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DIVISION DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

Es la operación que consiste en hallar una

expresión llamada cociente [q(x)] conociendo

otras llamadas dividiendo [D(x)] y divisor

[d(x)].

D(x) = d(x) . q(x) División exacta

D(x) = d(x) . q(x) + r(x) División inexacta

Elementos de la división:

D = dividendo

d = divisor

Q = cociente

R = residuo

ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA

DIVISIÓN:

1. Q° = D° – d°

2. R° d°

3. R°max = d° – 1 4. #T(R) = d°

Si los polinomios tienen dos variables, se

cumple: G.A. (R) = G.A.(D)

NOTA: Si en una división inexacta, el Residuo

se resta del Dividendo, la división se vuelve

exacta. Es decir:

D R Dq

PROPIEDADES

1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor

Ósea oQ(x) = oD(x) - od(x)

2. El grado máximo del resto es el grado del

divisor disminuido en uno

Ósea o RMAX = o d(x) –1

3. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.

Ósea R 0

4. Si una expresión es divisible por otra al

residuo de la división de ambos será nulo.

CASOS QUE SE PRESENTAN

1. División de Monomios: En este caso

primero se dividen los coeficientes

teniendo en cuenta la ley de signos y a

continuación la parte literal de acuerdo con

la ley de exponentes.

Ejemplo: Dividir −81 𝑥10𝑌15𝑍6

3𝑥9𝑦12𝑧

1. División de un Polinomio entre un

monomio Se divide cada uno de los

términos del polinomio entre el monomio

𝑀 =42𝑎8𝑏5 − 35𝑎10𝑏9 + 56𝑎5𝑏6

7𝑎4𝑏3

2. División de polinomios

Se desarrolla por cualquier método

ordenando los polinomios en forma

descendentes y completando con ceros en

caso de faltar un término.

I. Método de Horner

Para este método sólo se utilizan los

coeficientes.

En la línea horizontal escribir los coeficientes del dividendo con su propio signo

En la columna escribir los coeficientes del

divisor con signos cambiados excepto el

primero, que conserva su signo.

Separar de derecha a izquierda, tanto

coeficientes como unidades tenga el

grado del divisor: Ejemplo:

(15x7 + 17x6 – x5 – 30x4 – 8x3 + 12x2 + 18x + 4) (5x3 + 4x2 – 2)

5 15 17 –1 –30 –8 12 18 4

–4 -12 0 6

0 –4 0 2

4 0 -2

8 16 0

-8 0 4

3 1 - 1 -4 2 2 10

8

Q R

MÉTODOS DE DIVISIÓN

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Luego:

Q = 3x4 + x3 – x2 – 4x + 2 R = 2x2 + 10x + 8

MÉTODO DE RUFFINI:

(PARA DIVISORES BINOMIOS)

Se aplica para divisores de la forma (x+a), y

consiste en escribir en una fila los coeficientes

del dividendo con sus propios signos, en el

margen izquierdo se escribe sólo el término

independiente del divisor, con signo cambiado.

Luego se efectúa la división de los coeficientes

Nota: El coeficiente del margen izquierdo se

puede hallar igualando a cero el divisor.

Ejemplo: (2x4 + 3x3 – 4x + 5) (x+2)

Igualando a cero: x+2 = 0 → x = -2

Luego:

2 3 0 -4 5

-2 -4 2 -4 16

2 -1 2 -8 21

Q R

Q° = D° – d° = 4 – 1 = 3

R° = d° – 1 = 1 -1 = 0

Q = 2x3 – x2 + 2x – 8

R = 21

TEOREMA DEL RESIDUO

El residuo de dividir un polinomio P(x) entre un

divisor de la forma (x+a), está dado por el

valor numérico de P(x), para x = -a.

Es decir:

Nota: El valor de “x” se puede hallar igualando

a cero el divisor.

Ejemplo: (2x4 + 3x3 – 4x + 5) (x+2)

0

R = P (-2)

= 2(–2)4 + 3(–2)3 – 4(–2) + 5

= 32 – 24 + 8 + 5

= 21

DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS

Se dice que un polinomio es divisible entre

otro, si el residuo de la división es igual a cero

PROPIEDADES:

1. Un polinomio A es divisible entre B y C por

separado, sí y sólo si es divisible entre el

producto AB.

2. Si A es divisible entre B, entonces An es

divisible entre B

3. Si A es divisible entre Bn, entonces A es

divisible entre B

4. Si se multiplica o divide al dividendo y

divisor de una división por una misma

cantidad, el cociente no varía, pero el

residuo queda multiplicado o dividido por

dicha cantidad.

COCIENTES NOTABLES

FORMA GENERAL:

Ejemplos:

𝑥5 + 𝑎5

𝑥 + 𝑎;

𝑥8 − 𝑎8

𝑥 + 𝑎;𝑥9 − 𝑎9

𝑥 − 𝑎 ;

𝑥10 − 𝑎10

𝑥 − 𝑎

TRANSFORMACIÓN A SU FORMA GNERAL:

(Condición necesaria y suficiente)

Sea la expresión:

Para que sea un cociente notable debe cumplir

la siguiente condición:

P(x) (x+a) R = P(-a)

xn a

n

xa

n N , n 2

R 0

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Dónde: n = # términos

Haciendo:𝑝

𝑟= 𝑛 → 𝑝 = 𝑟𝑛,

𝑞

𝑠= 𝑛 𝑞 = 𝑠𝑛

𝐴𝑝 ± 𝐵𝑄

𝐴𝑟 ± 𝐵𝑠=

𝐴𝑟𝑚 ± 𝐵𝑠𝑛

𝐴𝑟 ± 𝐵𝑠=

(𝐴𝑟) 𝑛 ± (𝐵𝑠) 𝑛

(𝐴𝑟) ± (𝐵𝑠)=

𝑥𝑛 ± 𝑎𝑛

𝑥 ± 𝑎

Luego:

Ejemplo:

𝒙𝟏𝟓 + 𝒚𝟏𝟎

𝒙𝟑 + 𝒚𝟐=

(𝒙𝟑)𝟓 + (𝒚𝟐)𝟓

(𝒙𝟑) + (𝒚𝟐)=

𝒎𝟓 + 𝒏𝟓

𝒎 + 𝒏

DESARROLLO DE UN COCIENTE NOTABLE

1er caso:

𝒙𝒏 + 𝒂𝒏

𝒙 + 𝒂= 𝒙𝒏−𝟏 − 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂−. . . … . +𝒂𝒏−𝟏

(División exacta, sólo si n es impar)

2do caso:

𝒙𝒏 − 𝒂𝒏

𝒙 + 𝒂= 𝒙𝒏−𝟏 − 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂−. . . … . −𝒂𝒏−𝟏

(División exacta, sólo si n es par)

3er caso:

𝒙𝒏 − 𝒂𝒏

𝒙 − 𝒂= 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂+. . . … . +𝒂𝒏−𝟏

(División exacta, si n es para o impar)

4to caso:

𝒙𝒏 + 𝒂𝒏

𝒙 − 𝒂= 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒙𝒏−𝟐𝒂+. . . … . +𝒂𝒏−𝟏 +

𝟐𝒂𝒏

𝒙 − 𝒂

Donde R = 2an (residuo)

(División inexacta para n par o impar)

Ejemplos:

TÉRMINO GENERAL

𝒕(𝒌) = ±𝑿𝒏−𝒌 𝒂𝒌−𝟏 Regla práctica para determinar el signo:

1. 𝒙𝒏±𝒂𝒏

𝒙−𝒂

2. 𝒙𝒏±𝒂𝒏

𝒙+𝒂

TÉRMINO “k” CONTADO AL REVÉS

𝒕(𝒌) = ±𝑿𝐾1 𝒂𝑛−𝑘

LUGAR QUE OCUPA:

𝒕(𝒌) = 𝑡(𝑛 − 𝑘 + 1)

TÉRMINO CENTRAL

(n = impar)

𝒕(𝑐) = ±𝑥𝑛−1

2

𝑎𝑛−1

2

LUGAR QUE OCUPA:

𝒕(𝑐) = 𝑇 (𝑛 + 1

2)

TÉRMINOS CENTRALES (n = par)

𝒕(𝑐) = ±𝑥𝑛2

𝑎𝑛2−1

LUGAR QUE OCUPA:

𝒕(𝑐) = 𝑇 (𝑛

2)

𝒕(𝑐) = ±𝑥𝑛2

𝑎𝑛2

LUGAR QUE OCUPA:

𝒕(𝑐) = 𝑇 (𝑛

2+ 1)

Ap B

q

Ar B

s

xn a

n

x a

Los términos son positivos (+)

+,si n es impar -, si n es par

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CAP: .04 División Algebraica y Cocientes Notables Practica N°01

01. Luego de dividir :

1x2x4

4x6x15x14x12

2

234

el cociente es :

a) 3x2 – 2x + 2 b) x2 - x + 6 c) x2 + 5x – 2 d) x2 + 4x – 3 e) 3x2 – x + 1

02. Calcula (m + n) para que la división :

nx2x3

mx10x5x4x6

2

234

sea exacta :

a) –20 b) 20 c) 15

d) –15 e) 25

03. Luego de dividir :

baxx

baxx)1b(x)ba(x)1a(x

2

2345

el cociente es :

a) x3 + ax2 + bx + a b) ax3 + bx2 + bx + a c) x3 + x2 + 1 d) x3 – x2 + 1 e) x3 + 3x2 + ax + b

04. Si q(x) es el cociente de :

4x3

12x7x6x5x3 234

Calcula: q(1)

a) 31 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

05. Calcula el resto en:

5x5x

13)4x)(3x)(2x)(1x(2

a) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e) 15

06. Calcular el cociente de la siguiente división:

5𝑎𝑥+5 − 11𝑎𝑥+4 + 18𝑎𝑥+3 − 5𝑎𝑥+2 + 3𝑎𝑥+1

5𝑎𝑥+3 − 𝑎𝑥+2 + 𝑎𝑥+1

a) 𝑎2 + 2𝑎 + 3

b) 𝑎2 − 2𝑎 + 3

c) 𝑎2 + 2𝑎 − 3

d) 𝑎2 + 3𝑎 + 3

e) 𝑎2 + 2𝑎 + 5

07. Si al dividir el polinomio 𝑛𝑥5 − (𝑛2 − 2𝑛)𝑥4 +3𝑥3 + 6𝑥2 − (3𝑛2 − 5𝑛)𝑥 + 𝑛2 − 13 entre 𝑥 − 𝑛 + 2, se obtiene un cociente 𝑄(𝑥) y un

resto R. sabiendo que 𝑄(1) + 𝑅 = 0. Calcular

R. a) 2 b) 3 c) 17 d) -9 e) 9

08. La diferencia entre el mayor y menor

coeficiente del cociente 12𝑥4−8𝑥3+15𝑥2−𝑥−6

3𝑥−2 es:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

09. Si el polinomio 3𝑥3 − 9𝑥2 + 𝑘𝑥 − 12 es

divisibles por 𝑥 − 3 entonces, también es

divisible por: a) 3𝑥 + 4 b) 3𝑥 − 4 c) 3𝑥2 − 𝑥 + 4

d) 3𝑥2 − 4 e) 3𝑥2 + 4

10. Si el residuo de dividir: (𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 4𝑥 +2𝑎) entre: (𝑥2 − 𝑏𝑥 + 2) es 2𝑥. Determinar la

suma de coeficientes del cociente. a) -6 b) -4 c) 0 d) 2 e) 3

11. Determine el valor de 𝑀 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐; si la

siguiente división: (𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 28𝑥2 +21𝑥 + 8) ÷ (4𝑥3 + 3𝑥 + 1) deja como residuo

𝑥2 + 2𝑥 + 3. a) 8 b) 6 c) 10 d) 11 e) 12

12. Si el residuo de la división 𝑃(𝑥)

𝑥+1 es 3. Calcular

el residuo de [𝑃(𝑥)]4

𝑥+1

a) 81 b) x c) 1 d) 1 e) 12

13. Si n es un número natural impar y múltiplo

de 3. Determinar el resto en la siguiente

división:

(𝑥2𝑛 + 𝑥𝑛 + 2) ÷ (𝑥2 − 𝑥 + 1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Determinar el residuo de dividir: (𝑥320 +

𝑥5 − 2)entre (𝑥4 − 𝑥2 + 1).

a) 𝑥3 + 𝑥 + 1

b) 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 2

c) 𝑥2 − 2𝑥 + 1

d) 𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 − 1

e) 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 2

15. Si la división: (𝑥3−2𝑥+1)

2(𝑥2−𝑥+2)

𝑥3+𝑥+1 tiene

como resto 𝑅(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, determine

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐). a) 12 b) 15 c) 18 d) 24

e) 30

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16. Calcular:5

4mnS

p , si la expresión

4 2(mx px n) Es divisible por

2(x 1)(x 1)

a) 4 b) 5 c) 2 d) 1 e) 6

17. Calcular: ab + j + n + g

h j f

12 L

i k 20

n e -28a

b c 2 p d g

La división ha sido efectuada por Ruffini:

a) 5 b) 6 c) 7 d) – 5 e) – 6

18. Hallar el cociente de: 68 266 64

34 33 32

x x x ...... x 1

x x x ...... x 1

a) 34 33 32 31

x x x x ... 1

b) 34 33 32 31

x x x x ... 1

c) 34 32 30 28

x x x x ... 1

d) 34 32 30 28

x x x x ... 1

e) 34 17

x x 1

19. Simplificar:

p (2n 1)p2p 3pnp 2np

p (n 1)p2p 3p

1 x x x ...... x(1 x ) x

1 x x x ...... x

a) 3np

x 1 b) 3np

x 1 c) 2p

x 1

d) 1 e) px 1

20. Al dividir un polinomio P(x) entre (x – 1) (x

– 2) el resto es 3x + 2. Hallar el término

independiente del resto que resulta al dividir

P(x) entre: (x + 2) (x – 1) sabiendo que Q(x)

es el cociente de ésta división y que:

Q(2) = Q(-1) a) 22 b) 13 c) 14 d) 5 e) 2

21. 3 2

(x)P a x (a b)x b x 2 t ;

(x)P tiene dos

factores que son: (x – 1) y (x – 2), hallar a

y b

a) a = 2 ; b = – 5

b) a = 3 ; b = 34

c) a = 1 ; b = 23

d) a = 23

; b = 53

e) N. A.

22. Para que valor de “m” la expresión: 5 5 5

(x 2y) x my será divisible entre (x +

y)

a) 0 b) – 1 c) 1

d) – 2 e) 2

23. Cuál es el menor coeficiente del polinomio

de cuarto grado que es divisible por (x + 1),

(x + 2), (x – 1) y (x – 2) pero al dividirlo

por “x” su resto es 12

a) – 14 b) – 15 c) 13

d) – 13 e) 14

24. Al dividir un trinomio de segundo grado

entre (x – 1), (x +1) , (3x – 2) se obtuvo

respectivamente como residuos 5, 9 y 4 .

Calcular el producto de los coeficientes del

trinomio.

a) 22 b) 13 c) – 24

d) 25 e) 27

25. Indicar el valor de “m” en el polinomio:

3 3 3 3 3 3 2 2 2x y x z y z mx y z Para que sea

divisible por: xy + xz + yz

a) 3 b) 2 c) 1

d) 0 e) N.A.

26. Si el polinomio:

4 2 2x px qx a es divisible por

2x 1 , Hallar el

resto de dicho polinomio en: 2 2

x a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

27. Que valores deben tomar “a” y “b” para que

el polinomio 5

x a x b sea divisible entre4

(x 4) . Dar el valor de a + b.

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17

28. Que relación debe guardar los coeficientes

del polinomio: 4 3

(a x bx c x d) para que

sea divisible entre: 2

(x 2x 1)

a) b + 4c + 5 = 0 b) b + 4x + 6 = 0 c) b + 3c + 4 = 0 d) b + 3c + 14 = 0 e) c + 4b + 2 = 0