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$: CENIDET · 2014. 2. 13. · Cenídet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico ESC\FORDOCO9 ACEPTACIÓN DEL TRABAJO DE TESIS DOCTORAL Cuernavaca, Morelos a 18 …$
S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet

DETECCI~N Y LOCALIZACI~N DE FUGAS EN U N DUCT0

T E S I S PARA OBTENER EL GRADO D E :

D O C T O R E N C I E N C I A S EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

P R E S E N T A :

NANCY VISAIRO CRUZ

DIRECTORAS D E TESIS:

DRA. CRISTINA VERDE RODARTE (11-UNAM, México) DRA. SYLVIANE GENTIL (LAG-ENSIEG, Francia)

CENTRO DE INFORMAClON DG'Tl SEP CíNIDET I CUERNAVACA, MORELOS OCTUBRE 2004

Cenídet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

ESC\FORDOCO9

ACEPTACIÓN DEL TRABAJO DE TESIS DOCTORAL

Cuernavaca, Morelos a 18 de enero del 2005 Dr. Enrique Quintem Mármol Máquez

Jefe del Depto. de Electrónica P r e s e n t e

Los abajo firmantes, miembros del Comité Tutorial de la Tesis Doctoral de la alumna Nancy Visairo Cruz, manifiestan que después de haber revisado su trabajo de tesis doctoral titulado "Detección y Localización de Fugas en un Ducto", realizado bajo la dirección de la Dra. Cristina Verde Rodarte y la Dra. Sylviane Gentil, el trabajo se ACEPTA para proceder a su impresión.

A T E N T A M E N T E

(p/Fj DR. ENRIQUE QUINTERO MARMOL MÁRQUEZ

C.C.P.: Dr. Jaime E. Arau Roffel ISubdrector AcadPnuco Lie Rosa Olivia Maquinay Diaz I Jefe ddDepfo. deServiaos Escolares Expediente

INIERIOR INTERNADO PALMIRA S/N. COL. PALMIRA, A.P. 5-164. CP. 62490. CUERNAVACA. MOR. - MÉXICO TELS./777)312 2314 .318 7 7 4 1 , F A X [ 7 7 7 ] 312 2 4 3 4 EMAIL [email protected]

1

Centro Nacional de Invesligacibn y Desarrollo TecnoMgico Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos

ANEXO No. 12 M l l

AUTORIZACI~N DE IMPRESI~N DE TESIS

Cuernavaca, Mor., a 18 de enero del 2005

C. M.C. Nancy Visairo Cruz Candidato al grado de Doctor en Ciencias en Ingeniería Electrónica Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Comisión Revisora de la Academia de Electrónica en relación a su trabajo de tesis cuyo titulo es: “Detección y Localización de Fugas en un Ducto”, me es grato comunicarle que conforme a los lineamientos establecidos para la obtención del grado de Doctor en Ciencias en este centro se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis.

Atentamente

,.a .I i

C. Dr. Enriaue Ouint/ero-Mármol Márauez I .

Jefe del Departamento de Electrónica

C.C.P. Subdirección Académica Presidente de la Academia de Electrónica Departamento de Servicios Escolares Expediente

A MIS PADRES

AGRADECIMIENTOS

Antes que todo quiero dar gracias a Dios por permitirme culminar este proyecto de mi vida profesional.

A mis padres Susana y Celedonio por su apoyo y sabios consejos en todo momento. A mis hermanos Celedonio, Horacio, Sarahí y Román, a mis cuñadas Arcelia y Alejandra,

a mis sobrinos Rebeca y Daniel con quienes he compartido momentos inolvidables de mi vida, gracias por su apoyo.

momentos felices que hemos compartido y por todas sus enseñanzas de la vida. A mi asesora, la doctora Cristina Verde, por sus enseñanzas y disposición en todo momento. A la doctora Sylviane Gentil con quien tuve la oportunidad de trabajar. A mis revisores, los doctores Efraín Alcorta, Basilio del Muro, Enrique Quintero, Alejandro

Rodríguez y Gerardo Vela, quienes complementaron este trabajo con sus acertados comentarios. Muy especialmente al doctor Jaime Arau, a quien admiro y respeto, muchas gracias por su

amistad y apoyo en todo momento. A los doctores Victor Cárdenas, Carlos Aguilar, Carlos García, Ekancisco Canales por su

amistad y consejos en los momentos difíciles. A los doctores Gerardo Espinosa, Jaime Moreno y Luis Álvarez de la UNAM por su apoyo

durante este trabajo. A mis amigos y compañeros Edmundo Rocha, Marco Contreras, Paul Maya, Manuel Betan-

CUI, Alejandro Vargas, Jesús Aguayo, René Jiménez, Jesús Mina, Oscar Rosas, Cecilia Cornejo, Marving Aguilar, Victor Olivares, Ernesto Bárcenas, Javier Correa, Sebastián Ibada, Daniel Noriega, Roberto Gaiindo, etcétera por la oportunidad de convivir durante esta etapa.

A Jorge Ramírez por su interés en este trabajo de investigación y por su disposición durante el trabajo experimental.

A todo el personal del CENIDET y del 11-UNAM por el apoyo que siempre me brindaron. A COSNET, 11-UNAM, SEP, IMP y ECOS-ANUIES-FRANCIA por su apoyo económico

A mis amigos Sinuhé y Jenny, a quienes considero como de mi familia, gracias por todos los

durante este proyecto.

t:

RESUMEN

En este trabajo se aborda el problema de detección y localización de múltiples fugas en un ducto con sólo mediciones de gasto y presión en sus extremos. El objetivo es dar un procedimien- to apropiado para estas tareas. Para esto se utilizaron herramientas de la teoría de detección y aislamiento de fdlas (FDI, por sus siglas en inglés) tanto con un enfoque algebraic0 como con uno geométrico y vía simulación. El problema FDI se divide en tres bloques: el problema de detección, el de localización y el de identificación de las fugas. Se utiliza un modelo matemático no lineal con fugas a lo largo del ducto.

De esta forma, se encuentran condiciones necesarias y suficientes para la solución del problema de detección y aislamiento de conjuntos de fallas para una clase de sistemas no lineales usando las herramientas geométricas relacionadas con la observabilidad del sistema dinámico. El resultado se basa en la teoría de desacoplamiento a perturbaciones usando el concepto de distribución de no-observabilidad minima. Básicamente, se dan condiciones de existencia para el desacoplamiento de ciertas entradas sin perder la sensibilidad de otras.

Se hace el análisis para el modelo no lineal del ducto considerando fugas simultáneas. El análisis muestra que no existe una solución general al problema de detección y localización de múltiples fugas en un ducto con sólo mediciones de gasto y presión en sus extremos para toda entrada de control. Y en particular, sólo dos fugas se pueden detectar con posiciones fijas asumidas de antemano.

El problema de detección se divide en dos tareas. La primera consiste en la generación de subsistemas desacoplados de fallas de no interés sin perder la sensibilidad de las fallas de interés mediante una transformación. La segunda tarea consiste en el diseño propio de los generadores de residuos vía observadores no lineales.

Para probar el algoritmo de detección se generaron mediciones de gasto y presión en los extremos de un ducto de 132m de una estación piloto del Laboratorio de Hidromecánica del Instituto de Ingeniería de la UNAM provocando una fuga a los 49m aguas arriba. Los resultados muestran un buen desempeño del algoritmo de detección con una fuga pequeña hasta del 3.1% del gasto nominal.

El problema de localización de dos fugas simultáneas se ataca mediante una identificación dc parámctros vía simulación considerando que se conoce el gasto entre las dos fugas. Ya que

en estado estacionario existe un número infinito de pares de fugas que presentan los mismos gastos en los extremos del ducto; la identificación se hace durante la respuesta transitoria donde para cada par de fugas la respuesta es diferente y permite obtener información útil para la identificación.

Como conclusión global se propone atacar el problema de detección y localización de dos fugas simultáneas en dos pasos: El primero consiste en aplicar un generador de residuos, el cual detecta una condición anormal y evalúa el parámetro necesario para lograr la identificación . El segundo consiste en una tarea de identificación para los parámetros desconocidos.

Índice General

1 Introducción 1

2 5 2.1 Generación de residuos robustos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 FDI en sistemas lineales vía el enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 10 2.2.2 FDI robusto eii sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 FDI en sistemas no lineales vía el enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Distribución de no observabilidad que contiene a. una distribución . . . . . 12 2.3.2 FDI robusto en sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.3 FDI robusto extendido en sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Teoría de detección y aislamiento de fallas basada en un modelo

Subespacio de no observabilidad que contiene a un subespacio . . . . . . .

2.3

3 Modelo del fluido en el ducto 27 3.1 Modelo de parámetros "y" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Modelo de parámetros "h" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Modelo de parámetros "h"' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Modelo de parámetros "2' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Análisis de detección de múltiples fugas en un ducto con posiciones fijas 31 4.1 Análisis de detección para dos fugas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.1 CasoA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Análisis de detección para tres fugas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1 &so lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Análisis de detección para el modelo de parámetros "h' . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 Análisis de detección para el modelo de parámetros "h*" . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5 Análisis de detección para el modelo de parámetros "2" . . . . . . . . . . . . . . 52 4.6 Generación de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Identificabilidad de dos fugas simultáneas con posiciones desconocidas 59 5.1 Caracterización de las parejas indistinguibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Sensibilidad de la salida a los parámetros desconocidos . . . . . . . . . . . . . . . 64

1

11 íNDICE GENERAL

5.3 Identificación de paiámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

0 Resultados en simulación y experimentales 79 6.1 Resultados en simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 Resultados cxperirnentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2.1 Resultados experimentales con medidores de gasto de ultrasonido . . . . . 83 6.2.2 Resultados experimentales con medidores de gasto de propela . . . . . . . 85

7 Conclusiones 91

A Construcción de la distribución de no observabilidad 95 95 A.l Algoritmo para construir la distribución . . . . . . . . , , . . . . . . . . . . . . .

A.2 (no) cuando la fuga entre las secciones 1 y 2 es w1 con el ducto dividido en 3

A.3 (no)' cuando la fuga eiitre las seccioiies 1 y 2 es w1 con el ducto dividido en 4

A.4 (no)' cuando la fuga entre las secciones 2 y 3 es w1 con el ducto dividido en 4

I

secciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . . , , , . . . . . . . . . . . . 96

secciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :I_ . . . 104

Índice de Figuras

2.1 Esquema general de detección y aislamiento de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1 Distribución de variables en el ducto para el modelo de parámetros ;'y'; . . . . . 28

2" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Distribución de variables en el ducto para los modelos de paráiiietros " / I . " ; '.h*".

J i "

4.1 Distribiición de variables en el ducto con dos fugas en los límites de las secciones de los extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Distribución de variables en el ducto para el Caso A . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Distribución general de variables en el diicto con dos fugas . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 Distribución de variables eii el ducto coil tres fugas . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5 Ducto con tres fugas simultáneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1 Distribución de variables en el ducto con secciones no uniformes con dos fugas . . 61 5.2 Ca.ída de presión a lo largo del ducto en estado permanente con dos fugas . . . . 62 5.3 Generación del criterio integral cuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.4 Gráfica del criterio J para zeq = 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.5 Curvas de nivel de z2 y A2 para zeq = 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6 Gráfica del criterio J para zeq = 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.7 Curvas de nivel de 22 y X i para zeq = GO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.8 Gráfica del criterio J para zeq = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.9 Curvas de nivel de z2 y Xz para. zCq = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.10 Gráfica del criterio J para rep = 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.11 Curvas de nivel de 22 y Xz para zeq = 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.12 Gráfica del criterio J paxa zeq = 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.13 Curva de nivel de z2 y A2 para zeq = 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.14 Restricciones del error e ( t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.15 Caída de presión en el ducto con zeq = 61 para un caso difícil . . . . . . . . . . . 76 5.16 Caída de presión en el ducto con zeq = 61 para un caso fácil . . . . . . . . . . . . 76 5.17 Diagrama de bloques de la identificación de los parámetros . . . . . . . . . . . . 77 5.18 Salida de la planta y del FKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

... 111

iv ÍNDICE DE FIGURAS

5.19 Evaluación de la identificación de los parámetros descoiiocidos . . . . . . . . . . . 5.20 Error entre la salida del sistenia y la del modelo estimado . . . . . . , . .. . . . .

6.1 6.2

78 78

Diagrama de bloques del generador de residuos . . . . . . . . , , . . . . . . . , , 80 Señales conocidas de gasto y presión en los extremos de la tubería con dos fugas distribuidas uniformeniente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Evolucióii de los residuos con 2 fugas localizadas uniformeineiite a lo largo del ducto 81 Señales de gasto y presión con un cambio de punto de operación del 9.7% del gasto nominal a los 600s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Evolución de los residuos con un cambio de punto de operación del 9.7% del gasto nominal a los 600s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Realización del algoritmo detector de dos fugas . . . , , , . . . . . , , , , . . . . 82 Gastos y presiones en los extremos del ducto con una fuga del 6.1% dell'gasto nomiiia,l localiza,da a 49m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Evolución de los residuos con una fuga del 6.1% del gasto nominal loca,lizada a 49777, 84 Gastos y presiones en los extremos del ducto con una fuga del 3.1% del gasto nominal Iocalimda a 49m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,,. . . . 84

6.10 Evolución de los residuos con una fuga del 3.1% del gasto nominal localizada a 49777 85 6.11 Gastos y presiones en los extremos del ducto con un cambio de punto de operación

del 9.1% del gasto nominal a los 600s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.12 Evolucióii de los residuos usando datos reales cambiando punto de operación del

9.1% del gasto nominal a los 600s . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . /I. . . . 6.13 Gastos y presiones en los extremos del ducto con un cambio de punto de operación

del 11.5% del gasto nominal a los 380s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ': . . . 6.14 Evolución de los residuos con un cambio de punto de operación del 11.5% del

gasto nominal a los 380s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15 Respuesta transitoria de los gastos reales y del modelo con 3 secciones . . . . . . 6.16 R.espuesta transitoria de las presiones reales y del modelo con 3 secciones . . . . 6.17 Respuesta transitoria de los gastos reales y del iiiodelo con 8 secciones . . , . . . 6.18 Respuesta transitoria de las presiones reales y del modelo con 8 secciones . . . .

6.3 G.4

6.5

6.6 6.7

6.8 6.9

86

87

87 88 88 89 89

Índice de Tablas

5.1 Datos de la planta y del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2 Datos de la planta y del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.3 Resultados del algoritmo de optiniización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.4 Pares de fugas difíciles de identificar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.5 Pares de fugas fáciles de identificar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.6 Resultados dc la identificación mediante un observador no lineal . . . . . . . . . . 77

V

vi INDICE DE TABLAS

Capítulo 1

Introducción

En los últimos años se ha incrementado la necesidad de tener sistemas dinámicos robustos y confiables junto con algoritmos de control comple,jos con lo que también ha aumentado la demanda para la tolerancia a fallas, la cual puede llevarse a cabo no solamente mejorando la seguridad sino también mediante un algoritmo eficiente de detección, aislarnicnto y adaptación de fallas.

Por otro lado, en los últimos años la seguridad en el transporte de hidrocarburos a través de ductos, 55000 km aproximadamente en nuestro país (Perez, 2003), ha tomado gran interés. Las tomas clandestinas, que provocan enormes repercusiones económicas e implican el riesgo de accidentes con graves daños ecológicos, y el envejecimiento de los ductos, construidos hace 20 Ó

30 años y muchos de ellos subterráneos o subacuáticos de difícil acceso para un mantenimiento constante, hacen de las fugas uno de los principales problemas a resolver. Con ésto, se busca disminuir daños ecológicos y humanos provocados por fugas en los ductos, como el ocurrido en el oleoducto Nuevo Teapa-Venta de Carpio-Tula en 2002. De esta forma, el problema de detección y localización oportuna de fugas implica un reto para la ingeniería de control de procesos.

La detección y localización de fugas sin sacar de operación el ducto se puede hacer, ya sea a través de vigilancia ocasional o a través de un monitoreo continuo. Las técnicas de vigilancia ocasional se basan en observaciones desde aviones o por satélite, el problema principal con éstas es que son muy costosas y que fugas pequeñas no se pueden detectar tempranamente. El inonitoreo automá,tico continuo considera efectos físicos por mediciones directas o por cálculos de modelos matemáticos del fluido en los ductos. Las herramientas usadas para el monitoreo continuo son la teoría de dinámica de fluidos junto con algoritmos de detección y aislamiento de fallas (FDI por sus siglas en inglés) para sistemas dinámicos.

En los últimos años se han desarrollado diversos esquemas de FDI basados en el modelo matem;itico del fluido. Por ejemplo, (Verde, 2001) valida con datos experimentales un método basado en observadores con entradas desconocidas considerando un modelo lineal del fluido capaz de detectar dos fugas simultáneas, sin embargo, la posición de las fugas se estima con poca precisión ante comportamientos no lineales severos del fluido. En este caso se suponen

1

2 Introducción

únicamente mediciones de gastos y presiones en los extremos del ducto. Otros autores (Shields et al.; 2001): (Kowalczuk and Gunawickrama, 2000) diseñan los generadores de los residuos o señdes detectoras de fugas usando observadores basados en un modelo complejo no lineal del fluido y considerando que se tienen mediciones intermedias a io largo del ducto,: esto último sin ,justificación a,lguna. Requerir sensores adicionales de gasto hace poco útil estos métodos. Recientemente en la UNAM, (Verde, 2002) propuso un método para generar; a partir del modelo no lineal del fluido con múltiples fallas, un conjunto de subsistemas no lineales desacoplados de una falla y sensibles al resto el cual se puede usar para generar los residuos vía observadores no lineales. En este caso el problema de desacoplamiento requiere que se estimen derivadas de los gastos, lo cual también lo hace poco atractivo para s i l aplicación en un sistema real de redes.

En (Verde and Visairo, 2001), el problema de detección de fallas se resuelve utilizmdo u11 modelo matemático no lineal del fluido con posiciones fijas, sin embargo, este método no es robusto con respecto a incertidumbres en la posición y sólo se puede aplicar para detectar y localizar fugas en casos muy limitados. Ya que en una aplicación real la localización de las fugas tiene una alta prioridad, en (Verde, 2003) se formula el problema de localización con dos residuos acoplados diseñados vía observadores. La posición de la fuga se determina minimizando la sensibilidad de un residuo y niaximizando la sensibilidad del otro. Este procedimiento es robusto con respecto a la localización de fugas secuenciales, sin embargo, si varias f u g l apareceii al mismo tiempo, se estiman falsas posiciones.

Así? la ausencia de un procedimiento apropiado de FDI para atacar el caso de múltiples fugas en un ducto con sólo mediciones de gasto y presión en sus extremos es una de las motivaciones del presente trabajo. De esta forma, se busca verificar las condiciones de existencia, de solución para el problema de detección y aislamiento de fallas considerando un modelo no lineal del fluido coli sólo mediciones de gasto y presión eii los extremos del ducto (Visairo alid Verde, 2003). Para estudiar este problema se usan las herramientas geométricas relacionadas con la observabilidad de un sistema dinámico.

1

Un resultado importante del análisis muestra que no existe una solución general ai problema de detección y localización de múltiples fugas en un ducto con sólo mediciones de gasto y presión eii sus extremos para toda entrada de control u. Y en particular, sólo dos fugas se pueden detectar cor1 posiciones fijas asumidas de aitemano.

Por otro lado, del estudio presentado en este trabajo se puede decir que iiu modelo más preciso del fluido (mayor número de variables de estado) no ayuda en la solución del problema de aislamiento no lineal dejando como problema abierto la solución ai problema de detección y 1oca.lización de dos fugas simultáneas considerando tanto el tamaño como las posicioues de las fugas desconocidos. Por otro lado, (Verde et al., 2003) demuestra que existe un número infinito de pares de fugas que en estado estacionario presentan los mismos gastos y presiones en los extremos. Sin embargo, el comportamiento transitorio es diferente para cada par de fugas. Esto motivó a considerar como segundo objetivo de este trabajo el estudiar la posibilidad de utilizar el transitorio de las variables medibles para complementar la información obtenida por

3

los residuos, y lograr así especificar tanto el ta,maiio como la posición de las fugas. Así en particular, se propone un modelo dinámico en Condiciones de dos fugas y se rea-

liza un análisis en simulación de la sensibilidad de la respuesta transitoria del sistema a 10s parámetros descoiiocidos. El objetivo dcl análisis es estudiar entonces, la identificabilidad de las fugas durante el transitorio. La evaluación del error integral cuadrático del vector de salida muestra la, posibilidad de identificar los parámetros desconocidos de dos fugas considera,ndo su coniportamiento transitorio con resultados en simulación (Verde and Visairo, 2004).

En el Capítulo 2 se presentan los preliminares teóricos de FDI basados en modelos analíticos y el planteamiento del problema de detección de fallas con condiciones de existencia para su solución. Se hace una extensión del resultado dado por (De-Persis and Isidori, 2001) al problema de detección y aislamiento con conjuntos de fallas basado en codistribuciones de observabilidad para sistemas 110 lineales. El problema parte de los resultados del problema .de desacoplainiento a perturbaciones dado por (Isidori et al., 1981) y es desde un punto de vista teórico, la principal aportación del trabajo. El Capítulo 3 presenta el modelo del fluido y el modelo aproximado con el que se realizó todo el estudio. Se consideran cuatro combinaciones de eiitradas y salidas considerando los gastos y las presiones en los extremos del ducto conocidos. En el Capítulo 4 se muestra el análisis de detección de miiltiples fugas en el ducto. Se muestran los resultados eii forma general para dos y tres fugas simultáneas. En el Capítulo 5 se resuelve el problema de detección y localización de dos fugas simultáneas considerando desconocidos la posición y el tamaiío de las fugas durante la respuesta transitoria del sistema, se muestran resultados de simulación. El Capítulo 6 muestra resultados en simulación y experimentales del algoritmo de detección propuesto para dos fugas simultáneas con posiciones fijas. Finalmente, en el Capítulo 7 se presentan las conclusiones.

Inti oduccióii

Capítulo 2


Un procedimiento de monitoreo que se usa para detectar y aislar fallas y evaluar su significado y gravedad en un sistema se llama sistema de diagnóstico de fallas (Patton et al., 2000). Tal sistema normalmente consta de las siguientes tareas:

Detección de la falla: tomar una decisión binaria, ya sea que todo esté bien o no.

Aislamiento de la falla: determinar la localización de la falla, es decir, qué sensor, actuador o componente ha fallado.

Identificación de la falla: estimar el tamaíio y tipo o naturaleza de la falla.

Dentro de la comunidad de FDI, una falla se entiende como una desviación no permitida. de al menos una propiedad característica de una variable de un comportamiento inaceptable (Isermann, 1997). Estos malos funcionamientos pueden ocurrir ya sea en los sensores, en los actuadores o en los componentes del proceso. En las dos Últimas décadas, la investigación sobre FDI se ha incrementado considerablemente debido a lo complejo de los procesos automatizados y a la demanda creciente de calidad y seguridad de los sistemas de control.

Entre las filosofías más estudiadas en el área de FDI se encuentran los métodos de rednndan- cia analítica. Estas metodología utilizan la redundancia inherente contenida en las relaciones dinámicas y cstáticas de las entmdas y las salidas del sistema,, es decir, utilizan un modelo matemático del sistema. Existen también los modelos baados en conocimiento, éstos se utilizan cuando los modelos analíticos no están disponibles (Frank, 1990). De aquí, los modelos basados en conocimiento se pueden ver como una alternativa al enfoque basado en modelos analíticos, o también pueden ser complementarios. Los enfoques de redundancia analítica y el basado en conocimiento requieren técnicas de procesamiento de información avanzadas tales como estimación de estado, estimación de parámetros; filtros adaptivos, lógica de umbral variable,

5

6 Teoría de detección y aislamiento de fallas basada en un modelo

!!@+

teoría de decisión estadística, reconocimiento de patrones, razonamiento heuríst,ico y operaciones lógicas.

La idea básica de redundancia analítica es verificar que el coniportamiento del sistema actual

Una de las ventajas del enfoque de redundancia analítica es el hecho de que la redundancia existente se puede evaluar simplemente mediante un proceso de información ba,jo condiciones de operación bien caracterizadas sin necesidad de instrumentación física adicioiml en la planta. Sin embargo, se debe tener un modelo matemático adecuado, lo que trae procedimientos computacionales complejos.

tenga consistencia con el modelo nominal.

Los algoritmos de diagnóstico que utilizan redundancia analítica constan de dos bloques: generación de residuos y evaluación de residuos, como se muestra en la figura 2.1,'donde u( t ) y y(t) representan la observación (entradas y salidas) y r ( t ) los residuos (Gertler, 1991). A su vez, el problema de detección se puede dividir en dos tareas: a) la generación de subsistemas desacoplados tanto de incertidumbres como de fallas consideradas como perturbaciones usando una inyección de la salida y, estrictamente hablando, b) la tarea de diseño del generador de residuos.

Generación de Información residuos de las fallas

Los residuos son cantidades que representan la, inconsistencia entre las varia,bles de la planta real y las variables del modelo matemático. Los residuos se calculan a partir de las observaciones a la plaiita que constan de las salidas y las entradas medidas. El enfoque de redundancia analítica, requiere que el generador de residuos cumpla con cierta clase de validación de relaciones del sistema usando la entrada actual y salida actual. Las señales resultantes se usan para formm funciones de decisión como normas o funciones de probabilidad. Luego se evalúan en la lógica de decisión de fallas para moiiitorear el tiempo de ocurrencia y la localización de la falla.

Muchos de los enfoques desarrollados para diseñar el generador de residuos; ya sea con herramientas aigebraicas o geométricas, formulan el problema de FDI considera.ndo un residuo sensible solamente a una falla y robusto al resto de ellas y a las incertidumbres, haciendo trivial el problema de aislamiento.

Los métodos de FDI usando redundancia analítica se pueden dividir en tres: I1

a.) Estimación de parámetros: La idea básica de este método de detección es que los parámetros del proceso actual se estiman en línea usando métodos de estimación bien conocidos y los resultados se comparan con los parámetros del modelo de referencia :obtenidos inicialmente bajo condiciones libres de fallas.

7

El método de estimación de parámetros es apropiado si las fallas del proceso están asociadas con cambios en los parámetros del modelo. Es decir, se hace uso del hecho de que las fallas del sistema dinámico se reflejan en parámetros físicos (fallas multiplicativas (Frank, 1989)) como por ejemplo, fricción, masa, viscosidad, resistencia, capacitancia, inductancia, etc. Los parámetros del modelo generalmente no se pueden medir, pero se pueden estimar usando técnica,s de estimación de parámetros estándares. La idea de este enfoque es detectar las fdlas por medio de la estimación de los parámetros del niodelo matemático.

Este enfoque normalmente usa modelos matemáticos entrada-salida del sistema. El procedimiento básico para llevar a cabo FDI usando estimación de parámetros es:

- Establecer el modelo del proceso usando relaciones físicas.

- Determinar la, relación entre los coeficientes del modelo y los parámetros físicos del proceso.

- Estimah los coeficientes del modelo normal

- Calcular los parámetros físicos del proceso normal.

Determinar los ca,mbios de los prámetros que ocurren por casos de fallas

Para. llevar a cabo el Último paso para fallas conocidas, se puede construir una base de datos de fallas y sus síntomas. Dnrante la operación del sistema, los coeficientes del modelo del sistema se identifican periódicamente a partir de las entradas y salidas disponibles, y se comparan con los parámetros del modelo normal y del modelo con fallas.

En los métodos de estimación de parámetros se requiere que las señales tengan una ex- citación persistente suficientemente alta.

b) Enfoque basado en observadores: La idea básica del método basado en observadores es reconstruir las salidas'del sistema a partir de las mediciones disponibles del proceso con la ayuda. de observadores usando el error de estimación como un residuo para la detección y aislamiento de las fa,llas.

El método basado en observadores es apropiado si las fallas están asociadas con cambios en actmdores, sensores o mriables de estado no medibles; esto es, apropiado especialmente pa,ra detectar y aislar fallas aditivas. Se requiere de un modelo matemático detallado de la planta preferentemente derivado de los estados tal que las ecuaciones de estado tengan una interpreta,ción física.

Es importante notar que cuando se utiliza un observador para propósitos de FDI sólo es necesaria la estimación de parte de la salida.

Para minimizar la ocurrencia de falsas alarmas se debe diseñar un observador que sea robusto a las entradas desconocidas.

8 Teoría de detección y aisla.iniento de fallas basada en un modelo

c) Relaciones de paridad: Este método se basa en la consistencia de ecuaciones matemáticas del sistema en términos de las señales medidas. Las relaciones de paridad están expuestas a una transformación, con residuos transformados usados para detectar y aislar las fallas.

El método de relaciones de paridad para generación de residuos se aplica principalmente al diagnóstico de fallas en los sensores y aktuadores y no requiere conocimiento he1 coinpor- tamiento de los componentes defectuosos. En el enfoque por relaciones de paridad, la idea, clave es revisar la paridad (consistencia) de las ecuaciones matemáticas del sistema usando mediciones del proceso. La tarea de FDI es entonces construir un espacio de paridad y analizar sus elementos.

2.1 Generación de residuos robustos

Además de considerar un modelo que describa, exa,ctameiite el comportamiento de la phnta, otro punto crucial en cualquier esquema FDI basado en el modelo matemático es la influencia de las perturbaciones no modeladas como, por ejemplo, parámetros ambiguos, cambios en los parámetros del sistema, y ruidos del sistema y de medición. Todas estas influenciad se pueden resumir como entradas desconocidas actuando sobre el sistema. Debido a esto, existe siempre un error entre el proceso actual y.su modelo matemático, aún cuando no ocurran fallas en el proceso. El efecto de las entradas desconocidas obscurece el desempeño de FDI y actúa como una fuente de falsas alarmas. De acuerdo con lo a,nterior, se tienen dos requerimientos de importancia para los sistemas FDI:

a.) Distinguir fallas diferentes. li

b) Robustez con respecto a la,s entradas desconocidas (incluyendo los errores del modelo).

La tarea niás desafiante en la. robustez de esquemas de FDI es lograr el desacoplamiento coinpleto de las fallas y las entradas desconocidas. Así, la formulación del problema de robustez FDl debe requerir entonces robustez al modelar errores sin perder la sensibilidad en la detección de las fallas.

Por lo tanto, el problema de generación de residuos robustos se puede expresar como:

1. Para detección de fallas, los efectos de las fallas tienen que estar desacoplados de los efectos de las entradas desconocidas.

2. Para el aislamiento de fallas, el efecto de una falla debe estar desacoplado del efecto de entradas desconocidas y de las otras fallas.

Una herramienta útil para el diagnóstico de fallas es el concepto de desacoplamiento a perturbaciones; aquí los efectos de las perturbaciones y algunas fallas sobre los residuos se desacoplan

2.1 Generación de residuos robustos 9

a través de un diseno elaborado de un generador de residuos; de modo que el diagnóstico se pueda lograr.

La meta de diseño es un residuo que sea altamente sensible a las fallas pero desacoplado de perturbaciones y robusto contra incertidumbres en el modelo. Una de las formas de lograrlo haciendo uso de una transformación de estado.

Una contribución importantc de FDI con un enfoque algebraic0 es la que se relaciona con las condiciones para generar un subsistema desacoplado de perturbaciones y fallas de no interés manteniendo su sensibilidad a las fallas de interés (Seliger and Frank, 2000). Los autores dan las condiciones en términos de una transformación no lineal de desacoplamiento a perturbaciones con requerimientos de sensibilidad. Estas condiciones tienen la ventaja que permiten analizar en algunos casos la combinación particular de fallas que no se pueden detectar.

Considere el modelo

i = g(z, u) + K(z)d + E(z)f y = h(x)

donde x es el vector de estado, u el vector de entrada, y el vector de salida, d el vector de perturbaciones o entradas desconocidas y f el vector de fallas, K ( x ) y E ( z ) son matrices conocidas.

La transformación

z = T ( x ) (2.3)

llamada transformación de desacoplamiento a pertubaciones y sensible a fallas, genera un subsistema con inyección de la salida de la forma

si, y sólo si

(2.6)

La primera condición se llama condición de desacoplamiento y la segunda, condición de sensibilidad. De esta forma, el sistema en coordenadas z está totalmente desacoplado de las perturbaciones sin perder el efecto de las fallas. Este resultado de desacoplamiento a perturbaciones se puede utilizar para resolver tanto el problema de detección de fallas como el de aislamiento de fallas. El aislamiento de fallas es posible cuando se consideran fallas modeladas como perturbaciones. De este modo, el aislamiento de fallas requiere del desacoplamiento de los efectos de diferentes fallas sobre el residuo lo que permite decidir qué falla o fallas han ocurrido.

Otro de los resultados importantes en la teoría de FDI está relacionado con las condiciones necesarias para detectar un conjunto de fallas usando un generador de residuos. Se sabe que coil


q salidas sólo es posible tener a lo más q- 1 conjuntos de fallas que se pueden aislar (Ma,ssoumnia et al., 1989). Si se definen conjuntos de fallas con un sólo elemento, el problema de detección y a,islamiento global podrá tener solución si el número de fallas es menor o igual al número de salidas. Esta suposición simplifica la tarea de FDI ya que cada residuo se puede diseñar para que sea sensible solamente a una falla y robusto al resto y así el problema de aislamiento resulta trivial.

2.2 FDI en sistemas lineales vía el enfoque geométrico

2.2.1 Subespacio de no observabilidad que contiene a un subespacio

En la teoría de sistemas lineales, los conceptos de subespacio de no observabilidad y de invariancia juegan un papel importante en los problemas relacionados con el desacoplamiento de perturbaciones y con el diseño de filtros capaces de rechazar entradas específicas.

Por lo tanto, es importante presentar, como antecedente para resolver el problema de FDI robusto, los conceptos de subespacio de no observabilidad y su invariancia junto con, algunas de sus propiedades.

Definición 1 (Wonham, 1974) Sea el sistema

x = Ax+Bu, t > O y = cx, t 2 0 (2.7)

con A : X + X, B : U --t X y C : X -t Y con dimensiones d ( X ) = n , d ( U ) = rn,d(Y) = q. El par de mapeos (C, A ) es observable si

n ker(CAi-') = o i=l

Teorema 2 (Wonham, 1974) El szstema (2.7) es observable sz y sólo si el par ( C , Á ) es obser- va6le.

Definición 3 (Wonham, 1974) El subespacio no oúservable del sistema (2.7), I) C X , se define como

n

7 2 fl ker(CAi-') (2.9) i= l

Definición 4 ( B a d e and Marro, 1992) Considere el par (C, A). El subespacio S c'. X se dice que es u n subespacio invariante condicionado (Xc, A) si

A ( S n Xc) C S con XC := kerC (2.10)

. ., ..-

2.2 FDI en sistemas lineales vía el enfoque geométrico 11

Teorema 5 (Basile and M a r o , 1992) Un subespacio S c X es un subespacio invariante conda- cionado (Kc: A) para (2.7) s i y sólo s i existe al menos una matriz G tal que (A + GC)S 2 S.

Definición 6 (Basile and Marro, 1992) Sea P un subespacio P c X , entonces se denota N(P) a la familia de todos los subespacios existentes que contienen al subespacio P.

Definición 7 (Basile and Mano, 1992) La familia N(P) contiene un elemen,to mínimo deno tad0 como N, := itif N ( P ) .

El subespacio invariante condicio~iado (Kc, A) mínimo que contiene a un subespacio P C X se puede determinar con el siguiente algoritmo.

Algoritmo 8 (Basile and Marro, 1992) Considere el sistema (2.7) y el subespacio que satisface (2.10), entonces, el subespacio invariante condicionado (Kc, A) m h i m o que contiene al subespacio P 2 X denotado POT ST coincide con el Último término de la sucesión

so = P (2.11)

S<+i = P + A (S, n ker {C}) i = O , _.., k - 1

donde el valor de k 5 n - 1 se determina POT la condición = Sk, y POT lo tanto, S r = Sk

Además, una vez que se tiene S? se puede calcular el subespacio de no observabilidad 7 mínimo que contiene a P del sistema (2.7) usando el siguiente algoritmo.

Algoritmo 9 (De-Persis and ísidori, 2000) Considere el sistema (2.7) y el subespacio S r obtenido con (2.1 l ) , entonces, la sucesión no decreciente

(2.12)

con i = O , ._., n - 1 genera el subespacio m h i m o de observabilidad contenido en P’, denotado como Qr = Qi+l, y POT lo tanto, el subespacio de no observabilidad minimo que contiene a P es igual a (@) . 1

2.2.2

En la introducción de este ca,pítulo se ha hecho notar que para resolver el problema de detección y aislamiento de múltiples fallas es necesaria la existencia de subsistemas que sean robustos a ciertas entradas pero sin perder la sensibilidad de otras.

En este sentido, Massouninia utiliza el subespacio de no observabilidad niíniino que contiene al subespacio P asociado a las perturbaciones, (Qr) , y determina condiciones bajo las cuales es posible resolver este problema de FDI.

A continuación se presentan las condiciones de solución del problema de FDI para el caso lineal.

FDI robusto en sistemas lineales

1

12 Teoría de detección y aislamiento de fallas basada en u n niodelo

Problema 10 (Massoumnia et al., 1989). Considere el sistema lineal (2.Y) en donde se han adicionado perturbaciones y fallas

d

I1 (2.13) i=l i=l

y = cn: con. w, E !R para i. = 1, ..., d una perturbación o señal de falla de no interés, mi E !R para i = 1, . . . ,p una serial de falla de interés, pi y li de dimensiones apropiadas.

El problema de FDI consiste en diseñar un generador de residuos vía un observador con entradas desconocidas (UIO, por sus siglas en inglés) de la forma

W = F w - E y + G u (2.14)

T = M w - H y + K u ~ (2.15)

que tiene corno entradas las señales observadas u y y con las siguientes propiedades:

10.1) V q = O y Vmi = O, el residuo T tiende a cero asintóticamente. De aquí, la transmisión de u al residuo es cero, y los modos obseruables del generador son asintóticamente estables.

10.2) Para cualquier modo de falla i-ésimo (cuando mi # O), el residuo r es diferente de cero.

10.3) Cuondo Vwi # O y mi = O, el residuo r es igual a cero,

(Massoumnia et al., 1989) demuestra que las condiciones de existencia de la solución al Problema 10 dependen de la relación entre el subespacio C = span { l ~ , ..., lp} generado por los vectores columna li de las fallas, y el subespacio de 110 observabilidad mínimo que contiene al subespacio P = span{pi, . . . ,pd} generado por los vectores columna pi de las perturbaciones. Este resultado se describe formalmente con el siguiente teorema.

Teorema 11 (Massounmia et al., 1989). Considere el sistema (2.13). Eziste soluczón al Pro- Olemm 10 que satisface 10.1), 10.2) y 10.3) si y sólo si C n (e:)' = {O}. Donde (Q?)L es el subespacio de no observabilidad mínimo que contiene a P del sistema.

Esto es; para que exista solución al problema de detección y aislamiento de fallas, el subespa- Es decir, cia 1- no debe estar contenido en el subespacio de no observabilidad mínimo

!z (e?)' Y 7J c (Q?)'.

2.3 FDI en sistemas no lineales vía el enfoque geométrico

2.3.1

Con relación a sistemas no lineales. (De-Persis and Isidori, 2001) resuelve el problema de FDI para una clase de sistemas no lineales generando residuos sensibles a una falla y robustos al resto:

Distribución de no observabilidad que contiene a una distribución

2.3 FDI en sistemas no linedes vía el enfoque geornétrjco 13

es decir, generalizan el resultado del Teorema 11 para sistemas no lineales considerando una falla,. Los autores introducen condiciones necesaria.? y suficientes para la solución al problema de FDI usando el enfoque geométrico y se basan en los conceptos de distribuciones de no observabilidad y de invariancia junto con algunas de sus propiedades.

En esta sección, el resultado obtenido por (De-Persis and Isidori, 2001) se generaliza para múltiples fallas y es la contribución principal de este trabajo. Es decir, se consideran residuos sensibles a múltiples fallas utilizando las propiedades de la.? distribuciones de no observabilidad.

En sistemas no lineales el concepto de distribución de no observabilidad es el análogo al concepto de subespacio de no observabilidad en sistemas lineales. Por lo tanto, es importante presentar las definiciones y propiedades de distribución invariante condicionada y de distribución de no observabilidad útiles para resolver el problema FDI robusto en el caso no lineal.

Considere el sistema no lineal

z = f (2) +g1(x)u1 + ... + gs(5)us

y = h(z)

(2.16)

con z E X c Rn, ui E %, y E %* y f (z) ,g i (x) , ...,gs( Z) campos vectoriales suaves y h(z) un inapeo suave.

Definición 12 (Isidori, 1995) Una distribución A, definida en X C Rn, se dice que es invariante bajo un campo vectorial f si el corchete de Lie [f, T ] de f con cada campo vectorial T de A es a su vez un campo vectorial de A, es decir, si

T € A [ f , ~ ] E A (2.17)

Esto se puede presentar en una forma m,ás compacta introduciendo la siguiente notación [ f , A] = span{ [ f , T ] , T E A}. De aqui se puede decir que, una distribución A es inuariante bajo el campo vectorial f si

[f:Al c A (2.18)

Definición 13 (Isidori, 1995) Una distribución A, definida en X C RR", es no-singular si existe zin entero d tal que

dim(A) = d (2.19)

para todo x E X

Definición 14 (ísidori, 1995) Una di,stribución A es involutiva si el corchete de Lie [ T ~ , T ~ ]

de cualquier par de campos vectoriales TI y TZ que pertenecen a A es un campo vectorial que pertenece a A; es decir,

T I € A , T ~ € A + [ T ~ , T ~ ] E A (2.20)


La distribución invariante condicionada bajo un campo vectorial en sistemas 110 lineales es análoga al subespacio invariante condicionado bajo un mapeo lineal en sistemas lineales.

Definición 15 (De-Persis and Isidori, 2000) Una distribución A se dice que es inwariante con,dicionada bajo las dinámicas de (2.16) si satisface

[gi, A n ker{dh}] c A V i = O , ..., s (2.21)

d o d e go(x) = f (x), y el ker { d h } es la distribución que aniquila las diferenciales de las filas del mapeo h,(x).

Algoritmo 16 (De-Perszi and Isidori, 2000) Considere el sistema (2.16), la distribución asociada a éste que satisface (2.21) y un conjunto de campos vectoriales suaues p~(xG), ... , pd ( x) que generan la distribución

F ' = s p a n { m , . . . , p d (2.22)

entonces, la distribución invariante condicionada bajo (2.16) que contiene a P denotada por coincide con el último término de

(2.23)

donde Sj denota la cerradura involutiva de Sj y k* 5 n - 1 se determina POT la condición '1

sk*+l = s k * (2.24)

y sea C;P = Sp

Es decir, si (2.24) se satisface, la distribución C r es el elemento mínimo (con respecto a la, iiiclusióii de distribuciones) de la familia de todas las distribuciones invariaiites condicionadas que contienen a 7J.

Definición 17 (De-Persas and Isidori, 2000) Una codistribución R se dice que es una codis- tribución invanante condicionada bajo las dinámicos de (2.16) si

LS,R C R + span {dh} vi = o, ..., s (2.25)

donde spa.n {dh} es la codistribución generada POT las diferencio,les de las filas del m,apeo /L(z ) .

Hecho 18 Sea A una distribución que satisface (2.21) y suponga que A' y An ker {dh,} son, suaves, mtonces, R = AL satisface (2.25).

'I

2.3 FDI en sistemas no lineales vía el enfoque geométrico 15

Conclusión 19 Suponga A = C y obtenida via el Algoritmo 16 y sea Crnker {d t i } una distribu- ción suave. Entonces, POT construcción de ET, se puede afirmar que ( C y ) es la codistribución invariante condicionada máxima (en el sentido de la inclusión de codistribuciones) la cual es localmente generada POT diferenciales exactas y contenida en PL (De-Persis and Isidori, 2001).

I

Como último antecedente, antes de analizar el problema FDI, se presentan a continiiación las herramientas para obtener la codistribución de observabilidad máxima de (2.16).

Algoritmo 20 (De-Persis and Isidori, 2000) Considere el sistema (2.16) y sea 0 una codis- tribución fija, entonces, se puede generar la sucesión no decreciente de codistribuciones no- singulares

Qo = O n s p a n { d h ) (2.26)

tal que hay un entero k' 5 n - 1 y Qk = Qk. para todo k > k'. A la codistribución obtenida via O se den,ota por

o.c.a.(O) Qk. (2 .27)

para indicar que se obtuvo a partir de O aplicando (2.26)

Este Algoritmo permite afirmar el siguiente hecho.

Hecho 21 (De-Persis and Isidori, 2000) Considere R' = o.c.a.(@), entonces, o.c.a.(R*) es igual a R'.

Este hecho es una consecuencia de aplicar el Algoritmo 20 con O = R', i.e

&o = R * n s p a n { d h } (2.28)

Qi+i = R' n + span {dh,} i=O

Además, si la codistribución O que se selecciona es invariante condicionada, también lo es la

Esto permite definir lo siguiente. codistribución R*.

Definición 22 (De-Persas and Isidori, 2000) Una codistribución R que satisface (2.25) se llama una codistribución de obseruabilidad para (2.16) s i al aplicarle el A1,qoritmo 20 satisface

o.c.a.(Q) = R (2.29)


Definición 23 (De-Persas ond Isidori, 2000) Se puede decir que A es una distribución de n,o obseruabilidad s i su aniquilador s2 = AL es una codistribución de observabilidad que satisface (2.25) y (2.29).

Proposición 24 (De-Persis and Isidori, 2000) Suponga que la distribución E: satasface (2.24) ?J es no-singular, y que E* n ker{dh} es una distribución suave. Entonces 0.c.a. ((E:)') es la codistribución de observabilidad máxima contenida en Pi.

I/

I Es decir, si la sucesión (2.26) se iiiicializa con O = (E;") obtenida en (2.24), entonces, 0.c.a. ((E?)') es por construcción la codistribución de observabilidad niás grande para (2.16) contenida en P'.

Por lo tanto; por la Definjción 23, se puede decir que ( s 2 0 ) ~ = ( o c a . ((E?)'))' es la distribución de no observabilidad mínima que contiene a la distribución P.

2.3.2

Con base en los antecedentes arriba presentados, De-Persis e Isidori formulan el problema de FDI de la siguiente forma,.

FDI robusto en sistemas no lineales

Considere el sistema (2.16) donde se introducen una falla y d perturbaciones

(2.30)

con n ~ 1 E 8, w E Rd; ¿ ~ ( x ) y las d columnas p l ( x ) , .. . ,pd( x) de p ( z ) son campos vectoriales suaves.

Y considere un generador de residuos modelado por las ecuaciones de la forma

3s = &&y) +e(.,$/). r = h(2,y)

I (2.31)

con el estado Z t X c Re, entradas u y y; y salida T E Rt con 4 5 q y tanto f ( Z , y ) como las s columnas ,GI(?, y), ...,e.( i , Y) de j ( i , y) son campos vectoriales suaves, h,(Z, y) es un niapeo suave.

Entonces: definiendo el sistema aumentado como

(2.32)

con


se busca cncontrar condiciones que garanticen que la respuesta T del sistema (2.32) esté afectada por la entrada in1 ~ esté desacoplada de la entrada w y converga asintóticamente a cero siempre y cuando 'mi sea cero sin importar el valor de u.

En este sentido, en el siguiente hecho se presentan condiciones de existencia para la solución de este problema.

Hecho 25 (De-Persis and Isidori, 2001) Dado el sistema (2.30), eziste solución al pTObkmf l

de FDI si existe un entero f i y un, generador (2.31) tal que su salida esté otectada por 10, falla mi y desacoplada de las perturhaciones wi. si y sólo sa el sistema aumentado (2.32) satisface

25.1) span{p f , ... ; p d } c (ne)'

25.2) span {Z:} @ (ne)'

25.3) existe un 6 > O tal que, si lIx'(0)ll 5 6, enton,ces

ml(t) = O V t 2 O + lim Ilr(t)iI = 0 Vu t-m

donde n& es la codistrihución de obseniabüadad máxima contenida en el (span(p7, ...,pd})'.

En general, para obtener se aplica primero el Algoritmo 16 para generar C r y luego el Algoritino 20 con O = (C.)'.

Esta formulación se conoce como el problema fundamental de generación de residuos no lineal localmente (LNLFPRG, por sus siglas en inglés) y la,s condiciones de existencia corresponden a, la extensión del Teorema 11 para sistemas no lineales con p = 1.

2.3.3

Ya. que en el modelo del ducto, que se considera en los capítulos posteriores, sólo se consideran dos salidas y múltiples fugas, dos conjuntos de fugas se pueden definir a lo m&; esto es: un conjunto de fallas de interés y un conjunto de perturbaciones o fallas de no interés. En principio, diversas coinbiiiaciones de fugas se pueden proponer para definir los dos conjuntos. Sin embargo, se busca solución al caso más simple posible, que corresponde a diseíiar residuos sensibles a todas las fugas excepto a una.

FDI robusto extendido en sistemas no lineales

Así en particular, con esta nueva reformulación, en este trabajo se extienden las condiciones necesarias y suficientes del Hecho 25 al caso p > 1 para poder analizar el problema de FDI para múltiples fugas en el ducto.

Considere el sistema (2.16) con p fallas y una perturbación w1

(2.33)


con 7n E EP y w1 E $2; las p columnas ll(z), ... ,lp(z) de l ( z ) y pl(z) son campos vectoriales suaves.

Y considere un generador de residuos modelado por las ecuaciones de la forma .I

(2.34)

It

con estado 2 E X C R', entradas u y y; y salida r E 86 con @ 5 g y tanto f(j : ,y) como las s columnas .91(i,y), . . . , j s ( .,y) de j (2;y) son campos vectoriales suaves, h(j:,y) es un mapeo suave; tal que la respuesta r del sistema en cascada

(2.35)

r = he(ze)

con

esté afectada por la entrada m, esté desacoplada de la entrada w1, y converga asin/ticamente a cero siempre y cuando m sea cero sin importar el valor de u.

Este problema se designa como el problema fundamental extendido de generación de residuos no lineal localmente (ELNLFPRG, por sus siglas en inglés).

Para abordar el ELNLFPRG se usan las condiciones para que la salida de un sistema no lineal esté afectada o desacoplada de un conjunto fi,jo de entradas, que se formulan en el siguiente hecho.

Hecho 26 (Isidori, 1995) Considere 'un sistema

!I

Y = h(x)

con z E X c En el vector de estado, gO(z),gi(z), ...,gs( z) campos vectoriales suaves y h(z) 'un, rnapeo suaue. Denote Ro a la codistribución más pequeña inuariante bajo go,gi, ..., gs que contiene a1 span,{dh,}.

Se puede mostrar que la salida y:

a) está desacoplada de la entrada ui si

si E nA (2.37)

2.3 FDI en sistemas no lineales vía el enfoque geon~étrico

6) está afectada POT la entrada u+ si

19

Si 06 (2.38)

Considerando el Hecho 26, se puede afirmar que la salida T del sistema extendido (2.35) esta afectada por la entrada m si

1: e (02c>)' para i = 1, ...,p (2.39)

y desacoplada de la entrada w1 si

donde al span{dhe}.

es la codistribución más pequefía invariante bajo todo g,", i = O, ...: s y p: y contiene

Dado que se busca un generador de residuos localmente estable, y que (2.39) y (2.40) es- tablecen las coiidiciones de existencia para su salida afectada por las fallas 71% y desacoplada de la perturbación w1, la siguiente proposición integra las condiciones de solución del ELNLFPRG.

Proposición 27 Dado el sistema (2.33), existe un, entero fi y un generador localmente esta6le (2.34) tal que su salida esté afectada POT las fallas mi y desacoplada POT la peTtUr6aciÓn w1, s i y sólo si el sistema (2.35) satisface

27.1) span {pf} c (Q;)'

27.2) span {l:, ..., I ; } g (0;)'

27.3) esiste un 6 > O tal que, si llxe(0)ll 5 6, entonces

m(t) = O Vt 2 O + lim Ilr(t)ll = O Vu t-m

donde ClC, es la cOd¿StTibUCiÓn de o6senia6ilidad máx¿ma contenida en el (span,{pT})'

Esta proposición se demuestra aplicando directamente el Hecho 26. En este sentido, con objeto de simplificar las condiciones 27.1) y 27.2) a continuación se demuestra que esta proposición es equivalente a:

Proposición 28 El ELNLFPRG tiene solución si y sólo si

26.í) span {pi} c (no)'

28.2) ~ p a ~ ~ { ¿ i , ..., l P } I+ ( 0 0 ) ~

28.3) existe un 6 > O tal que, si IIz"(O)jj 5 6, entonces

nz(t) = O Vt 2 O * lim Ilr(t)ll = O Vu t-m

20 Teoría de detección y aislaniiento de fallas basada en u n modelo

donde Ro es la codistribución de obseruabilidad máxima contenida en el (spo,n{pi})'

La afirmación de que 27 y 28 son equivalentes se basa, en la Proposición 29 que se demuestra a continuación.

Proposición 29 Las condiciones 27.1) y 27.2) y las condiciones 28.1) y 28.2) son equivalen,tes si y sólo s i

2) span {PI} c (o+)' ii) span{ll, ..., lp} 6 (nt)l

izi) (Rt)' es involutiva

iw) L,,Rtc Rt+span{&}, v Z = O , ..., s

v) el alqontmo de codistribuciones de obseruabilidad para

i=l

y = h(x)

inzcializado con Rt , cumple con 0.c.a. (ni) = Rt. Y además, 7 Ro

.I

" (2.41)

1

Prueba de necesidad

Se parte de que las Proposiciones 27 y 28 se cumplen.

campos covectoriales suaves de la forma Dada la estructura de (2.35), para cada Po = (z0,Zo) en una vecindad U' x i?: hay n.1

w;(ze) = (tuj(.) G j ( . , 2 ) ) , j = 1, _._, 7L1 (2.42)

que generan Re en cualquier (z? 2 ) de la vecindad. Esto permite definir la codistribución suave Rt sobre U o como

Rt(Z) = spa7a{w1(z), ..., wnl(z)} (2.43)

Para probar z) el argumento es el siguiente, dada la condición 27.1), pl(ze) aniquila todos los covectores de R $ ( P ) y, en particular, todos los covectores de (2.42). Además, por la foriiia especial de

p?(x') = ( ) se tiene

wj(z)pl(x) = O V j = ... ,n1

(2.44)

(2.45)


I Ya que q ( z ) es ortogonal a p l ( z ) y (nt) entonces,

Para verificar la condición i i ) se pnede decir que le(ze) no aniquila los covectores n 1 de (2.42)

se define como el aniquilador de I necesariamente pi(%) E (ni) .

dada la condición 27.2) y entonces, l (z) no aniquila los wj(z) 's , es decir,

Wj(2)¿(5) # o v j = 1, ...; 11.1 (2.46)

I De aquí que wj(z) no es ortogonal a l (z) y entonces, necesariamente l ( z ) Para obtener la condición i i i ) , dado que 27.1) se cumple y existen T;, T; t

(01) . de la forma

y dado que (ne)' es involutiva, entonces, [ T ~ , T ; ] E (ne)'. Ahora, dado que en la prueba de la condición i ) se obtuvo que pi E (fit)', entonces, los campos vectoriales T I , T ~ son elementos de ( n t ) l y por Io ta,nto, (ni)' es invoiutiva.

Para probar i v ) , considere la derivada de cualquier covector u,"(.") de (2.42) a lo largo de . 1 9e(ze) dada por

L,:w,e(ze) = (L,<Wj(Z) + q z , i )dh(z) qz, 2 ) ) (2.47)

donde

(2.48)

Por hipótesis; ya que n~(z") es una codistribución de observabilidad pars (2 .35) , el campo covectorid (2.47) está en flb + span{dhe}, es decir,

Lg;w;(ze) E ne + span{dhe} (2.49)

se genera usando las filas de una matriz de la forma

Finalmente, (2.49) y la forma de (2.50) permiten afirmar que

L,,w,(z) + b(z,*)dh(z) E span{wi(z), ..., Wn,(Z),dh(z)}

Lo que lleva a garantizar que

(2.50)

22 Teoría de detección y aislamiento de fallas basada. en un modelo

La última condición se demuestra encontrando que los generadores de O 8 y Ot están relacionados si la condición u) se cumple. Para esto se usa el algoritmo de codistribuciones de observabilidad de (2.35), inicializado en a5 para cada k 5 k*.

Sea k = O

Qi = O 8 n span{dhe} (2.51)

Dada la forma de (2.42) para cualquier veciiidad zeo, O$(ze) se genera por las filas de la inatriz

y el span{dhe(ze)} se genera por los reiigloiies de la inatriz

1 ( o &(?,y) dh(z) o

Ahora, la intersección (n$(z") n span{dhe(ze)}) = Qg(ze) tiene la forma

(.(z)W(z) 4 z c ) w z , 2 ) )

donde el vector fila a(.) está dada por la solución de

con O(.) y y(%) vectores fila, es decir,

(2.52)

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

Por otro lado; el algoritmo de codistribuciones de observabilidad para (2.41): inicialimdo en at: que satisface (2.43) genera

&O = Ot n span{&} (2.57)

en donde &O tiene la forma de (2.55). De aquí, se puede concluir que QR(z") eii (2.51) se genera sólo por los covectores de (2.52)

Wj(Z') = (u&) V,(z,i)), j = 1, .<., vo

donde los u3(z) 's generan Q ~ ( z ) y a3(z)ZUj(z,i) = V3(z,Z)

L

t t < , ' ,*


Dada la estructura de las codistribuciones del algoritmo de codistribución de observabilidad, descritas

Y

(2.59)

de inanera similar al caso demostrado de k = 0, se puede probar que para cualquier k I k * , Qk+l(ze) está generada sólo por covectores de la forma

wj(se)lk+i = (V&)Ik+1 v , (z ,z ) lk+l ) I j = 1, ..., 4 + l

donde los uj(x)1k+1's generan Q k + l ( z ) .

Dado que en el algoritmo de codistribución de observabilidad para el espacio extendido se usó Rg como la codistribución inicial, entonces, también fit es una codistribución de observabilidad.

Con esto se muestra que, si el ELNLFPRG tiene solución, hay una codistribución de observabilidad, esto es Rt; la cud es localmente generada por diferenciales exactas y satisface las propiedades i ) y i i ) .

Sin embargo, falta por demostrar que fit es la máxima. Debido a que la codistribución Ro que satisface las condiciones 28.1) y 28.2) es la máxima,

entonces, Rt está contenida en la codistribución de observabilidad máxima que es localmente generada por diferenciales exactas y contenida en

PI = span{pi)l

es decir, que

I Ahora, corno (at) es involutiva, implica que es invariante bajo pi y de aquí que Rt coincida con a*.

Prueba de suficiencia

Para esta parte de la prueba se supone que la, Proposición 29 se cumple y se demuestra entonces, que la Proposición 28 también se satisface.

Ya que Rt y Ro coinciden, entonces, por la condición i) se tiene

sPan{Pl) c ( R d l (2.60)

que corresponde con la condición 28.1)

24 Teoría de detección .y aislamiento de fallas basada, en un modelo

Coino la coiidición ii) también se cumple, se tiene

SPanUi, ..., l p } pr que corresponde con la condición 28.2) con

(2.61)

fb(z) = s p a n { w ( z ) , ' . . , W , , ( ~ ) } = W ( z ) (2.62)

obteiiida a partir del algoritmo de codistribución de observabilidad incializado con (ET) . Esto iiiiplica que se cumple

I

o equivalentemente

~ ( z ) W ( z ) = -29(n:)dh(z) " (2.63)

coil ~ ( 2 : ) y 8(z) vectores fila. Ahora; para, demostrar que la Proposición 28 implica IaProposicióii 27 se hacen la5 siguientes

hipótesis: 1

1. Para el sistema (2.35), existe una codistribución de observabilidad Re con covectores de la forma

w;(ze) = (w&) iOj(Z,?)) = ( W ( z ) be(z,?)) : j = 1 ,...: 11, (2.64)

2. h(?,y) = 2

Eiitoiices, al aplicar el algoritmo de codistribución de observabilidad para (2.35) inicializado con Re se genera la sucesióii

&O = Re n span {dlt."} = Re f' span ,! (2.65)

doiide Qg se determina resolviendo

o equivalentemente

(2.66)

(2.67)

2.3 FDI en sistemas no lineales via el enfoque geomitrico 25

con S(x) un vector fila. Dado que la ecuación (2.66) es igual a la (2.63), Qg tiene la forma

( e ( z )W(x ) e b ) W z , 4) (2.68)

con covectores

to&") = (Wj(Z) l U j ( Z , S ) ) , j = 1, ..., u0 (2.69)

Siinilarniente, para cualquier k + 1 5 k* se cumple

ek+i(.)wk+l(Z) = -+k+l(z)dNx)

ek+i(Z)fik+l(z,i^) = -&+1(zC)I

De aquí, los covectores que generan tienen la forma,

(2.70)

(2.71)

y por lo tanto, Re se puede expresar como

Re = (RO ek+i(z)fik+l(z,i)) (2.72)

Dado que se supone que el vector pi aniquila los covectores de Ro y que

{:] span{py} = span

entonces,

y por lo tanto, p: aniquila todos los covectores de Re, y de aquí,

spnB{pf} c (ay

(2.73)

(2.74)

(2.75)

Además, como R& es la codistribución de observabilidad máxima, Re c $2; y como Re es iiivolutiva por construcción, entonces, también es invariante bajop; y de aquí, Re y 0; coinciden. Por tanto, si Ro satisface 28.1) implica que R., satisface 27.1).

Ahora, dado que el vector l i , i = 1, . . . ,p no aniqnila los covectores de Ro y

span{ zy , . . . , I ; } = span { ( o ) . , , . , ( u)} entonces,

(2.76)

(2.77)

26

, . . ~ , ' . , . . . ~~ , . . .


y por lo tanto:

I)

spaB{¿T, ..., ¿E} p (ay (2.78)

Así, si De esta forma se demuestra que es suficiente la Proposición 28 para determinar si existe

satisface 28.2) implica que O(, satisface 27.2).

solución al ELNLFPRG de sistemas de la forma de (2.33).

detección de múltiples fugas en un ducto. Los resultados de este capítulo se utilizan en el Capítulo 4 para analizar el problerna de

Capítulo 3

Modelo del fluido en el ducto

Eli este capítulo se presenta el modelo matemático del comportamiento del fluido a través de un ducto con el fin de estudiar el problema de FDI de múltiples fugas sin tomas lateralcs considerando sólo mediciones de gasto y presión en sus extremos. Con estas cuatro mediciones disponibles se muestran cuatro combinaciones diferentes de entradas y salidas para el modelo.

Asumiendo que los cambios de velocidad por conveccióii y la coinpresibilidad son despre- ciables y la densidad del fluido y el área de la sección transversal del ducto son constantes, las ecuaciones diferenciales parciales de la dinámica y continuidad del flujo están dadas por (Chaudry, 1979)

En las dos ecuaciones anteriores hay dos variables independientes, t coordenada de tiempo (s) y z coordenada de longitud (m) y dos variables dependientes, Q el gasto (m3/s) y H la, presióii (m). La velocidad de onda 6 se considera constante (mis), f es el coeficiente de fricción adimensional, A es el área de la, sección transversal del ducto (m'), D es el diámetro del ducto (m) y g la gravedad (m/s2).

Se puede describir una fuga (orificio) en un punto zf como (Thomas, 1999)

(3 .3 )

con X > O. La presencia de una fuga produce una discontinuidad en las ecuaciones (3 .1 ) y (3.2); por lo cual el ducto con una fuga se ve como dos ductos o secciones con una condición de frontera entre

QDlr, = Q d l = , + &Itf (3.4)

27

28 Modelo del fluido en el ducto

donde &" y Qd son los flujos en las secciones antes y después de la fuga, respectivamente. De esta forma, si se asumen n - 1 fugas, el comportamiento del fluido estará descrito por n pares de ecuaciones de la forma (3.1) y (3.2) con n - 1 condiciones de frontera.

Se busca un modelo del fluido del ducto mediante aproximaciones finitas con cuatro mediciones disponibles, los gastos y las presiones en sus extremos, ( Q e , Q S ) y (He ,Hs ) : respectivamente. De tal forma que se tiene libertad de escoger diferentes pares de entradas y salidas para, el modelo matemático. En este trabajo se consideran cuatro combinaciones diferentes de entradas y salidas. Según la analogía con los sistema eléctricos, se utilizan nombres para definir el modelo con las combinaciones diferentes (Kuo, 1966).

Asumiendo un ducto de longitud L y fugas distribuidas uniformemente a lo largo del ducto, I

el espacio t se puede dividir en n secciones de tamaño AZ = L/n.

3.1 Modelo de parámetros "y"

Considerando condiciones de frontera conocidas en los extremos del ducto caracterizadas por la presión en el inicio y final del ducto He y H, y el tamaño de sección Az, las ecuaciones diferenciales parciales con respecto a la coordenada t en (3.1) y (3.2) se pueden aproximar por

dH Hi+, -Hi _ N V i = 1, ..,n az ~ At

Vi = 2, ..,n - N a& &i - & i - i

dZ A Z -

(3.5)

donde el subíndice i está asociado a las variables en el comienzo de la sección i (figura 3.1) y la condición de frontera para cada sección queda descrita por

Qi+i = Xi& Vi = 1, ..., n - 1

Figura 3.

Qi Qi+i Qi+2

I sección i I seccióni+l I 1

Distribución de variables en el ducto para el mod< de pa,r

(3.7)

ietros "y"

Así, sustituyendo en (3.1) y (3.2) las aproxiniaciones de las parciales dadas en (3.5) y (3.6)> el modelo del fluido se puede escribir como TI conjuntos de pares de ecuaciones diferenciales no lineales acopladas dadas por

Qi = ai (Hi - &+I) - pQi IQil vi = 1, ..., n (3.8)

3.2 Modelo de parámetros "Ii" 29

sección i

con H I = He y H,,+i = H , como entradas y Q1 = Qe y Qn = Qs como salidas del sistema: de nianera análoga a los modelos de parámetros "y" de cuadripolos de circuitos eléctricos (Kuo, 19%): y constantes

..,.,, .........

sección i+l

(3.10)

3.2 Modelo de parámetros "h"

Si ahora se consideran el gasto eii el inicio del ducto Qe y la presión en el final del ducto H , como condiciones de frontera conocidas en los extremos, las aproximaciones de las parciales con respecto a z de (3.1) y (3.2) son

vi = 0, ..,n - 1 dQ Qi+i - Q i dz a z

- -

(3.11)

(3.12)

donde el subíndice i está asociado a las variables del final de la sección i (figura 3.2) y la condición de frontera para cada sección descrita como

Q i = X i & V i = l , ..., n -1 (3.13)

De esta forma, el modelo se expresa como

Ifi = a2 (Qi - &i+l - Xi&) vi = o, ...: 71 - 1 (3.14)

vi = o, ..., 11. - 1 (3.15)

con &o = &e y H , = H,3 como entradas o señales conocidas y HO = He y Q, = Qs como salidas del sistema, n el iiúniero de secciones del ducto y constaiites dadas en (3.10).

Q. - %+I - ai (Hi - Hi+i) - l~Qi+ i IQi+il

Qo Qi., Qi e¡+, Q"

Figura 3.2: Distribución de variables en el ducto para los modelos de pará,metros ' 'h':: " l a " ; ; "z"

En este caso; este modelo se denota modelo de parámetros "h' por su analogía con los circuitos eléctricos.

30 Modelo del Auido en el ducto

3.3 Modelo de parámetros ”h*”

Considere ahora He y Qs las condiciones de frontera conocidas en los extremos del ducto y las aproximaciones de las parciales con respecto a z dadas en (3.11) y (3.12) y la condición de frontera para cada sección (3.13). El modelo se expresa como

ai = ai (H , - Hi+l) - pQt IQJ vz = o, ..., n - 1 (3.16)

Hi+i = a2 (Qi - Qi+i - & + l a ) = O, ..., n, - 1 (3.17)

con Ho = H, y Q, = Q, como entradas y QO = Qe y H,, = H, como salidas del sistema y constantes dadas en (3.10). Cuando se combinan gastos y presiones como seiíales de entrada distribuidas de esta forma se habla de un modelo de parámetros ”h*”.

3.4 Modelo de parámetros ”z”

Una Última combinación de entradas y salidas considerada, resulta si se tienen como condiciones de frontera conocidas los gastos en el inicio y final del ducto, Qe y Q,. Tomando las aproximaciones (3.11) y (3.12) y la condición de frontera para cada sección (3.13); el comportamiento del fluido en el ducto se puede expresar con las siguientes ecuaciones

Hi = a2 ( Q ~ - ~ - Q~ -xi&6) vi = 1, ..., 11. (3.18)

Qi = ai (HZ - %+I) - PQZ IQil vz = 1, ..., n - 1 (3.19)

con Qo = Qe y Qn = Q, como entradas y HI = H , y H, = H, como salidas del sistema y constantes (3.10). Este niodelo tiene la analogía en circuitos eléctricos al modelo de parámetros l i 2:’ .

Nota: si las fugas no están distribuidas uniformemente a lo largo del ducto, AZ no es constante en las ecuaciones (3.8) y (3.9), (3.14) y (3.15), (3.16) y (3.17), (3.18) y (3.19) y cambian los parámetros a1 y a2 los cuales dependen de Az.

Con estas combinaciones del modelo se realiza el análisis de FDI en el siguiente capítulo.

Capítulo 4

Análisis de detección de múltiples fugas en un ducto con posiciones fijas

En este capítulo se analiza el problema de detección de múltiples fugas en un ducto considerando sólo mediciones de gasto y presión en sus extremos.

Para analizar el problema de detección de fugas simultáneas en el ducto se utilizan las condiciones necesarias y suficientes 28.1) y 28.2) de la Proposición 28 del Capítiilo 2. De tal forma que: si las condiciones se cumplen, entonces se pueden generar residuos desa,coplados de w1 y afectados por toda mi.

El problema de detección se divide en tantos problemas particulares como fugas se consideren en el modelo; es decir, para cada fuga se plantea, un inodelo de la forma, de (2.33). Cada problenia de detección particiilar considera una fuga como una perturbación o falla de no interés w1 y e1 resto como el conjunto de fallas n~,i. De esta forma, el problema de detección de fallas para el ducto tendrá solución si las condiciones 28.1) y 28.2) se satisfacen para cada caso particular. Así, si existe solución al problema de detección, los residuos serán sensibles a todas las fugas excepto a una.

En este capítulo en particular, se niuestra el aiiáiisis de detección de fallas para el modelo no lineal de parámetros "y" descrito por (3.8) y (3.9), considerando dos y tres fugas simultáneas, respectivamente. El análisis muestra que, en general, sólo es posible detectar dos fugas si- multáneas si las presiones relacionadas con ellas se encuentran explícitamente en las ecuaciones diferenciales de'la salida del sistema. Esto es posible además, considerando que sus posiciones se conocen. Se muestra que para el caso de tres fugas simultáneas no es posible separar una fuga de las otras dos. Este resultado se puede extender para un mayor número de fugas en el ducto.

Ya que el modelo del fluido considerado es una aproximación de un sistema de dimensión infinita: se desarrolla el análisis de detección considerando tanto el número mínimo de secciones en que puede dividirse el ducto en función de la,s fugas como incrementindolo. Esto se hace con el fin de estudiar si un incremento en las variables de estado del sistema permite resolver el problenia de detección, sin embargo, el problema general de a,islamieiito de múltiples fugas

31

32 A~iáiisis de detección de miíltiples fugas en un ducto COJI posiciones fijas

sección I sección 2

no tiene solución con el incremento de las variables de estado entre las fugas. Esto se muestra Iia,ciendo una generalización del análisis cuando se hace el análisis del modelo con ciiatro secciones (siete variables de estado) y dos fugas solamente.

Se muestran también los resultados del análisis para los modelos de paránietros "h": "h*" y "zii. Los resultados y condiciones de detección y aislamiento no pueden mejorarse al canibiah la selección de las entradas y salidas.

............

sección n-1 sección n

4.1 Análisis de detección para dos fugas

En esta sección se muestra el análisis de detección del ducto con dos fugas simultáneas. El objetivo de esta sección es estudiar en qué casos es posible resolver el problema de detección de dos fugas para el modelo (3.8) y (3.9).

El aiiálisis inicia con las dos fugas distribuidas como se muestra en la figura 4.1. .Esto es, las fugas se encuentran en el límite de las dos últimas secciones de los extremos, en los puntos X i y

XZ de la figura. .I

Figura 4.1: Distribución de variables en el ducto con dos fugas en los límites de l a secciones dc los extremos

Se considera el modelo parametrizado del fluido dado por (3.8) y (3.9) con x i = Xi=

4.1 Análisis de detección para dos fugas 33

El modelo se puede reescribir de la siguiente forma

X = f ( ~ ) + BU + Elhi+ E2Xz (4.2) T

y = [ z 1 X ñ ]

donde z E ?J?' son los gastos y las presiones en cada sección del diicto y 6, = 271 - 1, u E 8' son las presiones conocidas en los extremos del ducto, H1 y Hn+i, x i E 8 para i = 1 , 2 las señales de falla. Como salida el gasto en los extremos, Q1 y Qn, y

E1 =

con

. B =

f

ai 0 O 0 O 0

0 0 O 0 O -a1

(4.3)

parámetros relacionados con los paránietros físicos del ducto y el tamaño de las secciones y

De (4.2) se puede ver que existen dos señales de falla, x i y x 2 . Por lo tanto, se formulan dos problema particulues. Para cada caso se considera una fuga como la perturbación o falla de no interés w1 y la otra como la falla mi del sistema (2.33). De esta forma, el problema de detección de fugas en el ducto tendrá solnciÓn si las condiciones 28.1) y 28.2) de la Proposición 28 se satisfacen pasa ambos casos particulares. Así, si existe solución al problema de detección, cada residuo estará afectado por una fuga y desacoplado de la otra.

Sea 51 la falla de no interés o perturbación w1 y mi = xz, entonces (4.2) se puede reescribir como

B = [bl bz].

Z = f(z) + Bu + piwi + I1mi (4.4)

.. . .,. :., .I _- ~ _- . . . .

34 Análisis de detección de múltiples fugas en u n ducto con posicioiics fijas

donde p i = El y 11 = Ez. Para probar las condiciones de detección se genera la codistribución Ro a través del Algoritmo 30. Se define go = f(z); gi = biui, gz = bzuz y

P = span {pi} = span

y se genera la distribución

(4-5) I/

Se puede ver de esta distribución y la ecuación (4.2) que las condiciones para la detección se satisfacen

span { pi) = span { ~ 1 ) c (~0):

wan 111 = span { ~ 2 ) ( ~ 0 ) :

Esto significa que se puede generar un residuo desacoplado de hi y afectado por h2.

Considere ahora xz = w1 la falla de no interés o perturbación, mi = xi; entonces (4.2) queda

x = f(z) + Bu + p i w i + hm1 (4.7)

doiidc pi = E2 y Ii = Ei. Siguiendo los pasos del Algoritmo 30, con go = f(z), gi = biu1; gz = bzuz y

c

f(.) =


se genera la codistribución

- - - - - _I r

-px; - u152 ai O O O

-& + alxz - a154 0 0 O O ~ 2 x 1 - a223 O 0 O O

a m - a255 , R = O o , E l = -a2 , & = o 0 0 O O

a225 - a m O 0 O - a2

2 -pxs + a154 - alx6

- -& + a156 - - O -al - - O - - O

I = span

que satisface

35

Estos resultados muestran que es posible generar residuos desacoplados de una fuga y afectados por la otra. Por lo tanto, el problema de deteccción de fallas para u11 ducto con dos fugas simultáneas distribuidas como se muestra, en la figura 4.1 se puede resolver. Esto trae como consecuencia la existencia de subsistemas desacoplados de una fuga y afectados por la otra.

En la Sección A.2 del Apéndice A se muestra la construcción de la codistribución de observabilidad para el caso más sencillo de dos fugas, es decir, cuando el número de secciones n es igual a 3 con n, - 1 fugas y ?i = 212. - 1 variables de estado considerando wI = xi. 4.1.1 Caso A

Considere ahora la distribución de las fugas de la figura 4.2 con el modelo

X = f(5) +BU f ElXl+ E2X2 (4.9)

36

XI

Análisis de detección de múltiples fugas en u n ducto con posicioiies fijas

x3 I x5 I x7

coli ai, a2 y p parAmetros relacionados con los parámetros físicos del ducto y el tamaño de las secciones y la matriz B = [bl bz].

Se plantean dos problemas de detección, lino cuando XI = w1 y otro cuando & = w1.

Sea la falla de no interés o perturbación, entonces (4.9) se puede reescribir como

j: = f ( ~ ) + BU + piwi + Zimi

donde pi = El y 11 = Ez. Se genera la codistribucióii Ro a través del Algoritmo 30.

(4.10)

Siguiendo los pasos del Algoritmo 30 (Sección A.4 del Apéndice A), con go = f(z), gi = b1u1,

92 = b2uz y

resulta la distribución

(no): = span (R73 (4.11)

1 ~ (.QO);> i.e.

Entonces, bajo esta condición las distribuciones de las fugas son subespacios de la d'istribución

Ya que la condición 28.2) no se satisface, no existe un generador de residuos desacoplado de la fuga Xi y afectado por ia fuga Xz.


Similarmente; para xz = w1, considerando

I - O O

- 0 < O

O -a2

\ . O -

P = span, {PI} = span

,

se genera la distribución

I - O O O

< 0 -1

O

\ - 1

_ _ . o ’ O O

> o O 1

o , - - -

37

(4.12)

(4.13)

y se satisfacen las condiciones 28.1) y 28.2)

Por tanto, existe un subsistema desacoplado de la fuga xz y afectado por xi . Sin embargo, ya que para el caso xi = u1 la condición 28.2) no se satisface, el problema de detección en el dncto con dos fugas distribuidas como se muestra en la figura 4.2 no tiene solución.

Los resnltados muestran que el problema de detección de fugas no tiene solución si no existe una relación directa entre las presiones en los puntos de fuga y la salida del sistema.

Considere la ñgiira 4.3 para el caso general de dos fugas simultáneas en la tubería con el

38 Análisis de detección de múltiples fugas en un ducto con posiciones fijas

inodelo dado por las eciiaciones

(4.14)

Con base en los resultados anteriores se puede afirmar que el problema de detección de dos fugas siinultáneas tendrá solución sólo si Hnl = Hz y H,z = H,.

Figura 4.3: Distribución general de variables en el ducto con dos fugas

De aquí se puede argumentar que el aumentar el número de secciones en el ducto no ayuda a resolver el problems de detección de múltiples fugas.

En conclusión, para el caso de dos fugas en el ducto con sólo mediciones de gasto y presión en sus extremos, el problema de detección tiene solución sólo si la presión en los puntos de fuga se encuentra explícitamente relacionada con la salida del sistema.

4.2 Análisis de detección para tres fugas

Se consideran ahora tres fugas simultáneas en el ducto. Se desarrolla el análisis del problema de detección con las fugas distribuidas como se muestra en la figura 4.4. Se considera el modelo parametrizado del fluido de las ecuaciones (3.8) y (3.9).

4 .2 Análisis de detección para tres fugas 39

QI ' 1 Q2 Qd2 '2 Q a 1 - i Q,.I % Q,

HI H2 H, Hd2 Hd2+1 Hni2+2 %I Hn H"+ I

Figura 4.4: Distribución de variables en el ducto con tres fugas

Considere el modelo no lineal del fluido con tres fugas

di = -pQf + ai (H1 - H2)

H 2 = d Q 1 - QZ - X I ) d2 = -pQg + ai(Hz - H3)

H3 = az(Qz - Q3) (4.15)

(4.16)

(4.17)


(4.18)

donde 5 E Eñ son los gastos y las presiones en cada sección del ducto con 5 = 211 - 1, U E E2 1% presiones en los extremos del ducto, Ni y seiíales de fuga xi > O E E para i = 1,2: 3:

40

- . ~

Análisis de detección de múltiples fugas en un ducto con posiciones f i j as

la salida es el gasto en los extremos del ducto, &I y Qn, y

f(.) = I

O

O -a2

O

O

, E3 =

O O O

O -az

O

a1

O O

O O O

O O O

O O

-a1

(4.19)

parámetros relacionados con los parámetros físicos del ducto y el tamaño de las secciones y B = [bi b z ] .

De (4.18) se puede ver que existen tres señales de falla; h,, x, y &. Por lo taito, se forndaii tres problemas particulares. Para cada caso se considera una fuga como la perturbación o falla. de no interés w1 y las otras dos como el conjunto m de fallas del sistema (2.33). De esta forma, el problema de detección de fugas en el ducto tendrá solución si las condiciones 28.1) y 28.2) de la Proposición 28 se satisfacen para los tres casos particulares. Así; si existe solución al problema de detección, cada residuo estará afectado por dos fugas y desacoplado de una.

Sea hi la falla de no interés o perturbación W I : mi = xz, m2 = x3, entonces (4.18) se puede reescribir como

i = f ( ~ ) + BU +piwi + limi + lzmz (4.20)

donde pi = El , 11 = E2 y 12 = E3. Para probar las condiciones de detección se genera la

4.2 Análisis de detección para tres f u g a

codisttibución Ro a través del Algoritmo 30. Se define go = f(.), g i = biui; gz = bzuz Y

- O 1 O O

O O -

y se genera la distribución

1 ( 0 0 ) ~ =span,

- -1 O 1 O

O O -

I -

P = s p a n <

t -

O

O -a2 O

O

41

(4.21)

(4.22)

Se puede ver de esta distribución y la ecuación (4.18) que se satisfacen las condiciones para la deteccióii

span { pi> = span I c (00); span { l i , 1 z > = span. { ~ z , ~ 3 ) c (no):

Esto significa que se puede generar un residuo desacoplado de xi y afectado por hz y h3.

Considere ahora xz = w1 la falla de no interés o perturbación, mi = hi , m2 = h 3 , entonces (4.18) queda

j. = f(.) + Bu + p l w l 4 l1m1 + lzmz (4.23)

donde p i = Ez, Il = El y 12 = E3. Siguiendo los pasos del Algoritmo 30; con go = f(z), gi = biui, 92 = bzuz Y

.. ~

~~ . . ,

Análisis de detección de múltiples fugas en un ducto con posicioms fijas 42

resulta

(no); = span {E%} (4.24)

Entonces, bajo esta condición las distribuciones de las fugas son subespacios de la distribución (00); ; i.e.

span { pi) = span { E Z } c (no); span{ 1 1 , 1 2 } = s p a n { ~ 1 , ~ 3 } c (no);

Ya, que la condición 28.2) no se satisface, no existe un residuo desacoplado de la fuga intermedia hz y afectado por las fugas

Dada, la estructura simétrica de (4.18) con respecto a las salidas, también se puede mostrar y x3.

que existe una distribución

que satisface

(4.25)

- cua,iido w1 = X3.

Se pueden generar residuos desacoplados de las fugas x i y x, y afectados por los pares (xz, &) y ( x i , xz), respectivamente, pero no existe un residuo desacoplado de la fuga intermedia XZ y afectado por ( X I , 13 ) . Por lo tanto, el problema de detección global para tres fugas asumiendo un modelo no lineal con la estructura dada en (4.18) no tiene solución.

En las Secciones A.3 y A.4 del Apéndice A se muestran los pasos para la generación de la codistribucióii de observabilidad para el caso más simple de tres fugas, esto es, cuando el número de secciones n es igual a 4 con n - 1 fugas y 7i. = 2n - 1 variables de estado considerando w1 = XI

- y WI = X2, respectivamente. .i

4.2.1 Caso lineal

Si consideramos ahora el modelo linealizado con tres fugas se puede ver que las condiciones 28.1) y 28.2) son menos restrictivas debido a las codistribuciones de observabilidad generadas.

4.2 Andisis de detección para tres fugas

Considere el modelo no lineal más simple con tres fugas, figura 4.5

Figura 4.5: Ducto con tres fugas simultáneas

El inodelo se puede reescribir de la siguiente forma

43

(4.26)

(4.27)

donde I E 92' son los gastos y las presiones en cada sección del ducto, u E Rz las presiones en 10s extremos del ducto, H i y Hs, seííales de fuga )ii > O E !R para i = 1,2,3; la salida es el gasto

44

en los extremos del ducto, &I y Q4, y

Análisis de detección de múltiples fugas en un ducto con posiciones fijas

I

E1 =

con

, E2=

O O O

-a2

O O O

, B =

: E3 =

0.1 O O 0 O 0 O 0 O 0 O 0 O -a1

O O O O O

-a2 O

p=- f 2DA (4.28)

piiránietros relacionados con los parámetros físicos del ducto y el tamaño de las secciones y

Considerando el modelo linealizado en un punto de operación ( ~ 0 ~ ~ 0 ) el campo vectorial B = [O1 bz] .

, f (z) dc (4.27) se puede escribir como

f (2) = (4.29)

Se formulan tres problemas particulares. Para cada caso se considera una fuga como la perturbación o falla. de no interés w1 y las otras dos como el conjunto de fallas mi del sistema (2.33). De esta forma, el problema de detección de fugas en el ducto tendrá solución si las coiidiciones 28.1) y 28.2) de la Proposición 28 se satisfacen para los tres casos particulares. Así; si existe solución al problema de detección, cada residuo estará afectado por dos fugas y desacoplado de una. El análisis requiere obtener las codistribuciones para cada fuga considerada como la perturbación w1.

'

4.2 Análisis de detección para tres fugas 45

En este caso: aplicando el Algortimo 30 de distribuciones mínimas se obtiene para W I = ;\I

- -1 O O O O O 1 .

- -1 O 1 O , O O O -

- O 1 O O , O 1 O

- O O O 1 O O O -

O O -1 O 1 O O

(4.30)

(4.31)

Para la fuga intermedia, igual que en el modelo no lineal, las condiciones 28.1) y 28.2) resultan

I s p a ~ ~ {PI) = span {&I c sPan{ l i , b ) = span{El ,E3) c (%I)$

y se ve que la condición 28.2) no se satisface en general. Con el resultado anterior se puede afirmar que las condiciones de detectabiiidad no se satisfacen para el modelo lineal cuando están presentes tanto la primera como la tercera fuga. Sin embargo, se puede ver que si xl y ;\3 no aparccen siinultáneamente las condiciones 28.1) y 28.2) se cumplen

Y

, . .

46 AiiáJisis de detección de mríltiples fugas eii un ducto coil posiciones fijas i respectivamente.

Para w1 = & se genera la distribución

(4.32)

y las condiciones 28.1) y 28.2)

se satisfacen. De acuerdo con las codistribuciones determinadas anteriormente se puede decir que las condi-

ciones para el modelo no lineal son más restrictivas que para el modelo lineal. La limitación de fugas no simultáneas para el caso lineal explica los problemas de falsas alarmas y sensibilidad reportados en (Verde et al.: 2001) diirante el proceso de aislamiento.

Como resultado del análisis de detección de tres fugas simultáneas en el ducto, en genera,l, se puede concluir que no existe un generador de residnos desacoplado de una fuga:y afectado por las otras dos. Este resultado es extendible para un mayor número de fugas.

Por lo taato, el generador de residuos se puede construir sólo para dos fugas bajo dos condiciones: que la, presióii en los puntos de fuga esté directamente relacionada con la salida del sistema, y que las posiciones de las fugac se supongan conocidas pa,ra el diseño considerando sólo iriedicioiies de gasto y presión en los extremos del ducto.

4.3 Análisis de detección para el modelo de parámetros "h"

En esta sección se hace el análisis de detección de fallas para. el modelo del ducto con la presión aguas arriba y el gasto aguas a.bajo coni0 salidas.

Se generan eodistribuciones de observabilidad y se busca que se satisfagan las condiciones de I la Proposicióii 28.

En la sección anterior el problema de detección de fallas para dos fugas presentes en el ducto se resuelve si se encuentran localizadas en los límites de las secciones de los extremos. En esta sección se analiza entonces sólo el caso de tres fugas.

:j

4.3 Análisis de detección para el modelo de parámetros "h"

B =

Considere el modelo (3.14) y (3.15) con tres fugas presentes

Ha = az(Qo -&I )

Qi = -PQ? +ai (& - HI)

QZ = - P Q ~ + al (H1- H z ) H Z = aAQ2 - Q3 - X z G )

Q3 = -PQ: + al (HZ - H3)

f i 3 = aAQ3 - Q4 -

Q4 = -PQ? + ai(H3 - ~ 4 )

Hi = ~ , z ( Q I - Q 2 - XI&)


az 0 O 0 O 0 O 0 O 0 O 0 O 0 O -ai -

47

(4.33)

(4.34)

donde x E !Re son las presiones y gastos de las secciones del ducto, ?I E R2 son las entradas del sistema: &O y H4, respectivamente, X i E R para i = 1 , 2 , 3 las señales de falla. Como salidas la presión aguas arriba y el gasto aguas abajo, HO y Q 4 , respectivamente y

O O

-a2& O O O O O

, Ez =

O O O O

- a 2 6

O O O

, E3 =

O O O O O O

-az* O

48 Análisis de detección de múltiples fugas en U J I ducto con posiciones fijas

O 1 O O

O O O

El problema de detección tendrá solución si para cada una de las tres forinulaciones del

Sea w1 = X i la perturbación y mi = XZ y mz = A3 las fallas. Entonces (4.34) se reduce a problema se satisfacen las condiciones 28.1) y 28.2).

- - O O 1 O

0 ' 0 O O O - -

j. = f ( ~ ) + BU + piwi + limi + lzmz (4.35)

doiide p i = El, 11 = Ez y I Z = E3.

28.2). La codistribución generada a partir del sistema (4.35) es de la forma El problema de detección de Xz y tendrá solución si se satisfacen las condiciones 28.1) y

I -

<

(00); = span

Las condiciones 28.1) y 28.2) resultan

- - O O O O 1 O O 1 O ' o O O O O O O . _ _

(4.36)

span { P I } = w a n { E l } c ( Q o ) ~

span {¿I, l z } = span {Ez, E3) Ct (no); Dc esta forma; las condiciones se satisfacen y el problema de detección para este caso particular se puede resolver.

Ahora considere el segundo caso del modelo (4.34), es decir, sea w1 = XQ la perturbación y i ~ i l = A1 y mz = A3 las fallas.

El modelo se puede reescribir

col1 p l = Ez: 11 = El y 12 = E3.

La codistribución generada es

O 1 O O O O O -1

I (4.37)

(4.38)

4.4 Análisis de detección para el modelo de parámetros "h'"

<

49

_ _ _ I o O

O O O O O O O ' o O 1 1 O O -1 _ _ _

Las condiciones

indican que las distribuciones de las fallas son subespacios de ( 0 0 ) ; y por lo tanto, no se puede generar iin residuo desacoplado de la fuga Xz y afectado por las fugas X i y X3 .

como las fallas. La codistribución resulta

Para el tercer caso considere w1 = X3 como la perturbación y mi = X i y T L ~ =

(4.39)

Las condiciones 28.1) y 28.2) son

s p a n { P I } = s p a n {E31 c (no): s p a n { l i , l ~ ) = s p a n { ~ l , ~ 2 ) it ( ~ 0 ) ;

Se puede observar que las condiciones se cumplen. Ya que en el caso w1 = Xz la condición 28.2) no se satisface, el problema global de detección

de fugas para un ducto con tres fugas simultáneas considerando el modelo (3.14) y (3.15) no tiene soliición.

4.4 Análisis de detección para el modelo de parámetros "h*"

Considere ahora el modelo (3.16) y (3.17) con tres fugas simultáneas

(4.40)

50 Análisis de deteccióri de múltiples fugas en u11 ducto con p6siciorics f i j as

B =

y como salidas el gasto aguas arriba y la presión aguas abajo


- - ai 0 O 0 O 0 O 0 O 0 O 0 O 0 O -a2 - -

donde z E Rs son los gastos y presiones de las secciones del ducto, u E R2 son las entradas del sist,eina, Ho y Q4; respectivamente, X i E R para z = 1 ,2 ,3 las señales de falla. Como d i d a s el gasto aguas arriba y la presión aguas abajo, &o y H4; respectivainente, y

i

f(.) =

O - a 2 4 5

O O O O O O

O O O

- a 2 6 O O O O

, E3 =

O O O O O

- a 2 6

O O

Se consideran tres problemas de detección; esto es: en cada problema se considera una fuga como la perturbación u1 y la otras dos como las fallas de interés. Para cada problema se genera,n las codistribuciones y se verifican las condiciones 28.1) y 28.2).

I Sea W I = XI la perturbación y mi = A2 y m2 = A3 las fallas. Entonces (4.41) se reduce a

4. ..... - .,..

- O 1 O O O O O O -

4.4 Aidisis de detección para el modelo de pardmetros "h'"

La codistribución generada a partir del sistema (4.42) es de la forma -

1 O -1 O O O O O -

- - O O O O 1 O O O - .

O O O O

' o 1 O O

51

(4.43)


span{pi} = span{Ei} c (00);

span{11,12) = s p a n ~ ~ z , ~ $

Se puede observar que las condiciones se satisfacen. Ahora considere el segundo caso del modelo (4.41). Sea WI = XZ la perturbación y mi = XI

y nz2 = A3 las fallas. Entonces el modelo se reescribe como

S = f ( ~ ) + BU + p i ~ i + limi + 1 z m z

y p i = E*, 11 = El y 12 = E3. La codistribución generada es

I =span

Las condiciones 28.1) y 28.2)

1 O O O O O -1 O

(4.44)

(4.45)

span { p i ) = w a n {EZ} c ( ~ 0 ) :

span {11,1z} = span { E l , &} c (Q&

indican que las distribuciones de las fallas son subespacios de ( Q o ) ~ y por lo tanto no se pueden detectar sólo las fugas XI y A3 desacopladas de Xz.

52 Análisis de detección de múltiples fugas en un ducto con posiciones fijas

En el último caso de este problema considere W I = A3 la perturbación y ml = XI y nzz = Xz

- - - - O O O O O O 1 O 0 ' 1 O O O O 1 O _ _ - _

las fallas. La codistribución resulta

O O O O

' O 1

O O

- . O ' O O O

' O O 1 O - -

Las condiciones 28.1) y 28.2) son

(4.46)

span {pi) = v a n { ~ 3 ) c (no): span { l l , 12) = span { E ] , ~ z } it (no);

Se puede observar que las condiciones se cumplen. El problema globa.1 de detección de fallas pars un ducto considera.ndo el modelo (4.40) con

tres fugas simultáneas no tiene solución ya que en el ca3o w1 = Xz la condición 28.2) no se cumple.

4.5 Análisis de detección para el modelo de parámetros "z"

Considere cl modelo del ducto (3.18) y (3.19) con tres fugas


(4.47) I!

(4.48)

donde z E Re son las presiones y gastos de las secciones del ducto, u E !Rz son las ehradas del sistema; QO y Q4, respectivamente, Xi E R para i = 1 ,2 ,3 las señales de falla. Como.salidas las

4.5 Análisis de deteccióii para el modelo de parámetros "z"

7

-

53

, B =

presiones aguas arriba, Hi y aguas abajo, H4 y

-a252

-pZ + a i m - ai53

a252 - a224

-p4 + a123 - ai55

a m - a m -px6 + a1x5 - a1x7

a m

2

2

2

- - ' 1

O O

( ~ 0 ) : = span O O O

, o - -

f (5) =

El =

a2 O 0 0 0 0 O 0 O 0 O 0 O -az

O O O O

- a 2 6 O O

Como en los modelos anteriores, en este modelo también se consideran tres planteamientos

Sea WI = X i la perturbación y mi = Xz y m2 = A3 las fallas. Entonces (4.48) se escribe como particulares de detección, uno para cada fuga considerada como la perturbación q.

X = f ( ~ ) +BU + p i w i + limi + 1 2 ~ ~ 2 (4.49)

donde p i = El : II = EZ y 12 = E3.

28.1) y 28.2). La codistribución generada a partir del sistema (4.49) es El problema de detección de X i tendrá solución si existe Ro y ésta satisface las condiciones


(4.50)

Se puede observar que las condiciones se satisfacen.

54 Análisis de deteccióii de múltiples fugas en un dueto con posiciones fijas

Ahora considere el segundo caso del modelo (4.48). Sea w1 = A2 la perturbación y mi = A1

i

- O O 1

, o O O O

y m:! = X3 las fallas. Entonces el modelo se reescribe

i = f(.) + BU + p i ~ l + Zimi + ¿:!VLZ

- O O O 1 , O O O -

donde p i = Ez; 11 = El y 12 = E3.

La codistribución generada es

- O O O O , 1 O O -

I = s p a n

- O O O O O 1

O -

Las condiciones

(4.51)

(4.52)

span. {pi } = span { ~ z } c (no); s p a n . { ~ i , ~ z } = s p a n { ~ l , E 3 } c (no);

Existe una condición en la cual las distribuciones deias fallas son subespacios de (no);, por lo tarito; las condiciones 110 se satisfacen.

En el último caso de este problema considere w1 = A3 la perturbación, in1 = X i y ni2 = XZ las fallas, p i = Es: 11 = E1 y 22 = E2 en (4.51). La codistribución construida resulta

y las condiciones 28.1) y 28.2)

(4.53)

se cumplen. El problema global de detección de fugas para el modelo (4.47) no tiene solución ya que para

w1 = A:! la condición 28.2) no se cumple.

4.6 Generación de residuos 55

1 0 1 O 0 O 0 o 1 0 O 0 0 0 1 - - - - - z = [ ;I.= 1 0 - 1 0 0 0 1 O 0 0 -

En conclusión, los resultados del análisis para el modelo del fluido con las cuatro combinaciones de entradas y salidas diferentes (modelos de parámetros "y':: "h", "h*:' y "z") son los misinos; es decir, el problema general de múltiples fugas no se puede resolver. De aquí, se puede afirmar que el problema de detección de más de dos fugas simultáneas 110 tiene solucióii usaiido observadores para la generación de los residuos.

Además, existen restricciones para la solución del problema de detección de fallas cuando se consideran dos fugas. Primero, la suposición de posiciones conocidas es necesaria, y segundo, la presión en los puntos de fuga debe estar relacionada directamente con la salida del sistema.

El mejorar la precisión del modelo aumentando el número de seccioiies no ayuda a resolver el problema de detección de múltiples fugas.

X

4.6 Generación de residuos

En este trabajo el problema de detección de fallas se divide en dos tareas: la primera consiste en generar subsistenias desacoplados de la fuga de no interés w1 y afectados por la fuga de interés mi, y la segunda en diseñar el generador de residuos mediante observadores no lineales.

Se considera el modelo no lineal con dos fugas de la forma

(4.54)

donde y hz las señales de fuga y &I y Q3 las salidas y parámetros 01 = gA/Az , cy2 = b2/gAAz y p = f / 2 D A .

Para generar subsistemas desacoplados de cada fuga se propone una transformación lineal e inyección de la salida. La transformación está asociada con la suma y resta de los gastos relacionados con la fuga a desacoplar y tiene la ventaja de obtener un subespacio con variables de estado físicas. Esta transformación se determinó a partir del sistema (4.54). Se puede observar, por ejemplo, que para desacoplar 1 1 del sistema, la suma Qi + Qz desacopla completamente la fuga ya que la variable de estado Hz desaparecc (Verde and Visairo, 2002).

Para aislar la fuga xi eii (4.54) se utiliza la transformación de estado

E R5 es el vector de estado, Hi y H4 las entradas,

56 Análisis de detección de miíltiples fugas en un ducto con posiciones fijas

u i= [ ;Iz=

que satisface las condiciones de (2.6) y genera el subsistema sensible a x 2

1 21 = -pz2 1 + 2PYlZ1 + Ql(i11 - z2) - 2py;

i z = az(z1 - yi) - a223 - ~ ~ 2 x 2

23 = -pz3 + a1(22 - u2) 2

con (161 , U Z , vi) como entradas y salida ya = 2 3 .

Similarmente se obtiene el subsistema desacoplado de la fuga x 2 usando la transformación - -

O 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

X - - - - -

0 0 1 0 - 1 0 0 0 1 0 - -

(4.55)

resultando

(4.56)

con (u1,~2,y2) como entradas y ya = w3 como la salida. Existen varios diseños de observadores para los subsistemas (4.55) y (4.56) para la generacióii

de los residuos. En este trabajo se usa el método presentado en (Schreier et al., 1998). Los sistemas (4.55) y (4.56) se pueden reescribir, según el caso; como

i = Az + Bua + f ( z , u,) + E,X, para z = 1 , 2 (4.57)

ye = c z T I!

~ i i pa,rticuiar, pa,ra el sistema (4.55) se tiene un = [ u1 u2 yl ] y

Sean A y B las matrices asociadas a la parte liiieal y el par (A , c) observable y que la no linealidad f (z , u,) cumpla la condición de Lipschitz

4.G Generación de residuos 57

con E una constante V(z, u,) y ( u , ua) eii alguna vecindad de ("0, un,). Entonces, el sistema

2 = A2 + Bu, + f(2,21,) - P(cy, ti)-'M(ya - ya) (4.59)

es aintóticamente estable para el subsistema (4.57) si la constante de Lipschitz E satisface E < E"

con

EO = Umin( (2 - 0 ) M + Kp(% K ) ) / ~ U ~ ~ X ( P ( % K ) )

donde cy y ti se escogen de tal forina que la solución P(a , K) de la ecuación de Lyapunov

(4.60) ti - ( A + iIn)TP(~, K ) - P(a, .)(A + -I ) - -CYM 2 2 n -

A4 = CTC, sea positiva definida.

58 Análisis de detección de múltiples fugas en un dueto con posiciories fijas

Capítulo 5

Ident ificabilidad de dos fugas simultáneas con posiciones desconocidas

En este capítulo se aborda el problema de detección y localización de dos fugas Simultáneas en un ducto. Hasta ahora no se han propuesto métodos eficientes para localizar dos fugas en un ducto cuando se consideran desconocidos tanto los gastos de fuga como sus posiciones. En (Verde et al., 2003) se aborda el problema de localización de dos fugas simultáneas con posiciones desconocidas en una tubería sin tomas laterales; en particular se demuestra la condición de imposibilidad de identificación cuando se dispone solamente de información en estado permanente del duct,o, no así en su transitorio. Esto justifica el por qué de la ausencia de un método eficiente sin mediciones adicionales para la localización de dos fugas simultáneas, y clarifica la imposibilidad de detectar y localizar dos fugas que se presentan simultáneamente cuando se dispone únicamente de datos en estado permanente de los gastos y presiones en sus extremos.

La imposibilidad de identificar tanto los valores de las fugas como su ubicación, se debe a la existencia de un conjunto infinito de parejas de fugas que generan valores iguales de gasto en los extremos del ducto en estado permanente. Se hace notar que aún la medición eslática del gasto en un punto intermedio entre las dos fugas no permite identificar las posiciones y las dimensiones de las fugas. Como consecuencia, los residuos generados vía observadores no son la mejor solución para el problema de la localización de múltiples fugas, ya que el transitorio de un residuo es difícilmente manejable con un observador no lineal. Por tanto, es necesario buscar en el transitorio de las variables inedibles una casaclerización de Ins pareja de fugas, ya sea vía un reconocimiento de patrones o una identificación de paránietros que permita localizar adecuadamente las fugas fuera de línea.

Por otro lado, la estructura del modelo simplificado del ducto en donde tanto los coeficientes de fuga como sus posiciones son parámetros desconocidos no ha podido expresarse en forma adecuada, para aplicar los métodos tradicionales de identificación de parámetros (Walter aiid

59

60 Identificabilidad de dos fugas simultáneas con posiciones desconocidas

Pronzato, 1997).

de abordar el problema en el marco de referencia de una optimización con restricciones. En particular, las restricciones físicas de los parámetros a identificar sugieren la necesidad

Esta problemática motivó a buscar información complementaria a la suministrada por los residuos, con la cual sea factible especificar tanto la posición como el tamaño de los gastos de las dos fugas del ducto.

Para ello; se considera un modelo no lineal del fluido en donde las presiones en los extremos del ducto corrresponden a las entradas del sistema y los gastos en los extremos a las salida,s. El estudio parte de la caracterización de las parejas indistiiiguibles con ayuda de una fuga equivalente eii una posición zeP del ducto, obtenida a partir del comportamiento estático de las

Así en particular, en este capítulo se analiza fuera de línea la sensibiiidad del transitorio de las sa,lidas a los parámetros desconocidos considerando que además se conoce el gasto en estado permanente en un punto intermedio entre las fugas. Para ello primeramente, con base en relaciones estáticas válidas para todas las parejas indistinguibles, se obtiene una representación de estado de la familia de modelos Únicamente con dos parámetros desconocidos, caracterizando así el conjunto de fugas equivalentes a una sola en la posición zeP. Con base en este modelo se estudia la sensibilidad del transitorio . . del error para cualesquiera dos salidas yn(t, zeq) y yk(t , zeq) de la familia.

A partir del modelo con dos paránietros desconocidos se realiza iina identificación vía una optiiiiización de los parámetros. Se proponen dos maneras para lograrlo. La primera consiste en la niiiiimización del error de la salida y la segunda a través de un observador no lineal basado en un filtro de Kalnian extendido.

. ..

presiones ante fugas (Verde et al., 2003). . .

/I

5.1 Caracterización de las parejas indistinguibles

Se considera un modelo no lineal del fluido con dos fugas simultáneas con secciones no uniformes, como se niuestra en la figura 5.1. La planta está descrita por

. ain 21

a ' ain

z2 . azn

22

z3

Q i

H z = %(&I - QZ - XI&)

QZ = -(HZ - H3) - pQ2

H3 = -(Qz - Q3 - ha)

Q3 = " ( H 3 - H4) - pQ3

-(HI - Hz) - pQ:

5.1 Caracterización de las parejas iiidistingiiibles 61

Figura 5.1: Distribución de variables en el dueto con secciones 110 uniformes con dos fugas

donde las variables de estado corresponden a los gastos Qi para i = 1, ..., 3 y las presiones Hi

para i = 2,3; las entradas están dadas por las presiones Hi y H4 y las salidas se asocian a los gastos Q1 y Q3. Los parámetros conocidos son /I; al, = g A y azn = bZ/gA. Los parámetros desconocidos XI; XZ, z1 y zz son los coeficientes de fuga y posiciones de las fugas, respectivamente, z3 = L - z1 - zz es la longitud del tercer tramo y Z es la longitud total del dueto.

Se puede ver de la figura 5.1 que la discretización depende de la separación de las fugas. De aquí que cuando no exista una fuga el tamaño de la sección será arbitraria. Además, definiendo

como las salidas y entradas en estado estacionario del modelo (5.1) se obtienen las siguientes condiciones para una fuga

(5.3)

(5.4)

ai, P

/I

si XI # O , -(& - Hde) = ~ I Q : ~ + (a + Z 3 ) Q z e

ai, Si XZ # O, -(Hie - = (.I + a)&:, + z3Q32,

y para el caso de dos fugas

(5.5)

Para caracterizar el conjunto de las dos fugas, en (Verde et al., 2003) se define el parámetro zeq

cuando Qie # Qse y satisface además


A

.................. eq H 3

B *-. ........................... C

'I

Figura 5.2: Caída de presión a lo largo del ducto en estado permanente con dos fugas

La figura 5.2 muestra la caída de presión en estado permanente bajo estas condiciones. Se puede ver en esta figura que si dos fugas están locaiizadas en z1 y z1 + z2, respectivamente; el comportamiento de la presión a lo largo de la primera y tercera sección es equivalente al coiiiportamiento de una fuga localizada en el punto zeq.

!'

A partir de la figura 5.2 se observa que las pendientes mi para i = 1, .._, 3 satisfacen

donde

con Qze = lim & 2 ( t ) y mi > m2 > m3. t-m

Ya, que hay tres ecuaciones (5.5), (5.6) y (5.8) y cuatro parámetros desconocidos existe 1111

coiijiinto infinito de ciiadrupletas gk(zeq) = (zi,, Xi , , zzkr &) para una zeq dada que satisface

t-m lim (yd t , zeq) - yn(t, zeq)) = 0 k # ñ. (5.9) Il

con g3( t ; zeq) = [ zt ] el vector de salida para el conjunto específico pj(zeq).

Esto significa que el modelo (5.1) en estado estacionario no permite identificar los parámetros de las dos fugas. Así, zeq caracteriza el subconjunto de pares no identificables de fugas que 110 pueden ser aisladas en términos de mediciones de gasto y presión en los extremos del ducto en est ado estacionario .

Con el fin de caracterizar la familia de modelos dinámicos para cada posición zeq d,espués de la ocurrencia de las fugas y habiendo probado que (5.3) y (5.4) no se cumplen, se propone sustituir

5.1 Caracterización de las parejas indistinguibles 63

(5.5); (5.6) y (5.8) en (5.1) considerando conocido el valor del gasto en estado estacionario Q2e

en un pimto intermedio entre las fugas. Así, con los gastos Qze y Qse conocidos. a partir de las relaciones estáticas (5.5) y (5.8) se

puede determinar

Qie - Q z e

Sustituyendo (5.10) y (5.11) en (5.1) se obtiene

a" ( i r & Qi = -PQI + z,,-C,,,, - 2

(5.10)

(5.11)

(5.12)

(5.13)

donde 2 , cz = Qie - Q ~ e i ~3 = Qi,

Qk - Q& QL - Q&

c1 =

El modelo dinámico novedoso dado por (5.12) y (5.13) caracteriza la familia zeq la cual sólo depende de dos parámetros desconocidos X z m y zzm y es válido solamente cuando existen dos fugas simultáneas. Es decir, este modelo genera toda la familia de condiciones con pares indistinguibles de fugas para una zeq dada suponiendo conocido el valor constante del gasto Qze en presencia de las fugas.

Usando

23 < L - zeq (5.14)

y (5.5) se puede obtener un intervalo para Azm

Xzm E [XZ,," > A2,,,1 (5.15)

con un umbral en el extremo Urn y

(5.16)

(5.17)


Figura 5.3: Generación del criterio integral cuadrático

5.2 Sensibilidad de la salida a los parámetros desconocidos

Con objeto de considerar la posibilidad de aplicar técnicas de reconocimiento de patrones o identificación de parámetros para la solución del problema de localización de dos fugas, se propone estudiar la sensibilidad del comportamiento transitorio de los gastos en los extremos con respecto a los parámetros desconocidos, definiendo el error integral cuadrático

N

J k , ñ ( Z e q ) = /(lik(t, zeq) - Y ñ ( t , t e , ) ) T W ( Y k ( t , Zeq) - Yñ(t, zeq))dt

para la familia de fugas indistinguibles zeq y k # ñ, donde N < max ( tsk , tsñ) con tsi, y tsñ los tiempos de aentamiento de las salidas yk(t,z,,) y yn(t,z,,), respectivamente y W una matriz de pesos simétrica.

Así, para cualesquiera dos elementos de la familia se puede evaluar el criterio (5.18) como función de las salidas de dos miembros de la familia y evaluar cuánto varía la respuesta dinámica entre miembros de la familia por medio de simulación.

Esto se puede realizar vía el diagrama de bloques de la figura 5.3 en dondela PLANTA corresponde al sistema (5.1) y el MODELO a la familia (5.12) para

(5.18) O

(5.19)

El criterio (5.18) se evalúa para diferentes familias zeq considerando los parámetros L =

1 3 2 . 5 6 ~ ~ ; g = 0.81(m/s2), D = 0.105(m), b = 1284(m./s), f = 0.04 y las entrad& constantes H I = 11(m) y H4 = 5(m). La evaluación del error (5.18) se hace para diferentes valores de zeq,

desde 20m hasta 120m variando los parámetros X2m y zzm de (5.12) con la restricción (5.15) para Xzm. Ya que no es posible encontrar todo el intervalo para zzm ,que satisface (5.9) para una z,,, el criterio J sólo es válido en el intervalo propuesto en las tablas 5.1 y 5.2.

Se presentan gráficas que muestran casos diferentes de curvas de nivel para distintas familias te4. La tabla 5.1 muestra los tres primeros casos considerados.

Las formas y las curvas de nivel del criterio Jk,ñ para los casos a, b y c de la tabla 1 se

i

I muestran en las figuras 5.4-5.9.

5.2 Sensibilidad de la salida a los paxámetros desconocidos

Datos

65

Caso a Caso b caso c

Zen

1201 II 1 I 1 I 100 I 120 60 100

w2

1 A? 11 4.3557 x W4 1 0.83461 x 1- 0.89313x 10" 1

5 0.001 1

I .21 II 105.30 I 45.06 I 82.21 I

A1 1.3792 x 2.3996 x 1.3217 x

De estas figuras se observa lo siguiente:

a) Para el Caso a con zeq = 120 presentado en las figuras 5.4 y 5.5, el error muestra una geometría convexa y las curvas de nivel indican que el error de las salidas es sensible tanto al coeficiente de fuga A2 como a su posición 22.

b) Para el Caso 6 con zeq = 60 mostrado en las figuras 5.6 y 5.7, existe un mínimo global en la geometría de J . A partir de la figura 5.7 se puede decir que el error de las salidas es sensible al coeficiente de fuga A2 como a la posición zz.

c) Para, el Caso c con zeq = 100; las gráficas presentadas en las figuras 5.8 y 5.9 periniteii observar que el error de las salidas es poco sensible a X2. Es decir, existen respuestas dinámicas similares del ducto para diferentes tamaños de fuga del mismo orden de magnitud.

En la tabla 5.2 se muestran otros dos casos. Los resultados de simulación se observan en las

De estas figuras se observa lo siguiente: figuras 5.10-5.13.

a) Para el caso d con zCq = 61, las curvas de nivel de las figuras 5.10 y 5.11 present,an un comportamiento multimodos; y por lo tanto, la identificación de los parámetros requerirá de algoritmos sofisticados (Waiter and Pronzato, 1997).

b) Para el caso e con zeq = 92 mostrado en las figuras 5.12 y 5.13, se puede observar que el error de las salidas es sensible tanto al gasto de fuga X2 como a la posición 22; en este caso el error J sólo tiene un mínimo global.

En conclusión, con base en las curvas de las funciones a minimizar se puede iiiterpretar la existencia de dos tipos de familias zeq: aquellas en las cuales las curvas de nivel corresponden

.22

X27,,

z2n

20 70 50 [4.2807,4.4512] x low4 [0.70378,0.86727] x [0.79229,0.89313] x

I1 5,261 11 5,801 [18,50]


2 .l*O.wl=l.W1=S w . . . . .

. . . . . .

. . , : . - . .. .. . . I d . .

25

22

Figura 5.4: Gráfica dcl criterio J para z~,,, = 120

a la geometría de una función del error convexa y por tanto la identificación de los párametros podría lograrse con técnicas simples de optimizacióii (Luenberger, 1989); y aquellas en que la geometría, de las curvas de nivel hacen ver la existencia de funciones de error niultimodales y por tanto la identificación del sistema es débil, de modo que la identificación de parámetros requerirá métodos de búsqueda sofisticados si se quiere una buena precisión en la eskinmcióu de los parámetros (Walter and Pronzato, 1997).

Por lo que respecta a la ponderación de las salidas indicadas en el criterio con los valores y 2u2 de las tablas 5.1 y 5.2 se concluye que el gasto de entrada del ducto es más sensible a los efectos de las fugas. Este hecho se justifica debido a que la presión del ducto aguas arriba es niayor que aguas abajo.

5.3 Identificación de parámetros

En esta, sección se inuestraii los resultados en simulación de la identificación de los parámetros X i y 22 a través de la familia (5.12). Se presentan dos formas de realizarla.

En la primera forma la identificación de los parametros desconocidos se lleva a cabo con la minimización del error de la salida. Se define como señal de error la diferencia entre los gastos a,guas arriba del proceso y del modelo a identificar; esto es, e ( t ) = yifi - ylk. La mininiización del error se lleva a cabo mediante la interfaz gráfica NCDoutport de MATLAB en la cual la evolución de la señal a optimizar e ( t ) se define gráficamente vía una región de tolerancia. En particular, la figura 5.14 muestra las restricciones impuestas a la señal durante la optiuiizscióii.

Los resultados de la optimización para 5 familias de zeq se presentan en la tabla 5.3. El Caso a de la tabla 5.3 corresponde a la familia con las curvas de nivel mostradas en

la figura, 5.5. Ya que las curvas son cerradas se espera una identificación sin problemas. Los


Datos

ZeP

W

Figura 5.5: Curvas de nivel de q y XI para taq = 120

Caso d Caso e

61 92 100 10

67

68

Datos Caso a Caso b caso c

Identificabilidad de dos fugas simultáneas con posiciones aescoriocidas

1 -6o.v,=l w p 0 0 1 -9

Caso d " I Caso e

,.. ..... . . . . . . ..: . .

. . .

%

Figura 5.6: Gráfica del criterio J para zcq = 60

1 20" II 120 I 100 I 92 I I 66 I

resultados muestran que el error de la estimación de tz es meiior al 0.1% de la longitud del ducto.

El Caso b muestra una identificación satisfactoria, El error en la estimación de Az es menor

En el Caso c, tanto el gasto como la posición de la fuga se estiman de forma satisfactoria. El Caso d corresponde a teq = 120 y se considera que la segunda fuga es cero. Los resultados

En el Caso e se consideran XI = Xz y z1 = z2 que corresponde al caso de fugas uniformemeiite

al 0.1% mientras que el de la posición es cero.

niuestrari que el error en la posición es menor al 0.1% de la longitud del ducto.

, distribuidas a lo largo del ducto. En este caso el resultado es muy satisfactorio ya que se logra convergencia en los parámetros con condiciones iniciales para zzrn alejadas de su valor real.

La identificación se aplicó también para zeq = 61: sin embargo, la optimización no logra

5.3 Identificación de parámetros 69

Figura 5.7: Curvas de nivel de z2 y X i para zcq = GO

converger a ningún conjunto de parámetros. Esto se justifica por la forma de las curvas de nivel del criterio dado en la figura 5.11 donde se tienen mínimos locales.

Existen casos críticos en los cuales es difícil la identificación de los paránietros. Estos casos se presentan cuando las pendientes mi y m2 de la figura, 5.2 son casi iguales. Sin embargo, cuando m2 N m 3 es posible identificar la fuga A2 y esto se debe a que la caída de presión en el final del ducto es meuor.

Se realizó un estudio usando datos simulados para algunos casos de pares de fugas difíciles de localizar.

Para esto se considera una familia de modelos que satisface (5.9) y se calculan las ordenadas de los puntos A , B y C del triángulo de la figura 5.2. De aquí, se calcula la pendiente mz y los gastos de fuga. Finalmente, se encuentran los coeficientes de las dos fugas.

En la tabla 5.4 se muestran algunos valores de distancias y coeficientes de fugas que no pudieron ser identificados. Los resultados muestran que para gastos de fuga X i menores al 0.2% de los gastos de salida la identifiwción es prácticamente imposible.

En general, un caso difícil de identificar se caracteriza por caídas de presión mostradas en la figura 5.15 con mi = m2.

En la tabla 5.5 se muestran algunos casos fáciles de identificar. 'En estos casos las fugas son de aproximadamente 2% del valor de los gastos de salida. El triángulo mostrado en la figura 5.16 caracteriza la caída de presión provocada por dos fugas fáciles de localizar.

La segunda forma en que se lleva a cabo la identificación de los parámetros desconocidos es mediante un observador no lineal basado en un filtro de Kalman extendido (Reif et al., 1998). P a a el diseño del observador se iitiliza un modelo de orden reducido con estado aumentado desacoplado de la fuga A i con ttm y como variables del nuevo estado aumentado

70 identificabilidad de dos fugas simultáneas con posiciones desconocidas

¡I


z ~ = w w u(=loD, VE''

71

.. : ~ . . ... . . .

7.8 IS %

Figura 5.8: Gráfica del criterio J para zcq = 100

i z m = o = o

Y2k = w3

y se puede reescribir como

7iJ, = f (Wa,?La)

y2k = [O o 1 o Olw, = c w ,

donde ?u, = [WI wz tu3 zzm X2,]* es el nuevo vector de estado aumentado y u., =

[HI H4 y1ñlT el vector de entrada aumentado. E1 observador no lineal está definido por

6, = f(&, ua) + K(t)e( t ) y2k = GG,

donde la señal de error es la diferencia entre el gasto aguas abajo del proceso y la sa,lida del modelo reducido, esto es, e ( t ) = y26 - Q2k y X ( t ) es una matriz variante en el tiempo. Para calcular esta matriz se resuelve la ecuación diferencial de Riccati dada por

72

- 8 9

- 8.8

- e.,

- 8.8

- 8.5

- *.. -

8.3

- 8 2

8 ,

-

~-

Identificabiiidad de dos fugas siniult6riea.s con posicioiies desconocidas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .; . . . . . . . I ,

, ~ . . , , , .~ . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

, , , . ~

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

I I I 1 I I I I 32 ?4 3e 38 40 42 4 1 18 I S

Figura 5.9: Curvas de nivel de ti y A2 para zeq = 100

P ( t ) = ( A @ ) + CYI) P( t ) + P(t ) (AT( t ) + D I ) - P(t)C'R-'CP(t) - Q '' (5.20)

con un número real positivo cy > O y matrices definidas positivas Q y R y

(5.21)

La gaiiancia del observador está definida por

K ( t ) = P(t)C Tn-1 (5.22)

En la figura 5.17 se muestra el diagrama de bloques de la identificación. I1

Ya que se trata de identificar las fugas durante el transitorio del sistema se añade una secuencia bina.ria seudoaleatoria con amplitud de [-1,1] manteniendo una señal coi? excitación persistente en la eiitrada Hi.

En la tabla 5.6 se muestran los resultados de la identificación de zz y XZ para diferentes zeq.

La identificación de z2 se logra proponiendo condiciones iniciales para Ez muy cercanas a su valor real, lo cual resulta poco factible para aplicaciones reales.

!

~

En la figura 5.18 se muestra la salida de la planta ~ 2 % y la salida del filtro de Kalman con pdine t ros de la planta XI = 6.2283 x con zcq = 66 y Qzc = 0.013265 y condiciones iniciales para el observador

A2 = 1.0534 x 21 = 40.11, y z2 = 44 y = 3.0534 x

5.3 Identificación de paxámetros

Q =

73

- 0.01 o

0 0.01 0 O O 0

- O 0

... ... . . ~ . . ..

... . .

- 0 O 0 O 0 O

I x 107 o o 0.01 -

Figura 5.10: Gráfica del criterio J para tC4 = 61

O 0

0.01 O O

1 de )s parámetros 22 y A,, superior e ir krior; respectivamente. Se puede observar que los parámetros identificados se acercan a los parámetros reales t 2 y Xz.

La figura 5.20 superior muestra la salida de la planta y2n y la salida del modelo estiniado y2k. La figura 5.20 inferior muestra el error entre ellas.

Sin embargo, cuando las condiciones iniciales de 22 y XZ se encuentran lejos de los verdaderos, los parámetros no convergen. Este resultado se debe a que la identificación sólo puede realizarse durante el tiempo del transitorio. Por lo tanto, se puede afirmar que el tiempo del traiisitorio no es suficiente para identificar los paránietros y al llegar al régimen estacionario es imposible realizar la identificación.

74 Ideiitificsbilidad de dos fugas siriiultárieas coli posicroncs descoiiocidns

*I

Figura 5.11: Curvas de nivel de zz y XZ para zey = 61

Figura 5.12: Gráfica del criterio J para tcq = 92


: I C ''::;':,I t.SBS 3.m ' ' : : ' : : l ( l ,

. .. ...... . . . . . . ~ . . . . . 1.575

. ..... ... . ..... 1.51

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.s5

. . 1.56

I S $ 8 6 18.5 20

X I

;: ' m l ; . ' ' ' m : ' ]; . I

. . , . , , . . . . . .

. ........ i... .. ..., ,. . . ...

. , , . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . , . , . .

2 0 5 21 115 22 22.5

Figura 5.13: Curvas de nivel de tz y XZ para zeq = 92

75

Figura 5.14: Restricciones del error e ( t )

7U

. . . . , . .

* 6 + . . ~ ...... I . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . ; . . . . j . . . ~

Identificabilidad de dos fugas simultáneas con posiciones 'descoiiocidas

7 8 - '... . ,", '.. . . ., , . . , .

Longitud (rnl

Figura 5.16: Caída de presión en el ducto con zcq = 61 para un caso fácil

5.3 identificación de parámetros 77

Figura 5.17: Diagrama de bloques de la identificación de los parámetros

78 identificabilidad de dos fugas simultáneas con posiciones desconocidas

I , I

Figura 5.18: Salida de la planta y del FKE

. .. .

o 5 ,o I 5 20 25 30 25 10 as l o l iompo~ss~ ,

.,. . . . . . . . . ~ . . . . . . . . .

. .. . . . . . . , . . . . . . .

. . .. .. . . . . . . . . . .

o. 5 111 15 20 25 30 35 I O 40 50 iii>mmlasl

Figura 5.19: Evaluación de la identificación de los parámetros desconocidos

O O < J 2 ,

Figura 5.20: Error entre la salida del sistema y la del modelo estimado

Capítulo 6

Resultados en simulación y experiment ales

Eii este capítulo se muestran resultados de simulación y experimentales del algoritmo de detec- ción de dos fugas considerado en el Capítulo 4.

Con los subsistemas (4.55) y (4.56) desacoplados de una fuga y sensibles a la otra se realiza el diseiio de los observadores no lineales de la forma de (4.59). En la figura 6.1 se muestra el diagmma a bloques del algoritmo.

Se propone el parámetro a positivo y el parámetro 8 con la condición

8 > 00 donde 80 = -2min (Re(ai(A))) (6.1)

tal que la matriz P(a, 6) de (4.60) sea positiva definida, con c ~ i ( A ) los valores singulares de la matriz A de los subsistemas.

Para los resultados en simulación y experimentales se consideran los parámetros de una estación piloto del 11-UNAM: longitud L = 131.9q diámetro D = 0.105m, g = 9.78m/s2, velocidad del sonido b = 1508m/s y coeficiente de fricción f = 0.0225. Los parámetros para el diseño de los observadores son 01 = 1 y K = 0.1.

6.1 Resultados en simulación

Para analizar el desempeño bajo condiciones reales, en los resultados de simulación se utiliza como entrada una señal senoidal que desvía la presión aguas arriba un 10% de su valor nomind 6 . 8 1 ~ ~ . La presión aguas abajo es de 1.49m. Los coeficientes de fuga XI y Xz son 0.001. La fuga 1 se presenta a los 400s y la fuga 2 a los 800s. En la figura 6.2 se pueden observar las señales conocidas de gasto y presión en los extremos de la tubería.

La evolución de los residuos se muestra en la figura 6.3. En esta figura se puede observar que cada residuo está afectado por su fuga asociada y está totalmente desacoplado de la otra. Esto se puede ver cuando se presenta la primera fuga, el residuo TI se hace diferente de cero y

79

80

Ez- 6 E > .

Resultados en siniulación , y experimentales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~

. . . . . . . . H?)

141 Obs.2

Figura 6.1: Diagrama de bloques del generador de residuos

. . . . . . .

Figura 6.2: Señales conocidas de gasto y presión en losextremos de la tubería con dos fugasmdistribuidas uniformeinente

6.1 Resultados eii simulación

~~

t .6- p5. L , , ~ =

81

~. ~

... . . . . . . . . . .. . . , . . , . . . . . . . . . . .

H. : . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura 6.3: Evolución de 10s residuos con 2 fugas localizadas uniformemente a lo largo del ducto

E s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Im am ea em I m , >ai

1'2 permanece en cero. Cuando aparece la segunda fuga a los 800s el residuo T I permanece en su valor y r2 se desvía de cero; de modo que cuando las dos fugas están presentes, los dos residuos son diferentes de cero.

La ventaja que presenta, un generador de residuos considerando las no linealidades del sistema en su diseño, es la robustez ante variaciones del punto de operación. Para probar la robustez del generador de residuos ante estas variaciones, se simula un cambio de punto de operación del 9.7% del gasto nominal a los 600s mostrado en la figura 6.4.

En la figura 6.5 se muestra la evolución de los residuos. Los residuos en ausencia de fugas son cero. Se puede observar que los residuos se mantienen en cero cuando ocurre el cambio de punto de operación:, es decir, son robustos ante estas variaciones.

82 Resultados en simulación ,y experimentales

Figu

6.2

6.5: Evolución de los residuos con un cambio de punto de operación del 9.7% del gasto nomini a los 600s

Resultados experimentales

En los resultados experimentales sc utilizan mediciones de gasto y presión en los extremos de la tubería de la estación piloto del 11-UNAM. En la figura 6.6 se muestra el diagrama de la estación piloto.

Figura 6.6: Realización del algoritmo detector de dos fugas

Se utilizan sensores de presión con transmisores piezoresistivos, es decir, al aplicarse una presión se produce un cambio en una resistencia y se genera una corriente, el cambio de la resistencia es lineal y proporcional a la presión (WIKA, 6064). Para medir el gasto'se utilizan dos tipos de sensores, de ultrasonido y de propela.

I

Se utilizan dos tarjetas de adquisición de datos de National Instrume~its y el toolbox Rcal-

6.2 Resultados experimentales

: Qe D.0lS~

........ . . . . . . - .go..,. - - - .- ~,.,,,- . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . .:. .% .. I . . . ~ "

83

.... :... *./ ? ' . E

5 i . s E I

= 1.4

*OD Bw Bw >ma 1m lW I_WO( .J

Figura 6.7: Gastos y presiones eii los extremos del ducto con una fuga del U 1% del gasto nominal localizada a 49m

time Windows Target de Matlab como interfaz con la computadora. La tarjeta labpc - 1200 se utiliza para adquirir las señales de los sensores de gasto y de presión. La tarjeta pcao - 2dc manda una señal desde la computadora para accionar la bomba mediante un inversor el cual regula la velocidad; también se utiliza para abrir una servoválvula que simula una fuga. Para esla tarjeta se diseñó un controlador que permite trabajar con Simulink de Matlab.

El intervalo de operación del inversor considerado es de 45 a 60Hz y se tienen gastos de 0.020 a 0.015m3/s y presiones de 9.1455 a 5.6280m, respectivamente.

6.2.1

En esta sección se presentan resultados de la evolución de los residuos con datos reales fuera de línea. Las mediciones de gasto se tomaron con los sensores de ultrasonido. Estos sensores permiten actualizar los datos cada 4.4s.

Resultados experimentales con medidores de gasto de ultrasonido

A continuación se presentan gráficas de los resultados del algoritmo de detección con datos reales con una fuga provocada a los 600s mediante la apertura de la servoválvula localizada a 49m. También se muestran resultados cuando no se presenta ninguna fuga pero sí un cambio de punto de operación. Para eliminar los efectos de ruido de las mediciones, se filtran los residuos con un filtro pasa-bajas con un ancho de banda de O.Olrad/s.

En la figura 6.7 se muestran los datos de gasto y presión en los extremos de la tubería con una, apertura del 75% de la servoválvula. El gasto de fuga corresponde a 1.1 x 10W3m3/s; es decir, el 6.1% del gasto nominal.

En la figura 6.8 se muestra la evolución de los residuos y se observa que los residuos se mmtienen sobre cero hasta que se presenta una fuga a los 600s. Ai presentarse la fuga ambos residuos presentan un transitorio y después el residuo r2 regresa a cero mientras que el residuo TI se estabiliza eii 1111 valor diferente de cero. Esto indica que la fuga está cercana a la fuga 1

84

_I z o o > * - - u,,,,.

Resultados en simulación y experjrneiltales

. . . . . . . . . 0 0

. . -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura 6.8: Evolución de los residuos con una fuga del 6.1% del gasto nominal localimda a 49m

-.. L . . . . . . . .

........ ,,,. .,..,, .................... - > . d l ' .. 1 , . .

Figura 6.9: Gastos y presiones en los extremos del ducto con una fuga del 3.1% del gasto nominal localizada a 49m

teórica de 43.96m considerada en el diseño del generador de residuos. ,I

En la figura G.9 se muestran los datos de gasto y presión con una fuga provocada del GO% de apertura de la servovklvula. Con un gasto de fuga de 0.5 x 10-3m3/s; esto es; el 3.1% del gasto nominal.

En la figura 6.10 se ve que los residuos se mantienen sobre cero hasta los 600s cuando aprece una fuga. Al presentarse la fuga ambos residuos presentan un transitorio y después el residuo T Z

regresa a cero mientras que el residuo T I se estabiliza en un valor diferente de cero. Esto indica que la fuga se encuentra próxima a los 43.96772 considerados en el diseño.

En las siguientes figuras se muestra el desempeño del generador de residuos ante'un cambio de punto de operación. En la figura 6.11 se muestran datos de gastos y presión en los extremos de la tubería con un cambio de punto de operación de 0.0170 a 0.018Gm3/s; es decir, del 9.1%

I .* .̂ - -e.*. ,

6.2 Resultados experimentales 85

I m .ea w Bm ,cm 12%

-0.m50 1iernpo (6,

Figura 6.10: Evolución de los residuos con una fuga del 3.1% del gastonominal localizada a 49m

del gasto nominal a los 600s. En la figura, 6.12 se muestran los residuos y se observa, que son robustos a, estos ca,mbios.

Sin embargo, se puede observar que los generadores de residuos indican una, falsa alarma, a los 600s y se mantiene durante el transitorio, esto se debe a, que el modelo del fluido utilizado para, el diseño de los observa,dores no presenta el inisnio coinportainiento tmnsitorio de los flujos reales. Aunque una vez pasa,do el transitorio los residuuos se estabilizan sobre cero indicando la ausencia de fuga.

6.2.2 Resultados experimentales con medidores de gasto de propela

Eii esta, sección se muestran los resultados coii mediciones de gasto coii los sensores de propela.. Estos sensores permiten leer datos cada 0.01s con lo que es posible ver la respuesta. transitoria de los gastos reales de los extremos de la tubería.

En la figura 6.13 se muestran las señales medidas de gasto y presión en los extremos del diicto, se provoca un cambio de punto de operación del 11.5% del gasto nominal a los 380s.

En la figura. 6.14 se observa que el residuo presenta una falsa a,larina durante el tra,iisitorio del caiiihio de punto de operacióii. Sin einbwgo, el pico que se presenta al realizar el cambio de punto de operación tieiie menor magnitud (0.005m3/s) que el presentado con las mediciones coii los sensores de ultrasonido de la figura 6.12 (0.015?x3/ls). Esto se justifica porque la respuesta. de los sensores de propela es más rápida que la de los de ultrasonido y su obtiene un mejor seguiiiiiento de los gastos durante el transitorio.

Las falsas a.la,rinas en el transitorio se deben a que la respuesta real y la del modelo son diferentes. En el Capítulo 4 se demostró que el problema de detección de fallas se puede resolver sólo bajo dos suposiciones p u a dos fugas. Debido a esto; se utiliza el modelo eo11 tres secciones y dos fugas: distribuidas uniformemente a lo largo del ducto para el diseño de los generadores de residuo. Sin embargo, la respuesta transitoria de este modelo no representa las dinámicas

8G

0.018 -

-~o .o , . - - I; 0.017

o.o/a

Resultados en simulación y experiiiientdes

.. ., . , . . . . . . 0 s

. . . . ~ .. _I_____ .

0 3

Figura 6.12: Evolución de los residuos usando datos reales cambia.rido punto de operacióii #del 9.1% del gasto iioiiiinal a los 600s

F.2 Resultados experimentales

Ea s

2 5 I

87

1oo zoo 100 am xa M O I W tam_ ,.,

Figura 6.13: Gastos y presiones en los extremos del ducto c6n un cambio de punto de operación del 11.5% del gasto nominal a los 380s

Figura 6.14: Evolución de los residuos con un cambio de punto de operación del 11.5% del gasto nominal a los 380s

88 Resultados en simulación y experimen taies

R e m * - ,,rn"S,tW,8 . . ,

~ . . . . . . . . . . 0 0 3 s - i10 785 I W 785 ma 805 870 811 8_

.. ... .

,a+ 78s ,so 79% w w 810 01s me t m m < s ,

Figura 6.15: Respuesta transitoria de los gastos reales y del modelo con 3 secciones

,ismPD ,s,

Figura 6.16: Respuesta transitoria de las presiones reales y del modelo con 3 secciones

reales, esto se puede ver en las dos figuras siguientes. En la figura 6.15 se muestra la respuesta transitoria de los gastos reales y los gastos generados

por el modelo en los extremos de la tubería. Se puede ver que existe una diferencia entre la señal real y la del modelo durante la parte transitoria.

En la figura 6.16 se compara la respuesta transitoria de las presiones reales y las presioiies del modelo en los extremos de la tubería. Se observa, que existe una diferencia. entre lac señales de da,tos reales y las señales obtenidas del modelo.

Estas gráficas justifican muy bien las falsas alarmas presentadas en la evolución de los residuos. Sin embargo, las presiones simuladas se comportan más parecidas a las reales aumentando el número de secciones en que se divide la tubería en el simulador.

En la figura 6.17 se muestra la respuesta transitoria.de los gastos reales y losigastos del modelo cuando la tubería se divide en 8 secciones.

http://transitoria.de

6.2 R.esuitados experimentales 89

~~

-z 0.me s 00175

; o::

-mx>,n,

Figura 6.17: Respuesta transitoria de los gastos reales y del modelo con 8 secciones

Figura 6.18: Respuesta transitoria de las presiones reales y del modelo con 8 secciones

En la figura 6.18 se muestra la respuesta transitoria de las presiones reales en los extremos y las presiones del modelo cuando la tubería se divide en 8 secciones y se observa que las señades cle datos reales con el modelo son similares.

Sin embargo, el problema de detección para un mayor número de secciones con las dos fugas localizadas arbitrariamente no tiene solución. Por lo tanto, en general, resu1t.a imposible generar subsistemas desacoplados para un mayor número de secciones.

De estos resultados podemos aislar tres problemas del esquema de detección utilizado:

Ya que sólo dos generadores de residuos se pueden diseñar, existe un problema de robustez en la localización de las fugas.

Se observa de los resultados que el transitorio del modelo no refleja el comportamiento real de los gastos y presiones de los extremos del ducto, lo que provoca falsas alarmas en los

90 Resultados en simulación y experiinentdes

residuos

Este esquema de detección imposibilita la detección de más de dos fugas

..

..

Capítulo 7

Conclusiones

El objetivo de esta tesis fue buscar una solución al problema de detección y localización de múltiples fugas simultáneas eii un ducto sin toinas laterales: COD sólo mediciones de gasto y presión en sus extremos. Para esto, se utilizaron herramientas de la teoría de FIII tmto con u n enfoque algebraic0 como con uno geométrico y vía simulación. El problema PDI se dividió en tres bloques: el problema de detección, el de localización y el de identificación de las fugas.

La primera pa,rte de este trabajo se dedica al problema de detección de fallas. El problema de la generación de residuos se reformuló deseando que cada residuo fuera sensible a todas las fugas excepto a una. Se dan condiciones de existencia de solución al problema fundamental de generación de residuos no lineal para múltiples fallas vía observadores no lineales. El resultado se basa en la teoría de desacoplamiento a perturbaciones desde el punto de vista geométrico usando el concepto de distribución de no observabilidad míniina. Básicamente, se dan condiciones de existencia para el desacoplamiento de ciertas entradas sin perder la sensibilidad de otras.

Los resultados usando estas herramientas permiten concluir específicamente bajo qué coiidi- cioiies es posible generar subsisteinas desacoplados de perturbaciones o fallas de no interés y afectados por las fallas de interés. Se hace un análisis para el modelo no lineal del ducto coli- siderando dos y tres fugas simultáneas. De los resultados obtenidos se puede concluir que sólo bajo dos condiciones se pueden detectar dos fugas simultáneas, la primera es que las presiones en las fugas estén directamente relacionadas con las salidas y la segunda que se supongan conocidas las posiciones de las fugas. Para, un caso de más fugas resulta imposible el desacoplamiento de una fuga sin perder la sensibilidad de las otras en las salidas. Por lo tanto, el problema general de detección de múltiples fugas simultáneas no tiene solución.

La falta de solución al problema de detección para más fugas se debe a, que no existe una codistribución observable que pueda satisfacer las condiciones de existencia. Este análisis de detección de fallas justifica las condiciones de utilizar más sensores o considerar derivadas de la salida en los algoritmos FDI propuestos en la literatura.

Así, el primer resultado importante de este trabajo es la afirmación de la ausencia de solucióii al problema de detección y aislamiento de míiltiples fugas en un ducto, vía la generación de

91

92 Conclusiones

residuos con observadores no lineales, con sólo mediciones de g&o y presión en sus extremos. El problema de detección se divide en dos tareas. La primera consiste en el estudio de la

generación de subsistemas desacoplados de fallas de no interés sin perder la sensibilidad de las fallas de interés. La, segunda tarea consiste en el diseño propio de los generadores de residuos vía.observadores no lineales.

El algoritmo de detección de fallas se diseñó para el modelo no h e a l con dos fugas suponiendo conocidas sus posiciones. Se generan dos subsistemas desacoplados de una fuga y afectados por la otra. Se utiliza una transformación lineal que involucra la suma y resta de los gastos relacionados con la fuga a desacoplar. Para el generador de residuos se utilizaron observadores no lineales tomados de la literatura.

Los resultados en simulación del algoritmo de detección permiten afirmar que' la detección es satisfactoria cuando las fugas se encuentran exactamente en las posiciones consideradas en el algoritmo. Sin embargo, este algoritmo no es robusto ante incertidumbres en la, posición. También se puede decir que los residuos son robustos ante variaciones en el punto de operación.

Para los resultados experimentales se generaron mediciones en los extremos del ducto de gasto y presión provocando una fuga a los 49m de la estación piloto del 11-UNAM y se probó el a,lgoritmo de detección fuera de línea. Los resultados muestran un buen desempeño del algoritmo de detección con una fuga pequeña hasta del 3.1% del gasto nominal.

Los resultados experimentales muestran que el modelo matemático del fluido no describe la dinámica real del sistema durante el transitorio y de aquí que existan falsas alarmas en los residuos al presentarse cambios de punto de operación. Se hizo una comparación de las señales reales del sistema con las señales generadas por el modelo con diferente número de secciones. De aquí se concluyó que el problema del transitorio se puede minimizar aumentando el número de secciones en el modelo.

De modo que existen dos inconvenientes; por un lado, el problema de detección se resuelve sólo para dos fugas bajo ciertas condiciones y por otro, se necesita aumentar el número de secciones para mejorar la dinámica del modelo. En consecuencia, no es posible utilizar un modelo con más secciones para mejorar el desempeño de los observadores en el transitorio. De aquí que las falsas alarmas en el transitorio son debidas al modelo y no al desempeño de los observadores .

El problema de localización de dos fugas simultáneas se atacó mediante una identificacióii de parámetros vía simulación. Ya que en estado estacionario existe un número infinito de pares de fugas que presentan los mismos gastos en los extremos del diicto; la, identificación se hace durante la respuesta transitoria donde para cada par de fugas la respuesta es diferente y permite obtener información Útil para la identificación.

::

Se considemn cuatro parámetros desconocidos en el modelo no lineal, los coeficientes de fuga y sus posiciones, y se reducen a dos usando relaciones estáticas que caracterizan la3 fuga,s iiidistiiiguibles en el ducto con ayuda del gasto conocido entre las dos fugas en estado estacionario. De este modo, se hace vía simulación una caracterización de parejas de fugas posiblmde 1oc a I' 1za,r

93

e identificar. Es importante resaltar que aún conociendo el gasto entre las fngas es imposible localizar e identificar las dos fugas en estado estacionario.

La identifica,ción de los parámetros desconocidos se lleva a cabo en dos formas. Se utiliza un modelo que depende sólo de dos parámetros desconocidos. En la primera, la identificación se realiza minimizando el error de las salidas. La evolución del error a optimizar se define gráficamente con una región de tolerancia vía la interfaz gráfica NCDoutpoi,t de Matlah. La seguida forma de identificación se lleva a cabo utilizando un observador 110 lineal ba,sado en un filtro de Kalnian extendido. Estas dos formas de identificar dependen de los valores iniciales, lo cual resulta un problema para aplicaciones reales.

Como conclusión global se propone atacar el problema de detección y localización de dos fugas simultáneas en dos pasos: El primera consiste en aplicar un generador de residuos, el c u d detecta una condición anormal y evalúa el parámetro zeg. Y el segundo consiste en una, tarea de identificación para, los parámetros desconocidos.

Esta novedosa idea de reducir el número de parámetros desconocidos en el modelo para localizar e identificar dos fugas simultáneas, es una alternativa que promete buenos resultados. Sin embargo, ya que la respuesta transitoria del modelo utilizado es diferente a la respuesta transitoria del sistema real, resulta imposible implementarlo en este trabajo de investigación.

Conclusioncs 94

li

Apéndice A

Construcción de la distribución de no observabilidad

A.l Algoritmo para construir la distribución

A continuación se describe un algoritmo para la construcción de observabilidad mínima que contiene el span {pi(.)} para el sistema (2.33).

Algoritmo 30 Considere el sistema (2.33)

la distribución de no

1. Se define el generador

p = v a n I Pi(Z)>

a partir de la distribución de la falla de no interés.

2. Se determina la cerradura irivolutiva de P denotada como P .

3. Se calcula recursivamente la sucesión no decreciente de distribuciones m

= $ + [gi, S k n ker {dh}] (A.1) i=O

inlcializando con. SO = P y 3, la cerradura involutiua de S,, hasta satisfacer

&+I = s, ( A 4

4. Se calcula la codistribución (Sk)' con base en la g k encontrada

5. Se calcula recursivamente la sucesión no decreciente de codistribuciones

95

96 Construcción de la distribución de no observabilidad

inicializando con QO = (sk)' n span {dh} hasta obtener

& ~ + i = Qk* ('4.4)

con k* < n u n número entero.

La codistribución, &k* caracteriza a la cod¿stribución obseruaúle m.cixinia contenida e n P' POT lo que

Qo = Qk* ('4.5)

G. Se genera &almente la distribución (no)' a partir de (A.5). '/

A.2 ( f l ~ ) ' cuando la fuga entre las secciones 1 y 2 es w1 con el ducto dividido en 3 secciones

Considere el modelo del ducto con dos fuga,s descrito por 1

y salida

y = [ 2:] El sistema se puede reescribir como

k = f(z) + B u + ElXi + E2Xz

I - - Construcción de la distribución (no) Se define el generador

para w1 = X i y mi = Xz:

Se determina la cerradura involutiva P de P; esto es, la distribución más pequeña que contieiie a. P. Considere que para el caso de una distribución uiiidimensional P = P (Isidori, 1995).

A.2 (no)' cuando la fuga entre las secciones 1 y 2 es w1 con e1 ducto dividido en 3 seccioned7

ker {dh} = span

Se calcula recursivainente la sucesión no decreciente de distribuciones rn

&+I = S k + [g i , S k n ker {dh}] i = O

inicializando con SO = P y S k la cerradura, involutiva de Ski hasta satisfacer

sk+l = Sk

I(-,-/:-\ O O O

. O O O _ - _ _

A partir de y = h(z) se obtiene

(A.10)

y de aquí, el kernel de dh(s)

(A. i i )

Se define

(A.12)

y su cerradura invoiutiva es So = So. Ahora se inicia el algoritmo (A. l )

a Si = 3, + [gi, $0 f' ker {dh}]

i=O

(A.13)

con

(A.14)

98

donde -

O O O O

-a1


(A.16)

a1

O O O O

Q2 =

y de aquí

Si = span

O - a 2

O O O

(A.15)

1

(A.17)

(A.18)

De las eciiaciones (A.12) y (A.18) se vc que la condición (A.2) no se satisface

si # so y de aquí el algoritmo (A. l ) continúa

2

Sz = si + [si, si n ker { d h } ] i=O

Por lo tanto, se busca la cerradura involutiva de Si denotada por 31

$1 = span,{ui,w [ ~ J I , w ] }

ya que

[Vi > VZI c si

si = si

(A.19)

(A.20)

Il

( A X )

(A.22)

(A.23)

Ahora

si í' ker {dh} = span {VI) (A.24)

.

A.2 (a*)' c u a d o la fuga entre las secciones 1 y 2 es w1 con el ducto dividido en 3 seccioiies99

Sustituyendo (A.24) en (A.20) resulta

sz = ~ i + ~ P ~ n ~ ~ ~ o , ~ i l , ~ g l , ~ ~ l l , ~ g z , v l l } (A.25) y finalmente se obtiene

(A.26)

De las ecuacioues (A.19) y (A.26) se ve que se cumple (A.2)

sz = si (A.27)

Con base en la distribución encontrada SI se calcula la codistribucióii (Si)' resolviendo

- zi1 = -az-u1 8 4 = O para i = 1, ..., 3 (A.28)

(A.29)

a@ OX 8 X a@ OX 8X 8X

u2 = -ff1ffz- 86; +fflffZ-- 844 - - 0 - Las futiciones resultan

= XI+X3

6 2 = Xq

4 3 = xg

(A.30)

(A.31)

(A.32)

y de aquí se obtiene la codistribución

(A.34)

inicializando con QO = (&)l n span { d h } hasta obtener

Qli*+i = Qli*


con k' < n un número entero. Así que se determina

~ o = ( ~ i ) ' n s p a n { d h } = s p a n { [ O O O O 1 ] } = s p a n , { , w 1 ( (A.35)

y se inicia la sucesión (A.34) con IC* = O

donde

col1

para i = O, 1 ,2 y se obtiene

sustituyendo (A.39) en (A.36) se obtiene

[ l o o o o ]

[ o o o o 1 1

o o o a1 -2pz5

Q~ = (si)' n span

y resulta

(A 36)

I/

(A.37)

(A 38)

(A.39)

I (A.40)

de (A.35) y (A.36) se ve que no se cumple (A.4)

Qi # &o (A.42)

así que la sucesión (A.3) continúa

I (A.43)

A.2 (i20)' cuando la fuga cntre las secciones 1 y 2 es w1 con el dueto dividido en 3 secciones101

donde

y la codistribución resulta

[ l o 1 o o ]

[ o o o 1 o ]

[ o o o o 11

de (A.45) y (A.36) se ve que no se cumple (A.4)

Qz # Qi

Ahora, ya que Qz = (SI) I se tiene que

Q3 = Qz

(A.44)

(A.45)

(A.415)

(A.47) Ya que Q2 caracteriza a la codistribución observable máxima contenida en P l , es decir,

Qz c P' (A.48) se define

Q2 # 00 (A.49) Y finalmente se genera la distribución (no)' resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales parciales

(A.50)

(A.51)

(A.52)


I - - O - az

O < O

O O O < . -

y la solución es

>

y de aquí

(A.53)

(A.54)

(A.55)

A.3 (00)' cuando la fuga entre las secciones 1 y 2 es w1 con el ducto dividido en 4 secciones

P = span { p i } = span

a i w O O O O O O

, gz = b 2 ~ =

(A.5G)

I con

(A.57)

, , . . A.3 (no)' cuando la fuga entre las secciones 1 y 2 es w1 con el ducto dividido en 4 secciones103 c

Desaroliando la sucesión (A. l ) iniciando con So = 1" = P se obtiene

I [ l o l o

[ o 0 0 0

[ o o o o o

[ O O O O ala2

[ O O O a:a2 \

- Sz = Si = span

\

1 41 1 1 I

de aquí se genera su codistribución

>

(A.58)

I Se aplica (A.3) inicializando con QO = (&) n span {dh} para obtener la, codistribución

Q5 = Q4 = no

con

Ro = span

o o o ]

y/


<

'

\ -

I (00) = s p a n O

-1 O 1

0 , o O O O

- - -:-I - -!I O

I -

P = span <

\ -

(A.59)

- O O O

-a2 >

O O O I

A.4 (no)' cuando la fuga entre las secciones 2 y 3 es w1 con el ducto dividido en 4 secciones

Siguiendo los pasos del Algoritmo 30 se define

a m O O O O O O

9n '

u03

106

con Qo = ( s k ) nspan {dh} hasta Qp+l = Qp termina con ( f l ~ ) ~ = Q1 = Qo y de aquí resulta

(fllJ)l = span {R’} (A.61)


i

i

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CENIDET · 2014. 2. 13. · Cenídet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico...

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