chap01-s

Un árbol genealógico Aunque una abeja obrera tiene dos progenitores, los zánganossólo tienen un progenitor hembra. El árbol genealógico de un zángano revela unpatrón de números interesante.

El número de abejas de las generaciones: 1, 1, 2, 3, 5, 8,y así sucesivamente, forman una lista de números

famosa, conocida como sucesión de Fibonacci.

Piensa al respecto ¿Puedes hallar un patrón enel árbol genealógico o en la lista de números

que te ayude a encontrar los dos o tres númerossiguientes de la sucesión de Fibonacci?

M

H

M H

H M H

M H H M H

H M H M H H M H

1 zángano

1 progenitor

2 “abuelos”

3 “bisabuelos”

5 “tatarabuelos”

8 “antepasados”

Todo sobre los patronesMatemáticas en la vida diaria

Carta a la familia

Estimados alumno(a) y familiares:

Nuestra clase de matemáticas comienza un año muy emocionante. No sepreocupen, las matemáticas son más que sumar y restar números y han sidollamadas "la ciencia de los patrones". Una herramienta importante enmatemáticas es el aprender a reconocer, describir y usar patrones para hacerpredicciones.

Primero, veamos el patrón que sigue el triángulo de Pascal, un número detriángulos que contiene muchos patrones.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

¿Pueden describir algún patrón en el triángulo? ¿Pueden predecir losnúmeros de la siguiente fila del triángulo? No se preocupen si no puedenidentificar ningún patrón porque vamos a aprender muchas cosas acerca deeste triángulo en las siguientes clases.

También aprenderemos a identificar patrones de figuras. Por ejemplo, lasuperficie del panal que se observa como fondo de esta página, está forma-da por un patrón de hexágonos sin yuxtaposiciones entre ellos. ¿Pueden formar un patrón similar con cuadrados o con triángulos?

Vocabulario Aprenderán acerca de estos términos nuevos:

ángulo polígono regularpolígono cóncavo sucesiónsimetría lineal términoorden de las operaciones desigualdad del triángulopolígono vértice

¿Qué pueden hacer en el hogar?Durante las siguientes semanas, es posible que su hijo(a) muestre interés

en patrones y reglas. Háganle preguntas sobre patrones y reglas que puedeencontrar en su vida cotidiana, como por ejemplo, el cálculo de la distanciaa la que ocurre un rayo: Cuenten el número de segundos que transcurrenentre el momento en que se ve el rayo y el momento en que ocurre eltrueno, y dividan el resultado entre 5.

impactmath.com/family_letter 3

http://impactmath.com/family_letter

4 C A P Í T U L O 1 Todo sobre los patrones

¡Hay patrones por doquier! Puedes verlos en el papel tapiz, en telas, en edificios, en flores y en insectos. Puedes oírlos en la música y en las letras de canciones y aun en el sonido de la voz de una persona. Puedes seguirlos paratomar un autobús o un tren o para ubicar una tienda con cierta dirección.

Los patrones forman una parte importante de las matemáticas. Los ves cadavez que lees un número, ejecutas una operación matemática, interpretas unagráfica o identificas una figura. En esta lección vas a buscar, describir yextender varios patrones.

ExploraEn este diagrama, debes empezar en el “Comienzo” y trazar unasenda a cualquiera de las letrasguiándote por las flechas.

¿Cuántas sendas distintas hayentre el Comienzo y A?Descríbelas.

¿Cuántas sendas distintas hayentre el Comienzo y D?Descríbelas.

¿Cuántas sendas distintas hay entre el Comienzo y G? Descríbelas.

Hay cuatro sendas entre el Comienzo y K. Descríbelas.

Agrega otra fila de círculos a una copia de este diagrama, guiándote porel patrón de flechas y letras. ¿Cuántas sendas distintas hay entre elComienzo y S? Descríbelas.

En otra copia del diagrama, sustituye cada letra por el número de sendasentre el Comienzo y dicha letra. Por ejemplo, reemplaza A por 1 y K por 4.

El triángulo de números que acabas de obtener es bastante conocido. En laInvestigación 1, vas a aprender más sobre él y los patrones que contiene.

Comienzo

B

ED

A

C

GF H I

KJ L M N

Busca patrones

Investigación 1 El triángulo de Pascal y las sucesiones

El triángulo numérico que obtuviste en la actividad Explora ha fascinado a losmatemáticos durante siglos debido a los numerosos patrones que contiene.Los matemáticos chinos y musulmanes lo estudiaron ya en 1100 d.C. BlaisePascal, un matemático francés que lo estudió en 1653, lo llamó triángulo aritmético. En su honor, ahora se conoce como el triángulo de Pascal.

Serie de problemas A

A continuación se muestra una copia del diagrama que obtuviste en la activi-dad Explora. Se ha sustituido la palabra “Comienzo” por el número 1 y sehan vuelto a rotular las filas.

Este triángulo contiene numerosos patrones. Por ejemplo, da lo mismo si unafila se lee de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

1. Describe tantos patrones de este triángulo como te sea posible.

2. Para añadir más filas al triángulo, podrías contar sendas como lo hicisteen la actividad, pero esto tomaría mucho tiempo. Más bien, usa algunosde los patrones que hallaste en el Ejercicio 1 para dar con la fila 7. Talvez no puedas deducir todos los números, pero completa todos los quepuedas.

3. Una manera de agregar más filas al triángulo es considerando larelación entre cada número y los dos sobre él, a la izquierda y a laderecha. Examina los números de las filas 3 y 4. Encuentra una reglaque te permita hallar los números de la fila 4, a partir de los de la fila 3.¿Funciona la regla para otras filas del triángulo?

4. Usa la regla del Ejercicio 3 para completar el triángulo hasta la fila 9.

1 Fila 0Fila 1Fila 2Fila 3Fila 4Fila 5

2

6

1 1

3

10

3

10

1 1

4 41

5

1

51

11

1

El triángulo numérico tal comoaparece en El precioso espejode los cuatro elementos escritopor el matemático chino ChuShih-Chieh en 1303.

L E C C I Ó N 1 . 1 Busca patrones 5

&

El triángulo de Pascal posee muchos patrones interesantes. Tal vez hayas trabajado con otros patrones en forma de acertijos como los siguientes:

Completa lo siguiente.

Acertijo A: 2, 5, 8, 11, __, __, __

Acertijo B: 16, 8, 4, 2, __, __, __

Acertijo C: 3, 2, 3, 2, __, __, __

Acertijo D: ★ , ✻ , ★ , ✻ , __, __, __

Para resolver estos acertijos, necesitas hallar un patrón en la parte conocidade la lista y luego usarlo en la deducción de los términos siguientes. Listasordenadas como éstas se llaman sucesiones y cada artículo en una sucesión sellama término. A los términos también se les llama etapas.

Piensa comentaConsidera el Acertijo A. Describe una regla que puedas usar para ir deun término al siguiente.

2, 5, 8, 11, __, __, __

Según tu regla, ¿cuáles son los tres términos siguientes?

Ahora estudia el Acertijo B. Describe el patrón que halles.

16, 8, 4, 2, __, __, __

Según tu patrón, ¿cuáles son los tres términos siguientes?

¿Qué patrón ves en el Acertijo C: 3, 2, 3, 2, __, __, __?

Según tu patrón, ¿cuáles son los tres términos siguientes?

Las sucesiones no siempre son numéricas. Examina, por ejemplo, elAcertijo D.

★ , ✻ , ★ , ✻ , __, __, __

Describe el patrón y obtén los tres términos siguientes.

En los Acertijos A y B, cada término se halla aplicando una regla al términoanterior. En los Acertijos C y D, los términos siguen un patrón repetitivo. Enel siguiente problema, vas a estudiar sucesiones de ambos tipos.


V O C A B U L A R I Osucesióntérmino

Serie de problemas B

1. Las sucesiones de las Partes a hasta la e siguen un patrón repetitivo.Halla los tres términos, o etapas, siguientes de cada sucesión.

a.

b. 3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, . . .

c.

d. 7, 1, 1, 7, 1, 1, 7, 1, 1, . . .

e. �12

�, �23

�, �12

�, �23

�, �12

�, �23

�, . . .

2. En las Partes a hasta la e, cada término de la sucesión se halla aplicandouna regla al término anterior. Halla los tres términos siguientes de cadasucesión.

a. 3, 6, 9, 12, . . .

b.

c. 100, 98.5, 97, . . .

d. 3, 5, 8, 12, . . .

e. �12

�, �13

�, �14

�, �15

�, . . .

M A T E R I A L E S • mondadientes(opcional)• fichas (opcional)



3. A continuación se dan dos sucesiones, una construida con mondadientesy la otra con fichas. Tú y tu compañero deben elegir una de las sucesiones. Responde las Partes a hasta la c por tu cuenta, usando lasucesión que elegiste.

a. Halla o dibuja los tres términos siguientes de tu sucesión.

b. ¿Cuántos mondadientes o fichas habrá en el décimo término?Compruébalo hallando o dibujando este término.

c. Encuentra una sucesión numérica que dé el número de mondadienteso fichas en cada término de tu patrón.

d. Compara tus respuestas a las partes anteriores con las de tu com-pañero. ¿En qué se parecen? ¿En qué difieren?

4. Describe el patrón de cada sucesión numérica y úsalo para completar lostérminos que faltan.

a. 5, 12, 19, 26, __, __, __

b. 0, 9, 18, 27, __, __, __

c. 125, 250, __, 1,000, __, __, 8,000

d. 1, 0.1, __, 0.001, __, 0.00001, __

e. 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, __, __, __

5. Considera esta sucesión de símbolos:

�, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, . . .

a. Si este patrón repetitivo continúa indefinidamente, ¿cuáles son losseis términos siguientes?

b. ¿Cuál es el trigésimo término?

c. ¿Cómo podrías hallar el centésimo término sin tener que dibujar 100símbolos? ¿Cuál es dicho término?

Sucesión B

Sucesión A

Los símbolos delEjercicio 5 son letrasdel alfabeto griego. �es la letra delta y �es la letra omega. Lasletras griegas se usancon frecuencia en físicay en matemática avanzada.

interés

Datosd e

&


6. La siguiente sucesión se conoce con el nombre de sucesión deFibonacci en honor del matemático que la descubrió. Es una sucesióninteresante porque se manifiesta a menudo en la naturaleza y en productos manufacturados.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .

a. Estudia esta sucesión detenidamente para ver si puedes descubrir supatrón. Da los tres términos siguientes.

b. Da instrucciones para continuar la sucesión de Fibonacci.

Comparteresume

1. A continuación se muestra nuevamente el diagrama de la actividadExplora de la página 4. ¿Cómo se relacionan los números del triángu-lo de Pascal con el número de sendas entre el Comienzo y cada unade las letras?

2. Ya descubriste que cada número del triángulo de Pascal es la suma de los dos números encima de él. Explica lo que esto significa en términos del número de sendas que terminan en una letra dada deldiagrama anterior.

3. Describe algunas estrategias que usas al buscar un patrón en una sucesión.

Comienzo

B

ED

A

C

GF H I

KJ L M N

Los números deFibonacci (es decir, losnúmeros de la suce-sión) pueden verse enla disposición de hojasy flores de algunasplantas y en las esca-mas de los conos y enlas piñas.

interés

Datosd e

10 C A P Í T U L O 1 Todo sobre los patrones impactmath.com/self_check_quiz

Ejercicios por tu cuenta

1. He aquí algunas de las primeras filas del triángulo de Pascal:

a. ¿Cuántos números hay en cada fila?

b. ¿Cuántos hay en la fila 4? ¿En la 5? ¿En la 6?

c. Si te dan el número de una fila, ¿cómo puedes determinar cuántosnúmeros hay en ella?

d. En algunas filas cada número aparece dos veces. Otras poseen unnúmero central que sólo aparece una vez. ¿Tendrá número central ladécima fila? ¿La novena? ¿Cómo lo sabes?

2. El número central de cierta fila del triángulo de Pascal es 252 y elnúmero a su derecha es 210.

a. ¿Cuál es el número a la izquierda del número central? ¿Cómo lo sabes?

b. ¿Cuál es el número central dos filas más abajo? ¿Cómo lo sabes?

Describe el patrón de cada sucesión y úsalo para hallar sus tres términos siguientes.

3. 3, 12, 48, 192, __, __, __

4. 0.1, 0.4, 0.7, 1.0, __, __, __

5. 2, 5, 4, 7, 6, 9, __, __, __

6. �, �, �, �, �, �, �, �, �, __, __, __

7. �5, �4, �3, �2, __, __, __

8. a, c, e, g, __, __, __

? 252???. . . 210 ? ? ? . . .

1 Fila 0Fila 1Fila 2Fila 3

21 1

3 31 1

1 1

&Practicaaplica

En matemáticas, elsímbolo � denotacuánto cambia unacantidad, mientras que � denota infinito.

interés

Datosd e

http://impactmath.com/self_check_quiz

9. Algunos patrones del triángulo de Pascal aparecen de improviso.Examina, por ejemplo, el patrón de las sumas de las filas.

a. Halla la suma de cada fila que se muestra en el Ejercicio 9.

b. Describe el patrón de las sumas de las filas.

10. El siguiente patrón supone dos filas de números. Si se continuase elpatrón, ¿qué número aparecería a la derecha de 98? Explica cómo losabes.

3 6 9 12 15 181 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17

11. Examina este patrón de números. Si se continuara, ¿qué número aparecería debajo de 100?

12 3 4

5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16

1 Fila 0 suma � 1Fila 1 suma � 2Fila 2 suma � 42

6

1 1

3

10

3

10

1 1

4 41

5

1

51

11

1

�

�

��

� ��

�

�

� �

�

��


&Conectaamplía


12. Tal vez necesites trazar estas figuras en papel cuadriculado.

a. Halla el término siguiente de esta sucesión.

b. Esta tabla muestra el número de cuadrados en las filas inferiores delos dos primeros términos. Copia y completa la tabla para mostrar elnúmero de cuadrados en las filas inferiores de los dos términos siguientes.

Cuadrados en Término la fila inferior

1 1

2 3

3

4

c. Estudia detenidamente tu tabla. Describe el patrón de números en lasegunda columna y úsalo para extender y mostrar el número decuadrados en las filas inferiores de los términos quinto y sexto.

d. Estima el número de cuadrados en la fila inferior del trigésimo término.

e. Ahora haz una tabla en que muestres el número total de cuadrados encada uno de los cinco primeros términos.

Término Número total de cuadrados1 1

2 4

3

4

5

f. Busca un patrón en la tabla anterior y úsalo para estimar el númerototal de cuadrados del décimo término.

Término 3Término 2Término 1

¿Qué son lospatrones? ¿Tienepatrón cada sucesión numérica? ¿Es toda sucesiónde figuras unpatrón? Explica.

propiasEn t u s

palabras


13. Imagina que hay una hormiga parada en el cuadrado marcado con la A en este cuadriculado. La hormiga puede moverse horizontal o verticalmente, un cuadrado a la vez.

a. En una copia de este cuadriculado, colorea cada cuadrado, salvo elcentral, según el número mínimo de cuadrados que necesite la hormiga para llegar a él. Usa un color para los cuadrados que están a un cuadrado de distancia, otro color para los que se hallan a doscuadrados de distancia, etc.

b. ¿Qué figuras forman los cuadrados del mismo color? ¿Cuántoscuadrados del mismo color hay? ¿Qué otros patrones notas?

Halla cada suma o resta sin calculadora.

14. 5,853 � 788 15. 1,054 � 1,492 16. 47,745 � 2,943

17. Escribe treinta y dos mil quinientos sesenta y tres en forma estándar.

18. Escribe catorce millones trescientos dos mil dos en forma estándar.

19. Escribe 324 en palabras. 20. Escribe 12,640 en palabras.

21. Geometría Imagina que tienes 12 mosaicos cuadrados, con lados deuna pulgada de largo cada uno.

a. ¿De cuántas maneras distintaspuedes usar los 12 mosaicos parahacer un rectángulo? Bosquéjalostodos.

b. ¿Cuál de estos rectángulos tiene el máximo perímetro? ¿Cuál es esteperímetro?

c. ¿Cuál de estos rectángulos tiene el mínimo perímetro? ¿Cuál es esteperímetro?

1 pulg

1 pulg

A

mixtoRepaso

RecuerdaEscribir un número en forma estándarsignifica escribirlousando dígitos. Porejemplo, la formaestándar de diecisietees 17.

Recuerda El perímetro de unafigura es la longitud de su contorno.

&


Jing trazó un rectángulo y escribió una regla para generar una sucesión de figuras que comienzan con su rectángulo.

Rectángulo inicial:

Regla: Traza un rectángulo cuyo tamaño sea el doble del anterior.

Siguiendo la regla, Caroline trazó esta sucesión:

Jahmal siguió la regla y obtuvo esta sucesión:

Piensa comenta¿Pueden ser correctas las dos sucesiones? Explica.

Rosita también siguió la regla de Jing, pero su sucesión fue diferente ala de Caroline y a la de Jahmal. ¿A qué pudiera parecerse la sucesión de Rosita?

Reescribe la regla de modo que la sucesión de Caroline sea la correcta,pero no la de Jahmal. Trata de que tu regla sea lo más específica posiblede manera que cualquiera que la siga obtenga la sucesión que obtuvoCaroline.

Sigue las reglas

Investigación

L E C C I Ó N 1 . 2 Sigue las reglas 15

1 Sucesiones y reglas

Ya has visto cómo tres alumnos siguieron la misma regla y, sin embargo,obtuvieron tres sucesiones distintas. Esto se debe a la ambigüedad de la reglade Jing, la cual se puede interpretar de diversas maneras. Tanto en matemáticascomo en la vida cotidiana, a menudo es importante estipular las reglas demodo que todos obtengan el mismo resultado.


1. Inventa una sucesión de figuras en que cada una de ellas pueda obtenerseaplicando una regla a la figura anterior. Traza la primera figura de lasucesión en una hoja de papel en blanco y escribe la regla. Trata de queésta sea lo más específica posible de manera que cualquiera que la sigaobtenga la sucesión que tienes en mente.

2. Intercambia figuras y reglas con tu compañero(a). Sigue su regla y trazalas tres figuras siguientes de la sucesión.

3. Compara la sucesión que trazaste en el ejercicio 2 con la sucesión original de tu compañero. ¿Son iguales? Si no es así, describe sus diferencias y por qué son diferentes. Si es ambigua tu regla o la de tucompañero(a), trabajen juntos para hacerlas más específicas.

A menudo se usan reglas para describir la relación entre dos cantidades. Porejemplo, cierta regla pudiera indicarte cómo calcular una cantidad a partir de otra.

La dosis de adulto de un remedio para el resfrío es de 2 onzas. La dosispara un niño menor de 12 años puede calcularse usando esta regla:

Divida la edad del niño entre 12 y multiplique el resultado por 2 onzas.

Esta regla te indica la relación entre la dosis infantil y la edad del niño.Si conoces la edad del niño, puedes usar la regla para calcular la dosis.

Por ejemplo, la dosis para un niño de 3 años es:

dosis � 3 � 12 2 onzas� 0.25 2 onzas� 0.5 onzas

E J E M P L O


En la siguiente Serie de problemas vas a estudiar algunas reglas comunes parahallar una cantidad a partir de otra.


1. Puedes usar esta regla para estimar la distancia en millas al lugar en quecayó un rayo.

Cuenta los segundos entre ver el resplandor del relámpago y oír eltrueno y luego divide entre 5.

Usa esta regla para estimar la distancia al lugar en que cayó un rayo sicontaste 15 segundos entre el resplandor y el trueno.

2. La abuela de Hannah usa la siguiente receta para calcular las cucharadasde té que debe poner en su tetera:

Use una cucharada por persona y luego añada una cucharada.

a. ¿Cuántas cucharadas de té debe usar la abuela de Hannah para cuatropersonas?

b. El abuelo de Hannah piensa que esta receta produce un té muy fuerte.Halla una receta que le guste.

c. Usando la receta de la Parte b,¿cuántas cucharadas de té se necesitan para cuatro personas?

d. A Amy, una prima de Hannah, legusta el té aun más cargado de loque le gusta a la abuela deHannah. Halla una receta que lepudiera gustar a Amy y úsala paracalcular las cucharadas de té quese necesitan para cuatro personas.

3. En un recetario aparece la siguiente receta para cocinar carne de res:

Cocínese por 20 minutos a 475°F. Luego bájese el fuego a 375°F y cocí-nese durante 15 minutos por libra. Si le gusta la carne poco asada,retírela del horno. Si le gusta a punto, cocínela por 7 minutos más. Si legusta bien cocida, cocínela por 14 minutos más.

Si la carne te gusta a punto, ¿cuál es el tiempo de cocción total de unrosbif de 4 libras?

Se cree que se comenzóa beber té hace más de5000 años en China. Elté helado se introdujosólo en 1904, en laferia mundial de St.Louis, cuando un inglésllamado RichardBlechynden le pusohielo al ver que nadie se lo compraba.

interés

Datosd e


Las reglas de la Serie de problemas B son muy sencillas. Muchas reglashacen uso de cálculos más complicados. Si no necesitas un valor exacto, aveces puedes usar una regla más sencilla en las estimaciones.

Serie de problemas C

1. Con la siguiente regla puedes convertir temperaturas en grados centígrados (°C) a grados Fahrenheit (°F):

Multiplica los grados centígrados por 1.8 y suma 32.

Copia y completaesta tabla en quemostrarás las tem-peraturas en gradoscentígrados y susequivalentes enFahrenheit.

2. La familia López pasó sus vacaciones de verano en Canadá. La Sra.López usó esta regla para convertir grados centígrados en gradosFahrenheit.

Multiplica los grados centígrados por 1.8 y suma 32.

Esta regla facilita los cálculos mentales, pero sólo proporciona unaaproximación a los grados Fahrenheit mismos.

a. Completa estatabla que da lastemperaturasaproximadas engrados Fahrenheitpara las tempera-turas en gradoscentígradosdadas.

b. ¿En qué temperatura en grados centígrados coinciden las dos reglasanteriores?

c. ¿Para cuál temperatura de la tabla, en grados centígrados, la regla dela Sra. López da una temperatura en Fahrenheit que es demasiadoalta?

212°F

194

176

158

140

122

104

86

68

50

32°F

14

90

80

100°C

70

60

50

40

30

20

10

0°C

�10

Grados Gradoscentígrados Fahrenheit

0 32

10 50

20

30

40

50

GradosGrados Fahrenheit

centígrados aproximados0 30

10 50

20

30

40

50

&


3. Un día la familia López voló de Toronto, cuya temperatura era de 37°C,a Winnipeg, donde la temperatura era de 23°C.

a. Usa la regla del Ejercicio 1 para calcular las temperaturas exactas en Fahrenheit de ambas ciudades.

b. Usa la regla de la Sra. López (Ejercicio 2) para calcular las temperaturas aproximadas en Fahrenheit de ambas ciudades.

c. ¿Para cuál de las ciudades fue más precisa la regla de la Sra. López?

4. Lee nuevamente las respuestas a los Ejercicios 2 y 3. ¿Qué pasa con laaproximación conforme aumentan los grados centígrados?

Comparteresume

1. A continuación se muestran el primer término y la regla de una sucesión.

Primer término: 20

Regla: Escribe el número que, en la recta numérica, está a dosunidades del anterior.

a. Da los primeros términos de dos sucesiones que cumplen con esta regla.

b. Reescribe la regla de modo que sólo una de estas sucesiones sea la correcta.

2. En el mercado de la esquina venden bananas a 49¢ la libra. Escribeuna regla para calcular lo que cuesta un racimo de bananas.

Toronto, capital de laprovincia de Ontario.

Investigación


2 El orden de las operaciones

Una convención es una regla que se ha decidido aceptar porque es útil o con-veniente hacerlo así. Son convenciones las reglas “Al manejar, manténgase ala derecha” y “En el supermercado, haga cola para pagar”.

La lectura de una página de izquierda a derecha es una convención que loshispanohablantes han adoptado. Cuando lees la oración “el perro muerde alniño”, sabes que primero debes leer “el perro”, luego “muerde” y luego “alniño”, en vez de “el niño muerde al perro”. No todos los lenguajes siguen estaconvención. El hebreo, por ejemplo, se lee de derecha a izquierda y el japonésse lee de arriba abajo de izquierda a derecha.

Para trabajar en matemáticas, debes saber cómo leer las expresionesmatemáticas. Por ejemplo, ¿cómo leerías esta expresión?

5 � 3 7

Hay varias posibilidades:

• De izquierda a derecha: Suma 5 y 3, lo que da 8, y luego multiplicapor 7, lo que da 56.

• De derecha a izquierda: Multiplica 7 por 3, lo que da 21, y luegosuma 5, lo que da 26.

• Multiplica y luego suma: Multiplica 3 por 7, lo que da 21, y luegosuma 5, lo que da 26.

Para poder comunicarse en matemática, la gente sigue una convención en lalectura y evaluación de expresiones. Dicha convención, llamada orden de lasoperaciones nos indica que las expresiones deben evaluarse en el siguienteorden:

• Evalúa las expresiones en paréntesis.

• Multiplica y divide de izquierda a derecha.

• Suma y resta de izquierda a derecha.

Para evaluar 5 � 3 7, primero multiplicas y luego sumas:

5 � 3 7 � 5 � 21 � 26

Si quieres indicar que la suma debe hacerse primero, debes usar paréntesis:

(5 � 3) 7 � 8 7 � 56

Las convenciones noson inmutables, comolo es la ley física “Alsoltar un objeto, éstecae al suelo”. La gentepuede ponerse deacuerdo para cambiaruna convención y haceralgo diferente.

V O C A B U L A R I O orden de lasoperaciones

RecuerdaEvaluar una expresiónmatemática significacalcular su valor.

interés

Datosd e

Estos cálculos siguen el orden de las operaciones:

15 � 3 4 � 15 � 12 � 31 � 4 (2 � 3) � 1 � 4 5 � 1 � 20 � 21

3 � 6 � 2 � 1 � 3 � 3 � 1 � 6 � 1 � 5

E J E M P L O

Otra convención matemática guarda relación con los símbolos que se usanpara indicar multiplicación. Ya conoces el símbolo . Un asterisco o un puntopequeño entre dos números también indica esta operación. Así, cada una delas siguientes expresiones significa “tres por cuatro”:

3 4 3 � 4 3 * 4

Serie de problemas D

Usa el orden de las operaciones en los Ejercicios 1 al 4 para averiguar si lasexpresiones son iguales.

1. 8 � 4 � 6 (8 � 4) � 6 8 (4 � 6)

2. 2 � 8 � 4 � 6 (2 � 8) (4 � 6) 2 � (8 � 4) � 6

3. (10 � 4) 2 10 � (4 * 2) 10 � 4 * 2

4. 24 � 6 * 2 (24 � 6) 2 24 � (6 � 2)

5. Inventa una expresión matemática con un mínimo de tres operaciones y calcula su valor. Luego escríbela en una hoja de papel aparte e intercambia expresiones con tu compañero. Evalúa la expresión de tu compañero y haz que éste revise tu resultado.

6. La mayoría de las calculadoras modernas siguen el orden de las operaciones.

a. Usa tu calculadora para calcular 2 � 3 4. ¿Cuál es el resultado?¿Siguió tu calculadora el orden de las operaciones?

b. Usa tu calculadora para calcular 1 � 4 2 � 3. ¿Cuál es el resultado? ¿Siguió tu calculadora el orden de las operaciones?



Serie de problemas E

El Sr. Conte es usuario de electricidad y gas de la Smallville Power Company.La empresa usa la siguiente regla para calcular la cuenta de un cliente:

Cóbrese 12.05 centavos por kilovatio-hora (kvh) de electricidad consumido y65.7 centavos por termia de gas usada.

1. Este mes la casa del Sr. Conte consumió 726 unidades de electricidad y 51.7 unidades de gas. ¿Cuánto es el monto de su cuenta? Da turespuesta en dólares y centavos.

2. Al descomponerse el sistema de computadoras Smallville Power, losempleados tuvieron que usar calculadoras para determinar los montos delas cuentas. Las calculadoras no usan el orden de las operaciones, sinoque evalúan las operaciones en el orden en que éstas se ingresan. Paracalcular el monto de la cuenta del Sr. Conte, el empleado ingresó laexpresión siguiente. ¿Dará esto el resultado correcto? ¿Dará menos?¿Más? Explica.

726 12.05 � 51.7 65.7

3. Supón que, en cambio, el empleado ingresó la expresión siguiente.¿Dará esto el resultado correcto? ¿Dará más? ¿Menos? Explica.

12.05 726 � 65.7 51.7

&


La barra de fracciones se usa para indicar división. Por ejemplo, las siguientesexpresiones significan “divide 10 entre 2” o “10 dividido entre 2”:

10 � 2 �120�

La barra de fracciones se usa a veces en expresiones más complicadas:

�24

��

34�

En expresiones como ésta, la barra no sólo significa “divide”, sino que también sirve de símbolo de agrupamiento, agrupando los números y operaciones encima de la barra y los que están debajo de ella. Es como si lasexpresiones encima y debajo de la barra estuvieran encerradas en paréntesis.

La expresión �24��

34

� significa “Suma 2 y 3, luego suma 4 y 4 y divide los resultados”, de modo que la expresión es �

58

�, ó 0.625.

Esta lista más completa del orden de las operaciones incluye la barra de fracciones:

• Evalúa las expresiones dentro de paréntesis, así como las que aparecenencima y debajo de barras de fracciones.

• Multiplica y divide de izquierda a derecha.

• Suma y resta de izquierda a derecha.

Serie de problemas F

Calcula el valor de cada expresión.

1. �21

��

21

� 2. 2 � �1 �

21

�

3. Tu calculadora no tiene la barra de fracciones como símbolo de agrupamiento, así que debes tener cuidado al ingresar expresiones como �

21

��

21

�.

a. ¿Qué resultado da tu calculadora si ingresas 2 � 2/1 � 1 (ó2 � 2 � 1 � 1)? ¿Puedes explicar por qué obtuviste tal resultado?

b. ¿Qué deberías ingresar para evaluar �21

��

21

�?

Comparteresume

¿Por qué es importante aprender las convenciones matemáticas como, porejemplo, el orden de las operaciones?

impactmath.com/self_check_quiz L E C C I Ó N 1 . 2 Sigue las reglas 23


&Practicaaplica

Usa el primer término y la regla dada para generar una sucesión. Determina situ sucesión es la única posible. Si no es así, da otra sucesión que cumpla conla regla.

1. Primer término: 40Regla: Divide el término anterior entre 2.

2. Primer término:Regla: Dibuja una figura con un lado más que los de la anterior.

3. Comenzando con una figura geométrica cerrada cuyos lados son segmentos de recta, puedes usar esta regla para crear un diseño.

Ubica el punto medio (punto central) de cada lado de la figura. Únelosconsecutivamente, obteniendo así una nueva figura. (Tendrá la mismaforma que la original, sólo que más pequeña.)

a. Copia este cuadrado y aplica la regla tres veces, empezando cada vezcon la figura anterior.

b. Copia este triángulo y aplica la regla tres veces, empezando cada vezcon la figura anterior.

c. Dibuja una figura y aplica tres veces la regla.

4. Medición Luis está preparando un postre que requiere tres huevos portaza de harina.

a. ¿Cuántos huevos necesita para tres tazas de harina?

b. Para una fiesta Luis preparó una tanda grande de su postre en que usóuna docena de huevos. ¿Cuánta harina usó?



5. Economía Althea usa esta regla para calcular lo que cobra por cuidarniños:

Cobro $5 por hora por un niño, más $2 por hora por cada niño adicional.

a. El sábado pasado cuidó a los mellizos Newsome durante 3 horas.¿Cuánto dinero ganó? Explica cómo calculaste la respuesta.

b. La Sra. Foster la empleó para que cuidara a sus tres niños durante 2horas. ¿Cuánto va a cobrarle Althea?

c. ¿En qué caso gana más Althea, en cuidar dos niños durante 3 horas otres niños durante 2 horas?

d. Althea espera ganar $25 el fin de semana venidero para comprarle unregalo de cumpleaños a su hermana. Describe dos maneras de queganase por lo menos $25 cuidando niños.

6. Medición Puedes convertir las velocidades de kilómetros por hora amillas por hora usando esta regla:

Multiplica por 0.62 el número de kilómetros por hora.

a. Convierte en millas por hora cada velocidad de la siguiente tabla.

Kilómetros Millas porpor hora hora

50

60

70

80

90

100

110

120

b. Como parte de su trabajo, el Sr. López debe manejar mucho enCanadá. Él usa la siguiente regla para aproximar la velocidad en millaspor hora a partir de una velocidad dada en kilómetros por hora.

Divídase el número de kilómetros por hora entre 2 y súmese 10.

Usa esta regla para convertir en millas por hora aproximadas cadavelocidad de la tabla anterior.

c. ¿Para cuáles valores en kilómetros por hora de las tablas están máscercanos los resultados de ambas reglas?

d. ¿Para cuáles valores en kilómetros por hora de la tabla, la regla delSr. López da un valor demasiado elevado?

Evalúa cada expresión.

7. 3 � 3 � 2 � 2 8. (3 � 3) (2 � 2)

9. (3 � 3) � 2 � 2 10. �7

1�1

6�

�5

2� 2

� 6�

Decide si se evaluó correctamente cada expresión al usar el orden de lasoperaciones. Si no es así, da el resultado correcto.

11. 10 (1 � 5) � 7 � 8 12. 54 � 27 � 3 � 45

13. (16 � 4 � 2) � (14 � 2) � 5 14. 100 � 33 � 2 � (4 � 8) � 22

15. Se puede producir una sucesión numérica al aplicar la siguiente regla:

Si el número es par, obtén el número siguiente dividiendo entre 2. Si elnúmero es impar, obtén el número siguiente multiplicando por 3 y luegosumando 1.

a. Usa esta regla para producir una sucesión cuyo primer término sea 1.Describe el patrón de la misma.

b. Ahora usa la regla para producir una sucesión cuyo primer términosea 8. Sigue hallando nuevos términos hasta que veas un patrón en lasucesión. Describe lo que pasa.

c. Usa la regla para generar dos sucesiones más. Sigue hallando nuevostérminos hasta que veas un patrón.

d. Usando tu calculadora y la regla, produce una sucesión cuyo primertérmino sea 331. Nuevamente, sigue hallando nuevos términos hastaque veas un patrón.

e. Describe lo que descubriste en las Partes a hasta la d.

&Conecta amplía



16. Medición Una milla equivale a unos 1.6 kilómetros.

a. ¿Cuál es la distancia mayor, 1 milla ó 1 kilómetro?

b. Los Ángeles y Nueva York están separadas por unas 2460 millas.¿Cuánto es esto en kilómetros?

c. Si la velocidad máxima de una carretera en Canadá es de 50 kilóme-tros por hora, ¿cuánto es esto en millas por hora?

d. En la Investigación 2 aprendiste que un rayo está a 1 milla de distancia por cada 5 segundos que cuentas entre su resplandor y eltrueno. ¿Cuánto se tarda el trueno en llegar a tus oídos si un rayo cae a 1 kilómetro de distancia?

17. Economía Las llamadas desde unteléfono público se pagan según estaregla:

Cóbrese 25 centavos por llamada por los tres primeros minutos, más10 centavos por cada 3 minutos o fracción adicionales.

a. ¿Cuánto te costaría hacer una llamada de 10 minutos?

b. Si tienes $1.15 en monedas,¿cuánto tiempo puedes hablar en una sola llamada?

En los Ejercicios 18 al 21, decide si cada regla es

• una convención o

• una norma que no puede cambiarse.

18. Nueve por un número es igual a la diferencia entre 10 veces el númeromenos el número.

19. En una expresión sin paréntesis, como 2 � 3 � 4 � 5 � 6, que sólotiene sumas y productos, empieza multiplicando.

20. 4 � 3 � 7

21. Usa un punto decimal para separar las partes entera y fraccionaria de unnúmero.

Explica la conven-ción matemáticaque te permite leerun número enterode tres dígitoscomo 645 y saberque es distinto de un númerocomo 546.

propiasEn t u s

palabras


22. Este cálculo da el mismo resultado, ya sea que se ejecute correctamente(según el orden de las operaciones) o de izquierda a derecha.

16 � 6 � 2 � 15 � 5

a. Calcula el valor de la expresión de ambas maneras, mostrando asíque los resultados son los mismos.

b. Inventa otro expresión que no deba evaluarse de izquierda a derecha,pero que dé el resultado correcto si se evalúa de dicha manera.

Calcula cada suma o resta sin calculadora.

23. 73.97 � 12.43 24. 4.642 � 2.1 25. 37.13 � 16.4

26. 194.5 � 73.94 27. 54.32 � 45.68 28. 73.7654 � 5

29. Lucita dibujó este cuadriculado:

a. ¿Qué fracción de los cuadrados tiene puntos?

b. ¿Qué porcentaje de los cuadrados tiene rayas?

c. ¿Qué fracción de los cuadrados tiene corazones?

d. Describe cómo podría Lucita llenar los cuadrados en blanco paracrear un cuadriculado en que el 50% de los cuadrados tenga puntos,�14

� tenga corazones y un 25% tenga rayas.

e. Describe cómo podría Lucita llenar los cuadrados en blanco paracrear un cuadriculado en que �

23

� de los cuadrados tenga el mismopatrón.

30. ¿Qué número en la recta numérica equidista entre 1.8 y 3.2?

mixtoRepaso

Los números de página de los periódicos siguen un patrón. Esta actividad teayudará a descubrirlo.

ExploraCada persona de tu grupo debe elegir una hoja de la misma sección deun periódico.

Observa que tu hoja contiene cuatro páginas impresas en ambos lados.Anota el par de números de página en un lado de la hoja y el otro par enel otro lado.

Compara los dos números de página de un lado de tu hoja con los dosdel otro lado. Describe cualquier patrón que observes.

Ahora compara tus dos pares de números con los de otros alumnos de tu grupo. Describe cualquier patrón que satisfaga todos los pares de números.

Ahora trabaja en grupo para resolver este problema.

Una sección de un periódico tiene 48 páginas (numeradas del 1 al 48).¿Cuánto suman todos los números de página de la sección?

Explica cómo calculaste la respuesta. (Trata de encontrarla sin sumar losnúmeros.)

Escribe reglaspara patrones

M A T E R I A L E Suna sección de un periódico


Investigación

L E C C I Ó N 1 . 3 Escribe reglas para patrones 29

1 Descubre reglas

Una forma entretenida de practicar cómo identificar patrones es el juego¿Cuál es mi regla? En éste, uno de los jugadores piensa una regla numérica ylos otros tratan de adivinarla.

Hannah, Jahmal y Miguel jugaban a ¿Cuál es mi regla?

E J E M P L O

Ahora tendrás oportunidad de jugar a ¿Cuál es mi regla? A medida que vayasjugando, trata de idear estrategias para descubrirla rápidamente.

? !

Ok, yo tengo mi regla. Dame un

número, Jahmal.

2

2 da 5. La regla es"suma 3."

Yo sé laregla.

Ok, Miguel, con turegla, ¿qué resul-

tado daría 11?11 da 14.

¡No! Con miregla, 11 da

23! Inténta- lo de nuevo.

¿Qué resultado da 4?

9

¡Lo tengo!

Bueno, ¿qué daría 6 con tu regla,

Jahmal?

6 da 13.

¡SÍ! entonces, ¿cuál es mi regla?

Multiplica por2 y suma 1. Bien. Mi regla

es duplica y suma 1: lo

mismo

&



1. Con tu grupo, juega a ¿Cuál es mi regla? por lo menos seis veces.Túrnense para escribir reglas y hagan lo siguiente en cada turno:

• Anoten el nombre de la persona que ideó la regla.

• Hagan una tabla que muestre cada número que los alumnos dan y elresultado que da la regla para tales números.

• Anota la regla una vez que un jugador haya dado con ella.

2. Trabaja en grupo para escribir una lista de estrategias para el juego¿Cuál es mi regla?

En este juego se trata de adivinar una regla que ideó otro alumno. Ahora vas ajugarlo solo.

Para esto, imagina que una máquina ha recibido ciertos números de entrada,ha aplicado una regla a cada uno de ellos y te ha dado ciertos números de salida. Tu tarea consiste en adivinar la regla que usó la máquina.

Piensa comentaHe aquí las salidas que una máquina dio para las entradas 6, 3, 10 y 11.¿Cuál es la regla?

?620

?311

?1032

?1135

ReglaEntradaSalida

&


Cada tabla muestra las salidas que cierta máquina produjo para las entradasdadas. Descubre una regla que la máquina puede haber usado. Compruebaque tu regla funciona con todas las entradas dadas.

1. Entrada 3 5 8 4 1

Salida 2 4 7 3 0

2. Entrada 4 7 10 3 0

Salida 2 3.5 5 1.5 0

3. Entrada 10 6 3 4 0 100

Salida 23 15 9 11 3 203

Comparteresume

1. En un juego de ¿Cuál es mi regla?, la primera clave fue “2 da 4”.Escribe por lo menos dos reglas que satisfagan esta clave.

2. La siguiente clave del mismo juego fue “3 da 9”. Escribe por lomenos dos reglas que satisfagan esta clave. ¿Funciona también paraesta clave alguna de las reglas que anotaste para la primera?

3. La tercera clave fue “10 da 100”. Da una regla que satisfaga las tresclaves. ¿Cómo la hallaste?

4. Describe algunas estrategias para encontrar la regla de una tabla deentrada/salida.


2 Relaciona números

En la Investigación 1, encontraste reglas que relacionan números de entrada yde salida. Ahora vas a escribir reglas que relacionan pares de números en unpatrón hecho de mondadientes. Descubrirás que una regla te permite calcularel número de mondadientes en cualquier parte del patrón, sin necesidad detener que generar cada paso anterior.


Examina esta sucesión de figuras hechas con mondadientes.

En esta sucesión, hay 4 mondadientes en el primer término, 7 en el segundo y 10 en el tercero.

1. ¿Cuántos mondadientes hay en el cuarto término? Si continuase estepatrón, ¿cuántos mondadientes necesitarías en el quinto término? ¿En el sexto? ¿En el décimo?

2. Tomaría mucho tiempo hacer o dibujar el centésimo término. Describeun atajo para calcular el número de mondadientes en dicho término.

3. ¿Podrías usar un atajo para calcular el número de mondadientes encualquier término de la sucesión? Escribe una regla para calcular elnúmero de mondadientes en un término cualquiera y explica por quéfunciona. (Ayuda: No basta mostrar que tu regla funciona en algunoscasos particulares. Trata de explicar por qué funciona basándote en laforma en que se construyen los términos.)

Término 1 Término 2 Término 3 Término 4

Investigación

M A T E R I A L E Smondadientes(opcional)

Término Mondadientes1 4

2 7

3 10



La Srta. Washington les pidió a sus alumnos que escribieran informes sobresu solución de la Serie de problemas C.

He aquí el informe de Rosita, Conor y Marcus.

E J E M P L O

Término 1 Término 2 Término 3

Término 8

Informe de Rosita, Conor y Marcus

El primer término es un cuadrado con 4 mondadientes. Se agregan tres

mondadientes más a cada término, formando otro cuadrado. Así, el

segundo término tiene 4 más un grupo de 3 y el tercer término tiene

4 más dos grupos de 3, etc.

Comprobamos nuestra regla con el octavo término: Debe tener

4 mondadientes más 7 grupos de 3, es decir, 4 + 7 x 3 = 25

mondadientes en total. Al dibujarla, la figura tiene 25 mondadientes.

Dimos con dos maneras de escribir nuestra regla.

Una es:

Para calcular el número de mondadientes en cualquier término,

comiéncese con 4 mondadientes y añádase el índice del término

menos 1, por 3.

Una forma más breve es:

número de mondadientes = 4 + (índice del término – 1) x 3


Otro grupo halló su regla de otra forma.

He aquí el informe de Luke, Althea y Miguel.

E J E M P L O

En la Serie de problemas D vas a practicar cómo escribir reglas de sucesionesy a explicar por qué funcionan. Tal vez te sea útil construir los patrones con mondadientes.

Informe de Luke, Althea y Miguel.

Hicimos una tabla en que mostramos el número de mondadientes en cada término.

Término Mondadientes

1 4

2 7

3 10

4 13

La sucesión de la segunda columna es 4, 7, 10, 13, . . . . De un término al siguiente,

los números aumentan en 3, pero llevaría mucho tiempo hacer esto hasta el

centésimo término, así que buscamos una relación entre el índice del término y el

número de mondadientes.

Supusimos que la regla era “agréguese 3 al índice del término”, pero eso sólo

funciona en la primera fila (1 + 3 = 4), no funciona en la segunda (2 + 3 = 7).

Entonces notamos que la regla “multiplíquese el índice del término por 3

y súmese 1” funciona para los dos primeras filas y lo comprobamos para

las otras dos.

Trazamos esquemas para mostrar por qué funciona:

Podemos ver que nuestra regla funciona con cualquier término porque cada

nuevo término añade 3 mondadientes más y sobra siempre un mondadientes.


&


Haz las Partes a hasta la d para cada sucesión de figuras.

a. Calcula el número de mondadientesen cada uno de los cinco primeros términos. Anota tus resultados en una tabla.

b. Determina el número de mondadientesen el centésimo término.

c. Escribe una regla que relacione elnúmero de mondadientes con el índicedel término. Usa tu regla para predecir el número de mondadientes enlos términos sexto y séptimo, y compruébala construyendo o dibujandodichos términos. Si tu regla no funciona, revísala hasta que funcione.

d. Explica por qué tu regla funcionará con cualquier índice.

1.

2.

3.

Comparteresume

Caroline preguntó: “¿Cómo puedo saber si una regla de una sucesión de mondadientes es la correcta a menos que la compruebe para cada término?” Escribe una o dos oraciones para responderle a Caroline.



Término 3Término 2Término 1


M A T E R I A L E Smondadientes(opcional)

Término Mondadientes1

2

3

4

5


Encuentra una regla que funcione para todos los pares de cada tabla de entrada/salida y úsala para hallar las salidas que faltan.

1. Entrada 0 1 2 5 8 12

Salida 4 5 6 9

2. Entrada 3 24 36 12 45 60

Salida 1 8 12 4

3. Entrada 2 10 16 22 32 44

Salida 0 4 7 10

4. Entrada 1 2 3 4 6 10

Salida 9 19 29 39

5. Considera esta sucesión de figuras.

a. Bosqueja los dos términos siguientes de la sucesión.

b. Completa esta tabla que muestra el número de mondadientes en cada término.

Término 1 2 3 4 5

Mondadientes 6

c. Predice el número de mondadientes en el centésimo término.


&Practicaaplica

36 C A P Í T U L O 1 Todo sobre los patrones impactmath.com/self_check_quiz



6. Tanto Conor como Althea dieron con una regla para predecir el númerode mondadientes en cada término de esta sucesión:

La regla de Conor fue “Súmese 1 al índice del término y luego multiplíquese por 5 lo que se obtenga”.

La regla de Althea fue “Multiplíquese por 5 el índice del término yluego súmese 5”.

a. ¿Cumplen ambas reglas con los tres términos dados?

b. Usa ambas reglas para predecir el número de mondadientes del centésimo término. ¿Dan ambas el mismo resultado?

c. Escoge una de las reglas y explica por qué funciona.

7. Esta sucesión de figuras está hecha de estrellas:

a. Calcula el número de estrellas en cada uno de los cinco primeros tér-minos y anota tus resultados en una tabla.

b. ¿Cuántas estrellas hay en el centésimo término?

c. Escribe una regla que relacione el número de estrellas con el índicedel término. Úsala para predecir el número de estrellas en los términos sexto y séptimo, y comprueba tus predicciones construyendo o dibujando dichos términos. Si tu regla no funciona,revísala hasta que funcione.

d. Explica por qué tu regla funciona para cualquier índice.

✮ ✮ ✮ ✮✮ ✮

✮ ✮✮ ✮✮ ✮

✮ ✮✮ ✮✮ ✮✮ ✮




8. Esta sucesión de figuras está hecha de flores:

a. Calcula el número de flores en cada uno de los cinco primeros términos y anota tus resultados en una tabla.

b. ¿Cuántas flores hay en el centésimo término?

c. Escribe una regla que relacione el número de flores con el índice deltérmino. Úsala para predecir el número de flores en los términossexto y séptimo, y comprueba tus predicciones construyendo o dibu-jando dichos términos. Si tu regla no funciona, revísala hasta quefuncione.

d. Explica por qué tu regla funciona para cualquier índice.

9. No todas las tablas entrada/salida constan de números. En esta tabla,las entradas son palabras y las salidas son letras.

Entrada Alice Justin Kiran Marcus Jimmy Sarah

Salida i s r r

a. Completa las dos últimas columnas de la tabla.

b. ¿Cuál es la salida de tu nombre?

c. Describe una regla para hallar la letra de salida de cualquier palabrade entrada.

d. ¿Hay palabras de entrada que no poseen salidas? Explica.

10. En esta tabla de entrada/salida, las entradas son números y las salidasson letras.

Entrada 1 2 3 4 5 6

Salida O T T F F S

a. ¿Cuáles serían las salidas de las entradas 7 y 8?

b. Describe una regla para hallar la letra de salida de cualquier númerode entrada.

❀ ❀❀ ❀

❀ ❀❀ ❀❀ ❀

❀❀❀

❀ ❀❀ ❀❀ ❀❀ ❀

❀❀❀❀

❀❀❀❀


&Conecta amplía


11. Rosita estaba tratando de hallar una relación entre el número de letrasde una palabra y el de las distintas maneras de disponer sus letras. Sóloconsideró palabras en que todas las letras son diferentes.

Número de Número deletras Ejemplo arreglos

1 A 1 (A)

2 OF 2 (OF, FO)

3 CAT 6 (CAT, CTA, ACT, ATC, TAC, TCA)

a. Encuentra el número de arreglos de una palabra de cuatro letras distintas. (Como ejemplo podrías usar MATH, ya que tiene cuatroletras distintas.)

b. Desafío Predice el número de arreglos de cinco letras distintas.Explica cómo hallaste tu respuesta.

12. Ciencia biológica Los gansos vuelan a menudo en configuracionesen forma de V. Aquí se muestra una sucesión de dichos patrones.

a. Dibuja los términos cuarto y quinto. Usa puntos u otras figuras pararepresentar cada ave.

b. ¿Cuántos gansos hay en el centésimo término?

c. Busca una regla que relacione el número de gansos con el índice.

d. ¿Puede una de estas configuraciones tener exactamente 41,390,132gansos? Explica.


Un anagrama es unapalabra o frase que seobtiene al transponerlas letras de otra palabra o frase. Losanagramas estuvieronmuy en boga en laFrancia del siglo XVII. El rey Luis XIIItenía incluso un anagramatista real de jornada completaque los inventaba paraentretener al rey y a sus invitados.

El volar en una configu-ración en forma de V esuna manera eficiente dedesplazarse. Conformecada ganso bate susalas, genera una “fuerzade levantamiento” paralas aves detrás suyo.Cuando el ganso líderse cansa, abandona suposición, permitiendoque otra ave tome sulugar.

interés

Datosd e

interés

Datosd e


13. Considera esta sucesión de estrellas:

¿Podría esta sucesión tener un término con 12,239 estrellas? Explica.

14. Puedes generar una sucesión de cuadrados de tamaño creciente aldisponer copias idénticas de un cuadradito. Aquí se muestran los tresprimeros términos de tal sucesión:

a. Dibuja los dos términos siguientes.

b. El número de cuadraditos en cada término de esta sucesión se llamanúmero cuadrado. El primero es 1, el segundo es 4, y así sucesiva-mente. Da los números cuadrados tercero, cuarto y quinto.

c. Sin trazar figura alguna, halla el número cuadrado vigésimo quinto.

d. Escribe una regla para calcular el número cuadrado de cualquier tér-mino de la sucesión.

15. Puedes generar una sucesión de triángulos de tamaño creciente aldisponer copias idénticas de un triangulito. Aquí se muestran los tresprimeros términos de tal sucesión:



✮ ✮ ✮ ✮✮ ✮

✮ ✮✮ ✮✮ ✮

✮ ✮✮ ✮✮ ✮✮ ✮


propiasEn t u s

palabras

En las dos primeraslecciones de estecapítulo, estudias-te numerosospatrones. En estalección, jugaste¿Cuál es mi regla?¿En qué se pareceel buscar la reglade un patrón demondadientes a labúsqueda de unaregla en el juego¿Cuál es mi regla?


a. Dibuja los dos términos siguientes.

b. ¿Cuántos triangulitos negros y blancos hay en el primer término? ¿En el segundo? ¿En el tercero?

c. Compara el número de triangulitos en cada término de esta sucesióncon el del número de cuadrados en cada término de la sucesión delEjercicio 14. ¿Qué observas?

d. El número de triangulitos blancos en los términos de esta sucesión sellaman números triangulares. El primero es 1, el segundo es 3, etc.¿Cuáles son los números triangulares tercero, cuarto y quinto?

e. Trata de calcular el vigésimo número triangular sin trazar figura alguna.

f. Reto Escribe una regla para encontrar el número triangular decualquier término de la sucesión.

Calcula cada suma o resta.

16. �37

� � �17

� 17. �1332� � �

1332� � �

362� 18. �

12

� � �14

� � �14

�

19. �95

� � �65

� 20. �1125� � �

115� � �

115� 21. �

57

� � �27

� � �37

�

Ciencia terrestre Los símbolos en los Ejercicios 22 al 24 se usan en meteorología, el estudio del estado del tiempo. Copia cada símbolo y trazasus ejes de simetría.

22. aguaceros torrenciales 23. cellisca 24. huracán


25. 14 � 12 � 2 26. 5 � 10 � 5 � 2 27. 16 � 16 � 4 � 32

Da los cuatro términos siguientes de cada sucesión.

28. 64, 32, 16, 8, . . . 29. 4, 6, 5, 7, 6, 8, 7, . . .

RecuerdaUn eje de simetría ouna línea de reflexióndivide una figura endos mitades de imá-genes especulares. Sidoblas una figura siguiendo un eje desimetría, las dosmitades se correspon-den exactamente.

mixtoRepaso

Los números triangu-lares aparecen en unade las diagonales deltriángulo de Pascal.¿Puedes descubrirlos?

1

2

6

1 1

3 31 1

4 41 1

1 1

interés

Datosd e

&

Investigación


Has examinado patrones a lo largo de todo este capítulo. Los has visto en eltriángulo de Pascal, en sucesiones, en diseños con mondadientes y en la vidacotidiana. Ahora los vas a estudiar en geometría.

Explora¿Cuántos cuadrados hay en este diseño? (Ayuda: ¡Hay más de 16!)

1 Polígonos

Los polígonos son figuras geométricas planas (bidimensionales) que cumplencon lo siguiente:

• Están compuestos de segmentos de recta.

• Cada segmento interseca exactamente otros dos segmentos y sólo ensus extremos.

Estas figuras son polígonos:

Éstas no lo son:

Piensa comentaMira las figuras anteriores que no son polígonos. Explica por qué cadauna de éstas no cumple con la definición de polígono.

Patronesgeométricos

V O C A B U L A R I Opolígono

L E C C I Ó N 1 . 4 Patrones geométricos 43

Los polígonos se clasifican según el número de lados que tienen. Es probableque ya hayas oído muchos de estos nombres.

Nombre Lados Ejemplos

Triángulo 3

Cuadrilátero 4

Pentágono 5

Hexágono 6

Heptágono 7

Octágono 8

Enágono 9

Decágono 10

En griego, poli significa“mucho”, “numeroso” ygono, “ángulo”. Salvo enel caso de cuadrilátero,que en latín significa“cuatro lados”, losnombres de los polígonos indican elnúmero de ángulos. Por ejemplo, pentágonosignifica “cinco ángulos”y octágono significa“ocho ángulos”.

interés

Datosd e

Los polígonos con más de 10 lados no llevan nombres especiales, salvo el de12 lados que se llama dodecágono. Un polígono de 11 lados se llama 11-ágono, un polígono de 13 lados es un 13-ágono, etc. Cada uno de estos polí-gonos es un 17-ágono.

Cada esquina de un polígono, donde dos lados se intersecan, se llama vértice.Éstos se rotulan con letras mayúsculas para facilitar su identificación.

V O C A B U L A R I Ovértice

Esta figura contiene dos triángulos y un cuadrilátero:

Para identificar cada uno de los polígonos de la figura, enumera sus vértices a medida que te mueves en torno a él en dirección de lasmanecillas del reloj o en dirección opuesta. Uno de los nombres deltriángulo verde es �ABC. Otros nombres son también posibles, comoBCA y ACB. Uno de los nombres del triángulo blanco es � ADC.

Al cuadrilátero de la figura se le podría dar el nombre de cuadriláteroABCD, BCDA, DCBA o DABC. Todos estos nombres enumeran los vértices conforme te mueves en torno al cuadrilátero. Pero el nombreACBD es incorrecto.

B C

A D

E J E M P L O




Ahora vas a buscar polígonos contenidos en figuras dadas. Cada figura tieneun puntaje total que se calcula sumando

• 3 puntos por cada triángulo,

• 4 puntos por cada cuadrilátero,

• 5 puntos por cada pentágono y

• 6 puntos por cada hexágono.

A medida que avances, trata de hallar una manera sistemática para enumerartodos los polígonos de cada figura. Asegúrate de darle un solo nombre a cadapolígono.

Anota tus resultados para cada ejercicio en una tabla como la siguiente,correspondiente al Ejercicio 1.

Polígono Nombres PuntajeTriángulo ABC, ADC 6

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Puntaje total

1. 2.

3. 4.

5. Inventa ahora tu propia figura, con un puntaje mínimo de 30 puntos.Rotula sus vértices y enumera los triángulos, cuadriláteros, pentágonosy hexágonos en ella.

R S

Q

V

T

U

W

M

S

N

L

Q

O

T

P

R

X Y

W

V

Z

B C

A D

Investigación

&


Comparteresume

1. Traza dos polígonos y dos figuras que no lo sean. Explica por qué las figuras que no lo son no cumplen con la definición de polígono.

2. En la Serie de problemas A tenías que hallar formas de enumerar todoslos polígonos en una figura sin repetirlos. Describe la estrategia queusaste.

2 Ángulos

Tal vez ya tengas una buena idea de lo que es un ángulo. Puedes imaginarlocomo una rotación (o vuelta) en torno a un punto, como un brazo que sedobla por el codo o dos tableros asegurados con bisagras que se cierran alcomienzo de una escena en las películas.

También podrías imaginar un ángulo como dos lados que se intersecan en unpunto, como las agujas de un reloj o las aspas de un molino de viento.

O puedes imaginártelo como una cuña, como un pedazo de queso o una taja-da de pizza.


Matemáticamente, un ángulo se define como dos rayos con un extremocomún. Un rayo es recto, como las rectas. Tiene un extremo en dondecomienza y se extiende indefinidamente en la otra dirección.

Los ángulos se pueden medir en grados. A continuación se dan algunos ángu-los, cuyas medidas quizás conozcas.

• El ángulo de uno de los vértices de un cuadrado mide 90°. Puedesimaginarlo como una rotación de �

14

� de círculo.

• Dos rayos que apuntan en direcciones opuestas forman un ángulo de180°. Éste es una rotación de �

12

� de círculo.

• Un ángulo de 360° es una rotación completa alrededor de un círculo.En dicho ángulo, los rayos apuntan en la misma dirección.

Puedes usar los ángulos de 90°, 180° y 360° para estimar la medida de otrosángulos. Por ejemplo, el ángulo siguiente mide alrededor de un tercio de unángulo de 90°, de modo que su medida es de unos 30°.

Rayo 1, Rayo 2

360º

Rayo 2 Rayo 1

180º

Ray

o2

Rayo 1

90º

Rayo 2

Rayo 1

V O C A B U L A R I Oángulo

En el snowboarding, elmonopatín y otrosdeportes, el término“360” se usa paraindicar una vuelta completa y “180” para indicar una media vuelta.

interés

Datosd e

&


Piensa comentaAlgunas copias del polígono de la derecha se han dispuesto en forma de estrella.

¿Cuánto mide el ángulo marcado en la estrella? ¿Cómo lo sabes?


Se te darán varias copias de cada uno de estos polígonos. Tu tarea consiste encalcular las medidas de los ángulos de cada polígono.

Para hacer esto, puedes usar los ángulos de 90°, 180° y 360° como guía ycomparar los ángulos de un polígono con los de otro.

Tus respuestas consistirán en anotar cada vértice, del A al Y, junto con lamedida del ángulo correspondiente. (Observa que en muchos de los polígonos,uno o más ángulos son idénticos, así que sólo necesitas calcular la medida deuno de ellos.)

Luego usarás las medidas angulares que encontraste en este problema paraestimar las de otros ángulos.

D

A

C

B

G

F

E TY

UX

VW

N

M

O

L R

S

P

QJ

I

K

H

M A T E R I A L E S polígonos de papel obloques de patrones

&



Estima cada medida angular. Para lograr esto, puedes comparar los ángulos de90°, 180° y 360° con los ángulos de los polígonos de la Serie de problemas B,explicando cómo obtuviste cada estimación.

Comparteresume

1. Describe cómo puedes estimar la medida de un ángulo.

2. Marcus sostiene que estos ángulos miden lo mismo. Hannah afirma que el ángulo 2 es mayor que el ángulo 1. ¿Quién tiene razón? Explica.

Ángulo 1 Ángulo 2

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

Investigación


3 Clasifica polígonos

Los polígonos pueden dividirse en grupos con ciertas propiedades.

En los polígonos cóncavos, parece como si por lo menos uno de sus lados sehubiera “desmoronado”, o tuviera una “abolladura”. Es cóncavo cualquierpolígono que posee un ángulo mayor que 180°. Estos son cóncavos:

Estos polígonos no son cóncavos. A veces, tales polígonos se llaman polígonos convexos.

Los polígonos regulares tienen lados que tienen la misma longitud y ángulosdel igual tamaño. Estos polígonos son regulares:

Estos polígonos no son regulares. A veces se les llama irregulares.

Un polígono tiene simetría lineal o de reflexión si se puede doblar por lamitad a lo largo de una recta de modo que ambas mitades se correspondanexactamente. La “línea del doblez” se llama eje de simetría.

V O C A B U L A R I Opolígono cóncavo

V O C A B U L A R I Opolígono regular

V O C A B U L A R I Oeje de simetría

&


Los siguientes polígonos exhiben simetría lineal. Los ejes de simetría semuestran mediante líneas discontinuas. Observa que tres de los polígonosposeen más de un eje de simetría.

Estos polígonos no poseen simetría lineal alguna:

Piensa comentaConsidera estos polígonos.

Este esquema muestra cómo estos cuatro polígonos pueden agruparsebajo las categorías cóncavo y no cóncavo:

Ahora haz un esquema en que muestres cómo pueden estos polígonosagruparse bajo las categorías con simetría lineal y no cóncavo. Usa uncírculo para representar cada categoría.

Cóncavo No cóncavo

XY

ZW

WX Y Z



Ahora vas a jugar en grupo un juego de clasificación de polígonos. Tu gruponecesitará un conjunto de polígonos, rótulos de categorías y un diagrama detres círculos grandes.

Estos son los polígonos a usarse en el juego:

Estos son los rótulos de las categorías:

Regular Cóncavo Triángulo

Irregular No cóncavo No es un triángulo

Cuadrilátero Pentágono Hexágono

No es un cuadrilátero No es un pentágono No es un hexágono

Con simetría lineal Sin simetría lineal

Y éste es el diagrama de Venn:

A B CD E

F GH I J

K L M N O

PQ R

M A T E R I A L E S • conjunto de

polígonos y rótulosde categorías

• diagrama de Venn

RecuerdaUn diagrama de Vennusa círculos para representar relacionesentre conjuntos deobjetos.

1. Como preparación para el juego, coloca los rótulos Regular, Cóncavo yTriángulo al lado de cada círculo del diagrama (uno por círculo).Trabaja en grupo para situar cada polígono en la región correcta del dia-grama.

Para llevar la cuenta de tu trabajo, bosqueja el diagrama de tres círculos,rotula cada círculo y anota los polígonos que situaste en cada región deldiagrama. (Sólo anota las letras; no necesitas trazar los polígonos.)

2. Ahora estás listo para jugar. Escoge un alumno que haga de líder de tugrupo y sigue estas reglas:

• El líder elige tres tarjetas de las categorías y las mira sin mostrárselasa los otros miembros del grupo.

• El líder usa las tarjetas para rotular las regiones, colocando una deellas boca abajo al lado de cada círculo.

• Los otros miembros del grupo se turnan en la selección de polígonos y el líder coloca el polígono seleccionado en la región correcta del diagrama.

• Una vez que el polígono de un jugador haya sido situado en el diagrama, ése puede tratar de adivinar cuáles son los rótulos. Elprimero que adivine correctamente los tres rótulos es el ganador.

Al terminar cada juego, trabaja en grupo para colocar el resto de lospolígonos y luego copiar el diagrama final. Túrnense en ser líder delgrupo hasta que cada miembro haya tenido oportunidad de serlo.

3. Trabaja en grupo para crear un diagrama en que no haya polígonos en el traslapo de cualquier par de regiones (o sea, ningún polígono debepertenecer a más de una categoría).

4. Trabaja en grupo para crear un diagrama en que todos los polígonosaparezcan ya sea en regiones de traslapo o fuera de los círculos (o sea,ningún polígono pertenece a una única categoría).

Los diagramas de Vennse llaman así en honorde John Venn(1834–1923), un inglés,que los introdujo porprimera vez. Venn, párroco e historiador,publicó dos libros sobrelógica en la década de 1880.


interés

Datosd e

Investigación

&


Comparteresume

1. Determina los rótulos a usarse en este diagrama. Usa las categorías dela Serie de problemas D.

2. Explica por qué no hay polígonos en el traslape del círculo de rótulo 1y del círculo de rótulo 2.

3. Explica por qué no hay polígonos en el círculo de rótulo 3 que noestén también en uno de los otros círculos.

4 Triángulos

En más de un sentido, los triángulos son los polígonos más simples. Son lospolígonos con el número mínimo de lados y cualquier polígono puededescomponerse en triángulos. A esto se debe que su estudio te facilitará elestudio de otros polígonos.

Rótulo 2

Rótulo 1Rótulo 3


M A T E R I A L E S tiras de enganche y tachuelas

En el siguiente problema vas a construir triángulos con tiras de enganche.Dichos triángulos tendrán el aspecto del de la figura. Los lados de este triángulo miden 2, 3 y 4 unidades de largo. Observa que una unidad es elespacio entre dos agujeros.

¿Crees que tres segmentos cualesquiera puedan unirse para formar un triángulo? En el problema siguiente vas a examinar esta cuestión.

Serie de problemas E

1. Copia la siguiente tabla y luego haz lo siguiente en cada fila:

• Trata de construir un triángulo cuyos lados tengan las medidas dadas.

• En la columna “¿Triángulo?”, escribe “sí” si se puede construir y “no”si no se puede.

• Si pudiste hacer un triángulo, trata de construir otro distinto con lasmismas medidas. (Para que dos triángulos sean distintos, deben tenerformas distintas.) En la columna “¿Otro triángulo?”, escribe “sí” si fueposible construirlo y “no” si no fue posible.

¿Triángulo Lado 1 Lado 2 Lado 3 ¿Triángulo? diferente?

4 unidades 4 unidades 4 unidades











1 unidad

&

2. ¿Crees que se pueda construir un triángulo de segmentos 4, 4 y10 unidades de largo? Explica.

3. ¿Crees que se pueda construir un triángulo de segmentos 10, 15 y16 unidades de largo? Explica.

4. Describe una regla que puedas usar para determinar si tres segmentosdados formarán un triángulo. Prueba tu regla en algunos casos distintosde los de la tabla hasta que te convenzas que estás en lo correcto.

5. ¿Crees que se pueda construir más de un triángulo con el mismo conjunto de medidas de lados? Explica.

Tu trabajo en el problema anterior te puede permitir entender una propiedadmatemática conocida, la llamada desigualdad del triángulo.

Desigualdad del triángulo

La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo esmayor que la longitud del tercer lado.

Piensa comentaLa desigualdad del triángulo afirma que la suma de las longitudes de doslados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercerlado. Para determinar, sin embargo, si tres segmentos dados formarán untriángulo, sólo necesitas comparar la suma de las longitudes de los dossegmentos más cortos con la longitud del segmento más largo. Explicapor qué.

Caroline dijo: “Sé que tres segmentos cualesquiera de la misma longitudformarán un triángulo. Ni siquiera necesito comprobarlo”. ¿Tiene razónCaroline? Explica.

La palabra triángulo significa “tres ángulos”. Puedes ver que cualquier triángulo tiene tres ángulos, uno en cada vértice.

En el siguiente problema vas a buscar una regla que relacione las medidas delos ángulos de un triángulo.

V O C A B U L A R I Odesigualdad del

triángulo


&


Serie de problemas F

1. Traza tu propio triángulo. Aquí se muestra uno, pero el tuyo no tieneque parecerse a éste. Usa una regla o cualquier otro objeto con un borderecto de modo que tu triángulo esté bien hecho.

2. Arranca los tres vértices de tu triángulo. Es importante que los arranques sin cortarlos, de modo que puedas saber a qué vértice corresponde cada trozo.

Ordena los tres vértices como se muestra. ¿Cuánto mide el ángulo que forman?

3. Compara tu respuesta al Ejercicio 2 con las de otros en tu clase.¿Obtuvieron todos el mismo resultado?

4. ¿Cuál crees que sea la relación de las medidas de los ángulos de untriángulo?

Comparteresume

1. Da las medidas de tres segmentos que, a ciencia cierta, sabes que no formarán un triángulo. Explica cómo sabes que tu respuesta escorrecta.

2. Da las medidas de tres segmentos que, a ciencia cierta, sabes que formarán un triángulo. Explica cómo sabes que tu respuesta es correcta.

3. Supón que un triángulo tiene vértices A, B y C. ¿Cuál es la suma delas medidas de los ángulos en estos vértices?

M A T E R I A L E S regla

Investigaciónde laboratorio De polígonos a

poliedros

Hasta ahora has trabajado con figuras planas. En esta investigación de labora-torio, vas a estudiar algunas figuras tridimensionales.

Un poliedro es una figura tridimensional cerrada hecha de polígonos. Loscuerpos siguientes son poliedros. Tal vez ya hayas visto algunos de ellos.

Los polígonos que componen un poliedro se llaman caras. Los segmentos donde lascaras se intersecan se llaman aristas. Lasesquinas se llaman vértices.

En un poliedro regular, las caras son polígonos regulares idénticos y el mismonúmero de caras concurren en cada vértice. El cubo anterior es un poliedroregular. Tiene caras cuadradas idénticas y tres de ellas concurren en cada vér-tice. Ninguno de los otros cuerpos anteriores son poliedros regulares. ¿Se teocurre por qué?

Hay un número infinito de polígonos regulares, siempre puedes hallar unocon más lados. Hay, sin embargo, sólo un número reducido de poliedros regulares. En esta investigación de laboratorio vas a encontrarlos todos.

Construye los poliedros1. Comienza con triángulos equiláteros, siguiendo estos pasos.

Paso 1: Asegura con cinta pegante tres triángulos alrededor de un vér-tice, tal como se muestra.

Vértice

Cara

Vértice

Arista

Prismahexagonal

Pirámidecuadrada

Prismarectangular

Cubo


M A T E R I A L E S • polígonos de papel• cinta pegante

RecuerdaUn polígono regulartiene lados que tienenla misma longitud yángulos del mismotamaño.


Paso 2: Une los dos triángulos exteriores y asegúralos con cintapegante, obteniendo una figura tridimensional.

Paso 3: Observa que en uno de los vértices concurren tres triángulos.En los otros vértices sólo concurren dos triángulos. En uno de estos vértices, añade otro triángulo de modo que ahora concurran tres triángulos en ese vértice. Luego decide si puedes construir un cuerpocerrado con tres triángulos en cada vértice. Si no se puede, sigue agregando triángulos hasta que obtengas un cuerpo cerrado.

2. Repite el proceso del Ejercicio 1, pero ahora empieza con cuatro triángulos con un vértice común. Añade triángulos hasta que obtengasun cuerpo cerrado con cuatro triángulos concurriendo en cada vértice.

3. Vuelve a repetir el proceso, comenzando con cinco triángulos con un vértice común.

4. Repite el proceso nuevamente, empezando con seis triángulos con un vértice común. ¿Qué ocurre?

5. Ahora usa cuadrados. Construye un poliedro con tres cuadrados concurriendo en cada vértice. ¿Qué poliedro construiste?

6. Trata de construir un poliedro con cuatro cuadrados concurriendo encada vértice. ¿Qué sucede?

7. Ahora usa pentágonos. Trata de construir un poliedro con tres pentágonos regulares concurriendo en cada vértice. ¿Se puede hacer?

8. Trata de construir un poliedro con cuatro pentágonos regulares concurriendo en cada vértice. ¿Qué pasa?

9. Ahora usa hexágonos. Trata de construir un poliedro con tres hexágonos regulares concurriendo en cada vértice. ¿Qué ocurre?

10. ¿Qué sucede al tratar de construir un poliedro con heptágonos regulares?

Vértice

Vértice

Vértice

La palabra griega edrosignifica “cara”, “plano”,de modo que un poliedroes un cuerpo con“muchas caras”. Lospoliedros se identificanpor el número de carasque tengan. Un cubo,por ejemplo, también sellama hexaedro, es decir,“seis caras”.

interés

Datosd e


Los poliedros regularestambién se llaman sólidos platónicosen honor del filósofogriego Platón, quiencreía que eran los componentes básicosde la naturaleza.Pensaba que el fuegoestaba hecho detetraedros, la tierra de cubos, el aire deoctaedros, el agua de icosaedros y los planetas y estrellas de dodecaedros.

Acabas de construir todos los poliedros regulares.

Existe un patrón interesante que relaciona el número de caras, aristas y vértices de todos los poliedros. Para hallar dicho patrón, te puede ser útilexaminar los poliedros regulares que construiste.

Descubre el patrón11. En cada uno de los poliedros, cuenta el número de caras, de vértices y

de aristas. ¡Esto puede requerir una enumeración muy hábil! Anota tusresultados en la tabla

Poliedro Caras Vértices AristasTetraedro

Octaedro

Icosaedro

Cubo

Dodecaedro

12. ¿Puedes descubrir una manera de relacionar el número de caras y vértices con el número de aristas?

¿Qué aprendiste?13. Usa lo que aprendiste al construir los poliedros para explicar por qué

hay sólo cinco poliedros regulares.

Tetraedro Octaedro IcosaedroCubo

(Hexaedro) Dodecaedro

interés

Datosd e

impactmath.com/self_check_quiz L E C C I Ó N 1 . 4 Patrones geométricos 61


1. ¿Cuántos triángulos hay en esta figura? (¡No basta contar sólo los triangulitos!)

2. Observa la figura del Ejercicio 1.

a. Cópiala y rotula cada vértice con una letra mayúscula.

b. En tu figura, ubica al menos uno de los siguientes polígonos:

• cuadrilátero

• pentágono

• hexágono

Usa tus rótulos de los vértices para identificar cada figura.

c. Calcula en la figura el polígono de mayor número de lados. Usa tus rótulos de vértices para identificarlo.

3. Enumera todos los polígonos en la siguiente figura. Calcula su puntajesumando:

• 3 puntos por cada triángulo

• 4 puntos por cada cuadrilátero

• 5 puntos por cada pentágono

• 6 puntos por cada hexágono.

Anota tu trabajo en una tabla como ésta.

Polígono Nombres PuntajeTriángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Puntaje total

E

F

G

D

A B

C

&Practicaaplica



En los Ejercicios 4 al 7, hay varios ángulos idénticos que tienen un vérticecomún. Calcula la medida del ángulo señalado y explica cómo la calculaste.

4. 5.

6. 7.

8. Un ángulo de 180° a veces se llama ángulo llano. Explica por qué esto tiene sentido.

9. Ya sabes que una rotación en 360° es una rotación completa en círculo.Calcula la medida en grados de cada una de estas rotaciones.

a. media rotación

b. dos rotaciones completas

c. 1�12

� rotaciones

10. Traza dos ángulos cuya medida sea mayor que 90°. Explica cómo sabesque miden más de 90°.

11. Traza dos ángulos cuya medida sea menor que 90°. Explica cómo sabesque miden menos de 90°.


12. Este diagrama muestra el resultado de una vuelta del juego de la Seriede problemas D.

a. Usando las categorías de la Serie de problemas D, deduce de quérótulos se trata.

b. ¿Dónde situarías cada una de estas figuras?

En los Ejercicios 13 al 16, traza, en lo posible, un polígono que cumpla con ladescripción dada. Indica si no es posible.

13. un polígono regular de cuatro lados

14. un polígono cóncavo con un eje de simetría

15. un triángulo cóncavo

16. un triángulo con un único eje de simetría

Determina si se puede construir un triángulo cuyos lados tengan las medidasdadas.

17. 1, 1, 1 18. 1, 1, 2

19. 3, 4, 5 20. 25, 25, 200

A E F

Rótulo 2

Rótulo 1Rótulo 3


Decide si las medidas dadas podrían ser las medidas de los ángulos de untriángulo.

21. 10°, 30°, 30° 22. 90°, 90°, 90°

23. 60°, 90°, 30° 24. 45°, 45°, 45°

25. 72°, 72°, 36° 26. 45°, 55°, 80°

Si las medidas dadas pueden ser las medidas de dos ángulos de un triángulo,da la medida del tercer ángulo. Si no es así, explica por qué.

27. 10°, 30° 28. 90°, 90°

29. 60°, 60° 30. 45°, 45°

31. Una diagonal de un polígono es un segmento que une dos de sus vértices, pero que no es un lado del polígono. En cada uno de estos polígonos, el segmento discontinuo es una de las diagonales.

El número de diagonales que puedes trazar desde un vértice de un polígono depende del número de vértices que tenga el polígono.

a. Copia cada uno de estos polígonos regulares. En cada uno de ellosescoge un vértice y traza todas las diagonales desde dicho vértice.

&Conectaamplía


b. Copia y completa esta tabla.

Diagonales trazadas Polígono Vértices desde un vértice

3

Cuadrilátero

5

Hexágono

Heptágono 7

Octágono

c. Da una regla que relacione el número de vértices de un polígono conel número de diagonales que se pueden trazar desde cada vértice.

d. Explica cómo sabes que tu regla funcionará para cualquier polígono,sea cual sea su número de vértices.

e. Reto Describe una regla para predecir el númerototal de diagonales que puedes dibujar, si conocesel número de vértices del polígono y explica cómodiste con tu regla. Para ordenar tus ideas, añade unacolumna a tu tabla.

32. Busca polígonos en tu casa, escuela o libros de otrasasignaturas. Describe por lo menos tres polígonos distintos que hayas hallado y di dónde los encontraste.

33. Busca en tu casa o escuela tres ángulos que midan90°, tres que midan menos de 90° y tres que midanmás de 90°. Indica dónde hallaste cada ángulo.

34. Ordena estos ángulos de menor a mayor.

ac

d

e

b

Númerototal de

diagonales0

2


35. Estadística En una encuesta para el anuario escolar, se les pidió a los alumnosque nombraran su asignatura favorita.Conor hizo una gráfica circular, pero olvidó rotular sus sectores.

a. Un �13

� de los alumnos encuestados dijo que lo que más les gustaba era lamatemática. ¿Qué sector corresponde aestos alumnos? ¿Cuál es su medida angular?

b. Un �14

� de los alumnos, aproximadamente, dijo que su asignaturafavorita era la clase de lengua extranjera. ¿Qué sector corresponde aestos alumnos? ¿Cuál es su medida angular?

c. Conor recuerda que usó azul claro para representar a los alumnos quedijeron que lo que más les gustaba era la ciencia. ¿Qué fracción delos encuestados escogió la ciencia como asignatura favorita?

d. Teatro e inglés empataron con �18

� de los alumnos prefiriendo cada unode ellos. ¿Qué sectores corresponden a teatro e inglés? ¿Cuánto es lamedida angular de cada uno?

En los Ejercicios 36-38, describe una regla para obtener cada figura basándoseen la anterior. Traza luego las dos figuras siguientes de la sucesión.

36.

37.

38.


Explica el significadode estas palabras y da por lo menosdos hechos relacionados concada palabra:• polígono• ángulo• triángulo

propiasEn t u s

palabras

39. Los diagramas de círculos, como los que usaste para clasificar polígonos,se emplean a veces para resolver acertijos lógicos como éste:

La colonia de verano Poison Oaks ofrece dos deportes, fútbol y natación. De 30 campistas, 24 juegan fútbol, 20 nadan y 4 no juegandeporte alguno. ¿Cuántos campistas juegan fútbol y nadan?

Este diagrama muestra dos círculos, uno por deporte. El 4 fuera de loscírculos representa los cuatro campistas que no juegan deporte alguno.Usa este diagrama para resolver este acertijo lógico.

40. Considera estos triángulos.

a. En cada triángulo, indica el lado más largo y el ángulo de mayormedida.

b. En otro triángulo, el �PQR, el ángulo del vértice R tiene la medidamayor. ¿Dónde está el lado más largo? Responde en palabras o conun dibujo.

c. Reto Supón que el �CAT posee dos ángulos de 80°, uno en el vér-tice C y otro en el vértice T. ¿Dónde está el lado más largo del trián-gulo? Explica. Tal vez ayude el trazar un dibujo.

Lado 2Lado 3

Lado 1B

A

C

Lado 2

Lado 3

Lado 1

X

Z

YLado 2

Lado 3

Lado 1

O

D

G

NadanJuegan fútbol

4


41. En la introducción a la Investigación 4 se afirmó que todo polígonopuede dividirse en triángulos.

a. Copia cada uno de estos polígonos y averigua si los puedes dividir entriángulos.

b. Dibuja dos polígonos que hayas ideado y muestra cómo dividirlos entriángulos.

42. En la Serie de problemas E descubriste que al construir un triángulo nopodías presionar o jalar de sus lados o vértices para convertirlo en otro triángulo. A esto se debe que los triángulos se usan a menudo comosoporte en edificios, puentes y otras construcciones. Busca en tu casa y vecindario ejemplos de triángulos que se empleen como soporte,describiendo por lo menos dos ejemplos que halles.

Escribe cada decimal como fracción.

43. 0.25 44. 0.017 45. 0.040 46. 0.10203

Calcula cada cantidad.

47. �15

� de 200 48. �26

� de 120 49. �34

� de 28 50. �14

� de 0.4

51. �12

� de 1 52. �12

� de �12

� 53. �12

� de �14

� 54. �12

� de �18

�

55. Economía Jing y Caroline almorzaron en un restaurante. Esto fue loque pagaron.

a. Jing calcula la propina duplicandoel impuesto. Calcúlala con esta regla.

b. Caroline la calcula moviendo elpunto decimal del total parcial unlugar hacia la izquierda, duplicandoluego el resultado. Calcula lapropina con esta regla.

c. Las chicas decidieron usar la reglade Caroline, para calcular cuántodebía pagar cada una de ellas,sumaron la propina al total y dividieron el resultado por la mitad. ¿Cuánto pagó cada una?

Los triángulos son losúnicos polígonos queson rígidos en la manera descrita en elEjercicio 42. Si usastiras de enganche paraconstruir un polígonode más de tres lados,puedes obtener unnúmero infinito de figuras al presionar enlos lados o vértices.

CuentaSándwich de atún $3.95Sándwich club

vegetariano 3.00Leche 0.80Jugo de naranjas 1.25

Total parcial $9.008% de impuesto 0.72

Total $9.72

mixtoRepaso

interés

Datosd e

Resumen del capítulo

En este capítulo, estudiaste patrones y reglas. Comenzaste buscando patronesen el triángulo de Pascal y en sucesiones, y hallando maneras de describir yextender los patrones.

Luego seguiste reglas comunes, así como reglas para generar sucesiones, yescribiste reglas para que otros las siguieran. También aprendiste el orden de lasoperaciones, una convención para evaluar y escribir expresiones matemáticas.

Luego te concentraste en la escritura de reglas que relacionan dos cantidades,como el índice del término y el número de mondadientes del término, ademásde las entradas y salidas del juego ¿Cuál es mi regla?

Finalmente, estudiaste patrones geométricos, aprendiendo a identificar,nombrar y clasificar polígonos. Descubriste asimismo algunas propiedadesimportantes sobre las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de los triángulos.

Estrategias y aplicaciones

Las preguntas de esta sección te ayudarán a repasar y a aplicar las ideas yestrategias importantes desarrolladas en este capítulo.

Identifica, describe y extiende patrones

1. Usa tu calculadora para completar esta tabla.

Número de 3 Expresión Producto1 3 3

2 3 � 3 9

3 3 � 3 � 3

4 3 � 3 � 3 � 3

5 3 � 3 � 3 � 3 � 3

6 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3

7 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3

8 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3

a. Examina la cifra de las unidades de los productos. ¿Qué patrón ves?

b. Predice la cifra de las unidades del producto de nueve 3 y de diez 3.para comprobar, usa tu calculadora.

c. ¿Cuál es la cifra de las unidades del producto de veinticinco 3?Explica cómo diste con la respuesta.

impactmath.com/self_check_quiz Repaso y autoevaluación 69

Capítulo 1 &Repaso autoevaluación

V O C A B U L A R I Oángulopolígono cóncavosimetría linealorden de las

operacionespolígonopolígono regularsucesióntérminodesigualdad del

triángulovértice


Sigue reglas comunes y reglas de sucesiones

2. Lakita trabaja como procesadora de texto. Cobra según esta regla:

Cobro $7.50 por trabajo más $2 por página.

a. Kashi la empleó para que procesara el texto de un artículo de 8 páginas. ¿Cuánto le cobró Lakita?

b. La Srta. Thompson la empleó para que procesara el texto de uninforme de negocios. Lakita le cobró $67.50 por el trabajo. ¿Cuántaspáginas tenía el informe?

c. Lakita cree que tendría más clientes si no cobrara la cuota fija de$7.50. Decide entonces usar esta nueva regla:

Cobro $2.50 por página.

¿Cuánto de más o de menos les hubiera cobrado a Kashi y a la Srta.Thompson si Lakita hubiese usado esta regla?

3. Considera este primer término y regla:

Primer término: ▲

Regla: Añade tres triángulos al término anterior.

a. Da los primeros cuatro términos de dos sucesiones que cumplen conesta regla.

b. Reescríbela de modo que sólo una de tus sucesiones sea la correcta.


Aplica el orden de las operaciones

4. Empieza con esta serie de números.

3 4 6 2 4 3

a. Copia la serie y escribe una expresión matemática insertando los símbolos de las operaciones (�, �, , �) y paréntesis entrenúmeros. Evalúa la expresión.

b. Copia la serie dos veces más. Escribe y evalúa dos expresionesmatemáticas más de modo que cada una de tus tres expresiones dé un resultado distinto.

Escribe reglas que relacionan dos cantidades

5. He aquí los tres primeros términos de una sucesión hecha con cuadrados.

a. Calcula el número de cuadrados en cada uno de los cinco primerotérminos y anota tus resultados en una tabla.

b. ¿Cuántos cuadrados se necesitan en el centésimo término?

c. Escribe una regla que relacione el número de cuadrados con el índicedel término y úsala para predecir el número de cuadrados en los términos sexto y séptimo. Comprueba tus predicciones trazandodichos términos. Si tu regla no funciona, revísala hasta que funcione.

d. Explica por qué tu regla funcionará con cualquier índice.

Identifica y clasifica polígonos

Decide cuáles de estas figuras son polígonos. De no ser polígonos, explicapor qué.

6. 7. 8.

Término 2 Término 3Término 1

Repaso y autoevaluación 71

Traza, si es posible, un polígono que cumpla con la descripción dada. Si no esposible, indica que no es posible.

9. un hexágono cóncavo con simetría lineal

10. un cuadrilátero regular sin simetría lineal

11. un pentágono cóncavo sin simetría lineal

Entiende y aplica las propiedades de los triángulos

12. Explica cómo puedes determinar si tres segmentos formarán los ladosde un triángulo. Da las longitudes de tres segmentos que formen untriángulo y de tres que no formen un triángulo.

13. Si conoces las medidas de dos ángulos de un triángulo, ¿cómo puedescalcular la medida del tercer ángulo? Explica por qué funciona tu método.

Demuestra tus destrezas

Describe una regla que genere cada sucesión y da los tres términos siguientes.

14. 2, 5, 8, 11, 14, . . . 15. 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, . . .

16. 512, 256, 128, 64, . . . 17. 1, 4, 2, 5, 3, 6, 4, . . .


18. 6 � 4 � 5 � 5 19. 5 * (4 � 5) � 3

20. 2 � �57

�� 4

2� 21. 2 * 3 � 2 * 3 � 2

22. 15 � 12 � 3 � 9 23. 3 � 2 � 3 � 3 � 2

Usa esta figura para las Preguntas 24 a la 26.

24. Identifica todos los triángulos de la figura.

25. Identifica todos los cuadriláteros de la figura.

26. Identifica todos los pentágonos de la figura.

BA

G F E

D

C


En las Preguntas 27 a la 32, indica los términos que describen cada polígono.Enumera todos los términos pertinentes.

triángulo pentágono cóncavo simetría linealcuadrilátero hexágono regular

27. 28. 29.

30. 31. 32.

Estima la medida de cada ángulo.

33. 34. 35.

Decide si se puede formar un triángulo con estas longitudes.

36. 5, 6, 7 37. 11, 4, 15 38. 21, 14, 11

Indica si las medidas dadas corresponden a las de los ángulos de un triángulo.

39. 45°, 45°, 45° 40. 80°, 40°, 80° 41. 54°, 66°, 60°

Repaso y autoevaluación 73

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