CARATULAS DE LA TESIS -...
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE POSTGRADO PROGRAMA DE POSTGRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA MENCIÓN: TERMOCIENCIA COMPUTACIONAL IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO DE ACOPLAMIENTO GEOMECÁNICO EN LA SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS Trabajo de Grado presentado ante la Ilustre Universidad del Zulia para optar al Grado Académico de MAGÍSTER SCIENTIARUM EN INGENIERÍA MECÁNICA Autor: JAVIER A. GARCÍA Tutor: Mag. Guy Gil Co-tutor: Dr. Néstor Queipo Maracaibo, Junio de 2006
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE POSTGRADO
PROGRAMA DE POSTGRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA MENCIÓN: TERMOCIENCIA COMPUTACIONAL
IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO DE ACOPLAMIENTO GEOMECÁNICO EN LA SIMULACIÓN DE
YACIMIENTOS
Trabajo de Grado presentado ante la Ilustre Universidad del Zulia
para optar al Grado Académico de
MAGÍSTER SCIENTIARUM EN INGENIERÍA MECÁNICA
Autor: JAVIER A. GARCÍA Tutor: Mag. Guy Gil
Co-tutor: Dr. Néstor Queipo
Maracaibo, Junio de 2006
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APROBACIÓN
Este jurado aprueba el Trabajo de Grado titulado IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO DE ACOPLAMIENTO GEOMECÁNICO EN LA SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS, que el Ingeniero Javier Adolfo García Finol C.I.: V-12.307.647, presenta ante el Consejo Técnico de la División de Postgrado de la Facultad de Ingeniería en cumplimiento del Artículo 51, Parágrafo 51.6 de la Sección Segunda del Reglamento de Estudios para Graduados de la Universidad del Zulia, como requisito para optar al Grado Académico de:
MAGÍSTER SCIENTIARUM EN INGENIERÍA MECÁNICA MENCIÓN: TERMOCIENCIA COMPUTACIONAL
________________________ Coordinador del Jurado
Néstor Queipo C.I.: 7.606.331
________________________ Guy Gil
C.I.: 1.589.247
________________________ Orlando Zambrano
C.I.: 7.548.612
________________________ Director de la División de Postgrado
José Rincón C.I.: 4.417.049
Maracaibo, Junio de 2006
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García Finol, Javier Adolfo. Implementación de un Modelo Matemático de Acoplamiento Geomecánico en la Simulación de Yacimientos. (2006). Trabajo de Grado. Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. División de Postgrado. Maracaibo, Tutor: Dr. Néstor Queipo; Cotutor: Mag. Guy Gil.
RESUMEN La explotación de un yacimiento de petróleo puede llegar a alterar el estado de esfuerzo del medio poroso favoreciendo la compactación de la roca y la consiguiente subsidencia a nivel de superficie. Estos efectos, pueden traer consecuencias negativas asociadas a pérdidas millonarias tales como: daños a instalaciones de superficie y reducción de la expectativa de producción del yacimiento. Así, el problema de interés radica en desarrollar una herramienta que permita pronosticar la ocurrencia de los fenómenos antes señalados a fin de ajustar los planes de explotación. La respuesta consiste en la implementación de un procedimiento que involucra dos áreas: flujo de fluidos y geomecánica. La primera trabaja sobre problemas predominantemente convectivos, que tradicionalmente han sido resueltos mediante el método de diferencias finitas; la segunda proviene de la necesidad de llevar a cabo cálculos de equilibrio estático, donde el método de los elementos finitos se considera estándar. La creación de una herramienta que integre ambos aspectos requiere un método de acoplamiento, diferenciándose tres niveles: desacoplado, parcialmente acoplado y completamente acoplado. En el presente estudio, se aplica el enfoque parcialmente acoplado explícito; se utiliza el simulador de yacimientos BOAST98 y se codifica un programa computacional que realiza los cálculos estructurales aplicando el método de los elementos finitos. El acoplamiento entre los dos problemas está asociado al recálculo de propiedades dependientes del esfuerzo. La implementación desarrollada se verifica usando dos ejemplos cuyas soluciones están completamente definidas en la literatura. También se aplica el esquema acoplamiento seleccionado al problema de Odeh (SPE 9723), observándose como la consideración de efectos geomecánicos puede conducir a diferencias en las propiedades de flujo (porosidad, permeabilidad y saturaciones). Asimismo, se evalúa la influencia de las condiciones de contorno sobre las distribuciones de esfuerzo. Finalmente, se analiza la repercusión que un proceso de recuperación secundaria puede tener sobre las deformaciones en el medio poroso. Palabras clave: geomecánica, simulación, yacimientos, acoplamiento, parcial E-mail del autor: [email protected]
iv
García Finol, Javier Adolfo. Implementation of a Mathematical Model of Geomechanical Coupling in Reservoir Simulation. (2006). Trabajo de Grado. Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. División de Postgrado. Maracaibo, Tutor: Dr. Néstor Queipo; Cotutor: Mag. Guy Gil.
ABSTRACT
Petroleum reservoir exploitation can produce alterations in the stress path of porous media, propitiating rock compaction and consequently subsidence on surface. These effects, may lead to negative consequences associated to millionaire losses such as: damage to surface installations and reduction on the reservoir production forecast. Thus, the problem of interest is to develop a tool that permits anticipating the occurrence of such phenomena in order to establish production plans. The answer consists in the implementation of a procedure that involves two fields: fluids flow and geomechanics. The first topic works with predominantly convective problems solved by the finite differences method; the latter comes from the necessity of carrying out static equilibrium calculations, where finite element analysis is considered the standard. The creation of a tool that integrates both aspects requires a coupling method, differentiating three levels: uncoupled, partially coupled and fully coupled. In the present investigation, an explicit partially coupled approach is applied; the reservoir simulator BOAST98 is used and a computational program that performs structural calculations via finite element analysis is coded. The coupling between simulators is based on updating stress depending properties. The implementation is verified by using two examples whose solutions are completely defined in the literature. The selected coupling approach is also applied to the Odeh problem (SPE 9723), noting how the consideration of geomechanical effects can lead to differences in flow properties (porosity, permeability and saturations). Likewise, the influence of boundary conditions on stress patterns is evaluated. Finally, the repercussion that a secondary recovery process may have on porous media strains is analyzed. Key words: geomechanics, simulation, reservoir, coupling, partial
Author’s e-mail: [email protected]
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DEDICATORIA
A mi esposa Susana que con paciencia me ha acompañado durante el desarrollo de este
proyecto.
A mis Padres que con su apoyo incondicional han contribuido de manera invaluable para la
conclusión de esta importante meta en mi vida.
Con especial cariño a la memoria de mis abuelos fallecidos Miguel Angel y Emerita Judith.
vi
AGRADECIMIENTO
Agradezco primeramente a Dios por darme la oportunidad, fortaleza, dedicación y
perseverancia para culminar exitosamente este programa de estudios superiores. A La
Universidad del Zulia por convertirse una vez más en mi vida, en fuente de crecimiento
intelectual y desarrollo profesional. A la Escuela de Ingeniería Mecánica porque sus esquemas
de educación de pre y postgrado me han permitido accesar al conocimiento.
Un reconocimiento muy especial para los Profesores Guy Gil y Alonso Ocando, que en un
momento difícil me presentaron una excelente propuesta que vino acompañada de éxito.
Igualmente al Profesor Néstor Queipo por compartir la idea que constituye el tema central de
este trabajo, para desarrollarla y con esfuerzo convertirla en una realidad.
Mi respeto y mi más alta consideración a los Profesores José Rincón y Juan Damia, quienes
siempre mostraron plena disposición para solventar mis innumerables dudas aportando
consejos acertados. Asimismo, al Profesor Zeferino Da Fonseca por sus importantes y
oportunas contribuciones a la realización de este trabajo.
Capítulo aparte merece mi hermano Daniel, en todo momento disponible para brindarme su
apoyo incondicional. Para finalizar, deseo agradecer al personal del Departamento de Diseño
y Construcciones Mecánicas quienes representaron una fuente constante de consulta durante
el largo camino que constituyó la elaboración de esta tesis.
A todos: ¡Gracias!
vii
TABLA DE CONTENIDO
Página
RESUMEN …………………………………………………………………………... iii
ABSTRACT ………………………………………………………………………….. iv
DEDICATORIA ……………………………………………………………………... v
AGRADECIMIENTO ……………………………………………………………….. vi
TABLA DE CONTENIDO ….……………………………………………………….. vii
LISTA DE TABLAS ……………………………………………………………….... ix
LISTA DE FIGURAS ……………………………………………………………..…. x
LISTA DE SÍMBOLOS ……………………………………………………………… xiv
CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN ………………………………………………….... 1
1.1. HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN ………………………………………... 4
1.2. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN ………………………………………. 4 1.2.1. OBJETIVO GENERAL …………………………………………………. 4 1.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS …………………………………………….. 5
1.3. ALCANCE Y DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN ………………….. 5
1.4. ESTRUCTURA DEL TRABAJO ……………………………………………….. 6
CAPÍTULO II: FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ……………………………… 7
CAPÍTULO III: REVISIÓN DE LA LITERATURA ……………………………….. 10
CAPÍTULO IV: MARCO TEÓRICO ……………………………………………….. 15
4.1. DERIVACIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJO ………………………….. 15 4.1.1. CONSERVACIÓN DE LA MASA ……………………………………… 15 4.1.2. ECUACIONES DE FLUJO PARA UN SISTEMA DE TRES FASES …. 17 4.1.3. REORDENAMIENTO DE LAS ECUACIONES DE FLUJO …………... 21 4.1.4. CONCEPTO DE PRESIÓN CAPILAR ………………………………….. 22 4.1.5. ECUACIÓN DE PRESIÓN ……………………………………………… 24
4.2. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS (MDF) ………………………….…... 27 4.2.1. EVALUACIÓN DE LAS TRANSMISIBILIDADES ………………….... 30 4.2.2. FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA FINITA . 32 4.2.3. PROCEDIMIENTO DE PRESIÓN IMPLÍCITA Y SATURACIÓN
EXPLÍCITA (IMPES) ……………………………………………………
34 4.3. TEORÍA POROELÁSTICA LINEAL ………………………………………….. 37
4.3.1. RELACIONES BÁSICAS ……………………………………………….. 37 4.3.2. REORDENAMIENTO DE LAS ECUACIONES DE ESFUERZO ……... 41 4.3.3. CONCEPTO DE ESFUERZO EFECTIVO ……………………………… 43
4.4. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) …………………………... 46 4.4.1. FORMULACIÓN DE GALERKIN ……………………………………… 48 4.4.2. TIPO DE ELEMENTO FINITO …………………………………………. 51 4.4.3. REPERSENTACIÓN MATRICIAL …………………………………….. 52
viii
Página
4.5. NIVELES DE ACOPLAMIENTO …………………………………………..….. 57 4.5.1. SOLUCIÓN DESACOPLADA ………………………………………….. 59 4.5.2. SOLUCIÓN PARCIALMENTE ACOPLADA ……………………….…. 59
4.5.2.1. SOLUCIÓN PARCIALMENTE ACOPLADA EXPLÍCITA …. 60 4.5.2.2. SOLUCIÓN PARCIALMENTE ACOPLADA ITERATIVA .… 61
4.5.3. SOLUCIÓN COMPLETAMENTE ACOPLADA …………………......... 62 4.5.4. SOLUCIÓN COMPLETAMENTE ACOPLADA ESTABILIZADA ….... 63
CAPÍTULO V: MARCO METODOLÓGICO …………………………………….… 65
5.1. ACOPLAMIENTO ESFUERZO-PERMEABILIDAD-POROSIDAD …….…… 65 5.1.1. ACTUALIZACIÓN DE POROSIDAD …………………………….……. 66 5.1.2. ACTUALIZACIÓN DE PERMEABILIDAD ………………………....… 66
5.2. ACOPLAMIENTO POR COMPRESIBILIDAD DE LA ROCA ………….…… 67
5.3. ALGORITMO DE SOLUCIÓN …………………………………………….…... 69
5.4. IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL ……..…………………………….. 70
5.5. CASOS DE VERIFICACIÓN ………………………….……………………….. 74 5.5.1. CASO DE VERIFICACIÓN 1: MODELO 3D YACIMIENTO CON
PRODUCCIÓN DE PETRÓLEO SIN INYECCIÓN …….……..……….
75 5.5.2. CASO DE VERIFICACIÓN 2: MODELO 3D YACIMIENTO CON
PRODUCCIÓN E INYECCIÓN DE AGUA ……….….………………...
84 5.6. CASO DE ESTUDIO .…...…...…...……..…………..………………………….. 94
5.6.1. MODELO 3D YACIMIENTO CON PRODUCCIÓN DE PETRÓLEO E INYECCIÓN DE GAS. PROBLEMA DE ODEH .….............…...............
94
CAPÍTULO VI: ANÁLISIS DE RESULTADOS ………………………………….... 101
6.1. MODELO 3D YACIMIENTO CON PRODUCCIÓN DE PETRÓLEO E INYECCIÓN DE GAS – PROBLEMA DE ODEH .……………........................
101
6.1.1. SOLUCIÓN DESACOPLADA ………………………………………….. 102 6.1.2. SOLUCIÓN PARCIALMENTE ACOPLADA EXPLÍCITA …………… 103 6.1.3. COMENTARIOS ……………………………………………………….... 113
CAPÍTULO VII: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES …………………... 117
7.1. CONCLUSIONES ………………………………………………………………. 117
7.2. RECOMENDACIONES ……………………………………………………….... 119
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ……………………………………………….. 120
APÉNDICE
A COMPRESIBILIDADES DE PORO, GLOBAL Y DE SÓLIDO ..................... 123
B DEFORMACIÓN UNIAXIAL – BIAXIAL – TRIAXIAL …………………… 127
C AJUSTE DE VALORES NODALES POR MÍNIMOS CUADRADOS ……… 130
D ARCHIVOS DE ENTRADA DE DATOS PARA BOAST98 ........................... 133
ix
LISTA DE TABLAS
TABLA Página
1 RESUMEN DE TRABAJOS SOBRE LA TEORÍA DE CONSOLIDACIÓN ... 11 2 RESUMEN DE TRABAJOS SOBRE LOS MODELOS DE
ACOPLAMIENTO …………………………………………………………….
14 3 COORDENADAS LOCALES ……………………………………..………….. 51 4 CASO DE ESTUDIO: ANÁLISIS PVT DEL MODELO ……………………... 96 5 CASO DE ESTUDIO: COMPARACIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS
MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA DIFERENTES TIEMPOS DE INICIO DE LA INYECCIÓN DE GAS ………………………..….………………………..
115
x
LISTA DE FIGURAS
FIGURA Página
1 IMPACTO DE LA SUBSIDENCIA SOBRE EL PRONÓSTICO DE PRODUCCIÓN ...................................................................................................
7
2 NIVELES DE ACOPLAMIENTO ...................................................................... 12 3 BLOQUE YACIMIENTO, SISTEMA DE COORDENADAS UTILIZADO .... 16 4 EJEMPLO DE MALLA UTILIZADA EN EL MDF .…………......................... 30 5 TENSOR DE ESFUERZOS ……………………………….......……………..... 38 6 ELEMENTO HEXAÉDRICO ………………………………….….................... 51 7 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA EL MODELO DE ACOPLAMIENTO
PARCIAL EXPLÍCITO ………………………………....…………………….. 70
8 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA RUTINA DATOS_EJEMPLO …….. 71 9 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA RUTINA RES_TESIS ……………... 72 10 DIAGRAMA DE BLOQUES PARA LA RUTINA POST_TESIS …………… 73 11 CASO DE VERIFICACIÓN 1: DOMINIO COMPUTACIONAL –
DISCRETIZACIÓN ……….....………………………………………………...
75 12 CASO DE VERIFICACIÓN 1: PROPIEDADES FÍSICAS DEL
YACIMIENTO – UBICACIÓN DEL POZO PRODUCTOR ............................
76 13 CASO DE VERIFICACIÓN 1: RESTRICCIONES Y CARGAS –
CONDICIONES DE FRONTERA PARA EL MODELO DE GEOMECÁNICA ...............................................................................................
77
14 CASO DE VERIFICACIÓN 1: HISTÓRICO DE PRESIÓN DEL POZO
PRODUCTOR .....................................................................................................
78 15 CASO DE VERIFICACIÓN 1: CURVA HISTÓRICA DE PRESIÓN DE
FONDO PARA EL POZO PRODUCTOR .........................................................
79 16 CASO DE VERIFICACIÓN 1: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA
DIRECCIÓN “X” PARA UN TIEMPO DE 20 DÍAS ........................................
80 17 CASO DE VERIFICACIÓN 1: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA
DIRECCIÓN “Y” PARA UN TIEMPO DE 20 DÍAS ........................................
80 18 CASO DE VERIFICACIÓN 1: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO
CORTANTE EN EL PLANO “XY” PARA UN TPO. DE 20 DÍAS .................
81 19 CASO DE VERIFICACIÓN 1: DESPLAZAMIENTOS RESULTANTES EN
EL PLANO “XY” PARA UN TIEMPO DE 20 DÍAS .......................................
81
xi
FIGURA Página
20 CASO DE VERIFICACIÓN 1: COMPARACIÓN ENTRE LA SOLUCIÓN PARCIALMENTE ACOPLADA Y LOS RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN CONVENCIONAL DE YACIMIENTOS ................................
82 21 CASO DE VERIFICACIÓN 1: DISTRIBUCIONES DE PRESIÓN,
POROSIDAD, PERMEABILIDAD Y SATURACIÓN DE PETRÓLEO EN EL DOMINIO PARA UN TIEMPO DE 40 DÍAS .............................................
84 22 CASO DE VERIFICACIÓN 2: DOMINIO COMPUTACIONAL –
DISCRETIZACIÓN ............................................................................................
85 23 CASO DE VERIFICACIÓN 2: PROPIEDADES FÍSICAS DEL
YACIMIENTO – POZOS PRODUCTO E INYECTOR ....................................
86 24 CASO DE VERIFICACIÓN 2: ESTADO DE ESFUERZO PARA EL
MODELO DE GEOMECÁNICA .......................................................................
86 25 CASO DE VERIFICACIÓN 2: RESTRICCIONES Y CARGAS –
CONDICIONES DE FRONTERA PARA EL MODELO DE GEOMECÁNICA ...............................................................................................
87
26 CASO DE VERIFICACIÓN 2: HISTÓRICO DE PRODUCCIÓN E
INYECCIÓN .......................................................................................................
87 27 CASO DE VERIFICACIÓN 2: CURVA HISTÓRICA DE PRODUCCIÓN
DE AGUA PARA EL POZO PRODUCTOR .....................................................
89 28 CASO DE VERIFICACIÓN 2: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA
DIRECCIÓN “X” PARA UN TIEMPO DE 4000 DÍAS ....................................
90 29 CASO DE VERIFICACIÓN 2: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA
DIRECCIÓN “Z” PARA UN TIEMPO DE 4000 DÍAS ....................................
90 30 CASO DE VERIFICACIÓN 2: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO
CORTANTE EN EL PLANO “XY” PARA UN TPO. DE 4000 DÍAS ……….
91 31 CASO DE VERIFICACIÓN 2: DESPLAZAMIENTOS EN LA DI-RECCIÓN
“X” PARA UN TIEMPO DE 4000 DÍAS ..........................................................
92 32 CASO DE VERIFICACIÓN 2: DESPLAZAMIENTOS EN LA DIRECCIÓN
“Z” PARA UN TIEMPO DE 4000 DÍAS ...........................................................
92 33 CASO DE VERIFICACIÓN 2: COMPARACIÓN ENTRE LA SOLUCIÓN
PARCIALMENTE ACOPLADA Y LOS RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN CONVENCIONAL DE YACIMIENTOS ................................
93 34 CASO DE ESTUDIO: DOMINIO COMPUTACIONAL –
DISCRETIZACIÓN ............................................................................................
95 35 CASO DE ESTUDIO: PROPIEDADES FÍSICAS DEL YACIMIENTO –
POZOS PRODUCTOR E INYECTOR ..............................................................
96 36 CASO DE ESTUDIO: CURVAS DE PERMEABILIDAD RELATIVA ........... 96 37 CASO DE ESTUDIO: RESTRICCIONES Y CARGAS – CONDICIONES DE
FRONTERA PARA EL ESCENARIO 1 ............................................................
97
xii
FIGURA Página
38 CASO DE ESTUDIO: RESTRICCIONES Y CARGAS – CONDICIONES DE FRONTERA PARA EL ESCENARIO 2 ............................................................
98
39 CASO DE ESTUDIO: HISTÓRICO DE PRODUCCIÓN .................................. 99 40 CASO DE ESTUDIO: CURVA HISTÓRICA DE PRODUCCIÓN DE
PETRÓLEO ........................................................................................................
102 41 CASO DE ESTUDIO: CURVA HISTÓRICA DE RELACIÓN GAS-
PETRÓLEO ........................................................................................................
102 42 CASO DE ESTUDIO: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA
DIRECCIÓN “X” PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ....................................
104 43 CASO DE ESTUDIO: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA
DIRECCIÓN “Y” PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ....................................
104 44 CASO DE ESTUDIO: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE EN
EL PLANO “XY” PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ……………………...
105 45 CASO DE ESTUDIO: DESPLAZAMIENTOS EN LA DIRECCIÓN “X”
PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ..................................................................
105 46 CASO DE ESTUDIO: DESPLAZAMIENTOS EN LA DIRECCIÓN “Y”
PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ..................................................................
106 47 CASO DE ESTUDIO: DESPLAZAMIENTOS EN LA DIRECCIÓN “Z”
PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ..................................................................
106 48 CASO DE ESTUDIO: DISTRIBUCIONES DE PRESIÓN, POROSIDAD,
PERMEABILIDAD, SATURACIÓN DE PETRÓLEO Y SATURACIÓN DE GAS EN EL DOMINIO PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ..........................
107 49 CASO DE ESTUDIO: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA
DIRECCIÓN “X” PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ....................................
108 50 CASO DE ESTUDIO: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA
DIRECCIÓN “Y” PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ....................................
109 51 CASO DE ESTUDIO: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE EN
EL PLANO “XY” PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ……………………...
109 52 CASO DE ESTUDIO: DESPLAZAMIENTOS EN LA DIRECCIÓN “X”
PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ..................................................................
110 53 CASO DE ESTUDIO: DESPLAZAMIENTOS EN LA DIRECCIÓN “Y”
PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ..................................................................
110 54 CASO DE ESTUDIO: DESPLAZAMIENTOS EN LA DIRECCIÓN “Z”
PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS ..................................................................
111 55 CASO DE ESTUDIO: DISTRIBUCIONES DE PRESIÓN, POROSIDAD,
PERMEABILIDAD, SATURACIÓN DE PETRÓLEO Y SATURACIÓN DE GAS EN EL DOMINIO PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS – ESFUERZO SOBRE LOS CONTORNOS: 4800 PSI ……………………………………….
112
xiii
FIGURA Página
56 CASO DE ESTUDIO: DISTRIBUCIONES DE PRESIÓN, POROSIDAD, PERMEABILIDAD, SATURACIÓN DE PETRÓLEO Y SATURACIÓN DE GAS EN EL DOMINIO PARA UN TIEMPO DE 3650 DÍAS – ESFUERZO SOBRE LOS CONTORNOS: 8000 PSI ……………………………………….
113 57 CASO DE ESTUDIO: COMPARACIÓN ENTRE LA SOLUCIÓN
PARCIALMENTE ACOPLADA Y LOS RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN CONVENCIONAL DE YACIMIENTOS – ESFUERZO SOBRE LOS CONTORNOS: 4800 PSI ……………………………………….
114 58 CASO DE ESTUDIO: COMPARACIÓN ENTRE LA SOLUCIÓN
PARCIALMENTE ACOPLADA Y LOS RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN CONVENCIONAL DE YACIMIENTOS – ESFUERZO SOBRE LOS CONTORNOS: 8000 PSI ……………………………………….
114 59 CASO DE ESTUDIO: COMPARACIÓN DE LAS MALLAS
DEFORMADAS OBTENIDAS POR EL ESQUEMA DE ACOPLAMIENTO PARCIAL EXPLÍCITO ......................................................................................
115
xiv
LISTA DE SÍMBOLOS
VARIABLES
aa : Coeficiente de la matriz de flujo
A : Área de la sección transversal al flujo
cA : Área de la sección transversal equivalente de Darcy
AA : Matriz de coeficientes en diferencias finitas
ATABASANAWAE ,,,,, : Coeficientes de la matriz de flujo luego de la discretización
en diferencias finitas
B : Factor volumétrico de la fase
BB : Matriz que relaciona deformaciones con desplazamientos nodales locales
c : Compresibilidad
C : Concentración de la fase
CG : Término de efectos capilares y gravedad
D : Matriz de propiedades del material
e : Error de truncamiento de la serie de Taylor
E : Módulo de elasticidad del material
EE : Definición utilizada para el término independiente en la discretización en diferencias
finitas
F : Fuerza de cuerpo
FF : Vector de funciones de forma
g : Aceleración de la gravedad
cg : Constante de conversión de unidades
G : Módulo de rigidez del material
GGWT : Efectos de gravedad y presión capilar para la fase gas
GOWT : Efectos de gravedad y presión capilar para la fase petróleo
GWWT : Efectos de gravedad y presión capilar para la fase agua
h : Espesor de la arena petrolífera
hh : Coeficientes del vector de términos independientes de flujo
HH : Vector de términos independientes de flujo
I : Tensor identidad
JJ : Jacobiano de la transformación
J : Flujo de másico por unidad de área transversal a la dirección del flujo
k : Permeabilidad relativa al flujo
K : Permeabilidad absoluta
xv
K : Permeabilidad absoluta equivalente de Darcy
KK : Matriz de coeficientes en elementos finitos
L : Término de acumulación
m : Vector de acoplamiento para los términos de presión
M : Módulo global del material
n : Coseno director
N : Función de forma
NN : Número de nodos
p : Presión de la fase
PID : Índice de productividad
q : Flujo volumétrico de la fase por unidad de volumen
qq : Vector de desplazamientos para un elemento en la discretización por elementos finitos
Q : Flujo volumétrico promedio absoluto de la fase
QOWG : Definición utilizada para la discretización en diferencias finitas
wr : Radio del pozo
R : Relación de solubilidad entre dos fases
S : Saturación de la fase / Daño de formación
t : Tiempo
T : Fuerza de tracción
u : Vector de desplazamientos del sólido
v : Velocidad de la fase
V : Volumen de la fase
W : Función de peso
x : Coordenada en la dirección “x”
y : Coordenada en la dirección “y”
z : Coordenada en la dirección “z”
VARIABLES – LETRAS GRIEGAS
α : Coeficiente de Biot
β : Coeficiente para la ley de esfuerzo efectivo desde el punto de vista del volumen de poro
δ : Función delta de Kronecker
ε : Deformación
φ : Porosidad
Φ : Potencial de la fase
γ : Deformación cortante
xvi
Γ : Constante difusiva
η : Segunda componente en coordenadas naturales
λ : Movilidad de la fase / Constante de Lamé
μ : Viscosidad de la fase / Constante de propiedades del material
ρ : Densidad
σ : Esfuerzo
τ : Esfuerzo cortante
υ : Relación de Poisson
ξ : Primera componente en coordenadas naturales
ψ : Función de forma
ζ : Tercera componente en coordenadas naturales
OPERADORES
Δ : Incremento
⋅∇ : Divergencia
∇ : Gradiente
∂ : Derivada parcial
d : Diferencial
SUBÍNDICES
b : Global
c : Se aplica a la variable p para indicar presión capilar
g : Fase gas
go : Fases gas y petróleo
Iny : Pozo inyector
L : Se aplica a la variable λ para indicar la constante de Lamé
M : Se aplica a la variable μ para indicar la constante de propiedades del material
o : Fase petróleo
ow : Fases petróleo y agua
p : Fase (petróleo, gas o agua)
por : Se aplica a la variable V para indicar volumen poroso
odPr : Pozo productor
rp : Se aplica a la variable k para indicar permeabilidad relativa al flujo de la fase p
r : Roca
s : Fase sólida
xvii
sc : Condiciones estándar
so : Solubilidad de gas en petróleo
sw : Solubilidad de gas en agua
t : Total
tt Δ+ : Valor de la variable en el tiempo tt Δ+
V : Se aplica a la variable ε para indicar deformación volumétrica
w : Fase agua
x : Componente en la dirección “x”
xx Δ+ : Componente en la dirección “x” ubicada en xx Δ+
y : Componente en la dirección “y”
yy Δ+ : Componente en la dirección “y” ubicada en yy Δ+
z : Componente en la dirección “z”
zz Δ+ : Componente en la dirección “z” ubicada en zz Δ+
0 : Condiciones iniciales
1: Se aplica a la variable A para indicar la constante de Kozeny
2 : Se aplica a la variable e para indicar error de truncamiento de segundo orden
SUPERÍNDICES
e : Elemento
ef : Efectivo
n : Nivel de tiempo
1+n : Nivel de tiempo
CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN
El pronóstico de producción de algunos yacimientos petrolíferos, en particular aquellos en los
cuales el mecanismo de producción predominante es la compactación, puede ser impactado
drásticamente por la presencia de efectos geomecánicos en la formación. La compactación se
halla asociada a la subsidencia y juntos constituyen fenómenos complicados de predecir, pero de
notable importancia, debido a que pueden tener consecuencias desfavorables entre las que
cuentan: variaciones de presión imprevistas, daños a las instalaciones de superficie y cambios en
las propiedades físicas de los yacimientos. En la literatura se reportan casos de subsidencia a
nivel de la superficie de hasta nueve metros (Allen, 1972) con pérdidas millonarias en equipos e
instalaciones y una reducción significativa de la expectativa de producción del yacimiento. Tal es
el caso de la Costa Bolívar en Venezuela, donde se observa una vasta extensión de territorio por
debajo del nivel del Lago de Maracaibo (Geertsma, 1973). Por lo tanto, el hecho de considerar la
ocurrencia de tales fenómenos y cuantificar su intensidad puede considerarse un elemento de
juicio crítico en la simulación de yacimientos para la determinación de planes de explotación. En
este contexto la geomecánica aplicada al estudio de los yacimientos de petróleo constituye una
herramienta fundamental.
La explotación de un yacimiento petrolero consiste en la extracción de fluidos de la formación
a través de pozos productores. Esta extracción de masa induce cambios de presión, lo cual
redunda en variaciones sobre el estado de esfuerzo a consecuencia de la alteración del equilibrio
estático. Así, se generan esfuerzos incrementales en el tiempo producto del reacomodo de las
cargas, generándose deformaciones en el medio poroso. La proyección de estas deformaciones en
superficie constituye el efecto de subsidencia antes mencionado.
Las deformaciones pueden alcanzar niveles significativos, sobre todo si se trata de
yacimientos “sensibles al esfuerzo”, es decir, yacimientos en los cuales las características del
flujo de fluidos afectan sustancialmente el estado de esfuerzo, como en el caso de formaciones
poco consolidadas. Las deformaciones de la roca pueden afectar la permeabilidad, porosidad y
compresibilidad de los poros, modificando la capacidad de flujo y finalmente, reduciendo la
productividad del yacimiento.
2
Entre los yacimientos “sensibles al esfuerzo” destacan particularmente, los yacimientos
pobremente compactados y los yacimientos fracturados y/o fallados, puesto que permiten
caracterizar dos formas básicas de interacción entre geomecánica y flujo multifásico.
En el caso de los yacimientos pobremente compactados, los cambios en el estado de esfuerzo
pueden mejorar el recobro de fluido debido al efecto de compactación. Sin embargo, la
compactación del yacimiento también puede reducir su permeabilidad, causar subsidencia de la
superficie y ocasionar daño al equipo del pozo. Para tomar en cuenta tales efectos, se requiere un
análisis geomecánico que involucre una relación constitutiva elastoplástica no lineal, así como, la
determinación de las variaciones en el estado de esfuerzo en función de los cambios de presión.
Los yacimientos fracturados y/o fallados, por su parte, son en general altamente compactados
y severamente afectados por cambios en el estado de esfuerzo, inducidos por variaciones térmicas
en el yacimiento (inyección de agua fría). Los cambios resultantes en el estado de esfuerzo,
pueden incrementar o reducir la conductividad de una fractura y crear direcciones de
humectabilidad preferenciales. El modelado de yacimientos fracturados y/o fallados, por lo tanto,
demanda una descripción exacta del comportamiento constitutivo hidromecánico de las
discontinuidades (transmisibilidad versus relaciones de deformación).
La solución a problemas como los antes descritos involucra tres áreas de estudio: (1)
modelado de compactación y subsidencia, orientado al establecimiento de relaciones constitutivas
esfuerzo/deformación; (2) simulación de yacimientos, dirigida a modelos de multicomponentes,
flujo multifásico y transferencia de calor en medios porosos; (3) mecánica de fractura, tratando
con la geometría y propagación de la grieta. En el presente estudio están presentes las dos
primeras de las tres categorías mencionadas.
La evolución del conocimiento en las áreas antes señaladas ha ocurrido de forma
independiente como se comentará en el capítulo III, lo que ha repercutido en la utilización de
métodos diferentes para los problemas de flujo y geomecánica. Por lo tanto, se considera estándar
obtener la solución del problema de flujo mediante el Método de Diferencias Finitas (MDF) y la
solución del problema estructural a través del Método de los Elementos Finitos (MEF). Este
hecho ha impuesto la necesidad de crear rutinas de enlace que permitan acoplar ambas
3
soluciones, surgiendo diferentes metodologías y niveles de acoplamiento, los cuales son descritos
a continuación (Settari y Walters, 1999).
El nivel de acoplamiento más bajo está representado por la simulación convencional de
yacimientos, en la cual geomecánica y flujo multifásico están desacoplados. El estado de esfuerzo
no se considera explícitamente y el factor de compresibilidad de la roca es el único parámetro que
toma en cuenta los cambios de volumen poroso.
El siguiente nivel está representado por la solución parcialmente acoplada; en esta opción, las
presiones son calculadas mediante un simulador convencional de yacimientos y transformadas en
cargas nodales, que se utilizan como datos de entrada para un simulador de geomecánica; el
resultado son las deformaciones y las variaciones en el estado de esfuerzo. Esta metodología
ofrece una variante denominada solución iterativa, en la cual los desplazamientos son usados para
recalcular la porosidad y permeabilidad en cada instante de tiempo. Esta solución ofrece
flexibilidad y versatilidad, pero puede tener problemas de convergencia.
Finalmente, el esquema completamente acoplado resuelve simultáneamente el conjunto de
ecuaciones en un solo simulador. Esta opción es la más estable y precisa, pero requiere
desarrollar la solución completa bien sea mediante el MDF o por el MEF, lo cual no permite
aprovechar los últimos avances en las áreas de simulación de yacimientos o geomecánica según
el método seleccionado. Es de destacar que si la solución del esquema parcialmente acoplado
iterativo alcanza convergencia, sus resultados pueden ser equivalentes a la solución
completamente acoplada.
En el presente trabajo, se plantea la implementación de un modelo matemático que permita la
solución en tres dimensiones aplicando el MEF de los aspectos geomecánicos relacionados con el
problema de yacimientos. Este modelo, será ejecutado bajo un esquema parcialmente acoplado
explícito, utilizando los resultados provenientes del simulador de yacimientos “BOAST98” (ver
referencia 24) basado en el MDF. Los yacimientos considerados son modelos sintéticos
publicados en la literatura.
El producto final de la investigación será un programa, que utilizado en conjunto con el
simulador convencional señalado, permitirá disponer de una herramienta cuya aplicabilidad se
4
extenderá a casos de estudio, en los cuales las consideraciones geomecánicas sean de vital
importancia para ofrecer predicciones acertadas ante planes de explotación petrolera. Un aporte
de esta naturaleza constituye una contribución importante en un país petrolero como Venezuela.
Adicionalmente, los resultados de la simulación involucrando geomecánica, permitirán
realizar comparaciones con simulaciones que no incorporen el cálculo de deformaciones. De esta
forma, se podrá establecer los impactos porcentuales sobre las diferentes variables del problema,
provenientes de resolver las ecuaciones de equibilibrio estático en conjunto con la simulación de
yacimientos tradicional.
1.1. Hipótesis de la Investigación
Es factible estimar el impacto de las deformaciones ocurridas sobre el medio poroso producto
del drenaje del yacimiento, mediante la ejecución de dos simuladores, bajo un esquema de
acoplamiento parcial explícito.
1.2. Objetivos de la Investigación
1.2.1. Objetivo General
Implementar computacionalmente un esquema de solución numérica de acoplamiento parcial
explícito, que permita incorporar los aspectos Geomecánicos modelados mediante el Método de
los Elementos Finitos (MEF), a un simulador de yacimientos basado en el Método de Diferencias
Finitas (MDF).
5
1.2.2. Objetivos Específicos
• Analizar y recopilar la información necesaria para considerar aspectos geomecánicos en la
simulación de yacimientos
• Identificar las ecuaciones a resolver y las respectivas condiciones de contorno e iniciales
• Diseñar y codificar un programa en lenguaje de alto nivel (Matlab) que permita obtener la
solución del modelo de mecánica estructural
• Verificar los resultados del programa desarrollado, cotejándolos con resultados reportados
en la literatura
• Presentar una valoración de los resultados obtenidos
1.3. Alcance y Delimitación de la Investigación
La investigación propuesta en este Trabajo de Grado está enmarcada en dos áreas del
conocimiento: Simulación de Flujo de Fluidos y Mecánica de Materiales; ambos tópicos están
estrechamente relacionados con el contenido del programa académico de Maestría en
Termociencia Computacional adscrito a la División de Estudios para Graduados de la Facultad de
Ingeniería. Del mismo modo, el tema del presente informe forma parte de las líneas de
investigación del Instituto de Cálculo Aplicado de la Universidad del Zulia.
Este estudio está delimitado por los siguientes aspectos:
• Elaboración de un programa en Matlab 6.5 basado en el MEF para el cálculo de los
esfuerzos presentes en un yacimiento de petróleo.
• Utilización del simulador de yacimientos de petróleo negro BOAST98 producido por el
National Energy Technology Laboratory de los Estados Unidos.
• Elaboración de un programa de interfase para el intercambio de información entre
BOAST98 y el programa de cálculo geomecánico desarrollado en la presente
investigación.
• Aplicación de un enfoque parcialmente acoplado explícito basado en la actualización de
propiedades dependientes del esfuerzo.
6
• Ejecución del enfoque antes nombrado sobre problemas académicos provenientes de
publicaciones arbitradas. Todos los casos de estudio seleccionados son tridimensionales.
1.4. Estructura del Trabajo
La presente investigación abarca la aplicación del modelo de acoplamiento parcial explícito
entre la simulación convencional de yacimientos y geomecánica; y se encuentra estructurado de
la siguiente manera:
• Capítulo II: Se presenta el modelo matemático que rige el problema en cuestión.
• Capítulo III: Se ofrece un resumen sobre la evolución del conocimiento en las áreas
vinculadas al problema antes indicado.
• Capítulo IV: Se presenta el marco teórico asociado a cada uno de los dos tópicos
involucrados en el problema. Se incluye la derivación de las ecuaciones que gobiernan el
fenómeno físico y la discretización de la ecuación final aplicando bien sea el MDF o el
MEF.
• Capítulo V: Se describe en detalle el algoritmo de solución y se muestra cada uno de los
casos de estudio, su importancia y utilidad en función de los objetivos del trabajo.
• Capítulo VI: Comprende la presentación y análisis de los resultados obtenidos para cada
caso de estudio, además de la comparación entre las soluciones que consideran
geomecánica y aquellas que no.
• Capítulo VII: Se expone las conclusiones obtenidas y las recomendaciones derivadas de
este trabajo.
CAPÍTULO II: FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Como se ha expuesto anteriormente, el problema de interés es modelar el comportamiento de
producción de un yacimiento considerando la presencia de efectos geomecánicos, con el objeto
de evaluar el impacto de tales efectos sobre la expetativa de producción (ver figura 1).
AGUA
PETROLEO
GAS
POZO
SUBSIDENCIA
t0
t1
tnDesp "Z"
Tiempo
Producción
Pérdidas
Figura 1. Impacto de la subsidencia sobre el pronóstico de producción
El enunciado del problema objeto de estudio puede formularse de la siguiente forma:
Para un yacimiento dado, sujeto a un determinado plan de explotación, encontrar los cambios
de presión y saturación tomando en cuenta los cambios en las propiedades petrofísicas que se
derivan de las deformaciones sobre el medio poroso, calculadas mediante las ecuaciones de
equilibrio estático incorporando el concepto de esfuerzo efectivo.
El yacimiento representa el dominio computacional sobre el cual se va realizar las
discretizaciones. El problema de valor de contorno se define completamente estableciendo las
condiciones iniciales y de frontera. Para el caso de flujo, las condiciones iniciales son las
presiones y saturaciones; y las condiciones de contorno vienen dadas por el número y las
características de los pozos productores o inyectores (tasa de producción/inyección o presión de
fondo fluyente). Para el modelo de geomecánica, las condiciones iniciales consisten en las
8
coordenadas originales del dominio (malla indeformada) y las propiedades mecánicas de los
materiales que forman el yacimieto y sus alrededores; las condiciones de frontera están
representadas por los esfuerzos aplicados sobre las contornos.
El conjunto de ecuaciones básicas de flujo de fluidos que se resuelve numéricamente en un
simulador de petróleo negro, se presenta en seguida (deducción de Fanchi y col, 1982):
Restricción para las saturaciones de las fases:
1=++ gwo SSS ………. (1)
Ecuaciones de conservación de la masa:
Petróleo
( )ooosc
o
o
zo
o
yo
o
xo B/St
qBv
zBv
yBv
xφ
ρ ∂∂
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
− ………. (2)
Agua
( )wwwsc
w
w
zw
w
yw
w
xw B/St
qBv
zBv
yBv
xφ
ρ ∂∂
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
− ………. (3)
Gas
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
−
w
wsw
o
oso
g
g
gsc
gzw
w
swzo
o
so
g
zg
yww
swyo
o
so
g
ygxw
w
swxo
o
so
g
xg
BSR
BSR
BS
tq
vBRv
BR
Bv
z
vBRv
BR
Bv
yv
BRv
BR
Bv
x
φρ
………. (4)
La nomenclatura correspondiente está completamente descrita en la lista de símbolos
presentada en la página xiv.
9
El conjunto de ecuaciones que se resuelve numéricamente en un simulador de geomecánica, se
muestra a continuación (deducción de Chen y col, 1995):
Ecuaciones de equibilirio estático:
jiijj j
ij
xσσ
σ==
∂
∂∑=
3
1;0 ………. (5)
Relaciones deformación-desplazamiento:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
=i
j
j
iij x
uxu
21ε ………. (6)
Relaciones deformación-esfuerzo-presión:
( )[ ] pME b
kkjjiiii 31 ασσυσε ++−= ………. (7a)
( )jiGij
ij ≠= ,2σ
ε ………. (7b)
La nomenclatura correspondiente está completamente descrita en la lista de símbolos
presentada en la página xiv.
CAPÍTULO III: REVISIÓN DE LA LITERATURA
Recientemente ha surgido un interés generalizado por los tópicos de geomecánica enfocada a
la simulación de yacimientos. Esta sección, ofrece un resumen sobre los aportes de diversos
autores al tema en cuestión.
En la simulación de yacimientos convencional, el único parámetro que involucra los efectos
mecánicos sobre la roca es la compresibilidad total. Los primeros desarrollos (Kosloff y col,
1980; Chin y Boade, 1990) para incorporar cálculos de geomecánica en la simulación de
yacimientos, consistieron en convertir los cambios de presión en cargas nodales equivalentes para
alimentar un simulador de geomecánica. De esta manera, las propiedades dependientes de la
presión como la porosidad y la permeabilidad eran actualizadas y realimentadas al simulador de
yacimientos.
Posteriormente, Gutiérrez y Hansteen (1994), demostraron que el fenómeno de compactación
no podía ser modelado adecuadamente mediante la compresibilidad de roca utilizada en los
simuladores de yacimientos convencionales. Esto se debe, a la utilización de un parámetro
estático (la compresibilidad) para simular un comportamiento dinámico, consecuencia de las
variaciones en el tiempo que experimenta el estado de esfuerzos. Partiendo de lo anterior, el
esquema de acoplamiento basado en el recálculo explícito de propiedades resultaba
particularmente ineficiente en el caso de yacimientos sensitivos al esfuerzo, en los cuales las
deformaciones eran notables. Así, surgía la necesidad de desarrollar nuevos esquemas de cálculo
capaces de combinar satisfactoriamente los problemas de fluido y roca.
La teoría que describe el acoplamiento fluido-sólido fue presentada por Terzaghi para sistemas
unidimensionales (1943) y paralelamente por Biot para modelos de tres dimen-siones (1941a,
1956b). La teoría de Biot fue luego reinterpretada y adaptada a la simulación de yacimientos
tradicional por Geertsma (1957), Verruijt (1969), y Chen y col. (1995). La tabla 1 presenta de
manera compacta las contribuciones de los autores mencionados.
11Tabla 1. Resumen de trabajos sobre la teoría de consolidación
1D 3DTerzaghi 1943 Si NoBiot 1941a, 1956b No SiGeertsma 1957 No SiVerrujit 1969 No SiChen y col. 1995 No SiGutiérrez y Lewis 1998 No SiChen y Teufel 1997 No Si
Autor Año Teoría de Consolidación
Más tarde, Settari y Mourits (1994) desarrollaron un método de acoplamiento modular de un
simulador convencional comercial con un código de esfuerzo en tres dimensiones, donde la
porosidad se utilizaba como parámetro de enlace. Asimismo, Settari y Walters (1999) definieron
los distintos niveles de acoplamiento y las implicaciones en las relaciones constitutivas.
En el campo de la simulación de yacimientos considerando geomecánica, el nivel de
acoplamiento refiere la manera como ocurre el intercambio de información entre el modelo de
flujo multifásico y el problema regido por la teoría poroelástica lineal. Así, se habla de esquemas
completamente acoplados o parcialmente acoplados, dependiendo si la solución se alcanza
mediante un único sistema de discretización aplicando un solo método numérico (bien sea MDF
o MEF); o por el contrario, haciendo uso de simuladores distintos para cada problema y
estableciendo actualizaciones de propiedades en intervalos determinados (ver figura 2).
El esquema completamente acoplado constituye la forma más natural y consistente de obtener
la solución al problema en cuestión. Para ello, se escribe el conjunto de ecuaciones completo, se
aplica los métodos de discretización y se resuelve el sistema a través de un único simulador. Los
métodos de discretización usados pueden ser el método de diferencias finitas (Osorio y col, 1998;
Stone y col, 2000) o el método de elementos finitos (Lewis y Schrefler, 1998; Gutierrez y Lewis,
1998; Koutsabeloulis y Hope 1998; Chin y col, 1998).
En el enfoque parcialmente acoplado (también conocido como acoplamiento débil), por su
parte, las ecuaciones de esfuerzo y flujo son resueltas separadamente (haciendo uso de dos
simuladores diferentes). Partiendo de este enfoque, se puede establecer a su vez, dos niveles de
acoplamiento. Se dice que el acoplamiento parcial es explícito si la metodología sólo se lleva a
cabo una vez para cada paso en el tiempo, e iterativo si la metodología se repite hasta la
12
convergencia de las incógnitas de esfuerzo y flujo. Como lo subrayaron Settary y Walter (1999),
el método parcialmente acoplado iterativo asegura el mismo resultado que el método
completamente acoplado siempre que se alcance la convergencia.
Figura 2. Niveles de acoplamiento. Dado un paso en el tiempo ∆tn: en el modelo parcialmente acoplado
explícito, el intercambio de información entre los dos simuladores ocurre en una sola dirección; en el modelo parcialmente acoplado iterativo, el intercambio de información es bidireccional;
en el modelo completamente acoplado la solución se obtiene en un único simulador
En la década de los años 90, se popularizó la aplicación de esquemas de solución
completamente acoplados; en este contexto Lewis y Sukirman (1993) presentaron una solución
para flujo trifásico. Gutierrez y Lewis (1998), por su parte, extendieron la formulación de Biot a
flujo de fluidos de tres fases en medios porosos y resaltaron la importancia del método
completamente acoplado.
Chen y Teufel (1997) trabajaron en reformular nuevamente la teoría de Biot para facilitar su
aplicación en problemas de flujo de fluidos y mecánica de rocas. Basándose en este trabajo,
Osorio y col. (1997), desarrollaron un código en diferencias finitas para tratar el problema
completamente acoplado asumiendo una sola fase. Luego, Chin y col. (1998) presentaron un
código de elementos finitos para la solución de problemas transitorios sobre yacimientos
sensitivos al esfuerzo. Finalmente, Dean (2000) y Tortike (1991) propusieron un enfoque
Solución parcialmente acoplada explícita
Solución parcialmente acoplada iterativa
Solución completamente acoplada
Simulador de yacimientos
[ ] [ ] [ ]nfnn RpE =+1δ
Simulador de geomecánica
[ ] [ ] [ ]nsnn RuK =+1δ
Simulador de yacimientos
[ ] [ ] [ ]nfnn RpE =+1δ
Simulador de geomecánica
[ ] [ ] [ ]nsnn RuK =+1δ
Simulador de flujo y geomecánica
nf
s
nnT R
Rpu
EL~LK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+1δδ
13
parcialmente acoplado iterativo aplicando el MEF para las ecuaciones de balance de fuerzas y el
MDF para flujo multifásico.
En la práctica, es de vital importancia para los simuladores de yacimientos garantizar la
conservación de masa local y global. Hughes y col. (2000) trabajaron sobre el problema de
conservación en el método de los elementos finitos, logrando conservación local mediante el
correcto manejo de las ecuaciones de flujo.
Como se ha expuesto, muchos intentos han sido realizados para lograr esquemas
completamentes acoplados confiables, aplicados a la simulación de yacimientos involucrando
geomecánica. Sin embargo, el hecho de tratar de adaptar toda la solución a un único método de
discretización (MDF o MEF) ha traido complicaciones a los autores.
Es de destacar, que en el campo de la simulación de yacimientos, el método de volumen finito
vía volúmenes de control se ha utilizado rutinariamente; las técnicas aguas arriba resultan
esenciales para obtener resultados correctos. Por otra parte, el método de los elementos finitos,
ofrece grandes ventajas para mallas no estructuradas y permite estabilidad sistemática y
convergencia en los análisis. Sin embargo, el método de Galerkin y los esquemas aguas arriba en
elementos finitos no han alcanzado el nivel de desarrollo necesario para su uso extendido en
problemas de flujo (Wan, 2002).
Considerando lo anterior, la solución completamente acoplada tiene la limitante de dejar de
lado los últimos avances en alguno de los problemas: flujo o sólido (Longuemare y col, 2002).
Esto, asociado a un costo computacional elevado, refuerza la opción de trabajar bajo esquemas
parcialmente acoplados.
En el presente trabajo, se propone la implementación de un esquema de acoplamiento parcial
explícito basado en el recalculo de propiedades expuesto por Minkoff y col, 2004. Este enfoque
resulta computacionalmente eficiente; además, dado que considera los cambios en la porosidad y
permeabilidad del yacimiento como función de la deformación volumétrica, es capaz de aportar
resultados equivalentes a los de otros esquemas de mayor complejidad.
14
El modelo de acoplamiento parcial involucra la utilización de dos simuladores; así, para flujo
se ha escogido el BOAST98 y para el cálculo de las deformaciones en el medio poroso se ha
desarrollado un código en Matlab. Este código, incorpora el mapeo de los valores de presión y de
las propiedades actualizadas, en los intervalos de tiempo en que ocurre el intercambio de
información entre los dos simuladores.
La tabla 2 ofrece un listado cronológico de algunos de los trabajos publicados en el área de
simulación de yacimientos considerando geomecánica.
Tabla 2. Resumen de trabajos sobre los modelos de acoplamiento
Completamente MEFExplícito Iterativo Acoplado Estabilizado
Chin y Boade 1990 Si No No NoKosloff y col. 1980 Si No No NoGutiérrez y Hansteen 1994 Si No No NoSettari y Mourits 1994, 1999 Si Si Si NoLewis y Sukirman 1993 No No Si NoGutiérrez y Lewis 1998 No No Si NoOsorio y col. 1997 No No Si NoChin y col. 1998 No No Si NoDean 2000 No Si No NoTortike 1991 No Si No NoHughes y col. 2000 No No Si SiBrezzi y Fortin 1991 No No Si SiDouglas 1980 No No Si SiDarlow y col. 1984 No No Si SiMasud y Hughes 2002 No No Si SiVaroglu y Finn 1980 No No Si SiCelia y col. 1990 No No Si SiWang y col. 2000 No No Si SiRiviere y Wheeler 2000 No No Si SiWan 2002 No Si Si SiMinkoff y col. 2003, 2004 Si No No NoGarcía 2006 Si No No No
Modelo de AcoplamientoAutor Año Parcialmente Acoplado
Para finalizar, se debe señalar que hasta la fecha, se encuentra disponible en la literatura
cuatro clases generales de métodos de elementos finitos mejorados: (1) Método de los Elementos
Finitos Mixto (Brezzi y Fortin 1991, Douglas 1980, Darlow y col. 1984) aplicado sobre la ley de
Darcy y la conservación de la masa total; (2) Método Estabilizado de Presión Discontinua y
Velocidad Continua (Masud y Hughes 2002), aplicado en la ley de Darcy y la conservación de
masa total; (3) Método Adjunto Localizado, con el método de características para ecuaciones de
convección-difusión (Varoglu y Finn 1980, Celia y col. 1990, Wang y col. 2000); (4) Método de
Galerkin Discontnuo (DG) (Riviere y Wheeler 2000) aplicado en ecuaciones de convección-
difusión.
CAPÍTULO IV: MARCO TEÓRICO
Todos los problemas sobre yacimientos petrolíferos involucran dos elementos básicos: fluido
y roca. Así, el estudio de la interacción entre ambos involucra el análisis de dos procesos
particulares asociados a tales elementos: flujo de fluidos y geomecánica. El flujo de fluidos es
esencial en un estudio de yacimientos petrolíferos. La geomecánica, por su parte, se considera
importante en el análisis de yacimientos naturalmente fracturados y en yacimientos sensitivos al
esfuerzo. A continuación se presenta las derivaciones que conducen a las ecuaciones gobernantes
de cada fenómeno y las discretizaciones correspondientes.
4.1. Derivación de las Ecuaciones de Flujo
En la literatura se encuentra muchas derivaciones de las ecuaciones de flujo para sistemas
compuestos por petróleo, agua y gas (Crichlow, 1977; Peaceman, 1977). Por lo tanto, sólo se
presentará una breve reseña de las ecuaciones gobernantes. La deducción se regirá por la
publicación de Fanchi y col. (1982).
4.1.1. Conservación de la Masa
Para comenzar se debe considerar el flujo de fluido entrando y saliendo de un bloque del
yacimiento (figura 3); se asumirá que el fluido entra del bloque en ( )xJx y sale del bloque en
( )xxJxx Δ+Δ+ . J denota el flujo de fluido y se define como la tasa de flujo másico por unidad de
sección transversal normal a la dirección del flujo, la cual es la dirección “x” en el caso actual.
Por medio de la conservación de la masa, se obtiene la igualdad:
bloqueelenmasadenacumulacióbloquedelsaliendomasabloquealentrandomasa =−
16
Si el bloque tiene longitud xΔ , ancho yΔ , y profundidad zΔ , entonces se puede escribir la
masa entrando al bloque en el intervalo tΔ como:
( ) ( ) ( )[ ] tyxJzxJzyJentrandomasa zzyyxx ΔΔΔ+ΔΔ+ΔΔ= ………. (8)
donde se ha generalizado para permitir flujo en las direcciones “y” y “z” también. La notación
( )xxJ denota el flujo en la dirección “x” en la ubicación “x”, con significado análogo para los
términos remanentes.
x
z
y
Figura 3. Sistema de coordenadas utilizado para cada bloque del yacimiento (Sawyer y Mercer, 1978)
Del mismo modo que el término de masa entrando, existe un término de masa saliendo que
tiene la forma:
( ) ( ) ( )[ ] tzyxqtyxJzxJzyJsaliendomasa zzzyyyxxx ΔΔΔΔ+ΔΔΔ+ΔΔ+ΔΔ= Δ+Δ+Δ+ …….… (9)
donde se ha agregado un término fuente/sumidero q , el cual representa flujo de masa entrando
(fuente) o saliendo (sumidero) del pozo. Un productor está representado mediante 0>q y un
inyector como 0<q .
La acumulación de masa en el bloque es el cambio de concentración de la fase p ( )pC en el
bloque durante el intervalo de tiempo tΔ . Si la concentración ( )pC se define como la masa total
Jx Jx+∆x
∆x
17
de la fase p (petróleo, agua o gas) presente en el bloque dividida por el volumen del bloque,
entonces el término de acumulación se convierte en:
( ) ( )[ ] zyxCCmasadenacumulaciótpttp ΔΔΔ−=
Δ+ ………. (10)
Sustituyendo las ecuaciones 8, 9 y 10 en la igualdad de conservación de la masa, resulta:
masadenacumulaciósaliendomasaentrandomasa =−
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] zyxCCtzyxq
tyxJzxJzyJtyxJzxJzyJ
tpttp
zzzyyyxxxzzyyxx
ΔΔΔ−=ΔΔΔΔ−
ΔΔΔ+ΔΔ+ΔΔ−ΔΔΔ+ΔΔ+ΔΔ
Δ+
Δ+Δ+Δ+ … (11)
Dividiendo la ecuación 11 por xΔ yΔ zΔ tΔ y agrupando términos se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
CCq
zJJ
y
JJ
xJJ tpttpzzzzzyyyyyxxxxx
Δ
−=−
Δ−
−Δ
−−
Δ−
− Δ+Δ+Δ+Δ+ ………. (12)
Aplicando el concepto de límite, se nota que cuando xΔ yΔ zΔ y tΔ tienden a cero, la
ecuación 12 se transforma en la ecuación de continuidad,
tC
qzJ
yJ
xJ pzyx
∂
∂=−−−−
∂∂
∂∂
∂∂ ………. (13)
Cada una de las fases petróleo, agua y gas debe satisfacer la expresión de conservación de la
masa representada por la ecuación 13.
4.1.2. Ecuaciones de Flujo para un Sistema de Tres Fases
Las ecuaciones de flujo para un sistema petróleo, agua y gas se determinan especificando los
flujos y las concentraciones de cada una de las fases en las ecuaciones de conservación. Un flujo
18
en una dirección dada puede ser escrito como la densidad del fluido que multiplica su velocidad
en la dirección dada. Dejando que los subíndices o , w y g denoten petróleo, agua y gas,
respectivamente, los flujos se convierten:
( ) oo
osco v
BJ rr ρ
= ………. (14) ; ( ) ww
wscw v
BJ rr ρ
= ………. (15)
( ) ww
gscswo
o
gscsog
g
gscg v
BR
vB
Rv
BJ rrrr ρρρ
++= ………. (16)
donde soR y swR son las solubilidades de gas en petróleo y en agua respectivamente, expresadas
en PCN/BN; oB , wB , y gB son los factores volumétricos de formación en unidades de volumen
de yacimiento/volumen estándar; los subíndices sc denotan condiciones estándar (usualmente
60ºF y 14.7 psia en unidades de campo); y ρ denota la densidad del fluido. Las velocidades vr se
asumen como las velocidades de Darcy cuyas componentes en “x” son:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
−=c
oooxxo g
gzpx
Kv144ρλ ………. (17)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
−=c
wwwxxw g
gzpx
Kv144ρλ ………. (18)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
−=c
gggxxg g
gzp
xKv
144ρ
λ ………. (19)
donde g es la aceleración de la gravedad en pie/seg2 y cg es 32.174 pie/seg2 (el simulador de
yacimientos BOAST98 asume cgg = ). Se puede escribir expresiones similares para las
componentes en “y” y “z”.
La movilidad de una fase pλ se define como el cociente entre la permeabilidad relativa al
flujo de la fase y su viscosidad, así resulta:
19
prpp /k μλ = ………. (20)
Las densidades de las fases están relacionadas a los factores volumétricos de formación y a las
solubilidades de gas mediante:
[ ]gscsoosco
o RB
ρρρ +=1 ………. (21)
[ ]gscswwscw
w RB
ρρρ +=1 ………. (22)
g
gscg B
ρρ = ………. (23)
Además de los flujos, también se requiere las concentraciones. Éstas vienen dadas por:
ooosco B/SC φρ= ………. (24) wwwscw B/SC φρ= ………. (25)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++=
w
wsw
o
oso
g
ggscg B
SRB
SRBS
C φρ ………. (26)
donde φ es la porosidad y pS es la saturación de la fase p . Las saturaciones de las fases deben
satisfacer la restricción presentada en el Capítulo II:
1=++ gwo SSS ………. (1)
Combinando las ecuaciones 13, 14 a la 16 y 24 hasta la 26, se obtiene una ecuación de
conservación de la masa para cada fase:
Petróleo
( )oooscozoo
oscyo
o
oscxo
o
osc B/St
qvBz
vBy
vBx
φρρρρ∂∂
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
− ………. (27)
20
Agua
( )owwscwzww
wscyw
w
wscxw
w
wsc B/St
qvBz
vBy
vBx
φρρρρ∂∂
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
− ………. (28)
Gas
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
−
w
wsw
o
oso
g
ggscgzw
w
gscswzo
o
gscsozg
g
gsc
yww
gscswyo
o
gscsoyg
g
gscxw
w
gscswxo
o
gscsoxg
g
gsc
BSR
BSR
BS
tqv
BR
vB
Rv
Bz
vB
Rv
BR
vBy
vB
Rv
BR
vBx
φρρρρ
ρρρρρρ
…. (29)
Las densidades a condiciones estándar se consideran constantes y pueden, por lo tanto, ser
divididas fuera de las ecuaciones anteriores. Esto reduce las ecuaciones a la siguiente forma
mostrada en el Capítulo II:
Petróleo
( )ooosc
o
o
zo
o
yo
o
xo B/St
qBv
zBv
yBv
xφ
ρ ∂∂
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
− ………. (2)
Agua
( )wwwsc
w
w
zw
w
yw
w
xw B/St
qBv
zBv
yBv
xφ
ρ ∂∂
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
− ………. (3)
Gas
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
−
w
wsw
o
oso
g
g
gsc
gzw
w
swzo
o
so
g
zg
yww
swyo
o
so
g
ygxw
w
swxo
o
so
g
xg
BSR
BSR
BS
tq
vBRv
BR
Bv
z
vBRv
BR
Bv
yv
BRv
BR
Bv
x
φρ
………. (4)
Las ecuaciones 17 hasta la 23, 1 y 2 hasta la 4 son las ecuaciones básicas de flujo de fluidos a
ser resueltas numéricamente en un simulador de petróleo negro.
21
4.1.3. Reordenamiento de las Ecuaciones de Flujo
Una mirada a las ecuaciones 2 hasta la 4 presentadas en el apartado anterior, demuestra parte
de la complejidad de las ecuaciones básicas de un simulador de petróleo negro para tres fases y
tres dimensiones. Una apariencia más simple pero equivalente de las ecuaciones se presenta en
seguida:
( )ooosc
o
o
o B/St
qBV φ
ρ ∂∂
=−⋅∇−r
……. (30) ; ( )wwwsc
w
w
w B/St
qBV φ
ρ ∂∂
=−⋅∇−r
….… (31)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅∇−
w
wsw
o
oso
g
g
gsc
gw
w
swo
o
so
g
g
BSR
BSR
BS
tq
vBRv
BR
BV
φρ
rrr
………. (32)
donde el símbolo ∇ ⋅rv es una forma compacta de:
⋅∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇ zyx vz
vy
vx
vr ………. (33)
La forma de las velocidades de Darcy (ecuaciones 17 a la 19) pueden también simplificarse
definiendo el potencial de la fase p ( )pΦ como:
( )144
zp p
pp
ρ−=Φ ………. (34)
donde se ha utilizado la suposición que cgg = . En esta notación, si se incluye las direcciones
“x”, “y”, “z” para la permeabilidad y los vectores unitarios ,k,j,i la velocidad de Darcy puede
ser escrita como:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂Φ∂
+∂Φ∂
+∂Φ∂
−=Φ∇⋅Κ−=z
Kky
Kjx
Kiv oz
oy
oxoooo λλ
tr ………. (35)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂Φ∂
+∂Φ∂
+∂Φ∂
−=Φ∇⋅Κ−=z
Kky
Kjx
Kiv wz
wy
wxwwww λλ
tr ………. (36)
22
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
Φ∂+
∂
Φ∂+
∂
Φ∂−=Φ∇⋅Κ−=
zKk
yKj
xKiv g
zg
yg
xgggg λλtr ………. (37)
La notación tΚ indica que la permeabilidad es un tensor de rango dos. La forma expandida de
las ecuaciones 35 hasta 37 emplea la suposición común que los ejes coordenados de nuestro
sistema de referencia están alineados a lo largo de los ejes principales de tΚ . Combinando las
ecuaciones 30 hasta la 32 con las ecuaciones 35 hasta 37 resulta:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=−Φ∇⋅Κ⋅∇
o
o
osc
o
o
oo
BS
tq
Bφ
ρλ
t
……. (38) ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=−Φ∇⋅Κ⋅∇
w
w
wsc
w
w
ww
BS
tqq
Bφλ
t
……. (39)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ Φ∇+
Φ∇+
Φ∇⋅Κ⋅∇
w
wsw
o
oso
g
g
gsc
g
w
wsww
o
ooso
g
gg
BSR
BSR
BS
tq
BR
BR
Bφ
ρλλλt
… (40)
Las ecuaciones 38 a la 40 son equivalentes a las publicadas por Peaceman en 1977, para un
sistema de tres dimensiones, excepto que se ha incluido la posibilidad que el gas se disuelva en la
fase acuosa. Del mismo modo, las convenciones de signo para el sistema coordenado y para los
de flujos son diferentes.
4.1.4. Concepto de Presión Capilar
La presencia de las presiones de las fases petróleo, agua, y gas en las ecuaciones 38 a la 40
complica el problema. Para muchas situaciones, la diferencia entre las presiones de las fases es
mucho más pequeña que el potencial de la fase individual y puede ser ignorado o tratado con
menor rigurosidad matemática. Se puede simplificar el manejo de las presiones de las fases y los
potenciales en las ecuaciones de flujo por medio del uso del concepto de presión capilar. Se
puede definir la diferencia entre las presiones de las fases como:
wocow ppp −= ………. (41) ; ogcgo ppp −= ………. (42)
23
Las diferencias cowp y cgop , representan las presiones capilares de las fases petróleo-agua y
gas-petróleo, respectivamente. Experimentalmente se ha observado que cowp y cgop son
principalmente funciones de las saturaciones de agua y gas, respectivamente. Usando las
ecuaciones 41 y 42 se puede escribir los potenciales de agua y gas como:
144zpp w
cowowρ
−−=Φ ………. (43) ; 144
zpp g
cgoog
ρ−+=Φ ………. (44)
Combinando las ecuaciones 38 hasta 40 con las ecuaciones 43 y 44 y reordenando se obtiene:
Petróleo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=−+∇⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅Κ⋅∇
o
o
osc
ooo
o
o
BS
tqCGp
Bφ
ρλt
………. (45)
Agua
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=−+∇⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅Κ⋅∇
w
w
wsc
wwo
w
w
BS
tqCGp
Bφ
ρλt
………. (46)
Gas
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=−+∇⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅Κ⋅∇
w
wsw
o
oso
g
g
gsw
ggo
w
wsw
o
oso
g
g
BSR
BSR
BS
tq
CGpB
RB
RB
φρ
λλλt ……. (47)
Las contribuciones de la gravedad y la capilaridad a la presión de las fases ha sido recopilada
en los términos oCG , wCG y gCG :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∇⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅Κ⋅−∇=
144z
BCG o
o
oo
ρλt ……. (48) ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +∇⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅Κ⋅−∇= cow
w
w
ww pz
BCG
144ρλt
….… (49)
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∇−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∇−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∇⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅Κ⋅∇=
144144144zp
BRz
BRz
pB
CG wcow
w
wswo
o
osogcgo
g
gg
ρλρλρλt ……. (50)
24
En esencia, la simulación de yacimientos implica la solución de las ecuaciones 45 hasta la 47
y la ecuación 1 para formar un sistema de cuatro incógnitas op , oS , wS y gS . Todas las otras
propiedades físicas en las ecuaciones son conocidas, en principio, como funciones de las cuatro
incógnitas, o a partir de data de campo y/o laboratorio.
4.1.5. Ecuación de Presión
El procedimiento utilizado en el simulador Boast98 para resolver las ecuaciones de flujo
requiere que primero se combine las ecuaciones 1 y 45 a la 47, tal que resulte una sola ecuación
para la incógnita presión op . Para comenzar se utiliza la siguiente expresión compacta para las
ecuaciones 38 a la 40:
Petróleo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=o
oo B
St
L φ ………. (51)
Agua
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=w
ww B
St
L φ ………. (52)
Gas
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=w
wsw
o
oso
g
gg B
SRB
SRBS
tL φ ………. (53)
donde
osc
ooo
o
oo
qCGpB
Lρ
λ−+∇⋅Κ⋅∇=
t ………. (54)
wsc
wwo
w
ww
qCGpB
Lρ
λ−+∇⋅Κ⋅∇=
t ………. (55)
gsc
ggo
w
wsw
o
oso
g
gg
qCGp
BR
BR
BL
ρλλλ
−+∇⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅Κ⋅∇=
t ………. (56)
25
Reconociendo que los factores volumétricos de formación, las solubilidades del gas y la
porosidad son función de la presión, se puede aplicar la regla de la cadena para expandir los
términos de acumulación (derivadas de tiempo) de las ecuaciones 51 hasta 53 como sigue:
Petróleo
tp
pB
BS
pBS
tS
BL o
o
o
o
o
oo
oo
oo ∂
∂⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
−∂∂
+∂∂
= 2
φφφ ………. (57)
Agua
tp
pB
BS
pBS
tS
BL o
o
w
w
w
ow
ww
ww ∂
∂⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
−∂∂
+∂∂
= 2
φφφ ………. (58)
Gas
tp
pB
BRS
pR
BS
pBRS
tS
BR
tp
pB
BRS
pR
BS
pBRS
tS
BR
tp
pB
BS
pBS
tS
BL
o
o
w
w
sww
o
sw
w
w
ow
swww
w
sw
o
o
o
o
soo
o
so
o
o
oo
sooo
o
soo
o
g
g
g
og
gg
gg
∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂−
∂∂
+∂
∂=
2
222
φφφφ
φφφφφφφ
………. (59)
A continuación se utiliza la igualdad 1=++ gwo SSS (ecuación 1) para remover la derivada
parcial t/Sg ∂∂ de la ecuación 59. La diferenciación de la ecuación 1 respecto de t y el
consiguiente reordenamiento resulta:
tS
tS
tS wog
∂∂
−∂∂
−=∂
∂ ………. (60)
Sustituyendo la ecuación 60 en la ecuación 59 y simplificando resulta:
tp
pB
BRS
pR
BS
pBRS
pB
BS
pR
BS
pBRS
pB
BS
pBS
tS
BBR
tS
BBRL
o
o
w
w
sww
o
sw
w
w
ow
sww
o
o
o
o
o
so
o
o
oo
soo
o
g
g
g
og
gw
gw
swo
go
sog
∂∂
⎭⎬⎫
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
+
∂∂
+∂
∂−
∂∂
⎪⎩
⎪⎨⎧
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
22
2
φφφφφ
φφφφφφφ
………. (61)
26
Las ecuaciones 57, 58 y 61 son tres ecuaciones para tres incógnitas op , oS , wS . Multiplicando
la ecuación 57 por ( )gsoo BRB − , la ecuación 58 por ( )gsww BRB − , la ecuación 61 por gB , y
sumando los resultados se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
tp
pB
BRSB
pR
BSB
pBRSB
pB
BRSB
pR
BSB
pBRSB
pB
BS
pS
tp
pB
BS
pBSBRB
tp
pB
BS
pBSBRB
tS
BBRB
tS
BBRB
tS
BBRB
tS
BBRBLBLBRBLBRB
o
o
w
w
swwg
o
sw
w
wg
ow
swwg
o
o
o
soog
o
so
o
og
oo
soog
o
g
g
g
og
o
o
w
w
w
ow
wgsww
o
o
o
o
o
oo
ogsoo
w
gw
swg
o
go
sog
w
wgsww
o
ogsooggwgswwogsoo
∂∂
⎭⎬⎫
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
+
∂∂
+∂
∂
⎩⎨⎧
−∂∂
+∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
−∂∂
−+
∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
−∂∂
−+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
−+∂∂
−=+−+−
22
2
2
φφφφφ
φφφφφ
φφφφφφ
φφ
….... (62)
donde se ha realizado algunas simplificaciones. Esta larga y complicada expresión puede ser
notablemente simplificada resolviendo los productos indicados y agrupando términos semejantes.
Los términos que involucran derivadas de tiempo de oS y wS desaparecen por ser idénticos,
quedando:
( ) ( ) ( )
tp
pB
BpR
BB
SpB
BpR
BB
S
pB
BS
pSSSLBLBRBLBRB
o
o
w
wo
sw
w
gw
o
o
oo
so
o
go
o
g
g
g
oowgggwgswwogsoo
∂∂
⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂−
∂∂
++=+−+−
11 φφ
φφ
………. (63)
Las compresibilidades del petróleo, agua, gas, roca y total se presentan a continuación en el
mismo orden en que han sido nombradas:
o
so
o
g
o
o
oo p
RBB
pB
Bc
∂∂
+∂∂
−=1 ………. (64)
o
sw
w
g
o
w
ww p
RBB
pB
Bc
∂∂
+∂∂
−=1 ………. (65)
o
g
gg p
BB
c∂∂
−=1 ………. (66)
or p
c∂∂
−=φ
φ1 ………. (67)
ggwwoort ScScSccc +++= ………. (68)
27
Empleando estas definiciones, y sustituyendo las ecuaciones 54 a la 56 y 1 en la ecuación 63
se obtiene:
( ) ( )
.tpcq
CGpB
RB
RB
B
qCGpB
BRBqCGpB
BRB
ot
gsc
ggo
w
wsw
o
oso
g
gg
wsc
wwo
w
wgsww
osc
ooo
o
ogsoo
∂∂∂
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+∇⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅Κ⋅∇+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+∇⋅Κ⋅∇−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+∇⋅Κ⋅∇−
ρλλλ
ρλ
ρλ
t
tt
……. (69)
La ecuación 69 se conoce como la ecuación de presión porque no están presentes derivadas
explícitas de las saturaciones con respecto al tiempo. El enfoque adoptado por el simulador
BOAST98 consiste en resolver las ecuaciones de flujo para tres fases en tres dimensiones; para
ello se resuelve numéricamente la ecuación de presión op , luego se emplea este resultado en las
ecuaciones 51, 52 y 1 a fin de hallar las saturaciones de las fases.
4.2. Método de Diferencias Finitas (MDF)
La simulación de flujo trifásico en un yacimiento en tres dimensiones requiere la solución de
un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineal. Estas ecuaciones, como se ha visto,
provienen de la aplicación del principio de conservación de la masa a un sistema petróleo-agua-
gas. Para la mayoría de las situaciones práctica, las ecuaciones de flujo no pueden ser resueltas
analíticamente. En lugar de esto las ecuaciones diferenciales parciales son aproximadas mediante
ecuaciones algebraicas conocidas como ecuaciones en diferencias finitas. Las ecuaciones en
diferencias finitas se obtienen remplazando las derivadas por aproximaciones de las expansiones
de la serie de Taylor truncadas (von Rosenberg, 1977 o Kreyszig, 1972).
Como se acaba de mencionar, el método de diferencias finitas se basa en expresar las
derivadas incógnitas como x/p ∂∂ en forma de cantidades matemáticas más manejables. Para
ello se manipula la serie de Taylor hasta alcanzar la siguiente representación:
( ) ( ) ( ) ( )xex
xpxxpxxp
Δ−Δ
−Δ+=
∂∂ ………. (70)
28
donde ( )xe Δ es el error de truncamiento, el cual resulta pequeño comparado con
( ) ( ) x/xpxxp Δ−Δ+ , dando origen a la siguiente aproximación:
( ) ( ) ( )x
xpxxpxxp
Δ−Δ+
≈∂
∂ ………. (71)
La ecuación 71 se convierte en una igualdad despreciando ( )xe Δ . Para valores de xΔ
suficientemente pequeños, en efecto, la ecuación 71 permite remplazar la derivada de una
cantidad p con respecto de x por una diferencia entre dos valores vecinos de p separados por
un intervalo finito xΔ . Por esta razón, el lado derecho de la ecuación 71 se conoce como
aproximación por diferencias finitas de ( ) x/xp ∂∂ . Se puede escribir expresiones similares para
las derivadas respecto de y , z o t . La magnitud tΔ representa el tamaño del paso en el tiempo.
Los incrementos o diferencias a lo largo de los ejes espaciales (como xΔ , yΔ o zΔ ) son
llamados longitudes de bloques a lo largo de los ejes.
Si se extiende los conceptos anteriores a un sistema en el cual se conoce los valores de la
variable p en ubicaciones ix , se puede estimar el valor ( ) x/xp ∂∂ escribiendo la ecuación 71
como:
( )ii
ii xxx;x
ppxxp
−=ΔΔ−
≈∂
∂+
+1
1 ………. (72)
donde ip significa el valor de p en ix , y ix es la ubicación en x del nodo i .
Alternativamente, la derivada ( ) x/xp ∂∂ puede expresarse a través de la relación
(despreciando el error de truncamiento):
( ) ( ) ( )x
xxpxpxxp
ΔΔ−−
≈∂
∂ ………. (73)
o bien, siguiendo la notación de la ecuación 80 como sigue:
29
( )1
1−
− −=ΔΔ−
≈∂
∂ii
ii xxx;xpp
xxp ………. (74)
La ecuación 72 se conoce como diferencia finita hacia delante de ( ) x/xp ∂∂ , mientras que a la
ecuación 74 se le llama diferencia finita hacia atrás de ( ) x/xp ∂∂ .
Por otro lado, combinando las expresiones 72 y 74 (antes de eliminar los términos de error
truncamiento) y reordenando los términos se obtiene la siguiente expresión:
( ) ( )211
2xe
xpp
xp ii Δ−
Δ−
= −+
∂∂ ………. (75)
donde el error de truncamiento resulta de segundo orden en xΔ . La ecuación 75 se conoce como
aproximación en diferencia centrada de ( ) x/xp ∂∂ y es más precisa que cualquiera de la fórmulas
72 o 74. Con el propósito de obtener derivadas de segundo orden, se puede aplicar este método
dos veces sobre la misma función. Sin embargo, a pesar que el método mejora la estimación del
error, existen situaciones en las cuales no debe ser usado; por ejemplo, en la solución de
ecuaciones diferenciales parabólicas, donde la utilización de aproximaciones de tiempo en
diferencia centrada conduce incondicionalmente a ecuaciones en diferencia finita inestables.
Por lo tanto, la expresión para una derivada de segundo orden se ofrece en seguida:
( )
( )222
112
2 2xe
xppp
xp iii Δ−
Δ
−+=
∂∂ −+ ………. (76)
donde el término para el error de truncamiento de segundo orden resulta:
( ) ( ) ...12
2
4
42
2 +Δ
∂∂
=Δx
xpxe ………. (77)
Para propósitos del problema de valor de contorno de flujo multifásico, sólo se requiere una
ecuación adicional presentada a continuación:
30
2
121
121
xxxpp
xpp
xp
x
ii/i
ii/i
′′Δ+′Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′Δ−
Γ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′′Δ−
Γ≈⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ∂∂
−−
++
………. (78)
donde 1−−=′Δ ii xxx y ii xxx −=′′Δ +1
Figura 4. Ejemplo de la malla utilizada en el MDF. Notación de la ecuación 78 (Fanchi y col., 1982)
La notación 21 /i−Γ , 21 /i+Γ significa que los coeficientes deben ser evaluados en 21 /ix − , 21 /ix +
respectivamente, donde 21 /ix + denota una ubicación en algún lugar entre ix y 1+ix , (similarmente
para 21 /ix − ).
4.2.1. Evaluación de las Transmisibilidades
El próximo punto a tratar se refiere al movimiento de fluidos entre dos bloques. Para modelar
este fenómeno, se asume que se satisface las condiciones necesarias para el flujo según la ley de
Darcy (ignorando por ahora los cambios en la movilidad pλ y en el factor volumétrico de la fase
pB ) obteniéndose:
21
1
ii
ii
pp
rpcp xx
ppB
kAKQ
Δ+Δ−
=−
−
μ ………. (79)
xi-1 xi xi+1
pi-1 pi pi+1
∆x’ ∆x’’
31
donde pQ es el promedio absoluto del flujo volumétrico de la fase; K es la permeabilidad
absoluta equivalente de Darcy asociada con la caída de presión desde 1−ix hasta ix ; y cA es el
área de la sección transversal equivalente de Darcy entre 1−ix y ix . Para poder utilizar la ecuación
79, se hace necesario expresar el producto cAK en términos de variables conocidas, para ello se
aplica la ley de Darcy a los volúmenes de celdas colindantes y luego de ciertas manipulaciones
matemáticas y sustituciones, se obtiene:
( ) ( )( ) ( ) ( )ii
iciici
icic
pp
rpp pp
KAxKAxKAKA
Bk
Q −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ+Δ⋅
= −−−
−1
11
12μ
………. (80)
En la ecuación 80 aún se requiere determinar un promedio representativo para el produc-
to pprp B/k μ . BOAST98 utiliza la saturación de la fase del bloque aguas arriba en el tiempo n
para determinar una permeabilidad relativa de la fase aguas arriba. Esta permeabilidad es
combinada con la media aritmética de los valores de viscosidad y factor volumétrico de la misma
fase, resultando:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
−−
22,1,,1,
)(
ipipipip
arribaaguasrp
pp
rp
BBk
Bk
μμμ ………. (81)
La forma final de la ecuación 80 es la siguiente:
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ+Δ−
++≡
−⋅′=
−−
−−
−−
−−
11
11
,1,,1,
12/1,
24
iciici
iiicic
ipipipip
arribaaguasrp
iiipp
KAxKAxpPKAKA
BBk
ppAQ
μμ
………. (82)
donde 21 /i,pA −′ se conoce como transmisibilidad de la fase de Darcy entre los bloques ( )1−i e ( )i .
Finalmente, haciendo uso de la ecuación 69, incluyendo el concepto de transmisibilidad de Darcy
y reordenando se obtiene:
32
( ) ( )[ ] ( ) ( )121121121121
2
−−++−−++ −−−≡−′−−′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′Δ+′Δ
Δii/i,pii/i,pii/i,pii/i,p
i ppAppAppAppAxx
x …. (83)
donde 21 /i,pA − es la transmisibilidad de la fase en diferencia finita entre los bloques ( )1−i e ( )i .
Este es el valor de transmisibilidad usado por BOAST98 en sus cálculos internos. Debe notarse
que la transmisibilidad de la fase de Darcy pA′ iguala a la transmisibilidad de la fase en diferencia
finita pA cuando la malla tiene espaciamiento uniforme. Para obtener la transmisibilidad en las
dos direcciones restantes se aplica un procedimiento similar.
4.2.2. Formulación de las Ecuaciones en Diferencia Finita
En seguida se muestra nuevamente las tres ecuaciones a ser discretizadas mediante el MDF:
Presión
( ) ( )
.tpcq
CGpB
RB
RB
B
qCGpB
BRBqCGpB
BRB
ot
gsc
ggo
w
wsw
o
oso
g
gg
wsc
wwo
w
wgsww
osc
ooo
o
ogsoo
∂∂∂
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+∇⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅Κ⋅∇+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+∇⋅Κ⋅∇−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+∇⋅Κ⋅∇−
ρλλλ
ρλ
ρλ
t
tt
……. (69)
Petróleo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=o
oo B
St
L φ ………. (51)
Agua
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=w
ww B
St
L φ ………. (52)
Estas tres ecuaciones primero son multiplicadas por el volumen global del elemento ( ) kjibV ,, .
Luego, se define el siguiente operador de diferencia lineal:
33
zzyyxx pAzpAypAxpA ΔΔ+ΔΔ+ΔΔ=ΔΔ ………. (84)
donde ( ) ( )k,j,ik,j,ik,j,/ik,j,ik,j,ik,j,/ixx ppAppApAx −+−=ΔΔ ++−− 121121 . Manteniendo la notación, las
ecuaciones en diferencia finita resultan como:
Presión
( )
( )
( )
( )ijknn
ijk
nt
npor
ijkgsc
bgnnw
nsw
nno
nso
nngijk
ng
ijkwsc
bwnnwijk
nsw
ng
nw
ijkosc
bonnoijk
nso
ng
no
pptcV
VqGGWTpARpARpAB
VqGWWTpARBB
VqGOWTpARBB
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ΔΔ+ΔΔ+ΔΔ+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ΔΔ−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ΔΔ−
+
+++
+
+
1
111
1
1
ρ
ρ
ρ
………. (85)
Petróleo
ijk
n
o
oporn
o
opor
ijkosc
bonno B
SVB
SVt
VqGOWTpA⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ΔΔ
+
+
11 1
ρ ………. (86)
Agua
ijk
n
w
wporn
w
wpor
ijkwsc
bwnnw B
SVB
SVt
VqGWWTpA⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ΔΔ
+
+
11 1
ρ ………. (87)
donde porV es el volumen poroso del bloque: bpor VV φ=
Debe observarse que para representar las derivadas del tiempo se ha utilizado una diferencia
finita hacia delante. Los superíndices n y 1+n denotan los niveles de tiempo actual y futuro
respectivamente. Las cantidades con el superíndice n se calculan con los datos existentes,
mientras que las cantidades con el superíndice 1+n se refieren a las variables cuyo valor se
desea encontrar.
34
Los efectos de la gravedad y la presión capilar (ecuaciones 43 a la 50) están contenidos en
GOWT , GWWT y GGWT :
n
ono
zAGOWT ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ΔΔ−=
144ρ ……. (88) ;
n
cowwn
w pzAGWWT ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +ΔΔ−=
144ρ ……. (89)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Δ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Δ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ΔΔ−=
nw
cown
wsw
non
on
so
ng
cgon
gzpARzAR
zpAGGWT
144144144ρρρ
………. (90)
4.2.3. Procedimiento de Presión Implícita y Saturación Explícita (IMPES)
Hasta este punto se ha analizado todos los elementos básicos necesarios para construir el
sistema de ecuaciones algebraicas equivalente al sistema de ecuaciones diferenciales parciales no
lineales del simulador de yacimientos de petróleo negro. Como paso previo a la presentación del
sistema de ecuaciones final, resulta útil definir nuevas variables para simplificar la notación. En
particular, la ecuación de presión se puede expresar de una manera relativamente sencilla
introduciendo las siguientes definiciones:
( )
( ) ,⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
GGWTVq
BGWWTVqRBB
GOWTVqRBBQOWG
gsc
bgg
wsc
bwswgw
osc
bosogo
ρρ
ρ ………. (91)
( )[ ]( )[ ] ,ABARRBB
ARRBBAE
/i,gg/i,wi,swi,swgw
/i,oi,soi,sogoi
2121121
21121
+++
++
+−++
−+= ………. (92)
( )[ ]( )[ ] ,ABARRBB
ARRBBAW
/i,gg/i,wi,swi,swgw
/i,oi,soi,sogoi
2121121
21121
−−−
−−
+−++
−+= ………. (93)
35
( )[ ]( )[ ] ,ABARRBB
ARRBBAN
/j,gg/j,wj,swj,swgw
/j,oj,soj,sogoj
2121121
21121
+++
++
+−++
−+= ………. (94)
( )[ ]( )[ ] ,ABARRBB
ARRBBAS
/j,gg/j,wj,swj,swgw
/j,oj,soj,sogoj
2121121
21121
−−−
−−
+−++
−+= ………. (95)
( )[ ]( )[ ] ,ABARRBB
ARRBBAB
/k,gg/k,wk,swk,swgw
/k,ok,sok,sogok
2121121
21121
+++
++
+−++
−+= ………. (96)
( )[ ]( )[ ] ,ABARRBB
ARRBBAT
/k,gg/k,wk,swk,swgw
/k,ok,sok,sogok
2121121
21121
−−−
−−
+−++
−+= ………. (97)
Dado que todas la cantidades que intervienen en las ecuaciones 91 a la 97 se evalúan en el
intervalo de tiempo actual, se ha omitido los superíndices relativos al tiempo. Sustituyendo los
conceptos anteriores en la ecuación de presión 85 se obtiene:
HHEEpAEpANpAB
pAWpASpATnn
iin
jjn
kk
nii
njj
nkk
=++++
++++
++
++
+
+−
+−
+−
111
11
11
11
11
11 ………. (98)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++++++−=
tcV
ABANAWAEASATEEn
tn
porkjiijk ………. (99)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ+−−=
tpcV
QOWGHHnn
tn
por ………. (100)
En la práctica todos los coeficientes de las presiones ( )1+n en la ecuación 98 son conocidos
para el paso en el tiempo actual; nótese que a cada bloque del dominio corresponde una expresión
con la forma de la ecuación 98. El sistema total de ecuaciones algebraicas resultante se resuelve
entonces para las presiones en el nuevo nivel de tiempo ( )1+n . Cuando las nuevas presiones han
sido computadas, son usadas en las ecuaciones 86, 87 y 1 para encontrar las nuevas saturaciones
361+n
oS , 1+nwS , 1+n
gS . Las nuevas presiones y saturaciones son ahora consideradas los valores actuales
y se repite el cálculo. De esta manera, se puede obtener la solución numérica aproximada de las
ecuaciones de flujo del simulador de petróleo negro para un tiempo de simulación dado. Este
procedimiento se conoce como “Procedimiento de Presión Implícita y Saturación Explícita”
(Implicit Pressure Explicit Saturation – IMPES procedure).
En diferencias finitas, la ecuación de presión (ecuación 98) lleva a un sistema de ecuaciones
lineales para las KJI ×× incógnitas de presión 1+nk,j,ip , Ii ≤≤1 ; Jj ≤≤1 ; Kk ≤≤1 . Aquí
1+nk,j,ip denota la presión en el bloque ( )k,j,i del dominio para el nuevo nivel de tiempo ( )1+n .
Tal sistema de ecuaciones se puede escribir como sigue:
NNNNNN
NN
NN
hhpaapaapaa
hhpaapaapaahhpaapaapaa
=+++
=+++
=+++
,22,11,
2,222,211,2
1,122,111,1
L
MM
L
L
………. (101)
donde se ha omitido el superíndice ( )1+n para el nivel de tiempo y KJIN ××= .
Alternativamente, el sistema de ecuaciones anterior puede ser escrito de una forma más
compacta:
[ ]{ } { }HHpAA = ………. (102)
donde AA es la matriz de coeficientes y ,, HHp son los vectores columna mostrados a
continuación:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
NNNNNN
N
N
hh
hhhh
HH
p
pp
p
aaaaaa
aaaaaaaaaaaa
AAMM
L
MM
L
L
2
1
2
1
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
………. (103)
Existen muchos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales; éstos suelen dividirse
en dos grupos: directos e iterativos. El simulador BOAST98 provee la opción de escoger entre
dos métodos directos (matriz en banda o D4) y un método iterativo (LSOR).
37
4.3. Teoría Poroelástica Lineal
Los materiales “suaves” como la arenisca y la arcilla (típicos de los yacimientos petrolíferos)
están formados por pequeñas partículas, los espacios porosos entres estas partículas normalmente
están llenos de fluidos (líquidos y gases). Si tales fluidos incluyen gas se dice que están
parcialmente saturados, mientras que si sólo contienen una fase se les llama saturados. Según lo
anterior, la deformación de la roca va a depender no sólo de la rigidez del material poroso, sino
también del comportamiento de los fluidos en los poros. La ocurrencia simultánea de la
deformación del material poroso y el flujo de fluidos constituye el objeto de estudio de la teoría
de consolidación. La teoría de consolidación se aplica a problemas de subsidencia cuando son
causados por la extracción de fluidos.
La primera teoría de consolidación fue introducida por Terzaghi (1943) para sistemas de una
sola dimensión; Terzaghi estudió el problema de consolidación unidimensional de un estrato
horizontal con carga homogénea. En este problema, Terzaghi introdujo el principio de esfuerzo
efectivo. Al mismo tiempo, la secuencia de estudios de Biot (1941a, 1941b, 1955, 1956a, 1956b)
presentó una teoría general para problemas de consolidación en tres dimensiones y las soluciones
generales elásticas para materiales anisotrópicos porosos. Biot basó su teoría en una relación
constitutiva lineal esfuerzo-deformación y en una forma lineal de la ley de Darcy. Tanto el
análisis de Terzaghi como el de Biot son lineales, pero pueden ser extendidos a problemas no
lineales.
A continuación se ofrece un repaso sobre las ecuaciones que rigen la teoría de consolidación
de Biot también conocida como teoría poroelástica lineal. El presente estudio asume un medio
perfectamente elástico (en el sentido de un comportamiento mecánico lineal reversible y no
retardado) con pequeñas deformaciones. También se asume una condición isotérmica.
4.3.1. Relaciones Básicas
Los tres principios básicos de la teoría poroelástica son: equilibrio de esfuerzos, relaciones
deformación-desplazamiento y relaciones deformación-esfuerzo-presión. Las expresiones
matemáticas que rigen este modelo se presentan a continuación:
38
Figura 5. Tensor de esfuerzos
Equilibrio de esfuerzos: (6 ecuaciones)
jiijj j
ij
xσσ
σ==
∂
∂∑=
3
1;0 ………. (5)
El desarrollo de esta expresión conduce al tensor de esfuerzos mostrado en la figura 5.
Relaciones deformación-desplazamiento (6 ecuaciones)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
=i
j
j
iij x
uxu
21ε ………. (6)
Relaciones deformación-esfuerzo-presión (6 ecuaciones)
( )[ ] pME b
kkjjiiii 31 ασσυσε ++−= ……. (7a) ( )ji
Gij
ij ≠= ,2σ
ε ……. (7b)
En las ecuaciones 5 hasta la 7, ijε y ijσ son las componentes del tensor de deformación global
y del tensor de esfuerzo total, respectivamente, iu representa las componentes del vector de
desplazamiento del sólido ( )zyx uuuu ,, ; E , ( )[ ]( )υ+= 12/EG , y υ son el módulo de Young, el
módulo de rigidez y la relación de Poisson para el esqueleto sólido bajo condiciones de drenaje,
39
respectivamente; ( )bb c/M 1= representa el modulo global medido manteniendo la presión de
fluido constante (es igual al inverso de la compresibili-dad global obtenida de la forma indicada);
y α es el parámetro poroelástico o coeficiente de esfuerzo efectivo. En la sección 4.3.3 se
iniciará una discusión más detallada sobre α , asimismo, en el apéndice A se ofrece mayor
información sobre el módulo global bM .
Algunas restricciones y simplificaciones aplican en las ecuaciones precedentes. Así, en la
ecuación 5 se desprecia las fuerzas de cuerpo y los efectos de inercia; la ecuación 6, por su parte,
asume que las deformaciones producto del esfuerzo son pequeñas. Por último, la convención de
signos utilizada considera los esfuerzos y las deformaciones positivos a tensión, mientras que la
presión de fluido p es positiva para compresión.
Nótese que la presión del fluido p afecta solamente la deformación normal, esto debido a la
suposición de isotropía (ver ecuación 7a). Las deformaciones cortantes son función de los
esfuerzos de corte y son independientes de la presión de fluido (ecuación 7b).
Resulta más conveniente expresar los esfuerzos en términos de deformación, puesto que el
esfuerzo total satisface la ecuación de equilibrio (ecuación 5). De esta manera, reordenando la
ecuación 7a se obtiene:
ijijVLijij pG δαδελεσ −+= 2 ………. (104)
Donde ijδ es la función delta de Kronecker 1( =ijδ para 0, == ijji δ para )ji ≠ , y Lλ es la
constante de Lamé la cual se relaciona con otras propiedades mecánicas mediante:
GMGMb
bL 3
221
213
−=−
=+
=υ
υυ
υλ ………. (105)
Sumando las tres ecuaciones dadas por la expresión 7a ó 104 resulta:
( ) b
m
L
mV M
pG/
p ασλ
ασε +=
++
=32
………. (106)
donde,
40
zzyyxxV εεεε ++= ………. (107)
( ) 3/zzyyxxm σσσσ ++= ………. (108)
Aquí, Vε es la deformación volumétrica del esqueleto sólido y mσ es el esfuerzo total normal
medio. La ecuación 106, está relacionada con la interpretación de la compresibilidad de la roca.
Una forma generalizada de la ecuación 106 que abarca tres tipos de condiciones de contorno,
deformación uniaxial, biaxial y triaxial, se presenta en el apéndice B. Por otro lado, la velocidad
de desplazamiento del sólido sv y la deformación volumétrica Vε están relacionadas con el
vector de desplazamientos del sólido u mediante:
u;tuv Vs ⋅∇=∂∂
= ε ………. (109)
La segunda expresión uV ⋅∇=ε , puede ser establecida a partir de la ecuación 6. De la
ecuación 109, se deriva que la divergencia de la velocidad del sólido sv⋅∇ está relacionada con
la deformación volumétrica Vε mediante:
b
bV
b
b
Vs V
dVd;dt
dVVdt
dv ===⋅∇ εε 1 ………. (110)
donde, bV representa el volumen global. La primera expresión en la ecuación 36, de nuevo, es
una expresión de conservación de la masa. La segunda expresión, la cual proviene directamente
de la primera, proporciona una interpretación directa de la deformación volumétrica Vε .
Las ecuaciones 7 o 104 proporcionan una forma funcional entre deformación, esfuerzo y
presión de fluido, que permite realizar el acoplamiento con el problema de flujo. Cabe señalar,
que los principios sobre los cuales se basa la teoría poroelástica lineal, ofrecen cierto paralelismo
con las ecuaciones correspondientes del problema de flujo: balance de masa, ley de Darcy y
ecuación de estado.
41
4.3.2. Reordenamiento de las Ecuaciones de Esfuerzo
En la sección precedente, se presentó un conjunto de ecuaciones que permite modelar los
esfuerzos generados en el medio poroso producto de la extracción de fluidos. Es de destacar, que
tal y como se acotó anteriormente, este desarrollo matemático supone la existencia de un
comportamiento elástico en el esqueleto sólido y no considera la presencia de deformaciones
plásticas. A continuación se manipulará las ecuaciones con el objeto de obtener las expresiones
que reflejan el acoplamiento entre flujo y sólido.
El esfuerzo total dado por la ecuación 104 debe satisfacer la relación de equilibrio
especificada mediante la ecuación 5. Así, introduciendo la ecuación 104 en la ecuación 5 y
aplicando la relación desplazamiento-deformación que aporta la ecuación 6 resulta:
( )i
VL
j i
j
j
i
j xp
xu
xuG
x ∂−∂
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
∂∂∑
=
ελα3
1 ………. (111)
La expresión 111 representa tres ecuaciones, una en cada dirección: “x”, “y” y “z”.
Simplificando la ecuación 111 para los coeficientes elásticos constantes, G , Lλ y α se obtiene:
( )ii
VLi x
px
GuG∂∂
=∂∂
++∇ αελ2 ………. (112)
recuérdese que ( )υλ 21−=+ /GG L .
Por otro lado, la presión p , mencionada en la teoría poroelástica, constituye la presión
resultante de la contribución de cada fase de fluido presente, así se tiene:
ggwwoo
np
ipp pSpSpSpSp ++==∑
=1 ………. (113)
Para poder relacionar las ecuaciones del sólido con la ecuación de presión 69 se debe expresar
el esfuerzo medio en función de la presión de la fase petróleo. Para ello, se utiliza el concepto de
presión capilar introducido en la sección 4.1.4 a través de las ecuaciones 41 y 42, además
recordando que 1=++ gwo SSS (ecuación 1) se puede escribir:
42
( ) ( )cgwogcowowooggwwoo ppSppSpSpSpSpSp −+−+=++= ………. (114)
Como se observa, el acoplamiento entre fluido y sólido tiene lugar a través de la presión. Si se
sustituye la ecuación 114 en la ecuación 112 y se aplica algunos resultados de la formulación de
flujo a los términos de presión capilar, se puede obtener una expresión, que en conjunto con la
ecuación 69, forma un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, op , xu , yu y zu .
(Note que uV ⋅∇=ε ver ecuación 109). Este sistema acoplado gobierna el comportamiento de la
deformación en el tiempo y el campo de presión.
Adicionalmente, sumando las 3 ecuaciones de 112 se alcanza una representación compacta
mostrada en seguida:
( ) puGuG L ∇=⋅∇∇++∇ αλ2 ………. (115)
Combinando la expresión 115 con la ecuación 69 y haciendo uso de la ecuación 114 se puede
formar un sistema con las variables básicas p escalar y u vectorial.
Alternativamente, se puede seleccionar p y Vε como las variables básicas. Tomando la
divergencia de la ecuación 115, la cual es equivalente a diferenciar las tres ecuaciones 112 con
respecto a la correspondiente ix y entonces añadiendo las tres ecuaciones resultantes, se obtiene:
( ) pG VL222 ∇=∇+ αελ ………. (116)
02 =∇ Vε si 0=α , lo cual corresponde a un medio no poroso. Las ecuaciones 69 y 116 permiten
generan un sistema con las incógnitas, p y Vε .
El término GL 2+λ en la ecuación 116 básicamente es un módulo relacionado con otras
constantes elásticas por medio de:
bb
L
ccGG
′≡−+
=−−
=+ υ
υυυ
λ 11
3121
21
21 ………. (117)
43
Donde bc′ se usa para simplificar la presentación. Note que bb cc →′ cuando 5.0→υ . bc′ es la
compresibilidad correspondiente a la condición de deformación uniaxial sin el efecto de la
presión de fluido (ejemplo ,0, ≠= zzyyxx εεε y 0=p ; ver apéndice B).
Hasta este punto, se ha demostrado, partiendo de los principios básicos, como el flujo de
fluidos y la geomecánica están acoplados. Se presentaron dos conjuntos de ecuaciones acopladas:
(i) Las ecuaciones 69 y 115 con las variables p y u , y (ii) las ecuaciones 69 y 116 con las
variables p y Vε .
Las derivaciones realizadas indican dos conceptos principales y relacionados para alcanzar el
acoplamiento entre flujo de fluidos y geomecánica. El primero es la interpretación de varias
compresibilidades de roca y el segundo son las relaciones esfuerzo-deformación-presión
fundamentales mostradas en las ecuaciones 7, 104 y 106. Implícitamente en esas relaciones está
el concepto de esfuerzo efectivo introducido por Terzaghi en 1923.
Cabe señalar, que se puede utilizar otras deducciones para la compresibilidad de la roca, pero
eso no alterará la estructura de las ecuaciones gobernantes. A continuación se presenta el
concepto de esfuerzo efectivo que constituye uno de los elementos fundamentales en la teoría
poroelástica lineal.
4.3.3. Concepto de Esfuerzo Efectivo
El esfuerzo efectivo se denota como eijσ y puede ser definido como:
ijijeij pδασσ += ………. (118)
Este esfuerzo efectivo representa la porción del esfuerzo total que se encuentra en cierta
fracción en exceso sobre el esfuerzo causado por la presión de fluido. El esfuerzo efectivo
original de Terzaghi’s se define como ijij pδσ + , lo cual es equivalente a 1=α en la ecuación
118. Como se mostrará en seguida, la definición dada por la ecuación 118 en esencia elimina el
44
rol explícito de la presión de fluido en las relaciones constitutivas esfuerzo-deformación. Esto,
ofrece una interpretación simple de la teoría poroelástica de Biot. Cabe señalar, que Biot no
utilizó explícitamente el concepto de esfuerzo efectivo para desarrollar su teoría, ahora
comúnmente llamada teoría de poroelasticidad.
La ecuación 7 en términos del esfuerzo efectivo (ecuación 118) resulta:
( )[ ] Eekk
ejj
eiiij /σσνσε +−= ……. (119a) ( ) ( )jiGe
ijij ≠= ,2/σε ……. (119b)
lo cual es en esencia la Ley de Hook para un cuerpo elástico no poroso.
Similarmente, se puede escribir las ecuaciones 104 y 106 como expresiones de elasticidad
clásica para medios no porosos:
ijVLijeii G δελεσ += 2 ………. (120) b
emV M/σε = ………. (121)
donde emσ es el esfuerzo normal medio efectivo definido como:
( ) 3/ezz
eyy
exxm
em p σσσασσ ++=+= ………. (122)
Las ecuaciones 119 hasta la 121 revelan la característica más importante en la teoría de
poroelasticidad, llamada, el concepto de esfuerzo efectivo. Específicamente, las relaciones
presión-esfuerzo-deformación son asumidas para seguir la elasticidad clásica no porosa si el
esfuerzo es remplazado mediante el esfuerzo “efectivo” el cual, de alguna manera, incorpora el
efecto de la presión del fluido.
En la interpretación anterior se hallan dos puntos principales. Primero, el comportamiento
elástico y las propiedades mecánicas de la roca sometida a aplastamiento, se asumen gobernadas
exclusivamente por el esfuerzo efectivo (una sola variable), en lugar del esfuerzo total y la
presión de poro (dos variables). Segundo, cuál es la forma funcional de α ? En otras palabras,
45
cómo pesar el efecto de la presión de poro. El primer punto no será discutido aquí. Una discusión
del segundo punto, sin embargo, es necesaria en el contexto de este estudio.
Esencialmente, α determina la contribución relativa de la presión del fluido en los poros
sobre el comportamiento elástico global de un medio poroso. No es difícil imaginar que intentar
definir un α exacta y única es una tarea extremadamente difícil, dada la naturaleza compleja
inherente a la interacción roca-fuido en un medio poroso (ejemplo estructura porosa,
constituyentes de la roca, anisotropía, no homogeneidad, fluido multifásico, etc.). No obstante, es
instructivo conocer la naturaleza determinística de α y los valores límites asociados bajo
condiciones idealizadas.
La expresión exacta de α desde el punto de vista de deformación volumétrica global es:
( ) ( )bssb c/cM/M −=−= 11α ………. (123)
Donde bM ( )bc/1= y sM ( )sc/1= son los módulos globales medidos a presión diferen-cial
constante y a presión de fluido constante respectivamente (ver apéndice A). La ecua-ción 123
implica que α no será constante si sb M/M no es constante. En la teoría de poro-elasticidad
isotrópica lineal, α es considerado constante. Por lo tanto, el esfuerzo efectivo dado por la
ecuación 118 es una combinación lineal de esfuerzo total y presión de fluido.
La ecuación 123 indica que α es adimensional y está limitado entre 10 ≤≤α (tomando
0≥sc , 0≥bc y sb cc ≥ ). Biot y Willis propusieron que los valores de α no podían ser más
pequeños que los de porosidad, es decir, 1≤≤ αφ . 1→α cuando 1/ →bs cc (ej. 0→φ ) y el
efecto de la presión de poro (el último término de la ecuación 118) se desvanece.
Cabe señalar, que se requiere diferentes interpretaciones físicas de α para diferentes
cantidades y procesos. La ecuación 123 se deriva desde el punto de vista del volumen global (ver
la ecuación A9, apéndice A). La expresión exacta de α desde el punto de vista de volumen
poroso viene dada por β en la ecuación A13 del apéndice A. Sin embargo, persiste algo de
incertidumbre si el interés está en la propia cantidad física. Warpinki y Teufel (1992) notaron
46
poca concordancia entre valores de α experimentales y teóricos; también notaron que un
resultado repetitivo en las rocas carbonatadas (calizas y arenisca) era la tendencia de α a
incrementar cuando la permeabilidad y la porosidad se reducen.
En la práctica, parece ser más conveniente tratar el parámetro α como una propiedad del
material similar a la permeabilidad y porosidad. Esto implica que un valor de α
experimentalmente determinado bajo la escala adecuada debe ser siempre adoptado.
4.4. Método de los Elementos Finitos (MEF)
El modelado de los efectos geomecánicos en un yacimiento requiere la solución de las
ecuaciones de equilibrio estático aplicando el concepto de esfuerzo efectivo. Este problema
implica el cálculo de los desplazamientos (cantidad vectorial) en todo el dominio. La obtención
de una solución analítica que ofrezca tal información no resulta viable, por lo que, al igual que en
el problema de flujo, se considera conveniente recurrir a la utilización de un método numérico.
Dada la complejidad y carácterísticas de la simulación de relaciones esfuerzo-deformación, el
método de los elementos finitos constituye la elección más acertada. Este método se basa en
dividir el dominio computacional en elementos interconectados en los nodos; se establece una
función que define la variación de los parámetros dentro del elemento y se incorpora a la
ecuación discretizada, la cual se resuelva para cada elemento.
Como se expuso en el apartado 4.3.3, el esfuerzo efectivo constituye la porción del esfuerzo
total que excede el esfuerzo causado por la presión de fluido. Este concepto será el punto de
partida de la presente formulación y está dado por la ecuación 118:
ijijefij pδασσ += ………. (118)
Despejando el esfuerzo total de la ecuación 118 y escribiendo la expresión en términos de
deformación, resulta la ecuación 104:
47
ijijVLijij pG δαδελεσ −+= 2 ………. (104)
Sustituyendo la expresión 104 en las ecuaciones de equilibrio estático para un medio
tridimensional, incluyendo el término de fuerzas de cuerpo ( )F y cambiando de notación a una
más compacta, resulta la expresión (recuérdese que jiij σσ = ):
0=+∇−⋅∇ Fpefijσ ………. (124)
El esfuerzo total ijσ está relacionado con el esfuerzo efectivo efijσ mediante el principio
generalizado de Terzaghi. Asumiendo los granos sólidos incompresibles, la relación entre el
esfuerzo total y el esfuerzo efectivo es (Terzaghi, 1943):
pIefijij −=σσ ………. (125)
Donde I es el tensor identidad y p la presión de poro. El esfuerzo efectivo es una medida de
las fuerzas concentradas transmitidas de grano a grano en los puntos de contacto, excluyendo la
presión de poro. Es de destacar, que como se dijo en la sección 4.3, la presión de poro es la
resultante de las presiones parciales de cada una de las fases.
Si se desarrolla el tensor correspondiente a las ecuaciones de equilibrio estático, incluyendo
los términos de presión del esfuerzo efectivo y considerando las fuerzas de cuerpo, se obtiene:
0
0
0
=+∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
=+∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
=+∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
Fzzp
zyx
Fyyp
zyx
Fxxp
zyx
zzyzzx
yzyyxy
xzxyxx
σττ
τστ
ττσ
………. (126)
Las fuerzas de cuerpo no fueron incluidas en el modelo implementado en el presente trabajo,
sin embargo, se incluye el término para ofrecer generalidad al desarrollo.
48
4.4.1. Formulación de Galerkin
Para la aplicación del método de los elementos finitos se va a seguir la formulación de
Galerkin vía el método de los residuos pesados. Este procedimiento ofrece un modelo numérico
robusto y de convergencia consistente para problemas equilibrio estático.
Para ejemplificar el procedimiento de discretización del problema de valor de contorno se va a
utilizar la primera de las ecuaciones 126, correspondiente a la dirección “x”, presentada en
seguida:
0=+∂∂
−∂∂
+∂
∂+
∂∂ Fx
xp
zyxxzxyxx ττσ ………. (127)
Para llevar a cabo la discretización por residuos pesados, se incluye en la integral una función
de peso 1W como se muestra en la ecuación 128:
∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
∂∂
−∂∂
+∂
∂+
∂∂
V rxzxyxx dVWgx
xp
zyx01ρττσ ………. (128)
Se aplica integración por partes para reducir el orden de la ecuación diferencial, esto va a
permitir utilizar funciones de aproximación lineales.
( ) ( ) ( )
∫∫
∫∫
=+∂∂
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
∂
∂+
∂∂
V xrV
V xzxyxxVxzxyxx
dVWgdVWxp
dVz
Wy
Wx
WdVzW
yW
xW
011
111111
ρ
ττσττσ
………. (129)
A continuación se aplica el teorema de la divergencia con el objeto de incluir en la
discretización los cosenos directores:
( ) ( ) ( ) [ ]∫∫ ++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
∂∂
+∂
∂V zxzyxyxxxV
xzxyxx dSWnnndVzW
yW
xW
21111 ττσττσ ………. (130)
Sustituyendo la ecuación 130 en la ecuación 129 resulta:
49
[ ]
∫∫
∫∫
=+∂∂
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
−++
V xrV
V xzxyxxV zxzyxyxxx
dVWgdVWxp
dVz
Wy
Wx
WdSWnnn
011
11121
ρ
ττσττσ ………. (131)
En este punto se aplica las relaciones esfuerzo-deformación señaladas en la sección 4.3.1. Para
el esfuerzo normal en la dirección “x” se obtiene:
xxMVLxx εμελσ 2+= ………. (132)
Debe recordarse que para la deformación volumétrica se cumple zzyyxxV εεεε ++= (ecuación
107), donde:
zu
yu
xu z
zzy
yyx
xx ∂∂
=∂
∂=
∂∂
= εεε ………. (133)
Sustituyendo las derivadas de los desplazamientos (deformaciones) en las expresiones para los
esfuerzos, se tiene:
( )zu
yu
xu z
Ly
Lx
MLxx ∂∂
+∂
∂+
∂∂
+= λλμλσ 2 ………. (134a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂==
yu
xu xy
MxyMxy μγμτ ………. (134b)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
==zu
xu xz
MzxMzx μγμτ ………. (134c)
Remplazando los esfuerzos por las expresiones equivalentes en función de las deformaciones,
la ecuación discretizada se transforma en:
50
( )
( )
∫∫
∫
∫
=+∂∂
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂
∂+
∂∂
∂∂
+
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂
∂+
∂∂
+
V xrV
Vzy
Mxy
Mz
Ly
Lx
ML
S zzy
Myxy
Mxz
Ly
Lx
ML
dVWgdVWxp
dVz
Wxu
zu
yW
yu
xu
xW
zu
xW
yu
xW
xu
dSWnxu
zu
nyu
xu
nzu
yu
xu
0
2
2
11
11111
2 21
ρ
μμλλμλ
μμλλμλ
.......... (135)
Las funciones de forma o funciones de aproximación permiten definir los valores de las
variables de manera local y se definen de la siguiente manera:
NNjwwvvuu jjjjjj ...,,2,1==== ψψψ ………. (136a)
NN...,,,jpNp jj 21== ………. (136b)
Donde jψ y jN son las funciones de forma y NN representa el número de nodos totales. Del
mismo modo, se utiliza funciones de aproximación para “pesar” los términos que intervienen en
la integración numérica, así se tiene:
NN...,,,iW i 21==ψ ………. (136c)
Es conveniente agrupar ciertos términos para modelar el término de tracción superficial ( )xT ,
de manera que su valor pueda ser introducido vía las condiciones de contorno; la expresión
correspondiente se presenta en seguida:
( ) zzx
Myxy
Mxz
Ly
Lx
MLx nxu
zun
yu
xu
nzu
yu
xuT ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂
∂+
∂∂
+= μμλλμλ 2 ... (137)
Las fuerzas de cuerpo, por su parte, permiten tomar en cuenta el efecto de la gravedad y su
expresión está dada por: xrx gF ρ= . Remplazando los términos de fuerza de cuerpo y tracción
superficial en la ecuación discretizada 135 y agrupando para cada dirección de desplazamiento,
resulta:
51
( )
∫∫∫
∫
∂
∂−+=
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
+
V jij
V ixS ix
V
zjji
Mji
Lyjji
Mji
L
xjjiji
Mji
ML
dVpx
NdVFdST
dV
uxzzx
uxyyx
uzzyyxx
ψψψ
ψψμψψλ
ψψμψψλ
ψψψψμψψμλ
22
2
……. (138)
La ecuación 138 es la ecuación discretizada para el problema de valor de contorno.
4.4.2. Tipo de Elemento Finito
Hasta este punto, no se ha hecho referencia a que clase de elemento que se va a utilizar para la
discretización del dominio y la posterior determinación de la solución numérica. A este respecto,
primero se debe señalar que los dominios a ser resueltos en los casos de estudio son
tridimensionales, por lo tanto, los elementos a seleccionar serán también elementos
tridimensionales. Para el modelado de los casos de estudios se ha escogido elementos
isoparamétricos hexaédricos de 8 nodos por elemento (ver figura 6).
Tabla 3. Coordenadas locales
Figura 6. Elemento hexaédrico
Nodo Coord. ξ Coord. η Coord. ζ
1 1 -1 1
2 1 1 1
3 1 1 -1
4 1 -1 -1
5 -1 -1 1
6 -1 1 1
7 -1 1 -1
8 -1 -1 -1
52
La figura 6 muestra el esquema de numeración local de los nodos, que debe ser consistente
para los todos los elementos del dominio. Además, la tabla 3 agrupa los valores de las
coordenadas naturales ζηξ ,, para los ocho nodos.
Las funciones de forma para el elemento en cuestión vienen dadas por la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )ζζηηξξψ ⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅= iiii 11181 i = 1 a 8 ………. (139)
donde iii ζηξ ,, representan las coordenadas del nodo i del elemento en el sistema ζηξ ,, . Las
ocho funciones de forma resultantes de desarrollar la expresión anterior se presentan a
continuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ζηξψζηξψ
ζηξψζηξψ
ζηξψζηξψ
ζηξψζηξψ
−⋅−⋅−⋅=−⋅+⋅−⋅=
+⋅+⋅−⋅=+⋅−⋅−⋅=
−⋅−⋅+⋅=−⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅+⋅=+⋅−⋅+⋅=
11181111
81
11181111
81
11181111
81
11181111
81
87
65
43
21
………. (140)
4.4.3. Representación Matricial
Los métodos numéricos normalmente potencian su aplicación mediante la implementación
computacional, para este fin resulta de gran utilidad la representación de la ecuación discretizada
mediante matrices
A continuación se expresará el campo de desplazamientos dentro del elemento en términos de
los valores nodales. Así, si ( )zyx uuuu ,, representa las componentes de desplazamiento de un
53
punto localizado en ( )ζηξ ,, y qq de dimensión (24 × 1), es el vector de desplazamientos del
elemento, entonces aplicando la ecuación 136a al elemento hexaédrico resulta:
8877665544332211 qqqqqqqqqqqqqqqqux ψψψψψψψψ +++++++= ………. (141a)
16815714613512411310291 qqqqqqqqqqqqqqqquy ψψψψψψψψ +++++++= ………. (141b)
248237226215204193182171 qqqqqqqqqqqqqqqquz ψψψψψψψψ +++++++= ………. (141c)
que puede escribirse en forma matricial como:
{ } [ ]{ }qqu ψ= ………. (142)
donde,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
87654321
87654321
87654321
000000000000000000000000000000000000000000000000
ψψψψψψψψψψψψψψψψ
ψψψψψψψψψ .... (143)
En la formulación isoparamétrica, también se utiliza las funciones de forma iψ para expresar
las coordenadas de un punto dentro del elemento en términos de coordenadas locales, entonces,
8877665544332211 xxxxxxxxx ψψψψψψψψ +++++++= ………. (144a)
8877665544332211 yyyyyyyyy ψψψψψψψψ +++++++= ………. (144b)
8877665544332211 zzzzzzzzz ψψψψψψψψ +++++++= ………. (144c)
Subsecuentemente, se tiene que expresar las derivadas de una función en coordenadas “x”,
“y”, “z” en términos de sus derivadas en coordenadas ζηξ ,, . Para tal fin, se aplica la regla de la
cadena al conjunto de ecuaciones 144 debido a que son funciones implícitas de las coordenadas
naturales ζηξ ,, , obteniéndose:
ξξξξ ∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ z
zfy
yfx
xff ………. (145a)
54
ηηηη ∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ z
zfy
yfx
xff ………. (145b)
ζζζζ ∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ z
zfy
yfx
xff ………. (145c)
que puede expresarse mediante vectores como sigue:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
zfyfxf
JJ
f
f
f
ζ
η
ξ
………. (146)
donde J es la matriz de transformación o Jacobiano se define como:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
333231
232221
131211
JJJJJJJJJJJJJJJJJJ
zyx
zyx
zyx
JJ
ζζζ
ηηη
ξξξ
………. (147)
La ecuación 147 puede invertirse obteniendo la siguiente expresión:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
−
ζ
η
ξ
f
f
f
JJ
zfyfxf
1 ………. (148a)
que al desarrollarla resulta:
55
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
ζ
η
ξ
f
f
f
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
JJ
zfyfxf
122122113211123122313221
112321133113113321333123
132223123312133223323322
det1 ……. (148b)
Las expresiones anteriores serán utilizadas en la construcción de la matriz de rigidez para la
aplicación del método de los elementos finitos. Cabe señalar, que debido a que los casos de
estudios se modelan mediante dominios en tres dimensiones, se requiere evaluar la integral en la
ecuación 138 sobre el volumen. De modo que se debe incluir la relación:
ζηξ dddJJdzdydxdV det== .
Otro factor a ser considerado en la aplicación del MEF es el material, tanto sus propiedades
mecánicas como su comportamiento. En en este orden de ideas y siguiente el enfoque descrito en
la sección 4.3.1, se va a utilizar la ley de Hook generalizada para considerar la ocurrencia de
deformaciones elásticas asociadas a un comportamiento lineal. La ley de Hook puede escribirse
en forma matricial como sigue:
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
⋅−+=
υυ
υυυυ
υυυυυυ
υυ
5.00000005.00000005.0000000100010001
211ED ………. (149)
Para completar la formulación matricial se necesita una expresión que relacione
deformaciones con desplazamientos, para ello se sabe que:
{ } [ ]{ }qqBBV =ε ; { } [ ][ ]{ }qqBBD=σ ………. (150)
Así, se tiene que la matriz BB correspondiente al nodo i del elemento n , tiene la forma:
56
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
000
000
000
xyz
xzy
yzx
BB
iii
iii
iii
ψψψ
ψψψ
ψψψ
i = 1 a 8 ………. (151)
Hasta este punto, se ha expresado en forma de matrices, todos los elementos que intervienen
en la ecuación discretizada 135. A continuación y, luego de agrupar y ordenar los términos
pertienentes, se presenta la expresión para la matriz de rigidez usada en el MEF formulado por
residuos pesados:
[ ] [ ] [ ][ ]∫ ∫ ∫+
−
+
−
+
−
=1
1
1
1
1
1
det ζηξ dddJBBDBBKK Te ………. (152)
donde eKK representa la matriz de rigidez de cada elemento del dominio.
Para la solución que será implementada en el presente trabajo se va a utilizar una sola malla en
el modelo de elementos finitos, por lo tanto, las funciones de aproximación y de peso para el
vector de presión, serán las mismas que para los desplazamientos.
∫∫ ∂
∂=
∂
∂V ji
j
V jij dVp
xdVp
xN
ψψ
ψ ………. (153)
Por último, es importante mencionar que la aplicación de un enfoque parcialmente acoplado
explícito involucra la utilización de las presiones generadas en el simulador de yacimientos como
cargas nodales en el simlador de geomecánica. La expresión matricial para el vector de presiones
del elemento obtenido de la forma descrita, se presenta en seguida:
{ } [ ]{ }{ }{ }∫ ∫ ∫+
−
+
−
+
−
=1
1
1
1
1
1
det ζηξ dddJJpFFmBBpe ………. (154)
57
Donde el vector { }Tm 000111= posibilita la multiplicación de las matrices
involucradas, [ ]87654321 ψψψψψψψψ=FF constituye el vector de funciones forma
y { }Tppppppppp 87654321= es el vector de presión.
El sistema de ecuaciones final, luego de emsablar la matriz y el vector global a partir de las
matrices y vectores locales, tiene la forma:
[ ]{ } { }pqqKK = ………. (155)
donde KK es la matriz de rigidez global y ,qq,p son los vectores columna de presiones y
desplazamientos respectivamente. Este sistema de ecuaciones será resuelto para intervalos de
tiempo seleccionados; los desplazamientos obtenidos permitirán la actualización de las
propiedades físicas dependientes del estado de esfuerzo y luego, los valores de las propiedades
recalculados alimentarán el simulador de yacimientos para la ejecuciòn del próximo intervalo de
tiempo.
4.5. Niveles de Acoplamiento
El nivel de acoplamiento indica la manera como ocurre el intercambio de información entre
los modelos de flujo de fluidos y geomecánica (ver capítulo III). En este ámbito, Settari &
Walters (1999) definieron diferentes niveles de acoplamiento entre sistemas de geomecánica y
flujo multifásico. A continuación se presenta un resumen de los métodos existentes discutidos por
Settari & Walters (1999) y posteriormente se comenta el método completamente acoplado
desarrollado por Wan (2002); en todos los casos se hace referencia a los sistemas de ecuaciones
asociados.
Como se ha dicho, el modelado de los efectos geomecánicos demanda una rigurosa
integración de los conceptos de mecánica en la simulación de yacimientos. El acoplamiento entre
la simulación de yacimientos y geomecánica puede ser descrito mediante un sistema de dos
ecuaciones que toman en cuenta la deformación del esqueleto y el movimiento de fluido en el
58
medio poroso (Biot, 1941; Boutéca, 1992; Coussy, 1995; Lewis y Schrefler, 1998). Adoptando
una notación similar a la usada por Settari & Walters (1999), y luego de aplicada la discretización
en tiempo y espacio, el sistema matricial que define el problema acoplado, puede ser escrito en la
forma Newton-Raphson:
nf
s
nnT R
Rpu
AAA~L~LAKK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+1δδ
………. (156)
Donde n es el número de iteración de Newton-Raphson, nnn uuu −= ++ 11δ es el incremento en
el desplazamiento sobre la iteración 1+n , nnn ppp −= ++ 11δ es el incremento de las incógnitas de
flujo (es decir, presiones, saturaciones). En la ecuación 156, KK es la matriz de rigidez, AA es
la matriz de flujo, LA es la matriz de acoplamiento para las incógnitas de flujo en la ecuación de
balance de fuerza, y A~L~ es la matriz de acoplamiento para desplazamientos en la ecuación de
flujo. Si se asume que la presión de poro promedio en la ecuación de balance de fuerza no
depende de la saturación, se puede escribir A~L~LA −= (Lewis & Schrefler, Settari & Walters
1999). Esto se debe a que el mismo operador ∇ está involucrado en ambos términos de
acoplamiento. Para propósitos generales, se continuará diferenciando entre LA y A~L~ . Del lado
derecho del sistema matricial, sR es el residuo de la ecuación de balance de fuerza y fR es el
residuo de la ecuación de flujo. Resulta común la utilización de las descomposiciones
DTAA −= (Aziz y Settari, 1979), donde T es una matriz de trasmisibilidad simétrica y D es la
matriz diagonal de acumulación; y nf TpQR −= , donde Q es el vector de los términos fuente.
Es de destacar, que para simplificar la presentación, la matriz de rigidez KK y la matriz de
flujo AA son consideradas aquí como operadores lineales. En general, sin embargo, KK y AA
son operadores no lineales que toman en cuenta elasticidad no lineal y problemas de yacimientos
no lineales.
El mecanismo de acoplamiento modelado por las matrices LA y A~L~ , ocurre por un lado,
debido a que el gradiente de presión de poro afecta el equilibrio de esfuerzo mediante el término 1+npLAδ ; y por el otro, dado que el vector de desplazamiento actúa sobre el problema de flujo a
59
través del término 1+nT uA~L~ δ tomando en cuenta la deformación volumétrica del yacimiento. En
el caso de yacimientos altamente compactados, fallados y fracturados, el acoplamiento puede
llevar a la modificación de la matriz de transmisibilidad T debido a que las permeabilidades de la
fractura y de la falla mejoran como resultado de la deformación de la roca.
4.5.1. Solución Desacoplada
La solución desacoplada corresponde a la solución proveniente de los simuladores de
yacimiento convencionales, en los cuales se desprecia la ecuación de equilibrio geomecánico y se
ignora la deformación de la roca; de manera que el problema se reduce a la determinación de la
presión de poro que satisface la relación: ( ) RpDT n =− +1δ . La ecuación anterior representa la
discretización de la ecuación de presión (ecuación 85). De acuerdo con esta ecuación de presión,
la matriz diagonal D considera el factor de compresibilidad de la roca. Este enfoque
implícitamente asume cambios de esfuerzo en cada bloque, aunque el esfuerzo no sea calculado
explíticamente.
4.5.2. Solución Parcialmente Acoplada
En esta categoría se agrupa los esquemas de solución que utilizan más de una matriz de
sistema. Tal condición implica la obtención de las soluciones a los problemas de flujo y mecánica
separadamente y la consiguiente necesidad de desarrollar una interfase para el flujo de
información entre los simuladores involucrados.
En la literatura, el enfoque parcialmente acoplado frecuentemente usa el MDF para el
problema de flujo de fluidos y el MEF para el problema de geomecánica. Debido al reducido
costo computacional, el acoplamiento explícito (Fung y col., 1992; Tortike y Farouq Ali, 1993;
Koutsabeloulis y Hope, 1998; Settari y Walters, 1999) es frecuentemente preferido al
acoplamiento iterativo (ver Settari y Mourits, 1994, 1998; Chin y Thomas, 1999). Nótese que
cuando se utiliza el método de acoplamiento iterativo para yacimientos con compresibilidad de la
60
roca alta y baja compresiblidad del fluido, se debe prestar mucha atención a la estabilidad del
método (Bévillon y Masson, 2000).
El enfoque parcialmente acoplado se basa en una reformulación del acoplamiento esfuerzo-
flujo, tal que, un código de análisis de esfuerzo convencional (que puede recibir cargas térmicas y
de presión) puede ser usado en conjunto con un simulador de yacimientos convencional. Debido
a este principio, el acoplamiento parcial se beneficia de los últimos desarrollos en física y ténicas
numéricas en ambos simuladores (yacimientos y mecánica), y el esfuerzo de desarrollo se orienta
al código de la interfase entre simuladores. Adicionalmente, el acoplamiento parcial permite el
uso de diferentes mallas y pasos en el tiempo para las simulaciones de yacimientos y
geomecánica. De hecho, la utilización de pasos en el tiempo mayores en el cálculo de esfuerzo
que en el problema de flujo, puede reducir efectivamente el costo computacional de
procesamiento en geomecánica, el cual puede ser gigante comparado con el costo computacional
del cálculo de yacimientos.
4.5.2.1. Solución Parcialmente Acoplada Explícita
Este esquema constituye el enfoque parcialmente acoplado más simple, en el cual el
comportamiento histórico de presión de poro deducido de un simulador de yacimientos
covencional es introducido en la ecuación de equilibrio geomecánico, con el objeto de calcular el
nuevo equilibrio de esfuerzos.
Como se ha señalado, para la implementación del esquema de acoplamiento parcial explícito,
se ejecuta un simulador de yacimientos clásico, en el cual sólo se considera la compresibilidad de
la roca como parámetro mecánico. De esta manera, despreciando los términos de acoplamiento
con el sólido ( )0=uδ , la parte de flujo de la ecuación 156 se convierte en:
[ ] [ ] [ ]nfnn R~pAA =+1δ ………. (157)
donde el residuo fR~ difiere de fR en la ecuación 156, puesto que los términos de aco-plamiento
de sólido no están incluidos. En el modelo de acoplamiento parcial explícito, inicialmente se
61
resuelve las ecuaciones de flujo, entonces, se calcula explícitamente las deformaciones y los
cambios de esfuerzo producidos por el cambio de presión en las ecuaciones de sólido:
[ ] [ ] [ ]nsnn RuKK =+1δ ………. (158)
Luego las propiedades dependientes del esfuerzo, como la porosidad y permeabilidad, son
actualizadas y realimentadas al simulador de yacimientos para correr el próximo paso en el
tiempo. El recálculo de las propiedades dependientes del esfuerzo se ejecuta para instantes de
tiempo específicos.
Dado que el esquema de acoplamiento parcial explícito no involucra los términos de
acoplamiento, los resultados suelen ser usados sólo para analizar las distribuciones de esfuerzo y
deformación a fin de prevenir daños a las instalaciones de superficie. Cuando el interés es el
pronóstico de producción, un enfoque de mayor complejidad se considera más conveniente
(Longuemare y col., 2002). Este acoplamiento, sin embargo, es fácil de implementar e incluye los
conceptos físicos principales.
4.5.2.2. Solución Parcialmente Acoplada Iterativa
Tal y como fue presentado por Settari y Walters (1999), el método iterativamente acoplado
“itera” entre los dos modelos durante cada paso en el tiempo seleccionado. Aunque las
ecuaciones de sólido y fluido son resueltas separadamente, las variables de acoplamiento son
intercambiadas en cada iteración. El sistema matricial puede ser expresado como sigue:
[ ] [ ] [ ]nsnn RuKK =+1δ ………. (159a)
[ ] [ ] [ ]nfnn RpAA =+1δ ………. (159b)
Los términos residuales en la ecuación 159 son los mismos que en la ecuación 156, ya que se
incluye todos los términos de acoplamiento. En esta formulación, si converge, la solución es
idéntica a la solución del sistema completamente acoplado (Wan 2002). El método iterativo
62
puede verse como una modificación del modelo de Newton-Raphson aplicada al enfoque
completamente acoplado, haciendo cero las matrices LA y A~L~ en la ecuación 156:
nf
s
nnT R
Rpu
AAKK
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+100
δδ
………. (160)
Como se sabe, cuando el Jacobiano para Newton-Raphson no es exacto, toma mayor tiempo
en converger (Wan, 2002). De hecho, para una discretización tiempo-espacio complicada,
Newton-Raphson modificado puede no converger. Esto es una desventaja de los métodos
acoplados iterativos. Otra preocupación inherente a este método, está relacionada con la
implementación en la práctica; normalmente, se emplea dos códigos y dos métodos de
discretización, lo cual conduce inevitablemente a cierto grado de interpolación. Por lo tanto, el
enfoque parcialmente acoplado iterativo puede no tener exactamente la forma de la ecuación 159.
Es importante mencionar, que si el número de iteraciones es igual a uno, el enfoque de
acoplamiento parcial iterativo se convierte en un enfoque parcialmente acoplado explícito, en el
cual los términos de acoplamiento están retrasados un paso en el tiempo (Minkoff y col., 1999).
4.5.3. Solución Completamente Acoplada
Como se comentó en el capítulo III, la solución completamente acoplada consiste en escribir
el conjunto completo de ecuaciones, aplicar los métodos de discretización y construir la matriz
del sistema, de manera que pueda ser resuelta aplicando el método de Newton-Raphson o algún
otro método de solución. Este esquema, se lleva a cabo en un solo simulador y el sistema de
ecuaciones tiene exactamente la forma del sistema 156.
El método completamente acoplado ofrece consistencia interna para la solución simultánea de
las ecuaciones involucradas en el sistema 156. Sin embargo, en este enfoque, los problemas de
flujo y geomecánica están frecuentemente simplificados en comparación con los enfoques de
yacimientos y geomecánica comerciales convencionales. Como resultado, el método
completamente acoplado requiere considerable desarrollo para llevar las capacidades de flujo de
63
fluidos y geomecánica a la par de los simuladores comerciales existentes (Settari and Walters,
1999).
En el área de geomecánica, la mayoría de las técnicas fueron desarrolladas usando el MEF,
debido a que los métodos de diferencias finitas son de valor limitado para problemas que
contemplan grandes deformaciones. Para simulación de flujo, por el contrario, los MDF aplicados
en volúmenes de control son ampliamente usados, pero el MEF no constituye la práctica
rutinaria. Un enfoque práctico para acoplar geomecánica con flujo multifásico sería un enfoque
híbrido de métodos de diferencias finitas y elementos finitos. Aunque tales enfoques (híbridos de
diferencias finitas y elementos finitos) han sido presentados bajo un modelo parcialmente
acoplado iterativo como se reporta en la literatura (Settari y Mourits 1994, Chin y otros 1998,
Koutsabeloulis y Hope 1998, Settari y Mourits 1998, Dean 2000), no existen publicaciones sobre
un enfoque completamente acoplado híbrido de diferencias finitas y elementos finitos. En el
enfoque híbrido, las variables son normalmente discretizadas en ubicaciones diferentes, las
variables de flujo están normalmente en el centro de las celdas, mientras que los desplazamientos
se encuentran en los nodos.
Hoy en día, se dispone de varios trabajos que ofrecen enfoques completamente acoplados para
llevar a cabo simulaciones de yacimientos aplicando el MEF y considerando la formulación de
flujo multifásico como un modelo de petróleo negro. Sin embargo, dado que todos los modelos
completamente acoplados basados en el MEF, actualmente existentes, usan el método de
Galerkin para las ecuaciones de flujo, pueden resultar inestables para problemas de advección
dominante (Wan, 2002). Por otro lado, algunos autores (Chen y Teufel, 1997 y Osorio y otros,
1997) han intentado desarrollar toda la solución aplicando el MDF pero dada la deficiencia de
este método en los cálculos de plasticidad (Pyrah, 1987) no han logrado obtener generalidad en
sus resultados.
4.5.4. Solución Completamente Acoplada Estabilizada
El concepto de estabilidad en un método numérico está asociado a la consistencia para lograr
convergencia en la solución de determinados problemas. Cabe señalar, que el método de Galerkin
posee pobre estabilidad en algunas situaciones (Wan, 2002), tal es el caso de los problemas
64
dominados por advección (problemas flujo, ecuación de Stokes, etc.). Con el propósito de vencer
estas desventajas en la formulación de Galerkin, desde finales de la década de 1970, se ha
desarrollado el método de los elementos finitos estabilizado.
El método estabilizado consiste en añadir términos de residuos, pesados mediante una forma
integral, a la formulación de Galerkin estándar sobre el interior de cada elemento. Los términos
agregados tienen la forma de los residuos de la ecuación de Euler-Lagrange del problema de
valor de contorno. El objetivo de esta técnica es incrementar la estabilidad conservando la
consistencia. Se puede encontrar detalles adicionales sobre el método de los elementos finitos
estabilizado en el trabajo de Hughes y otros (1994).
En el contexto de la simulación de yacimientos considerando geomecánica, se aplica el
método de los elementos finitos estabilizado para discretizar las ecuaciones de balance de fuerza
y presión. La ecuación de flujo (ecuación de saturación), por su lado, se resuelve mediante el
método de diferencia finita. Siguiendo este modelo, el sistema de ecuaciones se resuelve de
forma completamente acoplada, involucrado un solo Jacobiano. El procedimiento también resulta
válido para un método acoplado iterativo. La forma de la matriz de Newton-Raphson es la
siguiente:
nS
p
s
nwnSp
TS
SpT
p
Sp
R
RR
Spu
AATL~TAAL~LLKK
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+1δδδ
………. (161)
donde pL~ es exactamente igual a pL ; ST contiene las derivadas de la ecuación de presión con
respecto a la saturación; y pT contiene las derivadas de la ecuación de saturación con respecto a
la presión.
CAPÍTULO V: MARCO METODOLÓGICO
El tema central de este trabajo es implementar una metodología que permita realizar
simulaciones de yacimientos considerando los efectos geomecánicos que ocurren sobre el medio
poroso. En este contexto, se escogió un enfoque parcialmente acoplado explícito como modelo de
solución. El presente capítulo ofrece los detalles de la implementación de tal modelo y la
descripción de los casos de prueba seleccionados.
En el capítulo III y en el apartado 4.5.2.1 se explicó en qué consiste el modelo de resolución
parcialmente acoplado explícito desde el punto de vista conceptual. A continuación, se expone
los pasos desarrollados para poner en práctica tal vinculación entre el simulador de yacimientos
convencional y el procesador de geomecánica. Asimismo, se incluye una reseña del simulador de
geomecánica elaborado como parte de la presente investigación.
Adicionalmente, se compara las soluciones del modelo de acoplamiento parcial explícito con
los resultados correspondientes obtenidos bajo la simulación convencional. Para ello, se ha
incorporado un tópico relacionado con la determinación de una compresibilidad de roca que en
cierta medida emule el comportamiento geomecánico.
5.1. Acoplamiento Esfuerzo-Permeabilidad-Porosidad
Los simuladores de flujo tradicionales inicializan porosidad y permeabilidad absoluta al
comienzo de los cálculos, siendo estas cantidades sólo afectadas por los parámetros de flujo
durante la simulación. Para lograr acoplamiento entre flujo y mecánica, estas cantidades deben
ser actualizadas en función del estado de esfuerzo cada vez que el simulador de yacimientos
completa un paso en el tiempo. En los párrafos siguientes, se presenta las correlaciones utilizadas
para corregir estas propiedades.
66
5.1.1. Actualización de Porosidad
El código de geomecánica permite calcular los cambios de volumen poroso en el yacimiento,
provenientes del drenaje de los fluidos del campo y la consiguiente reducción de presión. Para
hallar los cambios de volumen mencionados, el simulador de yacimientos envía el campo de
presiones de poro al programa de geomecánica, donde se utiliza en el cálculo del esfuerzo total:
ijefijij pδσσ −= ………. (162)
Aquí (como se explicó la sección 4.3.1) p es la presión de poro, ijδ es la función delta de
Kronecker, y eijσ es el esfuerzo efectivo utilizado en el modelo constitutivo; el valor del
coeficiente de Biotα , se ha asumido igual a uno. El esfuerzo total se usa en la determinación del
estado de equilibrio del yacimiento sujeto a cargas de aplastamiento, condiciones de frontera
cinemáticas y cambios en el campo de presiones de poro. En la salida, el código de geomecánica
provee una porosidad actualizada, φ , que será utilizada por el simulador de flujo en el siguiente
paso en el tiempo. La siguiente expresión se utiliza para actualizar la porosidad como función de
la deformación volumétrica (Verruijt, 1995):
( )( )Vexp εφ
φ 011
−−= ………. (163)
donde 0φ es la porosidad inicial, y Vε es la deformación volumétrica total.
5.1.2. Actualización de Permeabilidad
La metodología propuesta, parte de la base que los cambios de esfuerzo modifican la
estructura del poro y, en consecuencia, la permeabilidad de la roca yacimiento. Para llevar a la
práctica este modelo, se asume que la permeabilidad es dependiente de la porosidad, tal y como
lo expresan varios autores (Carman-Kozeny, 1927; Archie, 1941; Tixier, 1949; Sheffield, 1956;
Timar, 1968; Coates & Dumanoir, 1974; etc…) a través de sus correlaciones empíricas
67
permeabilidad-porosidad. Debido a que la porosidad es a su vez dependiente del esfuerzo, la
permeabilidad es efectivamente dependiente del esfuerzo. También es importante mencionar que
un efecto adicional al cambio en la magnitud de la permeabilidad es el cambio en la dirección del
flujo. Este es el caso de rocas con permeabilidades anisotrópicas, donde el tensor de
permeabilidad total puede ser modificado mediante la deformación de la roca.
Basado en los trabajos publicados por Wang y Xue, 2002 y Gutiérrez y Lewis, 1998, en la
presente investigación se ha seleccionado la correlación de Carman-Kozeny (1927) para llevar a
cabo la actualización de permeabilidad como función de porosidad; la expresión se presenta en
seguida:
( )22
3
1 1 φφ−
=S
AK ………. (164)
donde 1A es una constante empírica conocida como constante de Kozeny y S es el área
superficial por unidad de volumen de material sólido. La constante de Kozeny 1A normalmente
es hallada por métodos estadísticos correlacionando los valores de porosidad y permeabilidad
obtenidos a partir de registros o análisis de núcleos.
5.2. Acoplamiento por Compresibilidad de la Roca
Cuando el interés principal está en el flujo de fluidos, el modelo de compresibilidad de la roca
puede ofrecer predicciones razonablemente acertadas. Por lo tanto, con el objeto de comparar la
simulación convencional con el esquema de acoplamiento parcial explícito en los casos de
estudio, se utilizará uno de los modelos propuestos por Settariy Mourits (1998) y Gutiérrez y
Lewis (1998). A continuación, se presenta la discusión pertinente al tópico.
En la simulación de yacimientos estándar, el único parámetro mecánico involucrado es la
compresibilidad de la roca rc . Este parámetro fue introducido inicialmente por Geertsma (1957)
para considerar los cambios de presión de fluido resultantes de las variaciones en el volumen de
la roca. El enfoque más sencillo es asumir que la compresibilidad de la roca es constante.
68
Típicamente, rc se determina a partir de las pruebas mecánicas a la roca del yacimiento
sometiendo la muestra a condiciones de carga representativas de los cambios de esfuerzo in situ.
La suposición más común es que el yacimiento está bajo una condición de deformación uniaxial
y que el cambio de presión de poro induce un cambio igual pero en sentido opuesto en el esfuerzo
vertical efectivo. Esta condición de carga está basada en la suposición que las deformaciones
laterales del yacimiento son pequeñas comparadas con las dimensiones horizontales y, por lo
tanto, la deformación lateral es cercana a cero. Debido a que el comportamiento esfuerzo-
deformación no es lineal, usualmente se requiere una compresibilidad dependiente de la presión
( )pcc rr = (Gutiérrez y Lewis, 1998).
Así, al igual que en el acoplamiento de propiedades dependientes del esfuerzo, el
comportamiento esfuerzo-deformación de la roca y la compresibilidad son funciones del estado
de esfuerzo. Esto es obvio incluso en términos de los materiales linealmente elásticos. Para la
condición de deformación uniaxial, la compresibilidad de poro expresada en términos del módulo
de Young E y la relación de Poisson ν , resulta (Gutiérrez y Lewis, 1998):
( )( )E
cr0
121φ
υυ +−= ………. (165)
El otro posible modo de deformación presentado por Gutiérrez y Lewis (1998), asume
deformación libre en todas las direcciones, tal que no existe esfuerzos incrementales generados
como resultado de los cambios de presión. En este caso, el esfuerzo medio es cero en todo el
yacimiento; por lo tanto, se puede usar una relación directa entre deformación y porosidad para
definir la compresibilidad (Settari y Mourits 1998). Despreciando la compactación de los granos,
este tipo de compresibilidad de la roca viene dado por la expresión (Gutiérrez y Lewis, 1998):
( )E
cr0
213φ
υ−= ………. (166)
La suposición de una condición de deformación uniaxial para todos los puntos del yacimiento
es válida sólo para un yacimiento horizontalmente infinito. Los yacimientos, sin embargo, están
restringidos lateralmente y no se deforman uniformemente, incluso bajo una caída de presión
69
uniforme. En general, los campos de desplazamiento y esfuerzo en un yacimiento dependen de la
geometría del mismo, condiciones de frontera y distribución de la presión de poro, y son
diferentes a la condición de deformación uniaxial idealizada. Por tal motivo, en los casos de
estudio sucesivos se utiliza el segundo tipo de compresibilidad mostrado.
5.3. Algoritmo de Solución
El presente trabajo de investigación contempla la realización de los cálculos geomecánicos
asociados a problemas teóricos idealizados, aplicando el método de los elementos finitos. Como
se dijo se aplicará un enfoque parcialmente acoplado no iterativo, para el cual se ejecutará el
simulador de yacimientos BOAST98 producido por el National Energy Technology Laboratory
de los Estados Unidos. Posteriormente, se utilizará la distribución de presión resultante del
BOAST98 para alimentar el simulador de geomecánica desarrollado como parte del presente
trabajo; por post procesamiento se actualizará los valores de las variables dependientes del campo
de deformaciones y seguidamente se actualizará tales valores en el mencionado simulador de
yacimientos.
El simulador de geomecánica representa la implementación computacional de un esquema de
cálculo adaptado al contenido presentado en el marco teórico. Por la versatilidad, eficiencia y
variedad de opciones se ha utilizado Matlab 6.5 como lenguaje de programación.
En detalle, el acoplamiento a través de propiedades dependientes del esfuerzo se lleva a cabo
usando un esquema de integración explícito de la siguiente manera (Gutiérrez y Lewis, 1998):
• Se ejecuta el simulador de yacimientos para determinar los cambios de presión de poro.
• Los cambios de presión de poro son convertidos en cargas nodales equivalentes en el
simulador de geomecánica aplicando el principio de esfuerzo efectivo asumiendo que no
hay cambios en el esfuerzo total.
• Partiendo de estas cargas, se calcula las deformaciones de las rocas, las nuevas
porosidades y las permeabilidades resultantes para realimentar el próximo intervalo de
tiempo del simulador de yacimientos.
70
La figura 7 presenta el diagrama de flujo del procedimiento de solución utilizado.
Corrida del simulador de yacimientos tiempo T0 a T1. Entrada: porosidad φ0 permeabilidad K0 Salida: presión de poro P1
Corrida del simulador de geomecánica tiempo T1. Entrada: presión de poro P1 Salida: porosidad φ1
permeabilidad K1
Mapeo de presión de poro P1 de discretización de flujo a geomecánica.
Corrida del simulador de yacimientos tiempo T1 a T2. Entrada: porosidad φ1 permeabilidad K1 Salida: presión de poro P2
Corrida del simulador de geomecánica tiempo T2. Entrada: presión de poro P2 Salida: porosidad φ2 permeabilidad K2
Mapeo de presión de poro P2 de discretización de flujo a geomecánica
Mapeo de porosidad φ1 y permeabilidad K1 de dis-cretización de geomecá-nica a flujo.
Mapeo de porosidad φ2 y permeabilidad K2 de dis-cretización de geomecá-nica a flujo.
Corrida del simulador de yacimientos tiempo T2 a T2. Entrada: porosidad φ2 permeabilidad K2 Salida: presión de poro P3
…
Figura 7. Diagrama de bloques para el modelo de acoplamiento parcial explícito (Minkoff y col., 2004)
5.4. Implementación Computacional
Como se ha mencionado, en la presente investigación se ha desarrollado el código necesario
para la implementación computacional del algoritmo de solución presentado en la sección 5.3.
Dado que se utilizó un simulador de yacimientos existente, el trabajo estuvo orientado a la
programación del simulador de geomecánica y los módulos correspondientes de pre y post-
procesamiento. Del mismo modo, se generó el código para las rutinas de conexión (interfase)
entre el BOAST98 y el simulador de geomecánica.
La aplicación desarrollada puede ser dividida en tres fases: pre-procesamiento, procesamiento
y post-procesamiento. En esta sección se ofrece una explicación de las operaciones realizadas en
cada fase y una descripción de las rutinas involucradas.
71
Pre-procesamiento
El pre-procesamiento se lleva a cabo mediante la rutina “Datos_Ejemplo”. Esta rutina genera
un archivo de datos cuya información se utiliza en el revolvedor; “Datos_Ejemplo” controla el
flujo de datos de entrada y la interfase con el simulador de yacimientos BOAST98, asimismo,
introduce la información referente al tipo de material, restricciones y cargas externas aplicadas
sobre el dominio. El código “Datos_Ejemplo” recurre a algunas subrutinas (ver figura 8) para eje-
cutar operaciones de pre-procesamiento específicas; tales subrutinas se describen a continuación:
Malla_Ejemplo: en esta rutina se asigna los parámetros geométricos que definen el dominio
computacional y se corre la rutina “Meshgen” para la generación automática de la malla.
Meshgen: este código constituye un generador automático de mallas que puede ser usado para
dominios en dos y tres dimensiones (consultar referencia 22).
Conv_Pres, Conv_Phi y Conv_Sat: estas tres subrutinas sirven de interfase para leer los campos
de presión, porosidad y saturaciones respectivamente, almacenados en el archivo de salida del
simulador BOAST98 y luego alimentar la rutina “Datos_Ejemplo”.
Malla_Ejemplo Meshgen
Conv_Pres
Conv_Phi
Conv_Sat
Datos_Ejemplo
Figura 8. Diagrama de bloques para la rutina Datos_Ejemplo
Procesamiento
El procesamiento se lleva a cabo mediante la rutina “Res_Tesis”. Este código parte del
archivo generado por “Datos_Ejemplo” y calcula la solución por el MEF vía la formulación de
72
Galerkin. El programa “Res_Tesis” constituye el núcleo del esquema de solución propuesto,
puesto que es el responsable de producir los resultados que permitirán actualizar las propiedades
del modelo de flujo. En detalle, este código comprende la construcción de las matrices de rigidez
y los vectores de carga de cada elemento, el ensamblaje de la matriz de rigidez y el vector de
carga globales, la introducción de las condiciones de contorno previamente impuestas y el cálculo
de la solución del sistema de ecuaciones lineales. Las subrutinas utilizadas por “Res_Tesis” para
ejecutar las operaciones antes nombradas se describen a continuación (ver figura 9):
Ensambla3_Tesis: esta subrutina controla el ensamblaje de la matriz de rigidez y el vector de
carga globales utilizando las matrices y vectores locales construidos en la subrutina
“E3_C3_Tesis”.
E3_C3_Tesis: este subrutina controla la construcción de las matrices de rigidez y los vectores de
carga locales. La subrutina “E3_C3_Tesis” hace uso de otras tres subrutinas para obtener las
matrices de derivadas que participan en el cálculo de las matrices y vectores locales.
Bmat3_Tesis: esta subrutina genera la matriz de derivadas de la funciones de forma con respecto
de las direcciones coordenas.
Dmat_Tesis: esta subrutina construye la matriz de propiedades del material partiendo de los
parámetros básicos: módulo de elasticidad y relación de Poisson.
Nmat3_Tesis: esta subrutina construye el vector de funciones de forma.
Ensambla3_Tesis E3_C3_TesisRes_Tesis Bmat3_Tesis
Dmat_Tesis
Nmat3_Tesis
Figura 9. Diagrama de bloques para la rutina Res_Tesis
73
Post-procesamiento
El post-procesamiento se lleva a cabo mediante la rutina “Post_Tesis”. Este código utiliza los
resultados del procesador “Res_Tesis” para ejecutar los cálculos de esfuerzo correspondientes.
Adicionalmente, la rutina “Post_Tesis” realiza las actualizaciones de porosidad y permeabilidad,
grafica las distribuciones de las propiedades corregidas y genera dos archivos: uno para el
simulador de yacimiento BOAST98 y otro para ser usado por la aplicación Tecplot con el objeto
de obtener los gráficos de contorno. Las subrutinas utilizadas se describen a continuación (ver
figura 10):
Poros3_Tesis
Perm3_Tesis
Stress3_Tesis
MinCuad3_Tesis
Post_Tesis
Graficas_Tesis
Ejemplo_BOAST98
Ejemplo_Tecplot
Figura 10. Diagrama de bloques para la rutina Post_Tesis
Poros3_Tesis: esta subrutina realiza la actualización de los valores de porosidad en función de las
deformaciones calculadas en “Res_Tesis”.
Perm3_Tesis: esta subrutina realiza la actualización de los valores de permeabilidad en función
de las deformaciones calculadas en “Res_Tesis”.
Stress3_Tesis: esta subrutina calcula los valores de esfuerzo partiendo de las deformaciones
obtenidas por “Res_Tesis”.
MinCuad3_Tesis: esta subrutina calcula los valores de esfuerzo en los nodos partiendo de los
valores de esfuerzo en los puntos de integración.
74
Grafica3_Tesis: esta subrutina genera las gráficas con las distribuciones de presión, porosidad,
permeabilidad y saturación actualizadas.
Ejemplo_BOAST98: esta subrutina escribe el archivo de datos a ser utilizado en el simulador
BOAST98 para el próximo periodo de simulación.
Ejemplo_Tecplot: esta subrutina escribe un archivo de datos con el formato adecuado para ser
leído por la aplicación Tecplot.
5.5. Casos de Verificación
A continuación se presenta los dos casos seleccionados para comprobar el funcionamiento del
código desarrollado. Ambos ejemplos constituyen casos de verificación y son modelos cuya
solución está documentada en la literatura. El primero de ellos, es un yacimiento de petróleo
idealizado con un único pozo productor; el segundo es un yacimiento de agua con un pozo
productor y un inyector.
Los casos mencionados permiten comparar las distribuciones de esfuerzo y los
desplazamientos obtenidos usando la aplicación “Res_Tesis” con los resultados publicados en la
literatura (referencia 28). Asimismo, se ofrece algunos comentarios sobre las diferencias entre la
simulación convencional y el modelo parcialmente acoplado.
En lo que respecta a la descripción de los casos, inicialmente se muestra el dominio sobre el
cual se va a resolver cada problema, luego se lista las propiedades físicas de los yacimientos y los
parámetros geomécanicos pertinentes. Igualmente se muestra el comportamiento de presión o
producción en el tiempo y finalmente se ofrece los detalles de la simulación. Es importante
señalar que para la solución de todos los casos descritos a continuación se ha asumido el
parámetro α igual a uno, puesto que en ausencia de evidencia experimental constituye el valor
más conveniente.
75
5.5.1. Caso de Verificación 1: Modelo 3D Yacimiento con Producción de Petróleo Sin
Inyección
Este ejemplo constituye un caso de verificación presentado por Wan (2002); consiste en un
dominio tridimensional con un único pozo productor en el centro. El yacimiento contiene una
sola fase: petróleo. Cómo se trata de un modelo teórico, no se toma en cuenta la profundidad. La
presencia de formaciones colindantes con el estrato de interés, se emula mediante las condiciones
de contorno.
El interés de este problema es comparar las distribuciones de esfuerzo y desplazamiento
obtenidas con el modelo de acoplamiento parcial con aquellas presentadas por Wan (2002) para
un modelo completamente acoplado. Del mismo modo, se evalúa el impacto de la geomecánica
sobre el comportamiento de presión del yacimiento.
Descripción del dominio
Extensión: 1600 pies × 1600 pies × 100 pies
Discretización: 21 elementos (dirección “x”) × 21 elementos (dirección “y”) × 1 elemento
(dirección “z”)
Pozos: un único pozo productor ubicado en la celda (11, 11, 1)
Figura 11. Caso de verificación 1: Dominio computacional – discretización
76
Propiedades del yacimiento
Presión estática @ 0 pies: 5200 lpc
Presión de burbujeo: 1214.7 lpc
Tasa de producción de petróleo constante: 20000 BND
Tasa de producción de petróleo mínima: 6000 BND
Presión de fondo fluyente mínima: 1000 lpc
Porosidad inicial: 22%
Permeabilidad en las direcciones “x” e “y” respectivamente:
Zona 1: 500 md / 500 md
Radio del pozo: 0.50 pies
Daño: 0
Temperatura de yacimiento: 200ºF
Figura 12. Caso de verificación 1: Propiedades físicas del yacimiento – ubicación del pozo productor
Descripción de los fluidos
Producción de petróleo
Sistema de una sola fase: petróleo
Viscosidad del petróleo: 1.51 cp
Gravedad específica del gas: 0.792
Parámetros geomecánicos
Este apartado comprende las condiciones de frontera aplicadas al modelo de geomecánica, así
como, los parámetros mecánicos correspondiente a la roca yacimiento. La figura 13 proporciona
una ayuda visual para comprender el estado de esfuerzo al cual está sometido el yacimiento.
77
Figura 13. Caso de verificación 1: Restricciones y cargas – condiciones de frontera para el modelo de geomecánica
Esfuerzo normal const. aplicado en 5 caras (x = 0, x = xmáx, y = 0, y = ymáx, z = 0): 5200 lpc
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “x”: x = xmed
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “y”: y = ymed
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “z”: z = zmín
Relación de poisson: 0.4
Módulo de elasticidad: 5000 Mpa (725.19 klpc) / 12000 Mpa (1740.45 klpc)
Modelo para calcular la compresibilidad de la roca (ecuación 166): ( )0
213φυ
Ecr
−=
Compresibilidad de la roca: 3.76 × 10-6 lpc-1 / 1.567×10-6 lpc-1
Comportamiento de presión
En la figura 14 se grafica los comportamientos de presión del pozo productor obtenidos por
Wan (2002); tres casos son corridos por simulación estándar ( 0=rc , 6105671 −×= .cr y 610763 −×= .cr ) y dos casos son ejecutados aplicando el modelo acoplado.
78
Figura 14. Caso de verificación 1: Histórico de presión del pozo productor (Wan, 2002)
Índice de productividad
Para estimar el índice de productividad del pozo productor se utilizó la expresión propuesta en
la literatura del simulador BOAST98 (referencia 24), presentada en seguida:
Sr
YXhKPID
W
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ⋅Δ
⋅⋅=
121.0ln
00708.0 ………. (168)
sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene:
121.46500
5.019.7619.76121.0ln
10050000708.0=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
⋅⋅=PID
Detalles de la simulación
Tiempo total de simulación: 40 días
Resultados: 20 días y 40 días
79
Resultados
Como se ha dicho, se trata de un yacimiento donde existe una sola fase: petróleo. Se ubica un
único pozo productor en el centro del dominio y se ejecuta la simulación para un tiempo de 40
días. Recuérdese que este problema es un caso de verificación.
Solución Desacoplada
La figura 15 permite comparar los resultados del simulador de yacimientos BOAST98 (líneas
segmentadas) con los resultados correspondientes presentados para el ejemplo 1 en la referencia
28. Las tendencias graficadas corresponden a los siguientes casos: compresibilidad de la roca
igual a cero, compresibilidad de la roca igual a 1.567×10-6 lpc-1 (módulo de elasticidad 12000
Mpa) y finalmente compresibilidad de la roca igual a 3.76×10-6 lpc-1 (módulo de elasticidad 5000
Mpa). Es de destacar, que se observa cierta discrepancia en los primeros pasos de tiempo, sin
embargo, para un tiempo de 15 días las líneas tienden a converger.
Figura 15. Caso de verificación 1: Curva histórica de presión de fondo para el pozo productor
Solución Parcialmente Acoplada Explícita
Como se describió antes, en la solución parcialmente acoplada explícita primero se ejecuta el
simulador de yacimientos; luego, se convierte los valores de presión del intervalo de tiempo en
80
cargas equivalentes para el modelo de geomecánica. Posteriormente, se actualiza las propiedades
dependientes del esfuerzo y se realimenta el simulador de yacimientos.
X
Y
0 5000 10000 15000 200000
2500
5000
7500
10000
12500
15000
17500
ESFX-2253.8731-2281.1217-2308.3703-2335.6189-2362.8675-2390.1161-2417.3647-2444.6133-2471.8619-2499.1105-2526.3591-2553.6077-2580.8563-2608.1049-2635.3535
Frame 001 ⏐ 26 Dec 2005 ⏐Frame 001 ⏐ 26 Dec 2005 ⏐
Figura 16. Caso de verificación 1: Distribución del esfuerzo en la dirección “x” para un tiempo de 20 días
Izquierda: Solución parcialmente acoplada – Derecha: Solución completamente acoplada (Wan, 2002)
X
Y
0 5000 10000 15000 200000
2500
5000
7500
10000
12500
15000
17500
ESFY-2253.8730-2281.1215-2308.3700-2335.6185-2362.8670-2390.1155-2417.3640-2444.6125-2471.8611-2499.1096-2526.3581-2553.6066-2580.8551-2608.1036-2635.3521
Frame 001 ⏐ 26 Dec 2005 ⏐Frame 001 ⏐ 26 Dec 2005 ⏐
Figura 17. Caso de verificación 1: Distribución del esfuerzo en la dirección “y” para un tiempo de 20 días
Izquierda: Solución parcialmente acoplada – Derecha: Solución completamente acoplada (Wan, 2002)
Las figuras 16 a la 19 presentan los resultados para un tiempo de simulación de 20 días
tomando la compresibilidad de la roca igual a 3.76×10-6 lpc-1 (equivalente a un módulo de
elasticidad 5000 Mpa). Estas figuras (16 a la 19), ilustran las distribuciones de esfuerzo normal,
esfuerzo cortante y desplazamiento mediante gráficos de contorno. Para cada parámetro se ofrece
81
la solución parcialmente acoplada obtenida en la presente investigación y la solución
completamente acoplada tomada del trabajo de Wan (2002).
En general, los resultados del modelo de acoplamiento parcial, para este ejemplo, son bastante
cercanos a los presentados por Wan (2002), lográndose reproducir eficazmente los
comportamiento de esfuerzo y deformación respectivos. Las diferencias puntuales entre los
valores arrojados por ambos esquemas no superaron el 10% en ningún caso.
X
Y
0 5000 10000 15000 200000
2500
5000
7500
10000
12500
15000
17500
TAOXY8.93037.65446.37855.10263.82672.55091.2750
-0.0009-1.2768-2.5527-3.8285-5.1044-6.3803-7.6562-8.9321
Frame 001 ⏐ 26 Dec 2005 ⏐Frame 001 ⏐ 26 Dec 2005 ⏐
Figura 18. Caso de verificación 1: Distribución del esfuerzo cortante en el plano “xy” para un tpo. de 20 días
Izquierda: Solución parcialmente acoplada – Derecha: Solución completamente acoplada (Wan, 2002)
X
Y
0 5000 10000 15000 200000
2500
5000
7500
10000
12500
15000
17500
QXY3.70323.45633.20952.96262.71572.46882.22191.97511.72821.48131.23440.98750.74060.49380.2469
Frame 001 ⏐ 26 Dec 2005 ⏐Frame 001 ⏐ 26 Dec 2005 ⏐
Figura 19. Caso de verificación 1: Desplazamientos resultantes en el plano “xy” para un tiempo de 20 días
Izquierda: Solución parcialmente acoplada – Derecha: Solución completamente acoplada (Wan, 2002)
82
Las distribuciones de los esfuerzos normales en las figuras 16 y 17 son consistentes con el
esfuerzo aplicado en las fronteras. Mirando el esfuerzo en la dirección “x”, los contornos tienden
a aplanarse en los bordes izquierdo y derecho, debido al esfuerzo de compresión constante en la
dirección “x” sobre las fronteras. En contraste, las líneas de contorno del esfuerzo en la dirección
“y” se aplanan en el tope y la base del dominio. En el centro, las líneas de contorno forman un
cuadrado perfecto con un ángulo de 45º respecto de los ejes, lo cual coincide con el ángulo de los
esfuerzos principales.
En la figura 18, por su parte, se presenta el esfuerzo cortante, destacando que tiene cuatro
cuadrantes simétricos, con signos opuestos sobre cuadrantes vecinos y esfuerzo cortante cero en
la interfase entre cuadrantes adyacentes. La figura 19 muestra las líneas de contorno para los
desplazamientos (considerando el pozo centrado), exhibiendo un comportamiento que se
corresponde con la condición de desplazamiento cero en el centro del dominio.
Comentarios
La figura 20 muestra la importancia de considerar los efectos de la compactación de la roca en
la simulación de yacimientos. Se observa, que la presión de fondo considerando compactación de
la roca es mayor que aquella con compresibilidad cero, esto obedece a que la compactación de la
roca constituye un mecanismo importante de empuje para la producción de petróleo.
Figura 20. Caso de verificación 1: Comparación entre la solución parcialmente acoplada
y los resultados de la simulación convencional de yacimientos
83
Las diferencias entre los resultados del modelo parcialmente acoplado y la simulación
convencional de yacimientos se incrementa para módulos de Young más pequeños. La razón
principal radica en que el módulo de Young representa la pendiente de la curva esfuerzo-
deformación en la zona elástica, de manera que los materiales con módulos de Young más
pequeños reflejan mayores deformaciones con menos esfuerzo, es decir, son más sensitivos al
esfuerzo, generándose esfuerzos incrementales mayores como consecuencia de los cambios de
presión dentro del dominio.
Para un módulo de elasticidad igual a 5000 Mpa, los resultados obtenidos mediante el enfoque
parcialmente acoplado explícito son bastante cercanos a la solución arrojada por la simulación
convencional (diferencias en los valores de presión menores a 20 lpc en todo el tiempo de
simulación), tal como se muestra en la figura 20. Sin embargo, la solución publicada en la
literatura para este ejemplo (ver figura 14) aplicando un modelo completamente acoplado, denota
una creciente diferencia entre las presiones estimadas por la solución acoplada y la simulación
convencional.
Considerando lo anteriormente expuesto, se puede decir que el modelo de acoplamiento
parcial explícito tiene limitaciones para estimar diferencias en el comportamiento de presión. Del
mismo modo, cuando tienen lugar deformaciones de roca notables, una compresibilidad efectiva
simple no puede ofrecer predicciones exactas, pero un modelo parcialmente acoplado puede
captar las diferencias en el comportamiento de producción resultantes del recálculo de las
propiedades.
Por último, la figura 21 ofrece una representación gráfica de las distribuciones de presión,
porosidad, permeabilidad y saturación de petróleo en el dominio para un tiempo de simulación de
40 días, es decir, luego de completar todo el periodo. Tomando en cuenta que las propiedades de
porosidad y permeabilidad constituyen el núcleo del esquema de acoplamiento implementado en
la solución parcialmente acoplada explícita utilizada, resulta interesante expresar en términos
cuantitativos las variaciones de tales magnitudes. Así, se observa que las porosidades finales se
encuentran entre 0.2145 y 0.2161, lo cual constituye una disminución mayor al 2%; asimismo, las
permeabilidades se ubican entre 457 y 469 md, correspondiendo a una reducción entre 6% y
8.5% aproximadamente.
84
Figura 21. Caso de verificación 1: Distribuciones de presión, porosidad, permeabilidad y saturación
de petróleo en el dominio para un tiempo de 40 días
5.5.2. Caso de Verificación 2: Modelo 3D Yacimiento con Producción e Inyección de Agua
Este ejemplo constituye un segundo caso de verificación también presentado por Wan (2002);
consiste en un dominio tridimensional con un pozo productor y un pozo inyector ubicados en
esquinas opuestas. El yacimiento contiene una sola fase: agua. Dado que se trata de un modelo
teórico, no se toma en cuenta la profundidad. La presencia de formaciones colindantes con el
estrato de interés, se simula mediante las condiciones de contorno.
Nuevamente, el interés del problema es comparar las distribuciones de esfuerzo y
desplazamiento obtenidas con el modelo de acoplamiento parcial, con aquellas presentadas por
Wan (2002) para un modelo completamente acoplado. Asimismo, se evalúa el impacto de la
geomecánica sobre el comportamiento de producción e inyección del yacimiento.
Descripción del dominio
Extensión: 9000 pies × 9000 pies × 60 pies
Discretización: 9 elementos (dirección “x”) × 9 elementos (dirección “y”) × 1 elemento
(dirección “z”)
85
Pozos: un pozo productor ubicado en la celda (1, 1, 1) y un pozo inyector ubicado en la celda (9,
9, 1)
Figura 22. Caso de verificación 2: Dominio computacional – discretización
Propiedades del yacimiento
Presión estática @ 0 pies: 4786 lpc
Presión de burbujeo: 1014.7 lpc
Tasa de inyección de agua: 3000 BAD
Tasa de producción de agua constante: 3000 BAD
Tasa de producción de agua mínima: 1500 BAD
Presión de fondo fluyente constante: 1600 lpc
Porosidad inicial: 33%
Permeabilidad en las direcciones “x” e “y” respectivamente:
Zona 1: 34 md / 34 md
Radio del pozo: 0.50 pies
Daño: 0
Temperatura de yacimiento: 200ºF
86
Figura 23. Caso de verificación 2: Propiedades físicas del yacimiento – pozos productor e inyector
Descripción de los fluidos
Producción e inyección de agua
Sistema de una sola fase: agua
Viscosidad del agua: 0.96 cp
Parámetros geomecánicos
A continuación se muestra las condiciones de frontera aplicadas al modelo de geomecánica,
así como, los parámetros mecánicos correspondiente a la roca yacimiento. Las figuras 24 y 25
proporcionan una ayuda visual para comprender el estado de esfuerzo al cual está sometido el
yacimiento.
Figura 24. Caso de verificación 2: Estado de esfuerzo para el modelo de geomecánica (Wan, 2002)
Esfuerzo normal constante aplicado en 3 caras (x = xmáx, y = ymáx, z = 0): 4786 lpc
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “x”: x = 0
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “y”: y = 0
87
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “z”: z = zmín
Relación de poisson: 0.35
Módulo de elasticidad: 12000 Mpa (1740.45) klpc
Modelo para calcular la compresibilidad de la roca (ecuación 166): ( )0
213φυ
Ecr
−=
Compresibilidad de la roca: 1.567 × 10-6 lpc-1
Figura 25. Caso de verificación 2: Restricciones y cargas – condiciones de frontera para el modelo de geomecánica
Comportamiento de producción e inyección
Figura 26. Caso de verificación 2: Histórico de producción e inyección (Wan, 2002)
88
La figura 26 muestra los comportamientos de producción e inyección reportados por Wan
(2002). Se observa dos simulaciones: las líneas rojas representan el ejecución del modelo en el
simulador comercial Eclipse 2003a, mientras que las líneas azules constituyen la solución
completamente acoplada desarrollada por Wan.
Índice de productividad
Para estimar el índice de productividad del pozo productor se utilizó la ecuación 168 tomada
de la literatura del simulador BOAST98 (referencia 24). Sustituyendo los valores de este
problema, resulta la expresión:
6313.20
5.010001000121.0ln
603400708.0PID odPr =
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
⋅⋅=
Para este problema se establece que el índice de productividad del pozo productor es 8.7979
veces el del pozo inyector, por lo tanto:
2991.0PIDPID7979.8PID InyInyodPr =⇒⋅=
Detalles de la simulación
Tiempo de simulación: 6000 días
Resultados: 4000 días y 6000 días
Resultados
Este ejemplo constituye un caso de validación donde el interés el comparar la metodología
aplicada con una referencia. El yacimiento tiene una sola fase: agua; y consta de dos pozos un
productor y un pozo inyector, ubicados en esquinas opuestas. El tiempo total de simulación es de
6000 días.
89
Solución Desacoplada
Como se dijo, este ejemplo involucra un pozo productor y un pozo inyector. La saturación
inicial de agua es igual a 1, por lo tanto, el sistema es de una sola fase, así que se tiene
producción e inyección de agua. La compresibilidad de la roca igual a 1.567×10-6 lpc-1 (módulo
de elasticidad 12000 Mpa). La figura 27 permite comparar los resultados del simulador de
yacimientos BOAST98 (líneas segmentadas) con los resultados correspondientes obtenidos
mediante el simulador ECLIPSE 2003a (referencia 28). Se debe aclarar que los resultados de
ECLIPSE para el presente caso, aparecen publicados en el trabajo de Wan, 2002. El cotejo entre
ambas curvas es bastante bueno en todo el tiempo de simulación. Cabe señalar, que para este
ejemplo los parámetros de monitoreo son los flujos de producción e inyección.
Figura 27. Caso de verificación 2: Curva histórica de producción de agua para el pozo productor
Solución Parcialmente Acoplada Explícita
Para presentar los resultados se seleccionó un tiempo en el cual se hubiese alcanzado una
condición dinámicamente estable; en la figura 27, se observa que la tasa de flujo del productor
estabiliza cerca de 3000 BBD después de 4000 días. La figura 26 muestra la tasa de flujo del
productor comparada con la del inyector.
90
Las figuras 28 a la 32 presentan los resultados para un tiempo de simulación de 4000 días
tomando la compresibilidad de la roca igual a 1.567×10-6 lpc-1 (equivalente a un módulo de
elasticidad 12000 Mpa). Estas figuras (28 a la 32), ilustran la distribución de esfuerzo normal,
esfuerzo cortante y desplazamiento mediante gráficos de contorno. Al igual que para el caso
anterior, cada gráfico de contorno resultante del modelo de acoplamiento parcial, se acompaña
del gráfico correspondiente proveniente de la solución completamente acoplada corrida en
ECLIPSE y presentada por Wan, 2002 (referencia 28).
X
Y
0 50000 1000000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000ESFX
2287.881996.051704.221412.41120.57828.745536.918245.092
-46.7344-338.561-630.387-922.213-1214.04-1505.87-1797.69
Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐
Figura 28. Caso de verificación 2: Distribución del esfuerzo en la dirección “x” para un tiempo de 4000 días
Izquierda: Solución parcialmente acoplada – Derecha: Solución completamente acoplada (Wan, 2002)
X
Y
0 50000 1000000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000ESFZ
2486.562184.171881.791579.41277.01974.629672.243369.85767.4713
-234.915-537.3-839.686-1142.07-1444.46-1746.84
Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐
Figura 29. Caso de verificación 2: Distribución del esfuerzo en la dirección “z” para un tiempo de 4000 días
Izquierda: Solución parcialmente acoplada – Derecha: Solución completamente acoplada (Wan, 2002)
91
En esta oportunidad, los resultados del modelo de acoplamiento parcial nuevamente logran
captar el mismo comportamiento que aquellos presentados por Wan (2002) obtenidos a partir de
ECLIPSE. Sin embargo, existen desviaciones puntuales mayores a 10% entre los valores
arrojados por ambos esquemas.
Las distribuciones de esfuerzo en las figuras 28 y 29 son consistentes con el esfuerzo aplicado
en los contornos. Mirando el esfuerzo en la dirección “x”, se observa como las líneas de esfuerzo
indican valores positivos (esfuerzo de tensión) en la vecindad del pozo inyector (comportamiento
característico debido a la entrada de masa). Asimismo, se aprecia que el esfuerzo varía según la
dirección de una de las diagonales principales del dominio cuadrado, haciéndose cero en la región
central cerca de la otra diagonal principal y luego decreciendo hasta alcanzar el mínimo valor
(esfuerzo de compresión) en el extremo donde se encuentra el pozo productor (salida de masa).
Un comportamiento análogo se observa para el esfuerzo normal en la dirección “z”.
X
Y
0 50000 1000000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000TAOXY
6.689272.59613
-1.49701-5.59015-9.68329-13.7764-17.8696-21.9627-26.0558-30.149-34.2421-38.3353-42.4284-46.5215-50.6147
Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐
Figura 30. Caso de verificación 2: Distribución del esfuerzo cortante en el plano “xy” para un tpo. 4000 días
Izquierda: Solución parcialmente acoplada – Derecha: Solución completamente acoplada (Wan, 2002)
En la figura 30, por su parte, se muestra el esfuerzo cortante en el plano “xy”, donde se
observa líneas concéntricas que van decreciendo en valor absoluto desde las celdas (4,4,1) y
(5,5,1) (máximos valores negativos) hacia la periferia.
92
X
Y
0 50000 1000000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000QX
0.6186480.5774050.5361620.4949190.4536760.4124320.3711890.3299460.2887030.2474590.2062160.1649730.123730.08248650.0412432
Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐
Figura 31. Caso de verificación 2: Desplazamientos en la dirección “x” para un tiempo de 4000 días
Izquierda: Solución parcialmente acoplada – Derecha: Solución completamente acoplada (Wan, 2002)
X
Y
0 50000 1000000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000QZ
0.02298370.02056370.01814360.01572360.01330350.01088350.008463450.00604340.003623350.0012033
-0.00121675-0.0036368-0.00605685-0.0084769-0.010897
Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐Frame 001 ⏐ 08 Jan 2006 ⏐
Figura 32. Caso de verificación 2: Desplazamientos en la dirección “z” para un tiempo de 4000 días
Izquierda: Solución parcialmente acoplada – Derecha: Solución completamente acoplada (Wan, 2002)
En lo que respecta a los desplazamientos, las figuras 31 y 32 presentan los resultados en las
direcciones “x” y “z”. En la figura 33 se observa como, para el caso de los desplazamientos en la
dirección “x”, las líneas se aplanan cerca de la frontera izquierda (x = 0) y se acentúan
haciéndose máximos en el vértice inferior derecho (x = xmáx). Los desplazamientos en la
dirección “z”, por el contrario, presentan un comportamiento análogo al esfuerzo en “z” cuya
orientación coincide con una de las diagonales principales del dominio.
93
Comentarios
La figura 33 demuestra que para este caso, los resultados considerando el cálculo
geomecánico en la simulación de yacimientos tienden a una solución bastante cercana a la del
modelo que sólo toma en cuenta la compresibilidad de la roca, para valores de tiempo en los
cuales se ha alcanzado condiciones estables (después de 4000 días). Para los intervalos de tiempo
iniciales el cálculo que incorpora geomecánica subestima los valores de producción.
Figura 33. Caso de verificación 2: Comparación entre la solución parcialmente acoplada
y los resultados de la simulación convencional de yacimientos
La figura 33 también permite apreciar la importancia de considerar los efectos de la
compactación de la roca en la simulación de yacimientos. Nótese que para la corrida en la cual la
compresibilidad de la roca es cero, la producción se mantiene constante desde el principio, es
decir, no se requiere el periodo de estabilización originado por el movimiento de masa y el
consiguiente reacomodo de las cargas.
94
5.6. Caso de Estudio
A continuación se presenta como caso de estudio el famoso problema de Odeh, que consiste
en un yacimiento formado por tres estratos, donde existe petróleo, agua y gas (referencia 16). La
intención del problema es comparar las diferencias en las distribuciones de esfuerzo como
consecuencia de considerar geomecánica.
Al igual que para los casos de verificación, se muestra el dominio sobre el cual se va a
resolver el problema, se lista las propiedades físicas del yacimientos y los parámetros
geomecánicos pertinentes. Adicionalmente, se muestra el comportamiento de producción en el
tiempo y los detalles de la simulación. Es importante señalar que para la solución de este caso,
nuevamente se ha asumido el parámetro α igual a uno (coeficiente de Biot).
5.6.1. Modelo 3D Yacimiento con Producción de Petróleo e Inyección de Gas. Problema de
Odeh
Este ejemplo constituye un caso de aplicación, donde se utiliza la metodología con el objeto
de cuantificar el impacto del enfoque parcialmente acoplado con respecto a la simulación
tradicional. El caso escogido es el problema de Odeh publicado por la SPE en 1981. Este
problema consiste en un dominio tridimensional formado por tres estratos, con un pozo productor
de petróleo y un pozo inyector de gas ubicados en esquinas opuestas. Las profundidades y
espesores de cada capa se proveen a continuación. El efecto de las formaciones vecinas se simula
mediante las condiciones de contorno.
Descripción del dominio
Extensión: 10000 pies × 10000 pies × 100 pies
Discretización: 10 elementos (dirección “x”) × 10 elementos (dirección “y”) × 3 elementos
(dirección “z”)
Pozos: un pozo inyector ubicado en la celda (1, 1, 1) y un pozo productor ubicado en la celda (10,
10, 1)
95
Figura 34. Caso de estudio: Dominio computacional – discretización
Propiedades del yacimiento
Presión estática @ 8400 pies: 4800 lpc
Presión de burbujeo: 4014.7 lpc
Tasa de inyección de gas: 100 MMPCND
Tasa de producción de petróleo máxima: 20000 BND
Tasa de producción de petróleo mínima: 1000 BND
Presión de fondo fluyente mínima: 1000 lpc
Porosidad inicial: 30%
Permeabilidad en las direcciones “x” e “y” respectivamente:
Zona 1: 500 md / 500 md
Zona 2: 50 md / 50 md
Zona 3: 200 md / 200 md
Radio del pozo: 0.25 pies
Daño: 0
Temperatura de yacimiento: 200ºF
96
Figura 35. Caso de estudio: Propiedades físicas del yacimiento – pozos productor e inyector (Odeh, 1981)
Descripción de los fluidos
En la tabla 4 se presenta el análisis PVT de los fluidos del yacimiento y en la figura 36 se
muestra las curvas de permeabilidad relativa con la data respectiva.
Tabla 4. Caso de estudio: Análisis PVT del modelo (Odeh, 1981)
Presión Factor Relación Factor Relación Factor Pseudo PotencialEstática Volumétrico Viscosidad Densidad Gas-Petróleo Volumétrico Viscosidad Densidad Gas-Agua Volumétrico Viscosidad Densidad de Gas M(p)
(psia) (BY/BN) (cp) (lbm/pie3 ) (PCN/BN) (BY/BN) (cp) (lbm/pie3 ) (PCN/BN) (BY/BN) (cp) (lbm/pie3 ) (psia2/cp)14,7 1,0620 1,0400 46,244 1,0000E+00 1,0410 0,3100 62,238 0,0 0,166666 0,0080 6,47000E-02 0,000000E+00
264,7 1,1500 0,9750 43,544 9,0500E+01 1,0403 0,3100 62,283 0,0 0,012093 0,0096 8,91600E-01 7,779160E+06514,7 1,2070 0,9100 42,287 1,8000E+02 1,0395 0,3100 62,328 0,0 0,006274 0,0112 1,71850E+00 2,675800E+07
1014,7 1,2950 0,8300 41,004 3,7100E+02 1,0380 0,3100 62,418 0,0 0,003197 0,0140 3,37270E+00 8,752620E+072014,7 1,4350 0,6950 38,995 6,3600E+02 1,0350 0,3100 62,599 0,0 0,001614 0,0189 6,68060E+00 2,707090E+082514,7 1,5000 0,6410 38,304 7,7500E+02 1,0335 0,3100 62,690 0,0 0,001294 0,0208 8,33260E+00 3,869100E+083014,7 1,5650 0,5940 37,781 9,3000E+02 1,0320 0,3100 62,781 0,0 0,001080 0,0228 9,98370E+00 5,161180E+084014,7 1,6950 0,5100 37,046 1,2700E+03 1,0290 0,3100 62,964 0,0 0,000811 0,0268 1,32952E+01 8,039630E+085014,7 1,8270 0,4490 36,424 1,6180E+03 1,0258 0,3100 63,160 0,0 0,000649 0,0309 1,66139E+01 1,122560E+099014,7 2,3570 0,2030 34,482 2,9840E+03 1,0130 0,3100 63,959 0,0 0,000386 0,0470 2,79483E+01 2,518450E+09
Presión Factor FactorEstática Volumétrico Viscosidad Densidad Volumétrico Viscosidad Densidad
(psia) (BY/BN) (cp) (lbm/pie3 ) (BY/BN) (cp) (lbm/pie3 )4014,7 1,6950 0,5100 37,046 1,0290 0,3100 62,9649014,7 1,5790 0,7400 39,768 1,0130 0,3100 63,959
Funciones PVT de Agua Saturada Funciones PVT de Gas
Funciones PVT de Petróleo Sub-saturado Funciones PVT de Agua Sub-saturada
Funciones PVT de Petróleo Saturado
Sg Krg Kro0.000 0.000 1.00000.001 0.000 1.00000.020 0.000 0.99700.050 0.005 0.98000.120 0.025 0.70000.200 0.075 0.35000.250 0.125 0.20000.300 0.190 0.09000.400 0.410 0.02100.450 0.600 0.01000.500 0.720 0.00100.600 0.870 0.00010.700 0.940 0.00000.850 0.980 0.00001.000 1.000 0.0000
Permeabilidad RelativaGas-Petróleo
Datos dePermeabilidad Relativa Gas-Petróleo
0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000
Fracción de Gas
Perm
eabi
lidad
Rel
ativ
a
Krg Kro
Figura 36. Caso de estudio: Curvas de permeabilidad relativa (Odeh, 1981)
97
Inyección de gas y producción de petróleo
Saturación irreducible de agua: 0.12 (para todas las zonas)
Saturación irreducible de petróleo: 0.88 (para todas las zonas)
Viscosidad del agua: 0.31 cp
Gravedad específica del gas: 0.792
Parámetros geomecánicos
Para la solución de este problema se ha establecido dos escenarios variando las condiciones de
contorno. De esta forma se puede inferir la influencia que las formaciones vecinas pueden tener
sobre el yacimiento de interés. Las figuras 37 y 38, presentadas a continuación, proporcionan una
ayuda visual para comprender el estado de esfuerzo al cual está sometido el yacimiento.
Figura 37. Caso de estudio: Restricciones y cargas – condiciones de frontera para el escenario 1
Escenario 1: El yacimiento está sometido a carga en las cuatro caras laterales y en el tope.
Esf. normal const. aplicado en 5 caras (x = 0, x = xmáx, y = 0, y = ymáx, z = zmáx): 4800 lpc
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “x”: x = xmed
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “y”: y = ymed
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “z”: z = zmín
98
Escenario 2: El yacimiento está sometido a carga en dos caras laterales y en el tope.
Esfuerzo normal const. aplicado en 3 caras (x = xmáx, y = 0, z = zmáx): 4800 lpc / 8000 lpc
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “x”: x = 0
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “y”: y = ymáx
Desplazamientos prescritos iguales a cero en la dirección “z”: z = zmín
Figura 38. Caso de estudio: Restricciones y cargas – condiciones de frontera para el escenario 2
Para ambos casos aplica la siguiente información:
Relación de poisson: 0.4
Módulo de elasticidad: 4600 Mpa (666.67 klpc)
Modelo para calcular la compresibilidad de la roca (ecuación 166): ( )0
213φυ
Ecr
−=
Compresibilidad de la roca: 3.00 × 10-6 lpc-1
Comportamiento de producción o de presión
La figura 39 muestra los comportamientos de producción resultantes de las simulaciones
realizadas por varias empresas sobre el problema de Odeh (referencia 16). Como se ha planteado
anteriormente, el objetivo de este ejemplo es analizar la repercusión que los efectos
geomecánicos pueden tener sobre la expectativa de producción, por lo tanto, se revolverá el
99
problema cotejando el modelo de simulación convencional con las tendencias graficadas en la
figura 39 y luego, se incluirá el cálculo parcialmente acoplado.
Figura 39. Caso de estudio: Histórico de producción (Odeh, 1981)
Índice de productividad
Para estimar el índice de productividad del pozo productor se utilizó la ecuación 168 tomada
de la literatura del simulador BOAST98 (referencia 24). Sustituyendo los valores de este
problema, resulta la expresión:
11.45240
25.010001000121.0ln
5020000708.0PID odPr =
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
⋅⋅=
El índice de productividad del pozo inyector resulta igual al del pozo productor:
11.45240
25.010001000121.0ln
2050000708.0PIDIny =
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
⋅⋅=
4524.11PIDPID InyodPr ==
100
Detalles de la simulación
Máximo cambio de saturación durante un intervalo de tiempo: 0.05 lpc
Tiempo total de simulación: 3650 días
Resultados: 3650 días
Las corridas terminan al final de 10 años, o cuando la relación gas-petróleo alcanza los 20000
PCN/BN, o cuando la tasa de producción de petróleo se reduce hasta 1000 BND.
