cayley
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El teorema de Cayley-Hamilton (Toda matriz cuadrada anula a su polinomio característico) Valor de un polinomio en una matriz Dada una matriz cuadrada cualquiera, A es evidente que se pueden calcular todas sus poten- cias de exponente entero positivo: A 1 = A, A 2 = AA, y en general A n = AA n-1 . Todas las potencias de una matriz n × n son matrices n × n y lo mismo ocurre al multiplicar cualquiera de esas potencias por un número. En consecuencia, los múltiplos de esas potencias de una matriz A se pueden sumar entre sí y, además, se pueden sumar a cualquier escalar c si sustitiumos ese escalar por la correspondiente matriz numérica cI n . El resultado de todo esto es que dado cualquier polinomio en una incógnita, p(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ··· + a n x n , y una matriz cuadrada A de tamaño n × n, podemos evaluar la matriz a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + ··· + a n A n y el resultado es otra matriz n × n. Ese resultado es, por definición de valor de un polinomio en definición de valor de un polinomio en una matriz una matriz, el valor del polinomio p(x) en la matriz A y se escribe: p(A)= a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + ··· + a n A n Autovalores del valor de un polinomio en una matriz De la misma forma que para cualquier matriz cuadrada A si λ es un autovalor de A entonces λ q es un autovalor de A q con el mismo autovector, también se verifica que cualquiera que sea el polinomio p(x), p(λ) es un autovalor de la matriz p(A) con el mismo autovector. Para comprobarlo simplemente elijamos un autovector de A con autovalor λ: Ax = λx y tratemos de calcular p(A)x. Si p(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ··· + a n x q entonces p(A)x =(a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + ··· + a n A q )x = a 0 I n x + a 1 Ax + a 2 A 2 x + ··· + a n A q x = a 0 x + a 1 λx + a 2 λ 2 x + ··· + a n λ q x =(a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 + ··· + a n λ q )x = p(λ)x 1 Versión de 5 de noviembre de 2014, 14:04h.
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El teorema de Cayley-Hamilton
(Toda matriz cuadrada anula a su polinomio caracterstico)
Valor de un polinomio en una matriz
Dada una matriz cuadrada cualquiera, A es evidente que se pueden calcular todas sus poten-cias de exponente entero positivo:
A1 = A, A2 = AA, y en general An = AAn1.
Todas las potencias de una matriz n n son matrices n n y lo mismo ocurre al multiplicarcualquiera de esas potencias por un nmero. En consecuencia, los mltiplos de esas potenciasde una matriz A se pueden sumar entre s y, adems, se pueden sumar a cualquier escalar c sisustitiumos ese escalar por la correspondiente matriz numrica cIn. El resultado de todo esto esque dado cualquier polinomio en una incgnita,
p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + + anxn,
y una matriz cuadrada A de tamao n n, podemos evaluar la matriz
a0In + a1A+ a2A2 + + anAn
y el resultado es otra matriz n n. Ese resultado es, por definicin de valor de un polinomio en definicin devalor de unpolinomio enuna matriz
una matriz, el valor del polinomio p(x) en la matriz A y se escribe:
p(A) = a0In + a1A+ a2A2 + + anAn
Autovalores del valor de un polinomio en una matriz
De la misma forma que para cualquier matriz cuadrada A si es un autovalor de A entoncesq es un autovalor de Aq con el mismo autovector, tambin se verifica que cualquiera que sea elpolinomio p(x), p() es un autovalor de la matriz p(A) con el mismo autovector.
Para comprobarlo simplemente elijamos un autovector de A con autovalor : Ax = x ytratemos de calcular p(A)x. Si
p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + + anxq
entonces
p(A)x = (a0In + a1A+ a2A2 + + anAq)x = a0Inx+ a1Ax+ a2A2x+ + anAqx
= a0x+ a1x+ a22x+ + anqx = (a0 + a1+ a22 + + anq)x
= p()x
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2014
,14:
04h.
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El teorema de Cayley-Hamilton
Definicin: Se dice que una matriz n n, A, anula a un polinomio p(x) si el valor de p(x) en A esla matriz nula n n:
A anula a p(x) si p(A) = 0
El teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz cuadrada anula a su polonomio ca-racterstico: Si pA(x) es el polinomio caracterstico de A, entonces
pA(A) = 0.
Dado que el polinomio caracterstico de A es igual al producto pA(x) = (1 x) (n x)donde 1, . . . , n son los autovalores de A (incluidas las repeticiones dadas por las multiplicida-des algebraicas), otra forma de enunciar el teorema de Cayley-Hamilton es decir que el productode las matrices caractersticas de A (incluidas las repeticiones) es la matriz cero:
(A 1I) (A nI) = 0.(es fcil comprobar que este producto de matrices no depende del orden en que se multipliquen).
Ejemplo
Para comprender el alcance del teorema de Cayley-Hamilton vamos a ver lo que significa enel caso particular de una matriz cuadrada de orden 2. Sabemos que si A =
(a bc d
), el polinomio
caracterstico de A es:
det
(a bc d
)= (a )(d ) bc = 2 (a+ d)+ ad bc.
Por tanto, lo que afirma el teorema de Cayley-Hamilton en el caso n = 2 es que para cualesquieranmeros a, b, c, d se verifica:(
a bc d
)2 (a+ d)
(a bc d
)+ (ad bc)
(1 00 1
)=
(0 00 0
)o equivalentemente: (
a bc d
)2= (a+ d)
(a bc d
)(ad bc 0
0 ad bc).
Esto significa que el cuadrado de cualquier matriz 2 2 es igual a una combinacin lineal de esamatriz y la identidad. En general tenemos el siguiente corolario del teorema de Cayley-Hamilton:Si A es una matriz cuadrada de orden n entonces An es una combinacin lineal de las potencias de A conexponente menor que n.
Demostracin del teorema de Cayley-Hamilton para matrices diagonalizables
Para las matrices diagonalizables es posible dar una demostracin sencilla del teorema deCayley-Hamilton.
Supongamos que tenemos una diagonalizacin de A:
A = PDP1.
Entonces es sencillo comprobar que para cualquier polinomio p(x),
p(A) = P p(D)P1.
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Consideremos el resultado de evaluar el polinomio caracterstico de A en D:
pA(D) = (D 1I) (D nI).
Este es el producto de n matrices diagonales y el resultado es otra matriz diagonal. El elementodiagonal i-simo en la matriz resultante es el producto de los elementos diagonales i-simos delas n matrices. Pero la matriz D iI tiene su elemento i-simo igual a cero, luego el elementodiagonal i-simo en la matriz resultante es cero y as para cada i, luego pA(D) = 0 y por tanto
pA(A) = P pA(D)P1 = 0.
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