CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE … · Desarrollo de nuevos Sistemas de Antena Utilizando...

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  • CENTRO DE INVESTIGACIN CIENTFICA Y DE EDUCACIN SUPERIOR

    DE ENSENADA

    PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS

    EN ELECTRNICA Y TELECOMUNICACIONES

    SNTESIS DEL DIAGRAMA DE RADIACIN EN AGRUPAMIENTOS DE ANTENAS

    VA OPTIMIZACIN CONVEXA

    TESIS

    que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS

    Presenta:

    RICHARD TORREALBA MELNDEZ

    Ensenada, Baja California, Mxico, Junio del 2007.

  • RESUMEN de la tesis de Richard Torrealba Melndez, presentada como requisito parcial para la obtencin del grado de MAESTRO EN CIENCIAS en ELECTRNICA Y TELECOMUNICACIONES. Ensenada, Baja California. Julio de 2007.

    SNTESIS DEL DIAGRAMA DE RADIACIN EN AGRUPAMIENTOS DE ANTENAS VA OPTIMIZACIN CONVEXA

    Resumen aprobado por: ________________________________ Dr. David Hilario Covarrubias Rosales Director de Tesis

    El agrupamiento de antenas provee una forma eficiente para la deteccin y procesado de seales de usuarios mviles, que provienen de diferentes direcciones dentro de un entorno celular. En un agrupamiento de antena el diagrama de radiacin puede ser modificado mediante distribuciones en amplitud y fase llamada pesos del agrupamiento. El problema en la sntesis del diagrama de radiacin, consiste en encontrar una serie de pesos, tales que satisfagan un conjunto de especificaciones en el diagrama de radiacin: dirigibilidad, directividad, ancho de haz, nivel de lbulos laterales, etc. Para realizar este procedimiento de sntesis existen varias tcnicas analticas, tales como las de Schelkunoff, Dolph, Bucci. Existen tcnicas ms recientes como son la aplicacin de algoritmos genticos y evolucin diferencial, pero lamentablemente no todas ofrecen una optimalidad absoluta y un tiempo de cmputo pequeo, por esta razn, la sntesis del diagrama de radiacin sigue siendo un problema abierto y actual. Recientemente se han aplicado tcnicas de sntesis basadas en mtodos convexos. En esta tesis, se enfatiza la importancia de la sntesis del diagrama de radiacin mediante optimizacin convexa, debido a que la optimizacin convexa proporciona un tiempo de cmputo pequeo y que ste se incrementa linealmente respecto al tamao del problema, adems de que un mnimo local puede ser considerado como un mnimo global. Se realiza el estudio de la sntesis del diagrama de radiacin en agrupamientos lineales uniformes de antenas empleando optimizacin convexa, donde se expresa la sntesis del diagrama de radiacin, particularmente la minimizacin de los lbulos laterales, como un problema de optimizacin convexa, para as resolver ste mediante los mtodos de punto interior. Adems, se efecta un anlisis de la robustez de la optimizacin convexa aplicada a la sntesis del diagrama de radiacin, con el fin de conocer los lmites de la robustez y definir las cotas donde funciona adecuadamente la optimizacin convexa. A partir de los resultados obtenidos se establecen las ventajas de la optimizacin convexa sobre las tcnicas de sntesis del diagrama de radiacin ya existentes. Palabras Clave: Agrupamiento de antenas, mtodos de punto interior optimizacin convexa, sntesis del diagrama de radiacin

  • ABSTRACT of the thesis presented by Richard Torrealba Melndez as a partial requirement to obtain the MASTER OF SCIENCE degree in ELECTRONICS AND TELECOMMUNICATIONS. Ensenada, Baja California, Mexico. June 2007.

    RADIATION PATTERN SYNTHESIS OF ARRAY ANTENAS USING CONVEX OPTIMIZATION

    The definition of an antenna array seems like a set of antennas distributed uniformly. Antenna array provides an efficient means to detect and process signals arriving from different sources. The beam pattern of antenna array can be modified with an amplitude and phase distribution called the weights of the array. The antenna array beam pattern synthesis problem consists of finding weights that satisfy a set of specifications on the beam pattern. The synthesis problem has been studied quite a lot. From the first analytical approaches by Schelkunoff or Dolph to the more general numerical approaches such as mentioned in the paper by Bucci, it would be impossible to make an exhaustive list. There are methods recent as the application of genetic algorithms and evolution differential; there is no guarantee that we can reach the absolute optimum and small computation time. This work emphasizes the importance of convex optimization in antenna array design, because convex optimization provides a small computation time and grows gracefully with problem size. The radiation pattern synthesis is proposed for linear arrays antennas using convex optimization, where the synthesis of the radiation pattern is expressed, particularly the side lobe reduction, like a problem of convex optimization, which is easily solved with IPMs. In addition, an analysis of the robustness of the convex optimization applied at synthesis of the radiation pattern is presented, with the purpose to know the limits of robustness and to define the levels where the convex optimization works suitably. From the obtained results, the advantages of the convex optimization will be defined between the existing methods of radiation pattern synthesis. Keywords: Antenna arrays, convex optimization, IPMs, radiation pattern synthesis, Smart antennas.

  • Dedicatorias A mis padres, Delfino Torrealba Aguilar y Lidia Melndez Balbuena, por que gracias a su apoyo, amor y cario, logre cumplir una ms de mis metas, los quiero mucho. A mi hermana Gloria Yadira Torrealba Melndez, por su apoyo incondicional y que siempre me motiva a seguir adelante, te quiero mucho.

    A Edna Iliana Tamariz Flores, por compartir su vida conmigo, por el amor que me ha dado, por ser mi novia, amiga, compaera y que juntos logremos muchos xitos. Te amo Edna.

  • Agradecimientos. Gracias a Dios y a la Virgen Mara, por darme paciencia, conocimiento y lucidez para llevar acabo esta etapa de mi vida. A mi familia, abuelitos, tos y primos porque siempre cont con su apoyo y cario para culminar la maestra tan lejos de ustedes. Al Dr. David Covarrubias por todo su apoyo, amistad, consejos y comprensin. Y gracias a su excelente direccin, se logr culminar este trabajo de tesis. Muchas gracias Doctor porque de usted aprend mucho. A los miembros de mi comit de tesis, Dr. Jos Luis Medina Monroy, Dr. Roberto Conte Galvn y al Dr. Hugo Homero Hidalgo Silva, por sus valiosas aportaciones y consejos durante este trabajo de tesis. Al Dr. Arturo Velzquez por todo su apoyo que me proporcion en mi estancia en el CICESE. A Jorge Snchez por ser mi amigo y compaero de trabajo, por los buenos momentos que compartimos juntos en el estudio y futbol. Al Grupo de Comunicaciones Inalmbricas (GCI) por todo el apoyo que recib de ste, un placer pertenecer al grupo. A mis amigos del Grupo de Comunicaciones Inalmbricas (GCI): Edna, Jorge, Rubn y Lennin, tambin Ivn porque para m fue como parte del grupo. Gracias por su amistad y espero que nunca termine y mis mejores deseos para ustedes. A mis amigos y compaeros de generacin, adems de los amigos que conoc aqu en CICESE: Aldo, Varun, Jos Lus, Dania, Andaln, Javier, Kobe, Mario, Alberto, Jonathan, Daniel, Sergio, Marco, Sarai, Andrs y Paul. A todo el personal del CICESE que siempre me atendi con una sonrisa y lograr hacer mi estancia ms fcil. Al CONACYT, por la beca recibida a lo largo de mis estudios de maestra. Se agradece al CONACYT por el apoyo otorgado a los proyectos: Investigacin y Desarrollo de nuevos Sistemas de Antena Utilizando Tcnicas de Optimizacin Evolutiva" y Optimizacin convexa aplicada a la sntesis del diagrama de radiacin de agrupamientos de antenas en comunicaciones mviles celulares, con claves J50839Y - 52374 respectivamente, sobre los cuales se enmarc esta tesis.

  • CONTENIDO

    Pgina Lista de Figuras iii Lista de Tablas. vi Captulo I. INTRODUCCIN........................................................................... 1 I.1. Antenas inteligentes para sistemas de comunicaciones mviles............... 1 I.2. Formulacin del problema........................................................................ 4 I.3. Objetivo de la Tesis............................................................................ 6 I.4. Metodologa de la investigacin............................................................ 6 I.5. Organizacin de la tesis............................................................................. 6 Captulo II. Sntesis del diagrama de radiacin........................................ 10 II.1. Introduccin.............................................................................................. 10 II.2. Factor de agrupamiento de un agrupamiento lineal de antenas.............. 11 II.3. Parmetros de un diagrama de radiacin................................................ 16 II.4. Sntesis del diagrama de radiacin.......................................................... 19 II.5. Especificaciones para la sntesis.............................................................. 21 II.6. Conclusiones............................................................................................. 23 Captulo III. Optimizacin convexa................................................................. 25 III.1. Introduccin......................................................................................... 25 III.2. Conjuntos Convexos............................................................................ 26 III.3. Funciones convexas............................................................... 27 III.3.1. Condiciones de primer orden....................................................... 28 III.3.2. Condiciones de segundo orden........................................................ 30 III.3.3. Ejemplos de funciones convexas................................................. 30 III.4. Problemas de optimizacin convexa..................................................... 30 III.5. Dualidad.............................................................................. 33 III.5.1. El Lagrangiano................................................................. 33 III.5.2. La funcin dual de Lagrange........................................................... 34 III.5.3. Problema dual de Lagrange............................................................. 35 III.5.4. Dualidad dbil............................................................ 36 III.5.5. Dualidad fuerte y condicin de Slater....................................... 36 III.5.6. Condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn Tucker (KKT)......... 37 III.6. Mtodos de punto interior........................................................................ 38 III.6.1. Mtodo de la barrera logartmica................................................. 39 III.6.2. Mtodo de punto interior Primario-Dual...................................... 42 III.7. Conclusiones......................................................................................... 46

  • ii

    CONTENIDO (continuacin)

    Pgina Captulo IV. Sntesis del diagrama de radiacin planteado como un problema de optimizacin convexa. 47 IV.1. Introduccin.................................................................................. 47 IV.2. Sntesis del diagrama de radiacin como un problema convexo......... 48 IV.3. Simulaciones de la minimizacin del nivel de los lbulos laterales.... 54 IV.4. Minimizacin del nivel de los lbulos laterales en agrupamientos

    lineales no uniformes empleando optimizacin convexa...................... 67 IV.5. Conclusiones.......................................................................................... 71 Captulo V. Anlisis de la sntesis del diagrama de radiacin empleando optimizacin convexa....................................................................................... 73 V.1. Introduccin.................................................................................... 73 V.2. Sntesis del diagrama de radiacin con restricciones de Robustez 74 V.3.Simulaciones de la sntesis del diagrama de radiacin con

    restricciones de robustez empleando optimizacin convexa 80 V.3.1 Sntesis del diagrama de radiacin con restricciones de robustez. 81 V.3.2 Disminuir el nivel de los lbulos laterales en diferentes zonas de

    interferentes 82 V.3.3 Simulacin desplazando las zonas de interferentes 84 V.3.4 Incremento en el ancho de las zonas de interferentes 87 V.4 Tiempo de Computo.. 89 V.6. Conclusiones. 91 Captulo VI. Conclusiones y Trabajo Futuro..... 93 VI.1. Sobre la optimizacin convexa............................................................... 93 VI.2 En cuanto a la sntesis de diagrama de radiacin empleando

    optimizacin convexa. 95 VI.3 En cuanto al anlisis de la robustez de la optimizacin convexa

    aplicada a la sntesis del diagrama de radiacin. 97 VI.4 Publicaciones resultado del trabajo de investigacin 99 VI.5 Trabajos Futuros 99 Referencias 101 Apndice A. Sntesis de Taylor 105

  • iii

    LISTA DE FIGURAS

    Figura

    Pgina

    1 Arquitectura de un sistema de antenas inteligentes.. 3

    2 Metodologa y desarrollo de la tesis. 7

    3 Agrupamiento de antenas lineal uniforme, en el cual inciden seales con un ngulo de incidencia ............................................. 12

    4 Representacin polar del diagrama de radiacin, para un

    agrupamiento lineal de 8 elementos con una separacin entre elementos d=/2... 14

    5 Diagramas de radiacin para un agrupamiento de 8 elementos

    separados a una distancia d=/2, a) se muestra el diagrama de radiacin en el modo transversal y en b) el diagrama dirigido a 45............................................................ 16

    6 Diagrama de radiacin en forma bidimensional donde se sealan

    los lbulos laterales y el lbulo principal. 18

    7 Representacin geomtrica de la propiedad de convexidad en dos conjuntos diferentes, definidos en un espacio bidimensional. 27

    8 Representacin geomtrica de la definicin de una funcin

    convexa. 28

    9 Representacin grafica de la condicin de primer orden para las funciones convexa 29

    10 a) Diagrama de radiacin en modo transversal y diagrama dirigido

    a 45. b) Diagrama de radiacin dirigido a 65 y diagrama en modo transversal.. 56

    11 a) Diagrama de radiacin de un agrupamiento de 10 elementos de

    antena sin sintetizar y sintetizado por Taylor en modo transversal. b) Diagrama de radiacin dirigido a 65 sin sintetizar y sintetizado por Taylor . 58

  • iv

    LISTA DE FIGURAS (continuacin)

    Figura

    Pgina

    12 a) Diagrama de radiacin de un agrupamiento de 10 elementos de antena sin sintetizar y sintetizado por optimizacin convexa en modo transversal. b) Diagrama dirigido a 65 sin sintetizar y sintetizado por optimizacin convexa... 59

    13 Diagramas de radiacin de agrupamientos de 10 elementos de

    antena elementos sin sintetizar y sintetizado por optimizacin convexa. b) Diagramas de radiacin de agrupamientos de 30 elementos de antena elementos sin sintetizar y sintetizado por optimizacin convexa. .. 62

    14 Comportamiento del SLL respecto a HPBW. Para un

    agrupamiento de 10 elementos y para un agrupamiento de 30 elementos de antena... 64

    15 Comportamiento del SLL respecto a la dirigibilidad a un usuario

    de inters. Para un agrupamiento de 10 elementos de antena y para un agrupamiento de 30 elementos de antena................................................................. 65

    16 Nivel de SLL que se tiene antes y despus de aplicar la sntesis

    empleando optimizacin convexa para agrupamientos no uniformes... 68

    17 a) SLL respecto a la dirigibilidad del haz principal. b) SLL

    respecto a HPBW... 70

    18 Diagrama optimizado para reducir el nivel de lbulos laterales en -40dB, para dos zonas angulares densamente pobladas con interferentes, con un ancho de 20. Las zonas angulares estn ubicadas de 62 a 82 y en 98 a 118.. 82

  • v

    LISTA DE FIGURAS (continuacin) 19 Diagramas optimizados para reducir el nivel de lbulos laterales

    en -40dB, en diferentes zonas angulares densamente pobladas con interferentes, con un ancho de 20. a) Para una zona angular, b) dos zonas de interferentes, c) tres zonas de interferentes y d) cuatro zonas de interferentes. 83

    20 Diagramas optimizados para reducir el nivel de lbulos laterales

    en -40dB, en dos zonas densamente pobladas con interferentes, con un ancho de 20. a) Zonas separadas 4 del haz principal, b) Zonas separadas 5.5, c) Zonas separadas 10.5 y d) SLL respecto a la distancia de la zonas angulares al haz principal.. 86

    21 Diagramas optimizados para reducir el nivel de lbulos laterales

    en -40dB, en dos zonas densamente pobladas con interferentes con un ancho variable. a) Zona con un ancho de 20, b) Zonas con un ancho de 25, c) Zonas con un ancho de 40. En d) SLL respecto al ancho de las zonas angulares al haz principal 88

    22 Tiempo de cmputo empleado para solucionar dos problemas de

    sntesis del diagrama de radiacin. 90

  • vi

    LISTA DE TABLAS

    Tabla Pgina I Resultados de HPBW y SLL al aplicar la sntesis de Taylor y la

    sntesis empleando optimizacin convexa..

    61 II Valores de HPBW para los agrupamientos no uniformes 68 III Resultados del SLL al tener varias zonas de interferentes donde

    se reduce el nivel a -40dB.

    84 IV Valores de SLL para diferentes distancias de las zonas angulares

    respecto al haz principal

    85 V Tabla VI. Valores del parmetro B para diferentes niveles de

    SLL

    107

  • Captulo I

    Introduccin

    I.1 Antenas inteligentes para sistemas de comunicaciones mviles.

    En los ltimos aos, los sistemas de comunicaciones mviles celulares han

    evolucionado a nuevas generaciones, como son: tercera y cuarta generacin (3G y 4G), con

    el fin de ofrecer ms y mejores servicios a los usuarios. Para lograr esto, es necesario

    aprovechar al mximo el ancho de banda que se tiene en estos sistemas, as como tambin,

    eliminar algunos fenmenos que se presentan, como las multitrayectorias presentes en el

    canal radio, la interferencia co-canal y la dispersin local. Con el fin de optimizar estos

    sistemas, se han aplicado diferentes tcnicas, entre las que se pueden mencionar; tcnicas

    de acceso al medio y la aplicacin de sistemas de antenas inteligentes. La primera vertiente

    ha sido ampliamente desarrollada, pero en la actualidad los sistemas de antenas inteligentes

  • 2

    tienen ya un gran auge, ya que empleando estos sistemas se pueden lograr los

    requerimientos en capacidad y calidad de servicio, necesarias en los sistemas de los

    sistemas de comunicaciones mviles [Rappaport 1999].

    El principio de los sistemas de antenas inteligentes es generar diagramas de

    radiacin adaptables a las condiciones cambiantes del canal radio [Godara 1997].

    Un sistema de antenas inteligentes, est constituido por un agrupamiento de antenas y un

    procesamiento ligado a ste, como se muestra en la Figura 1. Mediante ello es posible

    identificar la ubicacin en direccin de cada usuario y establecer un filtraje constante

    espacial entre usuarios, esto al dirigir diagramas de radiacin/recepcin a cada uno de ellos

    en la misma frecuencia y en la misma ranura de tiempo. Por lo tanto, un agrupamiento de

    antenas se define como un grupo de antenas espacialmente distribuidas, donde la seal de

    salida de dicho agrupamiento, se obtiene mediante una combinacin apropiada de las

    seales monitorizadas por cada uno de los elementos que conforman dicho agrupamiento.

    En base a esta operacin, es posible extraer la seal deseada entre todas las seales

    recibidas, an cuando stas ocupen la misma banda de frecuencias. Las seales que llegan a

    un agrupamiento de antenas difieren de sensor en sensor, debido a las diferentes distancias

    que la seal debe de recorrer al propagarse.

    El agrupamiento de antenas provee una forma eficiente para la deteccin y

    procesado de seales de usuarios mviles, que provienen de diferentes direcciones dentro

    de un entorno celular. En un agrupamiento de antenas, el diagrama de radiacin puede ser

    modificado mediante distribuciones en amplitud y fase, llamada pesos del agrupamiento.

    Despus de efectuar un primer procesamiento a las salidas de los elementos de antena del

  • 3

    agrupamiento, las seales son ponderadas y sumadas, para formar as el diagrama de haz

    del agrupamiento.

    Figura 1. Arquitectura de un sistema de antenas inteligentes

    Los sistemas de antenas inteligentes pueden ofrecer las siguientes aplicaciones, para

    mejorar las prestaciones del sistema de comunicaciones mviles celulares [Rappaport

    1999]:

    Mejorar la calidad del enlace a travs del control de multitrayectorias. Las

    multitrayectorias en el canal radio, provocan desvanecimiento o dispersin

    en el tiempo. Las antenas inteligentes ayudan a mitigar el impacto de las

    multitrayectorias, o incluso, explotar la diversidad inherente en las

    multitrayectorias.

    Mejorar la capacidad del sistema. Las antenas inteligentes permiten al

    usuario y a la estacin base operar en el mismo rango que un sistema de

    comunicaciones mviles convencional pero a menor potencia.

  • 4

    Acceso Mltiple por Divisin de Espacio (SDMA). Esta aplicacin permite

    que mltiples usuarios operen en una misma clula en la misma trama de

    tiempo o frecuencia, usando las antenas inteligentes para separar las seales.

    Esta aplicacin es eficiente en entornos de propagacin con camino de

    visibilidad directa1 (LOS), entre transmisor y receptor y dispersin pequea,

    como es el caso de las plataformas elevadas de comunicaciones, en mega

    celdas de acceso inalmbrico (donde la estacin base posee antenas elevadas

    para obtener una propagacin con camino de visibilidad directa a los

    usuarios).

    Reduccin de la interferencia co-canal. Esta es una aplicacin muy

    importante, debido a que permite suprimir la interferencia cuando la seal

    deseada y las seales interferentes co-canal poseen direcciones espaciales

    diferentes, ya que la reduccin de la interferencia en el receptor del usuario

    de inters, permite el reuso del espectro. En transmisin, la reduccin de la

    interferencia depende del conocimiento del canal, debido al usuario deseado

    como a la interferencia co-canal, tambin deben diferenciarse en el

    transmisor.

    I.2 Formulacin del problema.

    En los sistemas de comunicaciones mviles celulares, que emplean un sistema de

    antenas inteligentes, un problema abierto y actual es la sntesis del diagrama de radiacin.

    1 Camino de visibilidad directa.- En este documento se empleara esta traduccin al termino line of sigth.

  • 5

    Se busca que el diagrama de radiacin del agrupamiento de antenas, cumpla con ciertas

    caractersticas, como son: alta directividad, un nivel de lbulos laterales que est por debajo

    de -19 dBs, (tal y como lo establece la normativa de las comunicaciones mviles

    inalmbricas [Godara 2002]) y que el diagrama de radiacin tenga directividad al usuario

    de inters.

    Para que el diagrama cumpla con las caractersticas ya mencionadas es necesario

    aplicar tcnicas de sntesis del diagrama de radiacin. Existen varios mtodos para obtener

    la sntesis del diagrama de radiacin: [Schelkunoff, 1943; Dolph, 1946; Bucci,1994], pero

    desafortunadamente no todos pueden brindar una optimalidad absoluta2, ya que slo

    pueden resolver un problema en especfico, y cuando manejan una gran cantidad de

    variables, estas tcnicas se vuelven ms complejas.

    Dentro del grupo de comunicaciones inalmbricas (GCI), se han estudiado las

    tcnicas convencionales, y se ha trabajado con tcnicas que se encuentran en lo que es el

    estado del arte de la sntesis del diagrama de radiacin, como son algoritmos genticos

    [Panduro 2005] y evolucin diferencial [Rocha 2006] los cuales ofrecen muy buenos

    resultados, pero con un tiempo de computo muy elevado. En este trabajo de tesis, se

    propone trabajar con nuevas tcnicas que nos permitan alcanzar lo ya obtenido por las

    tcnicas anteriormente mencionadas, y mejorar los aspectos donde las tcnicas anteriores

    tienen deficiencias y de esta manera aportar al estado del arte de la sntesis del diagrama de

    radiacin. Por estas razones se plantea el siguiente objetivo.

    2 De nuestra ptica definimos optimalidad absoluta, cuando al aplicar tcnicas de optimizacin se logre que el diagrama de radiacin presente: un ancho de haz lo ms parecido posible al de la respuesta natural, que el nivel de lbulos laterales este por debajo de -19dB, y que este uniformizado. Adems de que el diagrama debe de contar con cierta dirigibilidad.

  • 6

    I.3 Objetivo de la tesis.

    Modelado y simulacin de la sntesis del diagrama de radiacin de agrupamientos

    de antenas, empleando algoritmos de optimizacin convexa, y encontrar la solucin de

    stos numricamente a partir de mtodos denominados como IPM ( Interior Point

    Methods). El problema de sntesis abordado en esta tesis, considerar el empleo de

    agrupamientos lineales y restricciones tales como: diagramas de radiacin en campo

    lejano, anchos de banda estrechos, as como restricciones de robustez.

    I.4 Metodologa de la investigacin.

    La metodologa que se sigui en este trabajo de tesis se muestra en forma resumida

    en la Figura 2, empleando para la generacin de simulaciones y obtencin de resultados, la

    plataforma MATLAB.

    I.5 Organizacin de la tesis.

    Considerando la metodologa presentada, este trabajo de tesis est organizado de la

    siguiente manera: en el captulo II, se introducen los conceptos bsicos, necesarios para

    comprender y aplicar la sntesis del diagrama de radiacin. Adems se presenta una

    clasificacin de tcnicas de sntesis existentes, para conocer las limitaciones que presentan

  • 7

    estas tcnicas. Tambin se presentan una serie de restricciones que pueden establecerse en

    la sntesis del diagrama de radiacin.

    Figura 2. Metodologa y desarrollo de la tesis

    El Captulo III, presenta los conceptos tericos asociados a la optimizacin convexa

    como: conjuntos convexos, ya que estos son la base de la optimizacin convexa. Se

    establecen asimismo, los requerimientos necesarios para un problema de optimizacin

    Anlisis de robustez de la

    optimizacin convexa aplicada a la sntesis del diagrama de radiacin

    Modelado y simulacin de la sntesis del diagrama de

    radiacin como un problema convexo

    Estudio de la optimizacin convexa

    Investigacin de la sntesis del diagrama de radiacin

    de un agrupamiento de antenas

    Estudio del factor de agrupamiento de un agrupamiento lineal de antenas

    Sntesis del diagrama de radiacin Restricciones para efectuar la sntesis

    Estudio de conjuntos y funciones convexas Estudio de la forma de un problema de optimizacin

    convexa. Dualidad y mtodos de punto interior Restricciones para efectuar la sntesis

    Representar el factor de agrupamiento como una funcin convexa.

    Expresar el problema de minimizacin de los lbulos laterales, como un problema de optimizacin convexa.

    Simulacin de la sntesis del diagrama empleando optimizacin convexa.

    Anlisis numrico de resultados y conclusiones

    Anlisis de robustez de la optimizacin convexa aplicada a la sntesis del diagrama de radiacin.

    Simulacin de la sntesis del diagrama empleando optimizacin convexa con restricciones de robustez.

    Anlisis numrico de los resultados y conclusiones.

  • 8

    convexa. Adems en este captulo, se presentar un parmetro muy importante, que es la

    dualidad, la cual proporciona el criterio para detener los algoritmos que se emplean en la

    optimizacin convexa. Finalmente, en este captulo se presentan los algoritmos de punto

    interior (IPM por sus siglas en ingls), con los cuales se solucionar el problema de la

    sntesis del diagrama de radiacin.

    La piedra angular de este trabajo, presentada en el captulo IV, muestra la

    representacin de la sntesis del diagrama de radiacin como un problema de optimizacin

    convexa. Haciendo nfasis en la reformulacin del factor de agrupamiento como una serie

    de funciones convexas, para posteriormente representar la sntesis del diagrama de

    radiacin como un problema de optimizacin convexa. Posteriormente, se presenta el

    anlisis de la estadsticas obtenidas, por medio de un proceso de simulacin, considerando

    los escenarios propuestos por Lebret [1995], donde se aplica la sntesis del diagrama de

    radiacin de un agrupamiento lineal uniforme empleando optimizacin convexa, para

    minimizar el nivel de los lbulos laterales. Para concluir este captulo, se presentan como

    una aportacin las simulaciones de la sntesis del diagrama de radiacin aplicada a

    agrupamientos lineales no uniformes.

    En el captulo V, se realiza el anlisis de robustez de la optimizacin convexa

    aplicada a la sntesis del diagrama de radiacin. En este caso, se establece el modelado

    matemtico para representar la sntesis del diagrama de radiacin con restricciones de

    robustez, como un problema de optimizacin convexa. Posteriormente, se efecta la

    simulacin, y a travs de stas se generarn nuevas estadsticas que sern una aportacin al

    estado del arte. Tambin en este captulo se realiza un anlisis del tiempo de cmputo

    requerido por los mtodos de punto interior, para obtener la solucin al problema de la

  • 9

    sntesis del diagrama de radiacin mediante la optimizacin convexa. El anlisis de

    robustez aqu realizado constituye una de las aportaciones ms importantes de esta tesis, ya

    que despus de realizar una intensa bsqueda bibliogrfica, el nico trabajo reportado de

    optimizacin convexa en comunicaciones mviles celulares es el de Lebret [1995].

    Finalmente, en el Captulo VI se presentan las conclusiones generales, aportaciones y

    trabajos futuros para asegurar el cumplimiento de los objetivos del trabajo de tesis.

  • Captulo II

    Sntesis del diagrama de radiacin

    II.1 Introduccin

    En las comunicaciones mviles celulares, cuando se emplea un solo elemento de

    antena se tienen diagramas de radiacin con anchos de haz grandes, y por consecuencia

    valores de directividad reducidos. En los sistemas de comunicaciones mviles celulares se

    requiere de una alta directividad y entonces un solo elemento de antena no es suficiente.

    Este problema puede solucionarse con ayuda de una agrupacin de antenas, alimentadas

    con amplitudes y fases tales que la interferencia de los campos radiados por todas las

    antenas proporcione el diagrama deseado. Cuando se trabaja con agrupamientos de

    antenas, se tiene la capacidad de modificar el diagrama de radiacin para que cumpla con

    ciertas caractersticas. A esto se le conoce como la sntesis del diagrama de radiacin

    [Cardama, 2002].

    Con respecto al objetivo general de esta tesis, la meta de este captulo es presentar

    las bases del funcionamiento de un agrupamiento de antenas y los parmetros ms

    importantes de un diagrama de radiacin para medir sus prestaciones, as como tambin

  • 11

    determinar la sntesis del diagrama de radiacin. Dentro de la primera seccin se mostrar

    el funcionamiento de un agrupamiento de antenas y se presentar el diagrama de radiacin

    del agrupamiento. En la seccin II.3 se presentan los parmetros ms importantes que se

    deben tener en cuenta en el diagrama de radiacin, y en la seccin II.4 se muestra lo que es

    la sntesis del diagrama de radiacin cuya optimizacin es el objetivo de este trabajo.

    Adems se presentan diferentes tcnicas para lograr la sntesis del diagrama de radiacin,

    desde las tcnicas convencionales hasta las tcnicas que en la actualidad son el estado del

    arte de la sntesis del diagrama de radiacin. Finalmente en este captulo se presentan una

    serie de restricciones que se pueden establecer para sintetizar el diagrama de radiacin.

    II.2 Factor de agrupamiento de un agrupamiento lineal de antenas

    En esta seccin se describe la teora necesaria para obtener la respuesta natural

    (factor de agrupamiento) de un agrupamiento de antenas para as obtener su diagrama de

    radiacin. En el captulo I se mostr que un agrupamiento de antenas consiste en un grupo

    de antenas espacialmente distribuidas. Ahora considrese un agrupamiento lineal uniforme

    (ALU) de antenas, el cual est compuesto de N elementos de antena espaciados de manera

    uniforme a una distancia d, donde las seales inciden sobre el agrupamiento con un ngulo

    , tal como se muestra en la Figura 3.

    Se supone que el agrupamiento de antenas est localizado en campo lejano con

    respecto a las fuentes. Tambin se supone que las ondas planas se propagan en un medio

    homogneo y que el agrupamiento est compuesto por elementos omnidireccionales

  • 12

    idnticos libres de distorsin. Esto significa que, el nico efecto de propagacin de la

    fuente al agrupamiento de antenas es solo el tiempo de retardo.

    Figura 3. Agrupamiento de antenas lineal uniforme, en el cual inciden seales con un ngulo de incidencia

    El sistema de coordenadas del agrupamiento de antenas se utiliza como referencia

    para calcular los 3tiempos de arribo del frente de onda a los elementos del agrupamiento de

    antenas, como se muestra en la Figura 3. La expresin para obtener los tiempos de arribo

    est dada por [Godara, 2002]:

    )cos()1()(lln

    nc

    d!!" #= (1)

    donde c es la velocidad de la luz y l es la posicin de la seal de inters. Para el

    agrupamiento lineal uniforme con una distancia d de separacin de los elementos y

    alineados con el eje x, el primer elemento est situado en el origen.

    3 El tiempo de arribo se define como el tiempo de propagacin de una onda plana que proviene de la l-sima fuente y que incide en el n-simo elemento del agrupamiento con un ngulo de incidencia .

  • 13

    La seal inducida en el elemento de referencia debido a la l-sima fuente se expresa de

    forma comn en notacin compleja como:

    tfjetmts ll 02

    )()(!

    = (2)

    donde ml (t) denota la funcin de modulacin compleja y f0 denota la frecuencia de la

    portadora.

    El vector de direccin a(l), es un vector complejo de dimensin N correspondiente a la

    fuente sl, el cual contiene las contribuciones de los N elementos del agrupamiento de una

    fuente de banda estrecha de potencia unitaria; y representa los desfasamientos en la seal

    debido a la ubicacin espacial de los elementos de antena respecto a la geometra del

    agrupamiento. Para un agrupamiento con elementos iguales, dicho vector est dado por

    [Rappaport, 1999]:

    ( ) [ ]Tee lljjla )(2)1(12 ,, !"#!"#! L= (2)

    La contribucin de cada uno de los elementos del agrupamiento define la respuesta de

    radiacin del agrupamiento. Por lo tanto, la respuesta total del agrupamiento de antenas se

    obtiene al considerar la suma fasorial de las contribuciones de seal de cada uno de los

    elementos del agrupamiento:

    !=

    =N

    i

    ifjetsty1

    02)()("#

    (4)

  • 14

    Donde la expresin denotada por la sumatoria es el factor de agrupamiento y si se sustituye

    la expresin del tiempo de arribo el factor de agrupamiento queda expresado como

    [Balanis, 2005]

    !=

    "

    =N

    i

    idj

    eFA1

    cos)1(2

    )( #

    $

    %

    # (5)

    En la Figura 4 se muestra en forma grfica la representacin del agrupamiento de antenas

    en forma polar donde los ejes concntricos denotan la magnitud del factor de agrupamiento

    y los ejes que parten del origen hacia los extremos denotan los grados del margen de

    visibilidad del agrupamiento de antenas.

    Figura 4. Representacin polar del diagrama de radiacin, para un agrupamiento lineal de 8 elementos con una separacin entre elementos d=/2

  • 15

    Ahora bien, en un diagrama de radiacin se busca que ste tenga dirigibilidad4 al usuario de

    inters, siendo necesario incluir un vector de pesos al factor de agrupamiento mostrado

    anteriormente en (5) para poder obtener la dirigibilidad deseada [Rappaport 1999].

    Entonces se puede expresar el factor de agrupamiento de la siguiente manera

    !=

    =N

    i

    ijkxeF1

    i

    cos),A(

    "##" (6)

    donde !"2=k , es el nmero de onda y )d(i-xi 1= es la ubicacin de cada elemento en el

    agrupamiento de antenas y el vector de pesos est dado por

    0cos1 !" ii

    jkxe

    N

    #= (7)

    donde 0 es el ngulo al cual se va dirigir el haz principal.

    En la Figura 5 se presenta el diagrama de radiacin en modo transversal donde el haz

    principal se dirige a 90 como se muestra en la Figura 5.a y que al aplicar el vector de

    pesos de la ecuacin (7) se desplaza el haz principal hacia el ngulo especificado que en

    este caso es de 45 como se observa en la Figura 5.b.

    4 Dirigibilidad.- Desplazar el haz principal hacia un usuario de inters dentro del margen de visibilidad (0) del agrupamiento de antenas

  • 16

    Figura 5. Diagramas de radiacin para un agrupamiento de 8 elementos separados a una distancia d=/2, a) se muestra el diagrama de radiacin en el modo transversal. b) diagrama dirigido a 45

    El factor de agrupamiento expresado en la ecuacin (6) ser empleado para el modelado

    matemtico con el fin de lograr obtener la sntesis del diagrama de radiacin como un

    problema convexo que se ver en el captulo IV.

    II.3 Parmetros de un diagrama de radiacin

    Los parmetros ms importantes que describen el diagrama de radiacin son: el

    ancho del haz principal, as como la directividad5 del diagrama de radiacin, la ubicacin

    de los ceros del diagrama de radiacin del agrupamiento y el nivel relativo de los lbulos

    laterales (SLL).

    El SLL de una antena se define como la razn entre la intensidad de radiacin del

    mayor lbulo lateral y la intensidad de radiacin mxima [Godara, 2002] es decir:

    5 Directividad.- se define como la mxima ganancia directiva de una antena, es decir, representa la ganancia directiva en la direccin de la mxima radiacin

  • 17

    maxmax

    )(

    FA

    FA

    FA

    FASLL SLL

    L olateraMayorlbul==

    !

    (8)

    Estos parmetros se deben de tener en cuenta para la sntesis del diagrama de

    radiacin pero, cuando el diagrama de radiacin se presenta en forma bidimensional tal

    como se muestra en la Figura 6, los parmetros de ancho de haz principal (HPBW6) y nivel

    de lbulo lateral son de vital importancia para caracterizar el diagrama de radiacin.

    El HPBW del lbulo principal del diagrama de radiacin de una antena mide el

    intervalo de ngulos alrededor de la mxima intensidad de radiacin, en el cual la

    intensidad normalizada de la radiacin es mayor a un medio [Godara, 2002]. Definiendo

    !der

    HPBW y !

    izq

    HPBW, mostrados en la Figura 6, como los primeros ngulos medidos desde la

    direccin de mxima radiacin hacia la derecha e izquierda, de manera que:

    max2

    1)()( FAFAFA

    izq

    HPBW

    der

    HPBW== !! (9)

    donde FAmax es el mximo del diagrama de radiacin sobre los ngulos 0. Entonces el

    ancho de haz de media potencia se define como:

    ).()( !!izq

    HPBW

    der

    HPBWFAFAHPBW += (10)

    6 HPBW.- representa la separacin angular entre los puntos de potencia media (-3 dB) en el lbulo principal del diagrama de radiacin.

  • 18

    Figura 6. Diagrama de radiacin en forma bidimensional donde se sealan los lbulos laterales y el lbulo principal.

    As, el HPBW es una medida de la capacidad de la antena para concentrar la energa en un

    cierto sector. En muchas aplicaciones se requieren haces de alta directividad, es decir, con

    un HPBW pequeo, lo cual permite aumentar la ganancia de la antena en la direccin de

    mxima radiacin. Por su parte, el SLL es una medida del aislamiento del lbulo principal

    respecto de los lbulos secundarios o laterales. Aplicaciones tales como las redes

    inalmbricas de rea local, requieren que los lbulos laterales sean puestos por debajo de un

    determinado nivel, para reducir eficientemente las seales interferentes que llegan a la

    antena en direcciones distintas a las del lbulo principal. En estas aplicaciones el lbulo

    principal est dirigido hacia el usuario de inters, y por lo tanto, las seales provenientes de

    otros usuarios deben ser atenuadas lo suficiente para mantener un bajo nivel de

    interferencia. Finalmente y antes de pasar a la sntesis del diagrama de radiacin es

    importante mencionar que existe una curva compromiso entre el HPBW y el nivel de los

  • 19

    lbulos laterales, debido al principio de la conservacin de la energa, porque cuando se

    desean tener anchos de haz muy estrechos el nivel de los lbulos laterales se incrementa.

    Esto es porque la energa que se suprime al reducir el ancho de haz, no se pierde si no que

    se distribuye en los lbulos laterales y viceversa si se desea disminuir el nivel de los

    lbulos laterales se sufre un ensanchamiento en el haz principal.

    II.4 Sntesis del diagrama de radiacin

    Lo que se busca en la sntesis del diagrama de radiacin es modificarlo para que

    cumpla con ciertas caractersticas (nivel de lbulos laterales, directividad, ancho de haz,

    dirigibilidad, etc.) como se establece en la normativa de las comunicaciones mviles

    inalmbricas y as poder brindar un mejor servicio y hacer ms eficiente el sistema.

    El problema en la sntesis del diagrama de radiacin consiste en encontrar una serie

    de pesos, tales que satisfagan un conjunto de especificaciones en el diagrama de radiacin.

    En la actualidad hay una gran variedad de tcnicas para sintetizar el diagrama de

    radiacin, que en funcin de ciertas especificaciones de partida pueden clasificarse en

    varias categoras:

    Mtodo de Schelkunoff: Parte de la especificacin de la direccin de los

    ceros en el plano Z o nulos en espacio real [Schelkunoff, 1943].

  • 20

    Mtodos de modelado de haz, en los que se especifica la forma del diagrama

    en el espacio real. Suelen utilizarse la sntesis de Fourier y la sntesis de

    Woodward [Balanis, 2005].

    Mtodos para mantener el ancho de haz principal estrecho y bajos lbulos

    secundarios , suele especificarse el nivel de lbulo principal al secundario y

    el nmero de elementos de la agrupacin. Dentro de estos mtodos destacan

    la Sntesis de Chebychev [Dolph, 1946] y la Sntesis de Taylor [Taylor,

    1953].

    Agrupaciones superdirectivas: Existe una serie de mtodos para sintetizar

    agrupamientos con una directividad en teora elevada como se desee, a costa

    de enormes problemas en su elaboracin prctica [Cardama, 2002].

    Agrupaciones adaptativas: La tecnologa moderna de los desfasadores y

    amplificadores variables controlados por el ordenador permite sintetizar en

    tiempo real, con capacidad de adaptarse automticamente al entorno

    [Cardama, 2002].

    Las tcnicas anteriores solo ofrecen una solucin parcial al problema de la sntesis del

    diagrama de radiacin.

    En la actualidad se han desarrollado nuevas tcnicas para sintetizar el diagrama,

    como por ejemplo las tcnicas de cmputo evolutivo como lo son los algoritmos genticos

    [Panduro 2005]. Estas tcnicas realizan una bsqueda estocstica basada en conceptos

    darwinianos para as sintetizar el diagrama de radiacin. Por otro lado existen las tcnicas

    heursticas, dentro de estas se puede mencionar la evolucin diferencial [Rocha 2006] que

    realiza una manipulacin geomtrica de las soluciones. Ambas tcnicas mejoran el nivel de

  • 21

    los lbulos laterales del diagrama obteniendo, nuevas separaciones entre elementos y

    excitaciones de cada elemento. Estas tcnicas tienen la desventaja de que su tiempo de

    cmputo no cumple con una respuesta rpida y adecuada para en tiempo real. Por estas

    razones se propone una nueva tcnica de sntesis que permita igualar los resultados ya

    obtenidos y mejorar los aspectos donde las otras tcnicas presentan diferencias.

    II.5 Especificaciones para la sntesis

    Conviene definir dos tipos de especificaciones que vienen naturalmente con los

    problemas de la optimizacin de la sntesis del diagrama de radiacin. Aunque se habla de

    restricciones se busca determinar un problema factible. El problema de factibilidad debe

    permitir encontrar un conjunto de pesos que satisfagan las restricciones para decidir si

    existen o no.

    Restricciones de normalizacin.- Estas consisten en dar un valor la de unidad en el

    factor de radiacin en la direccin (0) a nuestro usuario de inters.

    1)( 0 =!FA (11)

    Restricciones de anulacin de interferentes.- Se desea anular un interferente que est

    en una direccin i para eliminar la perturbacin de una seal indeseable.

    0)( =i

    FA ! (12)

    Restricciones sobre la ganancia.- Se le llama ganancia al modulo del factor de

    radiacin. Se puede dar restricciones sobre la ganancia para valores superiores e

    inferiores a cierto nivel para algunas direcciones i

  • 22

    2,...,1)( =!! i uFAliii

    " (13)

    Restricciones tipo potencia.- Todas las restricciones precedentes son restricciones

    sobre el factor de agrupamiento por si mismo. Se pueden dar adems restricciones

    sobre los pesos. Las obligaciones de potencia son un ejemplo. Las condiciones de

    potencia son de dos tipos. Por un lado se considera la potencia de seales que llegan

    al agrupamiento de antenas, el otro tipo considera la potencia de ruido que pueden

    agregar las seales perturbadoras y en general seales indeseables. Estas potencias

    se presentan como funciones cuadrticas de pesos: P=TR, donde P es la potencia

    considerada, es el vector de pesos y R es una matriz definida positiva. La matriz

    R puede representar por ejemplo una matriz de covarianza de las seales que llegan

    al agrupamiento, R=[EssT] donde s es el vector de seales si llegando al

    agrupamiento de antenas.

    En el caso donde cada agrupamiento de la antena posea una densidad de ruido

    interna i, se pueden introducir ms restricciones sobre la potencia de ruido bajo la

    forma

    !

  • 23

    Restricciones de Robustez.- Los problemas de robustez son particularmente

    importantes, a continuacin se presentan las siguientes restricciones.

    o Robustez por correlacin de los pesos: es posible que el resultado de la

    sntesis del diagrama de radiacin obtenido, sea muy sensible a pequeas

    variaciones de los pesos y se degrada rpidamente. Es posible que los pesos

    obtenidos no correspondan a la ventana de discretizacin en amplitud y fase.

    o Robustez en frecuencia y ngulo.- Se puede imaginar que una seal recibida

    no cumpla con la frecuencia f y con el ngulo de llegada . Si estos valores

    son ligeramente diferentes, es importante que la respuesta del sistema no se

    vea afectada por estos efectos.

    II.6 Conclusiones

    En este captulo se ha mostrado la teora sobre los agrupamientos de antenas y se

    present la respuesta natural de estos, en base al factor de agrupamiento para as poder

    realizar una sntesis del diagrama de radiacin. Tambin se presentaron los parmetros ms

    importantes que se deben de tener en cuenta dentro de un diagrama de radiacin como son

    el ancho de haz de media potencia y el nivel de los lbulos laterales.

    Dentro de este captulo se han presentado diversos mtodos de sntesis y de estos se

    puede concluir que ciertos mtodos brindan nicamente una solucin parcial al problema,

    ya que solo pueden mejorar en un aspecto el diagrama de radiacin. En tcnicas ms

  • 24

    complejas se obtienen mejores resultados pero su tiempo de cmputo es ms grande con

    respecto a que el canal radio cambia rpidamente. Lo descrito en este captulo se aplicar

    en la formulacin del modelado matemtico en los captulos IV y V para as poder efectuar

    la sntesis del diagrama de radicacin empleando optimizacin convexa. Sin embargo

    primero, es necesario estudiar los conceptos bsicos para comprender la optimizacin

    convexa y as poder aplicarla.

  • Captulo III

    Optimizacin convexa

    III.1 Introduccin

    La optimizacin convexa se ha convertido en una herramienta de gran importancia

    en la ingeniera, ya que permite solucionar grandes problemas, adems de que esta

    solucin es viable y eficiente. En otras palabras, la optimizacin convexa ha llegado a ser

    una proveedora de herramientas computacionales que permiten resolver una gran cantidad

    de problemas. Se puede describir a la optimizacin convexa como la fusin de tres

    disciplinas: optimizacin, anlisis convexo y cmputo numrico. La optimizacin convexa

    ha sido empleada en muchas reas como son la ingeniera mecnica [Krisch, 1993], el

    diseo de circuitos integrados [Sancheti 1994], los sistemas de control [Boyd, 1994] y en el

    procesamiento digital de seales e imgenes [Byrne, 1993], pero no ha sido ampliamente

    utilizada en sistemas de comunicaciones mviles celulares habilitados con antenas

  • 26

    inteligentes. Dentro del grupo de comunicaciones inalmbricas (GCI) del CICESE se ha

    desarrollado un trabajo con optimizacin convexa aplicado a la conformacin digital de

    haz, donde se aplica el mtodo de proyeccin paralela [Yepes, 2006].

    El objetivo de este captulo es presentar los fundamentos tericos de la optimizacin

    convexa, comenzando por la definicin y caractersticas de un conjunto convexo, as como

    tambin de las funciones convexas, problemas de optimizacin convexa, y los conceptos

    que estos conllevan como la teora de la dualidad, para as poder efectuar la sntesis del

    diagrama de radiacin empleando optimizacin convexa como se establece en el objetivo

    de la tesis.

    Finalmente se presentan los algoritmos que se emplean para resolver los problemas

    de optimizacin convexa, que en esta tesis son los mtodos denominados mtodos de punto

    interior (IPM, Interior-Point Methods).

    III.2 Conjuntos Convexos

    Los conceptos relacionados con los conjuntos convexos predominan de tal manera

    en la teora de optimizacin convexa, que resulta necesario conocer sus propiedades.

    Definicin.- Un conjunto C en En es convexo [Hindi, 2004] si para toda x1, x2 C y todo

    nmero real , 0 < < 1, el punto x1+(1 )x2 C.

    La definicin anterior puede representarse geomtricamente de la siguiente manera:

    un conjunto es convexo si, dados dos puntos de un conjunto, todo punto del segmento de

    recta que une a estos dos puntos es tambin un miembro del conjunto. Esto se ilustra en la

    Figura 7

  • 27

    Figura 7. Representacin geomtrica de la propiedad de convexidad en dos conjuntos diferentes, definidos en un espacio bidimensional.

    Los conjuntos convexos de un espacio euclidiano En satisfacen las siguientes

    relaciones:

    1. Si C es un conjunto convexo y es un nmero real, el conjunto C={x: x= c, c

    C}, es convexo.

    2. Si C y D son convexos, el conjunto C+D= {x: x= c+d, c C, d D}, es convexo

    3. La interseccin de cualquier serie de conjuntos convexos es convexa.

    III.3 Funciones convexas

    El concepto de funciones convexas es muy importante porque en base a estas se

    podr definir el factor de agrupamiento como una funcin convexa, como ser analizado en

    el captulo 4.

    Una funcin f: CR es convexa si el dom f es un conjunto convexo y si x, y dom f, y

    con 0 1 se tiene la siguiente desigualdad [Vandenberghe, 2002]

  • 28

    xfxfxxf )()1()())1((2121

    !!!! "+#"+ (15)

    Figura 8. Representacin geomtrica la definicin de una funcin convexa

    Geomtricamente la desigualdad (15) significa que el segmento de lnea entre

    (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)), es la cuerda que est sobre la grfica de f como se observa en la Figura

    8. Para que esta funcin sea estrictamente convexa, la desigualdad (15) debe ser tomada en

    modo estricto siempre que x1x2 y 0 < < 1.

    Existen dos condiciones que permiten saber si una funcin es convexa o no. Estas

    son las condiciones de primer y segundo orden [ Boyd y Vandenberghe, 2003].

    III.3.1 Condiciones de primer orden

    Suponiendo que f es diferenciable. Entonces f es convexa s y solo s el dom f es

    convexo y si se cumple la siguiente desigualdad

  • 29

    )()()()( xyxfxfyf T !"+# (16)

    para todo x, y dom f . Esta desigualdad se muestra grficamente en la Figura 9,

    Figura 9. Representacin grafica de la condicin de primer orden para las funciones convexas.

    La funcin affin7 de y est dada por )()()( xyxfxf T !"+ , siendo la primera

    aproximacin de Taylor de f cerca de x. La desigualdad anterior significa que para una

    funcin convexa la primera aproximacin de Taylor es un substimador global. Por lo

    contrario, si la primera aproximacin de Taylor de una funcin es siempre un substimador

    global de la funcin entonces la funcin es convexa.

    7Funcin affin.- Una funcin afn es la que tiene por ecuacin y = a x + b. Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen. Su grfica es una lnea recta.

  • 30

    III.3.2 Condiciones de segundo orden

    Se asume que f es dos veces diferenciable, esto es, su segunda derivada 2f para

    existe cada punto del dom f. Entonces f es convexa s y solo s el dom f es convexo y su

    segunda derivada es semidefinida positiva para todo x dom f, indicada por

    02 =! ff (17)

    Para una funcin en R, se reduce a la condicin 2f 0.

    III.3.3 Ejemplos de Funciones convexas

    A continuacin se presentan algunos ejemplos de funciones convexas, los cuales van a

    ser empleados en la reformulacin del factor de agrupamiento en el captulo 4.

    Funciones affin ATx+b donde A puede ser una matriz o un vector, x es un vector y b

    un vector un escalar.

    Funciones cuadrticas xTPx, donde P es una matriz simtrica definida positiva.

    Valor absoluto |x|

    La norma ||x||

    El valor mximo de funciones convexas fi(x), max(fi(x)), i=1,,n

    III.4 Problemas de Optimizacin Convexa

    Antes de introducir que es un problema de optimizacin convexa, es necesario

    presentar la forma de un problema de optimizacin en general en su forma estndar como

    se muestra en la ecuacin (18), para as poder mencionar las caractersticas que debe

  • 31

    cumplir un problema de optimizacin convexa. Entonces considrese el siguiente problema

    de optimizacin en su forma estndar

    pixh

    mixf

    xf

    i

    i

    ,...,1 ,0)(

    ,...,1 ,0)( siguiente lo bajo

    )( minimizar 0

    ==

    =! (18)

    donde, x es la variable de optimizacin; f0 es la funcin objetivo o costo; fi: Rn R, fi0

    son las restricciones de desigualdad y hi=0 son las restricciones de igualdad.

    Geomtricamente este problema corresponde a la minimizacin de f0 sobre un conjunto

    descrito por la interseccin de los conjuntos de 0- sub-niveles de fi, donde i=1,,m con las

    superficies descritas por el conjunto de soluciones de hi.

    El conjunto de puntos para el cual la funcin objetivo y restricciones estn

    definidas, se le llama el domin del problema de optimizacin denotado por la ecuacin

    (18)

    i

    p

    ii

    m

    i

    hfD dom dom00 !=

    "= II (19)

    Donde un punto x es factible s ste satisface las restricciones, entonces el valor

    optimo p* del problema de la ecuacin (18) est definido como

    { }pihmixfxfpii

    ,...,1 ,0,,...,1 ,0)(|)(inf0

    * ===!= (20)

  • 32

    El problema definido en (18) est en la forma estndar de un problema de

    optimizacin. A continuacin se presentar la forma de un problema de optimizacin

    convexa como

    pibxA

    mixf

    xf

    i

    T

    i

    i

    ,...,1 ,

    ,...,1 ,0)( siguiente lo bajo

    )( minimizar 0

    ==

    =! (21)

    donde f0,,fm son funciones convexas. Comparando (21) con la forma estndar de un

    problema de optimizacin general (18), el problema convexo tiene tres requerimientos

    adicionales:

    La funcin objetivo debe ser convexa

    Las restricciones de desigualdad deben ser convexas

    Las restricciones de igualdad i

    T

    iibxAh != deben ser affin

    El conjunto de puntos factibles para un problema de optimizacin convexa es la

    interseccin del dominio del problema

    i

    m

    i

    fD dom0=

    = I (22)

    el cual es un conjunto convexo, con m conjuntos de sub-nivel { }0)(| !xfx i y p

    hiperplanos { }bxax Ti=| . Entonces, en un problema de optimizacin convexa se minimiza

    la funcin objetivo sobre un conjunto convexo.

  • 33

    III.5 Dualidad

    Dentro de la optimizacin convexa se presenta un concepto de gran importancia,

    que es la teora de la dualidad, que consiste en inferir los valores primarios y duales

    asociados con el problema. Para obtener los valores duales es necesario aplicar el

    Lagrangiano al problema de optimizacin como se tratar en el siguiente apartado.

    III.5.1 El Lagrangiano

    La idea bsica del la dualidad Lagrangiana es tomar las restricciones del problema

    (18) en cuenta para incrementar la funcin objetivo como una suma ponderada de las

    funciones de restriccin. Se define el Lagrangiano L: Rn RmRp R asociado con el

    problema (18) como

    ( ) ! != =

    ++=m

    i

    p

    i

    iiiio xhxfxfxL1 1

    )()()(,, "#"# (23)

    Con dom L=DRmRpR. Donde se refiere a i como el multiplicador de Lagrange

    asociado con la i-esima restriccin de desigualdad fi 0; similarmente se refiere a i como

    el multiplicador de Lagrange asociado con la i-esima restriccin de igualdad hi=0. Los

    vectores y son llamados las variables duales o los vectores multiplicadores de Lagrange

    asociados al problema (18).

  • 34

    III.5.2 La funcin dual de Lagrange

    La funcin dual de Lagrange g: RmRpR se define como el mnimo valor del

    Lagrangiano sobre x: para Rm Rp,

    ),,(inf),( !"!" xLgDx#

    = (24)

    Cuando el Lagrangiano no tiene lmite por debajo de x, la funcin dual toma el

    valor de -. La funcin dual proporciona lmites inferiores para el valor ptimo p* del

    problema (18):

    Para cualquier 0 y cualquier se tiene

    *),( pg !"# (25)

    Esta importante propiedad es fcil de verificar. Supngase que x~ es un punto

    estrictamente factible para el problema (18) es decir que cumple tanto las restricciones de

    desigualdad e igualdad y que 0. Entonces se tiene

    ! != =

    "+m

    i

    p

    i

    iiii xhxf1 1

    0)~()~( #$ (26)

    Cada trmino en la primera sumatoria es no positivo, y cada trmino en la segunda

    sumatoria es cero, entonces

  • 35

    ! != =

    "++=m

    i

    p

    i

    iiii xfxhxfxfxL1 1

    00 )~()~()~()~(),,~( #$#$ (27)

    por lo tanto se tiene que

    )~(),,~(),,(inf),( 0 xfxLxLgDx

    !!="

    #$#$#$ (28)

    entonces la desigualdad (25) se cumplir para cualquier punto factible x.

    III.5.3 Problema dual de Lagrange

    Para cada par (,) con 0, la funcin dual de Lagrange proporciona un lmite

    inferior para el valor ptimo p* del problema de optimizacin (18). Entonces se tiene que

    un lmite inferior depende de los parmetros , . Una pregunta natural es: Cual es el

    mejor lmite inferior que puede ser obtenido de la funcin dual de Lagrange?

    Esto implica otro problema de optimizacin

    ( )

    0 siguiente lo

    , maximizar

    !"

    #"

    bajo

    g (29)

    Este problema es llamado el problema dual de Lagrange asociado con el problema

    (18). En esta tesis el problema (18) ser llamado problema primario. Se referir como

    puntos factibles al problema dual (29) como (*,*) que sern los puntos duales ptimos o

    los multiplicadores de Lagrange ptimos si stos son ptimos al problema (dual).

  • 36

    III.5.4 Dualidad dbil

    El valor ptimo para el problema dual est denotado por d*, y es por definicin el

    mejor lmite inferior de p* que puede ser obtenido mediante la funcin dual de Lagrange.

    Se tiene entonces una simple pero importante desigualdad.

    ** pd ! (30)

    La cual se cumple solo si el problema primario es no convexo. Esta propiedad es

    llamada dualidad dbil.

    Se referir a la diferencia p*- d* como el intervalo ptimo de dualidad del

    problema primario. Entonces este intervalo de dualidad ptimo proporciona el intervalo

    entre el valor ptimo del problema primario y el mejor lmite inferior en el que puede ser

    obtenido desde la funcin dual de Lagrange. Este intervalo de dualidad ptima es siempre

    positivo. Este intervalo de dualidad ptima proporciona el criterio para detener el

    algoritmo de optimizacin que se emplea dentro de la optimizacin convexa como se

    mostrar en el apartado de los mtodos de punto interior.

    III.5.5 Dualidad Fuerte y Condicin de Slater

    Si la desigualad (30) se toma como una igualdad como se denota en la ecuacin

    (31)

    ** pd = (31)

  • 37

    y si sta se cumple, el intervalo de dualidad ptimo ser cero, y entonces se tiene una

    dualidad fuerte. Esto significa que el mejor lmite inferior que se puede obtener de la

    funcin dual de Lagrange es estrecho.

    La dualidad fuerte no se cumple en general, pero s el problema primario es

    convexo como es el caso del problema denotado por la ecuacin (21), se tiene usualmente

    una dualidad fuerte. En este caso se pueden encontrar muchos resultados como condiciones

    de estabilidad en el problema ms all de la convexidad. Estas condiciones son llamadas de

    puntualizacin, y una de las condiciones es:

    La condicin de Slater : existe un punto x D tal que

    bAxmixfi ==< ,...,1 ,0)( (32)

    y los puntos que cumplan esta condicin son llamados puntos estrictamente factibles.

    Entonces la condicin de Slater establece que la dualidad fuerte existe.

    III.5.6 Condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker (KKT )

    Para comprobar si los puntos primario y duales factibles al problema son los puntos

    ptimos, existen las condiciones de KKT que son suficientes para determinar si el punto

    primario x~ y los puntos duales (*,*) son los ptimos para el problema de optimizacin.

    En primer lugar se supone del problema primario que fi y hi son dos veces

    diferenciables y que el objetivo primario es convexo. Las condiciones de KKT quedan

    expresadas de la siguiente manera:

  • 38

    0

    0

    0)~(

    0)~(

    ,0)~()~()~(

    *

    *

    0

    *

    0

    *

    0

    =

    !

    =

    "

    =#+#+# $$==

    ii

    i

    i

    i

    p

    i

    ii

    m

    i

    ii

    f

    xh

    xf

    xhxfxf

    %

    %

    &%

    (33)

    Cualquier x~ primario optimo y (*,*) dual optimo debe de satisfacer las

    consideraciones de KKT.

    Con todo lo anterior, se termina con los conceptos bsicos necesarios para

    comprender la optimizacin convexa. A continuacin se presentan los mtodos para poder

    resolver los problemas de optimizacin convexa.

    III.6 Mtodos de punto interior (IPM)

    Estos mtodos empezaron a tomar una gran importancia cerca de las dcadas de los

    80s y 90s cuando Karmarkar presenta un nuevo polinomio en mtodos de punto interior

    aplicado a programacin lineal [Karmarkar, 1984], empiezan a extenderse para resolver

    una gran cantidad de problemas de optimizacin convexa como; problemas de forma

    cuadrtica, programacin semidefinida y programacin cnica de segundo orden.

    [Gonzaga, 1992] y [Boyd, 1994].

    Estos mtodos de punto interior tienen como base o como ncleo, el mtodo de

    Newton, adems el problema de optimizacin convexa debe expresarse como un problema

    nicamente como restricciones de igualdad, es por esto que se utiliza la funcin de la

    barrera logartmica [Nesterov, 1994]. Como ya se mencion anteriormente, estos mtodos

  • 39

    optimizan el problema aplicando el mtodo de Newton como una secuencia de problemas

    con igualdad.

    Dentro de esta seccin se describen dos tipos de mtodos de punto interior: 1)

    Mtodo de la barrera logartmica y 2) Mtodo de punto interior Primario-Dual. El primero

    se presenta por ser el ms sencillo de estos. Sin embargo, el segundo mtodo proporciona

    una mayor precisin al momento de resolver problemas de optimizacin convexa.

    III.6.1 Mtodo de la barrera logartmica

    En este tipo de mtodos lo primero que se debe de efectuar es reformular el

    problema convexo denotado por la ecuacin (21) como un problema nicamente con

    restricciones de igualdad. Para as poder aplicar enseguida el mtodo de Newton, donde la

    restricciones de desigualdad estn implcitas en el objetivo a optimizar, empleando una

    funcin indicador I_(u), entonces el problema (21) queda reformulado como [Boyd y

    Vandenberghe, 2003]:

    ( )( )

    negativos reales nmeros los paraindicador funcin 0

    0 0)(

    siguiente lo bajo

    )( minimizar 1

    0

    !"#

    $%

    &=

    =

    +

    '

    =

    '(

    u

    uuI

    bAx

    xfIxfm

    i

    i

    (34)

    Entonces el problema (21) ya no tiene restricciones de desigualdad, pero la funcin

    objetivo no es diferenciable, y por tanto no se puede aplicar el mtodo de Newton. La idea

    bsica del mtodo de la barrera es aproximar la funcin indicador I_(u) por la funcin:

  • 40

    ))(log(1)( xft

    uI i!!=! (35)

    donde t>0 es el parmetro que establece la precisin de la aproximacin. Como I_, la

    funcin !I es convexa y no decreciente y toma valores de para u>0. Pero a diferencia I_

    la funcin !I es dos veces diferenciable. Entonces sustituyendo

    !I en el problema (34) se

    tiene lo siguiente

    ( )

    bAxbajo

    xfxfi

    =

    !!" siguiente lo

    )(log)( t minimizar 0

    (36)

    definiendo

    ( ) ))(log(1

    !=

    ""=

    m

    i

    ixfx# , (37)

    se considera el problema (36) de la siguiente manera

    bAxbajo

    xxf

    =

    !

    siguiente lo

    )()( t minimizar 0

    " (38)

    Se supone que el problema (38) puede resolverse por el mtodo de Newton, y en

    particular que tiene una nica solucin para cada t>0. Para t>0 se define x*(t) como una

  • 41

    solucin de (38) que es el conjunto de puntos centrales asociados al problema y que son

    solucin del problema. Para que un punto sea considerado como un punto central deben de

    cumplir con la condicin de Slater (32) y la primera condicin de KKT (33). Adems cada

    punto central trae consigo un punto dual asociado. Se definen nuevamente los

    multiplicadores de Lagrange de la siguiente forma:

    tt xxtfi

    i /)(,))((

    1!!" == #

    #

    # (39)

    Entonces la primera condicin de optimalidad de KKT queda expresada de la siguiente

    manera:

    tAtxfttxft Tii

    i 0)())(()())((**

    0 =+!+!"" # $% (40)

    Entonces se ve que x*(t) minimiza el Lagrangiano

    0)()())((),,(1

    0=!+"+#

    =

    $ bAxxftxfxLi

    m

    i

    %&%& (41)

    y para =*(t) y =*(t) los cuales son puntos duales factibles al problema. Entonces la

    funcin dual de Lagrange g(*(t),*(t)) es finita y

    tmtxf

    btAxtxfttxfttg i

    m

    i

    /))((

    ))(())(()())(())(),((

    0

    ***

    0

    1

    !=

    !+"+=

    #

    ### $=

    %&%& (42)

  • 42

    En particular el intervalo de dualidad asociada con x*(t) y los puntos (*(t),*(t)) es

    simplemente m/t. Como una importante consecuencia se tiene:

    tmptxf /*))((0

    !"# (43)

    Con lo descrito anteriormente ya se puede establecer un algoritmo para solucionar

    los problemas de optimizacin convexa. El mtodo de la barrera logartmica necesita un

    punto factible de inicio y el algoritmo propuesto para este mtodo es el siguiente

    Dado x estrictamente factible, t:=t(0)>0, >1, y una tolerancia >0

    Repetir

    1. Paso de Newton

    Calcular x*(t) por la minimizacin de tf0+, bajo Ax=b, con un punto inicial x.

    2. Actualizar x:= x*(t)

    3. Criterio para detener el algoritmo. Salir s m/t

  • 43

    III.6. 2 Mtodo de punto interior Primario-Dual

    Este mtodo es muy similar al de la barrera logartmica, pero es ms preciso y

    nicamente utiliza un ciclo de iteracin, emplea una funcin de la barrera de segundo orden

    y utiliza el problema dual asociado con el problema primario. Existen una gran variedad de

    mtodos de punto interior Primario-Dual. En est tesis, en particular se utilizar el descrito

    por Nesterov y Nemirovsky [Nesterov y Nemirovsky, 1994]. Este mtodo necesita

    calcular direcciones de bsqueda tanto del problema primario y el dual y al igual que el

    mtodo de la barrera logartmica emplea el mtodo de Newton.

    Para explicar el mtodo de punto interior primario dual se considera el siguiente

    problema de optimizacin [Lobo, et al. 1998] denotado por

    dxicit ibxiAiu

    ,...,Ni itiu

    xf

    T

    T

    siguientelo bajo

    minimizar

    +=+=

    =!

    ,

    1, (44)

    Este problema trae consigo el siguiente problema dual expresado por

    ( )

    ( )

    ii

    N

    1iiiii

    N

    1iiii

    wz

    wczA siguientelo bajo

    wdzb- maximizar

    T

    T

    i

    !

    +

    +

    "

    "

    =

    =

    (45)

  • 44

    Ahora los vectores duales estn denotados por zi y wi. Como se ha visto en secciones

    anteriores la diferencia entre el valor ptimo primario y el valor ptimo dual se conoce

    como el intervalo de dualidad asociado con x, z, w, y estar denotado por (x, z, w) o

    por simplicidad nicamente :

    ( ).),,(0

    !=

    ++=N

    i

    TT

    iiii wdzbxfwzx" (46)

    Ya que se tiene el intervalo de dualidad, se define ahora la funcin de la barrera logartmica

    de segundo orden como

    ( )!"

    !#$

    %

    &&=

    valores.otros

    )log(,

    22ut

    tu' (47)

    El mtodo de punto interior primario dual necesita de una funcin potencial primaria, que

    para puntos (x, z, w) estrictamente factibles se define

    ( ) !=

    +++=N

    i

    iiiiwztuNvNwzx

    1

    )),(),((log22),,( ""#$ (48)

    donde v1, es un parmetro del algoritmo, y es el intervalo de dualidad asociado con (x,

    z, w). La propiedad ms importante de esta funcin potencial es la desigualdad:

  • 45

    ( ) ( ) )2/,,exp(,, Nvwzxwzx !" # (49)

    la cual se cumple nicamente para puntos estrictamente factibles. Por consiguiente, si la

    funcin potencial es pequea, el intervalo de dualidad debe ser pequeo. En particular si

    , entonces y (x, z, w) se aproxima al ptimo.

    Como se mencion, estos mtodos necesitan calcular las direcciones de bsqueda

    tanto del problema primario como del dual y estas se encuentran resolviendo el siguiente

    conjunto de ecuaciones

    !"

    #$%

    & +'=!

    "

    #$%

    &!"

    #$%

    & ''

    0

    )(

    0

    11gpZH

    x

    Z

    A

    AHT (

    ( (50)

    donde

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )!

    """""

    #

    #

    #

    #

    NvNp

    donde

    w zw zZ w zw zZ

    tu

    tu

    g

    tu

    tu

    H

    T

    N

    T

    N

    TT

    N

    T

    N

    T

    NNNN

    22

    ][][

    ,

    ,

    ,

    ,0

    0,

    1111

    11

    2

    11

    2

    +=

    ==

    $$$

    %

    &

    '''

    (

    )

    *

    *

    =

    $$$

    %

    &

    '''

    (

    )

    *

    *

    =

    LL

    M

    L

    MOM

    L

  • 46

    Finalmente se propone el siguiente algoritmo para el mtodo de punto interior primario

    dual.

    Dados x, z,w estrictamente factibles, y una tolerancia >0

    Repetir

    1. Encontrar las direcciones de bsqueda primaria y duales resolviendo (50)

    2. Encontrar p y q que minimicen a (x+px, z+qz, w+qw).

    3. Actualizar x:=x+px, z:=z+qz, w:=w+qw

    4. Salir s (x,z,w)

    III.7 Conclusiones

    En este captulo se ha mostrado y desarrollado la teora necesaria para poder

    comprender y aplicar la optimizacin convexa, presentando un parmetro muy importante

    que es el intervalo de dualidad del problema de optimizacin, ya que este parmetro

    proporciona el criterio para detener los algoritmos de optimizacin empleados. Tambin se

    mostraron los mtodos de punto interior para resolver los problemas de optimizacin

    convexa, los cuales proporcionan una gran eficiencia al momento de resolver el problema.

    Ya que se ha estudiado la herramienta matemtica, ahora se podr hacer el

    modelado matemtico de la sntesis del diagrama de radiacin como un problema de

    optimizacin convexa. Este modelo se presenta en el siguiente captulo.

  • Captulo IV

    Sntesis del diagrama de radiacin planteado como

    un problema de optimizacin convexa

    IV.1 Introduccin

    En el captulo anterior se present la teora necesaria sobre optimizacin convexa,

    para as poder aplicar la sntesis del diagrama de radiacin empleando optimizacin

    convexa. La optimizacin convexa proporciona una nueva metodologa para obtener la

    sntesis del diagrama de radiacin aprovechando la convexidad que tiene el factor de

    agrupamiento de antenas como se analizar en el presente captulo.

    Para cumplir el objetivo de esta tesis, en este captulo se desarrollar el modelado

    matemtico para expresar la sntesis del diagrama de radiacin de un agrupamiento lineal

    uniforme de antenas (ALU) como un problema de optimizacin convexa, Para enseguida

    poder resolver ste mediante los mtodos de punto interior (IPM). Definido el modelado

  • 48

    matemtico se generarn estadsticas en base a una serie de simulaciones basadas en los

    escenarios propuestos por Lebret [1995]. Finalmente como aportacin a este trabajo se

    obtendrn nuevas estadsticas en funcin de simulaciones con agrupamientos lineales de

    antenas no uniformes ya optimizados con respecto a la posicin de los elementos de

    antena dentro del agrupamiento lineal.

    IV.2 Sntesis del diagrama de radiacin como un problema convexo

    Para reformular la sntesis del diagrama de radiacin como un problema de

    optimizacin convexa, primero es necesario representar el factor de agrupamiento como

    una serie de funciones convexas. Para esto es necesario considerar un problema de sntesis

    del diagrama de radiacin, dentro del cual uno de los principales problemas es la

    minimizacin del nivel de los lbulos secundarios.

    Para reformular la sntesis del diagrama de radiacin, se considerar el factor de

    agrupamiento para el caso de un agrupamiento lineal de antenas de N elementos, analizado

    en el captulo 2, el cual esta expresado como:

    !=

    =N

    i

    i

    jkxei

    FA1

    cos),(

    "##" (51)

    donde k es el nmero de onda xi es la posicin de cada elemento dentro del agrupamiento,

    es el ngulo de arribo y i es el vector de pesos complejos. De igual manera se considera

  • 49

    el problema de minimizacin de los lbulos laterales secundarios. Es decir el valor

    mximo de la norma del factor de agrupamiento FA(,) sobre una zona angular S y con

    una restriccin de normalizacin en una direccin 0. Entonces se puede escribir el

    problema como [Lasdon, 1987]:

    1),(

    ),(max min

    0=

    !

    "#

    "

    "#

    FA

    S

    FA

    (52)

    El problema denotado por la ecuacin (49) no tiene la forma de un problema de

    optimizacin convexa, y para poder resolverlo por los mtodos de punto interior es

    necesario adaptarlo es ese sentido. En primer lugar, conviene eliminar la restriccin de

    igualdad, con el fin de eliminar un parmetro de optimizacin [Lebret, 1995], que es el N-

    esimo peso N que queda expresado de la siguiente manera

    !"

    #$%

    &'= (

    '

    =

    '1

    1

    0cos

    0cos

    1

    N

    i

    iN ee ijkxNjkx )) ** (53)

    al realizar esto se tiene un problema de N-1 parmetros complejos.

    Dentro de la optimizacin convexa es necesario emplear parmetros reales y no complejos.

    Entonces lo que se hace es tomar las partes reales e imaginarias de cada peso complejo i

  • 50

    )Im()Re( iii j !!! += (54)

    Por otra parte, para simplificar la representacin de las fases involucradas en las ecuaciones

    (48) y (50) se puede considerar que:

    0

    cos

    cos

    !"

    !"

    i

    0

    i

    ii

    kx

    kx

    =

    = (55)

    Entonces sustituyendo las ecuaciones (53-55) en la ecuacin (51) el factor de agrupamiento

    queda expresado de la siguiente manera

    ( )!"

    #$%

    &' !"

    #$%

    & '++

    !!

    "

    #

    $$

    %

    & +''=(

    =

    01 00

    )Im()Re(),(1

    NN

    ii

    NiNNi

    jej

    je

    jeFA

    i

    ))**

    ))))*+

    (56)

    Ahora bien se define un par de vectores y como

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )!!!

    "

    #

    $$$

    %

    &

    =

    !!!

    "

    #

    $$$

    %

    &

    '

    '

    ='

    '

    +'

    +'

    ''0

    0

    01

    01

    01

    01

    ,

    NN

    NN

    NNNN

    NN

    j

    j

    jj

    jj

    e

    e

    ee

    ee

    ((

    ((

    ((((

    ((((

    )* MM

    (57)

  • 51

    Esto se hace con fines de simplificacin y si se sustituyen en (56) se obtiene que el factor

    de agrupamiento queda expresado de la siguiente manera

    iN

    iiii

    i

    jFA !"#"#"$ ++=%&

    =

    1

    1

    )Im()Re(),( (58)

    Nuevamente como se requieren valores reales y las fases descritas en el agrupamiento

    contienen valores complejos, entonces se introducen las siguientes matrices A y b

    ( )!"#

    $%

    &=!

    "

    #$%

    &=

    T

    T

    TT

    TT

    bj

    jA

    '

    '

    ((

    ((

    Im

    )Re( ,

    )Im()Im(

    )Re()Re(

    (59)

    y como una ultima notacin el vector de pesos se reemplaza por el vector x que de ahora

    en adelante ser la variable de optimizacin del problema

    !!!!!!!!

    "

    #

    $$$$$$$$

    %

    &

    =

    '

    '

    )Im(

    )Im(

    )Re(

    )Re(

    1

    1

    1

    1

    N

    Nx

    (

    (

    (

    (

    M

    M

    (60)

  • 52

    Finalmente sustituyendo las ecuaciones (59) y (60) en la ecuacin (58) el factor de

    agrupamiento queda expresado de la siguiente manera

    bAxFA +=),( !" (61)

    donde A es una matriz de R2x(2(N-1)) y b un vector en R2 que no depende de , y xi. El valor

    ||x|| representa la norma euclidiana de un vector x. El factor de agrupamiento ahora ya est

    expresado bajo la norma de una funcin affin, que es una funcin convexa. Por lo tanto el

    problema queda enteramente reformulado, pero no es posible solucionar el problema

    cuando S es un conjunto continuo. Se selecciona entonces un conjunto de valores discretos

    i para construir S. Por lo tanto, el problema de la minimizacin del nivel de los lbulos

    laterales queda expresado como un problema de optimizacin convexa expresado como

    ( ) ( )

    i

    ii

    x

    bxAFA

    !

    !!"!

    ),(max min += (62)

    El problema de la minimizacin ha quedado enteramente reformulado, por lo que

    finalmente mediante un proceso de simulacin es posible generar estadsticas necesarias. Se

    pueden agregar ms problemas de sntesis del diagrama de radiacin como mantener el

    ancho de haz y uniformizar el nivel de los lbulos. Lo nico que se tiene que hacer es

    incluir ms restricciones al problema denotado por la ecuacin (62). Este problema ya se

    puede resolver empleando los algoritmos de punto interior. Para aplicar los algoritmos de

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    punto interior, son necesarios los puntos primarios y duales iniciales que sean factibles al

    problema. Para poder establecer stos, es necesario representar el problema denotado por

    (62) de la forma de un problema de programacin cnica de segundo orden (SOCP second

    order conic programming) de la siguiente manera:

    m1,...,i ,dxcbxA siguientelo bajo

    xf minimizar

    iiT

    ii

    T

    =+!+ (63)

    donde f=ci =[0,,0,1]. Se considera que el haz principal estar dirigido a 90 entonces

    como valores iniciales de x se considera x=[1/N,,1/N,0,0,t]. Como se ha visto en el

    captulo 3 el problema dual