Ccc Cccc Cccc

7/21/2019 Ccc Cccc Cccc

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En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo

punto y terminan empatados. El teorema del valor medio permitedemostrar que sus velocidades fueron iguales en algún instante de lacarrera.

Presentación

En el capítulo anterior se presentaron todas las herramientas básicascomo medio para resolver una serie de problemas en los que interviene

la derivada, que son de gran importancia práctica y que de otra formano podrían ser resueltos.

En este capítulo se exponen las aplicaciones más elementales einteresantes de la derivación a problemas del análisis matemático(estudio de la variación de las funciones, extremos relativos,concavidad, puntos de inflexión y, en general, el traado completo decurvas!, de la geometría (rectas tangentes y normales!, de la física(movimiento variado! y en problemas de la vida diaria en los cualesse precisa minimiar costos, obtener beneficios máximos, etc., y paraellos la teoría de la deri- vación proporciona información suficiente.

Capít

ul

4o

4

Aplicacionesde

laderivada



Contenido breve Módulo 20

"nterpretaciones geom#trica y física de la derivada

Módulo 21$alores extremos de una función de variable real

Módulo 22

%eorema del valor medio (%$&! para derivadas

Módulo 23

'riterio de la primera derivada

Módulo 24

'riterio de la segunda derivada

Módulo 25

nálisis y traado de curvas

Módulo 26

)roblemas de máximos y

mínimos

Módulo 27

*a derivada como raón de

cambio

Módulo 28

*a diferencial

Ejercicios

'apítulo +, módulos al



20Interpretacionesgeométrica y física dela derivada

Introducción

El problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy

antiguo y se remonta a la #poca del gran matemático griego rquímedes(/-0 a.'.!. El problema de la velocidad instantánea es másreciente. 'reció con los intentos de 1eppler (02/0-034!, 5alileo (023+-03+!, 6e7ton (03+-0//! y otros para describir la velocidad de uncuerpo en movimiento. Estos dos problemas, el uno geom#trico y elotro físico, en apariencia no están muy relacionados8 sin embargo,conducen al mismo límite de cocientes incrementales, esto es, alconcepto de derivada.

Obetivos del módulo

0. "nterpretar la derivada de una función en un punto como la

pendiente de la recta tangente a la curva que representa la funciónen dicho punto.

. "nterpretar físicamente la derivada s9(t ! como la velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta mediante la función s(t !,que permite calcular para cada t el espacio recorrido s.

4. "nterpretar s99(t ! como la aceleración de la partícula.

Preguntas b!sicas

Si un clavadista se lanza desdeuna plataforma situada a S0

pies de altura con unavelocidad v 0 (hacia arria!,"cu#ndo llegar# al agua y conqu$ velocidad% El modelocl#sico presentado al &nal delm'dulo da la respuesta.

0. :etermine las ecuaciones de la recta tangente

Ly de la recta normal (recta

perpendicular a la

tangente! L a la curva de ecuación y = f

( x! =

x

− , en el

punto P (4, 0!.

. ;i un ob<eto es arro<ado verticalmente hacia arriba (o haciaaba<o! desde una altura S (pies!, con una velocidad inicial v

(pies=s!, y si s es la altura sobre el piso

despu#s de t segundos, puede demostrarse que la posición S como función del

tiempo viene dada por S = f (t != −03t

+ v

⋅ t + S .

T

N



4. ;upóngase que se arro<a un ob<eto hacia arriba desde la partesuperior de un edi- ficio de 03 pies de altura con unavelocidad inicial de 3+ pies=s.

a. >'uándo el ob<eto alcana la altura máxima?

b. >'uál es la altura máxima?

c. >'uándo llega al piso?

d. >'on qu# velocidad llega al piso?

e. >'uál es su aceleración en el instante t @ s?

Contenidos del módulo

.0 "nterpretación geom#trica de la derivada

. "nterpretación física de la derivada



"#$ de )* Educaci'n no presencial



+'dulo 0- nterpretaciones

Elementos B#sicos de

0.2 Interpretación geométrica de la derivada

Ano de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal esmuy antiguoB data del gran científico griego rquímedes (/-0 a.'.!, se llama

problema de las tangentes y se describe a continuación.

;e da una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f ( x! (figura .0!.

%igura 20&"

;ea P un punto fi<o de la curva y Q un punto móvil de la curva y próximo a P . *arecta que pasa por P y Q se denomina recta secante.

'uando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones

sucesivas Q , Q , Q , ..., Q , ..., entonces la posición límite (si existe! de lasecante se

0 4 n

denomina recta tangente a la curva en P .

hora, si las coordenadas de los puntos P y Q son, respectivamente, P (c, f (c!),

Q (c + h, f (c

+ h!)(figura .!, entonces la pendiente de la recta secante PQ

denotada por msec

PQ

viene dada por

sec PQ

= tanα = f ( c + h! − f ( c!

.h

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical! es la recta cuya

pendiente m viene dada por

m

T



ap/tulo 5-

de )*

m = limm = lim

f (c + h! − f (c!= f ′(c!.T

P →Q sec

PQ h→ h



6ea el m'dulo 0 del programa de televisi'nElementos B#sicos de #lculo 1iferencial.

7 8

%igura 20&2

:e esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en P (c, f (c!) es

y − f (c! = f ′(c!( x − c! (forma punto-pendiente de la recta! (sección .+, ap#n-

dice ""!.

Ejemplo 20.1

:etermine las ecuaciones de la recta tangente

Ly de la recta normal (recta perpendi-

cular a la tangente!

L a la curva de ecuación y = f ( x!

=

en el punto P (4, 0!.

olución

6ote en primer lugar que el punto de tangencia P (4, 0! pertenece a la curva (figura.4!.

T

N



%igura 20&(

*a pendiente de L

9 dy :T ; <

viene dada por

= f ′(4!.

)ero

= dx > P (4,0!

f ′( x! =0

( x!( x− !

−0

=

x.

x

−

sí que mT = f ′(4! = 4.

Asando ahora la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta (sección .+,

ap#ndice ""! se tiene entonces que para L , y −0 = 4( x − 4! ⇔ 4 x − y − = eslaecuación de la recta tangente.

0m = − hora, como mT ⋅ m N

= −0,se deduce que N 4

Asando nuevamente la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta se tiene

y −0 = −0

( x − 4! ⇔ x + 4 y − 3 =

que, para L ,4

es la ecuación de la recta normal.

Ejemplo 20.2

Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación y = f ( x! = x4

+ 0,

que es paralela a la recta de ecuación x +0 y − 3 = .

olución

T

m =

T

.

N



En la figura .+ aparece la gráfica de la curva y de la recta dada.

%igura 20&4




;i se denota por L

m = −0

.

la recta normal, como L es paralela a x +0 y − 3 = se tiene

que N 0

)ara determinar la ecuación de L

hace falta conocer el punto P ( x , y ! de tangencia. N 0 0

)ara ello, se usa el hecho de que mT = 0 (mT B pendiente de la tangente!.

:e otro lado, mT

= f ′( x ! = 4 x

.sí que 4 x

= 0 ∴ x = ±.

Este Cltimo resultado indica que existen dos puntos de tangencia, a saberB P (,D! y P

( − , − /!. En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las

condiciones iniciales del problema. Ana de ellas pasa por P (, D! y tiene pendiente

m = − 0 . ;u ecuación viene dada por

y − D = − 0 ( x − ! ⇔ x +0 y −00 = .

N

0 0

m = −0

.*a otra pasa por P ( − , − /! y tiene pendiente

N

;u ecuación viene dada0

por y − (−/! = −

0( x − (−!! ⇔ x +0 y + 3 = .

0

Ejemplo 20.3

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ( x+ y

!= 0( x

− y !

en el punto (4, 0!.

olución

En primer lugar note que (4

+ 0!

= 0(4

−0

!, lo cual indica que el punto (4,

0! pertenece a la curva.

hora,9 dy :

mT ; < .

= >(4,0!

dy

)ar adeterminardx

seusaderivaciónimplícitaenlaecuación( x

Es

to

N N

0 0 0 0

0

0

d =



de )*

es, + y ! = 0( x

− y ! .

03 ( x+ y

) ⋅( x + y ⋅ y′) = 0 ( x − yy′).

4 x4

+ 4 x yy′ + 4 xy

+ 4 y

4 y′ = x − yy′.

y′(4 x y + 4 y

4+ y ) = x − 4 x

4− 4 xy

.

dy x − 4 x4− 4 xy

de donde y′ = = .dx 4 x

y + 4 y4

+ y

=9 dy

:= >(4,0!

⋅ 4 − 4 ⋅ 44− 4

⋅ 4⋅0

=4 ⋅ 4

+ 4 ⋅04+

⋅0

=3 − 3+ − D3

= −43

. + 4 + 2

m = −D

.Es decir, T

04

sí que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (4, 0! viene dada por

y −0 = −D

( x − 4! ⇔ D x +04 y − + = .04

0.Interpretación física de la derivada

!elocid"d promedio # velocid"d inst"nt$ne"

;i se conduce un vehículo de una ciudad a otra , separadas entre sí 0 Fm,en un tiempo de horas, la veloc!dad promed!o es de 2 Fm=h. Esto es, lavelocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempoempleado. )ero, durante el via<e, el velocímetro marcó con frecuencia lecturasdiferentes de 2 Fm=h. "nicialmente marcó , a veces subió hasta 3 y al finalvolvió a marcar .

;urge entonces la siguiente preguntaB >qu# es lo que en realidad marca elvelocíme- tro? 6o marca la velocidad promedio, sino la llamada veloc!dad

!nstant"nea.

'onsidere un e<emplo más preciso. ;ea P un ob<eto que cae al vacío. *osexperimen- tos demuestran que si un ob<eto parte del reposo en caída libre, la

posición S del ob<eto, como función del tiempo, viene dada por

S = 0 3 t

(S en pies, t en segundos!.

)or tanto, mT ;

dx




sí, en el primer segundo cae 03 pies y en el siguiente segundo cae 03 (! @ 3+ pies. )or tanto, en el intervalo de t @ 0 s a t = s, P cae (3+ G 03! pies, demanera que su velocidad promedio seráB

# prom =

3+ − 03 = +

pies.

−0 s

En el intervalo de t @ 0 s a t = 0.2 s, P cae (03 (0.2! G 03! pies. En consecuencia,su velocidad promedio seráB

# prom

03(0.2!−03 pies

= = = + .0.2 −0 -.2 s

En forma similar, en los intervalos de tiempo de t @ 0 s a t = 0.0 s, y de t @ 0 s a t

= 0.0 s, P caerá, respectivamente, (03 (0.0! G 03! pies y (03 (0.0! G 03! pies, y sus velocidades promedio serán, respectivamenteB




# prom

03(0.0!−03 4.43 pies

= = = 44.3 ,0.0−0 .0 s

# prom

03(0.0!−03 .403 pies

= = = 4.03 .0.0−0 .0 s

*o que se ha hecho hasta ahora es calcular la velocidad promedio sobre losintervalos de tiempo cada ve más cortos pero próximos a 0 s. 'uanto más nosaproximamos a t

@ 0 s, me<or será la aproximación a la velocidad (instantánea! en el instante t @ 0 s.

*os nCmeros +, +, 44.3, 4.03 de las velocidades promedio, hacen HsospecharIque la veloc!dad !nstant"nea es de 4 pies=s.

El e<emplo anterior nos permite definir de una manera más precisa los conceptosde velocidad promedio y de velocidad instantánea.

;upóngase que un ob<eto P se mueve a lo largo del e<e coordenado, de tal forma

que su posición S en cada instante t es una función S = f (t !.

En el instante t = c, el ob<eto está en f (c!. En el instante próximo t = c $ h, elob<eto está en f (c $ h! (figura .2!. )or tanto, la veloc!dad promed!o durante esteintervalo esB

# prom =

f ( c + h! − f ( c!

.h

J se define la veloc!dad !nstant"nea # en el instante t = c asíB

# = lim# = lim f (c + h! − f (c! = f ′(c!.h→ pro

m h→ h



3

de )*

%igura 20&)



%bserv"ción

Existe una distinción t#cnica entre las palabras veloc!dad y rap!de% . *avelocidad tiene un signo asociada a ella, es decir, puede ser positiva o negativa.*a rapide se define como el valor absoluto de la velocidad.

sí por e<emplo, si un ob<eto se mueve a lo largo del e<e coordenado de modoque su posición en cualquier instante t satisface la ecuación

S = f (t ! = t

−0t + ,

entonces

v(t ! =dS

= +t −0.dt

sí

,v(! = −+ cm s,

v(4! = ,v(+! = + cm s.

:e esta forma, la rapide en t @ ses

−+ = + cm s.

El medidor de la mayoría de los automóviles es un HrapidómetroI (celerómetro!y siempre da valores no negativos.

hora se quiere dar una interpretación física de la segunda derivadad

S

, quedt

mide la raón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir,

dS d 9 dS : dv

dt

=

dt;

st

< =dt

y que se llama acelerac!&n. ;i la denotamos por la letra a,

entoncesB

d S d 9 dS : dv

a = = .dt

=

dt;

st<

dt

En el e<emplo anteriorB

S = f (t ! = t

−0t + ,

v =dS

= +t −0,dt

a =dv

= + cm=s.

dt



Esto significa que la velocidad aumenta a raón constante de + cm=s cadasegundo y escribimos + cm=s.



&roblem"s de c"'d" de los cuerpos

;i un cuerpo es arro<ado verticalmente hacia arriba (o hacia aba<o! desde una

altura

(pies!, con una velocidad inicial v (pies=s!, y si S (pies! es la altura sobre el piso

despu#s de t segundos, entonces puede demostrarse que la posición S como fun-

ción del tiempo viene dada por

S = f (t ! = −03t

+ vt + S .

Esto presupone que el experimento tiene lugar cerca del nivel del mar y que sedesprecia la resistencia del aire. *a figura .3 ilustra la situación.

%igura 20&$

;upóngase que se arro<a un ob<eto hacia arriba desde la parte superior de unedificio de 03 pies de altura con una velocidad inicial de 3+ pies=s.

a. >'uándo el ob<eto alcana la altura máxima?

b.>'uál es la altura máxima?

c. >'on qu# velocidad llega al piso?

d.>'uál es su aceleración en el instante t @ s?

olución

'omo S @03 y v @ 3+, la ecuación de movimiento viene dada por

S = f (t ! = −03t

+ 3+t + 03 (S B pies y t B s!. (0!

S



v =dS

= −4t + 3+,dt

a =dv

= −4.dt

(!

(4!

sí,



5 2@ 50

a. El ob<eto alcana la altura máxima en el instante en el cual la velocidades cero. sí que,

−4t + 3+ = ⇒ t = s.

l sustituir en (0!, se tiene que

b. S = −03(!

+ 3+(! + 03 = + pies (altura máxima!.

c. El ob<eto golpea el piso cuando S @ .

Esto es, −03t

+ 3+t + 03 = ⇔ t

− +t − 0 = ,

de donde, t = = ±

0+.

El ob<eto llega al piso a los t =

+

0+ s.

l sustituir este valor de t en (! se obtiene

v = −4(

+

0+ ! + 3+ ≈ −00D./4 pies s.

El ob<eto llega al piso con una rapide de 00D./4 pies=s.

d. :e acuerdo a (4!, la aceleración permanece constante e igual a 4 pies=s. Esta es la aceleración de la gravedad cerca del nivel del mar.



20$ de )* Educaci'n no presencial



2"*alores e+tremos deuna función devariable real

Introducción

;e ha visto en el módulo que la existencia de la derivada de una función enun punto c significa geom#tricamente que la curva y = f ( x! tiene una recta

tangente en

,osep- .ouis .agrange

oseph ouis agrange naci' el ? Cunio de 24D@ en ur/n y

el punto (c, f (c!! y además m @ f 9(c!. Este hecho permite determinar, entreotros,

falleci' el 20 de aril de 282D enFar/s.

aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horiontal, resolviendo laecuación f' ( x! @ .

Ana mirada atenta a la siguiente figura permite visualiar de manera intuitiva loselementos que son ob<eto de estudio en esta primera parte, como los siguientesB

f (c ! es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto quecontiene a c . ;e dice entonces que f (c ! es un m"x!mo relat!vo de f ( x!.

6ótese, además,0 0

que en el punto P (c , f (c !! la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, estoes, 0 0 0

f K(c0 ! = .

"gualmente, f (c ! es el mayor valor que toma la función en un intervalo abiertoque contiene a c . sí que f (c ! es otro m"x!mo relat!vo de f ( x!.

4 4

T

0

4



Elementos B#sicos de #lculo 1iferencia



ap/tulo 5-

de )*

;in embargo, en el punto la derivada de f ( x! no existe (se presenta un pico!, locual indica que en un punto donde ocurre un máximo relativo no necesariamentedebe anularse la derivada.

f (c ! es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c.

;e dice, entonces, que f (c ! es un m(n!mo relat!vo de f ( x!. :e la misma manera

queen el caso anterior en el punto P (c , f (c !!,ocurre que f' (c ! @ .

;i se comparan ahora todos los valores que toma la función f ( x! en el intervalo La,

bM, se puede notar de la figura que f (a! es el menor valor y que f (c ! es el mayor valor. f (a! y f (c ! se les llama, respectivamente, el m(n!mo absoluto y elm"x!mo absoluto de f ( x! en La, bM.

*os conceptos antes mencionados serán presentados aquí en forma rigurosa, asícomo las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremosrelati- vos. l final se enunciará un teorema y se dará un procedimiento paradeterminar los extremos absolutos de una función continua en un intervalocerrado.


0. Asar la derivación en el traado de curvas en lo concerniente a ladeterminación de los extremos de una función.

. 6otar la diferencia entre un extremo relativo y un extremo absoluto.

Preguntas b!sicas

0. *os puntos ) y * están situados uno frente al otro y en lados opuestos de unrío recto de 4 m de ancho. El punto + está a 3 m de * y en su misma

orilla (figura 0.!. Ana compaNía de tel#fonos desea tender un cable desde ) hasta +. ;i el costo por metro de cable es 2O más caro ba<o el agua que por tierra, >cómo se debe tender el cable para que el costo total sea m(n!mo?


0.0 $alores máximos y mínimos de una función de variable real

0. Extremos relativos

0.4 Extremos absolutos

4

4



2.2 *alores m!+imos y mínimos de una función de variablereal

(e)iniciones

;ea f una función de variable real y sea c

∈ + f

(dominio de f !. EntoncesB

i. f (c! es un valor m"x!mo relat!vo de f si existe un intervalo abierto que con-

tiene a c talque f (c! ≥ f ( x!, para todo x ∈ .

ii. f (c! es un valor m(n!mo relat!vo de f si existe un intervalo abierto que con-

contiene a c tal que f (c! ≤ f ( x!, para todo x ∈ .

iii. f (c! es un valor m"x!mo absoluto de f , en un intervalo , si f (c! ≥ f ( x!, para

todo x ∈ .

iv. f (c! es un valor m(n!mo absoluto de f , en un intervalo , si f (c! ≤ f ( x!, para

todo x ∈ .

los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llamaextremos relat!vos.

los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llamaextremos absolutos.

%bserv"ciones

)uede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo,como sucede por e<emplo con f (c ! en la función cuya gráfica aparece en lafigura de la página /.

El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final del módulogarantia la existencia de extremos absolutos para una función continua en

un intervalo cerrado La, bM. pesar de que estos valores son Cnicos, la función puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo.

2. +tremos relativos

El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una funcióntenga un extremo relativo en un punto en el cual f es derivable.

*eorem" 1+ Condición neces"ri" p"r" e,tremos rel"tivos

( f tiene un extremo relativo en x = c

⇒ f ′(c! = !

;ea f una función que tiene unextremo relativo en c para el cual f

9(c! existe. Entonces, f 9(c! @ .

4



,osep- .ouis .agrange

Astr'nomo y matem#tico franco*italiano, agrange era de ascendenciafrancesa, aunque naci' y se cri' en talia. 1e niGo, en el colegio, se encontr'con un ensayo de Edmund Halley sore an#lisis matem#tico y al momento

decidi' dedicarse a esta ciencia. a hailidad matem#tica de agrangefue reconocida por eonhard Euler a partir de un memorando que recii' deaqu$l sore el c#lculo de variaciones, sore el que el propio Euler yaha/a traaCado. an impresionado qued' Euler por esta ora, que permiti'que fuera pulicada antes que la suya. agrange aplic' su facilidadmatem#tica a una sistematizaci'n de la mec#nica, que ya ha/a comenzadocon Ialileo. tilizando el an#lisis de las variaciones, deduCo unas ecuacionesmuy generales con las que se pod/an resolver todos los prolemas de la

mec#nica. ami$n deduCo laforma de aplicar las matem#ticasa los movimientos de sistemas queinJu/an en m#s de dos cuerpos,tales como el sistema ierra*una*Sol y el de úpiter con sus cuatrolunas. a revoluci'n francesatami$n le dio una oportunidad

de prestar un servicio a la ciencia,al reciir el encargo de dirigir unacomisi'n que estudiara un nuevosistema de pesos y medidas.omo resultado apareci' elsistema m$trico decimal, el m#sl'gico de los sistemas de medidasque Cam#s se han inventado.





(emostr"ción

C"so 1

;i f es la función constante, el teorema es evidente.

C"so 2

;upóngase que f no es constante y que además f tiene un m"x!mo relat!vo en c.'omo f 9(c! existe, entonces, de acuerdo a la observación hecha a la definición (!

del

f ′(c! = lim f ( x! − f ( c!

módulo D, x →c

x

− c

existe, y además,

lim f ( x! − f ( c!

lim f ( x! − f ( c!

lim f ( x! − f

(c !

f′(c!.

(0!

= = = x→c x− c

x→c+ x− c x→c− x − c

;iendo f (c! un m"x!mo relat!vo, existe un intervalo @ ( x , x ! que contiene al punto

0

c y tal que

f (c! ≥ f ( x!, para todo x ∈ ⇔ f ( x! − f (c! ≤ , para todo x ∈ .

;i x → c+ , entonces x − c > .

sí que f ( x! − f ( c!

≤ - ⇒ lim f ( x! − f ( c!

≤ -

(e<ercicio propuesto 2, capítulo 0!,

x − c x→c+ x − c

⇒ f ′(c! ≤ . (!

"gualmente, si x → c− , entonces x − c < .

sí que f ( x! − f ( c!

≥ ⇒ lim f ( x! − f ( c!

≥

(e<ercicio propuesto 2, capítulo 0!,

x − c x→c− x − c



de )*

⇒ f ′(c! ≥ . (4!

:e (! y (4! se concluyeque

f ′(c! = .

C"so 3

;upóngase que f no es constante y que además f tiene un m(n!mo relat!vo en c. *ademostración es similar a la del caso y se de<a por tanto como e<ercicio para ellector.

%bserv"ciones

El teorema anterior significa geom#tricamente que si una función f tiene unextremo relativo en c, y f 9(c! existe, entonces la recta tangente a la curva en el

punto (c, f (c!! es horiontal (figura 0.0a!.



%igura 2"&"

El recíproco del teorema 0 no siempre se cumple, es decir, en una función se puedecumplir que f 9(c! @ para algCn punto c de su dominio, y sin embargo f no

presenta extremos relativos en c, como sucede por e<emplo con la función f ( x! @ x4 (figura 0.0b!.




6ote que f ′( x! = 4 x , f ′(! = , pero la función no presenta ni máximos nimínimos

relativos en el origen puesto que a la iquierda del origen f es negativa y a la

derecha

f es positiva.

&as aun, una función puede tener un extremo relat!vo en un punto y ni siquieraser

derivable allí, como sucede por e<emplo con lafunción

f ( x!= x

(figura 0.0c! que

tiene un mínimo relativo en x @ , pero f 9(! no existe (observación a de lasección 0.0!.

(e)inición

;ea f una función definida en un intervalo abierto . An punto c

∈ cr(t!co de f si f 9(c! @ o f 9(c! no existe.

se llama valor

sí por e<emplo, para la función y = f ( x! = (4 x − ! ⋅ 4 x = (4 x − ! ⋅ x

0 4 se tienequeB

y′ = f ′( x! = 4⋅ x0 4

+ (4 x − ! ⋅0 x

− 4 ,4

= 4 x0 4

+4 x −

=0 x −

.4 x 4 4 x 4

*os valores críticos de f son, por tanto, x @ y x @ 0=3 (>por qu#?!.

2.D +tremos absolutos

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia enla teoría de extremos de una función. unque tiene una fácil interpretacióngeom#trica, exige para su demostración elementos de cálculo avanado que estánmás allá del alcance de este texto.

*eorem" 2+ *eorem" de los v"lores e,tremos

%oda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo

absoluto y máximo absoluto!.

El alumno puede verificar gráficamente el teorema intentando dibu<ar la gráficade una función que sea continua en La, bM y que no posea extremos absolutos enLa, bM. 'ada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada enel teorema siempre se cumple.

%bserv"ción



de )*

El teorema garantia la existencia de extremos absolutos para una funciónconti- nua en un intervalo cerrado, pero no dice cómo determinarlos. ;inembargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamenteextremo relativo se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo.

na regla pr"ct!ca que se usa para determinar los extremos absolutos de unafunción continua f en un intervalo cerrado La, bM es la siguienteB

0. ;e determinan los valores críticos c , c , c , ...,c de f(resolviendo f ′( x! = ,

o donde f 9( x! no

existe!.

. ;e calcula f (a! y f (b!.

0 4 n

4. &áximo absoluto de f = max{ f (a!, f (b!, f (c0 !, f (c !,..., f (cn!}.

&ínimo absoluto de f = min{ f (a!, f (b!, f (c0 !, f (c !,..., f (cn!}.

Ejemplo 22.1

:etermine, si existen, los extremos absolutos (máximo y mínimo! de la función

f ( x! = x+

− x+ 03 en el intervalo LG4, M.

olución

'omo f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimoabsoluto está garantiada por el teorema . )ara determinarlos se aplica la regla

práctica dada en la observación del mismo teorema.

'onsidere los valores críticos por medio de la derivada

f ′( x! = + x4

−03 x = ⇔ + x( x − !( x + ! =

⇒ x = , x = , x = − son los Cnicos valores críticos.

*os extremos absolutos se escogen entre los siguientes valoresB

f

(−4!,

f (!, f (! y f (−!,

f (−4! = (−4!+

− (−4!

+ 03 = 0− / + 03 = 2,

f (! = +

− ⋅

+03 = 03 − 4 + 03 = ,

f (! = +

− ⋅

+03 = 03,

f (−! = (−!+

− (−!

+ 03 = 03 − 4 + 03 = .




Escuche el audio agrange, un genio amale en su multimedia de Elementos B#sicos de #lculo 1i

&áximo absoluto de f en LG4, M es f ( − 4! @ 2.

&ínimo absoluto de f en LG4, M es f ( − ! @ f (! @ .

Ejemplo 21.2

:etermine, si existen, los extremos absolutos de lafunción el intervalo LG2, +M.

olución

f ( x! = 0 − ( x − 4! 4

en

*a continuidad de f en el intervalo LG2, +M garantia la existencia de extremosabso- lutos de f en dicho intervalo.

;e deben determinar primero los valores críticos por medio de la derivadaCuidado con los valorese+tremos

El deseado m#7imo o m/nimo

ocurre siempre en el

f ′( x!= −

.4( x − 4!0 4

número cr/tico. al vez est$pensando que cuando s'lo hay unnúmero cr/tico es inútil compararel valor con $l los valorese7tremos del intervalo. Fordesgracia, eso no es siemprecierto.

El Cnico valor crítico de f es x @ 4, donde la derivada no existe (note que f 9( x! @ carece de solución!.*os extremos absolutos se escogen entre los siguientes valoresB

En 235?, dos prestigiososingenieros aeron#uticosdeduCeron una funci'n comomodelo del alcance de un

f (−2!, f (+!y

f (4!,

avi'n. Su intenci'n era usarla parama7imizar el alcance.Encontraron un número cr/tico(correspondiente a repartir todo elpeso del avi'n en las alas! yargumentaron que de/a dar elmáximo alcance. El resultado fueel famoso avi'n KLlying MingN.AGos m#s tarde se vio que esenúmero cr/tico correspond/a a unmínimo de la funci'n alcance. Endefensa de los ingenieros hay quedecir que no dispon/an de last$cnicas de c#lculo actuales.uriosamente, ese diseGorecuerda mucho al omardero

B* Stealth.

Esta historia sali' a la luz conmotivo de la construcci'n del B*.a moraleCa es evidente-compruee los valores de lafunci'n en los números cr/ticos yen los e7tremos del intervalo. Ooacepte, por supuesto, aun cuando

haya un solo número cr/tico, que el número cr/tico proporciona el m#7imo o elm/nimo que est# uscando.



+

de )*

f (−2! = 0− (−2 − 4! 4

= 0− (−! 4

= −4,

f

(+! = 0− (+ − 4! 4

= 0−0

= ,

f (4! = 0− (4 − 4! 4

= 0−

= 0.

&áximo absoluto de f en LG2, +M es f (4! @ 0.

&ínimo absoluto de f en LG2, +M es f (G2! @ G4.

Ejemplo 21.3

'onsidere la función f definida por

P4 x − +si f ( x! =Q − 4 ≤ x < 0

R x

− si 0 ≤ x ≤ 4

:etermine los extremos absolutos de f (si existen ! en el intervalo LG4,4M.

olución

*a función es continua en todos los puntos del intervalo LG4,4M (verifique!. )or elteorema , f ( x! posee máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado.)ara determinarlos se consideran primero los valores críticos de f . *a funciónderivada f 9( x! viene dada porB

P4 si f K( x! =Q − 4 ≤ x < 0

R x si 0 ≤ x ≤ 4

)uesto que f −′(0! = 4y

f +′(0! = , la derivada no existe en x @ 0 y por tanto

corres-

ponde a un valor crítico de f .

:e otro lado, la derivada no se anula en ningCn punto del intervalo. Enconsecuen- cia, el Cnico valor crítico de f es x @ 0.

*os extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valoresB

f (0!, f (−4! y f (4!,

f (0! = 0

− = −0,

f (−4! = 4(−4! − + = −04,

f (4! = 4

− = /.



%igura 2"&2

&áximo absoluto de f en LG4, 4M es f (4! @ /.

&ínimo absoluto de f en LG4,4M es f (G4! @ G04.

Ejemplo 21.4

*os puntos ) y * están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un ríorecto de 4 m de ancho. El punto + está a 3 m de * y en su misma orilla(figura 0.!. Ana compaNía de tel#fonos desea tender un cable desde ) hasta +.

;i el costo por metro de cable es 2O más caro ba<o el agua que por tierra,>cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea m(n!mo?

olución

;ea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de * donde termina eltramo de cable ba<o el agua.

;e pueden definir ahora las constantes y variables del problemaB

xB distancia de * a Q8 ≤ x ≤ 3.

yB distancia de ) a Q (longitud de cable ba<o elagua!. 3 G xB distancia de Q a + (longitud de cable por tierra!. (constante!B costo por metro de cable por tierra.

2 (constante!B costo por metro de cable ba<o el agua.

+ P B costo total ( func!&n a m!n!m!%ar !.

:e acuerdo al teorema de )itágoras, y

=

x

+ 4

.

(0!

hora, la función costo total viene dada por

/ =9 2

.:

y + . (3 − x!.;

+< (!

= >



;ustituyendo (0! en (!, la función costo total puede escribirse en t#rminos sola-mente de la variable x, asíB

/ ( x! =2

x

+ 4+ (3 − x!, con ≤ x ≤ 3 (dominio de /( x!!, +

/ ( x! = 2 ( x+ 4 !0

+ (3

− x!.+

(4!

'omo / ( x! es una función continua en un intervalo cerrado, / ( x! alcana unvalor máximo y un valor m(n!mo en L, 3M.

l derivar en (4! e igualar a cero, se obtienen los valores críticos de / ( x!B

/ ′( x! = 2 ⋅ 0 ( x! ( x + 4 )2 − = , +

S T

⇒ . U 2 x −0V = ,U +( x+ 4)2 V

W X

S T

⇒ U 2 x −0V = (puesto que . ≠ !,U + ( x+ 4 )2 V

W X

⇒ 2 x − + x

+ 4

= ,

⇒ + x + 4 = 2 x.

:e donde x @ +.

:e modo que x @ + es el Cnico valor crítico de / ( x!, y de acuerdo al criteriode la segunda derivada (teorema , sección +.4! corresponde a un mínimorelativo (veri- fíquelo!. En consecuencia, el mínimo absoluto es el menor entrelos siguientes valoresB / (!, / (+! y / (3!.

/ (! =2

+ 4

+ 3 = D/2 .

Esto significa, geom#tricamente, que si el cable se tira desde ) hasta * ba<o elagua y desde * hasta + por tierra, demanda un gasto de D/2 pesos (figura0.4a!.



/ (3! =2

+

Ligura 2.D

3+ 4

= 4/2 2 ⋅ ≈ 4.2 .

Esto indica, geom#tricamente, que el punto Q coincide con +, y en este caso elcable se tiende directamente desde ) hasta + ba<o el agua, demandando un gasto

total de 4/2 2 P ≈ 4.2 pesos (figura 0.4b!.

/ (+! =2

+

++ 4

+ = 2 .

Esto significa que si el punto Q está a + m de * y se tiende el cable ba<o elagua desde ) hasta Q y por tierra desde Q hasta +, demandaría un gasto de 2

pesos, menor, para la compaNía, que los dos anteriores (figura 0.4c!.



2"' de )* Educaci'n no presencial



22

de )*

1eorema del valor medio1*3 para derivadas

Introducción

*os dos teoremas básicos que constituyen este módulo tienen más importanciateórica que práctica. En lo sucesivo, frecuentemente se usa la frase HQdeacuerdo al teorema del valor medioQI. En nuestro caso particular, el %$& seráusado en los dos próximos módulos para demostrar los teoremas básicos

concernientes al estudio de la variación de las funciones, máximos y mínimos,concavidad y puntos de inflexión.


0. 'onocer los dos teoremas básicos para la demostración de los criterios de la primera y la segunda derivadas.

. Relacionar el teorema del valor medio con la interpretación física de la derivada.

Preguntas b!sicas

0. Srecuentemente en nuestras carreteras encontramos el siguiente avisoBH$eloci- dad máximaB 3 Fm=hI. An conductor de un vehículo recorre 04Fm en dos horas. l ser detenido por un guardia de tránsito, el conductor afirmó que nunca excedió la velocidad permitida. >'ree usted que elconductor di<o la verdad?

. En una carrera de autos, el auto y el auto inician en el mismo punto yterminan empatados.

a. >Sueron sus velocidades iguales en algCn instante de la carrera?

b. ;i se asume que los dos autos cruaron la meta <untos a la misma velocidad,>fueron sus aceleraciones iguales en algCn instante de la carrera?


.0 %eorema de Rolle

. %eorema del valor medio para derivadas

.4 E<emplos de aplicación sobre el teorema del valor medio

3ic-el 5olle

+ichel Yolle naci' en Amert,Basse*Auvergne (Lrancia!, el 2de aril de 2@? y muri' en Far/sel 8 de noviemre de 2423.



6ea el m'dulo del programa de televisi'nElementos B#sicos de #lculo 1iferencial.

ap/tulo 5-

.2 1eorema de 5olle

En la figura .0 se puede apreciar la gráfica de una función que es continua en el

intervalo cerrado La, bM , f (a! = f (b! = y

además todos los puntos del intervalo (a, b!.

f ′( x! existe (no tiene picos! en

%igura 22&"

"ntuitivamente puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva deabscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horiontal (paralelaal e<e x!. Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado teorema

de 0olle, que se enuncia sin demostración.

*eorem" de -olle

;ea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedadesB

a. f es continua en el intervalo cerrado La, bM.

b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b!.

c. f (a! = f (b!.

Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b! talque

f ′(c! = .

El siguiente teorema, que se enuncia y se demuestra a continuación, es unagenera- liación del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema delvalor medio para derivadas.

. 1eorema del valor medio paraderivadas



+'dulo -eorema del valor;ea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedadesB

a. f es continua en el intervalo cerrado La, bM.

b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b!.

)or tanto, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b! talque

f ′(c! = f ( b! − f ( a!

.b − a



44

de )*

ntes de ver la demostración del teorema, analicemos su significado geom#trico.

En la figura . se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesisdel teorema del valor medio (%$&!.

Elt#rmino

f (b! − f

(a!

b − a

%igura 22&2

es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por

los puntos ) y *. :e esta forma, se puede interpretar geom#tricamente elteorema asíB existe un punto P sobre la curva de abscisa c, c ∈ (a, b!, tal que larecta tangente a la curva en P cuya pendiente es f 9(c! es paralela a la rectasecante )*.

(emostr"ción

Asando la forma dos- puntos de la ecuación de la recta (sección .+, ap#ndice ""!,se deduce para la recta secante la ecuaciónB

y − f (a! = f (b! − f (a!

( x − a!,b − a

de donde y = f (a! +

f (b! − f (a!

( x − a!.b − a

:efínase ahora la función 1 ( x! como la función distancia vertical entre cada punto

( x, f ( x!! sobre la curva y el correspondiente ( x, y! sobre la secante )*

(segmen- to d de la figura .!.

sí queB




1 ( x! = f ( x! − y,

= f ( x! −S

f (a! + f (b! − f (a!

( x

−

a!

T.

3ic-el 5olle

1e formaci'n autodidacta, +ichelYolle pulic' un Tratado de

álgebra (2@30! en que e7puso unm$todo de resoluci'n

de determinados tipos deecuaciones. +antuvo una vivaU b − a VW X pol$mica con diversos matem#ticos sore los principiosdel

c#lculo diferencial. Es conocido porun teorema que lleva su nomre-Keorema de YolleN.

Esto es, 1 ( x! = f ( x! − f (a! − f (b! − f (a!

( x

− a!.b − a

(0!

*a función 1 ( x! así definida satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el in-tervalo La, bM.

En efectoB

a. 1 ( x! es continua en el intervalo cerrado La, bM (>por

qu#?!.

b. 1 ( x! es derivable en el intervalo abierto (a, b! (>porqu#?!.

demás, 1 ′( x! = f ′( x! − f (b! − f (a!

.b − a

(!

c. Sinalmente, 1 (a! = f (a! − f (a! − f (b! − f (a!

(a − a! = ,b − a

1 (b! = f (b! − f (a! −[ f (b! − f

(a!]

b − a

(b − a! = .

En consecuencia, de acuerdo al teorema de Rolle existe por lo menos un

pun- to c ∈ (a, b! tal que 1 ′(c! = .

)ero, de acuerdo a (!, 1 ′(c! = f ′(c! − f (b! − f (a!

.b − a

)or tanto,



42

de )*

f ′(c! − f

(b !− f (a != ,

b − a

lo cual implica que f ′(c! = f (b! − f (a!

, que era lo que se quería demostrar.b − a

Estos dos teoremas son de gran importancia teórica y práctica, como lo ilustranlos e<emplos siguientes y las demostraciones de los teoremas del módulo 4.

.D emplos de aplicación sobre elteorema del valor medio

Ejemplo 22.1

nalice si f ( x! = x

4− 2 x

− 4 x satisface las hipótesis del %$& para derivadas en

el intervaloL0, 4M

y, en caso afirmativo, determine el valor(es! dec

que satisface

la conclusión.




olución

a. f ( x! = x4

− 2 x

− 4 x es continua en L0, 4M (>por qu#?!.

b. f ′( x! = 4 x−0 x − 4 ⇒ f es derivable en (0, 4! (>por qu#?!.

'omo f cumple la hipótesis del %$&, entonces existe por lo menos un c ∈ (0, 4! tal que

f ′(c! = f (4! − f (0!

.4 −0

)ero f ′(c! = 4c

−0c

− 48

f (4! = 44

− 2 ⋅ 4

− 4 ⋅ 4

= −/8

f (0! = 0 − 2 − 4 = −/.

sí que 4c

− 0c − 4 =−/ − (−/!

= −0.4 −0

)or tanto, 4c

− 0c + / = ⇔ (4c − /!(c − 0! = ,

de donde c = / 4 , c = 0.

:e estos dos valores, el Cnico que pertenece al intervalo (0, 4! es c = / 4 , que es

la Cnica solución buscada.

Ejemplo 22.2

)ara la funciónintervalo LG,

M.

olución

f ( x! = x 4 estudie las condiciones del %$& para derivadas en el

a. 'laramente la función es continua en LG, M.

b. f ′( x! =

x−0 4

=

no existe en el punto x @ .

4 4 x0 4

)or consiguiente, no se cumple la condición b del teorema, y, enconsecuencia, no puede garantiarse la existencia del punto c.

f (b! − f (a! +0 4− +0 4

hora, = = , ycomo

f ′( x!=

, no se anula para

b − a + 4 x0 4

ningCn valor real de x. Entonces, la igualdad



+

de )*

f ′(c! = f ( b! − f ( a!

b − a

no se cumplirá en ningCn c en (G, !.



Ejemplo 22.3

a. :emuestre que si la derivada de una función es en un intervalo,entonces la función es constante en dicho intervalo.

b. Ase la parte a para demostrar que f ( x! @ sec x G tan x es constante.Tállese el valor de dicha constante.

olución

a. 6ote en primer lugar que f satisface las hipótesis del %$& (>por qu#?!.

hora, sean x0 , x dos puntos cuales2u!era del intervalo La, bM y sea f la

fun- ción.

)ara probar la parte a es suficiente probar que f ( x0 ! = f ( x !, lo cual

obliga a deducir que la función sea constante.

;egCn el %$&, existe un nCmero c entre x0 y x tal que

f ′(c! = f ( x ! − f ( x0 !

, x − x0

y como f ′(c! = , se concluye que

f ( x ! = f ( x0 ! .

Ana consecuencia inmediata de la parte a es la siguienteB

;i f′( x! = g

′( x! para todo x ∈[a, b],

entonces f ( x! = g ( x! + / .

*o anterior se expresa en palabras diciendo que si las derivadas de dosfuncio- nes coinciden, entonces las funciones difieren en una constante.

b. f ′( x! = sec x ⋅ (sec x ⋅ tan x! − tan x(sec

x!, f ′( x! = sec x ⋅ tan x − sec

x ⋅ tan x

= .

'omo f ′( x! = , se sigue de la parte a que f ( x! es una función constante.

)ara hallar el valor de la constante basta evaluar la función en algCn

nCmero específico, el cual se puede elegir arbitrariamente, por e<emplo x

= π 4.

;e tiene entonces que f (π 4!= (secπ 4!

− (tanπ 4!

= − (



4 ) = 0. En

consecuencia, sec x − tan

x = 0 para todo x ( x en el dominio comCn de la

secante y la tangente!.

Este resultado no debe sorprender puesto que 0 + tan x = sec

x es

una identidad trigonom#trica conocida.



Ejemplo 22.4

En una carrera de autos, el auto y el auto inician en el mismo punto yterminan empatados.

a. :emuestre que sus velocidades fueron iguales en algCn instante de la carrera.

b. ;i se asume que los dos autos cruaron la meta <untos a la misma ve-locidad, demuestre que sus aceleraciones fueron iguales en algCn instantede la carrera.

olución

a. ;ea s (t ! la diferencia de las distancias entre el auto y el auto encualquier tiempo t durante la carrera.

Entonces, s′(t ! es la diferencia en las velocidades.

hora, si t y t 0 son los tiempos en los cuales comiena y termina la

carrera, se tiene que, de acuerdo al enunciado del problema,

s(t ! = s(t 0 != .

(0!

s(t ! − s(t !)or el %$&, 0 = s′(c! para algCn c ∈ (t , t !.

(!

t 0 − t

:e (0! y ( ! se deduce que s′(c! = (la diferencia de las velocidades es

cero en algCn tiempo c durante la carrera!. Equivalentemente, lasvelocidades fueron iguales en algCn instante de la carrera.

b. En forma similar, si v(t ! denota la diferencia de las velocidades entre elauto y el auto en cualquier tiempo t durante la carrera, entonces v9(t !denota la diferencia entre sus aceleraciones.

hora, si t es el tiempo en el cual los autos tienen la misma velocidad, y t

el tiempo en el cual finalia la carrera, se tiene que

v(t ! = v(t 0 !

= .

(0!

)or el %$&,v(t ! − v(t 0 !

= v′(c! para algCn c ∈ (t , t

!.

(!

t − t 0

0

0

0



:e (0! y ( ! se deduce que a(t ! = v′(c! = (la diferencia de lasaceleraciones es cero en algCn tiempo c durante la carrera!.Equivalentemente, las aceleraciones fueron iguales en algCn instante dela carrera.



22$ de )* Educaci'n no presencial



2(Criterio de la primera derivada


Introducción

*a primera derivada no sólo es Ctil en el traado de curvas para determinar losextremos relativos, sino tambi#n para determinar los intervalos donde crece yde- crece la curva.

l analiar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráficaaparece en la figura anterior, se puede notar queB

0. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplaamos hacia la derecha, o ensentido positivo del e<e x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que la

func!&n es crec!ente en el intervalo La, bM8 y entre b y c la curva es descendente,en cuyo caso se dice que la func!&n es decrec!ente en el intervalo Lb, cM.

. *a pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos ), * y / (separan lostramos de crecimiento y de decrecimiento! es cero, o, lo que es equivalente, la

recta tangente es horiontal.

4. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de larecta tangente a la curva es positiva y por tanto su derivada es positiva. Encambio, en el punto Q, que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la

pendiente, y por tanto la primera derivada, es negativa.

Estas ideas que se acaban de comentar serán <ustificadas por medio de las defini-ciones dadas y del teorema del valor medio presentado anteriormente.

na foto estroosc'pica nosmuestra c'mo las distanciasrecorridas en intervalos de tiempoiguales var/an según la altura aque se halla la ola. Esta variaci'nde la velocidad

Zpropiamente la velocidad de lavelocidadZ es, matem#ticamente,una derivada- se llamaaceleraci'n.



+'dulo D- riterio de la


0. Establecer, usando la primera derivada, los intervalos de monotonía(crecimien- to y decrecimiento! de una curva.

. Asar la primera derivada para determinar dónde ocurren y cuáles son losextremos relativos de una función.

Preguntas b!sicas

0. El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como untel#gra- fo que trasmite puntos y líneas!, cuyos dos valores ocurren con

probabilidades

p y (0 G p!, se define como 3 ( p! = − p ⋅ ln p − (0− p! ln(0− p!, donde < p < 0.

)ruebe que 3 ( p! tiene un máximoen

(El significado práctico de este he-

cho es que, para lograr el máximo flu<o de información por unidad de tiempo,los dos valores deben aparecer, como promedio, en igual proporción.!


4.0 %eorema 0B 'riterio de la primera derivada para crecimiento y decrecimiento

4. %eorema B 'riterio de la primera derivada para extremos relativos



D.2 1eorema "6 Criterio de la primeraderivada para crecimiento ydecrecimiento

'omo aplicación inmediata del %$& se prueba un primer teorema que permite

determinar los intervalos en los que crece y decrece una curva conociendo elsigno de su primera derivada.

;ea f una función de variable real continua en La, bM y derivable en (a, b!.

para todo x ∈(a,b!, entonces f es crec!ente en La, bM.

f ′( x! < para todo x ∈(a,b!, entonces f es decrec!ente en La, bM.

(emostr"ción

an x0 , x dos puntos de La, bM tales que x0

U x. asta demostrar que

f ( x ! V f ( x !. 0

Evidentemente, f es continua en L x , x M y f es derivable en ( x , x !. En conse-0 0

cuencia, por el %$& existe por lo menos un punto c ∈ ( x0 , x ! tal que

f ′(c! = f ( x ! − f ( x0 !

. x − x0

(0!

f ′( x! >

:e x U x se deduce que x − x V , y como por hipótesis f 9(c! V , sededuce de (0! que

f ( x ! − f ( x0 ! = f ′(c! ⋅ ( x − x0 ! > .

)or tanto, f ( x ! > f ( x0 ! y f es creciente en La, bM.

b. ;e demuestra de manera similar.

%bserv"ción

El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primera derivada, asíB

0 0



donde

donde

f ′( x! > (derivada positiva!, f ( x! es creciente8

f ′( x! < (derivada negativa!, f ( x! es decreciente.

El siguiente teorema permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos!de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.



6ea el m'dulo D del programa de televisi'nElementos B#sicos de #lculo 1iferencial.

de )*

D. 1eorema 26 Criterio de laprimera derivada para e+tremosrelativos

;ea f una función continua en un intervalo , y sean a, b, c puntos de , tales que

a 4 c 4 b y c un valor críticode f ( f ′(c! = ,

o

f ′(c! no existe!.

EntoncesB

a. ;i f ′( x! > para todo x en (a, c!y

f ′( x! < para todo x en (c, b!, f (c! es

un m"x!mo relat!vo (figura 4.0a, figura 4.0b!.

b. ;i f ′( x! < para todo x en (a, c!y

f ′( x! > para todo x en (c, b!, f (c! es

un m(n!mo relat!vo (figura 4.0c, figura 4.0e!.

c. ;i f ′( x! > para todo x en (a, c!y

f K( x! > para todo x en (c, b!, f (c! no

es un extremo relat!vo (figura 4.0d !.

d. ;i f ′( x! < para todo x en (a, c! y f ′( x! < para todo x en (c, b!, f (c!

no es un extremo relat!vo (figura 4.0 f !.



4

de )*

%igura 2(&"

(emostr"ción

a. ;i f ′( x! > en (a, c!, se tiene por el teorema 0 que f es creciente8 enconse-

cuencia, para todo x tal que a 4 x 4 c se tiene que

f ( x! 4 f (c!. (0!

hora, como f ′( x! < en (c, b!, entonces f es decreciente (teorema 0! y,

de esta forma, para todo x tal que c 4 x 4 b se cumple que

f (c! 5 f ( x!. (!

:e (0! y (! se concluye que f (c! V f ( x! para todo x en (a, b! y estosignifica que f (c! es un máximo relativo.




b. Esta demostración es similar a la parte a.

c. ;i f ′( x! > en (a, c!y

f ′( x! > en (c, b!, entonces por el teorema 0 se tiene

que f ( x! U f (c! para todo x en (a, c! y f (c! 4 f ( x! para todo x en (c, b! , de locual se concluye que f (c! no puede ser ni máximo ni mínimo relativo.

d. Esta demostración es similar a la parte c.

%bserv"ción

En el lengua<e corriente, las partes a y b del teorema se expresan,respectivamente, en la siguiente formaB

;i la derivada pasa de pos!t!va a negat!va, el valor crítico corresponde a unm"x!mo relat!vo8 y si la derivada pasa de negat!va a pos!t!va, el valor críticocorresponde a un m(n!mo relat!vo.

En los e<emplos resueltos 0, y 4 del módulo 2 se ilustra cómo determinar para

la gráfica de una función dada los intervalos donde crece y donde decrece lacurva, así como tambi#n los extremos relativos. )ara ello se explica el m#todográfico que es mucho más expedito que el m#todo analítico. "lustramos, sinembargo, la aplicación de los dos teoremas de la sección, <ustificando lo que se

plantea en la pregunta básica en el inicio del módulo.

Ejemplo 23.1

6l conten!do de !nformac!&n o entrop(a de una fuente binaria (tal como untel#gra- fo que trasmite puntos y líneas!, cuyos dos valores ocurren con

probabilidades p y

(0− p!, se define comoB

3 ( p! = − p P ln p

− (0− p! Pln (0− p!, donde U p U 0.

)ruebe que 3 ( p! tiene un máximoen

p =0

.

olución

3 ′( p! = −0 P ln p − p P0

−9

− ln(0− p! + (0− p! P

−0 : = ln

0− p.

p;

0− p<

p= >

:e esta manera,

3 ′( p! = ln

0 − p=



4+

de )*

⇔0 − p

= e

= 0 ⇔ p =0

es el Cnico valor crítico. p p

)ara analiar el signo de la derivada, se debe tener en cuenta el signo de0− p

, p

dependiendo de que < p <

0

,o

0 < p < 0.

;i < p <0

,

entonces



0 > p ⇔ 0 > p + p ⇔ 0− p > p ⇔0 − p

> 0, p

y, en consecuencia, 3 ′( p! = ln0− p

> , lo que indica, de acuerdo al teorema 0,

que p

la función 3 ( p! es creciente en dicho intervalo. ;i0

< p

< 0,

0 < p ⇔ 0 < p + p ⇔ 0− p < p ⇔0 − p

< 0, p

entonces

y, en consecuencia, 3 ′( p! = ln0 − p

< , 0 lo que indica, de acuerdo al teorema

0, p

que la función 3 ( p! es decreciente en dicho intervalo.

'omo la derivada pasa de positiva a negativa en p = 0 , el teorema garantia

que

en p = 0 la función 3 ( p! tiene un máximo relativo.



24Criterio de la segunda derivada

Introducción

sí como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterian por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente, o viceversa, losllamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen! se caracterian por determinar un cambio en la concavidad de la curva.

'omo vimos en el módulo 4, la monotonía de una curva coincide con el signode la primera derivada8 igualmente, como veremos ahora, la concavidadcoincide con el signo de la segunda derivada. 'ompletaremos de esta forma

todos los elementos teóricos necesarios para el traado de una curva con todossus elementos, lo cual será el ob<etivo principal del módulo 2.


0. Establecer, usando la segunda derivada, otro criterio para determinar extre-mos relativos de una función.

. Asar la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad deuna curva y dónde ocurren posiblemente los llamados puntos de inflexión.

4. 'ompletar los elementos teóricos necesarios para el traado de curvas.

Preguntas b!sicas

0. ;ean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto.;upongamos que son derivables y poseen segundas derivadas que nose anulan en el mismo intervalo.

;ean 1 ( x! = ln f ( x!, y 7( x! = ln g ( x!.

n avi'n comienza a descenderdesde una milla de altura y situadoa cuatro millas de la pista. Esposile determinar una funci'npolin'mica p( x ! [ ax D \ bx \ cx \ d que descrie la trayectoria

suave del aterrizaCe.

a. ;i 1 es cóncava hacia arriba, >lo es f necesariamente?

b. ;i f es cóncava hacia arriba, >lo es 1 necesariamente?

c. ;i f y g son cóncavas hacia arriba, >puede asegurarse que ( f $ g ! lo es?

d. ;i f y g son cóncavas hacia arriba, >puede asegurarse que ( f · g ! lo es?e.;i 1 y 7 son cóncavas hacia arriba, >puede asegurarse que ln ( f · g ! lo es?

nalice sus respuestas.


+.0 'oncavidad y puntos de inflexión




+. %eorema 0B 'riterio de la segunda derivada para concavidad

+.4 %eorema B 'riterio de la segunda derivada para extremos relativos



2($ de )* Educaci'n no presencial



+'dulo 5- riterio de la


Concavidad y puntos de in7e+ión

ntes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunasobserva- ciones de tipo intuitivo.

'onsidere la función f cuya gráfica aparece en la figura +.0. 6ote que la curva que

f representa tiene tangente en todos sus puntos.

%igura 24&"

;e observa que en los puntos HcercanosI a x , pero diferentes de x , la curva se0 0

encuentra por Hdeba<oI de la recta tangente. ;e dice en este caso que la curva esc&ncava hac!a aba8o en el punto x .

"gualmente se observa que en los puntos HcercanosI a x , pero diferentes de x , la

curva se encuentra por HencimaI de la recta tangente. ;e dice en este caso que lacurva es c&ncava hac!a arr!ba en el punto x .

El punto (c, f (c!! de la curva en el cual la concavidad HcambiaI se conoce con elnombre de punto de !nflex!&n de la curva.

pesar de que las ideas que se acaban de presentar son más de carácter visualque analítico, #stas pueden demostrarse analíticamente utiliando el teorema delvalor medio para derivadas y el criterio de monotonía (vea el e<emplo 0 de estemismo módulo!.

*as ideas anteriores se precisan en las siguientes definicionesB

(e)iniciones

;ea f una función derivable en un punto c.

i. f es c&ncava hac!a arr!ba en c o c&ncava pos!t!va en c, si existe unintervalo abierto (a, b! al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b!, x

≠ c, se cumple que

0



ap/tulo 5-

de )*

9 ( x! =¡ f ( x! − f ′(c!( x − c! − f (c! >

,_

yc yt

, (figura +.a!.




%igura 24&2

y B y de la curva8 y B y de la tangente.c t

ii. f es c&ncava hac!a aba8o en c o c&ncava negat!va en c si existe unintervalo abierto (a, b! al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b!, x

≠ c, se cumple que

9 ( x! = f ( x! − f ′(c!( x − c! − f (c!<

(figura +.b!.



iii. f es c&ncava hac!a arr!ba (aba8o! en un intervalo , si lo es en cada punto de .

iv. An punto (c, f (c!! de una curva es un punto de !nflex!&n si existe unintervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferenteconcavidad en los subintervalos (a, c! y (c, b!.

;e usará el símbolo ∪ para denotar que una curva es cóncava hacia arriba ocónca- va positiva. "gualmente, se empleará el símbolo ∩ para denotar que unacurva es cóncava hacia aba<o o cóncava negativa.



Escuche el audio n prolema para detectives en su multimedia de Elementos B#sicos de #lculo 1

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, establece una condiciónsuficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

5. 1eorema"6 Criterio de la segunda derivada paraconcavidad

;ea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto

. EntoncesB

i. ;i

ii. ;i

f ′′( x! > para todo x ∈ , f es c&ncava hac!a arr!ba en .

f ′′( x! < para todo x ∈ , f es c&ncava hac!a aba8o en .

%bserv"ciones

0. En muchas ocasiones el teorema anterior se enuncia diciendo que el s!gno de la concav!dad co!nc!de con el s!gno de la segunda der!vada.

. En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad dela curva sin existir punto de inflexión8 en este caso, simplemente se dicequeHhay inflexiónI sin existir punto de inflexión. *a gráfica de la figura +.4indi- ca esta posibilidad. llí se muestran inicialmente los intervalos deconcavi- dad para una curva dada.

%igura 24&(

6ote que los puntos ) (c , f (c !!, * (c , f (c !! , / (c , f (c !! son puntos de inflexión.0 0 4 4

En c , la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión.

'omo es de suponer, los puntos para los cuales f ′′( x! = o f ′′( x! no ex!ste, son

+



HcandidatosI viables para ser puntos de !nflex!&n. )uede suceder que para un

valor de c del dominio de una función se cumpla

que punto P (c, f (c!! no es punto de inflexión. f ′′(c! = , y sin embargo el

'onsidere, por e<emplo, la función definida por f ( x! = x+, cuya gráfica aparece enla figura +.+.



de )*

%igura 24&4

'omo f ( x! = x+

,

f ′( x! = + x4

,

f ′′( x! = 0 x.

)ara c @ , f ′′(! = 0 P (!

= . ;in embargo, el punto P (, f (!! = P (, ! nocorres-

ponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y

posteriores a x @ , f ′′(! > , y no cambia la concavidad de la curva.

continuación se enuncia, sin demostración, un teorema conocido como elcr!ter!o de la segunda der!vada para extremos relat!vos, el cual permite, enalgunos casos, determinar de una manera más fácil si un valor crítico dadocorresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

5.D 1eorema 26 Criterio de lasegunda derivada para e+tremosrelativos

;ea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto , y sea c un punto de

, tal que f ′(c! = . EntoncesB

i. ;i f ′′(c! < , entonces f presenta un m"x!mo relat!vo en c.

ii. ;i f ′′(c! > , entonces f presenta un m(n!mo relat!vo en c.




%bserv"ción

;i f ′′(c! = , entonces la naturalea del valor crítico c no queda determinada,

como lo ilustran los siguientes casosB

*a función f ( x! @ x+

satisface f ′(! = y

f ′′(! = . ;in embargo, f ( x! presenta un

mínimo relativo en x @ (figura +.2a!.



"gualmente, la función g ( x! @ − x+ satisface g ′(! = y g ′′(! = . ;in embargo,

g ( x! presenta un máximo relativo en x @ (figura +.2b!.

%ambi#n la función h ( x! @ x4

satisface h′(! = y h′′(! = , pero h ( x! escreciente en todo el e<e real y no presenta extremo relativo en x @ (figura

+.2c!.

%igura 24&)



El teorema tiene mayor utilidad en los problemas de optimiación en loscuales, para un valor crítico dado, se analia si corresponde a un máximo omínimo relativo, sin determinar los cambios de signo de la primera derivada.



+

de )*

En los e<ercicios resueltos 0, y 4 del módulo 2 se ilustra cómo determinar parala gráfica de una función dada los intervalos de concavidad, así como tambi#nlos posibles puntos de inflexión. )ara ello se explica el m#todo gráfico que esmucho más expedito que el m#todo analítico. "lustramos, sin embargo, laaplicación de los dos teoremas de la sección, <ustificando lo que se plantea en la

pregunta básica en el inicio del módulo.

Ejemplo 24.1

Atilice el %$& para probar que la gráfica de una función f c&ncava hac!a arr!ba

siempre está por enc!ma de su recta tangente, es decir, demostrar queB

f ( x! > f (c! + f ′(c!( x − c!, siempre que x ≠ c.

olución

C"so 1+ ;upongamos que x > c.

)or el %$&, f ( x! − f ( c! = f

′(a!, x − c

para algCn a ∈ (c, x!.

:e aquí, f ( x! − f (c! = f ′(a!( x − c!, paraalgCn

a ∈ (c, x!.

(0!

hora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema0,

f ′′ > ⇔ ( f ′!′ > ,

y por el teorema de monotonía (teorema 0, módulo 4! f 9es creciente en el

intervalo (c, x!. Es decir,

c < a < x ⇒ f ′(a! > f

′(c!.( !

:e (0! y (! se deduce entonces

que f ( x! − f (c! = f ′(a!( x − c! > f ′(c!( x − c!.

)or tanto, f ( x! > f (c! + f ′(c!( x − c!, para x > c.

C"so 2+ ;upongamos que x < c.

)or el %$&, f ( c! − f ( x! = f

′(a!,c − x

para algCn a ∈ ( x, c!.




:e aquí, f (c! − f ( x! = f ′(a!(c − x!, para algCn a ∈ ( x,c!.

(0!

hora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema

0, f ′′ > ⇔ ( f ′!′ > ,

y por el teorema de monotonía (teorema 0, módulo 4! f 9es creciente en el

intervalo ( x, c!. Es decir,

x < a < c ⇒ f ′(c! > f

′(a!.( !

:e (0! y (! se deduce

que f (c! − f ( x! = f ′(a!(c − x! < f ′(c!(c − x!.

Es decir, − f ( x! < − f (c! + f ′(c!(c − x! ⇔ f ( x! > f (c! + f ′(c!( x − c!.

)ortanto, f ( x! > f (c! + f ′(c!( x − c! para x < c.

En

consecuencia, f ( x! > f (c! + f ′(c!( x − c!, siempre que x ≠ c.

Ejemplo 24.2

;ean f , g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. ;uponga-mos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en elmismo intervalo.

;ean 1 ( x! = ln f ( x! y 7( x! = ln g ( x!.

a. ;i 1 es cóncava hacia arriba, >lo es f necesariamente?

b. ;i f es cóncava hacia arriba, >lo es 1 necesariamente?

c. ;i f y g son cóncavas hacia arriba, >puede asegurarse que ( f $ g ! lo es?

d. ;i f y g son cóncavas hacia arriba, >puede asegurarse que ( f ⋅ g ! lo es?e. ;i 1 y 7 son cóncavas hacia arriba, >puede asegurarse que ln ( f ⋅ g ! lo es?

olución

a. *a pregunta puede formularse de la siguiente maneraB

>;i 1 ′′( x! > ,

entonces f ′′( x! > ? 1 ′( x!

=

f ′( x!,

En primer lugar, si 1 ( x! = ln f ( x!,entonces

f ( x!y

1 ′′( x! =



++

de )*

f ′′(

x!

f (

x! − (

f ′(

x

!!

. f ( x!

f ′′( x! f ( x! − ( f ′( x!!

1 ′′( x! > ⇔ > , f ( x!

⇒ f ′′ ⋅ f − ( f ′!> (puesto que el denominador siempre es

positivo!,

( f ′!9

⇒ f ′′ > > (puesto que ( f ′! > y f V !,

⇒ f es cóncava hacia arriba.

f



b. 6o necesariamente.

'onsidere por e<emplo lafunción

f ( x! > , para todo x ∈ (0, !.

f ( x! = x definida en el intervalo (0, !.

'omo 1 ( x! = ln x ,

entonces

1 es cóncava hacia aba<o.

1 ′( x! =

xy 1 ′′( x! =

−

< ,

x

lo que indica que

c. 'omo f es cóncava hacia arriba,

entonces f ′′( x! > .

'omo g es cóncava hacia arriba, entonces g ′′( x! > .

:e otro lado, ( f + g !′′ = f ′′ + g ′′ > , lo que indica que ( f W g ! escóncava hacia arriba.

d. 6o necesariamente.

'onsidere por e<emplo las funciones f ( x! = x y g ( x! @ (0 − x!, definidas

en

el intervalo (, 0!, f ′( x! = x, f ′′( x! = > , lo que indica que f es cóncava

hacia arriba en el intervalo (, 0!.

%ambi#n, g ′( x! = −(0− x!, g ′′( x! = > , lo que indica que g es cóncava

hacia arriba en el intervalo ( , 0!.

:e otro lado, si 3 ( x! = ( f ⋅ g !( x! = x(0 − x!

= x

− x

4+ x

+,

3 ′( x! = x − 3 x

+ + x4,

3 ′′( x! = −0 x +0 x,

3 ′′9 0 : = − 3 + 4 = −0 < , = >

lo que indica que es cóncava negativa en las cercanías de

x =0

.

e. ;ea 3 ( x! = ln ( f ⋅ g !( x! = ln f ( x! + ln g ( x! = 1 ( x! + 7( x!.



)or tanto, 3 ′′( x! = 1 ′′( x! + 7′′( x!, y como por hipótesis 1 ′′( x! V , 7′′( x!

V , se sigue que 3 ′′( x! > , lo que indica que 3 ( x! = 1 ( x! + 7( x! es

cóncava hacia arriba.




2)An!lisis y tra8ado de

curvas

Introducción

El tratamiento que se ha dado a la graficación de funciones ha sido casielemental. En la mayoría de los casos, las gráficas indicadas corresponden a

funciones cono- cidasB polinómicas, exponenciales, trigonom#tricas,logarítmicas, etc., cuyo trao se ha hecho marcando un nCmero suficiente de puntos que las caracterian. ;in embargo, si la ecuación que se quiere graficar escomplicada o se quiere de la misma una gráfica más precisa, esa t#cnica seríainadecuada. )or esta raón, los elementos del cálculo vistos hasta ahora (límite,continuidad y derivada! se convierten en una poderosa herramienta para traar una curva con todos sus elementos. El ob<etivo básico de este módulo es incluir todas estas ideas en el proceso de graficación.


0. "ncluir los temas vistos hasta ahora del cálculo en el proceso de graficación.

. %raar la gráfica de una curva con todos sus elementosB dominio, interseccio- nes,asíntotas, extremos relativos, monotonía, concavidad y puntos de inflexión.

Preguntas b!sicas

0. ;ea f una función continua en todo el e<e real. *a figura ad<unta es el gráfico de

f 99( x! (gráfico de la función derivada, no de la función!.

a reputaci'n hist'rica de +ariaAgnesi fue distorsionada por elhecho de que en sus Instituzionianalitiche traaCara con la Kcúicade AgnesiN o curva sinusoidal versa(versiera en italiano!, que se

traduCo al ingl$s, por un error deltraductor, olson, como la KruCade AgnesiN (olson traduCo elt$rmino versiera por witch, lapalara inglesa que signi&caKruCaN!.



+

de )*



ap/tulo 5-Responda las siguientes preguntas acerca de f ( x! (no de f' !B

a. >:ónde f es creciente y dónde es decreciente?

b. >:ónde f es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia aba<o?

c. >'uáles son sus valores críticos y dónde ocurren sus extremos relativos?

d. >:ónde están los puntos de inflexión para f ?

e. ;uponiendo que f (! @ 0, dibu<e una función que verifique las condicionesexpuestas.


2.0 nálisis y traado de curvas

2. E<emplos resueltos sobre traado de curvas



Escuche el audio raducttore tradictore en su multimedia de Elementos B#sicos de #lculo 1i

?.2 An!lisis y tra8ado de curvas

El ob<etivo principal de los módulos anteriores era el de proporcionar loselementos teóricos necesarios para el análisis y el traado de la curva asociada auna función. Esto se reduce generalmente a la determinación de los siguienteselementosB

:ominio natural de definición de la función y = f ( x!.

)osibles puntos de discontinuidad.

"nterceptos de la curva con los e<es coordenadosB

a. nterceptos con el e8e xB se hace en la ecuación y @ y se resuelvela ecuación resultante para x.

b. nterceptos con el e8e yB se hace en la ecuación x @ y se resuelvela ecuación resultante para y.

síntotas de la curvaB verticales, horiontales y oblicuas.

"ntervalos donde crece y decrece la curva, extremos relativos de f ,

analiando el signo de f ′( x!.

"ntervalos de concavidad y posibles puntos de inflexión analiando el

signo de f ′′( x!.

Este análisis permite construir la gráfica de la función (a veces resultaconveniente ir traando los elementos de la gráfica simultáneamente con elanálisis!.

%bserv"ciones

;i la curva que se desea analiar y traar corresponde a una func!&n par , es decir,

f ( x! = f (− x!, la curva es s!m:tr!ca con respecto al e8e y. En consecuencia, sóloes suficiente analiar la función y construir su gráfica Cnicamente para valores

positivos de la variable x, pertenecientes al dominio de la función.

;i la curva corresponde a una func!&n !mpar , es decir, f (− x! = − f ( x!, será sufi-

ciente analiar la función para los valores positivos de la variable x. *a gráfica deuna función impar es s!m:tr!ca con respecto al or!gen de coordenadas.

En los e<emplos 2.0, 2., 2.4 y 2.+ de la sección 2. se analia y se traa lagráfica de algunas funciones con todos los elementos mencionadosanteriormente.

?. emplos resueltos sobre tra8ado de curvas



Ejemplo 25.1

%race la curva correspondiente a la función

x

+ 4

y = f ( x! = = x − +

x

+ 4

.( x − !( x+ !

(0!



6ea el m'dulo ? del programa de televisi'n

Elementos B#sicos de #lculo 1iferencial.

olución

:eterminemos los elementos fundamentales de la curva, como sonB

0. +om!n!o natural de f ( x!

*os Cnicos valores de x para los cuales no existe la función son x @ y x @ G (valores de x que anulan el denominador!. :e esta forma, + f

= ℜ −{, −}.

. nterceptos

i. 'on el e<e x (se hace y @ en (0!!B

= x +

4⇔ x

+ 4 = . Esta Clti-

x

− +

ma ecuación no tiene solución real, lo que indica que la curva nocorta al e<e x.

+ 4 4

ιι. 'on el e<e y (se hace x @ en (0!!B y = = −. )or tanto, la curva

corta al e<e y en el punto P (, − 4

+!.

− + +

4. )s(ntotas

i. #ert!calesB como la función es racional, son aquellos valores de x

que anulan el denominador de (0!. En este caso las rectas

verticales x @ y x @ G son asíntotas verticales de la curva.

demás, x

+ 4

lim f ( x! = lim = +∞, x

− + x→

+ x→

+

lim f ( x! = lim x

+ 4

= −∞,

x→−

lim x→−

+

lim x→−

−

x→−

x

− +

x

+ 4 f ( x! = lim

x→−+ x

− +

x + 4 f ( x! = lim

x→−− x

− +

= −∞,

= +∞.

x

+ 4ii. 3or!%ontalesB como lim f ( x! = lim = 0, se deduce que y @ 0 x

− +

x→∞ x→∞

es una as(ntota hor!%ontal de la curva. :e otro lado, como



x

+ 4 / f ( x! = = 0 + ,

x

− + x

− +

se deduce que los valores de la función para valores grandes de x

en valor absoluto son mayores que 0, lo cual indica que la curvasiempre está por encima de la asíntota.



En la figura 2.0 se indica el intercepto de la curva con el e<e y, yel comportamiento de la curva cerca de las asíntotas.

%igura 2)&"

iii. ;bl!cuasB no tiene (>por qu#?!.

+. ntervalos donde crece y decrece la curva. 6xtremos relat!vos

)ara ello, se hace el análisis de la primera derivada.

x( x− +! − x( x

+ 4! f ′( x! = =

( x− +!

−0+ x.( x

− +!

'omo ( x G +! V (positivo!, el signo de la derivada sólo depende delsigno del factor (G0+ x!. síB

;igno de (G0+ x! o signo de f ′( x!

WWWWWWWWWWWWWXG G G G G G G G G G G

El diagrama indica que f ( x! es creciente en (−∞, M , y que f ( x! es decre-

ciente en L, +∞!.

En consecuencia, x @ corresponde a la abscisa de un punto máximo relativo.



P m (, f (!! ⇔ P m (, − 4 +!.

2. ntervalos de concav!dad. Pos!bles puntos de !nflex!&n

)ara ello, se utilia la segunda derivada.




;i f ′( x! =−0+ x

⇒ f ′′( x! =( x

− +!+ x

+ 23.

( x − !4⋅ ( x

+ !4

'omo + x W 23 V (positivo!, el signo de la segunda derivada depende

del signo de los factores del denominador.

;igno de ( x − !4 G G G G G G G G G GX WWWWWWWWWWWWWW

;igno de ( x + !4 G G G G G GXWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW

G

;igno de f ′′( x! WWWWWWWWWXG G G G XWWWWWWWWWWWWWWW

G

El signo de la segunda derivada indica queB

f ( x! es cóncava hacia arriba (W! en (−∞, −! ∪ (, +∞!,

f ( x! es cóncava hacia aba<o (G! en (−, !.

En los puntos x @ G y x @ la concavidad cambia de signo, lo cual indica quehay

HinflexiónI, pero no existe punto de inflexión (>por qu#?!.

*a figura 2. recoge toda la información obtenida y proporciona unaaproximación muy buena a la gráfica de la función dada.



de )*

%igura 2)&2



Ejemplo 25.2

%race la curva correspondiente a la función

( x +0!4

y = f ( x! = =( x −0!

x4

+ 4 x+ 4 x +0.

x

− x +0

(0!

olución

0. +om!n!o natural de f ( x!

El Cnico valor de x para el cual no existe f es x @ 0 (valor de x que anula elde- nominador!.

sí que + f

= ℜ −{0} = (−∞,0! ∪(0, +∞!.

*a función es continua para todo x ≠ 0, por ser el cociente de dos polinomios.

. nterceptos( x +0!4

i. 'on el e<e x (se hace y @ en (0!!B = ⇒ x = −0. *uego el( x −0!

punto P (−0, ! es el intercepto de la curva con el e<e x.

( +0!4

ii. 'on el e<e y (se hace x @ en (0!!B y = = 0. *uego el punto( −0!

Q(,0! es el intercepto de la curva con el e<e y.

4. )s(ntotas

i. #ert!calesB el Cnico valor de x que anula el denominador es x @ 0y #sta es la Cnica asíntota vertical de la curva.

:e otro ladoB

lim f ( x!= lim

( x +0!4 → tiende a(W!

→ +∞,

x→0+

x→0+ ( x −0!

→ tiende a (W!

lim f ( x!= lim

( x +0!4 → tiendea(W!

→ +∞.

x→0−

x→0− ( x −0!

→ tiendea (W!

ii. 3or!%ontalesB no tiene (>por qu#?!.

iii. ;bl!cuasB como el grado del numerador es 4, una unidad más queel grado del denominador que es , la curva tiene una asíntota



oblicua de la forma y = mx $ b. )ara determinarla, se efectCa ladivisión entre el numerador y el denominador y se obtiene

x4

+ 4 x+ 4 x +0 0 x − +

= ( x + 2! + . x

− x +0 x

− x +0



2

de )*

)or tanto, y ) = x + 2 es la asíntota oblicua de la curva.

)ara estudiar el comportamiento de la curva HcercaI de la asíntota se estu-

dia la diferencia y/ − y ) , para un mismo valor de x, en donde y/

es la orde-

nada de la curva y y es la ordenada de la asíntota. Esto es,

y − y x

4+ 4 x

+ 4 x +0 0 x − += − ( x + 2! = .

/ )

x

− x +0 x

− x +0

;i x > , entonces y/ − y ) > , lo que indica que para valores grandes de

x (positivos!, la curva está por encima de la asíntota.

;i x < , entonces y/− y )

< , lo cual indica que para valores grandes de

x (negativos! la curva está por deba<o de la asíntota.

En la figura 2.4 se ilustran los interceptos de la curva con los e<escoordena- dos, así como tambi#n el comportamiento de la curva HcercaI delas asíntotas.

%igura 2)&(

+. ntervalos donde crece y decrece la curva. 6xtremos relat!vos

)ara ello se hace el análisis del signo de la primera derivada.

4( x +0! ( x −0!− ( x −0!( x +0!4

f ′( x! = =( x −0!+

( x + 0!⋅ ( x

− 2!.

)




( x −0!4

El signo de

f ′( x! depende de los signos que poseen los factores ( x − 2! y

(x G 0!4, puesto que ( x + 0! es siempre positivo.



;igno de ( x G2! G G G G G G G G G G G G G G X WWWWWWWWWWW

2

;igno de ( x − 0!4 G G G G G G XWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW

0

;igno de f ′( x! WWWWWWW XG G G G G G G G XWWWWWWWWWWWW

0 2

El signo de f ′( x! indica queB

f crece en los intervalos (G ∞ ,0! y L2, W∞! y f decrece en elintervalo (0, 2M.

En x @0,

f ′( x! no existe, pero como el punto no pertenece al dominio

de f , la curva en #l solamente cambia de monotonía conservandosu comportamiento asintótico.

x @ 2 corresponde a un m(n!mo relat!vo. P m (2, f (2!! = P m (2,04.2!.

2. ntervalos de concav!dad. Pos!bles puntos de !nflex!&n

)ara ello se analia el signo de la segunda

derivada f ′′( x! .

f ′′( x! =+( x +0!

.

( x −0!+

El signode

f ′′( x! sólo depende del signo del factor ( x W 0!, puesto que + y

( x −0!+ son siempre positivos.

;igno de ( x W 0! G G G G GX WWWWWWWW WWWWWWWWW

G0

El signode

f ′′( x! indica queB

f ( x! es cóncava hacia aba<o (∩! en (G ∞, G0M,

f ( x! es cóncava hacia arriba (∪! en L−0, +∞! .

El punto P (G0, f (G0!! corresponde a un punto de inflexión, es decir, en P (G0, ! la , ,

curva cambia de concavidad.



En la figura 2.+ se traa la curva con todos los elementos así obtenidos.



Ejemplo 25.3

%race la gráfica de la

función

%igura 2)&4

y = f ( x! = sen x + cos x,

para x en L,π M.

(0!

olución

'omo sólo interesa la parte de la gráfica correspondiente al intervalo L, π M,

Cnica- mente se tienen en cuenta para su análisis los siguientes elementosB

0. /ont!nu!dad

*a función es continua en el intervalo L, π M por ser suma de

funciones continuas.

. nterceptos

i. 'on el e<e x (se hace y @ en (0!!B se resuelve para x.

sen x + cos x = ⇔ sen x + 0 − sen x = ,

⇔ sen x − sen x −0 = .



l resolver la Cltima ecuación reducible a cuadrática se obtiene por la fórmula generalB

sen x = ± + +

=0 ± 4

.+



0 + 4*a ecuación sen x = carece de solución (>por qu#?!.

;i sen x =0−

4

,

entonces

x ≈ π + .4/ y x = π − .4/.

)or tanto, los interceptos de la curva con el e<e x son los puntos

P 0 (π + .4/, ! y P (π − .4/, !.

ii. 'on el e<e y (se hace x @ en (0!!. sí, y = sen + cos = 0.

4. ntervalos donde crece y decrece la curva. 6xtremos relat!vos

;e obtienen analiando el signo de la primera derivada

o f ′( x!.

f K( x! = cos x − sen x = cos x − + sen x

⋅ cos x, f K( x! = cos x ⋅ (0− sen x!.

El signo de la derivada depende del signo de los factores cos x y (0 G sen

x! en el intervalo L, π M.

hora,

cos x es positivo si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es decir,

cos x V si x∈ (,π

!∪ (4π

, π !8 cos x es negativo si x pertenece al se-

gundo o al tercer cuadrante, es decir, cos x < si

x ∈9 π

4π :, < . hora, como

sen x > 0 siempre

que

π< x

<2π

, 3 3

= >

se deduce que sen x > 0si

x ∈9 π

, 2π

: ⇔ 0− sen x < si x ∈9 π

,2π :

.; <

= > = >

%ambi#n, sen x < 0

0− sen x > si siempre que < x <π

3

o2π

< x < π 8 por tanto,3

;

3 33 3



x ∈9

-,π :

∪9 2π

, π:.

;3

< ; 3

<= > = >

l llevar esta información al diagrama ad<unto se puede escribirB



;igno de cos x en L, π M

WWWWWWWWWWWWWWWWXG G G G G G G G G G G G G G GX WWWWWWWWWW

π 4π π

;igno de (0− sen x! en L, π M

WWWWWWXG G G G G G G G G G G G G G G G G GX WWWWWWWWWWWWWWWW

π 3 2π 3 π

;igno de f ′( x! en L, π M

WWWWWWXG G G G G G GX WWWWWWWWWWWWW XG G G GXWWWWWWWWWWWW

π 3 π 2π 3 4π π

S π T Sπ,2π

TEl signo de f K( x! indica que f ( x! es creciente en los intervalos U,

3 V ,U 3 V

yS 4π

, πT

.

W X W X

U VW X

f ( x! es decreciente en los intervalosSπ

,π T

yS 2π

,4π T

.

W X W X

:el diagrama anterior se puede concluir tambi#n queB

x =π

3corresponde a un m"x!mo relat!vo, es decir, P

9 π,

4 :

es un

= > punto máximo de la curva.

x =2π corresponde a un m"x!mo relat!vo, es decir, Q

9 2π,

4 :

es

3 ;

3 <

= >un punto máximo de la curva.

x =π

corresponde a un m(n!mo relat!vo, es decir, 09 π

,0

es un

;

<= >

punto mínimo de la curva.

U 3 V

3

:



Sinalmente,

x =4π

corresponde a un m(n!mo relat!vo, es decir, T9 4π

, −4:

es

;

<= >

un punto mínimo de la curva.



+. ntervalos de concav!dad. Puntos de !nflex!&n

)ara ello se analia el signo de la segunda

derivada f KK( x!.

f ′′( x! = −sen x − + cos x,

= −sen x − +(0 − sen x!,

= (+ sen x − sen x

− !.(!

)ara hallar los posibles puntos de inflexión, se resuelve la ecuación

f ′′( x! = . Es decir, (+ sen x − sen x − ! = .

Resolviendo esta Cltima ecuación reducible a cuadrática, se obtiene

P 0+]

sen x =]

44≈ .+

]0−]R

44≈ −.2D

(4!

&ediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonom#tricas, se pueden obtener los siguientes valores aproximados de xB

x ≈ 08 x

≈ π −08 x ≈ π + .34

y x ≈ π − .34.

)ara determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos dein- flexión, se hace necesario analiar el signo de la segunda derivada

f ′′( x! = (+ sen x − sen x − !.

*os valores dados en (0! permiten escribir f<< ( x! asíB

S 0+ f<< ( x! = (+ sen

x − sen x − ! =

Usen x −

44 T S 0−

V ⋅ Usen x −

44 T

V .W X W X

&ediante consideraciones similares a la hechas para f ′( x!, se puede

obtener la información que aparece en el diagrama siguienteB

Q



S 0 +;igno de Usen x −

44 T

VW X

G G G G G G GXWWWWWX G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

0 (π −0! π

S 0 −;igno de Usen x −

44 T

VW X

WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWXG G G G G G G G G G XWWWWWWW

(π + .34!

(π − .34! π

;igno de f KK( x!

G G G G G G GXWWWWWXG G G G GXWWWWWWWWWWWWWX G G G G G

0 (π −0! (π + .34!

(π − .34! π

El signo de f ′′( x! indica queB

f ( x! es c&ncava negat!va (∩! en L,0M ∪Lπ −0,π + .34M ∪Lπ − .34,

π M,

f ( x! es c&ncava pos!t!va (∪! en L0, π −0M ∪Lπ + .34, π − .34M.

demás, se obtienen los siguientes puntos de inflexiónB

(0, 0./!8 (π −0, 0.+D!8 (π + .34, − ./! y (π − .34, − ./!.

'on la información dada en los cuatro puntos anteriores se puede traaruna buena aproximación a la curva correspondiente, como aparece en lafigura 2.2.



%igura 2)&)



Ejemplo 25.4

nalice y grafique la función y = f ( x! = senh x

=

e x

− e− x

.

(0!

olución

0. +om!n!o

El con<unto ℜ de los nCmeros reales, dominio comCn de las funciones

e x

y e− x

.

. nterceptos

i. 'on el e<e x (se hace y @ en (0!!B

senh x =

e x −0⇔

e x

= ,

⇔ e x

−0 = ,

⇔ e x

= 0 ⇔ x = .

:e esta manera, la curva pasa por el origen.

ii. 'on el e<e y (se hace x @ en (0!!B

y = senh = .

4. /ont!nu!dad

*a función y @ senh x es continua en todo el e<e real por ser combinación defunciones continuas.

+. ntervalos de crec!m!ento y decrec!m!ento

)uesto que + (senh x! @ cosh x, del e<emplo 0+.0! de la sección 0+.4 setiene que + (senh x! V y esto indica que la función es creciente en elintervalo

(−∞, +∞!.

*a función no posee valores críticos, ya que la derivada existe y esdiferente de cero en todo el e<e real.

2. )n"l!s!s de la concav!dad

)uesto que + ( + (senh x!! @ + (cosh x! @ senh x, del e<emplo 0+.0!! de la sec- x x x

ción 0+.4 se deduce que + ( + (senh x!! U , siempre que x U , y por tanto x x

x

x



la curva es cóncava hacia aba<o en el intervalo (−∞, !.



de )*

"gualmente, del mismo e<emplo, se deduce que + ( + (senh x!! V ,siempre

x x

que x V , lo cual indica que la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo

(, +∞!.

El punto P (, ! es un punto de inflexión de la curva, puesto que allí

cambia la concavidad.

3. L(m!tes en el !nf!n!to

)uesto que lim e7= +∞,

x→+∞

y lim e7 = , se deduce que x→+∞

lim senh x = +∞. x→+∞

"gualmente, puesto que lim e7= ,

x→−∞

y lim e− x

= +∞, x→−∞

se deduce que

lim senh x = −∞. x→−∞

'on la información anterior podemos traar la gráfica de la función y @ f ( x!@senh x, como se muestra en la figura 2.3.

%igura 2)&$

Taciendo un análisis similar se pueden traar las gráficas de las demás funcioneshiperbólicas, como aparecen en la figura 2./.



de )*



%igura 2)&/



2$4 de )* Educaci'n no presencial




2$Problemas de m!+imos ymínimos

Introducción

*a teoría de máximos y mínimos que se ha expuesto en los módulos anterioresno solamente es Ctil para el traado de curvas, sino que hay mCltiples e

interesantes aplicaciones a los problemas de las ciencias, la ingeniería y laeconomía. En lo que sigue se considerarán algunos problemas cuya solución esun extremo absoluto de una función definida en un intervalo cerrado. )ara ellose usa el teorema del módulo 0 (teorema de los valores extremos!, el cualgarantia la existencia de un valor máximo absoluto y de un valor mínimoabsoluto de una función continua en un intervalo cerrado. %ambi#n, en muchos

problemas que surgen en la práctica, los intervalos no son cerrados, pero lateoría expuesta anteriormente da soluciones satisfactorias. l final del capítulose propondrán numerosos e<ercicios, que al resolverlos el lector, afianarán suraonamiento matemático.


0. "lustrar con e<emplos el uso de la derivada en problemas de máximos ymínimos (problemas de optimiación! que son de relevancia en diferentesáreas de la ingeniería.

Preguntas b!sicas

0. ;e necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener unvolumen específico #. >'uáles deben ser las dimensiones (altura y radio delas tapas! que m!n!m!%an el área total?

Contenidos del módulo3.0 lgunas pautas para resolver problemas de máximos y mínimos

3. )roblemas que incluyen un extremo absoluto

3.4 )roblemas que incluyen un extremo relativo

a construcci'n de caCas y envasesimplica, entre otras cosas,minimizar la cantidad de materialempleado. For eCemplo, de todaslas caCas cil/ndricas con un mismovolumen, la que tiene una altura

igual al di#metro de la ase es lade menor #rea (eCemplo @.D!.



6ea el m'dulo @ del programa de televisi'nElementos B#sicos de #lculo 1iferencial.

+'dulo @- Frolemas de

@.2 Algunas pautas para resolverproblemas de m!+imos ymínimos

;e enumeran a continuación algunos pasos que son Ctiles al abordar un problema

de esta naturalea.

0. Tacer hasta donde sea posible un dibu<o en el que se indiquen las variablesque intervienen en el problema.

. :eterminar la función que se debe maximiar o minimiar, así como el intervaloen el cual está definida.

4. Atiliar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso , en t#rminos de una sola variable.

+. Atiliar la regla práctica dada en la observación al teorema de la sección

0.4 para encontrar extremos absolutos.

2. :eterminar la naturalea del valor crítico mediante el teorema del módulo+, conocido como el cr!ter!o de la segunda der!vada, el cual permite, enalgunos casos, determinar de una manera más fácil si un valor crítico dadocorresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

;e ilustra el procedimiento anterior con algunos e<emplos.

@. Problemas 9ue incluyen une+tremo absoluto

Ejemplo 26.1

An alambre de 0 cm de longitud se corta en dos partes formando con una deellas un círculo y con la otra un cuadrado. 'ómo debe ser cortado el alambre

para queB

a. *a suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.

b. *a suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

olución

;upóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos. ;i x

es la longitud de la circunferencia, entonces 0 G x es el perímetro del cuadrado(figura 3.0!.



ap/tulo 5-

%igura 2$&"

)or tanto, el radio de la circunferencia es x

π 0− x

y el lado del cuadrado es .+

;i ) ( x! es la función que representa la suma de ambas áreas, se tiene queB

)( x! =0

+π x

+ 0 (0 − x! 8 ≤ x

≤ 0.03

(0!

)uesto que ) ( x! es una función continua en el intervalo L, 0M, entonces existeun valor máximo y un valor mínimo de ) ( x! en L, 0M.

l derivar (0! e igualar a cero, se obtienen los valores críticos. En efectoB

)′( x! =0

+π

. x +0

03

. (−0!(0 − x!,

= x

−0 − x

= ⇒ x =0 π

,π + + π

es el Cnico valor crítico y pertenece al intervalo L, 0M (>por qu#?!. demás, por el criterio de la segunda derivada, dicho valor corresponde a un mínimorelativo.

hora, los valores máximo y mínimo de ) ( x! está entre los valores ) (!, ) (0! y

)S0--π T

.

U + + π

V)ero,

)(! =0

+π .

+0

(0 − !=

0,

03 03



+'dulo @- Frolemas de )(0! =

0

+π . 0

+0

(0 −0!=

0,

03 +π

9 0--π

:; < 0 9 0--π :

;

<

0 9+ ;0−

0--π :

< =

0

.

= + + π >

+π = + + π >

03 =

+ + π

>03 + +π

'omo +π < 03 < 03 + +π , entonces0

<0

<0

, y de esta Cltima desigual-

dad se deduce que03+ +π

03 +π

0

0 0 9 0--π :< < ⇔ ) ; < < )(! < ) (0!.

03+ +π

03

+π = + + π

>

:e esta manera, la Cltima desigualdad indica que el "rea m"x!ma se obtiene para x @ 0, o sea, no partiendo el alambre y formando con #l una circunferencia,

mientras que el "rea m(n!ma se obtiene partiendo el alambre a una distancia0π

+ + π

) =



de uno de sus extremos, y formando con esta primera parte una circunferencia y

con

la parte restante+

+ + π

un cuadrado.

Ejemplo 26.2

;e dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una ca<a sintapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. >'uáldebe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen dela ca<a sea máximo? >'uál es el volumen de la ca<a?

olución

;ea x la longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas

(figura 3. a!, donde ≤ x ≤a

.

%igura 2$&2

l doblar la parte de cartulina restante, se forma la ca<a abierta que aparece en lafigura 3.b.

hora, volumen de la ca<a @ área de la base × altura. Esto es,

# ( x! = (a − x! P x = + x4− +ax

+ a

x8 ≤ x ≤

a.



(0!

)uesto que # ( x! ( func!&n a max!m!%ar ! es una función continua en el intervalo



aa@

S-,

a T ,

U Ventonces # ( x! alcana un valor máximo y un valor mínimo en dicho intervalo.

W Xl derivar # ( x! en (0! e igualar a cero se obtienen los valores críticos. En efectoB

# ′( x! = 0 x

− ax + a

= ( x − a!(3 x − a! = .

x − a = ⇒ x

=

⇒

3 x − a = ⇒ x

=

valores críticos

)ara analiar la naturalea de los valores críticos, se utilia el criterio de la

segunda derivada, asíB# ′′( x! = + x − a,

# ′′9 a :

= +9 a :

− a = +a > -,

= > = >

lo cual indica que x =a

corresponde a un m(n!mo relat!vo (interprete geom#trica-

mente el resultado!.

# KK9 a :

= +9 a :

− a = −+a < ,

= > = >

lo cual indica que x =a

3

corresponde a un m"x!mo relat!vo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la

cartulina cuadrados de lado a 3 y de esta forma se obtiene una ca<a cuyo

volumen viene dado por

#9 a :

=9

a − P a : P

a

=

a4

.; 3 <

;

3<3 /

= > = >

@.D Problemas 9ue incluyen un e+tremo relativo

Ejemplo 26.3

3 3



;e necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener unvolumen específico #. >'uáles deben ser las dimensiones (altura del cilindro yradio de las tapas! que m!n!m!%an el área total?

olución

En la figura 3.4 aparece el cilindro y las dimensiones por determinar.



de )*

%igura 2$&(

;i se denota por # (constante! el volumen del cilindro, se tiene, de acuerdo a lafórmula conocida de la geometría,

# = π x y,

y de aquí, y = #.π x

( 0!

*a función a minimiar es el área total, esto es,

) = π x

+ π xy. ( !

;ustituyendo (0! en (! se puede escribir la función a minimiar en t#rminos deuna sola variable, asíB

) ( x! = π x

+ #x−0 ,

con

x ∈(-, +∞).

:e esta forma,

) ′ ( x! = +π x − #x−

=

+π x4

− # ,

x

+# )T ( x! = +π +

4.

x

El Cnico valor crítico de )T ( x! se obtiene resolviendo la ecuación+π x

#

− # = , o

sea que el Cnico valor críticode

)T ( x! corresponde a x = 4 .π

T

T

T

′

4




6

D

hora, de acuerdo al criterio de la segunda derivada,

′′9

4#

T ;:<< = +π +

+# = 0π > ,

= π > 9 # :;;

4 << =

π >

lo que indica que x = corresponde a un mínimo relativo.

; )

4



:e otro lado, sustituyendo en (0! este valor de x, se obtiene y =# #

9 # : π π ;;

4 << =

π >

)or tanto, el recipiente más económico se consigue eligiendo la altura delcilindro igual al diámetro de la base.

Ejemplo 26.4

:os pasillos de 3 y D pies de ancho están unidos en ángulo recto (figura 3.+!.En- cuentre la longitud de la barra recta más larga que puede pasarsehoriontalmente de un pasillo a otro por una esquina.

olución

;upóngase que la barra puede pasar horiontalmente, cuando est# en la posiciónen que aparece en la figura 3.+.

%igura 2$&4

;i θ (radianes! denota el ángulo que forma la barra con el pasillo menor, entonces

9 π−θ

:; < será el ángulo que forma con el pasillo mayor.= >

*a longitud deseada es la longitud L m(n!ma de la barraB

L = )/ = )* + */ . En el triángulo )P* se tiene que secθ = )*

∴ )* = D secθ .D

= 4 .



En el triángulo *Q/ se tiene que cscθ = */

∴ */ = 3

cscθ .3

(0!

(!

(4!



/

de )*

D

D

;ustituyendo (! y (4! en (0! se obtiene la función a optimiarB

L(θ ! = Dsecθ + 3 cscθ 8 < θ < π .

(+!

6ote que L → +∞ cuando

θ → +

o

θ → (π ) (>por qu#?!.

)or tanto, L′(θ ! = D secθ ⋅ tanθ − 3 cscθ ⋅ cotθ (R:02 y R:03!,

L′(θ ! =D

⋅sen θ

−3

⋅cos θ

,cosθ cosθ

senθ

senθ

Dsenθ

3cosθ Dsen

4

θ − 3 cos

4

θ = − = ,

cosθ sen

θ sen

θ cosθ

4cos4θ (4tan4

θ − != ,

senθ cos

θ

4cosθ (4 tan4θ − !

= .sen

θ (2!

9 :sí que L′(θ ! = ⇔ tanθ = ⇔ θ = tan−0 4 8

θ ≈ ./0 (rad!.

;; <<= >

hora, el signo de L′(θ ! sólo depende del signo del factor (4 tan4θ − !.

)ara ello, considere la gráfica de la función tangente (figura 3.2a! y en la cual se

ha seNalado el valor de tanθ para θ ≈ ./0.

4



D

D

D

D

%igura 2$&)

la iquierda de θ ≈ ./0, tanθ < , con lo cual

tan4θ <

⇔ 4 tan4

θ − < ⇔ L′(θ ! < .4

la derecha de θ ≈ ./0, tanθ > , con lo cual

tan4θ >

⇔ 4 tan4

θ − > ⇔ L′(θ ! > .4

:el análisis anterior se deduce que θ ≈ ./0 (rad! corresponde a un mínimo relati-

vo de L (θ !, cuya gráfica se parece a la de la figura 3.2b.

Esto significa que el valor m(n!mo absoluto de L (y, por tanto, la longitud máximade la varilla en cuestión! esB

L (./0! = D P sec (./0! + 3 csc (./0!.

An procedimiento algebraico para obtener el valor exacto de L es el siguienteB

como



2 tan

^ D2 9 :

; D <= >

2 cot

^ D

2 9 D :; <= >

sec θ = = 4=4+ =4

= , y

40= 4

csc θ = =

= 4

+ 4 = 4

= ,

0= 4



se tiene queB

L = Dsecθ + 3 cscθ ,

=D

(4=4+ = 4 )

0=

+3

(4=4+ = 4 )

0=

40= 4

0= 4

= 4 (4= 4 + = 4 )0= S 4 + TU 40= 4

0= 4 V

(factor comCn!

W X

= 4 (4 = 4+

= 4 )0=

S4 = 4

+ = 4 T

= 4 (4= 4+ = 4 )

4=

,

es la longitud de la barra que cumple las condiciones del problema.



2/


.a derivada como ra8ónde cambio

Introducción

*os conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones se aplicantambi#n a funciones que varían con el tiempo8 si la variable y depende del tiempo

t , entoncesdy dt se llama ra%&n de camb!o con respecto al tiempo. En particular, si y mide

una distancia, se llama veloc!dad .

6uestro inter#s está centrado en una amplia variedad de raones de cambio conrespecto al tiempoB la raón con la que el agua fluye en un depósito, la raón conla cual crece o decrece su altura, la raón en la cual se separan dos móvilesdespu#s de pasar por un punto específico P , etc.

'uando la variable y está dada en t#rminos de t , basta con derivar y calcular luego el valor de la derivada en el tiempo requerido. )ero en la mayoría de loscasos la variable y está ligada (relacionada! con otras variables de las cuales

conocemos su raón de cambio.


0. Asar la derivada como raón de cambio en problemas de variables ligadas,las cuales presentan variación con respecto al tiempo.

Preguntas b!sicas

0. An puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y auna altura de 2 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa

por el centro / del puente (figura /.4! a una velocidad de 0 m=s. En esemismo instante, una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de m=s dista 0 m del punto P situado sobre el agua y exactamente ba<o el centrodel puente. ;i la carretera continCa perpendicular al río, >cuál es la velocidada la cual se están separando la lancha y el auto s despu#s de que aqu#lla

pasó por el punto P ?


/.0 $ariables relacionadas, variables ligadas o raones afines

/. )roblemas resueltos sobre

variables relacionadas



/

de )*

:eorge Pólya

Ieorge F'lya naci' el 2D dediciemre de 2884 en Budapest,Hungr/a, y muri' el 4 deseptiemre de 238? en Falo Alto,Estados nidos.




ap/tulo 5-

4.2 *ariables relacionadas; variablesligadas o ra8ones a<nes

*os problemas en que intervienen derivadas de variables relacionadas entre sí sellaman problemas de var!ables l!gadas, o de var!ables relac!onadas, o ra%ones

af!nes, y es típico en ellos queB

i. 'iertas variables están relacionadas en una forma determinada para todos losvalores de t que se consideran en el problema.

ii. ;e conocan los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadas para un instante dado.

iii. ;e pida hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante.

*as variables que intervienen en un problema dado pueden considerarse comofunciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que lasligan, las igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales están

relacionadas las derivadas de estas variables.

:e acuerdo con lo anterior, se pueden seNalar en la solución de este tipo de problemas los siguientes pasosB

0. :e ser posible, hacer una figura que ilustre la situación propuesta. *a figuraque se traa debe indicar la situación en cualquier instante t y no precisamenteen el instante particular.

. :eterminar cuáles son las variables que intervienen en el problema yrepresen- tarlas por medio de letras como x, y, %, h, etc.

4. Establecer las ecuaciones que relacionan entre sí la diferentes variables

que intervienen en el problema.

+. Ybtener las relaciones necesarias entre las variables y sus raonesinstantáneas de cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadasen el paso 4.

2. ;ustituir los valores particulares de variables y derivadas dados en el problema y despe<ar las variables o derivadas que interesan.

%odo lo anterior se ilustra con los siguientes e<emplos.

4. Problemas resueltos sobrevariables relacionadas

Ejemplo 27.1

un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de + m deradio y 03 m de altura entra agua a una raón de 2 cm4=s.



+'dulo 4- a derivadaa. > qu# velocidad está subiendo el nivel del agua cuando #ste se encuentra a +

m de altura?



b. > qu# velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante?

olución

En la figura /.0 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción delvolumen en cualquier instante t .

%igura 2/&"

:esígnese porB

# B volumen (en cm4! de agua en el tanque en el instante t (s!.

xB radio (en cm! de la sección del cono al nivel del líquido en el instantet . yB altura del agua (en cm! en el instante t .

d# 9 cm4 :

:eorge Pólya

El primer traaCo de IeorgeF'lya fue como profesor

particular. En un principio no sesinti' especialmente atra/do porlas matem#ticas, sino por laliteratura y la &losof/a. Su profesorde &losof/a le sugiri' que siguieracursos de f/sica

:atosBdt

= 2; s<.

y de matem#ticas para meCorar suformaci'n &los'&ca.

= >

El volumen del agua en el instante t viene dado por

# =0π x ⋅ y.

4

:e la seme<ana de los triángulos ;+6 y ;*/ se deduceque

03 y P y = + x= ⇔

(0!

(!

]



Este conseCo marc' para siempre su carrera. asmagn/&cas lecciones de f/sica de or#n E_tv_s, y las nomenos e7celentes de matem#ticas de ip't LeC$r,inJuyeron decisivamente en su vida y ora. En 2350,huyendo de Hitler, F'lya y su esposa suiza (Stella eer!se trasladaron a Estados nidos. F'lya halaa (según $l,astante mal!, adem#s del húngaro, su idioma natal,alem#n, franc$s e ingl$s y pod/a leer y entender

algunos m#s.

Lueunod

e

los homres m/ticos en lahistoria de las matem#ticasmodernas y su enseGanza atrav$s de prolemas. Susprincipales oras son- Cómo

plantear y resolver problemas,Matemáticas y razonamiento

plausible,a d!couverte des math!mati"uesy #nálisis matemático.

+ xQ x

= y (4!

R] +

a. )uede formularse la pregunta asíB

dy= ?, cuando y @ + m @ +

cm.dt

uando se le preguntaa c'moha/a llegado a ser matem#tico,sol/a decir, medio en roma, medioen serio-KOo era lo su&cientementeinteligente para ser f/sico, ydemasiado para ser &l'sofo, as/ que eleg/ matem#ticas que es unacosa intermediaN. Lue un viaCeroimpenitente (aunque nuncaconduCo autom'viles! que

curiosamente descuri' a los 4?aGos de edad las comodidades delos viaCes en avi'n, cruzando elAtl#ntico y el continente variasveces.

Ana manera simple de

calcular

dy

dtconsiste en expresar # en (0! en t#rminos

Cnicamente de la variable y (usando (4!! y derivando en ambos lados conrespecto a t .

sí,

# = 0 π x y = 0 π 9 y : P y = π y

4

; <4 4 = > +

d# π dy π y

dy= ⋅ 4 y

⋅ = ⋅dt

dy=dt

+

dt

03

⋅d#

dt.π y

03 dt

:e donde, de acuerdo a las condiciones del problema,

dy03 ⋅ 2 cm4

s 0 9 cm :

= = ;<, (2!

+



dt π (+ cm!--π = s >

lo cual indica que la altura crece a esa velocidad.

b. )uede formularse la pregunta asíB

dx= ?, cuando y @ + m @ + cm ⇔ x @ 0 cm.

dt

Ana manera sencilla de encontrar la solución consiste en derivar ambosmiem- bros de (4! con respecto a t . sí,

dx=

0 dy=

0 9 0 : cm=

0 9 cm :,dt + dt +

; --π

< s π;

s< (3!

= > = >

lo cual indica que el radio crece a esta velocidad.

Ytra manera de obtener la solución consiste en expresar # en (0! ent#rminos Cnicamente de la variable x (usando (!! y derivar en amboslados con respec- to a t . (Z$erifique[!

Ejemplo 27.2

An vigilante situado en la parte superior de un faro de 2 pies de altura observaun bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de pies=s. >'on qu#rapide cambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando #stese encuentra a 4 pies de la base del faro?



olución

En la figura /.a aparecen las variables que intervienen en el problema.

xB distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t .

θ B ángulo formado por la visual y el bote * en cualquier tiempo t .

9 dx= −

pies : 6ótese que cuando H * se acerca a P I ;

dt s

< , entonces es de esperar

= >

que θ tambi#n decrece.

%igura 2/&2

:e la figura /.a se tiene

tanθ = x

2-

⇒ x = 2⋅ tanθ .

(0!

:erivando ambos miembros de (0! con respecto a t , se tiene

dx= 2 ⋅sec

θ ⋅d θ

,dt dt

de donde

d θ=dt

dx

dt .2 ⋅ sec

θ

(!

En el caso particular que interesa, x @ 4.



síque

tanθ =4

=3

(figura /.b!.2 2



he el audio osdiezmandamientos delprofesorsegún F'lyaensumultimediade Elementos B#sicos de #lculo 1iferencial.


Asando la identidad trigonom#trica 0+ tanθ ≡ sec

θ , casoBse puede escribir en este

secθ = 0+

9 3 :

= > =2 + 43

=30

.2 2

(4!

dx

pies.:e otro lado, = −

dt s(+!

;ustituyendo (4! y (+! en (!, se tiene finalmente que

d θ=

−= −

9 rad :,

dt 2 ⋅

30 30= s >2

lo cual indica que el ángulo θ decrece (como era de esperar! a una velocidad

de aproximadamente .4/ rad=s.

Ejemplo 27.3

An puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y auna altura de 2 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro / del puente (figura /.4! a una velocidad de 0 m=s. En ese mismoinstante una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de m=s dista 0m del punto P situado sobre el agua y exactamente ba<o el centro del puente. ;ila carretera conti- nCa perpendicular al río, >cuál es la velocidad a la cual se estánseparando la lancha y el auto s despu#s de que aqu#lla pasó por el punto P ?

olución

El problema se plantea desde el momento en el cual la lancha pasa exactamente por el punto P deba<o del puente. En ese instante han trascurrido 2 s y por tantoel auto se encuentra en el punto de la figura.

En primer lugar se definen las variables que varían con el tiempo.

xB distancia que recorre la lancha despu#s de pasar por el punto P.

yB distancia que recorre el auto desde el momento en que la lancha pasa por el punto P .

>B distancia de / a 0. %? distancia de 0 a T (distancia que separa la lancha del auto!.

'omo los triángulos /0T y /P0 son rectángulos en / y P , respectivamente, setiene, de acuerdo a la relación pitagórica,

%

= >

+ (3 + y!. (0!

2



de )*

%ambi#n,>

= 2

+ x

.

(!



6ea la animaci'n KFrolema del puenteN en su multimedia de Elementos B#sicos de #lculo 1iferencial.

%igura 2/&(

:e acuerdo con las condiciones del enunciado, cuando han transcurrido s elauto está en el punto T y la lancha en el punto 0. sí que, en ese instante, x @03 m e y @ D3 m. *a pregunta del problema puede formularse de la siguienteformaB

P xd%

]

= 03 m y y = D3 m

= ?,cuando

dt Q

dx]

R

dt =

m 8s

dy = 0 mdt s

)ara responderla, se sustituye (! en (0! y luego se deriva en ambos lados conrespecto al tiempo. Esto esB



%

= 2 + x

+ (3 + y!,

%d%

= xdx

+ (3 + y!dy

.dt dt dt

:eaquí,

x dx + (3 + y! dy

d%= dt dt .

dt %



s? 2@0 2?5 m

s

de )*

a animaci'n K6aciado y llenado de tanquesN en su multimedia de Elementos B#sicos de #lculo 1iferencial.

Remplaando los valores particulares, se obtiene finalmenteB

(03 m! ⋅ m

+ (02+ m! ⋅0m

d%= =

2.+ m≈ ./

m,dt +D.4+0 s s

lo que indica que la lancha y el auto se est"n separando a una velocidad deaproxi- madamente ./ m @ s.

Ejemplo 27.4

Ana piscina cuyas medidas son las indicadas en la figura /.+, tiene agua hasta + pies de profundidad en el extremo más hondo.

a. >\u# porcenta<e de la piscina está llena?

b. ;i se echa agua en ella a raón de 0 pies4=min, >a qu# ritmo sube el nivel delagua en el instante para el cual hay agua hasta + pies de profundidad?

olución

%igura 2/&4

a. ;e debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. ]stecorresponde al volumen de un sólido cuya base es un trapecio con lassiguientes medidasB base mayor, D pies8 base menor, + pies8 espesor,

pies.

)or tanto, #p @ (área de la base! (espesor!.

#p =(D + +! +

P = 2. pies4 .

hora, el porcenta<e de piscina llena corresponde al volumen#

que aparece indicado en la figura /.2.

del sólido

@ área de la base (espesor!.

l

# l




# ll

=+ P L

P = + L pies4 .



%igura 2/&)

'omo los triángulos )+* y P+/ son seme<antes, se tiene la siguiente pro- porciónB

2=

+⇒ L = 4 pies.

+ L

sí que # = + P 4 = 0. pies4 . Asando una regla de tres simple se esta-

bleceB

;i #p = 2. pies4 corresponde al 0O.

# = 0. pies4 corresponde a x =

0. P 0O≈ +.30O

ll

2.

b. ;upóngase que en un instante t determinado el volumen de piscina llenacorresponde al volumen del sólido que aparece en la figura /.3, en elcual y (nivel vertical! y x (nivel horiontal! están creciendo con respectoal tiempo.

%igura 2/&$

;e tiene entonces que # = y P x

P = 0 x P

y.

l



(0!

)ero y

= x

⇒ x = y. (!

+ 4



;ustituyendo (! en (0! se puede escribir

# @ y. (4!

:erivando en ambos lados de (4! con respecto a t se tiene

d#= 03 y .

dy.

dt dt

:e donde dy=dt

d#

dt .03 y

'omo d# = 0 pies4

dt min y y = + pies, se tiene finalmente

dy=

0=

0 pies.dt 03 × + 3+ min

]sta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante.)uede verificarse fácilmente (Zverifique[! que el nivel horiontal x tambi#nestá cre-

ciendo en ese mismo instante a una raón de 0 pies=min.



2'


D 8 h

.a diferencial

Introducción

En el siguiente módulo se usa la derivada para estimar el cambio de una funcióny, por tanto, el valor resultante de la función. El raonamiento que se hará serágeom#- trico, apoyado en la interpretación de la derivada como la pendientede la recta tangente. Es decir, una pequeNa porción del gráfico de una función

derivable en torno a un punto P parece casi recto y se aseme<a a un pequeNosegmento de la recta tangente en P . Esto sugiere utiliar la tangente para estimar la variación del valor de la función causada por una pequeNa variación en x.


0. :ar significado a la notación de *eibnidy

para la derivada, no como símbolodx

completo, sino como símbolos separados dy y dx.

. :educir las fórmulas diferenciales a partir de las reglas de derivación y usarlas en

la solución de problemas de aproximaciones y en la estimación de errores enalgunos problemas característicos en las ciencias.

Preguntas b!sicas

A &nales de 28D0, el &si'logofranc$s ean Foiseuille descuri' laf'rmula que se usa hoy en d/a parapredecir cu#nto hay que e7pandirel radio de una arteriaparcialmente ostruida para

restaurar el JuCo normal.

0. Asando diferenciales demuestre que ≈ +h

0 para h pequeNos.

. >'uál es el porcenta<e de error cuando h = 0? >J cuando h = −0 ?


.0*a diferencial

."nterpretación geom#trica de la diferencial y fórmulas diferenciales

.4proximaciones y estimación de errores




+'dulo 8- a

8.2 .a diferencial

Tasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x la

notación de *eibni dy

dxcomo un símbolo y no como el cociente del símbolo dy

(diferencial de la variable y! entre dx (diferencial de la variable x!.

;e define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permiterepresentar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de lavariación de una función alrededor de un punto. *a definición está motivada por el siguiente raonamiento geom#tricoB

;ea P ( x , y ! un punto fi<o sobre la gráfica de y = f ( x! (figura .0a!.

%igura 2'&"



%omando el punto P ( x , y ! como origen, se introduce un nuevo sistema de coorde-

nadas cuyos e<es dx y dy son paralelos a los e<es antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y, en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber, dy =

mdx, donde m es la pendiente. hora, como la pendiente en el nuevo sistema es

la misma

%órmula de ,ean Poiseuille

a f'rmula que descuri'Foiseuille para predecir cu#nto hayque e7pandir el radio de unaarteria parcialmente ostruidapara restaurar el JuCo normal es $

[ %r 5, donde $ es el volumen delJuido que pasa a trav$s de unpequeGo tuo en la unidad detiempo a una presi'n &Ca, % es una

que la del antiguo, esto es m = f ′( x!, se tiene entonce que dy = f ′( x!dx.

constante y r es el radio del tuo."'mo afectar# a $ un incrementodel 20 en r %

*o anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales.

;e llama d!ferenc!al de la var!able !ndepend!ente x, denotada por dx,

al incremento ⊗ x, esto es, dx @ ⊗ x.

;i y = f ( x! es una función derivable de x, la d!ferenc!al de y en el punto x,denotada por dy, se define como dy = f ′( x!⊗ x, o tambi#n, dy = f ′( x! dx.

8. Interpretación geométricade la diferencial y fórmulasdiferenciales

;ea f una función derivable en x. En el triángulo P 0Q se tiene que 0Q = m⊗ x, en

donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P (figura .0b!, y por

tanto

m = f ′( x !.

sí que 0Q = f ′( x- !

⊗ x = dy.

(0!

demás, ⊗ y = f ( x + ⊗ x!− f ( x !.

(!

;e puede observar entonces queB

⊗ y es el incremento en y medido sobre la curva8

dy es el incremento en y medido sobre la recta tangente.

%bserv"ciones



a. ;i la ecuación y = f ( x! corresponde a una línea recta, entonces dy =⊗ y

para cualquier x del dominio.

b. )uesto que dy = f ′( x! dx, si dx ≠ , entonces al dividir ambos miembros

de la Cltima igualdad por dx se tienedy

= f ′( x! y se puede de esta forma

inter-dx

pretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales.

c. :e acuerdo a la observación b todas las reglas de diferenciales sededucen de las reglas de derivación (R:0 - R:0, del módulo 0D!,multiplicando ambos miembros de estas Cltimas por dx. En la tabla .0aparecen las principa- les reglas de diferenciales (Rd! deducidas de lascorrespondientes reglas de derivación (R:!.



57? 75 ?

1abla 2'&"& Frincipales reglas de diferenciales

0egla de la der!vada 0egla de la d!ferenc!al

R:0d

(c! = d x

d (cu! = c d (u!dx dx

R:Dd

( xn! = nx

n −0

d x

R:4 y +d

(u ± v! =du

±dv

dx dx dx

R:2d

(u P v! = udv

+ vdu

dx dx dx

v Pdu

− u Pdv

R:/d 9 u :

= dxd x dx; v

<v

= >

n=

n −0 u

Rd 0 dc =

d (cu! = cdu

RdD dxn

= nxn −0

dx

Rd4 y + d (u ± v! = du ± dv

Rd 2 d (u P v! = u P dv + v P du

Rd/ d9 u :

=

vdu − u dv

; v < v

= >

R.d.0 d (un ) = nu

n −0du

sí por e<emplo, si y ==(+ x2

+ x+− 2)2^ , entonces la

de-

rivada

dy

dxviene dada por

dy=

0( x+

+ x4 ) (+ x2+ x+

− 2)

−0=

= 0 x++ + x4

.

dx + x2+ x+

− 2

Es decir, dy=dx

x4 (2 x + !.

+ x2+ x+

− 2

&ultiplicando ambos miembros de la Cltima igualdad por dx(dx ≠ !, se

obtiene finalmente

x4 (2 x + !dy =

+ x2+ x+

− 2

dx.



d. ;i y @ f ( x! y x @ g (t !, entonces la regla de la cadena en forma dediferencial se expresa asíB

dy =9 dy :

.9 dx :

dt .= > = >dx



D 2

D 2?

D 7

8.D Apro+imaciones y estimación de errores

*as diferenciales pueden utiliarse para aproximar valores de funciones. )araello, supóngase que la gráfica de y = f ( x! corresponde a la de la figura ..

%igura 2'&2

'uando se da a x un incremento ⊗ x,

la variable y recibe un incremento ⊗ y, que

puede considerarse como un valor aproximado de dy. )or tanto, el valor

aproximado de f ( x +⊗ x! es

f ( x + ⊗ x! ≈ f ( x! + dy = f ( x! + f ′( x! ⊗ x.

(0!

sí por e<emplo, supóngase que se quiere calcular (usando diferenciales! un valor

aproximado de 4 0. En primer lugar, nótese que puede escribirse como

4 02− 4, y puesto que = 2, se puede pensar en la

función f ( x! = y

hallar dy con x = 02 y⊗ x

= −4.

Esto es, dy = f ′(02! (−4!, pero

f ′( x! = 0 x−= 4

= 0 ,

4 44 x



2DD 2?

D 2

f ′(02! = = 0 , con lo cual dy=

f K(02!⊗ x =

0⋅ (−4! = −0

.

/2 /2 2

En consecuencia, usando (0! se puede escribirB

f (02 + (−4!) ≈ f (02! + dy,

f (0! ≈ 2 −0

,2

≈ 2 −0

=0+

= +.D3.2 2



de )*

Estim"ción de errores

An problema característico en ciencias es el siguiente. An investigador midecierta variable x para obtener un valor x con un posible error de magnitud ± x. El

valor x

se usa despu#s para calcular un valor y

de la variable y que depende de x. El

valor de y queda supeditado al error de x, pero >con qu# magnitud? El procedimiento

regular consiste en estimar el error por medio de diferenciales.

)or e<emplo, un tanque cilíndrico tiene un radio de 2 m y una altura de 0 m. ;edesea pintar la superficie exterior con una capa de pintura de .0 m de espesor.

TalleB

a. *a cantidad aproximada d# de pintura que se necesita.

b. *a cantidad exacta⊗# de pintura que se necesita.

c. El errorB ⊗# − d# .

olución

;ea x el radio del cilindro en cualquier instante (figura .4!.

%igura 2'&(

El volumen viene dado por la función # ( x! = 0π x .

*a diferencial de # en x @ 2 será el valor aproximado

d# = # ′(2!⊗ x

= π (2! .0

=π

m4 .

0--- 0




⊗# será el valor exacto, es decir,

⊗# = # ( x +⊗ x! −# ( x!,

⊗# = 0π ( x +⊗ x!

−0π x

= 0π ( x P ⊗ x + (⊗ x! ),



D 7

⊗# = 0π SW ⋅ 2P(.0! + (.0! TX = 0π (.0 + .0) ,

⊗# = .00 P π ,

⊗# − d# = (.00 − .0! π = .0π = 0−2π .

/pro,im"ciones line"les

'onsidere la gráfica de la función f ( x! que aparece en la figura .+.

.

%igura 2'&4

*a ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (a, f (a!! viene dada por

y − f (a! = f ′(a! ( x − a! ⇔ y = f (a! + f ′(a! ( x − a!.

*a aproximación f ( x! ≈ f (a! + f ′(a!( x − a! se llama aprox!mac!&n l!neal de f en

a, y la función L( x! = f (a! + f ′(a! ( x − a! se llama l!neal!%ac!&n de f en a. *a aproxi-

mación lineal f ( x! ≈ L( x! es una buena aproximación, cuando x está cerca de a.

sí por e<emplo, si se quiere hallar la linealiación de la función f ( x! = en a @ 02

y usar dicho resultado para obtener una aproximación del nCmero4 0, se

procede de la forma siguienteB

f ′( x! =0 x 4 =

0.

4 44 x



D 2?

2DD 2?

)or tanto,

f (02! = = 2, y

tambi#n

f ′(02! = =0

./2



D

de )*

D 7

D 2

)or consiguiente,

L( x! = 2 +0

( x −02! =0

+ x

.

:e esta forma,/2 4 /2

≈0

+ x

.4 /2

En particular,

≈0

+0

=4/

= +.D3.4 /2 /2

6ótese que dicho valor coincide con el obtenido usando diferenciales.



ercicios del capítulo 4 módulos 20 al 2'

ercicios propuestos

0. En los e<ercicios siguientes encuentre la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva dada y enel punto de abscisa dado.

a. y = 2 − x

8 x

= 0. b. y = / − x − x

8

x

= .χ. y = x

+08 x = 4.

d. y = x

+ x8 x = +. e. x4 y + y

4 x

= 08

x = 0.

. Encuentre la ecuación de la normal a la curva ( x

+ y!

= 0( x

− y

! en el punto (4, 0!.

4. :emuestre que las hip#rbolas xy = 0 y x

− y

= 0 se intersecan en ángulo recto.

+. :etermine la ecuación de la recta tangente a la curva y = x+ 4 que es paralela a la recta + x − y −0 = .

2. Encuentre una recta que pase por (, G4! y sea tangente a la curva y = x

−0.

3. En los e<ercicios siguientes una partícula se mueve sobre un e<e horiontal, segCn la ecuación de movimientodada. Talle la velocidad instantánea para los valores particulares de t indicados. :etermine además, si es

posible, los instantes en los cuales la partícula se encuentra en reposo.

a. s (t ! = t

+ 08

t = . b. s (t ! =

0

8t

t = 0= 2.

c. s (t != t

+08t

= 4.d. s (t ! = + − t8

t = +.

/. ;e lana un ob<eto con una velocidad inicial de m=s en dirección vertical hacia arriba. EncuentreB

a. *a velocidad instantánea cuando t @ 2 s. b. *a altura máxima a la que llega el ob<eto.

c. *a rapide en el instante t @ s.

d. El tiempo que tarda en regresar al punto de partida.

6otaB use la fórmula s = v t −0 gt

.o

. An ob<eto arro<ado directamente hacia arriba alcana una altura s @ − 03t W +t W 23 pies despu#s de t segundos.



a. >'uál es su velocidad inicial?

b. >'uándo alcana su altura máxima?

c. >'uál es su altura máxima?

d. >'uándo alcana el piso?

e. >'on qu# velocidad llega al piso?



ap/tulo 5-

D+

de )*

D 7 2

D. )ara las funciones dadas a continuación, encuentre si existen los máximos y mínimos relativos, los intervalosde crecimiento y de decrecimiento de la curva.

a. f ( x! = x

− + x

−0. b. f ( x! = x

+

+ + x.

c. f ( x!

= x

D − x.

δ. f ( x!=

x −0

. x

e. f ( x! = − + ( x − +!4 .

f. f ( x! = x

− x +0.

P x + 0 si

γ. f ( x!Q x

≤ +

P]+ −

( x + 2)η. f ( x! =Q

si x < −+

R04 −

x si

x > + ]0 − ( x

+0)si x ≥ −+

0. :etermine el valor de las constantes a y b para que la función definida por f ( x! @ x4 W ax W b tenga un extremo

relativo en (, 4!.

00. )ara cada una de las funciones dadas a continuación determine los extremos absolutos de f en el intervalo dado.

a. f ( x) = x+

− x+ 03 en [−4,

].

b. f ( x ) = 0 − ( x

− 4) Den [−2, +].

χ. f ( x) =

x

x

+

en [−0,

].

δ. f

( x) =

en [−, 0].

P4 x − + si

ε. f ( x) =Q

− 4≤ x

<0en [−4, 4].

R x

− si 0 ≤ x ≤ 4

P]+ −φ. f ( x) = Q

( x + 2) si − 3 ≤ x

≤ − +en [−3, ].

]0 −( x

+0)si − + < x ≤

0. )ara las funciones dadas a continuación verifique si es posible aplicar las condiciones del teorema de Rolle yencuentre el valor de c que satisface la conclusión del teorema.

a. f ( x) = x+

− + x+ en [ 0, 4]. b. f ( x) = x

4

− 03 xen [ − +, ].

R

R



ECercicios de los


? z

7

c. g (t ) = t

− t en [−0,

].

d. h ( % ) = % +

− % 4

en [, 0].

e. f ( x) = x4 − 0 en [−,].

f. f (t ! =3

x − + sen x, en

S-,

π T.

π U 3 VW X

04. )ara las funciones dadas a continuación verifique si es posible aplicar las condiciones del teorema del valormedio (%$&! y encuentre el valor de c que satisface la conclusión.

a. f ( x) = x4

+ x

− x en [−,

0]. b. g (t ) = t − 0

+

0

t

−0

en [0.2, 4].

c. f ( x) = 4 x4 en [, 0]. d. h ( %

) =t

+ +t

en [−4, 4].

e. f

( x) =

en [+, 3]. f. g (t

) =t

− /

en [, 3].



0+. ;ea f

( x) =

x − 0

x − +. :emuestre que no existe ningCn punto c en (0, ! que satisfaga la conclusión del %$&.

:ibu<e

la gráfica de la función y seNale la parte de la hipótesis que falla en este caso.

02. ;ea f ( x! @ x+ − x4 W x − x. :emuestre, usando el teorema de Rolle, que la ecuación f ( x! @ + x4 − 3 x W + x − 0 @ tiene al menos una raí real en el intervalo (,0!.

03. ;ea f ( x! una función continua en La, bM y tal que f 9( x! @ 0 para todo x en La, bM. )ruebe que f ( x! @ x − a W f (a! para todo x en La, bM.

0/. ^uan via<ó 02 Fm en horas y aseguró que en su recorrido nunca excedió el límite de 3 Fm por hora. Ase elteorema del valor medio para demostrar que mintió. (yudaB sea S @ f (t ! la distancia recorrida en el tiempo t.!

0. ;ean 1 ( x! y 7 ( x! dos funciones que satisfacen la condición 1 ′( x! = 7′( x! para todo x de La, bM. :emuestre queexiste una constante / tal que 1 ( x! @ 7 ( x! W / para todo x de La, bM.

0D. :emuestre que si 1 ′( x! = para todo x de La, bM, entonces existe una constante / tal que 1 ( x! @ / para todo x

deLa, bM. (yudaB sea 7 ( x! @ y aplique el e<ercicio 0.!

. ;upóngase que lo Cnico que se sabe acerca de las funciones sen x y cos x es lo siguienteB cos (! @ 0, sen (! @ , + (sen x! @ cos x y + (cos x! @ − sen x. :emuestre que sen x W cos x @ 0. (yudaB sea 1 ( x! @ cos x W sen x yuse

x x

el problema 0D.!

0. %race las gráficas de cada una de las siguientes funciones, indicandoB dominio, interceptos, asíntotas,crecimiento, decrecimiento, máximo-mínimo, intervalos de concavidad, posibles puntos de inflexión.

α. f

( x) =

x. x −0

β. f

( x) =

x

− x + +.

x − χ. f ( x!

=

+ x. x

+

δ. g ( x! = ( x + !

. x ε. g ( x! = x

⋅

x

+ 4.

φ. y = f ( x!

=

x

+0.

0− x

g. 'omplete las gráficas de las curvas del e<ercicio 04 (e<ercicios propuestos, módulos D al 0D!.

. :ibu<e la gráfica de una posible función f que satisfaga las siguientes condicionesB

a. f es continua en todo el e<e real.

b. f (−! = 4,



c. f ′( x! = f (!

para

= −0.

x > .

d. f ′′( x! < para x < .

4. :ibu<e la gráfica de una posible función g que cumple las siguientes propiedadesB

a. g es continua en todo el e<e real.

b. g (−0! = 3, g (4! = − .

c. g ′( x! < para x

< −08 g ′(−0!=

g ′(4!

= − 8

g ′(/! = .



d. g ′′( x! < para x

< −08 g ′′( x! = para −0 < x

< 48

g ′′( x! > para x > 4.

+. ;ea f una función continua en todo el e<e real y derivable en todo x ≠ . *a figura 0 ad<unta es el gráfico de la

función

derivada f ′( x! (no de f ( x!!.

%igura "

Responda las siguientes preguntas acerca de f ( x! (no de f ′( x! !B

a. >:ónde es f ( x! creciente? >J decreciente? >:ónde es f ( x! cóncava hacia arriba? >J hacia aba<o? >'uáles sonsus puntos críticos? >:ónde ocurren los extremos relativos?

b. En el supuesto de que f (! @ 0, dibu<e una función que verifique las condiciones expuestas.

2. ;e dispone de una cartulina cuadrada de 2 cm de lado y se quiere hacer una ca<a sin tapa recortando cuadradosigua- les en las esquinas y doblando los lados. >'uál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta

para que el volumen de la ca<a sea m"x!mo?

3. %res cuadrados grandes de metal, cada uno de 0 cm de lado, tienen recortados de sus esquinas cuatro pequeNoscuadrados. *os doce pequeNos cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaNo. *as tres pieas grandes enforma de cru se doblan y se sueldan para formar ca<as sin tapa, y los doce cuadrados pequeNos se usan para

formar dos cubos pequeNos. >:e qu# lado deben cortarse los cuadrados pequeNos para max!m!%ar el volumen

total de las cinco ca<as?

/. An alambre de 0 cm de longitud se corta en dos partes. Ana parte se dobla para formar un círculo y la otra para un triángulo equilátero. >:ónde debe hacerse el corte para max!m!%ar la suma de las "reas del triángulo ydel círculo?>:ónde debe hacerse el corte para m!n!m!%ar la suma de las "reas?



. An faro se encuentra en un punto ) situado a una distancia de + Fm del punto * más cercano de la línea de lacosta que es recta. En la costa y a + Fm de * se halla una tienda. ;i el guardafaros puede remar a + Fm=h y caminar a 2 Fm=h,>qu# camino debe seguir para ir del faro a la tienda en el menor t!empo posible?

D. :etermine las dimensiones del cilindro circular recto de 4 cm4 de volumen y que demande la menor cant!dad

posible de material.



4. :etermine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen m"x!mo que se puede inscribir en una esferade radio a.

40. :etermine las dimensiones del cono circular recto de volumen m"x!mo que se puede inscribir en una esfera de radio a.

4. Talle las dimensiones del rectángulo de "rea m"x!ma que se puede inscribir en la elipse de ecuación x

y

+ = 0.2 03

44. An excursionista se encuentra en un bosque a Fm de una larga carretera recta. :esea caminar a su cabaNa quese encuentra a 0 Fm de distancia por el bosque y tambi#n a Fm de la carretera (figura !. )uede caminar a Fm=h por la carretera y a 4 Fm=h por el bosque. sí, decide caminar primero por el bosque hacia la carretera,luego por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaNa.

a. >\u# ángulo θ m!n!m!%ar(a el t!empo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaNa?

b. >'uánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?

%igura 2

4+. An gran<ero quiere cercar un terreno rectangular con una área de .+ pies. %ambi#n quiere utiliar algo decerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. >'uál es la long!tud m(n!ma

total de cerca que se requiere para dicho propósito? $erifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

42. Ytro gran<ero desea cercar un terreno rectangular con un área de 0. pies. %ambi#n desea utiliar algo de cerca para constuir dos cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde.>'uál es la long!tud m(n!ma total de cerca que requiere para este proyecto? $erifique que su respuesta es elmínimo absoluto.

43. An tercer gra<ero desea cercar un terreno rectangular de ) pies de área. %ambi#n desea usar una cerca adicional para construir n (entero fi<o positivo! cercas internas de división, todas ellas paralelas a las mismas seccionesexteriores del borde. >'uál es la long!tud m(n!ma total de cerca que se requiere para dicho propósito? $erifiqueque su respuesta es el mínimo absoluto.

4/. ;e necesita construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, con un volumen de 0 pie4. *a parte cilíndrica del recipientese fabrica con aluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces más caro que el aluminio. >\u# dimensiones

mini- mian el costo total del recipiente?

4. Ana escalera de m de longitud se apoya sobre una pared vertical. ;i el pie de la escalera está resbalando a raón de

.4 m=s, >a qu# velocidad está resbalando el extremo que se apoya en la pared en el instante en el cual ladistancia de la escalera a la pared es de 0.2 m?

4D. *a base de un rectángulo aumenta a raón de + cm=s, mientras que su altura decrece a raón de 4 cm=s.

a. >'on qu# raón cambia su área cuando la base mide cm? >J la altura 0 cm?



b. >'on qu# raón cambia su diagonal en ese mismo instante?



D4.? 5 8 D 0.00038D 20

+. An abrevadero que está lleno de agua tiene m de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláterosin- vertidos de 3 cm de lado. ;i el agua se escapa por un orificio del fondo del abrevadero a raón de + cm 4=s,>con qu# velocidad está ba<ando el nivel del agua en el momento en que dicho nivel tiene una altura de 0 cm?

+0. An tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 pies de radio y 2 pies de altura. El tanque está

lleno de agua, pero en el instante t @ s se abre un pequeNo orificio en el v#rtice y el agua comiena a salir.'uando la altura del agua en el tanque ha descendido 4 pies, el agua fluye a pies4=s.

a. >'on qu# velocidad decrece el nivel del agua en ese momento?

b. >'on qu# velocidad decrece el radio de la base en ese momento?

+. An automóvil que avana por una carretera a raón de 0. m=min se acerca a un cruce con otra carretera.'uando el automóvil está a 0 m del cruce, pasa por #ste un camión que va a 3 m=min. ;i las dos carreterasse cruan en ángulo recto, >con qu# velocidad se están separando el auto y el camión, medio minuto despu#s deque el camión pasó por el cruce?

+4. Ana persona camina hacia el norte a raón de + pies=s desde un punto P . 'inco minutos más tarde, una mu<er comiena a caminar hacia el sur a 2 pies=s desde un punto a 2 pies al este de P . >'on qu# raón se separan elhombre y la mu<er 02 minutos despu#s de que la mu<er comiena a caminar?

++. El ángulo en el v#rtice opuesto a la base de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 0 cm, aumenta a

raón de .0 rad=min. >'on qu# rapide aumenta el área del triángulo cuando el ángulo del v#rtice

mide π 3 rad?

(yudaB ) =

0ab sen γ .

!

+2. Ana escalera de 0 pies de longitud descansa sobre una pared vertical de 0 pies de altura, de tal manera que suex- tremo superior rebasa la pared. El extremo inferior de la escalera se <ala sobre el piso ale<ándolo de la pared a

raón de pies=s.

a. Encuentre la velocidad vertical del extremo superior cuando la escalera hace un ángulo de 3 con el piso.

b. Encuentre la aceleración vertical en el mismo instante.

+3. *a altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. l medirla se encontró que la altura es de 0 mcon un error de .2 m. Encuentre el error aproximado en el volumen del cono.

+/. ;i al medir la arista de un cubo se comete un posible error de .0 cm, encuentre el error aproximado en elvolumen y en la superficie total del cubo si la arista medida es de 2 m.

+. Encuentre el volumen aproximado de una concha esf#rica cuyo radio interior es de 2 cm y cuyo espesor es 0=0

cm.

+D. Asando diferenciales, calcule el valor aproximado de las siguientes cantidadesB

0

a. b. c. d.

2. ;i y = 4 x+ + x − 2, x = s

+ 2 s + y s @ 4t − /, halle dy en t = 0 y dt @ − ..A



4 x + ( x4 + )51. Talle dy si y = .

2 x+ /



KEl homre m#s feliz del mundo es aquel que sepa reconocer los m$ritos de los dem#s y pueda a ohann . Ioethe

dy2. En los e<ercicios siguientes halle dy y .

dt x

++ 4 x

a. y = 4 x

+ + x − 28 x = t

− t

+ 0.

β. y = 8 x + 2

x = 4t + 2.

χ. y = %

2+ 28 % = t + .

24. :ibu<e una figura seme<ante a la de la figura .0b tal que la gráfica sea cóncava hacia aba<o. "ndique los

segmentos de recta cuyas longitudes sean ⊗ x, ⊗ y, dx, dy.

Ccc Cccc Cccc

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