Cargas Impulsivas - Integral de Duhamel
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CARGAS IMPULSIVAS: Integral de Duhamel
Osciladores simples equivalentes: cálculo de rigideces y masas
1) Viga en voladizo
2 13
1 1 33M
EIu F L L K FEI L
−= = ⋅ ⇒ = =
(*)
2 41 4
21 3
1.8750.243
3
EImL M mL
K EIM ML
ω
ω
⎫= ⋅ ⎪⎪ = ⋅⎬
⎪= = ⎪⎭%
(*) Valor exacto para una viga con masa uniformemente distribuida m. Viga bi-articulada
21
3
2 1 483 2 4M
L L EIu F K FEI L
−⎛ ⎞= = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
(*)
2 41 4
21 3
0.49348
EImL M mL
K EIM ML
ω π
ω
⎫= ⋅ ⎪⎪ = ⋅⎬
⎪= = ⎪⎭%
(*) Valor exacto para una viga con masa uniformemente distribuida m. 2) Viga bi-empotrada
( )3 3
12 19222EI EIK
LL= =
( )MAX
2 2
6 242
fEI EIM
LL= =
(*)2 41 4
21 3
4.7300.384
192
EImL M mL
K EIM ML
ω
ω
⎫= ⋅ ⎪⎪ = ⋅⎬
⎪= = ⎪⎭%
(*) Valor exacto para una viga con masa uniformemente distribuida m.
M
L
EI , m
MfMAX = 1·L (carga unitaria)
MfMAX = 2
3EIL
(despl. unitario)
QMAX = 3
3EIL
(despl. unitario)
M
L
EI , m
MfMAX = 1·L/4 (carga unitaria)
MfMAX = 2
12EIL
(despl. unitario)
QMAX = 3
24EIL
(despl. unitario)
M
L
EI , m
MfMAX = 2
24EIL
(despl. unitario)
QMAX = 3
96EIL
(despl. unitario)
Ejemplos Sea una viga simplemente apoyada (bi-articulada) con las siguientes propiedades:
6 2
3 33 4 2
3
4 3 100.2 0.4 1.067 10 3200
12 1248 2400
L m E tn mb hI m EI tn m
EIK tn mL
−
= = ⋅
⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅
⋅= =
3
2 22
2
2.5 0.2 0.4 0.020399.81
0.50 0.04078
tn mm b h m m tn s mm s
M m L tn s m
δ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
≈ ⋅ ⋅ = ⋅
2400 0.04078 242.6 / ; 0
2 0.02590
DK M rad seg
T seg
ω ξ ω ωπω
= = = = ⇒ =
= =
Calcular los esfuerzos máximos producidos por las cargas impulsivas indicadas que poseen el mismo valor de impulso (I), definido como:
( )0
0.10Dt
P t dt tn seg= ⋅ = ⋅∫I
Carga Caso 1: 0.1Dt seg= Caso 2: 0.01Dt seg= Caso 3: 0.001Dt seg= [A] 2AP tn= 20AP tn= 200AP tn= [B] 2BP tn= 20BP tn= 200BP tn= [C] 1CP tn= 10CP tn= 100CP tn=
CASO 1
Carga [A]
( ){
( ) ( )
( )
( ){
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
sin1 cos
sin sincos
est
est
AD
D DU
t
DAD
D DU
t
tP tU t t t tM t t
t t tPU t t t tM t t
γ
γ
ωω
ω ω
ω ωω
ω ω ω
⎡ ⎤= − − + ≤⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤−= − − + ≥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
1444442444443
14444444244444443
t tD
P(t) PA
[A] ttD
P(t)PB
[B] ttD
P(t) PC
[C]
3
3.86 1.8721.87 1.558 10
2400
D MAX
MAX Adin est
t TPU U mK
γ γ
γ γ −
= ⇒ = =
= ⋅ = = = ⋅
Carga [B]
( ){
( )
( )
( ){
( )( ) ( )
( )
( ){
( )( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2
sin2
2 2
sin 2 sin2 2 2
2 2 2
sin 2 sin sin2
2 2 2
est
est
est
BD
D DU
t
DBD D
D D DU
t
D DB
D D DU
t
tP tU t t tM t t
t t tP tU t t t tM t t t
t t t t tPU tM t t t
γ
γ
γ
ωω ω
ω ωω ω ω
ω ω ωω ω ω ω
⎡ ⎤= + ≤⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤−= − + − ≤ ≤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− −= − +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
144424443
14444444244444443
14444444442444 3
Dt t≥
444444
3
3.86 1.0421.04 0.867 10
2400
D MAX
MAX Bdin
t TPU mK
γ γ
γ −
= ⇒ = =
= = = ⋅
Carga [C]
( ){
( )( )
( ){
( )( ) ( )( )
2
2
1 cos
cos cos
est
est
CD
tU
CD D
tU
PU t t t tM
PU t t t t t tM
γ
γ
ωω
ω ωω
= − ≤⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − ≥⎣ ⎦
1442443
14444244443
3
3.86 2.0012.00 0.833 10
2400
D MAX
MAX Cdin
t TPU mK
γ γ
γ −
= ⇒ = =
= = = ⋅
CASO 2
Carga [A]
3
0.386 1.01201.01 8.417 10
2400
D
MAX Adin
t TPU mK
γ
γ −
= ⇒ =
= = = ⋅
Carga [B]
3
0.386 1.06201.06 8.833 10
2400
D
MAX Bdin
t TPU mK
γ
γ −
= ⇒ =
= = = ⋅
Carga [C]
3
0.386 1.87101.87 7.792 10
2400
D
MAX Cdin
t TPU mK
γ
γ −
= ⇒ =
= = = ⋅
CASO 3
Carga [A]
3
0.0386 0.1212000.121 10.08 10
2400
D
MAX Adin
t TPU mK
γ
γ −
= ⇒ =
= = = ⋅
Carga [B]
3
0.0386 0.1212000.121 10.08 10
2400
D
MAX Bdin
t TPU mK
γ
γ −
= ⇒ =
= = = ⋅
Carga [C]
3
0.0386 0.2421000.242 10.08 102400
D
MAX Cdin
t TPU mK
γ
γ −
= ⇒ =
= = = ⋅
Cargas consideradas como impulsos Cuando la duración de la carga es muy pequeña respecto al período, la respuesta sólo depende del “área bajo la curva” de la función de carga (impulso) que el sistema siente como una velocidad inicial:
( ) ( )
0
0 0sin MAXdin
U M
U UU t t UM
ωω ω ω
=
= ⇒ = =⋅
I
I
&
& &
Carga [A]
{ {
02
1
3
22
2
2000.121 10.08 102400
est
A D
MAX A D D Adin
U
MAXdin
P t
U P t t PUM T T M
U m
γ
ππω ω ω ω
−
⋅=
⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅
I
&
123
Carga [B]
{ {
02
1
3
22
2
2000.121 10.08 102400
est
B D
MAX B D D Bdin
U
MAXdin
P t
U P t t PUM T T M
U m
γ
ππω ω ω ω
−
⋅=
⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅
I
&
123
Carga [C]
{
02
1
3
22
1000.242 10.08 102400
est
C D
MAX C D CDdin
U
MAXdin
P t
U P t PtUM T T M
U m
γ
ππω ω ω ω
−
= ⋅
⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅
I&
123123
NOTA: Luego de analizar varias funciones de carga impulsivas se encuentra que para duraciones adimensionales 0.20Dt T ≤ las cargas pueden considerarse como impulsos que imponen al sistema una velocidad inicial. Los factores de amplificación resultan en este rango proporcionales a la duración adimensional: Dt Tγ α= ⋅ (donde α depende de la forma de la carga impulsiva). Los desplazamientos dinámicos calculados por esta vía para duraciones adimensionales mayores ( 0.20Dt T > ) resultan demasiado sobreestimados. Cálculo de esfuerzos (Caso 1 – Carga [A])
M
L
EI , m
32 2
12 12 3200 1.558 10 3.7394
MAX MAXf din
EIM U tnmL
−⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =
33 3
24 24 3200 1.558 10 1.8704
MAX MAXdin
EIQ U tnL
−⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =