TRABAJOS DE ESTADISTICA Y DE INVESTIGACION OPERATIVA Vol. XXVI II,Cuad. 2 y 3,Madrid, 1977

CARACTERIZACION DE LA VARIANZA

Miguel Martin Diaz

Sumario.

Se dan dos caracterizaciones de la varianza, para probabilidades

con soporte finito en R. La primera est~ basada por sus propiedades

de continuidad, invariancia por traslaci6n y norma hilbertiana. En la

segunda se considera en lugar de la propiedad de norma hilbertiana

esta otra: la varianza de la suma de un nfimero finito cualquiera de

variables, independientes dos a dos, es la suma de las varianzas.

En ambos casos se consideran de varianza unidad las leyes de pro-

babilidad de media nula cuyo soporte es el par 1,--1.

Summary.

In this paper, we consider two characterizations of the variance,

for probabilities with finite support. The first one is based on continuity, invariance by translation, and Hilbert norm properties.

The second characterization is based on continuity, invariance by

translation properties and the following property: If the random

variables XI . . . . . Xn are two to two independent then: o 2 (X~ +

+ . . . + X n ) = o 2 ( X I ) + . . . + o 2(Xn). We take the centered at ex-

pectation with unit variance.

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Teorema 1.

Sea ( ~ p ) un espacio probabilistico formado por 2 n sucesos

elementales equiprobables, X el espacio vectorial de las variables aleatorias reales definidas sobre ~ , X ~ el subespacio de X formado

por las variables x ~ X tales que E (x) = 0.

1 U c X ~ 2 = p ( u = 1).

Entonces, la finica aplicaci6n ~o: X ~ R § que verifica las propiedades:

(1) r + a)=~o(x) para l C x ~ X a ~ R .

(2) ~o(u)= 1 para I , 'uEU.

(3) x/-~(x) define una norma hilbertiana en X ~

(4) x a y = * r 1 6 2 ( x a y quiere decir que x e y est~in

igualmente distribuidas en R).

Es r = o ~ (x) [o 2 (x) es la varianza de xl �9

Demostracidn.

Desde luego 0 2 (x) verifica (1), (2), (3) y (4). Entonces demostra-

remos que es finica. A partir de ahora, representaremos por H ~ el

espacio de Hilbert definido en X ~ a partir de la norma o (x).

Sea ~o:x-~R § que verifica (1), (2), (3) y (4). En virtud de (1)

bastarfi demostrar que se verifica o ~ (x) = ~p(x) para I,'x ~ X ~ Previa-

mente, demostraremos el siguiente:

Z e m a .

Existen, en X ~ 2 n --1 elementos de U independientes dos a dos.

Demostraci6n.

Demostraremos que existen, en ~2, 2 n -- 1 subconjuntos de proba-

bilidad 1[2 (todos ellos) y tales que la intersecci6n de dos cualesquiera

de ellos tiene como probabilidad 1/4. Para n = 1 es evidente. Supon-

gamos que ello es cierto para 1, 2 , . . . , ( n - -1 ) .

86

Sea (12p) un espacio probabilfst ico fo rmado por 2 n sucesos clc-

mentales equiprobables. Sea (12~p~) un espacio probabi l fs t ico fo rmado

por 2 n-~ de los sucesos elementales de I2t y Pt u n i f o r me me n t e repartida. Sea (I22p2) un espacio probabil is t ico fo rmado por los

restantes 2 n-~ sucesos elementales de 12~ y p~ u n i f o r m e m e n t e re-

partida.

Por hip6tesis, existen: A ~, A2 . . . . . A 2 n -- 1_~ s u b c o n j u n t o s d e I2~

que verifican 1 1

p, (Ai) = --~-p , ( A i A / ) = ---4- I,'i q=/

y Bt , B 2 , . . . , B ~ n - - l_t subconjuntos de f'/,2 que verifican

1 1 P2 ( B i ) = - ~ - - P 2 (Bi Bi) = -~-- si i:r

Es f~icil comprobar que los subconjuntos de [2:

~'2t; A i u B i A i u B c i = 1 ,2 . . . . . 2 n - t - - I

cumplen las condiciones requeridas (obs6rvese que el nfamero de estos conjuntos es 1 + 2 (2 n-I -- 1) = 2 n -- 1).

Ahora el lema es inmediato . Si D I , D 2 , . . . , D ~ n _ ~ son los sub-

conjuntos anteriores def inimos u i ( w ) = 1 si 6oEDi, ui(6o)=--I si oaq~Di i = 1 , 2 , . . . , 2 n - - l .

Las variables ui son independientes dos a dos, y queda demos t r ado el lema.

Pasamos a demost rar el teorema. Las variables (ut us . . . . . u~n_t)

construidas en el lema forman una base o r tonormal de H ~ puesto que

ui independiente de ui =, ui es or togonal a u~ en H 7.

Sea H ~ el espacio de Hilbert def inido en X ~ a partir de la norma hilbert iana Vt~0(x). Se tiene:

(5) ~p(ui + u/) + ,p(ui - - u i ) = 2 ~o(ui) + 2 ~o (ui).

Es fficil ver que i :/:] ~, ui + u~ d ui -- u/.

De (4) y (5) se deduce

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(6) ~(Ui + llj)=hO(lli) + ~(U/) ~i i--/=j.

De (2) y (6) se deduce que las variables ui i = ! , 2 . . . . . 2 n - 1

fo rman una base o r t o n o r m a l en H r Por tan to , ias normas in t roduc idas

a par t i r de ~o y de o 2 co inc iden X ~ Esto demues t ra que se verifica

02 (x) = ~0(x) para F ' x ~ X ~ Ahora, (1) implica 02 (x) = ~0(x) para

I , ' x ~ X y esto demues t ra el teorema.

No puede p re tenderse enunc ia r un t eorema an~ilogo al t eo rema l

para un espacio probabi l f s t ico cualquiera. Si, po t e jemplo, cons ide ramos

l I 2 = ( t o t w 2 w 3 ) p ( c . o i ) = 3 ' i = 1 , 2 , 3 ;

1 no exis ten en I2 variables u que ver i f iquen p (u = l) = p (u = -- l ) = 2 "

Lo que haremos serfi buscar la carac ter izac i6n de la var ianza c o m o

definida en el c o n j u n t o de probabi l idades con sopor t e f in i to en R.

Po t ello, i n t roduc i r emos algunas no t ac iones .

cn - P IP = (Pt . . . . ,Pn) con pi > O X pi = I , i=!

P representarfi el con jun to de todas las probabi l idades con sopor t e

f ini to en R.

Represen ta remos por ( x p ) x ~ R n p ~ C n los e l em en to s de P,

n = 1 , 2 , . . . , ~ ; Q es el subcon jun to de P def in ido asf:

(x, p ) ~ Q * ~ existe un espacio probabi l f s t i co ( ~ p ) f o r m a d o p o r

2 n sucesos e lementa les equ iprobables y una variable a leator ia z def in ida

en ~ tai que z induce en R la ley de probabi l idad (x, p) .

Teorema 2.

Sean f y ~o dos apl icaciones de P e n R cont inuas en C n para V x ~ R n

fijo. En tonces f ( x , p ) = ~o(x, p ) para V ( x , p ) ~ Q ~, f ( x , p ) = so(x, p )

para V ( x , p ) ~ P .

88

Demostrac i6n .

Sean n 6 N ; x E R n cualesquiera. Sean Px el subconjunto de P

obtenido fijando x y variando p e n C n. Sea Qx el subconjunto de P

obtenido fijando x y variando p de modo que ( x , p ) ~ Q . Es f~cil

comprobar que Qx es no vacio. Desde luego, Qx c Px.

Definimos en Px la m6trica: d [ ( x , p ) ( x , q)] = sup [Pi - - q i [ , i =

= 1 . . . . , n .

Vamos a demostrar que Qx es denso en Px.

En efecto, sean (x, p ) ~ Px Y e > 0 cualesquiera. Tomamos ei > 0 n I

tales que Z e i < e y K entero positivo de modo que ~ < m i n ( e j , i=1

�9 . . , e n , P l , . . . , P n ) .

Ahora elegimos k i de modo que se tenga

ki n 2k" Pi -- ei < - - ~ ~ Pi =* i=tZ ki <~

Sea (~2 p) un espacio probabilist ico formado por 2 k sucesos ele-

mentales equiprobables. Definimos, en ~ , la variable aleatoria x (~ ) :

x ( ~ , , ~ ) = x ( w O . . . . = x ( e o k ~ ) = x t

x(~k~§ = . . . . = x (~k l .k2) = X2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x(cok~ + . . . + ~kn-~ + 1 ) = . . . = x ( t o 2 k ) = Xn

Sea (x q) la ley de probabilidad inducida en R por x (w). Se tiene:

ki si i 4 : n qi -- 2 k

2 k - ( k i + �9 �9 �9 + kn_~) qn = 2k

Es f~icil comprobar que se verifica: [qi - - P i l < e para V i = I . . . . . n.

Esto demuestra que Qx es denso en Px. A partir de aquf el teorema

es inmediato, en virtud de la continuidad de f y ~0.

89

T e o r e m a 3.

La varianza, 0 2 (x p), es la t~nica aplicaci6n de P e n R §

las p rop iedades siguientes:

que verifica

( I ) o 2 ( x , p ) = o 2 ( x + a , p ) Vn = 1 , ~ , . . . , ~ x E R n a E R p E C n.

(2) 0 2 ( u ) = 1 para V u E U ( R e c o r d a m o s u ~ U ~ p ( u = l ) =

= p ( u = - - I ) = 1/2.

(3) Si ( ~ p ) es un espacio probabi l fs t ico f ini to o ( x ) def ine una

norma hi lber t iana en X ~ ( c o n j u n t o de variables aleatorias deft-

nidas en g~ centradas en media) .

(4) Para lC x ~ R n n = 1,2 . . . . . 0 2 ( x ,p ) e s c o n t i n u a e n p , cu an d o p ~ C n.

DemostraciOn.

o 2 ( x , p ) cumple ( ! ) , (2), (3) y (4).

Vamos a vet que es ~nica. Sea ~0: P-* R § que ver i f ique (1) , (2) ,

(3) y (4). (Aclaraci6n: si z es una variable aleatoria , cuando escr ibamos

~0(z), lo mismo que si escr ibimos o2(z), debe en t ende r se que es

~o(z)=~o(xp) siendo ( x , p ) la ley de probabi l idad inducida por z.

Sea n = 1 ,2 . . . . cualquiera y ( ~ p) un espacio probabi l f s t i co for-

mado por 2 n sucesos e lementa les equ ip robab les y sea z E X cualquiera

y (x, q) la ley de probabi l idad inducida por z. Es f~icil c o m p r o b a r

que se cumplen las cond ic iones del T e o r e m a 1; por Io t an to , se tiene:

~o(z) = o2(z) para F z ~ X ( con jun to de variables aleatorias definidas

en ~ ) . Esto implica que 0 2 y ~0 co inc iden en Q.

En vir tud del T e o r e m a 2, co inc iden en P c.q.d.

E! t eo rema siguiente da una carac ter izac i6n de 0 2 que sus t i tuye

la condic i6n de norma hi lbert iana por la condic i6n: la varianza

de la suma de un nt~mero finito de variables aleatorias indepen-

dientes dos a dos es la suma de las varianzas.

O0

Te or e ma 4.

La varianza es la finica aplicaci6n de P en R § que verifica las pro-

piedades (1) y (2) del T e o r e m a 3 y ademfis:

(3) Si zi i = 1 . . . . . n son variables a leator ias i ndepend ien t e s dos

a dos, y definidas en un mismo espacio probabi l f s t ico , sc t'/ n

verifica: o s 2: z i = Z o S ( z i ) V n = 1 , 2 . . . i = 1 i = 1

(4) o S ( x p ) es con t inua en p, p E C n para I , ' x E R n, y con t inua en x , x E R n, para I c p E C n.

D e m o s t r a c i 6 n .

Previamente , d e m o s t r a r e m o s un lema.

Lema .

Sea ~o(x p ) cualquier apl icaci6n de P e n R § que ver i f ique (1),

(2), (3) y (4) y sea f ( ; ~ ) = ~ o [ k u ] I r Se en t iende que

~o(;ku) = ~o(x p ) con x = ( ;k , - -k ) p = (1 /2 , 1/2). Entonces , se verifica

D e m o s t r a c i 6 n .

Sea, p r imeramen te , ;k = n en te ro posi t ivo cualquiera . La idea es la

siguiente: Es posible encon t r a r un espacio p robab i l / s t i co y definir ,

en 61, n s variables aleatorias u~, us . . . . . Uns~ U y tales que la suma

z = u~ + u2 + . . . + Uns sea tal que z / n ~ U. En e fec to ,

n ( n - - l ) n ( n + 1) S e a n a = ; b - ( e n t o n c e s b - - a = n ; b + a = n2).

2 2

Sea A = ( 1 , 1 ....(b 1 , - - ! , - - 1 , . . . . r , - - I (A con t i ene b veces el I

y a veces el - - 1 ) y sean w t , ws . . . . . wk las d i fe ren tes p e rm u tac io n es

de A, o rdenadas de cualquier modo) .

Cons ide ramos el espacio probabi l f s t ico [2 f o r m a d o por los 2k

sucesos e lementa les equiprobables co~,cos . . . cok cok§ . . . . . w~k Y

def in imos en I2 las variables ui, i = 1, 2 , . . . , n s del siguiente modo:

91

para j <<. k u i { t o i ) = al valor ( I 0 - - 1 ) del e l emen to que ocupa el lugar

i6simo en la pe rmu tac i6n to/. Para j > k ui ( tok § = -- Ui ( tos) , s =

= 1 . . . . . k.

Vamos a v e r que i 4=r =, ui y u2 son or togonales .

El nf imero de c o m p o n e n t e s iguales en ui y ua es

[ (,,2_ ] 4

( a - - 2 ) ! b ! + a! ( b - 2 ) ! _ l " r/2

Calculando esta expres i6n resulta igual a 2k ( k - a! b ~ )" Entonces ,

el n f m e r o de c o m p o n e n t e s iguales es igual ai nf imero de c o m p o n e n t e s

dist intas, po t tan to ui y u , son or togonales . 2k

Sea z = Z ui. Es f~icil c o m p r o b a r que z es cen t rada (en media) i=1 Z

y que - - G U, por 1o tanto ,

n 2

f ( n ) = ~ o ( z ) = Z ~ o ( u i ) = n 2 ~ f ( n ) = n 2. i=l

Sean n y m en te ros posi t ivos cualesquiera. Cons ide rando , en la

I/nea anter ior , las variables

1 - -1 1 vi " p (vi = ) = p (vi = ) -

m r n 2

n n 2 - - " por s imetr ia en lugar de las variables ui o b t e n d r / a m o s f ( - m - - ) = m~,

r/ n 2 f ( - - m ) - m 2" Ahora po r la con t inu idad de f( ;~) , resul ta f ( h ) = h2

para I , ' ;kER. Esto demues t r a el lema.

Sea ~ un espacio probabi l f s t ico f o r m a d o por 2 n sucesos elemen-

tales equiprobables . Por el lema del T e o r e m a 1, existe en X ~ una base

fo rmada por 2 n - I e l emen tos de U ' u j u 2 , . . . , u z n _ l . Sea z E X ~

~- t #-1

Z = E ~ , i U i =* ~O(Z)--'-- ~ f ( X i ) = O = ( Z ) . i=1 i=1

De ( i ) se deduce ~o(z )= o 2 ( z ) para V z ~ X . E1 resto de la demos-

t raci6n es c o m o en el T e o r e m a 3.

92

E1 Teorema 2 nos da una caracterizaci6n de la varianza definida

sobre el conjunto, P, de todas las probabilidades con soporte finito

en R.

El Teorema 1 prueba que dicha caracterizaci6n se puede dar consi-

derando aisladamente cada espacio probabilfstico formado por 2 n

sucesos elementales equiprobables.

El Teorema 3 da una segunda caracterizaci6n de la varianza en P,

pero, a diferencia del primer caso, no hemos considerado aisladamente espacios del tipo del utilizado en el teorema. Podrfa pensarse que,

utilizando otro m~todo, la segunda caracterizaci6n podrfa darse aisla- damente en espacios formados por 2 n sucesos equiprobables. Vamos

a v e r que no es posible, considerando un espacio formado por 4 sucesos equiprobables.

Teorema 5.

Sea ( I2p) un espacio probabilfstico formado por 4 sucesos equi-

probables. Sea f(;k) una aplicaci6n de R en R § sim6trica y tal que

f ( l ) = 1. Entonces, existe una t~nica aplicaci6n ~: x-~ R § (x: variables aleatorias sobre I2) que verifica las propiedades:

( I ) ~p(x +a)=~o(x) ICxEX aER.

(2) ~p(u) = 1 I r U.

d (3) x = y = ' r 1 6 2 Y x y ~ X .

(4) Si x y z ~ X son independientes dos a dos, se verifica r + y +

+ z) = ~(x) + ~ ( y ) + ~(z).

(5) ~p(;k u) = f ( ;k) Y;kER.

Demostraci6n.

Sea u~u2u3~U una base de variables independientes dos a dos en X ~ Definimos la aplicaci6n r X ~ R:

~O(X) = f ( ; k l ) + f ( ]k2) + f(~k3), siendo x = k~u~ + ;k2u2 + k3u3.

93

V a m o s a v e r que so estfi b ien definida. Sea vtv, v3~U otra bas t ,

de v i ndepend ien t e s dos a dos en X ~ y si x = l a t v t + /a2v2+/a3v3. Hay que d e m o s t r a r que se verifica f ( X l ) + f ( X 2 ) + f ( X 3 ) = f ( / a l ) +

+. /( /22) + J(/a3), basta observar que el n 6 m e r o de var iables de X ~

pe r t enec i en t e s a U es ( 4 2 ) = 6 .

Por otra par te , el c o n j u n t o A = (u~,u2,u3,--u~,--u2,--Ua) est~i

f o r m a d o po r 6 var iables d i fe ren tes pe r t enec i en t e s a U. En tonces

v~, v2, v3EA.

T e n i e n d o en cuen ta que v~ v2 v3 f o r m a n una base, ha de verif icarse:

Vl = • /'/i I V2 = 4- Ui 2 1)3 = 4- Ui 3 c o n itizi3E ( 1 , 2 , 3) y d i f e ren tes ent re

s i . E s t o i m p l i c a /at = +- Xi I /a2 = -+ Xi 2 1,23 = 4- X i 3 .

Ten iendo en cuen ta la s i m e t r f a d e f r e s u l t a f ( X t ) + f (X2) + f (X3) =

= f ( / a t ) + f ( /a2) + f (/aa), que d e m u e s t r a que so est,'i bien def in ida en X ~

Verif ica, o b v i a m e n t e , (2). Verif ica (3):

d S u p o n g a m o s x = y (x, y E X ~ Para V col exis te w/ tal que se

verifica x(coi )=y (co/). Es to es fficil c o m p r o b a r l o .

Ahora , s i x = Xtu t + X2u2 + X 3 u 3 , c a m b i a n d o coi p o r w~ ob tene -

m o s una base ])11)21,' 3 y se tendr~i y = Xtvt + X21)2 + X3v3 :=~ so (y ) = SO(X).

Verif ica (4):

S u p o n g a m o s x, . v E X ~ independ ien t e s y no i d6n t i c amen te nulas.

Sea x = XI/2 t + X 2 ~ 2 + X 3 ~ 3 , y = / a l U l + / a 2 u 2 + / a 3 u 3 .

S u p o n g a m o s Xt # : 0 X2 4= O. Puede c o m p r o b a r s e , t o m a n d o una

base concre ta , que existe coi tal que se verif ica x (coi) 4= x (col) si i 4: j .

Sea x (col) = a.

b/x { 1 si b = y ( c o i ) En tonces p ( Y = , = a ) = 0 si b#:y(co i)

Esto implica, por ser x e y independ ien tes , y = 0 ~ /a~ = / a s = /a3 = 0.

Por Io t an to , x e y s61o pueden ser i nde pend i en t e s si son de la fo rma :

X = X i ui, y = X j l l j c o n i=/::].

Por Io t a n t o , se t iene: SO(x + y ) = SO(Xi) + so(h/) = so(x) + so(y) .

Para t res var iables i ndepend ien t e s dos a dos, se c o m p r u e b a de

94

un m o d o amilogo. (Mils de tres, i ndepend ien tes dos a dos, no exis ten

en X~

Ahora def in imos para x ~ X : ~o(x) = ~0(x -- I: x ) y se c o m p r u e b a

fficilmente que ~o verifica (1) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) y (5).

La unicidad de ~o en X ~ es i n m e d i a t a x ~ X ~ x = ) ` lu t + )`2u2 +

+ )`aUa =* ~ O ( x ) = f ( ) ` l ) + f ( ) ` 2 ) + f ( ) ` a ) . La unicidad de ~0 en X se

sigue de ( l ) . Si af ladimos la condic i6n de con t inu idad de f ( ) , ) o b t e n -

d r famos ~o(x) con t inua en X. T o m a n d o ~o(X) = )`2 se ob t i ene la varianza.

En tonces la condic i6n (4) no implica en este caso, c o m o en el Teore -

ma 4 que se ver i f ique f ( ) ` ) = )`2.

El T e o r e m a 5 demues t ra que en un espacio fo rm ad o p o r cua t ro

sucesos e lementa les equ ip robab les existe una finica apl icaci6n, de P

en R § que t iene las p rop iedades de la varianza, ut i l izadas en el

Te o r e ma 4, y tal que se verif ique: ~o()` u ) = f ( ) ` ) , en d o n d e f ( ) ` ) es

cualquier func i6n real con t inua y sim~trica. Cu an d o f ( ) ` ) = ),2 se

t iene ~0 = 0 2 .

C o m o con t r ae j emplo de 1o que p r e t e n d f a m o s demos t ra r , nos

hubiera bas tado tomar un espacio f o r m a d o por dos e l emen tos equi-

probables. Hemos ut i l izado un espacio f o r m a d o p o r cua t ro e l e m e n t o s

por la raz6n siguiente:

En un espacio f o r m a d o por 8 e l emen tos equ iprobab les o en general

2 n n 1> 3, la varianza no quedar fa carac ter izada por las p rop iedades del

T e o r e m a 4 pero t a m p o c o p o d r f a m o s tomar f ( ) ` ) tan general c o m o en

el T e o r e m a 5. Esto de todos modos , no 1o demos t r a r emos .

Relaci6n con la medida de Shannon (Ref. 1).

Es sabido que la med ida de en t rop fa de S h a n n o n se def ine por

/!

H (p t . . . . . Pn) = - - y Pi log Pi . i = I

Esta medida de ince r t idumbre depende exc lus ivamente de las probabil i -

dades y no del sopor te . Por e jemplo , la i nce r t i dumbre de las opc iones

aleatorias:

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A) Ganar 1 peseta con probabilidad 1/2 o perder 1 peseta con

probabilidad 1/2.

B) Ganar i06 pesetas con probabilidad 1/2 o perder 106 pesetas

con probabilidad 1/2, es la misma.

Es interesante, y este problema ya se lo han planteado algunos

autores, buscar la caracterizaci6n axiom~itica de medidas de incerti-

dumbre que tengan en cuenta el soporte de la probabilidad, adem~s

del valor de 6sta.

Como un intento en este sentido he tratado de caracterizar la

varianza. Sin embargo, las dos caracterizaciones dadas aqui tienen un

valor (si es que lo tienen) exclusivamente matem~itico. La primera la caracteriza como norma hilbertiana. La segunda caracterizaci6n

est~i basada en propiedades de invariancia respecto a la suma de una constante, continuidad, que serfan aceptables para cuaiquier medida

de incertidumbre, pero la propiedad de que la varianza de la suma

de n variables independientes dos a dos es la suma de las varianzas,

tiene un significado matem~itico claro, pero es diffcil de justificar como

axioma de una medida de incertidumbre.

Una caracterizaci6n m~is fitil, desde este punto de vista, serfa poder

sustituir dicha propiedad por esta otra: la varianza de la suma de dos

variables independientes es la suma de las varianzas. Una posible carac-

terizaci6n en este sentido queda planteada como problema.

Observaci6n.

En referencia 2 se puede ver que existe en L2(01) una base

de variables, de U, independientes dos a dos. Esta base, llamada de

Walsh, se construye a partir de las funciones de Rademacher. De un modo an~tiogo, que en (01), pueden considerarse funciones de

Rademacher para un espacio probabilfstico formado por 2 n sucesos

elementales equiprobables, a partir de elias se puede hallar, por el mismo m6todo que la base de Walsh, la base utilizada en

el Lema 1.

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BIBLIOGRAFIA.

1. A.I. KHINCHIN: Mathematical foundation of Information Theory.

2. OLEVSKY: Fourier Series with respect to general orthogonal systems. (Springer Verlag).

3. A. TAYLOR: Functional Analysis.

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