cenidet · Control por Modos Deslizantes en los motores de CD con el fin de hacer frente a las...

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Control Robusto de Motores de Corriente Directa

Utilizando Modos Deslizantes

Presentada por

Francisco Alegría Zamudio

Ing. En Electrónica por el I. T. de Minatitlán

Como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis:

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Cuernavaca, Morelos, México. 7 de Diciembre de 2007

cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Control Robusto de Motores de Corriente Directa

Utilizando Modos Deslizantes

Presentada por

Francisco Alegría Zamudio

Ing. En Electrónica por el I. T. de Minatitlán

Como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis:

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Jurado:

Dr. Marco Antonio Oliver Salazar - Presidente Dr. Carlos Daniel García Beltrán - Secretario

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez - Vocal

Cuernavaca, Morelos, México. 7 de Diciembre de 2007

Dedicatoria

A Dios porque sin su iluminación quien sabe que sería de mí.

A mis padres por el ejemplo de vida que me han dado y enseñarme que

con fuerza de voluntad y perseverancia todo en está vida es posible como

ejemplo, véanme a mí.

Toña y Alegría

A mis Abuelitos a ellos solo puedo decirles que los llevo en el corazón,

a Mi Abue Minerva le doy las gracias por soportarme y por todo lo que ha

hecho por mi, Mi Abuelo Wili y Mi Abuela Galdina quiero que sepan que

aunque ya no estén físicamente conmigo siempre voy a tener presente el

cariño y apoyo que me dejaron. Por ustedes Abues.

Minerva, Wilehaldo y Galdina

A mis carnales el negro, el enano y monty, por ser una piedra en el

zapato tan a todo dar y por el apoyo que me han brindado sin merecerlo.

Fer, Andrés y Montse

Agradezco

A Dios por haberme permitido terminar satisfactoriamente este trabajo.

A mis padres por su cariño, apoyo y consejos que me han dado a lo largo de mi corta vida.

A mi abuelita Minerva Rosario Soto, por cuidarme cuando era pequeño

y por soportar mis muchas travesuras.

A mi abuelita Galdina Radilla Bataz, porque me enseño los valores más puros y nobles que existen en el mundo.

A mi abuelito Wilehaldo Zamudio Garnica, por ser cómplice de mis tantas travesuras y enseñarme el lado divertido de la vida sin descuidar las responsabilidades que uno tiene.

A mis hermanos Nando, Andrés y Montse, por ser mis compañeros de casa, travesuras, juegos y principalmente de vida.

A mi tío Carlos por todo el apoyo y consejos que me ha brindado toda mi vida.

A mi asesor Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez por el apoyo y los consejos que me dio durante la realización de la tesis sin los cuales no podría haber terminado.

A la banda OH’S del Tec de Mina: Coco, Nariz Green, Chancaste, Niño, Padre Amaro, Mr. Wawis, Ostión, gracias por dejarme ser un miembro distinguido de la banda más grande y sobre todo un amigo.

A mis cuates y amigos: Princes, Mojo, Toy, Gracia, Chimpa, Cheva,

Aldo, Flor, Benedicto, Chocotorro, Dana, Isaura, Pipo, Nachho, Chupis, Chaca, Ovando, Jo, Chiquión, gracias por hacerme la estancia más placentera y gracias a su amistad me motivaron a seguir adelante.

Al CENIDET por permitirme crecer profesionalmente y a todo el personal que labora en el centro, por todas las atenciones prestadas durante mi estancia.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por el apoyo brindado durante el desarrollo de está maestría.

A la Dirección General de Educación Superior Tecnológica por la

ayuda que me brindaron durante la maestría.

Resumen

Gracias a sus buenas características operacionales y a que sus leyes de control son fácilmente implementadas en sistemas de control digital; el control robusto es cada día más usado tanto en el sector industrial como el académico; su finalidad es la de hacer al sistema robusto a perturbaciones desconocidas e insensible a las incertidumbres paramétricas en el modelo del sistema.

Debido a su construcción física los Motores de Corriente Directa (CD) son propensos a sufrir variaciones en los parámetros de la máquina aunado a que por lo general los ambientes en donde están operando y a los procesos donde se les aplican son sensibles a que se puedan presentar perturbaciones en la carga de la máquina.

Los disturbios e incertidumbres antes mencionadas en los motores de CD pueden producir desde una demora en el tiempo de manufactura, una reducción en la calidad del producto, pérdidas económicas considerables, daños en la misma máquina y hasta desgracias personales, es por eso que surge la necesidad de aplicar técnicas de control robusto al control de máquinas eléctricas.

En este trabajo se desarrolla la aplicación de la técnica de control robusto llamada Control por Modos Deslizantes en los motores de CD con el fin de hacer frente a las variaciones paramétricas inherentes en los devanados de los motores y perturbaciones que se presenten en la carga de las máquinas.

La existencia del modo deslizante se garantiza a partir de la derivada de la función candidata de Lyapunov. Las incertidumbres y perturbaciones que se consideran en este trabajo son señales aditivas que representan incertidumbres en los devanados del motor y perturbaciones en el par de carga del motor, los resultados se obtuvieron tanto en simulación como en implementación.

Abstract

Thanks to their good operational characteristic and that their control laws are easily

implemented in systems of digital control; the robust control is every day more used so in the industrial sector as the academic; it's purpose is the of making to the robust system to unknown perturbation and insensitive to parametric uncertainties in model system.

Due to their physical construction the Motors of Direct Current (CD) they are prone

to suffer variations in the parameters of the machine, joined to that in general the atmospheres where are operating and to the processes where are applied they are sensitive to that perturbation can be presented in the load of the machine.

The disturbances and uncertainties before mentioned in the motors of CD can take place from a delay in the time of factory, a reduction in the quality of the product, considerable economic losses, damages in the same machine and until personal misfortunes, it is for that reason that the necessity arises of applying technical of robust control to the control of electric machines.

In this work the application of the technique of control robust is developed called Control Sliding Mode Control in the motors of CD with the purpose of making in front of the inherent parametric variations in those windings of the motors and perturbation that are presented in the load of the machines.

The existence of sliding mode is guaranteed starting from to derive of the function candidate of Lyapunov. The disturbances and uncertainties that were considered in this work are signs additive that represent uncertainties in those reeled of the motor and perturbations in torque of load of the motor, the results were obtained so in simulation as in implementation.

I

Índice general

LISTAS DE FIGURAS .......................................................................................................V LISTA DE TABLAS.......................................................................................................... XI NOTACIÓN .................................................................................................................... XIII 1 INTRODUCCIÓN.............................................................................................................1

1.1 Antecedentes................................................................................................................. 2 1.2 Ubicación del problema................................................................................................ 3 1.3 Planteamiento del problema ........................................................................................ 4 1.4 Propuesta de solución ................................................................................................... 5 1.5 Objetivos generales y particulares................................................................................ 5

1.5.1 Alcances ................................................................................................................ 5 1.5.2 Limitaciones .......................................................................................................... 6 1.5.3 Aportación ............................................................................................................. 6

1.6 Generalidades del Control por Estructura Variable...................................................... 6 1.6.1 Tipos de VSC ........................................................................................................ 7 1.6.2 Modos Deslizantes................................................................................................ 7

1.7 Metodología.................................................................................................................. 9 1.8 Organización del documento ...................................................................................... 10

2 MOTORES DE CORRIENTE DIRECTA (CD) ..........................................................11 2.1 Introducción a los motores de Corriente Directa (CD) ............................................. 11 2.2 Construcción de las máquinas de CD......................................................................... 13

2.2.1 Aspectos constructivos de las máquinas de CD .................................................. 14 2.3 Fundamentos del motor de corriente directa .............................................................. 15

2.3.1 Principio de funcionamiento de un motor de CD................................................ 16 2.3.2 Par inducido en la espira rotatoria ....................................................................... 16

2.4 Modelado de la Máquina de CD................................................................................ 19 2.5 Tipos de máquinas de CD.......................................................................................... 21

2.5.1 Máquina de CD de excitación separada. ............................................................. 21 2.5.2 Máquina de CD de imán permanente .................................................................. 24 2.5.3 Máquina de CD en derivación. .......................................................................... 26 2.5.4 Máquina de CD en serie. .................................................................................... 30 2.5.5 Máquina de CD Compuesta Acumulativa. ........................................................ 33

3 MODOS DESLIZANTES...............................................................................................37 3.1 Estado del arte ............................................................................................................ 37 3.2 Introducción a los modos deslizantes ......................................................................... 40 3.3 Modos deslizantes en sistemas relevadores y de estructura variable ........................ 41 3.4 Descripción del modo deslizante................................................................................ 46 3.5 Superficie deslizante................................................................................................... 47 3.6 Método de control equivalente .................................................................................. 48

3.6.1 Dinámica del modo deslizante ideal.................................................................... 48 3.6.2 Existencia del control equivalente....................................................................... 50

3.6.2.1 Condición necesaria para la existencia del modo deslizante....................... 50

Índice general II

3.6.2.2 Condición necesaria y suficiente para la existencia de un régimen deslizante.................................................................................................................................. 51

3.7 Perturbaciones en el sistema de modos deslizantes.................................................... 51 3.7.1 Robustez del régimen deslizante ........................................................................ 51 3.7.2 Robustez de la dinámica de modo deslizante ...................................................... 52

4 DISEÑOS DE LOS CONTROLADORES ....................................................................55 4.1 Algoritmo para el diseño de los controladores ........................................................... 55 4.2 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD de Excitación Separada ............... 57

4.2.1 Control de velocidad............................................................................................ 58 4.2.2 Control de posición.............................................................................................. 59

4.3 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD de Imán Permanente ................... 60 4.3.1 Control de velocidad............................................................................................ 61 4.3.2 Control de posición.............................................................................................. 62

4.4 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD en Derivación ............................. 63 4.4.1 Control de velocidad............................................................................................ 64 4.4.2 Control de posición.............................................................................................. 65

4.5 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Serie............................................. 67 4.5.1 Control de velocidad............................................................................................ 67 4.5.2 Control de posición.............................................................................................. 68

4.6 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Compuesto Acumulativo............ 70 4.6.1 Control de velocidad............................................................................................ 71 4.6.2 Control de posición.............................................................................................. 72

4.7 Control PID del Motor de CD en Derivación............................................................. 74 4.7.1 Control de Velocidad........................................................................................... 75 4.7.2 Control de Posición ............................................................................................. 76

5 RESULTADOS DE SIMULACIÓN ..............................................................................77 5.1 Análisis de resultados ................................................................................................. 77 5.2 Control de Velocidad.................................................................................................. 79

5.2.1 Control PID ......................................................................................................... 79 5.2.2. Control por modos deslizantes ........................................................................... 82 5.2.3 Comparación del control PID con el Control por Modos Deslizantes ................ 84

5.3 Control de Posición .................................................................................................... 87 5.3.1 Control PID ......................................................................................................... 87 5.3.2 Control por modos deslizantes ............................................................................ 90 5.3.3 Comparación del control PID contra el control por Modos deslizantes.............. 92

6 IMPLEMENTACIÓN.....................................................................................................97 6.1 Estructura de la implementación ................................................................................ 97 6.2 Motor de CD............................................................................................................... 98 6.3 Acondicionamiento de señales ................................................................................. 101 6.4 Etapa de potencia...................................................................................................... 105 6.5 Tarjeta de adquisición............................................................................................... 106 6.6 Diseño del control..................................................................................................... 107 6.7 Resultados obtenidos en la implementación............................................................. 108

7 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS...........................................................1197.1 Conclusiones............................................................................................................. 119 7.2 Trabajos futuros........................................................................................................ 121

BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................................................123

Índice general III

ANEXO A..........................................................................................................................127 A.1. Máquina de CD de excitación separada.................................................................. 127 A.2. Máquina de CD de imán permanente ..................................................................... 129 A.3. Máquina de CD en derivación ................................................................................ 131 A.4 Máquina de CD en serie .......................................................................................... 134 A.5 Máquina de CD compuesta acumulativa ................................................................. 135

ANEXO B ..........................................................................................................................139 B.1. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD de Excitación Separada.......................................................................................................................... 139 B.2. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD de Imán Permanente. .................................................................................................................... 142 B.3. Desarrollo de las ecuaciones para el control del motor de CD en derivación. ....... 146 B.4. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Serie................ 150 B.5. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD Compuesto Acumulativo. .................................................................................................................. 155

Anexo C .............................................................................................................................163 C.1. Resultados del Control del Motor de CD de Excitación Separada ......................... 163

C.1.1 Control de velocidad ......................................................................................... 163 C.1.2 Control de posición........................................................................................... 169

C.2. Resultados del Control del Motor de CD de Imán Permanente.............................. 175 C.2.1. Control de velocidad ........................................................................................ 175 C.2.2. Control de posición.......................................................................................... 181

C.3. Resultados del Control del Motor de CD en Serie.................................................. 187 C.3.1 Control de velocidad ......................................................................................... 187 C.3.2. Control de posición.......................................................................................... 194

C.4 Resultados del Control del Motor CD Compuesto Acumulativo ............................ 200 C.4.1 Control de velocidad ......................................................................................... 200 C.4.2. Control de posición.......................................................................................... 206

ANEXO D..........................................................................................................................213 D.1. Tarjeta Sensoray 626 .............................................................................................. 213

Índice general IV

V

Listas de Figuras

Figura 1.1. VSC con cambio de retroalimentación. ............................................................... 7 Figura 1.2. VSC con cambio de excitación ............................................................................ 7 Figura 1.3. Superficie de deslizamiento ................................................................................. 8 Figura 2.1. Diagrama simplificado de la máquina de CD. ................................................... 13 Figura 2.2. Aspectos constructivos de una máquina de CD ................................................. 15 Figura 2.3. Lazo sencillo rotacional entre caras polares curvas; a) Vistas en perspectiva; b) vista de las líneas de campo; c) Vista superior; d) Vista frontal. ......................................... 16 Figura 2.4. Deducción de una ecuación para el par inducido en la espira............................ 17 Figura 2.5. Circuito equivalente de la máquina de CD ....................................................... 19 Figura 2.6. Circuito equivalente de una máquina de excitación separada............................ 22 Figura 2.7. Respuestas dinámicas del motor de excitación separada en lazo abierto........... 23 Figura 2.8. Respuesta del motor de excitación separada ante variaciones en la carga......... 24 Figura 2.9. Respuesta en lazo abierto del motor de imán permanente ................................. 26 Figura 2.10. Respuesta de la máquina de CD de imán permanente ..................................... 26 Figura 2.11. Circuito equivalente de la máquina de CD en derivación................................ 27 Figura 2.12. Curva característica par-velocidad en estado estacionario del motor de CD... 28 Figura 2.13. Respuestas dinámicas del motor de excitación separada en lazo abierto......... 29 Figura 2.14. Respuesta en lazo abierto del motor en derivación.......................................... 30 Figura 2.15. Circuito equivalente de la máquina de CD en serie ......................................... 30 Figura 2.16. Curva característica par-velocidad del motor de CD serie............................... 32 Figura 2. 17. Respuesta del motor de CD en serie ante un aumento de carga...................... 33 Figura 2.18. Respuesta del motor del motor de CD serie operado sin carga........................ 33 Figura 2.19. Circuito equivalente de la Máquina de CD compuesta.................................... 34 Figura 2.20. Característica par-velocidad de la máquina de CD compuesta acumulativa ... 36 Figura 2.21. Respuesta de la máquina de CD ante cambios en el par de carga.................... 36 Figura 3.1. Aplicaciones del Control por Modos Deslizantes.............................................. 40 Figura 3.2. Control relevador ............................................................................................... 41 Figura 3.3. Plano de estados del sistema relevador de segundo orden................................. 42 Figura 3.4. Problema del chattering ..................................................................................... 42 Figura 3.5. Aproximación continúa de un control discontinuo ............................................ 43 Figura 3.6. Sistema de estructura variable compuesto de dos subsistemas inestables ......... 44 Figura 3.7. Plano de estado del sistema de estructura variable: 0, 0s x cx= + = ................ 44 Figura 3.8. Dinámica del modo deslizante ideal. Interpretación geométrica del operador F............................................................................................................................................... 49 Figura 3.9. Interpretación geométrica del efecto de una perturbación tangente a S sobre la dinámica en modo deslizante................................................................................................ 53 Figura 3.10. Interpretación geométrica del efecto de una perturbación colineal a g sobre la existencia del modo deslizante. ............................................................................................ 54

Lista de figuras

VI

Figura 4.1. Control de seguimiento modo deslizante ........................................................... 56 Figura 4.2. Respuesta oscilatoria de velocidad del motor de CD en derivación para la Ku=45................................................................................................................................... 75 Figura 4.3. Respuesta oscilatoria de posición del motor de CD en derivación para la Ku=2.............................................................................................................................................. 76 Figura 5.1.Perfiles de velocidad y posición para el seguimiento de trayectoria; a) Señal seno, b) Onda cuadrada, c) Señal trapezoidal, d) Escalón e) Señal rampa más constante. . 78 Figura 5.2. Respuesta del perfil uno para el control PID ..................................................... 79 Figura 5.3. Respuesta del perfil dos para el control PID...................................................... 80 Figura 5.4. Respuesta del perfil tres para el control PID...................................................... 80 Figura 5.5. Respuesta del perfil cuatro para el control PID ................................................. 81 Figura 5.6. Respuesta del perfil cinco para el control PID................................................... 81 Figura 5.7. Respuesta del perfil uno para el control SMC ................................................... 82 Figura 5.8. Respuesta del perfil dos para el control SMC.................................................... 82 Figura 5.9. Respuesta del perfil tres para el control SMC.................................................... 83 Figura 5.10. Respuesta del perfil cuatro para el control SMC ............................................. 83 Figura 5.11. Respuesta del perfil cinco para el control SMC............................................... 84 Figura 5.12. Respuestas de los controladores PID y SMC para perturbaciones en el par de carga...................................................................................................................................... 85 Figura 5.13. Respuestas de los controladores PID y SMC para variaciones en LFF. ........... 86 Figura 5.14. Respuesta del perfil uno para el control PID ................................................... 87 Figura 5.15. Respuesta del perfil dos para el control PID.................................................... 88 Figura 5.16. Respuesta del perfil tres para el control PID.................................................... 88 Figura 5.17. Respuesta del perfil cuatro para el control PID ............................................... 89 Figura 5.18. Respuesta del perfil cinco para el control PID................................................. 89 Figura 5.19. Respuesta del perfil uno para el control SMC ................................................. 90 Figura 5.20. Respuesta del perfil dos para el control SMC.................................................. 90 Figura 5.21. Respuesta del perfil tres para el control SMC.................................................. 91 Figura 5.22. Respuesta del perfil cuatro para el control SMC ............................................. 91 Figura 5.23. Respuesta del perfil cinco para el control SMC............................................... 92 Figura 5. 24. Respuestas de los controladores PID y SMC para perturbaciones en el par de carga...................................................................................................................................... 93 Figura 5. 25. Respuestas de los controladores PID y SMC para variaciones en LFF. .......... 94 Figura 6.1. Diagrama a bloques de la implementación del control por modos deslizantes.. 98 Figura 6.2. Diagrama eléctrico del motor de CD Baldor...................................................... 99 Figura 6.3. Conexión en derivación del motor de CD Baldor.............................................. 99 Figura 6.4. Circuito equivalente de la máquina de CD en derivación.................................. 99 Figura 6.5. Simulación en lazo abierto del motor de CD Baldor conexión en derivación. 101 Figura 6.6. Simulación en lazo abierto del motor de CD Baldor ante perturbaciones de la carga.................................................................................................................................... 101 Figura 6.7. Fotografía del encoder utilizado para la medición de velocidad...................... 102 Figura 6.8. Diagrama en Simulink para la medición de velocidad..................................... 103 Figura 6.9. Diagrama en Simulink del subsistema tacómetro ............................................ 103 Figura 6.10. Velocidad del motor expresada en voltaje ..................................................... 103 Figura 6.11. Comportamiento de la velocidad en lazo abierto........................................... 104 Figura 6.12. Fotografía de la celda de carga utilizada para la medición del par ................ 104

Lista de figuras

VII

Figura 6.13. Conexión eléctrica de la etapa de potencia del control .................................. 105 Figura 6.14. Fotografía de la etapa de potencia del control ............................................... 106 Figura 6.15. Programa en Matlab-Simulink del control por modos deslizantes ................ 108 Figura 6.16. Fotografía del sistema completo ................................................................... 108 Figura 6.17. Respuesta de la velocidad para el primer perfil. ............................................ 109 Figura 6.18. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil uno................................... 110 Figura 6.19. Respuesta de la velocidad ante el segundo perfil de velocidad. .................... 110 Figura 6.20. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil dos .................................. 111 Figura 6.21. Respuesta de la velocidad ante el tercer perfil de velocidad.......................... 111 Figura 6.22. Error de seguimiento para el tercer perfil de velocidad. ................................ 111 Figura 6.23. Respuesta de la velocidad ante el cuatro perfil de velocidad......................... 112 Figura 6.24. Error de seguimiento para el cuarto perfil de velocidad. ............................... 112 Figura 6.25. Respuesta de la velocidad ante el quinto perfil de velocidad. ....................... 113 Figura 6. 26. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil cinco. .............................. 113 Figura 6.27. Respuesta de la velocidad par una perturbación de 1.2 Nm. ......................... 114 Figura 6.28. Respuesta de la velocidad ante una perturbación en el par de carga de 5.6 Nm............................................................................................................................................. 115 Figura 6.29. Respuesta de la velocidad para un aumento de carga de 9.1 Nm. ................. 115 Figura 6.30. Respuesta de la velocidad para un aumento en el par de carga de 54.2 Nm.. 116 Figura 6.31. a) Respuesta de la velocidad del motor en lazo abierto a un voltaje fijo de 20 volts, b) ampliación de la gráfica de la velocidad para ver la variación de la velocidad medida. ............................................................................................................................... 117 Figura 7.1. Estructura del control por modos deslizantes................................................... 121 Figura A1.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de 200 HP de excitada separada................................................................................................................ 128 Figura A2.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD de imán permanente.......................................................................................................................... 130 Figura A3.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD en derivación de 5HP ................................................................................................................................ 132 Figura A4.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD en serie .... 135 Figura A5.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD compuesta acumulativa......................................................................................................................... 138 Figura C1.1. Respuesta del sistema para el perfil uno........................................................ 163 Figura C1.2. Respuesta del sistema para el perfil dos ........................................................ 163 Figura C1.3. Respuesta del sistema para el perfil tres........................................................ 164 Figura C1.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................... 164 Figura C1.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco..................................................... 164 Figura C1.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga............................................................................................................................... 165 Figura C1.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga............................................................................................................................... 166

Lista de figuras

VIII

Figura C1.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga............................................................................................................................... 166 Figura C1.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga............................................................................................................................... 166 Figura C1.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 167 Figura C1.11. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 168 Figura C1.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 168 Figura C1.13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %........................ 168 Figura C1.14. Respuesta del sistema para el perfil uno...................................................... 169 Figura C1.15. Respuesta del sistema para el perfil dos ...................................................... 170 Figura C1.16. Respuesta del sistema para el perfil tres...................................................... 170 Figura C1.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................. 170 Figura C1.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco................................................... 171 Figura C1.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga............................................................................................................................... 172 Figura C1.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga............................................................................................................................... 172 Figura C1.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga......................................................................................................................... 172 Figura C1.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga......................................................................................................................... 173 Figura C1.23. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 174 Figura C1.24. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 174 Figura C1. 25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%........................ 174 Figura C1. 26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %....................... 175 Figura C2.1. Respuesta del sistema para el perfil uno........................................................ 176 Figura C2.2. Respuesta del sistema para el perfil dos ........................................................ 176 Figura C2.3. Respuesta del sistema para el perfil tres........................................................ 176 Figura C2.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................... 177 Figura C2.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco..................................................... 177 Figura C2.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga............................................................................................................................... 178 Figura C2.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga............................................................................................................................... 178 Figura C2.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga............................................................................................................................... 178 Figura C2.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga............................................................................................................................... 179 Figura C2. 10. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 25%. .......................... 180 Figura C2.11. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 50%. ........................... 180 Figura C2.12. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -25%........................ 180 Figura C2.13. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -50 %....................... 181 Figura C2.14. Respuesta del sistema para el perfil uno...................................................... 182 Figura C2.15. Respuesta del sistema para el perfil dos ...................................................... 182 Figura C2.16. Respuesta del sistema para el perfil tres...................................................... 182 Figura C2.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................. 183 Figura C2.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco................................................... 183

Lista de figuras

IX

Figura C2.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga............................................................................................................................... 184 Figura C2.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga............................................................................................................................... 184 Figura C2.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga......................................................................................................................... 184 Figura C2.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga......................................................................................................................... 185 Figura C2.23. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 25%. ........................... 186 Figura C2.24. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 50%. ........................... 186 Figura C2.25. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -25%........................ 186 Figura C2.26. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -50 %....................... 187 Figura C3.1. Respuesta del sistema para el perfil uno........................................................ 188 Figura C3.2. Respuesta del sistema para el perfil dos ........................................................ 188 Figura C3.3. Respuesta del sistema para el perfil tres........................................................ 188 Figura C3.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................... 189 Figura C3.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco..................................................... 189 Figura C3.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga............................................................................................................................... 190 Figura C3.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga............................................................................................................................... 190 Figura C3.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga............................................................................................................................... 191 Figura C3.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga............................................................................................................................... 191 Figura C3.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 192 Figura C3.11. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 192 Figura C3.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 193 Figura C3.13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %........................ 193 Figura C3.14. Respuesta del sistema para el perfil uno...................................................... 194 Figura C3.15. Respuesta del sistema para el perfil dos ...................................................... 194 Figura C3.16. Respuesta del sistema para el perfil tres...................................................... 195 Figura C3.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................. 195 Figura C3.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco................................................... 195 Figura C3.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga............................................................................................................................... 196 Figura C3.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga............................................................................................................................... 196 Figura C3.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga......................................................................................................................... 197 Figura C3.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga......................................................................................................................... 197 Figura C3.23. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 198 Figura C3.24. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 198 Figura C3.25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 199 Figura C3.26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %........................ 199

Lista de figuras

X

Figura C4.1. Respuesta del sistema para el perfil uno........................................................ 200 Figura C4.2. Respuesta del sistema para el perfil dos ........................................................ 200 Figura C4.3. Respuesta del sistema para el perfil tres........................................................ 201 Figura C4.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................... 201 Figura C4.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco..................................................... 201 Figura C4.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga............................................................................................................................... 202 Figura C4.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga............................................................................................................................... 202 Figura C4.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga............................................................................................................................... 203 Figura C4.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga............................................................................................................................... 203 Figura C4.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 204 Figura C4.11. Respuesta del sistema para un aumento en Lff del 50%. ............................ 204 Figura C4.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 205 Figura C4. 13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %....................... 205 Figura C4.14. Respuesta del sistema para el perfil uno...................................................... 206 Figura C4.15. Respuesta del sistema para el perfil dos ...................................................... 206 Figura C4.16. Respuesta del sistema para el perfil tres...................................................... 207 Figura C4.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................. 207 Figura C4.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco................................................... 207 Figura C4.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga............................................................................................................................... 208 Figura C4.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga............................................................................................................................... 209 Figura C4.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga......................................................................................................................... 209 Figura C4.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga......................................................................................................................... 209 Figura C4.23. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 210 Figura C4.24. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 211 Figura C4.25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 211 Figura C4.26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %........................ 211 Figura D1.1 Menú de la opción Real-Time Windows Target de Simulink........................ 213 Figura D1.2. Ejemplo de como seleccionar el bloque para la adquisición de datos. ......... 213 Figura D1.3. Menú del bloque entrada analógica............................................................... 214 Figura D1.4.Ventana de los parámetros del bloque. .......................................................... 214 Figura D1.5. Ventana de los parámetros del bloque........................................................... 215 Figura D1.6.Ventana del bloque de parámetros. ................................................................ 215

XI

Lista de Tablas

Tabla 4.1. Parámetros del PID según el método de respuesta en frecuencia de Ziegler-Nichols.................................................................................................................................. 75 Tabla 5.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad ......................... 82 Tabla 5.2. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad ......................... 84 Tabla 5.3. Índices de desempeño para SMC y PID para perturbaciones en el par de carga 85 Tabla 5.4. Índices de desempeño para SMC y PID para variaciones en LFF....................... 86 Tabla 5. 5. Índices de desempeño del PID para los perfiles de posición.............................. 89 Tabla 5.6. Índices de desempeño del SMC para los perfiles de posición............................. 92 Tabla 5. 7. Índices de desempeño para SMC y PID para perturbaciones en el par de carga93 Tabla 5.8. Índices de desempeño para SMC y PID para variaciones en LFF........................ 94 Tabla 6. 1. Especificaciones del Motor de CD Baldor ......................................................... 98 Tabla 6.2. Parámetros del motor de CD Baldor ................................................................. 100 Tabla 6.3. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad ....................... 114 Tabla 6.4. Índices de desempeño del controlador ante perturbaciones .............................. 116 Tabla A1.1. Parámetros de simulación de máquina de CD de excitación separada........... 128 Tabla A2.1. Parámetros de simulación de máquina de CD de imán permanente .............. 130 Tabla A3.1. Parámetros de simulación de máquina de CD en derivación ........................ 133 Tabla A4.1. Parámetros de simulación de máquina de CD serie ...................................... 135 Tabla A5.1. Parámetros de simulación de máquina de CD compuesta acumulativa ......... 138 Tabla C1.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad .................... 165 Tabla C1.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 167 Tabla C1.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 169 Tabla C1.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición ...................... 171 Tabla C1.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 173 Tabla C1.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 175 Tabla C2.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad .................... 177 Tabla C2.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 179 Tabla C2. 3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LAA ....................... 181 Tabla C2.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición ...................... 183 Tabla C2.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 185 Tabla C2.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LAA ........................ 187

Lista de tablas

XII

Tabla C3.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad .................... 189 Tabla C3.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 192 Tabla C3.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 194 Tabla C3.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición ...................... 196 Tabla C3.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 198 Tabla C3.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 200 Tabla C4.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad .................... 202 Tabla C4.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 204 Tabla C4.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 206 Tabla C4.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición ...................... 208 Tabla C4.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 210 Tabla C4.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 212

XIII

Notación

Letras mayúsculas

Letras minúsculas

F Fuerza inducida en una espira rotatoria B Densidad de Flujo Magnético

PA Área de la sección transversal del núcleo

FFL Autoinductancia de campo

AAL Autoinductancia de armadura

AFL Inductancia mutua entre el devanado de campo y armadura

fN Número de vueltas del devanado de campo

aN Número de vueltas del devanado de armadura

eT Par electromagnético de máquina

J Momento de inercia del rotor

mB Coeficiente de amortiguamiento de parte mecánica de la máquina

LT Par de carga de la máquina

fI Corriente de campo en estado estable

aI Corriente de armadura en estado estable

fV Voltaje de campo en estado estable

aV Voltaje de armadura en estado estable

fsV Voltaje del devanado de campo en serie en estado estable

tV Voltaje total de entrada en estado estable

fsI Corriente del devanado de campo en serie en estado estable

FSL Inductancia mutua entre el devanado de campo en derivación y el devanado de campo en serie

( )V x Función candidata de Lyapunov

i Corriente que circula por una espira rotatoria l Longitud de la espira rotatoria

r Radio de la espira rotatoria

fv Voltaje de campo

av Voltaje de armadura

Notación

XIV

Letras griegas

Caracteres especiales Abreviaturas

fr Resistencia de campo

ar Resistencia de armadura

fi Corriente de campo

ai Corriente de armadura p Operador derivada

vk Constante de flujo de campo

fsv Voltaje del devanado de campo en serie

tv Voltaje total de entrada

fsi Corriente del devanado de campo en serie

τ Par electromagnético producido en una espira θ Ángulo entre el radio y la fuerza inducida en la espira rotatoria

φ Flujo total

rω Velocidad angular del rotor

rθ Posición angular del rotor *rω Velocidad angular de referencia del rotor *rθ Posición angular de referencia del rotor

fΦ Flujo de campo por polo

σ Función suave

equ Ley de control equivalente

s Superficie deslizante e Error de seguimiento

0u Ganancia de control

Números reales ℜ Reluctancia

VSC Control por Estructura Variable SMC Control por Modo Deslizante

PID Control Proporcional Integral Derivativo

1

Capítulo 1

Introducción Desde que el hombre empezó a idear, maquinar y fabricar todo tipo de máquinas, siempre ha estado en la búsqueda de lograr obtener el mejor desempeño de estás, sin embargo esto se ve limitado debido a que las máquinas sufren fallas inherentes a ellas mismas o por causas externas, causando con ello que la calidad del producto se degrade o produciendo desgracias humanas. Es por ello que se han avocado infinidad de investigadores a la búsqueda de estrategias o alternativas para lograr que las máquinas tengan un desempeño lo más cerca posible a lo ideal aún cuado se presenten fallas en la misma máquina. Por lo general cuando se plantea cualquier problema de control siempre habrá discrepancias entre el sistema real y el modelo matemático que se obtiene para diseñar los controladores. Entre los principales factores que causan los errores en el modelado pueden destacarse los siguientes [1]:

1. Modificaciones en el punto de trabajo de la planta con respecto al modelo (sistemas lineales).

2. Dinámica no lineal no considerada 3. Dinámica de alta frecuencia no modelada 4. Retardos de tiempos no contemplados 5. Imprecisiones en los parámetros, debido al método de identificación y/o modelado

empleado.

Estos factores se pueden clasificar en dos grupos: las incertidumbres paramétricas (1) y (5) e incertidumbres estructurales (2), (3) y (4). Con respecto al conocimiento disponible sobre las causas de las incertidumbres puede distinguirse entre incertidumbre estructurada y no estructurada [1,2].

En el caso de incertidumbre no estructurada sólo se conoce que existen

discrepancias entre el modelo y la planta real, y posiblemente puede conocerse también el tamaño de las desviaciones de determinadas medidas de entrada o salida. Las incertidumbre estructuradas se refiere a si se conoce de la incertidumbre que en cierta medida se debe a algunos elementos diferenciados de la planta, en la forma de tolerancias de sus valores.

En una sociedad donde existe la necesidad de cumplir especificaciones de diseño cada día más exigentes de tal manera que el comportamiento del sistema se mantenga

Capítulo 1. Introducción

2

aceptable en un ambiente real, en el que las incertidumbres van estar siempre presentes, ha motivado al desarrollo de métodos de control más sofisticados, como el control robusto.

El control robusto se refiere al control de plantas con dinámicas y perturbaciones

desconocidas [3], el problema central que abordan los sistemas de control robusto es la incertidumbre y como el sistema de control puede mitigar este problema.

Una aproximación concreta al diseño de control robusto es la llamada metodología de Control por Modos Deslizantes, (Sliding Mode Control-SMC) en la cual la mayoría de las leyes de control robusto se componen de términos que determinan las características de la respuesta del sistema sin incertidumbres de modelado y de términos adicionales que compensen las posibles incertidumbres de modelado.

El control por modos deslizantes consiste en el empleo de acciones de control conmutadas o discontinuas sobre una o varias superficies de conmutación, de está manera fuerza al sistema a anular su dinámica en lazo abierto y a seguir cierta dinámica definida de antemano por el diseñador.

El control por modo deslizante es un tipo particular de control por estructura variable (Variable Structure Control, VSC), el cual se caracteriza por dos o más leyes de control y una regla de decisión. La regla de decisión se denomina función de conmutación. Su entrada es alguna medida del comportamiento del sistema en el instante actual y su salida es la ley de control que debería aplicarse en ese instante de tiempo.

Un sistema de estructura variable se puede entender como una combinación de subsistemas, donde cada uno tiene una ley fija de control y es válida en determinada región del comportamiento del sistema. Es más, el sistema se puede diseñar para que tenga nuevas propiedades que no presenten ninguna de las estructuras componentes por sí solas.

1.1 Antecedentes

Antiguamente los motores eléctricos eran controlados manualmente [6], el control electrónico comenzó con el surgimiento de los tubos del gas tales como tiratrón e ignitrones en los años 30’s. La era de control moderno en el control de máquinas eléctricas inicia con los semiconductores de potencia en los años 50’s. Subsecuentemente el progreso de la electrónica de potencia y la microelectrónica tuvo una profunda influencia en la operación y desarrollo en los sistemas de control, en particular de los controles para velocidad.

El control de motores eléctricos es un tema que ha adquirido gran importancia a

partir de la automatización de los procesos industriales y de la incorporación de la electrónica de potencia en el control de máquinas eléctricas, así como la aparición de técnicas de control más avanzadas, para aumentar la seguridad de las personas e incrementar la productividad.

En la actualidad, gracias a los avances en materia de teoría de control, teoría de

máquinas eléctricas y de electrónica de potencia, se ha buscado que las máquinas eléctricas

1.2. Ubicación de problema

3

tengan un mejor desempeño dinámico mediante el diseño de sistemas de control más sofisticados.

El motor de corriente directa (CD) es una alternativa a considerar en aplicaciones

donde se requiere un alto desempeño dinámico, sin embargo debido a sus restricciones constructivas normalmente se le utilizan en rangos de potencias bajas.

En los sistemas de control convencionales se presentan algunos efectos no tan

deseables particularmente en la zona de operación del motor a baja velocidad, las causas más comunes de los estos efectos indeseables son [3]:

Fricción Histéresis Zona muerta Saturación

Por otra parte durante el modelado del motor, suelen hacerse simplificaciones de los retardos más pequeños, tanto las no linealidades como la dinámica no modelada hacen sentir sus efectos durante la implementación de los diseños, en los que la estrategia de control se ha basado en un modelo simplificado [3].

Es conveniente replantear los métodos existentes sobre el estudio de las máquinas

eléctricas, ya que no basta el estudio de las máquinas sólo en régimen permanente para conocer con precisión el comportamiento de tales, entonces resulta necesario el análisis dinámico completo (transitorio y estado estacionario) de la máquina, y más cuando se piensan realizar diseños de accionadores eléctricos capaces de lograr un control preciso de la posición, velocidad o par de los motores eléctricos.

1.2 Ubicación del problema

Los primeros sistemas de potencia en los Estados Unidos fueron de corriente directa pero, hacia los años de 1890, los sistemas de potencia de corriente alterna fueron desplazando a los sistemas de corriente directa. A pesar de este hecho, los motores de corriente directa continuaron siendo una fracción importante de la maquinaria comprada cada año hasta los años 60’s, esta fracción disminuyó en los últimos 30 años [4].

Existieron grandes razones para la popularidad prolongada de los motores de

corriente directa, una fue que los sistemas de potencia de corriente directa son comúnmente utilizados aún en automóviles, aviones, camiones, etc.

Los motores de corriente directa también se aplicaban cuando se requerían amplias

variaciones de velocidad. Antes de la amplia difusión del uso de inversores y rectificadores de potencia electrónicos, los motores de corriente directa no fueron igualados en aplicaciones de control de velocidad. Aunque no se tuvieran fuentes de potencia de corriente directa, los rectificadores de estado sólido y los circuitos recortadores fueron usados para crear la potencia necesaria; donde los motores de corriente directa se utilizaron para proveer el control de velocidad deseado. Hoy en día los motores de inducción son


4

preferidos, con controladores de estado sólido para la mayoría de las aplicaciones de control de velocidad, sin embargo, hay aplicaciones donde se prefieren los motores de corriente directa [4].

Los motores de CD son utilizados extensivamente en diversas aplicaciones

industriales, como actuadores en sistemas de control de posición, tales como robots industriales, máquinas herramientas de control numérico, sistemas de posicionamiento de radares, antenas, etc[5].

Si se consideran las múltiples aplicaciones que tienen los motores eléctricos, tanto

en el hogar, como en la oficina, se encontrará que los motores de corriente directa se utilizan con pequeñas potencias, en gran variedad de casos, por ejemplo en: juguetes, aparatos del hogar (licuadoras, batidoras, cuchillos eléctricos, extractores, etcétera); equipos de oficina y cómputo (maquinas de escribir, impresoras de carro y láser, manejadores de disco para computadoras personales, etcétera). Otros usos se tienen en medicina y equipos dentales.

En aplicaciones de alto rendimiento para el accionamiento de motores, por ejemplo,

en el área de la robótica, máquinas y herramientas, talleres de laminación, se requiere que los sistemas de accionamiento puedan proporcionar una respuesta dinámica rápida, que el control sea insensible a los cambios de parámetros y que tenga una rápida recuperación de la disminución de la velocidad causada por el impacto de la carga. Controladores lineales convencionales (PI, PID) no pueden alcanzar estos requerimientos simultáneamente [6]. Por lo que resulta conveniente aplicar las nuevas metodologías de diseño de controladores a las máquinas eléctricas, en nuestro caso particular al motor de CD, con la finalidad de poder controlar con precisión el motor ante cualquier condición de operación.

1.3 Planteamiento del problema Los motores de corriente directa son dispositivos electromecánicos ampliamente utilizados en procesos industriales de diferentes manufacturas, al igual que el hogar oficina y robótica. Por lo general cuando ocurre un disturbio como por ejemplo un aumento en la carga que va acoplada al motor, puede provocar que el producto deseado se degrade, que producción de la planta se detenga o aún peor desgracias humanas, provocado así perdidas económicas y humanas. Otro de los disturbios más comunes en los motores de CD es la variación de los valores de los parámetros del motor, esto provoca que el rendimiento y eficiencia del motor estén por debajo del valor deseado por los operadores. Es por ello que se busca que los sistemas de control de los motores de CD presenten características de robustez ante perturbaciones en la carga y que sean insensibles a las variaciones paramétricas en los devanados del motor de CD.

1.4. Propuesta de solución

5

El problema que tratará este trabajo es la de hacer frente a las incertidumbres paramétricas inherentes en los devanados del motor, así como también a las perturbaciones que pudiesen presentarse en la carga.

1.4 Propuesta de solución Diseñar un controlador robusto utilizando estrategias de Control por Estructura Variable (VSC por sus siglas en inglés), en caso particular un Control por Modos Deslizantes (SMC por sus siglas en ingles).

1.5 Objetivos generales y particulares

El objetivo general de esta investigación es: El estudio, análisis, diseño e implementación de un esquema de control robusto

utilizando la técnica de modos deslizantes, para hacer frente a las variaciones

paramétricas inherentes en los motores de corriente directa y ante variaciones en el

par de carga.

Como objetivos particulares se tiene los siguientes:

Obtener el modelo matemático de los motores de CD

Analizar los motores de CD en lazo abierto

Estudiar la estrategia de control por modos deslizantes

Diseño de un controlador robusto para lograr el seguimiento de trayectoria

(velocidad del motor y posición)

Hacer pruebas en simulación de sistema completo ante perturbaciones en el

par de carga y variaciones en los devanados de campo.

Implementar un controlador en un motor de CD.

Hacer pruebas con el control implementado ante perturbaciones en el par de

carga.

1.5.1 Alcances El alcance de este trabajo es el desarrollo de controladores por modos deslizantes de

velocidad y posición para los cinco diferentes tipos de motores de CD que existen en el mercado, e implementar el control diseñado en un motor de CD.


6

1.5.2 Limitaciones

El análisis de la robustez del controlador se puede hacer variando los valores de los devanados de campo y de armadura e introduciendo perturbaciones en el par de carga. En esté trabajo para el análisis de robustez solo se variaron los valores del devanado de campo y las perturbaciones en el par de carga, estos disturbios no pueden ocurrir al mismo tiempo.

1.5.3 Aportación

La investigación aporto un algoritmo para la aplicación de los modos deslizantes en el control de máquinas eléctricas, específicamente en los motores de corriente directa. Análisis de la robustez del control por modos deslizantes ante variaciones en el devanado de campo y perturbaciones en el par de carga. Inicio de una serie de trabajos de investigación para el problema de incertidumbres en los parámetros de las plantas utilizando modos deslizantes.

1.6 Generalidades del Control por Estructura Variable La teoría de control de estructura variable y sus modos deslizantes asociados, se originó en la década de los 50’s, principalmente a partir de los trabajos realizados por Emelyanov, Barbashin y otros investigadores soviéticos.

La teoría de control por estructura variable se ha desarrollado para el diseño de sistemas de control de alto desempeño. Estrategias de control basadas en esquemas de control por estructura variable son robustas ante perturbaciones e incertidumbres paramétricas.

Los sistemas de control de estructura variable se diseñan para conducir y restringir el estado del sistema a permanecer en un entorno de la función de conmutación llamada superficie deslizante. Esta aproximación presenta dos grandes ventajas: la primera es que los sistemas de control de estructura variable pueden obtener cualquier comportamiento dinámico que se desee del sistema en lazo cerrado, esto con la elección adecuada de la función de conmutación, y la segunda ventaja es que el sistema se vuelve insensible a cierto tipo incertidumbres.

Un sistema de estructura (VSC) se compone de dos o más subsistemas continuos y una lógica que realiza la conmutación, se determina un subespacio o bien un conjunto de ellos, comúnmente llamados superficies de conmutación sobre los cuales se produce el cambio de estructura [7].

Una de las primeras inquietudes que motivaron el desarrollo del control de estructura variable fue la de obtener mejor desempeño que el logrado mediante estrategias lineales.

1.6.2 Modos Deslizantes

7

7

1.6.1 Tipos de VSC

Se pueden distinguir dos tipos de sistemas de estructura variable [7]:

1. Sistemas con cambio de realimentación (conmutación entre dos realimentaciones posibles). La figura 1.1 Muestra el diagrama de bloques correspondiente a este tipo de sistema de estructura variable.

2. Sistema con cambio de excitación (conmutación entre dos acciones de control umax,

umin). La figura 1.2 muestra el diagrama a bloques correspondiente a este tipo de sistema de estructura variable.

.

Figura 1.1. VSC con cambio de retroalimentación. Figura 1.2. VSC con cambio de excitación

1.6.2 Modos Deslizantes El control por modos deslizantes es una estrategia de control robusto, ya que fuerza al sistema a seguir cierta función de conmutación de orden reducido de forma poco sensible a incertidumbres estructuradas y no estructuradas, abandonando la dinámica compleja del sistema en lazo abierto. El Control por Modo Deslizante (siglas en inglés SMC) es un caso especial de Control por Estructura Variable (siglas en inglés, VSC), desarrollado en la Unión Soviética en la década de los años 60, [8,9]. En el Control por Modos Deslizantes se diseñan para conducir y restringir el estado del sistema a permanecer en un entorno de la función de conmutación llamada superficie deslizante s(t)=0. Las técnicas de SMC han sido empleadas en diversos sistemas, por las ventajas desde el punto de vista de robustez que presenta en su aplicación para el control de sistemas no lineales, variantes en el tiempo y sistemas con incertidumbre. La metodología de diseño de un controlador por modos deslizantes, implica dividir el problema en dos subproblemas, de menor dimensión:

Establecer la dinámica de la superficie de deslizamiento, que debe de ser estable y puede ser lineal, de esta manera se diseña la superficie que es la encargada de regir el comportamiento del sistema cuando se encuentra en el modo de deslizamiento.


8

Diseñar una ley de control que garantice que las trayectorias cerca de la superficie de deslizamiento conduzcan hacia la superficie.

Una vez que el sistema está sobre la superficie, donde la estructura y los parámetros

son establecidos por el diseñador, la dinámica en lazo cerrado viene determinada completamente por las ecuaciones que la definen, y es independiente de las perturbaciones en los parámetros del sistema, de esta manera se logra una excelente robustez.

El control por modos deslizantes se caracteriza por dos comportamientos en lazo cerrado que se denominan modos, véase figura 1.3:

• Modo de alcance: El sistema se encuentra en este modo cuando se aplica una ley de control, denominada ley de alcanzabilidad, para forzar el alcance de la superficie deslizante.

• Modo de deslizamiento: es el comportamiento en el que la trayectoria del

estado se desliza sobre la superficie y converge a un estado estable incluido en dicha superficie, véase figura 1.3.

En la Figura 1.3, se presenta la interpretación gráfica del control por modo

deslizante, partiendo de un punto inicial la ley señal de control lo conduce a la superficie de deslizamiento (modo de alcanzabilidad), una vez allí se desliza atrapado por la superficie hasta el valor deseado (modo deslizamiento).

Figura 1.3. Superficie de deslizamiento

Este tipo de control presenta dos ventajas principales [8,9]:

1. Se puede obtener el comportamiento dinámico deseado del sistema en lazo cerrado con la elección de la ley de conmutación.

2. El sistema se vuelve insensible a las perturbaciones, incertidumbres paramétricas,

debido a que la dinámica del sistema queda impuesta por la ley de conmutación y no por el sistema.

1.7. Metodología

9

Este método posee una restricción importante. El efecto “chattering” provocado por la conmutación de alta frecuencia de la señal de control puede ser muy perjudicial en determinadas aplicaciones prácticas.

1.7 Metodología

La metodología que siguió este trabajo de tesis es:

1. Estudio del motor de CD

Construcción de las máquinas de CD

Comprender los principios de funcionamiento de la máquinas de CD

Obtención de los modelos de las máquinas de CD.

Simulación de los diferentes tipos de motores estudiados

Estudio de la técnica de control por modos deslizantes

Estudio de las generalidades del control

Estudio de la síntesis del controlador

2. Diseño del controlador

Diseño de los controladores de velocidad y posición para los

diferentes tipos de motores

Simulación del control

Análisis de robustez

3. Implementación

Estudio de la factibilidad de la implementación práctica del control

Elección del motor en que se implementará el controlador

Estudio de los dispositivos semiconductores para la implementación

Comprensión y caracterización de los dispositivos, sensores y

actuadores requeridos para la implementación.

Implementar el control

Pruebas de seguimiento de trayectorias

Análisis de robustez


10

1.8 Organización del documento

Este trabajo desarrolla la aplicación del control por modos deslizantes a los motores de CD que se estudien en el transcurso de la investigación. El presente trabajo se divide en 6 capítulos mas uno de conclusiones. El capítulo 2 trata acerca de los Motores de Corriente Directa, desde su definición, las partes principales de la máquina, características principales de cada tipo de máquina, su clasificación, el principio de funcionamiento, las leyes físicas que gobiernan la máquina, así como también el desarrollo de las ecuaciones en estado estable y dinámicas. Se presentan simulaciones de la máquina con el fin de conocer el comportamiento dinámico de la máquina ante diferentes condiciones de operación. En el capítulo 3 se da la teoría de control por modos deslizantes, se presenta la definición del modo deslizante, cómo lograr el modo deslizante, las características que debe de tener el sistema. En el capítulo 4 se presenta el algoritmo de control por modos deslizantes que se utilizó para desarrollar los controles de velocidad y posición. También se presenta el desarrollo de los controles de velocidad y posición para los motores de CD estudiados, en esta sección se dan las condiciones para que el modo deslizante exista, se diseña y sintoniza un control PID con fin de tener con que comparar el control por modos deslizantes.

El capítulo 5 muestra los resultados obtenidos en simulación para los controles de velocidad y posición haciendo pruebas de seguimiento de trayectorias, también se analiza la robustez del control ante perturbaciones desconocidas en la carga y la robustez para la variación de los parámetros del motor de CD. En está sección se comparan los comportamientos del controles PID y por modos deslizantes para el motor de CD en derivación. El capítulo 6 presenta la implementación práctica del control por modos deslizantes en una máquina de CD en derivación, en esta sección se describen todas las etapas que conformaron la implementación, se muestran los resultados experimentales obtenidos para el seguimiento de trayectoria y se analiza la robustez del control ante perturbaciones en la carga. El anexo A proporciona las ecuaciones y los parámetros con que simularon los motores de CD, ele anexo B presenta el desarrollo de las ecuaciones del controlador y por ultimo el anexo C muestra los resultados en simulación para los controladores de los motores de CD en serie, de excitación separada, de imanes permanentes y el compuesto.

11

Capítulo 2

Motores de Corriente Directa (CD)

El motor de CD es un dispositivo eléctrico que transforma la energía eléctrica en energía mecánica, los motores de corriente directa son insuperables para aplicaciones en las que debe ajustarse la velocidad, así como para aplicaciones en las que requiere un par grande.

En la actualidad se utilizan millones de motores de CD cuya potencia es de una

fracción de caballo en la industria del transporte como: automóviles, trenes y aviones, donde impulsan ventiladores de diferentes tipos para aparatos de a/c, calentadores y descongeladores: también mueven los limpiadores de parabrisas y acción de levantamiento de asiento y ventanas. También son muy útiles para arrancar motores de gasolina y diesel en autos, camiones, autobuses tractores y lanchas.

En este capítulo se estudia, analizan, modelan y simulan los motores de CD, partiendo de sus principios de funcionamiento, las partes que conforman al motor de CD, las ecuaciones que rigen el comportamiento de los motores y los diferentes tipo de motores de CD que existen en el mercado. Además también se presentan las características más importantes que presentan los diferentes tipos de motores de CD al igual que el modelo matemático de cada uno de ellos.

2.1 Introducción a los motores de Corriente Directa (CD)

El motor de CD juega un papel de importancia creciente en la industria moderna porque puede operar a cualquier velocidad desde cero hasta su máxima de régimen y mantenerla ahí de forma muy precisa. Por ejemplo, los trenes de laminación de acero que son de alta velocidad y de varias etapas, no serían posibles sin los motores de CD. Ya que cada etapa debe mantenerse a una velocidad exacta, que es mayor que la etapa anterior, para adaptarse a la reducción del grosor del acero en esa etapa.

Los motores de CD son máquinas que transforman la energía eléctrica en mecánica

y se usan en una amplia variedad de aplicaciones industriales en virtud de la facilidad con la que se puede controlar la velocidad. La característica velocidad-par se puede hacer variar para casi cualquier forma útil. En tanto que los motores de corriente alterna tienden a pararse, los motores de corriente directa pueden entregar más de cinco veces el par nominal si lo permite la alimentación de energía eléctrica. Se puede realizar la operación en reversa sin conmutar la energía eléctrica.

Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)

12

12

Los motores de corriente directa, son accionados por una fuente de potencia de corriente directa. A menos de que se especifique otra cosa, se supone que el voltaje de entrada es constante, puesto que esta suposición simplifica el análisis de los motores y la comparación entre los diferentes tipos de ellos.

El motor de CD tiene un estator y un rotor o comúnmente llamado armadura. El

estator contiene uno o más devanados por cada polo, los cuales están diseñados para llevar intensidades de corriente directas que establecen un campo magnético.

La armadura y su devanado están ubicados en la trayectoria del campo magnético y

cuando el devanado lleva intensidades de corriente, se desarrolla un par-motor que hace girar el motor. La máquina tiene un conmutador conectado al devanado de la armadura, si no se utilizara un conmutador, el motor solo podría dar una fracción de vuelta y luego se detendría.

En general, los motores convierten la potencia eléctrica en mecánica, usando el

principio de inducción magnética, es decir la fuente de alimentación de los motores es eléctrica y si se aplica una tensión en las terminales del motor esto produce una intensidad de corriente, cuando la corriente pasa a través de la armadura de un motor de corriente continua, se genera un par de fuerzas por la reacción magnética, y la armadura gira. El giro de la armadura induce un voltaje en las bobinas de ésta, este voltaje es opuesto en la dirección al voltaje exterior que se aplica a la armadura y de ahí que se conozca como voltaje inducido o fuerza contraelectromotriz.

Cuando el motor gira más rápido, el voltaje inducido aumenta hasta que es casi

igual al aplicado. La corriente entonces es pequeña, y la velocidad del motor permanecerá constante siempre que el motor no esté bajo carga y tenga que realizar otro trabajo mecánico que no sea el requerido para mover la armadura. Bajo carga, la armadura gira más lentamente, reduciendo el voltaje inducido y permitiendo que fluya una corriente mayor en la armadura.

El par que se produce en un motor de CD es directamente proporcional a la

intensidad de corriente de la armadura y al campo del estator. Por otro lado, la velocidad de motor la determinará principalmente la tensión de la armadura y el campo del estator.

Los motores de CD se pueden clasificar en 5 tipos de uso general [4]:

Motor de Corriente Directa de Excitación Separada Motor de Corriente Directa con Excitación en Derivación Motor de Corriente Directa de Imán Permanente Motor de Corriente Directa Serie Motor de Corriente Directa Compuesto

Los motores de excitación independiente tienen como aplicaciones industriales el torneado y taladrado de materiales, extrusión de materiales plásticos y goma, ventilación de horno, retroceso rápido en vacío de ganchos de grúas, desenrollado de bobinas y retroceso de útiles para serrar.

2.1 Introducción a los Motores de Corriente Directa (CD)

13

Los motores de corriente directa en derivación son adecuados para aplicaciones en donde se necesita velocidad constante a cualquier ajuste del control o en los casos en que es necesario un rango apreciable de velocidades (por medio del control del devanado de campo). El motor en derivación se utiliza en aplicaciones de velocidad constante, como en los accionamientos para los generadores de corriente continua en los grupos motogeneradores de corriente directa.

Los motores de imán permanente se emplean para el movimiento de maquinaria

(tornos) en procesos de fabricación automática, arrastres de cintas de audio y video, movimiento de cámaras, etc.

El motor devanado en serie se usa en aplicaciones en las que se requiere un alto par de arranque, como en la tracción eléctrica, grúas, malacates, etcétera. Entre las aplicaciones del motor serie cabe destacar tracción eléctrica, grúas, bombas hidráulicas de pistón y en general en aquellos procesos donde lo importante sea vencer un par de arranque grande.

En los motores compuestos, la caída de la característica velocidad-par se puede ajustar para que se adecue a la carga. El mayor uso del motor compuesto acumulativo es en estrujadoras, grúas tracción, calandras, ventiladores, prensas, limadores, etcétera. El motor compuesto diferencial presenta el peligro de embalarse para fuertes cargas, por lo que su empleo es muy limitado.

2.2 Construcción de las máquinas de CD

La máquina de corriente directa consta básicamente de dos partes principales, una parte fija llamada estator y una parte móvil llamada rotor [4]. La figura 2.1 muestra un esquema simplificado de una máquina de CD.

En una máquina de CD hay dos devanados principales: los devanados del inducido

o armadura y los devanados de campo. Los devanados del inducido son aquellos en los cuales es inducido voltaje y se localizan en el rotor, y los devanados de campo son aquellos que producen el flujo magnético principal en la máquina y se ubican en el estator.

Figura 2.1. Diagrama simplificado de la máquina de CD.


14

2.2.1 Aspectos constructivos de las máquinas de CD En un motor de CD el estator consta principalmente de las siguientes partes:

Pieza polar: Es la parte del circuito magnético situada entre la culata y el

entrehierro, incluyendo el núcleo y la expansión polar. Núcleo: Es la parte del circuito magnético rodeada por el devanado inductor.

Devanado inductor: es el conjunto de espiras destinado a producir el flujo magnético, al ser recorrido por la corriente eléctrica.

Expansión polar: es la parte de la pieza polar próxima al inducido y que bordea al entrehierro.

Polo auxiliar o de conmutación: Es un polo magnético suplementario, provisto o no de devanados y destinado a mejorar la conmutación. Suelen emplearse en las máquinas de mediana y gran potencia.

Culata: Es una pieza de sustancia ferromagnética, no rodeada por devanados, y destinada a unir los polos de la máquina.

El rotor de una máquina de CD consta principalmente de las siguientes partes: Devanado inducido: es el devanado conectado al circuito exterior de la máquina y

en el que tiene lugar la conversión principal de la energía. Colector: es el conjunto de láminas conductoras (delgas), aisladas unas de otras,

pero conectadas a las secciones de corriente continua del devanado y sobre las cuales frotan las escobillas.

Núcleo del inducido: Es una pieza cilíndrica montada sobre el cuerpo (o estrella) fijado al eje, formada por núcleo de chapas magnéticas. Las chapas disponen de unas ranuras para alojar el devanado inducido.

Escobillas: Son piezas conductoras destinadas a asegurar, por contacto deslizante, la conexión eléctrica de un órgano móvil con un órgano fijo.

Entrehierro: Es el espacio comprendido entre las expansiones polares y el inducido; suele ser normalmente de 1 a 3 mm, lo imprescindible para evitar el rozamiento entre la parte fija y la móvil.

Cojinetes: Son las piezas que sirven de apoyo y fijación del eje del inducido.

La figura 2.2 muestra un dibujo esquemático que ilustra todas las partes constructivas que conforman a un motor de CD.

2.3. Fundamentos del motor de corriente directa

15

Figura 2.2. Aspectos constructivos de una máquina de CD

De la parte 1 a la 5 forman el inductor. En conjunto las partes 2 y 3 es el polo

inductor. La parte 6 constituye el inducido, al que va arrollado un conductor de cobre formando el arrollamiento del inducido. Alrededor de los núcleos polares, va arrollando, en forma de hélice, el arrollamiento de excitación (8). Análogamente cada núcleo de los polos de conmutación lleva un arrollamiento de conmutación (9). La parte 10 representa el conmutador o colector, que está constituido por varias láminas aisladas entre sí, formando un cuerpo cilíndrico.

El arrollamiento del inducido está unido por conductores con las láminas del

colector; inducido y colector giran conjuntamente. Sobre la superficie del colector rozan unos contactos a presión mediante unos muelles. Dichas piezas de contacto se llaman escobillas. El espacio libre entre las piezas polares y el inducido se llama entrehierro.

2.3 Fundamentos del motor de corriente directa

La máquina rotatoria CD más sencilla posible se muestra en la figura 2.3. Consiste en una sola espira de alambre que rota alrededor de un eje fijo. La parte giratoria de la máquina se le llama rotor; la parte estacionaria se le denomina estator. El campo magnético de la máquina es suministrado por los polos norte y sur magnéticos mostrados sobre el estator en la figura 2.3.

1. Culata 2. Núcleo polar 3. Pieza polar 4. Núcleo de polo auxiliar 5. Pieza polar de polo auxiliar 6. Inducido 7. Arrollado del inducido 8. Arrollado de excitación 9. Arrollado de conmutación 10. Colector 11. Escobillas positivas 12. Escobillas negativas


16

a) b)

c) d)

Figura 2.3. Lazo sencillo rotacional entre caras polares curvas; a) Vistas en perspectiva; b) vista de las líneas de campo; c) Vista superior; d) Vista frontal.

Nótese que la espira del rotor yace en una ranura labrada en un núcleo

ferromagnético. El hierro del rotor, junto con la forma curva de las caras polares, provee la anchura de entrehierro constante entre el rotor y el estator. La reluctancia del aire es mucho mayor que la reluctancia del hierro en la máquina; para minimizar la reluctancia del camino del flujo a través de la máquina.

Puesto que el flujo magnético debe tomar el camino más corto posible a través del

aire entre la cara polar y la superficie del motor y el camino más corto a través del aire es el que está perpendicular a la superficie del rotor en todos los puntos situados bajo las caras polares.

2.3.1 Principio de funcionamiento de un motor de CD Si se hace circular una intensidad por una bobina inmersa en un campo magnético,

está sufre un par motor que tiende a alinear ambos campos magnéticos, el propio de la bobina y el externo.

2.3.2 Par inducido en la espira rotatoria Si conectamos una batería a la máquina de la figura 2.3, la configuración resultante

se muestra en la figura 2.4. El método que debe emplearse para determinar el par sobre la espira consiste en tener por separado cada segmento de está y luego sumar los efectos de los segmentos individuales.

2.3.2 Par inducido en la espira rotatoria

17

a) b)

Figura 2.4. Deducción de una ecuación para el par inducido en la espira. La fuerza inducida sobre un segmento de la espira está dada por [4, 29, 30]:

( )F= l Bi × (2.1)

Y el par sobre el segmento está dado por

sinrFτ θ=

Donde θ es el ángulo entre r y F. El par es cero en todos los puntos en que la espira

está situada fuera de las caras polares.

Mientras la espira está bajo las caras polares el par es [4, 30]:

1. Segmento ab. En el segmento ab la corriente de la batería está dirigida hacia fuera de la página. El campo magnético bajo la cara polar apunta radialmente hacia fuera del rotor; por tanto la fuerza inducida sobre el alambre está dada por

( )F = l B

tangente a la dirección del movimientoab i

ilB

×

=

(2.2)

El par sobre el rotor, causado por está fuerza es

( )

sin

sin 90

en sentido contrario de las manecillas del reloj

ab rF

r ilB

rilB

τ θ=

= °

=

(2.3) Segmento bc. En el segmento bc la corriente de la batería fluye desde la parte superior izquierda hacia le inferior derecha del dibujo. La fuerza inducida en el alambre está dada por ( )F = l B

0 puesto que l es paralelo a Bbc i ×

=

(2.4)


18

Entonces 0bcτ = (2.5)

2. Segmento cd. En el segmento cd la corriente de la batería está dirigida hacia

dentro de la página. El campo magnético bajo la cara polar apunta radialmente hacia dentro del rotor; por lo tanto la fuerza sobre el alambre está dada por

El par sobre el rotor, causado por está fuerza es

3. Segmento da. En el segmento da la corriente de la batería fluye desde el

extremo superior izquierdo hacia el inferior derecho en el dibujo. La fuerza inducida sobre el alambre está dada por

( )F = l B

0 puesto que l es paralelo a Bda i ×

=

(2.8)

Entonces 0daτ = (2.9)

El par inducido resultante en la espira está dado por

ind ab bc cd daτ τ τ τ τ= + + +

2 bajo las caras polares

0 por fuera de las caras polaresind

rilBτ

=

(2.10) Dado que PA rlπ= y PA Bφ = , la expresión de par se puede reducir a

2bajo las caras polares

0 por fuera de las caras polares

iφτ π

=

(2.11)

Entonces el par producido en la máquina es el producto del flujo y la corriente en

ella multiplicada por una cantidad que representa la construcción mecánica de la máquina. En general el par de cualquier máquina real dependerá de los mismos tres factores [4]:

( )F = l B

tangente a la dirección del movimientocd i

ilB

×

=

(2.6)

( )

sin

sin 90

en sentido contrario de las manecillas del reloj

cd rF

r ilB

rilB

τ θ=

= °

=

(2.7)

2.4. Modelado de la Máquina de CD

19

1. El flujo en la máquina 2. La corriente en la máquina 3. Una constante que representa la construcción de la máquina.

2.4 Modelado de la Máquina de CD

En una máquina de CD las bobinas de la armadura giran en un campo magnético establecido mediante una corriente en el devanado de campo. Se tiene establecido que el voltaje es inducido en está bobina en relación de está rotación y de la interacción del flujo magnético [31].

Sin embargo, la acción del conmutador causa que la bobina de la armadura se vea como un devanado estacionario, la cual es el eje magnético ortogonal al eje magnético del devanado de campo. Consecuentemente, los voltajes no son inducidos en un devanado debido a la taza de cambio de la corriente que fluye en el otro (acción transformador).

La figura 2.5 muestra el equivalente eléctrico de una máquina de CD de excitación

separada, a partir de este equivalente y tomando en cuenta las condiciones mencionadas anteriormente se pueden escribir las ecuaciones de estado (2.12) que modelan a la máquina de CD, teniendo así las ecuaciones de voltaje en forma matricial como 2.12 [4, 32, 33]:

Figura 2.5. Circuito equivalente de la máquina de CD

0f f FF f

a r AF a AA a

v r pL i

v L r pL iω

+ = +

(2.12)

donde FFL y AAL son las autoinductancias del devanado de campo y armadura

respectivamente, y p es la notación abreviada para el operador ddt . La velocidad del rotor

es expresada como rω , y AFL es la inductancia mutua entre el campo y la bobina de la

armadura que gira. El voltaje inducido en el circuito de la armadura, AFLr fiω , es comúnmente referido

como fuerza contraelectromotriz y también representa el circuito abierto del voltaje de armadura.

Hay otras formas en las cuales las ecuaciones del campo y la armadura pueden

expresarse. Por ejemplo, AFL puede también escribirse como [31]:


20

a f

AF

N NL =

ℜ

(2.13)

donde aN y rN son las vueltas equivalentes de los devanados de armadura y

campo, respectivamente y ℜ es la reluctancia. Así,

f f

AF f a

N iL i N=

ℜ

(2.14)

Si ahora reemplazamos f fN i

ℜ por fΦ , el flujo de campo por polo, entonces a fN Φ

puede substituirse por AF fL i en la ecuación del voltaje de armadura.

Otra variable sustituible a menudo también utilizada es:

v AF fk L i= (2.15)

Se encuentra que sustituir esta variable es particularmente conveniente y

frecuentemente es utilizada. Inclusive si tenemos una máquina de CD de imanes permanentes que no tiene circuito de campo, la constante de flujo de campo producida por el imán permanente es análoga a la máquina de CD la cual es la constante vk .

El par electromagnético para la máquina de CD puede ser escrito como [31,32]:

e AF f aT L i i= (2.16)

La variable vk es a menudo sustituida por AF fL i . En algunos casos vk es

multiplicado por un factor menor que la unidad, cuando es sustituido en la ecuación 2.16 para aproximar los efectos de las pérdidas rotacionales.

El par y la velocidad del rotor están relacionados mediante [31,32, 33];

re m r L

dT J B T

dt

ωω= + +

(2.17)

Donde J es la inercia del rotor y en algunos casos, la carga mecánica conectada.

Las unidades de la inercia son 2 kg mi o 2 sJ i . Un par electromagnético positivo actúa

para girar el rotor en la dirección del incremento de rθ . El par de carga LT es positivo para

un par, en el eje del rotor, el cual se opone al par electromagnético positivo eT . La

constante mB es el coeficiente de amortiguamiento asociado con el sistema mecánico

rotacional y tiene las unidades de N m si i .

2.4 Tipos de Máquinas de CD

21

2.5 Tipos de máquinas de CD

Las máquinas de CD se clasifican de acuerdo con la forma en que se provee el flujo de campo; el campo magnético de la máquina de CD se puede producir de dos formas, la primera con imanes permanentes y la segunda con electroimanes (bobinas alimentadas con corriente directa).

Dependiendo de la fuente de alimentación de los devanados se tiene dos tipos de

excitación:

Excitación independiente o separada: la corriente que alimenta al devanado inductor procede de una fuente externa.

Autoexcitados: La corriente que alimenta al devanado inductor procede de la propia máquina.

Según la forma de obtener está corriente existen tres tipos diferentes de máquinas de

CD.

Excitación serie: El devanado de campo está conectado en serie con el devanado de armadura.

Excitación en derivación: El devanado de campo está conectado directamente con las escobillas, por lo tanto, está conectado en paralelo con el devanado de armadura.

Excitación compuesta: Una bobina conectada en serie con el devanado de armadura y otra conectada en paralelo.

En resumen los motores de CD se clasifican como se muestra en el siguiente cuadro

sinóptico:

2.5.1 Máquina de CD de excitación separada.

Cuando el devanado de campo y el de armadura son alimentados desde fuentes de

voltajes separadas, el dispositivo puede operar como motor o como generador, es un motor si está acoplado un par de carga y un generador si está siendo operado mediante algún tipo de sistema que le imprima movimiento.

Motores de CD

Autoexcitados

Excitación Independiente o separada

Acumulativo Diferencial

Excitación serie Excitación en derivación Compuesto

Imán permanente

Electromagnético


22

El circuito equivalente de este tipo de máquina es mostrado en la figura 2.6, la diferencia con el de la figura 2.5, está en la resistencia externa fxr , la cual está conectada en

serie con el devanado de campo. Está resistencia, la cual se refiere a menudo como el reóstato de campo, es usada para ajustar la corriente de campo, si el voltaje de campo es suministrado de una fuente constante.

FFL

fr

fi+

−AFL r fiω

ar

av

ai

++

−−

fv

AAL

fxr

Figura 2.6. Circuito equivalente de una máquina de excitación separada.

Las ecuaciones de voltaje que describen el desempeño en estado estable de este

dispositivo pueden ser escritas directamente de la ecuación 2.12, mediante la colocación del operador p a cero d

dtp = , como consecuencia de esto tenemos que;

f f fV R I= (2.18)

a a a r AF fV R I L Iω= + (2.19)

Donde f fx fR r r= + y las letras mayúsculas son utilizadas para denotar las

corrientes y voltajes de estado estable. Conocemos, de la relación del par dada por la ecuación 2.16 que durante la operación en estado estable e LT T= , si mB se supone como

cero. El análisis del funcionamiento en estado estable es directo.

Las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de la máquina de CD de excitación separada se modelan a partir del circuito eléctrico equivalente mostrado en la figura 2.6 y se tiene:

ff f f FF

div i R L

dt= +

(2.20)

aa a a AA AF r f

div i R L L i

dtω= + +

(2.21)

La relación entre el par del motor y la velocidad está dada por la ecuación 2.16

resolviendo para rdω / dt y el par está dado por e AF f aT L i i= ; tenemos

( )1rm r AF f a L

dB L i i T

dt J

ωω= − + −

(2.22)

Estas ecuaciones se implementaron en Matlab-Simulink con el fin de conocer el comportamiento en estado estable y dinámico del motor de CD, para ver la implementación

2.5.1. Máquina de CD de excitación separada

23

de las ecuaciones y los parámetros del motor de CD que se utilizó para la simulación véase anexo A.1.

La figura 2.7 muestra la simulación correspondiente a un motor de excitación

separada de 200 hp sin protección en el arranque. Se observa que el motor presenta un pico de corriente muy alto en el devanado de armadura, esto es debido a que cuando el motor está parado, es decir su velocidad es cero, y hace pasar una corriente a través de la armadura de un motor de CD, se genera un par de fuerzas por la reacción magnética, que hacen que la armadura gire, lo único que limita en ese tiempo la corriente es la resistencia de armadura, una vez que el motor acelere hasta llegar a su velocidad nominal la corriente disminuye y la velocidad del motor permanecerá constante, sin embargo este pico de corriente es perjudicial para la máquina de CD ya que puede llegar a dañar el circuito de armadura.

0 5 10 15 20 25 300

20

40

if(A

mp)

corriente de campo if

X: 17.29

Y: 20.83

0 5 10 15 20 25 300

5000

10000

ia(A

mp)

corriente de armadura ia

X: 17.55

Y: 617.5

0 5 10 15 20 25 30-200

0

200

wr(

rad/s

)

velocidad angular wr

X: 17.55

Y: 64.72

0 5 10 15 20 25 300

5000

10000

Te(N

m)

Par electromagnetico Te

time (sec)

X: 18.06

Y: 2305

If

Ia

Wr

Te

Figura 2.7. Respuestas dinámicas del motor de excitación separada en lazo abierto.

En la gráfica de la máquina de CD de excitación separada, cuando inicia la

simulación se observa que la máquina presenta una velocidad negativa esto es debido a que la ecuación (2.22) que fue la que se implementó para la simulación del comportamiento de la máquina depende del par inercial, el par de carga y el par electromagnético de la máquina y a su vez estos términos dependen de la velocidad del rotor, las corrientes de campo y armadura de la máquina. Entonces al arranque de la simulación las condiciones iniciales de estos términos son cero exceptuando el par de carga y como se ve en la ecuación este se resta provocando que se vea como si el motor girara al revés, esto se corrige cuando la corriente de armadura es lo suficientemente grande para generar un par de fuerzas por la reacción magnética y así lograr que el rotor gire. Esto físicamente representa que la flecha del motor permanecerá estacionaria hasta producir la fuerza necesaria para hacer girar la flecha. Para proteger al motor de CD contra el pico de corriente se puede insertar una resistencia de arranque en serie con la resistencia de armadura y variarla de forma manual o automática conforme el motor acelere hasta llegar a un voltaje inducido adecuado para la máquina de CD.


24

Una vez que el motor se encuentre en estado estable la corriente de armadura diminuye y la velocidad de la flecha del motor permanecerá constante, siempre y cuando el motor no esté bajo carga y tenga que realizar otro trabajo mecánico que no sea el requerido para mover la armadura.

Cuando se aplica un par de carga la flecha del motor gira más lentamente,

reduciendo el voltaje inducido y permitiendo que fluya una corriente mayor en la armadura esto se puede observar en la figura 2.8, en está se observa un escalón del 50% en el par de carga, y al momento del perturbación la velocidad del rotor disminuye hasta llegar a su nueva condición de operación de estado estable con la perturbación en la carga y por consiguiente la corriente de armadura aumenta.

La velocidad del motor en estado estable es de 64.78 rad/seg y al momento de

aplicar la nueva condición de carga la velocidad desciende a 63.71 rad/seg, mientras tanto la corriente de armadura en estado estable es de 615.6 Amp y al modificar la condición de carga su nuevo valor es 960.1 Amp; es decir ante una cambio de 50% en el par de carga la velocidad se modifica solo el 1.6%, sin embargo la corriente de armadura sufre una modificación del 55%. El motor puede así recibir más potencia eléctrica de la fuente, suministrándola y haciendo más trabajo mecánico.

80 85 90 95 100 105 110 115 12018

20

22

if(A

mp)


X: 100.1

Y: 20.83

If

80 85 90 95 100 105 110 115 120500

1000

1500 X: 101.5

Y: 960.1

ia(A

mp)


X: 98.3

Y: 615.6

Ia

80 85 90 95 100 105 110 115 12060

65

70 X: 98.81

Y: 64.78

wr(

rad/s

)


X: 102.1

Y: 63.71

Wr

80 85 90 95 100 105 110 115 1202000

4000

6000

X: 102.3

Y: 3609

Te(N

m)


time (sec)

X: 98.56

Y: 2445

Te

Figura 2.8. Respuesta del motor de excitación separada ante variaciones en la carga

2.5.2 Máquina de CD de imán permanente Una máquina de CD de imán permanente entra dentro del tipo de máquinas de CD

de excitación separada. Como se ha mencionado el flujo de campo es establecido en este dispositivo por un imán permanente. La ecuación del voltaje para el devanado de campo es eliminada y AF fL I es sustituida por una constante vk , la cual puede ser medida si no se da

por el fabricante. La ecuación de voltaje que describe el desempeño en estado estable de este

dispositivo puede ser escrita directamente de la ecuación 2.12, mediante la sustitución de

AF fL I por la constante vk .

2.5.2. Máquina de CD de Imán Permanente

25

a a a r vV R I kω= + (2.23)

La relación del par dada por la ecuación 2.16 que durante la operación en estado

estable es

e v aT k I= (2.24)

En operación en estado estable y considerando mB igual a cero se tiene que e LT T= .

Las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de la máquina de CD de

imán permanente se obtienen a partir de 2.23 y 2.24 únicamente teniendo en cuenta la condición de eliminar la inductancia mutua entre el devanado de campo y armadura y la corriente de campo, debido a que el flujo de campo lo proporciona un imán permanente.

a

a a a AA v r

div i R L k

dtω= + +

(2.25)

La relación entre el par del motor y la velocidad está dado por la ecuación 2.16

resolviendo para rdω / dt y con el par dado por (2.24); se tiene

( )1r

m r v a L

dB k i T

dt J

ωω= − + −

(2.26)

Las ecuaciones 2.24, 2.25 y 2.26 se implementaron en Matlab-Simulink, para

conocer el comportamiento del sistema en estado estable y dinámico, la implementación de las ecuaciones y los parámetros del motor de CD que se utilizó para la simulación se pueden ver en el anexo A.2.

La figura 2.9, muestra la simulación de la máquina de CD de imán permanente de

3.14 W, con objeto de ser mas ilustrativo la simulación se realizó con un par de carga diferente de cero, se observa que la máquina de imán permanente durante el arranque presenta un pico de aproximadamente el doble de su corriente de armadura en estado estable, al igual de un pico de casi el doble en el par electromagnético del que presenta en estado estacionario, la respuesta de la velocidad alcanza su valor de estado estable de manera rápida y sin ningún sobrepico, para ver el análisis dinámico, la implementación de las ecuaciones y los parámetros utilizados para la simulación véase anexo A.2.


26

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

ia(A

mp)


X: 5.048

Y: 0.3565

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

200

400

X: 4.97

Y: 248.5wr(

rad/s

)

Velocidad angular Wr

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.005

0.01

X: 5.048

Y: 0.005026

Te(N

m)


time (sec)

Ia

Te

Wr

Figura 2.9. Respuesta en lazo abierto del motor de imán permanente

En figura 2.10, se muestra el comportamiento de la máquina de CD de imán

permanente para un decremento de 50% del valor del par de carga, la corriente de armadura disminuye un 29% de su valor y la velocidad del rotor también se ve afectada ante el cambio del par de carga, pero está aumentando su valor en un 20%, por lo que se nota que ante cambios en el par de carga en el motor de imán permanente, la velocidad del rotor cambia en menor proporción que el cambio en la carga.

6 7 8 9 10 11 12 13 140.2

0.3

0.4X: 7.992

Y: 0.357

X: 12.02

Y: 0.2536

ia(A

mp)


6 7 8 9 10 11 12 13 140

200

400

X: 12.02

Y: 299.5X: 7.992

Y: 248.4wr(

rad/s

)

6 7 8 9 10 11 12 13 142

4

6x 10

-3

X: 7.992

Y: 0.005034

Te(N

m)


time (sec)

X: 12.02

Y: 0.003575

Ia

Te

wr

Figura 2.10. Respuesta de la máquina de CD de imán permanente

2.5.3 Máquina de CD en derivación. El devanado de campo y el de armadura se conectan como se muestra en la figura

2.11, con está conexión la máquina puede operar como motor o como generador. El devanado de campo está conectado entre las terminales del circuito de armadura, a fV V= .

Este arreglo de las bobinas es comúnmente llamado máquina de CD en derivación o simplemente máquina en derivación.

2.5.3. Máquina de CD en Derivación

27

FFL

fr

fxr

ar

ai

+

−

fi

ti

−

+

fvAF r fL Iω av

+

−

AAL

Figura 2.11. Circuito equivalente de la máquina de CD en derivación.

Durante la operación en estado estable, la ecuación de voltaje del circuito de

armadura es la ecuación 2.19 y para el circuito de campo es

a f f fV V R I= = (2.27)

La corriente total tI es:

t f aI I I= + (2.28)

Resolviendo la ecuación 2.19 para aI y la ecuación 2.27 para fI

r AF fa

a a a r AF f aa a

L Ivv r I L I I

r r

ωω= + ⇒ = −

aa f f f

f

VV R I I

R= ⇒ =

(2.29)

(2.30) y sustituyendo los resultados en la ecuación 2.21

e AF f aT L I I=

r AF fa aAF

f a a

L IV vL

R r r

ω = −

r AF fAF a a

f a a

L IL V v

R r r

ω = −

2 2

AF a AF a r a

f a f a f

L v L v v

R r R r R

ω = −

2 2 2

2AF a AF a r

f a f a

L v L v

R r R r

ω = −

2

1AF a AFr

f a f

L v L

R r Rω

= −

Tenemos la siguiente expresión para el par electromagnético en estado estable,

positivo para la acción motor, para la máquina de CD en derivación es:

2

1AF a AFe r

a f f

L V LT

r R Rω

= −

(2.31)


28

Las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de la máquina de CD en derivación se modelan a partir del equivalente eléctrico mostrado en la figura 2.11, con lo que se obtiene

La ecuación diferencial para el circuito de campo se modela:

f

f f f FF

div R i L

dt= +

(2.32)

La dinámica de la malla de la armadura está dada por la ecuación:

a

a a a AA r AF f

div r i L L I

dtω= + +

(2.33)

El par electromagnético está dado por el término:

e AF f aT L i i= (2.34)

La ecuación que describe el comportamiento de la relación del par con la velocidad del motor está dada por:

re m r L

dT J B T

dt

ωω= + +

(2.35)

Una de las particularidades más importantes de la máquina de CD en derivación es

la curva característica par-velocidad ya que según su formula la velocidad varía ligeramente conforme aumenta el par de manera que el motor se adapta a los trabajos que requieran velocidad constante; la figura 2.12 muestra las característica par-velocidad en estado estable de una máquina de CD en derivación de 3.9 KW la relación que se observa es casi lineal y la velocidad varía ligeramente conforme la carga se está variando.

127.5 128 128.5 129 129.5 130 130.5 13123

24

25

26

27

28

29

30

par

Te(N

m)

curva caracteristica par-velocidad del motor de CD en derivación

velocodad Wr(rad/sec)

Te

Figura 2.12. Curva característica par-velocidad en estado estacionario del motor de CD.

Velocidad Wr(rad/sec)

2.5.3. Máquina de CD en Derivación

29

Si se aplica una carga en el motor, éste tiende inmediatamente disminuye su marcha. En el motor en derivación, el flujo inductor permanece prácticamente constante y la reducción de velocidad disminuye la fuerza contraelectromotriz.

Si la fuerza contraelectromotriz decrece, fluye más corriente al inducido hasta que

su aumento produce un par suficiente para equilibrar la demanda correspondiente al aumento de carga. Por lo tanto, el motor en derivación está siempre en condiciones de equilibrio estable, puesto que ante las variaciones de la carga reacciona siempre adoptando la potencia absorbida a dichas variaciones.

Cuando el motor se encuentra parado ωr=0, la corriente de armadura en estado

estacionario es limitada solo por la resistencia de armadura ar , en el caso de un motor de

imán permanente pequeño, la resistencia de armadura es lo bastantemente grande de modo que la corriente de armadura durante el arranque, que resulta cuando se le aplica el voltaje generalmente no es perjudicial [31].

Sin embargo las máquinas de grandes caballos de fuerza son diseñadas con

resistencias de armadura pequeñas, por lo tanto, un pico muy grande de corriente de armadura puede ocurrir durante el arranque de la máquina si el voltaje de alimentación es aplicado en las terminales de la armadura.

El pico de corriente se puede prevenir insertando una resistencia dentro del circuito

de armadura cuando esté parado e ir decreciéndola manualmente o automáticamente a cero conforme la máquina acelere para alcanzar su velocidad de operación normal [35].

La figura 2.13 ilustra el comportamiento de una máquina de CD de excitación

separada de 200 HP, en está gráfica se puede apreciar el problema del sobrepico en la corriente de armadura, por lo que es necesario resolverlo para no causar daños en la máquina. Para ver los parámetros y las ecuaciones dinámicas de está máquina refiérase a anexo A.1.

0 5 10 15 20 25 300

20

40

if(A

mp)


X: 15.07

Y: 20.83

0 5 10 15 20 25 300

5000

10000

ia(A

mp)


X: 15.33

Y: 642.1

0 5 10 15 20 25 30-200

0

200

wr(

rad/s

)


X: 15.07

Y: 64.53

0 5 10 15 20 25 300

5000

10000

Te(N

m)


time (sec)

X: 14.81

Y: 2398

If

Ia

Wr

Te

Figura 2.13. Respuestas dinámicas del motor de excitación separada en lazo abierto.


30

La figura 2.14 muestra la respuesta de la máquina en derivación de 5 HP cuando se le aplica un escalón de 50 % en el par de carga, inicialmente la máquina se opera estacionariamente con un par de carga de 29.2 Nm aplicado a la flecha del rotor. El par de carga sufre un escalón del 50 % del su valor, con lo que la velocidad del motor aumenta y restablece la operación en estado estable en la condición de carga reducida. Debido a que la corriente de campo es constante, el par electromagnético Te es idéntico a la corriente de armadura, difiriendo solo por una constante multiplicadora.

Es importante notar que ante un cambio del 50 % en el par de carga, la velocidad del

rotor solo cambió un poco. Esto es aproximadamente un 2 % en la velocidad del rotor por un 50% de cambio en el par de carga. Las ecuaciones dinámicas y los parámetros de está maquina que se utilizaron para simulación refiérase a anexo A.3.

35 40 45 50 55 60 651

1

1

X: 50.03

Y: 1

if(A

mp)


35 40 45 50 55 60 650

10

20

X: 45.37

Y: 16.22

ia(A

mp)

corriente de armadura iaX: 54.09

Y: 8.111

35 40 45 50 55 60 65125

130

135

X: 54.09

Y: 130.6wr(

rad/s

)


X: 45.37

Y: 127.9

35 40 45 50 55 60 6510

20

30

X: 45.37

Y: 29.2

Te(N

m)


time (sec)

X: 54.09

Y: 14.6

If

Ia

Wr

Te

Figura 2.14. Respuesta en lazo abierto del motor en derivación

2.5.4 Máquina de CD en serie. Cuando el devanado de campo es conectado en serie con el circuito de armadura

como se muestra en la figura 2.15, a está configuración se le conoce como máquina de CD en serie.

Figura 2.15. Circuito equivalente de la máquina de CD en serie

De la máquina de CD serie se tiene que

2.5.4. Máquina de CD en Serie

31

t fs aV V V= +

a fsI I=

(2.36)

(2.37)

Donde fsv y fsi denotan el voltaje y la corriente asociados con el devanado de

campo en serie. Si las ecuaciones 2.36 y 2.37 son sustituidas en la ecuación del voltaje de armadura,

el funcionamiento en estado estable de la máquina de CD en serie se puede expresar como ( )t a fs AFs r aV R R L Iω= + + (2.38)

De la ecuación 2.16, se tiene que

Donde aI se despeja de 2.38 y se tiene

( )t

a

a fs AFs r

VI

R R L ω=

+ +

(2.40)

Sustituyendo en 2.40 se obtiene

( )

22

2AFs t

e AFs a

a fs AFs r

L VT L I

R R L ω= =

+ +

(2.41)

Las ecuaciones de voltaje que describen el comportamiento dinámico del motor de CD en serie se modelan a partir del circuito eléctrico equivalente mostrado en la figura 2.15, por lo que se tiene el siguiente modelo a a

t a fs ff a a aa AFs r a

di div i R L i R L L i

dt dtω= + + + +

(2.42)

Como el par electromagnético está dado por 2

e AFs aT L i= , la ecuación dinámica que

relaciona par con velocidad es

( )21r

m r AFs a L

dB L i T

dt J

ωω= − + −

(2.43)

En el motor de CD en serie el par es proporcional al cuadrado de la intensidad de la

corriente en la armadura, es decir, al duplicarse la intensidad de la corriente en la armadura, el par se cuadruplica.

2e AFs aT L I= (2.39)


32

Está característica del motor de CD en serie hace su empleo muy conveniente cuando se requiere un gran aumento del par para un aumento moderado de la intensidad de la corriente. En la práctica, la saturación y la reacción del inducido tienden a oponerse a que el par aumente con la misma rapidez que el cuadrado de la intensidad de la corriente.

La curva característica de la relación par-velocidad se muestra en la figura 2.16, y nos da a entender que con el aumento de carga, la velocidad del rotor cae a medida que aumenta la carga. Si la carga en un motor de CD en serie se hace pequeña, la velocidad del rotor aumenta considerablemente, de modo que un motor de este tipo siempre debe conectarse a la carga a través de un engranaje reductor y no directamente.

60 80 100 120 140 160 180 200

20

40

60

80

100

120

Curva característica par-velocidad del motor de CD serie

Wr (rad/sec)

Te (

Mm

)

par

Velocidad

Figura 2.16. Curva característica par-velocidad del motor de CD serie

El comportamiento de un motor de CD en serie cuando se le aplica una perturbación en el par de carga se muestra en la figura 2.17, se aprecia que la velocidad varía prácticamente en sentido inverso al de la intensidad de la corriente, es decir, a intensidades de corriente elevadas, la velocidad es pequeña y para intensidades pequeñas la velocidad es grande. Por lo que las características nominales en un motor de CD en serie no pueden determinarse para intensidades pequeñas en la corriente, por que las velocidades se harán peligrosamente grandes.

En la figura 2.17 se muestra la respuesta de la máquina de CD en serie ante un aumento del 50% en el par de carga, si se aumenta el par de carga la velocidad del rotor disminuye un 29.5% aproximadamente, es decir de 296 rad/sec a 209.3 rad/sec, mientras tanto la corriente de armadura ante ese aumentó del 50% del par de carga aumenta en un 35.5%, es decir pasa de una corriente de 10.4 amp a 14.09 amp, para ver los parámetros y la implementación de las ecuaciones de la simulación de éste motor véase anexo A.4.

2.5.5. Máquina de CD Compuesta Acumulativa

33

40 50 60 70 80 90 1005

10

15 X: 55.95

Y: 10.35X: 94.51

Y: 14.14

ia(A

mp)


40 50 60 70 80 90 100200

250

300

X: 89.98

Y: 209.2

wr(

rad/s

)


X: 55.83

Y: 296.9

40 50 60 70 80 90 1005

10

15

X: 55.13

Y: 7.303

X: 90.54

Y: 13.53

Te(N

m)


time (sec)

Ia

Wr

Te

Figura 2. 17. Respuesta del motor de CD en serie ante un aumento de carga

La figura 2.18, muestra la respuesta del motor de CD serie de la figura 2.17 para un

par de carga igual a cero, se observa que la velocidad del rotor rebasa al valor de velocidad nominal del motor, esto se debe a que teóricamente es la velocidad de un motor de CD en serie en vació es infinita, las ecuaciones dinámicas de la máquina así como los parámetros que se utilizaron para la simulación están en el anexo A.4.

0 50 100 150 200 250 3000

20

40

60

X: 136.6

Y: 5.249ia(A

mp)


Ia

0 50 100 150 200 250 3000

500

1000

X: 261.6

Y: 652.5wr(

rad/s

)


Wr

0 50 100 150 200 250 3000

100

200

Te(N

m)


time (sec)

X: 166.9

Y: 1.793

Te

Figura 2.18. Respuesta del motor del motor de CD serie operado sin carga

Debido al alto par que presentan al arranque los motores de CD en serie se utilizan

para los casos en que se exige un gran par de arranque, como en los tranvías, locomotoras y grúas. Además del gran par de arranque, tienen otras características que los hacen especialmente adecuados para la tracción.

2.5.5 Máquina de CD Compuesta Acumulativa.

Una máquina de DC compuesta, está equipada con ambos devanados de campo uno

en derivación y uno en serie, se muestra en la figura 2.19. En la mayoría de las máquinas compuestas, el devanado de campo en derivación determina las características de operación


34

mientras el devanado de campo en serie, el cual consiste en algunas vueltas de alambre de baja resistencia, tiene una influencia secundaria.

Si la máquina de CD compuesto es usada como generador, el devanado de campo serie es conectado para ayudar al devanado de campo en derivación (compuesto acumulativo). En caso de un motor de CD compuesto, el devanado de campo en serie es conectado a menudo para oponerse al flujo producido por el devanado de campo en derivación (compuesto diferencial).

Figura 2.19. Circuito equivalente de la Máquina de CD compuesta

La ecuación de voltaje para la máquina de CD compuesto se puede escribir como

0 ff FF FSf

fsr AF FS r AFs fs FFs a AAt

a

iR pL pLv

iL pL L r pL r pLv

iω ω

+ ± = ± ± + + +

(2.44)

Donde FSL es la inductancia mutua entre el devanado de campo en derivación y el

devanado de campo en serie. El signo más y el signo menos son usados para describir la conexión acumulativa o la conexión diferencial respectivamente

Para el análisis en estado estable se tiene:

t f fs av v v v= = + (2.45)

t f fsi i i= + (2.46)

Donde

fs ai i= (2.47)

El funcionamiento en estado estable de una máquina de CD compuesto conexión

larga puede ser descrito por la siguiente ecuación:

( )1a fs AFs r

t a

AF f r

E R LV I

L R

ω

ω

+ ±=

−

(2.48)

2.5.5. Máquina de CD Compuesta Acumulativa

35

El par para la conexión en derivación se obtiene mediante el empleo de la ecuación 2.17 para cada devanado de campo. En particular

( )( )

( )

( )

22 2

2

1 1

e AF f a AFs fs a

AF t AF f r AFs t AF f r

f a fs AF r a fs AFs r

T L I I L I I

L V L R L V L R

R R r L R r L

ω ω

ω ω

= ±

− − = ±+ ± + ±

(2.49)

Las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de la máquina de CD

compuesto acumulativa se modelan a partir del equivalente eléctrico mostrado en la figura 2.19, tomando en cuenta el signo más ya que se trata de la maquina acumulativa, por lo que las ecuaciones quedan

La ecuación dinámica que modela el circuito de campo está dada por

f fs

f f f FF FS

di div R i L L

dt dt= + +

(2.50)

La dinámica del devanado de armadura está dada por la ecuación

aa a a AA AF r f AFS r fs

div R i L L i L i

dtω ω= + + +

(2.51)

El devanado del circuito de campo en serie se modela

fs f

fs fs fs FFS FS

di div R i L L

dt dt= + +

(2.52)

En un motor de CD compuesto acumulativo al aumentar la carga y la corriente de armadura, el flujo producido por la excitación serie también aumenta en tanto que la fuerza contraelectromotriz disminuye, es decir al aumentar el par de carga la velocidad del motor disminuirá conforme se aumente el par, esto se aprecia en la característica par-velocidad que se muestra en la figura 2.20.


36

60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 1109

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

par

Te(N

m)

curva caracteristica par-velocidad del motor de CD compuesto acumulativo

velocodad Wr(rad/sec)

Te

Figura 2.20. Característica par-velocidad de la máquina de CD compuesta acumulativa

El comportamiento que presenta un motor de CD compuesto acumulativo cuando se

le aumenta la carga en un 50 % se muestra en la figura 2.21, en está gráfica corresponde a la simulación de una motor compuesto acumulativo de 100 W, en está se observa que al aumentar el par de carga en un 50%, la velocidad del rotor disminuye en un 26.6 %, mientras que la corriente de armadura aumenta su valor en un 35.9%

Las ecuaciones que rigen el comportamiento dinámico del motor de CD compuesto diferencial y los parámetros que se utilizaron para la simulación están en el anexo A.5.

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 1600.498

0.5

0.502

X: 149.7

Y: 0.5003

if(A

mp)


X: 90.41

Y: 0.4997

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 16015

20

25X: 89.67

Y: 16.36 X: 149.7

Y: 22.31ia(A

mp)


50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

80

100X: 90.17

Y: 105.7

wr(

rad/s

)


X: 150

Y: 77.24

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 1605

10

15X: 89.94

Y: 10.01X: 148.7

Y: 14.97

Te(N

m)


time (sec)

If

Ia

Wr

Te

Figura 2.21. Respuesta de la máquina de CD ante cambios en el par de carga

37

Capitulo 3

Modos Deslizantes

El control por modos deslizantes es una aproximación importante al control robusto, para la clase de sistemas a los cuales se aplican, el diseño de los controladores por modos deslizantes proporciona una aproximación sistemática al problema de mantener la estabilidad y de mantener un desempeño aceptable ante impresiciones en el modelo.

Los sistemas con un control como una función de estado discontinuo, se les conoce como modos deslizantes. Esté tipo de sistemas han probado ser una herramienta eficiente para el control de plantas de alto orden con dinámicas no lineales complejas operadas bajo cierto umbral de incertidumbre lo cual es un problema común en muchos de los procesos de la tecnología moderna. Esté capítulo se extrajo en su mayoría de las referencias [2, 7, 39].

3.1 Estado del arte

Los sistemas de Control por Estructura Variable son sistemas no lineales que presentan una parte discontinua en la ley de control. La estrategia consiste en conmutar entre varios sistemas de control con dinámicas diferentes en lazo cerrado. Incluso aún cuando estás dinámicas sean inestables, el alternar convenientemente entre ellas puede producir un comportamiento estable en lazo cerrado.

Las primeras leyes elementales de VSC se obtuvieron en la Unión Soviética al final

de los años 50 y fueron publicadas en inglés a partir de los 70 por Itkis, Utkin y Slotine [10]. El Control por Modo Deslizante, (Sliding Mode Control - SMC) es un tipo particular de control por Estructura Variable (Variable Structure Control – VSC). Los sistemas VSC se desarrollaron a partir de los estudios de Emelyanov y Barbashin (Rusia 1957-1970) [11, 12, 13].

Los sistemas de VSC son una clase de sistemas en los que la ley de control se

cambia durante el control de proceso según unas reglas definidas que dependen del estado del sistema. Cuando la regla que conmuta de una estructura de control a otra se establece mediante una función de conmutación denominada superficie de deslizamiento s(t) y la ley de control se diseña para obtener una comportamiento en lazo cerrado descrito por dicha superficie, al Control por Estructura Variable se denomina Control por Modo Deslizante. En la etapa inicial de SMC hasta 1962, los sistemas estudiados fueron de segundo orden y lineales, en el espacio de estados canónico (estado y sus derivadas) con estructuras de control proporcional y conmutación por signo de una función lineal de los estados. La ley de control SMC en una etapa inicial es discontinua según el signo de la superficie deslizante, resultando un control robusto ante perturbaciones, incertidumbres paramétricas

Capítulo 3. Modos Deslizantes

38

y errores de modelado, y proporciona el desempeño dinámico correspondiente a un control proporcional o constante.

En los estudios del control por modos deslizantes hasta mediados de los años 60 se

establecía que la superficie deslizante y las estructuras de la ley de control se escogen de forma que se satisface la condición de alcanzabilidad denominada aproximación de función de conmutación directa.

Utkin presenta en 1972 el concepto de ley de control equivalente [14, 15], basado en

los desarrollos de Filippov y Drazenovic que presenta la señal de control nominal cuando s(t)= 0 [16, 17]. A partir de 1962 se consideraron sistemas variables en el tiempo de cualquier orden y de 1970 a 1983 se estudio el SMC en espacios de estados más generales y sistemas no lineales con superficies no lineales [14].

En las décadas de los 80’s y 90’s se dieron grandes pasos para la difusión y

aplicación del SMC. Utkin publica un trabajo acerca de la visión de conjunto sobre VSC en 1984 [18]. En 1983 Slotine y Sastry [19, 20, 21] transformaron los esquemas de la teoría clásica de SMC para un gran número de sistemas no lineales y variables en el tiempo. La metodología que desarrolló establecía un compromiso entre el seguimiento preciso y la robustez ante dinámicas no modeladas de alta frecuencia (incertidumbres no estructuradas). Se introduce el concepto de modo quasideslizante o pseudodeslizante en una banda entorno a la superficie, de forma que al suavizar la discontinuidad de la ley de control, la dinámica del estado dentro de dicha banda es sólo una aproximación de la dinámica ideal deseada que anula la superficie (modo de deslizamiento).

En 1985 Redl y Sokal presentan controladores por modos deslizantes de corriente

basados en las técnicas de realimentación de tensión y corriente que son sencillos de implementar y ofrecen una regulación con respuesta transitoria cercana a la óptima pero que, como contrapartida, poseen parámetros dependientes del punto de trabajo del convertidor [22]. En 1988 DeCarlo y otros autores presentaron un compendio de las aplicaciones de SMC a los sistemas multivariables [23].

En el contexto de las fuentes de CD conmutadas, el control en modo deslizante se

ha aplicado históricamente por primera vez en la regulación de tensión DC/DC. En 1987 Sira- Ramirez presenta superficies de deslizamiento lineales sobre convertidores elementales estudiándose la existencia de régimen deslizante en el plano de fase [22]. En 1989 Sira-Ramírez describe la equivalencia existente entre el régimen deslizante y la respuesta obtenida con un control PWM en sistemas de dinámica no lineal. Para lograr este objetivo el estudio debe presuponer una frecuencia de conmutación infinita [22].

En 1992 Utkin presenta una nueva aproximación al control basado en modos

deslizantes en tiempos discretos [15]. Gao y Hung propusieron en 1993 un nuevo diseño de SMC basado en la aproximación de la ley de alcanzabilidad (Reaching Law Approah) [24, 25, 26].

En 1994 Utkin desarrolló métodos de diseño basados en modos deslizantes para el

control de robots manipuladores y móviles operados en el espacio de trabajo con

3.1 Estado del arte

39

obstáculos. La idea central del diseño del control descansa en al utilización de un sub-vector de estados como un control intermedio [25].

En 1994 Sira-Ramírez y Rios-Bolivar presentan un método de síntesis de controles

por modos deslizante para convertidores de potencia conmutados DC/DC. 1995 Nicolas, Fadel y Chéron desarrollan una ley de control de estructura variable basada en la Función de Lyapunov en un convertidor reductor con filtro de entrada [22].

En el 2001 Zhou presenta un esquema de control hibrido, combinando estrategias

del Control Predictivo basado en Modelo (MPC) [27]; este mismo año Utkin presenta una nueva aproximación en lazo cerrado para estimar la velocidad de la máquina de inducción y la constante de tiempo del rotor a partir de las mediciones del voltaje en terminales y corrientes para el control de velocidad/par, para dicho propósito, se definió un nuevo estimador de estado, el cual elimina la información del flujo de la máquina, se definió una función de Lyapunov y fue derivada para determinar la velocidad y resistencia del rotor. También Garcia Gabín y E. F. Camacho han presentado trabajos con Control Predictivo Generalizado (GPC) utilizando modos deslizantes para sistemas de fase no mínima [9].

En el 2002 Utkin inicia el control de máquinas eléctricas para cuando no es posible

medir todas las variables de estado para la implementación del controlador. Un observador basado en modos deslizantes es usado para estimar las variables de estado y así usarlas en la ley de control.

En cuanto a desarrollos que emplean representaciones externas de sistemas

mediante funciones de transferencia y modelos simplificados de primer orden mas tiempo muerto (POMTM), O. Camacho y otros han presentado en el 2003 un controlador hibrido en tiempo continuo empleando el control por modelo interno (IM-SMC) [10].

El control por modos deslizantes también se ha trasladado a la utilización en el

control de procesos químicos, donde Garcia-Gabín y E. F. Camacho han presentado en el 2005 un control predictivo por modos deslizantes aplicado a procesos químicos con retardos de tiempos [27].

Otras publicaciones sobre desarrollos para sistemas no lineales son las de Sira-

Ramírez y Young y Rao con incertidumbres y retardos [10]. De igual manera se desarrollaron observadores basados en modos deslizantes [28], así como diseños mediante redes neuronales y sistemas difusos utilizando modos deslizantes [10]. En los últimos años se han sintetizado controladores para seguimiento de trayectoria de barcos y vehículos.

El campo de aplicaciones del control por modos deslizantes está aumentando,

investigadores están trabajando para demostrar la eficacia de este control en los sistemas eléctricos y mecánicos. Algunos de los campos principales de investigación en el asunto se muestran en la fiigura 3.1.


40

Figura 3.1. Aplicaciones del Control por Modos Deslizantes

3.2 Introducción a los modos deslizantes

El termino modo deslizante aparece primero en el contexto de sistemas relevadores. El control puede aparecer como una función de conmutación a alta frecuencia de los estados del sistema; esto es llamado modo deslizante. Puede ser aplicado en el más simple sistema relevador de primer orden con el estado variable ( )x t .

( )x f x u= + (3.1)

Con la función ( )f x acotada, ( ) 0f x f< = constante y el control como una función

relevadora del error de seguimiento ( )e r t x= − véase figura 3.2; donde ( )r t es la entrada

de referencia y u está dada por

( )0

0 00

0constante

0

u si eu o u u sign e u

u si e

>= = =

− >

(3.2)

SSMMCC

Accionadores de Motores (Cucej 95), (Wang 00), (Rong 01), (Chen 01), (Vaez 02) y (Barambones 03)

Aplicaciones en Robotica (Chao 94), (Istefanopus 02) y (Sanchez 03)

Rectificadores AC/CD (Marino 95), (Lopez 00), (Tsang 02)

Aplicaciones en vehículos aeroespaciales y de motor (Sira-Ramirez 94), (Terui 98), (Jafarov 02), (Hess 02), (Kawasaki 02)

Reactores Nucleares (Shtessel 98) y (Huang 04)

Accionadores de disco duro (Zhou 01)

Procesos químicos (Camacho 95, 05)

Soldadura con arco (Drakunov 96)

Sistemas de energía Eolica (De Battista 00)

3.3. Modos Deslizantes en Sistemas Relevadores y de Estructura Variable

41

41

Figura 3.2. Control relevador

Los valores de e y ( ) ( )0de e r f x u sign edt = = − − tienen diferentes signos si

0 0u f r> + . Esto significa que la magnitud del error de seguimiento decrece a una taza

finita y el error es igual a cero después de un intervalo de tiempo finito T. El argumento de la función de control e, es igual a cero.

Para cualquier implementación en la vida real, debido a las imperfecciones en los

dispositivos de conmutación se debe obtener la media de los interruptores de control a alta frecuencia o tomar valores intermedios para aproximaciones continuas de la función de conmutación. Formalmente, el modo deslizante puede aparecer no solo en sistemas de control discontinuos sino en cualquier sistema dinámico con discontinuidades en la ecuación dinámica.

3.3 Modos deslizantes en sistemas relevadores y de estructura variable

Un ejemplo convencional para demostrar el modo deslizante en términos del método espacio estado es un sistema relevador invariante en el tiempo de segundo orden como se muestra en 3.3. ( )

( )2 1

,

x a x a x u f t

u Msign s s x cx

+ + = +

= = +

(3.3)

Donde M, a1, a2, c son parámetros constantes y ( )f t es un disturbio acotado.

El comportamiento del sistema puede ser analizado en el plano de estados ( ,x x ). El

plano de estado se muestra en la figura 3.3 para 2 1 0a a= = . La ley de control u

experimenta discontinuidades en la superficie de conmutación S = 0 y las trayectoria de los estados son constituidas por dos familias; la primera familia corresponde para S > 0 y u = -M (semiplano superior); y la segunda familia corresponde a S < 0 y u = M (semiplano inferior).

0u−

0uu

ee


42

Figura 3.3. Plano de estados del sistema relevador de segundo orden

Dentro del sector m-n en la superficie de conmutación la trayectoria de los estados

son orientadas hacia la superficie. Habiendo alcanzado el sector en algún tiempo t1, el estado queda confinado a la superficie deslizante. Esto significa que la trayectoria de los estados permanecerá en la superficie de conmutación para t > t1. La dinámica de la trayectoria de los estados del sistema en la superficie de conmutación es llamada modo deslizante. Cuando se está en el modo deslizante, la trayectoria de los estados coincide con la superficie de conmutación S=0, esta ecuación puede ser interpretada como: 0x cx+ = (3.4)

Es importante que la solución del sistema ( ) ( ) ( )1

1c t tx t x t e− −

= no dependa de los

parámetros de la planta ni de las perturbaciones. A esto se le conoce como propiedad de invariancia, la cual se ve prometedora para el diseño de controladores retroalimentados para plantas dinámicas que operan bajo condiciones inciertas.

En la implementación real, las trayectorias son confinadas a alguna vecindad de la

superficie deslizante. La desviación del modelo ideal puede ser causada por imperfecciones en los dispositivos de conmutación tales como pequeños retardos, zona muerta e histéresis, las cuales pueden provocar oscilaciones a alta frecuencia como se muestra en la figura 3.4. Este fenómeno también puede aparecer debido a pequeñas constantes de tiempo de sensores y actuadores que no fueron tomadas en cuenta en el modelo ideal. Este fenómeno es comúnmente llamado chattering, esto ha sido un obstáculo para el uso de los modos deslizantes en sistemas de control.

Figura 3.4. Problema del chattering


43

Las trayectorias de los estados son confinadas a la misma vecindad de la superficie deslizante para aproximaciones continuas de una función relevadora discontinua como se muestra en la figura 3.5. En una vecindad δ de la superficie S=0, el control es una función de estado lineal con una alta ganancia k y los valores propios de el sistema lineal están cerca de –k y –c. Esto significa que la dinámica en la vecindad consiste de la componente rápida decayendo rápidamente y de la componente lenta coincidiendo con la solución de la ecuación del modo deslizante ideal (3.4).

Figura 3.5. Aproximación continúa de un control discontinuo Los modos deslizantes llegan a ser un modo operacional principal en sistemas de

estructura variable o sistemas constituidos de un juego de subsistemas continuos con interruptores lógicos propios.

Por ejemplo, un sistema de segundo orden

( )0x ax u a− = >

( )

( )0, 0

u k x sign s

s cx x k c

= −

= + > >

Que consiste en dos estructuras lineales inestables, véase figura 3.6.

( )v k x cx= +

v M

s δ−

δ

M−


44

Figura 3.6. Sistema de estructura variable compuesto de dos subsistemas inestables

Mediante la variación de la estructura del sistema a lo largo de las superficies de

conmutación s=0 y x=0 y forzando el modo deslizante, el sistema llega ser asintoticamente estable véase figura 3.7. La superficie deslizante es alcanzada por cualquier condición inicial. Si la pendiente de la superficie de conmutación es inferior a la pendiente de la asintota de la estructura ( )0I c c< , entonces las trayectorias de los estados son orientadas

hacia la superficie y el modo deslizante puede iniciar en cualquier punto de S=0. Similar al sistema relevador, este sistema es controlado por una ecuación de primer orden 3.4 con la

solución ( ) ( ) ( )1

1c t tx t x t e− −

= . Una vez más, la solución no depende de los parámetros de la

planta ni de perturbaciones que se puedan presentar en la planta.

Figura 3.7. Plano de estado del sistema de estructura variable: 0, 0s x cx= + =

Los ejemplos de sistemas relevadores y de sistemas de estructura variable han

demostrado la reducción del orden del sistema e invariancia con respecto a las incertidumbres de las plantas de los sistemas con modos deslizantes. Usar estás propiedades es la idea central de la teoría de estructura variable, en la primera fase cuando solo sistemas de una entrada-una salida con ecuaciones de movimiento en espacio canónico fueron estudiadas por Emelyanov en 1970. Un control variable x=x1 y su derivada de tiempo x(i-1)=xi, (i=1,...,n) son componentes de un vector estático en el espacio canónico.


45

( )

( ) ( ) ( )

1

1

1, , 1i

n

n i ii

x x i n

x a t x f t b t u

+

=

= = −

= − + +∑

…

(3.5)

Donde ai(t) y bi(t) son parámetros desconocidos y f(t) es una perturbación

desconocida. El control experimenta discontinuidades en algún plano s(x)=0 en el espacio estado.

Donde u+(x, t) y u-(x,t) son funciones de estado continuas, u+ (x, t) ≠ u- (x, t), s(x)

=1

n

i iic x

=∑ , cn = 1 y c1 , . . . . , cn-1 son coeficientes constantes.

El control discontinuo fue seleccionado tal que las trayectorias de los estados estén

orientadas hacia el plano de conmutación s=0. Una vez que el modo deslizante ha iniciado, las trayectorias del sistema 3.3 están en la superficie de conmutación,

Sustituyendo en la ecuación (n-1) produce la ecuación de modo deslizante

( )

( ) ( )1

1 21 1 1

1

1 1, , 2

0

i i

nn n

n i i ni

x x i n

x c x o x c x c−

− −

− −=

= + = −

= − + + + =∑

…

…

(3.8)

La ecuación de dinámica es de orden reducido y no depende de ningún parámetro de

la planta ni de las perturbaciones. Las dinámicas deseadas del modo deslizante pueden ser asignadas mediante una elección propia de los parámetros del plano de conmutación ci.

Aunque la propiedad invariancia es muy útil, esto ha creado la ilusión de que

cualquier problema de control puede ser resuelto fácilmente mediante el forzamiento del modo deslizante en el sistema. El problema principal es que el espacio de las derivadas de estado es una idealización matemática y los diferenciadores ideales difícilmente son implementados. Como resultado, el otro extremo aparece reflejando un cierto pesimismo sobre la posibilidad de implementación de sistemas de estructura variable con modos deslizantes. Pero la negativa para usar modos deslizantes en sistemas de control probados para ser tan irrazonable como bueno.

En los procesos tecnológicos modernos es común que el control y la salida del sistema pueden ser vectores de valores y solo algunos componentes del vector son

( ) ( )( ) ( )

, 0

, 0

u x t si s xu

u x t si s x

+

−

>=

<

(3.6)

1

1

n

n i ii

x a c−

=

= −∑

(3.7)

Capítulo 3. Modos Deslizantes.

46

accesibles para medir. El espacio canónico aproximado no muestra como puede ser diseñado el control en tales situaciones. La segunda fase de los estudios del sistema de estructura variable esta dedicada al desarrollo de métodos de diseño para sistemas con ecuaciones de movimiento en un espacio-estado arbitrario con vector de acción de control y variables del vector para ser controlado dado por Utkin en 1983.

3.4 Descripción del modo deslizante

Considérese el sistema no lineal afín en el control

( ) ( )x f x g x u= + (3.9)

Donde nx X∈ ⊂ es el vector de estados, : nu → es la acción de control y f y

g son campos vectoriales locales suaves definidos en X, con ( ) 0,g x x X≠ ∀ ∈ .

Si se define σ como una función suave : Xσ → , cuyo gradiente S∇ es no nulo en X, entonces el conjunto [15, 28, 36]:

( ) : 0S x X xσ= ∈ = (3.10)

Define un subespacio regular en X de dimensión n-1, llamado subespacio de

deslizamiento o superficie de conmutación.

Se puede plantear una ley de control de estructura variable imponiendo que la acción de control u tome un valor de entre dos valores posibles, dependiendo del signo de

( )xσ [28, 36]:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0

0

u x si xu x u x u x

u x si x

σ

σ

+

+ −

−

>= ≠

<

(3.11)

Los valores superiores e inferiores de u (u+(x) y u-(x) respectivamente) son

funciones suaves de x y, sin pérdida de generalidad, se puede aceptar que satisfacen

( ) ( )u x u x+ −> localmente en X. Si u(x)+ > u(x)- para algún x, lo será siempre porque son

funciones suaves y nunca se igualan. Supóngase que como resultado de la ley de control 3.11, la función de conmutación

cumple con las siguientes desigualdades localmente en el entorno de S [7]:

( ) 0 0x siσ σ< >

( ) 0 0x siσ σ> < (3.12.a) (3.12.b)

El sistema alcanza el subespacio de deslizamiento S y de ahí en adelante queda

confinado en el entorno de S. Se dice entonces que existe un régimen deslizante sobre S.

3.5. Superficie Deslizante

47

Empleando la derivada de Lie, ( ) f gu f gx L L L uσ σ σ σ+= = + , las desigualdades 3.12.a y

3.12.b se puede escribirse como:

0

lim 0f guL uσ

+→+

+ <

0lim 0f guL u

σ+

→−− >

(3.13.a) (3.13.b)

Las desigualdades 3.13.a y 3.13.b implican que la variación de la función escalar

( )xσ , siempre se opone al signo de ( )xσ , garantizando el cruce de S a ambos lados de la

superficie. Debido a las propiedades de linealidad de la derivada de Lie, la ecuación 3.12 se puede expresar de manera equivalente como:

( )0 0

0 0f g

f g

L L u six

L L u si

σ σ σσ

σ σ σ

+

−

+ < >=

+ > < (3.14)

3.5 Superficie deslizante

El propósito de la conmutación de la ley de control es llevar las trayectorias de los estados del sistema a una superficie predefinida en el espacio de estados y mantener a los estados en dicha superficie; está superficie es llamada superficie de conmutación o superficie de deslizamiento. Cuando las trayectorias de los estados del sistema se encuentran sobre la superficie deslizante la ley de control va tener una ganancia y cuando las trayectorias de los estados del sistema se encuentren debajo de la superficie de conmutación la ley de control va tener otra ganancia, por lo que la superficie de conmutación va a definir la regla para la correcta conmutación de la ganancia de control.

Idealmente una vez que los estados del sistema alcancen la superficie deslizante, la

ley de control mantiene a las trayectorias de los estados del sistema en la superficie deslizante el tiempo subsiguiente, por lo que las trayectorias de los estados se deslizarán a lo largo de la superficie.

La superficie de deslizamiento S es la que determina la dinámica del sistema en

modo deslizante, por lo cual, se ha de diseñar de acuerdo con el comportamiento deseado. Con el objeto de simplificar el diseño de la superficie de deslizamiento, puede llevarse el sistema a su realización canónica regular.

La tarea más importante del diseño del control conmutado es que los estados del sistema alcancen la superficie y se mantengan en ella. Esta tarea se puede lograr utilizado el método de Lyapunov que es equivalente a las desigualdades 3.13.

El método de Lyapunov normalmente usa determinadas propiedades de un punto de

equilibrio sin resolver la ecuación de estado. Definimos la función candidata de Lyapunov V(x) como una función escalar continuamente diferenciable definida en un dominio S que contiene al origen [15,36].


48

Una función V(x) se dice que es definida positiva si V(0)=0 y V(x)>0 para todo x y se dice que definida negativa si V(0)=0 y V(x)<0 para todo x. El método de Lyapunov se usa para asegurar que la función sea definida positiva cuando la superficie sea negativa y la función es definida negativa si la superficie es positiva.

Una función de Lyapunov caracteriza la dinámica de las trayectorias de los estados

hacia la superficie deslizante, por lo que la función de Lyapunov es definida en términos de la superficie de deslizamiento [2, 15].

( )1

02

TV x s s= >

(3.15)

Para cada estructura del control se escoge una ganancia tal que la derivada de está

función de Lyapunov se definida negativa (3.16). Después de diseñar correctamente la superficie deslizante, la conmutación del controlador se hace para que el vector tangente de las trayectorias de los estados se dirija a la superficie de deslizamiento. Tales controladores resultan en sistemas de lazo cerrado discontinuos.

( ) 0V x ss= < (3.16)

3.6 Método de control equivalente

Una forma de definir un modo deslizante ideal, es recurriendo al método de control equivalente. En este método, el control equivalente se describe empleando las condiciones de invariancia del subespacio S:

( )

( )0

0f g eq

x

x L L u

σ

σ σ σ

=

= + = (3.17)

Donde ueq(x) es una ley de control suave para la cual S es un subespacio invariante

local del sistema 3.9. La función de control equivalente ueq(x) puede ser despejada a partir de la ecuación 3.17, quedando:

( ) f

g

eq

Lu x

L

σ

σ= − (3.18)

3.6.1 Dinámica del modo deslizante ideal

Reemplazando u por ueq en el sistema 3.9, se obtiene el sistema:

( ) ( ) ( ) ( )f

g

eq

Lx f x g x u f x g x

L

σ

σ= + = −

(3.19)

Sustituyendo la derivada de Lie y operando en 3.19, se obtiene:

3.6.1 Dinámica del modo deslizante ideal

49

( ) ( ) ( )1

x I g g f x F x f xx x

σ σ− ∂ ∂

= − = ∂ ∂

(3.20)

que describe la dinámica deslizante ideal.

Por definición, ueq es la acción que hace que los estados del sistema evolucionen sobre la superficie de deslizamiento S, según esto, eqF f F gu⋅ = + será tangente a S, es

decir normal al gradiente de S S⋅∇ . Matemáticamente esto se expresa como:

( ) ( ) ( )kerF x f x Sδ∈ (3.21)

Por lo que, se puede considerar a F(x) como un operador de proyección que se

aplica al vector f(x) y lo proyecta sobre el plano tangente a la superficie S en el punto x. Por otro lado, considérese un vector V colineal con g (V ∈ span(g)) de amplitud

arbitraria posiblemente función de x.

( ) ( ) : nV g x con xµ µ= → (3.22)

La aplicación a este vector del operador F proyecta a V sobre el origen. En efecto,

( ) ( ) ( ) ( )1

0F x V x I g g g x xx x

σ σµ

− ∂ ∂ = − =

∂ ∂ (3.23)

El hecho que la expresión 3.23 se anule, se puede interpretar como el vector F(x)

proyecta cualquier vector en la dirección de g(x). Por lo tanto, F(x) proyecta cualquier vector sobre el subespacio tangente de S en el punto x a lo largo del span (g). En la figura 3.8 se aprecia este hecho, se observa que F g⋅ es la proyección de f sobre S en la dirección de g. Y que, por lo tanto, el valor de ueq es tal que F g⋅ es tangente a S.

Figura 3.8. Dinámica del modo deslizante ideal. Interpretación geométrica del operador F.

g

S∇

f gu−+gu−

f*eq

gu

*eqF f f gu⋅ = +

f gu++

S

gu+


50

3.6.2 Existencia del control equivalente

Se dice que el control equivalente está bien definido si ueq existe y queda unívocamente determinado a partir de las condiciones de invariancia dada a partir de la expresión 3.17.

Lema 1

Es condición necesaria y suficiente para que el control equivalente esté bien definido, que la condición de transversalidad:

0gL gx

σσ

∂= ≠

∂ (3.24)

se satisfaga localmente en S. Geométricamente, este lema establece que el vector campo g no puede ser

tangencial al subespacio de deslizamiento ( ): kerS g Sδ∉ .

3.6.2.1 Condición necesaria para la existencia del modo deslizante

En base a la condición de de transversalidad se puede establecer una condición

necesaria para la existencia de un régimen deslizante.

Lema 2

Una condición necesaria para la existencia de modo deslizante local en S, es que la acción de control equivalente ueq(x) esté bien definido.

En efecto, si ueq(x) no está bien definido, es decir si 0gL σ = , las condiciones de

existencia del modo deslizante 3.16 no pueden satisfacerse simultáneamente.

Lema 3

Suponiendo, sin pérdida de generalidad que ( ) ( )u x u x+ −> , es condición necesaria

para la existencia de un régimen deslizante sobre S que

0gL gx

σσ

∂= <

∂ (3.25)

en S.

Nótese que el signo de la condición de transversalidad es dependiente de la orientación de S.

3.6.2.2 Condición necesaria y suficiente para la existencia de un régimen deslizante

51

3.6.2.2 Condición necesaria y suficiente para la existencia de un régimen deslizante

Una condición necesaria y suficiente para la existencia local de modo deslizante en S, es que para x∈ S, se cumpla:

( ) ( ) ( )equ x u x u x− − +< < (3.26)

Entonces el control equivalente ueq(x) se puede, interpretar como una acción de control promedio entre las acciones de control máxima y mínima del sistema.

3.7 Perturbaciones en el sistema de modos deslizantes

Supóngase que al sistema de la ecuación 3.9, se incluyen perturbaciones tales que:

( ) ( )x f x g x u d= + + (3.27)

donde nd ∈ es un vector de perturbaciones que pueden ser paramétricas o

perturbaciones no estructuradas externas. En caso más general, el vector de perturbaciones puede ser descompuesto unívocamente en dos vectores:

( ) ( ) ( )d g x x xµ η= + (3.28)

donde ( ) : nxµ → es una función escalar suave y por tanto la componente

g(x)µ(x) es colineal a g(x); y la componente η(x) es un vector perteneciente al subespacio tangente a la superficie S. Esta descomposición se puede llevar a cabo en el caso más general, ya que g(x) no pertenece al subespacio tangente a la superficie, de acuerdo con la condición de transversalidad de modo deslizante dada por 3.24.

3.7.1 Robustez del régimen deslizante

Planteando el control equivalente a partir de las condiciones de invariancia de

( ) ( )( )0, 0S x xσ σ= = , resulta:

( ) 0f g eq d f g eq gx L L u L L L u L µ ησ σ σ σ σ σ σ+= + + = + + = (3.29)

Aplicando las propiedades de la derivada direccional a la expresión 3.29:

( ) 0f g eq gx L L u L Lησ σ σ σ σµ= + + + = (3.30)

Como η por definición es tangente a la superficie S, 0Lησ = , es decir, la

componente η de la perturbación no va afectar a la existencia del modo deslizante, y por lo tanto, la acción de control equivalente quedará como:


52

( ) f f

g g

g

eq

L Lu x

L L

µσ σµ

σ σ

+= − = − (3.31)

Llamando *

equ a la acción de control equivalente del sistema sin perturbación, se

puede escribir la ecuación 3.31 en función *equ como:

( ) *eq equ x u µ= − (3.32)

A partir de la acción de control equivalente y según la ecuación 3.26, la condición

necesaria y suficiente para la existencia del modo deslizante queda como:

*equ u uµ− +< − < (3.33)

*equ u uµ µ− +− < < + (3.34)

Como conclusión, se puede afirmar que la componente de la perturbación µg afecta

directamente a la existencia del modo deslizante. 3.7.2 Robustez de la dinámica de modo deslizante

Para poder estudiar los efectos de la perturbación en la dinámica del sistema en el

modo deslizante, se sustituye la acción de control equivalente en la ecuación de estado del sistema perturbado 3.27:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )eqx f x g x u x g x x xµ η= + + + (3.35)

Aplicando el resultado de la ecuación (22):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )eqx f x g x u x x g x x xµ µ η= + − + + (3.36)

Desarrollando se tiene

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )eqx f x g x u x x

F x f x x

η

η

= + +

= +

Propiedad de invariancia fuerte del modo deslizante

Se dice que el modo deslizante presenta una propiedad de invariancia fuerte a la

perturbación d, siempre que la dinámica deslizante ideal sea independiente de la perturbación. Esto se cumple en los casos en que la perturbación es de la forma:

( ) ( )d g x xµ= (3.37)

3.7.2. Robustez de la Dinámica de Modo Deslizantes

53

Es decir, la perturbación sólo presenta componente colineal a g(x). Está condición se reconoce como condición vinculante.

Propiedad de invariancia débil del modo deslizante

Se dice que el modo deslizante presenta una propiedad de invariancia débil a la perturbación d, cuando no cumple la condición vinculante 3.37.

En resumen se observa que:

NO afecta la dinámica del modo deslizante

SI afecta a la existencia del modo deslizante

SI afecta la dinámica del modo deslizante

NO afecta a la existencia del modo deslizante

gµ

η

Interpretación geométrica del efecto de la perturbación

En la figura 3.9 se muestra el sistema afectado por una perturbación η tangente a la

superficie S. Se observa que el valor de ueq no varía respecto de aquel obtenido sin perturbación, con lo que la condición de existencia no varía. Sin embargo la dinámica del modo deslizante sí se ve afectada (vector ( )F f η⋅ + diferente de F f⋅ ).

Figura 3.9. Interpretación geométrica del efecto de una perturbación tangente a S sobre la dinámica en modo

deslizante.

En la figura 3.10 se muestra el sistema afectado por una perturbación d colineal al vector g, y se aprecia el efecto sobre el valor de ueq, lo cual modifica la condición de existencia respecto del sistema no perturbado. Sin embargo, el valor de la proyección

( )F f d⋅ + coincide con la de F f⋅ , lo que indica la invariancia de la dinámica del

régimen deslizante.

g

S∇f guη −+ + gu−

f

eqgu*eq

f gu+

f g u −+

S

gu+

η

η

gu−

eqgu

f g uη ++ +

gu+

f gu++

eqf guη+ +


54

Figura 3.10. Interpretación geométrica del efecto de una perturbación colineal a g sobre la existencia del

modo deslizante.

S∇

S∇f d gu−+ +

f *eqgu

*eqf gu+

f g u −+

S

gu+

eqgu

f d g u ++ +

f gu++d

gu−

gu−

gu+

eqf d gu+ +

55

Capítulo 4

Diseños de los controladores

En este capítulo se presenta el diseño de los controladores por modos deslizantes de velocidad y posición de los diferentes tipos de motores de CD que se estudiaron en el capítulo 2. Para garantizar la existencia del modo deslizante se utilizan las condiciones de invariancia y la función candidata de Lyapunov, de manera que si se satisfacen estás condiciones se puede garantizar la existencia del modo deslizante.

Se presenta el diseño de un controlador PID con el fin de comparar los desempeños

de ambos controladores.

4.1 Algoritmo para el diseño de los controladores Superficies deslizantes

Considere un sistema dinámico de la forma, [2, 25, 37]

( ) ( ) ( )nx f b u= +x x (4.1)

donde el escalar x es la salida de interés, el escalar u es la entrada de control y

( )1 Tnx x x − = x … es el vector de estados. En la ecuación (4.1) la función f(x) es conocida

con exactitud, pero la magnitud de la imprecisión en f(x) es acotada superiormente por una función continua conocida de x; de manera similar la ganancia de control b(x) se desconoce con exactitud. El problema de control radica en hacer que el estado x siga un estado variante en el

tiempo ( )1 Tn

d d d dx x x − = x … [2, 37] en presencia de las imprecisiones del modelo en f(x) y

b(x). Para que la tarea de seguimiento se logre se debe usar una u de control finita [37], el estado inicial deseado ( )0dx debe ser tal que;

( ) ( )0 0d =x x (4.2)

Capítulo 4. Diseño de los Controladores

56

Una simplificación notacional

Definiendo dx x x= − como el error de seguimiento en la variable x, y haciendo, [2,

37, 38]

( 1) Tnx x x − = dx = x - x … (4.3)

el vector de error de seguimiento. Además definimos una superficie variante en el

tiempo ( )S t en el espacio de estados ( )R n mediante la ecuación escalar ( ), 0s t =x [2, 37,

39], donde

( )1

,n

ds t c x

dt

−

= +

x (4.4)

Donde c es una constante estrictamente positiva. Por ejemplo si n=2, s x cx= +

Ley de control

La ley de control la podemos expresar como [7, 38, 40]

( )

( )( ) ( )0

0

0

0

u si S xu u x u x

u si S x

+

+ −

−

>= ≠

<

o

( )( )0 signu u S x=

(4.5)

El valor de x y de ( ) ( )( )0 signdx x f u S x= − −x tienen diferentes signos si

0 0u f x> + , esto significa que la magnitud del error de seguimiento decae a una velocidad

finita y el error es igual a cero después de un intervalo de tiempo finito T véase figura 4.1 [38].

Figura 4.1. Control de seguimiento modo deslizante

4.2. Control por Modos Deslizantes del Motor de Excitación Separada

57

La ley de control u experimenta discontinuidades en la línea de conmutación s=0 y las trayectorias de los estados son constituidas por dos familias: la primera familia corresponde a t > 0 y u = -u0 (semiplano superior); la segunda familia corresponde a s < 0 y u = u0 (semiplano inferior).

Existencia del control

Se dice que el control está bien definido si u existe y queda unívocamente

determinado a partir de las condiciones de invariancia dada por la ecuación 4.6, [7, 38].

( )( )

0

0

S x

S x

=

=

(4.6)

La condición para que el control por modos deslizantes exista en la superficie

deslizante s = 0 está dada por la ecuación:

Lo cual es equivalente a tener la condición dada por la derivada de la función

candidata de Lyapunov [38,39]

1

02

TV S S= > (4.8)

( ) ( ) 0V s x s x= < (4.9)

Por lo cual la condición que se debe cumplir para que el modo deslizante exista en

la vecindad de ( ) 0iS x = , cuando todas las trayectorias converjan a la superficie de

conmutación [2, 38, 39].

4.2 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD de Excitación Separada

El modelo de la máquina de CD de excitación separada se obtiene a partir del equivalente eléctrico de la figura 2.6 y de las ecuaciones 2.12 y su desarrollo se presenta en el anexo A.1.

( )1ff f f

FF

diR i v

dt L= − +

0 0

lim 0 lim 0i i

i iS S

S y S+ −→ →

< > (4.7)


58

( )1aa a AF f r a

AA

dir i L i v

dt Lω= − − +

( )1rm r AF f a L

dB L i i T

dt J

ωω= − + −

4.2.1 Control de velocidad

Se define el error de seguimiento de velocidad como *

r re ω ω= − , donde *rω es la

velocidad de referencia.

La ecuación dinámica en términos del error se definen como 1x e= y 2x e= .

Entonces la ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados 1x y 2x está

dada por la ecuación 4.10, el desarrollo de este sistema se presenta en B.1.

( )1 2

2 1 1 2 2 a

x x

x a x a x f t bv

=

= − − + −

(4.10)

donde 2 2

1AF fa m

AA AA

L ir Ba

JL JL

= +

, 2a m

AA

r Ba

L J

= +

, AF f

AA

L ib

JL= , av es el voltaje de

armadura y la perturbación está dada por ( ) * * *2 1

a LL

AA

r Tf t a a T

JL Jω ω ω= + + + +

, que

depende de la velocidad deseada, las perturbaciones del par de carga y la corriente de campo.

Como el sistema 4.10 es de segundo orden la superficie de conmutación es diseñada

a partir de la ecuación 4.4 y queda:

1 2S cx x= + (4.11)

Con c siendo una constante positiva. La ley de control es definida como:

( )0 su u ign S= (4.12)

donde 0u es el voltaje de línea. De acuerdo a está ecuación el error de seguimiento

de velocidad 1x decae exponencialmente después de que ocurre el modo deslizante en la

superficie 0S = , i.e

1 2 0S cx x= + = (4.13)

donde la constante c determina la velocidad de convergencia.

4.2.2. Control de Posición

59

La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t) por lo que el sistema es insensible al cambio en los parámetros eléctricos y mecánicos de la máquina.

La ganancia de control 0u debe ser seleccionada tal que la derivada de la función

candidata de Lyapunov 0SS < se satisfaga, para que el modo deslizante exista. Por lo que

0u debe cumplir con la condición 4.14;

( )0 2 1 1 2 2

1u cx a x a x f t

b> − − +

(4.14)

donde 0 au v=

Después de un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema alcanzará el la

superficie deslizante 4.13. Después de esto, la respuesta del sistema solo depende del parámetro de diseño c, el valor de este parámetro debe ser positivo y para la simulación se tomó el valor de 15, ya que con dicho valor presentó un buen desempeño dinámico.

4.2.2 Control de posición

Agregamos al modelo del motor de CD de excitación separada la variable de estado posición por lo que se tiene:

r

r

d

dt

θω=

Se define el error de seguimiento de posición como *

r re θ θ= − , donde *rθ es la

posición de referencia. Las variables de estado quedan definidas como 1x e= , 2x e= y

3x e= . La ecuación del motor de CD de excitación separada con respecto a los estados 1x ,

2x y 3x está dada por 4.15 su desarrollo se presenta en B.1.

( )

1 2

2 3

3 1 2 2 3 a

x x

x x

x a x a x f t bv

=

=

= − − + −

(4.15)

donde 2 2

1AF fa m

AA AA

L ir Ba

JL JL

= +

, 2a m

AA

r Ba

L J

= +

, AF f

AA

L ib


armadura y la perturbación es ( ) * * *2 1

a LL

AA

r Tf t a a T

JL Jθ θ θ= + + + +

, la función de la

perturbación depende de la posición deseada, las perturbaciones del par de carga y la corriente de campo.


60

El sistema 4.15 es de tercer orden, entonces la función de conmutación es diseñada a partir de la ecuación 4.4,

1 1 2 1 1S c x c x x= + + (4.16)

Con 1c y 2c siendo constantes positivas. La ley de control es definida como:

( )0 su u ign S= (4.17)

donde 0u es el voltaje de línea.

De acuerdo a la ecuación (4.17), cuando se alcanza el modo deslizante en la

superficie 0S = (4.6), el error de seguimiento de posición 1x decae exponencialmente.

1 1 2 2 3 0S c x c x x= + + = (6.18)

Las constantes 1c y 2c determinan la velocidad de convergencia y la dinámica del

sistema. Una vez que el sistema alcance el modo de deslizamiento, la dinámica del sistema es independiente de los parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t).

Para garantizar que el modo deslizante exista se debe seleccionar la ganancia de

control 0u de tal manera que la derivada de la función candidata de Lyapunov 0SS < se

cumpla, por lo que 0u debe satisfacer la siguiente condición.

( )0 1 2 2 3 1 2 2 3

1u c x c x a x a x f t

b> + − − +

(6.19)

donde 0 au v=

Pasando un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema alcanzara la superficie

deslizante 4.18. Una vez ocurrido esto, la respuesta del sistema solo depende de los parámetros de diseño 1c y 2c . La ganancia de control 1c es seleccionada como 1 30c = y la

ganancia 2c es seleccionada como 2 10c = ; ambas ganancias deben de ser positivas y se

escogieron los valores con los que se obtuvo el mejor desempeño dinámico en la simulación del sistema.

4.3 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD de Imán Permanente

El modelo del motor de CD de imanes permanentes se obtuvo en el capitulo 2 en la sección 2.4.2 a partir de estas se obtienen las siguientes ecuaciones, para ver el desarrollo de las ecuaciones refiérase al anexo A.2.

4.3. Control por Modos Deslizantes del Motor de Imán Permanente

61

( )

1aa a a r v

AA

div i R k

dt Lω= − −

( )1r

m r v a L

dB k i T

dt J

ωω= − + −

4.3.1 Control de velocidad Se define el error de seguimiento de velocidad como *



Ahora se definen las variables de estados como: 1x e= y 2x e= . La dinámica del

motor de CD de imanes permanentes con respecto a los estados 1x y 2x está dada por el

sistema 4.20, y su desarrollo se muestra en B.2.

( )1 2

2 1 1 2 2 a

x x

x a x a x f t bv

=

= − − + −

(4.20)

donde 2

1a m v

AA AA

r B ka

JL JL

= +

, 2a m

AA

r Ba

L J

= +

, v

AA

kb



a LL

AA

r Tf t a a T

JL Jω ω ω= + + + +

, que

depende de la velocidad deseada y las perturbaciones del par de carga.

El sistema 4.20 es de segundo orden, por lo que la función de conmutación es diseñada a partir de 4.4 y se tiene

1 1S cx x= + (4.21)

donde c debe de ser una constante positiva.

La ley de control es definida como:

( )0 su u ign S= (4.22)


De acuerdo a la ecuación 4.22 una vez que los estados alcancen el modo deslizante

en la superficie 0S = dada por la condición de invariancia 4.6, el error de seguimiento de velocidad 1x decae exponencialmente,

1 2 0S cx x= + = (4.23)



62

La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t). La ganancia de control 0u debe ser seleccionada

tal que la derivada de la función candidata de Lyapunov 0SS < se satisfaga, para que el modo deslizante exista, por lo que 0u debe satisfacer la siguiente condición.

( )0 2 1 1 2 2

1u cx a x a x f t

b> − − +

(4.24)

donde 0 au v=

El control llevará a los estados sistema en un intervalo de tiempo finito a la

superficie deslizante 4.23. Después de esto, la respuesta del sistema solo depende del parámetro de diseño c. La ganancia de control c es seleccionada como c = 250 y este valor se escogió debido a que fue con el que mejor desempeño presentó durante la simulación.


Para realizar el control de posición agregamos al modelo del motor de CD de imanes permanentes la variable de estado posición r

r

d

dt

θω=



posición de referencia.

Asignamos las variables de estado de la siguiente de la siguiente manera: 1x e= ,

2x e= y 3x e= ; por lo que la ecuación dinámica del motor de CD de imán permanente con

respecto a los estados 1x , 2x y 3x estará dada por 4.25 y su desarrollo se muestra en B.2.

( )

1 2

2 3

3 1 2 2 3 a

x x

x x

x a x a x f t bv

=

=

= − − + −

(4.25)

donde 2

1a m v

AA AA

r B ka

JL JL

= +

, 2a m

AA

r Ba

L J

= +

, v

AA

kb



a LL

AA

r Tf t a a T

JL Jθ θ θ= + + + +

que

depende de la posición deseada, las perturbaciones del par de carga.

4.4. Control por Modos Deslizantes del Motor de CD en Derivación

63

La superficie de conmutación es diseñada a partir de la ecuación 4.4, para el sistema de tercer orden 4.25, por lo que se tiene

1 1 2 1 1S c x c x x= + + (6.26)

Con 1c y 2c siendo constantes positivas.

Entonces, la ley de control es definida como:

( )0 su u ign S= (4.27)


La ecuación 4.27 nos dice que el error de seguimiento de posición 1x decae

exponencialmente después de que se alcanza el modo deslizante en la superficie 0S = (4.6),

1 1 2 2 3 0S c x c x x= + + = (4.28)


sistema. La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t).

Para garantizar que el modo deslizante exista, la ganancia de control 0u debe ser

seleccionada tal que la derivada de la función candidata de Lyapunov 0SS < se cumpla, por lo que 0u debe satisfacer la siguiente condición.

( )0 1 2 2 3 1 2 2 3


b> + − − +

(4.29)

donde 0 au v=

El estado del sistema alcanzará la superficie deslizante dada por la ecuación 4.28,

después de un tiempo finito. Una vez ocurrido lo anterior la respuesta del sistema solo depende de los parámetros de diseño 1c y 2c . La ganancia de control 1c es seleccionada

como 1 3000c = y la ganancia 2c es seleccionada como 2 100c = , las constantes deben de

ser positivas y los valores que se eligieron son con los que el sistema presenta un mejor desempeño

4.4 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD en Derivación

El modelo de la máquina de CD en derivación se obtuvo en el capítulo dos en la

sección 2.4.3, el desarrollo de estas ecuaciones se presenta en el anexo A.3.


64

( )1f

f f fFF

diR i v

dt L= − +

( )1aa a AF f r a

AA

dir i L i v

dt Lω= − − +

( )1rm r AF f a L

dB L i i T

dt J

ωω= − + −


Se define el error de seguimiento de velocidad como *



Las variables de estado las definimos como 1x e= y 2x e= . Entonces la ecuación

dinámica del motor de CD con respecto a los estados 1x y 2x está dada por 4.30, el

desarrollo de este sistema se presenta en el anexo B.3.

( )1 2

2 1 1 2 2 a

x x

x a x a x f t bv

=

= − − + −

(4.30)

donde 2 2

1AF fa m

AA AA

L ir Ba

JL JL

= +

, 2a m

AA

r Ba

L J

= +

, AF f

AA

L ib



a LL

AA

r Tf t a a T

JL Jω ω ω= + + + +

que

depende de la velocidad deseada, las perturbaciones del par de carga y la corriente de campo. Como el sistema 4.30 es de segundo orden la superficie de conmutación es diseñada a partir 4.4:

1 2S cx x= + (4.31)

donde c es una constante positiva. La ley de control es definida como:

( )0 su u ign S= (4.32)


La ecuación 4.32 nos indica que el error de seguimiento de velocidad 1x decae

exponencialmente después de que ocurre el modo deslizante en la superficie 0S = (4.6),

1 2 0S cx x= + = (4.33)



65

La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t) por lo que el sistema es insensible al cambio en los parámetros eléctricos y mecánicos de la máquina.


candidata de Lyapunov 0SS < se satisfaga esto para garantizar que el modo deslizante exista.

Por lo que 0u debe cumplir con la condición 4.34

( )0 2 1 1 2 2

1u cx a x a x f t

b> − − +

(4.34)

donde 0 au v=

El sistema alcanzará la superficie deslizante impuesta por 4.33 después de un

intervalo de tiempo finito, después de esto la respuesta del sistema solo depende del parámetro de diseño c. La ganancia de control c es seleccionada como c = 100 dicho valor debe ser positivo y el valor que se escogió fue el que presentó mejor desempeño en la simulación


Para diseñar el control de posición agregamos al modelo del motor de CD en derivación la variable de estado posición como se muestra a continuación:

r

r

d

dt

θω=



posición de referencia. Las variables de estado se definen como 1x e= , 2x e= y 3x e= . Por lo que la

dinámica del motor de CD en derivación con respecto a los estados 1x , 2x y 3x queda dada

por el sistema 4.35 y su desarrollo se presenta en el anexo B.3.

( )

1 2

2 3

3 1 2 2 3 a

x x

x x

x a x a x f t bv

=

=

= − − + −

(4.35)


66

donde 2 2

1AF fa m

AA AA

L ir Ba

JL JL

= +

, 2a m

AA

r Ba

L J

= +

, AF f

AA

L ib


armadura y la perturbación es ( ) * * *2 1

a LL

AA

r Tf t a a T

JL Jθ θ θ= + + + +

que depende de la

posición deseada, las perturbaciones del par de carga y la corriente de campo. Como el sistema 4.35 es de tercer orden la función de conmutación es diseñada a

partir de la ecuación 4.4 resultando:

1 1 2 1 1S c x c x x= + + (4.36)



( )0 su u ign S= (4.37)


De acuerdo a la ecuación 4.37 cuando se alcanza el modo deslizante en la superficie

0S = (4.6), el error de seguimiento de posición 1x decae exponencialmente.

1 1 2 2 3 0S c x c x x= + + = (4.38)


sistema. Una vez que el sistema alcance el modo de deslizamiento, la dinámica del sistema es independiente de los parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t), por lo que el controlador es robusto ante cambios en los parámetros de la máquina.

Para garantizar que el modo deslizante exista se debe seleccionar la ganancia de control 0u de tal manera que la derivada de la función candidata de Lyapunov 0SS < se

satisfaga, por lo que 0u debe cumplir la condición 4.39.

( )0 1 2 2 3 1 2 2 3


b> + − − +

(4.39)

donde 0 au v=

El control hace que después de un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema

alcance la superficie deslizante dada por 4.38; una vez ocurrido esto la respuesta del sistema solo depende de los parámetros de diseño 1c y 2c la ganancia de control 1c es

seleccionada como 1 1000c = y la ganancia 2c es seleccionada como 2 100c = ; ambas

ganancias deben de ser positivas y los valores escogidos son los que se obtuvieron mejores respuestas dinámicas.

4.5. Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Serie

67

4.5 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Serie

El modelo del motor de CD en serie se obtuvo en el capítulo 2 sección 2.4.4, el desarrollo de estás ecuaciones se muestran en el anexo A.4.

( )( )1at a fs a AFs r

aa ff

div i R R L

dt L Lω= − + +

+

( )21rm r AFs a L

dB L I T

dt J

ωω= − + −

4.5.1 Control de velocidad Definimos el error de seguimiento de velocidad como *


velocidad de referencia, una vez definido el error definimos las variables de estado como:

1

2

3

x e

x e

x e

=

=

=

(4.40)

Por lo que la dinámica del motor de CD en serie quedaría dada por el sistema 4.41 y

se desarrollan en B.4.

( )

1 2

2 3

3 1 2 2 3 3 1 2 4 1 3

x x

x x

x a x a x a x x a x x f t bu

=

=

= − − + + + −

(4.41)

donde ( ) ( )1

fs m a m

aa ff aa ff

R B R Ba

J L L J L L

= + + +

, 2fs a m

aa ff aa ff

R R Ba

L L L L J

= + + + +

,

( )3AFs m

aa ff

L Ba

J L L=

+, 4

AFs

aa ff

La

L L=

+,

( )2 AFs

aa ff

Lb

J L L=

+ y la perturbación queda expresada

por:

( ) * * * * * * * * * * *2 1 4 3 4 3 3 2 4 1 3 1 5

LL

Tf t a a a a a x a x a x a x a T

Jω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω= + + + + − − − − + +

,

donde ( ) ( )5

fs a

aa ff aa ff

R Ra

J L L J L L

= + + +

, se observa que la perturbación está afectada por

la velocidad de referencia, perturbaciones en el par de carga, así como de los estados del sistema. Cabe hacer mención que a diferencia de los sistemas obtenidos para los otros motores que es de orden dos, para el motor en serie es de tres debido a que es el número de veces que debemos derivar para lograr tener disponible en el sistema la entrada.


68

La superficie de conmutación se diseña para un sistema de orden tres, dado que el sistema resultante 4.41 es del mismo orden, por lo que la superficie queda como:

1 1 2 1 1S c x c x x= + + (4.42)

donde c1 y c2 son constantes positiva.

Se define la ley de control como: ( )0 su u ign S= (4.43)


De acuerdo a la ecuación 4.43, una vez que se alcanza el modo de deslizamiento

sobre la superficie 0S = (4.6), el error de seguimiento de velocidad 1x decae

exponencialmente.

1 1 2 2 3 0S c x c x x= + + = (4.44)

La constante 1c y 2c determinan la velocidad de convergencia y la dinámica del

sistema. En el modo de deslizamiento, la dinámica del sistema es independiente de los parámetros a1, a2, a3, a4, b y el disturbio en f(t).

Para que exista el modo deslizante la ganancia de control 0u debe ser seleccionada

tal que la derivada de la función candidata de Lyapunov 0SS < se satisfaga, por lo que 0u

debe satisfacer la siguiente condición.

( )0 1 2 2 3 1 2 2 3 3 1 2 4 1 3

1u c x c x a x a x a x x a x x f t

b> + − − + + +

(4.45)

donde 0 au v=

El estado del sistema alcanza la superficie deslizante dada por la ecuación 4.44

después de un intervalo de tiempo finito. Una vez dentro de la superficie, la respuesta del sistema solo depende de los parámetros de diseño 1c y 2c . La ganancia de control 1c es

seleccionada como 1 1000000c = y la ganancia 2c es seleccionada como 2 100000c = , las

constantes deben de ser positivas y los valores se escogieron de acuerdo a los mejores resultados obtenidos en la simulación.


Para diseñar el control de posición, se necesita tomar en cuenta en el modelo del

motor la variable de estado posición, la cual está definida como: r

r

d

dt

θω=


69

Ahora, definimos el error de seguimiento de posición como; *r re θ θ= − , donde *

rθ

es la posición de referencia, una vez definido el error se definen las variables de estado como:

1

2

3

4

x e

x e

x e

x e

=

=

=

=

(4.46)

Por lo que la ecuación dinámica del motor de CD quedaría dada por el sistema 4.47

y se desarrollan en B.4.

( )

1 2

2 3

3 4

4 1 3 2 4 3 2 3 4 1 3

x x

x x

x x


=

=

=

= − − + + + −

(4.47)

donde ( ) ( )1

fs m a m

aa ff aa ff

R B R Ba

J L L J L L

= + + +

, 2fs a m

aa ff aa ff

R R Ba

L L L L J

= + + + +

,

3AFs

aa ff

La

L L=

+,

( )4AFs m

aa ff

L Ba

J L L=

+,

( )2 AFs

aa ff

Lb

J L L=

+ y la perturbación queda expresada

por:

( ) * * * * * * * * * * *2 1 3 4 3 4 3 2 4 3 4 2 6 2 Lf t a a a a a x a x a x a x a x Tθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= + + + + − − − − − +

*6 2 6 5

LL L L

Ta x T a T a T

Jθ− + + +

, donde

( ) ( )5fs a

aa ff aa ff

R Ra

J L L J L L

= + + +

,

( )6AFs

aa ff

La

J L L=

+, la perturbación está afectada por la posición de referencia,

perturbaciones en el par de carga, así como de los estados del sistema.

Dado que el sistema 4.47 es de cuarto orden, la superficie de conmutación se diseña de la siguiente manera a partir de la ecuación 4.4

1 1 2 1 3 1 1S c x c x c x x= + + + (4.48)

donde c1, c2 y c3 son constantes positiva.

La ley de control se define:

( )0 su u ign S= (4.49)



70

De acuerdo a la ecuación 4.49 el error de seguimiento de posición 1x decae

exponencialmente después de que se alcanza el modo de deslizamiento sobre la superficie 0S = (4.6),

1 1 2 2 3 3 4 0S c x c x c x x= + + + = (4.50)

Las constantes 1c , 2c y 3c determinan la velocidad de convergencia y la dinámica

del sistema. La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los parámetros a1, a2, a3, a4, b y el disturbio en f(t).


candidata de Lyapunov 0SS < se satisfaga para que el modo deslizante exista, por lo que

0u debe satisfacer la siguiente condición.

( )0 1 2 2 3 3 4 1 3 2 4 3 2 4 4 2 3

1u c x c x c x a x a x a x x a x x f t

b> + + − − + + +

(4.51)

donde 0 au v=

Después de un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema alcanza la superficie

deslizante (4.50). Una vez dentro de la superficie, la respuesta del sistema solo depende de los parámetros de diseño 1c , 2c y 3c . La ganancia de control 1c es seleccionada como

1 150000c = , la ganancia 2c es seleccionada como 2 50000c = y la ganancia 3c como

3 5000c = ; las cuales deben de ser positivas y los valores que se escogieron son los que

presentaron mejor resultado durante la simulación.

4.6 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Compuesto Acumulativo

El modelo de la máquina de CD compuesta se obtiene en el capítulo dos en la sección 2.4.5, el desarrollo de estás ecuaciones se presenta en anexo A.5 y es:

( )2

11

FS

f FSa FSt a a AFS r fs f AF r

FF FF

AA FFSFF

R Ldi Lv i R L R i L

dt L LLL L

L

ω ω

= − − + + − −

+ −

( )1rAF f a AFs fs a m r L

dL i i L i i T

dt J

ωβ ω= + − −

4.6.1. Control de Velocidad

71


Se define el error de seguimiento de velocidad como *r re ω ω= − , donde *

rω es la

velocidad de referencia. Las variables de estado las definimos como 1x e= y 2x e= . Entonces la dinámica

del motor de CD compuesto con respecto a los estados 1x y 2x está dada por 4.52, el

desarrollo de este sistema se presenta en B.5.

( ) ( )

1 2

2

2 1 1 2 2 3 1 2 4 1

x x

x a x a x a x x a x f t bu

=

= − − + + + −

(4.52)

donde ( ) ( )

1 2

FS

m a fs AF f AFs fs f AF

AA FFSFF

R R L i L i i La

LJ L L

L

β

+ + + = + −

, ( )

2 2

FS

a fs m

AA FFSFF

R Ra

JLL L

L

β

+ = + + −

,

3 2

FS

AFS

AA FFSFF

La

LL L

L

=

+ −

, 4 2

FS

m AFS

AA FFSFF

La

LL L

L

β=

+ −

, ( )( )

2

FS

FF FS AF f AFs fs

FF AA FFSFF

L L L i L ib

LL L L

L

− +=

+ −

, u es

el voltaje de línea y la perturbación está dada por

( ) ( )2* * * * * * * * * *

2 1 3 3 2 3 1 4 4 1 5 62r r r r r r r r r L L rf t a a a a x a x a a x a T a Tω ω ω ω ω ω ω ω ω ω= + + + − − + − + + +

6 1 7L

L

Ta T x a

J+ +

que depende de la velocidad deseada, las perturbaciones del par de carga y

la corriente de campo con ( )

5 2

FS

a fs

AA FFSFF

R Ra

LJ L L

L

+=

+ −

, 6 2

FS

AFS

AA FFSFF

La

LJ L L

L

=

+ −

y

( )7 2

FS

AF f AFs fs f FS f

AA FFS FFFF

L i L i R L ia

LJ L L L

L

+=

+ −

.

Como el sistema 4.52, es de segundo orden la superficie de conmutación es

diseñada a partir 4.4 se tiene,

1 2S cx x= + (4.53)

donde c es una constante positiva. La ley de control es definida como:


72

( )0 su u ign S= (4.54)


La ecuación 4.53 nos indica que el error de seguimiento de velocidad 1x decae

exponencialmente después de que ocurre el modo deslizante en la superficie 0S = (4.6), i.e

1 2 0S cx x= + = 4.55

La constante c determina la velocidad de convergencia. La dinámica del sistema en

el modo de deslizamiento es independiente de los parámetros a1, a2, a3, a4, b y el disturbio en f(t) por lo que el sistema es insensible al cambio en los parámetros eléctricos y mecánicos de la máquina.


candidata de Lyapunov 0SS < se satisfaga esto para garantizar que el modo deslizante exista.

Por lo que 0u debe cumplir con la condición 4.56

( )0 2 1 1 2 2

1u cx a x a x f t

b> − − +

(4.56)

donde 0 au v=

Una vez transcurrido un intervalo de tiempo finito el estado del sistema alcanza la

superficie deslizante dada por (4.55); después de esto la respuesta del sistema solo depende del parámetro de diseño c. La ganancia de control c es seleccionada como c = 100, dicho valor debe ser positivo y el valor que se escogió fue el que presentó mejor desempeño en la simulación.


Para diseñar el control de posición agregamos al modelo del motor de CD

compuesto la variable de estado posición como se muestra a continuación: r

r

d

dt

θω=



posición de referencia. Las variables de estado en términos del error se definen como

1x e= , 2x e= y 3x e= . Por lo que la dinámica del motor de CD en derivación con respecto

a los estados 1x , 2x y 3x queda dada por 4.57, y su desarrollo se presenta en B.5.


73

( )

1 2

2 3

23 2 3 1 2 3 2 3 4 2

x x

x x


=

=

= − − + + + −

(4.57)

donde ( ) ( )( )

1 2

FS


AA FFSFF

B R R L i L i i La

LJ L L

L

+ + + = + −

, ( )

2 2

FS

a fs m

AA FFSFF

R R Ba

JLL L

L

+ = + + −

,

3 2

FS

AFS

AA FFSFF

La

LL L

L

=

+ −

, 4 2

FS

m AFS

AA FFSFF

B La

LJ L L

L

=

+ −

, ( )( )

2

FS

FF FS AF f AFs fs

FF AA FFSFF

L L L i L ib

LJL L L

L

− +=

+ −

, u es

el voltaje de armadura y la perturbación es ( ) * * * * * *2 1 3 3 3r r r r r rf t a a a a xθ θ θ θ θ θ= + + + −

( )2* * * *

3 2 4 4 2 5 6 6 2 72 Lr r r L r L L

Ta x a a x a T a T a x T a

Jθ θ θ θ− + − + + + + +

que depende de la posición

deseada, las perturbaciones del par de carga y la corriente de campo con

( )5 2

FS

a fs

AA FFSFF

R Ra

LJ L L

L

+=

+ −

, 6 2

FS

AFS

AA FFSFF

La

LJ L L

L

=

+ −

, ( )

7 2

FS

AF f AFs fs f FS f

AA FFS FFFF

L i L i R L ia

LJ L L L

L

+=

+ −

.

Como el sistema 4.57 es de tercer orden, la función de conmutación es diseñada a

partir de la ecuación 4.4 resultando:

1 1 2 1 1S c x c x x= + + (4.58)



( )0 su u ign S= (4.59)


De acuerdo a la ecuación 4.59 cuando se alcanza el modo deslizante en la superficie

0S = (4.6), el error de seguimiento de posición 1x decae exponencialmente.

1 1 2 2 3 0S c x c x x= + + = (4.60)


sistema. Una vez que el sistema alcance el modo de deslizamiento, la dinámica del sistema


74

es independiente de los parámetros a1, a2, a3, a4 b y el disturbio en f(t), por lo que el controlador es robusto ante cambios en los parámetros de la máquina.

Para garantizar que el modo deslizante exista se debe seleccionar la ganancia de

control 0u de tal manera que la derivada de la función candidata de Lyapunov 0SS < se

satisfaga, por lo que 0u debe cumplir la condición 4.61.

( )0 1 2 2 3 1 2 2 3


b> + − − +

(4.61)

donde 0 au v=

El control hace que después de un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema

alcance la superficie deslizante (4.60); una vez ocurrido esto la respuesta del sistema solo depende de los parámetros de diseño 1c y 2c a ganancia de control 1c es seleccionada como

1 60c = y la ganancia 2c es seleccionada como 2 25c = ; ambas ganancias deben de ser

positivas y los valores escogidos son los que se obtuvieron mejores respuestas dinámicas.

4.7 Control PID del Motor de CD en Derivación Partiendo del modelo que se presenta en el capítulo 2 y se desarrolla en el anexo A.3 y que es el siguiente.

( )1ff f f

FF

diR i v

dt L= − +

( )1aa a AF f r a

AA

dir i L i v

dt Lω= − − +

( )1rm r AF f a L

dB L i i T

dt J

ωω= − + −

El control PID es una estructura de control en que la ley de control del sistema es expresada en función del error, el cual expresamos de la siguiente manera: ( ) ( ) ( )refe t y t y t= − (4.62)

La ley de control del PID esta dada por:

( ) ( ) ( )( )

0

t

p i d

de tu t K e t K e t dt K

dt

= + +

∫

(4.63)

Donde Kp, Ki y Kd corresponden a las constantes proporcional, integral y derivativa del controlador respectivamente.

4.7.1. Control de Velocidad

75

Para sintonizar el control PID se uso el segundo método de Ziegler-Nichols o método de respuesta en frecuencia, el cual se puede describirse como sigue:

1. Se ajustan las ganancias integral y derivativa a cero, es decir, Ki = 0 y Kd = 0. 2. Partiendo de un valor bajo de la ganancia proporcional, Kp, se aumenta

gradualmente esta ganancia hasta conseguir que la respuesta del sistema sea oscilatoria sostenida en amplitud y frecuencia, a la ganancia que logra esto la llamaremos ganancia ultima, Ku.

3. Ahora medimos la distancia que hay entre dos crestas de la respuesta oscilatoria del sistema, esta distancia es el periodo de oscilación del sistema para la ganancia última, la cual llamaremos Tu.

4. Una vez teniendo los parámetros Ku y Tu, con ayuda de la tabla 4.1 calculamos los parámetros correspondientes del controlador PID.

Controlador

pK iK dK

P 0.5 uK⋅ 0 0

PI

0.45 uK⋅ 1.2

uT

0

PID

0.6 uK⋅ 2

uT

0.125 uT⋅

Tabla 4.1. Parámetros del PID según el método de respuesta en frecuencia de Ziegler-Nichols

4.7.1 Control de Velocidad

Definimos el error a partir de 4.62, como *r re ω ω= − , donde *

rω es la velocidad de

referencia y rω es la velocidad medida del motor.

Ahora sintonizamos el controlador con el segundo método de Ziegler-Nichols, con

lo cual obtenemos que la ganancia ultima Ku = 45.

150 150.01 150.02 150.03 150.04 150.05 150.06 150.07 150.08 150.09 150.1-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

4

wr(

rad/s

)

Velocidad Angular wr

time (sec)

wr0.04

Figura 4.2. Respuesta oscilatoria de velocidad del motor de CD en derivación para la Ku=45


76

De acuerdo con la figura 4.1 el Tu = 0.04, por lo que los parámetros del controlador PID para el motor de CD en derivación son:

327; 50; 5p i dK K K e−= = =

Por lo que la ley de control quedaría expresada de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )

( )3

0

27 50 5t de t

u t e t e t dt edt

−

= + +

∫

(4.64)

4.7.2 Control de Posición

Definimos el error a partir de 4.62, como *

r re θ θ= − , donde *rθ es la velocidad de

referencia y rθ es la velocidad medida del motor.

Ahora sintonizamos el controlador con el segundo método de Ziegler-Nichols, con

lo cual obtenemos que la ganancia ultima Ku = 2.

150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170150

200

250

300

Theta

(rad)

Posición angular Theta

time (sec)

Theta

5

Figura 4.3. Respuesta oscilatoria de posición del motor de CD en derivación para la Ku=2

De acuerdo con la figura 4.2 el Tu = 5, por lo que los parámetros del controlador PID para el motor de CD en derivación son:

1.2; 0.4; 0.625p i dK K K= = =

Por lo que la ley de control quedaría expresada de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )

( )

0

1.2 0.4 0.625t de t

u t e t e t dtdt

= + +

∫

(4.64)

Capítulo 5

Resultados de Simulación

En este capítulo se presenta la simulación de los controles de velocidad y posición PID y por modos deslizantes diseñados en el capítulo 4 al Motor de CD en Derivación para el modelo obtenido en el capítulo 2, se obtienen los índices de desempeños de los controladores con el fin de ver que tan “bondadosos” son los controles diseñados .

Se simularon perturbaciones en la carga de la máquina con el fin de verificar la robustez de los controladores, de la misma manera se realizaron variaciones en los parámetros de los devanados del motor para probar los controles contra incertidumbres paramétricas; a ambas pruebas se les obtuvo los índices de desempeño.

Primeramente en este capítulo se muestran los controles diseñados actuando sobre los motores en condiciones normales de operación, es decir sin introducir perturbaciones en la carga ni incertidumbre en los parámetros, y como parte final del capítulo se muestra una comparación de los controladores PID y control por Modos deslizantes pero ahora si haciendo las variaciones en el par de carga y en los parámetros de la máquina.

La simulación de los controladores por modos deslizantes diseñados en el capítulo 4

para los motores de CD restantes se muestran en el anexo C.

5.1 Análisis de resultados La tarea principal del control por modos deslizantes de velocidad y posición diseñados es que realice un adecuado control de seguimiento de trayectorias de los estados velocidad y posición; para verificar que el control diseñado cumpla dicha tarea se idearon cinco perfiles de velocidad y posición para que el sistema siguiera a los estados deseados y así poder ver el comportamiento del controlador para dicha tarea, los perfiles de velocidad y posición propuestos se muestran en la figura 5.1.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

20

30

40

50

60

70

80

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil cinco

time (sec)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5040

45

50

55

60

65

70

75

80

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil cuatro

time (sec) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil dos

time (sec) a) Perfil uno b) Perfil dos c) Perfil tres

Capítulo 5. Resultados de Simulación

78

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil tres

time (sec) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil uno

time (sec) d) Perfil cuatro e) Perfil cinco

Figura 5.1.Perfiles de velocidad y posición para el seguimiento de trayectoria; a) Señal seno, b) Onda cuadrada, c) Señal trapezoidal, d) Escalón e) Señal rampa más constante.

Una de la propiedades más importantes en los controles por modos deslizantes es la

robustez que presenta ante perturbaciones desconocidas, por lo que se hicieron pruebas para validar la robustez del control por modos deslizantes diseñado las cuales consistieron en introducir una perturbación en el par de carga del motor, la perturbación se simuló introduciendo un escalón escalar en el par de carga del motor, esto se hizo una vez que el sistema alcanzase el estado estable y convergiera a la referencia. Las perturbaciones que se introdujeron para dicha validación fueron del ±25% y ±50% del valor de par de carga de la máquina de CD.

El control por modos deslizantes diseñado debe de tener la particularidad de ser

insensible a la variación de los parámetros del motor de CD, es por ello que se realizaron pruebas para validar la robustez del controlador ante variaciones en los parámetros del motor de CD. Como se mencionó dentro del los alcances de la tesis la variación de los parámetros se realizará en el devanado de campo del motor de CD. Se sumo una función escalar en el parámetro de inductancia del devanado de campo LFF esto una vez que el sistema se encuentre en estado estable y sobre la referencia, con el fin de simular una incertidumbre en los parámetros de la máquina de CD. Las incertidumbres paramétricas que se manejaron en la prueba son del ± 25% y ± 50% del valor de la inductancia del devanado de campo.

Como los sistemas de control son dinámicos, se puede evaluar su comportamiento

en función de términos de respuesta transitoria ante determinadas entradas, tales como escalón, rampa y otras; o se pueden dar especificaciones en términos de un índice de desempeño o comportamiento.

Los índices de desempeño tratan de comparar la calidad de la regulación del

controlador y el esfuerzo de control necesario para alcanzarla, en otras palabras , un índice de desempeño es un número que indica el grado de beneficio del sistema, es decir, es una medida cuantitativa del desempeño que señala la desviación respecto al comportamiento ideal.

La evaluación de un sistema se puede considerar aceptable si los valores de los

índices de desempeño son un mínimo o un máximo, según el caso. Algunos índices son: Integral del valor absoluto del error

( )2

1

t

t

IAE e t dt= ∫

5.2. Control de Velocidad

79

Integral del error cuadrático

( )( )2

1

2t

t

ISE e t dt= ∫

Integral del valor absoluto del error multiplicado por el tiempo

( )2

1

t

t

ITAE t e t dt= ∫

Integral del error cuadrático multiplicada por el tiempo

( )( )2

1

2t

t

ITSE t e t dt= ∫

5.2 Control de Velocidad

5.2.1 Control PID

A continuación se muestran las pruebas que se le realizaron al control PID aplicado al motor de CD en derivación. La figura 5.2 corresponde a la respuesta de la velocidad para el perfil uno; en está se puede apreciar que el control PID no logra hacer que el sistema converja a la referencia de manera adecuada.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura 5.2. Respuesta del perfil uno para el control PID

La respuesta del sistema para el perfil de velocidad dos se muestra en la gráfica 5.3;

obsérvese que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 2.1 segundos con un sobrepico de 0.6 rad/seg, y para cuando se hacen los cambios de referencia la velocidad del motor converge de manera más rápida y con un sobrepico menor.

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

X: 2.161

Y: 0.9891X: 4.988

Y: 0

X: 0.8388

Y: 1.6

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 3.966

Y: -0.2176

wr

ref

Figura 5.3. Respuesta del perfil dos para el control PID

La gráfica que ilustra la velocidad del motor para el perfil tres se muestra en la

figura 5.4; en está se aprecia que el sistema tiene un transitorio antes de alcanzar la referencia y esto lo logra en aproximadamente 1.76 segundos, una vez que alcanza la referencia permanece en ella de manera adecuada el resto de la prueba.

0 1 2 3 4 5 6 7-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 1.769

Y: 0.7076

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura 5.4. Respuesta del perfil tres para el control PID

En la figura 5.5 se muestra la velocidad del motor para el perfil cuatro; en está se

observa que el control PID hace converger al sistema en 1.67 segundos con un sobrepico de aproximadamente 3.4 rad/seg y para el cambio de referencia la velocidad converge a está en 1.3 segundos con un sobrepico de 0.25 rad/seg.

5.2.1 Control PID

81

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 1.676

Y: 0

X: 3.808

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura 5.5. Respuesta del perfil cuatro para el control PID

Se puede apreciar en la figura 5.6; que la velocidad del motor presenta un transitorio

y después alcanza a la referencia en 1.7 segundos, después de esto permanece en la referencia de manera adecuada.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 1.712

Y: 0.6847

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura 5.6. Respuesta del perfil cinco para el control PID

En las pruebas mostradas en las gráficas anteriores para el seguimiento de

trayectoria de velocidad, se pudo verificar que el control PID diseñado para el motor de CD cumplió con la tarea de seguimiento de trayectoria, ya que para la mayoría de los perfiles de velocidad el sistema convergió a la referencia y siguió a está de manera adecuada.

En la tabla 5.1 se presentan los índices de desempeño del control PID diseñado, para

los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está tabla se logra apreciar que los índices de desempeño son bajos por lo cual la desviación del comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña, por lo que el control diseñado presenta un desempeño adecuado con respecto a los índices.


82

Índice Perfil uno Perfil dos Perfil tres Perfil cuatro Perfil cinco IAE 2.709 2.093 1.605 1.769 1.594 ISE 3.917 4.001 3.46 3.477 3.46

ITAE 6.548 3.115 0.7584 1.224 0.9666 ITSE 1.927 1.792 0.9532 1.116 0.9525

Tabla 5.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad 5.2.2. Control por modos deslizantes

Las siguientes gráficas muestran los resultados del control por modos deslizantes, la

figura 5.7 corresponde a la respuesta del sistema para el perfil uno; en está figura se puede apreciar que el control SMC hace converger al sistema en 0.076 segundos y sigue a la referencia de manera suave y rápida.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.07627

Y: 0.2268

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura 5.7. Respuesta del perfil uno para el control SMC

La figura 5.8 ilustra la velocidad del motor para el perfil dos; se observa que el

control hace converger al sistema de manera suave y sin sobretiros a la referencia en 0.28 segundos y para los cambios referencia el sistema los sigue sin ningún sobretiro y de manera rápida.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

X: 0.2882

Y: 0.9997

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 3.675

Y: 0

wr

ref

Figura 5.8. Respuesta del perfil dos para el control SMC

5.2.2 Control por Modos Deslizantes

83

Se observa en figura 5.9; que el controlador SMC hace converger al sistema en la referencia en 0.08 segundos y la sigue el resto de la prueba de manera rápida y suave sin sobrepicos, está gráfica corresponde al la respuesta del motor para el perfil tres.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.5

0

0.5

1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 0.08461

Y: 0.03384

wr

ref

Figura 5.9. Respuesta del perfil tres para el control SMC

La respuesta del motor para el perfil de velocidad cuatro se muestra en la figura

5.10; obsérvese que el control hace converger al sistema a la referencia en 0.15 segundos y para el cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 0.08 segundos sin ningún sobrepico.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

X: 0.1555

Y: -0.0001913

X: 2.586

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura 5.10. Respuesta del perfil cuatro para el control SMC

Por ultimo se muestra la figura 5.11 que corresponde al perfil de velocidad cinco; en

está se observa que el sistema alcanza la referencia en 0.08 segundos y permanece en ella de manera suave el resto de la prueba.


84

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

X: 0.08193

Y: 0.03277

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura 5.11. Respuesta del perfil cinco para el control SMC

Las gráficas anteriores permiten perfilar que el control por modos deslizantes

diseñado para el motor de CD cumplió satisfactoriamente con la tarea de seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de velocidad propuestos el sistema convergió a la referencia de manera rápida y sin sobrepicos y siguió a la referencia de manera suave el resto de las pruebas.

La tabla 5.2 muestra los índices de desempeño del control por modos deslizantes

diseñado, para los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está tabla se logra apreciar que los índices de desempeño son pequeños por lo el comportamiento del controlador con diseñado presenta un buen desempeño con respecto a los índices.


ITAE 0.009608 0.1763 0.004436 0.04325 0.002327 ITSE 0.0002483 0.1126 0.000167 0.002327 0.0001667

Tabla 5.2. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad

5.2.3 Comparación del control PID con el Control por Modos Deslizantes

Ahora se analizará la robustez del control para perturbaciones desconocidas en el par de carga, se introdujeron perturbaciones en el segundo 2.5 de 25%, -25%, 50% y -50% del valor del par de carga de la máquina;

La figura 5.12 muestra las respuestas del sistema para las perturbaciones

mencionadas anteriormente, se puede apreciar que para el control por modos deslizantes la perturbación no afecta la respuesta del sistema ya que está última no se modifica ante dicha condición de operación, para el control PID el efecto de la perturbación si se hace sentir ya que al aparecer la perturbación la velocidad disminuye si el par de carga aumenta y la velocidad aumenta si el par de carga disminuye, sin embargo para ambos casos el control rechaza la perturbación haciendo converger al sistema nuevamente a la referencia.

5.2.3 Comparación del Control PID con el SMC

85

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

wr(

rad/s

)

SMC vs PID

time (sec)

SMC 50%

PID 50%

SMC -25%

PID -25%

SMC -50%

PID -50%

SMC 25%

PID 25%

REF

Figura 5.12. Respuestas de los controladores PID y SMC para perturbaciones en el par de carga En la tabla 5.3 se presentan los índices de desempeño de los controladores PID y

SMC diseñados para cuando se presentan perturbaciones el par de carga de la máquina, la cual nos dice que los índices del SMC son más pequeños que los del PID, por lo que de acuerdo a los índices el control SMC presenta mejor comportamiento ante dichas condiciones de operación que el control PID.

+25% Tl +50% Tl -25% Tl -50% Tl

PID SMC PID SMC PID SMC PID SMC IAE 1.823 0.07981 1.969 0.08011 1.851 0.0792 2.05 0.07937 ISE 3.878 0.09431 3.979 0.09431 3.889 0.09431 4.063 0.09431

ITAE 1.223 0.005983 1.563 0.006837 1.23 0.003595 1.964 0.004099 ITSE 1.048 0.002624 1.307 0.002629 1.058 0.002623 1.55 0.002625

Tabla 5.3. Índices de desempeño para SMC y PID para perturbaciones en el par de carga

En resumen se puede decir en base a la gráfica mostrada en la figura 5.13 y a los índices de desempeño, el control SMC es más robusto a perturbaciones en el par de carga que el control PID ya que el SMC presenta mejor desempeño ante está condición de operación que el control PID.

A continuación se presentan las pruebas realizadas para verificar la robustez de los controladores ante variaciones en los parámetros del motor, como se mencionó anteriormente el parámetro modificado es LFF (Inductancia de campo), LFF se varió 25%, 50%, -25% y -50% del valor de la inductancia. La variación paramétrica ocurre en el segundo 4.


86

La figura 5.13 ilustra las respuestas del sistema para la diferentes variaciones paramétricas que se realizaron, para el control PID se observa que cuando se varió LFF en los porcentajes antes mencionados la respuesta del controlador no se ve afectada; para el control por modos deslizantes de igual manera al modificar el parámetro del motor la respuesta del sistema no se corrompe, por lo que ambos controladores son insensibles a la variación paramétrica en LFF.

0 1 2 3 4 5 6-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 X: 0.8779

Y: 1.609

X: 0.1175

Y: 1

X: 2.219

Y: 1

Theta

(rad)

PID vs SMC (Lff)

time (sec)

PID 25%

PID 50%

PID -25%

PID -50%

SMC 25%

SMC 50%

SMC -25%

SMC -50%

REF

Figura 5.13. Respuestas de los controladores PID y SMC para variaciones en LFF.

Ahora la tabla 5.4 muestra los índices de desempeño que presentaron los controles

PID y SMC para cuando el motor sufre variaciones paramétricas. En está tabla se aprecia que el control SMC posee índices de desempeño más pequeños que el control PID, por lo tanto el control SMC presenta un mejor comportamiento dinámico que el control PID.

+25% LFF +50% LFF -25% LFF -50% LFF


ITAE 0.6539 40.09e-4 0.6539 50.02e-4 0.6538 50.37e-4 0.6538 50.72e-4

ITSE 0.9231 26.23e-4 0.9231 26.23e-4 0.9231 26.23e-4 0.9231 26.23e-4 Tabla 5.4. Índices de desempeño para SMC y PID para variaciones en LFF

De acuerdo a las pruebas mostradas para la variación paramétrica ambos

controladores resultaron robustos para la variación de la inductancia de campo LFF, más sin embargo el control por modos deslizantes presenta mejor respuesta dinámica y posee los índices de desempeños más pequeños que el control PID.

5.3 Control de Posición

87

Resumiendo tenemos que el control por modos deslizante presenta mejor desempeño y prestaciones que el control PID, ya que presenta una respuesta dinámica rápida y sin sobrepicos, es robusto a perturbaciones desconocidas y es insensible a los cambios en los parámetros de la planta.

5.3 Control de Posición

5.3.1 Control PID A continuación se mostrarán los resultados obtenidos de los controles de posición

para el esquema PID, la figura 5.14 muestra la respuesta del controlador de posición para una referencia dada por el perfil uno, en ella se puede notar que el PID nunca logra converger de la manera adecuada a la referencia.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

PID

REF

Figura 5.14. Respuesta del perfil uno para el control PID

La respuesta del motor para el perfil de posición dos se ilustra en la figura 5.15; en

está se observa que el control PID hace converger al sistema a la referencia en 3.2 segundos con un sobrepico de aproximadamente 0.1 rad; para los siguientes cambios de referencias el sistema converge aproximadamente en el mismo tiempo pero con un sobretiro de 0.2 rad.


88

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

X: 3.203

Y: 1

X: 11.8

Y: 1

X: 7.202

Y: 0

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

X: 16.18

Y: 0

PID

REF

Figura 5.15. Respuesta del perfil dos para el control PID

La figura 5.16 ilustra la respuesta de la posición para el control PID para la

referencia dada por el perfil tres; en está se puede apreciar que el PID hace que la posición converja a la referencia en 3.118 segundos y permanezca sobre ella el resto de la prueba.

0 1 2 3 4 5 6 7-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 3.18

Y: 1

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

PID

REF

Figura 5.16. Respuesta del perfil tres para el control PID

La respuesta de la posición del motor para el perfil cuatro se muestra en la figura

5.17; en está se observa que el control PID hace converger al sistema en la referencia en 3.3 segundos y para el cambio de referencia posterior el sistema alcanza la referencia en aproximadamente 3.8 segundos con un sobrepico de 0.2 rad.

5.3.1 Control PID

89

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 3.353

Y: 0

X: 7.961

Y: 1

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

PID

REF

Figura 5.17. Respuesta del perfil cuatro para el control PID

La figura 5.18 ilustra la respuesta de la posición para cuando se utiliza la referencia

dada por el perfil cinco; en está se puede notar que el PID hace converger al sistema en la referencia en 3.15 segundos y se mantiene en ella durante el resto de la prueba.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 3.151

Y: 1

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

PID

REF

Figura 5.18. Respuesta del perfil cinco para el control PID

En la tabla 5.5 se muestran los índices de desempeño que presenta el controlador

PID para los perfiles de posición, en está se puede apreciar que los índices del controlador son bajos por lo que nos dice que su comportamiento con respecto al error es adecuado.


ITAE 8.228 18.17 0.6514 2.358 0.5668 ITSE 1.808 8.11 0.3614 0.9965 0.3601

Tabla 5. 5. Índices de desempeño del PID para los perfiles de posición De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.18 y los

índices de desempeño mostrados en las tabla 5.5 se puede decir que el control PID cumple


90

la tarea de seguimiento de trayectorias para cuatro de los cinco perfiles, ya que para el perfil uno el control no pudo seguir la referencia de manera adecuada.

5.3.2 Control por modos deslizantes

A continuación se mostrarán los resultados del control por modos deslizantes de posición para los cinco perfiles propuestos; la figura 5.19 corresponde a la posición del motor para el perfil uno; en está se observa que el control hace que el sistema alcance la referencia en 0.15 segundos y la sigue suavemente durante el resto de la prueba.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.1592

Y: 0.4597

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

SMC

REF

Figura 5.19. Respuesta del perfil uno para el control SMC

La respuesta del sistema para el perfil dos se ilustra en la figura 5.20; en está se

aprecia que el control SMC hace converger al sistema sin sobrepicos en 0.71 segundos, para los demás cambios de referencia, el control convergió a la nueva referencia de manera rápida y sin sobrepicos para todos los cambios de la referencia.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.7143

Y: 1

X: 5.046

Y: 0

X: 9.562

Y: 1

X: 14.12

Y: 0

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

SMC

REF

Figura 5.20. Respuesta del perfil dos para el control SMC

5.3.2 Control por Modos Deslizantes

91

El comportamiento de la posición del motor para el perfil tres está dado por la figura 5.21; en está se observa que el control hace converger al sistema en 0.13 segundos y este hace que siga a la referencia de manera suave el resto de la prueba.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.1384

Y: 0.05537

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

SMC

REF

Figura 5.21. Respuesta del perfil tres para el control SMC

La respuesta para el perfil cuatro se ilustra en la figura 5.22; en está se puede

observar que el sistema alcanza la referencia en 0.14 segundos y para el cambio de referencia el control hace converger al sistema a la referencia sin sobrepicos en 0.54 segundos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 5.541

Y: 1

X: 0.1498

Y: 0

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

SMC

REF

Figura 5.22. Respuesta del perfil cuatro para el control SMC

La figura 5.23; muestra la posición del motor para el perfil cinco; en está se aprecia

que el sistema alcanza la referencia en 0.2 segundos y logra hacer que el sistema permanezca sobre ella el tiempo subsiguiente.


92

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.2019

Y: 0.08077

Theta

(rad)

Posición

time (sec)

SMC

REF

Figura 5.23. Respuesta del perfil cinco para el control SMC

A continuación se muestran en la tabla 5.6, los índices de desempeño que presenta

el control SMC para perfiles de posición, en está se puede apreciar que los índices que presenta el controlador SMC son pequeños, lo cual nos indica que el control SMC posee un buen comportamiento dinámico.


ITAE 0.006287 5.023 0.004161 0.05631 0.001878 ITSE 0.0005931 2.951 0.0000161 0.3294 0.0000117

Tabla 5.6. Índices de desempeño del SMC para los perfiles de posición De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras 5.19, 5.20, 5.21, 5.22, 5.23 y los

índices de desempeño mostrados en las tabla 5.5 se puede decir que el control SMC cumple de manera satisfactoria con la tarea de seguimiento de trayectoria ya hace converger al sistema a todas la referencias con una respuesta dinámica rápida, sin sobrepicos y permanece en ella el resto de las pruebas.

5.3.3 Comparación del control PID contra el control por Modos

deslizantes Ahora se muestran las pruebas que se realizaron para verificar la robustez ante

perturbaciones en el par de carga de los controladores de posición PID y SMC. Las perturbaciones que se utilizaron son de 25%, 50%, -25% y -50% del valor del par de carga de la máquina.

La figura 5.24 muestra las respuestas de la posición del motor para el PID y SMC,

para las perturbaciones antes mencionadas; se observa que el control SMC es robusto ante perturbaciones en el par de carga ya que la posición del motor no se corrompe cuando ocurren dichas perturbaciones; para el PID se puede ver que cuando la perturbación aparece la posición del motor se corrompe para perturbaciones positivas la posición cae y para

5.3.3 Comparación del control PID con el SMC

93

perturbaciones negativas la posición aumenta, sin embargo para los dos casos el control PID rechaza la perturbación haciendo converger al sistema a la referencia de manera rápida.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.5

0

0.5

1

1.5 X: 4.475

Y: 1.33

X: 4.417

Y: 1.148

X: 4.395

Y: 0.7485

Theta

(rad)

PID vs SMC (Tl)

time (sec)

X: 4.395

Y: 0.8673

PID 25%

PID 50%

PID -25%

PID -50%

SMC 25%

SMC 50%

SMC -25%

SMC -50%

REF

Figura 5. 24. Respuestas de los controladores PID y SMC para perturbaciones en el par de carga.

La tabla 5.7 presenta los índices de desempeño de los controladores PID y SMC

diseñados para cuando se presentan perturbaciones el par de carga de la máquina, está muestra que los índices del control SMC son más pequeños que los del PID, por lo tanto, el control SMC presenta un mejor comportamiento dinámico que el control PID.

+25% Tl +50% Tl -25% Tl -50% Tl


ITAE 1.017 0.02371 1.436 0.0242 1.064 0.02368 1.67 0.02348 ITSE 0.3786 0.01217 0.4817 0.01217 0.3898 0.01217 0.5942 0.01217

Tabla 5. 7. Índices de desempeño para SMC y PID para perturbaciones en el par de carga

Se puede decir en base a la gráfica mostrada en la figura 5.24 y a los índices de desempeño, que el control SMC es más robusto a perturbaciones en el par de carga que el control PID ya que el SMC presenta mejor desempeño ante dicha condición de operación que el control PID. Ahora se presentan las pruebas realizadas para verificar la robustez de los controladores ante variaciones en los parámetros del motor, como se mencionó anteriormente el parámetro modificado es LFF (Inductancia de campo), LFF se varió 25%, 50%, -25% y -50% del valor de la inductancia.


94

La figura 5.25 ilustra las respuestas del sistema para la diferentes variaciones paramétricas que se realizaron, para el control PID se observa que al variar LFF en los porcentajes antes mencionados la respuesta del controlador no se ve afectada; para el control por modos deslizantes de igual manera al modificar el parámetro la respuesta del sistema no se corrompe, por lo que ambos controladores son insensibles a la variación paramétricas en LFF.

0 1 2 3 4 5 6-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 X: 0.8779

Y: 1.609

X: 0.1175

Y: 1

X: 2.219

Y: 1

Theta

(rad)

PID vs SMC (Lff)

time (sec)

PID 25%

PID 50%

PID -25%

PID -50%

SMC 25%

SMC 50%

SMC -25%

SMC -50%

REF

Figura 5. 25. Respuestas de los controladores PID y SMC para variaciones en LFF.

Ahora la tabla 5.8 muestra los índices de desempeño que presentaron los controles

PID y SMC para cuando el motor sufre variaciones paramétricas. En está tabla se aprecia que el control SMC posee índices de desempeño más pequeños que el control PID, por lo tanto el control SMC presenta un mejor comportamiento dinámico que el control PID.

+25% LFF +50% LFF -25% LFF -50% LFF


ITAE 0.5558 0.02367 0.5558 0.02367 0.5558 0.02368 0.5558 0.02368 ITSE 0.3384 0.01218 0.3384 0.01218 0.3384 0.01218 0.3384 0.01218

Tabla 5.8. Índices de desempeño para SMC y PID para variaciones en LFF

De acuerdo a las pruebas mostradas para la variación paramétrica ambos

controladores resultaron robustos para la variación de la inductancia de campo LFF, más sin embargo el control por modos deslizantes presenta mejor respuesta dinámica y posee los índices de desempeños más pequeños que el control PID.

5.3.3 Comparación del control PID con el SMC

95

Resumiendo tenemos que el control por modos deslizante presenta mejor desempeño y prestaciones que el control PID, ya que presenta una respuesta dinámica rápida y sin sobrepicos, es robusto a perturbaciones desconocidas y es insensible a los cambios en los parámetros de la planta.


96

97

Capítulo 6

Implementación

Este capítulo presenta la implementación real del control por modos deslizante a la máquina de CD Baldor que se encuentra en el laboratorio de máquinas eléctricas del CENIDET, el diseño del control implementado se obtuvo a partir del algoritmo presentado en 4.1.

Se estudian, describen y explican cada una de las partes que se requieren para

implementar el control por modos deslizantes y cual es su tarea dentro del esquema práctico que se utilizó para la implementación del control.

Para validar el control se hicieron pruebas de seguimiento de trayectorias, para esto

se idearon cinco perfiles de velocidad diferentes, y el control debe hacer que el motor siga a dichos perfiles. Para analizar la robustez del control se realizaron pruebas variando el par de carga mediante un freno magnético DL10300A del fabricante DeLorenzo con el fin de conocer el comportamiento del sistema ante dichas perturbaciones.

El problema del chattering no se abordó para la realización de esta tesis, por lo que

los resultados obtenidos presentan una chattering de aproximadamente 2 rad/seg.

6.1 Estructura de la implementación

Para implementar el control por modos deslizantes del motor de CD, primero se debe de tener en cuenta todas las partes que conforman el control, así como también entender el funcionamiento de cada una de ellas, en la figura 6.1 se muestra un diagrama a bloques de las partes que conforman el controlador; como se observa está formado por una etapa de adquisición y envío de datos, acondicionamiento de señales, etapa de potencia, el control y el motor de CD.

Capítulo 6. Implementación

98

Figura 6.1. Diagrama a bloques de la implementación del control por modos deslizantes

El fin del control diseñado es el de hacer que la velocidad siga a una referencia

variante en el tiempo, por lo que se van hacer pruebas con el controlador para determinados perfiles de velocidad, así como pruebas con perturbaciones en el par de carga para ver el comportamiento del controlador ante dichas condiciones de operación. La adquisición de datos se efectuó con la tarjeta Sensoray 626, el tiempo que se utilizó para muestrear los datos fue de 1x10-3 segundos. El software que se utilizó para implementar el control fue Matlab-Simulink, en la opción Real-Time Windows Target 2.5 (RTWT) el cual es utilizado para crear sistemas de control en tiempo real.

6.2 Motor de CD

El control por modos deslizantes se implementó en el motor Baldor, que se encuentra dentro del laboratorio de máquinas eléctricas del CENIDET; la tabla de datos del motor Baldor se muestra en la tabla 6.1:

HP 3/4 Velocidad máxima 1750 rpm Armadura 90 VCD 7.8 Amp Campo 50/100 VCD 0.6/1.2 Amp

Tabla 6. 1. Especificaciones del Motor de CD Baldor El diagrama eléctrico del motor Baldor se muestra en la figura 6.2, se observa que

está máquina puede interconectarse de acuerdo a los diferentes tipos de configuración que existen para las máquinas de CD autoexcitadas como son:

Conexión en serie Conexión en derivación Conexión compuesta

También puede ser utilizada como una máquina de excitación separada si se conectan

sus devanados de campo y armadura con fuentes independientes.

Tarjeta de adquisición de datos sensoray 626

Etapa de potencia

Acondicionamiento de señales

Control del motor

6.2. Motor de CD

99

Figura 6.2. Diagrama eléctrico del motor de CD Baldor

Para la implementación del control por modos deslizantes se decidió utilizar la configuración en derivación, para tener una conexión en derivación o paralelo en el motor de CD Baldor se conectan F2 y F3, F1 y A1, F4 y A2, esto se muestra en la figura 6.3, de esta forma tenemos el motor de CD conectado en derivación o paralelo. El voltaje de línea se escoge como 40 VCD.

Figura 6.3. Conexión en derivación del motor de CD Baldor

Antes de diseñar el control es importante obtener el modelo del mismo para poder

simularlo y así conocer el funcionamiento dinámico del motor en lazo abierto, la figura 6.4, muestra el equivalente eléctrico de un motor de CD en derivación, de acuerdo a este equivalente se obtienen las ecuaciones de estado que modelan al motor de CD en derivación dadas por 6.1.

FFL

fr

fxr

ar

ai

+

−

fi

ti

−

+

fvAF r fL Iω av

+

−

AAL

Figura 6.4. Circuito equivalente de la máquina de CD en derivación.


100

Una vez obtenidas las ecuaciones que rigen el comportamiento de la máquina de CD

es necesario conocer los parámetros del motor CD Baldor con el fin de simularlo y conocer su dinámica en lazo abierto y sin controlador,

Los parámetros del motor de CD Baldor se tomaron de la caracterización del motor

que realizó el alumno de maestría Roberto II Ovando en la elaboración de la tesis “Emulador de turbina eólica para el banco de pruebas de generación eoloeléctrica” [41], mediante el empleo de la norma IEEE113 [42], estos parámetros se presentan en la tabla 6.2.

Parámetros Conexión en Bajo Voltaje Conexión en Alto Voltaje Resistencia de armadura

[ ]aR 1.276 Ω 1.276 Ω

Inductancia de armadura [ ]aL

23.62 mH 23.62 mH

Resistencia de campo [ ]fR

39.94 Ω 163.39 Ω

Inductancia de campo [ ]fL

5.6 H 23.13 H

Auto inductancia [ ]afL

411.4 mH 821.6 mH

Momento de Inercia [ ]J

31.717 2 kg m⋅ 17.487042 2 kg m⋅

Coeficiente de Fricción [ ]B

3.543186677 5555----×10×10×10×10 2.1327 5555----×10×10×10×10

Tabla 6.2. Parámetros del motor de CD Baldor Una vez conociendo los parámetros y el modelo de la máquina se procede a simular

el modelo, véase figura 6.5, la simulación se realizó con los parámetros de la conexión a bajo voltaje ya que esta es la configuración que se utilizará.

Como se observa se presenta un pico muy elevado en la corriente en la armadura, la

configuración de la máquina produce que el par electromagnético al arranque sea elevado, el sistema tarda aproximadamente 900 segundos en llegar a su estado estacionario.

f

f f f FF

div R i L

dt= +

aa a a AA r AF f

div r i L L I

dtω= + +

re m r L

dT J B T

dt

ωω= + +

(6.1)

6.2. Motor de CD

101

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

1

2

if(A

mp)


X: 1003

Y: 1.252

If

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

20

40

ia(A

mp)


X: 1003

Y: 9.172Ia

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-100

0

100

wr(

rad/s

)


X: 1037

Y: 74.38

Wr

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

20

40

Te(N

m)


time (sec)

X: 1003

Y: 4.724

Te

Figura 6.5. Simulación en lazo abierto del motor de CD Baldor conexión en derivación.

La figura 6.6; muestra el comportamiento en simulación del motor Baldor cuando se

le aplica un escalón en el par de carga del 50 % de su valor, se observa que la velocidad del motor disminuye y restablece la operación en estado estable en la condición de carga reducida en aproximadamente 600 segundos.

En el motor Baldor un cambio en el par de carga del 50% repercute en la velocidad

en un 14 % aproximadamente. La corriente de armadura y el par electromagnético sufrieron aproximadamente la misma modificación en su valor.

1000 1500 2000 2500 3000 35001.2519

1.2519

1.2519X: 1847

Y: 1.252

if(A

mp)


X: 2035

Y: 1.252

1000 1500 2000 2500 3000 35005

10

15

X: 1927

Y: 9.131

ia(A

mp)


X: 2810

Y: 13.67

1000 1500 2000 2500 3000 350060

70

80

X: 1847

Y: 74.46wr(

rad/s

)


X: 2573

Y: 63.41

1000 1500 2000 2500 3000 35004

6

8X: 1847

Y: 4.703 X: 2652

Y: 7.022Te(N

m)


time (sec)

If

Ia

Wr

Te

Figura 6.6. Simulación en lazo abierto del motor de CD Baldor ante perturbaciones de la carga.

6.3 Acondicionamiento de señales

Para la implementación del control es necesario sensar la variable a controlar y la variable que se modificará para utilizarla como perturbación; estas son la velocidad angular y el par mecánico de la carga.


102

La velocidad del motor se censó mediante un transductor óptico llamado encoder (véase figura 6.7), un encoder óptico es un sensor que permite detectar el movimiento de rotación de un eje. El encoder estará operando en relación al eje del elemento cuya posición deseamos determinar. Y su fundamento viene dado por la obtención de la medida en base a la luz que traspasa una serie de discos superpuestos que codificarán la salida digital.

Figura 6.7. Fotografía del encoder utilizado para la medición de velocidad

El módulo DL10055 tiene una relación de que por cada revolución por minuto el

módulo envía 1 mili volt es decir una resolución de 1/0.1 rpm/mV.

El principio de operación de un encoder se basa en los llamados fotoacopladores. Éstos son pequeños integrados que consisten en un diodo en forma de fotoemisor y un transistor que realiza las tareas de fotorreceptor. Este elemento se encarga de detectar la presencia/ausencia de la luz a través de los discos concéntricos al eje, los cuales están fabricados con unas ranuras que dejan pasar la luz en función de una codificación utilizada para obtener la medida final.

La salida del encoder es enviada al módulo de medida digital de la potencia mecánica DL10055 del fabricante DeLorenzo, este modulo se encarga de convertir estos pulsos a un voltaje analógico proporcional a la velocidad angular, este voltaje es compatible con los niveles de tensión admisibles para la tarjeta de adquisición de datos Sensoray 626.

El programa en Simulink, para la adquisición de velocidad se muestra en la figura 6.8, como se puede observar, se tiene la entrada de la tarjeta de adquisición la cual lee un voltaje proporcional a la velocidad, está se manda al subsistema tacómetro y este último convierte el voltaje a una velocidad proporcional en rpm y en rad/seg.

Motor

Encoder Discos concéntricos

6.3. Acondicionamiento de Señales

103

wm

vel_med

rpm

vel2

rads

vel1

0

v1

0

v

t

time

wm

U0

U1

tacometro

0

rpm

0

rad/s

Saturation

Clock

Analog

Input

Analog InputSensoray

Model 626 [1h]

Figura 6.8. Diagrama en Simulink para la medición de velocidad

En la figura 6.9 se muestra el subsistema tacómetro, en el cual se observa que ese

voltaje se multiplica con una ganancia y así se obtiene la velocidad en rpm, enseguida la velocidad en rpm se convierte en rad/seg.

2

U1

1

U0Product

-K-

Gain0

Constant1

-C-

Constant

Add

1

wm

Figura 6.9. Diagrama en Simulink del subsistema tacómetro

El tiempo de muestreo que se utilizó para realizar las graficas siguientes es de

0.0005 seg en ellas se muestra la velocidad cuando a la alimentación del motor de CD se varía de 0 a 40 volts véase figura 6.10. Nótese que en el instante de muestreo 520 se apaga la fuente de alimentación volviéndola a encender en el instante 560, para ver la respuesta del motor para un escalón como entrada.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

muestras

volts

velocidad medida

Figura 6.10. Velocidad del motor expresada en voltaje

La figura 6.11 muestra la respuesta de la velocidad ante el arranque del motor a 40

volts en el instante de muestreo 222, antes de ese instante el motor se encuentra apagado


104

por lo que los datos antes del la muestra 29, son datos que se encuentran en el buffer de la tarjeta.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

INSTANTES DE MUESTREO

rad/s

eg

Velocidad medidad

Figura 6.11. Comportamiento de la velocidad en lazo abierto

El par de carga se mide a través de una celda de carga (véase figura 6.12), la cual se

encarga de medirle esfuerzo mecánico presente en la flecha del motor. La salida de la celda se envía al modulo de medida digital de la potencia mecánica

DL10055 del fabricante DeLorenzo, este acondiciona la señal a un voltaje analógico proporcional al par mecánico de la flecha del motor y compatible con los niveles de tensión de la tarjeta Sensoray 626.

Figura 6.12. Fotografía de la celda de carga utilizada para la medición del par

Celda de carga

Freno magnético

Acoplamiento mecánico

6.4. Etapa de Potencia

105

6.4 Etapa de potencia La tarjeta Sensoray 626 manda señales de 0-10 volts de CD, dicha tensión no podría

excitar al motor de CD para poder efectuar el control. Por lo se tendrá que buscar como acondicionar la señal de control a niveles de tensión adecuadas para excitar el motor.

En muchas aplicaciones industriales, es necesario convertir una fuente de CD de

voltaje fijo a una fuente de voltaje variable. Un circuito troceador convierte directamente de CD a CD, por lo que también se conoce como convertidor de CD A CD. Los troceadores se utilizan ampliamente en el control de los motores de tracción de automóviles eléctricos, tranvías eléctricos, grúas marinas, montacargas y elevadores de minas. Ya que proporcionan control en aceleraciones continuas, una alta eficiencia y una respuesta dinámica rápida.

Este tipo de dispositivos no van a ser necesario emplearlos ya que el controlador por modos deslizantes nos proporciona una señal de control de voltaje de CD variable, sin embargo la tarjeta sensoray 626 no proporciona los niveles de tensión y corrientes adecuados para el funcionamiento optimo del motor de CD en derivación, por lo que va ser necesario encontrar una alternativa para la implementación de la ley de control.

Entonces es necesario emplear un dispositivo que reproduzca la señal de control en sus tiempos de encendidos y tiempos de apagado, pero con los niveles de tensión y corrientes pertinentes para el funcionamiento del motor de CD en derivación.

Los dispositivos de estado sólido de potencia fueron la alternativa buscada para la implementación de la ley de control, siendo un transistor tipo Mosfet el idóneo para dicha tarea, ya que son dispositivos semiconductores de tres terminales cuyas corrientes se controlan mediante un campo eléctrico creado por una tensión aplicada entre dos de sus terminales, es decir son dispositivos controlados por tensión.

El Mosfet se empleó como un interruptor controlado por los niveles de voltajes de la señal de control. La señal de control que proporciona la tarjeta sensoray 626 a través del controlador, se envía al driver mic4451BN, con el fin de garantizar el disparo del mosfet. La figura 6.13, muestra la conexión eléctrica de las partes que integran la etapa de potencia para el control del motor de CD en derivación, en está se observa en que forma se conectó la salida de la tarjeta, el driver, el mosfet con el motor y la fuente.

Figura 6.13. Conexión eléctrica de la etapa de potencia del control


106

La figura 6.14 muestra la fotografía de las tarjetas que se realizaron para la implementación práctica del control, está indica a que va conectada cada terminal.

Figura 6.14. Fotografía de la etapa de potencia del control

6.5 Tarjeta de adquisición El muestreo de las variables se realizó con la tarjeta de adquisición de datos

Sensoray 626 a 1ms, la tarjeta Sensoray 626 es compatible con los software de Windows: 98, NT4, ME, 2000 y XP.

Los programas de aplicación pueden ser desarrollados en cualquier entorno

compatible con Windows, incluyendo Visual C++, Visual Basic, Delphi, etc. La tarjeta de Sensoray 626 cuenta con entradas y salidas analógicas, digitales,

contadores de entrada y salida, y entrada y salidas para encoders y cuenta con 8 puertos para cada salida y entrada. Para la realización de la tesis solo se ocuparon entradas y salidas analógicas, los rangos de voltajes para dichos puertos son de ±10 volts.

Una de las ventajas que presenta la tarjeta Sensoray 626 y por la cual se decidió a

utilizarla es su compatibilidad con el software de diseño Matlab-Simulink, ya que dentro de las librerías de Simulink viene cargada la tarjeta. En el anexo D se muestra como se carga para poderla utilizar la tarjeta Sensoray 626 en Simulink,

Mosfet

Driver

Conexión de la Fuente de 0-40 VCD

A la tarjeta

De la tarjeta Al driver

Al Motor

Al Mosfet

6.6. Diseño del Control

107

6.6 Diseño del control Para diseñar el controlador se parte del modelo 6.1. Se define el error de

seguimiento e dado por 6.2 como la diferencia entre la velocidad angular medida rω y la

velocidad angular deseada *rω , obteniendo.

Se definen las variables de estado como:

La dinámica del sistema con respecto a los nuevos estados está dada por:

( )1 2

2 1 1 2 2 l

x x

x a x a x f t bv

=

= − − + −

(6.4)

donde , 2a m

AA

r Ba

L J

= +

, AF f

AA

L ib

JL= , lv es el voltaje de línea y

( ) * * *2 1

a Lr r r L

AA

r Tf t a a T

JL Jω ω ω= + + + +

,

Teniendo definidos los estados y la dinámica del sistema, definimos la superficie

deslizante para el sistema resultante de segundo orden como:

1 2S cx x= + (6.5)

con c siendo una constante positiva.

La ley de control la definimos de la siguiente forma:

( )0 su u ign S= (6.6)


El programa que se realizó en Matlab-Simulink para implementar el control por

modos deslizantes quedó como se ilustra en la figura 6.15.

*r re ω ω= − (6.2)

1x e=

2x e=

(6.3)


108

x1

x2

S

Wref

wrf1

u

voltswm

vel_med

rads1

vel6

s

x1

x2

rpm

vel2

rads

vel1

0

v1

0

v

t

time

wm

U0

U1

tacometro

rpm

0

rad/s

-K-

c1

-K-

c

tl

TL_med1

0

TL

seno

pulsos

trapecio

escalon

rampa+cte

Subsystem3Saturation1

Saturation

U

S

U-

SMC

Manual Switch

5

Clock

Analog

Output

Analog OutputSensoray

Model 626 [1h]

Analog

Input

Analog Input1Sensoray

Model 626 [1h]

Analog

Input

Analog InputSensoray

Model 626 [1h]

butter

Analog

Fil ter Design

Add1Add

Figura 6.15. Programa en Matlab-Simulink del control por modos deslizantes

La figura 6.16 muestra una fotografía de todas las partes que integran el sistema de

control por modos deslizantes.

Figura 6.16. Fotografía del sistema completo

6.7 Resultados obtenidos en la implementación

Para validar el comportamiento del control por modos deslizantes diseñado e implementado se realizaron primero pruebas para el seguimiento de trayectorias para esto se idearon 5 perfiles de velocidad diferentes, para ser utilizados como la velocidad de

Tarjeta De adquisición

PC Modulo

DL10055

Motor Freno

magnético Encoder

Etapa de potencia

6.7. Resultados Obtenidos en la Implementación

109

referencia con el fin de que el control diseñado e implementado siga sin problemas a la velocidad de referencia.

Para obtener mejores resultados, el control se conmutó sobre una banda de

deslizamiento y no sobre la superficie de deslizamiento s = 0, con el propósito de suavizar la señal de control durante el tiempo que el control se encuentre sobre la banda de deslizamiento esto con el fin de disminuir el chattering, el tiempo de muestreo para la implementación fue de 0.001 seg. Los cinco perfiles de velocidad son los que se muestran a continuación.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil uno

time (sec) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil dos

time (sec)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil tres

time (sec) Primer perfil Segundo perfil Tercer perfil

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5040

45

50

55

60

65

70

75

80

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil cuatro

time (sec)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5010

20

30

40

50

60

70

80

ve

loc

ida

d d

e r

efe

ren

cia

Perfil cinco

time (sec) Cuarto perfil Quinto perfil

La respuesta de la velocidad para el primer perfil de velocidad se muestra en la

figura 6.17, se observa que el control hace que el sistema converja a la referencia en 3.87 segundos.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

wr(

rad/s

)


time (sec)

vel. medidad

referencia

Figura 6.17. Respuesta de la velocidad para el primer perfil.


110

El error de seguimiento para la referencia dada por el perfil uno se muestra en la figura 6.18, el pico que se observa en la grafica del error y de la respuesta del motor se debe que es el tiempo en que tarda la tarjeta en leer datos de forma adecuada.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-100

-50

0

50

x1(r

ad/s

)

Estado x1 (error se segumiento)

time (sec) Figura 6.18. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil uno

La figura 6.19 muestra la respuesta del motor de CD para el perfil de velocidad dos,

se observa que el control hace converger al sistema en aproximadamente 0.3 segundos se nota en la zona de operación a baja velocidad el ruido causado por el chattering es mayor que en la zona de velocidades mas alta.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

wr(

rad/s

)


time (sec)

vel. medidad

referencia

Figura 6.19. Respuesta de la velocidad ante el segundo perfil de velocidad.

El error de seguimiento para la referencia dada por el perfil dos se muestra en la

figura 6.20.


111

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-15

-10

-5

0

5

10

x1(r

ad/s

)


time (sec) Figura 6.20. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil dos

La respuesta de la velocidad para el tercer perfil de velocidad se muestra en la figura

6.21, el control hace converger al sistema en aproximadamente 1.09 segundos.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

wr(

rad/s

)


time (sec)

vel. medidad

referencia

Figura 6.21. Respuesta de la velocidad ante el tercer perfil de velocidad.

La figura 6.22, ilustra el error de seguimiento de trayectoria para el perfil tres, los picos que se observan en la figura se producen en los cambios de referencia y se aprecia que después del cambio el control hace que el error converja a cero de nuevo.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

x1(r

ad/s

)


time (sec) Figura 6.22. Error de seguimiento para el tercer perfil de velocidad.


112

La respuesta de la velocidad para el cuarto perfil se muestra en la figura 6.23, el control hace converger al sistema en aproximadamente 1.06 segundos.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

wr(

rad/s

)


time (sec)

vel. medidad

referencia

Figura 6.23. Respuesta de la velocidad ante el cuatro perfil de velocidad.

La figura 6.24 muestra el error de seguimiento de trayectorias del sistema, los picos

que se aprecian en la gráfica se deben en que en esos instantes ocurren los cambios de referencia, se observa que después del cambio de referencia el control hace que de nuevo el error converja a cero.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

x1(r

ad/s

)


time (sec) Figura 6.24. Error de seguimiento para el cuarto perfil de velocidad.

La respuesta de la velocidad para el quinto perfil se muestra en la figura 6.25, se

observa que el control hace que el sistema converja en 2.9 segundos.


113

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

140

wr(

rad/s

)


time (sec)

vel. medidad

referencia

Figura 6.25. Respuesta de la velocidad ante el quinto perfil de velocidad.

La gráfica del error de seguimiento de trayectorias para el perfil cinco se muestra en

la figura 6.26.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-30

-20

-10

0

10

20

30

40

x1(r

ad/s

)


time (sec) Figura 6. 26. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil cinco.

Se aprecia en las pruebas anteriores que el control por modos deslizantes cumple de manera satisfactoria la tarea de seguimiento de trayectoria ya que los errores de seguimiento no son mayores de 10 rad/seg salvo cuando se hacen cambios de referencia. A continuación en la tabla 6.3 se muestra los índices de desempeño del controlador por modos deslizantes implementado para los perfiles de velocidad propuestos para su validación. Como se puede observar en dicha tabla los índices de desempeño que presenta el controlador implementado para los perfiles uno, dos y cuatro son pequeños por lo que el control tiene un buen desempeño dinámico, sin embargo para los perfiles tres y cinco algunos índices resultan ser algo grandes por lo que para este tipo de referencias el comportamiento del control se desvía un poco más del comportamiento deseado o ideal.


114

Índice Perfil uno Perfil dos Perfil tres Perfil cuatro Perfil cinco

IAE 0.1315 0.006667 1.211 0.284 1.05

ISE 0.01728 4.44e-5 1.466 0.08065 1.113

ITAE 6.573 0.3 60.54 14.2 52.75

ITSE 0.8641 0.002 73.3 4.033 55.65

Tabla 6.3. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad

Una de las principales características del control por modos deslizantes es la robustez que presenta ante perturbaciones desconocidas, por lo que las siguientes pruebas que se le realizaron al control diseñado fueron las de introducir una perturbación en el par de carga una vez que el control se encontrase sobre la referencia, esto con el fin de observar la respuesta del controlador ante perturbaciones que se puedan presentar en el motor. La perturbación en el par de carga se introdujo por medio del freno magnético DL10300A del fabricante DeLorenzo, el cual produce un par de carga dependiendo del voltaje que se le suministre.

La figura 6.27 muestra la respuesta de la velocidad para un aumento del par de carga de 1.28 Nm en el segundo 30 aproximadamente, se observa que el control hace que el sistema rechace la perturbación de está magnitud ya que la magnitud de la velocidad no se corrompe por la perturbación.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

X: 31.74

Y: 100

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 29.32

Y: 100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

X: 29.67

Y: 4.12

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

X: 33.01

Y: 5.432

vel. medidad

referencia

par de carga

Perturbación

Perturbación

Figura 6.27. Respuesta de la velocidad par una perturbación de 1.2 Nm.

La figura 6.28 muestra la respuesta de la velocidad ante una perturbación en el par

de carga de 5.6 Nm en el segundo 31 aproximadamente, se ve que ante una perturbación de dicha magnitud el controlador implementado sigue rechazando la perturbación ya que la respuesta de la velocidad no se corrompe.


115

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

X: 28.74

Y: 100

X: 33.47

Y: 100

wr(

rad/s

)


time (sec)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

X: 34.33

Y: 10.07

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

X: 29.21

Y: 4.242

vel. medidad

referencia

par de carga

Perturbación

Perturbación

Figura 6.28. Respuesta de la velocidad ante una perturbación en el par de carga de 5.6 Nm.


de carga de 9.22 Nm en el segundo 36 aproximadamente, se observa que ante una perturbación de está magnitud el sistema sigue rechazando la perturbación.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

X: 34.04

Y: 100

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 37.62

Y: 100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

X: 34.04

Y: 4.333

X: 39.4

Y: 13.4

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

par de carga

vel. medidad

referencia

Perturbación

Perturbación

Figura 6.29. Respuesta de la velocidad para un aumento de carga de 9.1 Nm.


de carga de 54.2 Nm en el segundo 30 aproximadamente, se observa que aunque la perturbación es muy grande el control todavía rechaza la perturbación.


116

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

X: 32.78

Y: 80

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 28.24

Y: 82.52

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80 X: 35.19

Y: 59.54

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

X: 28.78

Y: 4.669

vel. medidad

referencia

par de carga

Perturbación

Perturbación

Figura 6.30. Respuesta de la velocidad para un aumento en el par de carga de 54.2 Nm.

Al realizar las pruebas con las perturbaciones en el par de carga se logró comprobar la robustez del control por modos deslizantes diseñado e implementado, ya que aunque se varió la perturbación la respuesta del controlador ante dichas perturbaciones no se modifico o se corrompió muy poco, por lo que se concluye que este controlador es robusto ante variaciones en el par de carga. En la tabla 6.4 se muestran los índices de desempeño del controlador por modos deslizantes para las pruebas que se realizaron cuando al motor se le introdujeron perturbaciones en el par de carga. En dicha tabla se puede apreciar que los índices de desempeño que presenta el controlador para dichas perturbaciones son pequeños por lo que el control implementado tiene un buen comportamiento dinámico ante perturbaciones en el par de carga.

Magnitud de la perturbación en el par de carga de la máquina de CD

Índice 1.2 Nm 5.6 Nm 9.1 Nm 54.2 Nm

IAE 0.94 0.1137 0.19 0.01894

ISE 0.0674 0.1129 0.614 0.006058

ITAE 0.00896 0.1784 0.009088 0.008826

ITSE 0.000184 0.9553 0.0001652 0.0001625

Tabla 6.4. Índices de desempeño del controlador ante perturbaciones

El control por modos deslizantes de igual manera cumplió satisfactoriamente para la tarea de seguimiento de trayectorias, ya que con los cinco diferentes perfiles de velocidad se observó que para todos estos la velocidad convergió de manera rápida y permaneció sobre la referencia solo con un chattering de 2 rad/seg.

El error del chattering que se observa en las gráficas de las respuestas del sistema se debe a que la dinámica del sensor de velocidad (encoder) no se modeló ni se tomó en cuenta durante el diseño del controlador, por lo que los efectos de esta dinámica no


117

considerada se hicieron presentes durante la implementación del controlador. Otra razón por la que el chattering apareció durante la implementación del control es que se diseñó un control discontinuo para un modelo del sistema en tiempo continuo y esto puede causar vibraciones [38] cuado se implementa debido a que por lo general se utiliza una razón de muestreo finita sin modificaciones en tiempo discreto.

Las vibraciones por discretización son debidas, a que la frecuencia de conmutación está limitada a la frecuencia de muestreo, pero una correcta implementación de los modos deslizantes requiere de una frecuencia de conmutación infinita. Entonces las razones de muestreo que son posibles implementar con la tarjeta de adquisición Sensoray 626 no permiten conmutar la señal de control a una frecuencia adecuada para la implementación del control por modos deslizantes.

Debido a que el sensor de velocidad (encoder) tiene una muy baja resolución, esto

provoca que variara la velocidad sensada en un rango considerable, para mejor aclaración véase figura 6.31, esta muestra, la respuesta de la velocidad en lazo abierto para un voltaje fijo de 20 Volts y la ampliación de esta.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

wr(

rad/s

)

Velocidad Angular wr en lazo abierto

time (sec)

vel. medidad

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

44

45

46

47

48

49

50

51

wr(

rad/s

)Velocidad Angular wr en lazo abierto

time (sec)

vel. medidad

a) b) Figura 6.31. a) Respuesta de la velocidad del motor en lazo abierto a un voltaje fijo de 20 volts, b) ampliación

de la gráfica de la velocidad para ver la variación de la velocidad medida. Para mejorar la respuesta del sistema se suavizó la señal de control mediante la

adición de un filtro pasa bajas, de esta manera podremos atenuar el chattering. El filtro se diseñó a partir de la transformada rápida de Fourier (FFT) de la señal de control.


118

119

Capítulo 7

7 Conclusiones y trabajos futuros

Cómo parte final de este trabajo se presentan las conclusiones obtenidas al finalizar el trabajo, de acuerdo al diseño, síntesis, aplicación, simulación e implementación del control por modos deslizantes desarrollado para los motores de CD.

Aparte se dan algunos comentarios de trabajos futuros que pueden ser desarrollados relacionados con este trabajo.

7.1 Conclusiones

La realización de esta tesis nos permite perfilar las principales razones del porque la aplicación de modos deslizantes es un método prometedor para control de sistemas con dinámicas no lineales de alto orden que operan bajo condiciones inciertas.

Este trabajo presentó la aplicación de los controles por modos deslizantes de velocidad y posición a cinco tipos de motores de CD, con el fin de lograr un control adecuado de los estados velocidad y posición aún cuando se presenten incertidumbres en el modelo de las máquinas, y se revisó la robustez de los controladores para perturbaciones desconocidas en la carga. Para esto se utilizaron herramientas de control de sistemas no lineales. El control por modos deslizantes se diseñó con la idea de que sea insensible a la variación de la inductancia de campo y que sea robusto a perturbaciones en el par de carga de la máquina. Se presentó la condición que se debe de satisfacer para que el modo deslizante exista, esto se logro a partir de la derivada de la función candidata de Lyapunov.

La superficie deslizante para los diferentes controladores se diseñó a partir de la función propuesta por Slotine [2], está función va ser que para cuando el sistema tenga un grado relativo igual a dos la superficie de conmutación o deslizamiento va estar dada por una función PD, solo para este caso en particular.

Capítulo 7. Conclusiones y Trabajos Futuros

120

Los controladores por modos deslizantes fueron diseñados sobre la base de modelos no lineales de los motores de CD, estos modelos describen la evolución de la velocidad de la flecha, las corrientes en los devanados y el par electromagnético generado.

Las perturbaciones en la carga de las máquinas son funciones escalares aditivas o

sustractivas que se introducen al par de carga, esto para simular un aumento o disminución del valor de la carga de la máquina

En la simulación de la máquina de CD de excitación separada, cuando inicia la

simulación se observa que la máquina presenta una velocidad negativa esto es debido a que la ecuación (A1.5) que fue la que se implementó para la simulación del comportamiento de la máquina depende del par inercial, el par de carga y el par electromagnético de la máquina y a su vez estos términos dependen de la velocidad del rotor, las corrientes de campo y armadura de la máquina, entonces al arranque de la simulación las condiciones iniciales de estos términos son cero exceptuando el par de carga y como se ve en la ecuación este se resta provocando que se vea como si el motor girara al revés, esto se corrige cuando la corriente de armadura es lo suficientemente grande para generar un par de fuerzas por la reacción magnética y así lograr que el rotor gire. Esto físicamente representa que la flecha del motor permanecerá estacionaria hasta producir la fuerza necesaria para hacer girar la flecha.

( )1rm r AF f a L

dB L i i T

dt J

ωω= − + −

La estructura de la ley de control escogida tiene la particularidad de que el control

de corriente del motor es logrado de manera implícita debido a la aceleración del control, es decir gracias a la conmutación a muy alta frecuencia. A demás de que presento una respuesta dinámica rápida, y una alta robustez con respecto a perturbaciones en los subsistemas eléctricos y mecánicos de los motores de CD.

El control por modos deslizantes permite una reducción del orden del sistema de los

motores y las propiedades de la invariancia son fácilmente alcanzables en sistemas de segundo-orden con ecuaciones dinámicas. La dinámica del modo deslizante depende de las ecuaciones de la superficie de conmutación y no depende del control.

En está tesis se trataron principalmente sistemas descritos por ecuaciones diferenciales no lineales de dimensión n en espacio de estados, con m acciones de control como se muestra en la figura 6.1

7.2. Trabajos futuros

121

Figura 7.1. Estructura del control por modos deslizantes

En la implementación práctica del control por modos deslizantes en el motor de CD

en derivación, se realizó una implementación analógica de una ley de control discontinua mediante un dispositivo de rápida conmutación, en este caso un Mosfet; este método de implementación fue factible ya que solo se tiene un voltaje de alimentación permitiendo de esta manera el uso de dispositivos semiconductores de potencia.

Debido al método de implementación del control por modos deslizantes realizado,

se presentaron vibraciones en sistema de control debido a la implementación a una razón de tiempo finita sin modificaciones en tiempo discreto, es decir no se discretizo ni el modelo ni el control.

El problema del chattering aparece durante la implementación debido a que al momento de diseñar e implementar el controlador no se tomó en cuenta la dinámica del sensor de velocidad (encoder), entonces debido a que su dinámica es más lenta que las del Mosfet y la tarjeta de adquisición, esto nos produce un error.

7.2 Trabajos futuros

Al concluir este trabajo todavía existen diferentes aspectos que se pueden seguir investigando los cuales son: Implementación del control por modos deslizantes al motor de CD Baldor que se encuentra en el laboratorio del Cenidet mediante la implementación discreta de los modos deslizantes pudiéndose utilizar sistemas o dispositivos más rapidos; para poder tener una aproximación mas adecuada a la implementación de los modos deslizantes y poder ver si se puede reducir o eliminar el problema del chattering.

La extensión del control por Modos Deslizantes a sistemas multivariables, por ejemplo la aplicación del control a un motor de inducción pudiéndose estimar las corrientes de estator con un observador por modos deslizantes y así poderlas retroalimentar para hacer un control de estados por modos deslizantes o cualquiera que se desee.

Capítulo 7. Conclusiones y Trabajos Futuros

122

123

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127

Anexo A

A.1. Máquina de CD de excitación separada

Las ecuaciones diferenciales de la máquina de excitación separada están dadas por la ecuación 2.12, de la que tenemos

ff f f FF

div i R L

dt= +

(A1.1)

aa a a AA AF r f

div i R L L i

dtω= + +

(A1.2)

Resolviendo la ecuación de voltaje de campo para fdi / dt tenemos

( )1f

f f f

FF

div i R

dt L= −

(A1.3)

Ahora, resolviendo para la ecuación del voltaje de armadura para adi / dt tenemos

( )1a

a a a AF r f

AA

div i R L i

dt Lω= − −

(A1.4)

La relación entre el par del motor y la velocidad está dado por la ecuación 2.17

resolviendo para rdω / dt y el par está dado por e AF f aT L i i= ; tenemos

( )1r

m r AF f a L

dB L i i T

dt J

ωω= − + −

(A1.5)

Implementación de las ecuaciones de la máquina de DC de excitación separada

Una vez obtenidas las ecuaciones de estado (A1.3, A1.4, A1.5) de la máquina de

excitación separada fueron programadas en la S-Function Excitación_separada_Machine.m, este programa se manda a llamar y se ejecuta dentro de el programa excitación_separada.mdl. La figura A1.1 muestra el programa excitación_separada.mdl.

Anexo A

128

Out1

Vf1

t

To Workspace4

TL

In1

In2

In3

In4

Subsystem1

In1

Corriente De Campo

Corriente De Armadura

Velocidad

Par Electromágnetico

Excitacion_separada_Machine

DC Motor

Clock

Corriente De Campo " If "Corriente De Campo " If "Corriente De Campo " If "

Corriente De Armadura " Ia "Corriente De Armadura " Ia "Corriente De Armadura " Ia "

Velocidad Angular " wm "Velocidad Angular " wm "Velocidad Angular " wm "

Par Electromágnetico " Te "Par Electromágnetico " Te "Par Electromágnetico " Te "

Figura A1.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de 200 HP de excitada separada

Los parámetros utilizados para la simulación del modelo de la máquina de CD de

excitación separada fueron obtenidos [31], que corresponde a una máquina de 200 hp cuyos valores se muestran en la tabla A1.1.

Parámetro Valor Unidades

fR Resistencia de campo 12 Ω

FFL Inductancia de campo 9 H

ar Resistencia de armadura 0.012 Ω

AAL Inductancia de armadura 0.0035 H

AFL Inductancia mutua 0.18 H

J Momento de inercia 30 Kg m2

mB Coeficiente de fricción viscosa 0 N m s

av Voltaje de armadura 250 V

fv Voltaje de campo 250 V

LT Par de carga 2375 N m

Tabla A1.1. Parámetros de simulación de máquina de CD de excitación separada Según las ecuaciones representativas de la máquina de CD de excitación separada

los valores de los estados en estado estable son los siguientes.

Tomamos el valor de rads64.6 rω = de Krause et al.

250 V

20.833 A12

ff f f f

f

vv R i i

R= ⇒ = = =

Ω

como

( ) ( ) ( )

( )

2

2

a a a r AF f AF f AF f a a AF f r AF f a

AF f a a AF f a AF f r

v r I L I L I L I r I L I L I v

L I r I L I v L I

ω ω

ω

= + × − ⇒ − − = −

= −

( ) ( ) AF f a m r L AF f a m r L a AF f a a m r a a L

AF f a a a L m r a

L I I T L I I T r L I I r r r T

L I I r r T r

β ω β ω β ω

β ω

= + ⇒ − = × ⇒ − =

= +

A.1. Máquina de CD de Excitación Separada

129

Entonces

( ) ( )

( )

2 2

2

a L m r a AF f a AF f r m r a AF f r AF f a a L

AF f a a Lr

m a AF f

r T r L I v L I r L I L I v r T

L I v r T

r L I

β ω ω β ω ω

ωβ

+ = − ⇒ + = −

−=

+

Entonces calculamos el valor de la velocidad angular en estado estable

( ) ( )rad

s2 2

0.18 H 20.833 A 250 V 0.012 2375 N.m64.585886

0.18 H 20.833 A 0 0.012

AF f a a Lr

AF f m a

L I v r T

L I rω

β

− ⋅ ⋅ − Ω ⋅= = =

⋅ + ⋅ Ω+

rad

s250 V 64.585886 0.18 H 20.833 A 650.5666 A

0.012 0.012 r AF fa

a

a a

L IvI

r r

ω ⋅ ⋅= − = − =

Ω Ω

( )22

rads

0.18 H 250 V 0.18 H1 1 64.585886 2438.4148 N m

0.012 12 12 AF a AF

e r

a f f

L V LT

r R Rω

⋅ = − = ⋅ − = ⋅ Ω ⋅ Ω Ω

fI rω aI eT

20.833 A rads64.585886 650.5666 A 2438.4148 N m⋅

A.2. Máquina de CD de imán permanente Para el análisis del motor de imán permanente el circuito de campo se cambia por

un imán con campo magnético constante. La ecuación del voltaje para el devanado de campo es eliminada y AF fL I es sustituida por una constante vk , por lo que la dinámica del

motor está dada,

aa a a AA r v

div i R L k

dtω= + +

(A2.1)

Resolviendo para la ecuación del voltaje de armadura para adi / dt tenemos

( )1a

a a a r v

AA

div i R k

dt Lω= − −

(A2.2)

El par del motor está dado por

e v aT k I= (A2.3)

La relación entre el par del motor y la velocidad está dado por

Anexo A

130

( )1r

m r v a L

dB k i T

dt J

ωω= − + −

(A2.4)

Implementación de las ecuaciones de la maquina de CD de imán permanente

Teniendo las ecuaciones (A2.2, A2.3, A2.4) correspondientes a una máquina de

imán permanente de 5 Hp, estas se programaron en una S-Function llamada iman_permanente_Machine.m, este último se manda a llamar y ejecutar dentro del programa Iman_permanente.mdl, la figura A2.1 muestra el programa realizado en simulink.

6

Va

t

To Workspace3

In1

In2

In3

Subsystem1

In1


Velocidad


Step

iman_permanente_Machine

DC Motor

Clock

Velocidad Angular " wm "

Corriente De Armadura " Ia "

Par Electromágnetico " Te "

Figura A2.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD de imán permanente

Los valores de los parámetros utilizados para la simulación de la máquina de CD de

imán permanente fueron obtenidos de [31], y se muestran en la tabla A2.1. Parámetro Valor Unidades

ar Resistencia de armadura 7 Ω


J Momento de inercia 1.06x10-6 Kg m2

mB Coeficiente de fricción viscosa 6.04x10-6 N m s


kv Constante de carga 1.41e-2 Nm/A

LT Par de carga 3.53e-3 N m

Tabla A2.1. Parámetros de simulación de máquina de CD de imán permanente

De acuerdo a las ecuaciones que describen el comportamiento de la máquina de CD de imán permanente, los valores de los estados en estado estable son los siguientes.

( ) 2 2 a a a r v v a v a v a v v r v a a a v v rv i R k k v k i k R k k R i v k kω ω ω= + ⇒ = + ⇒ = −

( ) v a m r L a v a a m a r a Lk i B T R k R i B R R Tω ω= + ⇒ = + Entonces

A.3. Máquina de CD en Derivación

131

2 2

2

m a r a L a v v r m a r v r a v a L

a v a Lr

m a v

B R R T v k k B R k v k R T

v k R T

B R k

ω ω ω ω

ω

+ = − ⇒ + = −

−=

+

Entonces calculamos el valor de la velocidad angular en estado estable

( ) ( )rad

s2 2

0.18 H 20.833 A 250 V 0.012 2375 N.m64.585886

0.18 H 20.833 A 0 0.012

AF f a a Lr

AF f m a

L I v r T

L I rω

β

− ⋅ ⋅ − Ω ⋅= = =

⋅ + ⋅ Ω+

rads250 V 64.585886 0.18 H 20.833 A

650.5666 A0.012 0.012

a va

a a

v kI

r r

⋅ ⋅= − = − =

Ω Ω

( )22

rads

0.18 H 250 V 0.18 H1 1 64.585886 2438.4148 N m

0.012 12 12 AF a AF

e r

a f f

L V LT

r R Rω

⋅ = − = ⋅ − = ⋅ Ω ⋅ Ω Ω

fI rω aI eT

20.833 A rads64.585886 650.5666 A 2438.4148 N m⋅

A.3. Máquina de CD en derivación La ecuación diferencial para el voltaje de campo se obtiene a partir del circuito

eléctrico equivalente mostrado en la figura 2.11 y se tiene

f

f f f FF

div R i L

dt= +

(A3.1)

la ecuación diferencial para el voltaje de armadura está dada por la ecuación 3.13

a

a a a AA r AF f

div r i L L I

dtω= + +

(A3.2)

Para la ecuación del par electromagnético tenemos la ecuación 2.34

e AF f aT L i i= (A3.3)

Y la relación del par con la velocidad del motor la ecuación 2.35

r

e m r L

dT J B T

dt

ωω= + +

(A3.4)

Anexo A

132

Tendiendo las ecuaciones diferenciales del sistema podemos obtener su dinámica,

primero resolviendo las ecuaciones de voltaje de campo de la ecuación A3.1, para fdidt

tenemos:

( )1f

f f f

FF

diR i v

dt L= − +

(A3.5)

Ahora resolviendo la ecuación del voltaje de la armadura A3.2 para adi

dt tenemos:

( )1a

a a AF f r a

AA

dir i L i v

dt Lω= − − +

(A3.6)

Resolviendo la ecuación A3.4 para rd

dtω con e AF f aT L i i= , tenemos:

( )1rm r AF f a L

dB L i i T

dt J

ωω= − + −

(A3.7)

Implementación de las ecuaciones de la maquina de DC en derivación

Una vez obtenidas las ecuaciones de estado (A3.5, A3.6, A3.7) de la máquina de

CD en derivación fueron programadas en la S-Function Shunt_Machine.m, este programa se manda a llamar y se ejecuta dentro del programa Shunt_3.mdl. La figura A3.1 muestra el programa Shunt_3.mdl.

In1

In2

In3

In4

to worksapace

Out1

Vf1

250

Vf

t

To Workspace

TL

In1

Corriente De Campo


Velocidad


Scope1

Shunt_Machine

DC Motor

Clock





Figura A3.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD en derivación de 5HP

Los valores utilizados para la simulación de este modelo de la máquina de CD en

paralelo fueron obtenidos de [31] y corresponde a un motor de CD en derivación de 5 hp, y cuyos parámetros son los siguientes:

A.3. Máquina de CD en Derivación

133

Tabla A3.1. Parámetros de simulación de máquina de CD en derivación

Según las ecuaciones representativas de la máquina de CD de excitación en paralelo los valores de los estados en estado estable son los siguientes.

Tomamos el valor de rads127.7 rω = de Krause et al.

240 V

1 A240

ff f f f

f

vv R i i

R= ⇒ = = =

Ω

como

a a aa a a r AF f r

AF f

V R IV R I L I

L Iω ω

−= + ⇒ =

Ahora, sustituimos rω en la siguiente ecuación

a a ae m r L e m L

AF f

V R IT T T T

L Iβ ω β

−= + ⇒ = +

Con e AF f aT L I I= ; obtenemos

( )

( )( )

( )

2

2

2

m a m a a m a a m aAF f a L AF f a L

AF f AF f AF f AF f

AF f m am a m a m aa AF f L a L

AF f AF f AF f AF f

a AF f m a m a AF f L

m a AF f La

AF f m a

V R I R I VL I I T L I I T

L I L I L I L I

L I RR V VI L I T I T

L I L I L I L I

I L I R V L I T

V L I TI

L I R

β β β β

ββ β β

β β

β

β

= − + ⇒ + = +

+ + = + ⇒ = +

+ = +

+=

+

Entonces calculamos el valor de la corriente de armadura en estado estable



FFL Inductancia de campo 120 H








LT Par de carga 29.2 N m

Anexo A

134

( ) ( )2 2

0 240 V 1.8 H 1 A 29.2 N.m16.2222 Amp

1.8 H 1 A 0 0.6

m a AF f La

AF f m a

V L I TI

L I R

β

β

+ ⋅ + ⋅ ⋅= = =

⋅ + ⋅ Ω+

240 V - 0.6 16.222 Amp

127.925 Rad/seg1.8 H 1 Amp

a a ar

AF f

V R I

L Iω

− Ω⋅= = =

⋅

( )22

rads

1.8 H 240 V 1.8 H1 1 127.925 29.205 N m

0.6 240 240 AF a AF

e r

a f f

L V LT

R R Rω

⋅ = − = ⋅ − = ⋅ Ω ⋅ Ω Ω

fI rω aI eT

1 A rads127.925 16.2222 A 29.205 N m⋅

A.4 Máquina de CD en serie Analizando el circuito de la figura 3.8 se tiene

t fs av v v= + (A4.1)

a fsi i= (A4.2)

Donde se tiene que

a at a fs ff a a aa AFs r a

di div i R L i R L L i

dt dtω= + + + +

(A4.3)

Resolviendo la ecuación A4.3 para adi

dt tenemos

( )( )1a

t a fs a AFs r

aa ff

div i R R L

dt L Lω= − + +

+

(A4.4)

El par electromagnético está dado por

2e AFs aT L I= (A4.5)

Resolviendo la ecuación 3.18 para 2

e AFs aT L I= , tenemos

( )21rm r AFs a L

dB L I T

dt J

ωω= − + −

(A4.6)

Implementación de las ecuaciones de la maquina de CD en serie

A.5. Máquina de CD Compuesta Acumulativa

135

Las ecuaciones (A4.4, A4.5, A4.6) de máquina de excitación separada fueron desarrolladas en la S-Function Serie_Machine.m y se simuló en Simulink con el programa Serie.mdl de la siguiente manera.

110

Vf

TL

In1


Velocidad


Serie_Machine

DC Motor

Velocidad Angular " wm "

Corriente De Armadura " Ia "

Par Electromágnetico " Te "

Figura A4.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD en serie

Los valores utilizados para la simulación se tomaron de [43] son los siguientes:

Tabla A4.1. Parámetros de simulación de máquina de CD serie

A.5 Máquina de CD compuesta acumulativa

Analizando el circuido de la figura 2.19, tenemos que

t fv v=

y

t fs av v v= +

(A5.1) La ecuación de voltaje del circuito de campo está dada por

f fs

f f f FF FS

di div R i L L

dt dt= + +

(A5.2)

La ecuación de voltaje del circuito de armadura está dada por


fR Resistencia de campo 0.7 Ω

FFL Inductancia de campo 0.03 H




J Momento de inercia 0.5 Kg m2

mB Coeficiente de fricción viscosa 0.0025 N m s



Anexo A

136

aa a a AA AF r f AFS r fs

div R i L L i L i

dtω ω= + + +

(A5.3)

La ecuación de voltaje del circuito del devanado de campo en serie está dada por

fs f

fs fs fs FFS FS

di div R i L L

dt dt= + +

(A5.4)

Ahora resolviendo la ecuación (A5.2) para fdidt , tenemos

1f fs

f f f FS

FF

di div R i L

dt L dt

= − −

(A5.5)

f tcomo v v tenemos=

1f fs

t f f FS

FF

di div R i L

dt L dt

= − −

(A5.6)

Sustituyendo la ecuación A5.3 y A5.4 en A5.1 tenemos

fs fa

t a a AA AF r f AFS r fs fs fs FFS FS

di didiv R i L L i L i R i L L

dt dt dtω ω= + + + + + +

(A5.7)

Como a fsi i= , la ecuación (A5.7) queda

fa at a a AA AF r f AFS r a fs a FFS FS

didi div R i L L i L i R i L L

dt dt dtω ω= + + + + + +

(A5.8)

Ahora resolviendo la ecuación (A5.8) para adi

dt , tenemos

( )1 fa

t a a AFs r fs AF r f FS

AA FFS

didiv i R L R L i L

dt L L dtω ω

= − − + − −

+

(A5.9)

Sustituyendo A5.6 en A5.8, con a fsi i= y agrupando; tenemos

( )2

FS f FSFS at t a a AFS r fs AA FFS f AF r

FF FF FF

L R LL div v i R L R L L i L

L dt L Lω ω

− = + + + + − + −

(A5.10)

Resolviendo la ecuación A5.10 para adidt obtenemos

A.5. Máquina de CD Compuesta Acumulativa

137

Ahora sustituyendo la ecuación A5.9 en A5.2, con t fv v= y a fsi i= , tenemos

( )2

FS

FS t FS AFt t f f r

AA FFS AA FFS

fFSa a AFs r fs FF

AA FFS AA FFS

L v L Lv v i R

L L L L

LdiLi R L R L

L L dt L L

ω

ω

= + − − + +

− + + − + +

(A5.12)

Resolviendo la ecuación A5.12 para fdidt , tenemos

( )2

1 ...1

...FS

FS FS AFt f f r

AA FFS AA FFSf

FSFF a a AFs r fs

AA FFS AA FFS

L L Lv i R

L L L Ldi

dt L LL i R L R

L L L L

ω

ω

− − − +

+ + = − + − + + +

(A5.13)

El par está dado por

e AF f a AFs fs aT L i i L i i= + (A5.14)

Por lo que la relación entre el par y la velocidad queda


dL i i L i i T

dt J

ωβ ω= + − −

(A5.15)

Implementación de las ecuaciones de la maquina de DC compuesta acumulativa Las ecuaciones (A5.11, A5.13, A5.14, A5.15) de máquina de excitación separada fueron desarrolladas en la S-FunctionCompound_cumulative_Machine.m y se simuló en Simulink con el programa Compound_cumulative.mdl de la siguiente manera.

( )2

11

FS


FF FF

AA FFSFF


dt L LLL L

L

ω ω

= − − + + − −

+ −

B

….(A5.11)

Anexo A

138

In1

In2

In3

In4

to worksapace

100

Vt

TL

In1

Corriente De Campo


Velocidad


Compound_cumulative_Machine

DC Motor





Figura A5.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD compuesta acumulativa

Los valores utilizados para la simulación de este modelo de la máquina de CD compuesta acumulativa son:

Tabla A5.1. Parámetros de simulación de máquina de CD compuesta acumulativa



fsR Resistencia de campo serie 0.66 Ω

FFL Inductancia de campo 1.5 H

FFsL Inductancia de campo serie 0.098 H


AAL Inductancia de armadura 1 H


AFsL Inductancia mutua serie 9.90x10-3 H

FsL Inductancia entre el devanado en derivación

y serie

0.01 H





139

Anexo B

B.1. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD de Excitación Separada.

El modelo que se tiene la máquina de CD de excitación separada es, para ver de donde se obtuvo véase anexo A.1:

( )1ff f f

FF

diR i v

dt L= − +

( )1aa a AF f r a

AA

dir i L i v

dt Lω= − − +

( )1rm r AF f a L

dB L i i T

dt J

ωω= − + −

B1.1

B1.2

B1.3

a) Desarrollo para el control de velocidad

El error de seguimiento de velocidad es *e ω ω= − , donde *ω es la velocidad de

referencia.

Las variables de estado las definimos como:

*

1

*2

r r

r r

x e

x e

ω ω

ω ω

= = −

= = −

La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados 1x y 2x está dada

por

( )

*1 2

* *2

1r r

r r r m r AF f a L

x e x

x e B L i i TJ

ω ω

ω ω ω ω

= = − =

= = − = − − + −

Sustituyendo B1.2 en 2x tenemos

( )*2

1AF fm Lr r a a AF f r a

AA

L iB Tx r i L i v

J J L Jω ω ω

= + − − − + +

B1.4

despejando rω y rω de (B1.3) y sustituyéndolo en (B1.4), obtenemos

Anexo B

140

*2r r xω ω= −

*1r r xω ω= −

( ) ( )* * *2 2 1

AF f AF f AF fm Lr r a a AF f r a

AA AA AA

L i L i L iB Tx x r i L i x v

J JL JL JL Jω ω ω= + − + + − − +

B1.5

despejando ai de (B1.3) y sustituyéndola en (B1.5), tenemos

( ) ( )( )* *2 1

1a r m r L

AF f

i J x B x TL i

ω ω= − + − +

( ) ( ) ( )( )

( )

* * * *2 2 2 1

*1

1AF fmr r a r m r L

AA AF f

AF f AF f LAF f r a

AA AA

L iBx x r J x B x T

J JL L i

L i L i TL i x v

JL JL J

ω ω ω ω

ω

= + − + − + − +

+ − − +

Agrupando términos tenemos

2 2 2 2* * *

2 1 2AF f AF fa m a m a m a m

r r rAA AA AA AA AA AA

AF fa LL a

AA AA

L i L ir B r B r B r Bx x x

JL JL L J L J JL JL

L ir TT v

JL J JL

ω ω ω

= − + − + + + + + +

+ + −

Ahora definimos los siguientes términos

2 2

1AF fa m

AA AA

L ir Ba

JL JL

= +

2a m

AA

r Ba

L J

= +

AF f

AA

L ib

JL=

( ) * * *2 1

a Lr r r L

AA

r Tf t a a T

JL Jω ω ω= + + + +

Con lo que se obtiene el sistema siguiente

( )1 2

2 1 1 2 2 a

x x

x a x a x f t bv

=

= − − + −

(B1.6)

B.1. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD de Estación Separada

141

b) Desarrollo para el control de posición

El error de seguimiento de posición es *e θ θ= − , donde *θ es la posición de referencia.

Las variables de estado las definimos como: *

1

*2

*3

r r

r r

r r

x e

x e

x e

θ θ

θ θ

θ θ

= = −

= = −

= = −

(B1.7)

La ecuación del motor de CD con respecto a los estados 1x , 2x y 3x está dada por

( )* *1 2

* *2 3

* *3

3

3

1

1

1

sustituyendo en la ecuacion en

r r r a a a AA aAF f

AF f a mr r r L r

AF f mr r r a L r

a

x e v r i L i xL i

L i i Bx e T x

J J JL i B

x e i TJ J J

i x

x e

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= = − = − − − =

= = − = − + + =

= = − = − + +

= =

( )

( )

( )

* *

* *3

1 1

1 con , tenenemos

1 1

AF f mr r r a a AF f r a L r

AA

a r m r LAF f

AF fr r r a r m r L AF f r a

AA AF f

L i Br i L i v T

J L J J

i J B TL i

L ix e r J B T L i v

J L L i

θ θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ θ θ

− = − − − + + +

= + +

= = − = − − + + − +

1 m

L r

BT

J Jθ

+

+ +

Despejando rθ , rθ , rθ de B1.7 y sustituyéndolo en 3x , obtenemos

*

3

*2

*1

r r

r r

r r

x

x

x

θ θ

θ θ

θ θ

= −

= −

= −

Por lo tanto 3x queda

Anexo B

142

( ) ( )( ) ( )

( )

* * * *3 3 2 2

*3

1 1

1

AF fr a r m r L AF f r a

AA AF f

mL r

L ix r J x B x T L i x v

J L L i

BT x

J J

θ θ θ θ

θ

= − − − + − + − − +

+ + −

Agrupando tenemos

2 2 2 2

* * *3 2 3

AF f AF fa m a m a m a mr r r

AA AA AA AA AA AA

AF fa LL a

AA AA


JL JL L J L J JL JL

L ir TT v

JL J JL

θ θ θ

= − + − + + + + + + +

+ + −

Ahora definimos los siguientes términos como

2 2

1AF fa m

AA AA

L ir Ba

JL JL

= +

2a m

AA

r Ba

L J

= +

( ) * * *2 1

a Lr r r L

AA

r Tf t a a T

JL Jθ θ θ= + + + +

AF f

AA

L ib

JL=

Por lo que se tiene el sistema

( )

1 2

2 3

3 1 2 2 3 a

x x

x x

x a x a x f t bv

=

=

= − − + −

(B1.8)

B.2. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD de Imán Permanente.

El modelo del motor de imán permanente, se desarrolló en el capítulo dos y en el anexo A.2 y es:

( )1a

a a a r vAA

div i R k

dt Lω= − −

( )1r

m r v a L

dB k i T

dt J

ωω= − + −

(B2.1)

(B2.2)

B.2. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD de Imán Permanente

143


El error de seguimiento de velocidad es *r re ω ω= − , donde *


referencia, las variables de estado las definimos como:

*1 r rx e ω ω= = −

*2 r rx e ω ω= = −

(B2.3)


por

( )

*1 2

* *2

1r r

r r r m r v a L

x e x

x e B k i TJ

ω ω

ω ω ω ω

= = − =

= = − = − − + −

Sustituyendo (B2.1) en 2x , tenemos

( )*2

1m v Lr r a a v r a

AA

B k Tx r i k v

J J L Jω ω ω

= + − − − + +

(B2.4)

despejando rω y rω de (B2.3) y sustituyéndolo en (B2.4), obtenemos

*

2r r xω ω= − *

1r r xω ω= −

despejando ai de (B2.2) y sustituyéndola en (B2.5), tenemos

( ) ( )( )* *2 1

1a r m r L

AF f

i J x B x TL i

ω ω= − + − +

( ) ( ) ( )( )

( )

* * * *2 2 2 1

2*

1

1m vr r a r m r L

AA v

v v Lr a

AA AA

B kx x r J x B x T

J JL k

k k Tx v

JL JL J

ω ω ω ω

ω

= + − + − + − +

+ − − +

Agrupando términos semejantes, obtenemos

( ) ( )2

* * *2 2 1

m v v v Lr r a a r a

AA AA AA

B k k k Tx x r i x v

J JL JL JL Jω ω ω= + − + + − − +

(B2.5)

Anexo B

144

2 2* * *

2 1 2a m v a m a m a m v


a vLL a

AA AA

r B k r B r B r B kx x x

JL JL L J L J JL JL

r kTT v

JL J JL

ω ω ω

= − + − + + + + + +

+ + −


2

1a m v

AA AA

r B ka

JL JL

= +

2a m

AA

r Ba

L J

= +

v

AA

kb

JL=

( ) * * *2 1

a Lr r r L

AA

r Tf t a a T

JL Jω ω ω= + + + +

Por lo que el sistema resultante es

( )1 2

2 1 1 2 2 a

x x

x a x a x f t bv

=

= − − + −

B2.6


El modelo del sistema ahora lo expresamos en términos del estado posición

( )1aa a a r v

AA

div i R k

dt Lθ= − −

( )1rv a r L

m

dk i J T

dt B

θθ= − −

(B2.7)

(B2.8)

El error de seguimiento de posición es *

r re θ θ= − , donde *rθ es la posición de


*1

*2

*3

r r

r r

r r

x e

x e

x e

θ θ

θ θ

θ θ

= = −

= = −

= = −

(B2.9)

La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados 1x , 2x y 3x está

dada por

B.2. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD de Imán Permanente

145

*1 2

*2 3

* *3

1

r r

r r

v mr r r a L r

x e x

x e x

k Bx e i T

J J J

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

= = − =

= = − =

= = − = − + +

sustituyendo (B2.7) en 3x , se tiene

( )*3

1 1v mr a a v r a L r

AA

k Bx r i k v T

J L J Jθ θ θ

= − − − + + +

(B2.10)

despejando ai de (B2.8) y sustituyéndola en B2.10,obtenemos

( )1a r m r L

v

i J B Tk

θ θ= + +

( )*3

1 1 1v mr a r m r L v r a L r

AA v

k Bx r J B T k v T

J L k J Jθ θ θ θ θ

= − − + + − + + +

despejando rθ , rθ y rθ de (B2.9) y sustituyéndolo en la ecuación anterior, tenemos

*

3

*2

*1

r r

r r

r r

x

x

x

θ θ

θ θ

θ θ

= −

= −

= −

( ) ( )( ) ( )

( )

* * * *3 3 2 2

*3

1 1

1

vr a r m r L v r a

AA v

mL r

kx r J x B x T k x v

J L k

BT x

J J

θ θ θ θ

θ

= − − − + − + − − +

+ + −

Agrupando los términos semejante, se obtiene

2 2* * *

3 2 3a m v a m a m a m v


a vLL a

AA AA

r B k r B r B r B kx x x

JL JL L J L J JL JL

r kTT v

JL J JL

θ θ θ

= − + − + + + + + +

+ + −

Ahora definimos los términos como

2

1a m v

AA AA

r B ka

JL JL

= +

Anexo B

146

2a m

AA

r Ba

L J

= +

( ) * * *2 1

a Lr r r L

AA

r Tf t a a T

JL Jθ θ θ= + + + +

v

AA

kb

JL=

Entonces el sistema resultante es

( )

1 2

2 3

3 1 2 2 3 a

x x

x x

x a x a x f t bv

=

=

= − − + −

(B2.11)

B.3. Desarrollo de las ecuaciones para el control del motor de CD en derivación. El modelo que se tiene para la máquina de CD en paralelo, se desarrolló en el capítulo dos y es:

( )1ff f f

FF

diR i v

dt L= − +

( )1aa a AF f r a

AA

dir i L i v

dt Lω= − − +

( )1rm r AF f a L

dB L i i T

dt J

ωω= − + −

(B3.1)

(B3.2)

(B3.3) a) Desarrollo para el control de velocidad



referencia, entonces las variables de estado las definimos como: *

1

*2

r r

r r

x e

x e

ω ω

ω ω

= = −

= = −

(B3.4)

Las ecuaciones dinámicas del motor de CD con respecto a los estados 1x y 2x está

dada por

( )

*1 2

* *2

1r r

r r r m r AF f a L

x e x

x e B L i i TJ

ω ω

ω ω ω ω

= = − =

= = − = − − + −

B.3. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Derivación

147

Sustituyendo B3.2 en 2x , tenemos

( )*2

1AF fm Lr r a a AF f r a

AA

L iB Tx r i L i v

J J L Jω ω ω

= + − − − + +

despejando rω y rω de B3.4 y sustituyéndolo en 2x , obtenemos

*

2

*1

r r

r r

x

x

ω ω

ω ω

= −

= −

(B3.5)

( ) ( )* * *2 2 1

AF f AF f AF fm Lr r a a AF f r a

AA AA AA

L i L i L iB Tx x r i L i x v

J JL JL JL Jω ω ω= + − + + − − +

(B3.6)

despejando ai de B3.3 con B3.5, tenemos

( ) ( )( )* *2 1

1a r m r L

AF f

i J x B x TL i

ω ω= − + − +

Ahora sustituimos ai en (B3.6), obtenemos

( ) ( ) ( )( )

( )

* * * *2 2 2 1

*1

1AF fmr r a r m r L

AA AF f

AF f AF f LAF f r a

AA AA

L iBx x r J x B x T

J JL L i

L i L i TL i x v

JL JL J

ω ω ω ω

ω

= + − + − + − +

+ − − +

Agrupando términos semejantes, obtenemos

2 2 2 2* * *



AF fa LL a

AA AA


JL JL L J L J JL JL

L ir TT v

JL J JL

ω ω ω

= − + − + + + + + +

+ + −

Ahora definimos los términos como

2 2

1AF fa m

AA AA

L ir Ba

JL JL

= +

2a m

AA

r Ba

L J

= +

Anexo B

148

AF f

AA

L ib

JL=

( ) * * *2 1

a Lr r r L

AA

r Tf t a a T

JL Jω ω ω= + + + +

Por lo que obtenemos el siguiente sistema

( )1 2

2 1 1 2 2 a

x x

x a x a x f t bv

=

= − − + −

(B3.7)



( )1a

a a AF f r aAA

dir i L i v

dt Lθ= − − +

( )1rAF f a r L

m

dL i i J T

dt B

θθ= − −

(B3.8)

(B3.9)

El error de seguimiento de posición es *

r re θ θ= − , donde *rθ es la posición de


*1

*2

*3

r r

r r

r r

x e

x e

x e

θ θ

θ θ

θ θ

= = −

= = −

= = −

(B3.10)


dada por *

1 2

*2 3

* *3

1

r r

r r

AF f mr r r a L r

x e x

x e x

L i Bx e i T

J J J

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

= = − =

= = − =

= = − = − + +

Sustituyendo B3.8 en 3x , tenemos

( )*3

1 1AF f mr a a AF f r a L r

AA

L i Bx r i L i v T

J L J Jθ θ θ

= − − − + + +

(B3.11)

despejando ai de B3.9, se obtiene

B.3. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Derivación

149

( )1a m r L

AF f

i J B TL i

θ θ= + +

sustituyendo ai en B3.11, tenemos

( )*3

1 1 1AF f mr a r m r L AF f r a L r

AA AF f

L i Bx r J B T L i v T

J L L i J Jθ θ θ θ θ

= − − + + − + + +

Despejando rθ , rθ , rθ de B3.10 y sustituyéndolo en la ecuación anterior,

obtenemos

*3

*2

*1

r r

r r

r r

x

x

x

θ θ

θ θ

θ θ

= −

= −

= −

( ) ( )( ) ( )

( )

* * * *3 3 2 2

*3

1 1

1

AF fr a r m r L AF f r a

AA AF f

mL r

L ix r J x B x T L i x v

J L L i

BT x

J J

θ θ θ θ

θ

= − − − + − + − − +

+ + −

Agrupando tenemos

2 2 2 2* * *



AF fa LL a

AA AA


JL JL L J L J JL JL

L ir TT v

JL J JL

θ θ θ

= − + − + + + + + +

+ + −


2 2

1AF fa m

AA AA

L ir Ba

JL JL

= +

2a m

AA

r Ba

L J

= +

( ) * * *2 1

a Lr r L

AA

r Tf t a a T

JL Jθ θ θ= + + + +

AF f

AA

L ib

JL=


Anexo B

150

( )

1 2

2 3

3 1 2 2 3 a

x x

x x

x a x a x f t bv

=

=

= − − + −

(B3.12)

B.4. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Serie.

El modelo para el motor de CD serie se desarrolló en el anexo A.4 y es:

( )( )1a

t a fs a AFs r

aa ff

div i R R L

dt L Lω= − + +

+

( )21rm r AFs a L

dB L i T

dt J

ωω= − + −

(B4.1)

(B4.2)





*1

*2

*3

r r

r r

r r

x e

x e

x e

ω ω

ω ω

ω ω

= = −

= = −

= = −

(B4.3)

La ecuación dinámica del motor de CD en serie con respecto a los estados 1x , 2x y

3x está dada por

* * 21 2

* *2 3

* *3

2

2

m AFs Lr r r r a

m AFs Lr r r r a

m AFs Lr r r r a

B L Tx e i x

J J J

B L Tx e i x

J J J

B L Tx e i

J J J

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

= = − = + − + =

= = − = + − + =

= = − = + − +

Sustituimos (B4.1) en 3x

( )( )*3

2 1m AFs Lr r t a fs a AFs r

aa ff

B L Tx v i R R L

J J L L Jω ω ω

= + − − + + + +

(B4.4)

B.4. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Serie

151

como 2m AFs L

r r a

B L Ti

J J Jω ω= − + −

, entonces despejamos ai y la sustituimos en

B4.4, tenemos

( )1

2a r m r LAFs

i J B TL

ω ω= + +

( )( ) ( )*

3

2 1

2m AFs L

r r t r m r L fs a AFs rAFsaa ff

B L Tx v J B T R R L

J L JJ L Lω ω ω ω ω

= + − − + + + + + +

despejamos rω , rω y rω de B4.3 y los sustituimos en 3x

*

3

*2

*1

r r

r r

r r

x

x

x

ω ω

ω ω

ω ω

= −

= −

= −

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

* * * *3 3 2 1

*3

1

2

r r m r L fs a AFs r

aa ff

m AFsLr t

aa ff

x J x B x T R R L xJ L L

B LTx v

J J J L L

ω ω ω ω

ω

= + − + − + + + − +

+ + − −+

Agrupando términos iguales tenemos

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 1 2

* * *1 3

fs m fsa m a m AFs m

aa ff aa ffaa ff aa ff aa ff

fs fs mAFs a m a mr r r

aa ff aa ff aa ff aa ff aa ff

AFs

R B RR B R B L Bx x x x x

L L L L JJ L L J L L J L L

R R BL R B R Bx x

L L L L L L J J L L J L L

L

ω ω ω

= − + − + + + + ++ + +

+ + + + + + + + + + + +

+

( ) ( )

( ) ( )

* * * * * * *3 2 1

*1 5

2

AFs m AFs AFs m AFsr r r r r r r

aa ff aa ff aa ffaa ff aa ff

AFs m AFsLr L

aa ff aa ff

L B L L B Lx x x

L L L L L LJ L L J L L

L B LTx a T u

JJ L L J L L

ω ω ω ω ω ω ω

ω

+ − − −+ + ++ +

− + + −+ +

definimos los siguientes términos como

( ) ( )1fs m a m

aa ff aa ff

R B R Ba

J L L J L L

= + + +

2fs a m

aa ff aa ff

R R Ba

L L L L J

= + + + +

Anexo B

152

( )3AFs m

aa ff

L Ba

J L L=

+

4AFs

aa ff

La

L L=

+

( ) ( )5fs a

aa ff aa ff

R Ra

J L L J L L

= + + +

( )2 AFs

aa ff

Lb

J L L=

+

( ) * * * * * * * * * * *2 1 4 3 4 3 3 2 4 1 3 1 5

Lr r r r r r r r r r r L

Tf t a a a a a x a x a x a x a T

Jω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω= + + + + − − − − + +


( )

1 2

2 3

3 1 2 2 3 3 1 2 4 1 3

x x

x x


=

=

= − − + + + −

(B4.5)



( )( )1a

t a fs a AFs r

aa ff

div i R R L

dt L Lθ= − + +

+

( )21rr AFs a L

m

dJ L I T

dt B

θθ= − + −

(B4.6)

(B4.7)

El error de seguimiento de posición es *r re θ θ= − , donde *

rθ es la posición de


*1

*2

*3

*4

r r

r r

r r

r r

x e

x e

x e

x e

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

= = −

= = −

= = −

= = −

(B4.8)

La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados 1x , 2x , 3x y 4x

está dada por

B.4. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Serie

153

* * 21 2

* * 22 3

* *3 4

* *4

1

1

2 1

2

AFsr r r a L r

m m m

AFs mr r r a r L

AFs mr r r a r L

AFs mr r r a r

L Jx e i T x

B B B

L Bx e i T x

J J JL B

x e i T xJ J JL B

x e iJ J

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= = − = − + + =

= = − = − + + =

= = − = − + + =

= = − = − + +

1

LTJ

Sustituyendo B4.6 en la ecuación de 4x , tenemos

( )( )*4

2 1 1AFs mr t a fs a AFs r r L

aa ff

L Bx v i R R L T

J L L J Jθ θ θ

= − − + + + + +

(B4.9)

como 2m AFs L

r r a

B L TI

J J Jθ θ= − + −

, entonces despejamos ai y la sustituimos en B4.9

( )1

2a r m r L

AFs

i J B TL

θ θ= + +

( )( ) ( )*

4

2 1

2

1

AFsr t r m r L fs a AFs r

AFsaa ff

mr L

Lx v J B T R R L

LJ L L

BT

J J

θ θ θ θ

θ

= − − + + + + + +

+

Despejando rθ , rθ , rθ y rθ de B4.8 y la sustituimos en la ecuación anterior

*

4

*3

*2

*1

r r

r r

r r

r r

x

x

x

x

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

= −

= −

= −

= −

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

* * * *4 4 3 2

*4

1

21

r r m r L fs a AFs r

aa ff

m AFsr L t

aa ff

x J x B x T R R L xJ L L

B Lx T v

J J J L L

θ θ θ θ

θ

= + − + − + + + − + +

− + −+

Agrupando términos iguales, se tiene

Anexo B

154

( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 3 4 2 3

* * *1 3

fs m fsa m a m AFs


fs fs mAFs m a m a mr r r

aa ff aa ffaa ff aa ff aa ff

R B RR B R B Lx x x x x

L L L L J L LJ L L J L L

R R BL B R B R Bx x

L L L L JJ L L J L L J L L

L

θ θ θ

= − + − + + + + + ++ +

+ + + + + + + + ++ + +

+

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

* * * * * * *4 2 3

* *2 2 2

AFs AFs m AFs AFs AFs mr r r r r r r


AFs m AFs AFs AFsr L L r L

aa ff aa ff aa ff aa ff

fs a

aa ff aa

L B L L L Bx x x

L L L L L LJ L L J L L

L B L L Lx x T x T T

J L L J L L J L L J L L

R R

J L L J L

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ

+ − − −+ + ++ +

− − − ++ + + +

+ ++

( ) ( )2 AFsL

L

ff aa ff

LTT u

JL J L L

+ − + +


( ) ( )1fs m a m

aa ff aa ff

R B R Ba

J L L J L L

= + + +

2fs a m

aa ff aa ff

R R Ba

L L L L J

= + + + +

3AFs

aa ff

La

L L=

+

( )4AFs m

aa ff

L Ba

J L L=

+

( )2 AFs

aa ff

Lb

J L L=

+

( ) ( )5fs a

aa ff aa ff

R Ra

J L L J L L

= + + +

( )6AFs

aa ff

La

J L L=

+

* * * * * * * * * * * *2 1 3 4 3 4 3 2 4 3 4 2 2 6 2 6

5

( ) r r r r r r r r r r r L L r L

LL

f t a a a a a x a x a x a x x T a x T a T

Ta T

J

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= + + + + − − − − − − +

+ +

Entonces sistema resultante es

B.5. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD Compuesto Acumulativo

155

( )

1 2

2 3

3 4

4 1 3 2 4 3 2 3 4 1 3

x x

x x

x x


=

=

=

= − − + + + −

(B4.10)

B.5. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD Compuesto Acumulativo.

El modelo para el motor de CD compuesto acumulativo se desarrolló en el anexo A.5 y es:

( )2

11

FS


FF FF

AA FFSFF


dt L LLL L

L

ω ω

= − − + + − −

+ −

…(B5.1)


dL i i L i i T

dt J

ωβ ω= + − −

(B5.2)





*1

*2

r r

r r

x e

x e

ω ω

ω ω

= = −

= = −

(B5.3)


por

* *1 2

* *2

1

1

AF f AFs fs mr r r a a r L

AF f AFs fs mr r r a r L

L i L ix e i i T x

J J J J

L i L ix e i T

J J J J

βω ω ω ω

βω ω ω ω

= = − = − − + + =

= = − = − + + +

Sustituimos B5.1 en 2x

Anexo B

156

( )*

2 2

11

1

FS

FSt a a AFS r fs

FF AF f AFs fsr

f FSAA FFS f AF r

FF FF

mr L

Lv i R L R

L L i L ix

J JL R LL L i L

L L

TJ J

ω

ω

ω

βω

− − + + −

= − + + + − −

+ +

como 1AF f AFs fs m

r a a r L

L i L ii i T

J J J J

βω ω= + − − , entonces despejamos ai y la

sustituimos en 2x

1ma r r L

AF f AFs fs

Ji T

L i L i J J

βω ω

= + + +

( )*2 2

1

1

1

FS

FSt

FF

AF f AFs fsr m r Lr a AFS r fs

AF f AFs fs

AA FFSFF f FS

f AF rFF

mr L

Lv

L

L i L iJ Tx R L R

L i L i J JLL L

L R Li L

L

TJ J

ω β ωω ω

ω

βω

−

+ + = − − + + + + + + −

− −

+ +

despejamos rω , rω y rω de (22) y los sustituimos en 2x

*

2

*1

r r

r r

x

x

ω ω

ω ω

= −

= −

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )

* *2 1* *

2 12

*1

*2

1

1

FS

FSt

FF

r m r LAF f AFs fs

r a AFS r fs

AF f AFs fs

AA FFSFF

f FSf AF r

FF

mr L

Lv

L

J x x TL i L ix R L x R

L i L iLJ L L

L R Li L x

L

x TJ J

ω β ωω ω

ω

βω

−

− + − ++ = − − + − + +

+ − − − −

+ − +

Agrupando términos iguales tenemos


157

( )( ) ( ) ( )* *2 22 2 2

FS FS FS

FF FS AF f AFs fs a fs a fsm mr o r

FF AA FFS AA FFS AA FFSFF FF FF

L L L i L i R R R Rx u x

J JL L LJL L L L L L L

L L L

β βω ω

− + + + = − + + − + + − + − + −

( ) ( ) ( ) ( )*12 2

FS FS

m a fs AF f AFs fs f AF m a fs AF f AFs fs f AF

r

AA FFS AA FFSFF FF

R R L i L i i L R R L i L i i Lx

L LJ L L J L L

L L

β βω

+ + + + + + + − + − + −

( ) ( ) ( )( )2 2* * * * * *2 1 1 2 1 12 2

2FS FS

AFS m AFSr r r r r r

AA FFS AA FFSFF FF

L Lx x x x x x

L LL L L L

L L

βω ω ω ω ω ω+ − − + + − +

+ − + −

( ) *12 2 2

2

1

FS FS FS

FS

a fs AFS AFSL L r L L

AA FFS AA FFS AA FFSFF FF FF

AF f AFs fs f FSf

FF

AA FFSFF

R R L LT T T x T

JL L LJ L L J L L J L L

L L L

L i L i R Li

LLL L

L

ω+

+ + − +

+ − + − + −

+−

+ −

definimos los siguientes términos como

( ) ( )1 2

FS


AA FFSFF

R R L i L i i La

LJ L L

L

β

+ + + = + −

( )2 2

FS

a fs m

AA FFSFF

R Ra

JLL L

L

β

+ = + + −

3 2

FS

AFS

AA FFSFF

La

LL L

L

=

+ −

Anexo B

158

4 2

FS

m AFS

AA FFSFF

La

LL L

L

β=

+ −

( )5 2

FS

a fs

AA FFSFF

R Ra

LJ L L

L

+=

+ −

6 2

FS

AFS

AA FFSFF

La

LJ L L

L

=

+ −

( )( )2

FS

FF FS AF f AFs fs

FF AA FFSFF

L L L i L ib

LL L L

L

− +=

+ −

( ) ( )2* * * * * * * * *

2 1 3 3 2 3 1 4 4 1 5

*6 6 1 7

2r r r r r r r r r L

LL r L

f t a a a a x a x a a x a T

Ta T a T x a

J

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

ω

= + + + − − + − +

+ + + +


( ) ( )

1 2

2

2 1 1 2 2 3 1 2 4 1

x x


=

= − − + + + −

(B5.4)



( )2

11

FS


FF FF

AA FFSFF


dt L LLL L

L

θ ω

= − − + + − −

+ −

…

…(B5.5)

( )1rAF f a AFs fs a r L

m

dL i i L i i J T

dt

θθ

β= + − −

(B5.6)

( )7 2

FS

AF f AFs fs f FS f

AA FFS FFFF

L i L i R L ia

LJ L L L

L

+=

+ −


159

El error de seguimiento de posición es *r re θ θ= − , donde *

rθ es la posición de


*1

*2

*3

r r

r r

r r

x e

x e

x e

θ θ

θ θ

θ θ

= = −

= = −

= = −

(B5.7)


dada por

* *1 2

* *2 3

* *3

1

1

1

AF f AFs fsr r r a r L

m m m



L i L i Jx e i T x

L i L i Bx e i T x

J J J

L i L i Bx e i T

J J J

θ θ θ θβ β β

θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ = = − = − + + =

+ = = − = − + + =

+ = = − = − + +

Sustituyendo B5.5 en la ecuación de 3x , tenemos

( )* *3 2

1

1

1

FS

FSt

FF

AF f AFs fsr r r a a AFS r fs

AA FFS f FSFF f AF r

FF

mr L

Lv

LL i L i

x e i R L RJ L

L L R LL i LL

BT

J J

θ θ θ θ

θ

θ

− −

+

= = − = − + + − + − −

+ +

como 1AF f AFs fs m

r a r L

L i L i Bi T

J J Jθ θ

+ = − −

, entonces despejamos ai y la

sustituimos en 3x

( )r m r L

a

AF f AFs fs

J B Ti

L i L i

θ θ+ +=

+

Anexo B

160

( )( )* *

3 2

1

1

1

FS

FSt

FF

r m r LAF f AFs fsr r r a AFS r fs

AF f AFs fs

AA FFSFF f FS

f AF rFF

mr L

Lv

L

J B TL i L ix e R L R

J L i L iLL L

L R Li L

L

BT

J J

θ θθ θ θ θ

θ

θ

− −

+ ++ = = − = − + + − + + − −

+ +

Despejando rθ , rθ , rθ y de B5.7 y la sustituimos en la ecuación anterior

*

3

*2

*1

r r

r r

r r

x

x

x

θ θ

θ θ

θ θ

= −

= −

= −

( ) ( )( )( )( )

( )

( )

* *3 2* *

3 22

*2

*3

1

1

1

FS

FSt

FF

r m r LAF f AFs fsr a AFS r fs

AF f AFs fs

AA FFSFF f FS

f AF rFF

mr L

Lv

L

J x B x TL i L ix R L x R

J L i L iLL L

L R Li L x

L

Bx T

J J

θ θθ θ

θ

θ

− −

− + − ++ = − + − + − + + − − −

+ − +

Agrupando términos iguales, se tiene

( ) ( ) ( )* *3 2 2

FS FS

FF FS AF f AFs fs a fs mr t r

FF AA FFS AA FFSFF FF

L L L i L i R R Bx v

JL LJL L L L L

L L

θ θ

− + + = − + + + − + −

( ) ( ) ( )( ) *32 2

FS FS

a fs m a fs AF f AFs fs f AFmr

AA FFS AA FFSFF FF

R R B R R L i L i i LBx

JL LL L J L L

L L

θ

+ + + + − + + + − + −


161

( ) ( ) ( )( )* * * *

2 3 2 2 32 2

FS FS

m a fs AF f AFs fs f AF AFSr r r r

AA FFS AA FFSFF FF

B R R L i L i i L Lx x x x x

L LJ L L L L

L L

θ θ θ θ

+ + + − + − − + + − + −

( )( )2* * 2 *2 2 22 2 2

2FS FS FS

m AFS AFS AFSr r r L L

AA FFS AA FFS AA FFSFF FF FF

B L L Lx x T x T

L L LJ L L J L L J L L

L L L

θ θ θ+ − + + −

+ − + − + −

( )2 2

1

FS FS

a fs AF f AFs fs f FSL L f

FF

AA FFS AA FFSFF FF

R R L i L i R LT T i

J LL LJ L L J L L

L L

+ ++ + −

+ − + −

Ahora definimos los siguientes términos

( ) ( )( )1 2

FS


AA FFSFF

B R R L i L i i La

LJ L L

L

+ + + = + −

( )2 2

FS

a fs m

AA FFSFF

R R Ba

JLL L

L

+ = + + −

3 2

FS

AFS

AA FFSFF

La

LL L

L

=

+ −

4 2

FS

m AFS

AA FFSFF

B La

LJ L L

L

=

+ −

( )5 2

FS

a fs

AA FFSFF

R Ra

LJ L L

L

+=

+ −

6 2

FS

AFS

AA FFSFF

La

LJ L L

L

=

+ −

Anexo B

162

( )7 2

FS

AF f AFs fs f FS f

AA FFS FFFF

L i L i R L ia

LJ L L L

L

+=

+ −

( )( )2

FS

FF FS AF f AFs fs

FF AA FFSFF

L L L i L ib

LJL L L

L

− +=

+ −

( ) ( )2* * * * * * * * * *

2 1 3 3 3 3 2 4 4 2 5 6

6 2 7

2r r r r r r r r r L r L

LL

f t a a a a x a x a a x a T a T

Ta x T a

J

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= + + + − − + − + +

+ + +

Entonces sistema resultante es

( )

1 2

2 3

23 2 3 1 2 3 2 3 4 2

x x

x x


=

=

= − − + + + −

(B5.8)

163

Anexo C

C.1. Resultados del Control del Motor de CD de Excitación Separada

C.1.1 Control de velocidad En las siguientes gráficas se muestran las respuestas del motor de CD de excitación

separada controlado por modos deslizantes, para las referencias dadas por los perfiles de velocidad propuestos para verificar la tarea de seguimiento de trayectorias. Se puede observar en la figura C1.1, que el sistema alcanza a la referencia en 0.6148 segundos y permanece en ella durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil de velocidad uno.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.5243

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura C1.1. Respuesta del sistema para el perfil uno

La respuesta del sistema cuando se utiliza como referencia el perfil dos, se muestra

en la figura C1.2; obsérvese que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 0.5818 segundos y para cuando ocurren los cambios de referencia la velocidad del motor converge suave y rápidamente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2X: 0.5818

Y: 1

X: 1.596

Y: 0

X: 2.84

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 4.153

Y: 0

wr

ref

Figura C1.2. Respuesta del sistema para el perfil dos

El comportamiento de la velocidad del motor para cuando se utiliza como entrada el perfil tres se plasma en la figura C1.3; se puede apreciar que el sistema alcanza la referencia en 0.4902 segundos y logra seguirla de manera adecuada el resto de la prueba.

Anexo C

164

0 1 2 3 4 5 6 7

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 0.4902

Y: 0.1961

wr

ref

Figura C1.3. Respuesta del sistema para el perfil tres

La respuesta de la velocidad del motor de CD para la referencia dada por el perfil

de velocidad cuatro se muestra en la figura C1.4; en está se observa que el sistema converge a la referencia aproximadamente en 0.5588 segundos y al realizar el cambio de referencia la velocidad del motor converge a la nueva referencia en 0.374 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.5588

Y: 0

X: 2.874

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura C1.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro

La figura C1.5 ilustra la respuesta del motor de CD para la referencia mostrada en el

perfil cinco, en la gráfica se aprecia que el sistema alcanza la referencia en 0.5045 segundos y permanece de manera adecuada siguiendo la referencia durante el resto de la prueba.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.5045

Y: 0.2018

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref

Figura C1.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco

En las pruebas mostradas en las gráficas anteriores para el seguimiento de trayectoria de velocidad, se pudo verificar que el control por modos deslizantes diseñado

C.1.1. Control de Velocidad

165

para el motor de CD de excitación separada cumplió satisfactoriamente con la tarea de seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de velocidad el sistema convergió de manera rápida y siguió de manera adecuada la referencia.

A continuación en la tabla C1.1 se presentan los índices de desempeño del control por modos deslizantes diseñados, para los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está tabla se logra apreciar que los índices de desempeño son bajos por lo cual la desviación del comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña, por lo que el control diseñado presenta un buen desempeño con respecto a los índices.


ITAE 0.08695 0.6197 0.08494 0.2533 0.08085 ITSE 0.2311 0.5739 0.204 0.2867 0.204

Tabla C1.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad Ahora se analizara la robustez del control para perturbaciones desconocida en el par

de carga, cabe hacer mención que la potencia del motor de excitación separada es de 200 HP por lo que las magnitudes del par de carga pueden ser grandes; la figura C1.6 muestra el comportamiento del motor cuando sufre una perturbación del 25% en el par de carga; en esta figura se puede apreciar como la perturbación hace que la respuesta se desvíe de la referencia 0.022 rad/seg; sin embargo el control rechaza la perturbación ya que la respuesta converge de nuevo a la referencia en 0.349 segundos.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.454

Y: 1

X: 2.849

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.502

Y: 0.978

wr

ref

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2400

2600

2800

3000

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

perturbación

Figura C1.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga

La figura C1.7 corresponde a la respuesta de velocidad del motor cuando se presenta

una perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %, obsérvese que cuando se produce la perturbación la velocidad del motor cae 0.095 rad/seg, sin embargo gracias a la acción del controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.3560 segundos y permanece en la referencia el resto de la prueba.

Anexo C

166

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2500

3000

3500

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.9

1

1.1

X: 2.475

Y: 1

X: 2.505

Y: 0.9045

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.856

Y: 0.9989

wr

ref

perturbación


Ahora se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C1.8 muestra el comportamiento del motor cuando se produce una perturbación de -25% en el par de carga, se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad aumente 0.022 rad/seg, más sin embargo debido al controlador el sistema converge de nuevo a la referencia en 0.37 segundos y permanece sobre ella el tiempo restante.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1800

2000

2200

2400

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05X: 2.502

Y: 1.022

X: 2.737

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.494

Y: 1

wr

ref

perturbación

Figura C1.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga

La figura C1.9 ilustra el comportamiento del sistema cuando se presenta una

perturbación de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad del motor aumente 0.088 rad/seg; pero gracias a la acción del controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en 0.329 segundos y permanece en ella el resto de la prueba.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51000

1500

2000

2500

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 2.517

Y: 1

X: 2.504

Y: 1.088

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.829

Y: 1.001

wr

ref

perturbación



167

En resumen se puede decir debido las pruebas mostradas en la figuras anteriores, el control por modos deslizantes de velocidad para el motor de CD de excitación separada es robusto para perturbaciones en el par de carga de la máquina ya que como se aprecia en las gráficas la velocidad del motor si se corrompe cuando aparece la perturbación pero sin embargo el control hace que el sistema converja de nuevo a la referencia de manera rápida y permaneciendo en ella en lo subsiguiente, rechazando de esta manera la perturbación.

La tabla C1.2 muestran los índices de desempeños del controlador por modos

deslizantes diseñado para cuando el motor sufre de perturbaciones en el par de carga de la máquina. Como se puede apreciar en la tabla, los índices de desempeños siguen siendo pequeños aún cuando en el sistema se presente una perturbación, por lo que el control sigue presentando un buen desempeño ante estas condiciones desde el punto de vista de la desviación del error.

Perturbación

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.7273 0.7331 0.7269 0.7313

ISE 2.085 2.085 2.085 2.085

ITAE 0.1575 0.1734 0.1564 0.1673

ITSE 0.2357 0.2365 0.2357 0.2363

Tabla C1.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios

en los parámetros del motor de CD, en estas pruebas el parámetro que se modificara será la inductancia de campo LFF. La figura C1.10 corresponde a la respuesta de la velocidad del motor cuando se presenta un aumento del 25% en LFF, se aprecia que el sistema es insensible a la variación de los parámetros de la máquina CD gracias a la acción del controlador, esto debido a que la velocidad no se corrompe ante la presencia de esta variación.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.517

Y: 0.9999

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

Lff

(H)

Inductancia de campo Lff

time (sec)

wr

ref

Incertidumbre paramétrica

Figura C1.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%.

En la figura C1.11 se presenta la velocidad del motor cuando se presenta un

aumento del 50% en LFF, en dicha figura se observa como el control es robusto ante incertidumbres en los parámetros de la máquina CD ya que la respuesta del sistema no sufre ningún cambio cuando aparece dicha incertidumbre.

Anexo C

168

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.529

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

9

10

11

12

13

14

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la inductancia de campo LFF. La figura C1.12 muestra la velocidad del motor cuando varía LFF un -25%, se puede apreciar que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina ya que la respuesta del sistema no se corrompe cuando se presenta esta variación paramétrica.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.494

Y: 0.9999

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

7

8

9

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref


Figura C1.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%.

En la figura C1.13 se ilustra el comportamiento de la velocidad existe un

decremento de -50% en LFF, se aprecia que ante dicha variación la velocidad del motor de CD no se ve modificada, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.494

Y: 0.9999

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 54

6

8

10

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref


Figura C1.13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %.

C.1.2. Control de posición

169

Recapitulando podemos establecer en base a las gráficas mostradas en las figura anteriores que el control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación de el parámetros LFF del motor de CD de excitación separada, ya que la respuesta del sistema no se ve afectada cuando se presentan las variaciones en dicho parámetro.

En la tabla C1.3 se presentan los índices de desempeño del controlador por modos

deslizantes de velocidad, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia de campo LFF. Se observa que dichos índices permanecen pequeños aún cuando se presente la variación paramétrica por lo que su desempeño ante dicha condición de operación es bueno desde el punto de vista de los índices de despeño.

Variación paramétrica en LFF

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.7273 0.7253 0.7253 0.7253 ISE 2.085 2.085 2.085 2.085

ITAE 0.1575 0.1518 0.1519 0.152 ITSE 0.2357 0.2356 0.2356 0.2356

Tabla C1.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF

C.1.2 Control de posición Es el turno de presentar el comportamiento del motor de CD de excitación separada

cuando se le aplica un control de posición por modos deslizantes, para la tarea de seguimiento de trayectoria se aplicaron los cinco perfiles de posición propuestos como referencias; en la figura C1.14 muestra la posición de la flecha del motor para la referencia dada por el perfil uno, nótese que el motor alcanza la referencia en 1.039 segundos y la sigue suavemente el resto de la prueba.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 1.039

Y: 0.02414

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


El comportamiento de la posición para la referencia impuesta por el perfil dos se

muestra en la figura C1.15, se observa que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 1.44 segundos y además para cuando ocurren los cambios de referencia la posición converge a la nueva referencia de manera rápida.

Anexo C

170

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 1.44

Y: 1

X: 4.113

Y: 0

X: 7.247

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


La figura C1.16 muestra el comportamiento de la posición para la referencia dada

por el perfil tres, se aprecia que el sistema llega a la referencia en 1.094 segundos, se observa que cuando ocurren los cambios de referencia el sistema tiene un transitorio y converge a la nueva referencia de manera rápida.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 3.24

Y: 1

X: 1.094

Y: 0.4377

Theta

(rad)


time (sec)

X: 5.495

Y: 0.8019

Theta

ref



C1.17, en la cual el sistema alcanza la referencia en 1.008 segundos y al hacer el cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 0.524 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 1.238

Y: 0

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.508

Y: 1

Theta

ref


La figura C1.18 ilustra la respuesta de la posición para la referencia impuesta por el

perfil cinco, se observa que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 1.087


171

segundos, nótese que cuando ocurre el cambio de referencia aparece un transitorio y después converge a la nueva referencia en 0.718 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 1.087

Y: 0.4349

X: 3.218

Y: 1.005

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


Con base a las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de posición, se

pudo verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de posición el sistema convergió y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba y de manera adecuada.

En la tabla C1.4 se presentan los índices de desempeño de los controladores por modos deslizantes para los cinco perfiles de posición propuestos. Como los índices de desempeño son pequeño nos indica la desviación del comportamiento del control con respecto al comportamiento ideal es pequeño por lo que el control tiene un buen desempeño.


ITAE 0.1998 6.512 0.2294 1.028 0.1582 ITSE 0.1246 4.23 0.04776 0.6165 0.04636

Tabla C1.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición Ahora se harán pruebas para verificar la robustez de control de posición por modos

deslizantes ante perturbaciones que se pudieran presentar en el par de carga, la figura C1.19 corresponde a la respuesta de la posición cuando se presenta una perturbación del 25% en el par de carga; en esta figura se puede apreciar como la perturbación hace que la posición se desvíe de la referencia 0.0018 rad, sin embargo el control rechaza la perturbación ya que la posición converge de nuevo a la referencia en aproximadamente 0.635 segundos.

Anexo C

172

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2400

2600

2800

3000

Te(N

m)

Par de Carga Tl

time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.98

1

1.02

X: 3.635

Y: 0.9994

X: 3.185

Y: 0.9982

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.966

Y: 1

Theta

ref

perturbación


La figura C1.20 muestra la posición de la flecha del motor cuando sufre una

perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %, cuando ocurre la perturbación la posición cae 0.007 rad; sin embargo gracias a la acción del controlador la respuesta del sistema vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.804 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2500

3000

3500

Te(N

m)

Par de Carga Tl

time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 3.191

Y: 0.993

X: 3.804

Y: 0.9991

X: 2.942

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref

perturbación


A continuación se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema

para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C1.21 ilustra la respuesta de la posición cuando el motor sufre una perturbación de -25% en el par de carga, se aprecia que la perturbación hace que la posición aumente 0.001 rad; sin embargo debido al controlador el sistema converge de nuevo a la referencia en aproximadamente 0.728 segundos y permanece en ella durante el resto de la prueba.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51600

1800

2000

2200

2400

Te(N

m)

Par de Carga Tl

time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.98

1

1.02X: 3.219

Y: 1.001

X: 2.932

Y: 1Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.728

Y: 1

Theta

ref

perturbación



173

La figura C1.22 muestra el comportamiento de la posición de la flecha del motor cuando se presenta una perturbación de -50% del par de carga de la máquina; se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la posición aumente 0.006 rad pero gracias a la acción del controlador la posición de la flecha del motor vuelve a alcanzar la referencia en aproximadamente 0.992 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51000

1500

2000

2500T

e(N

m)

Par de Carga Tl

time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 3.992

Y: 1

X: 3.218

Y: 1.006

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3

Y: 1

Theta

ref

perturbación


De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras anteriores se puede establecer que

el control de posición por modos deslizantes para el motor de CD de excitación separada es robusto a perturbaciones en el par de carga de la máquina, ya que cuando se produce la perturbación la respuesta del sistema se corrompe, más sin embargo el control hace que la posición de la flecha converja a la referencia rápidamente rechazando de esta manera dicha perturbación.

La tabla C1.5 muestran los índices de desempeño del controlador por modos

deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de carga de la máquina. Se observan que para cuando el motor es operado ante dicha condición el control diseñado sigue presentando índices de desempeño pequeños por lo que se concluye que sigue teniendo un buen comportamiento.

Perturbación

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.6184 0.6209 0.6181 0.6203 ISE 0.341 0.341 0.341 0.341

ITAE 0.5276 0.5359 0.5263 0.5338 ITSE 0.2961 0.2961 0.2961 0.2961

Tabla C1.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga Las siguientes gráficas ilustran el comportamiento de la posición de la flecha del

motor, para cuando el motor sufre cambios en sus parámetros; en estas pruebas el parámetro que se modificara será la inductancia de campo LFF. La figura C1.23 corresponde a la respuesta de la posición cuando el motor presenta un aumento del 25% en LFF, se puede apreciar que el control es insensible a la variación de dicho parámetro ya que la posición del motor no se corrompe cuando aparece esta incertidumbre.

Anexo C

174

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.001

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



En la figura C1.24 se presenta la respuesta del motor cuando se produce un aumento

del 50% en LFF, en dicha figura se observa como el control es robusto ante incertidumbres en los parámetros de la máquina de CD, ya que la respuesta del sistema no se corrompe cuando se produce dicha variación.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.035

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

9

10

11

12

13

14

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la

LFF de la máquina de CD. La figura C1.25 muestra la respuesta del motor cuando se varía el -25% de LFF, se aprecia que el control es insensible a la variación del parámetro LFF del motor de CD ya que la respuesta del sistema no se corrompe ante la presencia de esta variación paramétrica.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.013

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

7

8

9

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref


Figura C1. 25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%.

C.2. Resultados del Control del Motor de Imanes Permanentes

175

En la figura C1.26 se muestra la respuesta del sistema cuando existe un decremento del -50% en LFF; se aprecia que al variar el parámetro LFF la posición del motor de CD no se corrompe, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.013

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 54

6

8

10Lff

(H)


time (sec)

wr

ref


Figura C1. 26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %.

Con base a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede decir que el

control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación del parámetro LFF del motor de CD de excitación separada, ya que la posición del rotor del motor no se modifica al presentarse dichas incertidumbres.


deslizantes de posición, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia de campo LFF. Estos índices nos indican que el control presenta un buen comportamiento aún cuando se presenten variaciones en el parámetro LFF de la máquina, esto debido a que los valores de los índices son pequeños.


Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.6175 0.6175 0.6175 0.6175 ISE 0.341 0.341 0.341 0.341

ITAE 0.5245 0.5246 0.5245 0.5245 ITSE 0.2961 0.2961 0.2961 0.2961


C.2. Resultados del Control del Motor de CD de Imán Permanente

C.2.1. Control de velocidad

En las siguientes gráficas se muestran las respuestas del motor de CD de imán permanente para las referencias dadas por los perfiles de velocidad propuestos; estas se obtuvieron cuando el motor es controlado por un controlador por modos deslizantes. Se puede observar en la figura C2.1, que el sistema alcanza a la referencia en 0.02746 segundos y permanece en ella durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil de velocidad uno.

Anexo C

176

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.02746

Y: 0.08229

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref


La respuesta del sistema para el perfil dos se muestra en la figura C2.2; se observa

que el sistema converge en aproximadamente 0.063 segundos y para los demás cambios de referencia el sistema converge de manera rápida.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.06336

Y: 1

X: 2.506

Y: 1

X: 1.273

Y: 0

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref


La respuesta para el perfil tres se plasma en la figura C2.3, se aprecia que el sistema

llega a la referencia en aproximadamente 0.063 segundos y la sigue suavemente durante toda la prueba.

0 1 2 3 4 5 6 7

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.06315

Y: 0.02526

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref


La respuesta de la velocidad del motor para el perfil de velocidad cuatro se muestra

en la figura C2.4, en la cual el sistema alcanza la referencia en 0.0518 segundos y al hacer el cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 0.017 segundos.


177

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 2.517

Y: 1

X: 0.05184

Y: 0

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref


Por último la figura C2.5, ilustra la respuesta del perfil cinco; en este el sistema

converge a la referencia en 0.02647 segundos y sigue a la referencia durante toda la prueba de manera adecuada.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.02647

Y: 0.01059

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref


En las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de velocidad, se pudo

verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de velocidad el sistema convergió y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba.

A continuación en la tabla C2.1 se presentan los índices de desempeño de los controladores por modos deslizantes para los cinco perfiles de velocidad propuestos. Los índices de desempeños mostrados en la tabla son pequeños, lo cual nos indica que la desviación que presenta el comportamiento del control con respecto al comportamiento ideal es pequeña, lo cual nos indica que el control presenta un comportamiento bueno.


ITAE 0.07877 0.1116 0.1786 0.0899 0.08051 ITSE 0.003951 0.02372 0.004572 0.009499 0.003954

Tabla C2.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad La figura C2.6 corresponde a una perturbación del 25% en el par de carga, en esta

figura se puede apreciar como la perturbación hace que la respuesta se desvíe de la

Anexo C

178

referencia 0.7381 rad/seg, sin embargo el control rechaza la perturbación ya que la respuesta converge de nuevo a la referencia en aproximadamente 0.029 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

0.5

1

1.5X: 2.531

Y: 1.004

X: 2.46

Y: 1.007

X: 2.502

Y: 0.2689wr(

rad

/s)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 53.5

4

x 10-3

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación


La figura C2.7 corresponde a la respuesta del sistema cuando se le aplica una

perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %; cuando se aplica la perturbación la velocidad cae aproximadamente 3.072 rad/seg, sin embargo gracias a la acción del controlador la respuesta del sistema vuelve a converger a la referencia en 0.098 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-2

-1

0

1

X: 2.402

Y: 1.007

X: 2.598

Y: 1.003

X: 2.504

Y: -2.065

wr(

rad/s

)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 53.5

4

4.5

5

5.5x 10

-3

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación



para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C2.8 corresponde a la respuesta del sistema para una perturbación de -25% en el par de carga, se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad aumente 2.505 rad/seg, más sin embargo debido al controlador el sistema converge a la referencia en 0.096 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1

2

3

X: 2.596

Y: 1.004

X: 2.427

Y: 1.006

X: 2.505

Y: 2.902

wr(

rad/s

)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52.5

3

3.5

x 10-3

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación



179

La figura C2.9 ilustra el comportamiento del sistema cuando se le aplica una perturbación de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad aumente 7.97 rad/seg, pero gracias a la acción del controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en 0.035 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2

4

6

8

X: 2.471

Y: 1.006

X: 2.535

Y: 1.093

X: 2.511

Y: 8.97

wr(

rad/s

)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

-3

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación


De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras 5.33, 4.34, 5.35 y 5.36 se puede

establecer que el control de velocidad por modos deslizantes es robusto a perturbaciones presentes en el par de carga de la máquina de CD de imán permanente, ya que cuando se produce la perturbación la respuesta del sistema sí se logra corromper más sin embargo el control hace que la velocidad del motor converja a la referencia rápidamente rechazando de esta manera dicha perturbación.


deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de carga de la máquina. Se aprecia que los índices de desempeño que presenta el controlador ante dichas condición de operación son pequeños, lo cual nos indica que el control presenta un buen comportamiento dinámico.

Perturbación

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.1218 0.1358 0.1327 0.2588 ISE 0.556 0.6024 0.5755 1.375

ITAE 0.07998 0.1083 0.1054 0.4316

ITSE 0.01048 0.1266 0.05942 2.068 Tabla C2.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga

A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios

en los parámetros del motor de CD; se varió el devanado de armadura LAA; ya que este tipo de motores de CD no cuentan con devanados de campo ya que el flujo de campo lo establece un imán permanente.

La figura C2.10 corresponde a la respuesta del sistema cuando se presenta un

aumento del 25% en LAA, se puede apreciar que la velocidad del motor de CD disminuye a 1.005 rad/seg y permanece en este valor durante el resto de la prueba. La variación que sufrió la velocidad fue de 0.002 rad/seg.

Anexo C

180

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.8

0.9

1

1.1

X: 2.589

Y: 1.005

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.411

Y: 1.007

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.12

0.13

0.14

0.15

Lff

(H)

Inductancia de armadura Laa

time (sec)

wr

ref


Figura C2. 10. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 25%.

En la figura C2.11 se presenta la respuesta del sistema cuando se produce un

aumento del 50% en LAA; en dicha figura se observa como la velocidad del motor cae a 1.004 rad/seg y permanece en este valor durante toda la prueba; nótese que la variación solo correspondió a 0.003 rad/seg.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.6

0.8

1

1.2

X: 2.613

Y: 1.004

X: 2.411

Y: 1.007

wr(

rad/s

)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.12

0.14

0.16

0.18

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref


Figura C2.11. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 50%.

Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en LAA

de la máquina de CD. La figura C2.12 corresponde a la respuesta del sistema cuando se varía el -25% del valor de LAA, se puede apreciar que la velocidad del motor de CD aumenta a 1.009 rad/seg y permanece en este valor durante toda la prueba, por lo que la velocidad varió solo 0.003 red/seg.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.8

0.9

1

1.1 X: 2.31

Y: 1.006

X: 2.642

Y: 1.009

wr(

rad/s

)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.09

0.1

0.11

0.12

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref


Figura C2.12. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -25%.

C.2.2. Control de Posición

181

En la figura C2.13; se muestra la respuesta del sistema cuando existe un decremento del -50% en LAA, se observa que al variar el parámetro LAA la velocidad del motor de CD aumenta a 1.013 rad/seg y se establece en este valor durante toda la prueba, por lo que la velocidad varió 0.007 rad/seg.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.8

1

1.2X: 2.368

Y: 1.007

X: 2.633

Y: 1.013

wr(

rad/s

)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.06

0.08

0.1

0.12Lff

(H)


time (sec)

wr

ref


Figura C2.13. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -50 %.

Resumiendo de acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras anteriores se observa

que el control por modos deslizantes de velocidad diseñado es insensible a la variación del parámetro LAA que pudiera presentarse en la máquina de CD de imanes permanentes, ya que la velocidad se desvía de la referencia pero debido a la acción del controlador la velocidad regrese a la referencia rápidamente y permanece en ella el resto de las pruebas.


deslizantes de velocidad, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia de armadura LAA. Los índices de desempeño del control ante dicha condición de operación son pequeños, por lo tanto la desviación del comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña, entonces el control presenta un comportamiento dinámico adecuado.

Variación paramétrica en LAA

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.1187 0.1165 0.1273 0.1379 ISE 0.5542 0.5542 0.5543 0.5546

ITAE 0.07309 0.06491 0.1053 0.1453 ITSE 0.006031 0.005954 0.006477 0.007337

Tabla C2. 3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LAA


A continuación se presentan la respuesta del sistema para el control de posición por modos deslizantes para los cinco tipos de perfiles propuestos. Se puede observar en la figura C2.14; que el sistema alcanza a la referencia en aproximadamente 0.0549 segundos y permanece en ella durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil de velocidad uno.

Anexo C

182

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.05497

Y: 0.1642

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref



que el sistema converge en 0.1325 segundos y sigue de manera adecuada la referencia; véase que para los demás cambios de referencia el sistema converge de manera rápida.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.1325

Y: 1

X: 1.342

Y: 0

X: 2.656

Y: 1

X: 3.888

Y: 0

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


La respuesta para el perfil tres se plasma en la figura C2.16, en esta se aprecia que el

sistema llega a la referencia en 0.1147 segundos y sigue a la referencia suavemente durante el resto de la prueba.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Theta

(rad)


time (sec)

X: 0.1147

Y: 0.04589

Theta

ref


La respuesta de la posición del motor para el perfil cuatro se muestra en la

figura C2.17, en la cual el sistema alcanza la referencia en 0.1095 segundos y al hacer el cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 0.121 segundos.


183

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.1095

Y: 0

X: 2.621

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


La figura C2.18 ilustra la respuesta del perfil cinco; el sistema converge a la

referencia en aproximadamente 0.09455 segundos y permanece sobre la referencia el resto de la prueba.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.09455

Y: 0.03782

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


En las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de posición, se pudo

verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de posición el sistema convergió y siguió a la referencia de manera rápida y adecuada.

A continuación en la tabla C2.4 se presentan los índices de desempeño de los controladores por modos deslizantes para los cinco perfiles de posición propuestos. En está tabla se observa que los índices de desempeño que presenta el control diseñado son pequeños, por lo que el desempeño del controlador es bueno.


ITAE 0.01059 0.2785 0.0212 0.101 0.009167 ITSE 2.735e-5 0.1801 2.657e-5 0.06215 1.706e-5

Tabla C2.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición La figura C2.19; corresponde a una perturbación del 25% en el par de carga, en esta

figura se puede apreciar como la perturbación hace que la respuesta se desvíe de la referencia aproximadamente 0.0059 rad; sin embargo el control rechaza la perturbación ya que la respuesta converge de nuevo a la referencia en aproximadamente 0.155 segundos.

Anexo C

184

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.98

1

1.02

X: 2.655

Y: 0.9991

X: 2.494

Y: 0.9993

Theta

(ra

d)


time (sec)

X: 2.511

Y: 0.9941

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 53.5

4

x 10-3

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación


La figura C2.20 corresponde a la respuesta del sistema cuando se le aplica una

perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %, cuando se aplica la perturbación la posición cae 0.0276 rad; sin embargo gracias a la acción del controlador la respuesta del sistema vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.19 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.69

Y: 0.9987

X: 2.437

Y: 0.9993

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.528

Y: 0.9717

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 53.5

4

4.5

5

5.5x 10

-3

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación



para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C2.21 corresponde a la respuesta del sistema para una perturbación de -25% en el par de carga, se aprecia que la perturbación hace que la posición aumente 0.0027 rad; sin embargo debido a la acción del controlador el sistema vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.144 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.98

0.99

1

1.01

1.02

X: 2.518

Y: 1.002

X: 2.644

Y: 0.9993

Theta

(ra

d)


time (sec)

X: 2.471

Y: 0.9993

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52.5

3

3.5

x 10-3

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación



185

La figura C2.22 ilustra el comportamiento del sistema cuando se le aplica una perturbación de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la posición se corrompa 0.0135 rad, pero gracias a la acción del controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.1620 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.96

0.98

1

1.02

1.04

X: 2.515

Y: 1.013

X: 2.662

Y: 0.9991

X: 2.5

Y: 0.9995

Theta

(rad)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51.5

2

2.5

3

3.5

x 10-3

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación


De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras 5.46, 5.47, 5.48 y 5.49 se puede

establecer que el control de posición por modos deslizantes es robusto a perturbaciones en el par de carga de la máquina, ya que cuando se produce la perturbación, la respuesta del sistema se corrompe; sin embargo el control hace que la velocidad del motor converja a la referencia rápidamente rechazando de esta manera dicha perturbación.


deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de carga de la máquina. Los índices de desempeño mostrados en la tabla son pequeños, lo cual nos indica que el desempeño que presenta el controlador ante dichas condiciones de operación es bueno.

Perturbación

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.04531 0.04743 0.04454 0.04554 ISE 0.02504 0.02507 0.02504 0.02505

ITAE 0.04889 0.05551 0.0463 0.04952 ITSE 0.02514 0.02523 0.02514 0.02515

Tabla C2.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios

en los parámetros del motor de CD, en estas pruebas el parámetro que se modificará será la inductancia de armadura LAA ya que este tipo de motores no cuentan con devanados de campo.


aumento del 25% en LAA, se puede apreciar que la respuesta de la posición solo varía 0.0001 rad por lo que se puede establecer que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina de CD.

Anexo C

186

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.667

Y: 0.9994

Theta

(ra

d)


time (sec)

X: 2.414

Y: 0.9993

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.12

0.13

0.14

0.15

Laa(H

)


time (sec)

wr

ref




aumento del 50% en LAA, en dicha figura se observa como la posición se modifica solo 0.0002 rad por lo que se establece que el control es robusto ante incertidumbres en los parámetros de la máquina.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.579

Y: 0.9995

X: 2.372

Y: 0.9993

Theta

(rad)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.12

0.14

0.16

0.18

Laa(H

)


time (sec)

wr

ref



Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en LAA

de la máquina de CD. La figura C2.25 corresponde a la respuesta del sistema cuando se varía el -25% de LAA, se puede apreciar que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina de CD ya que la respuesta del sistema solo se corrompe 0.0003 rad ante la presencia de esta variación paramétrica.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.98

1

1.02

X: 2.379

Y: 0.9993

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.598

Y: 0.999

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.09

0.1

0.11

0.12

Laa(H

)


time (sec)

wr

ref


Figura C2.25. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -25%.

C.3.Resultados del Control del Motor de CD Serie

187

En la figura C2.26 se muestra la respuesta del sistema cuando se existe un decremento del -50% en LAA, se aprecia que al variar el parámetro LAA la posición del motor de CD varía muy poco, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.392

Y: 0.9993

Theta

(rad)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.06

0.08

0.1

0.12

X: 2.5

Y: 0.06

Laa(H

)Inductancia de armadura Laa

time (sec)

wr

ref


Figura C2.26. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -50 %.

De las gráficas mostradas en las figuras 5.50, 5.51, 5.52 y 5.53 se puede concluir el

control por modos deslizantes de posición diseñado es insensible a las variaciones del parámetro LAA que pudieran presentarse en la máquina de CD, esto debido a que en las respuestas que se muestran en dichas gráficas la posición si logra ser corrompida pero en un rango aceptable por lo que se puede decir que el control si es robusto.

En la tabla C2.6 se presentan los índices de desempeños del controlador por modos

deslizantes de posición, para cuando existen variaciones paramétricas en la inductancia de armadura LAA. Como los índices de desempeño del controlador diseñado son pequeños, esto nos indica que la desviación del comportamiento del control con respecto al comportamiento ideal es pequeña por lo que el control tiene un comportamiento adecuado.

Variación paramétrica en LAA

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.04423 0.04399 0.04518 0.04637 ISE 0.02504 0.02504 0.02504 0.02504

ITAE 0.04515 0.04426 0.04875 0.05322 ITSE 0.02513 0.02513 0.02514 0.02515

Tabla C2.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LAA

C.3. Resultados del Control del Motor de CD en Serie

C.3.1 Control de velocidad

En las siguientes gráficas se muestran las respuestas del motor de CD en serie, las referencias dadas por los perfiles de velocidad propuestos cuando el motor se encuentra controlado por el control por modos deslizantes diseñado. Se puede observar en la figura C3.1; que el sistema alcanza a la referencia en 0.3212 segundos y permanece en ella durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil de velocidad uno.

Anexo C

188

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 0.3212

Y: 0.8212

wr

ref



que el sistema converge aproximadamente en 0.6279 segundos y para cuando realiza los cambios de referencia la velocidad converge a la nueva referencia de manera rápida y siguiendo adecuadamente la referencia.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.6279

Y: 1

X: 1.964

Y: 0

X: 3.139

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 4.453

Y: 0

wr

ref


El comportamiento de la velocidad del motor para la referencia establecida por el

perfil tres se muestra en la figura 5.56; se puede apreciar que el sistema alcanza la referencia en 0.3289 segundos y la sigue suavemente durante el resto de la prueba.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 0.3289

Y: 0.1316

wr

ref


La respuesta de la velocidad del motor para la referencia dada por el perfil de

velocidad cuatro se muestra en la figura C3.4; en esta se observa que el sistema converge a

C.3.1 Control de Velocidad

189

la referencia aproximadamente en 0.4205 segundos y cuando ocurre el cambio de referencia la velocidad del motor converge a la nueva referencia en 0.57 segundos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 3.07

Y: 1

X: 0.4205

Y: 0

wr(

rad

/s)


time (sec)

wr

ref


La figura C3.5 ilustra la velocidad del motor para la referencia establecida por el

perfil cinco, en esta figura se puede apreciar que la velocidad del motor logra alcanzar referencia en aproximadamente 0.3474 segundos y permanece en ella de manera adecuada el resto de la prueba.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 0.3474

Y: 0.139

wr

ref


En las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de velocidad, se pudo

verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de seguimiento de trayectoria ya que para todos los perfiles de velocidad el sistema convergió de manera rápida y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba.

A continuación en la tabla C3.1 se presentan los índices de desempeño del control por modos deslizantes para los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está tabla se logra apreciar que los índices de desempeño del controlador son bajos, por lo cual la desviación del comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña, por lo que el control presenta un buen desempeño con respecto a los índices.


ITAE 0.0117 0.8023 0.02337 0.274 0.01157 ITSE 0.0001245 0.3932 0.0001035 0.1305 9.46e-5

Tabla C3.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad

Anexo C

190

La figura C3.6 corresponde a la respuesta del la velocidad del motor cuando sufre una perturbación del 25% en el par de carga, en esta figura se puede apreciar como la perturbación hace que la velocidad del motor se desvié de la referencia 0.0042 rad/seg; sin embargo el control rechaza la perturbación ya que la velocidad vuelve de nuevo a la referencia en aproximadamente 0.408 segundos y permaneciendo en ella el resto de la prueba

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.98

1

1.02

X: 2.908

Y: 0.999

X: 2.455

Y: 0.9992

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.501

Y: 0.9958

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

13

14

15

16

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación


La figura C3.7 corresponde a la respuesta del motor cuando se presenta una

perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %, cuando se produce la perturbación la velocidad cae 0.016 rad/seg; sin embargo gracias a la acción del controlador la respuesta del sistema vuelve a converger a la referencia en 0.294 segundos y permanece en ella el resto del tiempo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.485

Y: 0.9992

X: 2.507

Y: 0.984

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.794

Y: 0.998

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 512

14

16

18

20

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación



para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C3.8; corresponde a la velocidad del motor cuando se produce una perturbación de -25% en el par de carga; se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad aumente 0.02 rad/seg; pero la velocidad vuelve al converger a la referencia en 0.236 segundos esto debido a la acción del controlador.

C.3.1 Control de Velocidad

191

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.98

1

1.02

X: 2.355

Y: 0.9992

X: 2.511

Y: 1.002

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.736

Y: 0.9997

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

10

11

12

13

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación


La figura C3.9 ilustra el comportamiento de la velocidad del motor cuando se

presenta una perturbación de -50% del par de carga de la máquina; se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad aumente 0.013 rad/seg; pero gracias a la acción del controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en 0.409 segundos y logra que siga en ella el resto de la prueba.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.449

Y: 0.9992

X: 2.909

Y: 0.9999

X: 2.507

Y: 1.013

wr(

rad/s

)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 56

8

10

12

14

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación


Resumiendo se puede decir que en base a las pruebas mostradas en la figuras

anteriores, el control por modos deslizantes de velocidad diseñado para el motor de CD en serie es robusto ante perturbaciones en el par de carga de la máquina ya que como se aprecia en las gráficas la respuesta se corrompe cuando se presenta la perturbación sin embargo el control hace que el sistema converja de nuevo a lar referencia de manera rápida y permaneciendo en ella de manera adecuada, es así como el control rechaza la perturbación.


deslizantes diseñado para cuando el motor sufre perturbaciones en el par de carga de la máquina. . Se observan que para cuando el motor es operado ante dicha condición el control diseñado sigue presentando índices de desempeño pequeños, por lo que el control diseñado presenta un buen desempeño dinámico aún cuando existan perturbaciones en la carga del motor.

Anexo C

192

Perturbación

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.1231 0.1247 0.1217 0.1223 ISE 0.05264 0.05266 0.05264 0.05265

ITAE 0.1255 0.1304 0.1208 0.1217 ITSE 0.05382 0.05386 0.05381 0.05383

Tabla C3.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga

A continuación se presentan las respuestas de la velocidad del motor cuando se producen cambios en los parámetros del motor de CD, en estas pruebas el parámetro que se modificará será la inductancia de campo LFF.

La figura C3.10 muestra la velocidad del motor cuando se presenta un aumento del

25% en LFF; se puede apreciar que el control es insensible a la variación del parámetro LFF de la máquina, ya que la respuesta del sistema no se ve modificada ante la presencia de esta variación.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.69

Y: 0.9993

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.391

Y: 0.9992

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.03

0.032

0.034

0.036

0.038

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



En la figura C3.11 se presenta la respuesta de velocidad del motor cuando se

produce un aumento del 50% en LFF; en dicha figura se observa como el control es robusto ante incertidumbres en este parámetro de la máquina ya que la respuesta del sistema no se corrompe cuando aparece dicha variación.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.645

Y: 0.9993

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.39

Y: 0.9992

wr

ref

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.03

0.035

0.04

0.045

Lff

(H)


time (sec)




193

Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la inductancia de campo LFF de la máquina de CD. La figura C3.12 corresponde a la respuesta de velocidad de motor cuando hay una variación del -25% de la inductancia del devanado de campo LFF; se aprecia que el control es insensible a la variación de LFF de la máquina de CD ya que la velocidad del motor no logra ser modificada cuando se presenta dicha variación.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.701

Y: 0.9992

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.402

Y: 0.9992

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.022

0.024

0.026

0.028

0.03

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



En la figura C3.13 se muestra el comportamiento de la velocidad del motor cuando

se produce un decremento del -50% en LFF; se logra apreciar que ante dicho decremento de LFF la velocidad del motor de CD no se corrompe por lo que el control es insensible a la variación de LFF de la máquina.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.622

Y: 0.9992

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.425

Y: 0.9992

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.015

0.02

0.025

0.03

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



Con base a las gráficas mostradas en la figuras anteriores, se puede establecer que el

control por modos deslizantes diseñado para el motor de CD en serie es insensible a la variación de la inductancia de el devanado de campo LFF, ya que se aprecia en todas las gráficas que la velocidad del motor no se ve alteran cuando se presentan variaciones en dicho parámetro.

En la tabla C3.3 se presentan los índices de desempeños del controlador por modos

deslizantes de velocidad, para cuando existen variaciones paramétricas en la inductancia de campo LFF. Se aprecia que los índices de desempeño que presenta el controlador cuando se presentan variaciones paramétricas en el motor son pequeños, por lo tanto, el desempeño del controlador ante dichas condiciones de operación sigue siendo bueno.

Anexo C

194


Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.1221 0.122 0.1223 0.1224 ISE 0.05264 0.05264 0.05264 0.05264

ITAE 0.1223 0.122 0.123 0.1234 ITSE 0.05381 0.05381 0.05381 0.05381



Las respuestas del motor de CD en serie para cuando se le aplica el control de posición por modos deslizantes utilizando como referencias los cinco perfiles de posición propuestos se presentan a continuación. La figura C3.14 muestra la posición de la flecha del motor cuando se utiliza como referencia el perfil de posición uno, se logra apreciar que la posición converge a la referencia en aproximadamente 0.7666 segundos y sigue a la referencia de manera adecuada.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1X: 0.7666

Y: 0.7458

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref



que el sistema converge en 1.134 segundos y para los demás cambio de referencia el sistema converge de manera rápida.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 3.633

Y: 0.008128

X: 1.134

Y: 1

X: 6.074

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


La respuesta de la posición del motor para el perfil tres se muestra en la figura

C3.16; se aprecia que el sistema llega a la referencia en 0.5946 segundos véase que cuando


195

ocurren los cambios de referencia el sistema tiene un transitorio y después converge de nuevo a la referencia de manera rápida.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 3.465

Y: 1 X: 5.575

Y: 0.77

Theta

(rad)


time (sec)

X: 0.5946

Y: 0.2379

Theta

ref


La figura C3.17 ilustra la respuesta de la posición del motor para la referencia dada

por el perfil cuatro, en esta el sistema alcanza la referencia en 0.5357 segundos y al hacer el cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 1.192 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.5357

Y: 0

X: 3.692

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


En la figura C3.18 se ilustra la respuesta de la posición cuando se ocupa la

referencia establecida por el perfil cinco, se observa que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 0.5978 segundos nótese que cuando ocurre el cambio de referencia aparece un transitorio y converge a la nueva referencia en 0.927 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.5978

Y: 0.2391

X: 3.427

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


En las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de posición se pudo

verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de

Anexo C

196

seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de posición el sistema convergió rápidamente y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba.

En la tabla C3.4 se presentan los índices de desempeño del control por modos

deslizantes para los cinco perfiles de posición propuestos. En la tabla se observa que los índices de desempeño que presenta el controlador son bajos, por lo cual, la desviación del comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña, por lo tanto, el control diseñado presenta un buen desempeño dinámico.


ITAE 0.1026 2.895 0.2676 0.9518 0.1098 ITSE 0.005732 1.802 0.00442 0.571 0.00169

Tabla C3.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición La figura C3.19 corresponde a la respuesta de la posición cuando ocurre una

perturbación del 25% en el par de carga, en esta figura se puede apreciar que al aparecer la perturbación la posición de la máquina no se corrompe, sin embargo existe un error en estado estable de 0.006 rad.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 2.944

Y: 1.006

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.275

Y: 1.006

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

13

14

15

16

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación


La figura C3.20 muestra la respuesta del motor cuando aparece una perturbación en

el par de carga de la máquina del 50 %; cuando se aplica la perturbación la posición del rotor no se modifica, sin embargo el error en estado estable es 0.006 rad.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 2.944

Y: 1.006

Theta

(ra

d)


time (sec)

X: 2.275

Y: 1.006

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

13

14

15

16

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación



197

A continuación se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C3.21 corresponde a la respuesta de la posición para una perturbación de -25% en el par de carga, se aprecia que la perturbación hace que la posición aumente 0.002 rad; sin embargo debido al controlador el sistema vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.88 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 2.414

Y: 1.006X: 3.382

Y: 1.004

X: 2.644

Y: 1.008

Theta

(ra

d)


time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

10

11

12

13

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación


En la figura C3.22 se ilustra el comportamiento del sistema cuando se le aplica una

perturbación de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la posición aumente 0.011 rad; pero gracias a la acción del controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 1.02 segundos.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 2.351

Y: 1.006

X: 2.672

Y: 1.017

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.523

Y: 1.003

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 56

8

10

12

14

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación


De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede establecer

que el control de posición por modos deslizantes es robusto a perturbaciones en el par de carga de la máquina, ya que cuando ocurre la perturbación, la respuesta de la posición del rotor se corrompe sin embargo el control hace que la respuesta del sistema converja a la referencia rápidamente rechazando de esta manera dicha perturbación.


deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de carga de la máquina. Se observa que dichos índices permanecen pequeños aún cuando se presenten perturbaciones en la carga, por lo que su desempeño ante dicha condición de operación es bueno desde el punto de vista de los índices.

Anexo C

198

Perturbación

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.354 0.3562 0.3497 0.3512 ISE 0.2156 0.2156 0.2155 0.2156

ITAE 0.4756 0.4849 0.4578 0.4591 ITSE 0.2483 0.2484 0.2481 0.2482


A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios en los parámetros del motor de CD, en estas pruebas el parámetro que se modificará será la inductancia de campo LFF.


aumento del 25% en campo LFF, se puede apreciar que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina ya que la respuesta del sistema no se corrompe ante la presencia de esta variación.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.8

0.9

1

1.1 X: 2.838

Y: 1.006

X: 2.361

Y: 1.006

Theta

(rad)


time (sec)

wr

ref

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.03

0.032

0.034

0.036

0.038

Lff

(H)


time (sec)




aumento del 50% en LFF; en dicha figura se observa como el control es robusto ante incertidumbres en los parámetros de la máquina ya que la respuesta del sistema no se corrompe cuando aparece dicha incertidumbre.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.8

0.9

1

1.1 X: 2.667

Y: 1.006

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.425

Y: 1.006

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.03

0.035

0.04

0.045

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref




inductancia de campo LFF de la máquina de CD. La figura C3.25 corresponde a la respuesta


199

del sistema cuando se varía un -25% en LFF; se puede apreciar que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina de CD ya que la respuesta del sistema no se corrompe ante la presencia de esta variación paramétrica.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.8

0.9

1

1.1 X: 2.759

Y: 1.006

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.379

Y: 1.006

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.022

0.024

0.026

0.028

0.03

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



En la figura 5.79 se muestra la respuesta del sistema cuando se existe un decremento

del -50% en LFF, se aprecia que al variar el parámetro LFF la posición del motor de CD no se corrompe, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.8

0.9

1

1.1 X: 2.702

Y: 1.006

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.379

Y: 1.006

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.015

0.02

0.025

0.03

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



Con base a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede decir que el

control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación de los parámetros de motor de CD, esto debido a que en las respuestas que se muestran en dichas gráficas no se corrompen cuando se varia la inductancia en el devanado de campo de motor de CD en serie.


deslizantes de posición, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia de campo LFF. Se aprecia que los índices de desempeño que presenta el controlador cuando existen variaciones en los parámetros del motor son pequeños, lo cual nos indica que el controlador tiene un desempeño adecuado ante dichas condiciones de operación.

Anexo C

200

Variación paramétrica en LFF Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.3508 0.3503 0.352 0.3527 ISE 0.2155 0.2155 0.2155 0.2156

ITAE 0.4632 0.4612 0.4679 0.4706 ITSE 0.2482 0.2481 0.2482 0.2482


C.4 Resultados del Control del Motor CD Compuesto Acumulativo

C.4.1 Control de velocidad En las siguientes gráficas se muestran las respuestas del motor de CD compuesto

acumulativo controlado por modos deslizantes, para las referencias dadas por los perfiles de velocidad propuestos para verificar la tarea de seguimiento de trayectorias. Se puede observar en la figura C4.1; que el sistema alcanza a la referencia en 0.6069 segundos y permanece en ella durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil de velocidad uno.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 0.6069

Y: 0.9689 wr

ref


La respuesta del sistema cuando se utiliza como referencia el perfil dos, se muestra

en la figura C4.2; obsérvese que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 0.6509 segundos y para cuando ocurren los cambios de referencia la velocidad converge a la nueva referencia de manera rápida.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.6509

Y: 1

X: 1.665

Y: 0

X: 2.725

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 4.165

Y: 0

wr

ref


C.4. Resultados del Control del Motor de CD Compuesto Acumulativo

201

El comportamiento de la velocidad del motor para cuando se utiliza como entrada el perfil tres se plasma en la figura C4.3; se puede apreciar que el sistema alcanza la referencia en 0.4799 segundos y logra seguirla de manera adecuada el resto de la prueba.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 0.4799

Y: 0.192

wr(

rad/s

)


time (sec)

wr

ref


La velocidad del motor de CD para la referencia dada por el perfil de velocidad

cuatro se muestra en la figura C4.4; en esta se observa que el sistema converge a la referencia aproximadamente en 0.4551 segundos y al realizar el cambio de referencia la velocidad del motor converge a la nueva referencia en 0.225 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 2.725

Y: 1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 0.4551

Y: 0

wr

ref


La figura C4.5 ilustra la respuesta del motor de CD para la referencia mostrada en el

perfil cinco, en la gráfica se aprecia que el sistema alcanzó a la referencia en 0.5096 segundos y permanece de manera adecuada siguiendo la referencia durante el resto de la prueba.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.5

0

0.5

1

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 0.5096

Y: 0.2038

wr

ref


Anexo C

202

En las pruebas mostradas en las gráficas anteriores para el seguimiento de trayectoria de velocidad, se pudo verificar que el control por modos deslizantes diseñado para el motor de CD compuesto acumulativo cumplió satisfactoriamente con la tarea de seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de velocidad el sistema convergió de manera rápida y siguió de manera adecuada la referencia.

A continuación en la tabla C4.1 se presentan los índices de desempeño del control

por modos deslizantes diseñados, para los cinco perfiles de velocidad propuestos. Los índices de desempeño mostrados en la tabla son pequeños, esto nos indica que el comportamiento dinámico que tiene el controlador es bueno.


ITAE 0.1579 1.043 0.05754 0.3571 0.05261 ITSE 0.1538 0.7051 0.02552 0.2433 0.02552

Tabla C4.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad Ahora se analizara la robustez del control para perturbaciones desconocidas en el

par de carga; la figura C4.6 muestra el comportamiento del motor cuando sufre una perturbación del 25% en el par de carga, en esta figura se puede apreciar como la perturbación hace que la respuesta se modifique 0.0002 rad/seg.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.807

Y: 0.9996

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.31

Y: 0.9998

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

10

11

12

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación


La figura C4.7 corresponde a la respuesta de velocidad del motor cuando se presenta

una perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %; obsérvese que cuando se produce la perturbación la velocidad del motor cae 0.0004 rad/seg.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.402

Y: 0.9998

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.679

Y: 0.9994

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

10

12

14

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación



203

Ahora se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C4.8 muestra el comportamiento del motor cuando se produce una perturbación de -25% en el par de carga; se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad disminuya 0.0002 rad/seg; más sin embargo debido al controlador el sistema converge de nuevo a la referencia en 0.618 segundos y permanece sobre ella el tiempo restante.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.99

0.995

1

1.005

1.01

X: 2.784

Y: 0.9996

X: 2.367

Y: 0.9998

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 3.118

Y: 0.9998

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

8

9

10

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación


La figura C4.9 ilustra el comportamiento del sistema cuando se presenta una

perturbación de -50% del par de carga de la máquina, el efecto de la perturbación sobre la respuesta del motor no se ve reflejada ya que la velocidad del motor solo se modifico 0.0001 rad/seg.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.683

Y: 0.9997

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.372

Y: 0.9998

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

6

8

10

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

wr

ref

perturbación


En resumen se puede decir, gracias a las gráficas mostradas en las figuras anteriores,

el control por modos deslizantes de velocidad para el motor de CD compuesto acumulativo es robusto para perturbaciones en el par de carga de la máquina ya que como se aprecia en las gráficas la velocidad del motor se corrompe cuando aparece la perturbación, sin embargo el control hace que el sistema converja de nuevo a la referencia de manera rápida y permaneciendo en ella en lo subsiguiente, rechazando de esta manera la perturbación.


deslizantes diseñado para cuando el motor sufre perturbaciones en el par de carga de la máquina. Los índices mostrados en la tabla nos indica que el comportamiento que presento el controlador es adecuado ya que la desviación del comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña.

Anexo C

204

Perturbación

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.2887 0.2892 0.2882 0.2883

ISE 0.1611 0.1611 0.1611 0.1611

ITAE 0.173 0.175 0.1711 0.1718

ITSE 0.1096 0.1096 0.1096 0.1096


A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios n los parámetros del motor de CD, en estás pruebas el parámetro que se modificará será la inductancia de campo LFF. La figura C4.10 corresponde a la respuesta de la velocidad del motor cuando se presenta un aumento del 25% en LFF; se aprecia que el sistema es insensible a la variación de los parámetros de la máquina CD gracias a la acción del controlador, esto debido a que la velocidad no se corrompe ante la presencia de esta variación.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.701

Y: 0.9998

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.321

Y: 0.9998

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



En la figura C4.11 se presenta la velocidad del motor cuando hay un aumento del

50% en LFF; en dicha figura se observa que el control es robusto ante incertidumbres en los parámetros de la máquina CD ya que la respuesta del sistema no sufre ningún cambio cuando aparece dicha incertidumbre.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.402

Y: 0.9998

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.702

Y: 0.9999

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref


Figura C4.11. Respuesta del sistema para un aumento en Lff del 50%.


205

Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la inductancia de campo LFF. La figura C4.12 muestra la velocidad del motor cuando varía LFF un -25%, se puede apreciar que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina ya que la respuesta del sistema no se corrompe cuando se presenta esta variación paramétrica.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.701

Y: 0.9998

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.345

Y: 0.9998

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.08

0.09

0.1

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



En la figura C4.13 se ilustra el comportamiento de la velocidad cuando existe un

decremento de -50% en LFF; se aprecia que ante dicha variación la velocidad del motor de CD no se modifica, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.95

1

1.05

X: 2.69

Y: 0.9997

wr(

rad/s

)


time (sec)

X: 2.368

Y: 0.9998

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.06

0.08

0.1

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref


Figura C4. 13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %.

Recapitulando podemos establecer en base a las gráficas mostradas en las figuras

anteriores, el control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación del parámetro LFF del motor de CD, ya que la respuesta del sistema no se afecta cuando se presentan las variaciones en dicho parámetro.


deslizantes de velocidad, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia de campo LFF. Los índices mostrados en la tabla nos dicen que el desempeño del controlador es bueno ante variaciones en los parámetros de la máquina, ya que dichos índices son pequeños.

Anexo C

206

Variación paramétrica en LFF Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 0.2881 0.288 0.2883 0.2885 ISE 0.1611 0.1611 0.1611 0.1611

ITAE 0.1709 0.1707 0.1716 0.1723 ITSE 0.1096 0.1096 0.1096 0.1096



Es el turno de presentar el comportamiento del motor de CD cuando se le aplica un control de posición por modos deslizantes, para la tarea de seguimiento de trayectoria se aplicaron los cinco perfiles de posición propuestos como referencias, en la figura C4.14 se muestra la posición de la flecha del motor para la referencia dada por el perfil uno, nótese que el motor alcanza la referencia en 1.595 segundos y la sigue suavemente el resto de la prueba.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Theta

(rad)


time (sec)

X: 1.595

Y: 0.9832

Theta

ref


El comportamiento de la posición para la referencia impuesta por el perfil dos se

muestra en la figura C4.15; se observa que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 1.509 segundos y además para cuando ocurren los cambios de referencia la posición converge a la nueva referencia de manera rápida y suave.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 1.509

Y: 1

X: 7.915

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

X: 5.012

Y: 0

Theta

ref



207

La figura C4.16 muestra el comportamiento de la posición para la referencia dada por el perfil tres, se aprecia que el sistema llega a la referencia en 1.625 segundos, se observa que cuando ocurren los cambios de referencia el sistema tiene un transitorio y converge a la nueva referencia de manera rápida.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 1.625

Y: 0.6502

X: 3.309

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

X: 5.489

Y: 0.8045

Theta

ref



C4.17; en la cual el sistema alcanza la referencia en 1.54 segundos y al hacer el cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 2.121 segundos.

0 1 2 3 4 5 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 1.54

Y: 0

X: 5.121

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref


La figura C4.18 ilustra la respuesta de la posición para la referencia impuesta por el

perfil cinco, se observa que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 1.822 segundos nótese que cuando ocurre el cambio de referencia aparece un transitorio y después converge a la nueva referencia en 0.672 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X: 1.822

Y: 0.7289

X: 3.172

Y: 1.007

Theta

(rad)


time (sec)

Theta

ref



208

Con base a las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de posición, se pudo verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de posición el sistema convergió y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba y de manera adecuada.

En la tabla C4.4 se presentan los índices de desempeño de los controladores

por modos deslizantes para los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está tabla se logra apreciar que los índices de desempeño son bajos por lo cual la desviación del comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña, por lo que el control diseñado presenta un buen desempeño con respecto a los índices.


ITAE 0.3259 11.13 0.2965 1.901 0.2169 ITSE 0.1421 8.05 0.03606 1.221 0.03476

Tabla C4.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición Ahora se harán pruebas para verificar la robustez de control de posición por modos

deslizantes ante perturbaciones que se pudieran presentar en el par de carga, la figura C4.19 corresponde a la respuesta de la posición cuando se presenta una perturbación del 25% en el par de carga, en la figura se puede apreciar como la perturbación no afecta la posición del rotor del motor.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 3.151

Y: 0.9999

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.874

Y: 0.9999

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

10

11

12

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación


La figura C4.20 muestra la posición de la flecha del motor cuando sufre una perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %; se observa que al ocurrir la perturbación la posición no se ve afectada por está, por lo que el control es robusto a perturbaciones en la carga.


209

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 2.909

Y: 0.9999

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.071

Y: 0.9999

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

10

12

14

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación



ante perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C4.21 ilustra la respuesta de la posición cuando el motor sufre una perturbación de -25% en el par de carga, se aprecia que cuando ocurre la perturbación la posición del rotor no se modifica por está.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 3.139

Y: 1Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.944

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

8

9

10

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación


La figura C4.22 muestra el comportamiento de la posición de la flecha del motor

cuando se presenta una perturbación de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que la perturbación no tiene ningún efecto sobre la posición de la flecha del motor.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 2.932

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.117

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

6

8

10

Te(N

m)

Par de carga Tl

time (sec)

Theta

ref

perturbación


Anexo C

210

De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede establecer que el control de posición por modos deslizantes para el motor de CD compuesta acumulativa es robusto a perturbaciones en el par de carga de la máquina, ya que cuando se produce la perturbación la respuesta del sistema se corrompe, más sin embargo el control hace que la posición de la flecha converja a la referencia rápidamente rechazando de está manera dicha perturbación.


deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de carga de la máquina. Se aprecia que los índices de desempeño que presenta el controlador cuando se presentan perturbaciones en la carga son pequeños, por lo tanto, el controlador tiene un desempeño dinámico adecuado.

Perturbación

Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 1.023 1.023 1.023 1.023 ISE 0.988 0.988 0.988 0.988

ITAE 0.505 0.5059 0.5059 0.5059 ITSE 0.4275 0.4275 0.4275 0.4275


La siguientes gráficas ilustran el comportamiento de la posición de la flecha para cuando el motor sufre cambios en sus parámetros, en estas pruebas el parámetro que se modificará será la inductancia de campo LFF. La figura C4.23 corresponde a la respuesta de la posición cuando el motor presenta un aumento del 25% en LFF; se puede apreciar que el control es insensible a la variación de dicho parámetro ya que la posición del motor no se corrompe cuando aparece está incertidumbre.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 3.139

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.944

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.1

0.11

0.12

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



En la figura C4.24 se presenta la respuesta del motor cuando se produce un aumento

del 50% en LFF; en dicha figura se observa como el control es robusto ante incertidumbres en los parámetros de la máquina de CD, ya que la respuesta del sistema no se corrompe cuando se produce dicha variación.


211

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 3.128

Y: 1

Theta

(ra

d)


time (sec)

X: 2.932

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref




inductancia de campo LFF de la máquina de CD. La figura C4.25 corresponde a la respuesta del sistema cuando se varía un -25% de LFF; se puede apreciar que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina de CD ya que la respuesta del sistema no se corrompe ante la presencia de esta variación paramétrica.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 3.093

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

X: 2.828

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.08

0.09

0.1

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



En la figura C4.26 se muestra la respuesta del sistema cuando se existe un

decremento del -50% en LFF; se aprecia que al variar el parámetro LFF la posición del motor de CD no se corrompe, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros de la máquina.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9

0.95

1

1.05

1.1

X: 2.874

Y: 1

Theta

(rad)


time (sec)

X: 3.185

Y: 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.06

0.08

0.1

Lff

(H)


time (sec)

wr

ref



Anexo C

212

Con base a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede decir que el control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación del parámetro LFF del motor de CD, ya que la respuesta del sistema no se corrompe para las diferentes variaciones que se le realizaron a la inductancia de campo.


deslizantes de posición, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia de campo LFF. Los índices de desempeño mostrados en la tabla nos indican que el comportamiento dinámico del controlador es adecuado, esto debido a que sus índices son pequeños.


Índice + 25 % + 50 % - 25 % - 50 % IAE 1.023 1.023 1.023 1.023 ISE 0.988 0.988 0.988 0.988

ITAE 0.5045 0.5044 0.505 0.5058 ITSE 0.4275 0.4275 0.4275 0.4275


213

Anexo D

D.1. Tarjeta Sensoray 626

Para cargar la tarjeta Sensoray 626 lo único que el usuario debe hacer es seleccionar Real-Time Windows Target dentro de la librería de Simulink como se muestra en la figura D1.1.

Figura D1.1 Menú de la opción Real-Time Windows Target de Simulink

Una vez que se despliegue el menú de Real-Time Windows Target al lado derecho de la ventana se selecciona el tipo de entada y salida que se desea entonces se arrastra al programa en Simulink que se esté desarrollando; véase figura D1.2, por ejemplo escogemos una entrada analógica

Figura D1.2. Ejemplo de como seleccionar el bloque para la adquisición de datos.

Anexo D

214

Una vez que el bloque de la entrada analógica este dentro de la ventana del programa, se posiciona el cursor en el bloque y se le da clic derecho para abrir un menú véase figura D1.3.

Figura D1.3. Menú del bloque entrada analógica.

Una vez abierto el menú se da clic en la opción abrir el bloque entones se abre una

nueva ventana que son los parámetros del bloque figura D1.4.

Figura D1.4.Ventana de los parámetros del bloque.

Una vez abierta la ventana de parámetros del bloque se da clic en instalar tarjeta

nueva, entonces Simulink cargará las tarjetas con las que es compatible, desplegando un menú con los nombres de los fabricantes de los cuales Simulink es compatible, entonces se

D.1 Tarjeta Sensoray 626

215

selecciona el nombre del fabricante de la tarjeta y Simulink te despliega un menú en el que se encuentran las tarjetas del fabricante seleccionada con las que Simulink es compatible, véase figura D1.5. En este caso el fabricante es Sensoray por lo que se escoge Sensoray, la tarjeta es 626 en este caso es la única de este fabricante que es compatible con Matlab entonces se escoge esta.

Figura D1.5. Ventana de los parámetros del bloque.

Entonces se instala la tarjeta Sensoray 626 y se escoge el puerto, el tiempo de

muestreo y el rango de voltaje de la entrada (véase figura D1.6) y de esa manera se configura la tarjeta de adquisición.

Figura D1.6.Ventana del bloque de parámetros.

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