidad y aceleracin. *eali!ar graficas posicin tiempo, velocidad tiempo,

aceleracin tiempo 1plicar correctamente las ecuaciones para los movimientos con

aceleracin lineal constante. 3istinguir desde el punto de vista cinemtica el '.*.4.0 '.*.4.A. *esolver problemas de '.*.4. y '.*.4.A. a nivel vectorial

utili!ando conceptos de clculo diferencial, clculo integral,geometra plana y analtica, trigonometra, etc.B.

1.4.2. ,b8eti9os especficos1.4.2.1 /nvestigar, la bibliografa e#istente respecto al tema en busca deun estudio y anlisis de la misma conectar los conocimientos previosadquiridos con la estructura de la fsica en su amplia concepcin la cualobliga un conocimiento matemtico de nivel intermedio.1.4.2.2. 1nali!ar, plantear y resolver ejercicios referentes al tema(aciendo uso de los elementos adquiridos a trav-s de la presenteinvestigacin.

C%#:*/, 22. M%+C, *0;+IC, C,)C0#*%/

2.1 Mo9imientoLa mecnica trata las relaciones entre fuer!a, materia y movimiento0 nos

disponemos a anali!ar los m-todos matemticos que describen el movimiento.Esta parte de la mecnica recibe el nombre de cinemtica.Las siguientes son consideraciones que fundamentan dic(o estudio%

El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posicin. En el movimiento real de un cuerpo e#tenso, los distintos puntos del

mismo se mueven siguiendo trayectorias diferentes, peroconsideraremos en principio una descripcin del movimiento en funcinde un punto simple CpartculaD.

$al modelo es adecuado siempre y cuando no e#ista rotacin nicomplicaciones similares, o cuando el cuerpo es suficientementepeque"o como para poder ser considerado como un punto respecto alsistema de referencia.

El movimiento ms sencillo que puede describirse es el de un punto enlnea recta, la cual (aremos coincidir con un eje de coordenadas.

2.2 -esplaamiento< 9elocidad y aceleracin2ara comprender como se mueven los objetos cuando actan en ellos fuer!as y

momentos de rotacin e#ternos no equilibrados, es importante configurar e#actas

imgenes fsicas y matemticas del despla!amiento, la velocidad y la aceleracin,comprender las relaciones entre estas tres cantidades.En el proceso se imaginar un sistema que comprende tres ejes coordenados

mutuamente perpendiculares y un peque"o cuerpo en movimiento, que en el curso deltiempo, describe alguna clase de trayectoria en el espacio de coordenadas.

El principio, no se tendr inter-s en las fuer!as que provoca este movimiento, ni enla relacin entre estas causas fsicas y la trayectoria resultante.

En ve! de ello, se supondr que se conoce una ecuacin de movimiento que puederesolverse para dar informacin e#plcita en todo momento acerca de la posicin, lavelocidad y la aceleracin de la partcula.

6lo se considerarn los aspectos geomtricos del movimiento, cuyo estudio sellama cinemtica.

/nicialmente se supone que, de alguna manera, la partcula objeto del estudio estlimitada a moverse slo a lo largo del eje #.


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Entonces se puede describir su posicin en cualquier instante tpor medio de ladistancia &entre el origen y la partcula, como (ay un valor bien definido de & asociado acada valor tdel tiempo, & es una funcin de t.

2or lo anterior ser posible representar grficamente el despla!amiento & enfuncin del tiempo y obtener una grfica como la de la figura C).&D

3espla!amiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en funcin deltiempo. La cantidad x/trepresenta la velocidad media en el intervalo de tiempo Ft,mientras que el lmite de esta cantidad cuando ttiende a cero, que es la derivada dx/dt,representa la velocidad instantnea en el tiempo t.

La velocidad media xv durante un intervalo de tiempo t pude obtenersedeterminado la distancia x que recorre la partcula en ese intervalo, y observando que

=2.2.1>

3e la figura ).& es claro que xv es la tangente del ngulo G, por lo que representa

tambi-n la pendiente de la secante 2H que une los dos puntos de la curva quecorresponde al tiempo t y al despla!amiento # I x .

1(ora podr definirse la velocidad instantnea v# asociada a un instante t y el

despla!amiento correspondiente #, como el lmite de xv cuando el intervalo de tiempot tiende a cero. 2ero esto es precisamente la definicin de la derivada de x con

respecto a t0 entonces,

dt

dx

t

xV tX =

= 0lim C).).)D

La velocidad instantnea puede considerarse como la pendiente de la tangente en #a la curva de la figura ).&.

Es claro que conforme ty xtienden a cero en el lmite, la pendiente de la secante#?se apro#ima a la pendiente de la tangente a la curva en 2.

2or la ecuacin C).).)D, se puede considerar que la velocidad instantnea A# es la

rapide! de variacin del despla!amiento.

t

x

tiempode

entodesplazamiVx

==..int

. x

Q

(x + x, t + t)

x

P(x, t)

t 0 t t

t + t


6/98

t

v

tiempode

velocidaddecambioa xx

==..int

..

Jcilmente se demuestra que si la velocidad instantnea es constante, entonces lavelocidad media un intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantnea.

6i la velocidad instantnea no fuese constante, entonces la velocidad depender delintervalo tiempo escogido y, en general, no ser igual a la velocidad instantnea al principio oal final del intervalo.

$ambi-n se puede (ablar de la aceleracin media K #durante cierto intervalo,como el cambio en la velocidad instantnea xV que e#perimenta la partcula durante

aqu-l, dividido entre la duracin del mismo,.. t 0 entonces,

=2.2.3>

:omo antes, la aceleracin instantnea a#asociada al tiempo t se considera como ellmite de a# conforme el intervalo t tiende a cero, es decir, como la derivada de v # conrespecto a t, o bien en vista de C).&.)D, como la segunda derivada de # con respecto a t%

=2.2.4>

En consecuencia, se puede decir que la aceleracin instantnea es la rapide! devariacin de la velocidad instantnea.

6i se graficara la velocidad v#como funcin del tiempo Cy no del despla!amientoD,se encontrara que la pendiente dv#dt en cualquier punto sera igual a la aceleracininstantnea en el tiempo correspondiente.

4tili!ando C).).)D y C).).D es posible e#presar la aceleracin a# en formaligeramente distinta, lo que a menudo es muy til.

Escribiendo dvdt M Cdv#d#D Cd#dtD, que equivale a multiplicar dv#dt por d#d# Cesdecir, por la unidadD, se obtiene%

=2.2.5>6e ver que esta relacin sirve para encontrar el despla!amiento en t-rminos de

la velocidad, o viceversa.),*% 1

3e aqu en adelante se usarn poco la velocidad media o la aceleracin media,y a menos que se especifique lo contrario, los t-rminos velocidad o aceleracin sereferirn a los valores instantneos de estas cantidades.

+@IC% -0/ M,AIMI0)*, -0 )% #%+*:C/% 0) 0/ 0B#%CI,

2

2

0 dt

xd

dt

dv

t

vlma xxt

x ===

dx

dvv

dt

dx

dx

dv

dt

dva xx

xxx ===

z

Q(t + t)

(x + x, y + y,

z, + z)

r z

r + r

P y

(tiempo t) x

(x, y, z)

r

zy


7/98

3espla!amiento de un punto que se mueve a lo largo de una trayectoria arbitraria en elespacio coordenado tridimensional. El vector FrFt es la velocidad media durante elintervalo t , en tanto que la derivada drdt. CHue se obtiene en el limite cuando tNO, representa el vector velocidad instantnea al tiempo tD CJigura ).)D 6i no se confina el movimiento de la partcula al eje # aquella describir una cierta

curva o trayectoria en el espacio, como se muestra en la figura).). En el tiempo t, lapartcula estar en algn punto 2 cuyas coordenadas espaciales son C#, y, !D0 y en estemomento se pede describir su despla!amiento con respecto al origen mediante un vectorde posicin r, cuyas componentes segn los ejes coordenados son #, y e !,respectivamente. Entonces el vector de posicin ren el tiempo tes

=2.2.!>En un tiempo posterior t I t , la partcula se (abr movido a lo largo de su trayectoria(asta un punto H de coordenadas C # I #, y I y, ! I !D. El vector de posicinr I r asociado a H es%

r I r MC# I #Di ICy I yDj IC! I !DP =2.2.">

En forma anloga a C).&.&D la velocidad media puede e#plicarse como el vectortrv = / .

2or tanto%

=2.2.$>

1(ora se define la velocidad instantnea v como un vector que e#pr-sale valor lmite dev conforme t tiende a cero, por lo que%

+

+

=

=

t

zlmi

t

vlmi

t

xlmi

t

rlmv

rz

ry

rx

t 0000 o sea que,

=2.2.'>

La velocidad instantnea es, entonces, un vector cuyas componentes #, y y ! son%

=2.2.1>

La direccin de este vector es la direccin lmite del vector r cuando t O0 esdecir, conforme H se mueve a lo largo de la curva (acia 2. 3e la figura &.) es evidenteque en este lmite la direccin r es la de la tangente a la trayectoria en 2.

En consecuencia, la direccin de v tambi-n es la direccin de la tangente a latrayectoria en 2.

3esde luego, la e#presin%222

zyx VVVV ++= es el mdulo de la velocidad=2.2.11>

kt

zj

t

yi

t

x

t

rrr

t

rV

+

+

=

+=

=)(

zyx idt

dzi

dt

dyi

dt

dx

dt

dxV

+

+

==

dt

dzv

dt

dy

v

dt

dxv

z

y

x

=

=

=

kzjyixr ++=


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1(ora se puede utili!ar precisamente el mismo m-todo paraestudiar la aceleracin. El vector velocidad A en el tiempo t es%

kvjvivV zyx ++= =2.2.12>

En que C).&.&OD de v#Qvyy v!Q en tanto que en el tiempo tI t, la velocidad serR%

kvvjvvivvvV zzyyxx )()()( +++++=+

=2.2.13>

/a aceleracin media a en el inter9alo t es v t2or lo que%

a D

=2.2.14>

La aceleracin instantnea en el tiempo t se obtiene evaluado laaceleracin media en el lmite cuando t O. :omo en C&.&SD, las relaciones v# t, vy t, etc., se convierten en derivadas en este lmite, y el resultado final es%

=2.2.15>

La aceleracin instantnea a es un vector cuyas componentes son%

=2.2.1!>

La direccin del vector aceleracin es la del vector d9 que representa elcambio de la velocidad en un intervalo de tiempo infinitesimal. 8o es el necesario queeste vector tenga la misma direccin que el vector velocidad 9, y en realidad,generalmente no la tiene.

:omo siempre, la magnitud del vector aceleracin est dada por%

=2.2.1">

:omo antes, usando el mismo ra!onamiento algebraico, es posibledemostrar que las componentes de la aceleracin se pueden escribir en la formaalternativa

k

t

vj

t

vi

t

v

t

vvv

t

v zyx

+

+

=

+=

)(

kdt

dvj

dt

dvi

dt

dv

dt

dva z

yx

+

+

==

2

2

2

2

2

2

dt

zd

dt

dva

dt

yd

dt

dva

dt

xd

dt

dva

zz

y

y

xx

==

==

==

222zyx aaaa ++=


9/98

=

=

=

dz

dvva

dy

dvva

dx

dvva

zzz

y

yy

xxx

=2.2.1$>

1l resolver problemas reales en la dinmica de estados fsicos, se podrndeterminar los valores de las componentes de la aceleracin a#Q ay y a!Q a partir de lasleyes del movimiento e#presadas como un sistema de ecuaciones de movimiento.Entonces ser posible obtener las componentes de la velocidad por integracin, ya quede C).).&TD

donde vC tD denota la velocidad en cualquier tempo t. 6i se conoce la forma funcionale#plcita de vCtD, y se dan los lmites, es posible evaluar la integral.

ig. 2.11 Aelocidad 9ersus tiempo para una partcula en mo9imiento a lo largo dele8e &. 0l rea del rectngulo sombreado es igual al desplaamiento K& en elinter9alo de tiempo Ktn< mientras Gue el rea total ba8o la cur9a es eldesplaamiento total de la partcula.

6i una partcula se mueve con una velocidad constante A O, como muestra la figura ).&) ,su despla!amiento durante el intervalo de tiempo t es simplemente el rea delrectngulo sombreado, es decir,

# M vO t Ccuando v M vOM constanteD

x

x=

xi= "onstante

t

xi

xi

t t

i t

f


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:omo otro ejemplo, considere una partcula movi-ndose con una velocidad quees proporcional a t, como se ve en la figura ).&+. 6i se toma v M at, donde a es laconstante de proporcionalidad Cla aceleracinD, se encontrar que el despla!amiento dela partcula durante el intervalo de tiempo t M O at M t &es el rea del tringulo sombreadoen la figura ).&+%

# M2

&&&2

&))((

2

&atatt =

2.!0C%CI,)0B CI)0ML*IC%B1 continuacin se utili!arn las ecuaciones de definicin correspondientes a laaceleracin y la velocidad para deducir dos ecuaciones cinemticas.La ecuacin que define la aceleracin

dt

dva=

tambi-n puede escribirse en t-rminos de una integral Co antiderivadaD como

= av dtI:&

donde :&es una constante de integracin. 2ara el caso especial en el que la aceleracines constante, lo anterior se reduce av M at I :&

El valor de :&depende de las condiciones iniciales del movimiento. 6i tomamos v M v Ocuando t MO y sustituimos estos valores en la ltima ecuacin, tenemos

AOM aCOD I :&

:&M vO

2ortante, se obtiene la primera ecuacin cinemtica Cecuacin ).D0v M vOI at Cpara a constanteD

1(ora consideremos la ecuacin que define a la velocidad

dt

dxv=

2odemos escribir esta forma integral como

= vx dtI :)

x

x= a

xt

a

xt


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donde :) es otra constante de integracin. En vista de que v M vOI at, esta e#presin se

convierte en

+= )( 0 atvx dtI :)

+= atdtvx 0 dtI:)

#MvOtI2

&at)I:)

2ara encontrar :), se toma en cuenta la condicin inicial de que # M #Ocuandot M O.

Esto produce :)M#OEn consecuencia, tenemos

2

002

&attvxx += Cpara a constanteD

sta es una segunda ecuacin cinemtica Cecuacin )..D. *ecuerde que # # Oes igualal despla!amiento del objeto, donde #Oes su posicin inicial.


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C%#I*/, 33. M0*,-,/,I%B

3.1. QI#O*0BIB.3.1.1. QI#O*0BIB #+I)CI#%/

La cinemtica de la partcula es un tema a tratar en el primer ano de la

especialidad de


27/98

La forma en que los fsicos se apro#iman a situaciones complejas y lasdescomponen en pie!as manejables es e#tremadamente provec(osa.6e (a desarrollado una memoria que me ayudar a recordar con masfacilidad los pasos requeridos para resolver con esto los problemas, paradesarrollar la presente investigacin la metodologa camino al -#ito es%

+ por recolectar la informacin C31$76D, por organi!ar su apro#imacin C67L4:/86/6$E'$/:1D% por anali!ar el problema C67L4:/8 '16 13E:4131D% por aprender del esfuer!o C87 3E;1* L1 67L4:/8 1'E3/16, 848:1 3E61LE8$1*6ED

Metodologa utiliada + , % %3.5 )IA0+B,< M0B*+% F /%+

El 4niverso a inferir en el presente anlisis es% =Estudiantes de


28/98

caminos de la :reacin, quiera el 1rtfice de los cielos, el 2adre inmortal de todos losseres inteligentes, al que deben su e#istencia todos los sentidos mortales, ser clementeconmigo y preservarme de decir algo contra 6u obra que no pueda conciliarse con 6umajestad e indu!ca a error nuestro entendimiento, y (acer, en cambio, que imitemos laperfeccin de 6u obra creadora santificando nuestra vida>0 tal es la profesin de fe de

Zepler, quien se consideraba abiertamente en posicin de poder contemplar el plancreador de 3ios e inclinarse reverente ante el santuario as descubierto. 1l mismotiempo, reafirmaba de la fsica% determinar en el manifiesto devenir del 4niverso, pordebajo de las apariencias y de las formas geom-tricas, aquello que permanececonstante, es decir, la ley que preside el devenir mismo.

Las conquistas de la fsica, al profundi!ar en el conocimiento de la ciencia,permiten tambi-n un mejor conocimiento del (ombre, pero presentan las caractersticasde seguir paralelamente cada ve! mayor de renuncias.

6olo O a"os despu-s, escriben ya 8ewton% =9o no soy como me ju!ga elmundo0 a mi me parece que soy un ni"o que juega en la playa a orillas del mar y sealegra cuando encuentra un guijarro ms liso que los otros o una conc(a ms bella,mientras que el gran oc-ano de la verdad permanece ine#plorado ante el.>

2or tanto, para 8ewton el cientfico se (alla solamente a la puerta de una tierranueva e infinita, cuyos limites no puede alcan!ar y su misin es la de anali!ar, no ya laley universal, sino cada una de las muc(as leyes particulares.

6in embargo, quedaba la certe!a de conocer el verdadero comportamiento delas cosas, cuya mutacin se reali!aba a trav-s de su movimiento en el espacio Ctambi-nla mutacin de las cualidades puede reducirse, como se sabe, al movimiento de laspartes mas peque"asD.

4n ambiente muy distinto envuelve el pensamiento de eisenberg cuandoescribe, pasados mas de dos siglos% =8osotros nos damos cuenta de que no (ay unpunto seguro de partida en los caminos que llevan a los distintos campos de lo conocible,sino que cada conocimiento esta colgado, en cierto modo, sobre un abismo sin fondo0que debemos comen!ar a partir de algn =punto intermedio>, mientras que los t-rminosutili!ados para (ablar de los fenmenos adquieren un sentido mas preciso poco a poco ysolo con su uso >.

1dems, en la fsica clsica. 8ewtoniana, se (aba despreciado siempre laaportacin del sujeto a la investigacin, considerndolo pasivo con relacin a losfenmenos0 es decir, el observador se (aba olvidado de consumir un sistema fsico deinteraccin con el objeto observado.

En cambio, (e aqu lo que escribi el astrnomo Eddington en los primerosdecenios de nuestro siglo refiri-ndose a las correlacin de incertidumbre de esenberg%=emos visto que all donde la ciencia (a reali!ado las mayores conquistas el espritu aobtenido de la naturale!a lo que el mismo le (aba prestado. 6obre las playas de lodesconocido (emos descubierto una (uella misteriosa0 (emos construido profundasteoras para poder e#plicar su origen. :omo resultado (emos conseguido reconstruir elser que a dejado esa (uella% ese ser lo constituimos nosotros mismos.>

En este sentido, Eddington no teme afirmar refiri-ndose a la interpretacinestadsticasprobabilista de cierta fsica reciente% =9o puedo anunciar que esa ciencia queestudia el mundo fsico (a vuelto ya la espalda ya a todos los modelos mecnicossemejantes, los cuales se consideran mas bien como obstculos para podercompenetrar con la verdad que se esconden tras los fenmenos sensibles.>

1 la lu! de tales trascendentales consideraciones, cabe anotar que como unesfuer!o guiado por ellas, el presente parte de la realidad de latencia del problema, laapreciacin escolstica clsica de la ciencia fsica, volvi-ndola inspida y sin dejarapreciar toda su real dimensin.

El llegar a un nivel medio en el anlisis, as como crear la conciencia y culturanecesarias en el estudiante para enfrentarse de manera efectiva a futuros retos a nivelsuperior, son la cima a la que se pretende llegar con esta investigacin


29/98

:omo ya se dijo, el problema se (alla en estado latente, en espera de ms deuna propuesta para abordarlo, estudiarlo, resolverlo y proyectar los resultados en base auna teora que permita la consecucin de dic(a cultura que devuelva su real disensin ala ciencia fsica.

Luego del anlisis presentado, se recalca que este documento resultado del

proceso del investigador, no es mas, sino un peque"o aporte, brindado desde el ngulopropio orientado a trav-s de la consulta, (aciendo uso de (erramientas de ltimageneracin en investigacin, como c(arlas sobre el tema en la red de /8$E*8E$,publicaciones en el mismo medio global mencionado0 bibliografa actuali!ada ypedaggicamente autori!ada Cbest sellerD, revistas cientficas, profesores polit-cnicos,profesionales egresados, BB, que entre otros alimentaron el carcter de la investigacindndoles giros orientados a cumplir con el objetivo planteado.3." C+I*0+I, -0/ I)A0B*I%-,+ +0)*0 %/ -I%);B*IC,

Luego de estudiar, anali!ar y establecer el diagnstico del problema comoinvestigador puedo dar un criterio que no pretende ser el ms correcto0 lo que aspira escumplir las e#pectativas de las (iptesis planteadas, para con esto llegar a concluir ideasy elementos que pretendan emitir una propuesta valida y reali!able.

1l conocer el entorno donde nos desempe"amos como estudiantes y pudiendoreali!ar un anlisis comparativo con otros medios se asume que (ace falta desarrollarms el mbito de ra!onamiento, como el proceso lgico que permita esquemati!ar lasolucin ptima al momento de plantear y resolver un ejercicio de aplicacin. Lo cual noquiere decir que no podemos alcan!ar este nivel sino que de una u otra manera cadauna de las personas debe empe!ar poniendo un gratino de arena para poder llegar aobtener un nivel elevado y rpido en el ra!onamiento sin llegar a caer en el campoopuesto como es el mecanicismo.


30/98

C%#I*/, 44. C,M#+,(%CI,) F -0M,B*+%CI,) -0 QI#,*0BIB4.1. Qiptesis #rincipales

La cinemtica de la partcula es un tema a tratar en el primer ano de laespecialidad de

2ara obtener un resultado que nos interesa en los siguientes problemas

adelantaremos su solucin%

6i (acemos vdt

ds= se puede obtener la segunda derivada del espacio con

respecto al tiempo en funcin de la velocidad y su derivada con respecto a s. as%

s

(


31/98

ds

dvv

dt

ds

ds

dv

dt

dv

dt

sd===

2

2

dsgvdvgds

dv

v == ,=2>/ntegrando ambos miembros de esta ltima igualdad se obtiene%

csgv

+=2

2

=3>4na condicin fsica del problema es velocidad vMO cuando espacio sM(. Esto

nos permite obtener la constante de integracin c.

)(0 shg =

La ecuacin C+D resulta ser entonces%

)(2

2

shgv

=

:uando s M O, esto es, cuando el cuerpo (a llegado al suelo, se obtiene lavelocidad final de un cuerpo que cae desde una altura (%

ghv 2=

ormula muy conocida por el estudiante secundario.

070+CICI, 2

4na partcula se mueve a lo largo del eje x. 6u coordenadaxvara con el tiempode acuerdo con la e#presin%x = -4t + 2t, dondexest en metros y ten segundos.La grfica posicintiempo para este movimiento se muestra en la figura.1dvierta que la partcula se despla!a en la direccin x negativa en el primer

segundo del movimiento, que est en reposo en el momento t M &s, y que despu-sregresa a la direccin dexen t > 1 s.

a. 3etermine el despla!amiento de la partcula en los intervalos de tiempo%

t MO s t M & s y t M s

@rfica posicintiempo para una partcula que tiene una coordenada xque vara en el

tiempo de acuerdo con la e#presinx = -4t + 2t

X (m)

&0

-

! Pendiente = 'm/s' Pendiente= 2m/s

2

0 t(s)


32/98

#lanteamiento y solucinEn el primer intervalo de tiempo se establece que t&M O y t)M &s.:omo # M t I )t, se tiene%

i xxx = 0&

( ) ( ) ( ) ( ) 220& 020'&2&' ++=x[ ]mx 20& =

En el segundo intervalo de tiempo se admite que t&M & s y t&M +s. 2or tanto, eldespla!amiento en este intervalo es

i xxx = &

( ) ( ) ( ) ( ) 22 12143234 ++=

[ ]m-& =x0stos desplaamientos tambi6n pueden leerse directamente de la grfica posicinHtiempo

b. :alcule la velocidad promedio en los intervalos de tiempo t M O a t M&s y tM &s a t M +s

En el primer intervalo de tiempo, sttt if 1== . En consecuencia, con la ecuacin).) con los resultados de aD se obtiene

sms

m

t

xv /2

1

20101 =

=

=

En el segundo intervalo de tiempo, t M )s. 2or lo tanto,

sm

s

m

t

xv /4

2

81313 +==

=

Estos valores concuerdan con las pendientes de las lneas que unen estos puntos en lafigura

c. Encuentre la velocidad instantnea de la partcula en t M ).s#lanteamiento y solucin

1l medir la pendiente de la grfica posicintiempo en t M ).s, se encuentra quev M ITms. $ambi-n se pueden utili!ar la ecuacin ). y las reglas del clculo diferencialpara encontrar la velocidad a partir del despla!amiento.

( ) ( ) smtttdt

d

dt

dxv /&'2' 2 +=+==

2or tanto, es t M ).s. A M C&I).D M IT ]ms^

070+CICI, 3La velocidad de una partcula que se mueva a lo largo del eje # vara en el tiempo deacuerdo con la e#presin v M COtD ms, donde t se mide en segundos.

a. Encuentre la aceleracin promedio en elintervalo de tiempo

t M O a t M ).O s.

(/s) '0

0

Pendiente = 20 m/s2

20

&0

0 t(s)

&0

20


33/98

@rfica velocidadtiempo para una partcula que se mueve a lo largo del eje #segn la relacin v M COtDms. 7bserve que la aceleracin en t M )s es igual a lapendiente de la lnea tangente verde en ese tiempo.#lanteamiento y solucin

La grfica velocidadtiempo para esta funcin se presenta en la figura ).&O. Lasvelocidades en tf M O y tfM ).Os se determinan al sustituir estos valores de t en lae#presin dada para la velocidad.

A&M COtiDms M ]OCOD^ms M IOmsAfM COt&Dms M ]OC).OD^ms M I)Oms

2or tanto, la aceleracin promedio en el intervalo de tiempo especificadosttt

if 0.2== es

( ) ( )222 510540540 ttttttvf

==

2or tanto, el cambio en la velocidad sobre el intervalo de tiempo t es

( ) smtttvvvif

/510 2==

6i se divide esta e#presin entre t y si se toma el lmite del resultado cuando ttiende a cero se obtiene la aceleracin en cualquier tiempo t

( ) 2/105100

lim

0

limstmtt

tt

v

ta =

=

2or consiguiente, en t M ).Os, se obtiene

a M C&ODC).ODms M )Oms

Este resultado tambi-n puede obtener al medir la pendiente de la grfica velocidadtiempo en tM)Os. 7bserve que la aceleracin no es constante en este ejemplo.070+CICI, 4

0l autom9il deporti9o supercargado4n fabricante de cierto automvil afirma que su auto deportivo de superflujo acelerardesde el reposo (asta una rapide! de ).Oms en Y.OOs.En el improbable caso de que laaceleracin sea constante% aD3etermine la aceleracin del automvil en ms

#lanteamiento y solucin1dvierta primero que voM O y que la velocidad despu-s de Y.OO s es v M ).O ms. 2uestoque nos dan vO, v y t, se puede utili!ar v M vOI at para encontrar la aceleracin.

20/25.5

00.8

/0.42sm

s

sm

t

vva +==

=

En realidad, -sta es una aceleracin promedio, pues es improbable que un auto acelere


34/98

uniformemente.b> 0ncuentre la distancia Gue el autom9il recorre en los primeros $.s#lanteamiento y solucin:onsideremos como origen del auto su posicin original, por lo tanto, #O M O.:on laecuacin ).&O descubrimos que

( ) ( ) ( ) mssmtvvxo

16800.8/0.422

1

2

1 ==+=

c> SCul es la rapide del autom9il 1.s despu6s de Gue inicia sumo9imientoT Buponga Gue continNa acelerando a la tasa promedio de 5.25 mUsV#lanteamiento y solucin$ambi-n en este caso v M vOI at, pero esta ve! con vOM O, t M &O.O y a M .)msA M vOI at MO I C.)msD C&O.OsD M ).ms


35/98

070+CICI, 5%celeracin de un electrn.4n electrn en el tubo de rayos catdicos de un televisor entra a una regin donde seacelera de manera uniforme desde una rapide! de +.OO # &Oms. asta una rapide! de.OO # &OTms en una distancia de ).OO cm aD _durante cunto tiempo el electrn est en

la regin donde se acelera`

#lanteamiento y solucin:omo la direccin del movimiento ser a lo largo del eje #, con la ecuacin ).&O sedetermina t, puesto que se conocen el despla!amiento y las velocidades.

( )tvvxxo

+= 02

1

( ) ( )( ) sm

m

vv

xxt

o /1000.51000.3

1000.222

64

2

0

+

=

+

=

M [.S # &OSs

b> SCul es la aceleracin del electrn en esta reginT

#lanteamiento y solucin2ara encontrar la aceleracin se emplea v M vOI at y los resultados de aD%

( )s

sm

t

vva

o

9

46

1095.7

/1000.31000.5

=

=

M T.) # &O&ms

6i bien en este ejercicio la aceleracin es muy grande, ocurre en intervalos de tiempomuy cortos y es un valor caracterstico en partculas cargadas en aceleradores.

070+CICI, !4n punto que se mueve a lo largo del semieje positivo # con una velocidad inicial de &)ms sometido a una fuer!a retardadora que le comunica una aceleracin negativa. 6i laaceleracin vara linealmente con el tiempo desde cero (asta +ms durante los cuatroprimeros segundos de aplicacin de la fuer!a, y permanece constante durante los ssiguientes, segn se indica, determinar CaD la velocidad en el instante t M s, CbD ladistancia recorrida ms all de la posicin en t M O (asta el punto donde invierte elsentido de su movimiento y CcD la velocidad y posicin de la partcula cuanto t M Ss.

#lanteamiento y solucinEl e#amen de las curvas at y vt de este movimiento, de las relaciones buscadas con unmnimo de clculos. :omo el rea limitada por la curva at, la cual es conocida, da lavariacin de velocidad, la velocidad en t M s est dada por%

A &) M T, v M T msLa e#presin de v durante el intervalo de s se obtiene integrando la primera de lasecuaciones. 1s pues

[ ] smt

vdttdvdtadvtv

/8

312,

4

3 2

012===

3onde a M +t en este primer intervalo. La representacin grfica de v es larepresentada. El despla!amiento durante este intervalo es la integral de la ecuacin%

[ ] mxdttdxdtvds x 40,8

312

4

24

00=

==

's all de t M s, la pendiente de la curva vt es la aceleracin constante +ms y se

e#tiende fcilmente la recta de la velocidad (asta t M Ss. 3e la geometra de la figura se


36/98

ve que v M O cuando t M Ts. :omo el rea limitada por la curva vt da la variacin develocidad, la partcula (a recorrido una distancia m#ima.

( ) ( ) mxmax

4626

2

1640 =+=

asta el punto en donde invierte el sentido de su movimiento en t M Ts.

El rea total limitada por la curva vt para los Ss da la posicin final o despla!amientototal.

U M O I T 2

1C+DCSD M +). m

La velocidad final se ve que es S ms

070+CICI, "La aceleracin a de una corredera unida a un resorte es proporcional a su

despla!amiento s a partir de la posicin de fuer!a de resorte nula y est dirigida ensentido contrario al del despla!amiento. La relacin e#istente es a M Ps, donde P esuna constante. CLa constante P se eleva arbitrariamente al cuadrado por ser ello msconveniente para la forma de las e#presiones que saldrnD. 6i la velocidad de lacorredera es vO cuando s M O y si el tiempo t es cero cuando s M O, determinar eldespla!amiento y la velocidad en funcin de t.#lanteamiento y solucin I:omo se especifica la aceleracin en funcin del despla!amiento, podremos integrar lae#presin v dv M ad. 1s pues.

,1

2Csdskdvv += una constante

o sea

1

222

22c

skv+=

:uando s M O, v M vO, con lo que :qM vO)), y la velocidad ser%

222

0 skvv +=

6e toma el signo ms del radical cuando v es positiva en el sentido positivo de las s. Estaltima e#presin puede integrarse sustituyendo v M dsdt. 1s.

+= ,22220Cdt

skv

ds

una constante

o sea 21

Ctv

kssenarc

ko

+=

:on el requisito de que t M O cuando s M O, la constante de integracin se (ace : )M O ypuede despejarse s con lo que.

ktsenk

Vs 0=

La velocidad es v M s lo cual da


37/98

A M vOcos Pt

6e observa que tanto s como v son funciones peridicas del tiempo. El perodo r es eltiempo que se tarda en reali!ar una oscilacin completa, durante el cual el argumento delcoseno aumenta en ) .

1s PCt I rD M Pt I ) y r M ) P. La frecuencia f del movimiento es el nmero deoscilaciones o ciclos completos por unidad de tiempo y es f M &r M Ps .

Este movimiento recibe el nombre del movimiento armnico simple y es caracterstico detodas las oscilaciones en las que la fuer!a restauradora y por tanto la aceleracin, esproporcional al despla!amiento pero de signo contrario.#lanteamiento y solucin II

:omo a M s , la relacin dada puede escribirse en la forma.s I Ps M O

Esta es una ecuacin diferencial lineal de segunda orden cuya solucin se conoce y es

6 M 1 sen P$ I < cos Zt,

3onde 1, < y Z son constantes. 6ustituyendo esta e#presin en la ecuacin diferencial,se ve que la satisface si Z M P. La velocidad es v M s y queda.

A M 1P cos Pt


38/98

070+CICI, $4na fuer!a retardadora de +s de duracin acta sobre una partcula que se mueve (aciadelante con una velocidad de TOms. El registro oscilogrfico de la desaceleracin sepresenta en la figura. _:ul es la velocidad de la partcula para t M Ss`#lanteamiento y solucin

7bservando el grfico se deduce%

2ara el tramo 1


39/98

070+CICI, '4n proyectil se dispara en un medio resistente con una velocidad v &, y queda sometido auna aceleracin de frenado igual a cvn, donde c y n son constantes y v es la velocidad enel medio. allar la e#presin de la velocidad v del proyectil en funcin del tiempo t depenetracin.

#lanteamiento y solucinAOM v&

a M cvnintegrando% ncvdt

dva ==

vCtD M `

dtcv

dv tv

v n = 01

( ) t

nc

vv

v

n

=

1

1

1

-espe8ando 9% ( )[ ] nnvtcnv += 1/111

1


40/98

070+CICI, 14n objeto se mueve a lo largo de una recta con aceleracin constante. En el

instante .t M O, el despla!amiento es I m y al cabo de &O s es Tm. El objeto pasa poruna posicin de reposo instantneo cuando t M s.:alcular la velocidad inicial v en t M O

#lanteamiento y solucin

U+M Tm #)M ` #&M m

$ M &O seg v)M O v&M `$ M seg t M O

:onsiderando ) tramos%1nali!ando el tramo C&D tenemos%

( ) ( )=+=+= avvavatv 4401112

++=++= 4482

1211

2

2 vaxxtv

atx

( )482

+= ax

anali!ando el tramo C)D%+=++=

222

2

3 186

2xaxtv

atx ( )= ax 1862

/gualando ( ) ( ) y

Ya I M T &Ya a M &mseg ( )

+eemplaando ( ) ( ) en

A&M mseg

a M c t e$ M T s e g $ M s e g

C & DC ) D


41/98

070+CICI, 11La aceleracin de arranque a de un ve(culo e#perimental se mide

e#perimentalmente durante una fase de su movimiento y se representa en una grfica enfuncin del despla!amiento. En la posicin &m, el mecanismo motor desli!abruscamente, y la aceleracin presenta una discontinuidad.

6i el ve(culo tiene en s M Tm una velocidad de &) Pm(, representar la velocidad durantela fase de movimiento considerada. :alcular la velocidad en s M )&m#lanteamiento y solucin1pro#imadamente las curvas a rectas considerando los puntos e#tremos para (allar susecuaciones e interpolando%

2ara el tramo C&D consideraremos los puntos.

Cs,aD M CT, O.TD y C&, )D

33.09

4.1

12

12

1

1

=

=

sass

aa

ss

aa

Como

dssdvvdsads

ds

dt

dva

== 33.09

4.1.

15

6

dvvv

= 15

33.33

v&M .Y mseg

1nali!ando el tramo C)D y considerando que la velocidad no vara cuando el mecanismomotor desli!a tenemos%

:onsiderando los puntos%:onsiderando Cs,aD M C&, &.D y C)&, O.+D

025.4175.0

12

12

1

1 +=

=

sa

ss

aa

ss

aa

:omo% == dvvdsads

ds

dt

dva .

070+CICI, 12


42/98

4n mvil se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado de decrecelinealmente con el del despla!amiento entre dos puntos 1 y < que distan +Om entre s.3eterminar el despla!amiento s delincuente mvil durante los )s que preceden lallegada a


43/98

3eterminar la e#presin de la velocidad vertical del co(ete t segundos despu-sdelincuente encendido.#lanteamiento y solucina M quebt cv gt M O vOM O

v M vCtD M `sabemos Gue

gcvkevdt

dva

bt === '

Egkecvv bt =+ ' . 3iferencial lineal en v.

+esol9iendo

( )

+=

kdtgkeeev btcdtcdt

( )

+

= ke

ce

bc

kev

cttbcct 8

:omo cuando t M O v M O bc

k

c

gk

=

/uego se tiene

c

ge

bc

k

c

ge

bc

kv

ctbt

+

=


44/98

070+CICI, 14La velocidad v de una partcula que se mueve con movimiento rectilneo vara

linealmente con su despla!amiento s desde T.T ms a )T.T ms durante undespla!amiento de &++.+ nm. allar la aceleracin a de la partcula en el punto medio delrecorrido de &++.+ m.

#lanteamiento y solucin

2

3.133

2==

ABAC

8os pide la aceleracin en el punto :.6e sabe0 que la velocidad vara linealmente con respecto al espacio por lo tanto aCsD esconstante durante todo el recorrido.6abemos%

== 6.26

6.6

2

3.133

0vdvdsa

ds

ds

dt

dva

de donde% acM ).S msg


45/98

070+CICI, 154na partcula que se mueve a lo largo del eje #, ocupa la posicin, a partir del origen,para t M O, # M O cm y posee una velocidad # M ) cms. 6i la aceleracin de la partculaes constante e igual a # M I cms, calcular la coordenada #&de la posicin de lapartcula cuando cambia de direccin. allar tambi-n el tiempo t necesario para volver al

punto de partida.#lanteamiento y solucin-%*,BU M O cm

sgcmx /25=

x M I cmsg#&M `

1x M `

1x M O en el momento que cambia de direccin

6e sabe%

dvvdsadsdtdsdva == ,

= 0

2540

1

5 vdvdsx

de donde% #&M )). cmgraficando el movimiento%2ara (allar el tiempo necesario para volver al punto de partida, vOM O

attveo

2

1+=

segtt 55

25.62=

=


46/98

070+CICI, 1!4na partcula se mueve a lo largo del eje y con una aceleracin constante y y M &.))ms. 6i ]ara t M O su posicin es y M +O.Y m y su velocidad es y M &).&S ms,determinar la coordenada y de la partcula para t M +Os.#lanteamiento y solucin

2ara t M o

=

=

sgmy

my

/19.12

48.30

y M &.)) mseg

8os piden el espacio Cy&D para t M +O sg.

2

12

1tytyy +=

( ) ( ) ( ) ( )2

1 3022.12

1

3019.12 +=yy&M &Y+.+ nt.

raficando%7bservando el grfico%

9&M &Y+.+ +O.Y9&M &).Y m

070+CICI, 1"4na partcula tiene una velocidad de T.T ms en la direccin negativa de s para t M O. 6ila partcula est sometida a una fuer!a en la direccin positiva de s que produce laaceleracin a segn se indica, (allar la velocidad v de la partcula para t M &Os y eldespla!amiento s durante este tiempo.#lanteamiento y solucin

2or la ecuacin de la recta.

:onsiderando los puntos%

& ) . & S O 9 &

9 C n t D

& Y + . +

& . Y

& . )

O . T

OO ) Y


47/98

Ct,aD M CO, O.TD C&O, &.YD

a M O.&)t I O.T

6.012.0 +== tdtdv

a

( )dttdvtv

=

+=

10

06.6

6.012.0 BB C/D

( ) ( )106.0102

12.06.6

2 +=+v

v M . msg

3e C/D /ntegrando de O a t%

6.66.006.0 2 +== tt

dt

dsa

( )dtttdss += 10

0

2

06.66.006.0

s M &T m


48/98

070+CICI, 1$4na partcula parte del reposo para s M O y t M O movi-ndose en la direccin positiva de scon una aceleracin que vara linealmente con el despla!amiento tal como se indica.:alcular la velocidad v que tendr la partcula cuando se (aya despla!ado s M +O.Ym.allar tambi-n el tiempo t necesario para que alcance dic(o punto.

#lanteamiento y solucin2or la ecuacin de la *ecta%

12

12

1

1

ss

aa

ss

aa

=

:onsiderando los puntos% Cs, aD M CO, O.TD, C+O., &.YD

dvvdsasa =+= 6.05.30

2.1

6.05.30

2.1 += Sds

dvv

( )1.......6.05.30

2.148.30

00dssdvv

v

+=

v M Y. mseg

3e C/D /ntegrado de =O> a =A> y de =O> a =6>%2/1

22.1

5.30

2.1

+= ssv

=

+

= t

dt

ss

ds

dt

dsv

0

48.30

0 2/12

2.15.30

2.1,

/ntegrando% t M Y.[T seg.

& . Y

& . )

O . T

OO + O .


49/98

070+CICI, 1'4n electrn, a partir del reposos, tiene una aceleracin que aumenta linealmente

con el tiempo, esto es, a M Pt, siendo el cambio de aceleracin P M C&. msegDseg. CaDacer una grfica de a en funcin de t durante el primer intervalo de &O seg. CbD 1 partirde la grfica de la parte CaD, (acer la grfica correspondiente a la variacin de v en

funcin t y calcular la velocidad del electrn .O seg despu-s de que comien!a sumovimiento. CcD 1 partir de la grfica de v en funcin de t de la parte de t y calcularcunto (a avan!ado el electrn durante los primeros .O seg. 3e su movimiento.#lanteamiento y solucinZ M C&. msegDseg

$ CsegD aCmsegD&)+

T

&.+

.T

[.

S

dt

dva =

adtdv =

2

2t

kv =

$ CsegD aCmsegD&)

+

O.[+

T.[&)&Y.[

cD 3ejamos para el lector0 deber considerar que%

dtdxdt

dxv ==

6

3t

kx =

070+CICI, 2La posicin de una partcula que se mueve el eje de las # es funcin del tiempo, deacuerdo con la ecuacin, en la cual

( )ktx ek

vx

= 10

en la cual v#oy P son constantes, CaD acer una grfica de # en funcin de t. 8tese que #M O para t M O y que # M v#oP para t M 0 es decir, la distancia total que se mueve lapartcula es v#oP. CbD 3emostrar que la velocidad v#est dada por

A#M v#oePt

3e manera que la velocidad disminuye e#ponencialmente con el tiempo a partir de su

valor inicial v#ollegando a anularse solamente al cabo de un tiempo infinito. 3emostrarque la aceleracin a#est dada por la e#presin.


50/98

1#M Pv#

3e manera que la aceleracin est dirigida en sentido contrario a la velocidad y tiene unamagnitud proporcional a la rapide!.

dD Este movimiento es de aceleracin variable. 'ediante ra!onamientos fsicosaceptables e#plicar cmo puede ocurrir que se requiera un tiempo infinito para poner enreposo una partcula que recorre una distancia finita.#lanteamiento y solucin

3ato% ( )tkxo ek

vx

/1

=

A#oy P constantes.

aD sabemos%

dt

dxv =

( ) ktktxox

evekk

vv

== 0

bD 1dems%

dt

dv

dt

xda ==

2

2

kt

xox evka

=

pero0 en el paso se demostr que v#M v#oePt, por tanto0 a#M Pv#


51/98

C%#I*/, 55. C,)C/BI,)0B F +0C,M0)-%CI,)0B

5.1. C,)C/BI,)0BLuego de llevada a cabo la presente investigacin, al desarrollar cada uno de sus

pasos, con el constante esfuer!o entregado a la misma, se (a llegado al final de este

interesante y enriquecedor proceso0 por ello, merece mencionar que dado el carcter deltrabajo, su demostracin va implcita en la misma e#periencia que como autor (econseguido, tal cual en la (istoricidad y anlisis, previos a diagnosticar el tema, se (asubido un par de escalones en relacin a la concepcin de la ciencia fsica, la cual bienvista y sin rebajarse a su instrumentalidad medieval, por s sola, es mas que un que(acerde asignar nmeros que codifiquen a los fenmenos naturales0 es pilar y es frontera, dala!os y abre puertas, es un laberinto y es camino0 (oy, por todo ello que engloba, estoyen capacidad de emitir el criterio que (a nacido al rondar por los pasajes que se (anrecorrido en el presente proceso de investigacin.

$al como se (a manifestado el criterio del autor, sin ser verdad absoluta, niparadigma sin par, las siguientes son conclusiones vlidas que se interrelacionan como acontinuacin se e#pone respecto a las (iptesis que durante este formal avance se (an

pretendido demostrar% El tema :inemtica de la partcula, tratado en el primer a"o debac(illerato, se (a reducido a una simple instrumentacin de definicionesaplicables, casi mecnicamente, sin llevar al estudiante en la mayora delos casos a un verdadero primer anlisis, que en base a su propioesfuer!o le permita generar una cultura entorno al tema, la cual lelibrara de ms de un grave error que se cometen al momento de emitirun juicio que permita elevar una idea, en el instante de resolver unejercicio de aplicacin.

6e concluye, que cualquier estudiante que desee profundi!ar respecto altema estudiado, deber primero anali!ar su entorno matemtico, laestructura sobre la cual a fundamentado el conocimiento de la Jsica0

pero, sin lugar a duda, sea cual fuere dic(o antecedente, todo estudiantese encuentra en capacidad de asumir el reto0 ms an, cuando (oye#iste como se demostr infinita gama de posibilidades, bibliografa,foros virtuales, motores de bsqueda en la red /8$E*8E$0 E$:B., loque siguen siendo actual es que quien paga el precio del esfuer!o,dedicacin, asume un m-todo y es sistemtico en su intento, seguroobtendr buenos y ptimos resultados.

Es evidente, que actualmente guiar y ser guiado van de la mano, lainformacin viaja en progresin geom-trica, se concluye entonces quetodo lo que nos rodea en relacin al tema tratado, enriquece y damltiples matices, ngulos y formas de interpretar el fenmeno de lacinemtica de traslacin0 mas, todos convergen en la estructuraestablecida que vuelve a sus bases y se potencia cuando se la reconocedentro de la aplicacin del clculo matemtico

4na consecuencia del anlisis reali!ado a bibliografa t-cnica,actuali!ada y autori!ada por su reconocimiento a nivel mundial, es eladoptar como propios varios modelos y esquemas de planteo, pasos,secuencia lgica0 y muc(os otros aspectos al momento de resolver unproblema.

:uando uno ve la orilla del mar y nada en ella, piensa =el mar es seguroy no me a(ogar->0 en altamar solo antagnica puede ser la visin alrespecto, al terminar nace la conclusin de que no por muc(o investigarse esta en la punta de la pirmide, siempre abra algo ms0 y, alguien queeste por encima observndonos.

5.2 +0C,M0)-%CI,)0B


52/98

4na recomendacin clara y sencilla es incentivar a la juventud a la autoconsulta, lo cual da como resultado la personali!acin de la educacinpara enfrentar el mundo que esta lleno de cambios y enigmas que losdebemos comprender para estar actuali!ados los mismos que nospermiten vivir en un siglo globali!ado en el cual la informacin viaja deuna manera vertiginosa y puede ser fcilmente modificada.

La recomendacin para el lector es que no (emos reali!ado unsolucionarlo, ni tampoco se propone el nico camino para el estudio deltema tratado, se debe recordar que este fue un trabajo de nivelintermedio que conlleva al conocimiento bsico necesario para eltratamiento del tema objeto de la investigacin

Es importante recalcar que a la ciencia fsica se la debe tratar sin creerque es el simple (ec(o de aplicar formulas o memori!ar esquemas,definiciones, conceptos0 sino mas bien, asumir la postura de autocrticacontinua en bsqueda de la creacin de un ra!onamiento lgico propio.

C%#I*/, !

!. #+,#0B*%!.1 I)*+,-CCIO)

El mundo a diaria va teniendo varios cambios considerables en distintos mbitospero el nuestro es en especial en la fsica y matemticas ya que (a tenido cambiossignificativos0 es por eso que el estudio de los intereses vocacionales y profesionales delos alumnos que terminan el nivel de instruccin secundario reviste suma importancia, yaque sus conocimientos permite desarrollarse de mejor manera en la etapa universitariaen donde con el menor esfuer!o logre el mayor de los -#itos y eficiencia.

Es por eso que esta propuesta trata de dar algunas ideas para desde el colegioempe!ar orientando de mejor manera al estudiante para desarrollar el mbitoinvestigador al cien por ciento, con el cual alcan!aran niveles de ra!onamiento maselevados a los tradicionales, con los cuales puedan enfrentar las dificultades que se le

puedan presentar en el camino de la educacin.1 causa de esto ponemos en consideracin a ustedes se"ores lectores estepeque"o trabajo, que no tiene otro fin de despertar el sentimiento cientfico en losestudiantes y profesores del rea de ciencias e#actas para lograr tener bac(illeresidneos y capaces de contribuir en este campo cientfico.!.2 #,/R*IC%B F ,(70*IA,B!.2.1 #,/I*IC%BLa poltica ms importante que se trata de considerar como una (erramienta bsica parafinali!ar con gran -#ito el trabajo propuesto ser la constancia, la disciplina y elcumplimiento de todas y cada una de las actividades encomendadas a todos y cada unode los encargados en reali!ar estas actividades, sin importar el tiempo como tambi-n losmedios y materiales que ellos requieran en clases o fuera de ellas.!.2.2 ,(70*IA,B!.2.2.1 ,(70*IA, 0)0+%/

1daptar un cambio en la planificacin curricular en el proceso de /nter.1prendi!aje de la materia de fsica con todos los temas y problemas que se nospresente, tratando de poner -nfasis en la aplicacin de este tema anali!ado altrascurso de la presente investigacin como as la aplicacin del mismo en lavida diaria.

!.2.2.2 ,(70*IA,B 0B#0CIIC,B Jomentar la creacin de un grupo selecto que se desempe"en en el rea de

fsica y matemticas con los estudiantes mas representativos de cada curso dela especialidad para poder anali!ar los problemas que ocurren en la actualidad ypoder prepararse para participar en concursos cientficos referentes a lasmaterias que se especiali!a el grupo


53/98

:rear el ambiente mas idneo, que permita desarrollar la labor investigativa, lafomente y determine metas claras y reali!ables para aquel estudiante que deseeaceptar el reto de ir mas all de lo que le (an abierto las puertas en el aula.

:rear conciencia en todos los estamentos que forman parte del procesoeducativo sobre la importancia de la lectura cientfica, de la investigacinbibliogrfica, de e#pandir las fronteras del conocimiento dentro de los limites ypre requisitos sin sobre dimensionarse, pero tampoco subvalorndose.

!.3 0B*+%*0I%Bpara la reali!acin de dic(os objetivos se deber aplicar diferentes t-cnicas como%anlisis de material de apoyo en forma grupal y personal, confrontaciones sobreopiniones acerca del tema, de convivencia y conflicto, lluvia de ideas, t-cnicasespecificas de la educacin en valores.$odas estas t-cnicas sern conducidas mediante la metodologa de mediacin educativacomo puede ser la donacin de materiales por parte de empresas privadas orecaudacin de dinero como ya se (a venido (aciendo y como un factor primordial lautili!acin de nuevas metodologas por parte de profesores para proporcionar mejorgrado de conocimientos a la juventud.

!.4 +0BM0)!.4.1 CI)0ML*IC%

:inemtica es la parte de la fsica que estudia el movimiento de los cuerpos desde unpunto de vista geom-trico, sin considerar las causas que lo producen. La descripcin delmovimiento de un cuerpo se reali!a e acuerdo con un sistema de referencia. Estesistema de referencia puede ser fijo o mvil.

La cinemtica se desarrolla fundamentalmente a partir de las mediciones de la posicindel cuerpo estudiado en funcin del tiempo.!.4.1.1AectoresAector posicin =r>El vector posicin determina la ubicacin de un punto con respecto a otro punto quegeneralmente es el origen del sistema de referencia utili!ando para describir elmovimiento.El vector posicin puede e#presarse en diferentes formas, por ejemplo%

coordinas polares% ( ),rr= :oordenadas rectangulares% r M C#, y, !D

En funcin de los vectores unitarios normali!ados% r M #i I yj I !P

6 M f C t D

9

O

j

2

r

1 s

1 r

r I 1 r

2 Q e

U

t


54/98

Aector desplaamiento = r>El vector despla!amiento es el cambio de posicin que e#perimenta una partculadurante un intervalo de tiempo dado.

i rrr =

,peraciones lineales con 9ectores6uma y *esta% 6ean los vectores 1 y < en t-rminos de los vectores i, j, P. La suma sedefine as%

1 M 1#i I 1yj I 1!Z< M

La diferencia o resta sera%( ) ( ( )k!"!"i!"!"

##$yxx

++=

2roducto de un escalar por un vector. El producto de un escalar por un vector da comoresultado un vector paralelo al primero. 6ea el escalar n y el vector 1. El producto es n1M *6i n es CID, * y 1 tienen la misma direccin6i n es CD, * y 1 tienen direccin contraria.#roducto de 9ectoresay dos formas de reali!ar el producto de vectores% el producto escalar o punto y elproducto vectorial o cru!.2roducto escalar o puntoEl producto escalar o punto de dos vectores da como resultado una cantidad escalar.3ados los vectores 1 y durante t es%

t

sVm

=

XX x a

00 0 0

tt t t


60/98

La =velocidad instantnea> y de la partcula 2 en una posicin cualquiera de sutrayectoria es el valor del lmite del cociente anterior cuando t tiende a O, o sea%

t

s

t

limv

=

0

lo cual puede tambi-n escribirse de la siguiente forma%

)1..(..........sdt

dsv ==

6i v es la diferencia entre las velocidades instantneas de la partculas en lasposiciones 2 y 2, la =aceleracin mediante durante el intervalo de tiempo t,correspondiente se define como el cociente entre v y t.

t

v

am

=

6er positiva si la velocidad aumenta y negativa si la velocidad disminuye.

La =aceleracin instantnea> de la partcula en una posicin cualquiera de su trayectoriaes el lmite al cual tiende al cociente anterior cuando t tiende a cero y se escribe%

t

v

t

lima

=

0

La cual puede escribirse de la siguiente forma%

( )2........22

sdtsd

dtdva ===

tambi-n podemos obtener otra e#presin de la aceleracin despejando dt de lasecuaciones C&D y C)D e igualando miembro a miembro, de donde obtenemos%

( )3........a

dv

v

ds=

Las ecuaciones obtenidas &, ) y + son las ecuaciones diferenciales del movimientorectilneo.

!.4.1.! -0BC+I#CIO) -0/ M,AIMI0)*, -0 )% #%+*RC/%

La aceleracin de la partcula se puede e#presar en fundicin de una ms variables% s,v, t y para (allar la posicin s en funcin de t, ser necesario utili!ar dos integracionessucesivas.

aD %celeracin en funcin del tiempo =a D a=t>3e la ecuacin C)D despejamos dv, luego reempla!amos =a> por aCtD se tiene%

3v M aCtD dt, integrando miembro a miembro

( ) dttadv =

La cual define la velocidad en funcin del tiempo.*eempla!ando las integrales indefinidas por integrales definidas con lmites inferiores

correspondientes a las condiciones iniciales y con los lmites superiores


61/98

correspondientes a t M t y v M v, tenemos%

( ) = tv

vdttadv

o 0

La cual e#presa la velocidad en funcin del tiempo.3e la ecuacin C&D despejemos ds

ds M vdt

y reempla!amos la velocidad por la e#presin obtenida, la cual nos da%

( ) = ts

sdttvds

00

bD %celeracin en funcin del desplaamiento =a D a=s>.En la ecuacin C+D reagrupando t-rminos y reempla!ando =a> por aCsD, tenemos%

vdv M ads

vdv M aCsD dsEsta ltima ecuacin puede integrarse directamente tomando los valores v O y sOde lavelocidad y despla!amiento respectivamente, para condiciones iniciales, obteni-ndose.

( ) = s

s

v

v

dssavdvo 0

( )= s

so

dssavv

22

2

0

2

Ecuacin que e#presa la velocidad en funcin del despla!amiento.

cD %celeracin en funcin de la 9elocidad =a D a=9>>.En la ecuacin C)D sustituimos =a> por aCvD y (allamos%

( )dt

dvvaa ==

( )va

dvdt =

08emplo 1.El movimiento de una partcula se define por la ecuacin%

6 M t St Yt I O. :alcular.

aD 6u velocidad media en el intervalo de tiempo.10 segt

bD 6u velocidad instantnea a los & seg.cD El tiempo para el cual la velocidad ser cerodD La posicin y el espacio recorrido por la partcula en ese tiempoeD La aceleracin en ese instante.

aD 6e sabe por definicin%

( )1.......12

12

tt

SS

t

sv

m

=

=

:alculamos el espacio recorrido en cada tiempo%


62/98

==

==

61

500

22

11

ssegt

ssegt

6e (a obtenido reempla!ando los valores de t&y t)en la ecuacin del movimiento de lapartcula.+eemplaando en =1>

segmvm

/5601

506 =

=

bD 3e la definicin%dt

ds

t

s

t

limv =

=

0

( ) 481835489 223 =+= tttttdt

dv

+eemplaando 9alores para t D 1A M T+ mseg2ara (allar c, d y e utili!amos las frmulas C&D y C)D.

6 M t St Yt I O .... C#D

48183 2 == tt

dt

dsv ..... C D

186 == tdt

dva ...... ( )

cD :uando v M O en C D+t &Yt Y M O

+esol9iendo< resultat M ) seg. y t M Y seg.

6e toma t M Y seg., ya que corresponde a un tiempo posterior a la iniciacin delmovimiento.dD *eempla!ando t M Y seg. En C#D

6 CYD M Y SCYD YCYD I O M +SY m.

2ara t M O, sOM Om, luego el espacio recorrido por la partcula ser%

6 M sY 6OM +SY O M Ymms 448= en direccin negativa

eD *eempla!ando t M Y seg. En ( )

aCYD M TCYD &Y M +O ms

08emplo 2.4n auto parte del reposo y se despla!a con una aceleracin de &mseg durante & seg.Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la friccin, durante &O seg, a unpromedio de &)O mseg. Entonces se aplican los frenos y el auto se detiene en segundos ms. :alcular la distancia total recorrida por el auto.

Bolucin


63/98

a M &mseg 2/20

1segma = t M seg.

$ M & seg. t M &O seg. 1 M

2ara el primer tramo%3atos%AOM O, A&M ``, a M & mseg, t M & seg, # M ``

6e sabe%

2

2

1attvx

o += de donde%

( ) ( ) mx 5.0112

10

2 =+= ...... C&D

Luego la velocidad final Cv&D ser%

A&M vOI at A&M O I C&DC&D M & mseg ..... C)D

#ara el segundo tramo.-atos

A&M & mseg, v)M `., a M 20

1mseg,

t M &O seg, # M `

Babemos

2

2

1

attvx o += de donde%

( )( ) ( ) ( )3..........5.71020

1

2

1101

2 =

=x

Luego la velocidad final CA)D ser%

A)M v&I at de donde% v)M O. mseg ... CD

#ara el tercer tramo.-atos

A)M O.mseg, v+M O, a M ``, t M seg, # M ``Babemos

t

vva

23

= de donde% 2/10

1

5

5.0segma == ..... CD

0n consecuencia

2

22

1attvx += de donde%

( ) ( ) mx 25.1510

1

2

155.0

2 =

= ....... CTD


64/98

sumandoC&D I C+D I CTD%# M O. I [. I &.)# M S.) m.

:uando una partcula se mueve a lo largo del eje # desde cierta posicin inicial # i(asta cierta posicin final #fsu desplaamientoes

ii xxx

La 9elocidad promediode una partcula durante algn intervalo de tiempo es eldespla!amiento F# dividido entre el intervalo de tiempo Ft durante el cual dic(odespla!amiento ocurri%

t

xv x

La rapide promediode una partcula es igual al cociente entre la distancia total

recorre y el tiempo total necesario para cubrir esa distancia.La rapide instantnea de una particulares igual a la magnitud de su velocidad.La aceleracin promedio de una partcula se define como la proporcin entre el

cambio de su velocidad, Fv#dividido entre el intervalo de tiempo Ft durante el cualocurri dic(o cambio.

i

xixxx

tt

vv

t

va

=

La aceleracin instantneaes igual al lmite de la relacin Fv #Ft cuando Fttiende a cero. 2or definicin, este lmite es igual a la derivada de v #respecto de t, o a laproporcin de cambio de la velocidad en el tiempo%

dt

dv

t

vlma xxt

x =

0

Las ecuaciones de la cinemtica para una partcula que se mueve a lo largo del eje # conaceleracin uniforme xa Cconstante en magnitud y direccinD son

tavv xxix +=

tvatvxx xxii x )(2

&+==

2

2

&tatvxx

xxi ==

)(222

ixxx xxavv +=

3ebe ser capa! de usar estas ecuaciones y las definiciones en este capitulo de la fsicapara anali!ar el movimiento de cualquier objeto que se mueve con aceleracin constante.4n objeto que cae libremente en presencia de la gravedad de la $ierra e#perimenta unaaceleracin de cada libre dirigida (acia el centro de la $ierra. 6i se ignora la resistenciadel aire, si el movimiento ocurre cerca de la superficie de la $ierra y si el rango del

movimiento es peque"o comparado con el radio de la $ierra, puede suponerse que la


65/98

aceleracin de cada libre, g, es una constante en el intervalo del movimiento, donde g esigual a S.YO ms).Los problemas complicados tienen un mejor abordaje con un m-todo organi!ado. 3ebeser capa! de recordar y aplicar las etapas de la estrategia *711 cuando los necesite.


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Colegio Particular San Alfonso Mara de Ligorio Sexto Fsico-Matemtico

%ne&o 1:omo primer ane#o de este trabajo investigativo ofrecemos una encuesta reali!ada a

jvenes de se#tos cursos especialidad fsicos matemticos de los colegios =6an 1lfonso> y=6anto 3omingo de @u!mn>0 como tambi-n a jvenes universitarios de la 2ontificia4niversidad :atlica del Ecuador 6ede 1mbato.

1 continuacin se presenta las (ojas de encuesta con su respectivo anlisis estadstico%-iagrama de tallo

#regunta 1

#regunta 2

#regunta 3

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A

i C,- ni

&

) &.) T

+ &.+ O

WD O

I C,- ni

& ).& +

) ).) T

+ ).+ &

WD O

i C,- ni

& +.& &

) +.)

+ +.+ &

+. )O

+. &&

W O

&


67/98


#regunta 4

#regunta 5


i C,- ni

& .& )

) .) )

+ .+ )+

. )+

. O

W O

i C,- ni

& .&

) .)

+ .+ O

. +T

. O

T .T O

[ .[

W O

2


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*amao de la poblacin y la muestra) Estudiantes de los se#tos cursos de bac(illerato en ciencias de los colegios =6an

1lfonso>, =6anto 3omingo de @u!mn> y estudiantes de la facultad de /ng. en 6istemas de la2.4.:.E.6.1.n O estudiantes

*abla de distribucin de frecuencias para los datos no agrupados#regunta 1

--.00

'''' &.&&.&&.& ====

n

nhn

&2.00

!! 2.&

2.&2.& ====n

nhn

00.00

00 .&

.&.& ====n

nhn

#regunta 2

-!.00

'' &.2

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n

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02.00

&& .2

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#regunta 3

2-.00

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n

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0-.00

'' 2.

2.2. ====

n

nhn

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2020 '.'.'. ====n

nhn

22.00

&&&& .

.. ====

n

nhn

#regunta 4



69/98


0'.00

22 &.'&.'&.' ====

n

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0'.0022 2.'2.'2.' ==== nnhn

'!.00

22 .'.'.' ====

n

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'!.00

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n

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#regunta 5

&.00

&.&.&. ====

n

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2.2.2. ====

n

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n

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82.00

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n

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00.00

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n

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0

0' 8.8.8. ====

n

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#regunta 1--&00&.&9&.& == hh

9&29&002.&92.& ==hh

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A '


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909&00.&9.& ==hh

#regunta 29-!9&00&.29&.2 ==hh

9&29&002.292.2 ==hh

929&00.29.2 ==hh

#regunta 392-9&00&.9&. ==hh

9-9&002.92. ==hh

929&00.9. ==hh

9'09&00'.9'. ==hh

9229&00.9. ==hh

#regunta 49'9&00&.'9&.' ==hh

9'9&002.'92.' ==hh

9'!9&00.'9.' ==hh

9'!9&00'.'9'.' ==hh

909&00.'9.' ==hh

#regunta 59&09&00&.9&. ==hh

9&09&002.92. ==hh

909&00.9. ==hh

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909&00!.9!. ==hh



71/98


9-9&008.98. ==hh

#regunta 1''&.&&.& ==n)

0!''2.&&.&2.& =+=+= n))

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#regunta 2'&.2&.2 ==n)

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#regunta 42&.'&.' == n)

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000.''.'.' =+=+= n))#regunta 5

&.&. ==n)

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Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A !


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#regunta 1--.02.&.& ==h*

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#regunta 2-!.0&.2&.2 ==h*

9-.0&2.0-!.02.2&.22.2 =+=+= h**

00.&02.09-.0.22.2.2 =+=+= h**

#regunta 32-.0&.&. ==h*

!.00-.02-.0.&.2. =+=+= h**

-.002.0!.0.2.. =+=+= h**

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00.&22.08-.0.'.. =+=+= h**

#regunta 40'.0&.'&.' ==h*

0-.00'.00'.02.'&.'2.' =+=+= h**

'.0'!.00-.0.'2.'.' =+=+= h**

00.&'!.0'.0'.'.''.' =+=+= h**

00.&00.000.&.''.'.' =+=+= h**#regunta 5

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A 8


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2.000.02.0.2.. =+=+= h**

92.082.02.0'..'. =+=+= h**

92.000.092.0.'.. =+=+= h**

92.000.092.0!..!. =+=+= h**

00.&0-.092.08.!.8. =+=+= h**

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A -


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#regunta 1--&00&.&&.& ==**

&00&002.&2.& ==**

&00&00.&.& ==**

#regunta 2-!&00&.2&.2 ==**

9-&002.22.2 ==**

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!&002.2. ==**

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#regunta 4'&00&.'&.' ==**

-&002.'2.' ==**

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#regunta 5&0&00&.&. ==**

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20&00.. ==**

92&00'.'. ==**



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92&00.. ==**

92&00!.!. ==**

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#regunta 1

#regunta 2

#regunta 3

#regunta 4

#regunta 5

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A !0


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#regunta 1

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A !&


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#regunta 2

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A !2


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#regunta 3



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#regunta 4

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A !'


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#regunta 5



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%)%/IBIB 0 I)*0+#+0*%CI,) -0 -%*,BLos alumnos no tienen una idea clara sobre el tema, al contestar las preguntas se

contradicen.:omo lo evidencia la pregunta cuatro el calculo diferencial e integral para

estudiantes secundarios solo es una semblan!a o un mito0 el alumno san alfonsino a

conocido estos elementos del anlisis matemtico a operado con ellos y en mayor o menorgrado sabe de que manera emplearlo si en un momento fueran necesarios.El masivo resultado positivo dada la pregunta uno la disposicin en las respuestas

dadas en la pregunta tres y el absoluto desconocimiento mostrado por elevado valor deresaltados asignados al cdigo . de la pregunta cinco, revelan poco inter-s, falta deanlisis, vacos en el conocimiento del tema0 en base a las cuales se (a podido concluir paraluego buscar proponer los mecanismos mas idneos recordando que el sentido de lapresente investigacin no es otro sino aportar un anlisis serio y valido que emita estrategiasfactibles de llevar a cabo en un periodo mediato.

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A !!


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%)0X, 2CL/C/, -I0+0)CI%/

En diversas ramas de la ciencia, en ocasiones es necesario usar las (erramientasbsicas del clculo, inventadas por 8ewton, para describir los fenmenos fsicos. El uso delclculo es fundamental en el tratamiento de distintos problemas en la mecnica newtoniana,

la electricidad y el magnetismo. En esta seccin slo establecemos algunas propiedadesbsicas y reglas prcticas que deben ser un repaso til para el estudiante.

2rimero, debe especificarse una funcin que relacione una variable con otra Ccomo unacoordenada como funcin del tiempoD. 6uponga que una de las variables se denomina y Clavariable dependiente Cy la otra # Cla variable independienteD.2odramos tener una relacin de funcin como

9C#D M a# I b# I c# I d

6i a, c y d son constantes especificadas, entonces y puede calcularse para cualquier valorde #. 4sualmente tratamos como funciones continuas, es decir, aquellas para las cuales yvara =suavemente> con #.

La deri9ada de y respecto de # se define como el lmite, a medida que x tiende a cero,de las pendientes de la cuerdas dibujadas entre dos puntos en la curva y contra #.matemticamente, escribimos esta definicin como

( ) ( )x

xyxxy

xx

y

xdx

dy

+

=

=

0

lim

0

lim

donde y y # definen como # M #) #&y y M y) y&CJig.


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6i yC#D es una funcin polinomial o algebraica de #, aplicamos la ecuacin a cada t-rmino enel polinomio y tomamos dad# M O. En los ejemplos del al [, evaluamos las derivadas devarias funciones.070M#/, 16uponga que y C#D es decir, y como una funcin de #D et dada por

9C#D M a# I b# I c

3onde a y b son constantes. 1s, se concluye que

( ) ( )xxaxxy +=+I bC# I #D I c

yC#I #D M aC# I +# # I +# # I #DIbC# I #D I c

por lo que

( ) ( ) ( )22 xxxxxaxyxxyy ++=+=I b #

6ustituyendo esto en la ecuacin


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dx

dz

dz

dy

dx

dy=

3. /a segunda deri9ada. La segunda derivada de y respecto de # se define como laderivada de la funcin dyd# Cla derivada de la derivadaD. 6uele escribirse.

=dx

dy

dx

d

dx

yd2

2

070M#/, 3Encuentre la derivada de yC#D M #C#I&D respecto de #Bolucin. 2odemos escribir esta funcin como yC#D M #C#I&D &y aplicar la ecuacin


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4na integral definida general /C#D se define como( ) ( )= dxxx+

donde fC#D recibe el nombre de integrando y fC#D ( )dx

xd+=

2ara una funcin continua general fC#D, la integral puede describirse como el rea bajo lacurva acotada por fC#D y el eje #, entre dos valores especificados de #, por ejemplo, # &y #),como en la figura


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( ) xxxdx

dse"tanse" =

( ) xxxdx

d"s""ot"s" =

( )x

axdx

d &ln =

f(xi)

,x&x2x&

4na integral comn que surge en situaciones prcticas tiene la forma

( )&&

&

++

=+

ncn

xdxx

nn

Este resultado es evidente pues la diferenciacin del lado derec(o con respecto de #produce directamente fC#D M #n. 6i se conocen los lmites de integracin, esta integral se

vuelve una integral definida y se escribe%

( )&&

2

&

&

&

&

2 +

=++

nn

xxdxx

x

x

nn

n

070M#/,B

&. ]

0

0

2 axdxX a" ==

). 2/

00

2/

2/(

2

2/b

xdxx

bb

=

=

+. -2

(

2

22

(0

2

=

=

=

b xdxx

Integracin parcial1lgunas veces es til el m-todo de integracin parcial Cllamada tambi-n =integracin porpartes>D para evaluar ciertas integrales. Este m-todo aprovec(a la propiedad de que

Realizado por: Luis E. Paredes C. Director:Eduardo Lascano acuri A 8&


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= d'v'vdv'

donde u y v se eligen con sumo cuidado de manera que se edu!ca una integral compleja auna ms simple. En muc(os casos, es necesario efectuar varias reducciones.:onsidere la funcin

( ) = dxexx+ x2

Esta puede evaluarse integrando por partes dos veces. 2rimero, si elegimos u M #, v M e #,obtenemos

( ) +== &222

2 cdxxeexedxdxex xxxx

3espu-s de esto, en el segundo t-rmino escogemos u M #&v M e#, lo que produce

++= &22 22 cdxexeexdxex xxxx

++= 222 22 cexeexdxex xxxx

/a diferencial perfecta7tro m-todo tiles que se debe recordar es el empleo de la diferencial perfecta en la cualbuscamos un cambio de variable de modo que la diferencial de la funcin sea la diferenciade la variable independiente que aparece en el integrando. 2or ejemplo, considere laintegral.

( ) = dxx-enxx+2"os

sta se vuelve fcil de evaluar si reescribimos la diferencial como dCcos #D M sen # d#,.La integral se vuelve entonces

( ) = xdxdxxsenx "os"os"os22

si despu-s de esto cambiamos variables, dejando y M cos #, obtenemos

cx

cy

dyydxxsenx +=+== "os

"os

22

La $abla lista algunas integrales indefinidas tiles. La tabla

( ) +=+

&&

&

n.'esiempren

xdxx

nn



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==

x+ndxxx

dx &

( ) +=+ bxa+nbbxadx &

( ) ( ) +=+ bxabbxa dx &2

a

x

axa

dx &22

tan& =

+( )0

2

& 2222

>+

= xaxa

xa+naxa

dx

( ) >+

=

02

& 2222

axax

ax+n

aax

dx

( )222&

22 xa+n

xa

dxx=

( )0"os22&&

22 >== xaaxaxsenxa dx

( )2222

axx+nax

dx+=

( )&= axae

dxxex

axax

( )cxcx

bea+naca

x

bea

dx+=

+&

= axadxaxsen "os&

axsenadxax = &"os

( ) ( )axsen+na

ax+na

dxax&

"os&

tan ==

( ) = axsen+nadxax&

"ot

( )

+=+=

'2tan

&tanse"

&se"

ax+n

aaxax+n

adxax

( )

== 2tan

&"ot"s"

&"s"

ax+na

axax+na

dxax

= aaxsenx

dxaxsen '

2

2

2

a

axsenxdxax

'

2

2"os 2 +=

22

22xa

xa

dxx=



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22

22ax

ax

dxx=

+= a

xsenaxaxdxxa &222

2&22

( )222

2&22 xadxxax =

22222

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