Chi Cuadrado

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Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 1 Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado La Distribución chi-cuadrado, tiene por función de densidad Donde el parámetro k de , se denomina grados de libertad de la distribución. La Distribución chi-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se puede ver en la figura. Téngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la función de densidad para x = 0, se hace infinito: Para el resto de los valores de k, para x = 0, la función vale 0. La Distribución de probabilidad de esta función para valores menores de un x dado, que representamos por donde: Esta integral no tiene una solución conocida, y solo se conocen métodos numéricos para calcular sus valores, hay distintos tipos de tablas y algoritmos para ordenador con los que se pueden calcular sus soluciones, veamos una tabla distribución chi-cuadrado y su modo de utilización.

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Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 1

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadradoLa Distribución chi-cuadrado, tiene por función de densidad

Donde el parámetro k de , se denomina grados de libertad de la distribución.La Distribución chi-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se puede ver en la figura.Téngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la función de densidad para x = 0, se hace infinito:

Para el resto de los valores de k, para x = 0, la función vale 0.

La Distribución de probabilidad de esta función para valores menores de un x dado, que representamos por

donde:

Esta integral no tiene una solución conocida, y solo se conocen métodos numéricos para calcular sus valores, haydistintos tipos de tablas y algoritmos para ordenador con los que se pueden calcular sus soluciones, veamos unatabla distribución chi-cuadrado y su modo de utilización.

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Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 2

La TablaEsta tabla presenta la distribución de probabilidad de chi-cuadrado para distintos valores de k(de 1 a 10) y de x(de 0a 20 de 0,2 de incremento), presentándolo con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio enblanco para facilitar la lectura, en la fila superior están los valores de k, y en la columna de la izquierda los de x,donde se cruzan la columna de la k buscada y la fila de la x, se encuentra el valor de la probabilidad acumuladadesde 0 a la x buscada.

Tabla distribución chi-cuadrado

x \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,2 0,345279

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0,004679

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0,000000

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0,000002

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Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 3

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Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 4

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0,989661

0,978425

0,960032

0,932617

0,894849

0,846237

0,787296

13,4 0,999748

0,998769

0,996153

0,990522

0,980095

0,962894

0,937058

0,901192

0,854674

0,797841

13,6 0,999774

0,998886

0,996497

0,991313

0,981640

0,965562

0,941229

0,907194

0,862718

0,807969

13,8 0,999797

0,998992

0,996810

0,992038

0,983069

0,968048

0,945145

0,912870

0,870380

0,817689

14,0 0,999817

0,999088

0,997095

0,992705

0,984391

0,970364

0,948819

0,918235

0,877675

0,827008

14,2 0,999836

0,999175

0,997355

0,993317

0,985612

0,972520

0,952264

0,923301

0,884613

0,835937

14,4 0,999852

0,999253

0,997592

0,993878

0,986741

0,974526

0,955493

0,928083

0,891209

0,844484

14,6 0,999867

0,999324

0,997808

0,994393

0,987785

0,976393

0,958517

0,932594

0,897474

0,852660

14,8 0,999880

0,999389

0,998004

0,994865

0,988748

0,978129

0,961350

0,936847

0,903422

0,860475

15,0 0,999892

0,999447

0,998183

0,995299

0,989638

0,979743

0,964001

0,940855

0,909064

0,867938

15,2 0,999903

0,999500

0,998347

0,995696

0,990459

0,981243

0,966481

0,944629

0,914413

0,875061

15,4 0,999913

0,999547

0,998495

0,996060

0,991217

0,982636

0,968800

0,948181

0,919481

0,881855

15,6 0,999922

0,999590

0,998631

0,996394

0,991916

0,983930

0,970967

0,951523

0,924281

0,888330

15,8 0,999930

0,999629

0,998754

0,996700

0,992561

0,985131

0,972992

0,954666

0,928823

0,894497

16,0 0,999937

0,999665

0,998866

0,996981

0,993156

0,986246

0,974884

0,957620

0,933118

0,900368

16,2 0,999943

0,999696

0,998968

0,997238

0,993704

0,987280

0,976649

0,960395

0,937179

0,905951

16,4 0,999949

0,999725

0,999061

0,997473

0,994210

0,988239

0,978297

0,963000

0,941016

0,911260

16,6 0,999954

0,999751

0,999146

0,997689

0,994676

0,989129

0,979834

0,965446

0,944639

0,916303

16,8 0,999958

0,999775

0,999223

0,997886

0,995105

0,989953

0,981268

0,967740

0,948058

0,921092

17,0 0,999963

0,999797

0,999293

0,998067

0,995500

0,990717

0,982604

0,969891

0,951284

0,925636

17,2 0,999966

0,999816

0,999357

0,998233

0,995864

0,991424

0,983849

0,971907

0,954325

0,929946

17,4 0,999970

0,999833

0,999415

0,998384

0,996200

0,992080

0,985009

0,973797

0,957192

0,934032

Page 6: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 6

17,6 0,999973

0,999849

0,999468

0,998523

0,996508

0,992686

0,986089

0,975566

0,959892

0,937902

17,8 0,999975

0,999864

0,999516

0,998650

0,996792

0,993248

0,987094

0,977223

0,962434

0,941567

18,0 0,999978

0,999877

0,999560

0,998766

0,997054

0,993768

0,988030

0,978774

0,964826

0,945036

18,2 0,999980

0,999888

0,999600

0,998872

0,997294

0,994249

0,988900

0,980224

0,967077

0,948318

18,4 0,999982

0,999899

0,999636

0,998969

0,997515

0,994693

0,989710

0,981580

0,969194

0,951420

18,6 0,999984

0,999909

0,999669

0,999058

0,997719

0,995105

0,990463

0,982848

0,971183

0,954353

18,8 0,999985

0,999917

0,999699

0,999140

0,997906

0,995485

0,991163

0,984033

0,973052

0,957122

19,0 0,999987

0,999925

0,999727

0,999214

0,998078

0,995836

0,991813

0,985140

0,974807

0,959737

19,2 0,999988

0,999932

0,999751

0,999282

0,998236

0,996161

0,992417

0,986174

0,976455

0,962205

19,4 0,999989

0,999939

0,999774

0,999344

0,998381

0,996461

0,992978

0,987139

0,978001

0,964533

19,6 0,999990

0,999945

0,999795

0,999401

0,998515

0,996738

0,993498

0,988040

0,979452

0,966729

19,8 0,999991

0,999950

0,999813

0,999453

0,998638

0,996994

0,993982

0,988880

0,980812

0,968798

20,0 0,999992

0,999955

0,999830

0,999501

0,998750

0,997231

0,994430

0,989664

0,982088

0,970747

ejemplo:Cual es la Distribución de probabilidad de chi-cuadrado de 4 grados de libertad de que x< 1,2Buscando en la tabla la columna del 4 y la fila de 1,2, tenemos:

Page 7: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 7

Para otros valores de xEn la tabla podemos encontrar directamente la probabilidad: , pero se pueden presentar otros casos,veamos algunos.

Para la variable mayor que x

Para calcular , partimos de la expresión:

La probabilidad de que la variable estadística sea menor que x más la probabilidad de que sea mayor que x es lacerteza, de probabilidad 1.Operando:

Ejemplo

Calcular la distribución de probabilidad de una variable estadística chi-cuadrado, de 6 grados de libertad sea mayorde 3,4.

según lo anterior:

buscando en la tabla tenemos:

con lo que tenemos:

operando tenemos:

que es la respuesta a la pregunta.

Page 8: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 8

Para la variable mayor que x1 y menor que x2

Para calcular la probabilidad de que:

siendo:

tenemos que:

Ejemplo

Cual es la probabilidad de que una variable chi-cuadrado de 8 grados de libertad este comprendida entre 3,4 y 5,6.Esto es:

según la tabla tenemos:

según lo anterior, tenemos que:

sustituyendo los valores:

operando:

Con lo que tenemos la respuesta.

Page 9: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 9

Interpolación lineal.La función chi-cuadrado es continua para x mayor que cero, pero en la tabla solo se recogen algunos de sus valores,si bien la tabla podría hacerse más extensa el numero de valores recogidos siempre seria finito, para calcular losvalores no recogidos en la tabla podemos emplear la nterpolación lineal.La interpolación lineal, parte de unos puntosconocidos de la función, y los valoresintermedios los determina por la recta queune estos dos puntos, este método siempreañade un cierto error, al sustituir la función:y= f(x) por la recta que une dos puntos: y=r(x), que siempre será menor que tomar elvalor conocido más próximo de la función,ver la figura, es importante que los puntostomados estén lo más próximos entre sí,para que este error sea el mínimo posible.

La expresión:

determina el valor y de la función para un x dado, partiendo de dos puntos conocidos y , siendo.

Ejemplo

Cual es la probabilidad de una distribución chi-cuadrado de 5 grados de libertad, de que x sea menor que 1,75.Esto es:

el valor 1,75 no esta en la tabla, pero si tenemos que:

sustituyendo en la expresión:

tenemos que:

operando tenemos:

Page 10: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 10

esto es:

que resulta:

que es el resultado buscado:

Tabla inversa de distribución chi-cuadradoOtra forma de tabla de distribución chi-cuadrado, en la cual los valores de búsqueda son los grados de libertad y laprobabilidad acumulada, dada la expresión

En este tipo de tablas se parte de los valoras conocidos k y p, y se obtiene x, de forma inversa a lo vistoanteriormente, lo que resulta interesante pera responder a la pregunta:Para una distribución chi-cuadrado de k grados de libertad, cual es el valor de x que deja a su izquierda unaprobabilidad p.Este tipo de problema en la practica, suele ser más usual, la tabla es más compacta y también nos permite calcular laprobabilidad con la tabla directa.En la tabla tenemos en la fila superior las probabilidades P, en la columna de la izquierda los grados de libertad k,donde se cruzan la fila y la columna correspondientes el valor de x que en una función chi-cuadrado de k grados delibertad, deja a su izquierda una probabilidad P.

Tabla distribución chi-cuadrado, inversa.

k \ P 0,01 0,05 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,75 0,80 0,90 0,95 0,99

Page 11: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 11

1 0,000 0,004 0,016 0,064 0,102 0,148 0,275 0,455 0,708 1,074 1,323 1,642 2,706 3,841 6,635

2 0,020 0,103 0,211 0,446 0,575 0,713 1,022 1,386 1,833 2,408 2,773 3,219 4,605 5,991 9,210

3 0,115 0,352 0,584 1,005 1,213 1,424 1,869 2,366 2,946 3,665 4,108 4,642 6,251 7,815 11,34

4 0,297 0,711 1,064 1,649 1,923 2,195 2,753 3,357 4,045 4,878 5,385 5,989 7,779 9,488 13,28

5 0,554 1,145 1,610 2,343 2,675 3,000 3,656 4,351 5,132 6,064 6,626 7,289 9,236 11,07 15,09

6 0,872 1,635 2,204 3,070 3,455 3,828 4,570 5,348 6,211 7,231 7,841 8,558 10,64 12,59 16,81

7 1,239 2,167 2,833 3,822 4,255 4,671 5,493 6,346 7,283 8,383 9,037 9,803 12,02 14,07 18,48

8 1,647 2,733 3,490 4,594 5,071 5,527 6,423 7,344 8,351 9,524 10,22 11,03 13,36 15,51 20,09

9 2,088 3,325 4,168 5,380 5,899 6,393 7,357 8,343 9,414 10,66 11,39 12,24 14,68 16,92 21,67

10 2,558 3,940 4,865 6,179 6,737 7,267 8,295 9,342 10,47 11,78 12,55 13,44 15,99 18,31 23,21

11 3,053 4,575 5,578 6,989 7,584 8,148 9,237 10,34 11,53 12,90 13,70 14,63 17,28 19,68 24,73

12 3,571 5,226 6,304 7,807 8,438 9,034 10,18 11,34 12,58 14,01 14,85 15,81 18,55 21,03 26,22

13 4,107 5,892 7,041 8,634 9,299 9,926 11,13 12,34 13,64 15,12 15,98 16,98 19,81 22,36 27,69

14 4,660 6,571 7,790 9,467 10,17 10,82 12,08 13,34 14,69 16,22 17,12 18,15 21,06 23,68 29,14

15 5,229 7,261 8,547 10,31 11,04 11,72 13,03 14,34 15,73 17,32 18,25 19,31 22,31 25,00 30,58

16 5,812 7,962 9,312 11,15 11,91 12,62 13,98 15,34 16,78 18,42 19,37 20,47 23,54 26,30 32,00

17 6,408 8,672 10,09 12,00 12,79 13,53 14,94 16,34 17,82 19,51 20,49 21,61 24,77 27,59 33,41

18 7,015 9,390 10,86 12,86 13,68 14,44 15,89 17,34 18,87 20,60 21,60 22,76 25,99 28,87 34,81

19 7,633 10,12 11,65 13,72 14,56 15,35 16,85 18,34 19,91 21,69 22,72 23,90 27,20 30,14 36,19

20 8,260 10,85 12,44 14,58 15,45 16,27 17,81 19,34 20,95 22,77 23,83 25,04 28,41 31,41 37,57

21 8,897 11,59 13,24 15,44 16,34 17,18 18,77 20,34 21,99 23,86 24,93 26,17 29,62 32,67 38,93

22 9,542 12,34 14,04 16,31 17,24 18,10 19,73 21,34 23,03 24,94 26,04 27,30 30,81 33,92 40,29

23 10,20 13,09 14,85 17,19 18,14 19,02 20,69 22,34 24,07 26,02 27,14 28,43 32,01 35,17 41,64

Page 12: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 12

24 10,86 13,85 15,66 18,06 19,04 19,94 21,65 23,34 25,11 27,10 28,24 29,55 33,20 36,42 42,98

25 11,52 14,61 16,47 18,94 19,94 20,87 22,62 24,34 26,14 28,17 29,34 30,68 34,38 37,65 44,31

26 12,20 15,38 17,29 19,82 20,84 21,79 23,58 25,34 27,18 29,25 30,43 31,79 35,56 38,89 45,64

27 12,88 16,15 18,11 20,70 21,75 22,72 24,54 26,34 28,21 30,32 31,53 32,91 36,74 40,11 46,96

28 13,56 16,93 18,94 21,59 22,66 23,65 25,51 27,34 29,25 31,39 32,62 34,03 37,92 41,34 48,28

29 14,26 17,71 19,77 22,48 23,57 24,58 26,48 28,34 30,28 32,46 33,71 35,14 39,09 42,56 49,59

30 14,95 18,49 20,60 23,36 24,48 25,51 27,44 29,34 31,32 33,53 34,80 36,25 40,26 43,77 50,89

31 15,66 19,28 21,43 24,26 25,39 26,44 28,41 30,34 32,35 34,60 35,89 37,36 41,42 44,99 52,19

32 16,36 20,07 22,27 25,15 26,30 27,37 29,38 31,34 33,38 35,66 36,97 38,47 42,58 46,19 53,49

33 17,07 20,87 23,11 26,04 27,22 28,31 30,34 32,34 34,41 36,73 38,06 39,57 43,75 47,40 54,78

34 17,79 21,66 23,95 26,94 28,14 29,24 31,31 33,34 35,44 37,80 39,14 40,68 44,90 48,60 56,06

35 18,51 22,47 24,80 27,84 29,05 30,18 32,28 34,34 36,47 38,86 40,22 41,78 46,06 49,80 57,34

36 19,23 23,27 25,64 28,73 29,97 31,12 33,25 35,34 37,50 39,92 41,30 42,88 47,21 51,00 58,62

37 19,96 24,07 26,49 29,64 30,89 32,05 34,22 36,34 38,53 40,98 42,38 43,98 48,36 52,19 59,89

38 20,69 24,88 27,34 30,54 31,81 32,99 35,19 37,34 39,56 42,05 43,46 45,08 49,51 53,38 61,16

39 21,43 25,70 28,20 31,44 32,74 33,93 36,16 38,34 40,59 43,11 44,54 46,17 50,66 54,57 62,43

40 22,16 26,51 29,05 32,34 33,66 34,87 37,13 39,34 41,62 44,16 45,62 47,27 51,81 55,76 63,69

41 22,91 27,33 29,91 33,25 34,58 35,81 38,11 40,34 42,65 45,22 46,69 48,36 52,95 56,94 64,95

42 23,65 28,14 30,77 34,16 35,51 36,75 39,08 41,34 43,68 46,28 47,77 49,46 54,09 58,12 66,21

43 24,40 28,96 31,63 35,07 36,44 37,70 40,05 42,34 44,71 47,34 48,84 50,55 55,23 59,30 67,46

44 25,15 29,79 32,49 35,97 37,36 38,64 41,02 43,34 45,73 48,40 49,91 51,64 56,37 60,48 68,71

45 25,90 30,61 33,35 36,88 38,29 39,58 42,00 44,34 46,76 49,45 50,98 52,73 57,51 61,66 69,96

46 26,66 31,44 34,22 37,80 39,22 40,53 42,97 45,34 47,79 50,51 52,06 53,82 58,64 62,83 71,20

Page 13: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 13

47 27,42 32,27 35,08 38,71 40,15 41,47 43,94 46,34 48,81 51,56 53,13 54,91 59,77 64,00 72,44

48 28,18 33,10 35,95 39,62 41,08 42,42 44,92 47,34 49,84 52,62 54,20 55,99 60,91 65,17 73,68

49 28,94 33,93 36,82 40,53 42,01 43,37 45,89 48,33 50,87 53,67 55,27 57,08 62,04 66,34 74,92

50 29,71 34,76 37,69 41,45 42,94 44,31 46,86 49,33 51,89 54,72 56,33 58,16 63,17 67,50 76,15

51 30,48 35,60 38,56 42,36 43,87 45,26 47,84 50,33 52,92 55,78 57,40 59,25 64,30 68,67 77,39

52 31,25 36,44 39,43 43,28 44,81 46,21 48,81 51,33 53,94 56,83 58,47 60,33 65,42 69,83 78,62

53 32,02 37,28 40,31 44,20 45,74 47,16 49,79 52,33 54,97 57,88 59,53 61,41 66,55 70,99 79,84

54 32,79 38,12 41,18 45,12 46,68 48,11 50,76 53,33 55,99 58,93 60,60 62,50 67,67 72,15 81,07

55 33,57 38,96 42,06 46,04 47,61 49,06 51,74 54,33 57,02 59,98 61,67 63,58 68,80 73,31 82,29

56 34,35 39,80 42,94 46,96 48,55 50,01 52,71 55,33 58,04 61,03 62,73 64,66 69,92 74,47 83,51

57 35,13 40,65 43,82 47,88 49,48 50,96 53,69 56,33 59,06 62,08 63,79 65,74 71,04 75,62 84,73

58 35,91 41,49 44,70 48,80 50,42 51,91 54,67 57,33 60,09 63,13 64,86 66,82 72,16 76,78 85,95

59 36,70 42,34 45,58 49,72 51,36 52,86 55,64 58,33 61,11 64,18 65,92 67,89 73,28 77,93 87,17

60 37,48 43,19 46,46 50,64 52,29 53,81 56,62 59,33 62,13 65,23 66,98 68,97 74,40 79,08 88,38

70 45,44 51,74 55,33 59,90 61,70 63,35 66,40 69,33 72,36 75,69 77,58 79,71 85,53 90,53 100,4

80 53,54 60,39 64,28 69,21 71,14 72,92 76,19 79,33 82,57 86,12 88,13 90,41 96,58 101,9 112,3

90 61,75 69,13 73,29 78,56 80,62 82,51 85,99 89,33 92,76 96,52 98,65 101,1 107,6 113,1 124,1

100 70,06 77,93 82,36 87,95 90,13 92,13 95,81 99,33 102,9 106,9 109,1 111,7 118,5 124,3 135,8

110 78,46 86,79 91,47 97,36 99,67 101,8 105,6 109,3 113,1 117,3 119,6 122,2 129,4 135,5 147,4

120 86,92 95,70 100,6 106,8 109,2 111,4 115,5 119,3 123,3 127,6 130,1 132,8 140,2 146,6 159,0

130 95,45 104,7 109,8 116,3 118,8 121,1 125,3 129,3 133,4 137,9 140,5 143,3 151,0 157,6 170,4

140 104,0 113,7 119,0 125,8 128,4 130,8 135,1 139,3 143,6 148,3 150,9 153,9 161,8 168,6 181,8

150 112,7 122,7 128,3 135,3 138,0 140,5 145,0 149,3 153,8 158,6 161,3 164,3 172,6 179,6 193,2

Page 14: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 14

160 121,3 131,8 137,5 144,8 147,6 150,2 154,9 159,3 163,9 168,9 171,7 174,8 183,3 190,5 204,5

170 130,1 140,8 146,8 154,3 157,2 159,9 164,7 169,3 174,0 179,2 182,0 185,3 194,0 201,4 215,8

180 138,8 150,0 156,2 163,9 166,9 169,6 174,6 179,3 184,2 189,4 192,4 195,7 204,7 212,3 227,1

190 147,6 159,1 165,5 173,4 176,5 179,3 184,4 189,3 194,3 199,7 202,8 206,2 215,4 223,2 238,3

200 156,4 168,3 174,8 183,0 186,2 189,0 194,3 199,3 204,4 210,0 213,1 216,6 226,0 234,0 249,4

ejemploCual es el valor de x, de una distribución chi-cuadrado de 6 grados de libertad, que deja a su izquierda unaprobabilidad del 80%

Consultando la tabla tenemos que:

Calculo de la probabilidad con la tabla inversa.empleando esta tabla podemos realizar cálculos directos como en la anterior, normalmente será necesaria recurrir a lainterpolación lineal para obtener los resultados

Ejemplo

¿Cuál es la distribución de probabilidad de chi-cuadrado de 4 grados de libertad de que x < 1,2 ?este es el mismo ejemplo que en la tabla directa, veamos como se haría en este caso:la pregunta es:

este valor no figura en la tabla pero si tenemos en la fila de k= 4, que:

por la expresión de interpolación lineal:

sustituyendo los valores de este caso:

operando:

esto es:

que da como resultado:

Page 15: Chi Cuadrado

Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado 15

esto es:

como se puede ver hay una diferencia del orden de la tercera cifra decimal, respecto a la búsqueda directa en la tabla,esta diferencia se produce por la interpolación lineal, al sustituir la función por la recta que une dos puntosconocidos, y a la relativamente gran diferencia entre x1 y x2, que es el 60% al valor de x1.

Para valores de k grandes

cuando el valor de k es suficientementegrande se tiene en cuenta que:

Con lo que podemos aproximar la distribución Chi-cuadrado por la distribución normal, de media k y desviacióntípica raíz de 2k, empleando la tabla distribución normal tipificada para su calculo.

Page 16: Chi Cuadrado

Fuentes y contribuyentes del artículo 16

Fuentes y contribuyentes del artículoTablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado  Fuente: http://es.wikibooks.org/w/index.php?oldid=146221  Contribuyentes: Der Künstler, Dferg, Diegusjaimes, HiTe, Mluengo, 16 edicionesanónimas

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