J. E. N. 1 76-DF/l 53

CAPTURA DE MUONES POR HELIO-3Y FUNCIONES DE ONDA DE LOS

NÚCLEOS DE A=3

por

RAMÓN PASCUAL DE SANZ

Madrid, 1966

Este trabajo fue presentado como tesis para aspi-rar al grado de Doctor en Ciencias, Sección de Fí-sica, a la Facultad de Ciencias de la Universidadde Valencia.

Toda correspondencia en relación con este trabajodebe dirigirse al Servicio de Documentación Bibliote-ca y Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciu-dad Universitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio.

Las publicaciones señaladas con la signatura / i per-tenecen a la categoría a, "Memorias Científicas Origi-nales"; las señaladas con La signatura /N pertenecen ala categoría b, "Publicaciones Provisionales o NotasIniciales"; y los señalados con la signaturas /C, /CM,/B, /Conf pertenecen a la categoría cs "Estudios Recapitulativos" de acuerdo con la recomendación GC-/VII/RES/150 del OLEA, y la UNESCO/NS/l 77.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes ana-líticos que aparecen en esta publicación.

Este trabajo se ha recibido para su publicaciónen Abril de 1966.

Depósito legal n° M. 641 - 1967

I.INTRODUCCIÓN

Los experimentos físicos realizados hasta este

momento revelan la existencia de un número bastante elevado

de objetos que parecen ser independientes, a los que llama—

mos "partículas elementales". Estas reaccionan entre sí y se

transforman unas en otras en gran variedad de formas 9 de mane-

ra que seria imposible estudiarlas sino existieran unas s i -

metrías y regularidades que, hasta cierto punto las ordenan»

La primera y más importante clasificación de las

interacciones entre las partículas elementales» deducida de--

los datos experimentales9 se hace de acuerdo a la intensidad

de su acoplamientos dando lugar a cuatro clases: interaccio-

nes fuertes s electromagnéticas» débiles y gravitacionálesjes-

tas últimas no van a ser tratadas aquí»

El método teórico de tratar estas interacciones

que ha conducido a una mejor interpretación de los datos ex-

perimentales, es la teoría cuántica de campos, teoría que se

•obtiene al aplicar la segunda.cuantificación a las ecuaciones

de onda relativistas» Sin embargos esta teoría presenta gran-

des complicaciones matemáticas y la única forma en que sabe-—

'mos resolverla, es por un método perturbativo en potencias de

la constante de acoplamiento.

En el caso de las interacciones electromagnéti--

cas, esta constante es pequeña, ©( = 1/137 s y es de esperar que

el desarrollo en potencias de o¿ converja rápidamente. Ello, -

juntamente con las técnicas de renormalización9 nos permite--

calcular las características de cualquier hecho experimental

mediado por interacciones electromagnéticas con tanta exacti-

tud como queramos; hasta este momento no existe el menor d e -

sacuerdo entre la experiencia y los resultados.'teóricos.

- 2

En el caso de las interacciones débiles nos encon-

tramos con el problema de que la interacción Duntual de cua-

tro campos f ermionicos, corrientemente usada, no es renorma—

lizable en el sentido clasico, y podemos realizar los cálcu--

los solo en primer -orden de teoría de perturbaciones. Sin em-

bargo, dada la pequenez de la constante de acoplamiento(del—— 11 —2

orden de 10 MeV ) los efectos de orden superior al prime-

ro son imposibles de detectar. No hay desacuerdo manifiesto--

entre los resultados teóricos en primer orden y los resultados

experimentales, por lo menos a energías no demasiado altas.

El problema es más grave para las interacciones fuer-

tes , ya que en ellas la constante de acoplamiento es grande—

(de l a 15) y por tanto el desarrollo perturbativo no es de-

esmerar que converja. Ello ha conducido al uso de las relacio-—

nes de dispersión que constituyen el único método conocido para

tratar las interacciones fuertes.

En estamemoria nos vamos a ocupar' de las interaccio-

nes débiles. Si en estas intervienen solamente leptones, los—

cálculos teóricos se realizan fácilmente y se obtiene,al. com-

pararlos con los resultados experimentales, información sobre

el lagrangiano de interacción. Desgraciadamente, en la mayor

parte de los procesos débiles, intervienen hadrones (partícu-

las que interaccionan fuertemente), lo cual dificulta el cálcu-

lo teórico, así como el sacar información sobre .el lagrangia-

no al comparar los resultados teóricos con los datos experi—

mentales,

Aún cuando las interacciones débiles presentan una

violación de ciertas simetrías que rigen para las electromag—

néticas y fuertes, presentan unas ciertas regularidades, de ~

forma que todos los datos existentes son compatibles, al menos

para energías bajas, con la llamada interacción universal de.—

Fermi, de la que hablaremos más adelante.

Entre las interacciones débiles merecen especial

mención la -desintegración beta, la desintegración del muón, y

la "captura de muones" es decir:-3-

IJT + f —* nn + -üp ( I - 1 )

o en general

Los dos primeros procesos son bien conocidos

tanto teórica, como experimentalmente y han contribuido a

fijar la estructura de las interacciones débiles. La últi-

ma, que va a ser el objeto de este trabajo, es menos cono-

cida, y presenta aspectos de gran interés.

Como veremos más adelante la renormalización-

de la interacción fuerte de los hadrones que intervienen

en procesos débiles, introduce unos factores de forma. En

la captura de muones la transferencia de momento es grande,2 2 2

q ~ m^ 5 mientras que en la desintegración beta q ~ 0, lo

cual hace que algunos de estos factores de forma (el pseudoes

calar y el de magnetismo débil) muy difíciles, o imposibles,

de detectar en la desintegración beta, sean importantes e n —

la captura de muones.

Vamos a dar brevemente unas ideas generales so-

bre la captura de muones por núcleos. Es bien conocido que

el electrón y el muón negativo son partículas que sólo difie-

ren en su masa, siendo la del muón del orden de 200 veces —

la del electrón. Dada esta similitud entre muones y electro—

nes s los primeros pueden, al colisionar con los átomos,

ocupar el sitio de uno de los electrones corticales, con la

única diferencia de que el radio de su órbita será unas 200

veces menor que él de la correspondiente órbita electrónica.

La absorción delyu- por el campo coulombiano ocurre en un — -— 9

tiempo de unos 10 segundos y a continuación el muón, en-13

unos 10 segundos, sufre unas interacciones electromagnéti-

cas, quedando en la órbita fundamental. Como su vida media—

es de 2.2x10" seg., hay gran probabilidad de que llegue a —

dicha órbita sin desintegrarse, ofreciéndosele entonces dos

posibilidades, desintegrarse, o interaccionar con un protón

nuclear según la reacción (1-2).

Si el muón es capturado, el núcleo resultante

queda excitado con una energía que puede ser hasta de unos

20 MeV, y a continuación se desexcita emitiendo rayos J1 o de-

sintegrándose. Si nosotros estamos interesados en estudiar

la captura en que el núcleo final queda en un estado bien—

•determinado, hablaremos de captura parcial, y si sumamos —

s¿bre todos los estados finales nosibles, de captura total.

Por los años 40 ya se habían detectado fenóme-

nos de captura de muones en placas nucleares expuestas a la

radiación cósmica, pero los resultados experimentales eran

escasos. En 1949, Wheeler (1) elaboró una teoría en la que-

la frecuencia de captura era proporcional a la cuarta poten

cia de un Z ,.,. cuyo valor, modificado por Hillas es, para un

núcleo de Z electrones

Esta teoría estaba en un acuerdo relativamente bueno con los

pocos datos experimentales existentes.

Cuando se lograron obtener haces intensos de —

muones en los laboratorios, el aumento de los datos experi—

mentales y de su exactitud, exigió una mejora de la teoría,

y en 19 59, H.Primakoff (2), usando bastantes aproximaciones,

llegó a una fórmula para la frecuencia de captura total por

un núcleo Xz:

4 (j¿_j f j_ A~~ ¿

-5-

siendo Via transferencia de momento medio, °$ una función de

las constantes de acoplamiento, yS un factor que tiene en

cuenta que el número de neutrones en un núcleo es mayor que el

de protones. Encontró para ¿ y ^ los valores o =• 3 v í ( -) —

-.16 2 ses . El acuerdo con los resultados experimentales exis-

tentes era bastante bueno.

De la formula (1-3) ya vemos que, cuanto más pe-

sado sea-el núcleo, más frecuente será la captura, y más fá-

cilmente podremos hacer las medidas experimentales. Sin e m -

bargo, desde el punto de vista teórico, la captura por nú--—

cieos, pesados presenta grandes dificultades puesto que, como

veremos más adelante, para el cálculo de la frecuencia de —

captura es necesario conocer la función de ondas del núcleo

en los estados inicial y final, y éstas son siempre mal cono-

cidas para los núcleos pesados. ' . • ••

Per el contrario, para los núcleos ligeros,

(Z<10) 9 es difícil realizar medidas experimentales, ya que

para Z-10 el proceso de captura es tan frecuenté", como el de

desintegración del niuón, y para Z<10 es mucho más frecuente

que tenga lugar la desintegración. En cambio, para estos nú-

cleos, las funciones de onda nucleares se conocen mejor y los

cálculos teóricos pueden realizarse con más precisión, y una

comparación de éstos con los datos experimentales nos propor-

cionará más información sobre la estructura de la interacción

que da origen a este proceso.

De esta forma el primer proceso que se nos ocu-

rre estudiar es el (1-1), es decir, captura por hidrógeno..La

captura por hidrógeno no fue observada hasta 1961, y los tres

resultados experimentales existentes han sido capturas por — .

hidrógeno líquido, estando el hidrógeno en un estado molecularj

con ello no se ha medido la transición (1-1), sino la captura

de un muón por una molécula, cuyo estudio teórico depende de

unos factores moleculares difíciles de evaluar,.;..' .:.

El proceso que seguiría en sencillez es la captu-

ra por deuterio (3), que también presenta algunas dificultades

-6-

pues pueden producirse antes de la captura los siguientes

procesos

He + <« + /*"

¿ p-+ i _* <¿ j*.-d . y entonces d^" ¡A

con lo cual muchas de las capturas serán debidas al He y en-

mascararán la captura por deuterones . ' ..

A continuación en orden de sencillez, tenemos

la captura por He^

JA- + He —> H + (I_4)

cuya frecuencia de captura ha sido medida cinco veces, dando

los valores:

A = (1410 +_ 140) seg"1 (4)

A = (1520 +_ 50) seg"1 • (5)

A = (1440 +_ 90) seg"1 (6)

A = (1505 ^ 46) seg"1 (5)

A = (1465 i 67) seg"1 (7)

Esta captura por Helio-3 va a ser el objeto de este trabajo.

Suponiendo la teoría V-A para las interacciones

débiles, un cálculo directo indica que la frecuencia de cap-

tura viene dada por la expresión.

(1-5)

[UCxJSjJf^cc]**. •C.C.

— 7 —

-7

con

i í

t «pl-^ "^ fr ÍXi) T-"} ?l

donde a y b son las funciones de onda de los núcleos inicial y

final i i> es la energía del neutrino, v es un vector unitario en

la dirección de salida del neutrino emitido, M es la masa del

nucleón, MQ la masa del núcleo final y m' la masa reducida --

del muón. <p (x¿) es la función de ondas del muon, que para un

átomo hidrogenoide viene dada vov e 1 siendo a= ci^/mCZe .

Si suponemos que CP se conserva en las interacciones débiles--

con ^S = 0, todos los factores de forma g(q^) son reales.

Usando la formula(I-5) vamos a calcular la fre-

cuencia del proceso (1-4). En el estudio teórico de esta captu-

ra, han sido utilizados dos métodos; uno consiste en suponer que

los núcleos de He3 y K^ son partículas libres de Dirac, con ---

unos factores de forma obtenidos del scattering. elástico de --

electrones por núcleos; otra posibilidad es utilizar para es---

tos núcleos unas funciones de onda apropiadas. Nosotros utiliza-

mos este segundo método, considerando que la función de ondas -—

nuclear es una superposición de siete términos, incluyendo esta-

dos de spin isotópico 3/2, Consideraremos además las correcciones

relativistas de la frecuencia de caotura,

II. FUNCIONES DE ONDAS DE LOS NÚCLEOS DE A=3.

La función de ondas de los núcleos de A=3 ha sido

_ 8 -

estudiada usando principalmente dos métodos; uno es debido a

Sachs (8) y otro a Derrick y Blatt (9). Nosotros usaremos es-

te segundo método, extendiéndolo a fin de incluir términos de

spín isotópico 3/2.

Suponemos que la función de ondas total puede

expresarse como producto de cuatro factores: a) factor de spín;

b) factor de isospín; c) factor dependiente del momento angu—

lar y de los ángulos de Euler del plano definido por los tres

nucleones; y d) factor-dependiente de las distancias mutuas —

rij entre los nucleones (función de ondas interna).

Como la función de ondas total debe ser comple-

tamente antisimétrica, cada uno de. estos factores debe perte—

necer a una representación irreducible del grupo simétrico de

tres elementes. Dicho grupo tiene tres representaciones irre-

ducibles: una simétrica y una antisimétrica, ambas de orden —

uno, y una de simetría mixta de orden 2. Tomamos como funciones

base de esta última

(II-l)

fm s -

donde g(i,j.;k) es una función normalizada, simétrica bajo el

intercambio de los elementos i y j, pero sin simetría definida

bajo el cambio de i con k o de j con k.

Entonces debemos multiplicar los cuatro factores,

cada uno perteneciente a una representación irreducible, de for-

ma que la función de ondas total sea antisimétrica. De esta for-

ma obtenemos que la función de ondas de los núcleos de He3 y H^

es una superposición de 14 elementos distintos, cuyas caracte—

rísticas vienen indicadas en la tabla II-l.

Como veremos en el apartado siguiente, hay algunas

razones por las que siete de estos términos tienen una amplitud

despreciable,por lo cual no son considerados en la función d e —

ondas. Los s.iete términos restantes son:

-9-

i 9

CII-2)

X z ¿

"éC[ VI fr^^'V i) -

-10-

- 10

(II-2)

V

,

donde

siendo o( , ji y cí los ángulos de Euler, y siendo EL,, las matrices de

la representación del grupo de rotaciones de 2L+1 dimensiones(10)

Por lo demás, la notación en las formulas (II-2) es la utilizada

por Derrick (9), y f representa la función de ondas interna.

De ahora en adelante, cuando designemos un estado por.

un número, nos referiremos á ia»- numeración asignada a los estados

en la tabla II-l.

-11-

11

III.DISCUSIÓN SOBRE LAS AMPLITUDES DE LOS ESTADOS. '

Para obtener información sobre los valores de las

amplitudes de los catorce estados, podemos considerar argu-

mentos teóricos, así como resultados experimentales.

Desde el punto de vista teórico, sabemos que si el

potencial nuclear no tuviera un termino tensorial, el estado

fundamental del núcleo, sería un estado S puro. Por otra par-

te, si las fuerzas nucleares son una mezcla de fuerzas de Ma-

jorana y de Wigner, la función de ondas interna sería necesa-

riamente simétrica. Además, si el potencial tiene un término

tensorial, Derrick (9) .concluye que los términos D son más --

importantes aue los P. Así, el estado ff será el predominan-

te, siguiéndole en importancia el y g y los estados D.

Una información más cuantitativa la podemos obtener

de los resultados experimentales sobre energías de enlace de

los núcleos de He3 y tí3 (11)-(15), factores de forma (16)

(20), scattcring elásticos-He3 (21),(22), desintegración beta

(23), captura de neutrones lentos por deuterones (24),(25), y

scattering inelástico de electrones por He3 (26).

Como el número de ceros de la función de ondas inter

na f aumenta cuando la simetría de la función decrece, la de-

rivada de la función será tanto mayor cuanto menor sea la s i —

metría de la función de ondas. Así, de los resultados experi- '

mentales sobre energías de enlace, se concluye que los estados

con función de ondas interna completamente antisimétrica, tie-

nen una amplitud despreciable. En consecuencia, podemos despre

ciar los estados 2,5, 12 y 13. •

En la tabla III-l presentamos las probabilidades de

los distintos estados obtenidas de los diversos resultados ex-

perimentales .

Corrientemente se supone que los núcleos de He3 y --

H° forman un doblete de isospín , pero recientemente ha sido -

indicado que algunos resultados experimentales sobre energías

de enlace (15) y factores de forma ('"18)-(20)9 no pueden ser --

-12-

- 12'

explicados con esta hipótesis, con lo cual se hace necesaria

una pequeña mezcla de estados de isospín 3/2 en la función deq

ondas del He . .

En consecuencia, vamos a suponer que las fun-

ciones de onda nucleares son

(III-l)

Los valores numéricos de. la amplitud de cada estados serán con-

siderados en el apartado VII.

IV.EXPRESIÓN DE LA FRECUENCIA DE CAPTURA.

Comolos estados I a) y |b) son completamente an

tisimetricos9 podemos sustituir en (1-5)

por

donde por 0-¡_ designamos uno cualquiera de los operadores 1, °"• ,

Pi»-O. PiCTi.

Además, como nosotros no estamos interesados en

polarizaciones3 debemos promediar sobre las polarizaciones de

los estados iniciales, y sumar sobre las de los estados finales,

Podemos expresar la exponencial e~ 1 como —

una suma de. términos de momento angular del neutrino bien d e —

finido, L. Como en la expresión (1-6) los estados nucleares —

tienen paridad par y se hace una integración sobre todo el es-

pacio, se deduce que en Jl y Ja solo los términos con L -—

'par son distintos de cero, mientras que en Jp y Jpc solo son—

-13-

-•13 -

distintos de cero aquellos términos con L impar. Así deducimos

que los L imt»ares solo intervienen Éen la frecuencia de captura

a través de los términos relativistas.

Nosotros vamos a suponer que L <2; Fujii y

Primakoff (27) han demostrado que los términos de L¿ 2 dan una

contribución a la frecuencia de captura, no mayor que el 1%.

Con esta hipótesis, consideremos el término

,2(G.1 - z s, e,) |cj<?f

escribiendo el producto escalar en términos de las componentes

esféricas de los vectores. Como vamos a integrar sobre las di-

recciones de salida del neutrino v , es fácil ver que

e introduciendo

la 'formula (1-5) puede escribirse

M o = t i £ _ * ! < - - v " • • • • ' • ( i v - D

M

con

=

Vamos a considerar ahora la expresión(IV-1)

-'14 -

usando para los núcleos inicial y final la función de ondas. —

(III-l). Para empezar, consideraremos solo los términos no re-

lativistas, de forma que la frecuencia de captura viene dada por

Para calcular esto, evaluamos primero las partes de spin e

•isospín; luego integramos sobre los ángulos de Euler y final

mente integramos sobre las distancias internucleonicas.Defi-

niendo

0 =

obtenemos, mediante un cálculo directo

donde

1 T(

-15-

1

•p . J-^-^SjSi - 2 Di Di - 2 W Di + 2 D, Di, -4T4TÍ-V'- -T,

_i_

Para calcular las integrales <f 1 0 I f ~} necesitamos considerar

expresiones concretas para las funciones de onda internas.

V.FUNCIONES DE ONDA INTERNAS.

En nuestros cálculos hemos utilizado cuatro ti-

pos distintos de funciones de onda internas, sin hará core: una

gaussiana y tres clases de funciones de Irving (28),(29). Para

la gaussiana, la expresión simétrica es

= A e*p[- j-dK-rA + <\\ + \)] (V-l)

y las correspondientes g(i,j;k) están definidas por

Las funciones de Irving son

-16-

(V-2)

con n=09 l/n y 1/2.

Las constantes A se obtienen por normalización.

Para <*C hemos tomado los valores medios ponderados de los re •

sultados dados en la bibliografia: cí =0,384 f" para la gaussia-— 1 -1 — 1na y l,27f , 1,05 f y Q.,84- f para las funciones de Irving

con n igual a 0, 1/4 y 1/2 respectivamente.

Siguiendo a Schiff (17), hemos considerado que el

valor de j3 es similar al de ce y hemos desarrollado la función de

ondas en potencias de £ = «* - J3 s quedándonos solo con los dos pri-

meros términos. Es fácil ver que el error introducido por esta

aproximación es pequeño; además, los términos que contienen e

tienen la función de ondas interna de simetría mixta, y como es-

tos términos tienen una probabilidad del orden del 5%, el peque-

ño error introducido es completamente despreciable en los resul-

tados finales.

En el caso de la gaussiana obtenemos, por ejemplo,

y el producto Be se obtiene por normalización. El mismo método—

se usa para las otras funciones.

No hemos utilizado ningún tipo de funciones de on-

da internas con hard core, pues es fácil ver que la introducción

del hard core influye poco en la frecuencia de captura.

-17-

17

VI. TÉRMINOS RELATIVISTAS.

En la obtención de la expresión (IV-2) hemos con-

siderado sólo términos no relativistas. Vamos ahora a evaluar la

contribución de los términos relativistas a la frecuencia de cap-

tura. En general, la presencia de estos términos, supone una co-

rrección a. lo más , del 20% (30), (31) en la frecuencia de captu—-

ra. En el caso particular del Helio-3 algunos autores (30) en --

cuentran que su efecto es aumentar la frecuencia de captura t o -

tal en una pequeña cantidad; Oakes (32) indica que la frecuen-

cia de captura parcial decrece ligeramente por la influencia de-

estos términos.

A causa de esta pequeña influencia, vamos a supo—•

ner en el cálculo de estas correcciones, que los núcleos son e s -

tados if> puros. Con ello la contribución de estos términos es

"** Na,+i HS-±I J^rTñ 1 - v U Uv J f J + c.c.J +

(VI-1)

donde

a w

Kv 5 -

KVA - "A 3 V TZÍ J

Para el cálculo de esta expresión hemos usado la

fórmula del gradiente (1Q) y técnicas similares a las utilizadas

en el caso no relativista. Un cálculo directo indica que el tér-

mino multiplicado por 1<V es nulo en virtud de ia simetría esfé-

rica del núcleo. Los otros términos son

"1 O— j, y —

18

(VI-2)

que es la expresión deseada.

VII. RESULTADOS Y DISCUSIÓN.

Para calcular las expresiones (IV-2) y(VI-2) de-

bemos evaluar las integrales sobre las distancias internucleó-

nicas

(vii-i)

donde r. „ r23 rqi e s e^ jacobiano asociado con el cambio de las

coordenadas x.¡ (distancia del centro de masa al nucleón i) a —

las variables r.. . y los ángulos de Euler. Introducimos .-.ahora —

las nuevas variables p,l3t mediante •

es decir, 1 es la distancia desde el nucleón 1 al punto medio--

entre los nucleones 2 y 3; f es la distancia r2o y t es el coseno

del ángulo formado por py 1. Con ello (VTI-1) queda

-ú) f (f-W tvn-2)

y está integral debe calcularse para los distintos tipos de —

funciones internas f. Algunas de estas integrales han sido cal

culadas numéricamente usando la regla de Simpson, con el orde-

-19-

nador IBM 16 20 de la Facultad de Ciencias de Valencia, de forma

que el error introducido ha sido siempre menor que 1 parte en

105 6 10 ,, Los resultados están indicados en la tabla VII-1.

El balance energético muestra que el neutrino —

emitido tiene una energía de 103.0 8 5 + 0.032 MeV y este valor es

el usado en nuestros cálculos. El error en esta energía, se tra-_ j_

duce en un error de +_ Iseg en la frecuencia de captura.

A continuación debemos hacer algunas hipótesis

/referentes a IÓS factores de forma. De la hipótesis de la corrien»

te vectorial conservada(C.V.C.)y de relaciones de dispersión, se

obtiene que (27) ,(33)

La razón

se conoce a partir de experimentos de desintegración beta y de

cálculos teóricos (3:|4-) y tiene un valor -ls18+_ 0,02. Además la

hipótesis C.V.C. indica que

Suponiendo que la paridad G es conservada5 obtenemos gc=g_=0

(sin embargo no hay una razón clara para la existencia de esta

simetría (35)). ' -

Finalmente, el argumento de Goldberger y Treiman

indica que

gP*7 gA . r

- En nuestro cálculo., hemos tomado

gy 1*^ 4 J O 3 « \o~u MeV"2

y X igual a -1,16, -1,18 y -1,20. Para gp hemos tomado valores

variando desde -7gA a 50gA. Hemos considerado-además el caso en

-20-

i- 20

que gM=0.

Consideremos primeramente los términos relativis-

tas (VI-2); un cálculo sencillo con A= -1,16 y gD=7 p. indica—•

que A - vale (-0,3)seg~ para todos los tip,ps de funciones de

onda internas utilizadas. Así, estos términos decrecen la fre-

cuencia de captura, pero su contribución es despreciable, y no

serán tenidos en cuenta en adelante.

En la figura VII-1 reDrescntamos'A frente a gD/gñ3

para la función gaussiana, con X= -1,18 y suponiendo un estado* -1if . puro; el valor experimental (1468+40) seg también es indi_

cado. Podemos ver que hay dos posibles valores para gp/gA5 uno

cerca de 30 y otro próximo a 8; el segundo está en buen acuerdo

con el valor de Goldberger y Treiman, y en él vamos a fijar nues_

tra atención.

En la tabla VII-2 presentamos los'valores de la—

frecuencia de captura A para A= -1,15, variando a la vez gp/g* y

las amplitudes de los estados, para todas las funciones de onda

utilizadas. En la tabla VII-3 damos el valor de A para gp/g«=7 y

un estado vp . puro, variando X y el tipo de función usada9 Final—

mente, en la tabla VII-1 damos los valores de A para la función—

gaussiana, variando a la vez gD/gA y las amplitudes de los esta-

d'os , para A =-1,18 y Á= -1,20.

Así vemos que para la función gaussiana, con A=

- 1,18, los-resultados experimentales están en buen acuerdo con

nuestros cálculos para gp/g¿, — 8.. Las funciones de Irving dan un

valor algo más bajo para la frecuencia de captura y para ellas el

valor de gD/gA es menor que 8 (cercano a l ) . ...

Notamos tamnién aue en todos los casos examinados,

la presencia de estados distintos del f. en la función de ondas

nuclear, decrece la frecuencia de captura, y así el valor de gp/g^

será disminuido si dichos estados están presentes.

Si tomamos gM=0, la frecuencia de captura decrece

en 270 seg" y per tanto, el proceso es muy sensible al magnetismo

débil. - • . _

Si suponemos que gp/g/\ no toma valores menores que 4

podemos establecer un límite superior para la probabilidad del —

estado y 3, de 4%. Análogamente, para la presencia' de los estados

-21-

-'21 -

fg, K y f^ñ simultáneamente, el límite superior es de 2% para

cada uno y podemos decir que el estado V-i tiene, al menos, una

probabilidad del 94%. Además vemos que los términos de T=3/2 tie-

nen una probabilidad máxima del 1%. Si suponemos que estos esta-

dos existen solo en la función de ondas del Ke3, puede ser hasta

d e l 2 % . ' • • • • •

En .los resultados indicados, todas las amplitudes

de los estados se han tomado positivas; sin embargo, en nuestras

expresiones hay términos de interferencia entre varios estados,

y en consecuencia nuestros resultados dependen de l'a fase de las

amplitudes. Hemos hecho algunos cálculos en este sentido y hemos

encontrado que la frecuencia de captura sigue decreciendo con la

presencia de otros estados que el y* pero ce una forma tal que no

podemos sacar conclusiones a favcr de un signo determinado para-

las amplitudes. -

Esperamos que con un mejor conocimiento de las fun-3 3

ciones de onda de los núcleos de He y H , se podrán obtener r e —sultados más concretos referentes a la captura de muones, y fac—

tores de forma, o viceversa.

-2 2-

R E F E R E N C I A S

(1) J.A.Wheeler.- Rev.Mod . Phys . 2_1 (1949), 133.

(2) H.Primakoff.-Rev.Mod.Phys. 31_ (1959), 803.

(3) I-Tung Wang.-Phys. Rev. .T39_, (1965) ,B 1528

(4) I.V.Falomkin, A.I.Filippov, M.M.Kulyukin, B.Pontecorvo,YU A. Shcerbakov, R.M.Sulyaev, V.M.Tsupkosxtnikov y O.A.

' -. Zaimidoroga: Phys.Letters 3_, (1963), 229.

(5)L.B.Auerbach, R . J.Esterling , R.E.Hill, D.A.J.enkins , J.T.Lach y iY.H.Lipman: Phys.Rev.Letters !!_, (19 63), 23 y Phys.Rev. 13_8_, (1965) ,B 127.

(6)R.M.Edelstein, D.Clay, J.w.Keuffel y R.L.Wagaer Jr.: Inter-national Conference on Fundamental Aspects of Weak Inte—ractions at Brookhaven National Laboratory (U.S.Departmentof Commerce, Washington D.C., 1963), p. 303.

(7)D.R.Clay3 J.W.Kauffel, R.L.Wagner Jr.: Phys.Rev. 140, (1965),B, 587.

(8)R.G.Sachs: "Nuclear Theory". Addison-Wesley. p.180.

(9)G.Derrick y J.M.Blatt: Nucí.Phys. 8_, (1958) 310.

(10 )M^,E0Rose:' "Elementary theory of angular momentum". .John Wi-• ley and Sons. New York 1957.'

(ll)G.Derrick y J.M.Blatt: Nucí.Phys. r7_, (1960), 67. . • "

(12)G.Derrick, D.Mustard y J.M.Blatt: Phys.Rev.Letters 6,(1961),69. • ~

(13)J.M.Blatt, G.K.Derrick y J.N.Lyness: Phys.Rev.Letters 8,(1962), 323. ~

(14)J.M.Biatt y L.M.Delves: Phys .Rev. Letters _12_, (1964), 544.

(15)K.0kamoto: Phys.Letters 1_1, (1964), 150.

(16)D.A.Krueger: Phys.Rev. 135, (1964) B 934,

(17)L.I.Schiff: Phys.Rev. 13_3_, (1964), B 802. • . •

(18)B.F.Gibson y L.I.Schiff: Phys.Rev. 138, (1965), B 26.

-23-

•-12.4-

(19)B.F.Gibson: Phys.Rev. 139, (1965), B 1153.

(20) T.A.Griffy: Phys.Letters 11_, (1964), 155\

( 21 )G. Ramachandran y K .Ananthanarayanan: Nucí. Phys .£4_, (1965) ,652 ,

(22)K.Ananthanarayanan: Phys.Letters, 19_, (1965),43.

(23)R.J.Blin-Stoyle: Phys .Rev.Lett. 13_, (1964), 55.

(24)M.T.Meister, T.K.Radha y L.I.Schiff:' Phys.Rev.Letters 12,(1964), 509.

(25)T.K.Radha y N.T.Meister: Phys.Rev. 13_6_, (1964), B 388.

(26)T.A.Griffy y R.J.Oakes: Phys.Rev. _13_5_ (1964) B, 1161.

(27)A.Fujii y H.Primakoff: Nuo.Cinu 1_2_, (1959), 327.

(28)J.Irving: Phil.Mag. 4_2_, (1951), 338.

(29)J.C.Gunn y J.Irving: Phil.Mag. 4_2_, (1951) 1353.

(30)B.Goulard, G.Goulard y H.Primakoff: Phys.Rev. 133, (1964),B 186.

e

(31)R.Klein, T.Neal y L.Wolfenstein: Phys.Rev. 13^, (1965),B86.

(32)R.J.Oakes: Phys.Rev. 136 , (1964), B 1848.

(33)H.P.C,Rpod: CERN 65/ 1417/5- TH. 613. •• - •(34)W.I.Weisberger: Phys .Rev. Letters 14_, (1965), 1047; S.L.Adler:

Phys,Rev.Letters 1_4, (1965), 1051,

(35)M.Morita, R.Morita y T.Shirafujii: Progr. Theor. Phys.Extra Number, (19 6 5 ) , 96.

- 2 4 -

TABLA I I - l

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Símbolo es-pectros copico

2Sl/22Sl/22Sl/2

2Pl/22p1/2

Si2sl/2

L s iy*i T .;

0 1/2 0 1/2

0 1/2 0 1/2

0 1/2 0 1/2

1 1/2 0 1/2

1 1/2 0 1/2

1 1/2 0 1/2

1 3/2 0 1/2

2 3/2 0 1/2

2 .3/2 2 1/2

2 3/2 2 1/2

0 1/2 0 3/2

2 3/2 0 3/2

2 3/2 2 3/2

2 3/2 2 3/2

Clase de simetría

finterna

s

a

m

s

a

m

m

m

m

m

m

a

a

s

ángulos deEuler.

co

en c

o

a

a

a

a

s

s

a

pi

en

en c

o

Vspín eisospín

a

s

m

s

a

m

m

m

m

. men

co

en

3

a

- 2 5 -

TABLA I I I - l

enI

Experimento

Energías

de enlace

Scattering

n -He3

Desintegraciónbeta

Factores deforma

Captura deneutrones por 'deuterones.

Scattering ine-lástico e-He^

Referencia

(11) '

(13)

(14)(15)

(21)

(22)

(23)

(17)(18)

(19)

(20)

(24) X

(25)

(26)

Probabilidad de

1

89,5

95

9290-91

96

92

3

0,6

1,2

1-21-2

<4

4<2

2

2,2

<2

<4

4,6,7

7xlO"4

los estados en %

8,9,10

9,9

3,6

68

>4

6

11,14

'o,25

< 2

Observaciones

Estos valores son los que dan me-jores acuerdos con la experiencia.

Damos el valor medio.Se sugieren términos de T=3/2 paraun mejor acuerdo con la experiencipara el Helio-3.La sección eficaz depende fuertemede los términos de T=3/2.

Se sugieren términos de T=3/2 parael He3.

El término.'.de T = 3/2 para el He^ so-lamente.

El término de T=3/2 para el He^ sólamente.

Se da una tabla de valores„

TABLA VII-1

Integrales de las funciones espaciales

Gaus-siana.

Irvinan = 0

Irvingn=l/4

Irvinpn=l/2"

A2

0,042382

0,462659

0,703593

1,097 44

2 2

0,01264 '

0,426415

0,620630

0,929800

<FS 0|fS>

0,892393

0,869134

0,865121

0,862059

«-l.l

0,843569

0,789388

0,767030

0,737741

2 2

0,844865

0,793213

0,771855

0,744086

0,00

0,00

0,00

0,00

1124

3314

417 6

5 49 4

<fl

0,0

0,0

0,0

0,0

Io|

279

353

371

389

69

69

42

22

<

0

0

0

0

>2

,o

,o

8451

30628

32189

33705

-0,

- o ,

-,2

- o ,

239014

233198

32078

231071

TABLA VII-2-1'recueneia de captura A en seg para A =

M

C/j

ttf)c•H> OU ii

•H>U

DOC c

•H -> i

M !

/9 8 % * .

S A I O O % * I 2%*;

96%*

O7

12203040

O7

122030

!40

o7

122030

140

O7

|12?030

140

170014721371131714371766

161313961300124913631675

159813831288123813511659

158713731279122913411648

164014241328127713911702

155413481257120913171612

154013361246119913061598

153013281238119112971588

157413691278123013381633

149112961209116412661546

147812851199115412561533

146912771192114712481524

97%*. 94%*.1% *1% *

910

16 4 214 23132612 7 413901705

155613 4 8125612 0 813171615

154113351244119613041600

152913241234118612941587

98%*2%*.2%*;2%*

10

1

11

14

96%*,

2%*

2%*11

14

92%*i2%*3

2%*8

2%*9

2%* 1 Q

-1,16

94%*.2%*;2%*2%*

1114

158413741281123213U3164 4

150013011213116612711557

148512871200115412581541

147212761190114412471527

159113751280123013431652

151213071217116912771571

149712951205115712641555

148612851196114912551543

149712921202115412621556

142512291143109812001480

141012171132108711881465

139912071123107811791454

152813291241119412991585

14441256117 211281227149 8

143012431161111712151483

1419123311511108120514 71

150713021212116412711565

142912351149110312051485

141412221137109 211931469

14021211112710 8 311831456

co

TABLA VII-3

Valores de A para , = • 7A

v un estado 1 rmro

Gaussiana

Irving n=0

Irving n=l/4

Irving n=l/2

> = -1,16

1472

1396

1383

1373

A= -1,18

1506

• 1429

1416

1406

X= -1,20

1452

1462

1449

1438

-29-

rl ztrf « H H

-3- -3- -3- -3-tíP dP dP dPZt- CM CM CMen

LOztLO

rl

COCO

corl

encoCMrl

Oen

rl

OCOrl

LOOCOrl

J"COLOrl

LOCDcorl

COCOCMrl

CDrlCMrl

CMCOCOrl

CO

ztcorl

rl-3-dPCMen

Oco co en ri

-3- -3-eíP dPCM CM

-3-

CM

-3-dPCM

rl rl

CÜ

H

(tiC

• HCOCO

flj

ca

•Hoc

(ti

H

rd

P--

0)TD

CO

<uo

dPCO

en

dPCM CM

-3-dPCO

en

r~r

-3-tíPri

zt-rl

-3-

CMCOCDrl

CO

OZTrl

enocorl

r»LOCMrl

LO

corí

LO

enCDrl

Orl 00 ü") rl

-3- -3- -3- -3-o\° o\° ov.° dPZt 0M CM CM

en

orH CO en rl

dP o\° o\° dP^ rH \H rHen

CD ; * •en

BC

30

tO LO C0 CM CM CMLO CO CM CM CO ÍOrl rl rl rl rl rl

lOtOOONlflco CM co 03 en enLO CO CM r! CM LOrl rl rl rl rl rl

í lí) OOltOlDCM O rl LO P- COtD ZT CO CM CO CDrl rl rl rl rl rl

CO CO U3 CM CM COCO LO LO O CM rTco i- co co J- r^rl rl rl rl ri rl

oostrl

CDCDCOrl

r—LOCslrl

00

cocor!

CO

r-~CDrl

dPCOen

•3-tíPCM

irf

-3- 'dP 'OOrl '

rlCOCDrl

00

c—rl

COLOjá"rl

COOLOrl

c •

LO

corl

CMO

rl

LOCDcorl

COztcorl

00CM

ZTrl

rlC~~Ztrl

LO

ztí~-rl

OrlCOrl

o r-- CM o o orl CM CO zt

co co co co co corl rl rl rl rl rl

rl -H rl rl rl rll i l i l í

CO CD CD CO CO COo en en zt LO COco co CM CSJ co corl rl rl rl rl rl

j m co r~ (M r-r LO LO o CM coLO CO CM CM CO COrl rl rl rl rl rl

CM rl en LO r enN í COCOO BCO rf CO CM J- C~-rl rl rl rl rl rl

co co en CD LO coCD 00 CO CO O CMCD St CO CM zf r~-rl rl rl rl rl rl

zt o co n zr riCM en co co w> enp- zt co oo zt- c~-rl rl rl rl rl rl

CM CM LO co en zrLO co co co en rico zt co CM co t~~r! rl rl rl rl rl

CM o c-- en LO coCM en co co LO oor~~ ZT oo co zt- c~~ri rl rl rl rl rl

CO CM OO CD LO CDco zf co r-- o LOr- LO zi" co LO corl rl rl rl rl rl

O C~- CM O O Orl CM CO J"

O O O O O OC-4 CM CM CM CM CM

rl rl rl rl rl rll i l i l í

I

A sec

1,800 -

1.700 -

•1.600 -

1.500 „

- 1 •

1,400 -

1.300

1.200 -

1468 +, M-0 sec-1

0 50 gp/10 20 30 • 40

Figo VII-1

Variación de A con gp/g/\ Y el valor medio experimental

P:BA

J.E.N. 176-DF/I 53 J. E.N. 176-DF/I 53

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid" C a p t u r a de muones po r h e l i o - 3 "

PASCUAL DE SANZ, R. (1966) 31 pp. 1 f i g . 6 tabls. 35 refs.

El objeto de este trabajo es el estudio de la captura de un muón negativo

por Helio-3, según la reacción/^-* " 4 H^ ^ H ^ i \$ . Para el lo utilizamos

l a teoría V-A de las interacciones débiles según el método de Priraakoff inclu-

yendo términos re lat iv is tas en primer orden. Para describir los núcleos in ic ia l

y f inal hemos uti l izado las funciones de onda más generales permitidas por el

principio de exclusión de Paul', incluyendo la posibilidad de que los núcleos

sean una mezcla de un doblete y un cuadripíete de isospín. En cuanto a la parte

de la función de ondas dependiente de las distancias internucleónicas hemos

usado cuatro tipos de funciones sin hard-core, una gaussiana y tres de tipo

Irv ing. Damos en dist intas tablas los resultados obtenidos variando gp/g« así

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid

"Captura de muones por helio-3"PASCUAL DE SANZ, R. (1966)31 pp. 1 f i g . 6 tabls. 35 refs.

El objeto de este trabajo es el estudio de la captura de un muón negativo

por Helio~3, según la reacc ión/ 1 " i Hfi <• H2 i \) . Para e l lo utilizamos

la teoría V-A de las interacciones débiles según el método de Primakoff inc lu-

yendo términos relat iv istas en primer orden. Para describir los núcleos in ic ia l

y f inal hemos uti l izado las funciones de onda más generales permitidas por el

principio de exclusión de Paul i , incluyendo la posibilidad de que los núcleos

sean una mezcla de un doblete y un cuadri píete de isospín. En cuanto a l a parte

de la función de ondas dependiente de las distancias internucleónicas hemos

usado cuatro tipos de funciones sin hard-core, una gaussiana y tres de t ipo

Irving. Damos en distintas tablas los resultados obtenidos variando gp/g^ así

J.E.N. 176-DF/I 53 J.E.N. 176-DF/I 53

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid.

"Captura de muones por helio-3"PASCUAL DE SANZ, R. (1966) 31 pp. 1 f i g . 6 tabls. 35 refs.

El objeto de este trabajo es el estudio de la captura de un muón negativo

por Helio-3, según la reacción,/* " ¿ He *• H^ i \) . Para e l lo utilizamosl a teoría V-A de las interacciones débiles según el método de Primakoff inclu-yendo términos re lat iv is tas en primer orden. Para describir los núcleos in ic ia ly f inal hemos uti l izado las funciones de onda más generales permitidas por elprincipio de exclusión de Pauli, incluyendo la posibilidad de que los núcleossean una mezcla de un doblete y un cuadripíete de isospín. En cuanto a la partede la función de ondas dependiente de las distancias internucleónicas hemosusado cuatro tipos de funciones sin hard-core, una gaussiana y tres de tipoIrving» Damos en dist intas tablas los resultados obtenidos variando gp/g^ así

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Hadrid."Ca.ptura de muones po r h e l i o - 3 "

PASCUAL DE SANZ, R. (1966) 31 pp. 1 f i g . 6 tabls. 35 refs.

El objeto de este trabajo es el estudio de la captura de un muón negativopor Helio-3, según la reacción^A " 4 HJ] ** H 4 \) . Para el lo utilizamos

la teoría V--A de las interacciones débiles según el método de Primakoff inc lu-yendo términos relat iv istas en primer orden. Para describir los núcleos in ic ia ly f inal hemos uti l izado las funciones de onda más generales permitidas por elprincipio de exclusión de Pauli, incluyendo l a posibilidad de que los núcleossean una mezcla de un doblete y un cuadriplete de isospín. En cuanto a la partede la función de ondas dependiente de las distancias internucleónicas hemosusado cuatro tipos de funciones sin hard-core, una gaussiana y tres de t ipoIrving. Damos en dist intas tablas los resultados obtenidos variando gp/g^ así

como 9y/g« y las amplitudes de los catorce términos que componen la.función como gu/gA y las amplitudes de los catorce términos que componen la funciónde ondas ae los núcleos de tres nucleones. de ondas de los núcleos de tres nucleones.

como gy/g« y las amplitudes de los catorce términos que componen la función como gyAjA y las amplitudes de los catorce términos que componen la funciónde ondas de los núcleos de tres nucleones» de ondas de los núcleos de tres nucleones.

J. E.N. 176-DF/I 53 J.E.N. 176-DF/I 53

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid

"Muon capture by helium-3"PASCUAL DE SANZ, R. (1966) 31 pp. 1 f i g . 6 tabls. 35 refs.

, In th is paper we study the capture of a negative muon by He in the channel

JU - j . || o—j»^J i \) _ Following Primakoff we use the V-A theory of the weak

interactions. We include also f i r s t order re la t i v i s t i c terms. To describe the

i n i t i a l and f inal nuclei we have used the most general wave function allowed by

the Pauli 's exclusión principie, assuming that these nuclei are a mixture of an

isospin doublet and quadruplet. For the part of the wave function depending on

the internucleonic distances, we have taken four dif ferent function without

hard-core, a gaussian and three kinds of Irving type. We present in several

tables the results obtained varying gp/g« and g^/gy as well as the amplitudes

of the fourteen térras forming the nuclear wave function.

,,3

Junta de Energía Nuclear, División do Física, Madrid

"Muon capture by helium-3"PASCUAL DE SANZ, R. (1966) 31 pp. 1 f i g . 6 tabls. 35 refs.

In th is paper we study the capture of a negative muon by H^ in the channel

^ ' i H *—H|3 i V . Following Primakoff we use the V-A theory of the weak

interactions. We include also f i r s t order re la t i v i s t i c terms. To describe the

i n i t i a l and f inal nuclei we have used the most general wave function allowed by

the Pauli's exclusión principie, assuming that these nuclei are a mixture of an

isospin doublet and quadruplet. For the part of the wave function depending on

the!internucleonic distances, we have taken four different function without

hard-core, a gaussian and three kinds of Irving type. We present in several

tables the results obtained varying gn/g. and g./gy as well as the amplitudes

of the fourteen terms forroing the nuclear wave runction.

J.E.N. 176-DF/l 53

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid

"Muon capture by helium-3"

PASCUAL DE SANZ, R. (1966) 31 pp. 1 f i g . 6 tabls. 35 refs.

In th is paper we study the capture of a negative muon by Hjj in the channel

/ i - i H g — * • $ i \^ . Following Primakoff we use the V-A theory of the weak

interactions. We include also f i r s t order re la t i v i s t i c terms. To describe the

i n i t i a l and f inal nuclei we have used the most general wave function allowed by

the Pauli 's exclusión pr incipie, assuming that these nuclei are a mixture of an

isospin doublet and quadruplet. For the part of the wave function depending on

the internucleonic distances, we have taken four different function without

hard-core, a gaussian and three kinds of Irving type. We present in several

tables the results obtained varying gp/gA and gA /gy as well as the amplitudes

of the fourteen térras forming the nuclear wave function.

u3

J.E.N. 176-DF/I 53

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid

"Muon capture by helium-3"PASCUAL E SANZ, R. (1966) 31 pp. 1 f i g . 6 tabls. 35 refs.

In th is paper we study the capture of a negative muon by II'5 in the channel

, / " " 4 H-j M r I V . Following Primakoff we use the V-A theory of the weak

interaction. We include also f i r s t order re la t i v i s t i c terms. To describe the

i n i t i a l and f inal nuclei we have used the most general wave function allowed by

the Pauli 's exclusión principie, assuming that these nuclei are a mixture of an

isospin doublet and quadruplet. For the part of the wave function depending on

the internucleonic distances, we have taken four different function without

hard-core, a gaussian and three kinds of Irving type. líe present in several

tables the results obtained varying Qp/g^ and g«/gy as well as the amplitudesof the fourteen térras forming the nuclear wave function.