Catenaria a Desnivel2222

7/23/2019 Catenaria a Desnivel2222

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En el perfil topogrfico de una lnea de transmisin de potencia, los vanos no necesariamente son a

nivel, incluso por las caractersticas geogrficas (por ejemplo en zonas rurales), donde la topografa

del terreno no presta las condiciones adecuadas para instalas una torre de transmisin.

La ecuacin de la catenaria evidentemente es la misma, pero en este caso los puntos de suspensin

(extremos del cable ! ") se encuentran desplazados verticalmente dentro de la misma curva.

#or tanto la ecuacin del cable ser siempre$

%iendo el parmetro$

ECUACION DE LONGITUD

#ara calcular su valor utilizaremos la notacin grfica de la figura adjunta, &ue muestra un pe&ue'o

trozo de cable (dl) desnivelado con pro!ecciones dx ! d! sobre los ejes coordenados.

omando un diferencial de longitud (dl) del cable, la longitud del mismo ser $

pero como$


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entonces$

La cual es necesario integrar entre las abscisas del cable a desnivel xa ! xb, es decir dirctamenete el

resultado es$

L=C[senh (xbC)senh (xaC)]erificando la ecuacin anterior se puede ver &ue para encontrar la longitud del cable es necesario

conocer las abscisas de los extremos ! el par metro * (o tiro en el v+rtice).

ECUACION DE DESNIVEL

En la figura adjunta, se muestra el desnivel en un cable suspendido de los extremos ! " ! en las

condiciones dadas de instalacin, dico desnivel resulta ser la diferencia de ordenadas$

- &ue en funcin de las abscisas$

por tanto finalmente$

h=C[cosh (xbc)cosh (xac)]En la figura de la dereca, *uando xb / xa, entonces el desnivel es positivo.


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En la siguiente figura, el extremo se encuentra en depresin respecto al extremo en , ! en este caso

xb 0 xa ! por tanto al efectuar el clculo del desnivel , 1ste ser negativo.

2aturalmente si xb 3 xa, se trata del caso de cable a nivel ! por tanto el desnivel es nulo.

En la siguiente figura &ue muestra &ue cuando xb 0 xa, entonces el desnivel es negativo.

LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL

%i se conocen fsicamente el vano ! el desnivel (adems del tiro4v+rtice o el par metro de la

catenaria *), es posible determinar la longitud del cable.

#ara ello emplearemos las transformaciones siguientes$

%umemos las ecuaciones de longitud ! desnivel obteniendo$

l multiplicar ! simplificar el resultado las ecuaciones anteriores tenemos$


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donde si despejamos la longitud L obtendremos$

L=(2Csenh( a

2C))2

+h2

&ue es la frmula &ue representa la longitud del cable desnivelado con desnivel .

! &ue es la ecuacin para cables a nivel5 por tanto podemos escribir$

L=L'2+h2

&ue es una relacin pitagrica, representada por el tringulo de la figura mostrada.

Los catetos son respectivamente, la longitud del cable si estuviera a nivel (con el mismo vano) ! el

desnivel.

FLECHA Y SAETA

*onsideremos la ubicacin del cable, dada en la

figura adjunta, en la &ue se muestra &ue la fleca

se ubica en la la abscisa xm del medio vano.

La magnitud del segmento 26 representa la fleca

del cable, la cual se ubica en una abscisa xm a

medio vano, es decir$

Xm=1

2(xa+xb )

7e la misma forma el punto 2 se ubica en el punto medio del segmento " (vano real).

f=

C

(cosh

( a

2C

)1

)cosh

(Xm

C

)En consecuencia, la fleca del conductor a desnivel es$

f=f'sec


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Ecuacin &ue confirma &ue la 8leca (aproximada) del conductor instalado a desnivel, es igual a la

fleca del conductor si estuviera a nivel multiplicado por un factor de correccin igual a sec

,

siendo d el ngulo de desnivel tal &ue $

SAETA

La saeta se define como la distancia vertical entre el punto

de suspensin ms bajo del cable ! su v+rtice. %u ubicacin

fsica es mostrada en la figura adjunta.

En concordancia con la definicin, el valor de la saeta es la

diferencia de ordenadas del punto de suspensin ! elv+rtice. #or tanto$

s 3 !a4 !v

pero como la ordenada del v+rtice es el parmetro *, entonces$

s 3 !a4 *

7e la ecuacin anterior, puede deducirse una frmula aproximada, tomando en cuenta la expansin

de a!lor para el coseno iperblico ! tomando solo dos t+rminos de esa expansin, obtendremos$

%i las abscisa de los extremos (xa ! xb) tienen el

mismo signo, entonces el v+rtice de la catenaria cae

fuera del vano ! en este caso se dice &ue el v+rtice es

virtual, as como la saeta, esta situacin se muestra en

el ejemplo de la figura inferior.

PARAMETRO EN FUNCION DE LA LONGITUD

%i disponemos de los datos fsicos de vanos ! desnivel, as como el dato adicional de longitud del

cable5 es posible calcular el par metro de la catenaria ! con 1l el v+rtice del cable.

7e la ecuacin de longitud, podemos escribir$


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%i dividimos por 9a9 ambos miembros$

el segundo miembro de la ecuacin es conocido, de modo &ue si acemos$

q=L2h2

a

#ara acerlo, utilizemos la expansin de a!lor para el senz$

&ue resulta ser una ecuacin bicuadrada, &ue al resolver ! tomar la raiz real positiva obtenemos

finalmente$

z=3,1622781,2q0,21

! por tanto tenemos !a el par metro$

C=a

2 Z

UBICACION CARTESIANA DE LOS EXTREMOS

*onocidos el parmetro de la catenaria, as como el vano !

desnivel, es posible calcular las ubicaciones cartesianas de los

extremos ! con ellos evaluar los tiros respectivos.

omemos como referencia, para la deduccin, la figura

adjunta superior, &ue muestra la ubicacin de los extremos del

vano, as como la abcisa del medio vano.

Esta ecuacin permite conocer &ue el desnivel es el producto de la longitud del conductor a 2ivel

por un factor de correccin igual a


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despejando el valor de xm$

Xm=C.a.senhh

L'

continuacin, deduciremos una frmula &ue determine la misma abscisa (xm), teniendo comodato la longitud del conductor.

&ue despejando la abscisa xm$

Xm=C.a .coshL

L'

PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO

*onsideramos &ue el tiro mximo del cable una vez instalado se encuentra en el extremo superior.

fin de asegurar un tiro mximo adecuado para el cable a desnivel, los pro!ectistas prefiere

asignarlo ! a partir de +l encontrar el parmetro ! tiro en el v+rtice de la catenaria. La figura,

muestra la ubicacin de los : tiros$ mximo, de medio vano ! en el v+rtice en un cable a desnivel de

vano a.

#odemos plantear &ue el tiro mximo en " ser $

en donde m es el tiro (;g) a medio vano.

#ero el vano real 9b9 es igual a la expresion$

b=a2+h2


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tomando en cuenta &ue el desnivel () ! el vano (a) son conocidos, entonces la expresin$

K=1+1

2

(arcsenh( ha )

)

2

reemplazando el parmetro *$

La ecuacin anterior es de segundo grado con incgnita *, &ue al despejar ! tomar la raiz cuadrada

positiva en las raices, se tiene$

C=1

2

(1

2 (T

bwch2 )

+

(1

K(T

bWch2 ))

2

ab2k

)

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