CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO …...6,2.-Procedimiento para realizar la prueba...

SEP SEIT DGIT

~ ~

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO

TECNOL~GICO

cenidet “ANÁLISIS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN

APARATO PARA DETERMINAR LA CONDUCTIVIDAD

TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES”

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

EN INGENIERÍA MECÁNICA P R E S E N T A:

ING. JESÚS PERFECTO XAMÁN VILLASEÑOR

DIRECTORES: M.F. LEONEL LIRA CORTÉS (cenidet)

M.C. YVONNE CHÁVEZ CHENA (cenidet)

CUERNAVACA, MORELOS.

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

ACADEMIA DE LA MAESTRiA EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECÁNICA

Cuernavaca, Mor., 30 de agosto de 1999

DR JUAN MANUEL RlCANO CASTILLO DIRECTOR DEL CENIDET P R E S E N T E

AT" DR DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK JEFE DEL DEPTO DE ING MECANICA

P R E S E N T E

Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, despues de haber sometido a revisión el trabajo de tesis titulado:

i 6 ~ ~ Á ~ ~ ~ ~ ~ DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN APARATO PARA DETERMINAR LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES"

Desarrollado por el Ing. Jesús Perfecto Xaman Villaseñor, y habiendo r,i.iniplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y la fecha de examen de grado.

Sin otro particular, quedamos de usted.

*

A t e n t a m e n t e COMlSlON REVISORA -

DR. GUSTAVO URQUIZA BELTRAN

M.C. L O EL LIRA CORTÉS

INTERIOR INTERNADO PALMIRA S/N, CUERNAVACA. MClh'. MEXICO APARTADO POSTAL 4-224 CP 62450. CUERNAVACA. TELS. (7311276 13. 122314.187741. FAX (73) 1 2 2 4 3 4 ~ I: 76 13 EMAIL cenide12~inforel.nel.mx

M.C.kVONNE CHAVEZ CHENA .. .

cenidef

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

SUBDIRECCI~N ACADÉMICA

Cuernavaca, Mor. a 6 de septiembre de 1999.

ING. JESUS PERFECTO XAMAN VILLASEÑOR Candidato al Grado de Maestro En Ciencias en Ingeniería Mecánica P R E S E N TE.

Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulado:

ANALISIS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN APARATO PARA DETERMINAR LA CONDUCTIVIDAD TERMICA DE MATERIALES AISLANTES"

Y habiendo cumplido las indicaciones que el jurado revisor de tesis hizo, se le comunica que se le concede la autorización para que proceda la impresión de la misma, como requisito para la obtención del grado.

Sin otro particular, quedo de usted

A t e n t a m e n t e .

DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASlK JEFE DEL DEPTO. DE ING. MECANICA

DEL CENIDET

C.C.P.: Serv. Escolares Expediente.

INTERIOR IMERN*DO PUMiRh W. CUERNAVACA. MOR sitSK0 APARTADO POSTAL 1-164 CP 61010. CUERNAVACA. E L F . Y FAX O 1 1731 12 16 I1 cenidet

DEDICATORIAS

Dedico este trabajo:

A mis padres: Nereyda y Perfecto, por haberme dado lo mas preciado, la vida.

A mi esposa: Mónica Mérida Pedroza, por haberme comprendido y aceptado desde el momento de conocemos.

A mis hermanos: Lucina, Mireya, Layday Ernesto, por el apoyo brindado en la continuación de mis estudios.

A mis amigos: Leone1 Lira, José Medina, Manuel Sánchez, Rubén Villaseñor, Edgar Santos, J. Manuel Morales, Jorge Ovidio y Jorge Bedolla, por todos los buenos y malos momentos que compartimos.

AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer:

A Dios por ayudarme a alcanzar este sueño.

De manera muy especial a mis asesores: M. F. Leone1 Lira Cortés M.C. Yvonne Chávez Chena

Por valiosa ayuda e incondiconal apoyo.

Al jurado revisor de este estudio por sus comentarios y sugerencias.

A mis familiares y amigos por su cariño y conjianza.

A Mónica, por su gran amor y paciencia aún en los momentos más dtfíciles.

Al Cenidet, por brindarme la oportunidad de lograr una meta más en mi vida profesional.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo jinanciero recibido.

CONTENIDO

Lista de Figuras Lista de Tablas Lista de Símbolos Reanmen

CAP~TULO 1 INTRODUCCIÓN

1.1 .-Introducción c

1,2.-Justificación

1,3.-Objetivo y alcance

1.4.-Estado del arte

1.4.1 .-Historia del APCG en el NlST

1.4.2.-APCG con una fuenie de calor lineal

1.4.3 .-Antecedentes

CAPÍTULO 2 MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG

2. I .-Introducción

2.2.-Modelo fisico y matemático para la placa caliente del APCG

2.3.- Modelo fisico y matemático para la guarda del APCG

CAPITULO 3 ANÁLISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG

3.1 .-Introducción

3.2.-Casos experimentales en el APCG

Pág

I I1

I11

VI

1

2

3

3

3

5 I

13

14

20

25

25

Pág

3.2.1.-Caso 1

3.2.2.-Caso 2

3.2.3.-Caso 3

3.2.4.-Caso 4

3.2.5.-Caso 5

3.3.-Descripción del dispositivo esperimental

3.3.1 .-Descripción del APCG

3.3.2.-Placa fria

3.3.3.-Arreglo de la placa caliente y guarda

3.3.4.-Guarda

3.3.5 .-Placa caliente

3.3.6.-Elementos calefactores

3.3.7.-Potencia eléctrica

3.3.8 .-Termopares

-

3.4.-Resultados de los casos experimentales en el APCG

3.-i.-ConcIusiones de los resultados experimentales en el APCG

CAPITULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN

4.1 .-Introducción

4,2.-Validación del modelo matemático para la placa caliente en el APCG

4.2.1 .-Resultados del modelo matemático para la placa caliente

4.3.- Validación del modelo matemático para la guarda en el APCG 4.3.l.-Resultados del modelo matemático para la guarda

4.4.-Conclusiones de la validación del modelo matemático

25

26

26

26

26

28

28

28 29

29

29

29

29

30

30

33

35

35

37

41 43

47

CAPITULO 5 ANÁLISJS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG

5.1 .-Introducción 48

Pág

5.2.-Ec. de Fourier para la determinación de la conductividad térmica en el APCG 49

5.3.-Modelo estadístico para el cálculo de la incertidumbre estándar combinada

relativa de una prueba 50

conductividad térmica 52

54

60

5.4.-Modelo estadístico para la determinación de la incertidumbre de la

5,5.-Resultados de la incertidumbre para el APCG

5.6.-Conclusiones de la incertidumbre para el APCG

CAPITULO 6 DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES

6.1 .-Introducción

6,2.-Procedimiento para realizar la prueba

6.2.1 .-Selección de la muestra

6.2.2.-Preparación de la muestra

6.2.3.-Establecimiento del estado permanente térmico

6.2.4.-Adquisición de datos

6.2.5.-análisis de resultados

6.3 .-Reporte de la medición de niateriales aislantes

6.3.1 .-Resultados para la prueba de conductividad térmica ASTM C-177-97

6.4.-Conclusiones de las pruebas realizadas

CAPITULO 7 CONCLUSIONES GENERALES

7.1 .-Conclusiones

7.2.-Recomendaciones y trabajos futuros

62

63

63

64

64

66

67

68

71

72

73

74

Pág

Bibliografía

Apéndice A. Desarrollo matemático para obtener la expresión de temperatura T2 por

El método de separación de variables

Apéndice B. Desarrollo matemático para obtener las expresiones de la ec. (2.17)

Apéndice C.. Evaluación de las integrales para la ecuación (2.1 7)

Apéndice D. Desarrollo matemático para obtener las expresiones de la ec. (2.22)

Apéndice E. Evaluación de las integrales para la ecuación (2.22)

Apéndice E: Análisis dimensional de las ecs. del modelo matemático en el APCG

Apéndice G. Programas de cómputo para las ecs. del modelo matemático en el APCG

.~. ~. . . . . . L~.... . . , .

75

79

87

93

98

104

110

115

LISTA DE FIGURAS

FIGURA

1.1 Aparato para medir la conductividad térmica de materiales sólidos aislantes 9

1.2 Componentes principales del instrumento para medir conducfividad

térmica de materiales sólidos aislantes 10

14

21

27

27 27

2 7 '

28

31

32

32

39

40 41

46

46 65

67 70 71

2.1 Modelo físico de la placa caliente

2.2 Modelo físico de la guarda

3.1 Modelo físico del caso I

3.2 Modelofísico del caso 2

3.3 Modelofísico del caso 3

3.4 Modelo físico del caso 4

3.5 Modelo físico del caso 5

3.6 Comportamiento de la temperatura para el caso 1

3 .I Comportamiento de al temperatura para el caso 4

3.8 Comportamienfo de la temperafurapara el caso 5 4.1 Distribución de temperatura, para r=O.0381m

4.2 Disfribución de femperatura experimental y analítica para la placa

4.3 Disfribución de femperatura en la placa, para t=100000s 4.4 Distribución de temperatura experimental y analítica para la guarda

4.5 Disfribución de femperatura en la guarda, para t=I 00000s 6.1 Distribución de temperatura para alcanzar el esfado permanente

6.2 ConJiguración del sistema experimental 6.3 Diagrama esquemático para la prueba 6.4 Distribución de temperatura de la prueba del acrílico

I

LISTA DE TABLAS

TABLA Pág

3.1 Resultados experimentales para el caso 1





4.1 Raíces de la ecuación (4.2)

4.2 Resultados de la temperalura pura t=O.OOls

4.3 Resultados de la temperatura para r=O. 0381m 4.4 Raíces de la ecuación (4.4)

4.5 Resultados de la temperatura para r=O. 0983m

5.1 Incertidumbre para el APCG usando valores representativos de las variables

5.2 Incertidumbre usando un gradiente de lemperatura de 10 “c

5.3 Incertidumbre usando una mejora en un factor de IO para las mediciones

de voltu& e intensidad de corriente

5.4 Incertidumbre usando una mejora en un factor de 5para la medicibn de la

temperatura

5.5 Clase de exactitudpara el APCG usando un factor de cobertura de uno

6.1 Reporte de lapruebapara la mueslra # I

6.2 Reporte de la prueba para la muesira # 2

30

31

31

31

32

38

38

39

44

45

54

55

57

58 59

68

69

6.3 Resultados de la conductividad iérmica para la muestra # I ypara la muestra # 2 71

NOMENCLATURA

NOMENCLATURA

LATINAS

A

A,

A, b

cos

d

e

f

g

gs G

H h

I

J o

J i

k

k. I:

N

n

Q, Qo

qi -

Área de medición

Área de la placa caliente

Área de separación entre el área de medición y la guarda

Radio exterior de la placa, radio interior de la guarda

Función coseno

Radio exterior de la guarda

Función exponencial

Función auxiliar

Generación de c.alor en placa o guarda

Fuente de calor superficial

Función de Green

Relación (Wk) Coeficiente convectivo del aire

Intensidad de corriente

Función de Bessel de primera clase y de orden cero

Función de Bessel de primera clase y de orden uno

Conductividad térmica de la placa o guarda

Conductividad térmica aparente

Espesor de la placa o guarda Norma

Número de mediciones experimentales

Flujo de calor generado en la placa o guarda

i.

Media aritmética

Magnitud medida

NOMENCLATURA

LATINAS

Resistencia térmica

Función propia

Coordenada radial en sistema coordenado cilíndrico

Incertidumbre del tipo A

Desviación estándar

Relación auxiliar

Función seno

Temperatura de la placa o guarda

Temperatura ambiente

Temperatura de la placa caliente

Temperatura de la placa fría

Temperatura de la guarda

Temperatura inicial de la placa o guarda

Temperatura para Iiomogenizar la condición de frontera

Temperatura de la versión homogénea

Tiempo

Incertidumbre estándar

Incertidumbre estándar combinada

Relación auxiliar

Relación auxiliar

Relación auxiliar

Mensurando: \iariable a medir

Función de Bessel de segunda clase de orden cero

Función de Bessel de segunda clase de orden uno

Coordenada axial en el sistema coordenado cilíndrico

,

,-

-- : , ,.? . : - I>

i - ,

GRIEGAS

n

a T

P m

V

&k

Constante pi

Difusividad térmica de la placa o guarda

Tiempo

Raiz de la ecuación de valores propios

Orden de la función propia

Incertidumbre total en la determinación de la condui

4 Coordenada angular en el sistema coordenado cilindrico

ividad

r al AT

Función supuesta para la solución por separación de variables

Función supuesta para la solución por separación de variables

Incremento de temperatura

mica

V

RESUMEN

La conductividad térmica es una propiedad de los materiales que permite estimar la

velocidad de propagación del flujo de calor, debido a la diferencia de temperaturas en el

cuerpo. El equipo para medir la conductividad térmica es un instrumento absoluto y

primario, y se le conoce como Aparato de Placa Caliente con Guarda.

En esta tesis se presenta un modelo de transferencia de calor para obtener la distribución de

temperatura en la placa caliente y un modelo matemático de transferencia de calor para

obtener el perfil de temperatura en la guarda de un aparato de placa caliente con guarda. Se

realizan cinco pruebas experimentales con el instrumento, para validar el modelo

matemático obtenido y se muestra que los resultados analíticos obtenidos se ajustan a las

fluctuaciones que se tienen en los resultados experimentales. Se realiza un análisis para el

cálculo de la incertidumbre en la determinación de la conductividad térmica y se obtiene

una clase de exactitud del 4% para el aparato. Se realiza una prueba utilizando un material

caracterizado para la evaluación del aparato y se obtiene una desviación menor a la clase de

exactitud del instrumento.

VI

CAPÍTULO 1

La Loaductividad térmica de un material es una medida de su tendencia a disipar energía,

cuando se perturba desde un estado de equilibrio, al imponerle un gradiente de temperatura.

Para optimizar o m e j m el diseño de.diversos co-mponentgs, se r e q u i n una evaluación - _ _ precisa de esta popiedad de transporte, en particular del equipo que involucra la

transferencia de calor [I].

Para medir la conductividad térmica de materiales aislantes se usa principalmente un

Aparato de Placa Caliente con Guarda .(~uarded~ot-elate_Apparatus)._S.u_principio.de

- operación y-e'procedimiento de prueba se describen en la norma ASTM C177 [2].

En el trabajo de Salazar 131, se reporta que principalmente los laboratorios del National

Institute of Standards and Technology (NIST), antes National Bureau of Standards (NBS)

de los Estados Unidos, en Gaithersburg, Maryland (NIST-G) y en Boulder, Colorado

(NIST-B), han representado un papel activo en el desarrollo y mejoramiento de este tipo de

instrumentos [4].

Lira [ 5 ] , escribe que al principio de los ~ O ' S , cuando el ahorro y conservación de energía

recibieron gran atención, la coiiductividad térmica de los materiales aislantes se medía en

muchos lugares. La crisis energética de 1973 trajo nuevo interés en la producción y prueba

de materiales aislantes, y esto condujo a nuevos problemas de medición y falta de

información sobre estos nuevos materiales.

1

INTROOUCCION CAPiTULO 1

AI realizar estudios de ahorro de energía, tanto a nivel teórico como experimental, así como

en la simulación de sistemas térmicos, los valores de las propiedades termofísicas se

consideran constantes y cuando es necesario asignarles un valor, se realiza una búsqueda en

la literatura, éstos valores, por lo general corresponden a materiales fabricados en el

extranjero y son medidos en condiciones de operación diferentes a las que se utilizan; así, el

uso de estos valores trae como consecuencia u ia sobreestimación o una subestimación de

los procesos que se están estudiando. En general al diseñar siempre se sobrestima y esto

puede conducir a grandes costos en la operación y construcción de sistemas y plantas que

requieren energía térmica.

Para cubrir la necesidad que se tiene de conocer los valores de las propiedades termofísicas

de los materiales que se emplean en México, principalmente aislantes en edificaciones y

sistemas térmicos, y para poder simular y estudiar de manera óptima estos sistemas con

fines de ahorro y uso eficiente de la energía, en el Centro Nacional de Investigación y

Desarrollo Tecnológico (Cenidet) se desarrolló un instrumento primario para determinar la

conductividad térmica de materiales aislantes de construcción, llamado aparato de placa

caliente con guarda APCG-CENIDET que se utiliza para determinar la conductividad

térmica de materiales aislantes que se fabrican o comercializan comúnmente en el país.

1.2 JUSTIFICACI~N

Recientemente, la demanda de datos exactos de las propiedades termofísicas de materiales

se ha incrementado como resultado de las necesidades industriales para un mejor diseño de

las componentes de las plantaso así como para el manejo eficiente de la energía que se

requiere en sus procesos. La mayoría de estos datos se utilizan para determinar las

cualidades técnicas y la factibilidad económica de los materiales, caracterizar nuevos

materiales y realizar modificaciones para responder a las condiciones actuales de eficiencia,

optimización y ahorro de energía en la operación de plantas y sistemas, así como el diseño

y construcción de edificaciones.

2

Así, poder conocer con gran exactitud las propiedades termofísicas es una demanda tanto

de diseñadores, simuladores, operadores y constructores de plantas y edificaciones.

Con el propósito de determinar con mayor exactitud la conductividad térmica de materiales

aislantes se propone realizar un estudio de los procesos de transferencia de calor que

ocurren en un aparato de placa caliente con guarda.

1.3 OBJETIVO Y ALCANCE

El objetivo de esta tesis es determinar con mayor exactitud la conductividad térmica de

materiales aislantes, mediante un análisis de transferencia de calor de un aparato de placa

caliente con guarda (APCG). Para lograr este objetivo se desarrolla un modelo matemático

de transferencia de calor en el cual solo se incluye la transferencia de calor por conducción

y por convección. El intervalo eii el cual trabaja el APCG, permite que la transferencia de

calor por radiación se desprecie.

El alcance incluye obtener un modelo matemático de transferencia de calor, el cual permita

conocer mejor los procesos de transferencia de calor en el instrumento; y realizar una

metodología para determinar la conductividad térmica, así como también realizar un

análisis de incertidumbre del aparato.

1.4 EL ESTADO DEL ARTE

1.4.1 Historia del APCG en el NIST

Durante más de ochenta años el NIST ha realizado literalmente miles de pruebas de

conductividad térmica en una variedad de materiales de aislamiento, que se han puesto a

disponibilidad de la ingeniería y a las profesiones científicas y se han incorporado en tablas

de diferentes manuales. La historia de esta actividad se ha descrito recientemente en la

3

iNTROoLlCCl6N CAPITULO I

publicación, "Building Research at the National Bureau of Standards", preparado por

Achenbach y Powell [6], que incluye los'inicios del aparato de placa caliente con guarda

del NIST. La historia moderna empezó esencialmente en 1964 cuando Robinson miembro

del NIST presentó sus nuevas ideas sobre fuentes de calor lineal para platos calientes con

guarda que se formalizaron después en la publicación, "Robinson Line-Heat-Source

Guarded-Hot-Plate Apparatus", por Hahn, Robinson y Flynn [7].

Los primeros trabajos del NIST en la transferencia de calor a través de los materiales de

aislamiento térmico empezaron aproximadamente en 191 O, cubriendo una demanda de la

American Society of Refrigerating Engineers para proporcionar los datos ordenados y útiles

pertenecientes a la transmisión de calor en aislantes que eran necesarios para propósitos de

diseño. Sin embargo, en ese momento, no estaba disponible un método preciso para medir

la transferencia de calor a través de materiales aislantes. En 1912, Dickinson 181, concibió y

construyó el primer aparato del plato caliente con guarda del NIST para este propósito.

Después, mientras que viajaba por Europa, él investigó, que en Alemania se había estado

usando un plato caliente con guarda para las medidas de conductividad térmica desde 1910.

Antes del desarrollo del plato caliente con guarda, la transferencia de calor a través de

materiales aislantes había sido determináda por métodos en los que el calor era transferido a

través de paneles aislantes con aire caliente en un lado y en el otro lado aire fresco. Los

resultados de las pruebas de este tipo estaban en muchos casos expresados como

conductividad térmica, pero ahora se define como valores de la transmitancia térmica.

En la primera publicación importante en este campo realizada por Dickinson y Van Dusen

en 1916 [SI, se describe cómo determinar exactamente el flujo de calor a través de los

espacios de aire y a través de 30 materiales aislantes. Esta publicación también promovió el

uso de la terminología estándar para medidas de la transferencia térmica obtenidas por

medio del método del plato caliente. Las medidas subsecuentes de materiales aislantes

fueron reportadas por Van Dusen en 1920 [9], y Van Dusen y Finck en 1928 [lo], usando

un aparato similar. Durante estos años, el NIST continuó mejorando y regularizando el

método del plato caliente. Aproximadamente en 1929, Van Dusen construyó lo que sería la

versión final de este tipo de aparato de plato caliente con guarda. Este aparato en particular

4

INTRODUCCION CAPITULO I

operó de forma consistente para el NIST p6Fmás decincuenta años hasta 1983. En 1987. el

aparato se colocó oficialmente bajo la protección del Museo del NIST para su conservación

y muestra.

En 1945, la American Society for Testing And Materials formalmente adoptó el método del

plato caliente con guarda como un método de prueba estándar, basado en parte, en el diseño

del NIST. En 1947, Robinson y Watson extendieron el intervalo de temperatura del aparato

de plato caliente con guarda y en los años siguientes hicieron la primera comparación

interlaboratorios de pruebas para la determinación de la conductividad térmica de

materiales aislantes entre los laboratorios, patrocinado en conjunto por la American Society

of Heating and Ventilating Engineers del NIST. Esta serie de pruebas claramente

demostraron la necesidad de una calibración adecuada del aparato para la industria y otros

laboratorios. Brevemente después de esto; se inventó un programa para proporcionar a la

industria muestras de materiales aislantes con propósitos de calibración. En 1977, más de

300 laboratorios se habían beneficiado- y se habían producido mejoras considerables en la

calidad de datos de conductividad térmica en materiales aislantes y de construcción, estos

datos fueron reportados en revistas técnicas y manuales.

1.4.2 APCG con una Fuente de Calor Lineal

EnJ.9-6~.,.Robinson. ['I], . presentó-prime~o-e!Ji$eño básico-&l-plato caliente con guarda

~oriluia~nte_de_calorlineal-en-~a~confer~ncia.de-c.ond~uc~i~idad-térmica.p.atr~.cinad~a-p~~ I el National Physicai Laboratorydnglaterra. El diseño fue reportado en Nature (1964)

como sigue:

H.E. Robinson (U.S. National Bureau of Standards) discutió formas de fientes de calor lineal que podrían usarse como calefactores en aparatos para las medidas de

materiales aislantes a bajas temperaturas en forma disco y forma de placa. Estas

nuevas configuraciones se prestan más fácilmeníe para el análisis matemático,

ellas son más simples parri el uso y parecerían poder rendir resultados mas

exactos.

5

INTRODUCCION CAP~TULO I

El diseño era nuevo. En contraste con un (convencional) plato caliente con guarda que usó

calentadores uniformemente distribuidos; el plato caliente con guarda con una fuente de

calor lineal utiliza una fuente de calor lineal circular en una posición específica. Para una

posición apropiada de la fuente de calor lineal, puede hacerse que la temperatura de borde

del plato sea igual a la temperatura promedio del plato y de ese modo puede facilitarse la

medición de la temperatura. Losb.eneficios_ofrecidos_por_un.plato_caliente-con guarda-con.

~na-~@en:e.de-calor-lineal-incluyen: ~ ~ ~ método __ ~ más . .~ -~ simple __ _--. de construcción, mejora. de .la, exactitud; simplificación del análisis matemático para calcular la temperaturagromedio en

-1a.s.uperf~e del plato; así como la determinación de los errores resultantes de las ganancias

de calor o pérdidas por los bordes de las muestras; y, uso bajo condiciones de vacío,

En 1971, Hahn [22], realizó un análisis riguroso del concepto de la fuente de calor lineal e

investigó algunas opciones de diseño, En 1973, Hahn, Robinson, y Flynn [7], publicaron el

diseño, análisis matemático, y análisis de incertidumbre para un prototipo de da to caliente

con guarda con una fuente de calor lineal. La construcción del aparato prototipo se

completó en 1978 y es descrita por Powell y Siu [13]. En 1981, Siu y Bulik [14],

publicaron la evaluación y el análisis de incertidambre. Debido a los resultados

prometedores del prototipo, el NlST inició planes para un segundo aparato, el APCG con

una fuente de calor lineal más grande. La construcción de este aparato se aceleró

dramáticamente debido a una decisión por la U.S. Federal Trade Commision en 1980 con

respecto ai etiquetado y publicidad de los materiales aislantes.

Ai final de 1980, el segundo APCG con una Fuente de Calor Lineal fue terminado bajo los

esfuerzos de Hahn y Peavy del NIST y Ober, un obrero invitado de la industria

privada[] 5,161. Casi inmediatamente, los servicios de mediciones para el público empezaron a principios de 1981 con el laboratorio que proporciona los primeros materiales

de referencia de espesores comprimidos, hechos de fibra de vidrio, un aislante térmico de

baja densidad. Desde 1981 a 1996 más de 75 medidas han sido realizadas. Este aparato

reemplazó el aparato del plato caliente con guarda que se construyó anteriormente en 1929

y todavía está en servicio hoy en día. _EnJ.~9_6,_la_American~S.o.ciety_for~T.esting~and~

MaterialsLGTM) .formaimente.adoptó_ei ConceptoPe. 1a~uente.de.cloli.n~Icorno-una

6

INTRODUCCI~N CAPITULO I

práctica standard, basada en parte. en el diseño del NIST. El estándar del ASTM incluye los

principales puntos del prototipo del NIST y del segundo APCG construido con una fuente

de calor lineal.

Además de los servicios' de mediciones para el público, el APCG se ha usado para

desarrollar el Standard Reference Materials (SRMs) para resistencias térmicas. El Standard

Reference Materials Program del NIST mantiene un valioso servicio logrando calidad de

las medidas y trazabilidad en las normas nacionales e internacionales distribuyendo más de

1300 materiales de referencia normalizados (SRMs) incluyendo varios aislantes térmicos

SRMs. La motivación para el aislaniiento térmico SRMs empezó en los 1970's cuando la

American Society for Testing and Materials Committee C-I6 de aislantes térmicos publicó

un plan recomendado que defiende el establecimiento de un programa de SRM como

aislamiento térmico. En respuesta, desde 1979 a 1987 el NIST, en un esfuerzo coordinado

con el U S . Department of Energy, realizó mediciones para caracterizar tres aislantes

térmicos SRMs incluyendo una placa de fibra de vidrio, una manta del fibra vidrio, y una

placa de sílice ahumada (fumed-silica). Más recientemente, en 1996, el NIST ha

establecido una placa de poliestireno expandido como SRM. Estos aislamientos térmicos

como los SRMs se establecieron basados en datos obtenidos del aparato del plato caliente

con guarda descrito anteriormente.

1.4.3 Antecedentes

En la investigación hecha por Salazar [3], se reporta que los aparatos de placa caliente con

guarda se han construido usando elementos de calentamiento distribuidos uniformemente

sobre una placa cuadrada o rectangular. Un aparato referido como NBS-CHP-I actualmente

en operación en el NIST para propósitos de calibración, se construyó usando elementos de

calentamiento distribuidos uniformemente sobre una placa cuadrada de 200 mm de lado. En

1964, Robinson de la NBS [7] sugirió que un aparato de placa caliente con guarda que

usara fuentes de calor lineal circular, sería más simple de construir y capaz de mejorar

exactitud. El diseño de ese aparato y las ventajas sobre un sistema de fuente de calor

distribuida se discutieron por Hahn y otros posteriormente [12]. Hace varios años la NBS

7

INTRODUCCI~N CAP~TULO I

emprendió la construcción de tal aparato y la evaluación de su funcionamiento, el cual se

encuentra en el NIST y se denomina aparato de placa caliente con guarda de fuente de calor

lineal (LHS-GHP) circular de 305 mm de diámetro [14].

El aparato 305 rnm LHS-GHP es básicamente similar en construcción al NBS-GHP-I,

excepto que en el diseño de la placa caliente, se usan fuentes de calor lineal en lugar de

elementos de calentamiento distribuidos uniformemente. Este aparato se hizo para

determinar la conductividad térmica efectiva de materiales aislantes en el intervalo de

temperatura de -23'C a 127°C. Una breve descripción del aparato 305 mm LHS-GHP,

resultados de mediciones y comparaciones con el NBS-GHP-1 está dado por Siu [14].

Por la obtención de datos prometedores y la operación general del 305 mm LHS-GHP, la

NBS emprendió el diseño y construcción de un segundo aparato de placa caliente con

guarda con una fuente de calor lineal circular. Este dispositivo de 1016 mm de diámetro ya

se construyó y se usa para medir la resistencia térmica de materiales aislantes de espesores

mayores de 150 rnm [15]. Un resumen del análisis de error para el aparato NBS 1016 mm

GHP se puede encontrar en [17].

En el Cenidet, se construyó un aparato de placa caliente con guarda (APCG) por el M.C.

Rubén Salazar Mendoza bajo la dirección del M.C. Leone1 Lira Cortés y el Dr. Alfonso

Garcia Gutiérrez. Este trabajo es el resultado del interés en el desarrollo de instrumentos de

medición de las propiedades térmicas y físicas de los materiales, por parte del Cenidet. La

descripción detallada del aparato esta dada por Salazar [3], y por Lira [18,19].

El APCG cumple con las características de un aparato absoluto y primario, además es el

primero en su clase en México y con él se tiene la capacidad de medir la conductividad

térmica de materiales sólidos, aislantes y de construcción [2,20].

.E1AP_CG_se_diseñó_con_basea_un_esiudio~~del-efe.ct~-de-b.o.r~e-pa~a-una~ge~met~ía~cir.c.ular,

con dicho estudio se obtuvo: c1) un tamaño ap-piado del APCG; (2) los espesores

8

INRODUCCI6N CAPtnrUJ 1

máximos de la muestra >- (3) - -. el orden - de I magnitud - . del error al utilizar el APCG (el orden de

magnitud del error de borde delap-gato-como función del espesor de la muestra) [21,22]

El principal beneficio del análisis que se realizó es la obtención de criterios para el diseño y

evaluación de aparatos de placa caliente con guarda, considerando los parámetros de prueba

esenciales.

El objetivo en la construcción del APCG, fue obtener un instrumento de una clase de

exactitud del 5%, cuyo costo no fuera muy alto.

Los resultados obtenidos de las pruebas indican que con el desarrollo del instrumento y un

procedimiento de evaluación adecuado se pueden efectuar mediciones confiables de la

conductividad térmica de aislantes en intervalos amplios.

En la figura 1.1 se muestra el aparato de placa caliente con guarda que se construyó en el

Cenidet.

Fig. 1.1 Aparato para medir la conductividad térmica de materiales sólidos aislantes.

En la figura 1.2 se muestran las principales características de un APCG. El plato caliente y el plato frío mantienen las condiciones de frontera de temperatura constante en las

9

CAP~TULO I INTRODUCCIÓN

superficies superior e inferior de la muestra. En el caso ideal, el flujo de calor es

unidimensional a través de la muestra, del plato caliente al plato frío en la dirección z

(normal a la superficie de los platos). Bajo estas condiciones, el cálculo de la conductividad

térmica aparente K,, o la resistencia térmica, R,,=L/K,, se'puede determinar a partir del

calor que se genera en el área de medición del plato caliente Qo, las temperaturas de los

platos calientes y frío, T, y Tf, el espesor de la muestra L, y el área A [2].

En el APCG todas las placas son de aluminio, las superficies de las placas en contacto

tienen una planicidad de 3 X I O -3 mm [5] . La placa fría contiene un intercambiador de

tubo de cobre de 6.4 mm de diámetro por el cual circula un líquido refrigerante. La

temperatura de la placa fría se mantiene a una temperatura uniforme por la circulación de

un fluido de un baño termostáiico, el cual tiene una estabilidad mejor que k 0.02 "C. El

flujo de fluido circula de forma paralela a través de la placa fría. La temperatura de la placa

fría se determina por medio de dos termopares.

"

I I I

W

I

3 : '0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Á R E A D E M X i C i Ó N

I L c . * c ab

E S P É C I M E N z I I Q e I < w 4 c

I 2 P L A C A F R i A + W

'I Fig. 1.2 Componentes principales del instrumento para medir la conductividad térmica de materiales sólido-s aislantes.

La placa caliente consiste de un arreglo entre el área de medición y la guarda, los cuales se

mantienen unidos mediante pernos de acero inoxidable, b a r a c i ó n entre el área de

I medición-yAguarda es de 1.2 mm. La guarda se calienta con un elemento calefactor que se

encuentra a 98.3 mm del centro del área de medición, este elemento se construyó de un

filamento delgado de cinta de nicromel aislado eléctricamente con mica y tiene un espesor

10

INTROOUCCION CAP~TULO I

de 0.8 mm y un ancho de 11 inm con una resistencia eléctrica de 20 ohm a temperatura

ambiente. En esta sección se encuentran alojados cuatro termopares.

!I El área'de medición de la placa caliente se calienta usando un elemento'calefactor que se

localiza a 53.88 mm del centro, esto permite lograr que la temperatura superficial promedio

en el área de medición se aproxime a la temperatura del borde. El elemento calefactor es un

filamento delgado de cinta de nicroiiiel aislado eléctricamente con mica y tiene un espesor

de'0.8 mm y un ancho de 11 mm y una resistencia a temperatura ambiente, de 17 ohm. Esta

sección contiene tres termopares separados 1 11 grados y se consideran las posiciones más

apropiadas para proporcionar el promedio de la temperatura del área de medición [ 5 ] .

i

La potencia eléctrica se suministra mediante dos fuentes de corriente directa regulada y

regulable tanto al calefactor como a la guarda, y la potencia se determina con base en las

mediciones de corriente y voltaje a través de los calefactores con dos multímetros. I!

La geometría completa de la placa caliente es circular de 305 mm de diámetro y un área de

medición de 152.4 mm de diámetro.

La medición de temperatura se realiza por medio de termopares tipo T que se calibraron

conforme a la norma ASTM E-230-93. Los termopares se fijan a las superficies de los

pianos insertándolos en cavidades de 0.2 mm maquinadas en la superficie de los platos. En

total se colocaron nueve termopares en la superficie de trabajo; tres en el &ea de medición,

cuatro en el área de la guarda y dos en la placa fría. Los sensores de temperatura se

conectan a una tarjeta multiplexora PCLD-789 que a su vez se conecta a una tarjeta

adquisitora de datos PCL-812PG, la cual se encuentra alojada en una computadora y el

sistema de adquisición de datos PCLS-920 GENIE para control de experimentos, permite monitorear el estado de los termopares en distintos intervalos de tiempo.

i

.[I

El área de medición y el espesor de la muestra se determinan con un vernier.

i

~~~ ~ ~ . .. . . . ~ ~~ - .

. .

INTRODUCCI~N CAPITULO I

De lo expuesto se concluye que el desarrollo y mejoramiento de equipos para la medición

de la conductividad térmica de materiales aislantes tiene gran interés por la amplia variedad

de diseños de aparatos y exactitudes de diseño que se pueden obtener para satisfacer los

requerimientos de problemas de medición específicos.

12

MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG CAPiTULO 2

CAPÍTULO 2 I)

MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG

2.1 INTRODUCCI~N

En este capítulo se presenta la solución analítica para la ecuación diferencial de conducción

de calor no-homogénea en el sistema coordenado cilíndrico (en dos dimensiones: r,+) con

propiedades constantes y condiciones de frontera convectivas, esto se lleva a cabo haciendo

uso de la función de Green desarrollada en [23], para evaluar los términos no-homogéneos

de la ecuación a resolver, también se utiliza el método de separación de variables para la

versión homogénea de la ecuación correspondiente.

En el punto 2.2 se desarrolla un inodelo matemático para el análisis de la placa caliente del

APCG.

En el punto 2.3 se desarrolla un modelo matemático para el análisis de la guarda del APCG.

El objetivo de tener una guarda en APCG es el evitar las pérdidas de calor que pueda tener

la placa caliente por el borde [ 3 ] , por lo tanto para evitar estas pérdidas se necesita que la

guarda tenga la misma temperatura que la placa caliente.

Este análisis se realiza con el objetivo de mejorar la exactitud en la determinación de la

conductividad térmica, por lo que los procesos de transferencia de calor que ocurren en la

placa y en la guarda son estudiados.

13

CAPiTULo 2 MODELO MATEMÁTTCO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG

2.2 MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO PARA LA PLACA

CALIENTE DEL APCG

En la figura 2.1 se muestra el modelo fisico para el análisis de la placa caliente en el APCG.

El análisis se realiza para el sistema coordenado cilíndrico en dos dimensiones (r,$), no se

considera la coordenada en la dirección “2’ debido a que la placa es muy delgada y se

considera que el flujo de calor generado en la superficie de la placa es el mismo en

cualquier punto de la placa en la dirección ‘Y’. La placa caliente se encuentra a una

temperatura inicial To para un tiempo t=O y para un tiempo t>O la frontefa de la superficie

de la placa caliente en r-b se disipa calor por convección a un medio a temperatura T. . I/

t ” Para t = O

T=T, Fuente de calor

/

FIGURA 2.1 Modelo fisico de la placa caliente

La formulación matemática de la ecuación a resolver, para el análisis del campo de

temperatura de la placa caliente del APCG es la siguiente: ‘I

d 2 T 1 dT 1 d2T 1 1 dT -+--+-- + - g ( r , @ , t ) = -__ d r 2 r dr r 2 d 4 2 k a at

en O < r < b , O < $ < Z n , para t>O

1 14

~~ . . .~ ~~ ~-

CAP~TULO 2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG

¡I

Condición de frontera: . .

aT -+ HT = HT, dv en r = b , H = h / k para t > O

Condición inicial:

(2.3) T = To en O s r l b , 0 < 4 5 2 n , para t=0

Los dos primeros términos de la ecuación (2.1) representan la variación de la temperatura

de manera radial en La placa caliente, el tercer término de la ecuación (2.1) representa la

variación de la temperatura de manera angular en la placa caliente (los tres primeros

términos de la ecuación (2.1) se llaman términos espaciales de dicha ecuación), el cuarto

término de la ecuación (2.1) representa la generación de calor en la placa caliente y el

último término de la ecuación (2.1 ) se llama término temporal de la ecuación y representa

la variación de la temperatura con el tiempo.

I

La condición de frontera se hace homogénea, sí:

T, = T - T, (2.4)

Por lo tanto, si se sustituye la ecuación (2.4) en las ecuaciones (2,1), (2.2) y (2.3) se tiene:

1 a’T, 1 1 aT, (2.5) + g ( r , # , t ) = --- a’T, 1 aT,

ar Y ar r 2 ab2 k a at __ + - __ + - ...-

en O l r < b , 0 1 $ < 2 n , para t > O

15

MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFEKENCIA DE CALOK EN EL APCG CAPITULO 2

Condición de frontera:

en r = b , H = h / k para t > O -+HT, ar , = o dr

Condición inicial:

La solución de la ecuación (2.5) se expresa en términos de la función de Green desarrollada

en [ 151 como:

Los pasos a seguir para determinar el campo de temperatura T (Y, 4, t ) son:

I .- Determinar la función de Green apropiada, para esto se considera la versión homogénea

del problema (no se incluye el termino de generación de calor) como sigue: i

Formulación matemática: i!

1 d2T2 - 1 dT2 a2T, 1 dT, dr r dr r 2 a d t

- __ + + - (2.9)

16

. . . . ~ ~ ~~~ ~

CAPITULO 2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG

I1 t >O en O 5 r < b, O 5 4 5 2n, para


Condición inicial:

en r = b , H = h / k para t > O (2.10)

en O á r < b , 0541271, para t=0 (2.1 I )

La solución de la ecuación (2.9) se obtiene por el método de separación de variables, el

desarrollo matemático para obtenerla se muestra en el apéndice A. L a solución es la

siguiente: 'i

Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar z por 27c para I/ = O en la ecuación (2.12).

2.- Se obtiene la solución T, (Y, 4, t ) de la versión homogénea del problema (ecuación

(2.9)) en términos de la función de Green, se aplica la ecuación (2.8).

. .

MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR E N EL APCG CAPITULO 2

I1

1 3.- Se compara la expresión que se tiene del paso 1 (ecuación (2.12)) con la expresión del

paso 3 (ecuación(2.13)), y se obtiene de esta manera la función de Green. Por lo tanto se

tiene:

* r ' R v ( p m ,r ' )Cos v(4 - 4 ' ) 1 (2.14)

La función de Green que se necesita se obtiene al reemplazar ' t ecuación (2.14), por lo tanto se obtiene:

por ( t - z) [23], en la

* r ' R , ( p , , r')Cos v(4 - 4 ' ) (2.15)

4.- La función de Green que se obtiene en el paso 3 (ecuaciones (2.14) y (2,lS)) se sustituye

en la ecuación (2.8) para obtener el campo de temperatura r, (Y, 4, t )

18

~ .~ . ~~. ~

CAPITULO 2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG

b 2z

(2.16) * f fr'Rv(flm,r')Cos V($J - qY)g(r' ,@',r)d@dr'

r ' d ) &=O

Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar rr por 2n para v = O en la ecuación (2.16)

5 . - h último, se aplica el cambio de variable (ecuación (2.4)) a la solución que se obtiene

en el paso 4 (ecuación (2.16)) para obtener el campo de temperatura T ( r , 4, t ) .

Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar rr por 2n para v = O en la ecuación (2.17). ii

19

CAP~TULO 2 MODELOMATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG

El primer término en la ecuación (2.17) representa la contribución de la condición de

frontera, el segundo término en la ecuación (2.17) representa la contribución de la

condición inicial y el último término en la ecuación (2.17) representa la contribución de la

generación de calor.

La ecuación (2.17) nos da el campo de temperatura T ( r , $ , i ) para el análisis de la placa

caliente del APCG para obtener la posición optima de los termopares en dicha placa. ’1

El término R , (pn , , Y ) en la ecuación (2.17), es la función propia en dicha ecuación y está

dada por las funciones de Bessel de Ira y 2da clase de orden v , y su valor se determina en

el apéndice B. El término N ( p n , ) en la ecuación (2.17), es la norma en dicha ecuación y

su valor se determina en el apéndice B. El término p,, en la ecuación (2.17), son las

raíces de la ecuación de valores propios que se determina en el apéndice B. Para encontrar

las raíces p,,) de la ecuación de valores propios para la ecuación (2.17) se realizó un

programa de computo en lenguaje Fortran-77, este programa se encuentra en el apéndice G,

como el programa # 1.

II

En el apéndice B, se realiza un análisis matemático para encontrar los valores que pueda

tener v para la ecuación (2.17). I

La evaluación de las integrales para la ecuación (2.17) se muestra en el apéndice C.

En el apéndice F, se realiza un análisis dimensional de las unidades para la ecuación (2.17).

I1

2.3 MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO PARA LA GUARDA DEL APCG

En la figura 2.2 se muestra el modelo físico para el análisis de la guarda en el AF’CG. El

análisis se realiza para el sistema coordenado cilíndrico en dos dimensiones (r,+), no se

20 I1

MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCO CAPiTULo 2

considera la coordenada en la dirección “z” debido a que la guarda es muy delgada y se

considera que el flujo de calor generado en la superficie de la guarda es el mismo en

cualquier punto de la guarda en la dirección ‘Y. La guarda se encuentra a una temperatura

inicial To para un tiempo t=O y para un tiempo t>O la frontera de la superficie interior de la guarda en r=b se disipa calor por convección a un medio a temperatura T, y en la frontera

de la superficie exterior de la guarda en mi se disipa calor por convección a un medio a temperatura T,. 11

Para t = O t Z T=T, En r=b, para

t > O

Fuente de calor

I I u1

FIGURA 2.2 Modelo fisico de la guarda

+ HT

Para O = HT,

La formulación matemática para la ecuación a resolver, para el análisis del campo de

temperatura de la gurda del APCG es la siguiente: ’! I.

aZT 1 dT 1 a Z T 1 1 dT dr r dr r a4= k a at -+--+y-- + - g ( r , 4 , t ) = -__

en b i r < d , O 1 4 < 2 x , para t>O

(2.18)

CAPITULO 2 MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG

\

Condiciones de frontera:

Condición inicial:

T = T o

para t > O

para t >O

(2.19)

(2.20)

en b < r 3 d , 0341271, para t = O (2.21)

Los dos primeros términos de la ecuación (2.18) representan la variación de la temperatura

de manera radial en la guarda, el tercer término de la ecuación (2.1i8) representa la

variación de la temperatura de manera angular en la guarda (los tres primeros términos de

la ecuación (2.18) se llaman términos espaciales), el cuarto término de la ecuación (2.18)

representa la generación de calor en la guarda y el último término de la ecuación (2.18) se

llama término temporal de la ecuación y representa la variación de la temperatura con el

tiempo.

It

La solución de la ecuación (2.1 8), se obtiene de manera similar, a la solución de la placa

caliente. La solución de la ecuación (2.18), es igual a la solución de la placa caliente, con

excepción, que la ecuación de valores propi0s.y la función propia van a cambiar, debido a

las dos condiciones de frontera que se tienen en la guarda.

1 1

La solución para obtener el campo de temperatura T ( Y , 4 , t ) , en la guarda es:

22

CAPiTULO2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG

Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar ?r por 27r para v = O en la ecuación (2.22).

El primer término en la ecuación (2.22) representa la contribución de la condición de

frontera, el segundo término en la ecuación (2.22) representa la contribución de la

condición inicial y el último término en la ecuación (2.22) representa la contribución de la

generación de calor.

La ecuación (2.22) nos da el campo de temperatura T(y74,t) para el análisis de la guarda 1

del APCG para obtener la posición optima de los termopares en dicha placa.

El término R, (p, , r ) en la ecuación (2.22), es la función propia en dicha ecuación y su

valor se determina en el apéndice D. El término N(P,,) en la ecuación (2.22), es la norma

en dicha ecuación y su valor se determina en el apéndice D. El término p , en la

ecuación (2.22), son las raíces de la ecuación de valores propios que se determina en el

apéndice D. Para encontrar las raíces de la ecuación de valores propios para la

ecuación (2.22) se realizó un programa de computo en lenguaje Fortran-77. este programa

se muestra en el apéndice G, como el programa # 4.

,I i

p,

23

~ ~~~ .~ ~~~~. . ~~ . .

CAP~TULO 2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DI-: CALOR EN EL APCG

En el apéndice D, se realiza un análisis matemático para encontrar los valores que pueda

tener v para la ecuación (2.22). I\

La evaluación de las integrales para la ecuación (2.22) se muestra en el apéndice E.

En el apéndice F, se realiza un análisis dimensional para las unidades de la ecuación (2.22).

Los resultados que se obtienen del programa, para los valores propios y el campo de

temperatura para los distintos casos estudiados se muestran en el capitulo 4, donde se

realiza una comparación donde es posible con los casos medidos experimentalmente

(capitulo 3), lo cual permite validar el modelo matemático. I(

24

. ~ . .

CAP~TULO 3 ANALISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG

CAPÍTULO 3 1

ANÁLISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG

3.1 INTRODUCCI~N

En este capitulo se presentan los cinco casos experimentales que se pueden estudiar con la

placa caliente y la guarda del aparato de placa caliente con guarda. / j

En el punto 3.2 se describen cada uno de los casos experimentales con sus diferentes

condiciones de frontera, tanto para la placa caliente como para la guarda. En el punto 3.3 se realiza una descripción del dispositivo experimental. En el punto 3.4 se presentan los

resultados de los diferentes casos experimentales y en el punto 3.5 se presentan algunas

conclusiones con respecto a los resultados obtenidos.

3.2 CASOS EXPERIMENTALES EN EL APCG 1

3.2.1 Caso 1

Este experimento es el caso en donde la placa caliente se alimenta por un voltaje y una

intensidad de corriente y tiene una frontera de aluminio, es decir esta en contacto con la

guarda, pero la fuente de calor de la guarda esta desactivada; la frontera exterior de la

guarda esta disipando calor por convección al medio ambiente. En la figura 3.1 se muestra

el modelo fisico de este experimento.

25

ANALISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG CAPITULO 3

3.2.2 Caso 2

/I Este experimento es el caso en donde la guarda se alimenta por un voltaje y una intensidad

de corriente y tiene en su radio exterior la frontera al medio ambiente y en su radio interior

la frontera de aluminio, es decir esta en contacto con la placa caliente, pero la fuente de

calor de la placa caliente esta desactivada. En la figura 3.2 se muestra el modelo físico para

este caso.

3.2.3 Caso 3

Este experimento es el caso en donde el disco caliente o plato superior del APCG (placa

caliente y guarda) se alimenta por un voltaje y una intensidad de corriente tanto para la

placa caliente como para la guarda y tiene una frontera al medio ambiente, En la figura 3.3

se muestra el modelo físico de este experimento. I1

3.2.4 Caso 4

Este experimento es el caso en donde la guarda se alimenta por un voltaje y una intensidad

de corriente y tiene tanto en su radio exterior como en su radio interior, fronteras al medio

ambiente. Es decir en su radio interior no esta en contacto con la placa caliente. En la figura

3.4 se presenta el modelo físico para este caso experimental.

3.2.5 Caso 5

I1 Este experimento es el caso en donde la placa caliente se alimenta por p voltaje y una

intensidad de corriente y tiene una frontera al medio ambiente, es decir no esta en contacto

con guarda. En la figura 3.5 se presenta el modelo físico para este experimento.

En los todos casos experimentales donde se tenía una frontera convectiva, la transferencia

de calor por convección se daba por convección natural.

26

ANÁLISIS EXPERiMF,iVAL EN EL APCG cAPmm3

Fuente de calor activada

Fuente de calor Fuente de calor desactivada Fuente de calor desactivada activada I Placa caliente placa caliente 1

arda

Fig. 3.1 Modelo fisico del caso 1 Fig. 3.2 Modelo fisico del caso 2

Fuente de calor activada Fuente de calor activada Frontera al

Fuente de calor

Placa caiiente I activada Medio ambiente I medio ambiente

Fig. 3.3 Modelo fisico del caso 3 Fig. 3.4 Modelo fisico del caso 4

27

ANÁLISIS EXPERIMENTAL EN EL AFCG cllpinm 3

Fuente de calor activada Frontera al medio 11

Placa caliente I ambientk

Fig. 3.5 Modelo físico del caso 5

L 3.3 DESCRIPCIÓN DEL DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

3.3.1 Descripción del APCG

El dispositivo experimental descrito en [3] consiste en una placa caliente, una placa

denominada guarda, una placa fría, un intercambiador en espiral, dos resistencias y un

soporte para el montaje de las piezas. Todas las placas son de aluminio y el intercambiador

de cobre.

3.3.2 Placa fría II

La placa fría se construyo en aluminio, con una ranura en espiral para alojar el

intercambiador de calor. La temperatura de la placa 6ía se mantiene por la circulación del

fluido de un baño termostático. El baño termostático tiene una estabilidad de 5 0.02'C. La

temperatura del baño se puede seleccionar entre -15°C a 100°C. El flujo del fluido es

paralelo a la placa fiía a través del intercambiador.

28

CAPiTULO 3 ANÁLISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG

3.3.3 Arreglo de la placa caliente y guarda i:

La placa caliente y la guarda se mantienen unidas mediante tres pernos de acero inoxidable.

La separación que existe entre la placa caliente y la guarda es de 1.2 mm.

3.3.4 Guarda

La guarda se calienta con un elemento calefactor que se localiza a una distancia de 98.3

mm del centro de la placa caliente. El borde interior de la guarda tiene forma en V. Los termopares se localizan en ángulos azimutales de 31°, 133', 227', y 335' relativos a los

alambres conductores del calefactor de la guarda. I .;

3.3.5 Placa caliente

La placa caliente se calienta por un elemento calefactor que se localiza a una distancia de

53.88 mm del centro de la placa caliente. El borde exterior de la placa caliente tiene forma

de V, los agujeros para alojar los termopares se sitúan azimutalmente a 69', 180°, 291'

relativos a los alambres conductores del calentador de la placa caliente.

3.3.6 Elementos calefactores

Ambos elementos calefactores. el de la guarda y el de la placa caliente! son filamentos

delgados de cinta de nicromel aislados eléctricamente con mica y tienen espesor de 0.8 nun

y ancho de 11 mrn, con resistencia a temperatura ambiente de 20 y 17 L2 respectivamente.

. 3.3.7 Potencia eléctrica

La potencia eléctrica que se suministra al calefactor del área de medición y al calefactor de

la guarda se regula mediante una fuente de regulada de corriente directa y se determina en

base a mediciones de voltaje y la corriente a través del elemento calefactor. 1,

CAPiTULO 3 ANALISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG

3.3.8 Termopares

Nombre de la variable

Flujo de calor Q=EI, W

Temperatura en la placa caliente Tc , "C

Temperatura en la guarda TG , "C

Temperatura ambiente TA , 'C

Todos los termopares que se emplean son tipo T (cobre-constantan de 0.2 mm de diámetro).

Estos se calibraron en el Laboratorio de Térmica del Cenidet, con la ayuda de un baño de

líquido de temperatura controlada y un adquisitor de datos.

Valor promedio en estado permanente

11.8

53.35

39.52

26.41

3.4 RESULTADOS DE

APCG

LOS CASOS EXPERIMENTALES EN EL

En todos los casos se midieron 5 series de 10 datos cada una, una vez que se alcanzó el

estado permanente, los resultados que se muestran corresponden al promedio de las 5 series

para cada variable. En el caso de la temperatura de la placa caliente se'ipromedian los 3

valores que se midieron y para la guarda caliente se promedian los 4 valores que se

midieron;asi la temperatura de la placa caliente o guarda corresponde al promedio final.

Los resultados experimentales para cada uno de los casos se muestran en las tablas 3.1, 3.2,

3.3,3.4 y 3.5.

En la figura 3.6 se muestra el comportamiento de la temperatura, para la' placa caliente y

para la guarda del APCG (caso I ) , las lecturas corresponden a uno de los termopares

colocados en la placa y a uno de los termopares colocados en la guarda.

h

ANÁLISIS EXPERIMENTALEN EL APCG CAPITULO 3





Temperatura ambiente TA , OC

60, d


9.89

34.30

37.77

24.50

50. 40 .

30.



Temperatura en la placa caliente TC , "C


Temperatura ambiente TA , OC

O 1 36 7 1 106 141 176 211 246 281

T i e m p o (minutos)

Figura 3.6. Comportamiento de la Temperatura para el Caso 1

Valor promedio estado permanente

22.11

64.12

52.04

32.29 -


En la figura 3.7 se muestra el comportamiento de la temperatura, para la guarda del APCG

(caso 4), las lecturas corresponden a uno de los termopares colocados en la guarda.




3.0 -

31

ANÁLISIS EXPENMENTAL EN EL APCG CAPiTULO 3

Temperatura en la guarda TG , "C 40.54

Temperatura ambiente TA , "C

30 2030 4030 6030 8030 10030

Tiempo (segundos)

27.24

Figura 3.7. Comportamiento de la Temperatura para el Caso 4

40 . 0-

!? a

a,

CI

2 20.

E 10.

io! o,

En la figura 3.8 se muestra el comportamiento de la temperatura, para la placa caliente del

APCG (caso 5), las lecturas corresponden a uno de los termopares colocados en la placa.

30./

- Guarda



Temperatura en la placa caliente TC , "C

Temperatura en la guarda TG , OC

Temperatura ambiente TA , "C

I " ,

60. 2 50. a

40. 30.

- - a, 20. j_ ñaca Caliente/

I- 10,


5.0

65.21

29.38

1 101 201 301 401 501 601 Tiempo (minutos)

Figura 3.8. Comportamiento de la Temperatura para el Caso 5 32

ANALISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG CAPfTULO 3

En las figuras 3.6, 3.7, y 3.8, se puede observar como se alcanza el estado permanente para

cada uno de los casos correspondiente, tanto para la placa caliente como para la guarda

Las oscilaciones de temperatura que se tienen en la placa y en la guarda son debidas a la

interacción con el medio ambiente, durante las pruebas experimentales no se aisló el

sistema.

3.5 CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES

EN EL APCG

El análisis de estos casos nos permite por una parte validar el código para cada una de las

partes que integran la solución analítica del problema bajo estudio.

Para el caso 1, donde se tiene la placa caliente alimentada y se coloca la guarda a

temperatura ambiente, corresponde a una frontera de aluminio para la placa, la temperatura

que alcanza la placa es de 53.4 OC y la frontera o sea la guarda alcanza una temperatura de

39.5 OC. Estos resultados se pueden comparar con los resultados que se obtienen en el caso

5, en el cual, la diferencia es que el experimento para el caso 5 tiene una frontera al medio

ambiente, en este caso la temperatura que alcanza la placa es de 65.2 "C, lo cual se explica

por la menor disipación de calor.

Del mismo modo los casos 2 y 4 son comparables, ya que en el caso 2, se tiene a la guarda

alimentada y en la frontera interior se encuentra colocado aluminio y la frontera exterior es aire a temperatura ambiente. para este caso la temperatura de la guarda es de 37.8 "C y para

la placa de aluminio o frontera interior es de 34.3 OC, similarmente en el caso 4, se tiene a la

guarda con fronteras de aire a temperatura ambiente, y la temperatura que alcanza la guarda

es de 40.5 "C, este resultado confirma el mismo efecto observado en la placa caliente

(comparación de los casos 1 y 5), es decir, la influencia del tipo de material que posee la

frontera.

33

ANÁLISIS EXPENMENTAL EN EL APCG CAPiTULO 3

Finalmente, el caso 3 muestra los resultados que se obtienen para el sistema placa y guarda

y la frontera exterior en contacto con el medio ambiente, aquí los resultados que se tienen

para la placa es de 64.1 OC y para la guarda es de 52.0 "C. Lo cual explica que el flujo de

calor se dirige de la placa calienlc hacia la guarda y luego hacia el medio ambiente como se

esperaba.

En todos estos casos sólo se esta considerando que los flujos de calor son radiales ya que no

se realiza un análisis en la coordenada axial, debido a que, cuando el instrumento está

funcionando, la placa caliente en la parte superior esta aislada y en la parte inferior se

encuentra en contacto con la muestra, a la cual se desea medir su conductividad.

Con estos resultados se validará el código que se desarrolló y permitirá analizar mejor el

comportamiento de la placa caliente que forma al instrumento.

34

RESULTADOS Y DISCUSION CAPiTULo 4

CAPÍTULO 4

RESULTADOS Y DISCUSI~N

4.1 INTRODUCCI~N

En este capitulo se presentan los dos casos experimentales que se pueden comparar con el

modelo matemático de transferencia de calor en el APCG. Esta comparación se realiza con

el fin de poder validar las ecuaciones obtenidas como modelo matemático del APCG.

En el punto 4.2 se describe la ecuación (capitulo 2) que se utilizó para comparar el caso

experimental # 5 (capitulo 3) y se escriben los resultados del programa implementado para

el modelo matemático para esta comparación, En el punto..4.3 se describe la ecuación

(capítulo 2) que se utilizó para comparar el caso experimental ,# 4 (capitulo 3) y se escriben

los resultados del programa implementado para el modelo matemático para esta

comparación y en el punto 4.4 se describen algunas conclusiones de la validación del

modelo matemático del APCG.

4.2 VALIDACI~N DEL MODELO MATEMÁTICO PARA LA PLACA

CALIENTE EN EL APCG

La ecuación para obtener el campo de temperatura de la placa caliente en el APCG, es la

ecuación 2.17. Esta ecuación representa el caso experimental # 5, descrito en el capítulo 3.

La ecuación 2.17 que se programa es la siguiente:

35

CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DiSCUSi6N

b 271

* fi'Rv(Bm,rl)Cos v(@ - @')d@'dr'+

Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar ?r por 2n para v = O en la ecuación (4.1).

La ecuación (4.1) nos da el campo de temperatura T ( r . 4 , O para el análisis de la placa

caliente del aparato de placa caliente con guarda.

La expresión para la función propia R , (p, , Y ) , la norma

valores propios Pm , se determina en el apéndice B.

N ( p n z 1 , y la ecuación de

Las expresiones del resultado de la evaluación de las integrales de la ecuación (4.1) se da

en el apéndice C. Como resultado de la integral de la función trigonométrica, se tiene que la

ecuación (4.1) solo es valida para v=O , para cualquier otro 'valor de v el resultado de la

ecuación es cero.

36

RESULTADOS Y DiSCUSi6N CAP~TULO 4

Para encontrar las raíces om de la ecuación de valores propios se realizó un programa de

cómputo en lenguaje Fortran-77 para v=O (programa #1, apéndice G), la ecuación que se

programa esta dada en el apéndice B (ecuación (B.9)) y es la siguiente:

I ,

El término de la ecuación (4.1) representa la generación de calor generada por

una fuente de calor local e instantánea localizada en la placa caliente y es igual a un valor

constante.

/$

4.2.1 Resultados del Modelo Matemático para la Placa Caliente

Para probar que el programa de cómputo da resultados congruentes, se realizó una corrida

utilizando las siguientes dimensiones y valores, según las condiciones del aparato

experimental. Así se consideró que el radio exterior de la placa caliente fue, b=0.0762 m; el

radio en un punto específico de la placa caliente fue, ~ 0 . 0 3 8 1 m; la temperatura ambiente

como, Ta=288 K; la temperatura inicial de la placa caliente, To=338 K; el coeficiente de

difusividad térmica para la placa caliente (aluminio), a=0.000084 m2/s; el coeficiente

convectivo (convección libre) para el aire, h=14 W/m2 K; la conductividad térmica para la

placa caliente, k=204 W/m K; la relación, H=b/k=0.0686 / m; la generación de calor,

g=5.74 W/m3; y el tiempo especifico de, t=0.001 s.

Utilizando el programa de cómputo desarrollado que implementa las funciones de Bessel

(Jo, .I[), se calculan: los valores propios Pin o las raíces de la ecuación (4.2), en la tabla 4.1

se muestran las primeras 5 raices de la ecuación (4.2).

Los datos que se obtienen para el campo de temperaturas (ec. (4.1)), en la cual primero se

considera solamente la primera raíz y posteriormente se tomará en cuenta la segunda raíz.

En la tabla 4.2 se encuentran tabuladas las temperaturas para diferentes radios (r) y para un

tiempo fijo t=0.001 s.

37

CAPITULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN

P"ii

Pm2

Pm3

P"i4

P" i5

1.349999

50.299998

92.079997

133.5 19997

174.859996

Tabla 4.2 Resultados de temperatura para t=0.001 s.

En la Tabla 4.3 se muestran los resultados en el tiempo de las temperaturas para el radio,

~ 0 . 0 3 8 1 m, se utiliza primero la primera raíz y luego se incluye la segunda raíz, sus

gráficas correspondientes se muestran en la figura 4.1.

En la tabla 4.2 y en la tabla 4.3 se puede notar que al incluir la segunda raíz Prn2 para el

cálculo de la distribución de temperatura, no tiene un cambio significativo para efectos

prácticos. Por lo tanto se puede tomar como resultado el campo de temperatura calculado

para la primera raíz, Pmi, ya que los pequeños incrementos de temperaturas debido a las

otras raíces se pueden despreciar.

38

RESULTADOS Y DISCUSIÓN c A P m 4

Tiempo, t

0.001

0.01

o. 1

1

La figura 4.1 muestra el comportamiento en el tiempo del campo de temperaturas, para un

radio fijo r=O.O381m, para T(r,Bmi) y T(r,p,,,l+!3&. Los resultados no muestran cambios

apreciables en el tiempo que se realizo la corrida con respecto a las raíces. Las soluciones

de temperatura se modificará, según los valores que se midieron del experimento (caso 5).

T(r, Bmd T(r, Brni+Bm~) AT 338.0388 338.0185 0.0203

338.0388 338.0185 0.0203

338.0381 338.0182 0.0199

338.03 12 338.0147 0.0165

10

1 O0

337.9623 337.9599 0.0024

337.2788 337.2788 O

1000

10000

100000

O 20000 4 m 6 W 80000 100000 1 m o Tiempo (segundos)

Figura 4.1 Distribución de temperatura para ~ 0 . 0 3 8 1 m

330.9377 330.9377 O

298.8452 298.8452 O

228.2014 288.20 14 O

En la validación del modelo matemático se utilizaron las siguientes dimensiones y valores

de las constantes, así como los valores medidos de la temperatura. Por lo tanto los valores

39

considerados fueron, el radio exterior de la'placa caliente, b=0.0762 m; la posición donde

se encuentran los termopares de la placa caliente, ~ 0 . 0 7 6 2 m; la posición en donde se

encuentra colocada la fuente de calor de la placa caliente, r1=0.0538 m; la temperatura

ambiente, Ta=302.378 K; la temperatura inicial de la placa caliente, To=302.378 K; el

coeficiente de difusividad térmica para la placa caliente (aluminio), a=0.000084 m2/s; el

coeficiente convectivo (convección libre) para el aire, h=14 W/m2 K; la conductividad

térmica para la placa caliente, k 2 0 4 W/m K; la relación, H=h/k=0.0686 / m; la generación

de calor, g=5.0 W. Las corridas para el tiempo se hicieron cada minuto, t=1.0 min.

Las raíces de la ecuación (4.2) están mostradas en la tabla 4.1.

En la figura 4.2 se muestra la distribución de temperatura obtenida experimental (caso # 5)

y la distribución de temperatura obtenida analíticamente (incluyendo solamente las dos

primeras raíces, programa #2 (apéndice G))

-- I

I-- I I

1 im 23l Jn 4% 53 en 701

nenPomnib353 Figura 4.2 Distribución de temperatura experimental y analítico

Se realizó una corrida del programa de cómputo (programa#3, apéndice G), para la

ecuación (4.1), con un tiempo fijo (t=lOOOOOs) y para diferentes radios de la placa caliente,

40

RESULTADOS Y DISCUSIÓN CAPITULO 4

desde el centro hasta el radio exterior de la misma (0.0762m). En la figura 4.3 se muestra el

perfil de temperatura en función del radio de la placa caliente. Este resultado se promedio y

se obtuvo el valor de temperatufa promedio. El valor de temperatura promedio se compara

341.010000

341.000000

340.990000

0 - 340.980000 E 5 340.970000 2

340.960000

i- 340.950000

340.940000

340.930000

$

0.000E 1 .OOOE- 2.OOOE- 3.000E- 4.000E- 5.000E- 6.000E- 7.000E- 8.000E- 9.OOOE- +o0 o2 o2 o2 o2 o2 o2 02 o2 02

Radio de la placa (m)

Figura 4.3 Distribución de temperatura en la placa, para t=lOOOOOs

contra los obtenidos para cada radio de la placa, y el valor similar de la temperatura en

función del radio corresponde a un radio de r=0.0487m.

4.3 VALIDACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO PARA LA

GUARDA EN EL APCG

Usando la ecuación 2.22 se obtiene el campo de temperaturas de la guarda en el APCG.

Esta ecuación representa el caso experimental # 4, descrito en el capítulo 3 . Con la

ecuación 2.22 se realizó un programa de cómputo. Esta ecuación es la siguiente:

41

CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DiSCUSiON

Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar z por 2z para v = O en la ecuación (4.3),

La ecuación (4.3) nos da el campo de temperatura T(r,+,t) para el análisis de la guarda del

aparato de placa caliente con guarda.

La expresión para la función propia Ri.(pm.r) , la norma N(Pm) , y la ecuación de valores

propios pm , se detepina en el apéndice D.

Las expresiones del resultado de la evaluación de las integrales de la ecuación (4.3) se da

en el apéndice E. Como resultado de la integral de la función trigonométrica, se tiene que la

ecuación (4.3) solo es valida para v=O , para cualquier otro valor de v el resultado de la

ecuación es cero.

Para encontrar las raíces p,,, de la ecuación de valores propios se realizó un programa de

cómputo en lenguaje Fortran-77 considerando V = o (programa #4, apéndice G), la ecuación

que se utiliza es la ecuación (D.25) del apéndice D, que es:

souo - vowo = o (4.4)

42

EP

(sud> O m - (sud> [r "d- = OR

:apuoa

P OlllL!dV3 NQiSfl3SIU h SOUVLlflSDJ

RESULTADOS Y OISCUSION CAPITULO4

Pm I

I31112

Pili3

Pm4

Pm5

la conductividad térmica para la guarda, k=204 W/m K la relación, H=h/k=0.0686 / m; la

generación de calor, g=5.74 W. La variación del tiempo fue en segundos.

1.349999

41.98999

82.85999

123.95999

165.1 1999

Los datos obtenidos del campo de temperaturas (ec. (4.3)), en la cual primero se considera

solamente la primera raíz y posteriormente se tomara en cuenta la segunda raíz, se

encuentran tabulados en la tabla 4.5. En esta tabla se muestran los resultados de la

temperatura para el radio, r=0.0983 m.

En la tabla 4.5 se puede notar que al incluir la segunda raíz bin* para el cálculo de la

distribución de temperatura, no hay un cambio significativo. Por lo tanto, se puede tomar

como resultado el campo de temperaturas calculado para la primera raíz, p,,,~, ya que los

pequeños incrementos de temperatura debido a las otras raíces se pueden despreciar.

La solución de la prueba preliminar anterior, se modificará para cumplir las condiciones

reales del aparato para encontrar su campo de temperaturas, y así de esta forma compararla

con el caso ## 4 para poder validar el modelo matemático de la guarda.

En la validación del modelo matemático se utilizaron las siguientes dimensiones y valores

de las constantes, así como los valores medidos de la temperatura. Por lo tanto los valores

fueron el radio exterior de la guarda, d=0.1524 m; el radio interior de la guarda, b=0.0762;

la posición donde se encuentran los termopares de la guarda, r=0.0853 m; la posición en

donde se encuentra colocada la fuente de calor de la guarda, ri=0.0983 m; la temperatura ambiente, Ta=300.273 K; la temperatura inicial de la guarda, To=300.273 K; el coeficiente

44

RESULTADOS Y DiSCUSi6N CAPiTULO 4

de difusividad térmica para la guarda (aluminio), a=0.000084 m2/s; el coeficiente

convectivo (convección libre) para el aire, h=14 W/m2 K; la conductividad térmica para la

guarda, k=204 W/m K; la relación, H=M<=0.0686 / m; la generación de calor, g=3.0 W.

Las corridas para el tiempo se realizaron cada 30 segundos.

Tabla 4.5 Resultados de temperatura para r=0.0983 m.

I I I I I

Las raíces de la ecuación (4.3) se muestran en la tabla 4.4

En la figura 4.4 se muestra la distribución de temperaturas obtenida experimentalmente

(caso # 4) y la distribución de temperaturas obtenidas analíticamente (incluyendo solamente

las dos primeras raíces, programa #5 (apéndice G)).

Se realizó una corrida del programa de cómputo (programa #6, apéndice G), para la

ecuación (4.3), con im tiempo fijo (t=l00000s) y para diferentes radios de la guarda, desde

el radio interior (0.0762111) hasta el radio exterior de la misma (0.1524m). En la figura 4.5

se muestra el perfil de temperatura en función del radio de la guarda. Este resultado se

promedio y se obtuvo el valor de temperatura promedio. El valor de temperatura promedio

45

c m i m 4 RESULTADOS Y DISCUSI~N

se compara contra los obtenidos para cada radio de la guarda, y el valor similar de la

temperatura en función del radio corresponde a un radio de FO. 1 192m

45 40 35 - E 30

$ I O

_. Experimental -Analüico

3 25 E 20

+ 5

e: 15

O 30 2030 4030 6030 8030 10030

Tiempo (segundos)

Figura 4.4 Distribución de temperatura experimental y analítico

319.1 10000

31 9.1 O0000 u 319.090000.

$ 319.080000~ - 4-

2 319.070000~

E 319.060000~

319.050000.

e: 2

o1

319.04oooO

319.030000 0.000E 2.OOOE 4.000E 6.000E- 8.000E 1.OOOE- 1.2OOE- 1.400E 1.600E- 1.8OOE

Radio de la guarda (m) +o0 M o2 o2 o2 o1 o1 o1 o1

Figura 4.5 Distribución de temperatura en la guarda, para t=100000s

46

4.4 CONCLUSIONES DE LA VALIDACI~N DEL MODELO MATEMÁTICO

Para la validación del modelo matemático para la placa caliente, se observa en la figura 4.2,

que los resultados analíticos se ajustan a las fluctuaciones que se tienen en los resultados

experimentales.

El orden de magnitud de error, de la temperatura ,de la placa caliente en la posición donde

se tienen los termopares (1=0.0762m), es del 0.02% con respecto a la temperatura de la

posición obtenida del programa (r=0.0487m).

Para la validación del modelo matemático para la guarda, se observa en la figura 4.3, que

los resultados analíticos se ajustan a las fluctuaciones que se tienen en los resultados

experimentales.

El orden de magnitud de error, de la temperatura de la guarda en la posición donde se

tienen los termopares (r=0.0853m), es del 0.01% con respecto a la temperatura de la

posición obtenida del programa (r=O.l192rn).

De las comparaciones entre la placa y la guarda se concluye, que el modelo matemático de

la placa, y de la guarda representan las distribuciones de temperatura satisfactoriamente

dentro de las suposiciones que se utilizaron para el modelo. De los resultados que se

obtienen, se observa que es necesario incluir el término de generación de calor angular en la

solución del modelo, para romper la simetria azimutal y obtener las dependencias angulares

para la distribución de temperatura.

47

CAPÍTULO 5

ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG

5.1 INTRODUCCI~N

En este capítulo se presenta el-análisis-de-incebidumbre para la determinación de la

conductividad térmica de materiales sólidos aislantes usando el APCG. Para el análisis se

siguen los criterios de expresión y cálculo de incertidumbres de la guía BIPWSO [24]. Este~~álisis-es-necesario.para. determinar~a_clase_de_exactitud_del_ins~.~ento-y~.o.der

expresar correctammte los resultados de las pruebas q z s e realicen con el aparato-de-piaca

caliente con guarda.

.El~objeti~o~de~una~medición~es4eterminar~el~~al~r~del~mens,ur.and~ (magnitud particular

' sujeta a medición), esto es, el valor de la cantidad particular a ser medida. Una medición.

.entonc.es-c.o.mienza con una especificación apropiada - del mensurando, - el método de

medición yelprocedimiento de medición. En general, el resultado de una medición solo es una aproximación o estimación del valor del rnensurando y entonces es completa solo

cuando va acompañado por una declaración de la incertidumbre de esa estimación.

La incertidumbre del resultado de una medición refleja la falta de conocimiento exacto del

valor del mensurando. Lainc.er~idurnbre_de_a-p~e~a-s~e. determina .al -aplic-arJakyde

- propagacicjn ,de .incertidugbr.es.a-un. m o d e ~ ~ d ~ ~ n i d ~ . ~ a r - a - c a d ~ c - ~ ~ o del m e n s u r - w d g a

incertidumbres-involucradas pueden ser,deI-Tipo-\ y del Tipo_ R. /~

Las incertidumbres del tipo A se considera que son debidas a la repetibilidad de la variable

y las del tipo B son las debidas al instrumento y se pueden obtener de certificados de

48

ANALISIS DE ~CERTIOUMBRE EN EL APCG CAP~TULO 5

calibración, errores de diseño, incertidumbre de resolución de los instrumentos, estabilidad

de la variables a medir, etc.

En el arte de la medición, un experimento bien diseñado puede facilitar en gran medida

evaluaciones confiables de la incertidumbre. Así en este capítulo se presenta la evaluación

de las incertidumbres del aparato de placa caliente con guarda.

Para obtener resultados confiables en las pruebas que se realicen en el APCG es necesario

realizar un análisis de incertidumbre, por lo cual permitirá determinar la clase de exactitud

del instrumento así como mostrar cual de los elementos que lo forman se pueden mejorar

para alcanzar un nivel de exactitud adecuado.

En el punto 5.2 se presenta la. ecuación de Fourier para la determinación de la

conductividad térmica en APCG. En el punto 5.3 se presenta un modelo estadístico para el

cálculo de la incertidumbre estándar combinada relativa de una prueba. En el punto 5.4 se presenta un modelo estadístico para la determinación de la incertidumbre de la

conductividad térmica. En el punto 5.5 se presentan los resultados obtenidos de

incertidumbre para diferentes condiciones de operación del APCG. En el punto 5.6 se

presentan algunas conclusiones con respecto a los resultados obtenidos para la incertidumbre del APCG.

5.2 EC. DE FOURIER PARA LA DETERMINACI~N DE LA

CONDUCTIVIDAD TÉRMICA EN EL APCG

El aparato de placa caliente con guarda (APCG) es un aparato primario que se usa para

medir la resistencia y la conductividad térmica aparente de materiales aislantes. En la figura

1.2 se muestran las principales características de un APCG.

La ecuación para determinar la conductividad térmica esta dada por la relación:

49

ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAPITULO 5

k=QL/(AAT) (5.1)

Donde ‘Q’ es la rapidez del flujo de calor a través de la muestra en W, ‘k’ es la

conductividad térmica de la muestra en W/m K, ‘AT’ es la diferencia de temperatura a

través de la muestra en K o OC, ‘L‘ es et espesor de la muestra en m, y ‘A’ es el área de la

sección transversal en m2. El material que forma la muestra es en general una mezcla de un

compuesto laminar y puede contener porosidades o celdas vacías en las que el calor se

puede transmitir por convección y radiación, así como por conducción a través del material;

en estos casos el parámetro k de la ecuación (5.1) es la conductividad térmica aparente de la

muestra.

La cantidad de calor se determina por medio de la intensidad de corriente que circula por la

resistencia calefactora y la caída de voltaje en la misma y la ecuación (5.1) se expresa

como:

VIL A A T

k =

5.3 MODELO ESTADISTÍCO PARA EL CÁLCULO DE LA

INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR COMBINADA RELATIVA DE UNA

PRUEBA

La incertidumbre estándar combinada relativa de una prueba [U,(Y)/Y]2 (Y=mensurando)

se determina al aplicar la ley de propagación de incertidumbres a un modelo definido para

cada caso del mensurando, donde las incertidumbres involucradas pueden ser de ambos

tipos A y B, y esta dada en [24], siendo la siguiente expresión:

(5.3)

50

Donde ‘y’ es la estimación del mensurando ‘Y’, ‘f es la función que relaciona las

variables involucradas en el mensurando, las derivadas parciales ‘ % ’ se les denomina

coeficientes de sensibilidad, ‘U,(y)’ se define como la incertidumbre estándar combinada

de la prueba ‘y’, u(xJ es la incertidumbre estándar de xi.

ax ,

Pira cada una de las u(xi) las fuentes de incertidumbre son de dos tipos: Incertidumbre de

Tipo “A”, debido a la repetibilidad de la variable e Incertidumbre de Tipo “B”, como es la

incertidumbre de los instrumentos para lo cual se requiere consultar los certificados de

calibración, incertidumbre por resolución de los instrumentos, incertidumbre por la

estabilidad de la variable.

La incertidumbre del Tipo A se calcula de acuerdo a la siguiente relación:

Donde ‘ S(g)’ es la desviación estándar experimental de la media de las lecturas del

instrumento, ‘n’ es el número de mediciones, ‘ S 2 ( q i ) ’ es la desviación estándar

experimental. La desviación estándar de las lecturas se calcula por la ecuación:

Donde ‘qi’ es la magnitud medida.}? de la cual se han obtenido n observaciones bajo las

mismas condiciones de medición, ‘ q’ es la media aritmética o promedio de las n

observaciones. La media aritmética se calcula por la siguiente relación:

51

ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL AI’CG CAP~TULO 5

- 1 ” 4 = -c 4 ;

n

La incertidumbre del Tipo B se toma de fuentes externas, tales como magnitudes asociadas

con patrones de medición calibrados, materiales de referencia certificados y datos de

referencia obtenidos de manuales. Este tipo de incertidumbre se determina por el

certificado de calibración.

5.4 MODELO ESTADISTÍCO PARA LA DETERMINACI~N DE LA

INCERTIDUMBRE DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA

Aplicando la ecuación (5.3) nuestra expresión para la incertidumbre de la conductividad

térmica está dada por:

(5.7)

Donde la conductividad térmica “k” está definida por la ecuación (5.2). AI desarrollar la

ecuación (5.7) para las cinco variables de la ecuación (5.2) se obtiene:

1 ak 1 ak k av k dl k dL

2 1 dk k a A k dAT

donde las derivadas parciales están dadas por:

52

ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL AI’CG CAP~TULO 5

VL - d k a i A A T

VIL - - - d k dA A ’ A T

VIL a A T A A T

- - a k

(5.10)

(5.12)

(5.13)

Que representan los coeficientes de sensibilidad del modelo para la determinación de la

conductividad térmica. Si se sustituyen las ecuaciones’(5.9), (5.10), (5.1 l), (5.12) y (5.13)

en la ecuación (5.8) se tiene:

2 VIL 1 VIL ----) d A T 2

k A ( q - T , Y

Finalmente si se sustituye en la ecuación (5.14), la ecuación (5.2) se obtiene:

(5.14)

53

ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAP~TULO 5

2

+ -- dA + -__ ( a)' [ ( T c : T f ) ) dAT2 (5.15)

La ecuación (5.15) nos da el valor de la incertidumbre buscada para el modelo de

determinación de la conductividad térmica.

5.5 RESULTADOS DE LA INCERTIDUMBRE PARA EL APCG

Para evaluar el resultado de la ecuación (5.15), es necesario especificar la incertidumbre del

mensurando de cada una de las variables del modelo. Las variables que estan contenidas en

el modelo son el flujo de calor el cual se determina por mediciones de intensidad de

corriente y voltaje a través de la resistencia por medio de multimetros digitales de 4 %

dígitos, la longitud o espesor de la muestra se determina por un vernier, el área que se

calcula a partir de la medición del diámetro del plato con un vernier, y las temperaturas de

las placas fría y caliente que se determinan usando sensores de temperatura (termopares) y

tomando un promedio de 4 mediciones (con una serie de 10 mediciones para cada una de

las 4 mediciones) en la placa caliente y tomando un promedio de 2 mediciones (con una

serie de 1 O mediciones para cada una de las 2 mediciones) en la placa fría.

Los resultados de evaluar las incertidumbres del tipo A y B para cada una de las variables

se muestra en la siguiente tabla 5.1 :

Tabla 5.1 Incertidumbre para el APCG usando valores representativos de las variables.

54

ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL AI’CCi CAPiTULO 5

[I(( l/k*~kl~i)L(d~i))’]”L*lOO Unidad

Incertidumbre

Para obtener este resultado se utilizan los valores medidos de las siguientes variables del

experimento:

k3.79118 Yo

Voltaje, V=1.5V

Intensidad de Corriente, I=0.6A Espesor, L=25.4 mm Área, A=18531 mm2

Temperatura Caliente, T,=50 OC

Temperatura Fría, T ~ 2 0 OC

Y los valores de la incertidumbre estándar de las variables son los siguientes:

Voltaje, dV=O.OlV Intensidad de Corriente, dI=O.OlA

Espesor, dL=0.05 mm Área, dA=l O mm2

Temperatura Caliente, dT,=0.5 OC Temperatura Fría, d T ~ 0 . 5 OC

En la tabla 5.2 se presentan las incertidumbres, para el caso de tener una diferencia de

temperaturas entre la placa caliente y fría de 10°C.

Tabla 5.2 Incertidumbre usando un gradiente de temperatura de 10°C.

55

ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL AI’CG CAPiTULO 5

xi

T,-T~

(1ik*8kl&)~ Valor Unidad (dx,)‘ Unidad (l/k*8k/&i)2(dxi)2 Unidad

( I / (T~-T~) )~ I .O* IO-^ “-’ 1 .o OC‘ 1.0*10‘ Adim

Para este cálculo se utilizaron las siguientes variables medidas del experimento:

Incertidumbre

Voltaje, V=I.SV

Intensidad de Corriente, I=0.6A

Espesor, L=25.4 mm

Área, A=18531 mm2

Temperatura Caliente, T,=30 OC

Temperatura Fría, Tf20 OC

[I(( 1 lk*W&i)’(d~i))~]”~* 1 O0 Unidad

Ii0.16184 %


Voltaje, dV=O.OlV

Intensidad de Corriente, dI=0.01 A Espesor, dL=0.05 mm Área, dA=l O mm2

Temperatura Caliente, dT,=0.5 OC

Temperatura Fría, dTp0.5 OC

Comparando los resultados de la tabla 5.1 y la tabla 5.2, se observa que mantener un

gradiente más pequeño incrementa la incertidumbre en un factor de 3 aproximadamente.

En el caso que se sustituya el instrumento que se utiliza para la medición de voltaje e

intensidad de corriente, por uno de mejor clase de exactitud y se mantenga la estabilidad

mostrada por las variables, entonces se puede mejorar la incertidumbre de los resultados, tal y como lo muestra la tabla 5.3 .

56

ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAP~TULO 5

Tabla 5.3 Incertidumbre usando una mejora en un factor de 10 para las mediciones de

voltaje e intensidad de corriente.

Para lo cual se emplearon las siguientes variables medidas:

Voltaje, v=1.5v

Intensidad de Corriente, I = O . ~ A Espesor, L=25.4 mm

Área, A=18531 mm2

Temperatura Caliente, T,=30 "C

Temperatura Fria, T ~ 2 0 "C


Voltaje, dV=O.OOlV Intensidad de Corriente, dI=0.001 A Espesor, dL=0.05 mm Área, dA=lO mm2

Temperatura Caliente, dT,=0.5 "C

Temperatura Fría, dTrO.5 OC

En el caso que se sustituya el instruniento de medición que se utiliza para la medición de la

temperatura, por uno de mejor clase de exactitud y se mantenga la estabilidad mostrada por

las variables, entonces se puede mejorar los resultados, tal y como io muestra la tabla 5.4.

57

ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN E L APCG CAPiTULO 5

Tabla 5.4 Incertidumbre usando una mejora en un factor de 5 para la medición de

temperatura.

Para este cálculo se utilizaron las siguientes variables medidas del experimento:

Voltaje, V=I.SV Intensidad de Corriente, I=0.6A Espesor, L=25.4 nun Área, A=18531 mm2 Temperatura Caliente, T,=30 "C

Temperatura Fría, T r 2 0 "C


Voltaje, dV=O.OlV

Intensidad de Corriente, dI=O.OlA Espesor, dL=0.05 mm Área, dA=l O mm2

Temperatura Caliente, dT,=O. 1 'C Temperatura Fría, dTpO.1 'C

En la tabla 5.5 se muestra el resultado de la incertidumbre, para el caso que se sustituyan

los instrumentos de medición que se utilizan para la medición de voltaje, intensidad de

ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAPITULO s

corriente y temperatura, por unos de mejor clase de exactitud y se mantenga la estabilidad

mostrada por las variables

Tabla 5.5 Clase de exactitud para el APCG usando un'factor de cobertura uno.

Para lo cual se emplearon las siguientes variables medidas:

Voltaje, V=l.5V Intensidad de Corriente, I=0.6A

Espesor, L=25.4 mm Área, A=18531 mm2 Temperatura Caliente, T,=30 "C Temperatura Fría, T r 2 0 "C


Voltaje, dV=O.OOlV Intensidad de Corriente, dI=O.OO 1A Espesor, dL=0.05 mm Área, dA= 1 O mm2 Temperatura Caliente, dT,=O.l OC Temperatura Fría, dTyO.1 "C

59

ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAPITULO 5 I

De donde se observa que las principales fuentes de incertidumbre son los valores medidos

de voltaje, intensidad de corriente y temperatura, los cuales se mejoran en un factor de 10

para los dos primeros y 5 para el último. Este análisis nos permitirá mejorar la calidad de

los instrumentos que se utilizan en la medición de las variables, de tal manera que la

incertidumbre se pueda reducir ai 2%, tal y como se indica en la tabla 5.5.

5.6 CONCLUSIONES DE LA INCERTIDUMBRE PARA EL APCG

En este capítulo se ha presentado el análisis de incertidumbre para determinar la

conductividad térmica de materiales, utilizando el modelo de la sección 5.4 que se propone.

En dicho análisis se utilizan los datos de las variables medidas del experimento, esto

permite sugerir modificaciones a la clase de exactitud de los instrumentos que se emplean.

Se ha observado que medir de forma más precisa el área y el espesor de la muestra no

contribuye de manera significativa a reducir la incertidumbre, pero si se utilizan mejores

instrumentos de medición para determinar el voltaje y la intensidad de corriente se puede

reducir la incertidumbre hasta IO%, tal y como se observa en la tabla 5.3. Esto se consigue

si se mantiene la estabilidad de las variables y se utilizan multímetros de 5 % dígitos.

La medida que más contribuye a la incertidumbre, es la diferencia de temperaturas. Para

reducir esta incertidumbre se pueden aplicar dos alternativas: la primera es mejorar la

exactitud de los instrumentos de medición que se utilizan para su determinación, en este

caso corresponde a termopares, para los cuales tener una incertidumbre estándar menor o

igual a O. 1 OC no es muy factible, por lo cual se requiere otro tipo de sensores, tales como

los sensores de platino calibrados y caracterizados. Estos pueden alcanzar una exactitud de

0.1OC. El usar este tipo de sensores representa un costo adicional muy alto ya que se

requieren 10 sensores de platino cuyo costo es 200 YO superior que los termopares, además

se requiere utilizar un multímetros de mucho mejor clase de exactitud o puentes de

resistencia cuyo costo es mayor que el sistema que se esta utilizando. La segunda

alternativa corresponde a un arreglo de termopares diferenciales que permitan la

60

ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAPiTULO 5

determinación de la diferencia de manera directa lo cual requiere de un arreglo muy

complejo para el sistema ya que las placas están separadas por el espesor de la muestra.

Por lo que se concluye que utilizar solamente termopares es adecuado si se requiere una

clase de exactitud en las mediciones de 4 YO. A este valor es necesario adicionar el error de

calibración con una muestra patrón yio el error estimado de diseño. Con estos resultados y

después de calibraciones con materiales de referencia, se concluye que el limite establecido

en el diseño del instrumento corresponde al límite que se fija en las mediciones, ya sea por

la clase de instrumentos yio estabilidad del sistema.

I

61

DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTlVlDAD TERMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPiTULO 6

CAP~TULO 6

DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES

6.1 INTRODUCCI~N

El Aparato de Placa Caliente con Guarda mide la conductividad térmica de un material

aislante para una condición de frontera de temperatura particular. Como se mencionó en el capitulo 1, hay un elemento calefactor en el área de medición A de la placa caliente. La

potencia Q que produce este elemento calefactor se determina con base en las mediciones

de voltaje y corriente en el calefactor. C.on_el.fin.de.as~egurarmejor_exactitud_y_repetitividad

~nla~car.acterización4e_la_muest~a,~es~~e~e~ario~que~e~uj.o~de~calor sea e-n-una dimensión.-

Para ello, la guarda de placa caliente se mantiene a la misma temperatura que él área de

medición. Así la conductividad térmica de la muestra en estado permanente, se determina

con la siguiente ecuación:

Donde Ek es la incertidumbre total en la determinación de la conductividad térmica y se

calcula en el capítulo 5.

Se debe notar que cada paránietro de la ecuación (6.1) representa un promedio. El

procedimiento de prueba consiste en colocar la muestra en el aparato y monitorear las

temperaturas de los platos y la potencia eléctrica, Q, para establecer cuando estos no

cambian con el tiempo (dentro de los limites de la instrumentación de control). La prueba

asi, se considera que es en estado permanente cuando los valores monitoreados varían

aleatoriamente cercanos a un valor promedio. El criterio utilizado para considerar que el

62

OETEWINACION DE LA CONDUCTIVIOAO TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPITUUJ 6

sistema alcanzo el estado permanente, .- fue que - los valores - . .~ de temperatura . estuvieran ~ dentro .- - del 0.5% del valor promediojara cada valor respectivamente.

La incertidumbre individual de cada parámetro al realizar una prueba contribuye a la

incertidumbre total en la determinación de la conductividad térmica.

Los principales parámetros a medir al realizar la prueba son: el área de medición A, El

espesor de la muestra L, el flujo de calor Q, y la diferencia de temperatura de las placas (Tc

- TF).

En el punto 6.2 se describe el procedimiento para realizar una prueba en el APCG. En el

punto 6.3 se muestra el reporte de la medición de. un material caracterizado (Owens

Corning) y el reporte de un material aislante (Acrilico) y en el punto 6.4 se presentan las

conclusiones con respecto a los resultados de las pruebas.

6.2 PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LA PRUEBA

El procedimiento para realizar la prueba, para determinar la conductividad térmica, se)

puede resumir en las siguientes etapas:

1. Selección de la muestra

2. Preparación de la muestra y su instalación en el aparato

3. Establecer el estado permanente térmico

4. Adquisición de datos

I\

6.2.1 Selección de la muestra

Los factores más importantes en la selección de la muestra es el tamaño; diámetro y

espesor, homogeneidad, especificaciones del fabricante, restricciones para realizar la

prueba (control de humedad). El tamaño es importante para mantener el error dentro del

63

DETERMINACI~N DE I.A CONDUCTIVIDAO TERMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPiTULO 6

máximo permitido. El diámetro de la muestra se debe elegir de tal manera que se cubra

completamente el área de medición es decir 152.4 mm, pero se recomienda que el material

A t m c A $ < , % .A- I- cubra el área de medición y la guarda, es decir 305 mm o mayor. P,Gd .--A 11 I L \ ,rjrlv , i e\ e < 7 3 r

Con respecto a la homogeneidad de la muestra se presentan dos problemas potenciales en la

determinación del flujo de calor; uno es de interpretación y el otro se refiere a la

degradación del funcionamiento del aparato. El primero se puede resolver ai interpretar los resultados como una conductividad térmica aparente y hacer las aclaraciones para este caso,

el segundo se refiere a que el sistema puede no alcanzar un estado permanente ai existir

trayectorias de conducción y convección muy definidas que no permitan alcanzar tal

estado. Por lo tanto se debe considerar la parte más homogénea de la muestra y se

interpretan los resultados de acuerdo a los ajustes que se realicen.

6.2.2 Preparación de la muestra

La preparación y acondicionamiento de la muestra se realiza de acuerdo a las indicaciones

del fabricante. En general es necesario preparar las superficies de la muestra para asegurar

un buen contacto térmico entre ésta y las placas del medidor. Si la muestra es rígida puede

ser necesario colocar termopares en la superficie de contacto con las placas y termalizar la

muestra a una temperatura cercana al valor de la prueba.

6.2.3 Establecimiento del estado permanente térmico

Esta etapa se inicia después de la instalación de la muestra en el área de medición y en caso necesario también la instalación del material de la guarda y el aislante para evitar la acción

de las condiciones ambientales. Las placas caliente y fria se ponen en operación para

alcanzar las condiciones de temperatura a la que se realizará la prueba.

El tiempo requerido para alcanzar el estado permanente varía de acuerdo a la muestra que

se desea medir y las condiciones de la prueba. Sin embargo, el tiempo para alcanzar el

estado permanente de una muestra de 25.4 mm de espesor y aparentemente homogénea fue

64

CAPfTULo 6 DETERMINACION DE LA CONDUC~VIDAD TÉRMICA DE MATENALES N S L ~ S

de aproximadamente 5 horas. Este periodo de tiempo se incrementa ligeramente con el espesor. En el caso de algunas muestras visiblemente no homogéneas y de 50.8 mm de

espesor el tiempo fue de 8 horas que fue el tiempo máximo que ha sido empleado en las

muestras que se han medido.

En la figura 6.1 se muestra la distribución de temperatura hasta que alcanza el estado

permanente para la prueba del material caracterizado Owens Coming, las lecturas de

temperatura corresponden a un termopar colocado en la placa caliente y a un termopar

colocado en la guarda. En esta figura se puede observar que la temperatura de la guarda fue

similar a la de la placa caliente.

70 -, 1

1 a5 169 253 337 421 505 Tiempo (minutos)

Figura 6.1 Distribución de temperatura para alcanzar el estado permanente

Después de que se alcanza el estado permanente se realizan cinco corridas de registro de

datos para cada intervalo de 30 minutos y por lo tanto cada comda contiene 10 puntos de cada una de las variables medidas para cada intervalo de 1 minuto.

Si los datos cambian de manera monótona con el tiempo la prueba se considera sospechosa

y por tanto se realizan otras pruebas hasta que se cumpla el criterio de estado permanente.

Si no se cumple el criterio de estado permanente, entonces se concluye que las

características de la muestra cambian o que el sistema no alcanza un estado permanente

dentro de las limitaciones de la prueba.

65

DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIOAO TeKMiCA DE MATERIALES AlSLANTES CAPITULO 6

Una vez terminadas las pruebas, se desmonta la muestra y los componentes del sistema,

para examinar sus condiciones finales, se verifican su apariencia, el espesor y se observa si

existen cambios significativos al desarrollar la prueba.

6.2.4 Adquisición de datos

Los datos que son requeridos para el procedimiento de la prueba son los siguientes:

potencia eléctrica, las temperaturas superficiales, el área de medición y el espesor de la

muestra. De estas variables sólo el espesor fue medido directamente y las otras variables

fueron calculadas de Las mediciones que fueron realizadas.

La cantidad de flujo de calor fue calculada, midiendo la intensidad de corriente que circula / por la resistencia calefactora y la caída de voltaje en la misma, utilizhdo la relación:

FLp, Ac m ( a 4

Q=VI (6.2) -

R.04 4, m.-Jic'-n El área de medición se obtiene del promedio del área de la placa caliente y el área de

separación entre el área de medición y la guarda y se calcula por la formula:

w a t u r a es medida por la fuerza electromotriz de cada uno de los termopares.

datos se convierten a lecturas de temperatura por la relación que resulta de la

los termopares. Esta relación se programa en la tarjeta adquisitora, para tener como

resultado el valor de la temperatura directamente.

La configuración del sistema experimental de prueba se muestra en la figura 6.2.

66

DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPITULO 6

Fig.6.2 Configuración del sistema experimental

6.2.5 Análisis de Resultados

Con los valores que se obtuvieron de las mediciones, se calculan los valores de las variables

necesarias, como es el flujo de calor, la temperatura de la placa fria, la temperatura de la

placa caliente, la temperatura media o de la muestra, la diferencia de temperaturas a través ,/ de la muestra, el área de medición y el espesor de la muestra. Estos valores se promedian y

se obtienen los valores promedio de las pruebas. La incertidumbre que se reporta consiste

en el valor promedio y su error o incertidumbre.

J En el reporte de la prueba se incluye una identificación de la muestra, las condiciones

ambientales de la prueba, las características más importantes de la prueba y los resultados

que se miden u obtienen, así como su incertidumbre. Cualquier observación adicional que

se presentó durante la prueba o al desmontarla del equipo también se reporta.

67

DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAL) .TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPITULO 6

Cenidei Laboratorio de Térmica

Nombre del Operador:'

JESÚS PERFECTO XAMÁN VILLASEÑOR

6.3 REPORTE DE LA MEDICI~N DE MATERIALES AISLANTES

Número de Prueba: uno

Duración de la Prueba: 8.5 horas

En el laboratorio del Cenidet fueron evaluadas dos muestras de materiales aislantes: la

primera es una muestra de aislante térmico comercial Owens Corning, en forma cuadrada

de 30 cm por lado y la segunda es una muestra de acrílico transparente comercial de 12 mm de espesor, de forma cuadrada de 20 cm por lado. La muestra de aislante Owens Corning

consiste de una placa rígida cuadrada de 25.4 mm de espesor y longitud del lado de 300

mm, el reporte individual de esta prueba se muestra en tabla 6.1. La muestra de acrílico

consiste de una placa cuadrada de 20 x 20 cm de longitud y 12 mm de espesor el reporte

individual de esta prueba se muestra en tabla 6.2.

Nombre de la variable:

Flujo de calor

Temperatura en la placa fria

Temperatura en la placa

caliente

Valor Promedio:

0.60 W

28.23 "C

54.14 OC

68

DETERMINACION DE LA CONDUCTIVIDAD ‘TÉRMICA DE MATERIALES AISLANrES CAPITULO 6

-Temperatura media o de la prueba

Area de medición

Espesor de la muestra

41.53 “C

18531 mm’

25.4 mm

Conductividad térmica

aparente

Resistencia t&rmica

Tabla 6.2. Reporte de la prueba para la muestra I# 2

0.03 17 WIK m

0.801 K m‘/W

Cenidei Laboratorio de Térmica

Nombre del Operador:

JESÚS PERFECTO

XAMAN VILLASEÑOR

69

Número de Prueba: dos

Duración de la Prueba: 6 horas

Nombre de la variable: Flujo de calor


fría


caliente Temperatura media o de

la prueba

Valor Promedio:

6.48 W

26.66 “C

37.83 “C

32.25 “C

Área de medición

Conduciividad térmica 1 0.376 W K m

18531 nun’ Espesor de la muesira

I Observaciones: I

12 m.

Para las dos pruebas se utilizo un instrumento Cenidet-305 mm Modelo AFCG-001-96 de

fuente de calor lineal circular. Un diagrama esquemático para la prueba se muestra en la

figura 6.3. La muestra (A) se coloca entre la placa caliente (B) y la placa fría (C). El flujo de calor que se produce eléctricamente en la placa caliente fluye a la placa ftía a través de

la muestra. La guarda tiene la función de evitar pérdidas por transferencia de calor radial en el área de medición.

Resistencia térmica

- B

A

- C

0.032 K m2/W

Fig.6.3 Diagrama esquemático para la prueba

En la figura 6.4 se muestra el comportamiento de la temperatura, para la placa caliente y la

placa fría durante la prueba del material aislante (acnlico). En esta figura se observa como

70

DETERh4lNACl6N DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATEñlALES.AlSLANTES CAPiTULO 6

40.

L 30. 0 35

5 20.

E 10. 15.

5. O.

+

se alcanza el estado permanente en la placa caliente y como la temperatura de la placa fria

no varia en 1e.tiempo.

T a c a Caliente

. .--.+--- . --- - *

25.- - y Fiaca Fría

t

Muestra

1

2

J

Espesor Teiiiperatura media . Conductividad térmica aparente

ímm) ("C) ( Wim K) 25.4 41.53 0.0317

12 32.25 0.376 ~

1 53 105 157 209 261 Tiempo (minutos)

Figura 6.4 Distribución de temperatura de la prueba del Acrílico

6.3.1.Resultados para la prueba de conductividad térmica ASTM C-177-

97

En la tabla 6.3 se muestran los resultados que se obtuvieron para la conductividad térmica

de la muestra del material caracterizado (muestra # I ) y para la muestra de acrílico

transparente (muestra # 2). La prueba de los materiales se realiza de acuerdo con la norma

ASTM C-177-97. /

71

OETERMMACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICA DE MATERIALES AlSLANTES CAPiTULO 6

6.4 CONCLUSIONES DE LAS PRUEBAS REALIZADAS

El resultado de la prueba # 1 sirvió para caracterizar el instrumento, ya que es un material

de referencia y tiene un valor de conductividad térmica proporcionado por el fabricante, el

cual se midió en un laboratorio (Holometrix) de Estados Unidos, el valor proporcionado fue

de 0.0308. Este valor representa una desviación menor al 3 % con respecto al que se

* obtiene en nuestro laboratorio (el valor que se midió en el laboratorio de Cenidet fue de

0.0317). El porcentaje de diferencia se encuentra dentro de la clase de exactitud del

instrumento.

El material de acrílico se evaluó por una necesidad departamental y se comparó con

respecto al reportado en tablas para materiales similares. El valor que se midió de la

muestra de acrílico (prueba # 2) fue de 0.376, en la literatura se encontraron materiales

similares, como Acrílico Nitrilo y Acrílico vaciado y el valor de conductividad está entre

0.2 y 0.4 por lo que el valor es razonable y con algunas otras especificaciones se podría

comparar mejor.

72

CAPÍTULO 7

CONCLUSIONES GENERALES

7.1 CONCLUSIONES

Se planteó un modelo analítico bidimensional transitorio, para la’transferencia de calor para

la placa y uno para la guarda. Se resolvió la ecuación de conducción de calor, en

coordenadas cilíndricas con condiciones de frontera convectivas, para la placa caliente y para la guarda del APCG. Se obtuvo la solución analítica para el problema y se realizó un

código para obtener los campos de temperatura tanto para la placa como para la guarda bajo diversas condiciones de frontera, se encontró que utilizar mas de dos raíces en los dos casos * no fue necesario y la mayoría de las veces con una raíz se obtuvieron resultados confiables.

De los resultados obtenidos en el modelo, se encontró que es necesario incluir el término de

generación de calor angular, para romper la simetría azimutal y obteneLlas dependencias

angulares para la distribución de iciiiperatura. Esto permitiría encontrar la posición optima

de los tennopares en ‘Y’ y “41’‘. También fue posible evaluar las distribuciones de

temperaturas en la placa caliente y en la guarda como función de las condiciones

ambientales.

Se realizaron cinco pruebas experimentales con distintas combinaciones de condiciones a la frontera para observar si existía algún caso que se pudiera comparar con los resultados

analíticos. De estas pruebas se determinó que existieron dos casos en los que pudieron

comparar los resultados analíticos. Dicha comparación sirvió para validar el código y

mostró que los modelos con las consideraciones que se supusieron reproducen

confiablemente los resultados experimentales.

73

CONCLUSIONES GENERAI.ES CAPiTULO 7

Se desarrolló el cálculo de las incertidumbres, para esto se utilizó la ecuación de Fourier

para la determinació.n de la conductividad térmica en APCG siguiendo los criterios de la

guía BIPM/ISO para la expresión y cálculo de incertidumbres. S e n c o - n t r a r q n l o s

coeficientes de sensibilidad dgJa-m~edición Y mos tdque el.,.p~~á-melo_qriecontribuye_a_

incrementar la incertidumbre fue la diferencia ciitgmperaturas. Por lo que se sugiere que se

mejore la calidad de los instrumentos de medición que se utilizan para medir temperatura.

Esto reduciría la incertidumbre hasta en un 2 %.

Finalmente, se realizó una prueba con un .material ya caracterizado para evaluar el

funcionamiento del APCG y se encontró que hay una desviación del 3%. Esta desviación es

menor que la clase de exactitud del instrumento que fue de 4%, por lo que se concluye, que

las pruebas realizadas con el APCG son aceptables.

El contar con el modelo desarrollado en este trabajo, más el modelo desarrollado por

Salazar [3], pudiera permitir un mejor diseño del APCG, ya que se han podido determinar

de mejor manera los procesos de eansferencia de calor que ocurren en el APCG.

7.2 RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS

Automatizar el APCG para las pruebas que se realicen para la determinación de la

conductividad térmica.

Involucrar un término de generación de calor al modelo matemático, que rompa con la

simetría angular, tanto como en la placa caliente, como en la guarda del APCG.

Incorporar el APCG al CENAM, para que sea el instrumento patrón.

Realizar un segundo aparato con un área de medición más grande.

74

BlBLlOGRAFlA

B I B L I O G R A F Í A

[I] Morales Cuevas F; “Diseño de un Aparato para Medir la Conductividad Térmica de

Fluidos”; Tesis de Maestría, CENIDET; Cuernavaca, Morelos; Abril, 1998.

[2] ASTM; “Standard Test Method for Steady-State Heat Flux Measurements and Thermal

Transmission Properties by Means of the Guarded-Hot-Plate Apparatus”; American Society

for Testing and Materials, 1985 Annual Book of ASTM Standard; Vol. 04. 06, Standard

ASTM C 177-85; Philadelphia; pp. 1-16; 1985.

[3] Salazar Mendoza R “Disefio, Construcción y Caracterización de un Equipo para Medir

Conductividad Térmica de Materiales Aislantes en el Intervalo de Temperatura de -75°C a

25Oo0Oc”; Tesis de Maestría, CENIDET; Cuernavaca, Morelos, Julio, 1997.

[4] Hust J . G; “Glass Fiberboard SRM for Thermal Resistance, National Bureau of Standards”; U. S. Department of Commerce, NBS/SP-260/98; pp. 1-31; 1985.

[5] Lira L., Chávez Y., Morales J. M; “Determinación de la Conductividad Térmica de

Materiales Aislantes”; Memorias del V Congreso Técnico de la Asociación Geotérmica

Mexicana; Guanajuato, Gto; pp. 103-108; 26-29 Noviembre, 1997.

[6] Achenbach P. R., Powell F. J; “Building Research at the National Bureau of Standards”;

Building Science Series O, Government Printing Office; Washington, D. C; 1970.

[7] Hahn M. H., Robinson H. E., Flynn D. R; “Robinson Line-Heat-Source Guarded-Hot-

Plate Apparatus”; Heat Transmission Measurements in Thermal Insulations; ASTM STP

544, R. P. Type, Editor; Philadelphia; pp. 167-i92; 1973.

[8] Dickinson H., Van Dusen M; “The Testing of Thermal Insulations”; The American

Society of Refrigeration Engineers; Vol. 3, pp. 5-25, Septiembre 1916.

75

[9] Van Dusen M; “The Thermal Conductivity of Heat Insulators”; The American Society

of Heating and Ventilating Engineers; Vol. 26, pp. 385-414, Octubre 1920.

[lo] Van Dusen M., Finck J. L; “Heat Transfer Through Insulating Materials”; American

Institute of Refrigeration; pp. 137-149, Mayo 1928.

[ 1 11 National Physical Laboratory; “Thermal Conductivity Conference”; England;

Summarized in Nature, Vol. 204, p. 636: 1964.

[12] Hahn M. H; “The Line Source Guarded Hot Plate for Measuring the Thermal

Conductivity of Building and Insulating Materials”; Ph.D. Dissertation, Catholic University

of America; 1971 available as Microfilm No. 72-17633 from University Microfilm

International, 300 N. Zeeb Road, Ann Arbor, Michigan, 48106.

[13] Powell F. J., Siu M. C. I; “Development of the Robinson Line-Heat-Source Guarded-

Hot-Plate Apparatus for Measurement of Thermal Conductivity”; Proceedings of XIV

International Congress of Refrigeration; International Institute of Refrigeration; Moscow,

1975.

[14] Siu M. C. I, Bulik C; “National Bureau of Standards Line-Heat-Source guarded-Hot-

Plate Apparatus”; Review of Scientific Instruments; Vol. 52, No. 11, pp. 1709-1716; 1981.

[15] Rennex B; “Error Analysis for the Natinal Bureau of Standards 1016 mm Guarded-

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[16] Peavy B., Rennex B; “Circular and Square Edge Effect Study for Guarded Hot Plate

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Commerce, pp. 1-16, 1986.

76

BlBLlOGRAFiA

[ 171 Hemminger W., Jugel R; “A Guarded-Hot-Plate Apparatus for Thermal Conductivity

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[18] Lira L; “Diseño y Construcción de un Instrumento para Medir la Conductividad

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Chihuahua, Chi; 1997.

[19] Lira L., Chávez Y., Morales J. M; “Instrumentación y Caracterización de un Aparato

para Medir la Conductividad Térmica de Materiales Sólidos Aislantes”; Memorias del V

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[20] ASTM; “Standard Test Method for Steady-State Heat Flux Measurements and

Thermal Transmission Properties by Means of the Heat Flow Meter Apparatus”; American

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[24] CENAM; “Guía BIPWISO para la Expresión de la Incertidumbre en las Mediciones”;

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77

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[26] Abramowitz M., Stegun I; “Handbook of Mathematical Functions”; Dover

Publications, Inc; 1972.

78

APÉNDICE A

DESARROLLO MATEMÁTICO PARA OBTENER LA EXPRESIÓN DE TEMPERATURA T2 POR EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES (ECUACIÓN (2.12))

El. problema consiste en obtener una expresión para la distribución de temperatura

T , ( r , 4 , t ) de un sólido cilíndrico O < r I b, O 2 4 2 27c, el cual esta inicialmente a una

temperatura ambiente To . Para un tiempo t >O en la frontera de la superficie del cilindro

en r = b se disipa calor por convección a un medio a temperatura To, es como sigue:

Formulación matemática:

1 d T , 2 - - .__ - 1 d 2 T + --, z+ -~ ay r d r Y a 4 2 a a t d 2T, 1 a T ,

en O < r < b , 0 < 1 $ $ 2 x , para t > O


% + H T , = O en r = b, H = h / k para t > O a r

Condición inicial:

('4.2)

19

Suponiendo una separación de variables de la forma:

Y se sustituye (A.4) en (A.l) se tiene:

r a r r ' a d L a a t

Entonces:

AI dividir la ecuación (AS) entre R ( i ) @ ( 4 ) r ( t ) se obtiene:

AI igualar la ecuación (A.6) a una constante arbitraria se tiene:

= - p 2 1 1. d 2 @ 1 1 d T r 2 O d d 2 a r at

- -___ - 1 d 2 R 1 dR R dr r dr

+ --) + ... -(1 ('4.7)

La única forma que la ecuación (A.7) se satisfaga es que cada grupo de funciones en esta ecuación (ec. (A.7)) sea igual a una constante de separación arbitraria de la forma:

80

APÉNDICE A

Entonces las ecuaciones separadas y su solución son:

+ v 2 @ = o d 2 @ d d '

La solución general para ei campo temperatura T2 ( Y , 4, t ) se construye en términos de

estas soluciones ((A.8),(A.9) y (A. 1 O), por lo tanto se tiene:

(A.12)

81

APÉNDICE A

h

AI multiplicar toda la ecuación (A. 12) por el operador I Y R ( B , Y ) dr se tiene: o

(A.13)

AI utilizar la propiedad de ortogonalidad de la función R, (pm 3 en (A. 13) se tiene:

Donde se define una función f ( 4 ) y la norma N(P,) como:

(A. 15)

(A. 16)

Para la determinación de A",,. , se multib..ca la ecuación (A.14) por el operador

2 n I Sen "4 ' d 4 ' y utilizando la propiedad de ortogonalidad de la función Sen v4 # ' = o

se obtiene:

82

APÉNDICE A

277

= J r $'=O

4 ) S e n vq5 ' d 4 '

Entonces:

(A.17)

Para la determinación de B,,,,, ~ se multiplica la ecuación (A.14) por el operador

2r I Cos v4 ' d 4'' y utilizando la propiedad de ortogonalidad de la función C O S @ 4 ' = 0

se obtiene:

m 277

I ( A n t v S e n v4 + B,,,"Cos v4 )Cos v4 ' d 4 ' N ( p m ) =

Entonces:

(A.19)

para v = 1,2,3 ... (A.20) 1 1 2 = i)

E , , , " = 1 - - -~ 5 f ( 4 ' ) C ü s v4 I d @ ' " = I N ( P , , , 1 72 = o

83

para v = O (A.21)

Al sustituir las ecuaciones (A.18)> (A.20) y (A.21) en la ecuación (A.14), se obtiene:

Entonces se tiene:

2 ñ 1 " + -E I f ( 4 ' ) ( Sen v4 Sen v4 ' + Cos v4 Cos vb ' ) d @ ' (A.22) = " = I # I = "

Ai utilizar una identidad trigonométrica del ángulo duplo en la ecuación anterior se obtiene:

La ecuación (A.23) escrita de manera más compacta es:

84

Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar ír por 2ír para v = O en la ecuación (A.24)

AI sustituir la ecuación (A.24) en la ecuación (A.14) se obtiene:

Entonces se tiene:

Con v = 0 , 1 , 2 , 3 _., y reemplazar. . x por 2 IT para v = O , en la ecuación anterior.

Si se sustituye la ecuación (A.25) en la ecuación (A.11) para obtener T , ( y , 4 , t ) , se tiene:

Al sustituir la ecuación (A. 15) en la ecuación (A.26), se tiene:

(A.26)

b 2a

* 5 5r'R"(Bm,r')f(I.',+')Cos v ( + - + ' ) d + ' d r ' (A.27) r ' = O # ' = O

85

Con v = O,1,2,3 ... y reemplazar 7~ por 277 para v = O en la ecuación (A.27).

La ecuación (A.27) es la solución homogénea T, ( r , 4, t ) del problema (ecuación (2.9))

por el método de separación de variables.

86

APÉNDICE B

DESARROLLO MATEMÁTICO PARA OBTENER LAS EXPRESIONES DE LA EC. (2.17) (FUNCIÓN PROPIA, EC. DE EIGENVALORES, NORMA, Y ANÁLISIS PARA OBTENER LOS VALORES DE v )

Primero se va encontrar la función propia , para ello se hará uso de la

ecuación (A.lO), la solución de esta ecuación ((ec. A.lO)) se toma de [23], por lo tanto se

tiene:

R ( p , , I )

d 2 R , 1 d R , V 2

dr r dr I ? _____ + -- ~ + ( p 2 - ) R , = O

La solución de la ecuación (B. 1) esta dada por:

La condición para determinar es: se tiene que en r=O la temperatura

T ( r , 4, t ) debe ser finita y la unica forma que esto sea posible, es que el coeficiente B

de la ecuación (B.2) sea igual a cero (B=O), por que la función Y , ( p, r ) es divergente

en el origen y como consecuencia se concluye que la función propia es:

R , (p,,, , I )

87

Como segundo punto de este apéndice se va determinar la ecuación de valores propios para

encontrar las raíces p,2, , para ello se hará uso de la condición de frontera (ec. (A.2)) dada

como:


E+, = o en r = - , H = h / k para 8 r

Utilizando la ecuación (A.4) supuesta en el apéndice A, dada por:

T ( r , 4 , t ) = R ( r ) @ ( $ ) r ( t )

Sustituyendo la ecuación (B.5) en la ecuación (B.4), se obtiene:

% + H R . = o e n r = b , H = h / k para t > O a r

(B.4)

(B.7)

Se realiza la derivada de la ecuación (8.3) obteniéndose como resultado:

R,: ( P , 3 7 ) = B , J,: ( P , , , y )

Sustituyendo las ecuaciones (B.2) y (B.7) en la ecuación (B.6) se tiene:

P,,, J I (P,,, r ) + HJ ,I (P, , , r ) = 0 en r = b , H = h / k para t > O (B.8)

Evaluando la ecuación (B.8) en r=b, se tiene que. la expresión para la ecuación de

eigenvalores es:

88

APÉNDICE B

Como tercer punto de este apéndice se va determinar la norma N ( p ) para ello se hará

uso de la ecuación (A. 16) dada como:

(B.lO)

Sustituyendo la ecuación (B.3) en la ecuación (B.lO) se tiene:

Para realizar la integral de la ecuación (B.l l), se utiliza la solución dada en [16], siendo la

expresión de la solución la siguiente:

Evaluando los límites se tiene:

Sustituyendo la ecuación (B.14) en la ecuación (B.13) se obtiene:

(B. 13)

(B.14)

(B.15)

89

APENDICE B

Realizando la resta de fracciones y factorizando en la ecuación anterior se tiene:

Realizando la suma de fracciones y factorizando en la ecuación anterior se tiene:

Eliminando b2 en la ecuación (B. 17) se obtiene la siguiente expresión para la norma:

La norma también se puede expresar de la siguiente manera:

(B.16)

(B.17)

(B.19)

Por último en este apéndice solo falta determinar los valores que pueda tomar v , para ello

se hará uso de la ecuación (A.9), la solución de esta ecuación ((ec. A.9)) se toma de [23],

por lo tanto se tiene:

La solución de la ecuación (B.20) está dada por:

a > ( v , b ) = Asen vb + BCos v@

(B.20)

(B.21)

90

Para la ecuación (B.20) no tenemos ninguna condición, lo único que se sabe, es que debe

ser periódica cada 2x, por lo tanto la solución de la ecuación (B.20) (ecuación (B.21)) se

puede expresar de la siguiente manera:

Si se desarrolla la ecuación (B.21) para que sea periódica o cumpla la condición (B.22) se

tiene:

Asen v@ + BCos v@ = Asen v(@ + 2n) + BCos v(@ + 2x) (B.23)

Utilizando una identidad trigonométrica (para la suma de dos ángulos) para la ecuación

anterior, entonces se puede expresar como:

Asen v# + BCos v@ = A[&n v4Cos 2nv + Sen 2nvCos v 4 ] +

B[Cos vqíCos2nv - Sen vqíSen2nvI

De la ecuación (B.24) se puede observar que:

cos 2nv = 1

Sen 2zv = O

De la ecuación (B.25) o de la ecuación (B.26) se tiene:

2xv = 2 m para n=0,1,2,3 .,..

(B.24)

(B.25)

(B.26)

(B.27)

91

, ~ , . - ~.

APÉNDICE B

Por lo tanto se concluye de la ecuación (B.27) que los valores que puede tener v son:

v = 0,1,2,3 .... (B.28)

92

-

APÉNDICE c

APÉNDICE c

EVALUACIÓN DE LAS INTEGRALES PARA ECUACIÓN (2.17)

Primero se va a realizar la integral de la función trigonométrica coseno, dada por

De acuerdo al apéndice B (ecuación (B.28)), se divide la integral de la ecuación (C.1) en

dos integrales, una integral que es valida para v=O y la segunda integral que es valida para

v=1,2_3 ...., por lo tanto la ecuación (C.1) se puede expresar como:

AI realizar las integrales de la ecuación (C.2) se obtiene:

Utilizando una identidad trigonométrica (para la resta de dos ángulos) para la ecuación


93

Evaluando los límites de la ecuación (C.4) se tiene:

1 277 COS v(+ - & ' ) d + ' = 2z - [(Sen v+Cos 2av - Sen 2nvCos v+) - V # ' = O

(Sen v+ COS O - Sen ocos v4 I] (C .5)

Debido a que Sen2nv=SenO=O y Cos2nv=CosO=l, se tiene que el segundo termino del

lado derecho de la ecuación (C.5) es cero, por lo tanto el resultado de la integral de la

ecuación (C. I ) es el siguiente:

Como resultado de la integral anterior se puede concluir que la ecuación (2.17) solo es

valida para el valor de v=O , ya que para cualquier otro valor de v la ecuación (2.17)

tendrá un valor de cero y esto es como consecuencia del resultado de la integral para la

ecuación (C.1).

Como segundo punto de este apéndice se va realizar la integral de la función propia, dada

por:

Utilizando la ecuación (B.3) dada por:

R , ( P n 3 i r ) = J , ( P , , , r )

Al sustituir la ecuación (C.8) en la ecuación (C.7) se tiene:

94

I '= o I = o

Si se usa el valor de v=O para el cual es valida.la ecuación (2.17), y se sustituye este valor

de v=O en la ecuación (C.9) se tiene:

(C.10)

La solución de la integral de la ecuación anterior se toma L- [23], donde se tiene como

resultado la siguiente expresión:

(C.11)

Evaluando los limites de la ecuación (C. 1 l), se tiene como resultado de la integral para la

ecuación ((2.7) la siguiente expresión:

! r ' R , , ( p * , r ' ) d r ' = b .I I ( P "J b ) (C.12) h

,'=O P "l

Como tercer punto de este apéndice se va realizar la integral de la exponencial dada por:

Realizando la integral de la ecuación (C. 13) se tiene:

(C.13)

(C.14)

95

Evaluando los limites de la ecuación (C.14), se tiene como resultado de la integral para la

ecuación (C.13) la siguiente expresión:

(C.15)

Por último para este apéndice solo falta realizar la integral que involucra el termino de

generación de calor, como la fuente de calor solo depende de '' r ", entonces la integral está

dada por:

(C.16)

Expresando el término de generación de calor con la función Delta en la ecuación (C.16) se

tiene:

Donde, g, representa una fuente de calor superficial (ya que en el APCG se tiene una

fuente de calor superficial como elemento calefactor), 6(.) es la función Delta Dirac y rl

es la posición en donde se encuentre la fuente.

Sustituyendo la función propia (e.c. (B.3)) enla ecuación (C.17) se tiene:

Si se usa el valor de v=O para el cual es valida la ecuación (2.17), y se sustituye este valor

de v=O en la ecuación (C.18) se obtiene:

96

APÉNDICE c

Para realizar la integral anterior se utiliza una de las propiedades de función Delta, dada en

[25] , por lo tanto se tiene:

91

APÉNDICE D

DESARROLLO MATEMÁTICO PARA OBTENER LAS EXPRESIONES DE LA EC. (2.22) (FUNCIÓN PROPIA, EC. DE EIGENVALORES, NORMA, Y ANÁLISIS PARA OBTENER LOS VALORES DE v )

Primero se va a encontrar la función propia R ( p , Y ) , para ello se hará uso de la

ecuación (A.10), la solución de esta ecuación ((ec. A.lO)) se toma de [23], por lo tanto se

tiene:

1 dR v z + -- .L + ( p ' - ) R v = o dr r dr l.?

d 2 R , .~

La solución de la ecuación (D. 1 ) esta dada por:

La condición para determinar R, (pn,, r ) esta dada.por la condición de frontera en r=d,



en r = d , H = h / k para t > O a T a r - -+ HT . = O

Utilizando la ecuación (A.4) supuesta en el apéndice A, dada por:

Sustituyendo la ecuación (D.4) en la ecuación (D.3),'se obtiene:

% + H R . = o . e n r = d , H = h / k para t > O a r

Se realiza la derivada de la ecuación (D.2) obteniéndose como resultado:

R , ( P , , r ) = A P , J , : ( P , , , r ) f B P , , Y , ' ( P , r )

Sustituyendo las ecuaciones (D.2) y (D.6) en la ecuación (D.5) se tiene:

A P " , J V ( P " , V ) + B P ! , , Y l ! ' ( P , , 2 r ) + "4J " ( P , r ) + HBY " ( P , r ) = 0

en r = d , H = h / k para t > O (D.7)

Evaluando la ecuación (D.7) en r=d' se tiene:

Para que la ecuación (D.9) sea valida se tiene que los valores de las constantes A y B deben

de ser:

99

APENDICE D

Sustituyendo las ecuaciones (D. 10) y (D.l¡). en'la.ecuación (D.2) para obtener la función

propia, por lo tanto se obtiene:

Si se hace:

Entonces la ecuación (D.12) o función propia se puede expresar como:

Como segundo punto de este apéndice se va determinar la ecuación de eigenvalores para

encontrar las raíces p,, , para ello se hará uso de la condición de frontera en r=b, dada

como:


- _ _ _ a T + ~ ~ = o en r = b , H = h / k para t > O a r

Sustituyendo la ecuación (D.4) en la ecuación (D.16), se obtiene:

- a R " + HR = O en r = b, H = h / k para t > O a r

(D.16)

(D.17)

1 O0

. ~~~

APÉNDICE D

Se realiza la derivada de la ecuación (D.15) obteniéndose como resultado:

R , ( P , > Y ) = S , > P " , J , : ( P , , , r ) - v " P , Y " ' ( P " , r )

Sustituyendo las ecuaciones (D. 15) y (D. 18) en la ecuación (D. 17) se tiene:

(D. 18)

Evaluando la ecuación (D. 19) en F b , se tiene:

(D.23)

Entonces la ecuación (D.22) o ecuación de valores propios se puede expresar como

101

APÉNDICE D

s,u, -v ,w , = o (D.25)

Como tercer punto de este apéndice se dará la expresión para la norma N (b, ) expresión para la norma se toma de [23], y está dada como:

~ la

Donde:

B , = H + pn: [1 - 2 ]

B (D.26)

(D.27)

(D.28)

Por último en este apéndice solo falta determinar los valores que pueda tomar v , para ello

se hará uso de la ecuación (A.9), la solución de esta ecuación ((ec. A.9)) se toma de [23],


(D.29)

La solución de la ecuación (E.29) está dada por:

CJ ( V , b ) = Asen vb + BCos v@ (D.30)

Para la ecuación (D.29) no se tiene ninguna condición, ¡o Único que se sabe, es que debe ser

periódica cada 2n, por lo tanto la solución de la ecuación (D.29) (ecuación (D.30)) se puede

expresar de la siguiente manera:

102

APÉNDICE D I

Si se desarrolla la ecuación (D.3C) para que sea periódica o cumpla la condición (D.3 1) se

tiene:

Asen v# + BCos v# = Asen v(# + 2 n ) + BCos v(# + 2 n ) (D.32)

Utilizando una identidad trigonométrica (para la suma de dos ángulos) para la ecuación


Asen v# + BCos v# = A [ S e n v# Cos 2xv + Sen 2 n v Cos v(5 ] +

B [ Cos v4 Cos 2nv - Sen v n Sen 2 n v J

De la ecuación (D.33) se puede observar que:

cos 27Tv = 1

Sen 2 n v = O

De la ecuación (D.34) o de la ecuación (D.35) se tiene:

2nv = 2nn para n=0,1,2,3 _ _ _ _

Por lo tanto se concluye de la ecuación (D.36) que los valor

v = 0,1,2,3 ....

que puede

(D.33)

(D.34)

(D.35)

(D.36)

ner v son:

(D.37)

103

APÉNDICE E

EVALUACIÓN DE LAS INTEGRALES PARA ECUACIÓN (2.22)

Primero se a va realizar la integral de la función trigonométrica coseno, dada por

De acuerdo ai apéndice D (ecuación (D.37)), se divide la integral de la ecuación (F.1) en

dos integrales, una integral que es valida para v=O y la segunda integral que es valida para

v=1,2,3 ...., por lo tanto la ecuación (E.l) se puede expresar como:

Al realizar las integrales de la ecuación (E.2) se obtiene:

Utilizando una identidad trigonoinétrica (para la resta de dos ángulos) para la ecuación


104

APENDICE E

Evaluando los limites de la ecuación (E.4) se tiene:

(Sen V ~ C O S O - Sen ocas v4 >] (E.5)

Debido a que Sen2nv=SenO=O y Cos2nv=CosO=l, se tiene que el segundo termino del

lado derecho de la ecuación (E.5) es cero, por lo tanto el resultado de la integral de la

ecuación (E. I ) es el siguiente:

Como resultado de la integral anterior se puede concluir que la ecuación (2.22) solo es

valida para el valor de v=O , ya que para cualquier otro valor de v la ecuación (2.22)

tendrá un valor de cero y esto es como consecuencia de1,resultado de la integral para la

ecuación (E. 1).

Como segundo punto de este apéndice se va realizar la integral de la función propia, dada

por:

Utilizando la ecuación (D. 15) dada por:

105

Sustituyendo la ecuación (E.8) en la ecuación (E.7) se tiene:

Tomando en cuenta que la ecuación (2.22) solo es valida para v=O , sustituyendo este

valor de v=O en la ecuación (E.9) se tiene:

La solución de la integral de la ecuación anterior se toma de [23], donde se tiene como

resultado la siguiente expresión:

Evaluando los limites de la ecuación (E.ll), se tiene como resultado de la integral para la

ecuación (E.7) la siguiente expresión:

Como tercer punto de este apéndice se va realizar la integral de la exponencial dada por:

106

(E. 13) r . 0

Realizando la integral de la ecuación (E. 13) se tiene:

(E.14)

Evaluando los limites de la ecuación (E. 14), se tiene como resultado de la integral para la

ecuación (E. 13) la siguiente expresión:

(E. 15)

Por último para este apéndice solo falta realizar la integral que 'involucra el termino de generación de calor, como la'fuente de calor solo depende de " r ", entonces la integral esta

dada por:

(E.16)

Expresando el termino de generación de calor con la función Delta en la ecuación (E. 16) se tiene:

(E.17)

107

Donde, g, representa una fuente de calor superficial (ya que en el APCG se tiene una

fuente de calor superficial como eleinento calefactor), 6(.) es la función Delta Dirac y rl

es la posición en donde se encuentre la fiiente.

Sustituyendo la función propia (ec. (D.15)) en la ecuación (E.17) se tiene:

Si se usa el valor de v=0 para el cual es valida la ecuación (2.22), y se sustituye este valor

de v=O en la ecuación (E.18) se obtiene:

Separando la integral de la ecuación (E1 9) en dos integrales, se tiene:

(E.20)

Para realizar las integrales de la ecuación (E.20) se utiliza una de las propiedades de

función Delta, dada en [25], por io tanto se tiene:

108

g , s O Y I J o ( P I,, T I 1 - g ~ V O ~ I Y O ( P I,, Y I ) (E.21)

Factorizando en la ecuación anterior. se obtiene:

(E.22)

109

APÉNDICE F

ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DEL MODELO MATEMÁTICO EN EL APCG

Las ecuacionec que se analizan son. primero la ecuación para el modelo matemático de la

placa caliente (ec. (2.17) y segundo la ecuación para el modelo matemático de la guarda

(ec. (2.22)).

La ecuacióii para el modelo matemático de la placa caliente es:

Con v = 0,1>2.3 ... y reemplazar T por 2z para Y = O en laecuación (F.l),

Se defineti las unidades de los siguienles términos, válidos tanto para la placa como para la

guarda:

110

. . Coeficiente Coiivectivo del Aire. h=W/m2K

Conductividad Térniica: k= WImK

Difusividad Térmica, a=m Is 2

Tiempo, t=s

Relación, H=li/k=l /m

Temperatura. T= K

Fuente de calor superficial. g,=W/m

Constante, .n=rad

2

Se analiza ~priiiiero las unidadcs pard Pll, liara ello se utiliza la ecuación de valores

propios dada en el apéndice B conio la ecuacióii (B.9), debido a que las funciones de Bessel

son adimeiisioiiales, se coiicluye de la ecuacióii (B.9) que Pm tiene las mismas unidades

que H (1 lm).

La función propia Rv(P,,,r) esti dada en el apéndice 13 como la ecuación (B.3), de esta

ecuación se obtiene que la fuiicióii propia tiene las mismas unidades que las funciones de

Bessel, es decir la función propia es adiinensional.

La norma N(P,,,r) esta dada en el apéndice B como la ecuación (B.18). de'esta ecuación se

obtiene que la norma tiene las unidades de metro cuadrado (m').

El resultado de la integral de la función trigonoiiiétrica: esta dado en el apéndice C como la

ecuación (C.6). de este resultado, la inlegral tiene las unidades de radianes (rad).

El resultado de la integral de la función propiai esta dado en el apéndice C como la

ecuación (C.12); de este resultado. la integral tiene las unidades de metro cuadrado (m2),

El resultado de la integral de la función espoiiencial, esta dado en el apéndice C como la

ecuación (C.l5)> de este resultado, la integral tiene las unidades de segundos (s).

111

APÉNDICE F

El resultado de la integral que involucra el.terniino de generación de calor, esta dado en el

apéndice C como la ecuación (C.70). de este resultado. la integral tiene las unidades de watt

sobre metro (Wiin).

Aplicando todas estas unidades anteriores: para los términos de la ecuación (F.l) se tiene

como resultado la unidad de:

* ( r u d ) ( m 2 ) +

W * ( r a d )( ) = K

111

Del resultado de la ecuación (17.2). se tiene que las unidades son congruentes para la

temperatura, obteniendo la unidad de grado kelvin (K) para la temperatura. '

La ecuación para el niodelo inateinático de la guai-da es:

112

APÉNDICE F

Con v = 0,1.2,3 ... y reemplazar n por 2?r para v = O en la ecuación (F.3)

Se analiza priniero las unidades para ~ para ello se utiliza la ecuación de valores

propios dada en el apéndice U como la ecuación (D.l3), debido a que las funciones de

Bessel son adiiiieiisionales, se concluye de la ecuación (D.13) que Pm tiene las mismas

unidades que 1-1 (1 /ni].

p.

La función propia R,,(p,,,r) esta dada en el apéndice D como la ecuación (D.15), de esta

ecuación se obtiene que la funcióii propia tiene las unidades de uno sobre metro (l/m).

La norma N(P,,,r) esta dada en el apéndice D como la ecuación (D.26), de esta ecuación se

obtiene que la noi'iiia es adiiiieiisioiial.

El resultado de la integral de la función trigo no métrica^ esta dado en el apéndice E como la

ecuación (E.6); de este resultado. la integral tieiie las unidades de radianes (rad).

El resultado de la integral de la IiiiiciOii propia. esta dado en el apéndice E como la

ecuación (E. 12). de este restiltado. la integral tieiie las unidades de metro (m).

El resultado de la integral de la .función expoiieiicial: esta dado en el apéndice E como la

ecuación (E.15): de este resultado. la integral tiene las unidades de segundos (s).

113

El resultado de la integral que iiivolucra el iermiiio de generación de calor, esta dado en el

apéndice E como la ecuación (E.22): de este resultado, la integral tiene las unidades de watt

sobre metro cuadrado (W/ni2),

w' * ( r a d )( ) = K

111

Aplicando rodas estas unidades anteriores. para los términos de la ecuación (F.3) se tiene

como resultado la unidad de:

(F.4)

*( rad )( 171 ) +

114

~.

APENDICE G

resultado experiiiiental e11 la placa caliente

de teniperatiira coiiio luncióii del radio de

obtiene la posicióii opiima de los tcriiiopares

APÉNblCE G

y 13 1prograiiia # 3 se utilizo para hallar el perfil

la ~plac:i. col i los resultados de este programa se

en la iplaca caliente.

PROGRAMAS DE COMI'U O PARA LAS ECUACIONES DEL MODELO MATEMÁTI c 0 EN EL APCG

En todos los programas se tiiilizaron las aproximaciones dadas por [26] , para las aproximaciones de las kinciones de Uesscl.

115

PROGRAMA # 1

Program Intervalo Declaración de variables Real.8 Dx,Jo(SOOOO),J I (5OOOO),X(SOOOO).Fx.Bm(5OOOO) Real*8 Fo,TETAo,FI ,TETA1 Parameter (Rb=0.0762.H=0.0686) Integer i

Character'20 Archivo ' Pide por pantalla el archivo de resultados Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*,SO) Archivo

Apertura del archivo de resultados Open(Unit=9,File=Archivo,Status='Unknown') Write(9,')

Incremento determinado para las aproximaciones (Se pueden considerar incrementos mayores para tener menos archivo de resultados) Dx=O.Ol

Ciclo reoetitivo Dara evaluar la funci6n (Se recomienda un número grande de iteraciones para la obtención del intervalo) Do i= I .3937

Bm( i)=i*Dx C La funci6n a ser evaluada es Fx

C Calculo de "X"

C Calculo de "Jo" y " J I" para "0.000762<=X>=3.0" X(i)=Bm(i)*Rb

Xi=X(i)/3 x2=x1 'X I x4=x2*x2 X6=X4*X2 X8=X6*X2 x 1 O=X8'X2 XI2=XIO*X2

A=2.2499997*X2 B=1.26562*X4 C=0:3 163866*X6 D=0.0444479*X8 E=O.O039444*X 1 O F=O.O0021OO*X12

AA=OS6249985*X2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=0.0003 I761 'XI0 FF=0.00001 l09*X 12

lo(¡)= 1 -A+B-C+D-E+F

C

C

J 1 (i)=X(i)*(O.5-AA+BB-CC+DD-EE+FF) End Do

116

APkNNDICE G

C Do i=3938,20000 Bm(i)=i*Dx X(i)=Bm(i)*Rb

. .

C Calculode "Jo"y "JI"para "3.01<=X>=15.24" XI=3B((i) xz=x 1 *x 1 X3=XI'X2 x4=x1*x3 X5=XI *x4 X6=XS*xl

A1=0.00000077*X1 B 1=0.O055274O1X2 C1=0.0000951Z*X3 Dl=O.O0137237*X4 EI=O.O0072805*X5 F I =O.OOO 14476*X6

C

AAI=O.O4166397*X 1 BB 1 =O.O0003954*X2 CC 1 =0.00262573*X3 DDI=O.O0054125*X4 EEl=O.O0029333*X5 FFI=O.O0013558*X6

C Fo=0.79788456-AI-BI-CI+DI-EI+FI TETAo=X(i)-0.785398 16-AA I -BB 1 +CC 1 -DD I -EE I +FF I

C AZ=0.00000 I56*X 1 BZ=O.O1659667*XZ cz=0.000171051x3 D2=0.002495 I I 'X4 E2=0.00113653tX5 F2=0.00020033*X6

AAZ=O. I24996 I2*X I BB2=0.00005650*X2 CCZ=O.O0637879*X3 DD2=0.00074348*X4 EE2=0.00079824*XS 7

FFZ=O.O0029166*X6 C

F 1 =0.79788456+A2+BZ+C2-D2+.E2-F2 TETAI=X(i)-2.35619449+AA2+BB2-CC2+DD2+EE2-FF2

C Jo(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(X(i))) J I(i)=(Fl *Cos(TETA 1 ))l(SQRT(X(i)))

C End Do

C Calculo de la igualdad de expresiones Do i=1,20000

n L

Fx=(Bm(i)*J l(i))-(H* Jo(i))

C Impresión de resultados Write(9,*)X(i),Bm(i),Fx

117

APÉNDICE G

End Do C Formatos de escritura 50 Format (A20)

stop End

PROGRAMA # 2

Program Intervalo C Declaración de variables

Real'4 T(SOOOO,iO),Jor(5OOOO. IO),Bm( 10) Real*4 JIRb( IO),JoRb( IO),Jorl ( I O),G.Z( I O),L,Q.Norma,M( I O),MM( I O) Real*4 X(lO),Y( 1O),Suma(50000.1O).Resta(50000. I O).SumBet Real*4 Fo,TETAo,FI ,TETA 1 ,Tiempo(623),Gs real*4 S(623,lO),V(623,IO),VV,U,CT Parameter (To=302.378,Pi=3.14 I6.Alfa=0.000084,rl=O.O538,r=O.O762) Parameter (Ta=302.378,Rb=0.0762.k=204,H=O.O686,Gv= 14350.82345)

c Integer ij,n C

C Pide por pantalla el archivo de resultados Character'20 Archivo

Write(*,*) 'Teclea el archivo de resiiltados' Read(*,SO) Archivo

Open(Unit=9,File=Archivo,Status='Unknown') Write(9;)

C Apertura del archivo de resultados

C C Evaluación de las integrales C C Calculo de "(Rb/Bm)*li(Bm*Rb)"

Doj=1,2

Bm(l)=l.349999 Bm(2)=50.299998

X( I)=Bm( I)*Rb X(2)=Bm(2)*Rb Xl=X(I)/3 X2=XI *XI X4=X2*X2 X6=X4*X2 XB=X6*X2 X IO=X8*X2 x I2=X 1 o*xz

AA=O.S624998S*X2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=O.O0031761*XIO FF=O.OOOOI 109*X12

C

C JlRb( l)=X( I)*(O.S-AA+BB-CC+DD-EE+FF)

118

APENDICE G

XI 1 =3/X(2) X22=XI 1 *XI 1 x 3 3 = x I I 'X22 X44=XI I*X33 XSS=XI l'X44 X66=Xll*X55

A2=0.00000156*X1 I B2=0.0 1659667Ví22 c2=0.00017105*x33 D2=0.002495 I I *X44 E2=0.00113653*X55 ' F2=0.00020033*X66

C

AA2=0. I24996 I2*X I I BB2=0.00005650*X22 CC2=0.00637879*X33 DDZ=O.O0074348*X44 EE2=0.00079824*X55 FF2=0.00029 166*X66

C F1=0.79788456+A2+B2+C2.D2+E2-F2 TETA I=X(2)-2.356 19449+AA2+BB2-CCZ+DDZ+EE2-FF2

C

C

c Write(*,*)G C C Calculo de "2*Pi"

c Write(*,*)L C C Calculo de"rI'Jo(Bm*rl)"

Y(i)=Bm(i)*rl . ,

J I Rb(2)=(FI *Cos(TETA I))I(SQRT(X(2)))

G=(Rb/Bm(j))*J I Rbc)

L=2*Pi

Do i= I ,2

If(Y(i).LE.3) Then Y I=Y(i)/3 Y2=Y I *Y I Y4=Y2'Y2 Y6=Y4'Y2 Y8=Y6*Y2 YIO=Y8*Y2 Y 12=Y IO*Y2

A=2.24999911Y2 B=1.26562*Y4 C=0.3 163866*Y6 D=O.O444479*YE E=O.O039444*Y IO F=0.0002100*Y 12

Jorl(i)= I-A+B-C+D-E+F C

Else YII=3N(i) Y22=YI I*Y I I Y33=Yll'Y22

.

C

119

APÉNDICE G

Y44=Yll*Y33 Y55=Y 1 I *Y44 Y66=Y 1 1 *Y55

AI=O.O0000077*Y I I B 1 =O.O055274O*Y22 C I =0.000095 I2*Y33 DI =O.OO 137237.~44 E 1=0.00072805*V55 F1=0.000 14476*Y66

C

AAI'=O.O4166397*Y I I BBI=O.O0003954'V22 CC 1=0.00262573 'Y33 DD I =0.00054 I25 * Y44 EEI=O.O0029333*YS5 FF1=0.000 I3558*Y66

C Fo=0.79788456-A I -B I -C I +DI -El +FI TETAo=Y(i)-0.785398 16-AA I -BB I +CC 1 -DD I -EE I +FFI

C lor i(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(Y(i))) Endif

Z(i)=rl * Jor I ( i) c Write(*,*)Z( I),Z(2)

C C Calculo de la función propia "Ro(Bni.r)=Jo(Bm*r)"

End Do

Y(i)=Bm(i)*r If (Y(j).LE.3) Then

Y l=Y(i)/3 Y2=YI*Y1 Y4=Y2*Y2 Y6=Y4*Y2 Y8=V6*Y2 YIO=Y8*V2

, Yl2=YIO'Y2

A=2.2499997*Y2 B=I .26562*Y4 C=0.3 163866*Y6 D=0.0444479*Y8 E=O.O039444*Y IO F=O.O002IOO*V12

Jor(538 j)=I-A+B-C+D-E+F C

Else Y I1=3N(i) V22=Y I I 'Y I I Y33=Vll'Y22 Y44=Y I I 'Y33 Y S = Y I l*Y44 Y66=Y I I'Y55

.

AI=O.O0000077*Y I I

120

APÉNDICE G

B I =O.OOS5274O*Y 22 C I =0.000095 I2*Y33 D 1=0.00 137237*Y44 E I =0.00072805 *Y 55 Fl=O.O0014476*Y66

AAI=O.O4166397*Y I I BB I =O.O0003954'Y22 CCI =O.O0262S73*Y 33 DDI=O.O0054125'Y44 EE I =O.O0029333'Y 5 5 FFI~O.O0013558*Y66

FO4.79788456-A 1 -B I -C I +D I -El +FI TETAo=Y(i)-0.785398 16-AA 1-881 +CC I -DDI -EE I +FF I

Jor(538j)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(Y(j))) Endif Write(*,*)r,Jor(S38 j)

C Calculo de la norma "N(BmY

C M(i)=((Rb**2)*((H**2)+(Bm(j)* *2)))-0

A=2,2499997*X2 B=1.26562*X4 C=0.3 163866*X6 D=0.0444479*X8 E=O.O039444*X IO F=0.0002 IOO'X 12

C MM( l )= l -A+B-C+D-E+F

JoRb( I)=MM( I)**2

AI=O.O0000077*X11 B 1=0.00552740*X22 C1=0).000095 12*X33 D 1 =O.OO 137237*X44 EI=O.O0072805*X55 FI =0.00014476* X66

C

AA l=0.04 l66397*X I I BBI=O.O0003954*X22 CCl =O.O0262573*X33 DD 1=0.00054 125*X44 EE 1 =0.00029333 * X55 FFI=0.00013558*X66

C Fo-0.79788456-A I-81-C I+D I -E I +F I TETAo=X(2)-0.785398 16-AA I -BB I +CC I -DD I -EE I +FFI

C MM(2)=(Fo*Cos(TETAo))/( SQRT(X(2)))

JoRb(2)=MM(2)* *2

Q=2*(Bm(i)**2) C

Norma=(JoRb(i)*M(i))/Q

121

c Write(*,*)Norma C

C Calculo del exponencial "Exp(-Alfa*(Bm"2)*Tiempo)" CT=60

Do i=1,623 Tiempo(i)=CT*i S(ij)=Exp(-Alfa*(Bm()**Z)*Tieinpo( i))

c wiite(*>)s(ij) C C Calculo de "( I/Alfa*(Bm**Z))*(( 1 -Exp(-Alfa*(Bm**2)*Tiempo)- I)"

VV=i/(Alfa*(Bm(i)**Z)) V(i j)=VV*( 1 -S(ij))

End Do c Write(9,*)Tiempo(i),S(i j),V(i j)

C C Calculo de "(Alfak)"

U=Alfak C Write(*,')U C C Calculo de la constante "I/Z*Pi"

P=I/(Z*Pi) c Write(*,*)P C C Calculo de la fuente de calor superficial "(Gv*(Rb'*2))/(2*rl)"

c Write(*,*)Gs C C Calculo de la temperatura "T(r,o,t)"

Gs=(Gv*(Rb**2))/(2*rI)

Do i= 1,623 Suma(ij)=((To-Ta)*((P*S(iJ)*Jor(538 j)*G*L)Moma)) Resta(ij)=(U*((P*Jor(538 j)*Gs* V( ij)*Z(i)* L)íNorma))

End Do End Do Do i=1,623 SumBet=Suma(i,l)+Suma(i,Z)+Resta(i. I )+Resta(i,Z) T(i, I )=Ta+Suma(i, I )+Resta(¡, I ) T(i,Z)=Ta+SumBet End Do

c Write(9,*)' ',Tiempo(¡),' ',Resta(¡ j )

C C Impresión de resultados

c Write(9,*)Jor(578,I),T(i,I),Jor(578,2).T(i,Z) c Write(9,')' ',Tiempo(¡),' ',T(i. I),' '.T(i,2) c Write(9,*)T(i,I)

Do i= 1,623

Write(9,*)T(i,2) End Do

C C Formatos de escritura

50 Format (A20) stop End

122

A P ~ N D I C E G

PROGRAMA # 3


Real*4 T(SOOOO,iO),Jor(SOOOO, IO),Bm( I O ) Real'4 JI Rb( IO),JoRb( IO),Jorl( I O).G,Z( I O),L,Q,Nonna,M( I O),MM( I O) Real*4 X( lO),Y( IO),Suma(50000. I O),Resta(50000,1 O),SumBet Reall4 Fo,TETAo,F I ,TETA I ,r(50000),Gs real'4 S,V,VV,U Parameter (Pi=3.1416,Alfa=O.O00084,r I =O.OS38,Tiempo=l00000) Parameter (Rb=0.0762,k=204.H=O.O686,Gv= 14350,82345) Parameter (Ta=302.378,To=302.3 78)

c Integer iJ,n C

C Pide por pantalla el archivo de resultados Character*ZO Archivo

Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*,50) Archivo

Open(Un¡t=9,File=Archivo,Status='Unknown') Write(9,')


C C Evaluación de las integrales C C Calculo de "(Rb¡Bm)*Jl(Bm*Rb)"

Do j=i ,2

Bm(l)=l.349999 Bm(2)=50.299998

X(I)=Bm( I)*Rb X(2)=Bm(2)*Rb Xi=X( 1)/3 x 2 = x I * x I x4=x2*x2 X6=X4'X2 X8=X6*X2 XIO=X8*X2 XI 2 = x I o*x2

AA=OS6249985*XZ BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=0.00031761 'XI0 FF=0.00001109*X12

C

C J I Rb( l)=X( I)*(0.5-AA+BB-CC+DD-EE+FF)

XI 1=3B((2) X22=Xll*Xll X33=XI I*X22 X44=XI I'X33 X55=Xll*X44 X66=Xll*X55

, t

123

A2=0.00000156*XI I 82=0.01659667*X22 c2=0.000 17 1058x33 D2=0.0024951 I'X44 E2=0.00113653*X55 F2=0.00020033 *X66

AAZ=O.I2499612'XI I BB2=0.00005650'X22 CC2=0.00637879*X33 DD2=0,00074348*X44 EE2=0.00079824*X55 FF2=0.00029 166*X66

C F1=0.79788456+A2tB2+C2-D2+E2-F2 TETA I =X(2)-2.356 19449+AA2+BBZ-CC2+DD2+EE2-FF2

C

C

c Write(*,*)G C

JI Rb(2)=(FI *Cos(TETA I))/(SQRT(X(2)))

G=(Rb/Bm(j))'JI RbG)

- C Calculo de "2*Pi"

L=2*Pi c Write(*,*)L C C Calculo de "rl*Jo(Bm*rl)"

Y (i)=Bm( i)* r I Do i= 1,2

If (Y(i).LE.3) Then Y I =Y(i)/3 Y2=Y I 'Y 1 Y4=Y2'Y2 Y6=Y4*Y2 Y8=Y6*Y2 YIO=Y8*Y2 Y 12=Y IO'Y2

C A=2.2499997'Y2 B=I .26562*Y4 C=0.3 163866'Y6 D=0.0444479'Y 8 E=O.O039444*Y IO F=0.0002 IOO*Y I2

Jorl (¡)=I -A+B-C+D-EtF C

Else Y I I=3N(i) Y22=Y I I *Y I I Y33=Y I I *Y22 Y44=YI I'Y33 Y55=YI l*Y44 Y66=Yll*Y5j

AI=O.O0000077*Y I I B l=0.00552740* Y 22

124

C

cI=0.000095 1 2 1 ~ 3 3 DI =O.O0137237*Y44 El=O.O0072805*Y55 FI =O.OOO l4476*Y66

AAI=O.O4166397*Yl I BB I =O.O0003954*Y22 CC I =O.O0262573*Y33 DDI =0.00054 I25*Y44 EEl=O.O0029333*Y5S FFI =O.OOO I3558*Y66

Fo4.79788456-A I -B I -C 1 +DI -El +FI TETAo=Y(i)-0.785398 16-AA 1 -BBI+CCI -DDI-EE I +FF1

C Jorl (i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(Y(i))) Endif

Z( i)=r I * Jor 1 (i) c Write(*,*)Z( 1),Z(2)

C

C Calculo de la función propia "Ro(Bm,r)=Jo(Bm*r)"

End Do

n=763

Do i= 1 ,n r(i+ 1)=i'0.000 I

C i

Y(i)=Bm(i)*r(i+ I ) If (Y(j).LE.3) Then

YI=Y(j)/3 Y2=Y I 'Y I Y4=Y2'Y2 Y6=Y4'Y2 Y8=Y6*Y2 Y 1 O=Y 8*Y2 Y 12=Y IO'Y2

A=2.2499097*Y2 B=I .26562'Y4 C=0.3 163866*Y6 D=0.0444479* Y 8 E=0,0039444*Y IO F=0.0002100*Y 12

Jor(i+l j)=I-A+B-C+D-E+F C

Else Y I 1 =3N(j) Y22=Y 1 I 'Y I I Y33=Y I I'Y22 Y44=Y I I'Y33 Y55=YI l ey44 Y66=Y I I *Y55

.

A1=0.00000077*Y I I B l=O.O055274O*Y22 C1=0.000095 12*Y33 DI=0.00 137237*Y44

125

E I =0.0007280S *Y 55 FI=O.O0014476*Y66

AAI=O.O4166397*YI 1 BB 1=0.00003954*Y22 CC I=O.O0262573*Y33 DD1=0.00054 I25'Y44 EE I =O.O0029333*Y55 FFI=0.000 13558*Y66

Fo=0.79788456-A I -B I -C I t D I -El +F I TETAo=Y(j$0.785398 16-AA I-BBI+CCI-DDI-EEI tFFI

Jor(i+l j)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(Y O)) )

Jor(l,l)=l Jor(l,2)=l

Endif

End Do

i(i)=O

Write(*,*)r(i),Jor(i, l),Jor(i,2)

C Calculo de la norma "N(Bm)"

C M(i)=((Rb"2)*((H**z)+(Bm(j)' '2)))-O

A=2.2499997* X2 B=I .26562*X4 C=0.3 163866*X6 D=O.O444479*X8 E=O.O039444*X 1 O F=0.0002 IOO*X 12

MM( I)=I-A+B-C+D-E+F C

JoRb( I)=MM( 1)**2

A1=0.00000077*XI 1 B 1 =O.O055274O*X22 C11).000095 12*X33 Dl=O.O0137237*X44 E 1=0.00072805*XSS F I =O.OOO I4476'XfX

C

AAI=O.O4166397*XI I BB 1 =0.00003954* X22 CCI =O.O0262573*X33 DDI =0.00054 I25*X44 EE I =0.00029333 'X55 FFI=O.O0013558*X66

C Fo=0.79788456-A I-B I-C I +D I -E I +F I TETAo=X(2)-0.785398 16-AA I -BB I +CC I -DD I -EEI +FFI

C MM(2)=(Fo8Cos(TETAo))/(SQRT(X(2)))

JoRb(2)=MM(2)* '2 C

.

126

Q=2*(Bm(i)**2)

c Write(*,*)Norma C C Calculo del exponencial "Exp(-Alfa*(Btn'*Z)*T¡empo)"

c Write(*,*)S C C Calculo de "( I/Alfa*(Bm**2))*( I-E~p(AIfa*(Bm**2)'Tiempo)-I)"

Norma=(JoRb(i)*M(j))/Q

S=Exp(-Alfa*(Bm(i)**2)*Tiempo)

VV=i/(Alfa*(Bm(i)**2)) V=VV'( I-S)

c Write(*,*)V C C Calculo de "(Alfaik)"

U=Alfak c Write(*,*)U C C Calculo de la constante "IR'Pi"

P= i/(2*Pi) c Write(*,*)P C C Calculo de la fuente de calor superficial "(Gvr(Rb**2))/(2*ri)"

c Write(*,*)Gs C C Calculo de la temperatura "T(r,o,t)''

Gs=(Gv*(Rb**2))/(2*rI)

Do ¡=1,763 Suma(¡ j)=((To-Ta)*((P*S*Jor(i j)'G* L)/Norma)) Resta(¡ j)=(U*((P*Jor(i j)*Gs'V*Z(j)'L)iNorrna)) End Do End Do Do i=l,763 ' . SumBet=Suma(i, l)+Suma(i,2)+Resta( i, I )+Resta(i,2) T(i,l)=Ta+Suma(i, I)+Resta(i. I ) T(i2)=Ta+SumBet End Do

C Impresi6n de resultados

c Write(9,*)Jor(i,I),T(i,I),Jor(¡,2),T(i.2) c Write(9,;)' ',r(i),' ',T(i,l),' '.T(i,2) c Write(9,*)r(i),T(¡,l)

Do i=1,163

Write(9,*)r(i).T(¡,2)

End Do C C Formatos de escritura


.

127

PROGRAMA # 4

Program Intervalo C Declaraci6n de variables

Real's Dx,Jo(50000),J I (SOOOO),X(SOOOO).Fx.Bm(50000) Real'8 Yo(SOOOO),Y i(5OOOO).Y I i(SOOo0) Reall8 Fo,TETAo,FI .TETA1 Real'8 So(5OOOO),Uo(5OOOO),Vo(5OOOO),Wo(SOooo) Parameter (Rb=O.O762,Rd=O. I524,H=O.O686,Pi=3. I4 1592654) Integer i

Character.20 Archivo

Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*,50) Archivo

Open(Unit=9,File=Archivo,Status='ünknown') Write(9,*)

C

C Pide por pantalla el archivo de resultados


C Incremento determinado para las aproxiinaciones (Se pueden considera! C incrementos mayores para tener menos archivo de resultados)

C Ciclo repetitivo para evaluar la funci6n C (Se recomienda un'número grande de iteraciones para la obtenci6n del intervalo)

C Se evaluan las func'iones de Bessel para el radio interior " R b de la Guarda

Dx=O.Ol

Do i=1,3937 Bm(i)=i*Dx

C Calculo de "X"

C Calculo de "Jo" y "JI" para "0.000762<=X>=3.0" X(i)=Bm(i)*Rb

XI=X(i)/3 x 2 = x I * x 1 x4=x2*x2 X6=X4*X2 X8=X6'X2 XIO=XB*X2 x12=x IO'X2

C A=2.2499997* X2 B=i .26562*X4 C=O .3 163866*X6 D=O.O444479*X8 E=O.O039444*X I O F=O.O002100*X12

A3=0,60559366*X2 83=0.74350384*X4 C3=0.25300117*X6 D3=0.04261214*X8 E3=0.00427916*X I O F3=0.00024846*X 12

C

128

C

C

AA=0.56249985* X2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=O.O0031761*X I O FF=0.00001109'XI?

AA3=0.2212091 'X2 883=2.1682709*X4 CC3=1,3164827*X6 DD3=0.3123951*X8 EE3=0.0400976'X IO FF3=0,0027873*Xl 2

Jo(i)=l -A+B-C+D-E+F Yo(i)~(2/Pi)*(LOC(X(¡)~))*Jo(i))+O.3674669 I +A3-B3+C3-D3+E3-F3

YII(i)=(2*X(i)/Pi)*(LOG(X(i)/2))*JI(i)

End Do

Jl(i)=X(¡)*(O.5-AA+BB-CC+DD-EE+FF)

Y l(i)=(Y 1 1(¡)-0.6366 I~~+AA~+BB~-CC~+DD~-EE~+FF~)/X(¡)

Do i=3938,20000: Bm(i)=i*Dx X(i)=Bm(i)*Rb

C Calculode "lo" y " JI" para "3.01<=X>=15.24" XI =3/X(i) x2=x1 *x I X3=XI*X2 x4=x1 *x3 XS=XI*X4 X6=X5*xI '

C A1=0.00000077*X I €3 1=0.00552740*X2 cI=0.000095 12'X3 D 1=0.00137237*x4 EI=O.O0072805*X5 F I =O.OOO 144761x6

AA 1=0.04 166397'X I BB I=O.O0003954*X2 CC 1 =0.00262573 *X3 DDI =0.00054 I25*X4 EEI=O.O0029333*XS FF I =O.OOO I3558*X6

C F0=0.79788456-A 1-61 -C I+D I -E I +Fl TETAo=X(i)-0.785398 16-AA I -BE I +CC I -DDI -EE I +FF I

C A2=0.00000156*XI B2=0.01659667*X2 c2=0.00017 105*x3 D2=0.0024951 l*X4 E2=0.00113653*X5 F2=0.00020033*X6

AA2=O. 12499612'X I . 129

BB2=0.00005650* X2 CC2=0.00637879* X3 DD2=0.00074348* X4 EE2=0.00079824* XS FF2=0.00029 I66*X6

C FI=0.79788456+A2+B2+C2-D2+E2-F2 TETA l=X(i)-2.35619449+AA2+BB2-CC2+DD2+EE2-FF2

C Jo(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(X(i))) Y o(i)=(Fo*Sin(TETAo))/(SQRT(X( i))) J I(i)=(FI *Cos(TETA I ))l(SQRT(X( i))) Y 1 (i)=(F 1 *Sin(TETA I ))/(SQRT( X( i)))

C

C Calculo de "Uo" y "Wo" End Do

Do i= 1,20000 Uo( i)=-(Bm(i)*J 1 (i))-(H*Jo( i)) Wo(i)=-(Bm(i)*Y l(i))-(H*Yo(i))

End Do C C Se evaluan las funciones de Bessel para el radio exterior "Rd" de la Guarda

Do j-1,1969 BmíJ)=j*Dx

C Calculo de "X"

C Calculo de "Jo" y "JI" para "0.001 524<=X>=3.0" XíJ)=Brnfi)*Rd

x I =X6)/3 Xz=XI *x I X4=X2*X2' X6=X4*X2 X8=X6*X2 XIO=X8*X2 x I2=X 1 O*X2

C A=2.2499997*X2 B= I .26562*X4 C=0.3 163866*X6 D=O.O444479*X8 E=O.O039444'XIO F=0.00021 OO'X 12

C

C

A3=0.60559366*X2 B3=0.74350384*X4 C3=0.25300117*X6 D3=0.0426 I2 I4*X8 E3=0.00427916*X10 F3=0.00024846*X 12

AA=0.5624998SiX2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=0.0003176i*XIO

130

C

C

C

C

C

C

C

C

FF=0.0000 I I09*X I2

AA3=0.22 12091 *X2 BB3=2.1682709*X4 CC3=1.3164827*X6 DD3=0,312395I*X8 EE3=0.0400976*X IO FF3=0.0027873*X I2

Jo(j)=l -A+B-C+D-E+F

JI(i)=X(i)*(OS-AA+BB-CC+DD-EE+FF) Y I i(j)=(2*X(i)/Pi)*(LOG(X(i)/2))*J I (i) Y i(i)=(Y 1 I(j)-0.6366 198+AA3+BB3-CC3+DD3-EE3tFF3)/X(j) End Do

Do j=1970,20000 Bmíj)=j*Dx X(i)=Bm(i)*Rd

XI=3MJ) x 2 = x I 'XI X3=XI'X2 x 4 = x I * x 3 ' x 5 = x I * x 4 X6=X5*xI :

Yo(i)=((2/pi)*(LOC(X(i)/2))*J0(j))+0.3674669l +A3-B3+C3-D3+E3-F3

Calculo de "Jo" y "JI" para "3.01 <=X>=30.48"

AI=0.00000077*X 1 B 1=0.00552740*X2 CI =0.000095 1 2*x3 DI=O.QOI 37237*X4 E1=0.00072805'X5 FI =O.OOO I4476*X6

AAI=0.04 l66397.X I BB I =O.O0003954*X2 CC I =O.O0262573*X3 DDI=0.00054 125*X4 .EE I=0.00029333 * X5 FFI=0.000 I3558*X6

Fo=0.79788456-Ai-B I-C I +DI -E I +Fi TETAo=X(i)-0.785398 16-AA 1-88 I +CC I -DDI -EEI +FFI

A2=0.00000156*X 1 B2=0.01659667*X2 C2=0.000I 7105*X3 D2=0.0024951 l*X4 E2=0.00113653*X5 F2=0.00020033 'X6

AA2=0.12499612*X I BB2=0.00005650* X2 CC2=0.00637879*X3 DD2=0.00074348*X4 EE2=0.000798?4* X5 FF2=0.00029 I66*X6

131

APÉNDICE G

F1=0.79788456+A2+B2+CZ-D2+E2-F2 TETA I=X(i)-2.356 I9449+AA2+RB2-CC2+DD2+EEZ~FF2

C Joci)=(Fo*Cos(TETAo))i( SQRT( XQ))) Yo(i)=(Fo*Sin(TETAo))/(SQRT(X(i))) J I(j)=(FI *Cos(TETAI))I(SQRT(X(i))) Y I(j)=(FI *Sin(TETAI))/(SQRT(X(i)))

C

C Calculo de "So" y "Vo" End Do

Do j=1,20000 So(i)=-(Bm(i)*Y 1 a))+( H * YoG)) Voíj)=-(Bm(i)*J I O))+(H*Jo(j))

End Do C C Calculo de la igualdad de expresiones

Do i=1,20000

Fx=(So(i)*Uo(i))-(Vo(i)* Wo(i))

C Impresi6n de resultados c Write(9,*)X(i),Jo(i),Ji(i) c Write(9,*)X(i),Yo(i),Y I ( i)

Write(9,*)i,Bm(i),Fx End Do

C Formatos de escritura 50 Format (A20)

stop End

PROGRAMA # 5

Program Intervalo C Declaraci6n de variables

Real*4 T(50000,10),Jor( IO),Yor( IO),Ror( I O).Bm( I O) Reai*4 Ji(SOOOO),Jo(5OOOO),Yo(5OOOO).Y I I (SOOOO),Y I(50000) Real'4 L,Q(lO),Norma(lO),MI(IO),M2(IO),MM( I O ) Real.4 X(S0000),Suma(S0000, I O).Resta(S0000, I O),SumBet Real'4 Fo,TETAo,FI ,TETA I ,Tiempo(366).Gs,CT Real'4 0 0 6 6 , I0),00(366, iO),OOO.OOOO Real'4 So(iO),Uo(lO),Vo(lO),Wo(lO) Real'4 G I ( IO),G2( IO).G( iO),ZI( I O).Z2( 10) Parameter (Pi=3. I4 I592654.Alfa=0.000084.r I =0.0983.r=O.I524) Parameter (Rb=O.O762,Rd=O. lS24.k=204.H=O.O686,Gv=S 174.054264) Parameter (To=300.273,Ta=300.273 1 Integer i j ,n

Character'20 Archivo Pide por pantalla el archivo de resultados Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*,50) Archivo

Apenura del archivo de resultados Open(Unit=9,FiIe=Archivo,Status='U nkiiowii') Write(9,*)

132

C Evaluación de las integrales C C Calculo de "(So[Rd/Bin*JI(Bm*Rd)-Rb/Bm*JI(Bm'Rb)]~-(Vo[RdlBm*Yl(Bm*Rd)- Rb/Bm*Y IíBin*Rb)l~" ..,

Do j=1,2

Bm( l)=l.349999 Bm(2)=41.989999

Do n=1,2 Do i=762,1524

X(i)=Bm(n)* i*O.dOO I If(X(i).LE.3) Then

Xl=X(i)/3 X2=XI 'XI X4=X2'X2 X6=X4*X2 X8=X6'X2 XIO=X8'X2 XI2=XIO'X2

C

C

C

C

C

C

A=2.2499997 * X2 B=I .26562*X4 C=0.3 163866'X6 D=0.0444479* X8 E=O.O039444*X 10 F=0.0002 lOO*X 12

A3=0.60559366*X2 B3=0.74350384*X4 C3=0.25300117*X6 D3=0.042612 14*X8 E3=0.004279 16*X I O F3=0.@024846*X 12

AA=OS6249985*XZ BB=0.2 1093573*X4 CCL0.03954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=O.O0031761*XIO FF=0.00001109*XI2

AA3=0.2212091 'X2 BB3=2.1682709*X4 CC3=I .3 164827.X6 DD3=0.3 12395 I *X8 EE3=0.0400976*X 10 FF3=0.0027873*X 12

MiPl -A+B-C+D-E+F Yo(i)=((2/pi)*(LOG(X(i)/2))*Jo(i))+0.3674669 I +A3-B3+C3-D3+E3-F3 Jlíi)=X(i)*(O.S-AA+BB-CC+DD-EE+FF) Y ¡í(i)=(2*X(i)/Pi)*(LOG(X(i)/2))*JI(i) ' Y \(¡)=(Y 11(¡)-0.6366198+AA3+B~3-CC3+DD3-EE3+FF3)/X(i)

133

Else XI=3/X(i) x 2 = x I 'X I X3=Xl*X2 x 4 = x I 'X3 x 5 = x I 'X4 X6=X5*xI

C AI=O.O0000077*X I B I =0.00552740* X2 c1=0.000095 12*x3 DI =0.0013723'7*X4 El =0.00072805*X5 F I =O.OOO 14476*X6

AA I =0.04 166397'X I BB I =O.O0003!)54*X2 CC I =O.O0262S73 * X3 DD I =0.00054 I2S*X4 EEI =0.00029333*XS FFI =O.OOO I3558*X6

C F0=0.79788456-A I-B I-C I +DI -E I -+F I TETAo=X(i)-0.785398 16-AA I -BB I +CC I -DD I -EEI +FF I

C A2=0.00000156*X I B2=0.01659667*X2 CZ=O.O0017105*X3 DZ=0.002495 I I *X4 E2=0.00113653*X5 F2=0.00020033 * X6

AA2=0.12499612*XI BBZ=0.00005650* X 2 CC2=0.00637879*X3 DD2=0.00074348* X4 EE2=0.00079824*X5 'FF2=0.00029 I66*X6

C Fl=0.79788456+A2+B2+C2-D2+E?-F2 TETA I=X(i)-2.356 19449+AA2+BB2-CCZ+DD2+EE2-FF2

C Jo(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(X(i))) Yo(i)=(Fo*Sin(TETAo))/(SQRT(X(i))) J 1 (i)=(F I *Cos(TETA i))/(SQRT(X(i))) Y I(i)=(FI *Sin(TETA l))/(SQRT(X(i)))

C Endif End Do

So(n)=(-Bm(n)*Y 1(1524))+(H*Yo( 1524)) Uo(n)=(-Bm(n)*J I (762))-(H*Jo(762)) Vo(n)=(-Bm(n)'JI( I524))+(H*Jo( 1524)) Wo(n)=(-Bm(n)*Y I (762))-(H *Y o( 762))

G 1 (n)=So(n)*((Rd/Bm(n)* J 1 ( I524))-( R b/Bin(n)* J I(762))) G2(n)=Vo(n)*((Rd/Bm(n)*Y 1 ( I S24))-(Rb/üni(n)*Y i(762)))

134

APÉNDICE G

G(n)=G 1 (n)-G2(n) c Write(*,*)G(n) C C Calculo de "So*rl*Jo(Bm*rl)" y "Vo*rl*Yo(Bin'rl)"

Zl(n)=So(n)*r I *Jo(r l/O.OOO I ) ZZ(n)=Vo(n)*rl *Yo(rl /O.OOO I )

c Write(*,*)Z I (n),Z2(n) C C Calculo de la fuiici6n propia "Ro(Biii.r)=So*Jo(Bni*r)-Vo*Yo(Bni*r)"

Jor(n)=Jo(r/0.000 I) Yor(n)=Y o(r/O.OOO I ) Ror(n)=(So(n)*ior(n)>(V'o(n)'Y or(n))

c write(*,*)r,Ror(n) C C Calculo de la n o m a "N(Bm)"

MI (n)=(Ht*2)+(Bm(n)**2) M2(n)=MI (n) MM(n)=(M2(n)*(Uo(n)'*2))-(M I(n)*(Vo(n)**Z)) Q(n)=(Bm(n)**2)*(Uo(n)**2) Norma(n)=(2*MM(n))/((Pi* *2)*Q(n))

End Do c Write(*,*)Nonna(n)

C C Calculo de "2*Pi"

L=2*Pi c Write(*,*)L C

C Calculo del exponencial "Exp(-Alfa*(Biii**2)*liempo)" CT=30

Do i=1,366 Tiempo(i)=CT* i O(i j)=Exp(-Alfa*(BmQ)* *2)*Tiempo( i j)

c Write(*,*)S(ij) C C Calculo de "(I/Alfa*(Bm**2))*(( I .Esp(Alfa*(Bni**2)*Tiempo)-l)"

c Write(9,*)Tiempo(i),S(ij),V(iJ)

C C Calculo de "(Alfak)"

c Write(*,*)U C C Calculo de la constante "1/2*Pi"

P=I/(Z.Pi) c Write(*,*)P C C Calculo de la fuente de calor superficial "(Gv*(Rb**?))/(2*rI)"

c Write(*,*)Gs C C Calculo de la temperatura "T(r,o,t)"

OOO= I /(Alfa*(Bmu)* '2)) OO(ij)=OOO*(i-O(ij))

End Do

0000=Alfa/k

Gs=(Gv'(Rd**2))/(2*rl)

Do i=1,366 Suma(¡ j)=((To-Ta)'((P*O(i j)* RorU)* Cíj)*L)/NorniaQ))) Resta(¡ j)=(OOOO*((P*Ror~)*Gs*OO(i.j)*(Z I ti)~Z~ti))*l,)./Normati)))

APÉNDICE G

End Do End Do Do i=1,366 SumBet=Suma(i, I)+Suma(i,2)+Resta( i, I )+Resta( i,2) T(i,I)=Ta+Suma(i,l)+Resta(i. I ) T(i,2)=Ta+SumBet End Do

C C Impresión de resultados

c Write(9,*)Jor(lOO,I),T(i, I),Jor(l00.2).T(i.2) c Write(9,')' ',Tiempo(¡).' ',T(¡, I ) , ' ',T(i,2) c Write(9,*)T(i, I )

Do i=1,366

Write(9,*)T(i,2)


50 Format (AZO) Stop End

PROGRAMA # 6


Reall4 T(SOOO0, IO),Jor(50000, I O),Yor(50000, IO).Ror(50000, IO) Real*4 Jl(5OOOO),Jo(SOOOO),Yo(5OOOO).Y I 1(50000),Y l(5OOOO).Bm( I O ) Real'4 L,Q( IO),Norma( iO),MI( 10).MZ( IO),MM( I O ) Real'4 X(50000),Suma(50000. I O).Resta(50000. I O),SumBet Real'4 Fo,TETAO,FI,TETA I .r(50000).Gs Reall4 O,OO,OOO,OOOO Real.4 So(iO),Uo(iO),Vo(iO),Wo(iO) Real*4 GI(IO),G2(IO),G(IO),ZI(IO),ZZ( I O ) Parameter (Pi=3. I4 I592654.Alfa=O.O00084,r I =0.0983,Tiempo= 100000) . Parameter (Rb=O.O762,Rd=O. I524.k=204.H=O.O686,Gv=5 174.054264) Parameter (To=300.273,Ta=300.273) Integer ij,n

Character'20 Archivo

Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*.50) Archivo

Open(Unit=9,File=Archivo,Status='Unknow t i ' )

Write(9,')

,

C

C Pide por pantalla el archivo de resultados


C C Evaluación de las integrales C C Calculo de "(So[Rd~Bm*JI(Bm*Rd)-Rb/Bm*J1(Bm*Rb)])-(Vo[Rd/Bm*Y1(Bm*Rd)- Rb/Bm*Y I(Bm*Rb)]}"

Do j=1,2

Bm( l)=l.349999

136

C

Bm(2)=4 1.989999

Don=1,2 Do i=762,1524

X(i)=Bm(n)*i*0.000 I If(X(i).LE.3) Then

x I =X( ¡)/3 X2=XI*XI x4=x2*x2 X6=X4'X2 XS=X6'X2 X!O=X8*X2 x 12=x I o*x2

C A=2.2499997*X2 B=1.26562*X4 C=0.3163866.X6 D=O.O444479*X8 E=O.O039444*X IO F=O.O002100*X 12

A3=0,60559366*XZ B3=0.74350384*X4 C3=0.25300117*X6 D3=0.042612 l4*X8 E3=0.00427916*X IO F3=0.00024846*X I2

C

C AA=0.56249985'X2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19'XB EE=0.0003 I76 I *X I O FF=0.00001 I09*X I3

AA3=0.2212091 'X2 BB3=2,1682709*X4 CC3=1.3 164827*X6 DD3=0,3123951*XS EE3=0.0400976*X I O FF3=0.0027873*X I7

C JO(i)=I -A+B-C+D-E+F Yo(i)=((2/Pi)*(LOG(X(i)/Z))'J0(i))+O.3674669 I +A3-83*C3-D3+E3-F3 J I (i)=X(i)'(O.5-AA+Bü-CC+DD-EE+FF) Y I i(i)=(2*X(i)/Pi)*(LOG(X(i)/Z))*J i ( i ) Y I(i)=(Y I l(i)-O.6366198+AA3+BB3-CC3+DD3-EE3+FF3)/X(i)

C Else Xi=3/X(i) XZ=XI'XI x3=x I 'X2 X4=XI 'X3 x5=x I 'X4 X6=X5*xI

137

APÉNDICE G

C A 1 =O.O0000077*X I B 1 =0.00552740* X2 CI =0.000095 12*X3 Dl=O.O0137237*X4 E I =0.0007280S*X5 FI=O.O0014476*X6

AA I =O.O4166397*X I BBI =O.O0003954'X2 CC I =O.O0262573*X3 DD I =0.00054 I25*X4 EE1'0.00029333'X5 FFI=O.O0013558'X6

C Fo=0.79788456-A1 -BI -C 1 +DI -E I +F 1 TETAo=X(i)-0.785398 16-AA I -BB I +CC I -DD I -EEI +FF I

C A2=0.00000156*X 1 B2=0.0 1659667*X2 c2=0.00017 105*x3 D2=0.002495 I I *X4 E2=0.00113653*X5 F2=0.00020033*X6

AA2=O. 124996 12*X I BB2=0.00005650*X2 CC2=0.00637879*X3 DD2=0,00074348*X4 EE2=0.00079824* XS FF2=0.00029166*X6

C FI =0.79788456+A2+82+C2-D2+EZ-F2 TETA I=X(i)22.35619449+AA2+BB2-CC2+DD2+EE2-FF2

C Io(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(X(i))) Yo(i)=(Fo*Sin(TETAo))/(SQRT(X( i))) J I(i)=(FI *Cos(TETA i))/(SQRT(X( i))) Y 1 (i)=(F 1 *Sin(TETA I ))/(SQRT(X( i)))

C Endif End Do

So(n)=(-Bm(n)*Y'I(1524))+(H*Yo( 1524)) Uo(n)=(-Bm(n)*J 1(762))-(H*Jo(762)) Vo(n)=(-Bm(n)*J I ( I 524))+(H*Jo( 1524)) Wo(n)=(-Bm(n)*Y I (762))-(H*Yo(762))

G l(n)=So(n)*((Rd/Bm(n)*J 1 ( I524))-(Rb/Bm(n)*J l(762))) G2(n)=Vo(n)*((Rd/Bm(n)*Y 1 ( I524))-(Rb/Bni(n)*Y l(762)))

G(n)=G I (n)-G2(n) c Write(*,*)G(n) C C Calculode "So*rl*Jo(Bm*rl)" y "Vo*rl*Yo(Bm'rl)"

Zl(n)=So(n)*r I *Jo(r1/0.000 I ) Z2(n)=Vo(n)*rl *Yo(r1/0.000 I )

c Write(*,*)Z I (n),Z2(n)

138

C

C Calculo de la función propia "Ro(Biii.r)=So*Jo(Bm*r)-Vo*Yo(Bm*r)" nn= I524

Do i=762,nn r(i)=i*0.000 1

Jor(i,n)=Jo(r(i)/O.OOO I) Yor(i,n)=Yo(r(i)/O.OOOI) Ror(i,n)=(So(n)*Jor(i,n))-(Vo(n)'Y or( ¡ , t i ) )

C c write(*,*)r(i),Jor( i. I),Jor(i,Z),Y or( i, I ),Y or( ¡,2), Ror( i, I ),Ror( i.2)

End Do

C Calculo de la norma "N(Bm)" M 1 (n)=(H**Z)+(Bm(n)*'2) MZ(n)=Ml(n) MM(n)=(MZ(n)*(Uo(n)**2))-(M l(n)*(Vo(n)**2)) Q(n)=(Brn(n)**2)*(Uo(n)**2) Norma(n)=(2*MM(n))/((Pi**2)*Q(n))

End Do c Write(*,*)Norma(n)

C C Calculo de "Z*Pi"

L=2*Pi c Write(*.*)L C C Calculo del exponencial "Exp(-Alfa*(Bm**2)'Tiempo)"

c Write(*.*)O C C Calculo de "(l/Alfa*(Bm**2))*(( I-Exp(Alfa*(Bm**2)*Tiempo))"

O=Exp(-Alfa*(Bm(i)* *2)*Tiempo)

OOO=l/(Alfa*(Bm(i)**2)) oo=ooo*( 1-0)

c Write(9;)OO C C Calculo de "(Alfak)" -

c Write(*,*)U C C Calculo de la constante "1/2*Pi"

c Write(*,*)P C C Calculo de la fuente de calor superficial "(Gv*(Rb**2))/(2*rI)"

c Write(',*)Gs C C Calculo de la temperatura "T(r.o,t)"

0 0 0 0 = A l f a k

P= 1 /(2*Pi)

Gs=(Gv*(Rd"2))/(2*r I)

Do i=762,1524 Suma(ij)=((To-Ta)*((P*O* Ror(i,i)*GU )* L)Norma(i))) Resta(¡ j)=(OOOO*((P*Ror(i j)*Gs'OO*(Z I (j)-Z2(j))*L)íNorma~))) End Do End Do Do i=762, I525 SumBet=Suma(i, I)+Suma(i,2)+Resta( i. I )+Resta( i.2) T(i, I)=Ta+Suma(i, ¡)+Resta(¡, I )

.

139

T( i,2)=Ta+SumBet End Do

C Impresión de resultados

c Write(9,*)Jor(i,l),T(i,I),Jor(i,2),T(i,2) c Write(9,')' ',r(i): ',T(¡, I ) , ' ',T(i,2) c Write(9,*)r(i),T(i,i)

Do i=762, I524

Write(9,*)r(i),T(i,2)



.

SEP CENIDET DGIT CENTRO DE INFORMACION

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9 $ - 047.1

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