CDI-Guia07-Ver-12

Cálculo Diferencial e Integral - Límite. Farith J. Briceño N.

Objetivos a cubrir Código : MAT-CDI.7� De�nición formal de límite. Límites laterales. Cálculo de límites.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 136 : Gra�que la función

f (x) =

8>><>>:1 + x2 si x < 0

�1 si x = 0

2� x2 si x > 0

y determine, si existen:

a: f (0) ; b: limx!0�

f (x) ; c: limx!0+

f (x) ; d: limx!0

f (x) :

Solución : Tenemos que

210-1-2

5

4

3

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

Así,

a: f (0) = �1 b: limx!0�

f (x) = 1 c: limx!0+

f (x) = 2 d: limx!0

f (x) No existe

FEjemplo 137 : Usando la de�nición formal de límite, demuestre que

limx!1

(3� 2x) = 1

Solución : Dado " > 0, existe �" > 0, tal que,

jf (x)� Lj < " siempre que 0 < jx� x0j < �;

es decir, dado " > 0, existe �" > 0, tal que,

j(3� 2x)� 1j < " siempre que 0 < jx� 1j < �;

así, por propiedades del valor absoluto, se tiene

j(3� 2x)� 1j = j2� 2xj = j�2 (x� 1)j = j�2j jx� 1j = 2 jx� 1j < ";

de aquí,2 jx� 1j < " =) jx� 1j < "

2;

si tomamos� =

"

2;

se cumple quelimx!1

(3� 2x) = 1:

F

163

Ejemplo 138 : Usando la de�nición formal de límite, demuestre que

limx!1=2

3 + 2x

5� x =8

9



es decir, dado " > 0, existe �" > 0, tal que,��3 + 2x5� x �8

9

�� < " siempre que 0 <

��x� 12�� < �;

así, por propiedades del valor absoluto, se tiene��3 + 2x5� x �8

9

�� = ��9 (3 + 2x)� 8 (5� x)9 (5� x)

�� = ��26x� 139 (5� x)

�� = ��26 (x� 1=2)9 (5� x)

�� = �� 26

9 (5� x)

�� x� 12�� = 26

9

1

j5� xj

��x� 12�� ;

puesto que

��x� 12�� < �, consideremos � = 1, entonces

Desigualdad con valor absoluto(aplicamos de�nición)

Sumamos 12

(la desigualdad se mantiene)

# #��x� 12�� < 1 =) �1 < x� 1

2< 1 =) �1 + 1

2< x < 1 +

1

2=) �1

2< x <

3

2

=) 1

2> �x > �3

2=) 5 +

1

2> 5� x > 5� 3

2=) 11

2> 5� x > 7

2=) 2

11<

1

5� x <2

7" " "

Multiplicamos por �1(la desigualdad cambia)

Sumamos 5(la desigualdad se mantiene)

Aplicamos1

(�)(la desigualdad cambia)

luego, ��3 + 2x5� x �8

9

�� = 26

9

1

j5� xj

��x� 12�� <

26

9

�2

7

� ��x� 12�� = 52

63

��x� 12�� < "

"ya que 1

5�x <27

es decir,52

63

��x� 12�� < " =)

��x� 12�� < 63

52"

si tomamos

� = min�1;63

52"

�se cumple que

limx!1=2

3 + 2x

5� x =8

9:

F

Ejemplo 139 : Usando la de�nición formal de límite, demuestre que

limx!2

px+ 2 = 2



es decir, dado " > 0, existe �" > 0, tal que,��px+ 2� 2�� < " siempre que 0 < jx� 2j < �;

164

así, aplicando la conjugada de la expresiónpx+ 2� 2 y por las propiedades del valor absoluto, se tiene

��px+ 2� 2�� = ��px+ 2� 2��px+ 2 + 2

��px+ 2 + 2

� �� =��px+ 2

�2 � (2)2px+ 2 + 2

�� =�� x+ 2� 4px+ 2 + 2

�� = �� x� 2px+ 2 + 2

��=

jx� 2j��px+ 2 + 2�� = jx� 2jpx+ 2 + 2

;

puesto que jx� 2j < �, consideremos � = 1, entonces

Desigualdad con valor absoluto(aplicamos de�nición de valor absoluto)


# #jx� 2j < 1 =) �1 < x� 2 < 1 =) �1 + 2 < x < 1 + 2 =) 1 < x < 3

luego, si jx� 2j < 1, entonces 1 < x < 3, así,


Aplicamosp(�)


# #1 < x < 3 =) 3 < x+ 2 < 5 =)

p3 <px+ 2 <

p5

=)p3 + 2 <

px+ 2 + 2 <

p5 + 2 =) 1p

3 + 2>

1px+ 2 + 2

>1p5 + 2

" "Sumamos 2


Aplicamos 1(�)

(la desigualdad cambia)

por lo tanto, ��px+ 2� 2�� = jx� 2jpx+ 2 + 2

<jx� 2jp3 + 2

< "

"ya que 1

5�x <27

es decir,jx� 2jp3 + 2

< " =) jx� 2j <�p3 + 2

�"

si tomamos� = min

n1;�p3 + 2

�"o

se cumple quelimx!2

px+ 2 = 2

F

Ejemplo 140 : Si limx!a

f (x) = 3 y limx!a

g (x) = �1, determinar

limx!a

2f (x)� 3g (x)f (x) + g (x)

Solución : Por propiedades de límites, en vista que los límite de f y g existen cuando x! a, tenemos que

limx!a

2f (x)� 3g (x)f (x) + g (x)

=limx!a

(2f (x)� 3g (x))

limx!a

(f (x) + g (x))=2 limx!a

f (x)� 3 limx!a

g (x)

limx!a

f (x) + limx!a

g (x)=2 (3)� 3 (�1)(3) + (�1) =

9

2:

Luego

limx!a

2f (x)� 3g (x)f (x) + g (x)

=9

2 existe

F

165

Ejemplo 141 : Calcular el siguiente límite, si es que existe

limx!0

px2 + 3x+ 1�

px+ 1p

3x2 + 4�px+ 9


limx!0

px2 + 3x+ 1�

px+ 1p

3x2 + 4�px+ 9

=

q(0)

2+ 3 (0) + 1�

p(0) + 1q

3 (0)2+ 4�

p(0) + 9

=

p1�p1p

4�p9=1� 12� 3 =

0

�1 = 0;

así,

limx!0

px2 + 3x+ 1�

px+ 1p

3x2 + 4�px+ 9

= 0 existe

F


limx!b

x4 � b4x3 � b3

Solución : Observe que este límite tiene una indeterminación de la forma0

0. Factorizamos los polinomios del

numerador y del denominador

Numerador x4 � b4 =�x2�2 � �b2�2 = �x2 � b2� �x2 + b2� = (x� b) (x+ b) �x2 + b2�

Denominador x3 � b3 = (x� b)�x2 + xb+ b2

�así, el límite nos queda

limx!b

x4 � b4x3 � b3 = lim

x!b

(x� b) (x+ b)�x2 + b2

�(x� b) (x2 + xb+ b2) = lim

x!b

(x+ b)�x2 + b2

�x2 + xb+ b2

evaluando

limx!b

x4 � b4x3 � b3 = lim

x!b

(x+ b)�x2 + b2

�x2 + xb+ b3

=(b+ b)

�b2 + b2

�b2 + bb+ b2

=4b3

3b2=4b

3;

luego,

limx!b

x4 � b4x3 � b3 =

4b

3 existe

F


limx!3

px2 � 6x+ 9x� 3

Solución : Este límite tiene una indeterminación de la forma0

0, factorizamos para levantar la indeterminación,

obtenemos

limx!3

px2 � 6x+ 9x� 3 = lim

x!3

q(x� 3)2

x� 3 = limx!3

jx� 3jx� 3 ;

por de�nición de valor absoluto, se tiene

jx� 3j =(x� 3 si x� 3 � 0

� (x� 3) si x� 3 < 0=) jx� 3j =

(x� 3 si x � 3

� (x� 3) si x < 3;

así,! 3

� (x� 3) x� 3

166

por lo tanto, estudiamos los límites laterales

limx!3

jx� 3jx� 3 =

8>>><>>>:limx!3�

� (x� 3)x� 3 = lim

x!3�(�1) = �1

limx!3+

x� 3x� 3 = lim

x!3+1 = 1

puesto que los límites laterales son diferentes, entonces el límite no existe. F

Ejemplo 144 : Considere la función

f (x) =

8>><>>:3x+ 2

cos�xsi x < 1

x2 � 1px� 1 si x > 1

Determine, si existen: a) f (1); b) limx!1�

f (x); c) limx!1+

f (x); d) limx!1

f (x).

Solución : Tenemos que! 1

3x+ 2

cos�x

x2 � 1px� 1

así

a) f (1) no está de�nido.

b) limx!1�

f (x) = limx!1�

3x+ 2

cos�x=3 (1) + 2

cos� (1)=

5

�1 = �5

c) limx!1+

f (x) = limx!1+

x2 � 1px� 1 = lim

x!1+

(1)2 � 1p(1)� 1

=0

0 Indeterminado

Levantamos la indeterminación, aplicamos conjugada y factorizamos

limx!1+

x2 � 1px� 1 = lim

x!1+

�x2 � 1

�(px� 1)

(px+ 1)

(px+ 1)

= limx!1+

�x2 � 1

�(px+ 1)

x� 1 = limx!1+

(x� 1) (x+ 1) (px+ 1)

x� 1

= limx!1+

(x+ 1) (px+ 1) = 4;

es decir,limx!1+

f (x) = 4:

d) Puesto que,limx!1�

f (x) 6= limx!1+

f (x)

concluimos que,limx!1

f (x) no existe.

F


limx!�=6

2 sen2 x+ senx� 12 sen2 x� 3 senx+ 1

Solución : Límite con indeterminación de la forma0

0. Para levantar la indeterminación observemos que las expresiones

del numerador y del denominador son la composición de funciones polinómicas y trigonométricas, por lo tanto, factorizamosdichas expresiones en la variable senx

167

Numerador 2 sen2 x+ senx� 1 = 2�senx� 1

2

�(senx+ 1) = (2 senx� 1) (senx+ 1)

Denominador 2 sen2 x� 3 senx+ 1 = 2�senx� 1

2

�(senx� 1) = (2 senx� 1) (senx� 1)

así,

limx!�

6

2 sen2 x+ senx� 12 sen2 x� 3 senx+ 1 = lim

x!�6

(2 senx� 1) (senx+ 1)(2 senx� 1) (senx� 1) = lim

x!�6

senx+ 1

senx� 1 =sen��6

�+ 1

sen��6

�� 1

=12 + 112 � 1

= �3;

luego,

limx!�

6

2 sen2 x+ senx� 12 sen2 x� 3 senx+ 1 = �3 existe

F


limx!4

rx

x+ 5

�x2 � 16x� 4

�Solución : Este límite tiene una indeterminación de la forma

0

0, observemos que

limx!4

rx

x+ 5

�x2 � 16x� 4

�?= lim

x!4

rx

x+ 5limx!4

x2 � 16x� 4 ;"

siempre y cuando los límites existan

donde,

limx!4

rx

x+ 5=

s(4)

(4) + 5=

r4

9=2

3;

mientras que,

limx!4

x2 � 16x� 4 = lim

x!4

(x� 4) (x+ 4)x� 4 = lim

x!4(x+ 4) = 8

así, ambos límites existen, por lo tanto,

limx!4

rx

x+ 5

�x2 � 16x� 4

�=

�2

3

�(8) =

16

3;

luego

limx!4

rx

x+ 5

�x2 � 16x� 4

�=16

3 existe.

F


limx!�=2

senx� 1cosx

Solución : Límite con una indeterminación de la forma0

0, levantamos la indeterminación

limx!�=2

senx� 1cosx

= limx!�=2

(senx� 1)cosx

(senx+ 1)

(senx+ 1)= lim

x!�=2

sen2 x� 1cosx (senx+ 1)

= limx!�=2

��1� sen2 x

�cosx (senx+ 1)

= limx!�=2

� cos2 xcosx (1 + senx)

= limx!�=2

� cosxsenx+ 1

=0

2= 0;

por lo tanto,

limx!�=2

senx� 1cosx

= 0 existe.

F

168


limx!�=4

3psen2 x� 3

pcos2 x

1� tanx


0, para levantar la indeterminación, aplicamos la conjugada

limx!�=4

3psen2 x� 3

pcos2 x

1� tanx = limx!�=4

�3psen2 x� 3

pcos2 x

�(1� tanx)

�3psen4 x+

3psen2 x

3pcos2 x+

3pcos4 x

��

3psen4 x+

3psen2 x

3pcos2 x+

3pcos4 x

�= lim

x!�=4

sen2 x� cos2 x(1� tanx)

�3psen4 x+

3psen2 x

3pcos2 x+

3pcos4 x

�Observemos que

1� tanx = cosx� senxcosx

así

limx!�=4

sen2 x� cos2 x(1� tanx)

�3psen4 x+

3psen2 x

3pcos2 x+

3pcos2 x

�= lim

x!�=4

(senx� cosx) (senx+ cosx)�cosx� senx

cosx

��3psen4 x+

3psen2 x

3pcos2 x+

3pcos4 x

�= lim

x!�=4

(senx� cosx) (senx+ cosx) cosx(cosx� senx)

�3psen4 x+

3psen2 x

3pcos2 x+

3pcos4 x

�= lim

x!�=4

� (cosx� senx) (senx+ cosx) cosx(cosx� senx)

�3psen4 x+

3psen2 x

3pcos2 x+

3pcos4 x

�= lim

x!�=4

� (senx+ cosx) cosx3psen4 x+

3psen2 x

3pcos2 x+

3pcos4 x

=�p22

�p22 +

p22

�3

r�p22

�4+

3

r�p22

�23

r�p22

�2+

3

r�p22

�4 = �13p2

3

rp2

2

= �3p4

3

Luego

limx!�=4

3psen2 x� 3

pcos2 x

1� tanx = �3p4

3 existe.

F


limx!1

1�px

1� 3px


0. Para levantar la indeterminación podemos aplicar

la conjugada en el numerador y en el denominador ó también podemos hacer un cambio de variable, de tal forma, detransformar el límite con expresiones radicales en un límite con expresiones polinomiales.

Hacemos el cambio de variablex = um:c:d:(2;3) =) x = u6

así,si x! 1; entonces u! (1)

1=6= 1

169

El límite se transforma en

limx!1

1�px

1� 3px= lim

u!1

1�pu6

1� 3pu6= lim

u!1

1� u31� u2 Indeterminado

0

0

Factorizamos numerador y denominador

Numerador : 1� u3 = (1� u)�u2 + u+ 1

�Denominador : 1� u2 = (1� u) (1 + u)

entonces,

limu!1

1� u31� u2 = lim

u!1

(1� u)�u2 + u+ 1

�(1� u) (1 + u) = lim

u!1

u2 + u+ 1

1 + u=3

2;

luego,

limx!1

1�px

1� 3px=3

2 existe.

F


limx!1+

[[x]]2 �

��x2��

x2 � 1Solución : Es conocido que para los valores x a la derecha del uno, se tiene que

[[x]] = 1; si 1 � x < 2��x2��= 1; si 1 � x2 < 2 =) �

p2 < x � �1 ó 1 � x <

p2;

por lo tanto,

limx!1+

[[x]]2 �

��x2��

x2 � 1 = limx!1+

1� 1x2 � 1 = lim

x!1+

0

x2 � 1 = limx!1+

0 = 0;

es decir,

limx!1+

[[x]]2 �

��x2��

x2 � 1 = 0 existe.

F

Ejemplo 151 : Calcular el siguiente límite,

limh!0

f (x+ h)� f (x)h

;

si es que existe, para la función f (x) = x.


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

(x+ h)� xh

= limh!0

x+ h� xh

= limh!0

h

h= lim

h!01 = 1

es decir,

limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= 1 existe.

F


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

;

si es que existe, para la función f (x) = x2


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

(x+ h)2 � x2h

;

el cual es un límite con una indeterminación de la forma0

0, entonces

170

limh!0

(x+ h)2 � x2h

= limh!0

(x+ h� x) (x+ h+ x)h

= limh!0

h (2x+ h)

h= lim

h!0(2x+ h) = 2x;

luego

limh!0

(x+ h)2 � x2h

= 2x existe.

F


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

;

si es que existe, para la función f (x) =1

x2


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

1

(x+ h)2 �

1

x2

h;


0, entonces

limh!0

1

(x+ h)2 �

1

x2

h= lim

h!0

x2 � (x+ h)2

x2 (x+ h)2

h= lim

h!0

x2 � (x+ h)2

h x2 (x+ h)2 = lim

h!0

(x� (x+ h)) (x+ x+ h)h x2 (x+ h)

2

= limh!0

�h (2x+ h)h x2 (x+ h)

2 = limh!0

� (2x+ h)x2 (x+ h)

2 =�2xx4

= � 2x3;

luego

limh!0

1

(x+ h)2 �

1

x2

h= � 2

x3 existe.

F


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

si es que existe, para la función f (x) = 3px.


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

3px+ h� 3

px

h:

Calculamos el límite, el cual es una indeterminación de la forma0

0. Aplicamos la conjugada para levantar la

indeterminación

limh!0

3px+ h� 3

px

h= lim

h!0

�3px+ h� 3

px�

h

�3

q(x+ h)

2+ 3px+ h 3

px+

3px2�

�3

q(x+ h)

2+ 3px+ h 3

px+

3px2�

= limh!0

3

q(x+ h)

3 � 3px3

h

�3

q(x+ h)

2+ 3px+ h 3

px+

3px2�

= limh!0

(x+ h)� x

h

�3

q(x+ h)

2+ 3px+ h 3

px+

3px2�

171

limh!0

3px+ h� 3

px

h= lim

h!0

h

h

�3

q(x+ h)

2+ 3px+ h 3

px+

3px2�

= limh!0

1

3

q(x+ h)

2+ 3px+ h 3

px+

3px2=

1

3

q(x+ (0))

2+ 3px+ (0) 3

px+

3px2

=1

3px2 + 3

px 3px+

3px2=

13px2 +

3px2 +

3px2=

1

33px2;

luego,

limh!0

3px+ h� 3

px

h=

1

33px2

existe.

F


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

;

si es que existe, para la función f (x) = k, donde k es una constante.


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

k � kh

= limh!0

0

h= lim

h!00 = 0

es decir,

limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= 0 existe.

F


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

si es que existe, para la función

f (x) =2x+ 3

x� 1Solución : Tenemos que

limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

2 (x+ h) + 3

(x+ h)� 1 �2x+ 3

x� 1h

:

Calculamos el límite, presenta una indeterminación de la forma0

0.

limh!0

2 (x+ h) + 3

(x+ h)� 1 �2x+ 3

x� 1h

= limh!0

(x� 1) (2x+ 2h+ 3)� (x+ h� 1) (2x+ 3)(x+ h� 1) (x� 1)

h

= limh!0

(x� 1) (2x+ 2h+ 3)� (x+ h� 1) (2x+ 3)h (x+ h� 1) (x� 1)

= limh!0

2x2 + 2hx+ 3x� 2x� 2h� 3��2x2 + 3x+ 2xh+ 3h� 2x� 3

�h (x+ h� 1) (x� 1)

= limh!0

2x2 + 2hx+ 3x� 2x� 2h� 3� 2x2 � 3x� 2xh� 3h+ 2x+ 3h (x+ h� 1) (x� 1)

= limh!0

�2h� 3hh (x+ h� 1) (x� 1) = lim

h!0

�5hh (x+ h� 1) (x� 1)

= limh!0

�5(x+ h� 1) (x� 1) = �

5

(x+ (0)� 1) (x� 1)

= � 5

(x� 1) (x� 1) = �5

(x� 1)2;

172

luego,

limh!0

2 (x+ h) + 3

(x+ h)� 1 �2x+ 3

x� 1h

= � 5

(x� 1)2 existe.

F


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

;

si es que existe, para la función f (x) =px2 � x.


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

q(x+ h)

2 � (x+ h)�px2 � x

h;


0, entonces

limh!0

q(x+ h)

2 � (x+ h)�px2 � x

h= lim

h!0

�q(x+ h)

2 � x� h�px2 � x

�h

�q(x+ h)

2 � x� h+px2 � x

��q

(x+ h)2 � x� h+

px2 � x

�

= limh!0

�q(x+ h)

2 � x� h�2��px2 � x

�2h

�q(x+ h)

2 � x� h+px2 � x

� = limh!0

(x+ h)2 � x� h�

�x2 � x

�h

�q(x+ h)

2 � x� h+px2 � x

�

= limh!0

x2 + 2xh+ h2 � x� h� x2 + x

h

�q(x+ h)

2 � x� h+px2 � x

� = limh!0

2xh+ h2 � h

h

�q(x+ h)

2 � x� h+px2 � x

�

= limh!0

h (2x+ h� 1)

h

�q(x+ h)

2 � x� h+px2 � x

� = limh!0

2x+ h� 1q(x+ h)

2 � x� h+px2 � x

S:I:=

2x� 1px2 � x+

px2 � x

=2x� 12px2 � x

;

luego

limh!0

q(x+ h)

2 � (x+ h)�px2 � x

h=

2x� 12px2 � x

existe.

F


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

;

si es que existe, para la función f (x) =x2 � 23px+ x


limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

(x+ h)2 � 2

3p(x+ h) + (x+ h)

� x2 � 23px+ x

h;


0, entonces

173

limh!0

(x+ h)2 � 2

3p(x+ h) + (x+ h)

� x2 � 23px+ x

h= lim

h!0

( 3px+ x)

�(x+ h)

2 � 2��x2 � 2

� �3px+ h+ x+ h

��3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

h

= limh!0

( 3px+ x)

�(x+ h)

2 � 2��x2 � 2

� �3px+ h+ x+ h

�h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

= limh!0

( 3px+ x)

�x2 + 2xh+ h2 � 2

��x2 � 2

� �3px+ h+ x+ h

�h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

= limh!0

( 3px+ x)

��x2 � 2

�+ h (2x+ h)

��x2 � 2

� �3px+ h+ x+ h

�h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

= limh!0

( 3px+ x)

�x2 � 2

�+ h ( 3

px+ x) (2x+ h)�

�x2 � 2

� �3px+ h+ x+ h

�h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

= limh!0

�x2 � 2

� �3px+ x�

�3px+ h+ x+ h

��+ h ( 3

px+ x) (2x+ h)

h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

= limh!0

�x2 � 2

� �3px+ x� 3

px+ h� x� h

�+ h ( 3

px+ x) (2x+ h)

h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

= limh!0

�x2 � 2

� �3px� 3px+ h� h

�+ h ( 3

px+ x) (2x+ h)

h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

= limh!0

�x2 � 2

� �3px� 3px+ h

�h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

� limh!0

�x2 � 2

�h

h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

+ limh!0

h ( 3px+ x) (2x+ h)

h�3px+ h+ x+ h

�( 3px+ x)

=x2 � 23px+ x

limh!0

3px� 3px+ h

h�3px+ h+ x+ h

� � x2 � 23px+ x

limh!0

h

h�3px+ h+ x+ h

�+ limh!0

h (2x+ h)

h�3px+ h+ x+ h

� ;donde, el primer límite de la última igualdad lo resolvemos aplicando conjugada

limh!0

3px� 3px+ h

h�3px+ h+ x+ h

� = limh!0

�3px� 3px+ h

�h�3px+ h+ x+ h

��

3px2 + 3

px 3px+ h+

3

q(x+ h)

2

��

3px2 + 3

px 3px+ h+

3

q(x+ h)

2

�

= limh!0

( 3px)3 �

�3px+ h

�3h�3px+ h+ x+ h

� �3px2 + 3

px 3px+ h+

3

q(x+ h)

2

�

= limh!0

x� (x+ h)

h�3px+ h+ x+ h

� �3px2 + 3

px 3px+ h+

3

q(x+ h)

2

�

= limh!0

�h

h�3px+ h+ x+ h

� �3px2 + 3

px 3px+ h+

3

q(x+ h)

2

�

174

= limh!0

�1�3px+ h+ x+ h

� �3px2 + 3

px 3px+ h+

3

q(x+ h)

2

�

=�1

( 3px+ x)

�3px2 + 3

px 3px+

3

q(x)

2

� = �13

3px2 ( 3px+ x)

;

es decir,

limh!0

3px� 3px+ h

h�3px+ h+ x+ h

� = �13

3px2 ( 3px+ x)

;

mientras, el segundo límite es

limh!0

h

h�3px+ h+ x+ h

� = limh!0

13px+ h+ x+ h

=1

3px+ x

;

y por último, el tercer límite

limh!0

h (2x+ h)

h�3px+ h+ x+ h

� = limh!0

2x+ h3px+ h+ x+ h

=2x

3px+ x

;

así,

limh!0

(x+ h)2 � 2

3p(x+ h) + (x+ h)

� x2 � 23px+ x

h=

x2 � 23px+ x

�13

3px2 ( 3px+ x)

� x2 � 23px+ x

13px+ x

+2x

3px+ x

=��x2 � 2

�3

3px2 ( 3px+ x)

2 �x2 � 2

( 3px+ x)

2 +2x

3px+ x

= � x2 � 2( 3px+ x)

2

�1

33px2+ 1

�+

2x3px+ x

=

2x ( 3px+ x)�

�x2 � 2

�� 1

33px2+ 1

�( 3px+ x)

2 ;

es decir,

limh!0

(x+ h)2 � 2

3p(x+ h) + (x+ h)

� x2 � 23px+ x

h=

2x ( 3px+ x)�

�x2 � 2

�� 1

33px2+ 1

�( 3px+ x)

2 :

F

175

Ejercicios

1. Calcular1: f (�1) 2: lim

x!�1�f (x) 3: lim

x!�1+f (x) 4: lim

x!�1f (x)

5: f (3) 6: limx!3�

f (x) 7: limx!3+

f (x) 8: limx!3

f (x)

considerando la gra�ca de la función f

543210-1-2-3-4-5

6

5

4

3

2

10

-1

-2

-3

-4

-5

2. Calcular1: f (1) 2: lim

x!1�f (x) 3: lim

x!1+f (x) 4: lim

x!1f (x)

5: f (3) 6: limx!3�

f (x) 7: limx!3+

f (x) 8: limx!3

f (x)


543210-1-2-3-4-5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

-0.75

-1

-1.25

176


x!�2�f (x) 3: lim

x!�2+f (x) 4: lim

x!�2f (x)

5: f (0) 6: limx!0�

f (x) 7: limx!0+

f (x) 8: limx!0

f (x)

9: f (1) 10: limx!1�

f (x) 11: limx!1+

f (x) 12: limx!1

f (x)

13: f (4) 14: limx!4�

f (x) 15: limx!4+

f (x) 16: limx!4

f (x)


543210-1-2-3-4-5

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5


x!�2�f (x) 3: lim

x!�2+f (x) 4: lim

x!�2f (x)

5: f (0) 6: limx!0�

f (x) 7: limx!0+

f (x) 8: limx!0

f (x)

9: f (2) 10: limx!2�

f (x) 11: limx!2+

f (x) 12: limx!2

f (x)


3210-1-2-3

1

0.5

0

-0.5

-1

177


x!�3�f (x) 3: lim

x!�3+f (x) 4: lim

x!�3f (x)

5: f (�1) 6: limx!�1�

f (x) 7: limx!�1+

f (x) 8: limx!�1

f (x)

9: f (1) 10: limx!1�

f (x) 11: limx!1+

f (x) 12: limx!1

f (x)

13: f (3) 14: limx!3�

f (x) 15: limx!3+

f (x) 16: limx!3

f (x)


543210-1-2-3-4-5

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

6. Gra�que la función dada y luego determine, si existen:

a: f (c) ; b: limx!c�

f (x) ; c: limx!c+

f (x) ; d: limx!c

f (x) :

1: f (x) =

(3x+ 2 si x < 2

x3 si x > 2; c = 2 2: f (x) =

8>><>>:1� x4 si x < �1

3 si x = �1

x+ 1 si x > �1; c = �1

3: f (x) =

(1� 3x si x < 1

x3 si x � 1; c = 1 4: f (x) =

8>><>>:1 + x2 si x < 0

�1 si x = 0

2� x2 si x > 0

; c = 0

5: f (x) =

8<:jsenx� 1j si x < 0

1� 2xx+ 1

si x � 0; c = 0 6: f (x) =

8>><>>:3p3� x si �3 � x < 4

0 si x = 4

sen (�x)� 1 si x > 4

; c = 4

7. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes

limx!�2

f (x) = �2 ; limx!0�

f (x) = 1 ; f (0) = 3 ; limx!0+

f (x) = 2 ; limx!1

f (x) = 0


f (�1) = 1 ; limx!�1

f (x) = �1 ; limx!1�

f (x) = �1 ; limx!1+

f (x) = 1 ; limx!0

f (x) = 0


f (2) no existe ; limx!2

f (x) = 0 ; limx!0�

f (x) = 0 ; limx!0+

f (x) = �1 ; f (0) = 0

178


f�12

�= 2 ; f (�1) = 3 ; lim

x!�1�f (x) = 1 ; lim

x!�1+f (x) = 1 ; lim

x!1=2no existe

11. Calcular los siguientes límites

1: limx!4

(x� 1)3 2: limx!�1

x2 � 4x� 53x� 2 3: lim

x!2

�px+

1px

�4: lim

x!2

2x2 � 53� 2x

5: limx!0

x� cosxp1� x

6: limx!3

x2 � x+ 5x� 1 7: lim

x!2

2x2 � 3x� 2x2 � x� 2 8: lim

x!2

x2 � 5x+ 6x� 2

9: limx!0

1� cosxsenx

10: limh!0

p2 + h�

p2

h11: lim

x!1

sen��2x�� 1

sen2 (�x)12: lim

t!t0

3pt� 3pt0

t� t0

13: limx!b

x4 � b4x3 � b3 14: lim

h!0

px+ h�

px

h15: lim

h!0

(x+ h)2 � x2h

16: limx!�1

x2 + 3x+ 4

2x2 � x+ 5

17: limx!2

8� x3x2 � 2x 18: lim

x!0

3p1 + x� 1x

19: limx!0

p�x+ 1� 1p�x+ 4� 2

20: limx!1

2x2 � 3x+ 1x� 1

21: limx!1

3px� 1px� 1 22: lim

t!3

pt+ 1� 2t2 � 9 23: lim

x!0

3px+ 3� 3

p3

x24: lim

x!�1

p7x2 + 2� 3p3 + 2x+ x

25: limx!1

1� x2p1� x4

26: limx!7

2�px� 3

x2 � 49 27: limx!c

x2 � c2x2 + 2cx+ c2

28: limx!3

px2 � 6x+ 9x� 3

29: limx!0

x3 � a3x� a 30: lim

x!0

(a+ x)3 � a3x

31: limx!c

x2 � 2cx+ c2x2 � c2 32: lim

x!1

5p2� x�

px

1� x

33: limx!�3

x3 + 27

x+ 334: lim

x!2

px+ 2�

p3x� 2p

4x+ 1�p5x� 1

35: limx!0

7 sen3 x+ 8 sen2 x

cosx� 1 36: limx!1

x� 1px� 1

37: limt!4

t4 � 256t2 � 16 38: lim

t!0

5t3 + 8t2

3t4 � 16t2 39: limx!2

4� x2

3� 3p5x2 + 7

40: limx!1

3p3x+ 5� 2

3p10x+ 17� 3

41: limx!�a

x2 + x+ a� a2x+ a

42: limx!0

tanx� secx+ 1tanx

43: limx!0

px2 + 3x+ 1�

px+ 1p

3x2 + 4�px+ 9

44: limx!0

p1 + x�

p1� x

x45: lim

x!1

px2 + 3�

p3x+ 1p

5x+ 4�p2x2 + 7

46: limx!0

px2 + 3x+ 9� 3p4� x� 2

47: limx!�1

1 + 3px

1 + 5px

48: limx!1

3p7 + x3 �

p3 + x2

x� 1 49: limx!1

1�px

1� 3px

50: limx!0

px+ 5�

p5

4x

51: limx!0

cosx� sen2 x� 1cosx� cos2 x 52: lim

x!0

px2 + a2 � apx2 + b2 � b

a; b > 0 53: limx!0+

p4 +px� 2px

54: limx!2

2� xpx�p2

55: limx!0

1�p1� x2x2

56: limx!�=2

senx� 1cosx

57: limx!1+

[[x]]

58: limx!1�

[[x]] 59: limx!2�

[[x]]�p3� x

4� x2 60: limx!1+

[[x]]2 �

��x2��

x2 � 1 61: limx!1

[[x]]2 �

��x2��

x2 � 1

62: limx!2

px+ 1�

p5� x

2x2 � 9x+ 10 63: limx!1

pa+ 2 (x� 1)�

pa

x� 1 64: limx!�2

5x2 � 5x+ 5x3 + x4 � 64x2 � 11x+ x3 � 30

65: limx!0�

x

[[x]]66: lim

x!0

x

jxj 67: limx!0�

x

x+ jxj 68: limx!0

x

x+ jxj 69: limx!1

xr � 1x� 1

70: limx!x0

1

x� 1

x0x� x0

71: limx!x0

1

x2� 1

x20x� x0

72: limx!x0

1

x� 1

x01

x2� 1

x20

73: limx!0

1

2 + x� 12

x

179

74: limx!1

x� 1xn � 1 75: lim

x!3

x2 � 3x� 3x� 17� x

1� 4

x+ 1

76: limx!1

1

x+ 1� 1

3x� 1x� 3x

x+ 2

77: limx!0

1�r3x2 + 4

x2 + 4x2

78: limx!3�

9� x2 � 3p3� x

4p3� x

79: limx!0

p5x2 � x4 � x2

x80: lim

x!1

x4 + x3 � 3x2 � x+ 2x4 � x3 � 13x2 + 25x� 12

81: limx!5

p3x+ 1� 4px� 2�

p3

82: limt!�b

t5 + b5

t+ b83: lim

x!2

8� x3x2 � 2x �

(x� 2)3�x2 � 3x+ 2

�x4 � 8x3 + 24x2 � 32x+ 16

!

84: limx!0

p4 + 3px� 2

3px

85: limx!4

x3px� 4� x+ 4x2 � 1 86: lim

x!1

xm � 1xn � 1 87: lim

t!3

p3 + 2t� 33� t

88: limx!2

px+ 7� 3

p2x� 3

3px+ 6� 2 3

p3x� 5

89: limx!3

px+ 6� 3

px+ 24

37� x3 90: limx!a

xpx� a

pa

apx� x

pa

91: limh!0

q(x+ h)

2 � (x+ h)�px2 � x

h92: lim

h!0

3px� 3px+ h

h�3px+ h+ x+ h

�12. Considerando los límites por la derecha y por la izquierda, demuestre que lim

x!0jxj = 0.

13. Calcular los siguientes límites cuando existan, utilizando los límites laterales cuando sea necesario.

1: limx!0+

x

jxj 2: limx!�2

jx+ 2jx+ 2

3: limx!1

h (x) ; h (x) =

8><>:x� 1px� 1

si x > 1

2x� 2 si x < 1

4: limx!0

x

jxj 5: limx!3+

x� 3q(x� 3)2

6: limx!1

g (x) ; g (x) =

(2x3 si x < 1px+ 3 si x � 1

14. Dadas las siguientes funciones

a: f (x) =

(x2 � 2x� 1 si x < 2

3� 2x si x � 2b: f (x) =

(�x3 si x < 2

(x+ 1)2 si x > 2

1: Encuentre limx!2+

f (x) y limx!2�

f (x) 2: ¿Existe limx!2

f (x) ? 3: Trace la grá�ca de f

15. Sea

h (x) =

8>><>>:x si x < 0

x2 si 0 < x � 2

8� x si x > 2

(a) Evalúe los siguientes límites, si existen.

1: limx!0+

h (x) 2: limx!0

h (x) 3: limx!1

h (x) 4: limx!2�

h (x) 5: limx!2+

h (x) 6: limx!2

h (x)

(b) Trace la grá�ca de h

16. Sean

f (x) =

(x2 + 3 si x � 1

x+ 1 si x > 1y g (x) =

(x2 si x � 1

2 si x > 1

1. Encuentre limx!1�

f (x) y limx!1+

f (x) 2. Encuentre limx!1�

g (x) y limx!1+

g (x)

3. Encontrar fórmulas para f (x) � g (x) 4. Encuentre limx!1�

f (x) � g (x) y limx!1+

f (x) � g (x)

5. ¿Existe limx!1

f (x) � g (x)?

180

17. Escriba la de�nición formal de

1: limx!x�0

f (x) = L 2: limx!x+0

f (x) =M

18. Demuestre que si c > 0, entonces,limx!c

px =pc

19. Usando la de�nición formal de límite, demuestre los siguientes límites

1: limx!5

10 = 10 2: limx!�2

� = � 3: limx!0

(x� 4) = �4 4: limx!3

x = 3

5: limx!4

2x = 8 6: limx!2

3x

5=6

57: lim

x!�1(x+ 6) = 5 8: lim

x!1(9� 6x) = 3

9: limt!0+

p5t = 0 10: lim

x!0x2 = 0 11: lim

x!0(3x+ 7) = 7 12: lim

x!1=28 (2x+ 5) = 48

13: limx!0

8x3 = 0 14: limx!2

1

3x=1

615: lim

x!2

2x� 34

=1

416: lim

x!�5

x2 � 25x+ 5

= �10

17: limx!3

x2 � 7x+ 122x� 6 = �1

218: lim

t!1

2t3 + 5t2 � 2t� 5t2 � 1 = 7 19: lim

x!�2

�x2 � 1

�= 3

20: limx!0

(3x+ 5) = 5 21: limx!1

(2x� 4) = �2 22: limx!1

�x2 � 1

�= 0

23: limx!0

�4x2 + 2

�= 2 24: lim

x!2

�p2x� 4

�= �2 25: lim

x!1(2px� 4) = �2

26: limx!0

p3� x =

p3 27: lim

x!7

3px+ 1 = 2 28: lim

x!0

�3px� 1 + 1

�= 0

29: limx!2

1

x=1

230: lim

x!0

1

x+ 2=1

231: lim

x!1

x� 1x+ 3

= 0 32: limx!3

2x� 13x

=5

9

33: limx!1

1p5� x

=1

234: lim

x!1=2

3 + 2x

5� x =8

935: lim

x!4

px� 2x� 4 =

1

4

36: limx!0�

f (x) = �1; si f (x) =

(2x� 1; x < 0

2x+ 1; x > 037: lim

x!(1=2)+

p2x� 1 = 0

38: limx!1+

f (x) = 3; si f (x) =

(0; x � 13; x > 1

39: limx!9�

4p9� x = 0

20. Sean F y G funciones tales que 0 � F (x) � G (x) para toda x próxima a c, con la posible excepción de c.Demuestre que si lim

x!cG (x) = 0, entonces lim

x!cF (x) = 0.

21. Si 1 � f (x) � x2 + 2x+ 2 para todo x, encuentre limx!�1

f (x).

22. Si 3x � f (x) � x3 + 2 para todo 0 � x � 2, evalúe limx!1

f (x).

23. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes a la de�nición de límite?

(a) Para algún � > 0 y todo � > 0,

0 < jx� cj < � =) 0 < jf (x)� Lj < �

(b) Para todo � > 0, existe un � > 0 correspondiente tal que

0 < jx� cj < � =) 0 < jf (x)� Lj < �

(c) Para todo entero positivo N existe un entero positivo correspondiente M tal que

0 < jx� cj < 1=M =) 0 < jf (x)� Lj < 1=N

181

(d) Para todo � > 0 existe un correspondiente � > 0, tal que

0 < jx� cj < � =) 0 < jf (x)� Lj < �

para algún x.

24. Demuestre que, si f y g tienen límite cuando x tiende a c, entonces

limx!c

[f (x) + g (x)] = limx!c

f (x) + limx!c

g (x) :


limx!c

[f (x)� g (x)] = limx!c

f (x)� limx!c

g (x) :


limx!c

[f (x) � g (x)] = limx!c

f (x) � limx!c

g (x) :


limx!c

f (x)

g (x)=limx!c

f (x)

limx!c

g (x)

siempre y cuando limx!c

g (x) 6= 0.

28. Calcular el siguiente límite, si es que existe,

limh!0

f (x+ h)� f (x)h

para las siguientes funciones

1: f (x) = k 2: f (x) = x 3: f (x) = x2 4: f (x) = x3 5: f (x) = x4

6: f (x) = x�1 7: f (x) = x�2 8: f (x) = x�3 9: f (x) =px 10: f (x) = 3

px

11: f (x) = 4px 12: f (x) = �4 13: f (x) = 2 14: f (x) = �3x 15: f (x) =

xp3

16: f (x) = 2x2 17: f (x) =5px

18: f (x) =53px

19: f (x) =2p�x

20: f (x) =3

3p�x

21: f (x) = 5x� 3 22: f (x) = 7� 4x 23: f (x) = x2 � 1 24: f (x) = 3� 2x2

25: f (x) = 4x2 � 3x 26: f (x) =x

3� 5x2 27: f (x) =

63px

28: f (x) =p2x+ 1

29: f (x) = 3p5x� 7 30: f (x) =

1

4� x 31: f (x) =2

3x+ 132: f (x) =

x+ 1

x� 1

33: f (x) =2 + x

x2 � x 34: f (x) =6

x2 + 135: f (x) =

2x� 11� x 36: f (x) =

p2� 3xx

37: f (x) =�24� x2 38: f (x) =

x

1� 2x 39: f (x) =1px+ 1

40: f (x) =x

x2 � 3

41: f (x) =4

3x42: f (x) =

px3 � x 43: f (x) =

5x

1� x 44: f (x) =3px� 1px+ 1

45: f (x) =p2x+ x2 � 3

29. Demuestre que

limh!0

f (x+ h)� f (x)h

no existe cuando x = 0 y la función es f (x) = jxj.

182

30. Calcule

limh!0

f (0 + h)� f (0)h

para f (x) = x jxj.

Respuestas : Ejercicios

1:1: 2; 1:2: 6; 1:3: � 1; 1:4: No existe; 1:5: 3; 1:6: 3; 1:7: � 3; 1:8: No existe; 2:1: 1;

2:2: 12 ; 2:3: 1

2 ; 2:4: 12 ; 2:5: No está de�nida; 2:6: 1

4 ; 2:7: � 1; 2:8: No existe; 3:1: No está de�nida;

3:2: 1; 3:3: 0; 3:4: No existe; 3:5: 0; 3:6: 0; 3:7: 0; 3:8: 0; 3:9: 1; 3:10: 0; 3:11: 1;

3:12: No existe; 3:13: 1; 3:14: 1; 3:15: � 1; 3:16: No existe; 4:1: � 12 ; 4:2: � 1; 4:3: � 1

2 ;

4:4: No existe; 4:5: No está de�nida; 4:6: No existe; 4:7: 1; 4:8: No existe; 4:9: No está de�nida; 4:10: 1;

4:11: 1; 4:12: 1; 5:1: � 1; 5:2: 2; 5:3: 2; 5:4: 2; 5:5: � 2; 5:6: � 2; 5:7: � 2; 5:8: � 2;

5:9: � 1; 5:10: 0; 5:11: 1; 5:12: No existe; 5:13: � 1; 5:14: � 1; 5:15: 1; 5:16: No existe;

6:1:a: Inde�nido; 6:1:b: 8; 6:1:c: 8; 6:1:d: 8; 6:2:a: 3; 6:2:b: 0; 6:2:c: 0; 6:2:d: 0; 6:3:a: 1;

6:3:b: � 2; 6:3:c: 1; 6:3:d: No existe; 6:4:a: � 1; 6:4:b: 1; 6:4:c: 2; 6:4:d: No existe; 6:5:a: 1;

6:5:b: 1; 6:5:c: 1; 6:5:d: 1; 6:6:a: 0; 6:6:b: � 1; 6:6:c: � 1; 6:6:d: � 1; 11:1: 27; 11:2: 0;

11:3: 32

p2; 11:4: � 3; 11:5: � 1; 11:6: 11

2 ; 11:7: 53 ; 11:8: � 1; 11:9: 0; 11:10:

p24 ; 11:11: � 1

8 ;

11:12: 1

3 3qt20

; 11:13: 4b3 ; 11:14: 1

2px; 11:15: 2x; 11:16: 1

4 ; 11:17: � 6; 11:18: 13 ; 11:19: 2; 11:20: 1;

11:21: 23 ; 11:22: 1

24 ; 11:23: 193p3; 11:24: � 7

6 ; 11:25: 0; 11:26: � 156 ; 11:27: 0; 11:28: No existe;

11:29: a2; 11:30: 3a2; 11:31: 0; 11:32: 710 ; 11:33: 27; 11:34: 3; 11:35: � 16; 11:36: 2; 11:37: 32;

11:38: � 12 ; 11:39: 0; 11:40: 27

40 ; 11:41: 1� 2a; 11:42: 1; 11:43: 0; 11:44: 1; 11:45: � 32 ; 11:46: � 2;

11:47: 53 ; 11:48: � 1

48 ; 11:49: 32 ; 11:50:

p5

40 ; 11:51: � 3; 11:52: ba ; 11:53: 1

4 ; 11:54: � 2p2;

11:55: 12 ; 11:56: 0; 11:57: 1; 11:58: 0; 11:59: � 1

8 ; 11:60: 0; 11:61: No existe; 11:62: �p33 ;

11:63: 1pa; 11:64: � 1

5 ; 11:65: 0; 11:66: No existe; 11:67: 12 ; 11:68: No existe; 11:69: r; 11:70: � 1

x20;

11:71: � 2

x30; 11:72:

x02 ; 11:73: � 1

4 ; 11:74: 1n ; 11:75: 1

3 ; 11:76: 32 ; 11:77: � 1

4 ; 11:78: 0;

11:79: No existe; 11:80: � 35 ; 11:81: 3

4

p3; 11:82: 5b4; 11:83: � 7; 11:84: 1

4 ; 11:85: 0; 11:86: mn ;

11:87: � 13 ; 11:88: 0; 11:89: � 7

1458 ; 11:90: � 3; 13:1: 1; 13:2: No existe; 13:3: 0; 13:4: No existe;

13:5: 1; 13:6: 2; 14:a:1: � 1 y � 1; 14:a:2: � 1; 14:b:1: � 8 y 9; 14:b:2: No existe; 15:a:1: 0;

15:a:2: 0; 15:a:3: 1; 15:a:4: 4; 15:a:5: 6; 15:a:6: No existe; 16:1: 4 y 2; 16:2: 1 y 2; 16:4: 4 y 4;

16:5: 4; 21: 1; 22: 3; 28:1: 0; 28:2: 1; 28:3: 2x; 28:4: 3x2; 28:5: 4x3; 28:6: � 1x2;

28:7: � 2x3; 28:8: � 3

x4; 28:9: 1

2px; 28:10: 1

33px2; 28:11: 1

44px3; 28:12: 0; 28:13: 0; 28:14: � 3;

28:15:p33 ; 28:16: 4x; 28:17: � 5

2x3=2; 28:18: � 5

3x 3px; 28:19: 1p

�x3; 28:20: 1

3px4; 28:21: 5; 28:22: � 4;

28:23: 2x; 28:24: � 4x; 28:25: 8x� 3; 28:26: � 10x+ 13 ; 28:27: � 2

x 3px; 28:28: 1p

2x+1; 28:29: 5

33p(5x�7)2

;

28:30: 1(4�x)2 ; 28:31: � 6

(3x+1)2; 28:32: � 2

(x�1)2 ; 28:33: 2�x2�4x(x2�x)2

; 28:34: � 12x

(x2+1)2; 28:35: (x� 1)�2 ;

28:36: �2x2

p2�3x ; 28:37: � 4x

(4�x2)2; 28:38: 1

(2x�1)2 ; 28:39: �12(x+1)3=2

; 28:40: � x2+3

(x2�3)2; 28:41: � 4

3x2;

28:42: 3x2�12px3�x

; 28:43:5(2�x)(1�x)2 ; 28:44: 1

3(x�1)3px�1px+1

� 12px

3px�1(px+1)2

; 28:45: x+1p2x+x2�3

; 30: 0;

Bibliogra�a

1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: �Cálculo". Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.

2. Stewart, J.: �Cálculo". Grupo Editorial Iberoamericano.

Cálculo Diferencial e Integral - Límite. Farith Briceño

Última actualizacón: Agosto 2012 e-mail : [email protected]

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