CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Todo sensor eléctrico, mecánico, químico, cuenta con características intrínsecas propias de los materiales con que fueron construidos. Estas características dependen de la respuesta del sensor a un estímulo externo. Y pueden ser: características estáticas y dinámicas.

Figura 1.24 Respuesta de un sensor almacenador de energía a una función escalón

Las características estáticas de los instrumentos, sensores o sistemas de medida son las que aparecen en estos después de que ha pasado mucho tiempo, régimen permanente. Se cuantifica en términos de error.

EXACTITUD

Grado de proximidad entre una medida y su valor verdadero (1) o nominal. Además el valor verdadero es el que se obtendría si la magnitud se midiera con un método idóneo. La exactitud de un sensor se determina mediante la curva de calibración.

La British Estándar www.bsieducation.org BS 89: parte 1 1980, define exactitud como la cualidad que caracteriza la capacidad de un instrumento de medida para dar indicaciones equivalentes al verdadero valor de la cantidad medida. La expresión cuantitativa de este concepto debe darse en términos de incertidumbre.

Ver también. IEEE Standard Computer Dictionary. A compilation of IEEE Standard Computer Glossaries. New York , NY: 1990.

TOLERANCIA E INCERTIDUMBRE

Es un estimativo del posible error en una medida. Mas precisamente en un estimativo del rango de valores que contienen el valor verdadero de una medida. La incertidumbre generalmente está referida en términos de la

probabilidad de que el valor verdadero difiera de un rango establecido de valores.

(1) los valores verdaderos no existen, existen valores de alta precisión o probables.

Propagación de la incertidumbre

La medida de un valor X está dada por:

푥 = 푥 ± 훿

donde:

푥 : Es el mejor valor estimado o conocido de X

훿 : Es la incertidumbre o tolerancia de la medida

Porcentualmente la incertidumbre es igual a:

훿 % =훿|푥|

Ejercicio:

Un medidor de voltaje arroja la siguiente lectura

100.3 V +/- 0.2 V

La incertidumbre en la medida es de 0.2 V y el verdadero valor oscila entre 100.1 V y 100.5 V

Regla del estado de las incertidumbres

Al asignar una tolerancia a un valor de medida se debe tener especial cuidado en la asignación de esta, ya que ambas partes deben ser coherentes, es decir si se establece que la tolerancia de un medidor de voltaje es de 0.001 V, el valor de la medida debe darse en términos de milésimas de voltios, en caso contrario podrían aparecer incoherencias. Es decir el valor medido y su exactitud deben darse con valores numéricos compatibles.

Experimentalmente, la incertidumbre casi es redondeada a una cifra significativa.

Ejercicio:

Si medimos la aceleración de la gravedad g, es un absurdo enseñar la medida como:

(푀푒푑푖푑푎푑푒푔푟푎푣푒푑푎푑) = 9.82 ± 0.02385푚 푠⁄

La incertidumbre en la medida no puede darse con una precisión mayor que el valor estimado en la medida. Para el caso del ejercicio, la incertidumbre debe ser redondeada a 훿푔 = 0.02푚 푠⁄ y la medida ser rescrita como:

(푀푒푑푖푑푎푑푒푔푟푎푣푒푑푎푑) = 9.82 ± 0.02푚 푠⁄

Reglas para respuesta de estado

La última cifra significativa de cualquier respuesta de estado debe ser del mismo orden de magnitud (en la misma posición decimal) que en la entregada por la incertidumbre.

Ejercicio:

Una medida de velocidad está dada por:

(푀푒푑푖푑푎푑푒푣푒푙표푐푖푑푎푑) = 6051.78 ± 30 푚 푠⁄

La medida de velocidad debe ser

(푀푒푑푖푑푎푑푒푣푒푙표푐푖푑푎푑) = 6052 ± 30 푚 푠⁄

Para poder comparar sensores o instrumentos en cuanto a su exactitud se introduce el término: clase o precisión. Todos los instrumentos o sensores de una misma clase tienen un error en la medida dentro de su alcance nominal y para unas condiciones establecidas.

El error suele tener dos términos uno dado en porcentaje (tanto por ciento) de la lectura y otro constante que puede estar especificado como porcentaje del fondo de escala o umbral, en caso de equipos electrónicos la precisión generalmente está dada por un porcentaje sobre el valor de medida más un valor que corresponde a un número de veces la resolución del equipo (cuentas o dígitos).

Tabla 1.3 valores de una medida y su tolerancia

Estas cuentas pueden diferir de acuerdo a los rangos del medidor y al fabricante del equipo.

Ejercicio 1

La precisión de un instrumento Fluke 19 está dada por:

([% lectura]+[cantidad de dígitos menos significativos])

Para la lectura de tensión a C.A. los datos de exactitud del instrumento son:

Tabla 1.4 Datos de tensión a C.A de un Fluke 19

Con los datos anteriores, calcular el error en la lectura de 37.1 V cuando el medidor se encuentra en la escala de 40.0 V.

Desarrollo del ejercicio

De acuerdo a la tabla anterior la exactitud del instrumento para el rango de 40.0 V es +/- (1.5% + 3 cuentas). De donde el error en la medida está dado por:

휺 = ퟑퟕ.ퟏ푽(ퟏ.ퟓ%) + ퟑ(ퟎ.ퟎퟏ푽) = ±ퟎ.ퟓퟓퟗퟓ

para la escala de 400.0 V:

휺 = ퟑퟕ.ퟏ푽(ퟏ.ퟓ%) + ퟑ(ퟎ.ퟏ푽) = ±ퟎ.ퟖퟓퟔퟓ

Algunos fabricantes determinan la exactitud de sus equipos electrónicos refiriéndose al número de bits menos significativos.

Los LSB ( least significant Bit), cuentas o dígitos menos significativos, corresponden a un número de veces la resolución del sistema de medida.

Propagación de la incertidumbre

Si varias cantidades X1…W, son medidas con incertidumbre 훿 X1…훿 W, y las medidas son usadas para calcular una cantidad q, entonces las incertidumbres 훿 X1…훿 W , causan una incertidumbre en q, de la siguiente forma:

Si q es la suma o diferencia de cantidades

Entonces:

para errores que sean independientes

Si q está relacionado a través de productos y cocientes

Entonces

Si q = Bx, donde B es una constante conocida

Si q es igual a una función de una variable, q(x), entonces

Si q es una función de varias variables X1…Z, entonces

Discrepancia de la incertidumbre

En el caso de contar con experimentos con dos medidas numéricas de una misma magnitud, donde la teoría predice que los resultados deben ser iguales, la respuesta de este caso debe darse de acuerdo al siguiente ejercicio.

Ejercicio 2

Dos medidores de voltaje entregan las siguientes lecturas sobre un mismo elemento:

푉 = 100.30 ± 0.25

푉 = 100.60 ± 0.15

Determinar cuál es la verdadera medida

Desarrollo del ejercicio

푽풎풆풅풊풐 = ퟏퟎퟎ.ퟒퟓ ퟏퟎퟎ.ퟓퟓퟐ

= ퟏퟎퟎ.ퟓퟎ

푽 = ퟏퟎퟎ.ퟓퟎ ± ퟎ.ퟎퟓ

ERRORES: ABSOLUTO Y RELATIVO

Error

En un proceso de medición cualquier tipo de medida contendrá errores. El error de medida está definido como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero (2)

Error absoluto

Está definido por

휀 = 푉푎푙표푟푚푒푑푖푑표 − 푉푎푙표푟푣푒푟푑푎푑푒푟표

Error relativo

Está definido por

휺% =휺

푽풂풍풐풓풗풆풓풅풂풅풆풓풐∗ ퟏퟎퟎ%

휺% =푽풂풍풐풓풎풆풅풊풅풐 − 푽풂풍풐풓풗풆풓풅풂풅풆풓풐

푽풂풍풐풓풗풆풓풅풂풅풆풓풐∗ ퟏퟎퟎ%

(2) los valores verdaderos no existen, existen valores de alta precisión o probables.

FIDELIDAD O PRECISION

Grado de regularidad y correspondencia entre cierto número de medidas independientes y realizadas en las mismas condiciones. Es decir es la característica de un instrumento o sistema de dar el mismo valor de la cantidad medida, al medir varias veces en unas mismas condiciones determinadas (operador, ambiental, etc).

Cuando dichos valores son tomados en intervalos de tiempo muy corto el concepto de precisión toma el nombre de repetitividad y cuando existe un método concreto para tomar los valores se denomina reproducibilidad.

Figura 1.26 Definición de dos tipos de medida para diferenciar exactitud y fidelidad

SENSIBILIDAD O FACTOR DE ESCALA

Es la pendiente de la curva de calibración, este valor siempre está dado con respecto a un punto.

La derivada de la curva de calibración Y = f(x) en un punto x(a) da como respuesta la sensibilidad del sensor en ese punto. Los sensores requieren entonces una sensibilidad alta y si es posible constante.

푺풙(풂) =풅풇(풙)풅풙 풙 풙(풂)

LINEALIDAD

Expresa el grado de coincidencia entre la curva de calibración y una línea recta determinada. Los factores que influyen en la linealidad son: la resolución, el umbral y la histéresis.

RESOLUCIÓN

Es el incremento mínimo de la entrada para la que se obtiene un cambio la salida.

UMBRAL

Es el incremento mínimo de la entrada del punto cero, para la que se obtiene un cambio a la salida.

HISTÉRESIS

La salida del sensor depende de los datos tomados anteriormente, es decir los datos arrojados por el medidor dependen de su historia.

Ejercicio:

Calcular la sensibilidad de un termopar tipo K cuya curva de calibración está definida por la siguiente ecuación.

푇 = 푎 + 푎 푥 + 푎 푥

La sensibilidad del termopar será:

푑(푇)푑푥

= 푎 + 푎 ∗ 2푥

y variará durante todo el rango de medida.

ERRORES: SISTEMATICO O ALEATORIO

Errores sistemáticos

Son los que aparecen en la toma de varias medidas de una misma magnitud, hechas en las mismas circunstancias. Tienen en cuenta los errores instrumentales, referente a los defectos de los instrumentos (fricciones, tensiones irregulares de resortes, errores de calibración, etc) y los errores ambientales, debido a las condiciones externas que afectan las mediciones (condiciones del área circundante del instrumento: humedad, temperatura, presión, interferencia, etc).

Errores aleatorios

Se deben a causas desconocidas y ocurren cuando todos los errores sistemáticos se han considerado. Una manera para compensarlos es incrementar el número de lecturas y usar métodos estadísticos para obtener la mejor aproximación del valor que se pretende leer.

La dispersión de lecturas alrededor del valor medio da una idea de error aleatorio implicado en la medida. Si los resultados de una medida están sometidos a errores aleatorios a medida que el número de muestras aumentan estas podrán presentarse a través de una distribución normal.

Figura 1.28 Distribución normal

La desviación cuadrática media puede ser calculada por las siguientes dos ecuaciones, siendo más severa la que utiliza la población completa (N)

흈 = ∑(풙풊 풙)ퟐ

(푵 ퟏ) 흈 = ∑(풙풊 풙)ퟐ

푵

Dado lo anterior, la probabilidad de que un valor de medida se encuentre en un rango determinado +/- 푋 está dado por:

Figura 1.29 Probabilidad de certeza de 683.%

Generalmente para dar la indicación de una tolerancia o exactitud en una medida, esta se toma con base en una probabilidad del 68.3% = 1휎 Es decir si tomamos una medida utilizando el mismo método, la probabilidad de que los resultados se encuentren en +/- 휎 es del 68%

휹풙 = 흈풙

Desviación estándar de la medición (SDOM)

Está definida como:

En caso de que existan errores sistemáticos apreciables

Si existen errores sistemáticos razonables, la expresión total de la incertidumbre está dada por:

Ejercicio 3

Dadas las siguientes lecturas tomadas por un operador calcular la incertidumbre de la medida:

CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS

Son la respuesta de los sensores a un cambio brusco en su entrada, régimen transitorio, en general se presentan en los sensores que cuentan con elementos que almacenan energía (condensadores, inductancias, masas, resortes, amortiguadores, etc).

Sistemas de medida de orden cero

Un sensor de orden cero cuenta con una función de transferencia G(s) de la forma:

Es decir, su comportamiento queda tipificado por su sensibilidad estática k y se mantiene constante con independencia de la frecuencia de entrada.

Su error dinámico y su retardo son cero.

Son ejemplos de los sistemas de medida de orden cero los elementos potenciométricos o resistivos puros y en general aquellos que no almacenen energía.

Figura 1.30 Sensor de posición como elemento potenciométrico

Sistemas de medida de primer orden

La característica fundamental de un sensor de primer orden es la existencia de un elemento que almacena energía y otro que la disipa.

La ecuación que rige este tipo de sistemas con condiciones iniciales iguales a cero es:

La función de transferencia que relaciona la salida con la entrada es:

Las constantes k y 흉 determinan las características estáticas y dinámicas del sistema respectivamente.

La frecuencia propia del sensor está dada por:

El error dinámico está definido por:

y dependen de la forma de la señal de entrada, x(t).

Ejercicio:

Dada la función de transferencia de un sensor:

se obtiene que:

Donde el 흉 del sensor es 0,1 ms y la constante k es igual a 0,1. La respuesta a un escalón se observa en la figura 1.31

Figura 1.31 Respuesta a un escalón del ejercicio propuesto

La grafica muestra la función G(t) para diferentes retardos.

Figura 1.32,

para K = 1,25 y diferentes retardos.

Sistemas de medida de segundo orden

La ecuación de un sistema de segundo orden tiene la forma de la ecuación siguiente:

Y la ecuación en términos de Laplace con condiciones iniciales igual a cero:

Y la función de transferencia es:

Donde:

휿 Sensibilidad estática

흎풏 Frecuencia natural del sensor [rad/seg]

휁 Coeficiente de amortiguamiento

Ejercicio:

Para una entrada escalón unitaria u(t), calcule la expresión de salida de un sensor de segundo orden.

La grafica que se muestra en la figura 1.33, enseña la forma de la respuesta del sensor de segundo orden a una entrada en escalón unitario.

Figura 1.33 Respuesta de un sensor de segundo orden a una entrada escalón.

Nótense los siguientes valores importantes para la evaluación de las características dinámicas del sensor.

Estas características están representadas por el error dinámico y por la velocidad de respuesta.

La velocidad de respuesta indica la rapidez con la que el sistema de medida responde a cambios en la variable de entrada, esta es proporcional a la constante de tiempo del sistema (sensor), para algunos sistemas de instrumentación no importa mucho que exista un retardo entre la magnitud de entrada y la de salida, pero si el sistema del cual hace parte es de control, su retraso puede traer serios problemas.

Se describe la energía disipada por un elemento inductivo y uno capacitivo.

Tiempo de retardo - td

Tiempo transcurrido entre la aplicación de la función escalón y el instante en que la magnitud de salida alcanza el 10% de su valor final.

Tiempo de subida - tr

Es el intervalo de tiempo comprendido entre los instantes en que la magnitud de salida alcanza los niveles correspondientes al 10% y el 90% de su valor final.

Sobreoscilación - Dv

Es la diferencia entre el valor máximo de la magnitud de salida y su valor final, expresándose en % de dicho valor final.

Figura 1.34 Respuesta de un sensor de segundo orden

Aparte de las características dinámicas y estáticas de los sensores, es necesario también considerar la extracción de energía que en algunas oportunidades el sensor causa al sistema donde se tomara la medida.

En el caso de la caída de tensión que sufre un circuito al tratar de medir la corriente que circula a través de él. La pérdida de presión que es necesario suponer para la medición del caudal, el flujo de calor que fluye a través del sensor al tratarse de medir una temperatura.

En conclusión, dependiendo del tipo de dispositivo a medir existirá una pérdida de potencia en el sistema donde se mide.

Lo fundamental dentro de este concepto es no alterar el sistema donde se toma la medida.

Hoy día los centros de investigación tratan de desarrollar sistemas de medida que no alteren el medio, es así como podemos ya obtener mediciones de temperatura a través de infrarrojos, mediciones de caudal a través de ultrasonido, utilizando rayos gamma para la detección de niveles y caudales, etc.

Cuando debido a este tipo de circunstancias se altera la variable medida, se dice que hay un error por carga, que se refleja en su impedancia de entrada.

Para obtener un error por carga mínimo es necesario que la impedancia de entrada del sensor sea alta.

La tabla 1.5 enseña los factores a considerar en la elección de un sensor.

Impedancia de salida del sensor-impedancia y magnitud de la etapa preamplificadora

Para analizar los factores anteriores es necesario describir la configuración general de un sensor, el cual cuenta con cuatro elementos básicos que son comunes a la gran mayoría de sensores.

Figura 1.35 Esquema general de un sensor

Me: Magnitud a Medir Vs: Voltaje de salida

Sonda: Captador de la señal, en la gran mayoría de los sensores, existe una primera transformación o conversión de la magnitud.

Elementos intermedios: Su misión es adaptar la salida de la sonda al sensor. Es el dispositivo que realmente efectúa la conversión a una señal eléctrica, por ejemplo los resortes de un sensor que detecta aceleraciones (acelerómetro).

La figura 1.36 Enseña un transductor con su respectiva etapa de acondicionamiento, y el acople de una señal de interferencia

Donde:

Vs = Voltaje a la salida del sensor

Zs = Impedancia de salida del sensor

Vint = Voltaje de interferencia

Zint = Impedancia de acople - interferencia

V´s = Voltaje a la entrada de la etapa amplificadora

Zeq = Impedancia del equipo (amplificador)

Se pretende hacer un análisis circuital para demostrar la necesidad de preamplificar la señal inmediatamente sea muestreada y de los valores ideales de las impedancias de entrada y salida.

Aplicando el teorema de superposición se tiene que el voltaje a la salida del transductor es igual a:

Donde el error absoluto de la medida está dado por:

Y el error relativo por:

Se puede concluir que:

El error relativo de interferencia disminuye al bajar la impedancia de salida del transductor, siendo nulo cuando lo es dicha impedancia, lo que generalmente se recomienda y se utiliza en el diseño de sensores.

El error relativo de interferencia disminuye en la misma proporción en que aumenta la señal de salida del transductor, por lo anterior se recomienda una etapa amplificadora lo más cerca posible al sensor.

Estas dos deducciones son muy importantes y siempre se deberán tomar en cuenta en el diseño y montaje de un sistema de instrumentación.

Acople de impedancias

Frecuentemente se requiere en sistemas de instrumentación conectar diferentes dispositivos y circuitos en conjunto, por ejemplo, cuando se usa un generador cuya impedancia de salida es de 50Ω con un dispositivo cualquiera de alta impedancia (figura 1.37) se requiere conectar una resistencia RL igual a 50Ω en paralelo con el dispositivo de alta impedancia.

Figura 1.37 La impedancia RL es denominada comúnmente Impedancia " Matching "

Dado lo anteriores necesario que exista la máxima transferencia de potencia que permita que toda la energía enviada o programada en la fuente sea recibida por los dispositivos alimentados, dado lo anterior y tomando como referencia el circuito equivalente, se verificara cual debe ser el valor de RL.

Para encontrar la resistencia de carga que maximiza esta potencia, se tiene que:

De donde:

Resolviendo para RL:

RL=Ri

De donde se observa que para que exista la máxima transferencia de potencia, se requiere que la impedancia de carga sea igual a la impedancia de la fuente.

Servotransductores

También son llamados transductores de bucle cerrado, los servotransductores son transductores de alta precisión, y cuentan con la estructura enseñada en la figura 1.38.

Figura 1.38 Esquema de bloques de un servotransductor

Donde:

Me = Magnitud a medir

Ks = Función de transferencia de la sonda captadora

Kc = Función de transferencia del sensor captador

A = Función de transferencia del amplificador

ß = Función de transferencia de los elementos intermedios (resortes, pistones, etc)}

Kl = Función de transferencia del sensor de lectura

Vs = Voltaje de salida del sensor.

La ecuación del servotransductor está definida de acuerdo con las siguientes ecuaciones:

El Vs del sensor es:

Si el valor de A (amplificación) es muy grande entonces se tendrá:

De donde se puede observar que el voltaje de salida solo es función de la magnitud medida y de las funciones de transferencia de la sonda y del sensor de lectura, eliminando las diferencias entre la salida de la sonda y los elementos intermedios, para amplificaciones muy altas. En la figura 1.39 se observa una representación esquemática de un servotransductor. Nótese las diferentes partes que lo configuran.

Figura 1.39 Servotransductor

Dentro de las ventajas de este tipo de sensores se tiene:

Salida de alto nivel Buena precisión Corrección continua de los errores Alta resolución

Las desventajas se pueden describir de la siguiente manera:

Respuesta dinámica generalmente de alto orden Costosos Robustos

Tomado de: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4040003/lecciones/cap1lecc4.htm