C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas · Magnitudes proporcionales y no proprocionales...

C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas

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Proporcionalidad

Es un tipo de relación entre magnitudes que se cumple en muchas situaciones de nuestra vida

cotidiana.

• Una magnitud es cualquier cualidad o característica de un objeto que podemos medir.

Ejemplo: la longitud, la masa, el número de alumnos, la capacidad, la velocidad, el precio, etc.

• Las magnitudes se expresan siempre por un número seguidos de la unidad en que se han

medido que puede ser metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros,

kilómetros por hora, euros, dólares, etc.

Razón entre dos números

Cuando queremos dar una relación entre dos magnitudes (a y b por ejemplo) lo hacemos mediante una razón que

es la división entre ambas.

Una razón entre dos números a y b es el cociente entre a y b .

Razón entre a y b r =b

a a es el antecedente b es el consecuente

La razón no tiene unidades y sirve para comparar.

Al efectuar la división su resultado indica las veces que a es mayor que b.

Observa que es similar a las fracciones que ya has estudiado, la única diferencia es que el antecedente ("numerador") y el consecuente ("denominador") no tienen que ser números enteros como era necesario en las fracciones. Aquí, el antecedente y consecuente podrá ser cualquier número ya que quieren representar magnitudes y éstas, en general, pueden contener decimales.

Ejemplo 1: En una reunión hay 20 personas de las que 5 son hombres,

Al relacionar estas dos magnitudes decimos que hay 5 hombres por cada 20 personas y lo indicamos

con la la razón es20

5

Muchas veces nos interesa indicarlo con relación a 100 y decimos 25 de cada 100 personas son

hombres, el 25%. La razón es100

25

100

25

20

5

Hay veces que la proporción que nos interesa es con la menor relación entera: 4

1

20

5

y decimos una quinta parte de las personas de la reunión son hombres (o bien, 1 de cada 4 personas son hombres).

Ejemplo 2: En una clase hay 20 personas sin gafas y 10 con gafas.

• Diremos que la razón entre las personas sin gafas y con gafas es de: 10

20= 2

Concluimos que hay el doble de personas sin gafas.

• También lo podemos comparar al revés. La razón entre las personas con gafas y sin gafas es de

2

1

20

10 Por cada persona que lleva gafas hay dos que no llevan.


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Ejemplo 3: En mi clase hay 18 chicas y 12 chicos. ¿Cuál es la razón entre chicas y chicos?

Razón entre chicas y chicos 2

3

12

18

cos

chi

chicas Por cada tres chicas hay dos chicos.

ACTIVIDADES 1.- En un Ayuntamiento de 1750 habitantes hay 12 empleados municipales, ¿cuál es la razón entre el número de habitantes y el de empleados? Elige la respuesta correcta.

a) 1750

12 ; b)

12

1750

2.- María dedica veinte minutos a desplazarse en autobús por la ciudad y una hora andando.

¿Cuál es la razón entre el tiempo dedicado a desplazarse en autobús y caminando?

a) 3

1 b)

100

20 c)

6

2 d)

3

60 e)

1

3

PROPORCIÓN numérica

Una proporción numérica es una igualdad entre dos razones

Se lee a es a b como c es a d.

a, b, c, d, se les llaman términos de una proporción.

• a y d se llaman extremos

• b y c se llaman medios. Observa que es similar a las "fracciones equivalentes" que ya has estudiado pero con a, b, c y d no necesariamente enteros.

Las proporciones cumplen la siguiente PROPIEDAD: El producto de los extremos es igual al producto de los medios

Si cuatro números están en proporción, se pueden escribir de varias formas formando proporción todas

ellas: 6

9

2

3 ↔

9

6

3

2 ↔

2

6

3

9 ↔

6

2

9

3

Cálculo del cuarto proporcional. Utilizando la propiedad de que el producto de medios es igual al producto de extremos en

una proporción podremos calcular un término desconocido de ella (el cuarto proporcional, x)

que esté en proporción con los otros tres términos conocidos.

Observa su resolución, en los cuatro casos posibles, según dónde se encuentre el valor

desconocido, x, en la proporción.

Primero aplicamos la propiedad de producto de medios igual a producto de extremos y, después,

lo que acompaña a la x multiplicando lo pasamos al otro lado de la igualdad dividiendo.

d

c

b

a ↔ a·d = b·c

d

c

b

a

Ej. 10

15

5

x ; x ·10=5·15 ; x=

10

15·5=7,5 Ej.

10

512

x ; 12·10=5·x ; x=

5

10·12=24

Ej. 105

6 x ; 6·10= 5·x ; x=

5

10·6=12 Ej.

x

15

3

4 ; 4·x= 15·3 ; x=

4

3·15= 11,25


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ACTIVIDADES 3.- Averigua el valor de x para que las dos razones formen una proporción

a) 155

2 x

b)

x

10

10

20

c)

6

32

x

d) 6

3

4

x

e)

4

16

3

x

f)

64

1612

x

g) x

5,13

16

24

h)

8020

4 x

i)

28

7

8,8

x

{ a )x=6 b) x=5 c) x=4 d) x=2 e)x=12 f) x= 48 g)x=9 h) x=16 i) x=2,2 }

Magnitudes proporcionales y no proprocionales

Hay magnitudes que se relación entre sí, como la cantidad de fruta que compro y el precio que pago por

ella. Son magnitudes proporcionales y además directamente proporcionales.

También hay magnitudes que no guardan ningún tipo de relación entre sí, y por tanto son magnitudes no

proporcionales. Ejemplos, las horas que duerme una persona y las horas que camina al día siguiente,

la altura que tiene y el sueldo que gana.

Estudiaremos las relaciones entre magnitudes proporcionales.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Magnitudes directamente proporcionales Consideremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: En un comedor cada alumno se come 2 panecillos.

2 alumnos se comerán 4 panecillos, 3 alumnos 6 panecillos,

4 alumnos 8 panecillos… etc.

Si expresamos las razones de las cantidades de ambas magnitudes, obtenemos:

...4

8

3

6

2

4

1

2

En este ejemplo existe una relación entre dos magnitudes. ¿Vamos a estudiar de qué manera varía?

- Al doble nº de alumnos doble nº de panecillos. - Al triple nº de alumnos triple nº panecillos.

- A la mitad del número de alumnos la mitad del nº de panecillos

Si al relacionar dos magnitudes podemos utilizar este tipo de expresiones:

a doble doble, a mitad mitad, a triple triple, etc .........................

las dos magnitudes son directamente proporcionales.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de

ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número.

Nº de panecillos

Nº de alumnos


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Regla de tres simple DIRECTA

Las situaciones de proporcionalidad han dado lugar al aprendizaje de “recetas” conocidas con el nombre de reglas de tres.

Dadas dos magnitudes, de las que se conoce la equivalencia entre el valor de una y el valor de la otra.

Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional de la

segunda magnitud

Magnitud A Magnitud B

a b

c x

Ejemplo: Si 5 Kg. de patatas cuestan 2'4 euros.¿Cuánto cuestan 7 Kg.?

Son magnitudes directamente proporcionales y por lo tanto, los cocientes son iguales:

Se escribe la proporción: x

4,2

7

5

Se resuelve 5·x = 7· 2,4 5·x = 16,8 ; x = €36,35

8,16

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

ACTIVIDADES

4.- María ha pagado 150 € por 12 metros de tela. ¿Cuánto tendría que pagar por 20 metros de tela?. { 250 €}

5.- Una máquina fabrica 20 piezas en una hora.

a) ¿Cuántas piezas fabricará en una jornada de 8 horas?

b) ¿Cuánto tardará en fabricar 280 piezas? { a) 160 piezas; b) 14 horas }

6.- Para construir 12 metros de muro se han empleado 6000 ladrillos. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios

si se quiere construir un muro de las mismas características de 28 metros de largo?. { 14000 ladrillos}

Kg de papas Precio

5 kg 2,4 €

7 kg x

x

b

c

a x =

a

cb ·


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PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la

otra en la misma proporción y a la inversa.

Ejemplo 1: Dos pintores tardan 24 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán 4 pintores en hacer el

mismo trabajo? . ¿Y si se aumenta el número de pintores a 6 o a 8 ¿cuánto tardarán?

Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la tapia

2 pintores 24 días 4 pintores 12 días 6 pintores 8 días

Si el número de pintores se multiplica por 2, el número de días que se emplean en pintar se divide por 2,

o sea 12 días. Si se multiplica por tres el número de pintores, el tiempo se reduce a la tercera parte que

son 8 días a doble nº de pintores la mitad de días se tarda en pintar

a triple nº de pintores la tercera parte de días

Ejemplo 2 : Se quieren transportar 300 personas en un autobús en el que caben 50 personas.

¿Cuántos viajes tendrá que hacer el autobús? ¿Y si se contrataran dos autobuses?

Con 1 autobus 6 viajes ; con 2 autobuses 3 viajes ; con 3 autobuses 2 viajes

Observa: a doble nº de autobuses la mitad de viajes.

A triple nº de autobuses la tercera parte de viajes.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

7.- Di cuáles de las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales:

a) La cantidad de lápices iguales y el precio que pago por ellas.

b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en llegar.

c) El número de trabajadores que descargan un camión y el tiempo que tardan.

d) El tiempo que está un grifo abierto y la cantidad de agua que sale.

e) El volumen de un líquido y su masa.

f) Las horas que se encuentra funcionando una máquina y el número de piezas que fabrica.

g) La altura de los árboles y la longitud de sus sombras, en un momento del día.

h) El número de soldados que hay en un cuartel y el tiempo que duran los víveres.

i) El número de días trabajados por un obrero y el dinero que gana.

j) El volumen de agua que sale de un grifo y el tiempo que tarda en llenar una piscina.

k) El número de personas que van en el autobús y la recaudación del autobús

l) El número de vacas que posee un granjero y el tiempo que tarda en gastarse el pienso

m) El número de autobuses para transportar a un grupo de gente y el número de viajes

n) El tamaño de una caja y el número de cajas iguales que se pueden almacenar en una nave

ñ) El tiempo que tenemos colocado un cántaro en la fuente y la cantidad de agua que recogemos.

o) El tiempo que está encendida una bombilla y el gasto de energía.

p) La velocidad de un tren y el tiempo que tarda en cubrir la distancia entre dos ciudades

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.


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Regla de tres simple INVERSA

Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, de las que se conoce la equivalencia entre el valor

de una y el valor de la otra.

Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional inverso de

la segunda magnitud, es decir se escribe la inversa de la nueva razón:

Magnitud A Magnitud B

a b c x

Ejemplo: En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se

compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

Nº Gallinas Días

300 20

400 x

-.-.-.-.-.-.-.-.-.

8.- Para hacer un trabajo se han empleado 60 obreros durante 20 días. ¿Cuántos obreros deberían

emplearse para realizar este trabajo en 12 días? { 100 obreros }

9.- Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 20 vacas durante 60 días. Si compra 10 vacas

más, ¿cuántos días podrá alimentarlas con las mismas provisiones? { 40 días }

10.- Un coche que lleva una velocidad constante de 90 km/h tarda 20 minutos recorrer la distancia

entre dos pueblos. ¿Cuánto tardaría si fuera a 60 km/h? { 30 minutos }

20400

300 x ; x=

400

300·20 = 15 días

b

x

c

a ;

c

bax

·


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PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Diremos que un problema es de proporcionalidad compuesta si relaciona más de dos magnitudes que

pueden ser directa o inversamente proporcionales.

Haremos problemas en los que se relacionan tres magnitudes.

Directa : 2 magnitudes están en proporción directa con la 3ªmagnitud.

Pueden ser de 3 tipos Inversa: 2 magnitudes están en proporción inversa con la 3ªmagnitud

Directa-Inversa:1 magnitud está en proporción directa y la otra

Problemas de PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

34.- Un crucero por el Mediterráneo para 200 personas durante 15 días necesita, para gastos de alojamiento

y comida, 54.000 €. ¿Cuánto se necesitará para alojar y alimentar a 250 personas durante 10 días?

{45.000 € }

35.- El alquiler de 3 coches para 7 días cuesta 630 euros.¿Cuántos coches se podrán alquilar con 900 euros

durante 5 días { 6 coches }

36.- 3 albañiles trabajando 5 horas diarias quieren arreglar la fachada de un edificio en 8 días. Si fueran 4 los albañiles y trabajaran 2 horas diarias ¿cuánto tardarían?

{15 días }

37.- Ocho máquinas tejedoras, en cuatro días, hacen 384 chalecos de punto. ¿Cuántos días necesitarán cinco de esas máquinas para fabricar 180 chalecos? { 3 días }


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38.- Con 12 kilos de pienso 9 conejos comen durante 6 días. ¿Cuántos días tardarán 4 conejos en comerse 8 kilos de pienso? {9 días }

39.- En una agencia de viajes 5 personas han comprado por 2500 € un viaje durante 7 días ¿Cuánto costará el mismo viaje para un grupo de 4 personas durante 10 días? { 2857,14 € }

40.- Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000 unidades de cierto repuesto. ¿Cuántos días necesitará para cubrir un pedido de 3000 unidades haciendo turnos de 10 horas? { 12 días } 41.- En una mina, una cuadrilla de 8 mineros abren una galería de 65 metros de longitud en 15 días. Si otra cuadrilla tiene 14 mineros. ¿Cuántos metros de galerías abrirán en 24 días?

{ 182 metros }

REPARTOS PROPORCIONALES

En un reparto proporcional hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otras iniciales. Este reparto puede ser:

Directo a una cantidad inicial mayor le corresponde otra mayor

Inverso a una cantidad mayor le corresponde una menor

Repartos DIRECTAMENTE proporcionales

A mayor valor inicial de una parte le corresponderá mayor cantidad en el reparto.

Ejemplo: Un décimo de lotería cuesta 18 €. Tres personas compran una participación: Marta pone 10 €,

María 5 € y Cristina 3 €. Si les tocan 23.000 €, ¿cuánto recibirá cada una?


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Hay que hacer un reparto directamente proporcional, ya que los que más han puesto, más premio recibirán, Llamaremos x , y, z a las cantidades que han de percibir Marta, María y Cristina, respectivamente.

Vamos a establecer las siguientes proporciones:

x= cantidad que recibirá Marta y= cantidad que recibirá María , z= cantidad que recibirá Cristina

3510

zyx =

18

000.23

3510

zyx

18

000.23

35103510

zyxzyx= 1277,78

Igualamos cada razón (con una incógnita) con el resultado de la razón suma y despejamos

78,127710

x

x = 10 ·1277,78 = 12.778,78 € recibirá Marta

5

y 1277,78 y= 5 ·1277,78= 6.388,90 € recibirá María

3

z 1277,78 z= 3 ·1277,78 = 3.833,34 € recibirá Cristina

50.- Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

{ 100, 150 y 200 € }

51.- Juegas a la lotería con un décimo de 20 €. para el que tú pusiste 7 y tu amigo 13 €.

Si os toca un premio de 18.000 €. ¿Cuánto debería de corresponder a cada uno? { 6.300 y 11.700 € }

52.- Tres socios, Antonio, José y Juana para crear una empresa invirtieron 5.000, 8.000 y 10.000 €

respectivamente. Tras un tiempo la empresa obtuvo 4.600 euros de beneficios.

¿Cuántos euros le corresponde a cada socio? { Antonio recibirá 1000 euros, José 1600 euros y Juana 2000 euros }

Si varias razones son iguales entre sí, también los son con la “razón suma“ (formada por la suma de los numeradores y denominadores)


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53.- En un edificio formado por 3 pisos de superficies: 80 m2, 90 m2 y 110 m2, se realizan unos trabajos

de saneamiento en las zonas comunes por un importe de 4.200 €.

¿Qué parte del gasto en saneamiento ha de pagar cada propietario? { 1.200 € ; 1.350 € ; 1650 € }

54.- Por un reportaje fotográfico tres fotógrafos cobraron 6720 euros. Del reportaje, 14 fotos eran del primer

fotógrafo, 18 del segundo y 24 del tercero. ¿Qué cantidad de euros le corresponde a cada uno? {1680 , 2160 y 2880 euros}

Repartos INVERSAMENTE proporcionales ( No lo estudiamos)

Se va a repartir una cantidad en varias partes de forma que a mayor valor inicial de una parte le

corresponderá menor cantidad en el reparto.Por ejemplo, el reparto de puntos entre varios jugadores que

realizan el montaje de un juego se hace de forma que a menor tiempo empleado, más puntuación.


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Los porcentajes o tantos por ciento expresan la razón entre dos magnitudes directamente

proporcionales y nos indican la cantidad de una de ellas que corresponde a 100 unidades de la otra.

Se representa por el conocido símbolo %.

CÁLCULO DEL TANTO POR CIENTO que corresponde a una cantidad

Ejemplo: En las últimas elecciones municipales, de un censo de 2500 personas, el alcalde recibió el

voto de 1500 ciudadanos. ¿Qué porcentaje de votantes apoyó al alcalde?

Total votantes Votos a favor

2500 1500

100 x x

1500

100

2500 ; x =

2500

1500·100=

2500

000.150= 60 %

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 55.- De 475 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué porcentaje de hombres reconocen saber planchar? { 16 % }

56.- Calcular qué tanto por ciento de 320 es 80. { 25 % }

57.- En mi clase hay 32 estudiantes. Si hay 20 alumnas, ¿qué porcentaje del total representan las alumnas?

¿Y los alumnos? { 62,5 % alumnas y 37,5 % alumnos}

58.- Si en una clase de 28 alumnos, 13 juegan al fútbol, 9 al baloncesto y 6 practican la natación ¿A qué porcentaje de la clase le corresponde la práctica de cada uno de los deportes?

{ 46,4 % el fútbol, 32,1 el % baloncesto y 21,4 % la natación }


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CÁLCULO DE LA PARTE que corresponde a un tanto por ciento

Ejemplo : El 30 % de los empleados de una empresa llegan al trabajo en coche. Si el número total de empleados es 1200, ¿cuántos llegan en coche?

Total Llegan con coche

100 30

1200 x x

30

1200

100 ; x=

100

000.36

100

30·1200 = 360 empleados

El cálculo del % de una cantidad se obtiene de forma directa multiplicando dicha cantidad por el

tanto por ciento y dividiendo entre 100.

Como ves en el ejemplo 100

30·1200 = 360 empleados.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.

59.- En una ciudad de 25.500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con los que gobiernan en el ayuntamiento? { 17.340 habitantes }

60.- Una máquina fabrica tornillos de los cuales el 3 % salen defectuosos. Si en un día fabrica 500 tornillos ¿cuántos serán inservibles? { 15 tornillos }

61.- Si un jugador de baloncesto lanza 20 veces a canasta y encesta el 70 % ¿Cuántas veces ha encestado? { 14 veces }

62.- Calcula de forma directa (sin aplicar la regla de tres) :

a) El 35% de 2580 b) El 5 % de 640 c) El 80 % de 3575 d) El 120 % de 400

{ a) 903 ; b) 32 ; c) 2860 ; d) 480 }


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CÁLCULO DE LA CANTIDAD TOTAL sobre la que se calcula un tanto por ciento

Ejemplo: Hoy han faltado al ensayo de la banda 6 músicos, lo que supone el 20 % del total. ¿Cuántos miembros tiene la banda? Total Ausentes

100 20

x 6 6

20100

x ; x= 30

20

600

20

6·100 músicos

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

63.- Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84 % del total de camas. ¿De cuántas camas dispone dicho hospital? { 250 camas }

64.- El 40 % de una cantidad es 1200 € ¿cuál es la cantidad total? { 3000}

65.- En un congreso internacional de medicina participan 36 médicos españoles que son el 15 % del total. ¿Cuántos son los asistentes al congreso? { 240 médicos}

66.- Una máquina fabrica al día piezas metálicas de las que un 4% salen defectuosas. Si un día se cuentan 18 piezas que presentan algún defecto ¿cuántas piezas en total se han fabricado? {450}

67.- El 15 % de cierta cantidad es 54. Calcular esa cantidad. {360}


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AUMENTO y DISMINUCIÓN porcentual

Un caso particular de los tantos por ciento de una cantidad son los aumentos y disminuciones porcentuales, que consiste en sumar o restar el tanto por ciento que corresponde a la cantidad a la que se le aplica.

AUMENTO porcentual

Un aumento o incremento se produce cuando a una cantidad se le suma un porcentaje de la misma para obtener una cantidad mayor. Ejemplo 1: Una moto cuyo precio era de 6.000 €, cuesta en la actualidad un 5% más. ¿Cuál es el precio actual de la moto?

Se puede resolver de varias maneras:

I) Hallando lo que ha subido y luego sumándolo al precio inicial.

Precio inicial Cantidad que ha subido

100 5

6000 x x

5

6000

100 ; x=

100

5·6000=

100

000.30 300 € cuesta de más

La moto costará ahora: 6000 + 300 = 6.300 €

-.-.-.-.-.-.-.-.-

II) Hallando el % de coste actual de la moto: 100 + 5 = 105 %

Precio anterior Precio actual

100 105

6000 x x

105

6000

100 ; x=

100

105·6000

100

000.630= 6.300 €

-.-.-.-.-.-.-.-.-

III) Aplicando una fórmula.

Si a una cantidad c inicial se le aplica un aumento del r %, el resultado final será:

En el ejemplo: cfinal =6000 + 6000·100

5 = 6000 + 0,05 · 6000 = 6000 + 300 = 6.300 €

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

83.- El coste de un producto sin impuestos es de 150 euros. Si ese producto está grabado con un 10% de Impuestos ¿Cuál será el coste final? {165 € }

inicialinicialfinal cr

cc ·100


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DISMINUCIÓN porcentual Una disminución o un descuento se produce cuando a una cantidad se le resta un porcentaje de la misma para obtener otra cantidad menor.

Ejemplo:

Al adquirir un vehículo cuyo precio inicial es de 8800 €, me hacen un descuento del 4 %. ¿Cuánto tengo que pagar por el vehículo?

Se puede resolver de varias maneras:

I) Precio inicial Descuento

100 4

8800 x x

4

8800

100 ; x = 352

100

200.35 €

Lo que tengo que pagar por el vehículo es 8800 – 352 = 8448 €

.-.-.-.-.-.-.-.

II) También se puede plantear hallando el % de coste actual 100 4 = 96 %

Precio inicial Precio final

100 96

8800 x x

96

8800

100 ; x =

100

800.844= 8.448 €

-.-.-.-.-.-.-.

III) También se puede aplicar una fórmula:

Si a una cantidad c inicial se le aplica una disminución del r%, el resultado final será:

En el ejemplo: c final = 8800·100

48800 = 8800 – 0,04 · 8800 = 8800 – 352 = 8448 €

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

96.- Un pantalón cuesta 50 euros, si nos rebajan el 25% ¿Cuánto nos cuesta el pantalón? {37,5 € }

97.- El precio de un ordenador era de 1200 euros, pero me han hecho un 15% de descuento.

¿Cuál es el precio final? { 1020 € }

98.- Un reloj valía 32 euros, pero el relojero me lo ha rebajado y he pagado finalmente 28,80 euros.

¿Qué % me ha rebajado? { 10 % }

inicialinicialfinal cr

cc ·100


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99.- Después de rebajar el precio de un ordenador un 8%, me ha costado 1196 euros.

¿Cuál era su precio inicial? {1300 € }

Tanto por uno - Tanto por ciento - Tanto por mil

El Tanto por ciento (%) representa una cierta cantidad con respecto a 100.

Ejemplo: El impuesto sobre el patrimonio es del 12 %

De cada 100 euros de patrimonio hay que pagar 12 € depuestos

El Tanto por uno Si en lugar de tomar como referencia 100, se toma la unidad, o sea 1, se llama

tanto por uno. El tanto por uno con el mismo ejemplo sería

Patrimonio Impuesto

100 12 x

12

1

100 x=

100

1·12=0,12 x= 0,12 (este número no lleva símbolo)

1 x

Es decir de cada 1 € de patrimonio hay que pagar 0,12 € de impuestos

Si se divide un tanto por ciento entre 100 dará el tanto por uno correspondiente.

El Tanto por mil Si se toma como referencia el 1000

Patrimonio Impuesto

100 12 x

12

1000

100 x=

100

1000·12=120 x= 120 ‰ El símbolo ‰ se lee “por mil”

1000 x

Es decir que de cada 1000 € de patrimonio hay que pagar 120 € en impuestos

El ‰ es diez veces mayor que el %

El uso de números expresados en tanto por mil es común en las tasas de natalidad y de mortalidad.

Por ejemplo: Si en el año 2001 la tasa de natalidad fue del 12 ‰, significa que del 1 de enero del

año 2001 al 1 de enero del año 2002 por cada mil habitantes nacieron 12 niños.

Las tres cantidades %, tanto por uno, ‰ indican la misma proporción.

En el ejemplo 12 % , 0,12 , 120 ‰ son iguales: 1000

120

1

12,0

100

12

Otro ejemplo: Equivale a lo mismo decir que se divide una tarta en 100 partes y se cogen 25, que decir

que se cogen 0,25 de una tarta ( o sea ¼ de tarta) , o que se divide en 1 000 partes y se cogen 250.

Por tanto, el 0’25 , el 25 % o el 250 ‰ son expresiones equivalentes y significan lo

mismo.

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

http://es.wikipedia.org/wiki/Tasa_de_natalidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Tasa_de_mortalidad


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108.- El 37 % de los españoles lee libros con frecuencia. Exprésalo en tanto por uno y en tanto por mil.

110. - Un campo de fútbol tiene capacidad para 80.000 espectadores. Al partido asisten 60.000. Calcula el tanto por uno, el tanto por cien y el tanto por mil de los espectadores que han acudido al partido.

111.- A menudo salen en los periódicos noticias como ésta: 20 de cada 1000 habitantes tiene una determinada enfermedad. Explica qué quiere decir. Expresa la situación en tanto por ciento

C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas · Magnitudes proporcionales y no proprocionales...

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