Carl Friedich Gauss

Primers resultats

Andreu Vich VidalVeronica Tovar Sastre

Introduccio

En aquest treball es preten donar una visio del gran matematic Gauss,qui ha contribuıt de manera notoria en nombroses branques de les mate-matiques i a altres ciencies com per exemple, a la fısica i a la geodesia, jaque ha contribuıt a formar una base per a trobar la solucio de problemesmolt complicats de les ciencies. A mes, podem dir que Gauss es undels mes rigurosos que han existit mai. Pero quins fets fan que aquestmatematic tengui la importancia que te? Quins fets el converteixen enun dels matematics mes exigents i rigurosos que ha existit fins avui endia?

Per tal de poder contestar aquestes preguntes, comencarem expli-cant un poc l’entorn on va creixer i es va formar. Cal dir que la vidade Gauss es va desenvolupar en el marc historic del classicisme. En-cara que Gauss va viure part de la seva vida en el feudalisme i sotael rıgid absolutisme germanic, a poc a poc anava sorgint una “novasocietat”amb renovades ideologies culturals i que permetia una majorproduccio cientıfica. Aquest pot ser un dels motius pels quals va resul-tar tan prolıfic el treball de Gauss (juntament amb les seves capacitatsinnates per a les matematiques), ja que no es va trobar amb tants entre-bancs per poder realitzar els seus estudis i treballs, com podia ser el casd’altres matematics precedents a ell. Aquesta nova realitat, a mes, vasuposar tambe per a Gauss que es pogues entrevistar i tenir un contactemes proper amb nombrosos matematics, fet que li va ser de gran ajudaper elaborar els treballs i obres que aniria publicant al llarg de la sevavida.

D’altra banda, a finals del segle XVIII, i ja entrant estrictament entermes matematics, ens trobam tot una serie de resultats obtinguts permatematics precedents a Gauss, com puguin ser Euler, Lagrange o Fer-mat, alguns d’aquests enunciats i demostrats, i d’altres deixats com aconjectures. Un dels camps on hi havia una gran dispersitat de resultatsobtinguts era en teoria de nombres. Els treballs fets pels matematicscitats anteriorment, ens havien deixat una serie de resultats aıllats querequerien de ser reagrupats i posats tots en comu. Gauss seria efectiva-ment qui s’encarregaria de recopilar tots aquests resultats, fent-ne unamagnıfica sıntesi i obtenint tot una col·leccio brillant de nous resultats,metodes i proposicions, que servirien de guia per a grans matematicsposteriors a Gauss, com pugui ser el cas de Dirichlet, de qui es diuque tenia una copia d’una de les seves obres (el Disquisitiones Arith-maticae), i que l’estudiava dia si i dia tambe amb tot detall. A partd’aixo, la rigurositat de la que estava impregnada cada una les sevesobres, feien que s’el consideras un matematic modern, en el sentit que

1

molts dels seus textos i treballs els va exposar en una forma molt similara la metodologia emprada en l’actualitat.

Una vegada tinguem una idea de qui es Gauss, i vist el marc historicon va creixer, continuarem explicant un dels teoremes que demostra ique, a mes, es un dels resultats fonamentals de l’algebra, “El teoremafonamental de l’algebra”(TFA). Aquest teorema, ens dona una visio delrigor que tenia, ja que el va arribar a demostrar al llarg de la seva vidade 4 maneres distintes.

A continuacio, despres d’haver explicat el TFA i les diferents de-mostracions que d’aquesta realitza, continuarem explicant una de lesseves obres que ha esdevingut mes important per al desenvolupamentde la societat: el Disquisitiones Arithmaticae, que recopilava tot unaserie de resultats sobre teoria de nombres. El desenvolupament per partde Gauss d’aquesta nova branca de les matematiques, va permetre, perexemple, l’aparicio d’internet un segle mes tard, l’invencio dels cd’s demusica a partir de la teoria de nombres que va desenvolupar al llargd’uns quants anys, o la possibilitat d’enviar missatges privats gracies al’encriptament de la informacio.

Cal dir pero, que l’extensa obra de Gauss no es va centrar ni moltmenys nomes en la teoria de nombres, sino que tambe va fer gransaportacions en geometria, estadıstica o astronomia per exemple, peronosaltres no ens centrarem en aquesta part, ja que preferim estudiar afons una de les seves obres, que no pas veure-ho tot de manera molt es-quematica. No obstant aixo, tots els resultats que obtingue en aquests al-tres camps es poden considerar igualment importants com els obtingutsen teoria de nombres.

Ara que ja tenim una idea del que es veura al llarg del treball,endinsem-nos dins el mon de Gauss.

Inicis de Gauss

Carl Friedich Gauss neix un 30 d’abril de 1777 en la ciutat de Brunswick,a Alemanya, en el si d’una familia pobre. El seu pare, Geghard Dietrich,exercı treballs manuals de tot tipus al llarg de la seva vida. Entre aque-sts destaquen el de picapedrer, jardiner o fins i tot com a constructor defonts. Per altra part, la seva mare, Dorothea Benze, va haver de migrar aBrunswick a la recerca de feina, tot coincidint amb la mort del seu pare.Nomes aconseguı fer feina de criada, fins que es va casar amb Geghard.

Un dels fets que pot sorprendre es que a Gauss en el registre parro-quial no li posaren el nom per el qual tots el coneixem. De fet, va ser

2

enregistrat com a Johann Friedrich Carl, pero ja desde petit aniria aban-donant paulatinament aquest nom per passar a anomenar-se tal com elconeixem avui en dia. A mes, totes les seves obres les va firmar com aCarl Friedrich Gauss.

Ja desde ben petit Gauss va comencar a despuntar en el camp de lesmatematiques, es veia que tenia unes capacitats especials. Estava clarque venguent d’una familia sense precisament excessos economics, noli podrien donar una educacio de qualitat, pero aixo ni molt manco vasuposar un entrebanc per a Gauss. Aixı, ja nomes amb 3 anys, mentreel seu pare estava supervisant i calculant els salaris que havia d’abonarals seus treballadors, Gauss s’en va donar compte que una de les sumesque havia fet el seu pare estava malament. Aquest fet va sorprendenotablement al seu pare, ja que efectivament el que li havia dit el seu fillera cert. Aixı doncs, amb nomes 3 anys ja era capac de realitzar sumes,i no nomes aixo, inclus corregir les errades de calcul del seu pare.

Cap als 7 anys, Gauss ingressa a la Katherinen Volkschule, una vellaescola de primaria, despres que la seva mare convences a Geghard, quesempre s’havia mostrat reticent a que el seu fill estudias. L’escola estavadirigida per Buttner, un professor conegut en aquell moment per aplicarunes disciplines didactiques molt dures.

En aquest centre es produiria una altra de les anecdotes mes desta-cades de la seva infancia, i que ha provocat certa controversia entreels historiadors, ja que uns afirmen que es veritat, mentre que d’altresho neguen. Cap als nou anys, Gauss va rebre la seva primera classed’Aritmetica. Buttner, el seu professor, que com ja hem dit tenia u-nes metodologies prou dures, va plantejar als alumnes un problema,que tinguent en compte l’edat de Gauss i dels seus companys era d’u-na dificultat elevada. Es tractava de calcular el resultat de sumar elscent primers nombres. Doncs mentre la resta d’alumnes estaven fent lessumes corresponents, ell al cap de poc d’haver plantejat el problema vaescriure en la seva pissarra: “Ligget se!”(ja esta!). Aixo sens dubte vasorprendre molt al seu professor i tambe als seus companys.

En realitat el que havia fet Gauss era una observacio crucial per alseu calcul. Havia vist que sumant el primer i el darrer nombre (1 i100), donava el mateix resultat que sumar el segon amb el penultim (2i 99). Com que hi havia 50 parelles possibles, el resultat havia de ser:101 · 50 = 5050.

3

Adol·lescencia.

Sens dubte, fets com els explicats anteriorment, ja feien notar que Gausstenia un talent innat per a les matematiques. No obstant aixo, aquest nopodia rebre una educacio de qualitat en quant a escriptura, estudi delllatı o coneixements de cultura classica. Es per aixo que finalment iamb no pocs entrebancs del seu pare, que se seguia mostrant reticenta que Gauss continuas amb els seus estudis, ingressa als 11 anys alGymnasium Catharineum, escola on estudiaria llatı i grec, i que passatsdos anys accediria a un grau superior en educacio secundaria.

Alla seguiria demostrant que possiblement estavem davant un genide les matematiques. De fet, el duc Karl Ferdinand, en una audienciaque va tenir amb Gauss, va quedar impressionant de les habilitats deljovenet. D’aquesta manera, i veient el talent del petit Gauss, aquest vadecidir proporcionar-li ajut economic perque prosseguıs els seus estu-dis. Estava clar que veient les destreses de Gauss, el duc Ferdinand nopodia deixar escapar aquesta joia de les matematiques.

D’aquesta manera va poder accedir a escoles d’educacio superior,on va acabar la seva formacio, i de passada seguir enriquint la sevacultura matematica amb la lectura de llibres com l’Ars conjectandi deJackob Bernoulli, el Principia Mathematica de Newton, o les memoriesd’Euler. En aquest punt es comencaven a dipositar els fonaments de lesinvestigacions que faria mes endavant Gauss. Havia vist que certs re-sultats que es publicaven en aquests llibres no estaven provats, i d’altresquedaven demostrats de manera algo difusa o poc clara. Els seus es-tudis inicialment es centrarien en teoria de nombres, com pugui ser ladistribucio dels nombres, i tambe en fonaments de la geometria.

Etapa universitaria

A pesar de la seva passio pel mon de les matematiques, Gauss, comptantja amb 17 anys, no tenia clar el seu futur academic. Per una part, esta-va clar que lo que li motivava mes eren les matematiques, pero tambedubtava en estudiar Filologia classica. El rerefons d’aquesta dicotomiaera que, segons Gauss, les llicons matematiques que s’impartien a l’u-niversitat de Gottingen, on s’havia desplacat despres d’acabar els seusestudis de secundaria, deixaven bastant que desitjar. No obstant aixo,mentres decidia per quina carrera estudiar, i fruit de les investigacionspersonals que havia anat fent alla, es va produir un fet que seria clau enel futur de Gauss: la construccio en regla i compas del heptadecagon(polıgon regular de 17 costats).

De fet aquest va ser el primer gran resultat que va obtenir Gauss. I

4

a partir d’aquest va obtenir una generalitzacio del mateix:

Un polıgon regular de n costats es construıble amb reglai compas si n es igual al producte d’una potencia de 2 perun cert nombre de primers de Fermat distints:

n = 2s · p1 · ... · pkamb p1, ..., pk primers de Fermat.

I deiem que aquest resultat obtingut esdevindria trascendental enel seu futur, ja que Gauss va quedar tan satisfet amb la demostracioanterior, que finalment es va declinar per estudiar matematiques. Tantes aixı, que aquest resultat va ser de tant agrat per a Gauss que aquestdeixa escrit en el testament que volia que l’heptadecagon fos gravaten la seva tomba, encara que el seu desig no es va complir, ja que elpicapedrer que ho havia de fer es va negar.

Durant els seus estudis universitaris va realitzar nombrosos desco-briments com per exemple, l’aritmetica modular, la llei de reprocitatquadratica (la qual va ser enunciada poc abans per Legendre pero nodemostrada) i tambe va demostrar que tot enter positiu pot expresar-secom a suma de com a molt 3 nombres triangulars.

Als dos anys va decidir abandonar la universitat ja que pensava quealla no li podien fer avancar mes i es va retirar a casa seva per tal de ferla seva tesi, la qual la va basar en el teorema fonamental de l’algebra.Cal notar que la primera demostracio que va fer d’aquest teorema no esconsidera valida pero les altres tres que va fer al llarg de la seva vida sique son valides.

Centrem-nos un poc amb la tesi que realitza Gauss,que com s’hadit, la realitza sobre el Teorema Fonamental de l’Algebra. Recordemprimer el que diu aquest teorema:

“Tota equacio polinomica de grau n amb coeficients com-plexos te n arrels complexes.”

Encara que Gauss no va demostrar aquesta afirmacio sino que provael fet seguent:

“Tot polinomi amb coeficients reals pot ser factoritzat coma producte de factors lineals i quadratics”.

Aquest nou enunciat es equivalent al primer ja que si un polinomi teles seves arrels a C, aleshores podem definir el polinomi g = ff ∈ R,tal que una factoritzacio de g(x) esta formada per una factoritzacio def(x), per tant qualsevol arrel de f(x) sera tambe arrel de g(x).

5

Si ens situam en el context historic de l’epoca ens podem adonarque es natural que fos en aquest moment en el qual es demostras aquestteorema ja que dos segles abans els italians trobaren quan un polinomide tercer o de quart grau tenia solucio. Com tambe, dos matematicsitalians Cardano i Bombelli avancaren molt en el camp dels nombrescomplexos. A mes, Descartes va publicar un segle abans que per a totaequacio de grau n, te n arrels, encara que aquestes arrels imaginariesno corresponen a cap quantitat real. Posteriorment un altre matematic,anomenat Girard fou el primer en publicar que tota equacio de grau nte n arrels, pero sense demostrar-ho.

Tornant al matematic que ens interessa, recordem que Gauss entra ala universitat de Gottingen, on amb dos anys es va adonar que ningu lipodia ensenyar res mes. Per la qual cosa, l’any 1797 torna a Brunswick,la ciutat on nasque, per tal de comencar a escriure la seva tesi doctoralsobre el Teorema Fonamental de l’algebra, ja que aquest teorema eraconegut pel matematics encara que ningu havia aconseguit demostrar-lo. Per tant, Gauss es el primer matematic que en fa una prova. Vegema continuacio una explicacio de cadascuna de les demostracions querealitza al llarg de la seva vida, la qual cosa ens fa veure el rigor deGauss, ja que no hi ha molts matematics que una vegada tenen unademostracio ben, feta tornin a provar el resultat d’una forma diferent.Les quatre demostracions son:

1. De caire geometric. Aquesta prova inicial que va fer Gauss delteorema es la primera demostracio acceptada, i que s’emmarcadins la tesi que realitza Gauss, a la qual la va anomenar “De-mostratio nova theoremattis omnem functionem algebraicam ra-tionalem integram unius variabilis in factores reales primi vel se-cundi gradus posee ”, es a dir, “Nova demostracio del teoremaque diu que tota funcio algebraica racional es pot descomposaren factors de primers o segon grau amb coeficients reals”. Aquesttıtol ens dona una idea de la humildesa de Gauss, ja que el vaanomenar nova demostracio, pero no era nova, sino que de fet erala primera. Gauss, va afirmar que la seva prova no era del tot ri-gurosa, pero que a partir dels mateixos principis es podia arribara fer una demostracio del tot rigurosa.

Gauss comenca la demostracio agafant un polinomi real qual-sevol:

X = xm + Axm−1 +Bxm−2 + · · ·+ Lx+M

Tot seguit fa el canvi x = r(cosφ + i sinφ), es a dir, com que xpot ser complex, utilitza la formula d’Euler (eiφ = cosφ+ i sinφ)

6

per a la seva representacio en termes de sinus i cosinus. Semblalogic l’us d’aquesta formula, ja que havia estat popularitzada anysenrere pel mateix Euler, i era la novetat del moment. Ara aplicael canvi al polinomi citat anteriorment, i en separa les seves partsreal i imaginaria, que Gauss anomena U i T . Aixı si substituimen X , obtenim que:

U = rm cosmφ+ Arm−1 cos(m− 1)φ+ · · ·+ Lr cosφ+M

T = rm sinmφ+ Arm−1 sin(m− 1)φ+ · · ·+ Lr sinφ

L’objectiu de Gauss era provar que existia un punt d’interseccioentre les corbes U = 0, T = 0, ja que d’aquesta manera, si U =T = 0, resultaria que:

X(r, φ) = U(r, φ) + iT (r, φ) = 0

i per tant hauriem trobat una arrel del polinomi original.

Primer de tot, ell observa que les corbes citades abans, son corbesalgebraiques (varietats algebraiques de dimensio 1) d’ordre m,que venen donades com a expressions en r i φ. Per veure-ho, bas-ta aplicar formules trigonometriques conegudes per obtenir U i Tcom a expressions en r cosφ i r sinφ. Feta aquesta observacio,anem ja a veure com demostra Gauss que existeix dit punt d’in-terseccio, que una vegada trobat, aquest constituira una arrel delnostre polinomi.

El que fa es considerar un cercle de radi R, amb R real positiuqualsevol, i estudiar les interseccions de les corbes U = 0 i T = 0amb el cercle de radi R. Aixı, Gauss prova el seguent lema:

Per a un radi R suficientment gran, existeixen exac-tament 2m interseccions de la corba T = 0 amb elcercle, i 2m interseccions mes de U = 0 amb dit cer-cle. A mes, cada punt d’interseccio del segon tipus, estroba entre dos del primer tipus.

El que vol dir Gauss amb aquesta lema, que va demostrar ambtot tipus de rigor en la seva tesi, es que si ordenam aquests puntsd’interseccio indexant-los en 0, 1, 2, . . . , 4m−1, 4m, aleshores siel punt de tall 0 es del primer tipus, 1 ha de ser del segon tipus i 2una altra vegada del primer, i aixı succesivament.

Tot seguit observa que per a petits variacions del radi R, el val-or dels 4m punts d’interseccio varia poc, definicio que recorda

7

molt el de continuıtat, pero que Gauss no es va atrevir a emprar,mes que res perque el concepte de continuıtat, tot i que ja existia,mancava d’eines prou potents per al seu desenvolupament (per ex-emple, com manejar lımits). De fet, el lema que haviem esmentatabans, el va demostrar sense fer us del concepte de lımit.

Vist lo anterior, el que fa es provar que les corbes U = 0 i T =0, una vegada intersecten el cercle de radi R i entren en el seuinterior, aleshores aquestes han de tallar el cercle en un altre punt,es a dir, que les corbes no poden ser ni espirals q romanguin dinsel cercle, com pogues ser el cas de espirals logarıtmiques, o quetampoc que les corbes degenerin en un punt, com pogues ser el

cas de y =1

log x.

Considerant com a bo el resultat anterior, aixo implica que totpunt del primer tipus (interseccio de T = 0 amb el cercle) potser conectat amb un altre punt d’aquest mateix tipus, i el mateixpassa amb punts del segon tipus. Aquesta observacio sera crucialper a demostrar el teorema.

Recordem que Gauss volia veure que existia un punt d’intersecciode les corbes U = 0 i T = 0. Ell suposa que no existeix dit puntd’interseccio per arribar a una contradiccio.

Si recordam l’ordenacio que haviem fet dels 4m punts d’intersec-cio de les corbes U = 0, T = 0 amb el cercle de radiR, tenim queel punts amb ındex parell (0, 2, 4, 6, ..), corresponien a les inter-seccions de T = 0 amb el cercle, i els de ındex imparell als de lesinterseccions de U = 0 amb el cercle. Aixı, per exemple el puntde tall 0, que per conveni comencam a la banda de l’eix negatiu,el podem conectar amb el punt 2m a traves de l’eix de les x. Ara,el punt 1 nomes pot ser conectat a un punt n senar amb n < 2m,ja que si no fos aixı, aquesta conexio tallaria l’eix X, i hem su-posat que aixo no pot passar. De la mateixa manera, el punt 2nomes pot ser conectat a un n′ parell amb n′ < n. Repetint aque-st proces, arribarem als punts h i h+ 2, que poden esser conectatsencara. Ara be, el punt h + 1 forcosament ha d’estar conectat aun altre punt d’interseccio del mateix tipus, aixı que si establimdita conexio, aquesta ha de tallar la corba que uneix h amb h+ 2.Aixo contradiu que no existia dit punt d’interseccio.

Per tant, efectivament existeix un punt d’interseccio, que acom-pleix U = 0 i T = 0, i que constitueix una arrel del polinomioriginal, amb lo qual queda provat el teorema.

8

ExempleCom s’ha pogut comprovar, en les seves demostracions, Gauss

no deixava cap tipus de detall a l’aire, sino que demostrava ambtot rigor cada una de les passes que feia. Anem ara a veure un petitexemple perque quedi encara mes clar el procediment emprat perGauss en aquesta primera demostracio. Considerem el polinomi

X(x) = x2 + 1

Si ara aplicam el canvi x = r(cosφ+ i sinφ), obtenim que:

X(r, φ) = r2(cos(2φ) + i sin(2φ)) + 1

que si en separam les parts reals i imaginaria, veim que els valorsde U i T son:

U = 1 + r2 cos(2φ) , T = r2sin(2φ)

Ara igualant les expressions anteriors a zero, la corba T = 0coincideix amb els eixos coordenats, mentre que la corba U = 0es de la forma que apareix en la figura 1.

Com afirmava Gauss, fent aixo obtenim 4m interseccions d’aques-tes corbes amb el cercle de radi R, que en el nostre cas son 8, jaque m = 2. A mes, s’intercalen un si un no, punts d’intersecciode U = 0 amb el cercle, amb punts d’interseccio de T = 0, comes pot comprovar amb la imatge. Finalment, per aquest cas con-cret trobam dos punts d’interseccio de les corbes T = 0 i U = 0dins el cercle, que efectivament corresponen a les dues arrels delpolinomi original. En concret, si pensam que esteim en el pla

9

complex, els punts on intersequen son Y = 1, i Y = −1, que enrepresentacio complexa corresponen a x1 = i, x2 = −i, que sonles dues arrels de X que cercavem.

2. Algebraica. La segona demostracio era molt tecnica i totalmentalgebraica. Aquesta demostracio juntament amb la quarta es pu-blicaren de forma conjunta a l’any 1816. Aquı no veurem la de-mostracio rigurosa que feu Gauss, sino que nomes en veurem u-nes quantes pinzellades i l’idea principal de la prova.

Ja d’inici pressuposa que tota equacio real de grau imparell, teuna arrel real i que cada equacio de segon grau amb coeficientscomplexos te dues arrels complexes.

La prova comenca amb un polinomi p(x) de graum parell a coefi-cients reals. Gauss suposa que p(x) es pot descomposar en factorslineals:

p(x) = (x− a)(x− b)(x− c)...

Cada parell d’arrels, per exemple a i b, es poden escriure en formade combinacio lineal:

(a+ b)t− ab

en una nova variable t. Si contam totes les possibles combina-cions lineals diferents que es poden formar a partir de les arrelsde p(x) obtenim que n’hi ha:

m′ =

(m

2

)Per tant, podem construir una equacio auxiliar de grau m′, tal queles arrels d’aquesta siguin combinacions lineals del tipus que hemdit abans, i.e (a + b)t − ab, amb a, b arrels de p(x) i t sigui unnombre tal que ens proporcioni arrels diferents i no s’en repeteixicap. Una vegada es coneix una de les arrels de l’equacio auxiliar,llavors a+ b i ab son coneguts, i les dues arrels a i b de l’equaciooriginal es poden calcular, com tambe els nombres complexosmitjancant l’extraccio de la seva arrel quadrada.

A mes, m es pot escriure comm = 2µk on k imparell. Aleshores,

m′ =

(m

2

)= 2µ−1k.

10

Repetint el proces de construccio d’una equacio auxiliar, podemarribar a una equacio de grau imparell. De tal manera que els co-eficients de l’equacio serien funcions simetriques de a, b, ... ambcoeficients reals, per la qual cosa tambe seran nombres reals. Icom que el grau d’aquesta equacio auxiliar es imparell, aquest tealmenys una arrel real.

Gauss, no va fer exactament el mateix que hem exposat aquı sinoque construeix els polinomis auxiliars sense suposar que tenguinarrels. Encara que no sigui el mateix el procediment que segueix,es paregut.

Pero amb el que ens hem de quedar d’aquesta segona prova, esamb la idea principal de la demostracio. L’objectiu de Gauss noes mes que, donada una equacio de grau m parell, aconseguirun polinomi auxiliar que tengui grau m′ senar, que sabem que teuna arrel real, i a partir d’aquı poder trobar un arrel del polinomioriginal.

3. Analıtica. La tercera prova d’aquest teorema es molt mes senzillaque les anteriors demostracions. El proces general es basicamentel mateix que en la primera demostracio, pero en vers de fer-hodes d’un caire geometric, ho fa desde un punt de vista analıtic.

Comenca tal com en la primera demostracio, fent el canvi seguent:

x = r(cosφ+ i sinφ)

i torna a separar en part real i part imaginaria, anomenant t i urespectivament. Es a dir,

t = rm cos(mφ) + Arm−1 cos((m− 1)φ) + · · ·+ Lr cosφ+M

u = rm sin(mφ) + Arm−1 sin((m− 1)φ) + · · ·+ Lr sinφ

I llavors, deriva cadascuna de les funcions respecte φ:

t′ = −mrm sin(mφ)−(m−1)Arm−1 sin((m−1)φ)−· · ·−Lr sinφ

u′ = mrm cos(mφ)+(m−1)Arm−1 cos((m−1)φ)+· · ·+Lr cosφ

Observant que el terme de grau major en r de u′t− ut′ es mr2m,ja que mr2m(cos2(mφ) + sin2(mφ)) = mr2m, a partir d’aquestaexpressio Gauss conclueix que u′t− ut′ es positiu per a un nom-bre suficientment gran de r’s, al qual anomena R. A continuaciocalcula les derivades segones:

−t′′ = m2rm cos(mφ) + · · ·+ Lr cosφ

11

u′′ = −m2rm sin(mφ)− · · · − Lr sinφ

El que volem veure a continuacio es si existeix (r, φ) tal quet(r, φ) = 0 i u(r, φ) = 0, la qual cosa implica l’existencia d’unaarrel complexa per al polinomi inicial.

Ho demostra per contradiccio. Per tant, suposa que no existeixcap punt tal que t = u = 0. Aleshores t2 + u2 mai val zero, iconstrueix la seguent funcio:

y =(t2 + u2)(tt′′ + uu′′) + (tu′ − ut′)2 − (tt′ + uu′)2

r (t2 + u2)

que es sempre finita. Una vegada considerada aquesta funcioGauss, calcula la integral doble seguent:

Ω =

∫ 2π

0

∫ R

0

ydrdφ

Integrant primer respecte a φ, ja que l’ordre d’integracio es in-diferent, obtenim el seguent:∫

ydr =tu′ − ut′

r(t2 + u2)

ja que la derivada del segon membre respecte de r es efectivamenty. Destacar que, es clar que s’esta fent un poc d’abus de notacio,ja que estem diguent t′ i u′ indistintament, quan aquestes funcionsdepenen tant de r com de φ. Recordem que com haviem dit, t′ iu′ representen les derivades respecte de φ. Pero es facil veure queles derivades de t, u respecte de r es poden posar en funcio de lesderivades de t, u respecte de φ, d’aquı que emprem nomes t′, u′,ja que sino es complicaria molt la notacio.

Ara, com que la integral que volem calcular esta definida entre 0 iR, i en R hem vist que tu′−ut′ era positiu, el resultat de calcularΩ es sempre estrictament positiu. I si calculam ara la integralrespecte l’altra variable, obtenim:∫

ydφ =tt′ + uu′

t2 + u2

ja que la derivada del segon membre respecte de φ dona y. Aque-sta funcio val el mateix per a φ = 0 i φ = 2π, ja que nomesapareixen sinus i cosinus. Per la qual cosa la integral definida val0 i per tant Ω = 0. La qual cosa contradiu el resultat de la integral

12

calculada abans, que era estrictament postiva. Per tant, hem arri-bat a contradiccio, la qual cosa vol dir que no podem suposar quet i u mai poden valer zero alhora.

Aixı hem arribat a que existeix un punt (r, φ) tal que t = u = 0,i que constitueix una arrel del polinomi original, que es lo que esvolia provar.

Una vegada llegida la tercera demostracio, un es pot sorprendede com Gauss defineix la funcio y, funcio que sens dubte es genstrivial. Ni perque quan calcula el valor de Ω, tot encaixa tan be.Pero nomes cal fer un grapat d’observacions per veure la granastucia emprada per Gauss en aquesta prova.

Recordem el canvi que feia Gauss al principi: x = r(cosφ +i sinφ). Aixı doncs es pot pensar el polinomi original X coma X(r, φ) = t + iu, on les coordenades polars tambe poden serintroduıdes per:

X(w, α) = w(cosα + i sinα)

de tal manera que:

α(r, φ) = arctan(ut

)Ara si derivam α respecte de r i φ respectivament, obtenim:

∂α

∂r=tt′ + uu′

t2 + u2= E

∂α

∂φ=

tu′ − ut′

r(t2 + u2)= F

expressions que haurien de sonar al lector, ja que ens havien apare-gut durant la demostracio anterior. Finalment, si ara calculam lesderivades creuades obtenim:

∂E

∂φ=∂F

∂r= y

Fetes aquestes puntualitzacions, ja no pareix tan casual l’elec-cio de la funcio y, sino que tot era fruit de l’enginyos i astutGauss. Aquesta observacio de fet, li permete concluir la tercerademostracio del TFA, tal com hem vist abns.

4. Ampliacio de la primera demostracio. Aquesta prova la va rea-litzar per a poder mostrar la versio completa de l’enunciat, es a

13

dir, el cas general de que una equacio de grau n amb coeficientscomplexos te n arrels complexes. La qual l’havia estudiat per talde poder presentar-la en la conmemoracio del cinquante aniver-sari de la primera demostracio d’aquest. Es a dir, la publica al’any 1849, sis anys abans de la seva mort, i per tal de celebrarel 50e aniversari de la primera publicacio prepararen una con-ferencia, ja que Gauss era un matematic prolıfic d’aquell tempsi tothom el coneixia. En aquesta conferencia, recorda com vatrobar el primer resultat i a mes presenta aquesta nova prova.Aquesta nova demostracio es molt pareguda a la primera la unicadiferencia entre ambdues es que en la nova afegeix petits detallsper tal de deduır el resultat per a coeficients complexos a partirdel resultat per a polinomis a coeficients reals.

Amb aquest inconformisme de Gauss en quant a la demostraciod’aquest teorema, es pot veure el rigor que tenia aquest matematic al’hora de fer les seves proves. Ja que mai es sentia conforme amb elsseus resultats, de manera que sempre els volia millorar per tal que es-tiguessin millor. Per aixo, va fer fins a quatre demostracions d’aque-st mateix teorema. A mes, tambe ens podem adonar del geni que eraaquest matematic, ja que tres de les seves demostracions son comple-tament diferents i empren cada una d’elles una branca diferent de lesmatematiques.

Tornant a l’epoca d’estudiant de Gauss, nomes uns quants anys des-pres a la publicacio de la seva tesi, arribam a un any clau per al joveGauss, el 1801. Recordem que ja havia comencat anys enrere en el Col-legium Carolinum les seves investigacions sobre teoria de nombres, re-cerques que perduraren durant la seva estancia a l’universitat de Gottin-gen, i posteriorment per compte seu. Fruit d’aixo, aquest any publica laseva primera gran obra: el Disquisitiones Arithmeticae.

Antecedents a la teoria de nombres

Aquesta obra recollia tot una serie de resultats sobre teoria de nombres,amb resultats nous fruit de la recerca propia, pero no nomes aixo, sinoque tambe recollia els principals treballs realitzats en aquest camp perels matematics Fermat, Euler, Lagrange i Legendre. Cal esmentar lagran precisio de tots els resultats, definicions,... que es troben en aquestllibre fruit de la rigorositat que tenia Gauss a l’hora d’escriure.

La teoria de nombres, segons Gauss, constituıa la reina de les mate-matiques, que a la vegada la considerava la reina de la ciencia. I de fetaixı ho va demostrar posteriorment, ja que molts dels recursos, mecan-

14

ismes i resultats obtinguts en el Disquisitiones Arithmeticae els em-praria en les seves posteriors obres, algunes d’elles dedicades a la ciencia,com es el cas de calcul d’orbites d’asteroides (com fou el cas de Ceres),recollides en la seva obra Theoria Motus Corporum Coelestium in sec-tionibus conicis solem ambientium.

Comencem definint amb les matematiques modernes, que es la teo-ria de nombres, per tal de saber de que parlarem a partir d’ara en enda-vant:

En teoria de nombres, que es la branca que estudia lespropietats dels nombres, en particular la dels enters, aixıcom tambe els problemes relacionats amb el seu maneig.

Com ja s’ha dit, els primers resultats sobre teoria de nombres nocorresponien ni molt menys a Gauss. Aixı per exemple, Fermat haviaplantejat dues conjectures que tingueren un destı distint:

• Els nombres de la forma 22n+1 eren aparentment sempre primers.

• Si p es primer i a enter no divisible per p, aleshores ap − 1 esprimer.

D’una banda Euler cap al 1732 havia demostrat que

225 + 1 = 4294967297 = 6700417 · 641

Per tant, semblava esser que la primera conjectura de Fermat no era cer-ta per a n ≥ 4. En relacio amb la segona conjectura, anomenada “petitteorema”de Fermat, fou Euler el primer en publicar una prova en el seuCommentarii, cap al 1736. En aquesta mateixa direccio, Euler va de-mostrar un resultat mes general emprant l’anomenada “funcio d’Euler”,que indicava el numero de nombres menors o iguals a un donat que fos-sin coprimers amb aquest. Euler va provar que aφ(m) − 1 era divisibleper m si a era relativament primer amb m.

Un altre dels matematics, i que de fet era contemporani amb Gauss,fou el frances Legendre. Aquest havia fet aports a varies parts de lesmatematiques, i en especial a la teoria de nombres. Aixı, en la sevaobra Essai sur la theorie des nombres, es centrava basicament en l’es-tudi d’aquesta tematica. En aquesta, va redescobrir el teorema de lareciprocitat quadratica (x2 ≡ p (mod q) , y2 ≡ q (mod p)), que haviaestat posat en termes menys moderns per Euler. Un altre dels aspectesinteressants d’aquest treball fou la conjectura que afirmava que la funciod’Euler tendia a n/(lnn − 1.08366) a mesura que n creixia indefinida-ment.

15

Vists els antecedents en treballs sobre teoria de nombres, una cosaestava prou clara. Amb el Disquisitiones Arithmeticae Gauss el quepretenia eren varies coses. D’una banda donar un nou enfoc a la teoriade nombres, recollint tota aquesta serie de resultats, previs a ell, sobreteoria de nombres que s’han exposat anteriorment, de manera que deix-assin de ser resultats aıllats i dispersos, i passasin a considerar-se comun nova branca de les matematiques, com era el cas de la geometria.D’altra banda, introduıria una nova notacio en teoria de nombres: l’ar-itmetica modular i les congruencies. I un altre dels aspectes destacableses que no nomes volia fer una recopilacio de tots els resultats anteriorsa ell, sino que a mes volia adoptar metodes generals que permitissinenglobar la majoria de resultats.

Un clar exemple d’aixo el podem trobar en el Disquisitiones, on elresultat de Fermat que deia que tot primer de la forma 4n+1 es la sumade dos quadrats de manera unica, en la seva obra aquest es despren de lateoria de les formes binaries quadratiques que Gauss va desenvolupar.

Composicio del Disquisitiones Arithmaticae

Aixı doncs, vists els treballs previs a Gauss fets en teoria de nombres,i els objectius que perseguia aquest amb la publicacio d’aquesta obra,anem a veure quin era el seu contingut especıfic. El llibre estava dividiten set seccions, fet que fa veure que Gauss era molt rigoros al presentarles seves obres i els seus resultats, organitzades d’aquesta manera:

1. Nombres congruents en general.

2. Congruencies de primer grau.

3. Residus de potencies.

4. Congruencies de segon grau.

5. Formes i equacions indeterminades de segon grau.

6. Aplicacions de les nocions anteriors.

7. Equacions de les seccions d’un cercle.

La primera part de l’obra estava basicament destinada a l’introduc-cio d’una nova notacio: les congruencies. Primer de tot comencavadefininit el concepte de congruencia: Si un nombre c divideix a a − b,aleshores direm que a i b son congruents respecte de c, que s’anom-ena modul. En cas que no es complıs lo anterior, diriem que son in-cronguents.

16

Tot seguit introduıa la notacio de congruencia: ≡. Va escollir aquestsımbol, ja que Gauss trobava una gran similitud entre la igualtat i lacongruencia. A banda d’aixo, en aquesta seccio tambe establia que totenter te un residu modul m, el valor del qual es mou entre 0, · · · ,m −1. Gracies a n’aquest fet, Gauss va poder demostrar que la nocio decongruencia era compatible amb les operacions usuals de l’aritmetica.

L’objectiu de Gauss no nomes era introduır una notacio mes mod-erna i que permetes englobar molts conceptes, sino a mes fer-la famil-iar, ja que la manera d’escriure les congruencies s’assemblava en granmesura a com escrivim les equacions algebraiques. A mes es perme-tia fer operacions d’aritmetica del tot familiars, com fos sumar, restaro multiplicar congruencies, i fins i tot estudiar equacions algebraiquesamb congruencies modul m, com per exemple ax+ b ≡ c.

Per finalitzar aquesta primera part del Disquisitiones Arithmaticae,exposava resultats del tot interessants, com per exemple, donava unaformula per calcular la funcio d’Euler.

Una vegada introduıda la notacio de congruencia, i despres de de-mostrar tot una serie de petits resultats sobre aritmetica modular queempraria mes endavant en la seva obra, podem trobar tota la informacioque te a veure amb els residus quadratics i de potencies superiors. En-tre altres coses, podem trobar una demostracio del teorema de Fermat,el qual diu “ si p es un nombre primer que no divideix a a, aleshoresap−1 − 1 sempre es divisible per p”. I tambe demostra el teorema deWilson el qual diu: “el producte de tots els nombres menors que unnombre primer donat, augmentant-lo amb una unitat es sempre divisi-ble per aquest nombre”. Com tambe enuncia el Teorema Aureum, queconstituıa la primera demostracio de la llei de reprocitat quadratica (teo-rema que havien intentat demostrar Euler i Legendre sense exit).

Finalment en la darrer bloc de la seva obra, podem trobar les expli-cacions de les formes quadratiques i les seves aplicacions. Notıs que lesformes quadratiques, anomenades aixı per Euler, son la representaciodels nombres enters mitjancant l’expressio ax2 + 2bxy + cy2 = Mon a, b, c, x, y ∈ N. Gauss utilitza aquestes expressions per tal de de-mostrar els teoremes de la teoria de nombres. En aquestes seccions esdemostra per primera vegada en la historia, un fet que havia estat enun-ciat per Fermat i que li havia tingut ocupat al llarg de la seva vida, senseexit ja que no va ser capac de demostrar-ho, ni tampoc Euler fou capacde resoldre-ho, es el teorema seguent: “tot nombre enter positiu potescriure’s com la suma de tres nombres triangulars”. Nota: Un nom-bre triangular es un nombre que es pot reescriure en forma de triangleequilater.

17

A mes, s’enuncia i es demostra el teorema que ens diu quins polıgonspoden ser construits amb regla i compas. Aquest teorema afirma que,per tal de poder seccionar geometricament el cercle enN parts iguals esnecessari que N no contengui cap factor primer imparell que no siguide la forma 2m + 1, ni tampoc cap factor priemr de la forma 2m + 1mes d’una vegada. Per exemple, els primers 25 valors de N menors que300, que es poden dibuixar amb regla i compas son:

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34,

, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96

Com es pot notar aquest darrer bloc conte una gran part dels resultats lateoria de nombres i de la geometria, de fet, aquesta part ocupa mes dela meitat del llibre “Disquisitiones Arithmeticae”.

Es pot notar que en aquesta obra tal com passa en totes les sevesobres, podem veure el rigor que emprava a l’hora de presentar els seusresultats, ja que si aquests no estaven suficientment pulits no els pub-licava. Per la qual cosa, despres de la seva mort es varen trobar moltsde resultats nous, els quals no havia publicat ja que no els consideravadignes de ser publicats, perque no estaven escrits amb tots els detalls,cosa que ell considerava necessari.

Cal dir que Gauss va comencar a escriure una darrera part per acongruencies d’ordre mes elevat, encara que no la va acabar, per la qualcosa fou publicada per separat despres de la seva mort.

Consequencies dels resultats presentats

Els resultats obtinguts per Gauss presentats en aquest treball, han ajudata l’avanc de la societat. A continuacio presentam unes quantes aplica-cions que podem trobar avui en dia en la vida diaria, a les quals s’hi hanpogut arribar gracies, en part, a les contribucions de Gauss.

Construccio del polıgon de 17 costats

La construccio de l’heptadecagon fou un fet molt rellevant, ja que lageometria havia romangut estancada desde temps d’Euclides. Aquestfet, va fer revolucionar la geometria, ja que, gracies a ell com ja hem ditdespres de molts de segles s’havia resolt la incognita de quins polıgonses podien dibuixat sols amb regla i compas. La qual cosa va fer que lageometria tornas a ser un tema actual i els matematics s’interessassinper aquesta.

18

Teorema fonamental de l’algebra

El teorema de l’algebra ens diu que el cos dels nombres complexos esalgebraicament tancat, a partir d’aquest resultat es te que qualsevol teo-rema que es refereixi a cossos algebraicament tancats es podran aplicarals nombres complexos. La qual cosa fa que els nombres complexosagafin una gran rellevancia a les matematiques. Per exemple tenim unsquants resultats obtinguts posteriorment, els quals es poden aplicar alsnombres complexos:

• El cos dels nombres complexos es la clausura algebraica del nom-bres reals.

• Tot polinomi amb coeficients reals, es pot descompondre com unproducte d’un polinomi x + x1 amb x1 ∈ R i polinomis de laforma x2 + ax+ b amb a, b ∈ R si a2 − 4b < 0.

• Tota extensio algebraica del cos dels reals es isomorfa al cos delsnombres reals o al cos dels nombres complexos.

A mes d’aquests resultats, tambe s’en deriva d’aquest teorema tota lateoria de Galois.

Teoria de nombres

L’aritmetica modular estudiada per Gauss te nombroses aplicacions enels camps de la teoria de nombres, en algebra abstracta, en criptografiai en arts visuals i musicals. Per exemple, En criptografia els resultatsobtinguts per Gauss, juntament amb els resultats d’altres matematics,han permes el desenvolupament d’escriure codis xifrats i gracies a n’aixol’aparicio d’internet, entre d’altres. Aquesta branca de les matematiques,tambe fou molt desenvolupada pel matematic, Bernhard Riemann, quifou alumne de Gauss i de qui va aprendre la majoria de les matematiquesque sabia. De manera que, Riemann influenciat pel treball del seumestre estudia tambe la teoria de nombres i anuncia la famosa conjec-tura amb el seu nom, que encara avui en dia no ha estat resolta. Aquestaconjectura diu el seguent:

Tots els zeros no trivials de ζ que estan dins la franja de

0 < Re(z) < 1

estan en la lınia Re(z) = 12. On

ζ =1

1− 21−z

∞∑n=0

1

2n+1

n∑k=0

(−1)k(n

k

)(k + 1)−z

19

Aquest resultat es molt important, ja que si s’aconseguıs demostrar,sabrıem com estan distribuıts els nombres primers i per tant, es po-dria avancar molt en quant a la codificacio i criptografia de sistemes,com per exemple, els xifrats antisimetrics (tant la clau publica com laprivada), els quals es basen en operacions de nombres primers.

Com hem vist al llarg del present treball, Gauss ha sigut un dels mesgrans matematics de tots els temps. Qui, a mes de ser un geni en quantl’ingeni que tenia a l’hora de fer les seves demostracions, tambe era unapersona molt perfeccionista i un dels mes rigurosos que han existit mai.El seu rigor arriba a tal punt que realitza les demostracions dels seusteoremes de diverses maneres, una vegada ja l’ha demostrat de formasatisfactoria. Per la qual cosa, Gauss es conegut com el prıncep de lesmatematiques.

Bibliografıa

• http://nicofersist.blogspot.com/2006/12/gauss.html

• http://personal.telefonica.terra.es/web/mir/ferran/TFA.pdf

• www.biografias.es/famosos/gauss.html

• http://www.cienciamatematica.com/matematicos/Gauss.pdf

• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Gauss.html

• http://www.biographybase.com/biography/Gauss Carl Friedrich.html

• http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/gauss/gau.htm

• http://en.wikipedia.org/wiki/List of topics named after Carl Friedrich Gauss

• http://es.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones arithmeticae

• http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/

• http://epsaleph.tripod.com/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/disquisitionesarithmeticae.pdf

• http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental theorem of algebra

• http://www.ma.huji.ac.il/ ehud/MH/Gauss-HarelCain.pdf

• http://computacion.cs.cinvestav.mx/ jjangel/primos/HERprimosAKS.pdf

20