CIENCIAS FISICAS EN EL CUERPO HUMANO

SEGUNDA EDICIN

PEDRO HUGO GARCA PELEZ

A mi madre, all donde quiera que est.

NDICE

1. EL PRECEPTO DEL TALMUD2. EFECTOS DE RESONANCIA AL NADAR3. EFECTOS DE RESONANCIA EN LAS PIERNAS4. EL CUELLO Y LA CABEZA5. LA LENGUABRAZOS6. BRAZOS7. LOS BRAZOS COMO UN MUELLE8. TODO EL CUERPO COMO UN PNDULO

Prlogo

Yo tengo una mxima, "Lo que no se puede medir no sirve de mucho".Lo que voy a escribir en este libro no es un descubrimiento cientfico, es simplemente una aplicacin de la mecnica clsica a los movimientos de brazos, piernas, etc...La mecnica clsica es la mecnica de Newton y es la mecnica de los cuerpos grandes, no vamos a entrar en consideraciones relativistas o de mecnica cuntica de ningn tipo.Bsicamente te voy a dar las herramientas necesaria para que halles los tiempos en los que hay que mover diferentes partes de nuestro cuerpo para entrar en resonancia con la frecuencia natural de diferentes partes de nuestro cuerpo.Para una persona que no entienda el fenmeno de la resonancia se tiene que creer lo que le voy a contar, pero voy a intentar poner algunos ejemplos para que entiendan este fenmeno.Tcnicamente se entra en resonancia con un oscilador fsico, como puede ser un columpio o nuestros propios brazos, cuando existe otra fuerza impulsora cuya frecuencias es prcticamente igual a la de la frecuencia natural del oscilador fsico, y se demuestra que la amplitud tiende a infinito cuando ambas frecuencias son prcticamente iguales.Por poner algunos ejemplos, cuando una persona impulsa a un nio en el columpio (si obviamos el rozamiento de las cadenas del columpio) y esa fuerza tiene la misma frecuencia que la frecuencia natural del columpio, al que se puede considerar como un pndulo llegara un momento donde la fuerza impulsora se impondra y al final el nio saldra despedido, la amplitud del movimiento del columpio se agranda enormemente (esperamos que nadie haga la prueba). Estas precauciones tambin se usan en el ejrcito ya que cuando un batalln pasa por un puente se le hace perder el paso ya que si la fuerza que hace el unsono la tropa, entra en resonancia con la estructura del puente ste se podra venir abajo o el ya clsico ejemplo de la soprano que emite una nota continuada con la misma frecuencia de vibracin de un vaso que hace que ste se rompa.Vemos que no necesitamos una fuerza muy grande, como es el caso de la soprano, pero una vez que entra en resonancia con la frecuencia natural del otro oscilador la amplitud resultante tiende a infinito.Vemos que la palabra clave es "resonancia" y te voy a dar las herramientas necesarias para que halles el tiempo en el que debes mover piernas, brazos y otras partes de tu cuerpo para que entren en resonancia con la frecuencia natural de estas partes de tu propio cuerpo.

Por ltimo decir que siempre me llam la atencin una imagen que tuve una vezen un examen y es que dos cargas esfricas colgadas de un hilo al soltarse serepelen y si son de la misma carga producen la figura de un pndulo, obviamente no se mueven por la fuerza repulsiva pero se parece enormemente a la figura de un pndulo.

No s si la unificacin de la teora electromagntica con la gravitacional seguirpautas como la de un pndulo, aunque ahora est de moda la teora de cuerdas, que en cierta manera tiene analogas con el movimiento pendular, el estudio del movimiento de una cuerda se estudia en esta rama de la fsica, de vibraciones y ondas y se simplifica enormemente si la cuerda est anclada en un punto, por eso se producen esos movimientos tan curiosos de las serpentinas ya que al lanzarlas estn ancladas al punto fijo de la mano que las lanz.

CAPITULO 1

EL PRECEPTO DEL TALMUD

ste es un libro cientfico, no se puede considerar una novela. El libro trata sobre aspectos que se pueden medir, con el fin de llegar a unas conclusiones.Aunque es un libro cientfico he tratado de intentar llegar a todo tipo de lectores.Dicho esto vamos al grano con una curiosidad que le en un libro, concretamente en el libro de French, vibraciones y ondas.El Talmud es un libro Hebreo que trata temas religiosos y leyes.Es curioso porque fue escrito hace 2.000 aos y un precepto legislativo de este libro deca que si una gallina rompa con su cacareo una vasija metiendo su cabeza dentro, el dueo de la gallina deba pagar el destrozo.A este efecto se le llama resonancia, y por lo visto ya lo conocan hace miles de aos.El mecanismo es el mismo que hace la soprano con una nota sostenida que consigue romper el vaso, como ya veremos ms adelante.Un fsico francs que adems criaba gallinas lo calific como el precepto no necesario, ya que l nunca vio a una gallina meter su cabeza en una vasija y romperla con su cacareo.En fin vemos que la resonancia era conocida en los albores de la civilizacin, donde los legisladores lo tipifican de una manera un poco extra, en base a un fenmeno que no ocurre csi nunca, a no ser que en esa poca fuera un problema tan grande como para tipificarlo.

CAPITULO 2

EFECTOS DE RESONANCIA AL NADAR

Hemos visto que al entrar en resonancia la amplitud aumenta considerablemente, un pequeo terremoto puede tumbar una casa si ambos sistemas entran en resonancia.Tengo que confesar que no s exactamente las consecuencias de entrar en resonancia con nuestra propia frecuencia natural de flotacin a travs de nuestro propio impulso, pero fsicamente est demostrado que la amplitud de la frecuencia aumenta y sin muchos conocimientos de medicina considero que, mente, msculos, huesos y circulacin sangunea deben verse favorecidos.Personalmente lo llevo haciendo dos aos y los resultados son espectaculares en cuanto a mi propia forma fsica.He visto muchas veces por la noche en la televisin esos artilugios mgicos para adelgazar, no tengo nada en contra de ellos pero los considero un engao.Antes de avanzar quiero decirte que si te sienta mal cualquier tipo de ejercicio descrito en este libro lo dejes o consulta a un mdico, yo slo trato de poner al servicio del ejercicio fsico las herramientas fsicas que conocemos.Hace unos dos aos me vino una idea como cada del cielo y es que el cuerpo humano se puede asemejar a una tabla, el ejemplo es un poco macabro, pero cuando a una persona se la mete en un atad vemos que tampoco sobra mucho espacio.Un atad tiene una frecuencia natural de flotacin como en el caso de un barco que slo depende de sus costados.Los griegos ya conocan que cuando sumergamos un cuerpo ste experimentaba una fuerza hacia arriba igual al peso del agua desalojada (principio de arqumedes), la otra fuerza que acta sobre el cuerpo flotante del nadador es el propio peso del nadador.No voy a demostrar como se llegar a la frmula de la frecuencia natural de un cuerpo sumergido bajo su nivel de flotacin, aunque cualquier estudiante de segundo de fsicas debera poder hallarla teniendo en consideracin la densidad del lquido, pero para un cuerpo de forma cuadrada es T=2*pi(h/g)1/2 siendo (h)

la medida de los costados y (g) la constante de la gravedad 9,81 m/s2 en la superficie terrestre.Si haces una media ponderada de el costado de un cuerpo humano viene a ser de unos 14 cm (ms ancho en los muslos, ms fino en los tobillos y ms ancho en el estmago)Midiendo esta variable de tu cuerpo ya podemos medir el tiempo en el que debemos hacer una brazada completa, en mi caso T=2*3,14*(0,14/9,81)1/2

=0,84 segundos ste es el tiempo en el que tengo hacer una brazada completa (desde que empezamos a hacer la brazada nos sumergimos y volvemos a subir volviendo a estar en la misma posicin), de esta forma conseguimos que la fuerza que desarrollamos para producir este movimiento entre en resonancia con la frecuencia natural de nuestro propio cuerpo al flotar.Resumiendo mi cuerpo al flotar oscila arriba y abajo repetitivamente en un determinado tiempo, esto se denomina movimiento armnico simple, a partir de ahora (m.a.s)Por ejemplo al subir una montaa la fuerza de la gravedad es constante hacia abajo pero al nadar sumergindose un poco y volviendo a subir a la superficie, la fuerza de la gravedad y el empuje hacia arriba producido por el agua desalojada, hacen que nuestro cuerpo al flotar suba arriba y vuelva a bajar siguiendo un (m.a.s).Hace dos aos empec a hacer este ejercicio en piscinas pero me preocupaba de recorrer la piscina, ahora creo que no merece la pena preocuparse por avanzar demasiado, y s hacer el movimiento de hundirse y subir a la superficie sin avanzar mucho, o sea que se puede hacer en una piscina pequea.Si lo quieres hacer avanzando, tu cuerpo debe impulsarse siguiendo una funcin seno del periodo que hayas hallado para tu propio cuerpo, el periodo en un (m.a.s) es el tiempo en el que el cuerpo repite dos veces la misma posicin, por ejemplo desde que empezamos la brazada nos sumergimos y volvemos a subir estando en la misma posicin.

Creo que lo mejor es sumergirnos y subir avanzando un poco, es mejor ya que es precisamente en el movimiento vertical del cuerpo donde se produce el (m.a.s), mas que en el movimiento horizontal de avanzar donde no se produce el (m.a.s). Tambien lo he probado en el mar pero las olas tienen su propia frecuencia natural y es muy dificil que dos osciladores fsicos (las olas y la frecuencia natural de flotacin de nuestro cuerpo) entren en resonancia con nuestra propia fuerza impulsora.Viendo la frmula uno se da cuenta que las personas con un costado ms ancho deben nadar ms despacio que las personas ms delgadas.Tampoco importa lo mucho que nos sumerjamos ya que una propiedad delos (m.a.s) es que la frecuencia no depende de la amplitud, si estiramos un muelle dos metros vibrar con las misma frecuencia que si lo estiramos 10 cm, obviamente en primer caso se mover ms deprisa ya que tiene que recorrer ms espacio. Como veremos ms adelante la frecuencia natural de flotacin de nuestro cuerpo es muy parecida a la de un pndulo T=2*pi(h/g)1/2 cambiando (h) la anchura de nuestros costados por (l) la longitud de un pndulo T=2*pi(l/g)1/2

Ms adelante usaremos la frmula de un pndulo fsico para diferentes partes de nuestro cuerpo.Por ltimo considerar que el cuerpo humano no es igual que una tabla pero una aproximacin del 80% es suficientemente buena, en fsica se usan

continuamente aproximaciones en muchos casos ya que simplifican mucho los clculos y muchas veces son perfectamente vlidas para resolver los problemas a los que nos enfrentamos.

CAPTULO 3

EFECTOS DE RESONANCIA EN LAS PIERNAS

El periodo de un pndulo es T=2*pi*(g/l)^1/2 sin embargo un pndulo tiene una dependencia de la posicin respecto a su velocidad, slo tienes que ver su ecuacin de movimientox = A*sen(wt + O) siendo (A) la amplitud (w) la velocidad angular y (0) el ngulo de desfase.Un pndulo al soltarlo no empieza a bajar rpido, se para, vuelve a acelerar y despus sigue un ritmo constante, o sea no va a tirones, sino que sigue un movimiento armonioso, por eso se le le llama movimiento armnico a su movimiento.Para simplificar el movimiento de piernas y brazos hay que tener un par de consideraciones sobre el pndulo, en los extremos de su movimiento su velocidad es 0 y su aceleracin es mxima y en su punto ms bajo su velocidad es mxima y su aceleracin es 0

Por lo tanto en los prximos ejercicios debemos empezar el movimiento pendular de nuestros brazos y piernas de una manera lenta, llegando a su mxima velocidad en su punto ms bajo y reducir su velocidad hasta el otro extremo.Todo esto en el tiempo que hallaremos a continuacin para cada brazo o pierna particular de cada persona.S que es un poco complicado pero con un poco de prctica se puede conseguir.De hecho para el ejercicio de la natacin tambin hay que seguir este procedimiento, empezar con una inmersin lenta, aumentando la velocidad en el punto medio de la inmersin y reduciendo la velocidad hasta llegar al punto ms bajo de la inmersin.El primer ejercicio es el clsico de la bailarina, con un pie apoyado en el suelo y apoyndose con una mano, mover la otra pierna en el aire libremente, a todos los efectos la pierna que est en el aire de una forma rgida se puede mover como si fuera un pndulo fsico de forma cilndrica anclado en la cadera.

A todos los efectos la pierna acta en este movimiento como un pndulo fsico de forma cilndrica de periodo T=2*pi*(I/mgh)1/2, donde (I) es el momento de inercia de un cilindro (m) la masa de la pierna, en el cuerpo humano la pierna viene a pesar el 10% del peso total del cuerpo humano (g) la aceleracin de la gravedad al nivel del mar 9,81 m/s2 que se puede considerar constante en cualquier parte del planeta tierra, a no ser que hagas el ejercicio en el pico del Himalaya (h) es la distancia del la cadera que acta como punto de anclaje al centro de masas de la pierna que aproximadamente anda sobre la rodilla.El momento de inercia de un cilindro es I=1/4 MR2 + 1/12 ML2 siendo (M) la masa de la pierna (R) el radio del cilindro, o sea el radio de la pierna si la consideramos como un cilindro, sta medida se puede hacer a la altura de la rodilla (L) la longitud total de la pierna desde la cadera al pie.Voy a hallar el periodo de oscilaciones de mi pierna para este ejercicio, empecemos por el momento de inercia de mi pierna.(M) la masa de mi pierna es aproximadamente de 7,1 Kg el 10% de mi peso (R) el radio de mi pierna medida a la altura de la rodilla viene a ser de 0,025 m (todas las medidas hay que ponerlas en en sistema internacional de medidas, kilogramos, metros y segundos) (L) la longitud de mi pierna es de unos 0,7 metros.Por lo tanto el momento de inercia es: I=1/4*7,1*0,0252 + 1/12*7,1*0,72 = 0,29 Kg*m2

Pasando esta cantidad a la frmula del periodo de oscilaciones tenemos que: T=2*3,14*(0,29/7,1*0,35*9,81)2= 0,68 segundos.El otro ejercicio que propongo es tener el muslo en posicin horizontal y mover la parte de la pierna que va desde la rodilla al pie de forma pendular.

Ahora a todos los efectos la parte que va de la rodilla al pie acta como un pndulo fsico anclado en la rodilla, por mi experiencia hay que tener un poco de cuidado ya que se fuerza un poco la rodilla en esa posicin al actar la rodilla como punto de anclaje en una posicin un poco inestable.Voy a hallar el periodo correspondiente para mi pierna y empiezo por el momento de inercia.(M) la masa de mi pierna desde la rodilla al pie es aproximadamente de 3,5 Kg el 5% de mi peso (R) el radio de la parte inferior de mi pierna haciendo una media ponderada entre la rodilla y el pie viene a ser de 0,02 m (todas las medidas hay que ponerlas en en sistema internacional de medidas, kilogramos, metros y segundos) (L) la longitud desde la rodilla al pie es de unos 0,3 metros.Por lo tanto el momento de inercia es: I=1/4*3,5*0,02^2 + 1/12*3,5*0,3^2 = 0,026 Kg*m2

Pasando esta cantidad a la frmula del periodo de oscilaciones tenemos que: T=2*3,14*(0,02/3,5*0,3*9,81)2= 0,27 segundos.En algunas ciudades hay unos aparatos donde apoyas el pie y mueves la pierna de forma rgida haca delante y atrs, el movimiento es como el que hacen los esquiadores de fondo, pero el aparato est un poco levantado del suelo.

A todos los efectos la pierna acta en este movimiento como un pndulo fsico de forma cilndrica de periodo T=2*pi*(I/mgh)1/2, donde (I) es el momento de inercia de un cilindro (m) la masa de la pierna, en el cuerpo humano la pierna viene a pesar el 10% del peso total del cuerpo humano (g) la aceleracin de la gravedad al nivel del mar 9,81 m/s2 que se puede considerar constante en cualquier parte del planeta tierra, a no ser que hagas el ejercicio en el pico del Himalaya (h) es la distancia del la cadera que acta como punto de anclaje al centro de masas de la pierna que aproximadamente anda sobre la rodilla.El momento de inercia de un cilindro es I=1/4 MR2 + 1/12 ML2 siendo (M) la masa de la pierna (R) el radio del cilindro, o sea el radio de la pierna si la consideramos como un cilindro, sta medida se puede hacer a la altura de la rodilla (L) la longitud total de la pierna desde la cadera al pie.Voy a describir que es un pndulo fsico, aunque es fsica un poco avanzada no os preocupis ya que los clculos para hacer este ejercicio son muy simples, pero ste es un libro de fsica y por lo tanto debo ponerlo, si no ests interesado en saber como funciona un pndulo fsico puedes obviar esta parte.

El artculo est sacado de Wikipedia.***Un pndulo fsico o pndulo compuesto es cualquier cuerpo rgido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.El pndulo fsico es un sistema con un slo grado de libertad; el correspondiente a la rotacin alrededor del eje fijo ZZ' (Figura 1). La posicin del pndulo fsico queda determinada, en cualquier instante, por el ngulo 0 que forma el plano determinado por el eje de rotacin (ZZ') y el centro de gravedad (G) del pndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotacin.

Llamaremos h, a la distancia del centro de gravedad (G) del pndulo al eje de rotacin ZZ'. Cuando el pndulo est desviado

de su posicin de equilibrio (estable) un ngulo O, actan sobre l dos fuerzas (mg y N) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ' es un vector dirigido a lo largo del eje de rotacin ZZ', en el sentido negativo del mismo; i.e.,M = -mgh*sin(O)Si es (I) el momento de inercia del pndulo respecto al eje de suspensin ZZ' y llamamos a la aceleracin angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuacin diferencial del movimiento de rotacin del pndulo: -mgh*sin(0) = I* que podemos escribir en la forma + mgh*sin(O)/I = 0que es una ecuacin diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el pndulo simple.En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequea, podemos poner sen(O) = O y la ecuacin adopta la formaque corresponde a un movimiento armnico simple.El periodo de las oscilaciones es T=2*pi*(I/mgh)

***

Voy a hallar el periodo de oscilaciones de mi pierna para este ejercicio, empecemos por el momento de inercia de mi pierna.(M) la masa de mi pierna es aproximadamente de 7,1 Kg el 10% de mi peso (R) el radio de mi pierna medida a la altua de la rodilla viene a ser de 0,025 m (todas las medidas hay que ponerlas en en sistema internacional de medidas, kilogramos, metros y segundos) (L) la longitud de mi pierna es de unos 0,7 metros.Por lo tanto el momento de inercia es: I=1/4*7,1*0,0252 + 1/12*7,1*0,72 = 0,29 segundos Kg*m2

Pasando esta cantidad a la frmula del periodo de oscilaciones tenemos que: T=2*3,14*(0,29/7,1*0,35*9,81)2 = 0,68 segundos.Otro ejercicio es el de la bicicleta esttica, el pedal es un crculo que vamos a dividir en dos semicrculos, cuando el pedal est en la posicion media (ni arriba ni abajo)

empieza a bajar y luego se pone en la posicin media posterior otra vez. La parte de nuestra pierna desde la rodilla al pie acta a todos los efectos como un pndulo fsico de forma cilndrica, como en el apartado anterior pero ahora usando slo la parte de la rodilla al pie, cuando el pedal hace este movimiento y empieza a subir la otra pierna vuelve a hacer el mismo movimiento que hizo la otra pierna antes, empieza a bajar y subir de forma semicircular como un pndulo, o sea que midiendo el periodo de media pedalada para que la parte de nuestra pierna desde la rodilla al pie entre en resonancia con la frecuencia natural de oscilacin de la parte de nuestra pierna desde la rodilla al pie multiplicado por dos sabremos el tiempo en el que tenemos que hacer un giro completo del pedal.Voy a hallar el periodo correspondiente para mi pierna y empiezo por el momento de inercia.

(M) la masa de mi pierna desde la rodilla al pie es aproximadamente de 3,5 Kg el 5% de mi peso (R) el radio de mi pierna medida a la altura central del muslo viene a ser de 0,02 m (todas las medidas hay que ponerlas en en sistema internacional de medidas, kilogramos, metros y segundos) (L) la longitud desde la rodilla al pie es de unos 0,3 metros.Por lo tanto el momento de inercia es: I=1/4*3,5*0,02^2 + 1/12*3,5*0,3^2 = 0,026 Kg*m2

Pasando esta cantidad a la frmula del periodo de oscilaciones tenemos que: T=2*3,14*(0,02/3,5*0,3*9,81)2 = 0,27 segundos, multiplicado por dos es 0,54 segundos, ste es el tiempo en el que debemos hacer un giro completo del pedal para que nuestra fuerza impulsora entre en resonancia con la frecuencia natural de nuestras piernas.En algunas ciudades hay unos aparatos donde apoyas el pie y mueves la pierna de forma rgida haca delante y atrs, el movimiento es como el que hacen los esquiadores de fondo, pero el aparato est un poco levantado del suelo, a todos los efectos tenemos que usar el periodo hallado anteriormente en el ejemplo de la bailarina para mover una pierna de forma rgida, pero de esta forma podemos usar ambas piernas.Por ltimo considerar que estamos haciendo aproximaciones para pndulos fsicos con oscilaciones pequeas, que son suficientemente acertadas, estas aproximaciones son perfectamente vlidas para oscilaciones no mayores de 45 de amplitud. se puede usar la frmula general de un pndulo que expondr al final del libro pero es bastante complicada y no creo que sea necesara para nuestros clculos ya que normalmente no excederemos esta amplitud, aunque bien es cierto que en algunos ejercicios se puede superar un poco, quin quiera usarla est en su perfecto derecho, tambin pondr algunos ejemplos, pero vuelvo a insistir que la considero bastante complicada para nuestros clculos.Resumiendo en el primer ejercicio con la pierna rgida, la cadera acta como punto de anclaje y tenemos que considerar toda la pierna desde la cadera al pie.El el segundo ejercicio, el de la bicicleta esttica, el punto de anclaje del pndulo fsico est situado en la rodilla y debemos consdierar la parte de la pierna desde la rodilla al pie, para hacer nuestros clculos.

CAPITULO 4

EL CUELLO Y LA CABEZA

Muchas veces he visto gente que para relajarse mueve el cuello y la cabeza de izquierda a derecha para relajarse, el cuello y la cabeza son una parte muy importante de nuestro cuerpo, de hecho sta ltima nos permite pensar.En este captulo te voy a dar la frmula para que halles el tiempo de la frecuencia natural de oscilacin de torsin del cuello y la cabeza.El cuellos a todos los efectos es un pndulo de torsin, la frmula del periodo es T=2*pi*(I/c)1/2, se puede hacer perfectamente la aproximacin de que el momento de inercia del cuello y cabeza es la de un cilindro I=1/4 MR2 + 1/12 ML2 la misma que en el primer apartado del ejemplo anterior, siendo (M) la masa de la cabeza, la masa de la cabeza de un ser adulto viene a ser de 8 Kg. a esto le debes sumar el peso del cuello, no encuentro mejor manera de que peses tu cabeza y cuello que ponerlos sobre una bscula, creo que no te ser muy difcil (R) Es el radio del sistema cabeza cuello, o sea un poco menor que la mitad del crneo ya que el radio del cuello es un poco ms pequeo, puedes hacer una media ponderada del sistema cabeza cuello con una medida un poco menor que la mitad del crneo, creo que la aproximacin es suficientemente buena (L) es la longitud de la base del cuello al punto ms alto de tu cabeza.La posicin de equilibrio es la que tenemos mirando de frente, si por ejemplo en tu cuello el periodo hallado es de 0,5 segundos el movimiento que debes hacer es desde que desvas el cuello un poco a la izquierda o derecha lo mueves al lado contrario y vuelve a la posicin donde lo tenas al empezar el ejercicio, o sea pasando dos veces por la posicin de equilibrio, bsicamente como un pndulo, pero en este caso de torsin.Por mi experiencia en laboratorios, la constante de torsin del sistema cabeza cuello es relativamente grande, y por otra parte difcil de medir debido al gran nmero de msculos que actan en ese movimiento.Voy a usar el mtodo de medida de la constante de torsin tpica en un laboratorio, que es girar la cabeza 15, 30 y 45 y hallar el momento de la fuerza ejercida, tengo que decir que aunque hay maneras de hallar el momento de la fuerza, no tengo el instrumental necesario para hallarlo exactamente y voy hacerlo a ojmetro, luego hallar la recta de regresin con los 3 datos y or fin hallar la pendiente de la recta para hallar la constante de torsin.Los 3 datos son:15 momento ejercido 2N*0,05 m.30 momento ejercido 4N*0,05 m.45 momento ejercido 6N*0,05 m.

Tabla de Datos

X Y X2 X*Y

15 0.1 225 1.5

30 0.2 900 6

45 0.3 2025 13.5

Totales 90 0.6 3150 21

Entonces:

b=((3 )(21)-(90)(0.6)) / ((3)(3150)-(90)2)

b=0.00666666666667a=(0.6 - 0.00666666666667*90)/3a=1.85037170771E-16

Por lo tanto, la recta de mejor ajuste es:

Y=1.85037170771E-16+0.00666666666667x

La recta de regresin es y = 0+0.007x por lo tanto su pendiente es 0.007 y su constante de torsin "c" = 0.007 N*mVoy a hallar el periodo de oscilaciones para mi cuello, aunque hay que recordar que el sistema cuello cabeza est muy unido, eso ser otro ejercicio para una futura edicin, aunque deberas estar capacitado para hallarlo ya!.El momento de inercia de un cilindro, para el caso de mi cuello es:I=1/4 MR2 + 1/12 ML2

Siendo (M) la masa de mi cuello unos 2 Kg.(R) El radio de mi cuello unos 4 cm.(L) La altura de mi cuello unos 7 cm.Por lo tanto I = 1/4*2*0,042 + 1/12*2*0,072 = 0,0016 Kg*m2

Con estos datos hallamos el periodo de oscilacin natural de mi cuello, considerndolo un pndulo de torsin.T = 2*pi*(I/c)1/2 = 2*3,14*(0,0016/0.007)1/2 = 3 segundosQue a pesar que los clculos se han hecho de una manera muy subjetiva, llegamos a la conclusin que debemos mover el cuello de una manera muy lenta.Es curioso como las frmulas fsicas son muy parecidas y es que el cuerpo se compone de pndulos (brazos y piernas) pndulos de torsin (cuello) o tablas flotando (cuando nuestro cuerpo nada sumergindose un poco)Tambin hay que tener en cuenta que estos movimientos se deben hacer lo ms aproximado posible a la frecuencia natural, cuando impulsamos nuesta parte del cuerpo en la misma frecuencia natural que esa parte del cuerpo la fuerza tiende a infinito y es una gran fuerza que hay que aprovechar, adems de no entrar en desfase con la frecuencia natural lo que hace que tu ejercicio sea ms eficaz, personalmente los resultados son bastante espectaculares y no tienes que hacer ms de 5 10 minutos de ejercicio para que ste sea eficaz.En la grfica de resonancia podemos ver que al aproximarse mucho a la frecuencia natural, se produce un pico no muy ancho que tiende a infinito, aunque hagas el ejercicio con pequea desviacin del periodo de su frecuencia natural todava pillas cacho, pero con una desviacin de ciertas dcimas ya slo consigues aproximadamente un 20% de fuerza de resonancia.

CAPITULO 5

LA LENGUA

La lengua es un rgano vibratorio del cuerpo humano de primera magnitud, bsicamente se desplaza de arriba a abajo, de dentro haca afuera o se arquea haca arriba para que perturbe el aire y as producir slabas y palabras.No nos vamos a ocupar de su movimiento normal que es cuando est en su posicin horizontal apoyada en el maxilar inferior y donde se arquea,sube o se curva para producir las palabras, ste movimiento no nos interesa, primero porque es un movimiento complicado para hacer clculos y por otra parte este movimiento no es un m.a.s.Sin embargo si hacemos un simple cambio de coordenadas de 90 grados, mgicamente y con la ayuda de la fsica nos encontramos en unas circunstancias donde la lengua es ahora a todos los efectos un pndulo fsico con forma de tabla anclado en la parte anterior de la boca.

O sea en la posicin en que bajamos la cabeza para saborear un helado y la posicin de la lengua est en posicin vertical.Empezamos a hacer los clculos y empezamos calculando el momento de inercia de la lenguaI=1/3*M*L2 (L) es la longitud total de la lengua, en una persona adulta viene a ser de 10 cm. si quieres mayor exactitud tendrs que medirla con una regla.(M) es la masa de la lengua, he buscado en internet y dicen que la masa de la lengua de una persona adulta es de entre 100-150 gramos, creo que es una masa bastante realista y vamos a usar una masa de 125 gramos para nuestro ejemplo. Si quieres mayor exactitud lo nico que se me ocurre es coger un vaso pequeo con agua y hacer una marca en la parte superior donde llega el agua, meter la mitad de la lengua y hacer otra marca, pesar el lquido desalojado por la mitad de la lengua, o sea el contenido entre las dos marcas y multiplicarlo por dos para hallar la masa total de la lengua, vemos otra vez que el principio de Arqumedes vuelve a ser til.Bueno finalicemos los clculos para el momento de inercia de la lengua y no olvidarnos de pasar todas las medidas al sistema internacional. I=1/3*0,125*0,12=0,00042 (poner unidades)Usando esta medida en la frmula del periodo T=2*pi*(I/mgh)1/2 donde m=masa de la lengua, g=aceleracin de la gravedad en La Tierra, y h=distancia del punto de anclaje de la lengua a su centro de masas, como la lengua es un poco ms estrecha en su parte final y hemos quedado que la lengua viene a medir 10 cm. vamos a considerar su centro de masas unos pocos milmetros antes de su centro a unos 4,8 cmCon estos datos ya podemos hallar el periodo T=2*3,14*(0,00042/0,125*9,81*0,048)1/2=0,53 segundos.Yo a veces hago este ejercicio y la lengua lo agradece, a todos los efectos al hacer este ejercicio la lengua entra en resonancia con su frecuencia natural de oscilacin y fortalece la lengua, adems yo estoy convencido que cuando nuestros msculos, como es el de la lengua, entran en resonancia con su frecuencia natural del oscilacin obtenemos tambin un beneficio mental y a todos los efectos tanto nuestra mente y cuerpo funcionan mejor.Pues ahora vamos con los clculos para que puedas hallar el periodo o tiempo en el que debes mover tu lengua en esa posicin vertical.Quiero insistir que cuando hablo de periodo, hablo de tiempo a todos los efectos, de hecho el periodo se mide en segundos, la idea fsica de periodo es igual a lo que habitualmente entendemos como algo repetitivo, como cuando una mujer tiene el periodo, o sea cada cierto tiempo. Estrictamente en fsica el periodo es el tiempo en el que un movimiento armnico simple efecta un movimiento completo, por ejemplo cuando movemos un pndulo a la derecha lo soltamos, se dirige a la izquierda y vuelve a su posicin inicial a la derecha, en fsica el tiempo en el que se ha producido todo el movimiento se denomina periodo, si no hubiera rozamiento el pndulo estara haciendo todo el rato ese movimiento en el tiempo que denominamos periodo.Empecemos con los clculos, la frmula del periodo es la clsica para un pndulo fsico T=2*pi*(I/mgh)^1/2, ahora el momento de inercia es el correspondiente a una tabla rectangular anclada por uno de sus lados, en este

caso uno de los lados ms estrechos correspondiente a la parte de la lengua anclada en la parte interior de la boca.Los momentos de inercia vienen tabulados en cualquier pgina de fsica y en internet puedes buscarlos sin mayores problemas, el nombre tcnico de una placa rectangular de lados a b y espesor c es paralepipedo, reconozco que me cost un poco encontrar ste momento de inercia, finalmente lo encontr en una pgina de ingenieros agrnomos, y me sorprendi que el momento de inercia de un paralepipedo respecto al plano formado por el lado aOc,era segn esta pgina I=1/12 Mb^2, me sorprendi que el momento de inercia de la lengua respecto a este plano slo dependiera de la longitud de la lengua, en una persona adulta la longitud de la lengua viene a medir 10 cm.esto nos vena al pelo ya que simplificaba mucho los clculos y si quieres ms exactitud slo queda sacar la lengua y medirla con una regla, ten cuidado de no atragantarte.Pero claro segua sin ver como se simplificaba tanto la frmula de este momento de inercia, y decid calcularlo por mi cuenta, en fsica lo peor que puedes hacer es calcular las cosas a ojmetro y cuando tienes una duda lo mejor es ponerte a hacer los clculos con lpiz y papel siguiendo las reglas fsicas y matemticas necesarias. Adems a veces me falla mi visin espacial aunque a veces me funciona muy bien ya que la idea del libro me vino al considerar brazos y piernas como pndulos fsicos de forma cilndrica, o al aproximar el cuerpo y la lengua como dos paralepipipedos, en el primer caso al nadar y en este caso que nos ocupa al considerar la lengua como un paraleppedo en su posicin vertical y anclado en el plano que la lengua forma con la parte anterior de la boca.Como ste es un libro de fsica voy a poner el desarrollo para hallar este momento de inercia, los clculos no son excesivamente complicados y slo se necesita un poco de destreza en integracin bsica, pero para cualquier persona sin conocimientos fsicos puede obviar sin ningn problema esta explicacin y aplicar los clculos para la frmula final que expondr ms adelante.

***momento de inercia de un paralepipedo de lados a b y espesor c respecto a uno de sus lados*****

Empezamos usando la clsica frmula de la densidad para hallar la masa de la lengua p=M/V, a todos los efectos consideramos la densidad de la lengua constante en todos sus puntos, o sea p es una constante.Por lo tanto la masa de la lengua es M=pV, como elemento diferencial usamos una placa infinitesimalmente delgada de lados a c y longitud db, por lo tanto la masa de este elemento diferencial es:dm=p*a*b*db el momento de inercia de tal elemento diferencial respecto al plano aOc es dIca= b2**dm o sea dIca= b2*p*a*b*db y el de todo el cuerpo, respecto al mismo plano una distancia b (0= b =c)del plano aOc es la integral Ica= b2**p*a*b*db entre los lmites de integracin 0 y c, los lados del elemento infinitesimal de volumen, a y c son constantes as como la densidad, por lo que salen fuera de la integral y quedap*a*b**Ica= b2*db integrando entre los lmites anteriormente definidos queda I=1/3*p*a*b*c3, aqu es donde quera llegar yo ya que aqu vemos que el momento de inercia depende de los 3 lados del paraleppedo, pero nuestros queridos amigos agrnomos se haban dado cuenta que la masa del

paraleppedo es M=p*a*b*c por lo tanto podemos simplificar y poner I=1/3*M*c2, volvemos a ver que la fsica es mgica y que el momento de inercia considerado, o sea el de la lengua en posicin vertical slo depende de la longitud de la lengua y de su masa.

***

Empezamos a hacer los clculos y empezamos calculando el momento de inercia de la lenguaI=1/3*M*L2 (L) es la longitud total de la lengua, en una persona adulta viene a ser de 10 cm. si quieres mayor exactitud tendrs que medirla con una regla.(M) es la masa de la lengua, he buscado en internet y dicen que la masa de la lengua de una persona adulta es de entre 100-150 gramos, creo que es una masa bastante realista y vamos a usar una masa de 125 gramos para nuestro ejemplo. Si quieres mayor exactitud lo nico que se me ocurre es coger un vaso pequeo con agua y hacer una marca en la parte superior donde llega el agua, meter la mitad de la lengua y hacer otra marca, pesar el lquido desalojado por la mitad de la lengua, o sea el contenido entre las dos marcas y multiplicarlo por dos para hallar la masa total de la lengua, vemos otra vez que el principio de Arqumedes vuelve a ser til.Bueno finalicemos los clculos para el momento de inercia de la lengua y no olvidarnos de pasar todas las medidas al sistema internacional. I=1/3*0,125*0,12=0,00042 Kg*m2

Usando esta medida en la frmula del periodo T=2*pi*(I/mgh)^1/2 donde m=masa de la lengua, g=aceleracin de la gravedad en La Tierra, y h=distancia del punto de anclaje de la lengua a su centro de masas, como la lengua es un poco ms estrecha en su parte final y hemos quedado que la lengua viene a medir 10 cm. vamos a considerar su centro de masas unos pocos milmetros antes de su centro a unos 4,8 cmCon estos datos ya podemos hallar el periodo T=2*3,14*(0,00042/0,125*9,81*0,048)1/2 = 0,53 segundos.Me llama mucho la atencin que la frecuencia natural de flotacin un cuerpo humano que consideramos normal, unos 0,16 cm. de costado, es de 1 segundo aproximadamente y el de la lengua de una medida de 10 cm. y una masa de 0,125 es de 0,5 segundos, no s quin consider el segundo como medida universal del tiempo, pero acert plenamente ya que est en concordancia con dos actividades importantes de nuestra morfologa, primero el nadar (dicen los expertos que todos los seres vivos includos nosotros provenimos del agua), no hay que menospreciar a nadie porque tenga un defecto fsico pero la media universal tiende a 1 segundo, y el de la lengua que nos sirve para la funcin importantsima de hablar y que es de 1/2 segundo de media, o sea vemos que hay una relacin 1 a 1/2 que luego compararemos con las medidas de brazos, piernas y cuello-cabeza para ver si sigue habiendo sta relacin simple.Hemos avanzado algo y ya sabemos a que velocidad tenemos que mover nuestra lengua para saborear un helado y no entrar en desfase con su propia frecuencia natual y por lo tanto no hacer esfuerzos innecesarios, adems de lo que hemos dicho al principio sobre la soprano que es capaz de romper una copa con ayuda de sus cuerdas vocales y de la propia lengua.

CAPITULO 6

BRAZOS

Con los brazos podemos hacer dos ejercicios donde podemos hallar el periodo de forma fcil.Se puede hacer la aproximacin de considerar los brazos como pndulos fsicos con forma de cilindro, el primer ejercicio consiste en mantener rgido el bceps y el codo, y sin mover esta parte mover nicamente el antebrazo,

si lo hacemos sin ningn tipo de pesas en la mano el centro de masas estara situado un poco ms arriba de la mitad del antebrazo ya que la parte cerca del codo pesa ms que la mueca, aqu vemos que influye la masa del brazo no como en la natacin donde slo importa la medida del costado, si usamos una pesa pequea por ejemplo de 1 kg. moveramos el centro de masas aproximadamente al centro del antebrazo, segn vayan siendo las pesas msgrandes ms desplazamos el centro de masas del brazo hacia la mano.Tambin tenemos que tener en consideracin que las pesas han de ser pequeas (una bola de 1 kg por ejemplo) ya que si son de un volumen grande, como una mancuerna desbarataran la aproximacin de considerar el antebrazo como un cilindro y dificultaran los clculos.La frmula que debemos usar es la misma que en el ejemplo de los brazos, o sea la de un cilindro.Tenemos que tener en cuenta tambien el radio del brazo, o sea si lo consideramos como un cilindro tenemos que hacer una media ponderada de su radio que sera la mitad de la anchura del antebrazo medida en la mitad del antebrazo.

Por ejemplo mi antebrazo mide 20 cm. y la mitad de su anchura viene a ser de unos 2 cm. como estos datos podemos hallar el periodo del movimiento que sera...Lo puedes hallar t slo?. He de recordar que cuanto ms peso usemos en la mano ms desplazaremos el centro de masas del antebrazo haca la mueca.Aunque es obvio el punto de anclaje de este pndulo fsico es el codo, donde se produce un rozamiento que estamos despreciando.El otro ejercicio es mantener el brazo en posicin vertical alineado con el cuerpo, la frmula sera la misma que en el ejemplo anterior, seguimos considerando todo el brazo como un cilindro y ahora el punto de anclaje sera el hombro, el centro de masas aproximadamente a la altura del codo y la longitud del pndulo fsico sera la de todo el brazo.El movimiento sera mover el brazo rgido desde su posicin de equilibrio hasta una posicin no mayor de la horizontal con el suelo, mejor no llegar a la posicin horizontal del brazo, manteniendo en todo momento el brazo rgido.La media ponderada del radio lo podemos medir la altura del codo y viene a ser un poco mayor que cuando medimos la del antebrazo, en mi caso la media ponderada del radio de mi brazo es de unos 2,5 cm con este dato y la longitud de mi brazo hallamos el periodo del movimiento con una aproximacin bastante buena. Por ejemplo para un brazo de 40 cm de longitud y 2,5 cm de radio el periodo sera... (Intenta hacer los clculos t), ste es el tiempo en el que debemos mover el brazo desde su posicin vertical hasta una posicin no superior de la horizontal con el suelo y volver a su posicin de equilibrio.Aqu vuelve a tener importancia si usamos peso con la mano o no, sino usamos peso el centro de masas estara sobre el codo, pero si usamos peso desplazamos el centro de masas haca la mueca de una forma mayor cuanto mayor sea el peso.La posicin es parecida a los antiguos grabados que hacan los egipcios.

CAPTULO 7

LOS BRAZOS COMO UN MUELLE

Hemos visto como nadar y mover las extremidades de forma pendular se pueden hacer siguiendo un movimiento armnico simple, ahora vamos a ver otra forma de mover los brazos de forma armnica, pero siguiendo las pautas de un muelle.Los barcos siguen movimientos armnicos en el mar, los relojes de pndulo utilizan pndulos de un periodo especfico para mover los engranajes del reloj en un tiempo determinado y as mover las agujas del reloj para que estos puedan medir el tiempo, pues bien los muelles tambin siguen un movimiento armnico y ahora vamos a hallar el periodo en que debemos mover nuestros dos brazos al unsono, para que entremos en resonancia con su oscilacin natural en la gravedad terrestre, aclarando que si estuvisemos en la Luna, los clculos habra que cambiarlos ya que sta ejerce una fuerza menor sobre nuestro cuerpo.Vamos a hallar la ecuacin diferencial de un muelle para probar que es la misma que usbamos en el captulo de los dedos de una mano, en ese ejemplo era + (mgh/I)*O = 0 (siendo O el desplazamiento angular).La fuerza que ejerce un muelle sobre un masa est demostrado que esF = -k*x (siendo k la constante de recuperacin del muelle y x el desplazamiento).Vemos dos caractersticas:1) La fuerza es opuesta al desplazamiento2) k la constante de recuperacin es caracterstica de cada muelle y en principio est muy relacionada con el material y la forma de construccin del muelle.Como F = m*a (segunda Ley de Newton) m*a = -k*x y como la aceleracin es la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo, podemos escribir:d2x/dt2 = -(k/m) * x que es exactamente igual que = - (mgh/I)*O cambiando la constante (k/m) por (mgh/I)El ejercicio propiamente dicho es el que ilustro en el siguiente dibujo.

A todos los efectos los dos brazos actuan como dos muelles de los que cuelga la restante masa del cuerpo, quizs es difcil ver que los brazos sean unos muelles de los que cuelga la restante parte del cuerpo en esa posicin, pero es realmente cuando actun como muelles al subir y bajar los brazos un poco elevndolos y bajndolos.Los brazos al hacer el ejercicio actan como muelles de constante de recuperacin "k" muy grande, prcticamente como un muelle de alambre fino

que se deforma muy poco, aunque los msculos internos s se deforman ms y por lo tanto se pueden asemejar ms a un muelle tradicional.En principio vamos a utilizar una k muy alta del valor de un material poco deformable.Vamos a hallar el periodo en el que tenemos que subir los brazos un par de centmetros y volverlos a bajar, quiero recordar que en los movimientos armnicos simples la amplitud es independiente del tiempo, o sea podemos subir los brazos 2 10 centmetros pero tenemos que hacerlo en el periodo que hayamos hallado, obviamente si los subimos 10 centmetros habr que hacerlo a ms velocidad que si slo subimos 2 centmetros, pero sea cual sea la subida que hagamos el movimiento completo habr que hacerlo en el periodo hallado para tu propio brazo.Aqu no entramos en consideracin de energa, que que si subes los brazos 10 cm. la energa potencial producida es mucho mayor que si slo subimos nuestro cuerpo 2 cm.Nosotros slo estamos centrados ahora en el movimiento armnico simple de nuestros dos brazos considerndolos como dos muelles de los que cuelga la masa restante de nuestro cuerpo.Una consideracin importante es que la masa de nuestro cuerpo cuelga de nuestros dos brazos, o sea de dos muelles, y cuando una masa cuelga de dos muelles el clculo de la constante elstica "k" cambia bastante, de una forma parecida a lo que lo hacen las resistencias en circuitos elctricos, si estn conectadas en serie o en paralelo.

Vemos que hay un clara analoga para el clculo de la constante elstica y la resistencia equivalente, cuando ambas estn conectadas en serie, me parece una clara analoga entre la mecnica y el electromagnetismo, pero en nuestro caso nuestro brazos, estn conectados en paralelo y la analoga con el electromagnetismo contina como describo en el siguiente dibujo.

Vemos otra vez que hay una clara analoga entre ambos sistemas, uno de mecnica y otro de electromagnetismo.Primero vamos a hallar la constante equivalente de ambos brazos como si fueran muelles de los que cuelga la masa restante de nuestro cuerpo.Insisto en que en este ejercicio lo que trabajamos son los brazos desde la mueca al hombro, y que debemos subir y bajar los brazos intentando no torsionarlos, ni ayudndose de otros msculos de nuestro cuerpo, ya que para el ejercicio consideramos toda parte de nuestro cuerpo que no sean los brazos como una masa inerte, y el movimiento de los brazos arriba y abajo se debe hacer en el periodo que hallemos para nuestro propio cuerpo.Vamos a hallar la constante elstica equivalente para mis brazos y en general para cualquier persona, los brazos son casi indeformables, no tanto como varillas de metal, pero de una constante elstica muy grande, esto quiere decir como he dicho antes que se deforman muy poco cuando cuelga peso de ellos.Una "k" realista para nuestros brazos anda sobre el orden de 4000 N/m

(Lo he hallado usando una recta de regresin con los valores que se deformaran nuestros brazos para diferentes pesos y calculando la pendiente), y como ambos brazos estn en paralelo, la constante elstica resultante es igual a:1/Kr = 1/4000 + 1/4000 = 2/4000 por lo tanto Kr = 2000 N/mEl periodo de un un muelle es igual a T = 2*pi*(m/k)1/2

Nuestro dos brazos pesan el 20% de nuestro peso total, por lo tanto la masa que tenemos que medir es aproximadamente el 80% de nuestro peso, en mi caso como peso 70 Kg la masa que tengo que poner en la frmula es 70 Kg*0,8 = 56 Kg (Todas las medidas en el sistema internacional).Por lo tanto el periodo en el que tenemos que subir y bajar los brazos es en mi caso:T = 2*3,14*(56 Kg /2000 N/m)1/2 = 1,05 s.Puedes ahora hallar el periodo para tu propios brazos y tu masa corporal?.Tengo que reconocer que este ejercicio es uno de mis favoritos, y que fortalece el cuerpo de una manera excepcional, y es que en este ejercicio hemos introducido una variante nueva, y es considerar a los brazos como dos muelles en paralelo, de una constante elstica muy grande, o sea casi indeformables.Llegado a este punto vamos a introducir otro ejercicio muy peculiar, y es considerar a todo el cuerpo como un pndulo.

CAPTULO 8

TODO EL CUERPO COMO UN PNDULO

En este ejercicio vamos a considerar todo el cuerpo colgado de los brazos como un pndulo en forma de paraleppedo, o sea en forma de tabla, y vamos a hallar su periodo de oscilcin natural para tu propio cuerpo.

Es verdad que hay un hueco encima de la cabeza y entre los brazos, como se

puede ver en el siguiente dibujo, pero la aproximacin es bastante buena.

El ejercicio es fcil, consiste en balancearnos colgados de nuestros brazos, como si todo nuestro cuerpo fuera un pndulo en forma de tabla.Segn vimos en el ejercicio de la lengua, el momento de inercia de un paraleppedo es:I=1/3*M*L2 (L) es la longitud total del cuerpo o sea la altura total con los brazos alzados, o sea algo ms de la altura normal, en mi caso aproximadamente 1,96 m. y eso que mido 1,72 m.(M) es la masa total de mi cuerpo 70 kg.El momento de inercia para mi caso es:I = 1/3*70*1,962 = 89,64 Kg*m2

Con estos datos y la ayuda de la frmula de un pndulo fsico ya puedo hallar el periodo de oscilacin natural de mi cuerpo, considerndolo un pndulo fsico en forma de tabla.(h) el centro de masas, lo consideramos un poco ms abajo del centro de (L) ya que hay un hueco sustancial entre brazos y cabeza, aproximadamente a 1,17 m. del punto de suspensin.T = 2*pi*(I/mgh)1/2 = 2*3,14*(89,64/70*9,81*1,17)1/2 = 2,01 segundos

ste es el tiempo en el que tenemos que hacer un balanceo completo, hacia adelante y volver atrs en ese tiempo total.Cabe decir que el ejercicio no consiste en resistir colgado, sino de hacer el balanceo en el tiempo hallado para tu propio cuerpo algunas veces sin cansarse ni agotarse.

CAPTULO 8

DEDOS DE LA MANO

ste captulo quizs es un poco tcnico y las personas que no estn familiarizadas excesivamente con la fsica pueden pasar un poco de puntillas por la explicacin fsica, aunque he intentado que sea lo ms amena y simple posible, de cualquier manera a final tendrn una expresin sencilla para hacer sus propios clculos.

Anteriormente nos ocupbamos de medir el periodo en el que se deba impulsar un columpio para que coincidiera con su propia frecuencia natural y as que los dos sistemas entraran en resonancia, el columpio eran nuestros brazos, piernas, lengua y cuerpo, y la fuerza impulsora ramos nosotros mismos a travs de nuestra mente conducida a travs de nuestros msculos.Ahora vamos a enfocar el problema desde otro punto de vista, ahora nos interesa saber que velocidad tiene el pndulo fsico, o sea nuestros dedos de la mano o nuestras piernas, en un determinado instante y en consecuencia en que posicin est en un determinado tiempo despus de soltarlo.Resolver este problema nos puede ayudar en saber en que tiempo una pianista tiene que golpear las teclas del piano una vez que empieza a bajar el dedo de la mano, o a la velocidad en la que un futbolista tiene que golpear con la pierna un baln que est cayendo, aunque el Sr. Iniesta parece conocer esto bastante bien.El pndulo fsico es un ente fsico que realiza oscilaciones peridicas bajo la accin de la fuerza gravitatoria, como hemos visto.El movimiento de un pndulo fsico est totalmente gobernado por su ecuacin diferencial + (mgh/I)*O = 0 que es una ecuacin diferencial de segundo orden idntica a la de un muelle, ya que en ambos casos la aceleracin es proporcional y de signo opuesto al desplazamiento, no voy a entrar en consideraciones de como se resuelven este tipo de ecuaciones diferenciales, el que est familiarizado se dar cuenta que es una ecuacin diferencial de segundo orden que se resuelve con la funcin seno o coseno, ya que la derivada del seno es funcin coseno y la segunda derivada es el seno con signo negativo.El origen de nuestro sistema de coordenadas se encuentra en pi y si consideramos un movimiento de 45 o sea 1/2*pi podemos hallar la aceleracin angular que tiene el dedo en esa posicin.Tomando la longitud del dedo como radio de giro es fcil calcular la velocidad que tendra el dedo al golpear la tecla del piano y el tiempo en el que tendra que hacer ese movimiento.Esperemos que estos laboriosos clculos sirvan para que alguna pianista toque alguna meloda ms sublime, si cabe, de lo que habitualmente hacen.Las mismas consideraciones se podran hacer a que velocidad tiene que mover la pierna un futbolista para golpear un pelota en el aire donde tiene que mover la pierna rgidamente 15 grados, por ejemplo desde su posicin de reposo.Una consideracin importantsima es que la pianista deber mover sus dedos de acuerdo con el ritmo de la meloda, esto slo es un libro de fsica que pretende dar una idea, la idea sera hacer una meloda al ritmo de la frecuencia natural de los dedos de la pianista, pero esto es otro cantar.La misma consideracin cabe sobre el futbolista, ste tiene que chutar lo ms fuerte posible para meter un gol, pero le puede servir en sus entrenamientos.

EPLOGO

La resonancias se conoce desde el principio de las civilizaciones, me result curioso leer en un libro (French. Vibraciones y Ondas) que en El Talmud, que es un libro Hebreo de leyes y costumbres religiosas escrito en la antigedad, que cuando un pato meta la cabeza y la rompa por efecto de sus cacareos, el dueo del pato tena que pagar el destrozo, vemos que es el mismo efecto que cuando la soprano rompa la copa emitiendo una nota. Sin embargo este precepto del Talmud resulta curioso ya que un fsico Francs que estudi este precepto dijo que llevaba toda la vida criando patos y nunca les haba visto meter la cabeza en vasijas.Parece que es un precepto que no haca falta ya que el problema de los patosy las vasijas no suele pasar a no ser que en aquella poca fuera un problematan preocupante como para ponerlo por escrito en el propio Talmud.La fuerza de la gravedad es la causante de que los pndulos se muevan como se mueven, es importante llevarse bien con ella.Cuando estaba escribiendo este libro o por la radio en un programa divulgativo de fsica que experimentos de la N.A.S.A. estaban demostrando que sin gravedad envejecemos antes, esto slo puede pasar en el espacio ya que una caracterstica de la fuerza de la gravedad es que no se puede apantallar, esto significa que cuando est presente no se puede anular por ningn mtodo, quien est interesado sobre el tema del envejecimiento por falta de gravedad debe consultarlo por su cuenta, yo no lo he estudiado pero me pareci curioso.Por ltimo comentar que nos estamos aprovechando de un fuerza gratuita,la gravedad que bajo ciertos condicionamientos sirve para ahorrarnos energa, como el clsico problema de construir un largo tnel dentro de la tierra para lanzar cohetes a La Luna con un notable ahorro de energa, el problema sera como construirlo.