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Larry mckenssy Martínez Ariza 18.1 Distinguir entre a) las palabras homogéneas y heterogéneas b) las palabras isótropas y anisótropas c) puede ser un medio homogéneo y anisótropo heterogéneo e isótropo Solución Homogénea: Son palabras que se pronuncian igual, pero su escritura y su significado son diferentes Heterogéneo: compuesto de componentes o partes de distintas naturaleza Si hablamos de mezclas las homogéneas son las que al mesclar dos o mes sustancia no se puede diferenciar una de la otra y las heterogéneas son aquellas que al mezclar do o más sustancias se pueden diferenciar una de la otra y sabes cuál es cada sustancia Isótropo: Que presenta las mismas propiedades , independientemente de la dirección en que se midan . Anisótropo: que presenta propiedades variables según la dirección en que se mida Ivon Chimento. 18.2 Un bote en movimiento produce ondas superficiales en un lago tranquilo. El bote realiza 12 oscilaciones de 10 cm de amplitud en 20 segundos, produciéndose en cada oscilación una cresta de onda. Esta cresta tarda 6 segundos en alcanzar la orilla del lago distante 12 m. Calcular la longitud de onda de las ondas superficiales.

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Larry mckenssy Martínez Ariza

18.1 Distinguir entre a) las palabras homogéneas y heterogéneas b) las palabras isótropas y anisótropas c) puede ser un medio homogéneo y anisótropo heterogéneo e isótropo

Solución

Homogénea: Son palabras que se pronuncian igual, pero su escritura y su significado son diferentes

Heterogéneo: compuesto de componentes o partes de distintas naturaleza

Si hablamos de mezclas las homogéneas son las que al mesclar dos o mes sustancia no se puede diferenciar una de la otra y las heterogéneas son aquellas que al mezclar do o más sustancias se pueden diferenciar una de la otra y sabes cuál es cada sustancia

Isótropo: Que presenta las mismas propiedades, independientemente de la dirección en que se midan.

Anisótropo: que presenta propiedades variables según la dirección en que se mida

Ivon Chimento.

18.2 Un bote en movimiento produce ondas superficiales en un lago tranquilo. El bote realiza 12 oscilaciones de 10cm de amplitud en 20 segundos, produciéndose en cada oscilación una cresta de onda. Esta cresta tarda 6 segundos en alcanzar la orilla del lago distante 12m.

Calcular la longitud de onda de las ondas superficiales.

Solución.

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f=nt=12oscilaciones

20 s=0.6Hz

Dónde n es el número de oscilaciones y t el tiempo.

T=1f= 10.6Hz

1.66 s

La onda recorre 12m en 6 s, la velocidad de propagación seria:

v= xt=12m6 s

=2m /s

Donde x es el desplazamiento de la onda.

La longitud de onda está dada por:

ƛ=vT=( 2ms )∗(1.66 s)=3.33m

Luz Dary Leguizamón Ramírez

18.9 Dada la ecuación de onda en una cuerda ξ=0,03sin (3 x−2 t), donde ξ y x están en metros y t en segundos, contestar lo siguiente

a) Para t=0 ¿Cuál es el desplazamiento cuando x=0,1m ,0,2m y 0,3m?b) Para x=0,1m ¿Cuál es el desplazamiento cuando t=0 s, 0,1 s y 0,2 s?c) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad de oscilaciones de las partículas de la

cuerda? ¿Cuál es la velocidad máxima de oscilaciones?d) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda?

Desarrollo del ejemplo

Dado los datos

ξ (x ,t )=0,03sin(2 x−2 t)

Cuando

t=0 ξ (x ,t )=0,03sin 2 xa)

x=0

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ξ (x )=0,03sin(3 x )ξ (0)=sin (3 (0 ) )

ξ (0 )=0m

x=0,1mξ (x )=0,03sin(3 x )

ξ (0,1)=0,03sin (3 (0,1 ))ξ (0,1)=8,86×10−3m

x=0,2mξ (x )=0,03sin(3 x )

ξ (0,2)=0,03sin (3 (0,2 ))ξ (0,2)=1,69×10−2m

x=0,3mξ (x )=0,03sin(3 x )

ξ (0,3)=0,03sin(3 (0,3 ))ᶓ=2,35×10−2m

b) x=0,1m

ξ (x ,t )=0,03sin (3 x−2 t )t=0 s

ξ ( x , t )=0,03sin (3(0,1)−2(0))ξ ( x , t )=0,03sin (3 (0,1 )−2 (0 ) )

ξ (x ,t )=8,86×10−3m.

t=0 ,1 sξ (x ,t )=0,03 (3 x−2 t )

ξ ( x , t )=0,03sin (3 (0,1 )−2 (0,1 ) )ξ ( x , t )=2,995×10−3m .

t=0 ,2 sξ ( x , t )=0,03sin (3x−2t)

ξ ( x , t )=0,03sin (3(0,1)−2(0,2))ξ ( x , t )=−2,995×10−3m .

c)

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v=dξ ( x , t )

dtv=−0,06cos (3 x−2 t)

vmax=−0,06ms

d)k=3m−1

ω=2 rads

v=ω /k=0,667m /s

Jimmy Alexander Cárdenas López 1098685829

Ejercicio 18.11

Una barra de acero transmite ondas longitudinales por medio de un oscilador acoplado a uno de en sus extremos, la barra tiene un diámetro de 4mm, la amplitud de las oscilaciones es de 0,1 mm y la frecuencia es de 10Hz. Hallar: 

a) La ecuación de las ondas que se propagan a lo largo de la barra.b) La energía por unidad de volumen.c) El promedio de flujo de energía por unidad de tiempo a través de una sección cualquiera 

de la barra d) La potencia requerida para operar el oscilador.

SOLUCION.

D=0,004 m,  ᶓ 0= 0,0001 m,   f= 10 Hz,    ρ= 7500 kg/m3,    γ= 2,0 

a) * hallamos primero ω (frecuencia angular)                           

f= ω2π

ω=2π f

ω=2π (10 )=20π radseg

*  Hallamos velocidad de onda (ν) 

ν=√ γρ

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ν=√ 2,0 x1011N .m−2

7500kg .m−2=5,16 x103m .seg−1

*  Ahora la longitud de onda λ

λ= νf=5,16x 10

3m.seg−1

10Hz=516m

* Y el número de onda К

К=ων

=20π

radseg

5,16 x 103m.seg−1=0,012

Ahora reemplazamos en la ecuación 

ᶓ ( x ,t )=ᶓ 0Sen(КX−ωt)

ᶓ ( x ,t )=0,0001 Sen(0,012 X−20 π t)

b) Energía por unidad de volumen.

E=0,5 ρω2 ξ2

E=0,5(7500 kg

m3 )(20 π )2 (0,0001 )2

E=0,148J

c) El promedio de flujo de energía por unidad de tiempo a través de una sección cualquiera de la barra.

I=νE

I=(5,16 x103m .se g−1 ) (0,148J )

I=763,68 Wm2

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d) La potencia requerida para operar el oscilador, es decir potencia media.

∂ϖ∂ t

=ν A (0,5 ρω2ξ2 )

donde A es el área transversal A=π4

(0,0004 )2=0,012m2

∂ϖ∂ t

=(5,16 x103m .se g−1 )(0,012m2)(0,5 (7500 kgm3 ) (20 π )2

(0,0001 )2)∂ϖ∂ t

=8,989Watts

CARLOS AUGUSTO FERNANDEZ CAMACHO

18.15 Obtener la velocidad de las ondas de torsión en el acero, comparar con el resultado obtenido para ondas longitudinales en el ejemplo 18.4

Solución

v=√Gρρ=7.8∗103 kg

m3

G=0.80∗1011 Nm

Ahora 

v=√ 0.8∗10117.8∗103ms

v=3.20∗103ms

CARLOS FERNANDO GONZALEZ VEGA

18.16.  Probar que las ondas de energía estudiadas en la sección 18.9 se pueden escribir en la forma

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∂w∂ t

=v [ p ω2 ξ02 {12+ 12 cos(kx−ωt )}]Obtener de esta ecuación el valor promedio. Demostrar que la frecuencia de la onda de energía es doble y que la longitud de onda es la mitad de la que corresponde a la onda de desplazamiento. 

Hacer el grafico ∂W∂t

 en función de x en un instante dado.

SOLUCION

Partimos de la ecuación mostrada en la sección 18.9 que es la siguiente.

∂w∂ t

=vA {pω2 ξ02 ¿

cos2 (kx−ωt )=cos (kx−ωt )cos (kx−ωt )−sin(kx−ωt )sin(kx−ωt )

cos2 (kx−ωt )=cos ² (kx−ωt )−sin ²(kx−ωt )

cos2 (kx−ωt )=cos ² (kx−ωt )−¿¿

cos2 (kx−ωt )=cos ² (kx−ωt )−1+cos² (kx−ωt)

1+cos2(kx−ωt )=2cos ² (kx−ωt )

cos ² (kx−ωt )=12+12cos2(kx−ωt )

Reemplazamos y llego que.

∂w∂ t

=v [ p ω2 ξ02 {12+ 12 cos (kx−ωt )}]Mediante esta demostración se concluyó que la frecuencia de longitud es el doble y que la longitud de onda es la mitad de la que corresponde a la onda de desplazamiento.

Obtener el valor promedio de la ecuación.

[ ∂ w∂t ]=12 vpω2 ξ02

Hacer el grafico ∂W∂t

 en función de x en un instante dado.

Teniendo en cuenta que el valor promedio del coseno es igual a 0.

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Cuando t=0 

∂w∂ t

=v [ p ω2 ξ02 {12+ 12 cos (kx−ωt )}]

Amplitud=12vpω2ξ0

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DEISY MILENA VILLAMIZAR SABALA

18.19: una cuerda de 2m de longitud y de 4 gr de masa se mantiene horizontalmente con un extremo fijo y el otro soportando una masa de 2kg. Hallar la velocidad de las ondas transversales en la cuerda.

Solución

T

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Mg

∑ f=0

T=mg

μ=mcuerda

lcuerda

v=√ M gmcuerda

lcuerda

v=√ M glcuerdamcuerda

v=√ (2Kg )(9,8 ms2 ) (2m)

0.004Kg

v=99m /s

18.20 Un Extremo de una cuerda horizontal está sujeto a uno de los brazos de un diapasón de frecuencia 240 Hz operado eléctricamente. El otro extremo pasa por una polea y soporta un peso de 3Kg.la masa por unidad de longitud de la cuerda es de 0.020 Kg m-1.a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?b) ¿Cuál es la longitud de onda?

Sol:

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Datos: f=240Hzm=3Kgµ=0.020Kgm−1

a.

v=√TµT=m∗g

T=3Kg∗9.8m /sT=29.4N

v=√ 2.94N0.020Kgm−1

v=38.34m / s(velocidad )b.

λ= vf

λ=38.34

ms

240Hzλ=0.159metros(Longitud de onda)

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18.21 Un extremo de un tubo de goma está unido a un soporte y el otro extremo pasa por una polea situada a 5m del extremo fijo y sostiene una masa de 2kg. La masa del tubo entre el extremo fijo y la polea es 0.6kg

a) Hallar la velocidad de propagación de las ondas transversales a lo largo del tubo. Una onda armónica   de amplitud 0.1cm y longitud de onda 0.3m se propaga a lo largo del tubo.

b) Hallar la velocidad transversal máxima de cualquier punto del tubo.c) Escribir la ecuación de la onda.

Solución

a) Establecemos las posibles ecuaciones que nos servirán para resolver el ejercicio.

Hallamos μ

μ=ml=0.6kg5m

=0.12kgm−1

Por diagrama de fuerza tenemos que:

∑ F=0 , Donde;

T−mg=0 Despejando la tensión T tenemos;

T=mg= (2kg∗9.8ms−2 )=19.6N

Hallamos la velocidad en cualquier punto:

v=√ (19.6N )(0.12kgm−1)

=12.78ms−1

Primero planteamos la ecuación para ondas transversales

ε ( x ,t )=ε0 sen k (x−vt)

Page 12: Ccapitilo 18 Ondas.docx

ε 0=1∗10−3m 

Para hallar la velocidad.

λ=0.3m

Hallamos k y w.

∴ k=2πλ

= 2π0.3m

=20 π3

∴w=kv=(20 π3 )∗(12.78ms )=267.78 radsLa respuesta seria derivando:

v ( x ,t )=(1∗10−3 )∗(20 π3

)cos (20 π3 x−267.78t )c)  Para la ecuación de la onda tenemos

ε ( x ,t )=1∗10−3 sen ( 20π3 x−267.78 t)RAFAEL EDUARDO CUEVAS OBREGON

18.23 Un alambre de acero que tiene una longitud de 2m y un radio de 0.5mm cuelga del techo.

T L T L+l

m*g m*g

a) Si un cuerpo de 100Kg de masa se suspende del extremo de libre, ¿hallar la elongación del alambre?

∑ F y=T−mg=0 A=π r2 Y=2∗1011N /m

T=mg=F A=π (0.0005m )2 L=2m

m m

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T=100Kg∗9.8ms2

A=25∗10−8m2

T=980N

l=FL /YA l= 980∗22 x1011∗25∗10−8

m l=1.25∗10−2m

b) Hallar el desplazamiento del punto medio y el esfuerzo hacia abajo sobre él.

l=FL /2YA l= 980∗2(2)(2∗1011)(25∗10−8)

m l=6.25∗10−3m

F= FA

F= 980

25∗10−8

N

m2

F=39.2∗108 Nm2

c) Determine la velocidad de las ondas longitudinales y transversales que se propagan a lo largo del alambre cuando la masa está suspendida.

v=√ γρ

v=√ 2 x10117.8 x108

v=5.06 x103 ms

v=√Gρv=√ 0.8 x 10117.8 x 108

v=3.2x 103ms

Page 14: Ccapitilo 18 Ondas.docx

v=√Tμv=4∗102m

s

Jonatan Leon

18.24 una cuerda de longitud L y de masaM cuelgan libremente del techo.

a) Demostrar que la velocidad de una onda trasversal en función de la posición a lo largo de la cuerda es v=√gx, siendox las distancia desde el extremo libre.

b) probar que un pulso trasversal recorrerá la cuerda (ida y vuelta) en un tiempo

2√ Lg

. Notar que estos resultados no dependen de la masa de la cuerda.

Solución

a)

v=√Tμμ=M

L

T=Mg

v=√ TML

v=√TLM

v=√ MLgM

x=L

v=√gxb)

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t= xv

t= 2L

√gL

t=2√ L2

gL

t=2√ Lg

x=2 L por cómo es ida y vuelta.Leidy Andrade

18.25 En la sección 18.9 obtuvimos el flujo de energía de una onda longitudinal en una barra, repita el cálculo para las ondas transversales en una cuerda y

demostrar que la potencia media es v (12 ε02mω2) Notar que la cantidad encerrada

en el paréntesis corresponde a la energía por unidad de longitud. (Sugerencia: calcular la rapidez con que la fuerza perpendicular a la cuerda ( F sen α = F( dE/dx)en la fig. 18.14) realiza un trabajo)

Consideremos el caso de una onda sinusoidal

ξ (x ,t )=ξ0 senk (x−vt)

Tg α= dE/dx

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Tomando la derivada apropiada

∂ξ∂ x

=−ξ0ωcos k (x−vt)

Como

F=T∂ξ∂ x

Derivada correspondiente

∂ξ∂ x

=ξ0 k cos k (x−vt)

Usamos la relación

ω=kv y v2=T /μ

La potencia (trabajo por unidad de tiempo)

W=−Fξ

∂W∂t

=−F∂ξ∂ t

∂W∂t

=−T ( ∂ξ∂x )( ∂ξ∂t )∂W∂t

=−T ¿

∂W∂t

=T (ξ02 k ωcos2 k ( x−vt ))

∂W∂t

=v2 μ(ξ02ω2

vcos2k ( x−vt ))

Así la potencia (trabajo por unidad de tiempo), es:

∂W∂t

=v (ε02ω2μ cos2 k ( x−vt ) )

La potencia media es:

∂W∂t

=v ( 12ε02mω2)

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Recordamos que la energía total de un oscilador E=12mω2 A2, lo cual corresponde

a la energía

E=12mω2 ε0

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INGRID WILCHES

Ejercicio 18.28 Del valor dado en el ejemplo 18.6 para el coeficiente α=√γR /Mpara el aire, obtener la masa molecular efectiva del aire y compararla con el resultado obtenido por otros medios suponer que para el aire γ=1.40.

Ejemplo 18.6

Obtener la relación entre la velocidad de una onda de presión en un gas y la temperatura del gas.

Solución: la relación entre la presión y el volumen de un gas es pV=N RT . Pero como ρ=m /V ,tenemos que p/ ρ=NRT /m=RT /M , donde M=m /Nes la masa de un mol del gas, expresada en kg. Por lo tanto la

razón p/ ρ es proporcional a la temperatura, y podemos escribir

ϑ=√ γpρ

=√ γRTM

=α=√T ,

Donde α=√γR /M. Sabemos por medidas experimentales que a T=273.15 ° K (0 °C ), la velocidad del sonido en el aire 331,45 m.s-1. Luego el coeficiente tiene el valor 20,055 y la velocidad del sonido en el aire a cualquier temperatura (medida en K) es ϑ=20,055√T m.s-1 resultado en concordancia con los valores experimentales para grandes intervalos de temperatura.

Solución:

Despejamos M de la ecuación α=√γR /M .

Page 18: Ccapitilo 18 Ondas.docx

α=√ γRM

α 2= γRM

Mα2=γR

M= γR

α 2

Tenemos del ejemplo 18.6 que:

α=20,055

γ=1.40

R=8.314472 Jmol

. k

Reemplazamos en

M= γR

α 2 ¿M=

(1.40)(8.314472)(20.55)2

=¿0,0276 kg/mol

DIEGO JOSE MONTAÑEZ M.

18.38 Dos Ondas Armónicas de la misma frecuencia y amplitud se propagan con igual velocidad en direcciones opuestas.

A) Determinar el movimiento ondulatorio resultante.

B) Suponiendo que la Onda resultante corresponda a una onda transversal en una cuerda, hacer el grafico del desplazamiento de los puntos de la cuerda en diferentes instantes.

Solución:

(1) E(x,t) = Eo sen (kx+ wt

(2) E(x,t) = Eo sen (kx+ wt)

Utilizando la siguiente función trigonométrica

Sen x + sen B= 2 A cos ½ ( x+b) sen ½ (x-b)

= 2 Eo cos ½ (kx + wt) sen ½ (kx- wt)

Page 19: Ccapitilo 18 Ondas.docx

Grafica

JOHANA PAOLA ROZO RICO

18.42 Dos ondas Polarizadas en planos perpendiculares viajan en dirección OX a la misma velocidad. Hallar el movimiento resultante si a) A1= 2 A2  y de fases iguales b) A1=- 2A2 y un desfase de π/2 c) A1=A2 y un desfase de π/2.

a)

X= A1 sen (wt)

Y=  2A2 sen (wt)

Y/X= 2 A2 / A1 

Y= (2 A2/A1)X

A=√❑A1 2+ 2 A2 2

r(t)= √❑ A1 2+ 2 A2 2 sen(wt+δ ) Posicion de onda un recta.

b)

X= A1 sen (wt)

Y=  -2A2 sen (wt+ π/2)

Y= -2 A2 [sen wt. cos π/2+ sen π/2.cos wt]

Y= -2 A2 (cos wt)

(y/2 A2)2=(cos (wt))2   (x/A1)2= (sen wt)2

Y2/(2 A2)2+x2/A12 = cos2(wt)+sen2(wt)

Page 20: Ccapitilo 18 Ondas.docx

Y/4 A22+x2/A12 = 1           Movimiento eliptico

c) A1=A2=A

X= A sen (wt)

Y= A sen (wt+ π/2)

Y=  A [sen wt. cos π/2+ sen π/2.cos wt]

Y=  A (cos wt)

X= A sen (wt)

Y= A sen (wt)

(y/A)2=(cos (wt))2   (x/A1)2= (sen wt)2

Y2/ A2+x2/A2 = cos2(wt)+sen2(wt)

Y/ A2+x2/A2 = 1  movimiento de un circulo        

16.43. Dos silbatos de tren,  A y  B, tienen una frecuencia de 392 Hz.  A está estacionario y  B se mueve a la derecha (alejándose de A) a 35.0m/s. Un receptor está entre los dos trenes y se mueve a la derecha a15.0 m/s (figura 16.41). No sopla el viento. Según el receptor,  a) ¿qué frecuencia tiene A? b) ¿Y B? c) ¿Qué frecuencia del pulso detecta el receptor?

Solucion

En el problema tenemos dos casos compuesto por dos fuentes y un receptor , se resalta que la velocidad del sonido ya no las dan ya que satisface a la ec del efecto doppler

fl= v+vlv+vs

∗fs 

Page 21: Ccapitilo 18 Ondas.docx

Fs = frecuencia de la fuente

Vs= velocidad de la fuente

Fl =frecuencia del receptor

Vl= velocidad del receptor

El primer caso es cuando la fuente A no se desplaza y el receptor si  podemos concluir que se esta alejando de la fuente A la frecuencia de la fuente con respecto a el receptor 

Frecuencia de la fuente A

A) 344m

s−15m

s344m

s

 = 375HzB ) El segundo caso es cuando el receptor esta en la misma direccion de la  fuente 

Frecuencia de la fuente B

344ms

+15ms

344ms

+30ms

 = 371Hz

C) la frecuencia de pulso que le llegan al receptor es:

F pulso=F1−F2

F pulso=375−371=4HZ