第2回　数学的準備物理学概説Ab or 力と運動 (力学)

以下の準備をお願いします

担当講師：桑畑和明

Zoom :

ホームページ :

マイクのミュート、ビデオの停止、 チャットを見れるようにしておいて下さい

http://www.ohno.ynu.ac.jp/kuwahata/index.html に授業のスライド、演習問題、提出フォーム、補助資料 を置いておきます

授業開始は12時50分から、少々お待ちください。

←ホームページには左のQRコードからもアクセス可能

（連絡先：g9501515@yokohama-cu.ac.jp）

成績評価方法配分： 授業レポート(50%) + 期末テスト(50%)合格ライン：70%レポートは毎回の授業で課す。締切は次の授業の開始時間まで。 ただし、遅れても減点はするが受け付けるので必ず提出すること。レポートには必ず式変形を書くこと。 ただし「式変形の記入は不要」と書かれている場合は除く

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レポートになるかも

◎

◎（金曜日12時50分まで）

提出先： ホームページの各授業の「提出」のリンクから◎

ホームページを一部抜粋

クリック

レポートに関する質問

◎ レポートを複数回送ってしまった◎ レポートを修正したい

レポートは何回提出しても構いません

授業後10分程度はzoomに残ります。 質問がある場合は授業後にどうぞ

・

◎

評価は最新のレポートでおこなう・

問1. なぜ数学の知識が必要なのか？

答1. 数字を用いた方が正確で、簡潔に表現できるから

例）運動の第2法則物体に力が作用すると、力の方向に加速度を生じる 加速度はその物体が受ける力に比例し、物体の質量に逆比例する

or m a = F md2 rdt2

= F

日本語：

数学：

問2. 数学の何の知識が必要？

答2. ベクトル、微分・積分、三角関数

第2回　数学的準備

（偏微分、ベクトル解析）

数学でよく使う記号 結論を述べるときに使う。「よって」の意味∴

理由を述べるときに使う。「なぜなら」の意味∵

A = B, B = C ∴ A = C

A = C ( ∵ A = B, B = C)

両者が同値である⇔

x = |a | ⇔ x = ± a

Q.E.D. （□、■） 証明終了

ベクトル

ベクトル：大きさと向きをもつ量A

x

y

Ax

Ay A = (Ax, Ay)座標

例) 、 に対してA = (Ax, Ay) B = (Bx, By)

C = A + B

◎ ベクトルの演算（和・差）

A

B

成分

C

= (Ax + Bx, Ay + By)

ベクトルの和・差は成分ごとにおこなう

F

F ∥

F ⊥

F = F ∥ + F ⊥

ベクトルの分解

A

BC

物体

A

BC

物理では こっちよりも こっち の考えを使う

C ← A + B C → A + B数式上はどちらも

だが、C = A + B

直接物体に仕事をするのは F ∥

を分解するF

ex ⋅ ex = 1, ey ⋅ ey = 1ex ⋅ ey = 0, ey ⋅ ex = 0

単位ベクトル

A = Ax ex + Ay ey

A = A′�xe′ �x + A′ �y

e′�y

：長さ1のベクトル

ベクトルを表現する軸に利用できる

特に、

となるものを正規直交基底という（基本ベクトルともいう）

プライム

例） | ex | = 1, | ey | = 1

（ちなみにダッシュはこちら“ ”）−

A

x

y

Ax

Ay

ex

ey

ex

ey

Ay

A′�x

A′�y

e′�x

e′�y動いている座標系 に対してe′�x , e′�y

詳しくは「12回 並進座標系」で

ベクトルの演算（内積）内積：2つのベクトルの射影を表現する

a

a ⋅ b = axbx + ayby + azbzb

= | a | | b |cos θθ

| b |cos θ

| a |

、 に対しa = (ax, ay, az) b = (bx, by, bz)

成分を抜き取る

A

x

y

とおく、A = Ax ex + Ay ey

ex

ey

正規直交基底を利用

?Ax

?Ay

ex ⋅ A = ex ⋅ (Ax ex + Ay ey)

ex ⋅ ex = 1, ey ⋅ ey = 1ex ⋅ ey = 0, ey ⋅ ex = 0

= Ax( ex ⋅ ex) + Ay( ex ⋅ ey) , 同様に = Ax ey ⋅ A = AyA

x

y

A x

A y A x = Ax ex = ( ex ⋅ A ) ex

A y = Ay ey = ( ey ⋅ A ) ey = A − A x

ベクトルの演算（外積）外積：2つのベクトルが作る平面と直交するベクトル

c = a × b

a

b

c

a × b =aybz − byaz

azbx − bzax

axby − bxay

（右ねじの法則）

外積ベクトルの向きは 右ねじの法則に従う

a

b

c

S| c | =

a

b外積の大きさは 2つのベクトルの面積に等しい

外積の意味c = a × b

rv 物体の回転を表現するのによく使う

詳しくは「11回 角運動量とケプラーの法則」で

力学では外積をどこで使う？

同じ回転速度でも向きを考慮する

いらすとや（https://www.irasutoya.com）より

内積・外積のまとめ

内積

外積

a ⋅ b = axbx + ayby + azbz

a × b = (aybz − byaz, azbx − bzax, axby − bxay)

ベクトル , に対してa = (ax, ay, az) b = (bx, by, bz)

正射影したベクトルの大きさをかけた値

定義：

定義：

意味：

2つのベクトルが作る平面と直交するベクトル意味：

例) 距離 を時間で微分x

y = f(x)ydfdx

(x) = limΔx→0

f(x + Δx) − f(x)Δx

x x + Δx

傾き f′�(x) や などの表記もあるf′ � ·f

：速度dxdt

= v

：加速度d2xdt2

=dvdt

= a

積分：傾きを求める

定義：

Δx

f(x + Δx) − f(x)

微分の積の公式

ddx {f(x)g(x)} = lim

Δx→0

f(x + Δx)g(x + Δx) − f(x)g(x)Δx

= limΔx→0

f(x + Δx)g(x + Δx) −f(x)g(x + Δx) + f(x)g(x + Δx) −f(x)g(x)Δx

= limΔx→0 { f(x + Δx) − f(x)

Δxg(x + Δx) + f(x)

g(x + Δx) − g(x)Δx }

= f′�(x)g(x) + f(x)g′�(x)

◎ 微分の積の公式を導いてみよう

dfdx

(x) = limΔx→0

f(x + Δx) − f(x)Δx

ddx {f(x)g(x)} = f′�(x)g(x) + f(x)g′�(x)目標

定義

証明

微分の公式

,ddx

xa = axa−1 ,ddx

ex = ex ddx

log x =1x

,ddx

sin x = cos x ,ddx

cos x = − sin xddx

tan x =1

cos2 x

◎初等関数の微分

◎関数の積・商の微分(関数 、 に対して)f(x) g(x)

ddx { f(x)

g(x) } =f′�(x)g(x) − g′�(x)f(x)

g2(x)

,ddx {f(x)g(x)} = f′�(x)g(x) + f(x)g′�(x)

積分：

y = v(t)y

t0 tn

不定積分ti ti+1

r = v(t0)Δt + ⋯v(ti)Δt⋯ + v(tn)Δt

ri = v(ti)ΔtΔt

v(ti)

r = limn→∞

n

∑i=1

v(ti)Δt = ∫tn

t0

v(t)dt

F(x) + Cf(x)

ddx (F(x) + C)

∫ f (x)dx

面積を求める

t0 tn

y = v0 進んだ距離は面積で求められるr = v0(tn − t0)r

ri

tn − t0

v0

問）一定速度 で時刻 から まで進んだ距離 ？v0 t0 tn ry

問）速度 が時間変化する場合は？v(t)nで分割（ ）Δt = (tn − t0)/n

積分の公式

,∫ xadx =xa+1

a + 1+ C ,∫ exdx = ex + C ∫

1x

dx = log |x | + C

,∫ sin xdx = − cos x + C ,∫ cos xdx = sin x + C

◎ 初等関数の積分

◎ 部分積分

,∫ f(x)g′ �(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f′�(x)g(x)dx

積分は微分の逆と覚える

微分・積分のまとめ

◎ 微分

◎ 積分

関数の傾き

定義：

定義：

意味：

関数の面積意味：

dfdx

(x) = limΔx→0

f(x + Δx) − f(x)Δx

∫xn

x0

f(x)dx = limn→∞

n

∑i=1

f(xi)Δx

ベクトルの微分

A (t)

A (t + Δt)

ddt

A (t) = limΔt→0

A (t + Δt) − A (t)Δt

A (t + Δt) − A (t)

= limΔt→0

1Δt (Ax(t + Δt) − Ax(t), ⋯, ⋯)

= limΔt→0 ( Ax(t + Δt) − Ax(t)

Δt, ⋯, ⋯)

= ( dAx

dt,

dAy

dt,

dAz

dt )v (t) =ddt

r(t)

a (t) =ddt

v (t) =d2

dt2r(t) ベクトルの微分は成分の微分を考えればよい

例）ベクトルの微分

ベクトルの微分の注意点ddt

A (t) =ddt (Ax ex + Ay ey + Az ez)

=ddt (Ax ex) + ⋯

この際に基底ベクトル がtに依存するかの議論が必要ex , ey , ez

=dAx

dtex + Ax

d ex

dt+ ⋯

も考慮する必要があるd ex

dt

詳しくは 「10回 極座標と万有引力」で説明する

単位と次元単位

長さ(m, cm)、時間(s, h)、質量(kg, pond)

面積(m2)、速さ(m/s)、加速度(m/s2)

基本単位：それ以上分割できない単位

組立単位：基本単位の組み合わせでできている

次元：物理量の単位にのみ注目L (長さ、Length)、T (時間、Time)、M (質量、Mass)

例）

[～] ：～の次元

[m] = [cm] = [yard] = L[F] = [kg * m/s2] = ML/T2 = MLT-2

次元解析→単位の次元のみから物理量を調べる

例) 振り子の周期の公式を予想

T = 2πlg

[ lg ] = [ L

LT−2 ] = T

or 2πgl

[ gl ] = [ LT−2

L ] =1T

or

公式は？

次元解析

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