CardioideSebastian Albuja, Jefferson Maldonado

Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPESangolqu-Ecuador

albujasebastian@gmail.comjeffm6959@gmail.com

ResumenEste artculo trata principalmente de un manualbasico de wxMaxima, enfocandonos principalmente en comocrear la grafica de la cardioide en coordenadas cartesianas.Palabras clave: cardioide, coordenadas, cartesianas, implcito.

AbstractThis article is mainly a basic wxMaxima manual,focusing mainly on how to create the graph of the cardioid incartesian coordinates.Key Words: cardioid, coordinates, cartesian, implicit.

I. INTRODUCCIONMaxima es una herramienta para uso de consola, cuenta

con la capacidad de resolucion de diversos problemas deAnalisis Matematico y Algebra. Estos pueden ser calculo delmites, integrales y derivadas, matrices, polinomios y mas.Es posible la representacion grafica de funciones en dos ytres dimensiones.

Su velocidad de resolucion de problemas la convierteen una ayuda a la hora de comprobar resultados en losniveles academicos. Sin embargo, hablando de practicidad,muchas veces el usar un programa en consola requiere elconocimiento de comandos y una sintaxis en particular.

Es una herramienta no solo gratuita, multiplataforma ylibre sino tambien muy completa. El objetivo de este manuales crear la grafica de la cardioide en coordenadas cartesianas.

II. MAXIMA Y MATLABMATLAB es ideal para hacer programas que utilice

matrices, complejos, y otras estructuras matematicas, perofacil de escribir y revisar.

MAXIMA resuelve diversos problemas de analisismatematicos y algebra como indefinidas (con una solavariable), calcula el valor de lmites (tambien en una solavariable) y ecuaciones diferenciales por el lado de AnalisisMatematico. Con respecto a algebra, realiza calculos entrematrices, polinomios y valores propios.

MAXIMA es mucho mas rapido al momento de suresolucion de problemas, por lo que es mas practico para

resolucion de problemas matematicos.

III. CARDIOIDELa cardioide es la curva descrita por un punto de una

circunferencia que, sin deslizarse, rueda alrededor de otracircunferencia de igual radio.

La cardioide es la mas sencilla de las epicicloides. Es lacurva descrita por un punto de una circunferencia que, sindeslizarse, rueda alrededor de otra circunferencia de igualradio. Se llama cardioide por su semejanza con el dibujo deun corazon. La cardiode, conocida tambien como Caracolde Pascal, en honor de Etienne Pascal, padre del gran sabiofrances Blaise Pascal.

La cardioide es la curva que describe un punto Pdeuna circunferencia de radio .a, cuando rueda sobre otracircunferencia del mismo radio.

La ecuacion generica de la cardioide en coordenadascartesianas es:

(x2 + y2 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)Donde x, y representan las coordenadas del punto P y a

viene a ser el radio de las circunferencias.

Fig. 1.- Grafica de la cardioide.

IV. PLOT2D

El comando que se utiliza para representar la grafica deuna funcion de una variable real es plot2d que actua, comomnimo, con dos parametros: la funcion (o lista de funcionesa representar), y el intervalo de valores para la variable x.

Al comando plot2d se puede acceder tambien a traves delmenu Graficos-Graficos 2D o, directamente, a traves delboton Graficos 2D.

Se lo declara de la siguiente manera:

plot2d (f(x),[x,a,b]) grafica de f(x) en [a,b]

plot2d ([f1(x),f2(x),...],[x,a,b]) grafica de una lista defunciones en [a,b]

V. GRAFICA

A. Grafica en 2 dimensiones

Debido a que wxMaxima permite graficar ecuacionesen funcion de la variable x y la ecuacion de la cardioideen coordenadas cartesianas nos da una ecuacion implcita,usaremos para este caso en particular Matlab para la creacionde nuestra grafica.

Se va a utilizar el comando ezplot que nos permite graficarecuaciones implcitas. Se lo declara de la siguiente manera:

ezplot(f,[a,b])

Donde f va a ser nuestra funcion implcita, a y b va arepresentar el dominio de nuestra variable x.

Para graficar la cardioide se lo declarara de la siguientemanera:

h=ezplot((x2+y2-2*x)2-4*(x2+y2),[-2*pi,2*pi]);set(h,Color,r)title(Cardioide en Coordenadas Cartesianas)grid on

Donde el comando set es para darle un color a la grafica,title para darle un titulo a la grafica y grid on es para activarla cuadricula.

Con lo que se podra visualizar lo siguiente:

x

y

Cardioide en Coordenadas Cartesianas

6 4 2 0 2 4 66

4

2

0

2

4

6

Fig. 2.- Cardioide ecuacion cartesiana.

B. Grafica en 3 dimensiones

Para la grafica de la cardioide en 3 dimensiones, vamosa hacer uso del comando linspace que genera vectoreslinealmente espaciados.

La ecuacion adaptada de la cardioide en coordenadascartesianas en el espacio es la siguiente:

(x2 +

9

4y2 + z2 1

)3 x2z3 9

80y2z3 = 0

Se declara el codigo de la siguiente manera:

%declaramos comando meshn=100;x=linspace(-2,2,n);y=linspace(-2,2,n);z=linspace(-2,2,n);[X,Y,Z]=ndgrid(x,y,z);%Calculamos la funcion en cada punto con meshF = ( X.2 + 9/4 .* Y.2 + Z.2 -1 ).3 - X.2 .* Z.3- 9/(80) .* Y.2 .* Z.3 ;%Generamos la graficaf1 = figure;isosurface(F,0)view([-67.5 2]);%Cambiamos el color y la posicion de la graficaset(findobj(Type,patch),FaceColor,[.31 .4 .58])light(Parent,gca,...Position,[16.3 -103.1 -384.12]);

Con lo que se podra visualizar lo siguiente:

Fig. 3.- Cardioide ecuacion cartesiana en 3 dimensiones.

VI. CONCLUSIONESTanto Matlab como wxMaxima facilitan el uso de graficar

ecuaciones en dos y 3 dimensiones.

En el caso de tener una ecuacion implcita se recomiendautilizar Matlab debido a su facil usp para graficar este tipode ecuaciones, ademas de que wxMaxima no cuenta con estaopcion.

REFERENCIAS[1] Manual de LaTeX. (2014) Wikilibros. [Online]. Avalible:

http//:es.wikibooks.org/[2] Tutorial de MATLAB. (1995) Fceia. [Online]. Avalible:

http//www.fceia.unr.edu.ar/[3] Pequeno Manual de wxMaxima. (2005) ECE. [Online]. Avalible:

http//://ece.uprm.edu/