Carpeta de clase de primer año

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2014 CARPETA DE CLASE PRIMER AÑO C.E.N.8º MAESTRAS LUCIO LUCERO

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Material de consulta para alumnos del Primer año del Ciclo Básico C.E.N" 8 Maestras Lucio Lucero. San Luis. Argentina.

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

2014

CARPETA DE CLASE

PRIMER AÑO

C.E.N.8º MAESTRAS LUCIO LUCERO

2

Contenido

NÚMEROS NATURALES 5

Conjuntos numéricos: 5

Recta numérica 5

Propiedad asociativa 7

El Cero 8

Multiplicación de números naturales 10

Propiedades de la Multiplicación 11

Porpiedad conmutativa: 11

Propiedad asociativa: 11

Propiedad distributiva: 11

Multiplicación por la unidad seguida de ceros 12

División de números naturales 13

División por la unidad seguida de ceros 14

Elemento neutro en la multiplicación y división 14

Operaciones Combinadas 15

SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS, CORCHETES Y LLAVES 18

Potenciación de Números Naturales 19

Casos particulares de la Potenciación: 20

Potencias de base 10 21

Propiedades de la Potenciación: 21

Propiedad Distributiva: 21

Producto de Potencias de igual base: 22

El producto de potencias de igual base 22

El cociente de potencias de igual base 22

Potencia de otra potencia 23

Interpretación geométrica del cuadrado y el cubo de un número 23

Cuadrado de un número 23

Cubo de un número 24

3

RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES 24

IGUALDADES MATEMÁTICAS 26

Lenguaje algebraico 27

Ecuaciones 30

¿Cómo se resuelve una ecuación? 31

Reglas básicas para el pasaje de términos 32

Verificación de ecuaciones 33

ANGULOS 40

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS 41

PAREJA DE ÁNGULOS 52

Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal. 53

Practico Ángulos 1 59

Práctico Ángulos 2 60

Geometría 62

¿Para qué sirve la geometría? 62

Historias Matemáticas 62

Perímetro y Superficie 62

Cuadrado 63

Rectángulo 65

Triángulo 66

Círculo 68

Práctico Perímetro y Superficie 70

Cuadro resumen 72

Ejercicios interactivos 73

4

5

NÚMEROS NATURALES

Conjuntos numéricos:

La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son

necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo,

usamos números para contar una determinada cantidad de elementos

(existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para establecer un orden

entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para

establecer medidas (3,2 metros, 5,7 kg, –4ºC, etc.), etc.

Números naturales N:{1, 2, 3, 4, ...} los llamaremos números

naturales y lo notaremos con la letra N.

Al conjunto de los números que sirven para contar objetos.

Son exactos, no poseen parte decimal ni fraccionaria y además son

positivos.

Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre

una recta del siguiente modo:

Recta numérica

Línea recta en la que cada punto

representa un número real. Es la

representación geométrica de

valores numéricos.

Todos los números pueden

ordenarse en una recta numérica.

De esta manera, podemos determinar

si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que

ocupa en la recta numérica.

Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de

otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es

mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero.

En matemática se usa la recta numérica horizontal. En la figura ves una

recta numérica que va de cero a diez.

6

El sucesor de un número natural es aquel que

está inmediatamente a la derecha

El antecesor de un número natural es aquel que

está inmediatamente a la izquierda

Al dibujar una recta numérica es muy importante elegir un segmento de

recta adecuado y que la distancia entre las marcas de los números sea

igual. La flecha de la derecha indica hacia dónde va el orden creciente de

los números marcados.

Si miramos la recta anterior, podemos ver que el número 2 está ubicado

a la izquierda del número 3 y además, está más cerca del cero, por lo

tanto, decimos que el número 2 es menor que el número 3.

De la misma manera, si miras nuevamente la recta, podrás ver que el

número 5 está ubicado a la derecha del número 4 y más alejado del cero,

por lo tanto cabe mencionar, que el número 5 es mayor que el número 4.

¿Cómo simbolizamos si un número es mayor o menor?

Utilizamos el símbolo <, para indicar que un número es menor que otro.

Por ejemplo, sabemos al mirar la recta numérica que el número 3 es

menor que el número 5 y lo representamos de la siguiente forma:

3 < 5 a < b

Utilizamos el símbolo >, para indicar que un número es mayor que otro.

Por ejemplo, el número 5 es mayor que el número 4, y lo representamos

de la siguiente forma:

5 > 4 a > b

Por ejemplo: El número que está inmediatamente a la izquierda del 1,

en la recta numérica, es el 0, luego, el antecesor de 1 es 0.

De igual forma se tiene que:

7

-el antecesor de 3 es 2

-el antecesor de 6 es 5

-el antecesor de 10 es 9

Por Ejemplo:

El número que está inmediatamente a la derecha del 0, en la recta

numérica, es el 1. Luego, el sucesor de 0 es 1.

De igual forma se tiene que:

- el sucesor de 2 es 3

- el sucesor de 5 es 6

- el sucesor de 12 es 13

Como podemos observar en la recta numérica, el conjunto N tiene

primer elemento, el 1; y ¿cuál es su último elemento? Es infinito.

Adición o Suma de Números Naturales

Los términos de la adición se llaman sumandos y el resultado se llama

suma o total:

25 sumandos 25 + 31 = 56

+ 31 sumandos Total

--------

56 suma

Propiedad asociativa

Asociar: Unir o juntar las cantidades

(a + b) + c = a + ( b + c)

(2+3) +5= 2+(3+5)

5 +5= 2+ 8

10=10

Si se agrupan los sumandos de distintas maneras, la suma no cambia

(38 + 15) + 20 = 38 + (15 + 20)

53 + 20 = 38 + 35

73 = 73

8

Decimos que la suma goza de la propiedad Asociativa

Propiedad conmutativa

Conmutar: Cambiar el orden de las cantidades

a + b = b + a

Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía.

18 + 3 = 3 + 18

21 = 21

Decimos que la suma goza de la propiedad Conmutativa

El elemento neutro en la suma es el cero.

25 + 0 = 25 a+0 = a

Ejercitar en http://www.vitutor.com/di/n/a_4e.html

http://www.genmagic.net/mates4/distributiva_c.swf

El Cero

El cero es el signo numérico de valor nulo que por notación posicional

ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa.

Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor (lo

multiplica por 10), a la izquierda no la modifica.

El cero es el elemento del conjunto de números enteros (Z) que precede

al 1 y se puede representar como cualquier número más su opuesto:

x+(-x) = 0 3+(-3)=0

El cero es el número de elementos que tiene un conjunto vacío.

El cero es el elemento neutro en la suma y en la resta

Sustracción, Resta o Diferencia de Números Naturales

9

Los términos de la sustracción se llaman minuendo y sustraendo, el

resultado se llama resta o diferencia:

25 minuendo 25 - 21 = 4

- 21 sustraendo minuendo diferencia

-------- sustraendo

4 resta o diferencia

El elemento neutro en la resta es el cero.

25 - 0 = 25 a - 0 = a

Suma y resta en la recta numérica

Para sumar un número natural significa

moverse a la derecha en la recta

numérica.

En contraposición, para restar hay que

desplazarse a la izquierda

Suma Algebraica

Una suma algebraica es una combinación de sumas y restas de números

naturales como la siguiente:

Ejemplo: 7 – 5 + 6 – 3 – 4 + 8

Cada uno de los números de la suma algebraica separados por los signos

más y menos se llama término.

10

Los términos precedidos por el signo más (+) se llaman términos

positivos (7 , 6 , 8), y los términos precedidos por signo menos (-) se

llaman términos negativos (5 , 3 , 4).

El primer término, si no tiene escrito un signo adelante, se sobreentiende

que tiene signo más. ES POSITIVO

Forma práctica para resolver una suma algebraica:

Veamos un ejemplo: 7 – 5 + 6 – 3 – 4 + 8 + 9 + 3

Observemos primero: si un mismo número figura 2 veces pero con

distinto signo, pueden suprimirse.

7 – 5 + 6 – 3 – 4 + 8 + 9 + 3

Luego se suman los términos positivos y, al resultado, se le resta la suma

de los términos negativos.

7 – 5 + 6 – 4 + 8 + 9 = (7 + 6 + 8 + 9) – (5 + 4)

= 30 - 9

= 21

Multiplicación de números naturales

La multiplicación se expresa:

a . b = c Se lee “el producto de a por b es igual a c”

a y b son factores y c es el producto

En números:

8 . 4. 2 = 64

8 , 4 y 2 son factores

64 es el producto

El resultado de la multiplicación de varios números se

llama producto.

11

Propiedades de la Multiplicación

Porpiedad conmutativa:

Podemos cambiar el orden de los factores!!!

8 . 3 .2 = 48

3. 8 . 2 = 48 Siempre el producto es el mismo

2 . 8 . 3 = 48

En símbolos: a . b = b . a

La multiplicación goza de la propiedad conmutativa

Propiedad asociativa:

Los factores pueden agruparse

8 . (3 .2) = 48

(3. 8) . 2 = 48 Siempre el producto es el mismo

(2 . 8 . 3) = 48

En símbolos: a . b . c = (a . b ) . c

La multiplicación goza de la propiedad asociativa

Propiedad distributiva:

Se expresa como sigue:

5 . (7 + 4) = 5.7 + 5.4

5 . 11 = 35 + 20

55 = 55 Siempre el producto es el mismo

En símbolos: a . (b + c) = ab + ac

LA MULTIPLICACIÓN goza de la propiedad Distributiva

12

Multiplicación por la unidad seguida de ceros

Cuando multiplicamos por 10 o por 100 o por 1000, decimos que

multiplicamos por la unidad seguida de ceros.

En estos ejemplos se puede ver claramente que no necesitamos realizar

una multiplicación escrita ya que solo se trata de agregar tantos ceros

como ceros acompañen a la unidad.

Esto es por que nuestro sistema de

numeración es decimal, cambia de

unidades a decenas cada 10

unidades , igual que de decenas a

centenas o centenas a unidades de

mil. Simplemente agregando un

cero a la derecha del número.

Pues bien, para multiplicar en estos

casos solamente se agregan a la

derecha del número, tantos ceros

como tenga atrás la unidad.

13

División de números naturales

Comparada con la multiplicación, la división es la operación inversa.

Dividir un número a (dividendo) por otro número b (divisor), consiste en

encontrar un número c (cociente) tal que multiplicado por el divisor dé

como resultado el dividendo.

45 : 5 = 9 <=> 45 = 5 . 9

45 es el dividendo

5 es el divisor

9 es el cociente

El resultado de la división de dos números se llama cociente.

En símbolos a : b = c <=> a = b • c

Recordemos las Reglas de divisibilidad

14

División por la unidad seguida de ceros

De la misma manera que en la multiplicación por la unidad seguida de

ceros, no hace falta realizar la división, solo basta quitar ceros o

desplazar la coma a la izquierda del número, para obtener el resultado.

340 : 10 = 34

1200 : 100 = 12

450000 : 1000 = 450

638 : 10 = 63,8

3452 : 10 = 345,2 corro la coma un lugar

3452 : 100 = 34,52 corro la coma dos lugares

3452 : 1000 m = 3,452 corro la coma tres lugares

3452 : 10000 = 0,3452 corro la coma cuatro lugares

Elemento neutro en la multiplicación y división

VEAMOS:

35 . 1 = 35 54 : 1 = 54

2700 . 1 = 2700 2045 : 1 = 2045

344 . 1 = 344 112 : 1 = 112

En símbolos: a . 1 = a y a : 1 = a

EL ELEMENTO NEUTRO EN LA DIVISIÓN Y MULTIPLICACIÓN ES 1

Operaciones Combinadas

Las operaciones combinadas son ejercicios con combinaciones de

operaciones y uso de paréntesis, corchetes y llaves.

Lo que tenemos que aprender es el orden que hay que seguir para realizar

operaciones combinadas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. No

se pueden realizar de manera aleatoria, hay que seguir un orden de

resolución de las operaciones y otro con respecto a la prioridad de

resolución fijadas por paréntesis corchetes y llaves.

Primero los paréntesis, segundo los corchetes y tercero las llaves.

Gráficamente lo expresamos así:

1º PARENTESIS

2ª CORCHETES

3º LLAVES

Vamos a ver un ejemplo de operaciones combinadas: 21 : 3 + 7 x 4

Lo primero es hacer los paréntesis, pero en este caso no hay.

Lo siguiente en hacer las multiplicaciones y divisiones: 21 : 3 = 7 y por

otro lado 7 x 4 = 28

Ahora nos queda solo la suma: 7 + 28 = 35

Operaciones combinadas con números naturales

Prioridad de las operaciones

Efectuar las operaciones entre: 1ºparéntesis, 2ºcorchetes y 3ºllaves

1º.Calcular las potencias y raíces.

2º.Efectuar los productos y cocientes.

3º.Realizar las sumas y restas.

16

Tipos de operaciones combinadas

Operaciones combinadas sin paréntesis

Combinación de sumas y diferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según

aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

Combinación de sumas, restas y productos.

3 x 2 − 5 + 4 x 3 − 8 + 5 x 2 =

Realizamos primero las multiplicaciones por tener mayor prioridad.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.

10 ÷ 2 + 5 x 3 + 4 − 5 x 2 − 8 + 4 x 2 – 16 ÷ 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los

encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

2 + 10 ÷ 2 + 5 x 3 + 4 − 5 x 2 − 8 + 4 x 2 – 16 ÷ 4 =

Realizamos primeros los productos y cocientes.

= 2 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 26

Operaciones combinadas con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 x 2) + (5 + 16 ÷ 4) − 5 + (10 − 2) =

17

Realizamos en primer lugar las operaciones de producto, divisiones

contenidas en ellos.

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 2) =

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

Ejercitar en

http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf

http://adigital.pntic.mec.es/~aramo/calculo/coc10.htm

Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 − (8 − 10 ÷ 2)] x [5 + (3 x 2 − 4)] − 3 + (8 − 2 x 3) =

Primero operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 − (8 − 5)] x [5 + (6 − 4)] − 3 + (8 − 6) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 − 3] x [5 + 2] − 3 + 2 =

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:

= (15 − 3) x (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis: = 12 x 7 − 3 + 2

Multiplicamos: = 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos: = 83

EJEMPLOS DE OPERACIONES COMBINADAS

a) 27 + 3 x 5 – 16 = 27 + 15 – 16

= 26

b) 27 + 3 – 45 ÷ 5 + 16 =

27 + 3 – 9 + 16 = 37

c) (2 . 4 + 12) . (6 − 4) =

(8 + 12) . (2) = 20 . 2

= 40

d) 3 . 9 + (6 + 5 – 3) – 12 ÷ 4 =

27 + 8 – 3 = 32

Los signos +

y – separan

términos

Primero se resuelven

las operaciones que

están entre paréntesis

18

e) 2 + 5 . (2 ·3) =

2 + 5 . 6 =

2 + 30 = 32

f) 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =

440 − [ 30 + 6 . 7]

440 − [ 30 + 42 ]

440 − 72 = 368

g) 2 .{4 .[7 + 4 (5 . 3 − 9)] − 3 .(40 − 8)} =

2 .{4 . [7 + 4 . 6 ] − 3 . 32 } =

2 . {4 .[7 + 24] – 3. 32 } =

2 . { 4 . 31 − 3 .32 } =

2 . {124 − 96} =

2 . 28 = 56

SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS, CORCHETES Y LLAVES

3616538373617

1).- Cuando el paréntesis, corchete o llave está precedido por el signo

más puede suprimirse, quedando los términos que encierra con sus

correspondientes signos.

2).- Cuando el paréntesis, corchete o llave está precedido por el signo

menos puede suprimirse cambiando los signos de cada uno de los

términos que encierra.

3).- Para seguir un orden, en la suma algebraica se suprimen primero los

paréntesis, en el segundo paso los corchetes y, por último, las llaves.

4).- A continuación se resuelve la suma algebraica explicada

anteriormente.

17 – { 6 + 3 – [ - 7 + 3 + (8 – 3 – 5) + 6 – 1 ] + 6 } + 3 =

17 – { 6 + 3 – [ - 7 + 3 + 8 – 3 – 5 + 6 – 1 ] + 6 } + 3 = Suprimo el paréntesis

Se opera de izquierda a derecha

No debo olvidarme de

separar en términos

dentro de los paréntesis,

corchetes y llaves.

19

17 – { 6 + 3 + 7 - 3 - 8 + 3 + 5 - 6 + 1 + 6 } + 3 = Suprimo el corchete

17 – 6 – 3 – 7 + 3 + 8 – 3 – 5 + 6 – 1 – 6 + 3 = Suprimo la llave

17 – 6 – 3 – 7 + 3 + 8 – 3 – 5 + 6 – 1 – 6 + 3 = Identifico los positivos y los negativos

(17 + 3 + 8 +6 + 3) - (6+3+7 +3+5+1+6)= Los agrupo y los resuelvo

37 – 31= 6

Potenciación de Números Naturales

En símbolos:

an = b

La potenciación es una operación matemática que expresa un producto de

factores iguales. Es una forma abreviada de expresar esa multiplicación

donde la base es el factor que se repite y el exponente es el número de

veces que el factor se multiplica.

Recordemos que llamamos FACTORES a los números que forman parte de

la multiplicación y PRODUCTO a su resultado

Así es como:

2.2.2.2.2.2 = 26 Se lee dos a la sexta

2 es el factor que al expresarse como potencia se transforma en la base

6 es el número de veces que se multiplica el mismo factor y se convierte

en el exponente.

En símbolos:

an = a . a . a … a para todo a y para todo n, naturales.

n factores

Potencia

Exponente

Base

20

Así como los productos de factores iguales pueden expresarse como

potencias, las potencias pueden escribirse como productos:

56= 5.5.5.5.5.5

¿Cómo escribiríamos una potencia en forma de producto?

Ejemplos: 45= 4.4.4.4.4 74= 7.7.7.7

Casos particulares de la Potenciación:

nn .88 11 TODO NÚMERO ELEVADO A LA POTENCIA 1 ES

IGUAL AL MISMO NÚMERO

Ejemplos:

101=10

331= 33

81= 8

11115 n UNO ELEVADO A CUALQUIER POTENCIA ES

IGUAL A UNO

Ejemplos:

11=1

16= 1

133= 1

117 00 n TODO NÚMERO ELEVADO A CERO ES IGUAL A

UNO

Ejemplos:

1. 100=1

330= 1

80= 1

21

00003 n CERO ELEVADO A CUALQUIER POTENCIA ES

IGUAL A CERO

Ejemplos:

2. 01=0

08= 0

010= 0

Ejercitar en http://www.vitutor.com/di/n/a_60e.html

http://www.amolasmates.es/anaya/anaya1ESO/datos/02/07.htm

http://www.lamanzanadenewton.com/materiales/aplicaciones/pasoap

aso/matematicas/lmn_potencias.html

Potencias de base 10

Observemos:

101= 10 10

102= 10.10 100

103= 10.10.10 1000

104= 10.10.10.10 10000

105= 10.10.10.10.10 100000

Ejercitar en http://www.aplicaciones.info/decimales/poten02.htm

Cualquier potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de la

cantidad de CEROS que indique el exponente.

Propiedades de la Potenciación:

Propiedad Distributiva:

Resolvemos:

a) 33 2.3 b) 3)2.3(

c) 22 43 d) 2)43(

22

e) 22 2:6 f) 2)2:6(

g) 33 25 h) 3)25(

Al resolver estos ejercicios podemos observar que:

LA POTENCIACION ES DISTRIBUTIVA SOLO EN LA

MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN

Probemos calcular potencias de números pares e impares.

25= 32 33= 27

42= 16 72= 49

Conclusión:

TODA POTENCIA DE BASE PAR ES PAR

TODA POTENCIA DE BASE IMPAR ES IMPAR

Producto de Potencias de igual base:

El producto de potencias de igual base, es otra potencia de igual base cuyo

exponente es la suma de los exponentes dados:

Por que?

23 . 22 = (2 . 2 . 2) . ( 2 . 2 )

23 . 22 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2

23 . 22 = 2 3+2

23 . 22 = 2 5

El cociente de potencias de igual base, es otra potencia de igual base cuyo

exponente es la diferencia de los exponentes dados:

am. an = am+n

am: an = am-n

23

Por qué?

26 : 22 = 2 . 2 . 2. 2 . 2 . 2

2 . 2

26 : 22 = 2 6-2

26 : 22 = 2 4

Potencia de otra potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es

el producto de los exponentes dados:

(5 2 ) 3 = 5 2 . 5 2 . 5 2

(5 2 ) 3 = (5 . 5 ) . (5 . 5 ) . ( 5 . 5 )

(5 2 ) 3 = 5 2.3 = 5 6

Interpretación geométrica del cuadrado y el cubo de un número

Cuadrado de un número

Si dibujamos un cuadrado de 4 cuadritos de lado, podemos observar que la

superficie de ese cuadrado es igual a 4.4=16 cuadritos

Sup. del cuadrado = L2

= 42

= 16

16 es el cuadrado perfecto de 4

Cuadrados perfectos son los números que poseen raíces cuadradas

exactas.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ... etc

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

(am.) n = am.n

4 filas

4 columnas

24

Cubo de un número

Ahora observemos el cubo mágico, tiene 3 cuadros de ancho, 3 cuadros de

alto y 3 cuadros de profundidad.

Volumen del cubo = L3

= 33

= 27

27 es el cubo perfecto de 3

RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que

dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado

raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

En símbolos: ban porque abn

Índic

e Radica

ndo

Raíz

b4 16 Porque 1624

RADICACIÓN

24 =16 Porque

2.2.2.2 =16

POTENCIACIÓN

El cubo de un número representa geométricamente el volumen de

un cubo cuyo lado es igual la base de la potencia.

El cuadrado de un número representa geométricamente la superficie

de un cuadrado cuyo lado es igual la base de la potencia.

25

Ejemplos:

49 7 Porque 72 = 49

25 5 Porque 52 = 25

3 27 3 Porque 33 = 27

3 8 2 Porque 23 = 8

Vale recordar que, en la radicación, al calcular la raíz cuadrada no se

escribe el índice.

Se lee raíz cuadrada de 25

Cuando el índice es 3, se lee raíz cúbica

Cuando el índice es 4, se lee raíz cuarta

Cuando el índice es 5, se lee raíz quinta

Propiedades de la Radicación:

Propiedad Distributiva:

Resolvemos:

a) 25.4 b) 25.4

c) 169 d) 169

e) 9:144 f) 9:144

g) 64100 h) 64100

Al resolver estos ejercicios podemos observar que:

26

LA RADICACIÓN ES DISTRIBUTIVA SOLO EN LA MULTIPLICACIÓN Y

LA DIVISIÓN

En símbolos:

baba ..

baba ::

IGUALDADES MATEMÁTICAS

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

2 + 5 = 8 - 1

A = B

Se lee que A “es igual” a B

Tal como una balanza, si los pesos son iguales de

ambos lados, la balanza esta en equilibrio, o sea

conforman una igualdad.

Todo lo que está a la izquierda del signo igual, se

llama PRIMER MIEMBRO y todo lo que está a la

derecha SEGUNDO MIEMBRO.

=

Una expresión algebraica es una combinación de letras

y números ligados por los signos de las operaciones: adición,

sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Ejemplo: 3x - 2. (a+b) - 7n2

PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO

27

Lenguaje algebraico

El lenguaje que usamos para comunicarnos entre las personas, formado

por las palabras de nuestro idioma se llama lenguaje coloquial.

El lenguaje algebraico es la manera de expresar simbólicamente

relaciones matemáticas mediante números, letras y signos de operación y

relación.

Así podemos traducir situaciones del lenguaje coloquial al lenguaje

algebraico:

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2 o x:2

Un tercio de un número: x/3 o x:3

Un cuarto de un número: x/4 o x:4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Un número par: 2x

Un número impar: 2x + 1

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

En el lenguaje algebraico también podemos representar operaciones más

complejas.

Traducir al lenguaje algebraico las siguientes situaciones:

28

1) El doble de un número menos su cuarta parte.

2) Años de Ana Belén dentro de 12 años.

3) Años de Isabel hace tres años.

4) La cuarta parte de un número más su siguiente.

5) Perímetro de un cuadrado.

6) Un número par.

7) Un número impar.

8) Un múltiplo de 7.

9) Dos números enteros consecutivos.

10) Dos números que se diferencian en dos unidades.

11) El doble de un número menos su quinta parte.

12) El quíntuplo de un número más su quinta parte.

13) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años.

14) Dos números se diferencian en 13 unidades.

15) Dos números suman 13.

16) Un hijo tiene 22 años menos que su padre.

17) Dos números cuya suma es 25.

18) La cuarta parte de la mitad de un número.

19) Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más

que el ancho.

Las respuestas correctas son:

1) 2x−x/4

2) x + 12

3) x – 3

4) x/4 +( x+1)

5) 4x

6) 2x

7) 2x + 1

8) 7x

9) x , x + 1

10) x , x + 2

29

11) 2x− x/4

12) 5x + x/5

13) 2x – 5

14) x , x + 13

15) x , 13 – x

16) x – 22

17) x , 25 - x

18)x/4

19) x , x+6

Ahora tratemos de traducir al lenguaje coloquial las siguientes

expresiones algebraicas:

20) x – 3

21)x/6

22) x + 10

23) x− x/2 + 2x

24) x – 5

25) x2

26) x , -x

27) x , 1/x

28) 25−x2

29) x2 − x/4

30) x , 25 – x

31) x2 + (x + 1)

32) x + ( x+ 1)2

33) x/x2

34) (2x + 3) – (2x + 1)

35) x.( x + 1)

36) (x + 1)2 − x2

37) 3x2

38) 2x2 − 7

Las respuestas correctas son:

30

20) Un número disminuido en tres unidades.

21) La sexta parte de un número.

22) Un número 10 unidades mayor que otro.

23) Un número menos su mitad más su doble.

24) Un número 5 unidades menor que otro.

25) El cuadrado de un número.

26) Un número y su opuesto.

27) Un número y su inverso.

28) Veinticinco menos el cuadrado de un número.

29) El cuadrado de un número menos su cuarta parte.

30) Dividir 25 en dos partes.

31) La suma de un número al cuadrado con su consecutivo.

32) La suma de un número con el cuadrado de su consecutivo.

33) El cociente entre un número y su cuadrado.

34) La diferencia de dos números impares consecutivos.

35) El producto de un número con su consecutivo.

36) La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado.

37) Triple de un número elevado al cuadrado.

38) Restar 7 al duplo de un número al cuadrado.

Ecuaciones

Trabajar con expresiones algebraicas consiste en operar

relaciones numéricas en las que una o más cantidades son

desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas

o indeterminadas y se representan por letras.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas,

que se cumple para un determinado valor de la letra.

Por ejemplo: X + 5 = 8 se cumple para x=3

31

La incógnita, en una ecuación, es un valor

desconocido que pretendemos averiguar,

generalmente la representamos por la letra

x, pero debemos saber que puede

representarse con cualquier otra letra.

Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita, para

el cual la igualdad es verdadera.

¿Cómo se resuelve una ecuación?

Resolver una ecuación consiste en hallar su solución.

Observa cómo se procede para resolver

la ecuación:

7x - 2 = 5x + 4

▪ Realizamos pasaje de términos

pasando a un miembro todos los

términos que contienen la incógnita y

al otro miembro los que no la

contienen.

7x - 5x = 4 + 2

▪ Efectuamos operaciones en cada uno

de los miembros para reducir los

términos semejantes.

2x = 6

▪ Despejamos la incógnita y calculamos

la solución.

X= 6:2

X=3

Propiedades de las igualdades:

a) Si sumamos o restamos un mismo

número o una misma expresión algebraica

a los dos miembros de una ecuación

obtenemos otra ecuación equivalente.

Por ejemplo, para obtener una ecuación

equivalente a x+2=5 sumamos 3 a los

dos miembros:

x+2+3=5+3 x+5=8

Fíjate en que la ecuación obtenida x+5=8

también tiene por solución 3.

b) Si multiplicamos o dividimos los dos

miembros de una ecuación por un mismo

número diferente de cero obtenemos otra

ecuación equivalente.

Así, para obtener una ecuación

equivalente a x+2=5 podemos multiplicar

por 4 los dos miembros:

4(x+2)=4•5 4x+8=20

La ecuación obtenida 4x+8=20 también

tiene por solución 3.

32

x + 2 = 5

X = 5 – 2

X = 3

5x + 1 = 6

5x = 6 – 1

5x = 5

x = 5:5

x = 1

3x = 18

x = 18:3

x = 3

5 (x + 1) = 20

5.x + 5.1 = 20

5x + 5 = 20

5x = 20 - 5

x = 15:5

x=3

La solución de la ecuación

7x -2 = 5x + 4

es x =3

Reglas básicas para el pasaje de términos

Lo que está sumando pasa restando.

Ejemplo: X + 2 = 5 Despejando x = 5 – 2

Lo que está restando pasa sumando.

Ejemplo: X - 3 = 9 Despejando x = 9 +3

Lo que está multiplicando pasa dividiendo.

Ejemplo: 3 . x = 9 Despejando x = 9 :3

Lo que está multiplicando pasa dividiendo.

Ejemplo: X : 2 = 9 Despejando x = 9 . 2

Las raíces cuadradas pasan como cuadrados

Ejemplo: x 4 Despejando x = 42

Los cuadrados pasan como raíces cuadradas

Ejemplo: x2 = 16 Despejando x = 16

Ejercicios resueltos:

Aplico propiedad

distributiva!!!!!

33

Verificación de ecuaciones

Verificar una ecuación es comprobar que ambos miembros son iguales para

el valor de x encontrado, o sea, VERIFICAR LA IGUALDAD, que la igualdad

se cumpla, sea verdadera. Por ejemplo:

x + 2 = 5

X = 5 – 2

X = 3

¿Cómo sabemos que ese valor de x es correcto? Escribimos la ecuación

original y luego reemplazamos el valor de x por el valor que obtuvimos al

resolver la ecuación, o sea en este caso es x=3

x + 2 = 5

3 + 2 = 5

5 = 5

Primer miembro = Segundo miembro

Esto es verificar la ecuación. Comprobar que, para el valor de x

encontrado, ambos miembros valen lo mismo, son iguales.

Resolver:

1) x + 9 = 16

2) x – 6 = 4

3) x + 10 = 21

4) x – 8 = 12

5) 5 + x = 8

6) 24 + x = 40

7) x – 6 = 15

8) x – 9 = 5

9) 7 = x + 1

10) 37 = 9 + x

11) 40 – x = 29

12) 45 = 52 – x

13) 1 – x = 1

14) 12 – x = 4

15) 7x – 15 – 6x = 31

16) 2x + 6 – x = 23

17) 5x = 35

18) 8x = 32

19) 3x – 17 = 13

20) 7x – 9 = 47

34

Ejercicios:

Resolver las siguientes ecuaciones y realizar la verificación.

1) 2x - 34 = 120 x =77

2) 10x + 5 = 3x + 12 x = 1

3) 2(3x - 2) = 8 x = 2

4) 5x = 8x – 15 x =5

5) (x + 2)2 - x2 = 60 x = 14

6) x2 - (x - 4)2 = 128 x =18

7) 21 – 6 x = 27 – 8 x x = 3

8) 2 [3(x – 2) + 5(x – 3)] + x + 8= 0 x = 2

9) x – (2x + 1) = 8 – (3 x + 3) x = 3

10) 15 x – 10 = 6 x – ( x+ 2) – x + 3 x = 1

Práctico Numero Naturales 1

1. Buscar el término desconocido e indica su nombre en las

siguientes operaciones:

1. 327 + ....... = 1.208

2. ....... – 4.121 = 626

3. 321 · ....... = 32 100

4. 28.035 : ....... = 623

2. Buscar el término desconocido en las siguientes operaciones:

1. 4 · (5 + ...) = 36

2. (30 – ...) : 5 + 4 = 8

3. 18 · ... + 4 · ... = 56

4. 30 – ... : 8 = 25

3. Calcular de dos modos distintos la siguiente operaciones:

35

1. 17 · 38 + 17 · 12 =

2. 6 · 59 + 4 · 59 =

3.(6 + 12) : 3

4. Expresa en forma de potencias:

1. 50 000

2. 3 200

3. 3 000 000

5. Escribe en forma de una sola potencia:

1. 33 · 34 · 3 =

2. 57 : 53 =

3. (53)4 =

4. (5 · 2 · 3)4 =

5. (34)4 =

6. [(53)4 ]2 =

7. (82)3=

8. (93)2=

9. 25 · 24 · 2 =

10. 27 : 26 =

11. (22)4 =

12. (4 · 2 · 3)4 =

13.(25)4 =

36

14. [(23 )4]0=

15. (272)5=

16. (43)2 =

6. Realiza las siguientes operaciones combinadas:

1. 27 + 3 · 5 – 16 =

2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16 =

3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =

4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =

5. 2 + 5 · (2 · 3)³ =

6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =

7. 2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =

8. 7 · 3 + [6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =

7. Problemas de números naturales

1 Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres

cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y súmalos.

2El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el

dividendo?

3El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321.

¿Cuál es el resto?

4Pedro compró una finca por $643 750 y la vendió ganando $75 250. ¿Por

cuánto lo vendió?

37

5Con el dinero que tengo y $247 más, podría pagar una deuda de $525 y

me sobrarían $37. ¿Cuánto dinero tengo?

6 Se compran 1600 Kg de banana, a razón de 4 $/Kg. Si el transporte

cuesta $400 y se desea ganar con la venta $1200. ¿A cuánto debe

venderse el kilogramo de banana?

7¿Cuántos años son 6 205 días? Consideramos que un año tiene 365 días.

8 En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse

mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?

9En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones

aterrizan en un día (24 hs)?

10En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada 90

habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles

habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?

Práctico Numero Naturales 2

Operaciones combinadas

Ejercicios combinados para resolver:

1. 17 . 38 + 17 . 12 = Rta: 850

2. 6 . 59 + 4 . 59 = Rta: 590

3. (6 + 12) ÷ 3= Rta: 6

4. 7 . 5 – 3 . 5 + 16 . 5 – 5 . 4 = Rta: 80

5. 6 . 4 – 4 . 3 + 4 . 9 – 5 . 4 = Rta:28

6. 8 . 34 + 8 . 46 + 8 . 20 = Rta: 800

7. 27 + 3 . 5 – 16 = Rta: 26

38

8. 27 + 3 – 45 ÷ 5 + 16= Rta: 37

9. (2 . 4 + 12) (6 − 4) = Rta: 40

10. 3 . 9 + (6 + 5 – 3) – 12 ÷ 4 = Rta: 32

11. 2 + 5 . (2 .3) = Rta: 42

12. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] = Rta: 368

13. 2{4[7 + 4 (5 . 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} = Rta: 56

14. 7 . 3 + [6 + 2 . (8 ÷ 4 + 3 . 2) – 7 . 2] + 9 ÷ 3 = Rta 32

15. { [3 + 2 - (9 - 7) + (3 + 4) ] } = Rta 10

16. {45 - 28 - (12 - 9) + (2 + 3) } = Rta:19

17. 15 - { 4 + [5 - 4 + ( 9 - 3 ) ] - 16 } = Rta:2

18. 24 + 5 - { 13 + 4 - 5 - [ 7 + ( 6 + 4 ) - 7 - 6 ] + 4 } = Rta:17

19. { [5 . 4 + ( 3 . 5) ] ÷ (56 ÷8) } ÷5 = Rta:1

20. 100 + { 5 . 8 - [162 ÷ ( 9 . 6) ] + 8 } = Rta:145

Ejercicios combinados quitando paréntesis, corchetes y llaves:

Ejercicio 1

{ [3 + 2 - (9 - 7) + (3 + 4) ] } =

{ [3 + 2 - 9 + 7 + 3 + 4] } =

{ 3 + 2 - 9 + 7 + 3 + 4} =

3 + 2 - 9 + 7 + 3 + 4 =

(3 + 2 + 7 + 3 + 4)- 9 =

19 - 9 = 10

Ejercicio 2

15 - { 4 + [ - 5 - 4 + ( 2 - 3 ) ] - 16 } =

15 - { 4 + [ - 5 - 4 + 2 - 3 ] - 16 } =

15 - { 4 - 5 - 4 + 2 - 3 - 16 } =

15 - 4 + 5 + 4 - 2 + 3 + 16 =

(15 + 5 + 4 + 3 + 16) – (4 + 2)=

43 - 6 = 37

39

Ejercicio 3

14 + { 5 - [ 4 + 3 + ( - 2 + 4 + 5 ) ] - 7 + 8 } =

14 + { 5 - [ 4 + 3 - 2 + 4 + 5 ] - 7 + 8 } =

14 + { 5 - 4 - 3 + 2 - 4 - 5 - 7 + 8 } =

14 + 5 - 4 - 3 + 2 - 4 - 5 - 7 + 8 =

(14 + 5 + 2 + 8) – (4 + 3 + 4 + 5 + 7) =

29 - 23 = 6

Ejercicio 4

4 – {5 – [(7 + 8) – (5 - 2)]} =

4 – {5 - [7 + 8 – 5 + 2]} =

4 – {5 - 7 - 8 + 5 - 2} =

4 – 5 + 7 + 8 - 5 + 2 =

(4 + 7 + 8 + 2) – ( 5 + 5 ) =

21 – 10 = 11

Ejercicio 5

1 + { 3 + 5 - 8 + 6 - [ 23 + 45 - 66 + 23 - ( 3 + 5 + 7 ) - 67 ] + 8 } =

1 + { 3 + 5 - 8 + 6 - [ 23 + 45 - 66 + 23 - 3 - 5 - 7 - 67 ] + 8 } =

1 + { 3 + 5 - 8 + 6 - 23 - 45 + 66 - 23 + 3 + 5 + 7 + 67 + 8 } =

1 + 3 + 5 - 8 + 6 - 23 - 45 + 66 - 23 + 3 + 5+ 7 + 67 + 8 =

(1 + 3 + 5 + 6 + 66 + 3 + 5+ 7 + 67 + 8) – (8 + 23 + 45 + 23) =

171 - 99 = 72

Ejercicio 6

- 5 - 2 + 4 - 7 + 8 - 2 + { 5 + 3 – [ 2 + ( 5 - 6) - 3 - 5 ] } =

- 5 - 2 + 4 - 7 + 8 - 2 + { 5 + 3 - [ 2 + 5 - 6 - 3 - 5 ] } =

- 5 - 2 + 4 - 7 + 8 - 2 + { 5 + 3 - 2 - 5 + 6 + 3 + 5 } =

- 5 - 2 + 4 - 7 + 8 - 2 + 5 + 3 - 2 - 5 + 6 + 3 + 5 =

( 4 + 8 + 5 + 3 + 6 + 3 + 5) – (5 + 2 +7 + 2 + 2 + 5) =

34 - 23 = 11

Ejercicio 7

3- 2 - [ 4 - (6 + 4) - 9 + (1 - 3) - 8] + 4 =

3 - 2 - [4 - 6 - 4 - 9 + 1 + 3 - 8] + 4 =

3 - 2 - 4 + 6 + 4 + 9 - 1 - 3 + 8 + 4 =

(3 + 6 + 4 + 9 + 8 + 4) – (2 + 4 + 1 + 3) =

40

34 - 10 = 24

Ejercicio 8

3 - { 2 - 3 - [ - 2 + (1 + 3)] - 3} =

3 - { 2 - 3 - [ - 2 + 1 + 3] - 3} =

3 - { 2 - 3 + 2 - 1 - 3 - 3} =

3 - 2 + 3 - 2 + 1 + 3 + 3 =

(3 + 3 + 1 + 3 + 3) – ( 2 + 2) =

13 - 4 = 9

Ejercicio 9

2 + 3 - {2 - [2 - 3 + 1] - 2 - (3 - 1)} - 2 =

2 + 3 - {2 - 2 + 3 - 1 - 2 - 3 + 1} - 2 =

2 + 3 - 2 + 2 - 3 + 1 + 2 + 3 - 1 - 2 =

2 + 3 - 2 + 2 - 3 + 1 + 2 + 3 - 1 - 2 =

(2 + 3 + 2 + 1 + 2 + 3) - (2 + 3 + 1 +2)=

13 - 8 = 5

Ejercicio 10

2 - 4 - (- 2 - 3) - {2 - [- 2 - ( - 2 + 3)] - 1} + 2 =

2 - 4 + 2 + 3 - {2 - [- 2 + 2 - 3] - 1} + 2 =

2 - 4 + 2 + 3 - {2 + 2 - 2 + 3 - 1} + 2 =

2 - 4 + 2 + 3 - 2 - 2 + 2 - 3 + 1 + 2 =

(2 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2) – ( 4 + 2 + 2 +3)=

12 - 11 = 1

ANGULOS

Es la figura formada por 2 semirectas que parten de un mismo punto.

Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice. Entendemos el

ángulo como la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el

mismo punto de origen o vértice.

Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:

41

a) Una letra

mayúscula en el

vértice.

b) Una letra griega

o un símbolo en la

abertura.

c) Tres letras

mayúscula.

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Sistema sexagesimal

Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada

una de estas partes constituye un grado sexagesimal.

Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’)

que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.

Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales

(60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

42

Tipos de ángulos

Cóncavo

0° < < 180°

Un ángulo es cóncavo cuando mide entre ……. y ……….

Águdo

0° < < 90°

Un ángulo es agudo cuando mide entre ……. Y ……….

Recto

= 90°

Un ángulo es recto cuando mide

……….

43

Obtuso

90° < < 180°

Un ángulo es obtuso cuando mide entre ……. y ……….

Convexo

180° < < 360°

Un ángulo es convexo cuando mide entre ……. y ……….

Llano

= 180°

Un ángulo es llano cuando mide ……….

44

Completo o de un giro = 360°

Un ángulo es de un giro cuando mide ……….

Suma de ángulos

La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud

es la suma de las amplitudes de los dos ángulos

iniciales.

1º Para sumar ángulos se colocan

los grados debajo de los grados,

los minutos debajo de los minutos y los segundos

debajo de los segundos; y se suman.

45

2º Si los segundos suman más de 60,

se divide dicho número entre 60; el resto serán

los segundos y el cociente se añadirán a

los minutos.

3º Se hace lo mismo para los minutos.

EJEMPLO para sumar estos dos ángulos:

12 º 45 ' 53 ''

23 º 32 ' 41 ''

..........

46

Se suman los grados con los grados, los minutos con los

minutos y los segundos con los segundos.

Si los segundos sobrepasan 60, cada bloque de 60 lo

convertiremos en minutos.

Si los minutos sobrepasan 60, cada bloque de 60 lo

convertiremos en grados.

Sigamos con el ejemplo:

Empezamos analizando los segundos: cada bloque de 60

segundos lo convertimos en minutos:

94 segundos supera a 60 (1 minuto) pero no llega a 120 (2

minutos). Los primeros 60 segundos los convertimos en 1

minuto.

94 segundos = 1 minuto + 34 segundos

A los 77 minutos le sumamos este minuto, por lo que son 78

minutos.

Seguimos analizado los minutos:

78 minutos supera a 60 (1 grado) pero no llega a 120 (2

grados). Los primeros 60 minutos los convertimos en 1 grado.

78 minutos = 1 grado + 18 minutos

A los 35 grados le sumamos este grado, por lo que son 36

47

grados.

En definitiva, la suma sería: 36 º 18 ' 34 ''

Resta de ángulos

La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya

amplitud es la diferencia entre la amplitud del

ángulo mayor y la del ángulo menor.

1º Para restar ángulos se colocan

los grados debajo de los grados,

los minutos debajo de los minutos y los segundos

debajo de los segundos.

48

2º Se restan los segundos. Caso de que no sea

posible, convertimos un minuto del minuendo en 60

segundos y se lo sumamos a los segundos del

minuendo. A continuación restamos los segundos.

3º Hacemos lo mismo con los minutos.

EJEMPLO para restar dos ángulos:

25º 32 ' 17 ''

12º 43 ' 35 ''

..........

Se restan los grados con los grados, los minutos con los

minutos y los segundos con los segundos.

49

Si la resta de los segundos da negativo, tomaremos 1

minuto del minuendo y lo pasaremos a los segundos.

Si la resta de los minutos da negativo, tomaremos 1 grado

del minuendo y lo pasaremos a los minutos.

Sigamos con el ejemplo:

Empezamos analizando los segundos: como la resta es

negativa (-18 '') a los segundos le pasamos un minuto.

Por lo tanto, le restamos 1 a la columna de los minutos y se lo

sumamos (1 minuto = 60 segundos) a la columna de los

segundos.

La resta de los segundos ya da positivo.

Seguimos analizado los minutos: como la resta es negativa

(- 12 ') a los minutos le pasamos un grado:

Por lo tanto, le restamos 1 a la columna de los grados y se lo

sumamos (1 grado = 60 minutos) a la columna de los minutos.

50

La resta de los minutos ya da positivo.

En definitiva, la resta sería: 12º 48 ' 42 ''

Resuelve las operaciones:

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el

vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales. ( ver

video en http://www.aula365.com/bisectr iz/ )

51

¿Cómo trazamos la bisectriz?

Primero trazamos un arco que corte ambos lados del ángulo, luego desde estos

puntos con una misma abertura de compás, trazamos dos arcos. El punto en el

que se cortan los arcos y el vértice del ángulo, def inen la semirrecta que divide

al ángulo en dos partes iguales.

A practicar!!!

52

PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos

adyacentes

Son ángulos que

tienen un lado

común y los otros

dos pertenecen a la

misma recta.

Suman 180º

Ángulos consecutivos

Son ángulos que

tienen un lado

común y el mismo

vértice.

<BAC es

consecutivo

de <DAC

Ángulos opuestos

por el vértice

- Dos líneas que se

intersectan

generan ángulos

opuestos por el

vértice. - Son

ángulos no

adyacentes.

1, 2, 3 y 4

- Son iguales:

1 = 2

3 = 4

53

Ángulos formados por rectas

paralelas cortadas por una

transversal.

Cuando dos rectas paralelas son

cortadas por una recta transversal se

forman pares de ángulos que tienen

particularidades y características que

a continuación vamos a listar.

Ángulos

complementarios

- Es un tipo

especial de ángulo

adyacente cuya

particularidad es

que suman 90°.

El BAC es

complementario

de DAC y

viceversa.

Ángulos

suplementarios

- Es un tipo

especial de ángulo

adyacente cuya

particularidad es

que

suman 180°

El BAC es

suplementario

de DAC y

viceversa.

54

Es importante observar que las rectas paralelas

tienen un espacio interior y que los ángulos allí se

llaman internos, los que están fuera de ellas, se

llaman externos.

Ángulos correspondientes

Dos ángulos son correspondientes

cuando están del mismo lado de

la transversal, uno es interno y

el otro externo, y no son adyacentes.

SON IGUALES

1 = 5

2 = 6

3 = 7

4 = 8

Ángulos alternos

Dos ángulos son alternos cuando están

a distinto lado de la transversal y

no son adyacentes. Se dividen en

Alternos Internos y Alternos externos

SON IGUALES

1 = 7

2 = 8

3 = 5

4 = 6

Ángulos conjugados.

Dos ángulos son conjugados cuando

están del mismo lado de la transversal.

Se dividen en Conjugados Internos

y Conjugados externos

SON SUPLEMENTARIOS

1 8

2 7

3 6

4 5

55

1. ¿Cuál es el complemento de 75º?

a) 180º b) 25º c) 15º d) 90º

Solución:

Sea x = complemento de 75º

Por definición de ángulos complementarios:

x + 75º = 90º → x = 90º - 75º

x = 15º

La respuesta correcta es

el inciso "c"

x = 15º

2. Según la figura:

¿Cuál es el valor de x?

a) 15º b) 35º c) 180º d) 360º

Solución:

Los ángulos son complementarios, entonces

x + 55º + 20º = 90º → x = 90º - 55º - 20º

x = 15º

La respuesta correcta

es el inciso "a"

x = 15º

3. ¿Cuál es el ángulo cuyo suplemento es el doble de dicho ángulo?

a) 120º b) 60º c) 90º d) 30º

Solución:

Sea

x = ángulo desconocido.

2x=el doble del ángulo desconocido (su suplemento)

Por definición de ángulos suplementarios:

56

x + 2x =180º → 3x = 180º

x = 180º/3

x = 60º

La respuesta correcta

es el inciso "b"

x = 60º

4. De acuerdo con la figura:

¿Cuál es el valor de x?

a) 180º b) 90º c) 225º d) 105º

Solución:

Los ángulos son suplementarios, entonces

35º + x + 40º =

180º

→ x + 75º = 180º

x = 180º - 75º

x = 105º

La respuesta correcta

es el inciso "d"

x = 105º

5. De acuerdo con la figura:

¿Cuál es el valor de x?

a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º

Solución:

La suma de los ángulos forma un ángulo llano, entonces

20º + (2x + 10º) +

60º = 180º

→ 2x + 90º = 180º

2x = 180º - 90º

2x = 90º

x = 90º / 2

x = 45º

La respuesta correcta

es el inciso "b"

x = 45º

57

1) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y

una transversal a ellas:

Encuentra el valor

de x =

2) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y

una transversal a ellas:

Encuentra el valor de x

x =

3) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y

una transversal a ellas:

Encuentra el valor

de x

x =

58

4) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y

una transversal a ellas:

Encuentra el valor de x

x =

5) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y

una transversal a ellas:

Encuentra el valor

de x

x =

2) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y

una transversal a ellas:

Encuentra el valor de x

x =

59

Practico Ángulos 1

Resuelve los siguientes problemas, construyendo la figura cuando sea

necesario.

1. Determina el complemento de 72º.

2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?

3. ¿Cuál es el suplemento de (a - 12)º

4. Determina el complemento del suplemento de 143º.

5. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados

mide x?

6. ¿Cuál es el suplemento del complemento de (a - 10)º.

7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el

suplemento de 93º.

8. Determina la diferencia entre el suplemento de (a - 15)º y el

complemento de (a - 45)º

9. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.

10. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.

11. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor.

¿Cuánto mide el ángulo menor?

12. Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto

mide x?

13. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es

12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos ángulos?

14. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3. ¿En qué razón

están los complementos respectivos de estos ángulos?

15. El complemento y el suplemento de un ángulo son entre sí como 1:5.

¿Cuánto mide el ángulo?

16. Determina el complemento de 42º18'.

17. Determina el suplemento de 154º27'42''.

18. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho

ángulo.

19. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?

20. El complemento de un ángulo de 47º es (ß - 30)º. ¿Cuánto vale ß?

60

Práctico Ángulos 2

Ángulos opuestos por el vértice:

Son……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………….

Ángulos correspondientes:

Son……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………….

Ángulos alternos internos

Son……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………….

Ángulos alternos externos:

Son……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………….

Ángulos conjugados internos:

Son……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………….

Ángulos conjugados externos:

Son……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………….

61

Observar la figura siguiente y después,

contestar a las preguntas siguientes:

1. ¿Cómo son los ángulos 1 y 2?

2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4?

3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4?

4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué?

5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?

6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6?

7. ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3?

8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué?

9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?

10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?

Respuestas:

1. Adyacentes y suplementarios.

2. Opuestos por el vértice. Uno es externo y el otro interno.

3. Sí, juntos valen 180º.

4. Sí, por ser opuestos por el vértice.

5. Sí por encontrarse en el mismo lado de la secante, siendo uno un

ángulo interior y el otro un ángulo exterior.

6. No porque aunque se encuentren en el mismo lado de la secante los

dos son ángulos interiores.

7. No porque no están situados al mismo lado de la secante y además,

los dos son interiores.

8. Sí por estar opuestos por el vértice.

9. Son ángulos alternos externos ya que se encuentran a distinto lado

de la secante y en la parte exterior de las paralelas.

10. No porque no son alternos y además, los alternos internos son

iguales entre sí.

62

Geometría

¿Para qué sirve la geometría?

De forma general la enseñanza de la Geometría tiene como objetivo

general desarrollar el pensamiento espacial del hombre, de modo tal que

este pueda hacer una mejor interpretación del espacio físico que le rodea

en pos de transformarlo.

Historias Matemáticas

La palabra Geometría se deriva del antiguo griego y significa “medida de la

Tierra”. Esto nos hace pensar que en sus comienzos era muy práctica.

Parecen que fueron algunos egipcios los primeros en trabajar y desarrollar

esta ciencia. Hay pruebas tales como las inscripciones y registros en donde

se ve que los egipcios utilizaron principios de geometría para describir y

delinear la superficie de un terreno.

Hoy sabemos que no fueron los griegos los que empezaron con la

geometría, pero llegaron a conocerla gracias a la relación que guardaban

con el pueblo egipcio, quienes parece fueron los primeros en trabajar y

desarrollar esta ciencia.

Recordemos que los egipcios habían utilizado una geometría rudimentaria

para el deslinde de terrenos y la medición de edificios, simplemente como

operación de tipo práctico de recuento y medición.

Perímetro y Superficie

Perímetro: Se denomina así a la longitud del

contorno de un polígono y se calcula sumando

la longitud de todos sus lados.

Área: Es la cantidad de plano limitada por el

polígono.

¿En qué unidades se miden?

El perímetro es una medida de longitud (1D) por lo tanto se mide en

milímetros, centímetros, metros, etc. Observemos el cuadro para recordar

63

las unidades de longitud.

En cambio las superficies tienen dos dimensiones (2D) por lo cual se miden

en centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc. Recordemos las

equivalencias entre las distintas unidades:

Tener en cuenta:

Perímetros Metros

Superficies Metros Cuadrados

Investiguemos que significa 3D…

Cuadrado

Calcular el área del cuadrado

El cuadrado es una figura geométrica que tiene

cuatro lados iguales y todos sus ángulos interiores

miden 90º

Si el Perímetro del cuadrado es igual a la suma de sus lados, y todos sus

lados son iguales, siendo el lado L:

Perímetro = 4 Lados

P = 4 . L

El lado inferior es la Base (b) y el lateral la Altura (h) igual que en el

rectángulo. Como la superficie es igual a la base por la altura, pero en este

caso la base y la altura son iguales:

P = 4 . L

S = L2

64

S= b . h ……….> b=h=L

S= L . L

S= L2

También podemos calcular la superficie de un cuadrado teniendo en cuenta

sus diagonales

Como las dos diagonales son iguales, podemos reemplazarlos con d , la

fórmula se simplifica a:

Ejemplos

El lado de una tapa de la caja cuadrada mide 17 cm. ¿Qué superficie

tiene la tapa?

La afirmación de que tenemos el lado l igual a 17 :

cm

Aplicamos la fórmula de la superficie del cuadrado:

cm2

Por lo tanto, la superficie de la cubierta de esta caja es 289 cm 2.

Si el lado de un cuadrado es 20 cm. ¿Cuál es su área?

Como el lado mide 20 cm, tenemos:

Sustitución tienen la fórmula:

cm2

La superficie es de 400 cm2

El área de un cuadrado es igual a 196

cm 2. ¿Cuál es la medida del lado?

Tenemos que S es igual a 196 cm2.

cm2

65

Sabemos que la superficie es:

S=L2 Entonces el L2= 196cm2

L =

L = 14 cm

El lado del cuadrado mide 14 cm.

Rectángulo

Cálculo del Área de rectángulo

Por definición rectángulo es un

cuadrilátero (todos sus ángulos interiores

son iguales), cuyos lados opuestos son

iguales.

Si los cuatro lados son iguales, vamos a

tener un tipo especial de rectángulo, que

es el cuadrado.

El lado inferior es la Base (b) y el lateral la Altura (h) y el perímetro es la

suma de sus lados:

P= b+b+h+h

P= 2 (b+h)

Como la superficie es igual a la base por la altura:

S = b . h

Ejemplos

Una parcela de cinco metros de ancho por 25 metros de largo. ¿Cuál es el

área de esta tierra?

Si h mide 5m y el ancho 25m:

P= 2 (b+h)

S = b . h

66

Utilizando la fórmula:

m2

El terreno de esta zona es de 125 m 2.

La tapa de una caja de zapatos tiene las dimensiones de 30 cm por 15

cm. ¿Qué superficie tiene la tapa de la caja?

Si la altura mide 15cm y la base 30cm:

Cuando reemplazamos los valores en la fórmula se obtiene:

cm2

La tapa de la caja de zapato es 450 cm 2 .

Triángulo

Calcular el área del triángulo

El triángulo es un polígono de tres lados.

La letra h es la medida de la altura del

triángulo y la letra b es la medida de su base.

En todo triángulo el Perímetro es la suma de

sus lados y el área del triángulo es la mitad

de la base por su altura:

La Superficie es: y el Perímetro es: P= L+L+L

Para determinar la longitud del perímetro del triángulo hay que tener en

cuenta si el triángulo es:

Equilátero (3 lados iguales) entonces: P= 3. L

Isósceles ( 2 lados iguales) entonces: P= 2L1+L2

Escaleno ( 3 lados diferentes) entonces: P= L1+L2+L3

67

La letra S representa el área o la superficie del triángulo.

es la mitad de la base por la

altura

Los triángulos tienen 3 alturas.

La altura es la menor distancia entre un

vértice y el lado opuesto (o su prolongación),

por lo que a cada vértice le corresponde una

altura.

La altura es la longitud del segmento perpendicular al lado que termina en

el vértice opuesto, tal como lo muestran las siguientes figuras:

Cuando se trazan las tres alturas de un triángulo, el punto donde se cortan

se llama ortocentro.

En oportunidades debemos

prolongar las alturas para

encontrar el ortocentro, aquí

tenemos un ejemplo:

P= L+L+L

68

Ejemplos

Como la base de un triángulo es 7 cm, mientras que su altura es de 3,5

cm, ¿cuánto vale la superficie del triángulo?

Si h y b son:

Utilizando la fórmula:

cm2

La superficie de este triángulo es de 12,25 cm2.

Los lados de un triángulo equilátero miden 5 mm. ¿Cuál es el perímetro

de este triángulo equilátero?

Sabemos que en un triángulo equilátero los tres lados son iguales, bien,

entonces el perímetro es:

L= 5mm…………………… P= 3L

P= 15 mm

El perímetro del triángulo es de aproximadamente 15 mm.

Círculo

Cálculo del área del círculo

Cuando hablamos de círculo primero tenemos que

saber que es Pi porque es una constante matemática

que usamos cuando calculamos el perímetro o la

superficie del círculo. π (pi) es la relación entre la

longitud de la circunferencia y su diámetro. Este valor

constante irracional está representado por la letra

griega minúscula pi , escrito como:

69

Debido a que es un número irracional, el

número pi tiene infinitos decimales. Para algunos

cálculos se utiliza el valor de 3,14159265 . Para los

cálculos con menos precisión, podemos

utilizar 3,1416 o incluso 3,14 . Nosotros vamos a

tomar éste último valor para nuestros cálculos.

El perímetro de un círculo se obtiene por la

fórmula: o P = . D

El cálculo del área del círculo se realiza de

acuerdo a la siguiente fórmula:

y =3,14

Donde r es el radio del círculo y D el diámetro

Se puede observar que el diámetro es el doble del radio:

Diámetro = Dos radios

D= 2 . r

En consecuencia:

radio = Mitad Diámetro

r = ½ D

Ejemplos

La tapa de un recipiente circular es de10cm de diámetro. ¿Cuál es el área

de esta tapa?

Si el diámetro es 10cm, entonces su radio vale la mitad:

Sustituyendo en la fórmula:

S = 3,14 . 52

S= 3,14 . 25

S= 78,54 cm2

El área de la lente de aumento es 78,54 cm 2 .

Un círculo tiene un radio de 8mm. ¿Cuántos milímetros cuadrados tiene

de superficie?

Expresión, tenemos el radio r es:

r=8mm

70

S= 3,14 . 82

S= 200,96 mm2

La superficie del círculo es de 200,96 mm2

Un area circular tiene una superficie de 314 km2. ¿Cuánto mide el radio?

314 km2 = 3,14 . r2

314 :3,14 = r2

100 = r2

√ 100 = r

10 = r

El radio mide 10 km

Práctico Perímetro y Superficie

1. - Calcular el perímetro de un cuadrado de lado 5 cm.

2.- Calcular el perímetro de un cuadrado de lado 12 m.

3.- ¿Qué medida tienen los lados de un cuadrado que tiene un perímetro

de 24 mm.?

4.- Si tengo un terreno cuadrado de lados de 9 metros y deseo cerrarlo con

4 corridas de alambre. ¿Cuánto alambre necesito?

5.- Calcular el perímetro de un rectángulo de lados 8 metros y 400

centímetros.

6.- Un rectángulo tiene un perímetro de 44 metros y uno de sus lados es

de 15 metros. ¿ Cuánto miden los otros lados?.

7.- ¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero de lados 6 cm.?.

8.- Calcular el área de un cuadrado de lados de 9 cm.

9.-Calcular el área de un rectángulo de lados 5 y 8 m. 3

10.- Si el área de un rectángulo es de 45 metros cuadrados y uno de sus

lados es de 5 metros. ¿Cuánto miden sus otros lados?

11.- ¿Cuál es el área de un rectángulo de lados 4 metros y 200

centímetros?

71

12.- Calcular el área de un triángulo que tiene por base 8 cm. y de altura

tiene 9 cm.

13.- Si un triángulo tiene base 15cm y área 105cm2. ¿Cuánto mide su

altura?

14.- Hallar el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado.

15.- Hallar el perímetro y el área de un cuadrado de 7 m de lado.

16.- Averiguar el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 cm.

Explicar cómo calcular:

a) El área de un cuadrado

b) El perímetro de un cuadrado

c) El área de un rectángulo

d) El perímetro de un rectángulo

e) El área de un triángulo

f) El perímetro de un rectángulo

Redactar tres problemas donde debas calcular el área o el perímetro

de las figuras estudiadas.

Calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras:

a)

c)

b)

d)

72

Cuadro resumen

73

Ejercicios interactivos:

Perímetro:

http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/perimeter/index.html

http://www.genmagic.org/mates1/per1c.swf

Superficie:

http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/area/launch.html

http://www.genmagic.org/mates1/ap1c.swf

http://misdescargas.educ.ar/ver/60176/Per%C3%ADmetro_y_superficie_I/

#

http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?GUID=8e1fd940-1f8d-4fa0-

9632-90eec1538b9c&ID=196076

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anay

a1/datos/13/01.htm

http://www.humanodigital.com.ar/mas-120-actividades-educativas-online-

para-trabajar-la-geometria-en-la-primaria/