CARACTERÍSTICAS

NUMÉRICAS DE VARIABLES

ALEATORIAS

Valor esperado o Esperanza

Matemática para variable discreta

Definición : Sea X una variable aleatoria discreta con la

distribución de probabilidades (Xi, P(Xi)) para =1,2,3,…….n,..

Se llama valor esperado de X o esperanza matemática de X a:

i i

1

E(X) = xp xi

A este número se lo llama también valor promedio de X

1) Si X toma un número finito de valores, entonces:

i i

1

E(X) = xp xn

i

Es el promedio ponderado de los valores

posibles de X

2) Si todos los valores posibles son igualmente probables,

entonces i

1

1E(X) = x

n

in

Es el promedio aritmético de los n

valores posibles.

Ejemplo: Calcular la esperanza de la variable

aleatoria X :suma de los puntos obtenidos al

arrojar dos dados:

71236

1...7

36

6...3

36

22

36

1

)()(12

2

i

ii xxXPXE

Se espera que la suma de los puntos obtenidos al arrojar dos

dados sea 7.

Si el valor esperado tuviera cifras decimales, la interpretación

estaría dada entre los enteros comprendidos, ya que la

variable es discreta.

Valor esperado o Esperanza

Matemática para variable continua

Sea X una variable aleatoria continua con fdp f(x) para todo x real, se llama valor esperado de X o esperanza matemática de X, a:

E(X) x.f(x) dx

E(X) existe si x .f(x) dx <

Hallar la E(X) para 6x(1-x) si 0 1

f(x)0 enotro caso

x

Ejercicio: Un instrumento electrónico tiene

una duración X, (en unidades de 100 hs)

que es una VAC con la fdp:

Suponiendo que el costo de fabricación de tal artículo es $20 y que el fabricante vende el artículo por $50, pero garantiza un reembolso total si x 0,2 y devuelve la mitad si

-xe si x >0f(x)

0 si x 0

0,2 0,4x

¿Cuál es la utilidad neta esperada por

artículo?

Interpretación

Si se produce un gran número de instrumentos electrónicos, perderá $20 alrededor del 18% de las

veces, ganará 5 $ alrededor del 15 % de las

veces y ganará $30 alrededor del 67% de las

veces.

El fabricante espera ganar, a la larga, $17,25 por

artículo.

Ui P(Ui)

-20 0,18

5 0,15

30 0,67

Propiedades del valor esperado

en V.A.C

1) Si X = C entonces E(X) = C

2) E(C.X)= C.E(X)

3) E (X+Y) = E (X) + E(Y)

4) E (X-Y) = E (X) - E(Y)

5) E (X.Y) = E (X) . E(Y) si X eY son

Variables aleatorias independientes

Medidas de variabilidad: Desviación,

Varianza y Desviación estándar o Dispersión

Varianza: La varianza de una variable aleatoria X es la

esperanza matemática del cuadrado de la desviación de X

respecto de su esperanza.

Desviación: Llamamos desviación a la variable aleatoria

X – E(X)

Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observar que la

dispersión lo hace con las mismas unidades que los

datos.

Propiedad de la desviación: E [ X – E(X)] = 0

22V(X) = E X-E XX

Dispersión: V(X)X

Otra forma de expresar la

varianza

22( ) ( )V x E x E x Demostrar

2

2 2( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )V x x E x f x dx x f x dx x f x dx

Ejemplo 1 (de la clase anterior) Del lote de

calculadoras donde hay 3 defectuosas. Se

selecciona una calculadora al azar y se la prueba,

repitiéndose la operación hasta que aparezca una

calculadora no defectuosa.

Calcular la V(x) de dos maneras.

2

1

( ) ( ( )) . ( )n

i i

i

V x x E x p x

VAD

VAC

Ejemplo 1

xi P ( X = xi ) xi – E(x) (xi – E(x) )2 (xi – E(x) )2 . P (xi )

1 5/8 1-1.5=-0.5 0.25 0.15625

2 15/56 2-1.5=0.5 0.25 0.066964

3 5/56 3-1.5=1.5 2.25 0.20089

4 1/56 4-1.5= 2.5 6.25 0.111607

0.5357

2 2( ( )) ( ) 0.5357i i

i

x E x P x

( ) 0.7319V X

Ejemplo 2) Calcula la varianza y dispersión

de la variable aleatoria X cuya fdp es

2x si 0 x 1f(x)=

0 si x 0,1

V(X) 1/18 0.2357

1( )

18V X

Propiedades de la varianza

1) Si x = C entonces V(x) = 0

4) V (x+y) =V(x) + V(y) si x e y son variables

independientes

2) V (x+c) = V (x)

23) V(cx) c (x)V

5) V (x-y) = V (x) + V (y) si x e y son variables

independientes.