Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

     

    RECTA Y SEGMENTO DE RECTA

    EJERCICIOS

    1) Sean los puntos colineales y consecutivos A,B, C y D, tal que  AB BD 4(CD)= = . Si AD=24,

    el valor de CD, es: A) 1 B) C) 12D) ! ") 2

    2) Sean los puntos colineales y consecutivos A,B, C y D, tal que CD !(AC)= , BD !(AB) 2#− = .Calcular BC. A) 1 B) ! C) 14D) $ ") 4

    3) Sean los puntos colineales y consecutivos A,B, C y D, tal que  AB.AD n.BC.CD= ,

    1 4 1CD AC %+ = , si AB=2$, el valor de n, es:

     A) 1 B) 2 C) !D) 4 ") &

    4) ¿Cu'l o cu'les de las proposiciones sonverdaderas?I) os puntos colineales y consecutivos A, B,

    C y D, constituyen una cuaterna ar*nicasi se cuple que: AB. CD = AC. AD .

    II) Si los puntos colineales y consecutivos A,B, C y D, constituyen una cuaternaar*nica entonces se cuple que: AD.

    BC = CD. ABIII) Si los puntos colineales y consecutivos A,

    B, C y D, constituyen una cuaterna

    ar*nica entonces se cuple que:1

     AD +

    1

     AB =

    2

    BC

     A) S*lo B) S*lo C) y D) S*lo ") y

    5) "n una recta se consideran los puntosconsecutivos A, B ,C y D, de tal anera que:

    + =1 1 2 AB AD AC

    . Si AB=4 y CD=, entonces el

    valor de BC, es: A) 1 B) 2 C) !D) 4 ") &

    6) "n una recta se u-ican los puntosconsecutivos A, B, C y D, de odo que

    = AB a(AD)

    BC -(CD)  y + =

    a -2

     AB AD. allar AC.

     A) +a -2

    B) +2a -2

    C) 

    +2- a

    2

    D) +a -!

    ") +a -

    7) os puntos / y 0 dividen ar*nicaente al

    seento AB . Calcular AB si se tiene:

    =+

    (A/)(A0)

    ! A/ A0

     A) 2 B) & C) 4D) ") !

    8) na persona caina en l3nea recta de unpunto A acia un punto B, de odo que alllear al punto edio / de  AB , decidereresar asta un punto 5 y se da cuenta quela distancia de 5 asta / es la cuarta parte dela distancia de 5 asta B. allar la distanciade A a B, si la persona a recorrido $2 . A) 16# B) 144 C) $2

    D) 12 ") 1!

    9) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que: 4AC=CD. Si BD 74AB=26, el valor de BC, es: A)! B)& C)4D)% ")

    10) Sean los puntos colineales y consecutivos A,B, C y D, tal que, tal que: AD=!6, AC=1# yAB AD

    BC CD= . Deterinar BC.

     A) !.&4 B) 4.14 C) .14D) !.4 ") &.14

    11) "n una recta se consideran los puntoscolineales y consecutivos A, B, C y D, tal que

    AB CD≅ . a e8presi*n:1 1

     AB.AC BC.BD+ , es

    equivalente a:

     A) AB.BC B)   2 21

     AB BC+  C)

    2

     AB.BC

    D)1

     AB.BC") 2

    1

    (AB BD)+

    12) Sean los puntos colineales y consecutivos A,

    B y C. Si2

    2AB + BC = 26  y AC=16, el valor de AB, es: A) 16 B) 11 C) #D) $ ") %

    13) "n una recta se consideran los puntosconsecutivos /, 0, 5, 9 y , donde 5 y 9 sonpuntos edios de MQ  y NR , ade's /=!6 y59=#. Deterinar 05. A) & B) 4 C) D) $ ") 2

    14) Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una

    recta, 5 y 9 son puntos edios de  AB   y

    1

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    CD  respectivaente. allar el valor de 59 ,

    si1 1 1 1

     A9 5D B9 5C+ = +   y (AB)(CD) = 144 .

     A) B) & C) $D) 4 ") %

    15) "n una l3nea recta se u-ican los puntos

    consecutivos A, B, C y D tal que: 4(AB)

    (CD)=(BC)(AD) yAB

    1

    AD

    4

    8

    1+= . allar 

     AC. A) 2& B) 2& C) 46D) !& ") &6

    16) "n una recta se u-ican los puntosconsecutivos A, B, C y D, de odo que (BC)2

    = (AB)(CD) y + =1 1 1

     AC BD 1  . allar el valor 

    de BC. A) 1 B) 12 C) !2

    D) 14 ") #

    17) Sean los puntos C, 5, , colineales y

    consecutivos, tal que(C5)()

    1(5)(C)

     = ; si

    5 14− =  y (5)() &= , la edida de

    C , es: A)2 B)4 C)#D)1 ")1oran una cuaterna ar*nica.

    Si se cuple que2 1 1 1 2

     AD BC BC AD E 2

    += + −

    × +  y

     AC y son nFeros prios, el valor de AC,es: A) 2 B) ! C)&D) # ") 4

    24) "n una recta se consideran los puntoscolineales y consecutivos A, B, C y D. si AC=

    G , AB.AD=BC.CD y BC2 7AB2=AB.CD,el valor de (CD)2, es:

     A) 2G B) G C) G

    D) 2 G ")G

    2

    25) Dados los puntos colineales y consecutivos A,B, C y D tal que; B es punto edio de  AD  y AD 2CD %= + . Calcular BC. A) 4 B) # C) !.&D) 4.& ") &

    26) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tales que: AB.CD = n BC.AD.

    Calcular n, si: 1 AD

     + n AB

     = # AC

     A)! B)& C)$D)% ")

    27) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tales que: AB.AC=!BC.CD y

    CD

    α+

     AC

    β=

     AB

    γ . Calcular 2 2 2" = α +β + γ  

     A)1# B)26 C)1%D)24 ")2

    28) Se tiene los puntos colineales y consecutivos, , C y tales que: = a, C = -, C = c;

    2

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    . C = C. ya - a - c

    :C 4: !:

    − += +   allar "

    = a-c A)# B)16 C)$D)% ")11

     H0SEJERCICIOS

    1) "l copleento de 8. 's el supleento de28, es iual a un tercio de 8. allar elsupleento de 8. A) %!I B) #1I C) #%ID) 16%I ") %%I

    2) "n la >iura ostrada las edidas a, -, c y dest'n en la relaci*n de 1, !, $ y %. Calcular laedida del 'nulo que >oran las -isectricesde los 'nulos cuyas edidas son - y d.

     A) 116I B) 112I C) 126ID) 11$I ") 121I

    !) "n la siuiente >iura, A   y D   son

    perpendiculares, la ( BC) &I=R , AG   es-isectriJ del  ACR   y K es -isectriJ del

    BDR . Calcular la ( GK)R .

     A)11I B)12I C)16ID)1$I ")1&I

    4) Se tienen tres 'nulos consecutivos AB,BC y CD, de anera que C  es -isectriJ

    del 'nulo BD , B  es perpendicular a la

    -isectriJ del 'nulo >orado por A  y el rayo

    opuesto de C . Sio( AB) ( AD) 116∠ + ∠ = , la edida del

    'nulo BD, es:

     A) &&o  B) &4o  C) 4&o D) 6o  ") &!o 

    &) Dados los 'nulos consecutivos AB, BC,CD, D" y "L, de odo que ( ∠BC) = ( ∠ D"), ( ∠ AC) = ( ∠ DL),( ∠ B") = 4 ( ∠ CD) , ( ∠ AL) = 2 (∠ B") y (∠ AL) = 16M. allar ( ∠BD). A) &6M B) 4&M C) 6MD) 46M ") &&M

    ) Si el supleento de la di>erencia entre elsupleento y el copleento de la edida deun 'nulo es iual al copleento de ladi>erencia entre el copleento delcopleento y el supleento de la edidadel iso 'nulo, la edida de dico 'nulo,es: A) %6M B) $&M C) #6MD) 6M ") !6M

    $) Si un 'nulo de edida θ   se divide en n'nulos consecutivos, cuyas edidas est'nen proresi*n aritNtica; la edida del'nulo >orado por las -isectrices del prier yel Fltio 'nulo, es:

     A)  −   θ ÷

     

    n 1

    nB)

    1

    n

    θ −  C)

    +   θ ÷  

    n 1

    n

    D)n

    θ")

    n

    n 1

    θ+

    #) "n la >iura, 1 2

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    12) "n la >iura, 1 2 orado por las -isectrices de los 'nulo ACy BD ide 14I, entonces la edida del'nulo AD, es: A) #6M B) %6M C) %4MD) 166M ") 164M

    14) "n la >iura, 1 2 iura, 1 2 ! iura 1 2 erencia entre elcopleento del copleento y supleentodel iso 'nulo. Calcule el supleento deldo-le del 'nulo

     A) 42I B)4&I C) 46ID) &6I ") &&I

    24) "n la >iura ostrada,1 2L y L   son

    paralelas. Si la sua de 8 y J es #2I, allar la

    4

    1L

    2L

    x

    α

    ββ

    ωω

    θ   2θ

    1L

    2L

    3L

    x

    ωω

    ββ   α

    θ

    46º

    x

    1

    2

    L2

    L1

    Q

    #Q

     2 Q

     4Q

    6I

    8

    1

    2

    α2α

    !α4α

    1

    2

    28

    28

    8

    8 1

    2

    α

    β

    θ

    L1

    L2

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    edida ?e@ del 'nulo >orado por1L  

    y la

    -isectriJ del 'nulo que deterinan las rectas

    mm' y qq' .

     A)2#I B)42I C)!ID)4%I ")&2I

    2&) Sean los 'nulos consecutivos AB y BC,se traJan las -isectrices G   y K   de los'nulos BC y AG respectivaente. Si( CG) ( AB) 46IR R = . allar la edidadel 'nulo BK.A) 40º B) 60º C) 10ºD) 80º E) 20º

    2) SeFn la >iura, los 'nulos AB y BCD soncopleentarios. Calcular el valor de ?8@.

     A) !6IB) !$IC) 4&ID) 6I

    ") $&I

    2$) "n la >iura, calcule el valor de ?8@.

     A)26I B)24I C)!6ID)1&I ")1#I

    2#) "n la >iura 1 2 iura 1 2

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     AC respectivaente. Si ( K) &I=Rentonces la edida del 'nulo BK, es: A) $&M B) #&M C) %&MD) 16&M ") 4&M

    TRING!"OS #I)EJERCICIOS

    1. os lados de un tri'nulo iden (8+2), (8+!) y$. Calcular el enor valor entero que puedetoar ?8@ para que el tri'nulo e8ista.a) 1 -) 2 c) ! d) 4 e) &

    2. "n un tri'nulo ABC, AB=,2 y BC=$,. allar la sua del '8io y 3nio valor entero quepuede toar AC.

     A) 1& B) 1 C) 1$D) 14 ") 1!

    !. "n la >iura  AB BC CD BD= = = . allar elvalor de α.

     A)4&IB)46IC)!$ID)!6I")!&I

    4. "n un tri'nulo rect'nulo ABC, recto en B se

    traJa la altura B. . a -isectriJ del 'nulo

    BC interseca en 5 a  AC . Si AB=$. Calcular 

    el '8io valor entero de B5. A)1! B) C)%D)# ")12

    &. "n la >iura, AB=CD. allar el valor de θ.

     A) 1#IB) 1&I

    C) !6ID) 26I") 16I

    . "n la >iura, el valor de θ, es:

     A)$6IB)4&IC)%6ID)22,&I")$,&I

    $. "n un tri'nulo ABC. Si  AB 2=   y  AC 16= .allar el valor de BC si se sa-e que es entero,ade's el 'nulo en B es o-tuso.

     A) B) $ C) # D) % ") &

    #. "n la >iura,  AB BC AD= = , el valor de θ, es: 

     A) $&IB) 6I

    C) !6ID) 4&I") &6I

    %. "n la >iura:  AB B5 59 9: :C= = = = . aedida del 'nulo AB5, es:

     A) 1#I B) 26I C) !6I D) !I ") !$I

    16. Se tiene un tri'nulo ABC y D es un punto

    del lado  AC  , tal que AB = BD, BC = AC y el

    'nulo DBC ide !6M. a edida del 'nulo ACB, es: A) 46M B) !6M C) &6M D) 4&M

    ") 42M

    11. "n un tri'nulo ABC, en la prolonaci*n de

     AC  se u-ica un punto 5, a partir del cual, se

    traJa una secante, que interseca a los lados

    BC  y  AB  en " y D respectivaente, de odo

    que A5 = AB = 5D y el 'nulo BC5 ide 1!4M.allar la edida del 'nulo ABC siendo unvalor entero. A) 4&M B) !$M C) &2M D) !2M ") 6M

    12. "n un tri'nulo ABC, en el lado  AC  se u-ican

    los puntos " y L, de odo que AB = BL, ( ∠

     AB") + ( ∠ LBC) = 46M y el 'nulo "BC esrecto. "l 'nulo ACB ide: A) 2&M B) &6M C) !6M D) 26M ") !&M

    1!. "n un tri'nulo is*sceles ABC, AB = BC, en

    los lados  AB   , BC   y  AC  se u-ican los

    puntos 5 , y 9 respectivaente, tal que 59= 9 , ( ∠ B5) + ( ∠ 9C) = 14&M y el'nulo 59 ide %6M . allar la edida del'nulo A95 . A) &6M B) 46M C) 6M D) !$M ") !6M

    14. Del r'>ico, allar a+-+c

    6

     A

    C

    D

    B&θ

    θ

    θ$θ

    θ

    !8

    488

    &8

    28

     A

    A   D

    C

    B

    60º

    θ

     A

    B

    5

    9

    C

     A

    B C

    a-

    c

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

     A) 1$6I B) 1#6I C) 1%&ID) 226I ") 2$6I

    1&. "n un tri'nulo ABC (AB=AC), se u-ica unpunto interior del tri'nulo y se une con los

    vNrtices B y C. si ( AB) ( CB)∠ = ∠   y

    ( A) 46I∠ = , la edida del 'nulo BC, es: A) 14&I B) 12#I C) 116ID) 146I D) #6I

    1. "n la >iura,  AC 12= ; el valor de BD, es:

     A) 1& ! B) $ ! C) 16 !D) $ ") 14

    "INEAS NOTAB"ESEJERCICIOS

    1. "n todo tri'nulo rect'nulo, los puntosnota-les que pertenecen a dico tri'nulo,son:

     A) rtocentro ncentroB) Baricentro CircuncentroC) rtocentro CircuncentroD) ncentro Baricentro") rtocentro Baricentro

    2. "n un tri'nulo, se sa-e que la distancia del-aricentro al circuncentro es 4c, entonces ladistancia del ortocentro al circuncentro, es: A)4c B)c C)1cD)12c ")#c

    !. "n un tri'nulo o-tus'nulo, son puntosnota-les e8teriores: A) ncentro y circuncentroB) ncentro y -aricentroC) rtocentro y -aricentroD) rtocentro y circuncentro") ncentro y ortocentro.

    4. ndicar el valor de verdad o >alsedad de lassiuientes proposiciones:) "n todo tri'nulo no equil'tero, el

    ortocentro, -aricentro y circuncentro soncolineales

    ) a propiedad >undaental del -aricentroes la de deterinar en la ediana dosseentos cuyas edidas est'n en larelaci*n de dos a uno.

    ) "n el tri'nulo o-tus'nulo el ortocentroy el circuncentro son puntos e8teriores.

     A)TTT B)TTL C)TLT D)TLL ")LTT

    &. SeOalar el valor de verdad T o >alsedad L delas siuientes proposiciones:) n tri'nulo equil'tero tiene in>initas

    rectas de "uler ) "n un tri'nulo rect'nulo, la ediana

    relativa a la ipotenusa est' contenida enla recta de "uler.

    ) os puntos nota-les en la recta de "uler,se encuentran en el siuiente orden:ortocentro, -aricentro y circuncentro

    T) os puntos nota-les en la recta de "uler,se encuentran en el siuiente orden:-aricentro, ortocentro y circuncentro

     A)TTLT B)TTLL C)TLLTD)TTTL ")TLLL

    . U"n quN tipo de tri'nulo uno de sus vNrticeses el incentro de su tri'nulo pedal V. A) -tus'nuloB) Acut'nuloC) "quil'teroD) ect'nulo") s*sceles

    $. "n la >iura, BA a 12I= +R , BC AC 6I a= = −R R , el valor de 8, es:

     A) &2I

    B) 12IC) 1#ID) $2I") $#I

    #. "n un tri'nulo acut'nulo ABC, el 'nulo ABC ide 6M y la distancia del circuncentro aun vNrtice es c. a distancia del ortocentroal vNrtice B, es: A) c B) ! c C) 4 cD) & c ") # c

    %. "n un tri'nulo is*sceles ABC, AB = BC y

     AC W AB, la altura relativa al lado  AC   ide24 c y la distancia del ortocentro al lado  ACes 2 c. ; allar la distancia del -aricentro alcircuncentro. A) ! c B) 2 c C) 4 cD) c ") # c

    16. "n un tri'nulo acut'nulo ABC, el 'nulo ABC ide 4&M y AC = # c ; la distancia delortocentro al vNrtice B, es: A) # c B) c C) 4 cD) 16 c ") & c

    11. Se tiene un tri'nulo is*sceles ABC, AB = BC,donde es su incentro y " es su e8centrorespecto al lado BC , tal que B = # c y la

    7

    E

    A DB C

    30º   45º   53º

     A

    C

    B

     8

    1#I

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    distancia de " al lado  AB   es 16 c. a

    distancia del incentro al lado  AC , es: A) 2 c B) ! c C) 4 c D) 1 c ") & c

    NG!"OS $ORMADOS

    %OR "&NEAS NOTAB"ESEJERCICIOS1. Sea un trianulo rect'nulo ABC, relativo a la

    ipotenusa  AC   se traJa la altura B. y la

    -isectriJ BD  del 'nulo BC, tal que CD=2.Si la lonitud de la ipotenusa es 12, lalonitud del cateto  AB , es: A) 16 B) 1& C) 1#D) 1 ") %

    2. "n un trianulo rect'nulo, uno de los 'nulosaudos ide $&I, la edida del 'nulo

    >orado por la altura y la ediana traJadasdel vNrtice del 'nulo recto, es: A) !6I B) 4&I C) 6ID) &I ") 4I

    !. "n un tri'nulo ABC, los 'nulos interiore en Ay B iden &M y $6M respectivaente; y9 son el ortocentro y circuncentrorespectivaente. Deterinar la edida del'nulo B9. A) 26M B) !6M C) 16MD) 1&M ") !$M

    4. "n un tri'nulo is*sceles ABC (AB=BC), setraJa la ceviana interior CD , tal que

    ( BCD) !6I=R . a edida del 'nulo o-tuso>orado por la -isectriJ del 'nulo ADC y ellado  AC , es: A)%&I B)$&I C)16&ID)11&I ")1&6I

    &. "n un tri'nulo ABC, " es el e8centrorespecto al lado BC , de odo que  A"interseca a BC  en L, ( ∠ A"C) = ( ∠ BAC) ,

    ( ∠ ALB) = ! ( ∠ "AC). aedida del 'nulo ACB, es: A) 4&M B) &!M C) !6MD) 6M ") $6M

    . "n un tri'nulo ABC, se u-ica su circuncentro9, lueo se construye el tri'nulo equil'tero9CD, de odo que 9D  interseca a  AC  en y A9 = A. allar ( ∠ ACD) + ( ∠ ABC). A) 116M B) 11&M C) #6MD) %&M ") %&M

    $. "n un tri'nulo o-tus'nulo, o-tuso en B, 9

    es su circuncentro y " es e8centro respecto allado BC , de odo que el 'nulo ABC es

    conruente al 'nulo A9C y 9"  es -isectriJ

    del 'nulo A"C. allar la edida del 'nulo9"C. A) !6M B) 46M C) 26MD) 4&M ") !$M

    #. "n un tri'nulo is*sceles ABC, AB = BC, 5 esun punto interior de dico tri'nulo, tal que (∠ AC5) = ( ∠ 5BC) = !6M y ( ∠ 5CB) = 46M.allar la edida del 'nulo A5B. A) 126M B) 166M C) #6MD) 1&6M ") 6M

    %. "n un tri'nulo acut'nulo ABC, se traJa laceviana interior BL , Si ( ABC) = #6I∠ , / y0 son los ortocentros de los tri'nulos ABL yLBC. allar ( /L0)∠

     A) 116I B) %6I C) #6ID) ##I ") #&I

    16. "n un tri'nulo ABC, se sa-e que:

    ∠ − ∠ =( "C) ( "C) !I . Si es el incentrodel tri'nulo ABC y " es el e8centro deltri'nulo ABC relativo al lado BC . Deterinar 

    ( ABC)∠ . A) &6I B) 6I C) 4#ID) &4I ") &!I

    11. "n un tri'nulo ABC, el punto ?@ es suortocentro y ?@ es su circuncentro. "l 'nuloBAC ide 6I y el 'nulo ACB ide &!I. aedida del 'nulo B, es: A)!$I B)1&I C) $I

    D)1I ")14I

    12. "n el tri'nulo ABC, recto en B, AB=&; BC=12;se traJa la altura B.   y lueo se traJan las-isectrices de los 'nulos AB y BC queintersecan al lado  AC   en los puntos L y "respectivaente. allar el valor de L". A) B)$ C)#D)& ")4

    1!. "n el tri'nulo ACB de la >iura, se cuple:CS n != , SB=2n, n   +∈ ¡ ; ( S0B) ( S0/)∠ = ∠   y( S/0) ( S/C)∠ = ∠ . Calcular la edida del'nulo /S0.

     A) &&IB) !6IC) $&ID) 6I") 4&I

    14. "n el tri'nulo ABC se cuple que( ABC) %6I∠ > ; AB=! y BC=16. "ncontrar ladi>erencia entre el '8io y el 3nio valor entero que puede toar la lonitud del lado AC . A)2 B)! C)&D)4 ")1

    8

     A/

    C

    S

    B

    0

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    1&. "n un tri'nulo ABC, el 'nulo >orado por la-isectriJ interior del X A   y la -isectriJ e8terior del XC  ide 46I. Si XX A C !6I− = , allar la XC .

     A)6I B)&I C)!&ID)4&I ")!6I

    TRING!"OS #I')EJERCICIOS

    1) "n la >iura. Calcular 8 + y + J.

     A) !66I B) !&6I C) !&&ID) 46I ") 4&I

    2) "n un tri'nulo ABC. Si∠ + ∠

    ∠ = ( BAC) ( ABC)

    ( A5C)2

    , siendo ?5@

    un punto de BC tal que B5 = 2 y BC = 16.allar AC.

     A) 2 B) 16 C) D) # ") 12

    !) "n un tri'nulo ABC, se traJa la ceviana BL ,

    L   AC∈ , talque AB = 4 , ( ∠ A) = 2 ( ∠ C) ,( ∠ LBC) = ! ( ∠ C) . allar BL siendo unvalor entero. A) ! B) 4 C) 2D) & ")

    4) "n la >iura, = +L" "D ! , AB=1#. Calcular laedida del seento de e8treos C y B.

     A) 1# B) 24 C)21D) 26 ") 1% 

    &) Dos lados de un tri'nulo iden & y .respectivaente, y el tercero ide el do-le deuno de los lados conocidos. Calcular elper3etro de dico tri'nulo.

     A) 26 B) 24 C) 21D) 2! ") 2&

    ) "n un tri'nulo rect'nulo ABC, recto en B setraJa la altura BH . a -isectriJ del 'nulo

    BC interseca en 5 a  AC . Si AB=&. Calcular el '8io valor entero de B5. A)& B) C)$D)# ")%

    $) "n un tri'nulo ABC, AB=4,2 y BC=#,2 allar la sua del '8io y 3nio valor entero de

     AC. A) 1$ B) 1 C) 1&D) 14 ") 1!

    #) Si dos lados de un tri'nulo iden 4c y1c, calcular la sua del ayor y enor valor entero posi-le que puede toar el tercer lado.

     A)2! B)!6 C)!2D)2# ")46

    %) "l per3etro de un tri'nulo rect'nulo es !.Calcular el 3nio valor entero de la

    ipotenusa. A)12 B)14 C)1D)1! ")1&

    16) "n un tri'nulo ABC, AB=BC, se traJa laceviana interior B"   en el tri'nulo B"C se

    traJa la ceviana "9 , tal que B"=B9, si el'nulo AB" ide 4#I, allar la edida del'nulo 9"C. A) 2&I B) 24I C) 2!ID) 22I ") 26I

    11) "n un tri'nulo is*sceles ABC; AB=BC,=R BAC !6I , AB=12u. Calcular la distanciadel -aricentro al circuncentro.

     A) 12 B) C) 1#D) 4 ") #

    12) "n la >iura, /0  es ediatriJ de  AC . Si 0 es

    punto edio de BD y  AB=26, deterinar la

    edida de DC .

     A) 1& B) 16 C) 1!D) 12 ") 1

    1!) Se tiene un tri'nulo is*sceles ABC (AB=BC).So-re los lados  AB , BC y  AC  se u-icanlos puntos /, 0 y 9 respectivaente, tal queel tri'nulo /09 sea equil'tero. Si

    I%#)90C()B/0(   =∠+∠ . Calcular ) A9/(  ∠ .

     A)4%I B)4#I C)&2ID)&6I ")4I

    9

    B

    A C

    x  yz

    ααα θθ

    θ

    β β β

    45º

    37º

    60º

    B

    "   LD

    C

     A

    A

    B

    CDM

    N

    60

    º

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    14) "n un tri'nulo ABC se toan los puntos: /en BC  y D en  AC  tal que L es el punto de

    intersecci*n entre BD   y  A/ . Calcular laedida del 'nulo BL/ si los 'nulos /AC, ACB y ABD tienen iual edida, WCBD =4#I y AB = BD.

     A) $4I B) $I C) #ID) 6I ") 4&I

    1&) "n el interior de un cuadrado ABCD seconstruyen los tri'nulos equil'teros ALB y A"D. a prolonaci*n del seento L"interseca en al lado BC . Calcular la edidadel 'nulo LC. A) !6I B) !$I C) 4&ID) &!I D) 6I

    1) "n un trianulo ABC is*sceles (AB=BC) se

    traJa la ceviana interior AL, de odo que AL=BC.Si LAC 12I=R , allar la BALR . A) 12I B) 24I C) !ID) 4#I ") 44I

    1$) "n la >iura: AB YBC  y CD YED . Calcular ?8@, sisu valor es entero.

     A) &IB) 116IC) 11&I

    D) 12&I") 1!&I

    1#) Del r'>ico, ABC 146I=S .Calcule el valor de?8@.

     A) 16IB) 1&IC) 26ID) !6I") !&I

    1%) Se tiene un tri'nulo is*sceles ABC (AB=BC),en el interior del tri'nulo se consideran unpunto 5 tal que ( 5AB) ( 5CA)∠ = ∠ ,( ABC) 26I∠ = . Calcule ( A5C)∠ .

     A)1!6I B)126I C)116ID)#6I ")166I

    1. allar la edida del 'nulo o-tuso >oradopor la intersecci*n de las -isectrices de los'nulos e8teriores de los 'nulos audos deun tri'nulo rect'nulo A)4&I B)1!&I C)%6I

    D)&&I ")6I

    1$. "n la >iura,  AD es -isectriJ y BD=2. allar lalonitud de la proyecci*n ortoonal de  ADso-re  AC .

     A)   !B) !C) 2

    D) 2   !") !   !

    1#. "n un tri'nulo is*sceles ABC (AB=BC), setraJa la ceviana interior CD , tal que

    ( BCD) 2I=R . a edida del 'nulo audo>orado por la -isectriJ del 'nulo ADC y ellado  AC , es: A)$I B)$$I C)4ID)6I ")#6I

    1%. "n un tri'nulo cuyos catetos iden ! y 4respectivaente. Calcular la edida del'nulo conve8o >orado por los seentos:altura relativa a la ipotenusa y edianarelativa a la ipotenusa. A)1I B)2!I C)12ID)1I!6P ")12I!6P

    26. os lados de un tri'nulo ABC iden AB=,BC=# y AC=16. Se traJa la altura B   y la-isectriJ  AD   (D en BC ), las cuales seintersecan en ". allar B". A)!iura, el ∆ ABC es equil'tero, DA 4= ,DC != . Calcular el '8io valor entero delper3etro del tri'nulo ABC.

     A) 1#B) 1%C) 26D) 21") 22

    22. Dado un tri'nulo ABC y un punto 5 e8terior,

    tal que 5C AB ZD[∩ = . Si 5A=&, 5B=4 yBC AC 11+ = , calcular el '8io valor enterode la lonitud de 5C . A)16 B)& C)% D)11 ")$

    26) "n un tri'nulo ABC, se traJa por B unaparalela al lado  AC   que interseca a la-isectriJ del 'nulo BAC en 5 y a la -isectriJe8terior del 'nulo C en 9. allar el valor de59, si AB = 1& y B9 = 1%.

     A) 2 B) ! C) 4 D) 2,& ") &

    21) "l 'nulo interior en A de un tri'nulo ABCide 26I. Se traJa la ceviana C   y en el

    tri'nulo AC se traJa la ceviana 9 . Si

    10

    β

    2βα

    θθ

    α

    x

    A

    B

    C

     A D

    B

    C4I

    I

    "8

    !6I

     A

    B D

     A

    B C

    D

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    A9 46I=S   y 9 9C BC= = . Calcular la BS .

     A) 46I B) 6I C) #6I D) $&I ") &&I

    22) "n un tri'nulo ABC se traJa la cevianainterior BD , de tal anera que  AB BC !&+ =  y AC 2&= . allar el 3nio valor entero de BD.

     A) 2 B) ! C) 4 D) & ") 2!) "n un tri'nulo ABC calcula la edida del

    'nulo AB, si es el incentro y la sua de los'nulos e8teriores de A y B es 2%6M.

     A) 14&M B) 1!&M C) 26&MD) %&M ") 11&M

    24) "n un tri'nulo ABC, la distancia del vNrtice?A@ al punto incentro ?@ del tri'nulo ide4c. Al traJar las -isectrices una interior y otrae8terior correspondientes a los 'nulos en losvNrtices C y A respectivaente, se o-servaque se intersecan en un punto ", donde( A"C) !6I∠ = . Calcular la distancia del punto?@ al punto e8centro del tri'nulocorrespondiente al lado  AB . A)16c B)&c C)12cD)!c ")#c

    2&) a sua de las distancias del -aricentro de untri'nulo, a sus vNrtices es 24. Calcular lasua de las lonitudes de las edianas deltri'nulo dado.

     A) 4# B) ! C) !6 D) !2 ") 42

    2) "n un tri'nulo equil'tero, la distancia delpunto incentro a un vNrtice ide ?8@. Calcular la distancia del incentro a uno de los puntose8centro de dico tri'nulo. A) !8 B) 8

    ceviana interior D"   tal que  AB iura. Calcular ?8@:

     A) $B) %C) 11D) 1!") 1&

    !2) "n la >iura, AB = 1 y BD = 1!. Calcular DC

     A) 24B) 2$C) 2%

    D) 2&") 14,&!!) "n la >iura. allar ?8@

     A) 12IB) 14IC) 1ID) 1#I") 26I

    !4) "n el tri'nulo is*sceles ABC donde secuple: AB = BC, se inscri-e un tri'nuloequil'tero seFn se uestra en la >iura.allar ?8@.

     A)a -

    2

    +

    B)a -

    2

    C)a-

    2

    D) a -+") a -−

    !&) "n la >iura ostrada  AB BC≅  y el tri'nulo9SC es equil'tero. ueo:

     A) a -=B) 2a -=C) 2a !-=  D) a 2-=") a - 6I= +  

    !) "n el trianulo ABC, ( BAC)= 2.( ACB)∠ ∠ ,

    se traJan las -isectrices interiores  AL y B"

    11

    A C

    E

    B

    F

    L

    a

    b

    x

    A C

    Q

    B

    S

    a

    b

    A   C

    E

    B

    α   α

    D3x   xθ   θ

    1#I

    4

    2α   α

    3

    θ   θ

    x

     A CD

    B

      θ

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    que se cortan en 5. calcular AB, si A5=2 yBC=$.

     A) & B) C) 4D) $ ") #

    !$) "n la >iura, /"=/5; L0=09; A"="D yLD=LC. Calcule 8:

     A) 26IB) !6I

     C) !&I D) 46I ") 4&I

    !#) Del r'>ico, calcular el valor de ?8@.

     A) !6IB) !&IC) 46ID) 4&I") &6I

    !%) "l ∆ ABC es is*sceles, AB AC.= allar 8.

     A) %I

    B) 11IC) 12ID) 1!I") 14I

    46) "n la >iura:  AB AD DC= = . Calcular ?8@.

     A) &IB) IC) $ID) 12I

    ") 4I

    CONGR!ENCIA Y SEMEJAN(ADE TRING!"OS

    EJERCICIOS #I)1) "n un trianulo ABC se traJa la ediana

    B/  y lueo la ediana  AL  del trianulo AB/, la recta paralela traJada por elpunto / a  AL  interseca en el punto al

    lado BC , si AL es iual a 1# , la lonitudde / , es:

     A) 1 B) & C) #D) ") 12

    2) "n un tri'nulo rect'nulo ABC, recto en B, setraJa la ceviana interior  AD , en el tri'nulo ADC se traJa la altura D" . Si los tri'nulos ABD y D"C son conruentes, entonces laedida del 'nulo AB", es: A)!$I B)4&I C)&!ID)!6I ")6I

    !) " a >iura, si A"=CD, (∠ A"B)=(∠"DC)=2ϕ  , (∠ A)=(∠ "CD)=ϕ  ,C"=#, "l valor de AC, es:

     A) # B) 12 C) 1D) 24 ") !

    4) Se tiene un tri'nulo acut'nulo ABC y essu ortocentro. Se construye el cuadradoB59, 5 BC∈ , tal que ( ∠ ABC) = ( ∠ A5). allar la ( ∠ BAC). A) #1M B) 6M C) #6MD) &&M ") 26M

    &) "n la >iura: AB=BC, AD=16. Calcular B5

     A) 16B) $,&C) &

    D) #") &   2

    ) "n el interior de un tri'nulo ABC se u-ica unpunto D, tal que AD = BC, BD = % c, ( ∠BAD) = ( ∠ DBC) = α , ( ∠ DCB) = 2 α  y (∠ ADB) = & α . allar AB.

     A) 1# c B) 12 c C) 14 cD) 26 c D) 1& c

    $) "n la >iura, BD  es -isectriJ del 'nulo ABC y

    B/   es ediana relativa a la ipotenusa.Calcular A"BR .

    A) 53ºB) 37ºC) 60ºD) 30ºE) 45º

    #) Se tiene un tri'nulo ABC, donde 5 es unpunto interior de dico tri'nulo, tal que ( ∠BA5) = ( ∠ 5AC) = ( ∠ 5BC) = ( ∠ 5CB) =8 y ( ∠ 5CA) = 28. allar ( ∠ AB5).

     A) 4&M B) 26M C) 2MD) 6M ") !M

    12

    A   D C

    B

    E

    MF

    N

    P   Q120º

    x

    A

    N

    R

    D

    20º

    50º   50ºx 10º

    A

    B

    C

    D

    3x2x

    13x

    A   C

    B

    Q

    P

    x

    2x68º

    3x 40º

     A

    C

    "D

    B

     A

    B

    C/D

    "

    A   D

    C

    B

    P

    45º

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

    13/31

    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    %) "n un tri'nulo ABC, / es punto edio de

     AC  y 0 es punto edio de B/ , tal que  A0es perpendicular a B/ , BC = 16 y A0 = #.allar el valor de AB. A) 2 1$ B) ! 1$ C) 1$D) 4 ")

    16) "n un tri'nulo ABC, / y 0 son puntos de loslados  AC  y BC  respectivaente, tal que AB= /C, ( ∠ BAC) = ( ∠ B/0) = 46M y ( ∠/B0) = $6M . allar la ( ∠ AB/). A) !6M B) $6M C) 46MD) 6M ") 4&M

    11) Sea el tri'nulo ABC y D es un punto del lado

     AC , tal que ( ∠ ABD) = %6M, ( ∠ DBC) = 2( ∠ BAC) y AD = 2 (BC). allar ( ∠ ADB). A) $2M B) 4M C) &2MD) 4#M ") 6M

    12) "n la >iura BC=AC=AD. Calcular 8.

     A)6IB)&6IC)4&ID)&&I")$&I

    1!) De la >iura AC=B5, (∠BA5)=(∠5AC).

    Calcular \

     A)4.IB)&IC)4ID)&.I")4.&I

    14) "n la >iura: AB BC⊥ , AB = BC, AE EB⊥   y(∠"AB)=(∠"CA), si B" = !, el valor de"C, es:

     A)2B)!   2C)4   2D)2   2")!

    1&) "n la >iura: AB=AC y A"="B, si(∠"CA)=!6I, el valor de 8, es:

     A)16IB)12IC)1#I

    D)1&I")26I

    1) "n un tri'nulo ABC, la ediatriJ del lado  AC

    interseca al lado BC  en el punto L. "ncontrar 

    el ayor valor entero del lado  AB , si BC = 12

    y LC = $. A) # B) % C) 16D) 11 ") 12

    1$) "n un tri'nulo rect'nulo is*sceles recto enB, por el vNrtice B se traJa una ceviana interior que interseca al lado  AC   en . Desde los

    vNrtices A y C se traJan perpendiculares C5  y

     A9   a la recta que contiene a B y , si A9=$c y C5=1&c, entonces el valor de59, es: A) 4c B) 11c C) #c

    D) c ") %c

    1#) "n un tri'nulo ABC, B #6I∠ = , en  AC   seu-ica el punto ?"@ tal que AB="C; lasediatrices de  A"  y BC  se intersecan en [email protected] la Sm ACF   , sa-iendo que la

    30ºSm C  =

     A) 26I B) 1&I C) 1#ID) !& ") 2&I

    1%) "n un tri'nulo ABC, ( ABC) 146I∠ = , las

    ediatrices de los lados  AB  y BC   intersecan

    al lado  AC  en D y ". allar la edida del'nulo DB". A) 16&I B) %&I C) 11&ID) 166I ") $6I

    26) "n un tri'nulo ABC, se traJa la ediana  A/ ,allar la distancia del vNrtice B a la ediana,si la distancia del punto edio 0 de  AC  a laediana es &c. A) 2 B) ! C) &D) ") 16

    21) "n la >iura, si AB=C5, B"="5, y

    ( CA") ( AC")=R R , entonces la edida del'nulo B5", es:

     A) 4&IB) &6IC) &&ID) 6I") &I

    22) Se tiene un tri'nulo rect'nulo BAD, con'nulo recto en A. "8terior a este tri'nulo, seconstruye el tri'nulo rect'nulo DBC, con'nulo recto en B; " es un punto de

    BD, tal

    que B" = !, "D = 2 y el tri'nulo BAD esconruente al tri'nulo CB". allar la edidade CD .

    13

    B

    30º

    15º

    x

    A

    C

    D

    P

    B

    3α4α

    11αA C

    E

    B

    α

    A

    C

    α

    BA

    E C

    2x

    α

    x

    A

    B

    C

    E

    P

    30º   20º

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

    14/31

    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

     A) !1 B) 41   C !&

    D) &1 ") $

    2!) So-re el cateto BC  de un tri'nulo rect'nulo ABC se construye el tri'nulo equil'tero B5C.Calcular la distancia entre los puntos ediosde los lados

    B5 y  AC , si

     A5 ide 12.

     A) 12 B) # C) D) % ") !

    24) Se tiene un tri'nulo is*sceles ABC donde AB BC  . "n el e8terior y relativo el lado BCse considera el punto ", de odo que la( BA") ( BC")∠ = ∠ = α ,  A"   interseca a BCen el punto /. allar el valor de ? α @ si: A/=C" y la ( "AC) 26I∠ = . A) 6I B) 4&I C) $6ID) &&I ") #I

    SEMEJAN(A Y %RO%ORCIONA"IDADEJERCICIOS #II)

    1. "n un tri'nulo ABC se traJa la -isectriJinterior B5 . Si AB=&, BC=$ y AC=, el valor de A5, es: A)1

    los lados  AB  y BC respectivaente y la altura

    relativa al lado  AC   ide 16, entonces la

    distancia del vNrtice B a /0 , es: A)4 B)& C)D)# ")!

    4. "n un tri'nulo ABC se traJa la -isectriJ B/(/ en  AC ), en BC  se u-ica el punto 0 tal quela ( B/0) %6I∠ = ; B0=2(0C)=4 y la( ABC) 126I∠ = . Calcular AB.

     A)2 B)! C)4D)& ")

    &. Sea un ∆ ABC cuyo lado BC ide y laaltura  A  ide 4. allar la lonitud del ladodel cuadrado inscrito que tiene uno de suslados en el lado BC del tri'nulo.

     A) 2 B) 2,1 C) 2,4D) 2,& ") !

    . Se da un tri'nulo ABC cuyos lados BC  y  ACiden 16 y # respectivaente. 5or un punto Dde  AB  se traJa D"  paralelo a  AC , de odo

    que D"="CB", (" en BC ). allar "C. A) B) $ C) ,4D) !,2 ") ,&

    $. "n un trianulo ABC los lados  AB   y BCiden $ y %. respectivaente, allar AC si elseento que une el -aricentro con elincentro es paralelo a dico lado. A) 1 B) & C) #D) ") %

    #. # es la distancia entre los pies de lasperpendiculares traJadas desde los vNrticesopuestos de un rect'nulo so-re la diaonalque une los otros dos vNrtices. Si el ladoenor ide #. allar la lonitud del ladoayor del rect'nulo. A) ! B) &   ! C) #   !

    D)   ! ") %   !

    %. "n un tri'nulo ABC, por un punto D de  ABde traJa una paralela a BC , la cual interseca

    en " a  AC . Si BC = 24, D" = % y AB = 1, ladistancia de A a D, es : A) B) # C) $D) % ") &

    16. Sea el tri'nulo ABC y sean D y " puntos de

    los lados  AC   y  AB   respectivaente. "n laprolonaci*n de  AC  se u-ica el punto 5, de

    odo que "5   interseca a BC  en el punto L,

    DL   ico, D" = 1  y ".=! , deterinar elvalor de la edida del seento C

    14

     A

    L

    B

    CD "

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

     A) 16 B) 11 C) 14D) 12 ") 1!

    14. "n un tri'nulo ABC, / es punto edio de

     AC . Se traJa D"  paralela a  AC , D   AB∈ , "

    BC∈ , de odo que, D"  interseca a B/  enel punto 5, ( ∠ BAC) = ( ∠ B/"). allar D",si B5 = % y 5/ = 4 . A) 12 B) # C) 16D) ") 1&

    1&. "n un tri'nulo ABC se traJa la -isectriJinterior BD   y en BC   se u-ica el punto " tal

    que D" < < AB . Deterinar la edida de BC ,

    si D" = !  y BC = !(AB) .

     A) 14 B) 16 C) %D) 12 ") 11

    1. "n la >iura, si AB = DC = 12, A/ = /D yB0=0C, el valor de /0, es:

     A)4B)C)1

    D)&")2

    CONGR!ENCIA Y SEMEJAN(AEJERCICIOS

    1) Dado el tri'nulo ABC, AB=, BC=#, AC=$, enla prolonaci*n de AC  se u-ica el punto , por el incentro y por se traJa un seento queinterseca al lado BC  en ", ade's S es el pie

    de la -isectriJ interna BS   de anera queSC=C. Calcular B".

     A) .4 B) #.4 C) $ D) ") .2

    2) "n un trianulo, las lonitudes de los ladosest'n en proresi*n aritNtica. Calcule laraJ*n entre el inradio y la lonitud de la alturarelativa al lado interedio. A) 1

     A) # B) % C) 12 D) $ ") &4) "n un trianulo ABC se traJan las cevianas

     A5 y B9  las cuales se intersecan en .

    Si A9 C5 1

    9C 5B 2= =   Calcular

    B

    99 A) B) & C) 12D) # ") 4

    &) Se tiene un tri'nulo acut'nulo ABC, dondeel 'nulo ABC ide &!o  y la distancia delcircuncentro a un vNrtice es 16. Calcular lalonitud del seento deterinado por lospies de las alturas traJadas desde C y A.

     A)4#

    &  B)

    4#

    $  C)

    4

    D)44

    &  ")

    4$

    $  .

    ) "n un trianulo acut'nulo ABC, BC=1&. SetraJan las alturas  AL   y BL . Si BL= y5C=16, deterinar A5. A) !.& B) 4 C) 4.&D) & ") &.&

    $) Se tiene un tri'nulo ABC, en el cual se traJalas cevianas interiores CF  y AL , de tal anera

    que FL

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    5 y 9 respectivaente, de odo que B5 = 26, B9 = !6 y A5 + 9C =22 . Calcular 59. A) 1& $   B) 26 $   C) 16 $  

    D) 22 $   ") 1# $

    1!) "n la >iura se sa-e que: !AB 2B" ,BC BD  y D" = %. Calcular AC.

     A) 4,&B) !C) 4D) ") #

    14) "n un tri'nulo ABC, la ediana AM  intersecaa la ceviana BR  en el punto L. Si A = 2C y A/ = 16. allar el valor de L/. A)! B)2 C)4D)1 ")!iura!" BCN# !" BAC# !" ABC#∠ = ∠ + ∠   y BC BN 3$= = ,

    2 AC = ,  A0 = , +∈:D , Calcular laedida de C0

     A)2

    D!

    B)!

    D4

    C)2

    D&

    D)!

    D2

    ")2

    &) "n la >iura, el valor de 8, es:

     A) !B) 2C) &

    16

    αα

     A

    B

    L

    C

     A

    B

    CS

    95

     A D E

    B

    C

    α

    α

    - a

    n

    c

     A B

    C

    0

    x

    2 6

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    D) ") 4

    ) "n un tri'nulo rect'nulo los cuadrados de laslonitudes de sus catetos son proporcionales alos nFeros % y 1, respectivaente. Si laaltura relativa a la ipotenusa ide 4,# c,

    entonces la sua de las edidas de suscatetos, es: A)$c B)16c C)14cD)1c ")12c

    $) "n un tri'nulo ABC, allar la edida del'nulo A, sa-iendo que entre las lonitudes desus lados correspondientes se cuple

    -c2c2-2a   −+=

     A)4&I B)6I C)$&ID)!6I ")&&I

    #) "n un tri'nulo ABC recto en B, AB=12 yBC=%. calcule la lonitud de la -isectriJtraJada desde A. A)   16 B)4   16 C)2   16

    D)!   16 ")&   16

    %) "n un tri'nulo ABC, la altura BH  ide y laedida del 'nulo ABC es 4&I. a recta de"uler es paralela al lado  AC . allar ladistancia del circuncentro al vNrtice A. A)4   ! B)   2 C) 2   !

    D) 2   2 ")2

    16) "n la >iura, el valor de 8, es:

     A) !B) 4C) &D) ") $

    11)os lados de un tri'nulo iden $, # y %.

    "ncontrar la edida de la ediana relativa allado que ide #. A) # B) C) &D) 4 ") $

    12) Se tiene un tri'nulo rect'nulo 59, con'nulo recto en 9; A y D son puntos del lado

    5: , B y C son puntos de los lados 59 y 9

    respectivaente, tal que ABCD es uncuadrado. as distancias de A a 59 , de D a

    9  y de 9 a BC , son respectivaente 8 , y ,J, de odo que se cuplen las relaciones:

    2 2 21 1 1 2

    %8 y J+ + = , 8 y J = $2. allar el

    per3etro del cuadrado ABCD.

     A) !2 B) 46 C) 26D) ! ") 4#

    1!) "n un tri'nulo rect'nulo ABC, con'nulo recto en B, se traJa la -isectriJ interior 

    BD , D  AC∈ , donde AD = 2 y DC = !. allar lalonitud de la proyecci*n ortoonal de la

    ediana B/  so-re  AC , /  AC∈ . A)

    2&

    2B)

    2&

    1!C)

    1&

    1!

    D)1&

    2")

    12

    1! 

    14) a sua de las lonitudes de los catetosde un trianulo rect'nulo es 1$, el productode la lonitud de la ipotenusa por la lonitudde la altura relativa a la ipotenusa es 6.Calcular la lonitud de la ipotenusa. A) 1! B) 12 C) 1D) 14 ") 1

    1&) Se tiene un tri'nulo ABC, donde AB = %,BC = $ y AC = 4. allar la lonitud de laproyecci*n ortoonal del lado BC  so-re  AC . A) 2 B) ! C) 1D) 4 ") &

    1) Se tiene un tri'nulo ABC, donde AB = c,BC = a y AC = -, tal que se cuple &a2 + # -c = &( -2  + c2 ). allar la edida del 'nuloBAC. A) !$M B) 4&M C) &!MD) 6M ") 46M

    1$) os lados de un tri'nulo iden 1! c, 1&c y 14 c . Calcular la lonitud de la alturarelativa al lado que ide 14 c. A) 12 c B) 16 c C) # cD) c ") & c

    1#) "n un trianulo rect'nulo ABC recto en Bse traJa la -isectriJ interior BD   y la ediana

    B/ . si BD=D/ y AB.BC=1, el valor de AC,es: A) # B) 2 C) D) 4 ") !

    1%) as -ases de un trapecio iden 4 y 16sus diaonales iden 1! y 1&. "ncontrar lalonitud de su altura. A) $ B) 12 C) #D) 16 ") %

    26) "l trianulo ABC es o-tus'nulo, o-tusoen C y sus lados iden a, -, c. allar laedida del 'nulo en C, si se cuple que :

    4 4 4 2 2 2 2a - c 2a c 2- c+ + = + A) 12I B) 1!&I C) 16ID) 1&I ") 1!4I

    21) "n un tri'nulo rect'nulo ABC, recto enB, se prolona la -isectriJ interior del 'nulo Aasta el punto ", de odo que

    R( A"C) = %6I . "n el tri'nulo A"C se traJa

    17

    16

    1

    $8

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    la altura ". . Deterinar la edida del

    seento "C , si: .C=1  y  AB = $ . A) & B) 1 C) 4D) 2 ") !

    22) "l lado  AC de un tri'nulo ABC ide # ,

    se traJa la -isectriJ interior BD   y la ceviana

    interior  AL   que son perpendiculares,intersec'ndose en el punto " ∈ ∈(D AC, L BC)

    , si: 2 2 2(A") + ("C) = 46c . Deterinar la

    lonitud del seento " , si este es paralela a

    BC  y ∈ AC .

     A) 4 B) 2 C) ! D) & ") 1

    2!) os lados de un trianulo iden %, $ y ."ncontrar la lonitud de la ayor ediana. A) $ B) 2 14 C)

    D) & ") 2   $

    24) a proyecci*n del lado CD   de unro-oide ABCD so-re la proyecci*n del ladoAD  ide 2 , si A/=16 , /D=# , siendo /punto edio de BC . Calcular BC. A)% B)# C)12 D) ")16

    2&) Dado un trianulo ABC, se cuplea2=-2+c2+1,-c. Calcular la edida del ayor 'nulo interior del trianulo.

     A)146I B)14#I C)14!ID)12I ")1!4I

    2) "n un trianulo ABC, se traJa la ediana

     A/   que ide &. Calcular la distancia del

    punto / al lado  AB , si AB=# y AC=.

     A)2

    2!

      B)!

    !2

     C)

    D) & ") 2   &

    2$) "n un trianulo rect'nulo ABC, recto enB se traJan las edianas perpendiculares  A/

    y B0   las cuales se intersecan en , tal que/=!, calcule AC. A) % 2   B) !   C) 2

    D) & ") 2   &

    2#) a -ase de un tri'nulo ide 26, la alturatraJada a esta -ase divide en dos seentoscuyas edidas se di>erencian en #. Si ladi>erencia de las edidas de los otros doslados es 4. Calcular la lonitud de ayor ladodel tri'nulo. A)2 B)1# C)22

    D)1 ")26

    2%) Calcular la lonitud del seento de la-isectriJ interior traJado del vNrtice del 'nulo

    recto de un trianulo rect'nulo sa-iendo queella deterina en la ipotenusa dos seentosde lonitudes a y -; ade's a2-2=2(a2+-2). A) B)# C)2D)& ")4

    !6) os catetos de un tri'nulo rect'nuloiden 1& y 26. Calcular la lonitud de la alturarelativa a la ipotenusa. A) 16 B) 11 C) 12D) 1! ") %

    !1) as lonitudes de los lados de un tri'nuloson AB = 46erencia y un

    seento de recta tienen la isalonitud entonces son equivalentes.

     A)TLLT B)TLLL C)LLTTD)TTTT ")TTTL

    !. Dadas las siuientes proposiciones, indicar con ?T@ si es verdadera y con ?L@ si es >alsa:I) a intersecci*n de dos planos es un

    seentoII) "l interior de una circun>erencia es un

    c3rculo.III) "l vNrtice de un 'nulo es un con]unto

    conve8o.I') Dos seentos equivalentes son

    conruentes A)LTLT B)LLTT C)LLLTD)TLLT ")LLTL

    4. Dadas las siuientes proposiciones. indicar con ?T@ si es verdadera y con ?L@ si es >alsa:I) a intersecci*n de dos con]untos no

    conve8os puede ser un con]unto conve8o.

    18

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    II) Si a una rei*n trianular ABC, se lee8traen los vNrtices A, B y C, entonces larei*n resultante es un con]unto conve8o.

    III) a intersecci*n de dos reionestrianulares es un con]unto conve8o.

    I') Si a una rei*n trianular se e8trae unaaltura el con]unto resultante puede ser conve8o.

     A)LTTT B)TTTT C)TTTLD)TTLT ")LLTL

    &. Sean los puntos colineales y consecutivos A,B y C tal que  AB AC 1#,+ =   lueo se toa elpunto edio / del seento BC.   Calcular  A/. A) 16 B) # C) % D) 1# ") 1

    . Sean los puntos colineales y consecutivos A,/, B y C tal que / es punto edio de  AB , AB./C AC.BC=   y AB=#. allar la lonitud del

    seento BC .  A) 2 2 B) 4 2 C) 4 D) 2 E) 8

    $. "n una recta se u-ican los puntosconsecutivos A, B, C y D de odo que (AB)

    (AD)=&(BC)(CD) y8 y J

    CD AC AB+ = . "l valor de

    8 y J+ + , es:A) 13 B) 10 C) 12 D) 11 E) 9

    #. "n una recta se u-ican los puntosconsecutivos A, B, C y D; tal que

     AB.CD 8.BC.AD=  y^ 8 1

     AC AB AD

    = + , Calcular: ^ 8+

    A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 6

    %. Sean los puntos C, 5, y colineales yconsecutivos, tal que (C5)() (5)(C)=   y 5 1

    (5)() 4

    −= , la edida de C . "s:

    A) 1 B) 1*2 C) 2 D) 4 E)8

    16. Sean los _puntos colineales y consecutivos A,B, C, D y "; tal que  AC AD B" C" &2+ + + = ,&BD ! A"= . Calcular A".A) 13 B) 14 C) 16 D) 26 E) 20

     11. Calcular la di>erencia de las edidas de dos

    'nulos sa-iendo que la sua de susedidas es iual a 6M y el duplo delsupleento de uno de ellos es iual al tripledel copleento del otro.A) 46° B) 44° C) 42° D) 38° E) 48°

    12. Sean los 'nulos consecutivos AB, BC yCD, se traJan las -isectrices G  del 'nulo AB y K  del 'nulo CD. Si la edida del'nulo AC es 2&I y la edida del 'nuloGK es 4&I, entonces la edida del 'nuloBD, es: A) 6I B) 4&I C) &ID) $6I ") !6I

    1!. os 'nulos AB y BC son consecutivos ycopleentarios. /, 0, 5   son -isectricesdel  AB, BC, /0R R R , respectivaente.Calcular la 50R . A) !6I B) 22,&I C) 2&ID) 4&I ") 26I

    14. "n la rei*n interior del 'nulo recto AB setraJan los rayos "  y L  de anera que los'nulos A", "L y LB son consecutivos,si "B AL 12&I+ =R R , entonces la edidadel 'nulo "L, es: A) !&I B) 4&I C) &&ID) &I ") $&I

    1&. os 'nulos AB y BC >oran un par linealy se di>erencian en 6I. Se traJan las-isectrices 5   y K   de dicos 'nulosrespectivaente;   es -isectriJ del 'nulo5K. Calcular BR .

     A) %I B) 16I C) 12ID) 1&I ") 1#I

    1. Dos 'nulos cuyos lados son respectivaenteperpendiculares, uno es audo y el otroo-tuso; entonces, dicos 'nulos son:) Copleentarios) puestos por el vNrtice) AdyacentesT) Supleentarios.T) 0ecesariaente consecutivosa a>iraci*n verdadera, es: A) B) T C) T

    D) ")

    1$. Sean los 'nulos consecutivos AB, BC,CD y D", tal que B  es -isectriJ del  ADR

    , C   es -isectriJ del B"R ,! CD 2 D"=R R , si el 'nulo "B esaudo, allar el '8io valor entero de ABR

     A) &I B) 2I C) $6ID) #I ") #4I

    1#. Se tienen los 'nulos consecutivos AB. BC

    y CD, tal que( AB) ( CD)

    ∠ + ∠ = α .Calcule la edida del 'nulo que >oran las-isectrices de los 'nulos BD y AC.

     A)#

    αB)

    αC)

    2

    α

    D)4

    α")

    !

    α

    1%. os 'nulos AC y BC soncopleentarios donde ( BC) (AC)∠ < ; si

    se traJa la -isectriJ G   del 'nulo AB, elc'lculo de la edida del 'nulo CG, es: A)1&I B)4&I C)&I

    D)!6I ")2&I

    26. n 'nulo ide la itad de su copleento yel otro 'nulo ide 1

    19

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    Calcule el supleento de la sua de lasedidas de dicos 'nulos. A)#6I B)166I C)116ID)$&I ")16&I

    21. Se tiene los 'nulos consecutivos AB, BCy CD; se traJan las -isectrices G , K   y

      de los 'nulos AB, CD y GKrespectivaente. allar ( B)R , si(BK) ( AG) 2− = θR

     A) θ

    copleento es iual a los 4erencia que e8iste entre el supleento y elsupleento del supleento del iso 'nulo.allar la edida del 'nulo. A) #6I B) #&I C) %6ID) $6I ") $&I

    2. "l supleento de la sustracci*n delsupleento y el copleento de un 'nulo esiual al copleento de la sustracci*n entreel copleento del copleento y elsupleento del iso 'nulo. Calcular laedida dico 'nulo.

     A) $6I B) 126I C) #6ID) %6I ") 166I

    2$. Calcular el ayor valor entero que puedetoar uno de los lados de un tri'nulo cuyoper3etro es 26. A) B) $ C) # D) % ") 16

    2#. Si los 8erencia de las edidas de dos 'nulosadyacentes es 26M. allar la edida del'nulo que >ora el lado coFn con la-isectriJ del 'nulo >orado por las-isectrices de los dos 'nulos adyacentes. A) 16M B) 1&M C) &MD) 1$M ") 26

    !1. "n la >iura, si "C = 16 y "L = , "l valor de AD, es:

     A)B)&C)#D)16")4

    !2. Se tienen los 'nulos consecutivos AB, BC

    y CD. Si( AB) 1$IR   =

      y( CD) 4!IR   =

    ,calcular la edida del 'nulo >orado por las-isectrices de los 'nulos BC y AD. A)1!I B)!6I C)1#ID)2I ")2$I

    !!. Se tienen los 'nulos consecutivos AB, BCy CD lueo se traJan las -isectrices G ,

    K  y  de los 'nulos AB, CD y GK

    respectivaente. allar la (∠ AB) si( GC) ( GD) 4( B) #6I+ − =R R R

     A) 46M B) &6M C) 4&M

    D) 26M ") !6M!4. "n la >iura, el ∆ ABC es equil'tero, DA 4= ,

    DC != . Calcular el '8io valor entero delper3etro del tri'nulo ABC.

     A) 1#B) 1%C) 26D) 21") 22

    !&. "n un tri'nulo ABC, la edida del 'nulo

    e8terior en A es 12I y las edidas de los'nulos interiores en A y C est'n en larelaci*n de ! a 4. UDe que tipo de tri'nulo setrataV

    20

     A

    B C

    D

    E

    B

    D

    θ

    A C

    F

    θ

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

     A) "scaleno B) ect'nuloC) s*sceles D) "quil'tero") -tus'nulo

    !. "n un tri'nulo rect'nulo ACD recto en C,so-re el lado  AC  se considera el punto B, deodo que BC 2 AB= ×  y 2 2(AD) (BD) 4&− = . allar 

     AC. A)16 B) C)12D)% ")14

    !$. "n la >iura, BD  es -isectriJ del 'nulo ABC yB/   es ediana relativa a la ipotenusa.Calcular A"BR .

     A) &!IB) !$IC) 6ID) !6I

    ") 4&I

    !#. En ! "#$%&!' (!!& ) *!+& ,) -x y/ # n

     A) $B) 16C) D) &") 12

    !%. "n la >iura, allar ?8@ si ECBD   ;ENDN   ; %MCBM

     

     A) !6IB) !$IC) 46ID) 4&I") &6I

    46. "n un tri'nulo ABC se traJa la ceviana B/ talque &MCAB  lueo se traJa /0 tal que 0est' so-re BC. Si el

    &º40#BMN"!#A"!   allar laedida del 'nulo AB/.

     A) $6I B) 46I C) !6I

    D) 4&I ") 6I

    41. "n un tri'nulo rect'nulo ABC recto en B setraJan la ediana B/ y la ceviana interior CDlas cuales se cortan en 0 tal que

    NM%BN   allar D/ si 16%CD   A) 4 B) C) #D) 16 ") 12

    42. "n la >iura siuiente se pide allar B si:&10AP  &8AH  40BC

     

    y

    %MCAM 

     A) 26B) 22C) 24D) 2&") 2

    4!. "n un tri'nulo rect'nulo ABCBC#&AB()0ºB#"!"   so-re la

    ipotenusa se toa un punto D de odo queAB&CD

      si las ediatrices de BC y AD secortan en 9. Calcular el 'nulo AC9 sa-iendoque el 'nulo BAC ide 4I.

     A) 26I B) 22I C) !2ID) 4I ") 2I

    44. So-re el lado BC de un tri'nulo ABC, setoa el punto 9 , siendo %CQAB  asediatrices de BQ  y AC  se intersectan en?@ situado en el e8terior del tri'nulo. allar la edida del 'nulo C9, si el 'nulo ACBide 26I. A) 16I B) 26I C) 1&ID) !6I ") 2&I

    4&. "n un tri'nulo ABC, º45#A"!   y

    º%53#C"!   Calcular el valor de BC si

    %14AC 

     A) # B) 16 C) 12D) % ") 11

     4. "n a-os lados de una recta L  se toa los

    puntos A y B, sus proyectantes iden ! y #, laproyecci*n de AB  so-re la recta L  ide 16.

    Calcular AB .

     A) 1! B) 221 C) 11

    D) 4 7 ") 2 )1

    4$. os catetos de un tri'nulo rect'nulo iden2 y !. allar la relaci*n de sus proyeccionesso-re la ipotenusa.

     A)4

    )B)

    2

    3C)

    1)

    4

    D)7

    )")

    10

    )

    4#. "n los cuadrados de la >iura, calcular BL, si2 2

    AB F* 8=  

     A) 12

    B) 24C) D) 4") #

    4%. os radios de dos circun>erencias iden ! y &,la distancia entre los centros es 12. allar lalonitud de una de las tanentes counesinteriores. A) 2 5 B) 5 C) 4

    D) ") 4 5 

    &6. "l -aricentro de un tri'nulo ABC es el punto?L@, de odo que AF  y la ediana BM  sean

    21

     A

    B

    C/D

    "

    2x 2

    n

    2x 2

    3x 1

    3

    4

     y

    A

    D

    B

    NM

    +

    E

    Cx

    º80

    A

    B

    P

    C

    E

    MH

    A   D   E

    B   C

    *   F

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

    22/31

    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    perpendiculares, se traJa FN  perpendicular a

    AC . Calcular BL, si AN 8  y NM 1. A) 2 B) ! C) 4D) ") &

    &1. "n la >iura, si AB=BC; A"=CD y B"=BD,entonces el valor de ?8@, es:

     A) 26IB) 2&IC) 1#ID) !6I") 4&I

    &2. "n un tri'nulo ABC, se traJa la ediana  A/ ,allar la distancia del vNrtice B a la ediana,si la distancia del punto edio 0 de  AC  a laediana es 2c. A) 2 B) ! C) &D) ") 4

    &!. "n un tri'nulo rect'nulo ABC recto en B, setraJa la ceviana interior AF   y la altura BH .Calcular BC, si: AF FC HC 1= = . A) 2 B) 3 2 C) 2

    D) 2 1 ") 3 2 1

    &4. "n un tri'nulo rect'nulo ABC recto en B, setraJa su altura BH , lueo se traJan HE  y HFperpendiculares a los lados AB   y BC .Calcular B", si AE 1 y FC 8 .

     A) 1 B) 2 C) 4D) & ")

    &&. os lados de un tri'nulo iden $; %; 16.allar la lonitud de la proyecci*n del lado queide $ so-re el lado que ide 16. A) 2,4 B) !,4 C) 4,2D) 2, ") !,2

    &. "n la >iura B/ y C0 son edianas, B5 esaltura. Calcular el per3etro del ∆/05. Si AB=, BC=$ y AC=&.

     A) ,B) &,#C) D) 4,&") $,#

    C!ADRI"TEROSEJERCICIOS

    1. "n un trapecio ABCD BC iura, ABCD es un trapecio B9=1 c,9C=! c, AD= c, 0 punto edio de /  y A/=/D, calcular 09. (en c)

     A) 1,&B) &

    C) !D) 2,&") 1

    $. Se tiene un cuadril'tero conve8o, cuyasdiaonales iden 14c y 26c.Considerando coo vNrtices los puntosedios de los lados se construye un nuevocuadril'tero conve8o, cuyo per3etro es: A)26c B)1$c C)!4cD)!&c ")14c

    #. Se tiene un cuadril'tero conve8o ABCD,

    donde AB = 16 c,  AC  es -isectriJ del 'nuloBAD, el 'nulo ACD es recto y (∠ ADC) =$&M. "n el lado BC  se u-ica el punto edio "

    22

     A

    B

    C

    D

    "

    1#I

    B

     D

     C

     A

      0

     /

     9

     A

    B

    C

    "

    D!8I

    48I

    A

    B

    N

    MPC

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

    23/31

    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    y L es un punto de  AD , tal que AL = c yLD = 1# c. a edida de "L   en cent3etros, es: A) 11 B) C) 16D) % D) 12

    %. Se tiene un rect'nulo "BL, D es un punto

    de " , C es un punto de L  y A es un puntoe8terior del rect'nulo "BL relativo al ladoB" , tal que el cuadril'tero ABCD es uncuadrado. Si BL = 1# c y la distancia delpunto A a "   es 14 c. entonces, ladistancia en cent3etros del centro delcuadrado ABCD a B" , es: A) 2 B) & C) 4D) 1 ") !

    16. Se tiene un cuadrado ABCD, / y 0 sonpuntos edios de los lados BC   y CD

    respectivaente. Se traJa la recta  A" , " /C, tal que las distancias de / y 0 a dica rectason & c y 14 c respectivaente. allar ladistancia en cent3etros del vNrtice C a larecta  A" . A) B) # C) &D) $ ") 16

    11. "n un paralelorao ABCD, AB=&, las-isectrices interiores de los 'nulos en B y Cse intersecan en un punto del lado AD . allar el per3etro del paralelorao. A)26 B)!6 C)2&

    D)!& ")46

    12. "n la >iura, ABCD es un cuadrado. SiB/=/A=A0=0D=D5=5C, el valor de 8, es:

     A) !6IB) 4&IC) !$ID) 2,&I") 1#,&I

    1!. "n un cuadril'tero ABCD, (∠BAD)=%6I,(∠ ABC)= (∠BCD)=6I, si 2AB BC #= , elvalor de CD, es: A) B)% C)16D)$ ")#

    14. "n un trapecio rect'nulo ABCD,(∠BCD)=(∠CDA)=%6I, AB=16 , CB=! ,(∠BAD)=6I, / es punto edio de CD , por C se traJa una paralela a B/  que interseca ala prolonaci*n de AD  en 5. Calcular A5. A)1! B)12 C)14 D)11 ")1&

    1&. "n un ro-oide ABCD, se traJa BHperpendicular a AC   tal que

    (∠ AB)=2(∠DC), si B = # y C =2A, el valor de D, es: A)1 B)12 C)14 D)1& ")1#

    1. "n un paralelorao ABCD, las -isectrices delos 'nulos BAD y CDA se intersecan en el

    punto 5 de BC , lueo se traJa PHperpendicular a AD  si B5 = 25. Deterinar la edida del 'nulo DC5. A)!6I B)26I C)4&ID)!$I ")6I

    1$. "n un ro-oide ABCD (ABYBC), lasediatrices de los lados  AB   y BC se

    intersecan en un punto 5, situado en laprolonaci*n de  AD . Si R( ADC) = 12&I , la

    ( 5CD)R , es: A) 14I B) 26I C) 2&ID) 1&I ") !6I

    1#. "n la >iura: ABL y BC9 son cuadrados. Si/ es punto edio de 9  y AC=#, la distancia

    del punto / al lado  AC , es:

     A) 1 B) 2 C) 4D) & ") !

    1%. "n un paralelorao ABCD las diaonales seintersecan en . Se considera / punto ediode C . a prolonaci*n de B/   interseca a

    CD  en 0. Si /0 = &, el valor de B/, es: A) & B) 16 C) $,& D) 1& ") 2,&

    26. Dado un cuadrado ABCD cuyo centro es , en

    CD  se u-ica el punto /; en la prolonaci*n

    de B/  se u-ica el punto 0, tal que B/=/0, 0

    dista de AD   unidades y AB = #. Calcular /. A) & B) ! C) 3 2D) $ ") 4

    21. "n la >iura, si AB=BC, /D=2(A/), B=# yCD=16, el valor de /0, es:

     A) 2B) 4C) D) #

    ") %

    23

    A

    B C

    D

    x

    /

    0

    5

     A

    BL

    C

    9

    /

    A

    M

    D

    B

    N

    CH

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

    24/31

    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    22. "n un trapecio ABCD BC ,,AD# , BC 6= ,AD 8= . si ! ADC 2∠ = θ , ! ABC )0º∠ = + θ, entonces el valor de CD, es: A)1 B)! C)2 D)4

    ")&

    2!. "n la >iura, `E/0 es un cuadrado y

    E/E = . "l valor de θ, es:

     A)6IB)!6IC)&!ID)4&I")!$I

    24. "n un trapeJoide ABCD, ∠ =!" A# )0º ,∠ =!" B# 60º   y ∠ =!" D# 75º , AB BC≅ . "l

    valor de ! BDC∠ , es: A)4&I B)1&I C)6ID)!6I ")!$I

    2&. "n la >iura, el valor de 8, es:

     A)6I B)$6I C)$2ID)#2I ")$&I

    2. "n la >iura ABCD es un ro-oide, si+P 2%CD= , el valor de 8, es:

     A)!6I B)2&,&I C)4&ID)22,&I ")!$I

    2$. os lados del trapeJoide siNtrico iden y#, la diaonal ayor ide 12. Calcular lalonitud del seento que une los puntosedios de las diaonales. A)2 B)1 C)$iura, ABCD es un ro-oide. SiBC 7= y CD 5= , el valor de B/, es:

     A)1 B)! C)4D)2 ")&

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

     A)!6IB)26IC)4&ID)&6I")6I

    2) "n la >iura. Si es centro de lacircun>erencia, el valor de 8, es:

     A)!6 B)2& C)24 D)26 ")!&

    !) "n la >iura, el valor de 8, es:

     A) 26IB) !6IC) !ID) 4&I") !&I

    4) "n un cuadril'tero conve8o ABCD, en loslados  AD y BC   se u-ican los puntos " y Lrespectivaente, de odo que ABL" y "DCLson cuadril'teros circunscritos a lascircun>erencias C1  y C2  respectivaente. Si AB + CD = 46 c y BC + AD = $ c,entonces la lonitud de "L , es: A) 1# c B) ! c C) 2 c D) 12 c ") 1%

    c&) "n el cuadrado ABCD, / y 0 son puntos de

    tanencia. Calcular 8.

     A) 46MB) !&MC) 4&M

    D) !6M") 2&M

    ) "n la >iura, A y C son puntos de tanencia.a edida del arco "C, es:

     A) 4&M B) !6M C) 46M D) !&M ") &6M

    $) Se tiene un cuadril'tero ABCD circunscrito auna circun>erencia, de odo que 5, 9, y Sson puntos de tanencia en los lados  AB , BC

    , CD   y  AD   respectivaente. / y 0 sonpuntos edios de los arcos 59   y Srespectivaente. Si " es un punto del arco9 y (∠ BAD)7(∠ BCD) = 6M, la edidadel 'nulo /"0, es: A) $&M B) #6M C) 6MD) 4&M ") &&M

    #) "n la >iura, deterinar el valor de 8

     A) !6I B) 2$I C) 2%I D) 2&I ") 4&I

    %) "n un trianulo acut'nulo ABC; 0, y 5 sonpuntos de tanencia con la circun>erencia

    inscrita de los lados AB   BC   y CArespectivaente, y la circun>erencia e8inscritarelativa al lado AC  es tanente en 9 y a las

    prolonaciones de BA   y BC   e n / y S ,respectivaente. Si A0=2 y A/=!, el valor de AC, es: A)& B)2 C)4 D)$ ")

    16) "n la >iura, deterinar el valor de 8

     A) !6I B) 2&I C) 2%,&I D) 2&,&I ") 22,&I

    11) "n la >iura, es el centro de lacircun>erencia, / = /0. Calcular la edidadel arco AB.

     A)1!IB)12IC)14ID)1&I")1I

    12) "n la >iura, Si -!AB 100º , el valor de θ , es:

     A) 46IB) $6IC) &&ID) 4&I") #6I

    1!) "n la >iura. A, B y D son puntos de tanencia,el arco A"D ide 26M, calcular 8.

    25

     A

    C

    "   &6M

    !88

    Q

    8Q

     A

    B

    / 0!$I

    G

    1&I

    2&I

    A

    B

    C

    xD

    E

    3xx

    5

     A

      x 

    Ax A

      B C

      D

      /

      0

    .

    A

    B

    θ

    θ

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

     A) &6I B) 46I C) !6I D) 26I ") 4&I

    14) "n la >iura, si ( DA")   θR , ( BAC) 4θR ,entonces el valor de θ , es:

     A) !6I B) 46I C) &6ID) 6I ") 4&I

    1&) "n la >iura, si ( ABC) $6I=R   y-(BD) !6I= ; entonces la /(B"C) , es:

     A)1&6I B)146I C)1$6ID)116I ")1#6I

    1) "n la >iura, si A5=9C=r, el valor de 8, es:

     A) %6I B) 1&6I C) 126ID) 166I ") 116I

    1$) "n la >iura, si AB=BC=2, entonces el valor der, es:

     A) &iura, si AB=BC="D, el valor de 8, es:

     A)166IB)1&6IC)126ID)146I")1!&I

    1%) "n la >iura, si AB=16, BC=12 y CD=&, el valor de AD, es:

     A)4 B)$ C)&D) ")!

    26) "n la >iura, 5 y son puntos de tanencia.Si AB = %, BC = 1& y AC = 1#, el valor de 5C,es:

     A) 21B) 22C) 26D) 2!") 1%

    21) "n la >iura  AB   es di'etro de la

    circun>erencia. Si -   -=(CB) (BD)   y

    (∠ ABC)=&4I, calcular la (∠ A5B).

     A) 1#IB) 22IC) 1$ID) !4I") 2#I

    22) "n la >iura, y " son puntos de tanencia. iura, si / AB 12I= , / CD 2I= ,

    entonces el valor de 8, es:

     A) 6IB) &2IC) 2ID) &&I") &!I

    EJERCICIOS

    26

    A

    B

    CE

    D

    C

    "

     A

    B

    D

     A BC

    "

    8

    8

    B

    C

    D

     A

    8

     A

    B

    C

    5 9

    8

     A

    B

    C

    4&I

     A

    B

    C

    D"

    8

    #6I

     A

    B

    C

    D

     A

    B

    C

    5

     A

    B

    D

    C5

  • 8/17/2019 Cepru Parte Propuesta 2014 _2

    27/31

    B

    95

     C

     A  D

    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    &$. UCu'l o cuales de las siuientes a>iracionesson correctasV) Dos Circun>erencias son concNntricas si

    tienen el iso centro.) a distancia entre los centros de dos

    circun>erencias interiores es ayor que ladi>erencia de las lonitudes de sus radios.

    ) Dos circun>erencias son secantes cuandose intersecan en un solo punto

    T) a distancia entre los centros de doscircun>erencias tanentes interiores esiual a la sua de las lonitudes de susradios.

    T) "n todo cuadril'tero inscrito en unacircun>erencia, la sua de las lonitudesde dos lados opuestos es iual a la suade las lonitudes de los otros dos.

     A) Solo B) , T y T C) S*lo TD) , y T ") y T

    . Se tiene un cuadril'tero conve8o ABCD,donde los 'nulos ABC y ADC son rectos. Siel seiper3etro del cuadril'tero ABCD es !6c y AC = 22 c entonces, la sua de laslonitudes de los inradios de los tri'nulo ABCy ADC, es: A) # c B) 16 c C) $ cD) c ") % c

    &%. Se tiene dos circun>erencias tanentesinteriorente en D, la circun>erencia enor contiene al centro de la circun>erencia ayor,

    se traJa una cuerda AC  de la circun>erenciaayor que es tanente a la circun>erenciaenor en B, s i AB = % y BC = # .Deterinar BD. A) B)   2   C)4   2  

    D)& ")&   2  

    6. os radios de dos circun>erencias tanentese8teriores iden %u y 4u. Calcular la lonitudde la tanente coFn e8terior a las doscircun>erencias. A)1&u B)12u C)&uD)1!u ")u

    1. n tri'nulo equil'tero ABC est' inscrito enuna circun>erencia. "n el arco enor AB seu-ica un punto 5, tal que 5A = ! c,5B = 4 c. allar 5C. A) $ c B) & c C) # cD) c ") % c

    2. "n dos circun>erencias concNntricas cuyosradios iden ! y &. "n la circun>erencia ayor se traJa la cuerda  AD  que interseca a la otracircun>erencia en los puntos B y C; si AB BC CD= = . calcular AD. A) 2 B) # 2 C) $   2D) &   2 ") 4 2

    !. "n una circun>erencia se tiene la cuerda BCque ide $ , las tanentes traJadas por B yC se intersecan en A, >orando un 'nulo queide 6I, so-re el arco enor BC seconsidera un punto /; B/   prolonada,interseca a  AC   en " y C/   prolonadainterseca a  AB  en D, si C"=4, el valor de

    BD, es: A)1 B)& C) D)! ")4

    4. Se traJan dos circun>erencias C1  y C2secantes en 0 y ", lueo se traJa el tri'nulo ABC, tal que A∈C1  , C∈C2  y "  AC . "l

    lado  AB interseca a C1 en / y BC  intersecaa C2 en 5. a prolonaci*n de /0  interseca a

    BC  en 9, de odo que se cuple la relaci*n: (/0) = ! (09) = 4 (59) = 24 . allar B5. A) 16 B) 11 C) 12 D) % ") 1!

     

    &. Desde un punto L e8terior a unacircun>erencia, se traJan la tanente LAuuur

      y la

    secante L , siendo A, y puntos de lacircun>erencia. Se traJa la cuerda  AB , queinterseca a la cuerda  en /, de odo que AL = L/ = /B, L = 1 c y = # c.allar A/. A) 4 c B) ! c C) & c D) c ") 2

    c

    EJERCICIOS

    CIRC!N$ERENCIAS1) "l per3etro de un trianulo rect'nulo es !2y la edida de su ipotenusa es 12. alonitud del inradio, es: A) B) ! C)4 D) & ")

    2) "n una circun>erencia se traJa su di'etro

     AB , ade's se traJan las cuerdas  AC  y  AD ,la di>erencia de las lonitudes de lasproyecciones de  AC  y  AD  so-re  AB  es iuala !. si AC=$ y AD=&, el valor de AB, es: A) # B) 2 C) D) 4 ") !

    !) So-re el di'etro  AB  de una circun>erenciacuya lonitud es 1!2 se arcan los puntos Cy D, "ncontrar la sua de las lonitudes delas circun>erencias de di'etros  AC , CD   y

    DB . A) 11# B) 122 C) 12D) 1!4 ") 1!2

    4) "n la >iura, ABCD es un cuadrado de lado #. Calcular 59.

     A)1.! B)1.2 C)1.4

    27

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    D)1 ")2

    &) allar la lonitud del radio de lacircun>erencia inscrita en un ro-o cuyasdiaonales iden 12 y 1 crespectivaente. A),# c B)4,# c C)4 cD)& c ")&,# c

    ) "n la >iura, A/ = /C, si A5 = 4 , 5B = & yC9 = ! , el valor de B9, es:

     A)% B)# C) D)16 ")$

    $) "n un paralelorao ABCD, los vNrtices A, B yD est'n contenidos en una circun>erencia queinterseca a BC  en 5, si AD  es di'etro, B5 =a y 5C = -, el valor de AB, es:

     A) -(-+a) B) b(b a)+ C) b a+

    D)   b(b 2a)+   ") b(2b a)+

    #) "n la seicircun>erencia de di'etro AD , si

     AB = , BC = !, CD = 2. calcularEB

    FC

     A) 52

    B) 54

    C) 102

    D) 104

    ") 103

    %) n tri'nulo equil'tero ABC, se encuentrainscrito en una circun>erencia cuyo radio ide4 c, con el lado BC   e8teriorente seconstruye el cuadrado BCD". allar B" encent3etros. A)4 ! B)4 C)2   !D)4   ")2

    16) "n la >iura. Si A.B=!2, el valor de 8, es:

     A) 2 2

    B) 3 2

    C) 4 2D) 4") #

    11) "n una circun>erencia, se traJan las cuerdas AB  y  AC  de edidas 2 y ! respectivaente,

    BAC 6I∠ = . Calcular la edida del radio dela circun>erencia.

     A)22

    !  B)

    21

    !  C) 21   D)

    21

    2")

    21

    4

    12) "n la >iura, B &=   y C != . Si y 9 soncentros de las seicircun>erencias y espunto de tanencia, la edida del di'etro AB , es:

     A)1#B)12C)16D)1&")%

    1!) "n la >iura, es punto de tanencia, eldi'etro  AD   ide 1 y AB=%. Calcular la

    edida de  A A)

     2$

    2

    B)1&C)14

    D)2&

    2

    ")1214) os radios de dos circun>erencias iden & y

    !. a distancia entre sus centros es iual a16. Calcular la lonitud de la tanentecoFn interior a las dos circun>erencias. A)& B)! C)1

    D) ")$

    1&) "n la >iura A y B son puntos de tanencia

    BD a= ; BC -= ;1 1 1

    - a − = . Calcular 5A.

     A)

    B)

    2

    C)!

    D) 2") !

    1) "n una circun>erencia de di'etro  AB , setraJan las cuerdas  AC ,  AD  y  A"  de odo que/ AC 6I= , / AD %6I=   / AD %6I= y/ A" 126I= . as cuerdas  AD   y C"   se

    intersecan en L. allarL"

    LC

     A)1!

    B)  !

    !C) !

    D)! ")1

    1$) "n la >iura, B es punto de tanencia; si AB=!y BC=2, el valor de CD, es:

     A)1

    28

    5

     A

    C B D

     A BC

    D95

     A /

    95

    B

    C

    C

    E  F

    DA   B

    A

    +   H   B

    x

     A

    B

    D

     A

    C

    B

    9

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    B)!C)2D)&")4

    . Dos circun>erencias son tanentes e8terioresy la distancia de sus centros es 4#c. Si unode los radios es los !erenciade las edidas de los radios es: A) 12 B) 1& C) !6D) 1# ") %

    $. "n la >iura, si AB=CD, B"=!, BL=4, "C=2, elvalor de C, es:

     A) 1B) C) 12D) !") #

    #. "n la >iura, " y D son puntos de tanencia. Si A"=, CD=&, el valor de AC, es:

     A) 21

    B) 2 13

    C) 2 5

    D) 61

    ") 5 2

    %. "n la >iura, B, " y D son puntos de tanencia,si AC=1! y AD=12, el valor de BC, es:

     A) 4B) $C) &D) #")

    $6. "n la >iura, es punto de tanencia, si A=DC=4, D"=&, AB=2, el valor de "L, es:

     A) 1B) 1,&C) 2D) 2,&") !

    $1. "n la >iura, el lado del cuadrado BCD" ide&, AB = $. el valor de LD, es:

     A) &

    B) 12C) 1!

    D)60

    11

    ")60

    13

    $2. "n la >iura, si A=C=!, la lonitud de la circun>erenciaque tiene su centro en 9, es:

     A) ( )8 4 3− π B) ( )8 4 3+ π

    C) ( )3 1− π D) ( )3 1+ π

    ") ( )4 2 3− π

    %O"&GONOSEJERCICIOS:

    1. Dadas las siuientes proposiciones:I. a sua de las edidas de los 'nulos

    e8teriores de un icos'ono es !6III.

    "l nFero total de diaonales de untri'nulo es !.III. odo pol3ono equil'tero es reular.Son verdaderas: A) S*lo B) S*lo C) y D) y ") y

    2. Deterinar el valor de verdad de lassiuientes proposiciones:

    . na rei*n polional conve8a de la que sean e8cluido sus vNrtices, es un con]untoconve8o.

    . 0inuna rei*n conve8a resulta de la

    reuni*n de dos reiones no conve8as.. a sua de las lonitudes de dos ladosopuestos de un cuadril'tero conve8o esenor que la sua de las lonitudes desus diaonales.

    SeOalar la alternativa con la secuenciacorrecta. A) TLT B) TLL C) TTTD) LTT ") LTL

    !. Se tienen dos pol3onos reulares cuyadi>erencia del nFero de diaonales es 4 y lasedidas de sus 'nulos e8ternos son entre s3coo & es a . Calcular el nFero de vNrtices

    del pol3ono ayor. A) # B) 16 C) D) & ") 12

    29

    A   B   C

    E

    D

    BE

    *C

      D

    A

    F

    AB   C

    E

    D

    F

    *

    A   B C

    E D

    F

    A

    C

    B

    D

    E

    A C

    B

    30º

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    WILBER CONDOR AQUISE  GEOMETRÍA

    4. "n un pol3ono reular de n lados, si laedida del 'nulo interior disinuye e 1&Mresulta otro pol3ono reular cuyo nFero de

    lados es!n

    4. "l valor de n, es:

     A) # B) 16 C)D) & ") 12

    &. "n un pol3ono conve8o ABCD"R se traJanlas diaonales  AC   y BD , que deterinancuatro pol3onos parciales, de los cuales, tresson tri'nulos. Si la sua del nFero dediaonales del pol3ono inicial y del pol3onoparcial que no es tri'nulo es iual a 2!, lasua de las edidas de los 'nulos interioresdel pol3ono inicial, es: A) %66M B) 1166M C) %%6MD) 1616M ") ##6M

    . as edidas de los 'nulos interior y central

    de un pol3ono reular son entre s3 coo # a1. "l nFero de lados del pol3ono, es: A) % B) 26 C) 1&D) 1# ") 12

    $. "n un e8'ono equi'nulo ABCD"L, AB =1!, BC = 2 y "L = !. Calcular D" . A) 16 c B) 1& C) 14 cD) 12 c ") 26 c

    #. "n un pent'ono conve8o ABCD", los'nulos interiores en B y D iden cada uno%6o  y los tres 'nulos interiores restantes

    tienen iual edida ; BC = c , CD = $ c yla distancia de C a  A"  es # c. Calcular ladistancia de A a "D . A) & c B) % c C) 12 cD) # c ") 11 c

     %. Calcular la edida del 'nulo interior de un

    pol3ono equi'nulo, sa-iendo que ladi>erencia que e8iste entre el nFero total desus diaonales y el nFero de 'nulos rectosa que equivale la sua de sus 'nulosinteriores es iual a 1%. A)14!I B)146I C)1!&ID)144I ")126I

    16. "n un pol3ono de ?n@ lados, de seis vNrticesconsecutivos se traJan 2 diaonales. "lnFero de diaonales que se traJan de 12vNrtices consecutivos, es: A)% B)%# C)##D)# ")#%

    11. "n un pol3ono reular ABCD"LR donde lasediatrices de AB   y DE   se intersecan>orando un 'nulo que ide 1!&I. Calcular 

    cuantas diaonales tiene dico pol3ono. A)!6 B)26 C)46D)2& ")!&

    12. "n un e8'ono reular ABCD"L, cuyo ladoide 1! , las prolonaciones de la diaonal

    CA  y del lado "L , se interceptan en el punto5. allar el valor de 5D. A) 16 B) 12 C) 1&D) 1$ ") 1!

    1!. "n un pol3ono conve8o, se cuple que, lasua del nFero total de diaonales 's eltriple del nFero de diaonales edias 'sel do-le del nFero de vNrtices es 2$.Calcule la di>erencia del nFero dediaonales traJadas desde & vNrticesconsecutivos y el nFero de diaonalestraJadas de un solo vNrtice. A) 26 B) !2 C) !&D) 2# ") !6

    14. Calcule el nFero total de diaonales de unpol3ono conve8o equi'nulo ABCD"LR,sa-iendo que las rectas perpendiculares a BA

    y D" , >oran un 'nulo que ide !I. A) 416 B) 41& C) 46&D) 466 ") 4!6

    1&. "n el nterior de un pent'ono reular  ABCD", se u-ica el punto 5, tal que eltri'nulo A5B es equil'tero. Calcule la D5"R .

     A) #6I B) #2I C) #&ID) #4I ") %6I

    1. "n un pol3ono reular, la edida de un

    'nulo interior es (+1&) veces la edida deun 'nulo e8terior, y ade's se sa-e que elnFero total de diaonales es 1!&. Calcular el nFero de lados del pol3ono. A) #6 B) #2 C) #&D) #4 ") %6

    1$. Se tiene un e8'ono conve8o equi'nulo ABCD""L, donde AB=!, BC=!, CD=4 y D"=&.allar la edida de  AL . A) # B) & C) D) $ ") %

    1#. allar el nFero de lados de un pol3onoconve8o, si el nFero total de sus diaonales,'s el nFero de tri'nulos que se >oran alunir un vNrtice con los otros vNrtices, 's elnFero de 'nulos rectos a que equivale lasua de las edidas de sus 'nulosinteriores, es iual al nFero total dediaonales edias, auentado en su nFerode vNrtices. A) 12 B) # C) D) $ ") 1&

    1%. "n un pol3ono conve8o, al traJar todas las

    diaonales, el nFero de Nstas resulta ser iual a # veces el nFero de vNrtices.UCu'ntos tri'nulos e8isten cuyos vNrticessean vNrtices del pol3onoV

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     A) %% B) $2% C) 1624D) 1$1 ") 1%

    26. "n un pol3ono reular ABCD"LR, el 'nulo AC" ide 1&6I. allar el nFero total dediaonales. A) 216 B) 21& C) 2&2D) 266 ") 2!6

    21. "n la >iura, se presenta parte de un pol3onoreular de n lados UCu'nto vale nV

     A)46B)!C)4&D)1#")24

    22. "n un capeonato de >ut-ol participaron ?@equipos de los cuales la itad de equipos ]uaron ?2@ partidos (sin repetirse los partidos ]uados) el nFero de equipos con que seen>rent* un equipo, es: A) 4 B) # C) 16 D) & ")

     A

    B

    CD

    "

    L

    14I