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U.M.S.S. – F.C. y T. – Curso Prefacultativo Dinámica de la Partícula

41 Física

UNIDAD 2

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

1. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

INTRODUCCIÓN La Mecánica Clásica se dedica al estudio de los cuerpos en reposo o en movimiento bajo la acción de fuerzas. El propósito de la Mecánica Clásica es establecer una conexión entre el movimiento y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Esta parte de la física se divide en: Cinemática (Movimiento), Estática (Fuerzas) y Dinámica, tema de estudio en ésta unidad. Dinámica trata específicamente del cambio movimiento de los cuerpos relacionándolo con las fuerzas (causa) que han provocado dicho movimiento (efecto). Dicho de otra manera es la parte de la Mecánica Clásica que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que producen dicho movimiento. 1.1. EL CONCEPTO DE FUERZA “Es el agente capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de los cuerpos, es decir capaz de

cambiar la velocidad con la que están animados”. La fuerza es una Magnitud Vectorial, es decir que tiene un módulo una dirección y un sentido. Entre los tipos de fuerzas existentes se puede mencionar de contacto y fuerzas de acción a distancia (o de campo); las fuerzas de contacto son fuerzas que surgen cuando existe un contacto o ligazón material entre los cuerpos. Ejemplo: una caja que se arrastra mediante una cuerda, la patada propinada a un balón de fútbol, etc. En tanto que las fuerzas de acción a distancia surgen como resultado del campo gravitacional o eléctrico, sin que exista un contacto físico pero que actúan a través del espacio. Ejemplo: la fuerza ejercida por el Sol hacia los Planetas y sus Lunas, la fuerza de atracción entre el electrón y el protón, etc. 1.2. PRIMERA LEY DE NEWTON Y MARCOS DE REFERENCIA INERCIALES

“Todo cuerpo que se encuentra en reposo o en Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) (v = cte), tiende a permanecer en ese estado, siempre y cuando las fuerzas existentes y/o aplicadas (o la

resultante de dichas fuerzas) sea cero”

0zF

0y

F

0xF

0F

NewtondeLey1ªladematemática nFormulació

1.3. MASA Denominamos como masa a la cantidad de materia que forma un cuerpo. La expresión de masa se utiliza en Mecánica al referirse a una de las propiedades de la materia designada con la palabra INERCIA. Sabemos por experiencia que un objeto en reposo jamás comenzará a moverse por sí mismo, sino que será necesario que otro cuerpo ejerza sobre él una tracción o un empuje, de idéntica manera si queremos retardar su movimiento para detenerlo. En ambos casos decimos que la fuerza es necesaria a causa de que el cuerpo posee inercia. En conclusión podemos decir que: “La INERCIA es la oposición que manifiesta un cuerpo al cambio de velocidad”. Dicho de otra manera “la INERCIA es aquella propiedad de la materia por cuya causa es necesario ejercer una fuerza sobre un cuerpo para acelerarlo”. La INERCIA tiene un valor numérico asignado y ese valor es la MASA. Podemos afirmar sin temor a equivocarnos que la MASA es la medida cuantitativa de la INERCIA de un cuerpo. En consecuencia, la masa es un término que se utiliza para cuantificar la inercia. Las unidades de masa son: kilogramo kg, en el Sistema Internacional (SI);


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gramo g, en el Sistema Cegesimal (cgs); y slug slug en el Sistema Inglés (fps). Siendo, 1slug=14.59 kg. 1.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON En los temas precedentes se ha considerado la aceleración al estudiar el movimiento (Cinemática), y si bien no se tocó el tema de las fuerzas por simple “intuición” sabemos que para que un cuerpo se pueda mover o detener es necesario aplicar una fuerza, si a esto sumamos que la aceleración para una fuerza dada depende de una propiedad del cuerpo denominado masa, tenemos completa la “trilogía” de: FUERZA, MASA y ACELERACIÓN a la que se refiere la segunda Ley de Newton. Para poder expresar la segunda Ley de Newton, primero consideremos el siguiente ejemplo. Se ha podido determinar en experiencias de laboratorio en condiciones prácticamente ideales que si consideramos: Una superficie plana, horizontal y exenta de fricción (totalmente lisa; = 0). Un bloque de masa m. Las fuerzas, por ejemplo, 1F , 2F , 3F todas de dirección horizontal y magnitudes diferentes pero

constantes, que actúan sobre el cuerpo de masa m. Se observa que al aplicar la fuerza 1F sobre el bloque, el mismo se mueve en línea recta y en la misma

dirección de la fuerza mientras ésta actúe. Determinando la aceleración del bloque en diferentes instantes, para esa fuerza, encontramos que tiene una magnitud constante: a1 = cte.

2Fm m m

1F 3F

1a 2a 3a

Si se repite el experimento con las fuerzas 2F y 3F , como se muestra en la figura, encontramos que el

bloque se mueve en la misma dirección de la fuerza y que las magnitudes a1, a2, y a3, de las aceleraciones son directamente proporcionales a las magnitudes de la fuerzas correspondientes F1, F2, y F3, es decir que ha medida que la fuerza aumenta (si F1 < F2, < F3) (o disminuye si F1 > F2, > F3) la aceleración aumenta (o disminuye) proporcionalmente y respectivamente, por lo tanto se tiene:

a1 F1 a2 F2 a3 F3 Por otra parte, si la fuerza resultante es constante la aceleración también es constante, lo cual nos permite utilizar las ecuaciones cinemáticas del Movimiento en el Plano con aceleración constante

Si consideramos: La misma superficie plana, horizontal y exenta de fricción (totalmente pulida; =0). Las fuerza F de dirección horizontal y magnitud constante (F = cte), que actúa sobre el cuerpo de

masa m i, variable para diferentes instantes. Bloques de masas: m 1, m 2 y m 3. Se observa que al aplicar la fuerza F sobre el bloque de masa m 1, el mismo se mueve en línea recta y en la misma dirección de la fuerza mientras ésta actúa. Determinando la aceleración del bloque en diferentes instantes para la masa m 1, encontramos que tiene una magnitud: a1 = cte.

m 1 F

1a

Fm 2

2a

m 3 F

3a


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Si se repite el experimento con las masas m 2 y m 3, como se muestra en la figura, encontramos que el bloque se mueve en la misma dirección de la fuerza y que las magnitudes a1, a2, y a3, de las aceleraciones son inversamente proporcionales a las respectivas masas m 1, m 2 y m 3, es decir que la aceleración disminuye (si m 1 < m 2 < m 3) (o aumenta si m 1 > m 2 > m 3 ) proporcionalmente. Puesto que la fuerza F es constante, esta disminución o aumento en la magnitud de la aceleración, se debe a que aumenta o disminuye la inercia del cuerpo. Recordemos que la INERCIA es la oposición que manifiesta un cuerpo al cambio de velocidad, si la masa que se está acelerando aumenta, entonces la oposición al cambio de estado aumenta; si disminuye la masa, su oposición al cambio de estado disminuirá y ese hecho repercute sobre la aceleración que disminuirá o aumentará respectivamente. Por lo tanto se tiene:

a1 1

1

m a2

2

1

m a3

3

1

m

En conclusión a partir de las dos experiencias se tiene de manera general, que dadas una fuerza resultante cualquiera F = cte y una masa “m”, la magnitud de la aceleración es directamente proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa, es decir:

a m

F F = k m a

Donde “k” es una constante de proporcionalidad que depende de las unidades utilizadas, “F” es la fuerza resultante que actúa sobre una partícula de masa “m” y “a” es la aceleración que adquiere la partícula. El valor de k es uno dentro de los Sistemas Internacional (SI), Inglés (fps) y cegesimal (cgs), por lo tanto tenemos que:

F = m a Entonces, la segunda ley de Newton queda expresada como sigue: “Si la resultante de un sistema de fuerzas que actúan sobre un objeto es diferente de cero, el objeto

adquiere una aceleración y la aceleración del cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante ejercida sobre el cuerpo e inversamente proporcional a la masa del mismo y tiene la

misma dirección y sentido que la fuerza resultante”. Dicha ley expresada matemáticamente nos dice lo siguiente:

zz

yy

xx

amF

amF

amF

amF

NewtondeLey2ªladematemática nFormulació

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional (SI) es el Newton, [N] [kg m/s2], que se define como la fuerza, que al actuar sobre una masa de 1kg, produce una aceleración de 1 m/s2. La unidad de fuerza en el Sistema Inglés (fps) es la libra, [lb] [slug ft/s2],, que se define como la fuerza, que al actuar sobre una masa de 1slug, produce una aceleración de 1 ft/s2 y en el Sistema cegesimal (cgs) la dina, [dina] [g cm/s2], que se define como la fuerza, que al actuar sobre una masa de 1g, produce una aceleración de 1 cm/s2 1.5. FUERZA GRAVITACIONAL O PESO DE UN CUERPO ( f g ): “Todo cuerpo del universo ejerce una fuerza de atracción gravitatoria sobre cualquier otro cuerpo”. Así la Tierra atrae a la Luna, el Sol atrae a la tierra y a otros planetas del Sistema Solar y a las estrellas más distantes. Cada uno de estos cuerpos, a su vez ejerce sobre el que lo atrae una fuerza igual y


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opuesta. Este fenómeno de atracción universal gravitatoria se considera al estudiar Gravitación Universal, por ahora solo nos ocuparemos de uno de los aspectos de la Gravitación y dicho aspecto es la FUERZA DE ATRACCION GRAVITATORIA o FUERZA GRAVITACIONAL fg existente entre la tierra y los cuerpos situados sobre o cerca de su superficie. Por lo expuesto podemos decir que: “La Fuerza de Atracción Gravitatoria o Fuerza Gravitacional que la tierra ejerce sobre cualquier cuerpo próximo a su superficie, se denomina PESO DEL CUERPO ”. Esta fuerza gravitacional fg actúa en una dirección vertical y hacia abajo, es decir dirigida siempre hacia el centro de la tierra. Puesto que el peso es una fuerza está sujeto a la definición matemática expresada en la segunda ley de Newton, entonces la magnitud del peso estará dada por el producto entre la masa del cuerpo y la magnitud de la aceleración.

F = fg = m a

fg = m g fg = m g

Como todos los cuerpos en las proximidades de la tierra caen con la aceleración de la gravedad cuyo módulo es a = g, donde g 9.8[m/s2] 32[ft/s2] entonces la magnitud del peso se determinará como el producto entre la masa y la gravedad, es decir:

fg = m g Debido a que la aceleración de la gravedad varía de un lugar a otro de la tierra, el peso de un cuerpo es diferente en lugares distintos de la tierra, siendo máximo en los polos, donde la aceleración de la gravedad tiene su máximo valor, y mínimo en el ecuador. De cualquier manera para los fines de nuestro estudio supondremos la gravedad como constante, salvo aclaración. Dado que el peso es una fuerza, sus unidades corresponden alas de la fuerza, es decir: el Newton, [N], la libra, [lb] y la dina, [dina]. 1.6. TERCERA LEY DE NEWTON – LEY DE LA ACCION Y LA REACCION “Si dos cuerpos interaccionan, la fuerza del cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 es igual y opuesta a la fuerza del cuerpo 2 sobre el cuerpo 1.”. Es decir que: “a toda acción corresponde una reacción igual pero de sentido opuesto”. Este principio posibilita el estudio de la acción mutua entre dos cuerpos. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, este sufre por parte del otro cuerpo, inmediatamente una reacción.

21F

12F

2

1

2112 FF

Sean dos cuerpos, 1 y 2 como ilustra la figura:

12F

2 1 F F 2 1

21F

3

Aplicando una fuerza F al bloque 1, éste ejerce en el bloque 2 una fuerza 12F , mientras que el bloque

2 responde al bloque 1 con una fuerza de 21F , de la misma intensidad, la misma dirección pero de

sentido contrario, es decir:

12F = 21F

De igual manera se ejercen las Fuerzas de Reacción Normales entre cada uno de los bloques y el piso (cuerpo 3), iguales en magnitud pero de sentido contrario. Entonces el ejemplo más claro de esta ley constituye la Fuerza de Reacción Normal, a la que denominaremos simplemente como “Normal” (N). Esta fuerza supone la interacción entre dos cuerpos


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en contacto y es perpendicular () al plano de las superficies en contacto, como se puede observar en los siguientes diagramas de fuerzas normales.

Interacción entre el Cuerpo 1 y el Cuerpo 2.

Fuerzas de Reacción Normal “N”ejercida por un Cuerpo sobre el otro.

NNCuerpo 1N

N

Cuerpo 2 (Piso)

Estrategia De Resolución De Problemas Para la resolución de problemas, procederemos de la siguiente manera: 1º. Lectura de comprensión del problema. 2º. Toma de datos e incógnitas. 3º. Efectuar un Diagrama de Cuerpo Libre (DCL). (*) 4º. Planteo de ecuaciones: Segunda ley de Newton (y Ecuaciones Cinemáticas si fuese necesario). 5º. Solución. (*) Diagrama De Cuerpo Libre: El diagrama de cuerpo libre (DCL) se refiere a la representación gráfica de las fuerzas externas que actúan directamente sobre el cuerpo elegido. Para efectuar un buen diagrama de cuerpo libre (DCL) se elige un cuerpo o un punto “libre” del resto del sistema y se siguen rigurosamente los siguientes pasos: 1º. Definir el PLANO DEL MOVIMIENTO (PM). Esto implica definir su sistema de referencia (ejes

perpendiculares entre sí). En éste sistema de referencia se ubicarán todas las fuerzas que actúan en el cuerpo que citamos a continuación.

2º. fg = m g. Fuerza gravitacional (peso), siempre vertical. 3º. N. Fuerza de reacción normal del plano sobre el cuerpo elegido. Esta fuerza normal existe si existe

contacto con alguna superficie, y es perpendicular ( ) al PLANO DE CONTACTO O APOYO (PC).

4º. fs s N ó fk = k N. Fuerza de fricción (estática o cinética respectivamente), paralela ( // ) al PLANO DE CONTACTO (PC) o PLANO DE APOYO pero de sentido contrario al movimiento. Esta fuerza existe si 0.

5º. Fext , T. Fuerzas externas aplicadas al cuerpo en cuestión y/o tensiones de cuerdas existentes. 6º. Descomposición vectorial (si es necesario) de: 2º, 3º, 4º y 5º, en los ejes del PLANO DEL

MOVIMIENTO (PM). Ejemplo: consideraremos una masa m = 10[kg], que se desliza a lo largo de un plano horizontal y liso ( = 0 ; f = 0) bajo la acción de una fuerza F = 100[N] que forma un ángulo de 30° por encima de la horizontal tal como lo muestra la figura. Se pide: a) Efectuar un Diagrama de cuerpo libre (DCL). b) Determinar la aceleración de la masa y la

Fuerza de Reacción Normal “N”. c) Si el cuerpo parte del reposo, ¿qué velocidad

tiene al cabo de recorrer 10[m]?, ¿y al cabo de 15[s]?.

30°

F ( 100[N] )

m


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Solución: a) Para efectuar el Diagrama de cuerpo

libre (DCL) consideramos al bloque como una partícula con masa y seguimos rigurosamente los pasos indicados en el DCL anteriormente. Primero procedemos a trazar el primer eje, correspondiente al del PLANO DEL MOVIMIENTO (PM), que en este caso es horizontal (eje “x”), y luego el resto de los ejes (todos perpendiculares entre sí). A continuación representamos todas las fuerzas, tal como indicamos en el siguiente diagrama de cuerpo libre.

30°

F = 100[N]

Fx = 100 cos 30°

Fy = 100 sen 30°

fg = m g

N

y [N]

x [N] (PM)

b) Para determinar la aceleración “a” y la fuerza de reacción Normal “N” del bloque planteamos las ecuaciones expresadas matemáticamente por la segunda ley de Newton. Observemos que la aceleración según la dirección del eje “y” es cero (ay = 0). Fx 100 cos 30° = m ax (1) Fy N + 100 sen 30° - m g = m ay (2)

De la ecuación (1) se tiene: ax = 10

30cos100 ax = 8.66 [m/s2]

De la ecuación (2) se tiene: N = 10 (9.8) – 100 sen 30° N = 48[N] c) Para determinar la aceleración recurrimos a las ecuaciones del movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado, puesto que la fuerza resultante horizontal (Fx) es constante y en consecuencia producirá una aceleración horizontal también constante y en la misma dirección.

xavv Δ2 x2

ox2

fx

m/s161310)8.66(2010v .2

Para determinar la velocidad a los 15[s], escribimos la ecuación de velocidad en función del tiempo:

m/s129.90(15)8.66

tΔ

1515 v0v

avv xoxfx

1.7. FUERZAS DE FRICCIÓN O ROZAMIENTO Si lanzamos un bloque de masa “m” con una velocidad inicial a lo largo de una mesa horizontal larga, tarde o temprano la masa llegará al reposo. Esto significa que, mientras se está moviendo, experimenta una aceleración media a que apunta en sentido contrario a su movimiento puesto que la masa se detiene y por lo tanto la debe existir una fuerza que se oponga a ese movimiento, en el caso que analizamos podemos afirmar sin temor a equivocarnos que la mesa ejerce una fuerza denominada de fricción o rozamiento sobre el bloque puesto que no tenemos otro agente que detenga a la masa. En realidad, cuando la superficie de un cuerpo se desliza sobre otro, los dos cuerpos ejercen una fuerza de fricción entre ellos. Es importante destacar que la fuerza de fricción supone una interacción entre dos cuerpos necesariamente. La fuerza de fricción de cada cuerpo es de sentido opuesto a su movimiento relativo al otro cuerpo. Las fuerzas de fricción se oponen automáticamente a este movimiento relativo y nunca contribuyen a él. Aún cuando no exista un movimiento relativo, pueden existir fuerzas de fricción entre superficies. En definitiva: la fuerza de rozamiento o de fricción “ f ” es una fuerza que se opone al movimiento.


47 Física

y aproximado en sus predicciones. Para encontrar el valor de la fricción recurriremos a un

rizontal.

Para determinar la expresión de la fuerza de fricción en función de las propiedades del cuerpo y de su entorno, consideraremos el deslizamiento (no el rodamiento) de una superficie seca es decir no lubricada sobre otra. La fricción a nivel microscópico es un fenómeno muy complicado de carácter empírico ejemplo. Consideraremos: Una superficie plana y ho Un bloque de masa “m”.

Una fuerza F de dirección horizontal y magnit

F m ud variable

m”. desde cero, que actúa sobre el bloque de masa “ El bloque se encuentra inicialmente en reposo.

Procederemos a efectuar el DCL, teniendo en cuenta que la fuerza de fricción es una fuerza que se produce entre las superficies en contacto y de sentido contrario al movimiento o al posible movimiento.

Fx = F - f = m ax

Fy = N - m g = m ay

N = m g

f = F

N

F

fg = m g

y [N]

x [N] (PM)

f

= 0

= 0

Al empezar a crecer la magnitud de la fuerza desde cero, encontramos que el bloque se encuentra en reposo inicialmente; durante este período las fuerzas de fricción que actúan entre las superficies en contacto se denominan fuerzas de rozamiento estática f = fs y por las ecuaciones se cumple que fs = F. Llegará un momento en que el bloque sale del reposo y comienza a acelerar. Una vez que se ha iniciado

el movimiento, si disminuimos el valor de la magnitud de la fuerza ( F = 1 F ) hasta un determinado

valor, es posible mantener el movimiento del bloque sin acelerar (x

a = 0), es decir con velocidad

constante y las fuerzas de rozamiento (f = fk) entre las superficies en movimiento se denominan fuerzas

la máxima fuerza de fricción estática fs,

(par Acción – Reacción,

te que

de fricción cinética o dinámica y se cumple que fk = 1 F . Usualmente la fuerza fk < fs. Se ha determinado experimentalmente en el laboratorio, que entre cualquier par de superficies en contacto y no lubricadas: Es aproximadamente independiente del área de contacto, dentro de límites amplios. Es proporcional a la Fuerza de Reacción Normal “N”. Como los cuerpos nunca son enteramente

rígidos, y cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo que no puede moverse en la dirección de la fuerza, cada cuerpo empuja en contra para evitar ser estirado o deformado3° ley de Newton); en nuestro caso la normal es igual al peso del bloque.

Depende del estado y de la naturaleza de las superficies en contacto (veremos más adelanesto se traduce en una constante denominada coeficiente de rozamiento ), es decir:


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Depende del estado de pulimento de las superficies en contacto, de la limpieza de las

rza de Reacción Normal “N”, se llama coeficiente de fricción estática “s”. Entonces podemos escribir:

superficies, de la temperatura y la humedad. Depende del tipo de material del que están hechas las superficies en contacto.

También se pudo determinar que la razón entre la máxima fuerza de fricción estática fs y la magnitud de la Fue

Nμf ss

La fuerza de rozamiento cinética fk, sigue las mismas leyes que los de la fricción estática, es decir que es aproximadamente independiente de la extensión de las superficies; es proporcional a la Normal; depende del estado y naturaleza de las superficies en contacto, pero además es razonablemente

nces la magnitud de la fuerza de rozamiento o de fricción cinética se determina de la siguiente manera.

independiente de la velocidad relativa con que las superficies se mueven entre sí. La relación entre la magnitud de la fuerza de fricción cinética fk y la magnitud de la Fuerza de Reacción Normal (N) se llama coeficiente de rozamiento o fricción cinética “k”. Ento

Nμf kk

Tanto s como k son constantes sin dimensión. Por lo general, para un determinado par de superficies aunque por lo general son menores que 1.

o se puede

s > k, sus valores pueden exceder la unidad,

En nuestro problema, esta descripción de la interacción entre las dos superficies en contacto traducida en la fuerza de rozamiento puede graficarse, expresando para este problema a la fuerza de rozamiento en función de la fuerza “F” que tiende a provocar y finalmente provoca el movimiento de la partícula, com

f [N]

fs = s N = s mg

k = k N =

observar en la gráfica. F [N] (aplicada) 0 F´ > F F

f k mg

fs < s N La partícula no se mueve

La partícula comienza a moverse

es: “f < N” (parte plana de la curva), valor que

aduras, las cuales se vuelven a formar continuamente según va habiendo ocasión de nuevos contactos.

Obsérvese, que mientras la partícula está “lejos” de ponerse en movimiento se cumple: “fs < s N” (zona de la curva con pendiente positiva), y a medida que la Fuerza “F” aumenta la fuerza de rozamiento también va creciendo hasta el momento en que el movimiento es inminente el cual corresponde a una fuerza de rozamiento: “fs = s N” (punto más elevado de la curva). Al seguir aumentando la fuerza aplicada el cuerpo, éste comienza a acelerar y la fuerza de rozamiento pasa a ser una fuerza de rozamiento cinética cuya magnitud k k

mantendrá mientras permanezca en movimiento. La fricción tiene una base microscópica. Las superficies de los cuerpos en contacto, en la escala atómica y aún las superficies mas finamente pulidas, están muy lejos de ser planas. Podríamos creer que cuando dos cuerpos están en contacto, el área microscópica de contacto real es mucho menor que el área verdadera de la superficie. El área (microscópica) de contacto real es proporcional a la fuerza Normal, porque los puntos de contacto se deforman plásticamente bajo los grandes esfuerzos que se desarrollan en ellos. Muchos puntos de contacto realmente resultan “soldados en frío”. Este fenómeno, llamado adhesión superficial, ocurre a causa de que los puntos de contacto de las moléculas en lados opuestos de la superficie están tan próximos entre sí que ejercen fuerzas intermoleculares fuertes entre ellas. Cuando un cuerpo es arrastrado por encima de otro, la resistencia por fricción se asocia con la rotura de estos miles de pequeñísimas sold


49 Física

Se han efectuado pruebas con indicadores radioactivos y se ha demostrado que, en el proceso de la rotura, pequeños fragmentos de una de las superficies pueden ser cortados y adherirse a la otra superficie. Si la velocidad relativa de las superficies en contacto es suficientemente grande, puede haber fusión local en ciertas áreas de contacto y sentirse en la superficie moderadamente tibia. El fenómeno de “pegarse y resbalar” es el causante de los ruidos que hacen las superficies secas cuando se deslizan una contra la otra como, por ejemplo, el chirrido de la tiza contra el pizarrón.

Una de las soldaduras en frío

Ejemplo: Un bloque de masa “m” se encuentra en reposo sobre un plano inclinado que forma un ángulo “” con la horizontal como se muestra en la figura. Cuando el ángulo de inclinación se eleva, se halla que el deslizamiento apenas comienza a un ángulo de inclinación s = 15° ¿Cuál es el coeficiente de fricción estático s entre el bloque y el plano?.

m

Solución: Efectuamos el Diagrama de cuerpo libre (DCL), trazando primero el primer eje correspondiente al del PLANO DEL MOVIMIENTO (PM), que en este caso es el del plano inclinado (eje “x”) (observemos que el PLANO DE CONTACTO (PC) O APOYO es el mismo que el del plano del movimiento), y luego trazamos el resto de los ejes (todos perpendiculares entre sí), donde solo se puede observar el eje “y” puesto que el eje “z” no se lo puede observar. A continuación representamos todas las fuerzas, tal como se indica en la figura, primero el peso (siempre vertical), luego la Normal (perpendicular al plano de apoyo) y por último la fuerza de rozamiento opuesta al probable movimiento, y al no existir más fuerzas procedemos con la descomposición vectorial de aquellas fuerzas que no se encuentran en los ejes principales, en nuestro caso solo es el peso.

N

m g sen

fg = m g

y [N]x [N]

(PM) - (PC)

fs = s N

m g cos

Por último procedemos a plantear las ecuaciones del movimiento, tomando en cuenta que la aceleración en las direcciones consideradas es cero y procedemos a resolver determinando el coeficiente de rozamiento estático.


50 Física

Fx = m g sen s - s N = m ax

Fy = N - m g cos s = m ay

N = m g cos 15°

s = N

sen g m 15 =

15

15

cos g m

sen g m

s = tan 15° = 0.268

= 0

= 0

1.8. SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA AL MOVIMIENTO CIRCULAR En el estudio del Movimiento Circular y particularmente en el análisis de la velocidad tangencial, se pudo evidenciar que al ser este un vector, la variación de su módulo y de su dirección daba como resultado la presencia de una aceleración tangencial y centrípeta (o normal) respectivamente de tal manera que la composición de ambas se constituye en lo que hemos denominado como aceleración instantánea o total. La variación o no de la rapidez dependerá de la existencia o “inexistencia” de una fuerza resultante en

la dirección del eje tangencial, denominada como fuerza tangencial (t

F = m t

a ), la cual va cambiando

de dirección de manera permanente y tangencialmente a la trayectoria circular, obligando a la velocidad a cambiar de rapidez y eventualmente de sentido de rotación. También se manifestó que la razón de la existencia de la aceleración centrípeta se debía al cambio de dirección de la velocidad, este cambio de dirección es debido a la presencia de una fuerza resultante en la dirección radial,

denominada Fuerza centrípeta (c

F = m c

a ), que obliga a la velocidad a cambiar de dirección. Ambas

fuerzas (centrípeta y tangencial) son las componentes de la fuerza instantánea o total “ F ”, por lo tanto y tomando en cuenta la expresión general de la segunda Ley de Newton se puede expresar que dichas fuerzas resultantes serán:

0amF

amF

rωmrv

mamF

amF

CircularMovimientoelenNewtondeLey2ª

tt

cc2

2

La tercera fuerza resultante “ F ”expresada en las ecuaciones precedentes, es la fuerza perpendicular

al plano del movimiento circular y representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un tercer eje (los dos primeros son los ejes tangencial y radial), este eje será denominado como eje perpendicular

al plano del movimiento circular y donde su aceleración es cero por tratarse de un movimiento

circular.

a

La fuerza centrípeta “c

F ” y la fuerza tangencial “t

F ” como componentes de la fuerza total F y

considerando el sistema natural de referencia del movimiento circular, constituido por los ejes

tangencial y radial y sus respectivos vectores unitarios ( tu y cu ), se puede expresar vectorialmente de

la siguiente manera:


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ttcc uFuFF

El módulo de la fuerza resultante F se determina de acuerdo al teorema de Pitágoras y su dirección como el arcotangente de la razón entre la fuerza tangencial y la fuerza centrípeta, éste ángulo es el ángulo formado entre la fuerza total y el radio (o la aceleración centrípeta), tal como se muestra a continuación. El módulo de la fuerza total, también puede calcularse como el producto de la masa por la magnitud de la aceleración total, por otro lado se puede demostrar que el ángulo entre la aceleración total y el radio es el mismo ángulo que el de la fuerza total y el radio.

2t

2c FFF y

c

t

F

F1tan

tF

Eje Tangencial

Eje Radial

y

x

cF

Fm

Observese que en el MCUV la aceleración tangencial es constante (en módulo y sentido) debido a que la fuerza tangencial es constante y en el MCNU la aceleración tangencial es variable debida a una fuerza tangencial variable, pero de cualquier manera implica una aceleración total variable para cada instante debido a la presencia de una fuerza total variable, debida principalmente a la fuerza centrípeta variable que cambia en cada instante, y la presenciad de la fuerza tangencial que provoca el cambio de rapidez. En un MCU la componente tangencial es cero (fuerza o aceleración), luego la rapidez tangencial es constante lo cual se traduce en una fuerza centrípeta (radial o normal) de módulo constante y por lo tanto una fuerza total igual a dicha fuerza y con un ángulo cero entre la fuerza total y el radio, es decir que se encuentra sobre el eje radial. PREGUNTAS RESUELTAS

1. En la ecuación F = m a ¿Qué representa F ?

Respuesta: F representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto

m 1F

2F

3F

nF

F = 1F + 2F + 3F + ……… + nF

En forma compacta

n

1i

FF i

2. ¿Que es la inercia? Respuesta: La inercia en general representa la oposición al cambio de estado. En particular en física representa el grado de oposición que presenta un objeto al cambio en su estado de movimiento, es decir, al cambio de su velocidad.

3. ¿Que cantidad física nos da la inercia al movimiento de traslación de un objeto? Respuesta: La cantidad física que determina la inercia o grado de oposición de un objeto al cambio en su estado de movimiento traslacional es la masa. Cuanto más grande es la masa de un objeto mas difícil es cambiar su velocidad, en otras palabras, a mayor masa menor aceleración.

4. ¿Cuales son las características de una cuerda ideal? Respuesta: Una cuerda ideal tiene dos características: a) Su masa es cero; b) Su longitud es constante, es decir, es inextensible

5. ¿Cómo es la magnitud de la tensión en cualquier punto de una cuerda ideal?. Respuesta: La magnitud de la tensión en cualquier punto de una cuerda ideal es la misma.


52 Física

Explicación: Suponga que CD es una cuerda tensa, A y B dos puntos cualesquiera que definen el pedazo de cuerda AB.

A B

C D

Al estar la cuerda tensa el pedazo AB es sometido a una tensión TB hacia la derecha y a una tensión TA hacia la izquierda. El DCL del pedazo AB será:

TA TB

Aplicando la segunda ley de Newton y tomando en cuenta que la masa de la cuerda es cero TA – TB = 0 TA = TB

6. ¿Como son las magnitudes de las aceleraciones de dos puntos cualesquiera de una cuerda ideal? Respuesta: Las magnitudes de las aceleraciones de dos puntos cualesquiera de una cuerda ideal son las mismas Explicación: Suponga que “CD” es una cuerda tensa, “A” y “B” dos puntos cualesquiera que definen el pedazo de cuerda “AB”. Vamos a suponer que la cuerda comienza a moverse desde el reposo, el tiempo de movimiento para ambos puntos es el mismo.

A B

C D

Como la cuerda no se puede estirar ni encoger los desplazamientos ΔxB de “B” y de ΔxA de “A” deben ser iguales. ΔxB = ΔxA (1) Como: ΔxB = ½ aBt2 y ΔxA = ½ aAt2 Reemplazando en (1): ½ aBt2 =½ aAt2 Simplificando resulta: aB = aA

7. ¿Qué papel juegan las poleas ideales fijas?. Respuesta: Las poleas ideales fijas solo cambian la dirección de la tensión en la cuerda

8. ¿Qué papel juegan las poleas ideales móviles? Respuesta Las poleas ideales móviles actúan como divisores de tensión.

T2

T2

T1 Cuerda dos Cuerda uno

Explicación: Sobre la polea móvil actúan dos cuerdas, la cuerda uno aplica la tensión T1 hacia la derecha y la cuerda dos actúa dos veces sobre la polea, aplicando dos veces la tensión T2 hacia la izquierda,

T2

T2

T1

Por tanto su DCL será el que se muestra en la figura. Aplicando la segunda ley de Newton tenemos:

T1 2T2 = m a Pero la polea ideal no tiene masa resulta:

T1 2T2 = 0 De donde:

T2 =½ T1


53 Física

Es decir La tensión “T1” se divide en dos partes iguales ó: T1 = 2 T2 9. ¿En base a que postulado se construye el DCL de un objeto?

Respuesta: El DCL de un Objeto se construye en base al principio de acción y reacción o tercer postulado de Newton, el nos permite fijar la dirección y sentido de las fuerzas, el número de fuerzas es igual al número de interacciones a las que esta sometido el objeto.

10. ¿Que es la fuerza centrípeta? . Respuesta: Se llama fuerza centrípeta a la suma de todas las componentes radiales de las fuerzas que actúan sobre un objeto que se encuentra en movimiento circular. Se entiende por componente radial de una fuerza a la componente de dicha fuerza en la dirección del radio, la componente es positiva si esta dirigida hacia el centro de la trayectoria circular y negativa si va del centro hacia fuera.

11. Suponga que una bolita sujeta a una cuerda gira en un círculo vertical ¿Cual será la fuerza centrípeta?: a) En “A” el punto más bajo. b) En “B” el punto mas alto. c) En el punto “C” de la figura

A

T

C C

m g

T

C C

m g

B

m g cos θ

m g sen θ

T

C C

m g

C θ

Respuesta: Usando la definición de fuerza centrípeta obtenemos para cada uno de los diagramas las siguientes ecuaciones:

Fc = T m g Fc = T + m g Fc = T m g cos 12. ¿Qué relación existe entre la fuerza centrípeta (también llamada componente normal de la fuerza) y

la aceleración centrípeta?. Explicación: De acuerdo a la segunda ley de Newton:

Fc = m ac En el ejemplo del problema 10: En el punto A: gmTFc

camgmT

En el punto B: gmTFc

camgmT

En el punto C: CosgmTFc

camCosgmT

13. ¿Qué relación existe entre la aceleración centrípeta ac y: a) La velocidad lineal del objeto, b) La velocidad angular del objeto? Respuesta:

a) r

va

2

c

Donde “v” es la velocidad lineal y “r” es el radio de la trayectoria circular.


54 Física

b) Como: v = r

r

rωa

22

c ac = 2 r

14. ¿Cómo se calcula el modulo de la aceleración total en términos de las aceleraciones tangencial at y centrípeta ac?.

Respuesta: Como las direcciones de tangencial y radial son perpendiculares, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el modulo de de la aceleración total ver figura

2c

2t )a()a(a

Dirección radial

Dirección tangencialca

ta

a

15. Si a un cuerpo que esta apoyado en una superficie horizontal rugosa se le aplica una fuerza horizontal “P”y el cuerpo permanece en reposo.¿Cuanto vale la fuerza de fricción? Respuesta: Como el bloque permanece en reposo la fuerza “P” es anulada por la fuerza de fricción “fs” que actúa en sentido opuesto a “P” y por lo tanto su magnitud o tamaño es igual a la magnitud de “P”

Pfs

La magnitud de la fuerza de rozamiento estática siempre es igual a la magnitud de la fuerza neta aplicada en la dirección paralela al plano de apoyo

16. ¿Como se calcula la fuerza de rozamiento cinética? Respuesta: La fuerza de rozamiento cinética se calcula por medio de la siguiente expresión:

Nμf kk

Donde es el coeficiente cinético de fricción y “N” la fuerza de contacto normal entre el bloque y la superficie de apoyo

kμ

17. ¿Cómo se calcula la fuerza elástica? Respuesta: La fuerza elástica se calcula por medio de la llamada ley de Hooke la cual está dada por la expresión:

xkFel

Donde “k” es la constante elástica del resorte, medida en unidad de fuerza por unidad de longitud por ejemplo [N/m] y “x” es el estiramiento del resorte medido en unidades de longitud, por ejemplo [m].

18. ¿Qué representa la expresión Nμf ss ?

Respuesta: Es el valor del máximo valor que puede tener la fuerza de rozamiento estática.

PROBLEMAS RESUELTOS

1) ¿Cuál pesa más, un objeto de 1[kg] de masa o un objeto que pesa 9.8[N]?. R: Pesan igual El peso de un objeto de masa “m”, está dado por fg = m g

si “m” es 1[kg]

22g s

mkg8.9

s

m9.8xkg1f [N] 9.8fg

2) ¿Cuál es la masa en [kg] de un objeto que pesa 1[N]. R: 0.102[kg]


55 Física

Solución El peso de un objeto en un sistema en reposo o en movimiento uniforme es:

gmfg

De donde

g

fm g (1)

Unidades

kg

s

m

s

mkg

s

m

]N[m

2

2

2

Reemplazando los datos en (1)

8.9

1m ]kg[ 102.0m

3) ¿Cuál es la masa en [kg] de un objeto que pesa 1[lb]? R: 0.453[kg] Solución Usando la tabla de conversiones vemos que, 1[lb] = 4.448[N]. Y como el peso es gmfg

gm

fg kg

s

m

s

mkg

s

m

]N[m

2

2

2

Reemplazando valores y 448.4fg 807.9g

807.9

448.4m ]kg[ 4535.0m

4) La fuerza que ejerce el piso sobre un bloque apoyando en él es 600[N]. ¿Cuál es la masa del objeto? R: 61.22[kg]

Solución Cuando un bloque está apoyado sobre el piso, el piso ejerce una fuerza “N” dirigida hacia arriba sobre el bloque. Además sobre el bloque actúa la fuerza gravitacional mg hacia abajo. Por tanto el DCL. del bloque será tal como se muestra en la figura. Como el bloque no se mueve:

yy maF 0mgN

Nmg g

Nm

N

mg

y

x


56 Física

Unidades

kg

s

m

s

mkg

s

m

]N[m

2

2

2

Reemplazando valores:

8.9

600m ]kg [ 22.61m

5) ¿Con qué fuerza en [kg-f] (kilogramo fuerza), atrae la Tierra a un objeto que pesa 4.9[N]? R: 0.5[kg-f] Solución El peso es

gmfg g

fm g

Unidades

kg

s

m

s

mkg

s

m

]N[m

2

2

2

Reemplazando valores

]kg [ 5.08.9

9.4m

Como el kg-f es la fuerza con que la Tierra atrae a 1 kg de masa, por lo tanto el kg-f equivale a 9.8[N].

] fkg [ 5.0] N [ 9.8

] fkg [ 1] N [ 9.4] N [ 9.4

] fkg [ 5.0]N [ 9.4 6) ¿Cuál es el peso en libras de un bloque de 3[kg]?.

R: 6.61[lb] Solución Un bloque de 3[kg] pesa

mgW

2s

mkg 8.93W N 4.29W

La equivalencia entre libras y newtons es: N 448.4lb 1

N448.4

lb 14.29N 4.29

]lb [ 61.6N 4.29

Un bloque de 3 kg pesa 6.61[lb]. 7) ¿Cuál es el peso en newtons de un bloque de 3[kg], si un niño ejerce sobre el bloque una fuerza

hacia arriba de 1[N]? R: 24,4 N.


57 Física

Solución Suponga que el bloque está sobre una balanza cuando el niño aplica una fuerza “P” de 1[N] hacia arriba, entonces sobre el cuerpo actúa “P” hacia arriba, la fuerza N hacia arriba y la fuerza gravitacional hacia abajo. Su diagrama de cuerpo libre es: Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección “y”.

N

mg

y

x

F

yy maF

Como el cuerpo no se mueve: 0mgPN

PmgN Unidades:

Ns

mkgN

2

NN Reemplazando valores

18.93N N 4.24N

Sabiendo que el peso es la fuerza que la balanza ejerce sobre el bloque, es decir “N”, por tanto NW N 4.24W

8) Un bloque cuelga de un techo mediante una cuerda ideal, la masa del bloque es m = 10[kg]. ¿Qué fuerza en newtons ejerce la cuerda sobre el techo. a) 100 [N] b) 98 [N] c) 49 [N] d) 196 [N] e) Ninguna R: b) Solución Tratándose de un sistema en equilibrio estático la suma de fuerzas sobre el bloque y sobre la cuerda debe ser cero:

0F Sobre el bloque actúa la fuerza “T” hacia arriba que ejerce la cuerda y la fuerza gravitacional “mg” hacia abajo, su DCL será. Sobre la cuerda el bloque ejerce la fuerza “T” hacia abajo (3ra ley de Newton) y el techo ejerce la fuerza T’ hacia arriba, su DCL será

y

x

T

m g


58 Física

Como la cuerda es ideal, no tiene masa. Aplicando la segunda ley al bloque que esta en reposo tenemos

0mgT mgT (1)

en la cuerda: 0TT

TT (2) Reemplazando (1) en (2):

mgT

T’

T

y

x

Unidades

2s

mkgT NT

Reemplazando valores N 8.910T N 98T

9) Un niño jala horizontalmente un carrito, de manera que se mueve con velocidad constante v=0.3[m/s]. La fuerza horizontal “P” que ejerce su mano en el agarrador del carrito es de 10[N]. La fuerza retardadora total (en newton) sobre el carrito será: a) 9.3 [N] b) 10.3 [N] c) 10.0 [N] d) 8.3 [N] e) Ninguna R: c) Solución Como la velocidad del carrito es constante.

0yF

0xF0F

Sobre el bloque actúa la fuerza gravitacional “mg” hacia abajo, la fuerza de contacto “N” hacia arriba que ejerce el suelo sobre el carrito, la fuerza horizontal P hacia la derecha y la fuerza de rozamiento fk que ejerce el suelo sobre el carrito. El diagrama de cuerpo libre del carrito será: en “y”:

0mgN en “x”:

0fP k Pfk

Reemplazando valores: N 10fk

y

x

N

m g

P f k

10) De una viga, apoyada en dos paredes, cuelga el bloque “B” y de él cuelga el bloque A. ¿Cuál es la tensión, en newtons, en las dos cuerdas? Los bloques tienen la misma masa m = 5 kg. a) TA = 49 [N]

TB = 98 [N] b) TA = 98 [N]

TB = 49 [N] c) TA = 49 [N]

TB = 49 [N] d) TA = 98 [N]

TB = 98 [N] e) Ninguna

R: a) Solución Como en un sistema en equilibrio, la suma de las fuerzas es cero

0F (1) Construyamos el DCL de “A” y “B”. Sobre “A” actúa la gravedad que lo jala para abajo y la acción de la cuerda entre los bloques que lo jala para arriba.


59 Física

y

x

TA

m g

A y

x

TB

m gTA

B

Sobre “B” actúa la fuerza gravitacional mg, dirigida hacia abajo, la tensión “TA” hacia abajo que ejerce la cuerda entre los bloques y la tensión “TB” hacia arriba que ejerce la cuerda entre la viga y el bloque “B”. Aplicando (1): Bloque “A”:

0mgTA mgTA (2) Unidades:

Ns

mkgT

2A

Bloque “B”: 0mgTT AB

mgTT AB (3) Reemplazando (2) en (3):

mg2TB (4) Unidades

Ns

mkgT

2B

Usando los datos del problema. De (2)

8.95TA N 49TA De (4)

8.952TB N 98TB 11) Un niño jala horizontalmente un resorte, la fuerza P que ejerce el niño es de 100[N]. Si suponemos

que el resorte es ideal y está en equilibrio. a) ¿Cuánto se estira el resorte, en metros, si la constante elástica es k = 500[N/m]?. b) ¿Qué fuerza Q, en newtons, ejerce la pared sobre el resorte?. a) 0.1 - 200 [N] b) 0.2 - 100 [N] c) 0.4 - 50 [N] d) 0.4b- 200 [N] e) Ninguna R: c) Solución Como se trata de un sistema en equilibrio, la suma de fuerzas es cero

0F Construyamos el DCL del resorte. Sobre el resorte actúa la fuerza P que ejerce el niño y la fuerza Q que ejerce la pared

P Q

B A

Los puntos “A” y “B” también están en equilibrio. Sobre el punto “B” actúan la fuerza elástica hacia la izquierda y la fuerza “P” hacia la derecha.


60 Física

y

x kx B P

y

x Q A kx

Sobre el punto “A” actúa la fuerza “kx” del resorte hacia la derecha y la fuerza “Q” de la pared hacia la izquierda. Del diagrama de “B”:

0kxP kxP (1) Del diagrama de “A”:

0Qkx kxQ (2) De (1):

k

Px

Unidades:

m

mNN

x

500

100x m 2.0x

De (1) y (2): PQ

Con P = 100 N N 100 Q

12) A un bloque de 10[kg] de masa se le aplica una fuerza horizontal P = 10[N] ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento, en newtons, si los coeficientes de fricción cinética y estática valen 2.0k y

3.0s ?

a) 10.0 [N] b) 19.6 [N] c) 29.4 [N] d) 9.8 [N] e) Ninguna R: a) Solución ¿El cuerpo está en reposo o en movimiento? El cuerpo se moverá si: (1) rMaxfP Y no se moverá si: rMaxfP (2)

La fuerza estática máxima está dada por Nf srMax (3)

Dibujemos el DCL del bloque. Sobre él actúa la fuerza horizontal P hacia la derecha y la fuerza de rozamiento “ f ” hacia la izquierda, hacia arriba la fuerza de contacto “N” y hacia abajo la fuerza gravitacional “mg”. La suma de fuerza en “y” debe ser cero

0mgN De donde:

mgN

y

x

N

m g

P f

Por tanto de (1) mgf srMax


61 Física

Unidades

Ns

mkgf

2rMax

Reemplazando valores )8.9()10(3.0f rMax N 4.29f rMax

Como P es menor que el bloque no se mueve. rMaxf

De la suma de fuerzas en “x”: 0fP r Pfr

Reemplazando valores: N 10f r

Es importante señalar que mientras “P” sea menor o igual a 29.4 (valor máximo de la fuerza de rozamiento) la fuerza de roce será igual a “P”. Si “P” fuese mayor a 29.4[N], el bloque se moverá y la fuerza de roce será igual a:

Nf kk

gmf kk )8.9()10(2.0f k

N 6.19fk 13) Una fuerza horizontal “P” de 100[N], mantiene al sistema, mostrado en la figura, en equilibrio.

¿Cuál es la masa del bloque, en kilogramos?

P A

50° B

d)a) 10.21 [kg] b) 20.42 [kg] c) 12.16 [kg] 13.33 [kg] e) Ninguna R: c) Solución Construyamos los DCL, para el bloque y para el nodo “A”. En el bloque actúan la tensión T1 y la fuerza gravitacional “mg” y en el nodo “A” actúa la fuerza “P” hacia la derecha, la tensión T1 hacia abajo y la tensión T2 de “A” hacia “B”. Como el sistema está en equilibrio, la suma de fuerzas debe ser cero. Del DCL del bloque:

50°

P

50°

T1

T2

A

m g

y

x

T1

0mgT1 mgT1 (1) Del DCL del nodo A, la suma de fuerzas en “y”:

0Tº50senT 12 (2) La suma de fuerzas en x

050cosTP 2 º50cosTP 2 (3)


62 Física

De (2):

º50sen

TT 1

2

Usando (1):

º50sen

mgT2 (4)

(4) en (3):

º50cosº50sen

mgP

g

º50tanPm

Unidades

kg

s

ms

mkg

s

m

Nm

2

2

2

Reemplazando los datos del problemas

8.9

º50tan100m kg 16.12m

14) El sistema que se muestra en la figura está en reposo y está formado por los bloques “A” y “B” de masas mA = 5[kg] y mB = 10[kg], las cuerdas que las sostienen son ideales. Si se corta la cuerda que las sujeta al soporte fijo “C”, ¿Cuál será la tensión, en newtons, en la cuerda que une los bloques?.

B

A

C

A

B

C

c)a) 0 [N] b) 49 [N] 98 [N] d) 147 [N] e) Ninguna R: a) Solución Como la cuerda es ideal no se estira, esto quiere decir que ambos objetos caen con la misma aceleración, además, si consideramos los dos bloques como un solo objeto, estarán en caída libre, es decir, su aceleración de caída es a = g. Realizando el DCL para el bloque A, tenemos que sobre A actúa la atracción gravitacional hacia abajo y la tensión T hacia arriba, horizontalmente no existe ninguna fuerza Aplicando la segunda ley de Newton.

y

x

T

m g

amF mamgT

Pero: : ga gmmgT 0T

15) Encuentre las aceleraciones, en m/s2, de los bloques m1 = 3 [kg] y m2 = 2 [kg], mostrados en la figura, asuma que no existe fricción.


63 Física

m 2

m 1

d)a) 29.40 [m/s2] b) 5.88 [m/s2] c) 9.80 [m/s2] 3.92 [m/s2] e) Ninguna R: b) Solución Como la cuerda es ideal, ambos bloques tienen la misma aceleración. Si consideramos que m1, m2 y la cuerda forman un sistema; la única fuerza externa que actúa en la dirección del movimiento es m1g. Aplicando la segunda ley de Newton:

amF Donde:

21 mmm

gmF 1 ammgm 211

21

1

mm

gma

Unidades:

2

2

s

m

kgs

mkg

a

Reemplazando datos:

5

8.93a

2s

m 88.5a

Comentario: Otra manera de resolver el problema es a partir de los DCL de cada bloque.

y

x

T

m 1 g

m 1 y

x

N

m 2 g

m 2

T

Aplicando la segunda ley de Newton a cada bloque y en cada una de las direcciones “y” y “x”, tenemos:

yy

xx

maF

maF

Para m1:

111 amgmT (1)


64 Física

Para m2:

22amT (2) Como en “y” no existe movimiento:

0gmN 2 Considerando que:

21 aa (3) De (1), (2) y (3):

amgmT 11

amT 2 Eliminando “T”:

amgmam 112 gmamm 121

21

1

mm

gma

16) Encuentre la aceleración, en [m/s2], del bloque de 4.0[kg] que se muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie de apoyo es 60.0μ .

y

x

P = 50 [N]

30º

d)a) 10.82 [m/s2] b) 4.95 [m/s2] c) 12.50 [m/s2] 8.69 [m/s2] e) Ninguna R: d) Solución Primero dibujaremos el DCL del bloque, luego descompondremos las fuerzas que no coinciden con los ejes del sistema de referencia indicado, a continuación verificaremos si el cuerpo se separó de la superficie de apoyo o no. Finalmente aplicaremos la segunda ley de Newton para encontrar la aceleración. El bloque está sometido a las siguientes fuerzas. P: Es la fuerza aplicada en la dirección dada. N: Es la fuerza de contacto normal a la superficie de apoyo sobre el bloque. mg: Es la fuerza gravitacional dirigida hacia abajo. f k: Es la fuerza de fricción hacia la izquierda ejercida por la superficie de apoyo sobre el bloque. El DCL será:

y

x

P

30º

N

f k

m g

Descompongamos “P” en “Px” en la dirección “x” y “Py” en la dirección “y”.


65 Física

y

x

P

30º

P sen 30º

P cos 30º

30cosPPx N 30.4330cos5030cosPPx

30senPPy N 2530sen5030senPPy

Verificamos si el cuerpo se levanta o no. La única fuerza hacia arriba es la componente “Py” y el bloque se levantará solo si “Py” es mayor a “mg”.

N 20.39)8.9()0.4(gm

N 25Py

Como “Py” es menor a “mg” el bloque no se levantará. Asumiremos en este problema que la componente “Px” es lo suficientemente grande como para garantizar el movimiento sobre la superficie de apoyo, así la fuerza de rozamientos será la fuerza de rozamiento cinética.

Nμf kk Aplicando ahora la segunda ley de Newton, según las direcciones “x” y “y”. En “x”:

xx maF

(1) mafP kx En “y”

yy mamgPN

Como el bloque no se levanta: 0a y

0mgPN y (2)

de (2)

yPmgN

La fuerza de rozamiento será: Nμf kk

ykk Pgmμf (3)

Reemplazando en (1) tenemos amPgmμP ykx

Despejando m

PmgPa yx

Unidades

2

2

s

m

kg

s

mkg

kg

Na

Reemplazando valores

40

252.396.030.43a

2s

m 69.8a


66 Física

17) Una señora de 60[kg], dentro de un ascensor, está de pie sobre una balanza de resorte muy exacta. ¿Cuál es la lectura de la balanza, en newtons, cuando el ascensor acelera: a) Hacia arriba con una aceleración de 3[m/s2]?. R: c) b) Hacia abajo con una aceleración de 3 m/s2? R: a) a) 408 [N] b) 588 [N] c) 768 [N] d) 180 [N] e) Ninguna Solución a) En este caso el ascensor sube con una aceleración a = 3 [m/s2], como la persona no se mueve

respecto al ascensor tiene la misma aceleración.

Construyamos el DCL de la persona, sobre ella actúa la fuerza de contacto N hacia arriba que ejerce la balanza y la fuerza gravitacional m g hacia abajo. Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección “y”:

yy maF

Como solo hay movimiento en tomemos: ay = a y

No olvide que “ ”representa la suma de fuerzas en la

dirección “y”. yF

y

x

N

m g

mamgN (1)

agmN Reemplazando datos:

38.960N

N 768N b) Para este caso cuando el ascensor acelera para abajo, la aceleración es negativa y lo único que

cambia es el signo de a, esto es: amgmN agmN

38.960N N 408N 18) En la figura, la tensión T en la cuerda horizontal que jala los bloques es de 50[N]. El coeficiente

cinético de rozamiento es 0.3 (la tensión es lo suficientemente grande como para garantizar el movimiento del sistema).

T

8 [kg] 3 [kg]

m 2 m 1

La aceleración de los bloques en [m/s2] será: a) 1.60 [m/s 2] b) 4.55 [m/s 2] c) 3.31 [m/s 2] d) 6.25 [m/s 2] e) Ninguna R: a) Solución Se asumió que las cuerdas son ideales, esto implica que la aceleración de ambos bloques es la misma y como ellas se están moviendo, la fuerza de fricción es la cinética, es decir

Nμf kk a seguir, aplicamos la segunda ley de Newton, según las direcciones “x” e “y”:

yy

xx

amF

amF

Donde “Fx” es la suma de fuerzas en “x” y “Fy” es la suma de fuerzas en la dirección “y”.


67 Física

Construyamos el DCL para m1 y m2. Sobre “m1” actúan horizontalmente la fuerza “T” hacia la derecha, “T1” hacia la izquierda, siendo “T1” la acción de la cuerda entre los bloques y la fuerza de rozamiento “f k1” hacia la izquierda. Verticalmente la fuerza de contacto normal “N1” hacia la izquierda ejercida por la superficie de apoyo, además, la fuerza gravitacional hacia abajo.

y

x

T 1T

N 1

f k 1

m 1 g

Sobre “m2” se tiene cuatro fuerzas. Horizontalmente “T1” hacia la derecha y la fuerza de rozamiento “f k2” hacia la izquierda. Verticalmente, la fuerza de contacto “N2” hacia arriba y ejercida por la superficie de apoyo sobre “m2” y la fuerza gravitacional “m2 g” hacia abajo.

y

x

T 1

N 2

f k 2

m 2 g

Aplicando la segunda ley de Newton, según los ejes “x” y “y”, para m1 tenemos: amfTT 11k1 (1)

0gmN 11 (2) Y para m2:

amfT 22k1 (3)

0gmN 22 (4) De (2) y (4):

gmN 11 gmN 22 Las fuerzas del rozamiento son:

1k1k Nμf gmμf 1k1k (5)

y:

2k2k Nμf gmμf 2k2k (6)

de (3): amfT 22k1 (7)

sustituyendo (5), (6) y (7) en (1): amgmμamgmμT 11k22k ammgmμgmμT 211k2k

21

21k

mm

gmmμTa

Unidades:

2

2

s

m

kg

s

mkg

kg

Na

Reemplazando los datos:


68 Física

11

8.9833.050a

2s

m61.1a

19) El sistema de la figura está formado por cuerdas ideales, la polea fija ideal y dos bloques. ¿Cuál será, en unidades del Sistema Internacional:

m 2

m 1

50 [kg]

10 [kg]

a) La tensión “T” en la cuerda que une a los bloques?. a) 490.00 [N] b) 392.00 [N] c) 163.33 [N] d) 588.00 [N] e) Ninguna R: c) b) La tensión “T1”en la cuerda que sujeta la polea?. a) 588.00 [N] b) 392.00 [N] c) 196.00 [N] d) 326.66 [N] e) Ninguna R: d) c) El tiempo que requieren las masas para moverse 50[cm] partiendo del reposo?. a) 0.153 [N] b) 0.102 [N] c) 0.319 [N] d) 0.391 [N] e) Ninguna R: d) Solución Primero construimos los DCL para los bloques y la polea, luego por aplicación de la segunda ley de Newton calculamos la aceleración de los bloques, las tensiones “T” y “T1”; a seguir, aplicamos la ecuación de la posición de los movimientos con aceleración constante para encontrar el tiempo solicitado. Sobre ambos bloques actúa la tensión hacia arriba y las fuerzas gravitacionales hacia abajo, “m1 g” para “m1” y “m2 g” para “m2”. Sobre la polea actúa la tensión “T1” hacia arriba debido a la cuerda que la une con el techo y por ambos lados de la polea la cuerda que une los bloques jala la polea con una fuerza “T” hacia abajo, en total “2T”. Los DCLs de “m1”, “m2” y la polea, serán:

y

x

T

m 1 g

m 1 y

x

T

m 2 g

m 2 y

x

T

Polea Móvil

T

T 1

Aplicando al segunda ley de Newton en la dirección “ ”, y tomando: yaa

maFy

Como “m1” sube: amgmT 11 (1)

Como “m2” baja: amgmT 22 (2)


69 Física

Como la polea está fija: 0T2T1 (3)

De (1): amgmT 11 (4)

(4) en (2): amgmamgm 2211

gmgmamam 1221

12

12

mm

gmma

Unidades:

2

2

s

m

kg

s

mkg

a

Reemplazando datos:

60

8.91050a

2s

m 533.6a (5)

Reemplazando (5) en (4): 533.6108.910T

N 3.163T de (3)

T2T1 33.1632T1 N 66.326T1 Para el inciso (iii) usará la ecuación

2ta2

1x

a

x2t

Unidades:

ss

smm

t 2

2

Como x = 50[cm] = 0.5[m] y a = 6.533[m/s2]

533.6

5.02t s 391.0t

20) Un pasajero a la espera de que su tren parta, observa un resorte que cuelga del techo del vagón. Por curioso cuelga un peso del resorte y mide el estiramiento que sufre, el cual resulta ser xo = 0.01[m]. Cuando el tren parte el pasajero observa que el resorte (con la masa colgada) se inclina formando un ángulo de 40° con la vertical y, además, que el estiramiento cambia. Intrigado por lo observado decide investigar la situación. El siente que el tren se está moviendo cada vez más rápido y concluye que está acelerando, entonces decide ver si puede calcular la aceleración del tren, en [m/s2], y el nuevo estiramiento del resorte, en metros. a) 6.30 [m/s2]

0.006 [m] b) 8.22 [m/s2]

0.010 [m] c) 7.50 [m/s2]

0.013 [m] d) 9.80 [m/s2]

0.007 [m] e) Ninguna

R.: a)


70 Física

Solución

a x o

40°

(a) (b) (c)

Construyamos el DCL del bloque, para la situación mostrada en la figura (b). Sobre él actúa la fuerza elástica “kxo” hacia arriba y la fuerza gravitacional “mg” hacia abajo.

kxo

m g

y

x

m

El DCL para la situación de la figura (c) cuando acelera hacia la derecha:

y

x

kx

mg

m 40°

Aplicando la segunda ley de Newton a ambos DCL. Del primero

0gmxk o

gmxk o (1)

Del segundo, descomponiendo kx en las dos direcciones x y y tenemos: k x cos 40º

mg

y

x m k x sen 40º

En “x”:

amº40senxk (2) En “y”:

0gmº40cosxk gmº40cosxk (3)

Dividiendo miembro a miembro (2) y (3):

gm

am

º40cosxk

º40senxk


71 Física

g

aº40tan

De donde: º40tanga


2s

m 22.8a º40tan8.9a

De (1) y (3):

oxkº40cosxk

º40cos

xx o


º40cos

01.0x m 013.0x

21) Para el sistema de la figura, calcule las aceleraciones de los bloques en [m/s2], desprecie la fricción y considere que la cuerda y poleas son ideales.

m1

m2

a) 4.90 [m/s2] b) 2.00 [m/s2] c) 9.80 [m/s2] d) 1.96 [m/s2] e) Ninguna R.: d) Solución ¿Serán iguales las aceleraciones de ambos bloques?. Para responder a esta pregunta, analicemos la situación mostrada en la figura. A partir de la condición de cuerda ideal, la longitud “l2” de la cuerda 2 es constante.

c

m1

m2

x1

x2

xp

x2i

x2f

xpi

xpf

En la posición inicial la longitud l2 está dad por:

i2pi2 xcx2l (1)

En la posición final la longitud “l2” está dada por:


72 Física

f2pf2 xcx2l (2)

Restando miembro a miembro (1) de (2) obtenemos: i2pif2pf xcx2xcx20

i2f2Pipf xxxx20

2p xx20

p2 x2x (3)

Considerando que los bloques parten del reposo: 2

22 ta2

1x (4)

2pp ta

2

1x (5)

Reemplazando (4) y (5) en (3) 2

p2

2 ta2

12ta

2

1

p2 a2a (6)

¿Qué relación hay entre la aceleración “ap” de la polea móvil y la aceleración “a1” del bloque “m1”? Como la polea móvil y “m1” están unidos por una sola cuerda, ambos tienen la misma aceleración:

p1 aa

Reemplazando en (6) obtenemos la relación entre la aceleración a1 y “a2”, que es

12 a2a (7) Dibujemos ahora los DCL de los dos bloques y de la polea móvil. Para “m2”: en la dirección horizontal “m2” está sujeta solo a la acción de la tensión “T2” de la cuerda 2; verticalmente actúan la fuerza de contacto “N” que ejerce la superficie de apoyo sobre “m2” y la fuerza gravitacional “m2g” hacia abajo.

y

x

N

m2 g

T2

Para la polea móvil: horizontalmente la polea móvil está sujeta a la acción de la tensión “T1” que ejerce la cuerda 1 hacia la derecha y a una acción doble de la cuerda 2 hacia la izquierda.

y

x T1

T2

T2

Para “m1”: solo actúan fuerzas verticales “T1” hacia arriba y “m1g” hacia abajo:


73 Física

m 1 g

y

x

T1

Aplicando la segunda ley de Newton: En “m2”:

222 amT (8)

gmN 2 En la polea:

0T2T 21 (9) En “m1”:

1111 amgmT (10) Reemplazando (8) en (9):

0am2T 221

221 am2T Reemplazando este resultado en (10):

11122 amgmam2 (11) Reemplazando (7) en (11):

11112 amgma2m2

gmamam4 11112

21

11 m4m

gma

Unidades:

2

2

1 s

m

kg

s

mkg

a

Reemplazando datos:

)2(42

8.92a1

21 s

m 96.1a

Reemplazando valores de “a1” en (7): )96.1(2a 2

22 s

m 92.3a

22) Un objeto de masa m = 5[kg], sujeto a una cuerda ideal de longitud l = 0.2 [m], gira en un plano horizontal liso describiendo una trayectoria circular, la tensión T en la cuerda es de 4.9[N]. Si la velocidad angular “” del bloque es constante, ¿cuál será el valor, en rad/s, de “”?. a) 19.6 [rad/s] b) 9.8 [rad/s] c) 7.0 [rad/s] d) 4.9 [rad/s] e) Ninguna R.: c)


74 Física

Solución

l T

Como se trata de un movimiento curvo, en este caso circular, trabajaremos en el sistema de referencia normal-tangencial y adicionalmente la dirección vertical “”. La segunda ley de Newton se expresará en las tres direcciones.

nn maF

tt maF

maF Donde “Fn” es la suma de fuerzas en la dirección normal, “an” es la aceleración normal que en el caso del movimiento circular se la conoce como aceleración centrípeta (ac). Ft es la suma de las fuerzas en la dirección tangencial y at es la aceleración tangencial. “F” es la suma de las fuerzas en la dirección perpendicular “” al plano del movimiento circular. La figura indica las distintas direcciones:

DirecciónNormal

cc

Vista de arriba Vista de perfil

DirecciónTangencial

La única fuerza en la dirección normal es la tensión “T” dirigida hacia el centro de la circunferencia y ejercida por la cuerda, esta fuerza es la que le obliga al bloque a cambiar de dirección de su movimiento. En la dirección tangencial, en este problema, no existen fuerzas. En la dirección “” actúan la fuerza de contacto N hacia arriba y la fuerza gravitacional hacia abajo.


75 Física

T cc

N


T

m g

Aplicando la segunda ley de Newton, en la dirección normal ac está definida. En la dirección z obtenemos.

cmaT

ra 2c

rmT 2 (1) 0mgN

de (1):

rm

T2

lm

T

Reemplazando los datos:

2.05

49

s/rad 7 23) El cilindro rotatorio. Es un juego que existe en los parques de diversiones, se trata de un cilindro

enorme, de radio r = 5[m], que gira alrededor de un eje vertical. Inicialmente las personas se paran sobre una patilla junto a la pared interior del cilindro a una altura aproximada de 5 a 6 metros respecto del piso, el cilindro comienza a girar y cuando alcanza una velocidad la patilla cae y las personas quedan pegadas a la pared, pero al aire. Si el coeficiente estático de fricción es 5.0s ,

el valor de rotación en [rad/s] a la que debe caer la patilla es: a) 14.00 [rad/s] b) 1.40 [rad/s] c) 9.80 [rad/s] d) 0.90 [rad/s] e) Ninguna R.: b) Solución Si las personas no caen, es porque la fuerza de fricción hacia arriba anula a la fuerza gravitacional. Usando un sistema normal tangencial y el eje “”, construyamos el DCL de una persona.


76 Física

N cc

fs


N

m g

Dirección Normal

Dirección tangencial

Dirección Normal

La fuerza de contacto N actúa hacia el centro del cilindro, la fuerza de roce hacia arriba y la fuerza gravitacional “mg” hacia abajo. La velocidad “ ” se debe calcular con la fuerza de rozamiento máxima.

Nμf ssMax (1)

Aplicando la segunda ley de Newton:

nn maF

tt amF

amF Como suponemos que “ ” será constante una vez que se llegue al valor requerido at = 0 y como no va a caer a = 0.

En la dirección normal:

cmaN (2)

En la dirección tangencial no hay fuerzas. En la dirección “”:

0mgfsMax (3)

Recordando que: ra 2

c

rmN 2 (4) Reemplazando (4) en (1):

0rωmμf 2ssMax

Reemplazando en (3): 0mgrm 2

s

gr2s

rμ

gω

s

2

rμ

gω

s

(5)


77 Física

Reemplazando datos

50.5

9.8ω s

rad 1.98ω

Comentario: Es interesante observar en (5) que el “” mínimo no depende de la masa, esto quiere decir que no depende si la persona es flaca o es gorda. También es importante notar en (5) que cuanto mayor es el radio, más pequeña es la velocidad de rotación mínima.

PREGUNTAS PROPUESTAS

1. Para lanzar un peso de 8[kg], un atleta le aplica su fuerza de 5[kp] durante 0.2[s]. Calcular la velocidad a la que sale la pesa de la mano. R.: 1.2[m/s]

2. Un camión de 5 [Tn] remolca a otro de 10[Tn] sobre una carretera horizontal. El conjunto se mueve con una aceleración de 2[m/s2]. Calcular: a) La Fuerza que necesita ejercer el motor. R.: 3 x 104 [N] b) Si el remolque se arrastra mediante un cable, fuerza de tensión del cable. R.: 2 x 104[N]

3. Una fuerza de 80[N] aplicada a un cuerpo de 20[kg] le comunica una velocidad de 40[km/h]. Calcular el tiempo que ha actuado la fuerza sobre el cuerpo. R.: 2.78[s]

4. Una fuerza actúa sobre un cuerpo de 5[kg] de masa, pasando la velocidad de éste de 7 a 3 [m/s] en 2[s]. Calcular la fuerza: a) En newtons. R.: 10[N] b) En dinas. R.: 106[dinas]

5. Un cuerpo desciende por un plano inclinado recorriendo con movimiento uniformemente acelerado 12[m] en 4[s]. ¿Cuál es su aceleración? ¿ A qué fuerza está sometido durante el descenso si su masa es de 20[g]?. a) 1.5 [m/s2] ;

0.03 [N] b) 0.75 [m/s2] ;

0.015 [N] c) 1.25 [m/s2] ;

0.025 [N] d) 2.1 [m/s2] ;

0.042 [N] e) Ninguna

R.: a) 6. Un trineo de masa 100[kg] se mueve por una pista horizontal bajo una fuerza constante de 98[N].

Si el coeficiente de rozamiento del trineo con el hielo de la pista es de 0.03, calcular la aceleración con que se mueve el trineo. a) 0.872 [m/s2] b) 0.686 [m/s2] c) 1.332 [m/s2] d) 0.498 [m/s2] e) Ninguna R.: b)

7. Al disparar un fusil se nota un movimiento de retroceso. Este retroceso se explica mediante el principio de: …………… a) Conservación de la masa - energía. b) Acción y reacción. c) Conservación de la cantidad de movimiento. d) La inercia. R.: c)

8. Los gases procedentes de la expansión de la pólvora actúan dentro del cañón de un fusil durante 1/200 de segundo sobre una bala de 10[g] con una fuerza media de 30[kp]. Calcular: a) La aceleración. R.: 29400 [m/s2] b) La velocidad de salida del proyectil. R.: 147 [m/s] c) La longitud del tubo del cañón. R.: 36.75[cm] d) La velocidad del retroceso del fusil si este tiene una masa de 3[kg]. R.: 0.49[m/s]

9. A la fuerza con que la Tierra atrae un objeto la llamamos peso. El peso de un cuerpo: a) Es igual en cualquier punto del Universo, pues la cantidad de materia que lo compone es la

misma.


78 Física

b) Disminuye con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. c) Disminuye con la distancia al centro de la Tierra. d) Disminuye con el cuadrado de la distancia a la superficie de la Tierra. R.: b)

10. Un automóvil que pesa 1000[kp] marcha a una velocidad de 90[km/h]. Calcular la fuerza retardadora de los frenos para detenerlo en 70[m] sobre una carretera horizontal. R.: 455[kp]

11. Un coche marcha por una carretera horizontal a 72[km/h]. Se le frena bruscamente. El coeficiente de rozamiento de las ruedas con el asfalto es 0.8. Determinar: (tomar g = 10[m/s2]). a) La aceleración que toma. R.: 8[m/s2] b) Tiempo que tarda en detenerse. R.: 2.5[s]

12. Calcular la aceleración de un bloque que desciende por un plano inclinado 30º con la horizontal, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es igual a 0,20. R.: 3.21[m/s2] hacia abajo

13. Sobre un bloque de 20[kp] situado sobre una superficie horizontal se aplica una fuerza de 10[kp] formando un ángulo de 30º con la horizontal. Sabiendo que al cabo de 3 segundos la velocidad del bloque es de 9[m/s], calcular el coeficiente de rozamiento. R.: μ = 0.102

14. Se hace girar horizontalmente un cuerpo de 1[kg] atado al extremo de una cuerda describiendo una circunferencia de 1[m] de radio a una velocidad de 3 revoluciones por segundo. Determinar: a) La velocidad lineal en [m/s]. b) La aceleración. R.: 6[m/s] c) La fuerza ejercida por la cuerda sobre el cuerpo. R.: 36.2[m/s2] hacia el centro d) La fuerza ejercida sobre el cuerpo por la cuerda. R.: 3.68 [kp] e) ¿Qué ocurre si se rompe la cuerda?. R.: movimiento rectilíneo, tangente a la circunferencia

15. Hallar la máxima velocidad a la que un automóvil puede tomar una curva de 25[m] de radio sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es de 0.30. R.: 8.59[m/s]

16. Hallar la aceleración centrípeta de un punto situado en el ecuador. Tomar el radio ecuatorial igual a 6400[km] y el día de 24 horas. R.: 0.034[m/s2]

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Transforma a Newtons 120[lb]. R.: 533.76[N] 2. Una fuerza resultante de 5[N] produce sobre una masa m1 una aceleración de 8[m/s2] y sobre una

masa m2 una aceleración de 24[m/s2]. ¿Qué aceleración en [m/s2] produciría sobre las dos masas unidas?. a) 3 b) 6 c) 12 d) 15 e) Ninguna

3. Una bala de rifle que lleva una rapidez de 360[m/s], choca contra un bloque de madera blanda y penetra una profundidad de 0.1[m]. La masa de la bala es de 1.8[g], suponiendo una fuerza de retardo constante, determinar: a) ¿Qué tiempo tardó la bala en detenerse?. R.: 5.5 x 10 – 4 [s] b) ¿Cuál fue la fuerza de aceleración en Newton?. R.: 1166.4[N]

4. Se dispara una bala de 5[g] contra una pared con una velocidad de 200[m/s]. La bala penetra en la pared 5[cm], y sale con una velocidad de 50[m/s]. Calcular la fuerza media de resistencia en Newton que ha ofrecido la pared. a) 9375 b) 11250 c) 7500 d) 13000 e) Ninguna

5. En los siguientes sistemas se desprecia el rozamiento. Determinar la aceleración del sistema si: a) m = 2[Kg], F = 10[N] b) m1 = 2[Kg],m2 = 1.5[Kg] c) m1 = m2 = 2 Kg


79 Física

m2

m1m F

m1

a) b) c)

m2

6. Encontrar la aceleración que adquiere un bloque de masa 20[Kg], cuando sobre éste actúa una fuerza constante de 80[N], como se indican en las figuras, los ángulos de inclinación valen 30º. Las superficies de apoyo son lisas.

a) b) c) d)

F F

F F

7. El peso de un ascensor es 1200[N]: Calcular la tensión en los cables cuando: a) Sube con una aceleración de 1[m/s2]. R.: 320[N] b) Baja con una aceleración de 1[m/s2]. (g = 10 [m/s2]). R.: 1080[N]

8. Si la tensión en el cable de un ascensor es de 2800[N], el peso del ascensor es de 2950[N] y transporta a una persona de 80[kg]. Calcular: a) ¿Qué aceleración tiene?. R.: 2.45 [m/s2] b) ¿El ascensor sube o baja?. R.: Baja

9. Dos bloques de 3[kg] y 2[kg] están en contacto, sin fricción, como se muestra en la figura. Si se aplica una fuerza horizontal de 5[N] sobre una de ellas ¿Cual es la fuerza de contacto entre los dos bloques? R.: 2[N] ; 3[N]

F

10. Tres bloques están conectados como se muestra en a figura, si se aplica una fuerza de 15[N] a la primera ¿Cual es la tensión en cada cuerda y cual la aceleración en el sistema?. Considere: superficies lisas, m1 = 1[kg], m2 = 2[kg] y m3 = 4[kg]. R.: 6.44[N], 2.14[N]; 2.14[m/s2]

Fm1 m2

m3


80 Física

11. Determinar la fuerza “F” necesaria para mover el sistema de la figura, considerando nulos los rozamientos, si las masas son: m1 = 5[kg]; m2 = 12[kg]; m3 = 15[kg] y la aceleración adquirida por el sistema es de 5[m/s2]. R.: 160[N]

Fm1 m2

m3

12. Se deja caer un cuerpo desde la posición “A” mostrada en la figura, entonces al pasar por “B” su velocidad es: ….. (considere g = 10[m/s2] y = 0) R.: 10[m/s]

30º

A

B10[m]

13. El bloque de la figura parte del reposo de “A” y al pasar por “B” tiene una velocidad de 10[m/s]. Calcular “F”, si = 0, m = 10[kg] y g = 10[m/s2]. R.: 100[N]

60º

A B

m

10[m]

F

14. El bloque de masa m = 20[kg] mostrado en la siguiente figura se mueve hacia la derecha con una aceleración de 5[m/s2], si la fuerza F2 = 100[N] y las superficies en contacto son lisas, entonces la fuerza “F1”es: ....... R.: 25.21[N]

m

37º

F2

37º

F1

15. Se coloca un bloque de 2[Kg] arriba de un bloque de 5[Kg] como muestra la figura. El coeficiente de fricción cinético entre el bloque de 5[Kg] y la superficie es de k = 0.2. Se aplica una fuerza horizontal F al bloque de 5[Kg].


81 Física

5[kg F

2[kg

a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque. ¿Qué fuerza acelera al bloque de 2[Kg]?. R.: Fricción entre los bloques

b) Calcule la fuerza necesaria para jalar ambos bloques hacia la derecha con una aceleración de 3[m/s2]. R.: 34.7[N]

c) Encuentre el coeficiente de fricción estático mínimo entre los bloques de tal forma que el bloque de 2[Kg] no resbale cuando se acelera a 3[m/s2]. R.: s = 0.306

16. El sistema mostrado en la figura esta en equilibrio ¿cuánto vale la fuerza de fricción?. La fuerza “F” es de 100[N] y la masa “m” del bloque es de 10[Kg]. R.: 86.603[N]

F 30º

17. El bloque de masa 10[kg] de la figura se encuentra en equilibrio, si el coeficiente estático de

fricción es 0.4 ¿Cuánto vale la fuerza horizontal “P” que debe aplicarse sobre el bloque para evitar que deslice hacia abajo?. R.: 245[N]

P

Prob. 17

P 35º

Prob. 18 18. El bloque de 10[kg] de la figura se encuentra en equilibrio, si el coeficiente estático de fricción es

0.4 ¿Cuánto vale la fuerza P que debe aplicarse sobre el bloque para evitar que deslice hacia abajo? R: 108.74[N]

19. Demostrar que el coeficiente de rozamiento estático “s”es igual a la tangente del ángulo que forma el plano inclinado con la horizontal en el instante en que un cuerpo empieza a resbalar.

20. Un obrero sujeta un bloque para que no caiga, apretándolo horizontalmente contra una pared vertical. ¿Qué fuerza deberá ejercer si el bloque pesa 20[N] y el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la pared es 0.4?. R.: 50[N]

21. Dos bloques de masas m1 = 16[Kg] y m2 = 88[Kg] pueden moverse libremente, el coeficiente de fricción entre los bloques es de 0.38, siendo la superficie horizontal de apoyo lisa. Determinar la fuerza “F” mínima para que los bloques se muevan juntos. R.: 412.63[N]

F m1 m2


82 Física

22. El coeficiente de rozamiento estático entre un bloque de masa “m” y un plano inclinado es 0.7 y el coeficiente de rozamiento cinético 0.5. Determinar la aceleración del bloque en [m/s2] cuando se pone en movimiento. a) 1.61 [m/s2] b) 2.41 [m/s2] c) 0.80 [m/s2] d) 3.25 [m/s2] e) Ninguna

23. En la figura, “A” es un bloque de 4.4[kg] y “B” es un bloque de 2.6[kg]. El coeficiente de fricción estática entre “A” y la mesa es 0.18. Determine la masa mínima del bloque liso “C” que debe colocarse sobre “A” para evitar que “A” deslice. R: 10.04[kg]

B

A

C

24. Un comercial anuncia que cierto automóvil de 950[Kg] se puede acelerar desde el reposo hasta una rapidez de 60[km/h] en 8[s]. ¿De que magnitud es la fuerza neta que debe actuar sobre el automóvil para darle esta aceleración?. R: 1979.17[N]

25. Un automóvil de 1300[kg] que se mueve a 20[m/s], se va a detener en una distancia de 80[m]. ¿De que magnitud debe ser la fuerza que se aplique en el automóvil para detenerlo? De su respuesta en Newtons y libras. Considere una aceleración uniforme. R: 3000[N] ; 674.45[lb]

26. Determinar la tensión en la cuerda, y aceleración en el sistema, mostrado en las figuras, si las masas m1 = 3[kg] y m2 = 2[kg]. (Las poleas son ideales). R.: 1.96 [m/s2] ; 23.52[N] ; 2.80[m/s2] ; 5.60[m/s2] ; 12.60[N]

m2m1 m1

m2

27. Encuéntrense las tensiones en las tres cuerdas y las aceleraciones de los bloques que se muestran en la figura si el rozamiento es despreciable. Suponga que las poleas carecen de masa y de rozamiento, además las cuerdas son ideales. ( m1 = 200[g], m2 =500[g] y m3 = 300[g]). R.: T1=0.74[N], T2=1.47[N], T3=2.39[N], a1= 3.675[m/s2], a2=1.84[m/s2], a3=1.84[m/s2]

m 2 m 1

m 3

Prob. 27

m 1

m 2

Prob. 28 28. Como se muestra en la figura, un cuerpo de masa m1 descansa sobre la superficie horizontal sin

rozamiento de una mesa. Las poleas tienen masa despreciable, y el sistema está inicialmente en reposo. a) Encuentre la relación que debe existir entre las distancias d1 y d2 recorridas por m1 y m2 cuando

el sistema comienza a moverse.


83 Física

b) Si m1 =500[g] y m2 =100[g], encuentre los valores a1 y a2 de sus aceleraciones. c) Halle la tensión en la cuerda para los valores dados en el inciso b).

29. Un estudiante dispara un objeto, en forma horizontal sobre una superficie rugosa con una velocidad inicial de 4[m/s], el coeficiente cinético de fricción entre el objeto y la superficie horizontal es 0.5 La distancia total en [m] recorrida por el objeto será: ......... R.: 1.63[m]

30. El bloque de la figura es arrastrado horizontalmente a velocidad constante por una fuerza F=60[N]. Calcular su peso, si k = 0.6. R.: 115.97[N]

37º

m

F

31. El coeficiente de rozamiento estático entre un bloque de masa “m” y un plano inclinado es 0.839 y el coeficiente de rozamiento cinético 0.652 se sabe que el cuerpo empieza a resbalar. Determinar la aceleración del bloque. R.: 1.4[m/s2]

32. A un bloque de 5[Kg] situado sobre una mesa horizontal están unidas dos cuerdas de cuyos extremos penden, a través de unas poleas, las masas de 3 y 4.5[Kg]. Sabiendo que k = 0.2. Calcular la velocidad que adquiere la masa de 4.5[Kg] cuando este ha descendido 1[m] partiendo del reposo. R.: 0.89[m/s]

33. Un cuerpo de masa 3[kg] está sometido a la acción de dos fuerzas resultantes de magnitudes iguales a F2 = 6[N] y F1 = 4[N] dispuestas perpendicularmente, como se indica en la figura, determinar la magnitud de la aceleración y su dirección. R.: 2.4[m/s2] ; 33.69º

F2

m

F1

34. Si al empujar de una masa m1, ésta experimenta una aceleración “a”, ¿cuál debe ser la masa m2 que se agrega, como indica la figura, para que empujando con la misma fuerza, la aceleración que logre

el sistema sea “a / 2”. R.: ag2

ma 1

a m 1

m 2

F

35. Las masas mA =10[kg], mB = 7[kg] y mC = 5[kg] se deslizan sobre una superficie lisa horizontal, debido a la fuerza aplicada F = 10[N]. Calcular las fuerzas de contacto y las fuerzas ejercidas de:


84 Física

“mA” sobre “mB” y “mB” sobre “mC”.

R.: Fuerzas de Contacto: 4.55[N] y 3.18[N] ; 2.27[N] . Fuerzas ejercidas entre las masas: 5.45[N] ; 2.27[N]

mCmA mB F

36. Un paracaidista de 80[kg], se deja caer a 5000[m] de altura. Abre su paracaídas a 4820[m] y en 10[s] reduce su velocidad a la mitad. Calcular la tensión en cada uno de los 12 cordones que tiene el paracaídas R.: 85.13[N]

37. En el sistema de la figura, la fuerza aplicada a la cuerda “AB” es de 40[N], el cuerpo pesa 50[N]. Despreciando el rozamiento, determinar: a) El módulo de la fuerza de vínculo (reacción del plano). R.: 25.93[N] b) El módulo de la aceleración del cuerpo puntual. R.: 6.26[m/s2]

37ºA

B

m

F

38. Un cuerpo de masa m = 60[kg] está apoyado sobre un plano de inclinación 37° como muestra la figura. La intensidad de la fuerza “F” aplicada sobre el cuerpo es 500[N]. Despreciando el rozamiento, calcular el módulo de la aceleración del bloque. R.: 0.76 [m/s2]

F

37º

37º

39. Si el coeficiente de rozamiento entre los neumáticos de un automóvil y la carretera es 0.5, calcular la distancia más corta para poder detener el automóvil si éste viaja a una velocidad de 96.56[km/h]. R.: 73.40[m]

40. Un bloque de 3[Kg] parte del reposo desde la parte superior de un plano inclinado a 30º y resbala una distancia de 2[m] hacia abajo del plano en 1.5 [s]. Calcule : a) El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano. R.: k = 0.368 b) La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque. R.: 9.37[N] c) La rapidez del bloque después que ha resbalado 2[m]. R.: 2.67[m/s]

41. Un pedazo de hielo resbala en un plano inclinado 45, en un tiempo doble del que tarda en resbalar por un plano sin fricción 45º. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el hielo y el plano inclinado?. R.: 0.75


85 Física

42. Calcular la fuerza máxima en la dirección de la base del plano que hay que ejercer, para que el cuerpo no se mueva, así como también la fuerza mínima. Considere los siguientes datos: s = 0.3, m = 5[kg] y = 30° R.: 52[N] y 11.58[N]

F

43. La cuerda que se muestra en la siguiente figura se rompe para una tensión de 1000[N]. Calcular la fuerza con la que hay que tirar de m1, para que se rompa la cuerda. Considere el coeficiente de rozamiento estático entre los dos cuerpos s = 0.1 y el coeficiente de rozamiento estático entre m1 y la superficie s = 0.2, además las masas son m1 = 10[kg] y m2 = 1[kg]. R.: 1022.54[N]

m1

m2

F

44. Se suelta un bloque de 20[kg] en un plano inclinado 30º con la horizontal desde una altura de 8[m], luego de descender el plano inclinado, recorre un tramo horizontal hasta detenerse. Halle la distancia del tramo horizontal recorrida en metros, si el coeficiente de rozamiento cinético vale 0.4 para todo el trayecto. a) 5.38 [m] b) 6.14 [m] c) 6.91 [m] d) 7.15 [m] e) Ninguna

45. Se suelta un balón desde el borde superior de un techo que tiene una inclinación de 60º respecto de la vertical. Una vez que recorre la longitud del techo que es de 10[m], el balón cae al suelo en un segundo, considerando g = 10[m/s2] se pide: a) Calcular a qué distancia del pie de la pared toca el suelo. R.: 8.66[m] b) Determinar la velocidad con la que llega al suelo. R.: 17.32 [m/s] E 60º S

46. Se lanza un cuerpo hacia arriba de un plano inclinado a 35º sobre la horizontal, si la rapidez de lanzamiento es de 20[m/s], el plano es liso y considerando g = 10[m/s2] se pide: a) Calcular la distancia y el tiempo que demora en subir por el plano. R.: 34.84[m] ; 3.48[s] b) Determinar la altura que alcanza respecto del nivel de partida. R.: 19.98[m] c) A los 5[s] de iniciado el movimiento, determinar si el cuerpo va de subida o de bajada.

R.: Bajada 47. Un recipiente con huevos descansa sobre la superficie horizontal del asiento de un automóvil. El

coeficiente estático de rozamiento entre el recipiente y el asiento es de 0.55. Si el automóvil se esta moviendo a 12[m/s], ¿Cuál es la menor distancia en la cual puede detenerse el automóvil sin que el recipiente resbale del asiento?. R: 13.36[m]

48. Una masa de 500[g] está suspendida del extremo de un resorte ligero. El resorte se alarga 10[cm] más cuando se añade una masa de 200[g] a la anterior. Si la masa de 200[g] se quita repentinamente, ¿ cual será la aceleración de la masa de 500[g] exactamente después de retirarla? R: 3.92[m/s2]

49. Una maquina de Atwood se suspende de un dinamómetro. Permanece quieta con dos masas de 1[kg] a cada lado. a) Encuentre la lectura del dinamómetro, b) Una de las masas de 1[kg] se pasa del lado derecho al izquierdo del sistema. La maquina de Atwood empieza a moverse. ¿Cuál es la lectura del dinamómetro?. R.: 39.20[N] ; 29.40[N]

50. Una bala con masa m = 10[g] se dispara con velocidad v = 500[m/s] hacia un bloque de madera de masa M = 1000[g] que se halla en reposo sobre la superficie de una mesa muy larga. La bala se


86 Física

entierra en el bloque, que desliza una distancia s = 5.0[m] antes de detenerse. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la mesa?. R: 0.25

51. Por la garganta de una polea, cuyo peso y rozamiento son despreciables, de radio 1 decímetro, pasa una cuerda de uno de cuyos extremos cuelga un peso de 2[kg] y del otro extremo un peso de 4[kg]. Se pide: a) La aceleración con que se moverán los pesos si se deja al sistema en libertad. R.: 3.2[m/s2] b) La aceleración angular de la polea. R.: 32.7[rad/s2] c) La tensión de la cuerda. R.: 2.26[N] d) Si inicialmente los pesos estaban en el mismo plano, calcular el tiempo que tardarán en

desnivelarse 6[m]. R.: 1.3[s] 52. Un péndulo cónico simple de longitud L = 0.5[m] y masa m = 2[Kg] gira de modo que el hilo

forma un ángulo de 15° con la vertical. Determine la velocidad angular en [rad/s]. a) 6.2 [rad/s] b) 1.5 [rad/s] c) 5.5 [rad/s] d) 4.5 [rad/s] e) Ninguna

53. Un objeto de 1[kg] se encuentra sujeta a una cuerda de longitud 1[m] (el otro extremo se encuentra unido en un punto de un plano horizontal, describiendo una circunferencia de radio ½[m] como péndulo cónico). Determinar la tensión de la cuerda. Considerando la gravedad g = 10[m/s2]. R.: 11.55[N]

54. Una pelota de 10[N] de peso es atada a una cuerda de longitud igual a 1[m], la cual describe una circunferencia vertical girando a razón de 1.2[rps]. ¿Cuál será la tensión de la cuerda cuando la pelota esta en el punto mas alto de su trayectoria?. R.: 48.01[N]

55. Un automóvil de 1200[kg] está dando una vuelta a una esquina a 8[m/s] y describe el arco de un círculo. Si el radio es de 9[m] ¿cuál será la fuerza para mantener el auto en la trayectoria circular? R.: 8533.33[N]

56. ¿Cuál es la máxima velocidad a la que un automóvil puede ingresar a una curva de 50[m] de un radio sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es 0.3?. R.: 12.12[m/s]

57. Determine la máxima velocidad en [m/s] que un automóvil puede tomar una curva de 25[m] de radio sobre una carretera horizontal. (s = 0.23) a) 10.62 [m/s2] b) 13.00 [m/s2] c) 7.51 [m/s2] d) 8.67 [m/s2] e) Ninguna

58. ¿Cuál es la velocidad a que puede ir un automóvil por una curva sin peralte, de radio 40[m], sin derrapar. Suponiendo que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo vale 0.5. R.: 14[m/s]

59. Un vehículo de masa igual a 100[kg] describe una curva de 20[m] de radio, con una rapidez de 2[m/s]. El coeficiente de rozamiento del vehículo con el suelo es 0.2. Determinar: a) Si el suelo fuese horizontal, ¿cuál seria la velocidad máxima que podría llevar el vehículo para

deslizarse lateralmente?. R.: 22.54[km/h] b) Si no hubiese rozamiento, ¿cuál habría de ser el peralte de la curva para que a esa velocidad no

se deslice lateralmente? R.: 11.31° 60. Un tren pasa por una curva con peralte a 60[km/h], donde el radio de una curva es 300[m]. En uno

de los vagones se encuentra suspendido un bloque mediante una cuerda. Calcular el ángulo que forma la cuerda con la vertical cuando el tren está dando la curva. R.: 5.4º

61. En una autopista un automóvil ingresa a una curva de 50[m] de radio con una velocidad de 20[m/s], ¿Cuál es el ángulo del peralte para que el automóvil pueda tomar la curva a esa velocidad?. R.: 39.22º

62. Una piedra atada a una cuerda de 50[cm] de longitud gira uniformemente en un plano vertical. Hallar el número de revoluciones por segundo a la cual se romperá la cuerda sabiendo que su tensión de ruptura es igual a 10 veces el peso de la piedra. a) 1.93 b) 2.11 c) 3.02 d) 1.79 e) Ninguna


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63. En una montaña rusa de forma circular de radio r = 90[m], un carrito circula el carril por la parte interna. Determine la rapidez mínima en [m/s] que el carrito debe tener para pasar por la parte superior sin perder contacto con el carril. a) 31.30 [m/s] b) 28.00 [m/s] c) 29.70 [m/s] d) 32.13 [m/s] e) Ninguna

64. Un cuerpo de 2[kg] de masa se encuentra sujeto al extremo de una cuerda de 100[cm] de longitud y, al girar verticalmente describiendo una circunferencia, cuando pasa por el punto más bajo, la tensión vale 100[N]. Si en ese momento la cuerda se rompe ¿con qué velocidad saldrá despedido este cuerpo?. R.: 6.34[m/s]

65. Un solo alambre “ACB”pasa a través de un anillo en “C”unido a una esfera que gira a una velocidad constante en el círculo horizontal. Si la tensión es la misma en ambas porciones del alambre, determínese la velocidad lineal. R.: 3m/s

A

B 30º

C

45º

1.2[m

4 kg 4 kg 4[kg

m2

m1

66. Las masas m1 = 1[kg] y m2 = 0.5[kg] de la figura están conectadas mediante una cuerda de longitud L = 1[m]. La cuerda pasa por un orificio en el centro de la mesa, el sistema está en equilibrio cuando m2 gira con una velocidad angular alrededor del orificio. Calcule el valor de la velocidad angular m1, si m2 esta a 0.6 por debajo de la mesa. Desprecie todo tipo de fricción. R.: 7[rad/s]

67. En una montaña rusa de forma circular de radio r = 100[m], un carrito circula por el carril por la parte interna. Determine la rapidez mínima en [m/s] que el carrito debe tener para pasar por la parte superior sin perder contacto con el carril. R.: 31.30[m/s]

r

68. Una experta motociclista viaja en un círculo horizontal alrededor de las paredes verticales de un foso de radio “r”. a) ¿Cuál es la mínima velocidad con la que debe viajar si el coeficiente de rozamiento estático

entre las llantas y la pared es μs?. R.: Rμg

ω

b) Calcule esta velocidad si R = 5.0 m y μs = 0.90. R.: 1.476[rad/s] 69. Una cuerda se pasa a través de un tubo de vidrio liso. Dos cuerpos de masa M y m se atan a sus

extremos, con M > m. Como se muestra en la figura, el cuerpo m se hace girar alrededor del tubo en un círculo horizontal, de manera que el cuerpo M ni sube ni baja. El período “Tp” del

movimiento circular es: R.: gh

2


88 Física

m M

h

70. Una pista para competencias de esquí sobre nieve tiene un tramo circular de radio r = 40[m] en el

punto “A”, donde los competidores llevan una velocidad horizontal v = 20[m/s] La velocidad de un competidor de 70[Kg] en el punto “A” esta disminuyendo a razón de 1.3[m/s2] debido a la resistencia del aire. Calcule el vector de la fuerza resultante que actúa sobre el competidor justo

antes de saltar de la pista en el punto “A”. R.: ( 91 i + 700 j )[N]

v

C

71. Un acróbata aéreo en un biplano de cabina abierta describe un circulo vertical de radio 400[m].

¿Cuál debe ser su velocidad “v” mínima en la parte de arriba de la vuelta si un lápiz suelto en la cabina no se sale?. R.: v = 60.61[m/s]

72. Las masas de la figura se sujetan por hilos no elásticos ni flexibles, cuyos pesos son despreciables, todo el sistema gira con una velocidad angular si el movimiento se realiza en un plano horizontal liso. Determine las tensiones en el hilo. R.: , )L(m)LL(m)LLL(mT 112123213

21 )LL(m)LLL(mT 2123213

22 )LLL(mT 3213

23

m m 3

L 2 L 3L 1

2m 1

73. Una bola de 1.34[kg] está unida a una varilla vertical rígida por medio de dos cordones sin masas,

cada uno de 1.70[m] de longitud. Los cordones están unidos a la varilla con una separación entre sí de 1.7[m] (aparte). El sistema está girando con respecto al eje de la varilla, quedando ambos cordones tirantes y formando un triángulo equilátero con la varilla, como se muestra en la figura. La tensión en el cordón superior es de 35.0[N]. (a) Halle la tensión en el cordón inferior. (b) Calcule la fuerza neta sobre la bola en el instante mostrado en la figura. (c) ¿Cuál es la velocidad de rotación de la bola?. R.: 8.74[N] ; 22.75[N] ; 3.40[rad/s]

35[N]

1.34[kg]60º1.7[m]

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