Características de Escala Libre en Redes Aleatorias · Crearon una grafica con N ...
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Características de Escala Libre en Redes Aleatorias
Dolores Lara.Octubre, 2005.
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Introducciónelementos idénticos
+interacciones locales
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Introducción (cont)
Sistema Complejo
muchos elementos no idénticos
conectados por interacciones diversas y no locales
Redes Complejas
elementos
interacciones
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Red Genetica
Vértices: Proteínas y genes.
Aristas: Interacciones químicas.
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Sistema Nervioso
axonescélulas nerviosas
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World Wide Webdocumentos HTML
links
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Gráficas Aleatorias
Una gráfica aleatoria es una colección de puntos (vértices), con lineas (aristas), uniendo pares de ellos de manera aleatoria.
Con mayor numero de aristas.Conectados a 27% de toda la red.
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Gráficas Aleatorias (cont)
Gráfica Aleatoria
Teoría Erdős y Rényi
Información de redes reales
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Ley de Potencia
Barabási y Albert, 1999.Independiente del sistema P(k)~kγ.Redes se autoorganizan en un estado de escala libre.
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Red Exponencial vs Escala LibreEsperado
P(k) ~ kγ EncontradoRe
d Ex
pone
ncia
lRe
d de
Esc
ala
Libr
e
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Experimento 1Charles Chaplin
Barry Norton
What Price Glory
Wild Things
A Few Good Men
Robert Wagner
Kevin Bacon Tom Cruise
Monsieur Verdoux
Red de colaboración de actores.
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Experimento 1 (cont.)
Con N=212,250 vértices y una conectividad promedio <k>=28.78.
P(k) ~ kγactor con γactor
=2.3±0.1.
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Experimento 2
Vértices:Generadores.Transformadores.Subestaciones.
Aristas:Líneas de transmisión de
alto voltaje.
Red electrica del Occidente de EUA.
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Experimento 2 (cont)
Con N=4941 vértices y una conectividad promedio <k>=2.67.
P(k) ~ kγpower con γpower
≈4.
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Experimento 3 Red de referencias en publicaciones científicas.
Aristas:Links a los artículos citados en
algún otro.
Vértices:Artículos publicados en
revistas.
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Experimento 3 (cont)
Fue demostrado por S. Redner (1998).
P(k) ~ kγcite con γcite
=3.
Con N=783,339 ISI.
N=24,296 PRD.
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Experimento 4 World Wide Web.
Gráfica dirigida.Medio menos controlado.Tamaño estimado en 1999, 8×108 documentos. ¿Qué importancia tiene estudiar su topología?
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Dominio: nd.edu con 325,729 documentos y 1,469,680 links.
WWWRobot: Añade a su base de datos todos los URLs encontrados en un documento, y los sigue recursivamente.
R. Albert, H. Jeong, AL Barabasi, Nature, 401 130 (1999).
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WWW(cont)Determinaron que – P
out(k) ~ kγout con γ
out=2.5 y
– Pin(k)~ kγin con γ
in=2.1
Figura (a) links de salida, (b) links de entrada.
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Diecinueve Grados de SeparaciónCrearon una grafica con N nodos, siguiendo
Pout
(k) ~ k2.5 Pin(k)~ k2.1
Se encontró <l> = 0.35+2.06log(N)Donde <l> es el camino mas corto entre dos
documentos.
Usando N=8×108, se tiene que <l
www>=18.59
Al aumentar N en 1000%, <l> cambia de 19 a 21 ¿Buscadores?
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¿Cuál es el mecanísmo que lleva a este tipo de comportamiento?
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¿Qué sigue?
1)Revisar dos modelos anteriores.
2)Presentar modelo de escala libre y dos casos limitados.
3)Presentar una red de escala libre determinista.
4)Conclusiones.
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Modelo ErdősRényi (ER)
Paul Erdős Alfréd Rényi
“On Random Graphs”, 1959
N fijo
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Modelo ErdősRényi (ER)
Paul Erdős Alfréd Rényi
“On Random Graphs”, 1959
N fijoConectar con probabilidad p
ER
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Modelo ErdősRényi (cont)
N=10,000. ● pER
=0.0006, ■pER
=0.001, ♦p
ER=0.0015.
P(k) sigue una distribución de Poisson.
P(k)~ eλ λk/k!
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Modelo “SmallWorld” (WS)
Sara
Roberto
Ana
Paco
D.J. Watts y S. H. Strogatz, 1998
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Modelo “SmallWorld” (cont)N vértices forman una malla unidimensional, donde cada vertice es conectado a su vecino mas cercano y siguiente mas cercano.
Con pWS
=0, tiene2N=20 aristas.
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Modelo “SmallWorld” (cont)N vértices forman una malla unidimensional, donde cada vertice es conectado a su vecino mas cercano y siguiente mas cercano.
Con probabilidad pWS
cada arista es reconectada con otro vertice aleatoriamente.
Con pWS
=0, tiene2N=20 aristas.
Con pWS
=0.3, 2pWS
N=6 aristas reconectadas.
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Modelo “SmallWorld” (cont)
N=10,000.<k>=6. ● pWS
=0, ■pWS
=0.1, ♦p
WS=0.3.
Con pWS
=0, P(k) sigue una distribución tipo Delta.
P(k)~ δ(k<k>)
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Resúmen de ModelosModelos ER y WS.
Probabilidad de encontrar vértice con muchas conecciones.
Redes Reales.
Decrese exponencialmente con k.
Grande
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Modelo de Escala Libre (Barabási y Albert)
Modelos ER y WS.
Asumen N fija
Redes Reales.
N crece con tiempo vida
Probabilidad dos vértices se conecten es: aleatoria y uniforme.
Conexión preferencial.
Modelo basado en crecimiento y conexión lleva a la distribución de escala libre observada.
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Crecimiento
Se agregan vértices a la red de la siguiente manera:
Se empieza con un numero pequeño de vértices m0.
Cada tiempo t se agrega un nuevo vertice con m(≤m0)
aristas, que ligan el nuevo vertice con m vértices en la red.
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Conexión Preferencial
Los vértices son conectados de acuerdo a lo siguiente:
La probabilidad Π de que un nuevo vertice se conecte con un vertice vi, depende de la conectividad ki de vi.
Π(ki )=ki /Σj kj .
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Ejemplo
Sea m0=3 y m=3
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Ejemplo
Sea m0=3 y m=3
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Ejemplo
Sea m0=3 y m=3
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Ejemplo
Sea m0=3 y m=3
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Resultados
Despues de t pasos, el modelo llega a una red aleatoria con N=t+m0 vértices y mt aristas.
Figura, N=300,000,
● m0=m=1,
■ m0=m=3,
♦ m0=m=5,
▲ m0=m=7.
La pendiente de la linea punteada es γmodel=2.9±0.1
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Resultados (cont)
La ley de potencia observada para las redes reales describe sistemas de gran variedad de tamaños y en diferentes estados de su crecimiento.
Un modelo correcto deberia ser independiente del tiempo.
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Resultados (cont)
P(k) es independiente del tiempo, en consecuencia, independiente de N=t+m0.Figura, m
0=m=5
● N=100,000,
■ N=150,000,
♦ N=200,000.
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Dos ingredientes(Modelo BA):1. Crecimiento.2. Conexión preferencial.
Modelo A:1. Crecimiento.2. Conexión preferencial.
Modelo B:1. Crecimiento.2. Conexión preferencial.
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Modelo A
El crecimiento se hace como en el modelo BA.
La conexión preferencial se elimina, asumiendo que un nuevo vertice se conecta, con igual probabilidad, a cualquier vertice del sistema.
Π(k)= const = 1/(m0+t1)
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Modelo A (cont)
Presenta P(k) ~ exp((1/m)k)
i.e. se elimina la propiedad de escala libre.Figura, N=800,000
● m0=m=1,
■ m0=m=3,
♦ m0=m=5,
▲m0=m=7
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Modelo B
Prueba la hipótesis de que el crecimiento es escencial para que se presente la característica de escala libre observada.
Se empieza con N vértices y ninguna arista.
En cada paso, se selecciona un vertice de manera aleatoria y se conecta con probabilidad Π(ki ) = ki /Σj kj a un vertice i en el sistema.
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Modelo B (cont)
Ejemplo. N=7.
t=0
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Modelo B (cont)
Ejemplo. N=7.
t=1
Π(ki ) = ki /Σj kj
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Modelo B (cont)
Ejemplo. N=7.
t=2
Π(ki ) = ki /Σj kj
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Modelo B (cont)
Ejemplo. N=7.
t=3
Π(ki ) = ki /Σj kj
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Modelo B (cont)
Ejemplo. N=7.
t=4
Π(ki ) = ki /Σj kj
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Modelo B (cont)
Ejemplo. N=7.
t=5
Π(ki ) = ki /Σj kj
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Modelo B (cont)
Ejemplo. N=7.
t=6
Π(ki ) = ki /Σj kj
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Modelo B (cont)
Ejemplo. N=7.
t=7
Π(ki ) = ki /Σj kj
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Modelo B (cont)
Ejemplo. N=7.
t N≈ 2
Π(ki ) = ki /Σj kj
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Modelo B (cont)
P(k) se comporta como una Gaussiana.Figura, N=10,000
● t=N,
■ t=5N,
♦ t=40N.
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Resultado
Ambos, crecimiento y conexión preferencial, son necesarios para el desarrollo de la distribución de ley de potencia (estacionaria) observada en los experimentos.
Dos ingredientes(Modelo BA):1. Crecimiento.2. Conexión preferencial.
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¿Qué sigue?
1)Revisar dos modelos anteriores.
2)Presentar modelo de escala libre y dos casos limitados.
3)Presentar una red de escala libre determinista.
4)Conclusiones.