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Índice general

3Capítulo 1

Espacios vectoriales

1.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Operaciones con subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Subespacios generados por un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . 18

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anCapıtulo 1

Espacios vectoriales

Cuando se estudia el conjunto Mn(K), de las matrices de orden n cuyas entradasse encuentran en un campo K, se definen dos operaciones básicas: adición y multipli-cación por un escalar y se estudian algunas propiedades de las matrices con estasoperaciones. Entonces, es natural preguntarse si puede hacerse algo similar con otrosconjuntos. La respuesta a esta inquietud es afirmativa, y se introduce este capítulo conel objetivo de definir formalmente el concepto de espacio vectorial y presentar algunasconsecuencias. Posteriormente, se podrá reconocer que el conjunto de las matrices conlas operaciones suma y multiplicación por un escalar, es sólo un ejemplo de un espaciovectorial.

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Mireya Bracamonte FCNM - ESPOL Luz Marchan

Un espacio vectorial es una cuádrupla (V,K,+, ·), donde V es un conjuntono vacío, K un campo (en este texto R o C) y +, · son operaciones

1. + : V × V → V, (v1, v2)→ v1 + v2

2. · : K× V → V, (k, v)→ kv

llamadas adición y multiplicación respectivamente, dotadas de las siguientespropiedades:

1. La adición es conmutativa: u+ v = v + u, para todo par u, v ∈ V .

2. La adición es asociativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w, para u, v, w ∈ V

3. Existe un elemento 0V ∈ V , llamado cero o vector nulo, con la propiedadu+ 0V = u para cada u ∈ V .

4. Para cada v ∈ V , existe un elemento (−v) ∈ V , llamado “el inverso aditivode v” con la propiedad

v + (−v) = 0V .

5. Se satisfacen propiedades distributivas como:

a) λ · (u+ v) = λ · u+ λ · v, para λ ∈ K y u, v ∈ V .

b) (λ+ µ) · v = λ · v + µ · v, para λ, µ ∈ K y v ∈ V .

6. El producto por un escalar es asociativo, es decir, (λµ) · v = λK · (µ · v),para todo λ, µ ∈ K y todo v ∈ V .

7. 1 · v = v, para cada v ∈ V .

Definición 1.

Sobre la definición anterior se pueden hacer varias observaciones:l Los elementos de V son llamados vectores y los elementos de K son llamados

escalares.l Por abuso de lenguaje los espacios vectoriales se indican con el conjunto V en lugar

de (V,K,+, ·), sobre entendiendo el campo y las operaciones. En este texto se utilizaráesa notación sólo si es claro el campo y las operaciones definidas para dicho espacio.También es usual escribir ”Sea V un K−espacio vectorial” en lugar de (V,K,+, ·), si nohay posibilidad de confusión con las operaciones.

l Como puede notarse, la definición de espacio vectorial tiene cuatro elementos

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Mireya Bracamonte Álgebra lineal Luz Marchan

fundamentales: el conjunto no vacío V , un campo K y las operaciones adición y multi-plicación. La primera de estas operaciones se dice que es interna, dado que opera entreelementos del conjunto V , mientras que a la multiplicación se le llama operación externaya que opera elementos externos de V (en K ) con elementos de V .

l Algunos autores optan por denotar estas operaciones como ⊕ y , para que ellector no confunda entre operaciones ya conocidas. Sin embargo, en este texto se utilizanlas notaciones clásicas + y ·, a menos que se pudiera presentar algún tipo de confusióny de ser el caso se indicará.

l A cada par de vectores u, v ∈ V le corresponde un nuevo vector u+ v ∈ V el cuales llamado “la suma de u y v”.

l Para λ ∈ K y v ∈ V se tiene que λ ·v, llamado producto de λ por v, es un elementode V . En general, es usual escribirse λv en lugar de λ ·v si está clara cuál es la operaciónde multiplicación utiliada.

l Se puede extender la operación adición a un número finito de vectores v1, v2, . . . , vn

en el espacio vectorial V . Es allí donde juega un papel primordial la propiedad asociativa.

En este caso v1 + v2 + . . .+ vn es denotado porn∑i=1

vi.

l Si λ ∈ K es un escalar entonces se tendrá que λ(

n∑i=1

vi

)=

n∑i=1

(λvi).

l De forma similar si λ1, λ2, ..., λn es una lista finita de escalares y v ∈ V , entonces(n∑i=1

λi

)v =

(n∑i=1

λiv

).

l A los espacios vectoriales donde K = R se le llaman espacios vectoriales realeso R−espacios vectoriales y a los espacios vectoriales definidos sobre el campo de loscomplejos se les llamará espacios vectoriales complejos o C−espacios vectoriales.

k Lema 1. En todo espacio vectorial, existe sólo un elemento neutro para la adición.

Demostración. Supóngase que existen dos elementos neutros para la adición en unespacio vectorial K− espacio vectorial V , dígase 01 y 02. Entonces

01 =↓

Axioma(3)

01 + 02 =↓

Axioma(1)

02 + 01 =↓

Axioma(3)

02.

k Lema 2. Cada elemento de un espacio vectorial posee sólo un elemento inversoaditivo.

Demostración. Sea V un K− espacio vectorial. Suponga que existe un vector v ∈ V

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para el cual existen dos inversos aditivos, (−v)1 y (−v)2. Entonces

(−v)1 =↓

Axioma(3)

(−v)1 + 0V

=↓

Axioma(4)

(−v)1 + (v + (−v)2)

=↓

Axioma(2)

((−v)1 + v) + (−v)2

=↓

Axioma(1)

(v + (−v)1) + (−v)2

=↓

Axioma(4)

0V + (−v)2

=↓

Axioma(1)

(−v)2 + 0V

=↓

Axioma(3)

(−v)2.

En el siguiente teorema se establecen algunos hechos básicos.

k k Teorema 1. Sea V un K−espacio vectorial. Entonces

1. 0 · v = 0V para cada v ∈ V

2. (−1)v = −v para cada v ∈ V

3. λ · 0V = 0V para cada λ ∈ K

4. −(−v) = v para cada v ∈ V

5. (−λ)v = −(λv) = λ(−v) para cada λ ∈ K y v ∈ V

6. (−λ)(−v) = λv para cada λ ∈ K y v ∈ V

7. u+ w = v + w implica que u = v, para todo u, v, w ∈ V

8. Si λ ∈ K, λ 6= 0 y λu = λv entonces u = v, para todo u, v ∈ V

9. Si λ · v = 0V implica que λ = 0 ó v = 0V .

Demostración. A continuación se presenta la demostración básica para cada uno de lositem y se espera que el lector complete los detalles y la justificación de cada paso.

1. v + 0 · v = 1 · v + 0 · v = (1 + 0) · v = 1 · v = v. Luego, el lema 1 garantiza que0 · v = 0V .

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2. v + (−1)v = 1 · v + (−1) · v = (1 + (−1)) · v = 0 · v = 0V .

Entonces, en virtud del lema 2 se obtiene que (−1)v = −v.

3. λ · 0V = λ(0 · v) = (λ · 0) · v = 0 · v = 0V

4. v + (−v) = (−v) + v = 0V . Nuevemente haciendo uso del lema 2 se obtiene que−(−v) = v.

5. (−λ)v = ((−1)λ) v = (−1)(λv) = −λv = (λ(−1))v = λ((−1)v) = λ(−v).

6. (−λ)(−v) = (−λ)((−1)v) = (−λ)(−1)v = λv.

7. En este caso se tienen las siguientes igualdades:

u+ w = v + w

(u+ w) + (−w) = (v + w) + (−w)

u+ (w + (−w)) = v + (w + (−w))

u+ 0V = v + 0V

u = v.

8. En este caso se tiene que

λu = λv

λ−1(λu) = λ−1(λv)

(λ−1λ)u = (λ−1λ)v

1 · u = 1 · v

u = v.

9. Supóngase que λv = 0V y λ 6= 0. Entonces

λv = 0V

λ−1(λv) = λ−10V

(λ−1λ)v = 0V

1 · v = 0V

v = 0V .

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1.1. Ejemplos

Considérese el conjunto v formado por un solo elemento v. En este conjuntodefínanse las operaciones de adición y producto por escalares en un campo K,de la siguiente manera:

v + v = v

λv = v, λ ∈ K

(v,K,+, ·) es un espacio vectorial.

Ejemplo 1.

Se deja la verificación como ejercicio al lector.

Sea Rn el conjunto de vectores n-cordenadas de números reales x1, x2, . . . , xn,es decir

Rn = (x1, x2, . . . , xn) |xi ∈ R, i = 1, . . . , n.

En Rn se definen las operaciones:l Adición:

x + y = (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

l Multiplicación

λx = λ(x1, x2, ..., xn) = (λx1, λx2, . . . , λxn).

(Rn,R,+, ·) es un espacio vectorial.

Ejemplo 2.

Para verificar que (Rn,R,+, ·) es un espacio vectorial, considere x = (x1, x2, . . . , xn),y = (y1, y2, . . . , yn), z = (z1, z2, . . . , zn) tres vectores arbitrarios de Rn y λ, µ dos esca-lares reales. Entonces

1.

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

= (y1 + x1, y2 + x2, . . . , yn + xn) por la propiedad de conmutatividad

= y + x de la adición en R.

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Esto es, la adición es conmutativa.

2.

x + (y + z) = (x1, x2, . . . , xn) + (y1 + z1, y2 + z2, . . . , yn + zn)

= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2), . . . , xn + (yn + zn)) ( en virtud de

= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2, . . . , (xn + yn) + zn) la propiedad asociativa

= (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) + (z1, z2, . . . , zn) de la adición deR)

= (x + y) + z.

Esto es, la adición es asociativa.

3. Note que para 0 = (0, 0, . . . , 0) se cumple que

x + 0 = (x1 + 0, x2 + 0, . . . , xn + 0) ( por la propiedad neutra para la adición)

= (x1, x2, . . . , xn) = x (del cero en R).

Esto significa que 0 es el elemento neutro para la adición en Rn, es decir, 0Rn = 0.

4. Para x ∈ Rn se define −x = (−x1,−x2, . . . ,−xn) el cual es también un elementode Rn y para el cual se tiene que

x + (−x) = (x1 − x1, x2 − x2, . . . , xn − xn) = (0, 0, . . . , 0) = 0 = 0Rn .

Por lo tanto se cumple el axioma 4).

5. Ahora,

λ(x + y) = λ(x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

= (λ(x1 + y1), λ(x2 + y2), . . . , λ(xn + yn)) (propiedad distributiva

= (λx1 + λy1, λx2 + λy2, . . . , λxn + λyn) de R)

= (λx1, λx2, . . . , λxn) + (λy1, λy2, . . . , λyn)

= λx + λy.

6.

(λ+ µ)x = ((λ+ µ)x1, (λ+ µ)x2, . . . , (λ+ µ)xn)

= (λx1 + µx1, λx2 + µx2, . . . , λxn + µxn) (propiedad distributiva de

= (λx1, λx2, . . . , λxn) + (µx1, µx2, . . . , µxn) R)

= λx + µx.

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7. Además,

(λµ)x = ((λµ)x1, (λµ)x2, . . . , (λµ)xn)

= (λ(µx1), λ(µx2), . . . , λ(µxn)) (propiedad asociativa del producto

= λ(µx1, µx2, . . . , µxn) R)

= λ(µx)

8. Finalmente,

1 · x = (1 · x1, 1 · x2, . . . , 1 · xn) (propiedad neutra para el producto del uno

= (x1, x2, . . . , xn) = x enR).

Esto demuestra entonces que (Rn,R,+, ·) es un espacio vectorial.l Nota: Al conjunto

Rn = (x1, x2, . . . , xn) |xi ∈ R, i = 1, . . . , n

es usual escribirlo de la forma

Rn =

x1

x2

...xn

/ xi ∈ R, i = 1, . . . , n

.

A continuación se presentan varios ejemplos de espacios vectoriales importantes quese utilizaran en el resto del texto para presentar ejemplos, se deja al lector la demostra-ción de cada uno de los casos.

El conjunto de las n−uplas ordenadas de números complejos Cn con las opera-cionesl Adición:


l Multiplicación

λx = λ(x1, x2, ..., xn) = (λx1, λx2, . . . , λxn).

(Cn,C,+, ·) es un espacio vectorial.

Ejemplo 3.

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El conjunto de las n−uplas ordenadas de números complejos Cn con las opera-cionesl Adición:


l Multiplicación

λx = λ(x1, x2, ..., xn) = (λx1, λx2, . . . , λxn).

(Cn,R,+, ·) es un espacio vectorial.

Ejemplo 4.

Note que los espacios vectoriales de los ejemplos 3 y 4, aunque tienen el mismoconjunto no vacío de vectores son espacios diferentes dado que difieren en el campo.

Sea Pn el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en R de grado menoro igual que n. Es decir

Pn = a0 + a1x+ · · ·+ anxn | a0, a1, . . . , an ∈ R.

En este conjunto, para p1(x) = a0+a1x+· · ·+anxn, p2(x) = b0+b1x+· · ·+bnxn

y λ ∈ R se definen las operaciones

(p1 + p2)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn

(λp1)(x) = λa0 + λa1x+ · · ·+ λanxn.

Se puede verificar fácilmente que (Pn,R,+, ·) es un espacio vectorial.

Ejemplo 5.

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Sea Mm×n(K) el conjunto de todas las matrices de orden m × n con entradasen K. Es decir,

Mm×n(K) =

A = (aij)i=1,...,m

j=1,...,n| aij ∈ K, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

.

Para A = (aij), B = (bij) y λ ∈ K se han definido las operaciones

A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

λ ·A = λ(aij) = (λaij).

Con lo cual se tiene que (Mm×n(K),+, ·,K) es un espacio vectorial.

Ejemplo 6.

Sea Ω un conjunto no vacío. Se considera el conjunto

KΩ = f : Ω→ K/f es una función

y se definen las operaciones

(f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x ∈ Ω, y

(λf)(x) = λ(f(x)) para todo x ∈ Ω.

Entonces (KΩ,+, ·,K) es un espacio vectorial.

Ejemplo 7.

Se pueden definir en algunos conjuntos de espacios conocidos algunas operaciones noconvencionales para definir un espacio vectorial, como muestra el siguiente ejemplo.

Sea V = (a, b) ∈ R2 : b > 0. Se definen las operaciones

(a, b)⊕ (c, d) = (ad+ bc, bd)

λ (a, b) = (λabλ−1, bλ)

Entonces (V,⊕,,R) es un espacio vectorial.

Ejemplo 8.

Se deja al lector para verificar.

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1.2. Subespacios

Si V es un K−espacio vectorial, del ejemplo 1 se obtiene que 0V también es un K−espacio ectorial. Entonces, es natural preguntarse si dado cualquier subconjunto de V (donde V, es un K−espacio vectorial), es también un K−espacio vectorial. La respuestaes negativa, como puede verse en el siguiente ejemplo.

En el ejemplo 2, se ha demostrado que (R2,R,+, ·) es un espacio vectorial. Sea

W = (x, y) | x, y ∈ R, x · y ≥ 0.

En este caso, note que (1, 2) y (−3,−1) son vectores en W , sin embargo,

(1, 2) + (−3,−1) = (1 + (−3), 2 + (−1)) = (−2, 1) /∈W.

Por lo tanto, (W,R,+, ·) no puede ser un espacio vectorial.

Ejemplo 9.

Entonces, dado un espacio vectorial (V,K,+, ·) y W ⊆ V , ¿bajó qué condiciones(W,+, ·,K) sea un espacio vectorial?.

Se comienza dando nombre a este nuevo espacio, en caso de ser un espacio vectorial.

Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial y W un subconjunto de V . Se dice que Wes un subespacio de V si (W,+, ·,K) es un espacio vectorial.

Definición 2.

Todo espacio vectorial (V,K,+, ·) tiene al menos dos subespacios, a saber, el subes-pacio V y 0V . A éstos se les llamará subespacios triviales de (V,K,+, ·).

En principio, para poder saber si un subconjunto W ⊆ V es subespacio de V , habráque verificar (la cerradura de las operaciones en W y) los axiomas que definen a unespacio vectorial en el subconjunto W .

Sin embargo, el teorema siguiente dice que tal verificación requiere de mucho menostrabajo.

k k Teorema 2. Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial y sea W un subconjunto no vacíode V . Entonces W es un subespacio de V si, y sólo si se cumplen las dos condicionessiguientes:

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a) u, v ∈W entonces u+ v ∈W ,

b) v ∈W, λ ∈ K entonces λv ∈W .

Demostración. SiW es un subespacio de V es claro que debe ser cerrado bajo la adicióny multiplicación por un escalar. Recíprocamente, supongamos que W es cerrado bajo laadíción y multipliacación por un escalar, entonces para cualquier w ∈ W 1 se tiene que0V = 0 · w ∈ W y −w = (−1)w ∈ W . Las demás condiciones se cumplen por ser W unsubconjunto de V .

Es usual redactar el teorema anterior como sigue:

k k Teorema 3. Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial y sea W un subconjunto de V .Entonces W es un subespacio de V si, y sólo si se cumplen las condiciones siguientes:

a) 0V ∈W ,

b) u, v ∈W entonces u+ v ∈W ,

c) v ∈W, λ ∈ K entonces λv ∈W .

Note que la diferencia entre los teoremas 2 y 3 es que en el primero se pide que Wsea no vacío, mientras que en el segundo se pide explícitamente que 0V ∈ W , lo cualgarantiza lo no vacío de W .

Con la ayuda del Teorema 3 será una tarea más simple verificar si un subconjuntoW ⊆ V es un subespacio vectorial de V .

Sea L subconjunto de R2 dado por

L = (x, y) ∈ R2 | ax+ by = 0,

donde a y b son dos escalares fijos, no ambos cero.Se afirma que W es un subespacio de (R2,R,+, ·) con las operaciones usualesen R2.

Ejemplo 10.

En primer lugar, dado que a · 0 + b · 0 = 0 se tiene que (0, 0) ∈ L, el cual es el vectornulo de R2.

1Es posible elegir w ∈ W ya que por hipótesis, W no es vacío.

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Además, si u = (x1, y1) y v = (x2, y2) dos vectores de L, entonces u + v = (x1 +

x2, y1 + y2) y

a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = (ax1 + by1)︸︷︷︸= 0

ya que (x1, y1) ∈ L

+ (ax2 + by2)︸︷︷︸= 0

dado que (x2, y2) ∈ L

= 0,

lo que significa que u + v ∈ L.Por otra parte si λ ∈ R, entonces λu = (λx1, λy1) y

a(λx1) + b(λy1) = λ(ax1 + by1) = λ0 = 0,

lo cual se verifica que λu ∈ L.Geométricamente el subespacio L es una recta en el plano xy que pasa por el origen.

El lector puede verificar que el subconjunto U de R3 dado por

U = (x, y, z) | ax+ by + cz = 0,

donde a, b y c son tres escalares fijos en R, no todos iguales a cero, es unsubespacio vectorial de (R3,R,+, ·), definido en el ejemplo 2.

Ejemplo 11.

Considere el sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitasAX = 0.

Considere, entonces, el siguiente subconjunto de Rn

S =

x1

x2

...xn

/

x1

x2

...xn

es solución de Ax = 0Rm

.

S es un subespacio de (Rn,R,+, ·), definido en el ejemplo 2.

Ejemplo 12.

l En efecto, es claro que una solución del sistema es la trivial, en consecuencia el vectornulo de Kn está en S.

Por otra parte, suponga que x1 y x2 son soluciones del sistema Ax = 0Rm , entonces

A(x1 + x2) = Ax1 +Ax2 = 0Rm + 0Rm = 0Rm .

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Esto significa que x1 + x2 es también solución del sistema.Asimismo, si λ es un escalar, se tiene

A(λx1) = λAx1 = λ 0Rm = 0Rm ,

lo cual verifica que λx1 es solución del sistema. Entonces, en virtud del teorema 3, Ses un subespacio de (Rn,R,+, ·), el cual es llamado espacio de soluciones (o espaciosolución) del sistema Ax = 0Rm .

Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial y sea v ∈ V . Entonces, S = λv : v ∈ Kes un subespacio de V .A este subespacio se le denomina subespacio generado por v y usualmente esdenotado por genv o genv.

Ejemplo 13.

Se deja la verificación al lector.

Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial y v1, v2, ..., vn ∈ V . Se define

S = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn : α1, α2, ..., αn ∈ K.

Se deja al lector verificar que S es un subespacio de V . El cual es llamadosubespacio generado por v1, v2, ..., vn ∈ V y denotado por genv1, v2, ..., vn.

Ejemplo 14.

1.3. Operaciones con subespacios

Dado (V,K,+, ·) un espacio vectorial y subonjuntos W1 y W2 de V , se pueden con-siderar los siguientes subconjuntos de V :

1. la intersección de W1 y W2

W1 ∩W2 = v ∈ V | v ∈W1 y v ∈W2,

2. la unión de W1 y W2

W1 ∪W2 = v ∈ V | v ∈W1 o v ∈W2,

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3. la adición de W1 y W2, denotada por W1 +W2 y definida por

W1 +W2 = v ∈ V | v = w1 + w2, w1 ∈W1, w2 ∈W2.

En el caso en que W1 y W2 sean subespacios de V , es natural preguntarse si W1 ∩W2,W1 ∪W2 y W1 +W2 son también subespacios de V .

Esta sección se dedica a dar respuesta a esta cuestión.

k k Teorema 4. Dado (V,K,+, ·) un espacio vectorial y W1 y W2 subespacios de V .Entonces, W1 ∩W2 es un subespacio de V .

Demostración. Dado que W1 y W2 son subespacios de V , entonces 0V está en ambos,en consecuencia está en W1 ∩W2.

En segundo lugar, Si u, v ∈ W1 ∩W2 y λ ∈ K entonces u, v ∈ W1 y u, v ∈ W2. Porser W1 y W2 subespacios de V , se tiene u+ v ∈W1, u+ v ∈W2, λu ∈W1 y λu ∈W2 esdecir, u+ v ∈W1 ∩W2 y λu ∈W1 ∩W2, lo que demustra que W1 ∩W2 es un subespaciode V , según el Teorema 3.

k Observación 1. Note que W1 ∩W2 puede ser considerado también como subespaciode W1 (o W2).

La demostración de este hecho es similar a la dada anteriormente y se deja comoejercicio para el lector.

En (M2×2(R),R,+, ·) el espacio vectorial definido en el ejemplo 6. Se consideranlos subconjuntos

W1 =

(a 0

b c

): a, b, c ∈ R

y W2 =

(a b

c 0

): a, b, c ∈ R

W1 y W2 son subespacios de M2×2(R).

Ejemplo 15.

Dado que toda matriz

(a11 a12

a21 a22

)∈M2×2(R) puede expresarse como

(a11 a12

a21 a22

)=

(a11 0

a21 a22

)+

(0 a12

0 0

)

donde

(a11 0

a21 a22

)∈W1 y

(0 a12

0 0

)∈W2, entonces W1 +W2 = M2×2(R).

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l Note que W1 ∩W2 =

(a 0

b 0

): a, b ∈ R

.

l Por otra parte,

(−1 0

1 1

)∈W1 y

(1 −1

1 0

)∈W2, sin embargo,

(−1 0

1 1

)+

(1 −1

1 0

)=

(0 −1

2 1

)/∈W1 ∪W2

De modo que la unión de dos subespacios de un espacio vectorial V no es en generalun subespacio de V .

1.4. Subespacios generados por un conjunto de vectores

Como se ha visto en el ejemplo 14, se puede obtener un subespacio generado porun subconjunto de vectores. Parte del álgebra lineal es la noción de estos subespaciosgenerados por un conjunto de vectores.

En esta sección se presentan las definiciones involucradas en este nuevo subespacio.

Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial y sea S un subconjunto (no vacío) de V . Es en-tonces natural preguntar si S es un subespacio. En caso de no ser, ¿ existe un subespaciode V que contiene a S? La respuesta a esta última pregunta es afirmativa, dado que setiene que V es un subespacio de (V,K,+, ·). Entonces surge otra pregunta, ¿ existe unmenor subespacio de V que contenga a S?.

Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial. Sean v1, v2, . . . , vn vectores de V . Se diceque el vector v ∈ V es una combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vn, siexisten escalares c1, c2, . . . , cn tales que

v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvn.

Definición 3.

El vector (14, 12, 2) en R3 es combinación lineal de los vectores (1, 2,−1) y(3, 2, 1) puesto que

(14, 12, 2) = 2(1, 2,−1) + 4(3, 2, 1).

Ejemplo 16.

18

Brac

amon

te-M

arch

an


Toda matriz antisimétrica de orden dos, con entradas reales, es combinaciónlineal de la matriz (

0 −2

2 0

).

Ejemplo 17.

Esta afirmación se cumple dado que toda matriz antisimétrica de orden dos es de laforma (

0 a

−a 0

)

para un cierto número real a. Entonces se tiene,

(0 a

a 0

)= −a

4

(0 −4

4 0

).

Sea S un subconjunto no vacío de un espacio vectorial (V,K,+, ·), se denota porgenS o por gen(S) al conjunto de todas las combinaciones lineales de elementosde S, es decir,

genS = c1v1 + · · ·+ ckvk | ci ∈ K, vi ∈ S, i = 1, . . . , k, k ∈ N.

Se definegen∅ = 0V .

Definición 4.

Es claro que si S es un subconjunto no vacío de elementos del espacio vectorial(V,K,+, ·) entonces S ⊆ genS, dado que, para cada i = 1, 2, ..., n se tiene que

vi = c1v1 + · · ·+ civi + · · ·+ ckvk,

donde cj =

1 si i = j

0 si i 6= j.

También es claro que 0V ∈ genS.

19

Brac

amon

te-M

arch

an


Sea A =

0

0

1

,

0

1

0

un subconjunto de R3. Considerando (R3,R,+, ·)

definido en el ejemplo 2, determine genA.

Ejemplo 18.

a

b

c

∈ genA si y sólo si, existen constantes α y β tales que

a

b

c

= α

0

0

1

+ β

0

1

0

=

0

β

α

.

Es decir, genA =

0

b

c

; b, c ∈ R

.

Se puede demostrar que genS es un subespacio de V y que además, es el subespacioque resuelve el problema planteado inicialmente.

k k Teorema 5. Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial, y sean v1, v2, . . . , vn n vectoresde V . Entonces el conjunto

genv1, v2, . . . , vn = c1v1 + · · ·+ cnvn | ci ∈ K, i = 1, . . . , n

formado por todas las combinaciones lineales de v1, . . . , vn es un subespacio de V y ade-más, es el menor de todos los subespacios de V que contienen a los vectores v1, v2, . . . , vn.

Demostración. l Para c1 = · · · = cn = 0 se tiene que 0V = c1v1 + · · · + cnvn ∈genv1, . . . , vn.

l Por otra parte, sean x, y ∈ genv1, . . . , vn. Entonces existen c1, . . . , cn, d1, . . . , dn ∈K tales que

x = c1v1 + · · ·+ cnvn

y = d1v1 + · · ·+ dnvn

Luego,x+ y = (c1 + d1)v1 + · · ·+ (cn + dn)vn

lo que demuestra que x+ y ∈ genv1, . . . , vn.

20

Brac

amon

te-M

arch

an


l En forma similar, si λ ∈ K se tiene

λx = λ(c1v1 + · · ·+ cnvn) = (λc1)v1 + · · ·+ (λcn)vn,

lo que demuestra que λx ∈ genv1, . . . , vn. Entonces, genv1, . . . , vn es un subespaciode V .

Para finalizar la demostración, suponga que W un subespacio de V que contiene av1, . . . , vn.

Si x ∈ genv1, . . . , vn entonces x = c1v1 + · · ·+ cnvn.Ahora bien, dado queW un subespacio de V y v1, . . . , vn ∈W se tiene que c1v1, c2v2, . . . , cvn ∈

W y en consecuencia x = c1v1 + · · ·+ cnvn ∈W.Esto es, genv1, . . . , vn ⊆W, completando la demostración.

Determine gen2− x+ 2x2; 2− 2x+ 6x2;x− 4x2 en el espacio vectorial real(P2(R),R,+, ·).

Ejemplo 19.

Nótese que ax2 + bx+ c ∈ gen2− x+ 2x2; 2− 2x+ 6x2;x− 4x2 si, y sólo si, existenescalares c1, c2, c3 ∈ R tales que

ax2 + bx+ c = c1(2− x+ 2x2) + c2(2− 2x+ 6x2) + c3(x− 4x2)

= (2c1 + 6c2 − 4c3)x2 + (−c1 − 2c2 + c3)x+ (2c1 + 2c2).

Entonces, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:2c1 + 6c2 − 4c3 = a

−c1 − 2c2 + c3 = b

2c1 + 2c2 = c.

La matriz de representación del sistema es 2 6 −4 a

−1 −2 1 b

2 2 0 c

y se puede demostrar que la matriz es equivalente a la matriz −1 −2 1 b

0 2 −2 a+ 2b

0 0 0 a+ 4b+ c

.

21

Brac

amon

te-M

arch

an


Observe que el sistema tiene solución si a+ 4b+ c = 0, en consecuencia

gen2− x+ 2x2; 2− 2x+ 6x2;x− 4x2 = ax2 + bx+ c ∈ P2 : a+ 4b+ c = 0.

22

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