Carta Psicrometrica Pg 278

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA CONTENIDO DIDCTICO DEL CUSO: 211612 - TRANSFERENCIA DE MASA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

PROGRAMA DE INGENIERA DE ALIMENTOS

211612 - TRANSFERENCIA DE MASA

VICTOR JAIRO FONSECA VIGOYA

(Autor)

NORMAN ANDRS SERRANO FORERO

Director de Curso

JOS CELESTINO MUTIS

Enero del 2012


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente mdulo fue diseado en el ao 2009 por el Ing. Victor Jairo Fonseca

Vigoya, docente de la UNAD, y ubicado en la Sede Nacional Jos Celestino Mutis,

el Ing. Fonseca es Ingeniero Qumico y Master.


INTRODUCCIN

La transferencia de masa es hoy da, una de las operaciones unitarias de mayor

aplicacin en la industria alimentaria.

El presente modulo pretende ser una gua para el estudio de las diferentes

operaciones unitarias en las que se da el intercambio de masa, para el

refinamiento y/o obtencin de diversos productos alimenticios.

El modulo de transferencia de masa esta diseado para que el estudiante pueda decantar

tanto lo aprendido en la tecnologa como durante la Ingeniera de Alimentos, en procesos

y operaciones unitarias del quehacer cotidiano de la Industria Alimentara, propendiendo

por una comprensin de todo lo relacionado con la Ciencia y la Tecnologa de los

alimentos.

Su objetivo fundamental est orientado hacia la identificacin, manejo y aplicacin de las

principales operaciones de transferencia de masa, algunas de ellas asociadas a la

transferencia de calor y de momentum, que se utilizan en procesamiento de alimentos

como herramienta bsica para ser aprovechada en cursos de las diferentes tecnologas

del plan de estudios, as como en la generacin de innovaciones tecnolgicas.

Al trmino del estudio y anlisis del curso de transferencia de masa, el estudiante

adquirir los conocimientos ms relevantes sobre los diferentes procesos para la

conservacin y el procesamiento industrial de alimentos, con el fin de obtener las

herramientas suficientes para que apliquen los conocimientos en los procesos de

transformacin de una o varias de las materias primas alimenticias producidas en las

diferentes regiones de Colombia, con proyeccin al diseo e implementacin, mejora o

actualizacin de procesos agroindustriales sostenibles.

Es por eso que el estudiante a travs del curso de transferencia de masa identificar

claramente las bases tericas de las diferentes operaciones bsicas de la Industria de

alimentos, definir de manera acertada el manejo y control de su tiempo de estudio

autodirigido para la profundizacin de los temas y su correcta aplicacin a nivel industrial.

El propsito del curso es lograr que el estudiante analice la informacin suministrada de

manera que al trmino de su estudio pueda responder a preguntas claves que medirn el

nivel de comprensin de situaciones reales evidenciadas en forma cotidiana en la

Industria Alimentaria.

Este material est compuesto tres unidades bsicas: En la primera Unidad se

desarrollan habilidades y competencias para la comprensin de los principios

fundamentales de transferencia de masa.


En la segunda unidad se ensean las operaciones unitarias que implican transferencia

de masa, pero sin intercambio de energa, con ejercicios que muestran diferentes

aplicaciones a nivel industrial. Especficamente se aborda el tema de Operaciones de

Separacin para que el estudiante pueda analizar y evaluar su aplicacin en procesos

industriales que involucren operaciones con gases, lquidos y slidos.

En la tercera Unidad hace referencia a Operaciones Especiales en la Industria de

Alimentos, de aplicacin en situaciones muy puntuales y especficas que involucran

fenmenos de transporte de masa y de calor.


INDICE DE CONTENIDO

Unidad 1. Principios de transferencia de masa

Captulo 1. Mecanismos de transferencia de masa

Leccin 1. Introduccin a la transferencia de masa

Leccin 2. Generalidades sobre transferencia de masa

Leccin 3. Difusin

Leccin 4. Difusin molecular

Leccin 5. Flujo neto molar

Captulo 2. Casos de difusin

Leccin 6. Aspectos generales sobre difusin de estado

Leccin 7. Difusin molecular en lquidos

Leccin 8. Difusin molecular en gases

Leccin 9. Difusin en slidos

Leccin 10. Casos especiales de difusin en fluidos

Captulo 3. Coeficientes de transferencia de masa

Leccin 11. Generalidades sobre coeficientes de transferencia de masa

Leccin 12. Transferencia en zona turbulenta

Leccin 13. Coeficientes locales

Leccin 14. Coeficientes especficos

Leccin 15. Transferencia entre fases inmiscibles

Unidad 2. Operaciones unitarias con transferencia de masa

Captulo 4. Separacin por contacto de equilibrio

Leccin 16. Equilibrio en estado estacionario


Leccin 17. Balances de materia

Leccin 18. Balances en una etapa en flujos paralelos

Leccin 19. Balances en una etapa en contracorriente

Leccin 20. Clasificacin de las operaciones de separacin

Captulo 5. Extraccin por solventes

Leccin 21. Consideraciones generales de la extraccin

Leccin 22. Balance de materia: grfico y analtico

Leccin 23. Operaciones lquido-lquido

Leccin 24. Operaciones en una etapa

Leccin 25. Operaciones en mltiples etapas

Captulo 6. Lixiviacin y lavado

Leccin 26. Consideraciones generales de las operaciones slido-lquido

Leccin 27. Balance de materia: grfico y analtico

Leccin 28. Operaciones de lavado

Leccin 29. Lavado en una etapa

Leccin 30. Lavado en etapas mltiples

Unidad 3. Operaciones unitarias con transferencia simultnea de masa y

calor

Captulo 7. Evaporacin

Leccin 31. Aspectos termodinmicos

Leccin 32. Tipos de evaporadores

Leccin 33. El intercambiador de calor, el separador y el condensador

Leccin 34. Clculos en evaporadores

Leccin 35. Mtodos de alimentacin comunes en evaporadores de mltiples

efectos

Captulo 8. Deshidratacin


Leccin 36. Conceptos bsicos

Leccin 37. Velocidad de secado, contenido crtico de humedad y tiempo total de

secado

Leccin 38. Secado con tasa constante y decreciente

Leccin 39. Clculos en operaciones de secado

Leccin 40. Balances de materiales y calor

Captulo 9. Destilacin y cristalizacin

Leccin 41. Equilibrio vapor-lquido

Leccin 42. Mtodos de destilacin

Leccin 43. Principios generales de cristalizacin

Leccin 44. Mecanismos de cristalizacin

Leccin 45. Equipos de cristalizacin


UNIDAD 1

Nombre de la Unidad Principios de transferencia de masa

Denominacin de captulos

Captulo 1. Mecanismos de transferencia de masa,

Captulo 2. Casos de difusin y Captulo 3. Coeficientes

de transferencia de masa.


CAPITULO 1: MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE MASA

Introduccin

El contenido del presente captulo abarca los conceptos fundamentales de la

difusin y transferencia de masa que se aplicarn de manera especfica en las

operaciones unitarias de secado y evaporacin en el presente mdulo y en las

operaciones de lixiviacin, lavado, cristalizacin y destilacin, que se estudiarn

en los siguientes captulos

El numeral 1 desarrolla separadamente los conceptos de difusin molecular en

lquidos, gases y slidos. Contempla adems dos casos especiales de difusin

que a menudo se presentan en la Industria de Alimentos.

El clculo de los coeficientes de transferencia de masa, se estudia en el numeral

1.3; en este se desarrolla el concepto de transferencia en donde intervienen tanto

la difusin molecular como la difusin turbulenta.

En el numeral 1.4 se aplican los conceptos estudiados anteriormente a la

transferencia de una sustancia a travs de dos fases inmiscibles. Aqu se

desarrolla un ejemplo muy prctico de mucha utilizacin en la industria.

El captulo termina con un estudio somero de la difusin del vapor de agua en el aire y se explica la utilizacin de la carta psicromtrica para el desarrollo de problemas, en donde intervienen la solubilidad del agua en el aire.

Como puede verse, este captulo se constituye en la introduccin preparatoria a

las operaciones unitarias especficas, que se estudiarn a continuacin.

Leccin 1: Introduccin a la transferencia de masa

La transferencia de masa, al igual que los conceptos de transferencia de calor y

transferencia de momento aplicada al flujo de fluidos, constituyen los pilares y

fundamentos de las ms importantes operaciones unitarias que se aplican en la


industria de alimentos.

Leccin 2: Generalidades sobre transferencia de masa

Desde los albores del nacimiento de la Industria Qumica a mediados del siglo

pasado, se vio la necesidad de investigar y disear mtodos para separar los

compuestos de las mezclas, con el fin de obtener sustancias con alto ndice de

pureza.

Aprovechando la facultad que tienen muchas sustancias de ser solubles en

algunas y ser insolubles en otras, se pueden obtener muchas separaciones o

purificaciones.

Un ejemplo sencillo es la utilizacin de la propiedad que tiene el aire de disolver,

hasta cierto lmite, el agua que se encuentra presente en una sustancia slida.

Esta propiedad que se utiliza en las operaciones de secado es un caso tpico de

una transferencia de masa, en donde, las molculas de agua, en estado liquido,

migran desde el slido hasta la corriente de aire que las disuelve en estado

gaseoso.

Otro ejemplo muy conocido en nuestro medio es el proceso de purificacin del

alcohol a partir de un mosto fermentado al cual se le aplica calor y mediante el

contacto de las fases gaseosa y lquida. En varias etapas, se opera un proceso de

separacin de las molculas del alcohol, el cual se recupera en la parte superior

de una torre de destilacin. Esta operacin en donde opera una transferencia de

masa se denomina destilacin fraccionada.

En la Industria de Alimentos tambin se presentan multitud de casos en donde la

transferencia de masa es el principio de accin de algunas operaciones

especficas.

El estudio del presente captulo constituye la base terica fundamental para las

operaciones de secado, evaporacin, lixiviacin, lavado, cristalizacin y

destilacin.

El punto comn en el estudio de todas estas operaciones es el contacto directo

entre dos fases inmiscibles. Tenemos as las operaciones que involucran el

contacto de un gas con un lquido, como en el secado, la evaporacin y la

destilacin. La lixiviacin o extraccin por solventes es un caso tpico de operacin

con transferencia de masa entre un lquido y un slido. Dentro de esta categora


tambin pueden clasificarse el lavado y la cristalizacin.

Leccin 3: Difusin

El concepto de difusin nos es muy familiar cuando estamos hablando de gases.

Al revisar las nociones fundamentales de fisicoqumica y termodinmica,

recordamos que las molculas de un gas se encuentran en continuo movimiento; y

que como fruto de ese movimiento se presentan permanentes choques y cambios

de direccin en la trayectoria de esas molculas.

Tambin recordamos que la actividad de las molculas de cualquier gas, se incre-

menta con el aumento de la temperatura. El estudio de todos esos fenmenos se

denomina Teora Cintica de los Gases, la cual explica el movimiento

espontneo de estos en su conjunto y en el mbito molecular o atmico, al igual

que describe la trayectoria de dicho movimiento.

La difusin puede considerarse como un fenmeno de desplazamiento que le

ocurre a una sustancia a travs de otra en una sola fase, o como el movimiento de

una o varias sustancias a travs de otras en una o varias fases.

A manera de ejemplo pensemos en la siguiente situacin: a una taza de caf le

han depositado muy suavemente en el fondo dos cubos de azcar. Al cabo de un

tiempo podemos comprobar que si probamos un poco del caf de la superficie

probablemente no percibamos el sabor azucarado.

De otra parte, si logramos tomar un poco del caf que se encuentra contiguo a los

cubos de azcar, inmediatamente notamos un ligero sabor dulce.

Si fuese posible mantener durante varios horas el sistema azcar-caf sin

interferencias externas y volviramos a realizar la misma prueba de la superficie y

del fondo de la taza, lo ms probable ser que en la superficie aun no percibamos

el sabor azucarado, mientras que en el fondo apenas podramos decir que el

sabor dulce, acaso se ha incrementado ligeramente.

Ahora bien, si con una cuchara agitamos el contenido de la taza cinco o seis

veces, podemos comprobar que la mezcla azcar-caf, es completamente

homognea y el sabor dulce se percibir igualmente en cualquier parte de la

mezcla.

En el ejemplo que acabamos de describir ocurren dos fenmenos bien distintos; el

primero se refiere al movimiento espontneo de las molculas de azcar a travs


del caf. Dicho movimiento desde los puntos de mayor concentracin hasta los

puntos de menor concentracin se conoce como Difusin Molecular. Mediante

este proceso, la mezcla caf-azcar conseguir la homogeneidad despus de

mucho tiempo, quizs dure varios das antes de llegar a un estado de perfecto

equilibrio.

El otro fenmeno descrito, por la agitacin del contenido de la taza de caf

mediante el movimiento brusco de la cucharita, es un movimiento de mezcla en el

que grandes porciones del lquido son obligadas a ponerse en contacto ntimo con

otras porciones diferentes en donde se producen remolinos y otros tipos de

movimientos de conveccin bruscos que en trminos generales pueden ser

descritos, por el concepto de Turbulencia.

A la transferencia ocasionada por este fenmeno se le denomina Difusin

Turbulenta. En este segundo caso, la mezcla caf-azcar conseguir la

homogeneidad en pocos segundos.

Aunque la mezcla rpida descrita como Difusin Turbulenta se opone al concepto

de Difusin Molecular, siempre ser esta ltima la responsable de alcanzar la

homogenizacin o uniformidad de la mezcla.

En otras palabras: en toda difusin turbulenta se presenta difusin molecular a

escala microscpica; este fenmeno explica que en cada pequea partcula de

fluido exista una migracin espontnea de los componentes de la mezcla desde

los puntos de mayor concentracin hasta los de menor concentracin.

Leccin 4: Difusin molecular

Adolf Fick, mdico alemn, fue uno de los pioneros en el estudio de la difusin

molecular y estableci diversas relaciones conocidas como Leyes de Fick.

La ms importante de ellas, de donde se derivan muchas ms relaciones, es la

Primera Ley de Fick de la Difusin, que establece que en una solucin de dos o

ms componentes, el flujo molar relativo de cualquiera de los componentes es

directamente proporcional a la rata de cambio de la concentracin molar y al rea

perpendicular a la direccin del flujo molar.

Dado que el flujo molar relativo se presenta en todas las direcciones espaciales, la

expresin matemtica de la Ley de Fick deber relacionarse para cada una de las

direcciones longitudinales especficas.


La ecuacin:

)()(x

CSD

dt

dnA

ABx

A

(1-1)

Representa matemticamente la Primera Ley de Fick en donde:

x

A

dt

dn)( : Flujo molar relativo del componente A en la direccin x, en moles

de A por unidad de tiempo (Moles/ ).

x

CA

: Rata de cambio en la concentracin molar del componente A en la

direccin x, dada en moles de A por volumen, por unidad de longitud (Moles

x L-3 / L, o bien, Moles x L-4).

S Area o superficie perpendicular a la direccin x, en unidades de

superficie (L2).

ABD Constante de proporcionalidad, llamada Coeficiente de Difusin o

Difusividad del componente A en el solvente B, en unidades de longitud al

cuadrado por unidad de tiempo (L2 / ).

NOTA: el signo negativo de la ecuacin 1-1 indica que el flujo molar relativo del

componente A tiene el sentido contrario al del incremento de la concentracin.

En una solucin de varios componentes, cada uno de ellos migrar en forma

espontnea a todos los sitios de menor concentracin; este hecho nos pone de

manifiesto los desplazamientos de todos los componentes en todas las

direcciones hasta alcanzar la uniformidad.

Consideramos que los desplazamientos de todos los componentes pueden

expresarse mediante un desplazamiento neto o promedio; de igual forma podemos

definir la velocidad molar media de un sistema en dilucin como la velocidad

resultante de la suma vectorial ponderada, de las velocidades promedio de cada

uno de los componentes del sistema.

El trmino (dnA / dt )x de la Primera Ley de Fick de la difusin, describe el flujo

molar del componente A referido a la velocidad molar media de todo el sistema, en

la direccin x. De all el nombre de: flujo molar relativo.

Para comprender mejor el fenmeno de difusinl, imaginemos un recipiente que

contenga dos compartimentos separados por un tabique que puede ser retirado


en cualquier momento.

En el primer compartimiento se prepara una solucin lquida que contenga slo

dos componentes: A y B solubles entre s. De igual forma en el segundo

compartimiento se prepara otra solucin con los mismos componentes A y B, pero

de tal forma que la concentracin del componente A sea menor que la del primer

compartimiento.

FIGURA 1

Difusin molecular

Como las soluciones son mezclas binarias (tan slo dos componentes), entonces

se cumple que:

CA1 CA2

CB1 CB2 (1-2)

En donde:

CA1 = Concentracin del componente A en el compartimiento 1, en Moles

de A/Unidad de volumen (Moles/L3).

CA2 = Concentracin del componente A en el compartimiento 2.

CB1 = Concentracin del componente B en el compartimiento 1.

CB2 = Concentracin del componente B en el compartimiento 2.

Al retirar el tabique del recipiente, las dos soluciones se pondrn en contacto en S

(ver figura 1); inmediatamente comenzar un movimiento espontneo de las

molculas del componente A del primero al segundo compartimiento, y de igual


forma, se observar el desplazamiento de molculas del componente B del

segundo compartimento al primero.

Con base en esta experiencia definimos los siguientes conceptos:

VA = Velocidad promedio lineal con que se desplazan las molculas de A a

travs de una superficie de contacto S, perpendicular a la direccin de la

velocidad. La unidades de V A son L / .

VB = Velocidad promedio lineal con que se desplazan las molculas de B a

A a travs de S, en L/ .

NOTA: VA y VB tienen la misma direccin (perpendicular a S) pero sus sentidos son

contrarios.

La velocidad molar media de todo el sistema (VM) se define como:

C

CVCVV BBAA

m

(1-3)

En donde:

VM= Velocidad molar media de todo el sistema en L/O

C = Concentracin molar total en Moles/L3

A su vez la concentracin molar total se calcula mediante la suma de las

concentraciones molares de los componentes:

C= CA + CB (1-4)

La velocidad molar media (VM) tendr la misma direccin que VA y VB

(perpendicular a S); el sentido de VM ser el resultante de la suma vectorial

ponderada de las velocidades de los componentes.

El anterior anlisis puede extrapolarse a una mezcla de muchos componentes. En

este caso A puede considerarse como un componente en solucin y B

representar entonces a los dems componentes.

De igual forma, para las ecuaciones 1-2, 1-3 y 1-4, los trminos sern:


CA = Concentracin del componente A en la mezcla o solucin.

CB = Concentracin de todos los dems componentes sumados.

VA = Velocidad promedio del componente A.

VB = Velocidad promedio resultante de la suma vectorial ponderada de los dems

componentes.

EJEMPLO 1-1

Despus de algn tiempo de haber depositado varios cubos de azcar, en el fondo de una olla metlica cilndrica de 9 centmetros de dimetro y 12 centmetros de altura, llena de caf con leche, se observa que la concentracin de azcar vara segn la altura donde se tome la muestra. Se encontr que la concentracin sigue aproximadamente la ecuacin:

15.0205

1

zCA

, en donde:

z = Altura, medida desde el fondo de la olla, en cm.

CA= Concentracin del azcar en Moles/gramo por litro de solucin

(Moles / litro).

1. Determinar la concentracin de azcar en Moles-gramo, por centmetro cbico (Mol/ cm3) para el fondo de la olla y para intervalos de tres centmetros (3 cm) de altura sobre el fondo de la olla.

2. Determinar el flujo molar relativo en Moles - gramo por segundo con que se difunde el azcar, medido a ocho centmetros del fondo.

NOTA: Por mtodos experimentales se determin que el coeficiente de difusin o

difusividad del azcar en el caf con leche es de:

DAB = 4.8 x 10-6 cm2/s

Solucin:


1. Para encontrar la concentracin de azcar en Moles/cm3, ser necesario

dividir por 1.000 la ecuacin propuesta:

)15.0205

1(

000.1

1

zCA

Desarrollando, tenemos:

z (cm) CA(Moles/cm3)

O 2.00 x 10-4

3 1.79 x 10-4

6 1.70 x 10-4

9 1.65 x 10-4

12 1.62 x 10-4

2. Para determinar el flujo molar relativo, acudimos a la Primera Ley de Fick,

para la direccin z:

(dnA / dt )z = -DAB x S ( CA / z )

, con:

15.0205

)1000/1(

zCA

La derivada parcial con respecto a z es:

2)205(

)5()1000/1(

z

x

dz

dC

z

CAA

, como el rea de difusin es:

S = (9)2 / 4 = 63.62 cm2

Se tiene:

(dnA / dt)z = -4.8 x l0-6 x 63.62 x (1/1000)[-5/(5z +20)2]

Desarrollando para z = 8 cm., tenemos:


(dnA / dt)z = 4.24 x 10-10 (Moles / s)

Leccin 5: Flujo neto molar

Si queremos conocer el flujo molar de los componentes con respecto a un

observador fijo que se encuentra por fuera del sistema de difusin, definimos los

siguientes conceptos:

Sean A y B las densidades de A y B respectivamente, en unidades de masa, por

unidad de volumen (M/L3).

Sean MA y MB los pesos moleculares de A y B respectivamente, en unidades masa

por unidad molar (M/Moles).

Podremos entonces definir los flujos netos molares de los componentes de una

mezcla binaria, a travs de una superficie perpendicular (S), como las relaciones:

A

AA

AM

SvN

y

B

BB

BM

SvN

( 1-5 )

En donde:

NA y NB, son los flujos netos molares de los componentes A y B, con respecto a un

observador fijo. Las unidades de estos flujos netos molares son las mismas que

las del flujo molar relativo: Moles/

Si observamos dimensionalmente a la relacin A /MA, encontramos que tiene las

unidades de la concentracin CA (Moles/ L3). De igual forma podremos decir que

CB = B / MB. De acuerdo con lo anterior, la ecuacin 1- 5 puede transformarse en:

NA = vA CA S y, NB= vB CBS (1 - 6)

Efectuando las transformaciones y reemplazos convenientes a la ecuacin 1-3, de

la velocidad molar media (VM), encontramos que:

NA +NB = vM C S (1 - 7)

Relacionemos ahora los dos conceptos del flujo molar. El flujo neto molar de un

componente con respecto a un observador fijo deber ser el resultado de sumar el

flujo molar relativo (dn/dt), con las moles del componente que se encuentran

desplazndose a la velocidad molar (VM).


En trminos matemticos, la relacin para el componente A, ser la siguiente:

NA = vM CA S + (dnA / dt) (1 - 8)

El trmino VMS puede despejarse de la ecuacin 3-7:

VMS = (NA+ NB)/C

De igual forma, de la ecuacin 1-1, reemplazando la equivalencia de dnA/dt para la

direccin x, tendremos:

NA = (NA+NB) CA / C - DAB S (CA / x) (1- 9)

y

NB = (NA+NB) CB / C - DBA S (CB / x)

Sumando las anteriores relaciones, se puede demostrar que para una

concentracin molar total constante (C = CA + CB = constante), los valores de los

coeficientes de difusin son iguales (DAB = DBA).


CAPITULO 2: CASOS DE DIFUSIN

Introduccin

A continuacin estudiaremos los diferentes tipos de difusin al alcance de las

metas del presente modulo.

Leccin 6: Aspectos generales sobre difusin de estado

En el numeral anterior se estudi el comportamiento de la transferencia de masa

en situaciones relativamente simples. Se vio cules eran las condiciones de

difusin de un lquido en otro liquido, de un gas en otro gas y la difusin en

slidos.

Estos fenmenos de transferencia se refieren a situaciones simples en las que se

tena supuesto que una gran cantidad de condiciones del sistema de difusin

permanecen constantes.

Recordemos el desarrollo de la ecuacin 3-10. Mediante una integracin

matemtica de la primera ley de Fick, llegamos a la definicin del flujo neto molar

de un componente A en otro B, como:

BA

AA

BA

AAAB

BA

A

ANN

N

C

C

NN

N

C

C

x

CSD

NN

NN 12 /ln

Para llegar a esta expresin, se ha supuesto que los flujos netos molares NA y NB

permanecen constantes con el tiempo. De igual forma, la difusividad DAB ,la

concentracin C, el rea S y la distancia de transferencia x, son factores que

permanecen constantes con el tiempo.


De otra parte las concentraciones entre los puntos de transferencia CA1 y CA2 se

han supuesto igualmente constantes con el tiempo.

Lo anterior es en realidad una situacin ideal, ya que es perfectamente lgico

pensar que cuando un fenmeno de difusin comienza a ocurrir las

concentraciones deban variar despus de transcurrido algn tiempo, puesto que lo

que est ocurriendo es una transferencia de masa de un punto a otro punto, y

mientras no exista una fuente que mantenga esa concentracin inicial (CA1) y

algn otro factor externo que haga que permanezca la concentracin final (CA2) lo

que ocurrir ser simplemente que las dos concentraciones tendern a igualarse

hasta llegar a su punto de homogenizacin.

Las anteriores consideraciones debern tambin aplicarse a las difusividades DAB

y las otras condiciones expuestas.

De igual forma podemos referirnos a la aplicacin de las ecuaciones 1-11, 1-1-

14,1-15 y dems ecuaciones que definen el fenmeno de difusin de una

sustancia a travs de otras en condiciones ideales.

Recordemos el ejemplo que describa los dos tipos de transferencia de masa en el

que dos cubos de azcar haban sido depositados suavemente en el fondo de una

taza de caf. Hasta el momento lo que hemos estudiado es el movimiento

espontneo de las molculas de una sustancia a travs de la otra. Este

movimiento que describe la migracin molecular desde los puntos de mayor

concentracin a los de menor concentracin se ha definido con el nombre de

difusin molecular.

El otro proceso en el que intervienen agitacin y desplazamientos mecnicos

bruscos al que se denomina como difusin turbulenta hasta el momento no ha

sido tomado en cuenta.

Con el fin de abordar estos temas que nos acercan a situaciones ms acordes con

los procesos reales en la industria de alimentos, es necesario precisar algunos

conceptos que se vern a continuacin.

Leccin 7: Difusin molecular en lquidos

Para el caso de lquidos en reposo o en flujo laminar, la ecuacin 3-9 describe

convenientemente el fenmeno de la difusin.

Si consideramos como valores constantes a los flujos netos molares (NA y Ns), la


concentracin total (C), las difusividades (DAB Y DBA) y la superficie perpendicular

al flujo (S), la ecuacin 1-9 puede integrarse para la direccin x, dando por

resultado:

BA

AA

BA

AAAB

BA

A

ANN

N

C

C

NN

N

C

C

x

CSD

NN

NN 12 /ln

BA

BB

BA

BBAB

BA

B

BNN

N

C

C

NN

N

C

C

x

CSD

NN

NN 12 /ln (1-10)

En donde CA1 y CA2 son las concentraciones inicial y final del componente A a

travs de recorrido x. De igual forma para CB1 y CB2

Las relaciones CA /C y CB /C corresponden a las fracciones molares de los compo-

nentes A y B respectivamente. Para el caso de lquidos, se acostumbra

representar las fracciones molares con la letra x.

CA1 / C = XA1 CA2 /C = XA2

CB1 /C = XB1 CB2 /C = XB2

La ecuacin 1-10 fue desarrollada para concentracin total constante. Sin

embargo, en muchas mezclas o soluciones liquidas el valor de la concentracin

total (C) es variable.

Cuando este fenmeno sucede es preferible utilizar un valor promedio de la

concentracin total. Recordemos que la concentracin puede expresarse como C

= /M (densidad sobre peso molecular).

Con las anteriores consideraciones, la ecuacin 1-10 puede ser escrita, para una direccin cualquiera, z, as:

BA

A

A

BA

A

A

AB

BA

A

ANN

NX

NN

NXpromM

z

SD

NN

NN

12/ln/

BA

B

B

BA

B

B

AB

BA

B

BNN

N

XNN

NXpromM

z

SD

NN

NN

12/ln/

(1-11)

En donde:


( /M)prom : Concentracin molar total promedio en Moles/L3

z: Distancia o longitud de transferencia, en L.

EJEMPLO 1- 2

En una fbrica de grasas y aceites se estn efectuando ensayos de laboratorio

sobre la velocidad de difusin del glicerol en solucin en diferentes mezclas de

cidos grasos. Durante el ensayo se coloc una pelcula de medio centmetro de

espesor de una mezcla estable de cidos grasos de igual composicin a la del

solvente del glicerol y despus de cierto tiempo, se midieron las concentraciones a

lado y lado de la pelcula; se encontr que el glicerol tena una concentracin del

15.5% en peso por debajo de la pelcula y de 4.8% por encima.

Utilizando los datos que a continuacin se suministran, determinar:

1. Flujo molar neto del glicerol a travs de la pelcula.

2. Flujo molar neto de la mezcla estable de cidos grasos en el glicerol

3. Velocidad molar media.

Se suministran los siguientes datos para A: glicerol y B: mezcla estable de cidos

grasos:

NA / NA +NB = 1,0018

DAB = 1,83 X 10-5 cm2 /seg

Glicerol (4.8%) = 0,868 gr / cm3 = 2

MA = 92,09

Glicerol ( 15,5%) = 0,912 gr / cm3 = 1

MB = 279,43

Mezcla cidos grasos = 0,848 gr/cm3

Superficie de intercambio : S = 16 cm2

Solucin :


1. Para averiguar el flujo molar neto (N), aplicamos la ecuacin 1-11

BA

A

A

BA

A

A

AB

BA

A

ANN

NX

NN

NXpromM

z

SD

NN

NN

12/ln/

NA / NA , DAB , S y z son conocidos

Ser necesario calcular XA1 XA2 y (/M)prom

Para encontrar las fracciones molares, tendremos que recurrir a los porcentajes en

peso y los pesos moleculares:

moles de glicerol en solucin al 15.5%

XA1 = ----------------------------------------------------- entonces:

moles totales al 15.5%

0,155/92,09 1,6831 x 10-3

XA1 = ---------------------------------------------= ------------------------ = 0,3576

0,155/92,09 +(1 0,155) / 279.43 4,7071 x 10-3

moles de glicerol en solucin al 4.8%

XA2 = --------------------------------------------------- , entonces:

moles totales al 4.8%

0,048/92,09 5,2123 x 10-4

XA2 = ------------------------------------------ = ---------------------- = 0,1327

0,048/92,09 +(1 0,048) / 279,43 3,9282 x 10-3

Por su parte, el peso molecular de la solucin al 15.5% y al 4.8% puede ser


evaluado como el inverso de los denominadores de las relaciones matemticas

XA1 y XA2, respectivamente.

1 g

M1 = ------------------------------ = 212,44 ---------

4,707 x 10-3 Mol g

1 g

M2 = ------------------------------ = 254,57 ----------------

3,9282 x 10-3 Mol g

0,912 Mol g

C1 = (1 / M1) = ------------------ = 4,2930 x 10-3 ------------

212,44 cm3

0,868 Mol g

C2= (2 / M2) = ----------------------- = 3,4097 x 10-3 ------------

254,57 cm3

(4,2930 + 3,4097) x 10-3 Mol g

( / M)prom = -------------------------------- = 3,8513 x 10-3 ---------

2 cm3

Aplicando la frmula

BA

A

A

BA

A

A

AB

BA

A

ANN

NX

NN

NXpromM

z

SD

NN

NN

12/ln/

Tenemos


l.83 x 10-5 x 16

NA = 1,0018 ------------------- 3,8513 x l0-3 x ln [ ( 0,1327 1,0018) / ( 0,3576 1,0018 ) ]

0,5

NA = 6,77 x 10-7 Mol g/s

2. Flujo molar neto de la mezcla estable de cidos grasos en glicerol

NB = -0,0018 / 1.0018 NA; entonces:

NB = -1,22 x 10-9 Mol g/s

3. La velocidad molar media puede calcularse mediante la ecuacin 7.

NA +NB = vM C S

En donde

C = ( / M)prom despejando tenemos:

NA +NB

vM = -----------------

( / M)prom S

6,77x 10-7 + 1,22x 10-9

VM= ----------------------------- = 1,1 x l0-5 (cm/s)

3,8513 x 10-3 x 16

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Efecte un anlisis dimensional de los clculos de XA1 y XA2, y verifique la bondad

del procedimiento realizado.

Encuentre cules son las unidades del numerador y denominador indepen-


dientemente.

Comente los resultados con sus compaeros. Si tiene alguna duda, consulte con

el tutor.

Leccin 8: Difusin molecular en gases

Para gases ideales se cumple la siguiente relacin:

P

P

C

CY AA

A 1-12

, en donde:

YA= Fraccin molar del gas componente A en la mezcla total de gases, en Moles

de A / Moles totales.

CA= Concentracin molar del componente gaseoso A, en Moles de A /L3

C= Concentracin molar total de todos los componentes gaseosos, en Moles

totales/L3

PA= Presin parcial del gas A, en unidades de presin.

P= Presin total de la mezcla de gases, en unidades de presin.

Cuando dos o ms gases se encuentran mezclados se cumple la ley de difusin que tiende a llevar la mezcla a su estado estable de homogeneidad. Esto implica que las molculas de cada uno de los componentes se desplazarn difusionalmente desde los puntos de mayor concentracin a los de menor concentracin.

A diferencia de la difusin en lquidos, la concentracin total de los gases

mezclados se mantiene constante. Esta a su vez, puede ser expresada en funcin

de otras variables, tales como presin y temperatura.

Recordemos la ley de los gases ideales:

PV = n RT

La concentracin total de una mezcla de gases est dada por el nmero total de

Moles (n) por unidad de volumen (V). De tal manera que si despejamos la relacin


(n/V) de la ley de los gases ideales, encontramos la concentracin total (C), en

funcin de las otras variables:

RT

P

V

nC 1-13

En donde:

C = Concentracin total, en Moles/L3

n = Nmero de moles totales.

V = Volumen total, en L3

P = Presin en unidades de presin.

T = Temperatura, en grados absolutos.

R = Constante universal, en unidades consistentes.

Con la anterior consideracin, la ecuacin 10, puede transformarse, para el caso

de gases ideales, en la siguiente relacin:

NA DAB . P . S

NA = ------------ ---------------- ln [ ( YA2 - NA / ( NA + NB)) / (YA1 - NA / (NA + NB)] (1-14)

NA + NB x RT

En donde:

YA1 = Fraccin molar del componente A en el punto de mayor concentracin

YA2= Fraccin molar del componente A en el punto de menor concentracin.

La anterior ecuacin puede transformarse en trminos de presiones parciales, as:


NA DAB . P . S

NA = ------------ -------------- ln [ ( PA2 -P NA / ( NA + NB)) / (PA1 -P NA / (NA + NB)] (1-15)

NA + NB x RT

En donde:

PA1: Presin parcial del componente A en el punto donde comienza la difusin.

PA2: Presin parcial del componente A en el punto donde termina la difusin.

P: Presin total del sistema.

Los valores de los coeficientes de difusin se determinan experimentalmente. En la tabla 11 al final de este captulo se encuentran algunos valores de dichos coeficientes para mezclas binarias de varios gases, extractados de The Chemical Engineers~ Handbook Perry & Ass..

EJEMPLO 1-3

Calcular el tiempo que tardan en difundirse 5 miligramos de amoniaco en el aire

que se encuentran en el interior de un tubo de 2 pulgadas de dimetro interno.

Los puntos de muestreo estn separados 12 centmetros medidos longitudi-

nalmente a travs del tubo.

Se encontraron los siguientes datos:

P= 1,617 atmsferas

(PNH3)1 =0,423 atmsferas

(PNH3)2 =0,1 07 atmsferas

T= 0OC

R= 82,06 cm3 atm / Mol g K

NOTA: Suponga que el aire no se difunde en el amoniaco.

SOLUCION: Utilicemos la ecuacin 1-15:


NA NA

----------- = ------- = 1 dado que el aire (B) no se difunde

NA + NB NA

La ecuacin queda reducida a:

PPPPxRT

PSDN

AA

AB

A

!2/ln

En donde:

DAB = 0,198 cm2/s (de la tabla 11)

P = 1,6l7 atm

PA1 = 0,423 atm

PA2 = 0.107 atm

x = 12 cm

T= 273 K

R = 82,06 cm3 atm/Mol gK

2

S = ------------- pero D = 2 puIg. x 2,54 cm/puIg. = 5,08 cm

4

Entonces S = 20,27 cm2


617,1423,0/617,1107,0ln27306,8212

27,20617,1198,0

xx

xxN

A

NA = 5,6683 X 10-6 Moles-gramo / s

El nmero de moles de amoniaco que existen en 5 miligramos es:

grMolxNA

9360,2109360,203,17

005,0 41

El tiempo que tardar la difusin ser: NA1 / NA1

2,9360 x 10-4

t= ----------------------------- =51,8 segundos

5,6683 x 10-6

Cuando no sea posible disponer de un dato experimental del coeficiente de difu-

sividad, este puede ser calculado mediante algunas relaciones de ecuaciones

empricas, tales como la ecuacin de Hirschfelder-Bird-Spotz:

W T3/2 (1/MA + 1/MB ) 1/2

DAB = ------------------------------------------

P (rAB )2 FC

Siendo:

W = (1,0 2,46 (1/MA + 1/MB ) 1/2 x104 (1-17)

En donde:

DAB = Coeficiente de difusin emprico

T = Temperatura absoluta en 0 Kelvin


MA y MB = Pesos moleculares de los gases A y B

P = Presin absoluta en atmsferas

rAB = Separacin molecular en el momento de la colisin de una

molcula de gas A con otra del B, expresada en , Angstroms.

FC = Fuerza de colisin que depende de la relacin kT / AB, en donde

K = Constante de Boltzman = 1,38 x 10-6 ergios / K

AB = Energa de interaccin molecular, en ergios

los valores de rAB y AB pueden calcularse mediante las relaciones:

(ro)A + (ro)B AB

rAB = ----------------- -------- = [ (A / k) (B / k)] 1/2 (1-18)

2 k

(a) (b)

En donde:

(ro)A + (ro)B = Dimetros de colisin de las molculas de los gases Ay B respec-

tivamente, expresados en (angstroms)

(A / k) y (B / k) = Constante de fuerza de los gases A y B, en 0K

Los valores de los dimetros de colisin (r0) y las constantes de fuerza ( / k) se

han encontrado experimentalmente para algunos gases y pueden extractarse de la

tabla 13, al final del presente captulo.

Para gases, cuyos valores de r0 no se encuentren tabulados, podrn calcularse

mediante la relacin emprica:

r0 = 1,18 Vo1/3 (1-19)

En donde:


r0 = Dimetro de colisin, en

Vo= Volumen molar del gas en el punto de ebullicin normal, expresado en

cm3/Mol-g. Para algunos gases estos valores se encuentran en la tabla 14.

El valor de Vo, puede calcularse tambin mediante la relacin:

M

Vo= -------------- (1-20)

o

En donde:

M= Peso molecular del gas, en gr/Mol-g

o= Densidad del gas en el punto de ebullicin normal, en g/cm3

El valor del volumen molar del gas puede tambin ser calculado como la suma de

los volmenes atmicos componentes de la molcula gaseosa. Los valores de los

volmenes atmicos se encuentran en la tabla 15, al final del captulo.

EJEMPLO 1-4

Calcular el dimetro de colisin (r0) y la densidad en el punto de ebullicin normal

(o) del lsobutano.

Solucin: La ecuacin 1-19 nos dice que r0= 1,18 Vo1/3

M

De la ecuacin 1-20 despejamos o = ---------

Vo

El valor de Vo puede calcularse a partir de los valores de los volmenes atmicos

de la tabla 14.


lsobutano: C4H10

Vol. atmico C = 14,8 cm3/Atom g

Vol. atmico H = 3,7 cm3/Atom g

Vo = 4 x 14,8 + 10 x 3,7 = 96,2 cm3/Mol g

El peso molecular M se consigue sumando los pesos atmicos extractados de una

Tabla Peridica.

M = 4 x 12,011 + 10 x 1,008 = 58,12g/Mol g

Entonces: r0 = 1,18 x (96,2)1/3 = 5,4068

58,12

o = -------------- = 0,6042 g/cm3

96,2

El valor de la constante de fuerza ( / k), puede tambin calcularse mediante

relaciones empricas:

cT

k077,0

eT

k15,1

fT

k92,1

(1-21)

(a) (b) (c) En donde: Tc = Temperatura crtica, en K

Te = Punto normal de ebullicin, en K

Tf = Punto de fusin, en K

NOTA: si se dispone de las tres temperaturas, es conveniente calcular los tres

valores de / k y obtener un valor promedio (ver tabla 17).


ADVERTENCIA:

En el clculo de problemas es siempre preferible tomar datos experimentales en

vez de utilizar frmulas empricas. Estas se utilizarn solamente cuando no exista

otra alternativa.

El valor de la funcin de colisin (Fc) que se utiliza en la ecuacin 1-16, puede

tomarse de los datos experimentales desarrollados por Hirschfelder, BRD y Spotz

que se encuentran en la tabla 16.

EJEMPLO 1-5

Calcular el coeficiente de difusin, o difusividad del diflor-diclorometano en Etano,

a 35 0C y 560 mm de Hg.

Solucin: En la tabla 12 nos damos cuenta que no existe un valor experimental

tabulado; debemos entonces recurrir a la ecuacin de Hirschfelder-Bird-Soptz.

T = 273.16 + 35 = 308.16 K

560

P = ------------- = 0.7368Atm 760

Con los pesos dados en la tabla peridica evaluamos los pesos moleculares:

Gas A: Diflordiclorometano: F2CCl2

Gas B: Etano: C2H6

Pesos atmicos:

F = 19.00

C =12.011

CI = 35.453

H = 1.008


Entonces:

MA = 120.92

MB = 30.07

Clculo de rAB

De la tabla 15 extractamos los volmenes atmicos para el gas A:

(Vo)A = 2 x 8.7 + 14.8 + 2 x 21.6 = 75.4 cm3/Mol g

Aplicando la ecuacin 19: r0= 1.18 Vo1/3

(ro)A = 1.18 x (75.4)1/3 = 4.985

De la tabla 13: (r0)B = 4.418

Aplicando la ecuacin 18 (a):

0

7015,42

418,4985,4Ar

AB

Clculo de la AB / k:

Para el diflordiclorometano, tenemos:

De la tabla 17: Te = 273,16 - 29,2 = 243,96 K

Tf = 273,16 - 155 = 118,16 K

Aplicando la ecuacin 21 y promediando, tenemos:

A / k = (1,15 x 243,96 +1,92 x 118,16) / 2 = 253,71 K

De la tabla 13:

B / k =230 K

Aplicando la ecuacin 18 (b):

AB / k = (253,71 x 230) 1/2 =241,56 K

Entonces


kT / AB = 308.16 / 241 .56 = 1.2757

De la grfica 80, leemos:

Fc = 0.65

Para el clculo de la difusividad (DAB), aplicamos las ecuaciones 1-16 y 1-17:

(1 / MA + 1 /MB)1/2 = (1 / 120.92 + 1 / 30.07) 1/2 = 0,2038

W = (1.0 - 2.46 x 0.2038) x10-4 = 4.987 x 10-5

4.987 x 10-5 x (308.16)3/2 x 0.2038

DAB = --------------------------------------------------------

0.7368 x (4.7015)2 x 0.65

Entonces: DAB = 5.19 x 10-3 cm2/s

Leccin 9: Difusin en slidos

El estudio de la difusin en slidos, es bastante complejo puesto que se presentan

mltiples situaciones y sera imposible tratar de abarcarlas todas.

Existen dos comportamientos ideales en la difusin en slidos: el primero de ellos

se refiere al fenmeno que describe a una sustancia que se difunde a travs de un

slido, formando una perfecta solucin entre la sustancia que se difunde y el

slido.

El segundo tipo de comportamiento ideal, se presenta en slidos porosos en

donde la difusin acta sobre los intersticios y canales internos sin afectar la

composicin misma del slido.

Se han desarrollado diversas relaciones matemticas para describir los dos

comportamientos ideales descritos anteriormente; sin embargo, en la gran mayora

de los casos reales de la industria de alimentos, las situaciones que se presentan,


describen comportamientos mixtos en donde parte de la sustancia que se difunde,

se localiza en el slido, y otra parte migra a travs de la porosidad propia de los

slidos.

Encontrar relaciones matemticas que describan plenamente estos fenmenos

resulta ser una tarea cuyos resultados son muy difciles de obtener. No obstante la

aplicacin de las leyes de Fick de la difusin, con algunas consideraciones y

adecuaciones, puede llegar a una buena aproximacin en la descripcin real de

los fenmenos difusionales en slidos.

Consideremos el caso del proceso de secado de los quesos. El agua es uno de

los constituyentes propios de la leche y por consiguiente del queso. En el proceso

de secado, el suero (agua con constituyente), migra desde el interior del queso

hasta la superficie, atravesando espacios vacos (porosidades) y difundindose

tambin a travs de la parte slida, mostrando de esta forma un comportamiento

mixto. El agua se difunde desde la superficie del queso al aire, mediante un

proceso de evaporacin y el queso comenzar a mostrar cada vez una

consistencia ms slida y con menor cantidad de humedad.

Este proceso de evaporacin permitir un gradiente de concentracin del agua

que facilitar la difusin de este compuesto, del interior del queso a la superficie.

La aplicacin de relaciones matemticas nos lleva a la aplicacin de la primera ley

de Fick (ecuacin 1-1) en el que ya no diferenciaremos el flujo molar relativo

(dnA/dt) con el flujo neto molar (NA), puesto que en este caso ya no encontraremos

relaciones de difusin de un componente frente a otros, sino que se estudiar la

difusin de cada uno de los componentes que se difunden con respecto a un

slido inmvil.

La expresin general de difusin en slidos para una direccin cualquiera, x, es:

NA = - DAB S ( CA / x) (1-32)

Si los trminos NA DAB y S son constantes, la ecuacin 3-32 podr integrarse para

dar por resultado una relacin similar a la ecuacin 3-29:

NA= DAB S (CA1 / CA2) / x (1-33)

En donde:

NA = Flujo molar de la sustancia A que se difunde a travs de un slido B, en

Moles/

DAB = Difusividad del componente A a travs del slido B en L2/ t

CA1 = Concentracin molar del componente A medida en el punto donde comienza


la difusin, en Moles/L3

CA2 = Concentracin molar del componente A medida en el punto donde termina

la difusin, en Moles/L3

S = Superficie perpendicular a la difusin de A, en L2.

x= Distancia, o longitud de difusin, en L.

A diferencia de los casos estudiados de difusin en fluidos, la difusin en slidos

presenta gran dificultad en determinar los coeficientes de difusin, o difusividades

(DAB) dada la completa heterogeneidad de las situaciones que se pueden dar.

En las industrias de alimentos que requieran de estudios sobre difusin en slidos,

usualmente se recurre al mtodo experimental para determinar valores de

difusividad especficos para cada caso, dependiendo de calidades de materia

prima y caractersticas del producto terminado.

EJEMPLO 1- 7

En una fbrica de quesos se desea determinar el tiempo de secado a que se

deben someter unos bloques cuadrados de queso de 18 cms. de lado, si se

desean retirar 150 gramos de agua de cada bloque.

Se puede considerar que durante el proceso de secado, se mantiene constante la

diferencia de concentraciones del agua entre el centro y la superficie del queso, en

un valor de 1.6 Mol g/ft.

Mediante experiencias previas de laboratorio se determin que la difusividad en

sentido horizontal es de:

(DAB) x = (DAB) y = 4.56 x 10-3 cm2/s

, mientras que la difusividad en sentido vertical es de:

(DAB) z = 3.96 x 10-3 cm2/s

El proceso de evaporacin y, por consiguiente el de difusin, se presenta por las

cinco caras del bloque que estn expuestas al aire; la cara inferior est en

contacto con la superficie de la mesa y por consiguiente, no ocurre evaporacin


por esa cara.

Solucion: El proceso de difusin acta en las direcciones x, y, z. Por lo tanto, la

ecuacin 3-33 deber aplicarse tantas veces, como caras o superficies de difusin

existan:

NA = (NA)x + (NA)y + (NA)z

(NA)x = 2 (DAB)x Sx (CA1 - CA2) / x

(NA)y = 2 (DAB)y Sy (CA1 - CA2) / y

(NA)z = 2 (DAB)z Sz (CA1 - CA2) / z

En donde:

(DAB)x = (DAB)y = 4.56 x 10-3 cm2/s

(DAB)Z = 3.96 x 10-3 cm2/s

Sx= Sy = Sz = 18 x 18 = 324 cm2

(CA1 - CA2) = 1.6 ( Mol g / litro) x ( 1 / 1000 ) (litro / cm3) = 1.6 x 10-3 mol g / cm3

18

x = y = z = --------- = 9 cm

2

teniendo presente cuatro caras verticales ( 2 en x y 2 en y ) y dos caras

horizontales:

segcmxxxcm

cmrmoxxcmN

A

23

332

1096,3256,449

/lg106,1324

NA = 1 .5068 x 10-3 Mol g / s

Se requieren eliminar 150 / 18 = 8.3333 Mol g de agua. Entonces


el tiempo de secado ser:

8.3333

t = ------------------- = 5.528 seg ======= 1 h 32 m 8 s

1.5068 x 10-3

Leccin 10: Casos especiales de difusin en fluidos

En el ejemplo No. 3 se present un clculo de difusin del amonaco en el aire,

que no se difunde y nos dimos cuenta que el clculo se simplificaba bastante.

Consideremos dos casos especiales de difusin en fluidos sobre mezclas o solu-

ciones binarias (de dos componentes):

El primero de los casos es el de un fluido que se difunde en otro que no lo hace.

En este caso la relacin NA / (NA+NB) se convierte en uno (1), puesto que el valor

de NB sera de (0) cero.

De lo anterior se deduce que para los lquidos las ecuaciones 10 y 11 quedan

reducidas a las siguientes: flujo molar en mezcla binario de los lquidos, cuando

uno de ellos no se difunde:

- Para concentracin molar total constante:

!2

/lnAA

AB

ACCCC

x

CSDN

(1-22)

- Para concentracin molar total variable:

!2

1/1ln/AAprom

AB

AxxM

z

SDN

(1- 23)


NOTA: Las variables z y x que aparecen en las anteriores ecuaciones son

trminos equivalentes y tan slo indican una longitud de transferencia en una

direccin especfica (x z).

Para el caso de una mezcla binaria de gases, en el que tan slo uno de ellos se

difunde, las ecuaciones 1-14 y 1-15 se convierten en las siguientes:

- En funcin de las fracciones molares:

!2

1/1lnAA

AB

Avv

xRT

PSDN

(1-24)

- En funcin de las presiones parciales:

!2

/lnAA

AB

APPPP

xRT

PSDN

(1-25)

El segundo caso especial es el de mezclas binarias con difusin equimolar.

Cuando esta situacin se presenta, los flujos netos molares tienen la magnitud,

pero sentido contrario; segn lo anterior:

NB = NA y por consiguiente, el trmino:

NA / (NA + NB) se torna indeterminado

Las ecuaciones 10, 11, 14 y 15 no podrn aplicarse y tendremos que recurrir a la

relacin que dio origen a las anteriores ecuaciones.

Recordemos que la ecuacin 9 nos defina el flujo neto molar de una mezcla

binaria as:

NA= (NA + NB) CA / C - DAB S ( CA / x )


En el caso de difusin equimolar, el primer trmino de la relacin anterior

desaparece, y por lo tanto, el flujo neto molar NA se hace igual al flujo molar

relativo (dnA/dt)X, definido por la primera ley de Fick en la ecuacin 1.

Tendremos entonces que:

NA= DAB S ( CA / x) (1-26)

En donde: NA = Flujo neto molar en difusin equimolar

DAB = Difusividad del componente A en B

S = Superficie perpendicular a la direccin del flujo

( CA / x) = Razn de cambio de la concentracin molar del componente A en la

direccin x.

Si consideramos nicamente la direccin x, la derivada parcial se convierte en

derivada corriente. Separando variables, tenemos:

2

1

2

1

CA

CA A

x

xAdCdxN (1-27)

Integrando la anterior ecuacin, obtenemos el siguiente resultado:

NA (x2 - x1) = - DAB S (CA2 - CA1) (1-28)

Si definimos a x = x2 - x1, la ecuacin anterior se transforma en:

NA = DAB S / x (CA1 - CA2) (1-29)

Esta ltima ecuacin es aplicable a mezclas binarias de lquidos, con difusin

equimolar.

Para adecuar esta ltima ecuacin al caso de mezclas binarias de gases,

recordemos las ecuaciones 1- 12 y 1-13:

A

AA yP

P

C

C

RT

P

V

nC

Efectuando las transformaciones pertinentes, llegamos a las siguientes


expresiones:

- En funcin de las fracciones molares:

21 AA

AB

AYY

xRT

PSDN

(1-30)

- En funcin de las presiones parciales:

21 AA

AB

APP

xRT

SDN

(1-31)

EJEMPLO 1- 6

En un ducto de seccin cuadrada de 45 cm de lado y 90 cm de largo cuyos

extremos sellados se han introducido 112,280 g de monxido de carbono (CO) Y

131,857 g de oxgeno (02) a presin atmosfrica y 00C.

Determinar a qu distancia a lo largo del ducto se encuentran dos puntos de

muestreo que presentan fracciones molares del monxido de carbono de 0.65 y

0.46 respectivamente, si se sabe que el flujo neto molar del CO y deI 02 entre los

dos puntos de muestreo es de 6.35 x 10-4 Moles g/s

Solucin: Por tratarse de una mezcla binaria de gases con difusin equimolar

podremos aplicar la ecuacin 1-30.

DAB S P

NA = (YA1 - YA2)

RTx

En donde:


NA= 6.35 x 10-4 Moles g/s

DAB= 0.185 cm2/s (de la tabla 11)

P= 1 atm

S= 45 x 45 = 2.025 cm2

R= 82.06 cm3 atm/Mol g K

T= 273.16 K

YA1 = = 0.65

YA2 = 0.46

x = Incgnita

Despejando x tendremos:

DAB S P

x = (YA1 - YA2)

RTNA

0.185 x 1 x 2.025

Ax = ------------------------------------------ (0.65 - 0.46) = 5 cm

6.35 x 10-4 x 82.06 x 273.16


CAPITULO 3: COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA

Introduccin

Leccin 11: Generalidades sobre coeficientes de transferencia de masa

En el numeral anterior se estudi el comportamiento de la transferencia de masa

en situaciones relativamente simples. Se vio cules eran las condiciones de

difusin de un liquido en otro liquido, de un gas en otro gas y la difusin en slidos.

Estos fenmenos de transferencia se refieren a situaciones simples en las que se

tenia supuesto que una gran cantidad de condiciones del sistema de difusin

permanecen constantes.

Recordemos el desarrollo de la ecuacin 3-10. Mediante una integracin

matemtica de la primera ley de Fick, llegamos a la definicin del flujo neto molar

de un componente A en otro B, como:

BA

AA

BA

AAAB

BA

A

ANN

N

C

C

NN

N

C

C

x

CSD

NN

NN 12 /ln

Para llegar a esta expresin, se ha supuesto que los flujos netos molares NA y NB

permanecen constantes con el tiempo. De igual forma, la difusividad DAB, la

concentracin C, el rea S y la distancia de transferencia x, son factores que

permanecen constantes con el tiempo.

De otra parte las concentraciones entre los puntos de transferencia CA1 y CA2 se

han supuesto igualmente constantes con el tiempo.

Lo anterior es en realidad una situacin ideal, ya que es perfectamente lgico

pensar que cuando un fenmeno de difusin comienza a ocurrir las

concentraciones deban variar despus de transcurrido algn tiempo, puesto que lo

que est ocurriendo es una transferencia de masa de un punto a otro punto, y


mientras no exista una fuente que mantenga esa concentracin inicial (CA1) y

algn otro factor externo que haga que permanezca la concentracin final (CA2) lo

que ocurrir ser simplemente que las dos concentraciones tendern a igualarse

hasta llegar a su punto de homogenizacin.

Las anteriores consideraciones debern tambin aplicarse a las difusividades DAB

y las otras condiciones expuestas.

De igual forma podemos referirnos a la aplicacin de las ecuaciones 1-11, 1-1-

14,1-15 y dems ecuaciones que definen el fenmeno de difusin de una

sustancia a travs de otras en condiciones ideales.

Recordemos el ejemplo que describa los dos tipos de transferencia de masa en el

que dos cubos de azcar haban sido depositados suavemente en el fondo de una

taza de caf. Hasta el momento lo que hemos estudiado es el movimiento

espontneo de las molculas de una sustancia a travs de la otra. Este

movimiento que describe la migracin molecular desde los puntos de mayor

concentracin a los de menor concentracin se ha definido con el nombre de

difusin molecular.

El otro proceso en el que intervienen agitacin y desplazamientos mecnicos

bruscos denominado como difusin turbulenta hasta el momento no ha sido

tomado en cuenta.

Con el fin de abordar estos temas que nos acercan a situaciones ms acordes con

los procesos reales en la industria de alimentos, es necesario precisar algunos

conceptos que se vern a continuacin.

Leccin 12: Transferencia en zona turbulenta

En el estudio de fluidos se puede comprobar que las zonas donde existe una

plena turbulencia, la composicin del fluido es completamente homognea. Es

decir: no se presentan gradientes de concentracin entre dos o ms puntos

diferentes de la zona turbulenta.

De igual forma podemos afirmar que en las zonas de los gases en donde

prevalece la turbulencia, no existen diferencias en las presiones parciales de los

componentes y, por consiguiente, las fracciones molares tambin permanecen

constantes.

Sin embargo, las zonas de turbulencia de los fluidos tienden a amortiguarse


cuando se aproximan a las paredes del recipiente que los confina o cuando se

aproximan a una superficie de contacto con otra sustancia que se encuentra en

otra fase.

Observemos, por ejemplo, lo que sucede cuando una corriente de aire se

desplaza por encima de una superficie de agua (ej: una laguna). Se puede

comprobar que el aire que est en contacto con el agua prcticamente est en

reposo. Unas micras por encima de la superficie del agua puede percibirse un flujo

laminar muy lento que aumenta rpidamente en la medida en que nos alejamos de

la superficie pasando por una zona de transicin y llegando finalmente a la zona

de turbulencia.

El fenmeno que nos interesa observar ahora es la transferencia de masa desde

la superficie del agua hasta la zona turbulenta del aire. Dependiendo de las

condiciones de humedad del aire, temperatura y presin atmosfrica reinante,

comenzar a evaporarse el agua presentndose la transferencia de masa a travs

de la zona de flujo laminar hasta la zona de turbulencia.

El movimiento migratorio de las molculas de agua cuando se desprenden de la

superficie y entran en la zona de flujo laminar, puede describirse como un

fenmeno de difusin molecular y sera vlido aplicar las ecuaciones de

transferencia ya estudiadas. Sin embargo, la descripcin del movimiento molecular

en la zona de transicin y en la zona turbulenta presenta caractersticas muy

diferentes, de tal forma que la difusividad (DAB), la concentracin total (C) y la

direccin de transferencia estn cambiando permanentemente.

Para una situacin como la descrita ser necesario redefinir las ecuaciones de

transferencia teniendo en cuenta las nuevas alteraciones.

Leccin 13: Coeficientes locales

La primera aproximacin que puede hacerse frente a fenmenos cambiantes de

concentracin, difusividad y direccin en los procesos de transferencia de masa,

es redefinir los anteriores trminos en uno nuevo que los agrupe.

As, para la ecuacin general de transferencia en una mezcla binaria definimos la

relacin:

DAB C / x = F

como un coeficiente local de transferencia, cuyas unidades sern Moles/L2.


De esta forma la ecuacin 1-10 quedara transformada en:

BA

AA

BA

AA

BA

A

ANN

N

C

C

NN

N

C

CFS

NN

NN 12 /ln (1-34)

En donde:

NA= Flujo molar en la superficie interf acial

F= Coeficiente local de transferencia de masa

CA1 y CA2= Concentraciones del componente A al comienzo y final de la

trayectoria de transferencia

NOTA: para utilizar esta frmula, necesariamente alguno de los dos trminos de la

concentracin del componente A (CA1 o CA2) deber estar medido en la superficie

interfsica.

El valor del coeficinte local de transferencia de masa (F), depender de dnde se

defina el punto terminal de la transferencia y de las dems circunstancias

reinantes en el sistema de transferencia.

Al igual que en los casos estudiados en la numeral 1.2 del presente captulo, el

valor de la relacin NA / (NA + NB ) deber determinarse por mtodos no

difusionales, bien sean experimentales o tericos.

En la aplicacin prctica de la ecuacin 1-34, la relacin CA/C se reemplaza por la

fraccin molar XA para lquidos y yA para gases. De esta forma tendremos:

Flujo molar en la superficie interfsica para lquidos:

BA

A

A

BA

A

A

BA

A

ANN

NX

NN

NXFS

NN

NN

12/ln (1-35)

Flujo molar en la superficie interfsica para gases y vapores:

BA

A

A

BA

A

A

BA

A

ANN

NY

NN

NYFS

NN

NN

12/ln (1-36)


EJEMPLO No. 1-8

Determinar el coeficiente local de transferencia de masa F en libras mol / hora

pie2, para el agua que contiene un jugo de mora, la cual se evapora al contacto

con una corriente de CO2; se conocen los siguientes datos:

La evaporacin del agua, por hora sobre la atmsfera de CO2 es de 7.56 x 10-4

libras por pie2, de superficie.

La presin parcial del agua en la superficie es de 0.018 atm y a 5 pulgadas de

altura es de 0.012 atm.

La presin total del sistema es de 1.12 atm.

La relacin de flujos molares entre el vapor de agua y el CO2 es de NA /(NA + NB) =

1.00067

Peso molecular del vapor de agua MA=18 lb/lb mol

Peso molecular del CO2 MB = 44 lb/lb mol

Solucin: Deberemos aplicar la ecuacin 1-36:

BA

A

A

BA

A

A

BA

A

ANN

NY

NN

NYFS

NN

NN

12/ln

En donde:

NA / NA + NB = 1.00067

S = 1.0 pie2 (base de clculo)

yA1 = PA1 / P = 0.018 / 1.12 = 0.01617

yA2 = PA2 / P = 0.012 / 1.12 = 0.0107

NA = 7.56 x 10-4 (lb/h) x 1 /18 (lb mol / lb) = 4.2 x 10-5 (lb mol / h)

Despejando F de la ecuacin 1-36, tenemos:


4.2 x 10-5

F = -----------------------------------------------------------------------------------------

1.00067 x 1.0 x ln [[0.01 071 - 1.00067 / 0.01 607- 1.00067]

F = 7.73 x 10-3 lb mol / hpie2

Leccin 14: Coeficientes especficos

Con el fin de facilitar los regmenes de transferencia de masa se han llegado a

plantear ecuaciones mucho ms sencillas en las que intervienen un coeficiente

especfico de transferencia de masa, el rea de transferencia y la diferencia de

condiciones especficas en el punto inicial y final de dicha transferencia.

Se plantean entonces las ecuaciones para cada caso especfico:

- Transferencia de A a travs de B que no se difunde Para lquidos:

NA= KL S (CA1 - CA2) = K x S (xA1 - xA2) (1-37)

En donde:

NA = Flujo molar en superficie interfsica en Moles/

KL = Coeficientes especficos en funcin de concentraciones en Moles

transferidos/ t x rea x unidades de concentracin

S = Superficie interfsica, en L2

CA = Concentracin del componente A en Moles/L3

Kx = Coeficiente especfico en funcin de fracciones molares, lquidos, en moles

transferidos / t x Area x Fraccin molar

xA= Fraccin molar del componente A, en Moles de A/Moles totales


Para gases:

NA= KG S (CA 1- CA2) = KPS (PA1-PA2) = KYS (YA1-YA2) (1-38)

En donde:

KG = Coeficiente especfico en funcin de las concentraciones, en moles transfe-

ndos/ t x rea x unidades de concentracin.

KP= Coeficiente especfico en funcin de las presiones parciales, en moles

transferidos / t x rea x unidades de presin.

KY = Coeficiente especfico en funcin de las fracciones molares gaseosas, en

moles transferidos / x rea x fraccin molar.

CA: Concentracin del componente A, en moles/L3.

PA: Presin parcial del componente A, en unidades de presin.

YA: Fraccin molar del componente A, en moles de A/moles totales.

- Transferencia equimolar de A a travs de B

De forma anloga a las ecuaciones anteriores, tambin puede definirse el rgimen

de flujo molar cuando se presenta transferencia equimolar con coeficientes

especficos en funcin de las diferentes variables:

Para lquidos:

NA= KL S (CA1 - CA2) = KxS (XA1 -XA2) (1-39)

Para gases:

NA= KG S (CA 1 - CA2) = KPS (PA1 -PA2) = KYS (YA1 -YA2) (1-40)

NOTA: Las unidades de KL , Kx , KG , KP , K son las mismas que sus

correspondientes anlogas: KL , Kx , KG , KP , KY .

Algunos cientficos han desarrollado diversas frmulas matemticas bastante com-

plejas, para determinar los coeficientes especficos en diferentes circunstancias.

Sin embargo, la exactitud de esos clculos depender en gran parte de muchas

variables cuya medicin puede resultar muy complicada.


La verdadera utilidad de los coeficientes especficos radica en poderlos determinar

experimentalmente controlando una sola variable (concentracin, fraccin molar o

presin parcial).

Una vez definido el coeficiente especfico en forma experimental, se podrn

predecir nuevos regmenes de flujo molar para condiciones diferentes.

EJEMPLO No. 1-9

En el laboratorio de control de calidad de una fbrica de derivados lcteos se

efectuaron experiencias para analizar la prdida de humedad de la leche cuando

se someta a la accin de una corriente de aire con humedad y velocidad

controladas. Para un rea de interfase de 35 cm2 se efectuaron medidas de

prdidas de humedad de la leche contra tiempo, mientras que simultneamente se

tomaron medidas de la concentracin de agua en el aire en dos puntos fijos de

referencia a saber: la superficie de la interfase y 15cm por encima.

Del experimento se obtuvo la tabla de datos presentada adelante:

- Con los datos experimentales, encontrar el coeficiente de transferencia de masa

especfico promedio; para el vapor de agua que se difunde en el aire (KG) si se

sabe que el aire no se difunde.

- Determinar los coeficientes especficos en funcin de las presiones parciales (Kp)

y en funcin de fracciones molares (Ky). si se sabe que la presin total promedio

reinante es de 1.46 atmsferas y la temperatura es de 22 0C.


Agua total

evaporada

Cono.

Agua

Mol gr / cm3

Interfase a 15 cm

(minutos) gr. CA1 CA2

0 0 2.140x 10-6 1.064x 10-6

1 2.20 2.140x10-6 1.093x10-6

2 4.34 2.142x10-6 1.099x10-6

3 6.47 2.145x10-6 1.102x10-6

4 8.60 2.146x10-6 1.125x10-6

5 10.69 2.146x10-6 1.131x10-6

6 12.76 2.146x10-6 1.146x10-6

7 14.81 2.147x10-6 1.147x10-6

8 16.85 2.147x10-6 1.147x10-6

9 18.90 2.147x 10-6 1.147x10-6

10 20.94 2.147x10-6 1.147x10-6

Solucin: - Se pide averiguar el valor de KG promedio para aplicar en la ecuacin

1-38

NA= KG S (CA 1 - CA2)

o bien:

NA = KG S CA

Con los datos experimentales se pueden tabular los diferentes NA = KGS CAprom

Por ejemplo, para el primer minuto de difusin se calcula as:


(2.20 - 0)/18

NA = = 2.037 x 10-3 Mol g/s

(1- 0) x 60

CA inicial = (2.140 - 1.064) x 10-6 = 1.076 x 10 -6Mol g/cm3

CA final = (2.140 - 1.039) x 10-6 = 1.047 x 10 -6Mol g/cm3

CA prom. = (1.076 + 1.047) x 10-6 = 1.0615 x 10 -6Mol g/cm3

Procediendo de igual forma para los dems intervalos de tiempo se conform la

siguiente tabla:

Efectuando un promedio de los diez valores de K0 obtenidos, tenemos:

NA CA prom KG = NA /SCA prom

MoI g/s Mol g /cm3 Moles g/scm2 (Moles

g/cm3)

2.0370x10-3 1.0615x 10-6 54.83

1.9815x 10-3 1.0450x10-6 54.18

1.9722 x 10-3 1.0430 x 10-6 54.02

1.9722 x 10-3 1.0320 x 10-6 54.60

1.9352x10-3 1.0180x10-6 54.31

1.9167x10-3 1.0075x10-6 54.36

1.8981x10-3 1.0000x 10-6 54.23

1.8889 x 10-3 1.0000 x 10-6 53.97

1.8981x10-3 1.0000x10-6 54.23

1.8889 x 10-3 1.0000 x 10-6 53.97


Moles g transferidos

KG Prom. = 54.27 ---------------------------------------------

s x cm2 x (Moles g/cm3)

Para calcular Kp y Ky es necesario recurrir a las ecuaciones 1-38, 1-12 y 1-13.

NA= KG S (CA 1- CA2) = KPS (PA1-PA2) = KYS (YA1-YA2)

o bien:

Gx= (CA 1 - CA2) = KP (PA1 -PA2) = KY (YA1 -YA2)

o bien:

KG CA = Kp PA = Ky YA

Sabemos tambin que:

AAA YP

P

C

C

De acuerdo con la ecuacin de estado:

n P

C = ------= ---------

V RT

En donde:

P: 1,46 atm

T: 22 + 273,16 = 295,16 K

R: 82.06 cm3 atm/mol g K

Entonces:


1,46 Mol g

C = = 6,0279x10-5

82,06 x 295,16 cm3

Si se sabe que:

111

AAA YP

P

C

C 2

22A

AA YP

P

C

C

, entonces:

AAA Y

P

P

C

C

, osea que:

KG CA / C = Ky YA

, o bien:

KG YA CA = Ky YA

Despejando:

KY = KG C = 54,27 x 6,0279 x 10-5

Ky = 3,2713 x 10-3 Moles g transferidos / scm2 v (fraccin molar)


KP Procediendo de forma anloga, tenemos:PA = Ky YA

o bien: KP ( PA / P) P = Ky YA o bien: KP YA = Ky YA

Despejando:

KP = Ky / P = 3.2713x 10-3 / 1.46

Entonces:

KP = 2,2406 x 10-3 Moles g transferidos / scm2 atm

Leccin 15: Transferencia entre fases inmiscibles

Hasta el momento nos hemos detenido a analizar el fenmeno difusional y de

transferencia en una sola fase.

Tal como habamos visto al comienzo del presente captulo, la transferencia de

masa adquiere una verdadera importancia industrial, cuando se logran purificar,

aislar y separar unos compuestos de otros o unas sustancias de otras.

Los sistemas de aislamiento y purificacin se consiguen mediante operaciones

unitarias especficas tales como: el secado y la evaporacin que se vern en el

presente mdulo, o bien, procesos de separacin por contacto de equilibrio,

lixiviacin, cristalizacin y destilacin que se vern en la asignatura operaciones

en la industria de alimentos II.

La mayora de las operaciones unitarias mencionadas tendrn que considerar la

transferencia de masa de una sustancia o compuesto a travs de dos fases

inmiscibles.

Consideremos el siguiente ejemplo clsico: el amoniaco (NH3) es una sustancia

que en condiciones normales, es bastante soluble en el agua y, por supuesto,

tambin en el aire.

Cuando en un recipiente cerrado se ponen en contacto una porcin de agua, otra

de aire y amoniaco, esta ltima sustancia se disolver tanto en el aire como en el

agua. Se presentar un fenmeno en el que el NH3 migrar del agua y pasando


por la interfase se difundir luego en el aire. Simultneamente el amoniaco que se

encuentra en el aire migrar tambin a travs de la interfase desde el aire hasta el

agua. Esta situacin continuar hasta que se establezca un equilibrio dinmico

mediante el cual, el flujo molar del amoniaco desde el aire hasta el agua es igual al

flujo molar del NH3 desde el agua hasta el aire.

En el equilibrio, la concentracin del NH3 en el aire y en el agua lo mismo que las

fracciones molares permanecern constantes hasta que algn agente rompa el

equilibrio; por ejemplo, aumento de la temperatura, inyeccin de ms amonaco,

cambio en el rgimen de presin, etc.

En el equilibrio, la concentracin del NH3, en el agua es diferente a la

concentracin del NH3 en el aire. Igual consideracin podremos decir de las

fracciones molares.

Si bien es cierto que en una misma fase una sustancia se difunde naturalmente

desde un punto de mayor concentracin a otro de menor concentracin, a travs

de la interfase esto no siempre ocurre; la prueba de ello es que, para el ejemplo

del NH3 en el estado de equilibrio, la concentracin en la fase lquida es diferente

a la concentracin de la fase gaseosa.

La anterior consideracin pone en evidencia que la verdadera fuerza impulsora de

la difusin molecular no es la concentracin sino otro tipo de fuerza que se le ha

llamado potencial qumico. Lo que determina entonces la condicin de equilibrio

entre fases es la igualacin de los potenciales qumicos de cada una de las fases.

El potencial qumico depender entonces de muchos factores, tales como: la

concentracin, la presin, la temperatura y la energa de interaccin molecular.

Para condici

Carta Psicrometrica Pg 278

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