Cassini, Alejandro - El juego de los principios - Una introducción al método axiomático.pdf

Alejandro Cassini

El juego de los principios

Una introduccin al mtodo axiomtico

Prlogo de Gregorio Klimovsky

editora ES

Lista de smbolos

Lgica Conjuntos

& V

-~

-+

V 3 -

* *-h

Negacin Conjuncin Disyuncin Condicional Bicondicional Cuantificador Cuantlficador Identidad Diferencia Deducibilidad Consecuencia

universal existencial

lgica

(

Abstraccin de conjuntos Pertenencia No pertenencia Conjunto vaco Clase universal Inclusin Unin Interseccin Complemento Conjunto potencia Par ordenado

Las definiciones van precedidas por el smbolo 0, y los metateoremas por el sm-bolo . El final de una demostracin se indica con el smbolo .

Cuando se yuxtaponen varios cuantificadores del mismo tipo escribo de manera abreviada V (xyz...) en vez de \/x Vv Vi..., y 3

Prlogo

Los antiguos filsofos y matemticos griegos advirtieron que en la mate-mtica haba algo especial que la diferenciaba de las dems ciencias. En tanto estas ltimas se fundamentaban en la experiencia y brindaban un conocimiento aproximado y cambiante, la matemtica ofreca informacin ntida, eterna y absoluta. Uno de los primeros resultados de la investigacin matemti-ca (obtenido por Tales de Mileto a comienzos del siglo VI A.C.) estableca que un dimetro divide a un crculo en dos partes iguales. Si el mtodo matemtico fuera igual al de las dems ciencias, lo que en realidad se habra establecido es que "tomando un objeto lo ms circular posible y un trazo lo ms aproximado que se pudiera a un dimetro, el objeto quedara dividido en dos partes casi iguales". Pero eso no era lo que afirmaba el matemtico, que mencionaba crcu-los perfectos, dimetros exactos y partes ntidamente iguales, con la idea de que sobre eso no podra haber cambios y su validez sera eterna.

Cul era la razn por la que el matemtico posea esa perfeccin? Qu m-todo permita obtener conocimiento con tales caractersticas ptimas? Las res-puestas fueron muchas y muy diversas, dependiendo de las convicciones filos-ficas de cada pensador que reflexionara sobre esta cuestin.

Para Aristteles (siglo IV A.C.) existan dos fuentes para la obtencin de es-te tipo de conocimiento. La primera era de naturaleza lgica y relacionada con la idea de deduccin. Como se sabe, un razonamiento es un salto que va de ciertas premisas a una conclusin. Si el razonamiento es correcto, su estructu-ra es tal que garantiza la transmisin de la verdad de las premisas a la conclu-sin. Dicho de otro modo, debe quedar garantizado que si todas los premisas son verdaderas, la conclusin es verdadera. Advirtase que no se afirma que las premisas sean verdaderas, sino que si lo son, la conclusin debe serlo tam-bin. Un razonamiento correcto suele denominarse una deduccin (de las pre-misas a la conclusin). De acuerdo con esto, una manera de obtener una ver-dad matemtica es deducindola de verdades ya obtenidas. Esta es una metodo-loga tpica de la matemtica, y es por ello que se dice que sta es una ciencia deductiva.

Sin embargo, esto no basta para obtener todas las verdades matemticas. Aristteles percibi claramente que si dispusiramos nicamente de la deduc-cin, se producira un regreso al infinito. Pues tendramos el problema de saber que las premisas son verdaderas, para lo cual deberamos haberlas deducido de otras premisas ya conocidadas como verdaderas, y as repetidamente. Para que

EL JUEGO DE LOS ITUNCIPIOS

no se produzca este regreso al infinito, deberan existir premisas cuya verdad se conociera de manera no deductiva. Y esta es la segunda fuente del conoci-miento matemtico. Se tratara encontrar afirmaciones que por su simplicidad y obviedad pudieran considerarse evidentes. Estas son las que tomaramos al co-mienzo. A partir de ellas, por medio de diferentes etapas deductivas, obtendra-mos las restantes verdades matemticas.

La metodologa pertinente, segn Aristteles, consiste, entonces, en partir de los principios (las afirmaciones evidentes) y luego deducir las dems afirmacio-nes, que seran los teoremas. El razonamiento complejo que lleva de los princi-pios a los teoremas se llama una demostracin. Aristteles cree, adems, que esta metodologa es vlida para cualquier ciencia, la que estructurada de este modo se llama "ciencia demostrativa". Actualmente, diramos que estamos ante un "sistema axiomtico clsico" y el mtodo en cuestin sera el "mtodo axio-mtico clsico". Cuando se habla de este modo es porque la costumbre nos ha habituado a llamar axiomas a los principios (Aristteles no usa 'axioma" en es-te sentido general).

El mtodo aristotlico se consider paradigmtico durante ms de dos mile-nios. Pero ya durante el siglo XLX se hizo claro que este procedimiento no ga-rantizaba la obtencin de conocimiento cientfico. La dificultad estaba en la con-dicin de "evidencia" para aceptar los principios. La evidencia es un fenmeno psicolgico que no asegura la verdad y puede con frecuencia llevar al error. Un cambio prudente fue que para los principios se exigiera nicamente que fueran buenas hiptesis. De este modo, al menos para las ciencias fcticas o empricas, el mtodo se transform en "hipottico-deductivo", y los "sistemas axiomticos clsicos" cedieron su lugar a los "sistemas hipottico-deductivos".

Pero si bien esta estrategia fue muy oportuna para la fsica, la qumica y, en general, para las ciencias naturales, era claro que no poda utilizarse en el cam-po de la matemtica, donde las afirmaciones (principios y teoremas) no pueden ser hiptesis. En la primera mitad del siglo XIX, cuando se descubrieron las geometras no eucldeas, la aparicin de la nocin de "sistema axiomtico for-mal" proporcion una nueva visin de la naturaleza del lenguaje matemtico y de la metodologa correspondiente. Se trata de entidades pertenecientes a la l-gica aplicada cuyas aplicaciones a las investigaciones contemporneas son tan importantes que justifican el esfuerzo de examinar con detalle su compleja es-tructura y sus mltiples usos.

No abundan en lengua espaola los libros dedicados al anlisis y discusin del mtodo axiomtico formal. Alejandro Cassini ha querido proporcionarnos un libro de texto sistemtico que sirva, a la vez, como introduccin a la historia de esta metodologa. Nos ofrece numerosos ejemplos de sistemas de este tipo, pa-

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PROLOGO

ra que se pueda apreciar su utilidad en la matemtica moderna, y, adems, la discusin de diversas cuestiones lgicas y epistemolgicas planteadas por este mtodo.

Tenemos que agradecer a Cassini haber logrado una exposicin de muy alta cadad y de ato valor informalivo acerca de a estructura y de Jas propiedades de los sistemas axiomticos formales. Su lectura ubicar al lector de un modo claro y completo en el espritu del estado actual de la ciencia. No cabe duda de que este libro se transformar en poco tiempo en un clsico sobre el tema.

Gregorio Klimovsky Profesor Emrito de la Universidad de Buenos Aires

Introduccin

E ste libro es el producto de una necesidad pedaggica. Hay muy pocos libros especficos dedicados al. mtodo axiomtico, no slo en espaol, sino en cualquier otra lengua, que traten el tema a un nivel relativamen-te introductorio, pero de manera completa y detallada. Resulta difcil, por consi-guiente, encontrar un texto adecuado para un curso dirigido a estudiantes uni-versitarios que se encuentran en los primeros aos de su carrera. He escrito es-te trabajo pensando especialmente en estudiantes de filosofa y de humanidades que asisten a cursos o seminarios de lgica, de epistemologa o de filosofa de la ciencia. He presupuesto por parte del potencial lector un conocimiento ele-mental del lenguaje de la lgica de primer orden y de la teora intuitiva de con-juntos. No obstante, todos los temas tratados se explican desde el principio, por lo que cualquier persona interesada con alguna aptitud para el pensamiento for-mal podr seguir el ncleo de la exposicin sin mayores obstculos. He mante-nido de manera deliberada algunas repeticiones con el fin de facilitar la asimi-lacin de ciertas ideas claves. Esta obra no se propone reemplazar a ningn tra-tado o manual de lgica, sino complementar los libros de texto usuales, que ge-neralmente dedican poco espacio al mtodo axiomtico. Tambin puede utilizar-se como texto principal o secundario en un curso de filosofa de la matemtica. Espero, adems, que resulte interesante para todos aquellos que gustan de la matemtica y de las ciencias en general.

En la presentacin de los temas he tratado de lograr un balance entre los elementos histricos, la formulacin de sistemas formales lgico-matemticos y las reflexiones filosficas o epistemolgicas sobre el mtodo axiomtico. Tam-bin he procurado equilibrar el rigor formal con la exposicin informal, pero no me propuse alcanzar el grado de precisin propio del lgico o el matemtico profesional. He comentado con cierta extensin las propiedades metatericas de los sistemas formales axiomatizados, pero no he brindado las correspondientes demostraciones, que en general son extensas o difciles y caen fuera de los ob-jetivos de un libro introductorio como ste. En cambio, he ofrecido numerosos ejemplos de sistemas axiomticos, casi siempre, aunque no exclusivamente, de primer orden; entre otros, de lgica preposicional y cuantificacional, teora de grupos y anillos, lgebra de Boole, aritmtica de los nmeros naturales, geome-tra eucldea, teora de la probabilidad, teora de conjuntos y muchos otros. Tambin he dado varios ejemplos de demostraciones de teoremas en algunos de estos sistemas. Por ltimo, he traducido numerosos sistemas axiomticos

EL JUEGO DE LOS PRINCIPIOS

que tienen inters histrico como representativos de las diversas etapas en el desarrollo del mtodo axiomtico. Al final de cada capitulo he incluido breves comentarios sobre lecturas ulteriores que remiten a la bibliografa final. En di-cha bibliografa, que ya es bastante extensa, slo presento obras generales y co-lecciones de artculos, pero, salvo excepciones, no incluyo artculos especializa-dos ni fuentes histricas anteriores al siglo XX. Muchos de los libros all cita-dos tienen un carcter ms avanzado que el de esta obra. En ellos pueden en-contrarse otras referencias bibliogrficas ms especializadas. He tratado de to-mar en cuenta la bibliografa sobre el tema escrita originalmente en lengua es-paola. Slo he incluido referencias a traducciones en los casos en los que las he utilizado. Las citas de las fuentes traducidas en el Captulo 1 y en el Apn-dice 2 se indican de manera completa en el lugar correspondiente.

Los contenidos del libro son los siguientes. En el Captulo 1 hago una bre-ve sntesis de la historia del mtodo axiomtico, necesariamente esquemtica y simplificada, que se complementa con los textos presentados en el Apndice 2. En el Capitulo 2 analizo la estructura sintctica de los sistemas axiomticos for-males y presento varios ejemplos de sistemas de primer orden y de demostra-ciones de teoremas dentro de estos sistemas. En el Capitulo 3 introduzco los elementos esenciales de la semntica de los sistemas formales y los ejemplifi-co con sistemas axiomticos de lgebra elemental. El pargrafo final de este ca-ptulo contiene algunas nociones ms precisas de teora de modelos, pero esta exposicin dista mucho de ser exhaustiva y no pretende reemplazar a un texto de esta disciplina. En el Captulo 4 analizo las propiedades metatericas de los sistemas axiomticos y enuncio las principales relaciones que existen entre es-tas propiedades. La presentacin de este tema es fundamentalmente informal y no desarrolla cada una de las pruebas metatericas. En el Captulo 5 presento cuatro teoras matemticas axiomatizadas y las analizo con mayor detalle que los ejemplos de los captulos anteriores. Estas son la teora de conjuntos, la to-pologa general, la teora de la probabilidad y la teora de la medicin. Este ca-ptulo tiene un carcter un poco ms tcnico que los restantes del libro y, en una primera lectura, puede omitirse sin prdida de continuidad. Finalmente, en el Captulo 6 ofrezco algunas reflexiones epistemolgicas sobre las ventajas y desventajas del mtodo axiomtico en las ciencias formales, sobre sus posibles aplicaciones al campo de las ciencias empricas y sobre los lmites del pensa-miento axiomtico en general. En el Apndice 1 analizo con algn detalle el te-ma de las pruebas de consistencia, aunque no brindo ejemplos completos de es-ta clase de pruebas, que deben buscarse en obras ms especializadas. En el Apndice 2 traduzco las bases axiomticas de varios sistemas antiguos y moder-nos que tienen inters histrico. En el Apndice 3 caracterizo el concepto de funcin, que es el nico concepto matemtico presupuesto en el texto. En su

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INTRODUCCIN

conjunto, estos captulos y apndices ofrecen una sntesis histrica y sistemti-ca sobre el mtodo axiomtico. El lector que slo est interesado en los aspec-tos histricos puede leer el Captulo 1 y el Apndice 2. El que desee entrar di-rectamente en la axiomtica formal moderna puede empezar por el Captulo 2 y continuar hasta el Apndice 1.

Al escribir este texto he contrado numerosas deudas intelectuales. La ma-yor es con Gregorio Klimovsky, de quien aprend mucho sobre el mtodo axio-mtico, aunque probablemente l no suscribira todas mis afirmaciones. Estoy especialmente agradecido a Roberto Torretti, que ley una versin anterior de este libro y me envi por escrito extensos comentarios crticos. Sus observacio-nes me permitieron no slo corregir varios errores o imprecisiones conceptua-les, sino tambin mejorar la presentacin de diversos temas. Por su parte, el propio Klimovsky ley la versin final del manuscrito y me ayud a corregir de-talles tcnicos y eliminar imprecisiones en algunas definiciones. Por ello tam-bin le estoy muy agradecido. El profesor Edward Grant, de la Universidad de Indiana, respondi amablemente a mi pedido de informaciones sobre los textos de Jordano de Nemora que traduzco en el Apndice 2. Newton C. A. Da Costa y Jess Mosterin colaboraron involuntariamente con esta obra envindome, a lo largo de los aos, muchos de sus trabajos. Tambin me he beneficiado de con-versaciones sostenidas en diferentes momentos de la preparacin de este libro con mis colegas de la Universidad de Buenos Aires Javier Legris y Alberto Mo-retti. Varias estadas en la Universidad de Columbia en Nueva York, entre los aos 1999 y 2001, me permitieron el acceso a gran parte de la bibliografa aqu empleada y me proporcionaron el tiempo libre y la tranquilidad necesaria para redactar una buena porcin de este trabajo. Desde entonces lo he revisado va-rias veces agregndole nuevos ejemplos y referencias actualizadas. Durante to-do ese tiempo tuve el respaldo decisivo del Consejo Nacional de Investigaciones Cientficas y Tcnicas de la Argentina, sin el cual difcilmente podra haber con-cluido este libro. A Eleonora Cresto le debo no slo la discusin de muchos de-talles tcnicos, sino tambin el apoyo necesario para llevar a cabo toda la tarea que demand esta obra desde sus modestos orgenes como borrador. Finalmen-te, quiero agradecer a Eduardo Barrio que me alent a publicarlo. Por supues-to, yo soy el nico responsable de los errores que haya en el texto. En todo, momento tuve presente que quera escribir el tipo de libro sobre el mtodo axiomtico que me hubiera gustado leer y nunca pude encontrar. Espero que los lectores disfruten al leerlo.

Buenos Aires Julio de 200?

Breve historia del mtodo axiomtico

1.1 Introduccin

La historia del mtodo axiomtico se extiende desde la antigua Grecia del siglo IV A.C. hasta nuestros das. El relato de este largo proceso, que presenta rupturas significativas pero tambin continuidades sorprendentes, constituye el tema de todo un libro. Aqu slo ofreceremos una introduccin his-trica con el n de sealar las principales etapas que llevaron a la construccin del mtodo axiomtico formal tal como se practica en la actualidad. La exposi-cin es deliberadamente retrospectiva y nos servir para introducir de manera informal los componentes de un sistema axiomtico, que luego se estudian con ms detalle en los captulos posteriores.

1.2 La axiomtica antigua

Aristteles Las ideas esenciales del mtodo axiomtico surgieron en el seno de la civi-

lizacin griega, asociadas a los problemas suscitados por el concepto de demos-tracin, especialmente en las ciencias matemticas. Desde los tiempos de los an-tiguos griegos se consider que el conocimiento demostrado era el saber ms seguro. Pero, qu es una demostracin? Esta es una pregunta para la cual to-dava no tenemos una respuesta unnime y definitiva. Los griegos tuvieron el mrito de plantersela por primera vez y de sugerir una respuesta que rein en el pensamiento occidental por ms de dos milenios. La demostracin de un enunciado o proposicin consiste en deducirlo de otros enunciados cuya verdad se conoce previamente. Dado que las inferencias deductivas preservan la verdad de las premisas y la transmiten a la conclusin, las proposiciones deducidas de proposiciones verdaderas, si han sido correctamente deducidas, necesariamente resultarn tambin verdaderas. Esta idea de demostracin tuvo su origen en la matemtica griega, especialmente en la prctica de las pruebas geomtricas, pero fue Aristteles, en el siglo IV A.C., el primero en expresarla claramente y pre-sentarla de un modo sistemtico. Aristteles descubri, adems, el hecho funda-mental de que las inferencias deductivas correctas preservan la verdad de las

BREVE HISTORIA DEL MTODO AXIOMTICO

premisas en razn de la mera forma o estructura de la inferencia. Con ello ini-ci el estudio de la lgica formal.

El primer problema que plantea la idea griega de demostracin es, sin du-da, el de distinguir entre las inferencias deductivas correctas e incorrectas. Pla-tn y su escuela se ocuparon de analizar diferentes tipos de argumentos y cla-sificarlos segn su correccin o incorreccin. Pero slo Aristteles construy la primera teora general de las inferencias formalmente vlidas. En su obra Pri-meros analticos (aproximadamente 340 A.C.) estudi detenidamente una clase de inferencias deductivas, que hoy llamamos silogismos, y consigui determinar claramente la forma de las inferencias que preservaban la verdad de las premi-sas. Adems, mostr cules eran las formas invlidas de silogismos mediante el mtodo de los contraejemplos. Este consista en probar que una forma de silo-gismo era invlida construyendo un ejemplo de esa forma que tuviera premisas verdaderas y conclusin falsa. De esta manera, se descartan una a una las for-mas de silogismo que no garantizan la transmisin de la vwdad de las premi-sas a la conclusin. Las formas aceptadas son aquellas que no tienen contrae-jemplos, es decir, aquellas para las cuales no es posible construir un razona-miento que tenga premisas verdaderas y conclusin falsa. Pero cmo podemos saber que esas reglas de inferencia realmente no tienen contraejemplos o no los tendrn en el futuro? En sentido estricto, no lo sabemos y Aristteles nada di-ce al respecto. Este es tambin un problema pendiente de solucin en nuestros propios das.

La segunda dificultad de la idea griega de demostracin aparece cuando se pretende que todo conocimiento sea demostrado. En su obra Segundos analti-cos (aproximadamente 330 A.C.) Aristteles se ocup con todo detalle de este problema, que perturbaba a sus antecesores y contemporneos. Como vimos, la demostracin de un enunciado consiste en deducirlo de otros enunciados pre-viamente conocidos como verdaderos, que operan como premisas de la demos-tracin. Sin embargo, tambin se puede pedir una demostracin de esas premi-sas, para lo cual ser necesario deducirlas de otros enunciados. Es evidente, pensaba Aristteles, que este procedimiento no puede seguir indefinidamente, pues nos conduce a una regresin al infinito en las demostraciones, formndo-se una cadena deductiva que no tiene comienzo. Esta situacin le pareci ina-ceptable porque dejaba a toda la secuencia de demostraciones sin un fundamen-to ltimo y seguro. Pero hay otras posibilidades. Una de ellas consiste en de-mostrar todos los enunciados deducindolos de s mismos. Aristteles la llama demostracin recproca y la descarta rpidamente porque la considera trivial. Por cierto, no es objetable desde un punto de vista puramente lgico (por el contrario, actualmente consideramos que el hecho de que todo enunciado se deduce de s mismo es una propiedad esencia! de la relacin de consecuencia lgica). Pero s es epistemolgicamente trivial, porque una demostracin exige

I-A AXIOMTICA ANTIGUA: ARISTTELES

partir de premisas conocidas como verdaderas, de modo que para probar de-ductivamente la verdad de cada enunciado ya deberamos conocerla de antema-no. La tercera posibilidad consiste en aceptar demostraciones circulares (pero no recprocas), donde las premisas de ciertas demostraciones aparecen como conclusiones de otras y viceversa. Se forman as cadenas deductivas finitas pe-ro cerradas. Aristteles considera que esto implica un crculo vicioso inadmisi-ble, que nuevamente dejara sin fundamento, y por tanto sin una razn, a toda la secuencia de demostraciones.

La ltima posibilidad que Aristteles analiza es la que dar origen a la idea de pensamiento axiomtico. Aristteles pens que era posible evitar el escepti-cismo respecto de la demostracin aceptando que no todo conocimiento es de-mostrativo. Toda secuencia de demostraciones debe ser finita y terminar en al-gn momento en un conjunto de enunciados fundamentales que no se conocen por medio de demostracin. Aristteles los llam principios, o mejor primeros principios, y los consider no meramente como enunciados no demostrados, si-no en si mismos indemostrables. Los concibi como verdades necesarias que no pueden ser demostradas. Nunca afirm explcitamente que fueran verdades evidentes, pero ya los comentadores griegos tardos lo interpretaron de esa ma-nera, y la idea de que los principios son evidentes se convirti en un lugar co-mn del aristotelismo medieval y as pas a la Modernidad. Aristteles no re-solvi claramente el problema de cmo se conocen los principios indemostra-bles, pero dej indicaciones muy escuetas de que se trata de un proceso en el que intervienen tanto la induccin como la intuicin intelectual. Los principios son verdades que naturalmente se conocen por si mismas y, como tales, son el objeto de una forma de conocimiento superior a la ciencia, que Aristteles lla-m nous o intuicin intelectual. A partir de estas ideas se forj la concepcin tradicional segn la cual los principios de un sistema axiomtico son verdades autoevidentes.

Se puede considerar a Aristteles como el padre fundador del mtodo axio-mtico porque fue l quien present por primera vez la idea de sistematizacin deductiva de una teora tomando como punto de partida un conjunto reducido de principios, de los cuales se infieren los restantes enunciados de la teora. Los Segundos analticos contienen un anlisis verdaderamente detallado, aunque no siempre claro, del concepto aristotlico de demostracin cientfica y de las con-diciones requeridas para la organizacin deductiva de una teora. Aristteles no llam axiomas a todos los principios de una teora, sino nicamente a aquellos que son comunes a todas las ciencias, como los principios lgicos de no contra-diccin y de tercero excluido, o el principio que afirma que "si de iguales se sustraen iguales, los restos son iguales" (Vase el Apndice 2.1). A los princi-pios especficos de cada ciencia particular los denomin principios propios, y los concibi como definiciones reales o esenciales acerca de las entidades que

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cada ciencia toma como objeto de estudio. Cada ciencia particular se refiere, en efecto, a un determinado gnero de entidades reales. Actualmente no hacemos esta distincin y llamamos genricamente axiomas a todos los enunciados que se aceptan sin demostracin y constituyen el punto de partida de las demostra-ciones en una teora determinada.

Una teora cientfica, segn Aristteles, es una estructura ordenada deducti-vamente formada por los principios o verdades indemostrables y por todos los enunciados deducidos vlidamente de tales principios. Esto ltimo supone que se han codificado las reglas de inferencia que permiten realizar deducciones v-lidas a partir de los principios. Aristteles cre para ello su teora del silogismo, que constituye un fragmento pequeo, pero perfectamente vlido, de la parte de la lgica formal bsica que hoy denominamos lgica cuantificacional. Conse-cuentemente, exigi que todas las demostraciones cientficas tuvieran la forma lgica de un silogismo, ms precisamente de uno de la primera figura, el llama-do Barbara, al que consideraba el silogismo ms perfecto. Desde el punto de vista actual, esta idea constituye una seria limitacin, ya que la teora silogsti-ca resulta insuficiente como herramienta lgica para construir un sistema axio-mtico. Dejando de lado este defecto, podemos-advertir que el modelo ideal de ciencia que Aristteles propone contiene tres elementos esenciales del mtodo axiomtico, que hoy denominamos, respectivamente, axiomas, teoremas, y reglas de transformacin. Los axiomas corresponden a los primeros principios aristot-licos, que l concibi como enunciados necesariamente verdaderos y en s mis-mos indemostrables. Los teoremas, por su parte, corresponden a los enuncia-dos demostrados mediante deducciones que toman a los principios como premi-sas. Finalmente, la teora del silogismo proporciona las reglas de transforma-cin, es decir, las reglas de inferencia que permiten deducir los teoremas de los axiomas.

Como veremos ms adelante, hay otros elementos esenciales de un sistema axiomtico que no aparecen en el modelo aristotlico de ciencia, por lo que no puede decirse que Aristteles haya presentado de modo completo una teora del mtodo axiomtico. No obstante, Aristteles tambin tuvo la intuicin, aunque no la formul precisamente, de otra idea fundamental del pensamiento axiom-tico. Este es el concepto de clausura deductiva de una teora, segn el cual, en una teora axiomtica todos los enunciados deducibles de los axiomas pertene-cen a la teora. Advirtase, sin embargo, que si definimos a una teora axiom-tica como el conjunto de todos los enunciados deducibles de los axiomas, esto excluye a los propios axiomas de la teora dentro del modelo aristotlico. La ra-zn de ello se encuentra en la teora del silogismo, ya que silogsticamente no es posible deducir un enunciado de s mismo (en un silogismo ningn enuncia-do puede aparecer a la vez como premisa y como conclusin). Por consiguien-te, ningn axioma se deduce de s mismo. Esta es una de las limitaciones del

LA AXIOMTICA ANTIGUA: EUCUDES

silogismo como herramienta lgica para un sistema deductivo. Para ser ms precisos, debemos caracterizar a una ciencia aristotlica como la unin de dos conjuntos de enunciados: el de los principios y el de todas las consecuencias l-gicas que mediante un silogismo en Barbara se obtienen de los principios.

Euclides Aristteles representa el comienzo del pensamiento axiomtico porque pro-

porciona una teora de la ciencia que contiene algunos de los elementos esen-ciales del mtodo axiomtico. Con todo, l mismo no construy ningn sistema axiomtico, ni aplic consecuentemente su teora de la ciencia en sus investiga-ciones cientficas concretas, por ejemplo, en sus lecciones de fsica o en sus tra-tados biolgicos. La primera realizacin del mtodo axiomtico corresponde a Euclides, quien en su obra Elementos (aproximadamente 300 A.C.) axiomatiz la geometra de manera ms o menos completa y acabada. Esta fue la primera teo-ra axiomatizada y durante muchos siglos el nico ejemplo de una axiomatiza-cin verdaderamente satisfactoria. La relacin entre los modelos deductivos de Aristteles y Euclides ha sido muy discutida. Existen al respecto dos hiptesis interpretativas tradicionales que ya no tienen consenso entre los especialistas. La primera es la que afirma que la obra de Euclides es una aplicacin de la teo-ra aristotlica de la ciencia. La segunda sostiene que, a la inversa, la teora aris-totlica est inspirada por la prctica de los gemetras, de la cual la obra de Eu-clides sera una sntesis. Ambas hiptesis presuponen que las teoras del mto-do axiomtico de Aristteles y Euclides son esencialmente semejantes, pero los estudiosos del tema han revelado diferencias importantes, que aqu slo pode-mos indicar someramente. En suma, ninguna de estas dos hiptesis resulta ac-tualmente sostenible y slo pueden aceptarse ambas como parcialmente verda-deras. Es muy probable que no exista una relacin simple y directa entre la teo-ra aristotlica y la realizacin eucldea, pero carecemos de las fuentes histri-cas necesarias como para precisarla.

En la obra de Euclides encontramos otro componente esencial de un siste-ma axiomtico, las definiciones nominales de los trminos tcnicos del sistema, que no estaba explcito en el modelo aristotlico. Euclides comienza sus Ele~ mentos introduciendo numerosas definiciones de diversos trminos tcnicos de la geometra, tales como los de "punto", "superficie", "recta", "figura", "dime-tro" y muchos otros. Reconoce de esta manera que toda teora cientfica, y en particular un sistema axiomtico, tiene un vocabulario especifico que debe ser cuidadosamente explicitado. Nuevamente se presenta aqu una dificultad, ya que si intentamos definir todos los trminos del lenguaje de una teora nos veramos envueltos, como en el caso de la demostracin, en un crculo lgico, o bien en la necesidad de introducir cada vez ms trminos llegando as a una regresin


al infinito en las definiciones. La solucin de este problema consiste en distin-guir dos clases de trminos especficos del vocabulario de una teora axiomti-ca: los trminos primitivos o no definidos, que se aceptan sin definicin ni expli-cacin aclaratoria alguna, y los trminos definidos, que se definen explcitamen-te por medio de los trminos primitivos (empleando adems ciertos signos lgi-cos y de puntuacin). Es fcil advertir la analoga que existe entre axiomas y teoremas por un lado, y trminos primitivos y definidos por el otro. Aristteles y Euclides tuvieron clara conciencia de la primera de estas distinciones entre dos tipos de enunciados de la teora, pero respecto de los trminos se expresa-ron de manera ms confusa. En particular, no reconocieron la necesidad de brindar una lista exhaustiva de trminos primitivos de cada teora, algo que es una exigencia indispensable del mtodo axiomtico. En los Elementos, Euclides ofrece 132 definiciones de trminos geomtricos, pero no proporciona una enu-meracin siquiera parcial de los trminos primitivos. Probablemente tomara co-mo no definidos a ciertos trminos de su propio lenguaje natural, el griego, cu-yo significado considerara suficientemente claro para todo lector de su obra. Ejemplos de sus definiciones son las siguientes: 1. "Punto es lo que no tiene partes"; 2. "Lnea es una longitud sin anchura"; y 5. "Superficie es lo que slo tiene longitud y anchura" (vase el Apndice 2.2 para una lista completa).

Para construir el lenguaje de un sistema axiomtico formalizado no basta con especificar los trminos que componen el vocabulario, sino que es necesa-rio precisar cmo se han de formar los enunciados que se considerarn bien construidos en el sistema. Este papel lo desempean las reglas de formacin, que nos indican la manera correcta de construir enunciados con los trminos del vocabulario del sistema. Ni Aristteles ni Euclides incluyeron en sus obras este componente de los sistemas axiomticos. La razn de esta ausencia es f-cilmente explicable. Las teoras axiomticas de los griegos no eran sistemas for-malizados, es decir, no se expresaban en un lenguaje artificial desprovisto de significado y estrictamente regimentado. Empleaban, en cambio, el lenguaje na-tural que hablaban sus autores, complementado con algunos trminos tcnicos definidos. El papel de las reglas de formacin lo desempeaban, de manera im-plcita, las reglas gramaticales de la lengua griega, ms precisamente, las reglas sintcticas que indicaban cmo formar oraciones combinando las palabras co-rrectamente. Las reglas de formacin de un sistema axiomtico formalizado son, en efecto, semejantes a las reglas sintcticas de una lengua natural. La formali-zacin no es un requisito esencial de un sistema axiomtico en general. Aunque a veces sea conveniente, no es siempre necesario formular el sistema en un len-guaje artificial regimentado. La geometra de Euclides es a la vez un ejemplo de un sistema axiomtico no formalizado y no abstracto o formal, sino concreto o material. Ms adelante, cuando estudiemos el surgimiento de la axiomtica for-mal contempornea, aclararemos estas distinciones.

LA AXIOMTICA ANTIGUA: EUCLIDES

Euclides, a diferencia de Aristteles, no hizo explcitas las reglas de transfor-macin o de inferencia que podan emplearse en su sistema para realizar las de-mostraciones geomtricas. No utiliz el silogismo aristotlico, pero sus demos-traciones muestran una variedad muy amplia de procedimientos inferenciales que presuponen reglas de tipo preposicional. El mtodo de prueba ms famoso de Euclides, quien seguramente lo tom de la prctica de los gemetras de va-rias generaciones anteriores, es la demostracin por el absurdo, que consiste en partir de la negacin del enunciado que se quiere probar, deducir de all una contradiccin, y concluir, entonces, con la afirmacin del enunciado original-mente negado. La regla de reduccin al absurdo es la que permite esta clase de razonamiento: (- % - (-41 & -. y) / x> donde % V V s o n dos proposiciones cualesquiera). Aqu encontramos una diferencia importante con las reglas de in-ferencia aceptadas por Aristteles, quien sostuvo enfticamente que toda demos-tracin deba ser afirmativa y directa, y rechaz las pruebas indirectas y negati-vas como las que emplean la reduccin al absurdo.

Euclides incluy en su sistema tres clases de principios: las definiciones, los postulados y los axiomas. La distincin entre postulado y axioma se correspon-de, de manera bastante imperfecta, con la distincin aristotlica entre principios propios y principios comunes o axiomas. El criterio de la distincin eucldea es poco claro y ha sido muy discutido. Los postulados son enunciados que se re-fieren a la construccin de rectas y crculos mediante regla y comps con el ob-jetivo aparente de garantizar la existencia de los correspondientes objetos geo-mtricos. Euclides enuncia cinco postulados, de los cuales citaremos el prime-ro: 'Trazar una linea recta desde cualquier punto hasta cualquier punto", y el clebre quinto, o postulado de las paralelas: "Si una recta que cae sobre otras dos rectas hace a los ngulos interiores de un mismo lado menores que dos rectos, entonces, si las dos rectas se prolongan indefinidamente, se encuentran de! lado en el que los ngulos son menores que dos rectos". El cuarto postula-do es diferente de los restantes porque no se refiere a construcciones (vase el Apndice 2.2). Los axiomas, por su parte, son enunciados muy generales aplica-bles a diversas disciplinas matemticas, no slo a la geometra. Euclides no lis-ta todos sus axiomas al comienzo de su obra, por lo que el nmero total de ellos ha sido discutido. Hoy se acepta generalmente que los axiomas son seis, de los cuales citaremos los cinco primeros, que aparecen en la lista con que empiezan los Elementos: 1. "Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre si"; 2. "Si guales se aaden a iguales, los totales son iguales"; 3. "Si iguales se sustraen de iguales, los restos son iguales"; 4. "Las cosas que coinciden entre s son iguales entre s"; 5. "El todo es mayor que la parte".

Los Elementos contienen 465 demostraciones. Euclides divide a las proposicio-nes demostradas en dos clases: problemas y teoremas. Ambos se demuestran a partir de los primeros principios, pero los problemas se refieren a la construccin

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de .figuras geomtricas, mientras que los teoremas establecen las propiedades esenciales de dichas figuras. Por esta razn, los problemas se deducen funda-mentalmente de los postulados, mientras que los teoremas se deducen de las definiciones y los axiomas. En la axiomtica contempornea, no se ha manteni-do la distincin euclidea entre postulados y axiomas, ni entre problemas y teo-remas. Actualmente llamamos simplemente axiomas a los enunciados que se aceptan sin demostracin y teoremas a los enunciados demostrados tomando a los axiomas como premisas.

Euclides pens, al igual que Aristteles, que los axiomas y postulados eran enunciados verdaderos que no necesitaban demostracin. La tradicin matemtica griega tambin atribuy el carcter de evidentes a los principios de la geometra eucb'dea, e inici un largo debate acerca del quinto postulado, cuestionado preci-samente por su falta de evidencia. Los restantes principios eucldeos se conside-raron como enunciados necesarios que proporcionaban verdades evidentes acerca del espacio fsico real. Los teoremas, por su parte, representaban una descripcin de las propiedades necesarias del espacio fsico. La geometra euclidea fue duran-te ms de dos milenios un ejemplo de conocimiento necesario acerca del mundo real. La creencia de que tal conocimiento era posible se apoy en la obra de Eu-clides e influy decisivamente en los filsofos racionalistas de la Modernidad.

El- tratado de Euclides fue de hecho la ms importante realizacin concreta del mtodo axiomtico legada por la Antigedad. A la vez, fue la teora cientfi-ca ms exacta y rigurosa hasta el siglo XLX, constituyendo un canon pedaggi-co empleado hasta principios del siglo XX. La axiomtica euclidea tiene, sin em-bargo, algunos defectos importantes cuando se la analiza desde el punto de vis-ta actual. En muchos aspectos es incompleta y sus demostraciones no son sufi-cientemente rigurosas. Euclides no ofrece trminos primitivos en sentido estric-to, sino que intenta definir todos los trminos geomtricos fundamentales, como "punto", "recta" y "plano". Los comentadores de los Elementos han advertido que no se las puede tomar como definiciones precisas, porque como tales se-rian defectuosas, sino como elucidaciones parciales del significado de estos tr-minos. Por otra parte, hay definiciones explcitas que se enuncian a comienzo de la obra, pero luego no se usan en ninguna demostracin. A la inversa, hay demostraciones que emplean como premisas ciertos enunciados no demostrados que no se encuentran en la lista de principios, lo cual constituye un defecto ms grave. Finalmente, no hay una caracterizacin de qu es una demostracin ni de cmo reconocerla. Si se suma a ello el hecho de que Euclides no hace explcitas las reglas de inferencia de su sistema, se obtiene la consecuencia de que las pruebas euclideas resultan casi siempre bastante informales, mucho ms que lo admisible en la matemtica actual.

Cualesquiera sean los defectos de la axiomtica antigua, no cabe duda de que Aristteles y Euclides deben considerarse como los fundadores del mtodo

LA AXIOMTICA ANTIGUA: DE ARISTARCO A PROCLO

axiomtico. Ambos reconocieron la caracterstica esencial de este mtodo que consiste en postular ciertos enunciados que se aceptan sin demostracin y de-ducir de ellos los restantes enunciados que componen una teora. Ser necesa-rio que pasen muchos siglos para que las realizaciones de los griegos sean per-feccionadas y extendidas a otros dominios.

De Aristarco a Proclo El mtodo axiomtico tuvo su mayor logro en el campo de la geometra

griega, y la identificacin entre ambos lleg hasta tal punto que desde la poca helenstica se llam estilo o modo geomtrico a la presentacin axiomtica de cualquier teora. El mtodo axiomtico surgi entre los griegos como una forma de obtener certeza en el conocimiento. Esencialmente fue el resultado de un es-fuerzo por encontrar una forma de argumentacin rigurosa que pudiera oponer-se al discurso meramente persuasivo de la retrica y de la sofstica. Visto de es-ta manera, el mtodo axiomtico resulta caracterstico del conocimiento cientfi-co en general y lo distingue de otras formas de conocimiento. Que los griegos lo entendieron de esta manera lo prueba el hecho de que intentaron extender la aplicacin de este mtodo ms all del campo de la geometra. Ya Aristte-les, por cierto, lo haba considerado como el mtodo apropiado para toda cien-cia emprica, aunque de hecho no construyera ningn sistema axiomtico con-creto en ninguna ciencia en particular. Euclides, en cambio, es autor de un bre-ve tratado de ptica escrito al modo axiomtico. La ptica de Euclides emplea 7 postulados y prueba 58 proposiciones. Los postulados aparecen bajo el ttulo de "definiciones", pero es evidente que no son definiciones. No aparecen lista-dos axiomas ni autnticas definiciones. Se trata, en suma, de una obra mucho menos lograda que los Elementos, pero notable por el hecho de aplicar el m-todo axiomticu a cuestiones de ptica que exceden el campo de la pura geo-metra.

Aristarco de Sanios nos es conocido principalmente por haber concebido un sistema planetario heliocntrico precursor del de Coprnico. Sin embargo, la nica obra de Aristarco que se ha conservado, el breve tratado Sobre los tama-os y las distancias del Sol y la Luna (escrito probablemente en el primer tercio del siglo III A.C.), consiste en una aplicacin del mtodo axiomtico a la astro-noma. Ello no es inesperado dado que en la antigedad la astronoma se con-ceba como una parte de la matemtica. Aristarco se propuso demostrar riguro-samente algunas proposiciones acerca de las distancias relativas del Sol, la Lu-na y la Tierra, tales como, por ejemplo, la siguiente: "La distancia del Sol a la Tierra es mayor que 18 veces, pero menor que 20 veces, la distancia de la Lu-na ". Para ello apel al estilo geomtrico enunciando 6 axiomas, a los que llama hiptesis, y demostrando 18 teoremas a partir de tales axiomas


(vase el Apndice 2.3). Los resultados de Aristarco son groseramente errneos desde nuestra perspectiva actual (por ejemplo, la distancia entre la Tierra y el Sol es, segn nuestras mediciones, aproximadamente 390 veces mayor que la distancia entre la Tierra y la Luna). Sin embargo, todava nos resulta sorpren-dente la audacia de su intencin de emplear el mtodo axiomtico en un domi-nio en el que todava hoy no hemos conseguido aplicarlo.

Despus de Euclides los mayores aportes al mtodo axiomtico los realiz Arqumedes. Arqumedes naci y muri en Siracusa en el siglo II A.C., pero es-tudi matemticas en Alejandra, donde evidentemente se form en la tradicin eucldea. En la Antigedad, y hasta los tiempos modernos, las ciencias matem-ticas incluan a la fsica y a la astronoma, y estos temas se estudiaban conjun-tamente. Exceptuando la astronoma, Arqumedes realiz contribuciones impor-tantes en todas las ramas de la matemtica de su tiempo. En una serie de tra-tados, como Sobre la es/era y el cilindro, Sobre la medida del circulo, o Sobre co-noides y esferoides, demostr una amplia variedad de teoremas acerca de as su-perficies y volmenes de figuras y cuerpos limitados por lneas y superficies curvas. Entre otros, el teorema segn el cual "La superficie de una esfera es igual a cuatro veces la de! crculo mximo en ella" (que es equivalente a la for-mulacin actual como S - TI r2).

Hasta donde sabemos, Arqumedes fue el primero en aplicar el mtodo axio-mtico, incluyendo los mtodos geomtricos de demostracin, a la esttica y a la hidrosttica. Con todo, es posible que haya tenido annimos predecesores en el estudio de la mecnica, cuyas obras no nos han llegado. las obras de Arqu-medes Sobre el equilibrio de los planos y Sobre los cuerpos flotantes intentan una presentacin axiomtica de estas partes de la mecnica general (vase el Apn-dice 2.4). El rigor alcanzado en las demostraciones es todava imperfecto y los axiomas enunciados no resultan suficientes para probar todos los pretendidos teoremas. No obstante, el simple hecho de aplicar la demostracin geomtrica a problemas de mecnica hace de Arqumedes un precursor de la fsica mate-mtica moderna.

La extensin del mtodo axiomtico fuera del dominio de las ciencias mate-mticas fue siempre un ideal regulativo del pensamiento griego. En el siglo II D.C., el mdico Galeno, que tambin fue un lgico consumado, recomend rei-teradamente la aplicacin del mtodo axiomtico (al que llama simplemente "pruebas de estilo geomtrico") a la anatoma y a la medicina. En un opsculo autobiogrfico llamado Mis propios libros, expres esta idea de una manera que revela cul era en ese momento el campo de aplicacin usual de la axiomtica: "He observado la verdad indiscutible que se manifiesta (y no slo a m mismo) en las predicciones de los eclipses, en la construccin de relojes de agua y en toda clase de clculos realizados en el contexto de la arquitectura, y he deci-dido que este tipo geomtrico de prueba es el mejor que ha de emplearse".

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LA AXIOMTICA MODERNA: APORTES MEDIEVALES

Galeno se explay largamente en su obra Las afecciones y errores del alma acer-ca de cmo aplicar el mtodo axiomtico a cuestiones empricas, pero, hasta donde sabemos, nadie consigui axiomatizar una teora mdica.

El prestigio del mtodo axiomtico y su carcter de modelo para la exposi-cin rigurosa de todo conocimiento cientfico se mantuvieron hasta el final de la Antigedad. Todava Proclo, en el siglo V D.C., insiste en su comentario al Ti-meo de Platn sobre la necesidad de emplear pruebas de estilo geomtrico en el dominio de la cosmologa, aunque, nuevamente, no sabemos que se haya axiomatizado nunca una teora cosmolgica.

1.3 La axiomtica moderna

Aportes medievales Durante la Edad Media, a partir del siglo XII, se inicia el proceso de traduc-

cin y asimilacin en Occidente de las grandes obras de la ciencia griega. Pe-ro el papel desempeado por los medievales no se limita al comentario de los textos de Aristteles, Euclides y Arqumedes, sino que incluye desarrollos origi-nales, entre ellos, nuevas aplicaciones del mtodo axiomtico a la aritmtica y la mecnica.

Las obras de Aristteles, Euclides y Arqumedes fueron bien conocidas y co-mentadas por los rabes, que aportaron, entre otras cosas, nuevos intentos de demostracin del quinto postulado eucldeo. En Occidente su difusin fue ms tarda y dependi de un lento proceso de traduccin al latn, que se inicia en el siglo XII con las obras de Aristteles. No podemos dar aqu un relato detallado del complejo itinerario de los textos griegos en el mundo medieval. Sealemos simplemente algunos hitos en la transmisin de los tratados lgicos de Arist-teles, los Elementos de Euclides y las obras de Arqumedes.

La primera traduccin latina completa de las obras lgicas de Aristteles la realiz Boecio a principios del siglo VI D.C., pero no se conserv en el Occiden-te medieval. A comienzos del siglo XII comienzan a traducirse nuevamente. En-tre 1130 y 1140 un grupo annimo de traductores italianos vierte del-griego los Segundos analticos; y alrededor de 1150 se traducen los Primeros analticos. Unos aos despus, Gerardo de Cremona traduce del rabe numerosas obras, entre ellas los Segundos analticos. Pero la traduccin de mayor importancia es la Guillermo de Moerbecke, quien, desde la dcada de 1240 aproximadamente, virti del griego casi toda la obra de Aristteles, incluyendo todos los tratados lgicos. Esta traduccin fue la que utilizaron Toms de Aquino y muchos otros escolsticos como base para sus detallados comentarios. Hacia fines del siglo XIII todas las obras de Aristteles estaban disponibles en latn, junto con nume-rosas copias, glosas y comentarios. Cuando se public en Venecia la primera

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edicin impresa del texto griego, la clebre edicin Aldina de 1495-1498, el pen-samiento de Aristteles haba sido asimilado desde mucho tiempo atrs, y el aristotelismo medieval ya estaba en decadencia.

La primera traduccin latina de los Elementos se atribuye a Boecio. Era una traduccin parcial realizada probablemente a comienzos del siglo VI D.C., pero no se ha conservado. Las primeras traducciones medievales de los Elementos proceden del rabe y no son del todo precisas. Tales son la de Adelardo de Bath en 1142, que tuvo escasa difusin, la ms conocida de Gerardo de Cremo-na hacia 1160 y la ms cuidada de Campano de Novara, de alrededor de 1290. Esta ltima tuvo buena difusin y fue tambin la primera versin impresa en 1482. En 1505 B. Zamberti public una nueva traduccin latina hecha sobre el texto griego. La primera edicin impresa del texto griego la public S. Gryna-ceus en Basilea en el ao 1533. En 1572 F. Commandino realiz la mejor tra-duccin directa del griego de los Elementos. En 1574 el matemtico alemn C. Clavis public una nueva y autorizada traduccin (ms bien una parfrasis del texto) que result sumamente exitosa y contribuy a difundir los estudios de la geometra axiomtica. Hacia esa poca, los Elementos ya formaban parte de la cultura europea.

El texto griego de las obras de Arqumedes se conserv en la cultura bizan-tina, .mientras que parte de su obra se tradujo al rabe. Las primeras traduccio-nes latinas del siglo XII tambin proceden del rabe. La primera se atribuye a Platn de Tvoli y se considera poco acertada. Mucho ms importante fue la tra-duccin de Gerardo de Cremona, despus de 1150, de algunas obras matemti-cas, que tuvo amplia difusin. En 1269 Guillermo de Moerbecke, tal vez el ma-yor traductor de la Edad Media, tradujo del griego, utilizando los manuscritos bizantinos, todas las obras conservadas de Arqumedes. La traduccin latina de Gerardo alcanz una sorprendente difusin, pese a la crnica escasez de manus-critos. La primera versin impresa de esta traduccin apareci recin en 1503, y luego siguieron otras ediciones, entre ellas, la de N. Tartaglia en 1543.

El aporte medieval al mtodo axiomtico no se reduce, sin embargo, al me-ro comentario de los clsicos de la ciencia griega. Podemos mencionar al me-nos tres desarrollos originales de los matemticos de la Edad Media.

L. Fibonacci (o Leonardo de Pisa) es bien conocido por sus contribuciones a la teora de los nmeros, entre ellas, el descubrimiento de la famosa secuen-cia de Fibonacci. En 1220 Leonardo escribi un tratado axiomtico titulado La prctica de la geometra, en el que expone muchos de los resultados ya alcan-zados por Euclides. Ofrece, no obstante, algunas demostraciones novedosas de teoremas ya conocidos. Adems, extiende la clasificacin eucldea de los nme-ros irracionales, mostrando que era incompleta. Tambin prueba resultados de Arqumedes, como la determinacin del nmero n. En todas sus demostracio-nes exhibe un notable rigor deductivo y elegancia.

LA AXIOMTICA MODERNA; LA REVOLUCIN CIENTFICA

Hacia mediados del siglo XIII, Jordano de Nemora (Jordanus Nemorarius), de quien tenemos pocos datos biogrficos, realiza el mayor aporte medieval a la axiomtica. En su obra Sobre la teora del peso utiliza 7 postulados para demos-trar 45 teoremas (vase el Apndice 2.5). Por ejemplo, su primer teorema afir-ma que "Entre cuerpos pesados cualesquiera, las fuerzas son proporcionales a los pesos"; mientras que el quinto sostiene que "Si los brazos de una balanza son desiguales, entonces, si pesos iguales se colocan en sus extremos, la balan-za descender del lado del brazo ms largo". Esta obra representa un induda-ble avance sobre la esttica de Arquimedes, y entre otras cosas, introduce nue-vos dispositivos experimentales para el estudio del equilibrio de los cuerpos. Pe-ro su obra ms importante es la Aritmtica, escrita alrededor de 1250. Es esta la primera obra en formato axiomtico dedicada integramente a la aritmtica, y sin duda, la obra cumbre de la matemtica medieval (vase el Apndice 2.6). El modelo de sus demostraciones, que frecuentemente son de tipo geomtrico, lo proporcionan los libros aritmticos de los Elementos. Jordano utiliza 14 definicio-nes, 3 postulados y 8 axiomas, y mediante ellos demuestra ms de 400 teore-mas. Ejemplo de las proposiciones demostradas son el sexto teorema, que dice; "Si la unidad se multiplica por cualquier nmero, o el mismo nmero se multi-plica por la unidad, se produce a si mismo" (es decir, a x 1 - l x a - a ) ; y e l octavo teorema, que dice: "Si se hace una multiplicacin alternada de dos nme-ros, el mismo nmero resulta en cada caso" (o sea, axb-bxa-c). Este tra-tado axiomtico fue sumamente exitoso y se lo adopt durante mucho tiempo como texto para la enseanza de la aritmtica. Su lenguaje, sin embargo, es bastante oscuro y no se ha conservado en la matemtica moderna.

Por ltimo, mencionemos la obra de T. Bradwardine, que utiliz el mtodo axiomtico no slo en la matemtica y la fsica, sino tambin en la teologa. En su Tratado sobre las proporciones de las velocidades en los movimientos, publica-do en 1328, el mtodo axiomtico se aplica por primera vez a la cinemtica, el estudio de los cuerpos en movimiento, cosa que, hasta donde sabemos, no ha-ba sido realizada en la antigedad. Este tratado tendr profunda influencia so-bre los mecnicos italianos, influencia que puede detectarse hasta en Galileo. En el Tratado sobre el continuo, escrito hacia 1335, Bradwardine utiliz 24 definicio-nes y 10 postulados para demostrar 151 teoremas acerca de las magnitudes con-tinuas en matemtica y fsica. Y en su obra teolgica, Sobre la causa de dios, ha-cia 1340, intent incluso dar un formato axiomtico a las pruebas de la existen-cia y propiedades de Dios, camino que despus seguiran Descartes y Spinoza.

La revolucin cientfica Durante la llamada "revolucin cientfica" el mtodo axiomtico se extendi

de manera exitosa mucho ms all de las ciencias matemticas, concretamente,

BREVE HISTORIA DEL MCTODO AXIOMTICO

a la fsica en su conjunto y a la filosofa. En todos los casos, como hemos vis-to, haba importantes antecedentes antiguos y medievales, pero en esta poca el formato axiomtico pas a ser un ideal para todas las ciencias. Incluso se con-cibi por primera vez el sueo de un nico sistema axiomtico unificado que abarcara todo el conocimiento, una idea que nunca se haba presentado en el pensamiento griego.

La aplicacin del mtodo axiomtico a las teoras fsicas resurge con los me-cnicos italianos del siglo XVI, que estudiaron y comentaron las obras de Arqui-medes y de Jordano de Memora. De esta manera se establece una tradicin ms o menos discontinua, pero nunca extinta, que conecta a autores antiguos medievales y modernos. A los problemas tradicionales de la esttica, los mec-nicos italianos agregaron otros derivados de la ingeniera y las artes militares. N. Tartaglia present en su Ciencia nueva, publicada en Venecia en 1537, un tratamiento axiomtico de la mecnica que empleaba una amplia variedad de de-finiciones, postulados y axiomas. Por ejemplo, slo en el primer libro de su obra, Tartaglia us 15 definiciones, 5 postulados y 4 axiomas para demostrar so-lamente 6 proposiciones o teoremas. Sus demostraciones no slo apelan a esta base axiomtica, sino que frecuentemente recurren a resultados ya establecidos por Euclides. Consecuentemente, el sistema de Tartaglia no resulta demasiado econmico.

Guidobaldo dal Monte en su Libro de las mecnicas, publicado en Pesara en 1577, intent una axiomadzacin mucho ms simple, basada en 1 definicin, 3 postulados y 3 axiomas. A partir de ese reducido conjunto de principios, Guido-baldo consigui demostrar un elevado nmero de teoremas (algunos de los cua-les son problemas) acerca de balanzas, palancas, poleas, ruedas y engranajes. El nmero de proposiciones demostradas alcanza un total de 53. Esta obra se con-sider por mucho tiempo como el mejor tratado de esttica. Guidobaldo sostu-vo la tesis de que la esttica y la dinmica son ciencias que no admiten un tra-tamiento unificado mediante el mismo conjunto de principios. La obra de Gali-leo, que fue su discpulo, puede verse como un intento por superar esa posicin y construir una mecnica unificada y completa. Ese proyecto de unificacin es el que culmina en la obra de Newton.

En 1638 aparece la obra cumbre de Galileo, sus Discursos y demostraciones matemticas en torno a dos ciencias nuevas. La tercera parte de este libro (la 'Tercera Jornada") contiene el tratado denominado Sobre el movimiento local, que es en realidad una obra independiente del resto del libro. En ella Galileo establece los fundamentos de aquella parte de la mecnica que hoy conocemos como cinemtica. Por cierto, Galileo tuvo numerosos precursores medievales que escribieron extensamente sobre el movimiento de los cuerpos terrestres y anticiparon algunos de sus resultados. Como hemos visto, no faltaron en la Edad Media escritos sobre mecnica presentados al modo axiomtico. Casi con

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LA AXIOMTICA MODERNA: tA REVOLUCIN CIENTFICA

seguridad Galileo conoci algunos de ellos. Todas estas obras reflejan la in-fluencia de Euclides y Arquimedes, ya ampliamente conocidos y comentados en el siglo XVI. Con todo, la influencia ms importante es la obra de su maestro Guidobaldo dal Monte. Galileo comienza su obra con definiciones como la si-guiente: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aquel en el que los espa-cios recorridos por un mvil en tiempos iguales cualesquiera son iguales entre si." Y luego enuncia axiomas como el primero: "En el mismo movimiento uni-forme, el espacio recorrido en un tiempo ms largo es mayor que el espacio re-corrido en un tiempo ms breve" (vase el Apndice 2.7). Finalmente procede a demostrar un total de 44 proposiciones, entre las que diferencia, igual que Eu-clides, entre teoremas y problemas.

Esta obra de Galileo, que influy decisivamente sobre Newton, tiene los mis-mos defectos que la de Euclides (carencia de trminos primitivos y de reglas de transformacin) y resulta mucho menos acabada y completa que los Elemen-tos. Sin embargo, representa un logro considerable, porque avanza en la aplica-cin del mtodo axiomtico a una ciencia emprica como la mecnica. Galileo supona, siguiendo la concepcin tradicional, que los axiomas eran enunciados verdaderos, pero no los considera necesariamente evidentes. Trata incluso de ofrecer ejemplos experimentales que confirmen la verdad de sus axiomas. Afir-ma explcitamente que las consecuencias que se deducen de los axiomas deben ser verificadas por medio de la experiencia, lo cual aportar una conSrmacin ulterior de los axiomas. Mediante esta concepcin Galileo llega a vislumbrar la idea esencial del mtodo hipottico-deductivo, segn el cual los axiomas de una teora emprica son hiptesis que pueden confirmarse experimentalmence me-diante las proposiciones deducidas de ellos. La justificacin de los axiomas de un sistema fsico ya no se encuentra en su pura evidencia, sino en la verifica-cin de sus consecuencias por medio de la experiencia.

La otra novedad importante del siglo XVII es el ensayo de presentar axiom-ticamente las teoras metafsicas, en una suerte de intento de hacer de la filoso-fa una ciencia tan exacta como la geometra. El racionalismo filosfico, desde Descartes a Leibniz, pens que el mtodo axiomtico constitua un ideal de rigor y precisin que era deseable, y posible, extender a todo el conocimiento huma-no. La aplicacin de este mtodo a la filosofa primera, la ontologa y la teologa, representaba tambin la esperanza de terminar con las permanentes disputas filosficas sobre los problemas fundamentales.

Descartes hizo el primer ensayo de axiomatizacin de la metafsica. En sus Respuestas a las segundas objeciones a las Meditaciones Metafsicas, publicadas en 1641, present en forma axiomtica su demostracin de la existencia de Dios, que en las Meditaciones Metafsicas haba dado de manera bastante in-formal. La seccin axiomtica llevaba por titulo "Razones que prueban la exis-tencia de Dios y la distincin que existe entre el espritu y el cuerpo humano


dispuestas de un modo geomtrico". La expresin "modo geomtrico" es en es-ta poca, y desde hace siglos, sinnima de "mtodo axiomtico", y la encontra-mos repetida por muchos autores. Descartes emple 10 definiciones y 10 axio-mas para demostrar slo 4 proposiciones. Por ejemplo, su primera proposicin demostrada afirma que "La existencia de Dios se conoce a partir de la sola con-sideracin de su naturaleza", mientras que la ltima es que "La mente y el cuer-po se distinguen realmente". Un ejemplo caracterstico de sus axiomas es el cuarto: 'Toda la realidad o perfeccin que existe en una cosa se encuentra for-malmente, o eminentemente, en su causa primera y total". Descartes intenta atenerse al estilo eucldeo de demostracin, pero el rigor deductivo logrado es evidentemente menor. Por otra parte, sus axiomas no parecen en modo alguno verdades evidentes.

Inspirado por el ejemplo cartesiano, Spinoza se propuso reconstruir de ma-nera axiomtica toda la filosofa de Descartes. Lo hizo en 1663 en su obra Prin-cipios de la filosofa de Descartes, demostrados al modo geomtrico, que dej in-conclusa. Evidentemente este fue un ensayo previo a la axiomatizacin de su propia filosofa, que expuso de manera completa en la Etica, demostrada segn el orden geomtrico, de 1677. All se ofrece un sistema completo de metafsica, deducido de una multitud de axiomas y definiciones. Spinoza enuncia 26 defini-ciones y 17 axiomas como principios, pero adems emplea otros lemas, axiomas y definiciones auxiliares. El resultado es el ms importante de los sistemas me-tafsicos de la historia escrito en forma axiomtica. Sin embargo, sus demostra-ciones no suscitaron el consenso unnime de la geometra eucldea. La razn de ello no se encuentra tanto en la imperfeccin de sus demostraciones, sino en la naturaleza de sus principios. Spinoza postul como axiomas enunciados metaf-sicos como los siguientes: I. rv "El conocimiento del efecto depende del cono-cimiento de la causa y lo implica"; y I. VI "La idea verdadera debe concordar con lo ideado por ella". Sus axiomas estn lejos de ser claros y precisos, y es verdaderamente difcil sostener que son verdades evidentes. No resultaron cla-ros ni evidentes para los propios contemporneos de Spinoza. Por otra parte, tampoco son enunciados que tengan consecuencias empricas, como los axio-mas de la fsica, y que puedan confirmarse por medio de la experiencia.

La Etica de Spinoza representa la cumbre y a la vez el ltimo de los gran-des intentos de hacer metafsica al modo axiomtico. En lo sucesivo, todos los supuestos axiomas metafsicos resultan cuestionados por su falta de precisin y de evidencia. Con toda seguridad, hay un obstculo en la naturaleza misma del tema que impide aplicar satisfactoriamente el mtodo axiomtico a las cuestio-nes filosficas. Parece claro que no se puede exigir la misma precisin y rigor demostrativo en todos los temas. Despus de Spinoza el mtodo axiomtico pro-ducir xitos significativos en las ciencias fsicas y matemcas, pero nada ver-daderamente importante en el campo de la filosofa.

LA AXIOMTICA MODERNA: LA REVOLUCIN CIENTFICA

Esto es algo que slo nos resulta claro retrospectivamente. Durante el siglo XVII los racionalistas mantuvieron una confianza total en la universalidad del mtodo axiomtico, es decir, en su aplicabilidad a todas las ciencias y a todo co-nocimiento en general. En su opsculo Sobre el espritu geomtrico, escrito alre-dedor de 1656, Pascal elogiaba sin reservas la perfeccin del mtodo demostra-tivo de los gemetras considerndolo infalible. En esta obra Pascal advierte que no es posible definir todos los trminos del vocabulario de un sistema axiom-tico, y consiguientemente reconoce la necesidad de introducir trminos primiti-vos. Aqu aparece por primera vez una distincin clara y explcita entre trmi-nos definidos y no definidos de un sistema. Pascal concibe a los trminos pri-mitivos, en analoga con los axiomas, como incapaces des ser definidos en ra-zn de su extrema evidencia. As como la verdad de los axiomas se capta inme-diatamente, el significado de los trminos primitivos se comprende por s mis-mo, sin necesidad de ulterior aclaracin. En ambos casos slo se requiere el ejercicio de la luz natural de la razn. Con base en estos supuestos, enunci una serie de reglas metodolgicas que resumi de la siguiente manera:

Reglas necesarias para las definiciones: No admitir ninguno de los trminos un po-co oscuros o equvocos sin definicin. No emplear en las definiciones ms que trminos perfectamente conocidos o ya explicados.

Reglas necesarias para los axiomas: No pedir en los axiomas ms que cosas per-fectamente evidentes.

Reglas necesarias para las demostraciones: Probar todas las proposiciones, sin em-plear en sus pruebas ms que axiomas muy evidentes por si mismos o proposi-ciones ya demostradas o aceptadas. [De l'esprit gometrique, Pars, Flammarion, 1985, p. 91)

En 1662, A. Arnauld y P. Nicole, en el muy difundido tratado La logique ou. Vari de penser (la llamada Lgica de Port-Royat), repitieron estas reglas casi al pie de la letra Desde entonces, esta concepcin racionalista del mtodo axiom-tico goz de amplia aceptacin.

En la dcada de 1670, Leibniz alumbra la idea de una lengua universal, a la que llam caracterstica universal, y realiza una serie de intentos nunca conclui-dos de precisar la estructura de ese lenguaje. Su objetivo es disponer de una herramienta simple y exacta para emplear en la formulacin de cualquier siste-ma deductivo de modo tal que las demostraciones resulten claras y fciles. La meta ltima del sueo racionalista, bien expresada por Leibniz, es la construc-cin, jams intentada siquiera, de un saber universal o mathesis universalis. Es-te consistira en un nico y gigantesco sistema axiomtico, en el cual a partir


de unos pocos principios evidentes se demostraran todos los conocimientos hu-manos. En otras palabras, puede decirse que se trataba de un proyecto de uni-ficacin de todas las ciencias en un solo sistema deductivo completo y acabado. El ideal de la mathesis universalis exceda lo que Aristteles y Euclides haban pensado y, adems, contena un aspecto antiaristotlico. Para Aristteles, en efecto, cada ciencia posea sus principios propios e indispensables, de modo que no era posible unificar ciencias diferentes. La diversidad de las ciencias es para Aristteles irreductible porque refleja la multiplicidad de los gneros en que se dividen las entidades del mundo real. Para los racionalistas, en cambio, la frag-mentacin del saber en diferentes ciencias y disciplinas es meramente transito-ria y simple reflejo de la imperfeccin de nuestro conocimiento.

Leibniz, siguiendo ideas ya bastante antiguas de R. Lulio y T. Hobbes, desa-rrolla tambin la idea de un mtodo general para mecanizar cualquier razona-miento. Mediante esta ars combinatoria, seria posible realizar automticamente todas las demostraciones de un sistema axiomtico, sin apelar a la intuicin o a algn proceso creativo. El proyecto de Leibniz inclua la representacin de los trminos del lenguaje del sistema mediante nmeros y la realizacin de opera-ciones entre nmeros para producir demostraciones. Mediante estas ideas visio-narias, nunca concretadas, Leibniz anticipa deas contemporneas como la de aritmetizacin de los lenguajes y la posibilidad de un algoritmo general capaz de resolver cualquier problema matemtico. La investigacin de los sistemas axiomticos contemporneos mostrar, como veremos ms adelante, que hay l-mites insuperables para la realizacin de ese proyecto.

En 1687 se publica la obra cumbre de la ciencia moderna, los Principios ma-temticos de la filosofa natural, de I. Newton, que para muchos intrpretes constituye el verdadero final de la imagen antiguo-medieval del cosmos y el co-mienzo de la imagen moderna. Newton produce por primera vez la unificacin de la fsica terrestre y la fsica celeste en una teora simple y poderosa, que transform profundamente nuestra imagen del universo. Esta obra monumental esta organizada al modo axiomtico, siguiendo de cerca el modelo de Euclides. Es evidente, adems, que Newton recibi la influencia de los ensayos axiomti-cos de Galileo y Descartes. Comienza con 8 definiciones y 3 axiomas, que son seguramente los ms conocidos en toda la historia de la ciencia (vase el Apn-dice 2.8). Tambin distingue, entre las proposiciones demostradas, entre probie-

mas y teoremas. Las demostraciones ascienden a un total de 193. Newton em-plea, adems de sus axiomas, un conjunto muy amplio de lemas, hiptesis y da-tos auxiliares para la realizacin de sus demostraciones. En conjunto la obra im-presiona a primera vista como menos rigurosa que los Elementos eucldeos. Sin embargo, los mejores especialistas contemporneos han sealado que todas las pruebas de los Principia son concluyentes y difcilmente mejorables con las he-rramientas matemticas que Newton tenia a su disposicin.

LA AXIOMTICA ABSTRACTA O FORMAL

Newton llama leyes a sus axiomas ("axiomas o leyes del movimiento"), y es-te nombre es sntoma de un cambio en la concepcin de los axiomas de una teora fsica, cambio ya insinuado en a obra de Galileo. El primero de los axio-mas es la ley de inercia, ya vislumbrada por Galileo y enunciada precisamente por Descartes a mediados de la dcada de 1630. La versin newtoniana dice: "Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento uniforme en lnea recta, a menos que sea compelido a cambiar ese estado por fuerzas impre-sas". Difcilmente se podra tomar a este principio como una verdad evidente. Por otra parte, tampoco se !o puede verificar directamente por la experiencia, porque ello supondra observar e! movimiento uniforme de todos los cuerpos en todo momento y lugar, cosa manifiestamente imposible. Newton se opona a lla-mar "hiptesis" a sus principios, pero desde nuestro punto de vista stos deben considerarse como hiptesis empricas que son confirmables o refutables por medio de sus consecuencias observacionales (o, ms bien, de las consecuencias observacionales de todo el sistema). Aparece as la idea, todava implcita, de que la naturaleza de los axiomas de un sistema fsico es diferente de la de un sistema puramente matemtico.

En la ptica, publicada en 1704, Newton tambin adopt el formato axiomti-co. Present 8 definiciones, que explicaban trminos tales como "rayo de luz", "reflexin", "refraccin", "ngulo de incidencia", "ngulo de reflexin", y otros. El concepto fundamental de su teora era el de rayo de luz, al que defini de la si-guiente manera: "Por rayos de luz entiendo sus partes mnimas, tanto las sucesi-vas en la misma lnea como las contemporneas en diversas lneas". Luego enun-ci 8 axiomas, de los cuales transcribiremos aqu solamente los dos primeros: "Los ngulos de reflexin y refraccin estn en uno y el mismo plano que el n-gulo de incidencia."; "El ngulo de reflexin es igual al ngulo de incidencia" (vase el Apndice 2.9 para una presentacin completa). Newton mantiene la di-visin euclidea de las proposiciones demostradas en teoremas y problemas. Pro-cede, entonces, a demostrar 39 proposiciones, pero en tales demostraciones no emplea generalmente sus axiomas y definiciones. Muchas de las demostraciones son de tipo experimental y se fundan en observaciones y experimentos detallada-mente descriptos por Newton, pero no deducibles de sus axiomas.

La axiomtica abstracta o formal Desde Aristteles hasta Newton los sistemas axiomticos fueron concebidos

como teoras verdaderas acerca del mundo real. La geometra euclidea, por ejemplo, se consideraba como una descripcin verdadera de las propiedades del espacio fsico, mientras que la teora de Newton, por su parte, se tena por una descripcin igualmente verdadera del movimiento de los cuerpos celestes y te-rrestres. A veces se denomina axiomtica material a esta concepcin tradicional


de los sistemas axiomticos. Durante el siglo XIX surge y se desarrolla una con-cepcin diferente de la naturaleza de los sistemas axiomticos. Segn esta idea, que denominamos axiomtica abstracta o formal, un sistema axiomtico es una teora puramente formal que no se refiere a ningn objeto o entidad real y, por consiguiente, no es por s misma verdadera ni falsa. En un sistema axiomtico formal los trminos primitivos no tienen referencia, es decir no nombran o de-notan objetos o propiedades determinadas. Por consiguiente, los axiomas de un sistema formal no son verdaderos o falsos hasta que no se asigne un significa-do o referencia a sus trminos primitivos. Lo que hace abstracto a un sistema de esta clase es el hecho de que es posible asignar diferentes significados a los primitivos del sistema. Esto tiene la consecuencia de que el mismo sistema de axiomas puede ser verdadero respecto de determinados conjuntos de objetos y falso respecto de otros.

Un sistema axiomtico formal o abstracto se diferencia de un sistema axio-mtico material por el hecho de que no se refiere a un conjunto determinado de objetos, de los cuales se asume que el sistema es verdadero. Un sistema for-mal no necesita estar formalizado. Un sistema axiomtico formalizado es aquel que se formula en un lenguaje artificial (como, por ejemplo, el de la lgica de primer orden) en el cual la formacin de expresiones est estrictamente regi-mentada. Un sistema formalizado es un sistema puramente sintctico, en el que todos sus trminos y expresiones carecen de significado. Todo sistema formali-zado es obviamente formal, pero no a la inversa. Un sistema formal no formali-zado se formula en una lengua natural enriquecida con algunos trminos tcni-cos primitivos y definidos. La geometra de Hilbert y la teora de conjuntos de Zermelo son ejemplos de sistemas axiomticos formales pero no formalizados (vanse los Apndices 2.12 y 2.14). La lgica de primer orden, tal como se pre-senta en los textos usuales, es un ejemplo de sistema formalizado (vase el Ca-ptulo 2.5). Todos los sistemas axiomticos tradicionales, desde Euclides hasta Newton, son sistemas materiales, que, por supuesto, no son formales ni forma-lizados (vanse los Apndices 2.2 a 2.9).

Ms adelante estudiaremos con detalle los componentes de un sistema axio-mtico formal y la manera en que tales sistemas se interpretan o adquieren sig-nificado. Ahora veremos cmo se lleg a esta concebir a los sistemas axiomti-cos de esta manera.

La axiomtica formal alcanza su realizacin en la segunda mitad del siglo XLX. Influyen decisivamente en este hecho el surgimiento de las geometras no eucldeas, de la lgica matemtica y de la teora de conjuntos. Este es un pro-ceso histrico rico y complejo, que aqu ni siquiera podemos esbozar, y del que apenas mencionaremos algunas etapas significativas.

La primera de estas etapas es la invencin de sistemas geomtricos diferen-tes del de Euclides, que por muchos siglos se tuvo por la nica geometra posi-


ble. Algunas de estas nuevas geometras no rechazan los principios del sistema de Euclides presentado en los Elementos, pero sus teoremas tienen consecuen-cias antiintuitivas, ya que no son visuazables y no admiten representacin gr-fica por medio de diagramas y figuras. Un ejemplo importante es el de la geome-tra proyectiva, que tiene antecedentes desde el Renacimiento, pero que J. Pon-celet expuso por primera vez en su Tratado sobre las propiedades proyectivas de las figuras, de 1822. La geometra proyectiva no implica la negacin de ninguno de los postulados de Euclides, y por ello se consider compatible con la geome-tra eucldea. Sin embargo, los axiomas y postulados de Euclides no son suficien-tes para axiomatizar a la totalidad de la geometra eucldea, como se ver ms adelante. Cuando se considera una axiomatizacin ms satisfactoria, como la de Hilbert, resulta que la geometra proyectiva es incompatible con la eucldea.

Las llamadas geometras no eucldeas, en cambio, son manifiestamente incom-patibles con la de Euclides porque toman como punto de partida la negacin de alguno de sus cinco postulados. El primer postulado que se rechaz fue, como era de esperar, el quinto, ya cuestionado desde la Antigedad. Una versin equivalente a este postulado, formulada por J. Playfair en 1795, dice que por un punto exterior a una recta pasa una y slo una paralela a dicha recta. Muchos matemticos destacados de todas las pocas intentaron demostrar este postula-do deducindolo de los otros cuatro. El intento ms notable fue el del italiano G. Saccheri en su obra Euclides vindicado de toda mancha, escrita en 1733. Sac-cheri se propuso probar que el quinto postulado se deduca de los restantes mostrando que si la negacin del quinto postulado se agregaba como axioma a los otros cuatro, se obtena como resultado una contradiccin. El mtodo de Saccheri era correcto porque es evidente que si en un sistema axiomtico un enunciado x se deduce de un conjunto de axiomas p, y a {5 se le agrega como axioma el enunciado - x, se producir una contradiccin porque ese sistema contendr a la vez los enunciados x y - X- Saccheri dedujo rigurosamente una serie de teoremas no eucldeos, hasta que crey, errneamente, encontrar una contradiccin. Concluy, entonces, que el quinto postulado de Euclides era de-ducible de los otros cuatro, cuando en realidad haba demostrado que dicho postulado era lgicamente independiente de los restantes. Saccheri construy la primera geometra no eucldea, pero no logr reconocer que lo haba hecho.

Un siglo despus, N. Lobachevsky en 1829 y J. Bolyai en 1832 construyeron de manera independiente el sistema de geometra que Saccheri haba anticipa-do y que C. F. Gauss ya haba desarrollado antes de 1824. Esta es la llamada geometra hiperblica, que tomaba como axiomas a los cuatro primeros postula-dos eucldeos ms el axioma segn el cual por un punto exterior a una recta pasan al menos dos paralelas a dicha recta (una manera de negar el quinto pos-tulado euclideo). Los teoremas que se deducen de este conjunto de axiomas son claramente inconsistentes con la geometra de Euclides. Entre otras cosas,


se deduce que la suma de los ngulos interiores de un tringulo es siempre menor que 180 grados; que dicha suma no es invariable sino que decrece cuan-do el rea del tringulo aumenta y que se aproxima a 180 grados cuando el rea del tringulo tiende a cero. En la geometra hiperblica, a diferencia de la eucldea, no existen figuras semejantes, es decir, figuras que tengan la misma forma pero diferente tamao. Ni Lobachevsky ni Bolyai encontraron contradic-cin alguna entre los enunciados de este nuevo sistema geomtrico. Incluso Lo-bachevsky consigui mostrar que su sistema era consistente, dando una prueba relativa de la consistencia de su geometra respecto de la trigonometra esfrica eucldea (vase el Apndice 1). Demostr que si la geometra eucldea es con-sistente (esto es, est libre de contradicciones), tambin la geometra hiperbli-ca es consistente; o, lo que es equivalente, que si la geometra hiperblica es contradictoria, tambin la geometra eucldea necesariamente debe serlo. Me-diante esta prueba notable, Lobachevsky puso a ambas geometras en un mis-mo nivel de legitimidad desde el punto de vista lgico.

Poco tiempo despus se produjo la extensin del campo de la geometra a espacios de ms de tres dimensiones. En 1844 H. Grassmann public su obra Teora de la extensin lineal, en la cual introduca la idea de espacios vectoria-les de n nmero de dimensiones. En 1854 B. Riemann pronunci su conferen-cia de habilitacin en la universidad de Go tinga, "Sobre las hiptesis que yacen en los fundamentos de la geometra", donde realiz una extensin notable del dominio de la geometra. Riemann generaliz la teora de las superficies curvas de Gauss extendindola a espacios de n dimensiones. Mostr cmo definir la curvatura intrnseca de un espacio de n dimensiones y cmo medir la distancia entre puntos de cualquiera de estos espacios. El resultado de ello fue una ge-neralizacin de la geometra a una teora de muy amplio alcance, conocida co-mo de los espacios de Riemann, que contiene como casos especiales a la geo-metra eucldea y a diversas geometras no eucldeas. En general, los espacios de Riemann son espacios -dimensionales de curvatura variable, donde la curva-tura K del espacio es diferente de un punto a otro. La geometra eucldea y la hiperblica de Lobachevsky, entre otras geometras no eucldeas, son casos es-peciales de espacios de Riemann en los cuales la curvatura es constante, es de-cir, la misma en todo punto. La geometra hiperblica constituye el caso en el que la curvatura es constante y negativa (K < 0). Otras geometras no eucldeas, como la elptica, son casos de un espacio de Riemann con curvatura constante y positiva (K > 0). Finalmente, la geometra eucldea es el caso ms especial en el que la curvatura del espacio es nula en todo punto (K = 0). El alcance de la teora de Riemann slo se comprendi despus de la publicacin postuma de su trabajo en 1867.

En 1868 E. Beltrami descubri un modelo eucldeo de una parte de la geo-metra hiperblica de Lobachevsky. El modelo permita representar en el espa-

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CO eucldeo diversos teoremas de esta geometra no euclidea. Posteriormente, F. Klein en 1871 y H. Poincar en 1881 encontraron otros modelos euclideos para la totalidad de la geometra hiperblica. La existencia de estos modelos proporcion una prueba de consistencia relativa de la geometra hiperblica res-pecto de la geometra euclidea (vase el Apndice 1). Adems, demostr que la geometra hiperblica era traducible a la geometra euclidea, en el sentido de que a todo teorema de la geometra hiperblica le corresponde un teorema de la geometra euclidea, que representa la traduccin de ese teorema en trminos euclideos.

La creacin de las geometras no eucldeas y su generalizacin a espacios n-dimensionales tuvo muchas consecuencias importantes. En primer lugar, surgi la idea de que los diferentes espacios caracterizados por las diferentes geome-tras eran entidades puramente abstractas sin relacin directa con el espacio f-sico real. Adems, se tuvo conciencia de que la evidencia de los axiomas no era un criterio adecuado para la eleccin de un sistema axiomtico. Los hechos mostraban que era perfectamente posible elaborar una geometra consistente partiendo de axiomas que no son evidentes. Haba ahora mltiples sistemas de geometra incompatibles entre si, pero todos ellos aparentemente libres de con-tradicciones internas. Esta situacin sugiri que la determinacin de la estructu-ra geomtrica del espacio fsico no era una cuestin puramente matemtica que pudiera decidirse a priori, sino un problema emprico que en principio podra resolverse experimentalmente. La tradicin atribuye a C. F. Gauss el origen de esta idea, que luego se encuentra explcita en Bolyai, Lobachevsky y Riemann. Lobachevsky seal correctamente que la estructura geomtrica del espacio f-sico debera determinarse mediante mediciones astronmicas, e incluso realiz l mismo tal clase de mediciones. Por otra parte, la existencia de geometras de cualquier nmero de dimensiones introdujo un concepto abstracto de espacio, desligado del espacio fsico real. Con ello estaban dadas las bases para la dis-tincin entre geometra matemtica y geometra fsica, que llevar a concebir a la primera como un sistema puramente formal que no describe la estructura del mundo real. Ya en 1844 H. Grassmann, en su obra Teora de la extensin lineal, sealaba que la geometra no es una descripcin del espacio fsico, sino una teora de la matemtica pura, una "doctrina de las formas".

En 1870 H. Von Helmoltz escribi un breve trabajo titulado Sobre el origen y significado de los axiomas geomtricos, que puede considerarse como el primer manifiesto de la geometra como ciencia formal. Helmoltz conclua su trabajo se-alando que los axiomas de la geometra no representan relaciones entre cosas reales, sino que son como un molde vaco en el que se puede encajar cualquier contenido emprico. Esto vale tanto para los axiomas euclideos como para los de todas las geometras no eucldeas. I,a geometra matemtica o formal no es, en-tonces, un sistema de enunciados o proposiciones capaces de ser verdaderos o


falsos respecto del mundo real. nicamente cuando se hace corresponder a los axiomas ciertos principios fsicos (por ejemplo, relativos al comportamiento de los cuerpos rgidos) se obtiene un sistema de proposiciones significativas, una geometra fsica, cuyos enunciados tienen valor de verdad y se pueden verificar o refutar por la experiencia. Helmoltz anticipaba de este modo la nocin de in-terpretacin de un sistema formal, que ms adelante estudiaremos con detalle.

La situacin planteada por la existencia de geometras alternativas a la de Euclides tuvo tambin como efecto la revisin ms rigurosa del propio sistema eucldeo. A la vez, se plante la necesidad de axiomatizar las nuevas teoras geomtricas. El primer sistema axiomtico de una geometra diferente de la de Euclides lo elabor M. Pasch en su obra Lecciones de geometra moderna, publi-cada en 1882, donde axiomatiz la geometra proyectiva. All ofreci una lista completa de los trminos primitivos y de los axiomas que empleaba en su sis-tema. Pasch, sin embargo, no renunciaba todava a la idea tradicional segn la cual la fuente de la que se obtienen los axiomas de la geometra es la intuicin, o incluso la experiencia. Siguiendo esta inclinacin empirista, afirm que los tr-minos primitivos de un sistema geomtrico se refieren a la forma, el tamao y la posicin recproca de los cuerpos. El significado de estos trminos no nece-sita ser definido porque se hace evidente mediante la simple ostensin de los objetos fsicos apropiados. Los axiomas, por su parte, enuncian aquello que se ha observado en las figuras ms simples. Una vez determinados los axiomas, la intuicin no interviene en el proceso de prueba, segn Pasch, porque todo el sistema geomtrico debe desarrollarse mediante puras inferencias deductivas, independientemente del sentido de los conceptos geomtricos del sistema.

Algunos aos despus, en 1899, M. Pieri y D. Hilbert construyeron, de ma-nera independiente uno del otro, dos axiomatizaciones diferentes de la geome-tra eucldea, en las que intentaban ofrecer una presentacin ms rigurosa que la de los Elementos de Euclides. Pieri adopta slo 2 trminos primitivos ("pun-to" y "movimiento") y 20 axiomas. Hilbert, por su parte, en su gran obra Fun-damentos de la geometra, se vale de 8 trminos primitivos (entre ellos, "punto", "recta" y "plano") y 19 axiomas separados en 5 grupos (axiomas de conexin, orden, congruencia, paralelismo y continuidad). En la segunda edicin de su li-bro, en 1900, Hilbert agrega un nuevo axioma, que eleva el total a 20. Todos los expertos en el tema coinciden en afirmar que la axiomatizacin de Hilbert es superior a la de Euclides en tanto resulta suficiente para deducir la totalidad de la geometra eucldea sin recurrir a supuestos no explicitados. De hecho, se convirti enseguida en el paradigma de axiomatizacin de una teora matem-tica (vase el Apndice 2.12). Pronto aparecieron otros sistemas axiomticos de geometra eucldea, como el de O. Veblen en 1904 y el de E. V. Huntington en 1913, que utilizaban trminos primitivos y axiomas muy diferentes de los de Hilbert. Con ello qued claro que el mismo sistema formal se puede presentar


mediante distintos conjuntos de axiomas, independientemente del hecho de que stos sean evidentes o no. Simultneamente, se produjeron rpidos avances en la axiomatizacin de otras teoras matemticas. E. V. Huntington y, de manera independiente, E. H. Moore axiomatizaron en 1902 la teora de grupos, teora ya ampliamente desarrollada y utilizada desde mediados del siglo XLX. Tambin la geometra no euclidea se axiomatiz siguiendo el paradigma de Hilbert, cuando G. Halsted en 1904 y G. Hessenberg en 1905 crearon sistemas axiomticos pa-ra la geometra elptica. En 1914 F. Hausdorff axiomatiz la parte bsica de la topologa, conocida como topologa de conjuntos de puntos (vase el Apndice 2.15). Durante esta poca el mtodo axiomtico formal produjo resultados ver-daderamente alentadores, no slo en geometra, sino en ramas muy diferentes de la matemtica. El mismo Huntington, por ejemplo, axiomatiz en 1902 la teo-ra de las magnitudes continuas, base del anlisis matemtico, mediante 6 axio-mas muy simples (vase el Apndice 2.13).

Hilbert no se limit a presentar axiomticamente la geometra euclidea cons-truyendo un sistema formal, aunque no formalizado. Adems, analiz detallada-mente las propiedades de su sistema. Prob que es consistente, es decir libre de contradicciones, relativamente a la teora de nmeros reales; y demostr tam-bin que sus axiomas son independientes, o sea, que ninguno se deduce de los restantes (en el Captulo 4 estas propiedades se definen con mayor precisin). De esta manera, inaugur la disciplina conocida como metamatemtir.a, que se ocupa del estudio de las propiedades de los sistemas formales.

La concepcin que Hilbert tiene de los sistemas axiomticos es esencialmen-te abstracta. Su idea principal es que los trminos primitivos de una teora axio-mtica no se refieren a ningn tipo determinado de entidad concreta o abstrac-ta. Los trminos "punto, "recta" o "plano" no denotan a algn objeto geomtri-co en parti

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