Capítulo XI: Sistemas de Modulación...

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

183

Capítulo XI: Sistemas de Modulación

Lineal


184


185

11. MODULACION LINEAL

11.1 Introducción:

La modulación lineal recibe su nombre porque el espectro que produce está relacionado en

forma lineal con el espectro del mensaje:

Tipos de modulación lineal: AM, DSB, SSB, VSB.

Convenciones:

a) El mensaje x(t) está limitado a una banda de frecuencias W1

b) Mensaje normalizado, esto es: x(t) 1

c) Cuando el mensaje es un tono, se asume:

( ) (11.1)

El análisis de Fourier permite representar señales sinusoidales y emplear superposición en

sistemas lineales. Como la portadora de onda continua es sinusoidal, la señal resultante de

la modulación con ancho de banda pequeño, puede analizarse como sinusoide pura.

11.2 señales pasabanda = ( )

Son aquellas cuyo espectro está concentrado en la vecindad de una frecuencia llamada

portadora fc 0. Por tanto una señal pasabanda puede verse como una señal modulada por

una portadora, tal como se muestra en la Fig. 11.1

Fig. 11.1 Modulador.

La forma típica de una señal pasabanda en el dominio del tiempo se muestra en la Fig.

11.2.


186

Fig. 11.2 Típica señal pasabanda en el dominio del tiempo.

Como se aprecia en la Fig. 11.2, una señal pasabanda ( ) centrada en la frecuencia de

la portadora presenta cambios en la envolvente y la fase.

Formalmente se puede escribir como:

( ) ( ) [ ( )] (11.2)

dónde:

( ): Envolvente y ( ): Fase. En consecuencia, ambos son funciones del tiempo.

a) Representación fasorial de ( ):

Fig. 11.3 Representación fasorial de x(t).

El plano completo rota a c

La envolvente y la fase se pueden escribir como:

2 2( ) ( ) ( )i qR t x t x t

(11.3)

( )

arctg( )

q

i

x tt

x t

(11.4)

Expandiendo la ecuación de xBP(t):


187

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Se define:

( ) ( ) ( ) (11.5)

( ) ( ) ( ) (11.6)

Por tanto:

( ) ( ) ( ) (11.7)

Donde: ( ): Componente en fase de la señal pasa-banda.

( ): Componente en cuadratura de la señal pasa-banda.

b) Representación en frecuencia:

Al pasar el resultado anterior al dominio de la frecuencia y aplicando Transformada de

Fourier a la señal pasa-banda:

( ) ( )( ) ( )( )

2 2

q c q ci c i cBP

X f f X f fX f f X f fX f j

(11.8)

Puesto que XBP(f) existe alrededor de fc, entonces: xi(t) y xq(t) son señales pasa-bajos.

¿Cómo determinar ( )) y ( ) a partir de ( )?

Multiplicando ( ) por

1 2 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )

2 2

c cBP c i c q c c i q

Cos t Sen tx t Cos t x t Cos t x t Sen t Cos t x t x t

Aplicando transformada de Fourier a este resultado:

.( 2 ) ( 2 )( ) ( 2 ) ( 2 )1 1

F[ ( ) ]2 2 2 2 2

q c q ci i c i cBP c

X f f X f fX f X f f X f fx t Cosw t j

Pasando esta señal por un filtro pasabajos de ganancia 2 se puede encontrar ( ).

El diagrama de bloques correspondiente se muestra en la Fig. 11.4.


188

Fig. 11.4. Obtención de la componente en fase.

Para encontrar ( )se emplea un método similar pero ahora multiplicando por y

obteniendo ( )

Fig. 11.5 Obtención de la componente en cuadratura.

c) Representación de señales pasa-banda con un “equivalente PASA-BAJO”.

Sea ( )BPX f una señal pasabanda tal como se ilustra en la Fig. 11.6.

Fig. 11.6 Señal pasabanda

Se define el equivalente pasabajos de esta señal como:

( ) BP BPX f X f fc U f fc (11.9)

Fig. 11.7 Equivalente pasabajos


189

Como:

( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

Al multiplicar por U f fc y recordando que Xi y Xq son señales pasa-bajos, resulta:

( ) ( ) ( ) (11.10)

Por tanto: ( ) ( )

( ) (11.11)

Donde: ( )

( ) ( )

( ) ( ) (11.12)

( )

( ) ( ) (11.13)

Magnitud :

(11.14)

Fase:

( ) [ ( )] (11.15)

Además:

( ) [ ( ) ] [

( )

( )

] (11.16)

Que se transforma en:

( ) ( ) ( ) (11.17)

Así como se aplica un equivalente pasabajos en señales, lo mismo puede hacerse para

sistemas. Por tanto, un sistema PASA-BANDA con HBP ( f ) tiene un equivalente pasabajo

HLP ( f ):

( ) ( ) ( ) (11.18)

Por tanto, si se tiene una señal pasa-banda cuyo equivalente pasa-bajo es ( ) y se hace

pasar por un sistema pasa-banda cuyo equivalente es ( ), la salida será una señal pasa-

banda con un equivalente YLP , representado en la Fig. 11.7.

( ) ( ) ( ) (11.19)

Fig. 11.7 Equivalente pasabajos

2 2

i qR(t) ( ) ( ) 2 ( )LPx t x t x t


190

11.3 Modulación de Amplitud (AM)

Como su nombre lo indica, consiste en variar la amplitud de una sinusoide de acuerdo al

mensaje que se desea transmitir. A la sinusoide se le llama PORTADORA debido a que

llevará la información sobre si.

- Sea x(t) un mensaje normalizado (con un ancho de banda = W).

Si la portadora es de la forma:

( ) (11.20)

La señal modulada en amplitud AM se expresa como:

( ) [ ( )] (11.21)

Donde m es el índice de modulación y 0 < m 1.

Empleando un índice de modulación m=1, en la Fig. 11.8 se muestra una señal x(t) en la

parte (a), la señal 1+mx(t) en la parte (b), la portadora en la parte (c) y la señal modulada

en AM en la parte (d).

Fig. 11.8 (a) Señal x(t), (b) Señal 1+mx(t)

(c) Portadora, (d) Señal modulada en AM con m=1

Como se observa, la envolvente de la señal modulada en AM tiene la forma del mensaje.

Sin embargo, si m>1 (SOBREMODULACION) se presenta un cambio de fase en la señal


191

modulada en AM, lo que representa perder el parecido de la envolvente con el mensaje.

Por ejemplo si m =2, (ver Fig.11.9) se aprecia que en la señal modulada (Fig. 11.9b) la

envolvente contiene el mensaje ahora distorsionado.

Fig. 11.9 Señal AM con sobremodulación (m=2)

En consecuencia, con sobremodulación la envolvente no se parece al mensaje.

11.3.1 Índice de modulación:

Fig. 11.10 Señal AM modulada con un tono

De la expresión temporal puede derivarse m:

a = Ac[1+m] b = Ac[1-m]

Luego:


192

ba

a-b

m

(11.22)

11.3.2 Espectro de una señal AM:

Asumiendo un mensaje x(t) con ancho de banda W y un espectro como se muestra en la

Fig. 11.11, se pude obtener el espectro de la señal AM.

Fig. 11.11 Espectro de la señal x(t)

Partiendo de la ecuación general del AM en el tiempo, Ec. (11.21):

( ) [ ( )]

( ) ( )

Al transformar por Fourier:

( ) ( ) ( )2 2

AM

Ac mAcX f f fc f fc X f fc X f fc

(11.23)

¿Cómo se escoge fc en relación con W?

Conviene observar que el ancho de banda fraccional definido como fc

W se encuentre

limitado entre:

0,01 < fc

W < 0,1 (11.24)

Considerando: fc >>W, el espectro del mensaje es trasladado en frecuencia hacia fc, tal

como se aprecia en la Fig. 11.12.


193

Fig.11.12 Espectro de la señal modulada en AM

.

Se puede concluir que el espectro de la señal modulada en AM implica que:

a) El ancho de banda ocupado por la señal AM es 2W.

b) Se define Banda lateral superior USB la porción del espectro por encima de fc y Banda

lateral inferior LSB la porción por debajo de fc.

c) La señal modulada contiene la portadora con gran parte de la potencia.

11.3.3 Potencia de la señal AM.

Se puede determinar mediante la función de autocorrelación de la señal AM:

( ) [ ( )]

Aplicando la función de autocorrelación:

( ) [ ( ) ( )] (11.25)

( ) [ [ ( )] [ ( )] ( )]

Teniendo en cuenta que el mensaje tiene media nula:

( ) {[ ( ) ( )]

[ ( ) ]}

( ) {

[ ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ]}

Pero:

02

)2(

cctCosE

cc CosCosE : es una constante


194

( ) ( ) (2 ) 0c cE x t x t Cos t : Por ortogonalidad

Nota: 0)()( tytxE , Si:

a) x(t) y y(t) tienen simetrías diferentes

b) x(t) y y(t) no coinciden en el tiempo

c) x(t) y y(t) no coinciden en frecuencia

cc CosRxCostxtxE )().()(

Por tanto:

2 2 2

( ) ( )2 2

AM c c

Ac Ac mRx Cos Rx Cos

(11.26)

El valor de la potencia promedio total se obtiene evaluando la autocorrelación en =0

2 2 2

2 2(0)2 2

AM AM

Ac Ac mX R x

(11.27)

Se pude deducir: 2

AMX =Pportadora+2 Pot. cada banda lateral = Pc+ 2PSB (11.28)

2

2AcPc ;

2 2 2 22

4 2SB C

Ac m m xP x P

(11.29)

Luego:

2

AMX

(11.30)

La portadora consume más de la mitad de potencia total de transmisión AM. En

consecuencia, es necesario realizar el cálculo de la eficiencia del AM, puesto que el

mensaje queda ubicado en las bandas laterales y no en la portadora.

11.3.4 Cálculo de la eficiencia de un sistema de transmisión AM:

2 2

2 2

2100%

(1 )

SB CAM

T C

P P m x

P P m x

(11.31)

2 2

2 2100%

1AM

m x

m x

(11.32)

La máxima frecuencia se logra cuando Pc=2PSB

Si 2 2 1m x AM MAX = 50%. (11.33)

Lo cual indica que los sistemas AM tienen una pésima eficiencia.


195

11.3.5 Modulación am con un tono

En este caso: ( )

( ) [ )]

( )

c A Cos ( ) ( )2 2

m c m cAM c c m c m

mA A mA Ax t t Cos t Cos t

(11.34)

Para obtener el espectro se transforma la ecuación anterior:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4

c m cAM

A mA AX f f fc f fc f fc fm f fc fm

)()(4

fmfcffmfcfAmA cm

(11.35)

Este espectro se muestra en la Fig. 11.13

Fig. 11.13 Espectro de la señal AM modulada con tono

La Densidad Espectral de Potencia se calcula elevando el espectro en magnitud al

cuadrado. Ver Fig. 11.14, donde se aprecia que el Ancho de Banda no se altera en esta

operación.


196

Fig. 11.14 Densidad Espectral de Potencia de la señal AM.

Potencia Trasmitida =4216

44

222222222

cmccmc AAmAAAmA

(11.36)

La eficiencia en este caso es: 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

4

2

2 4

m c

mAM

c m c m

m A Am A

A m A A m A

(11.37)

La máxima eficiencia ocurre cuando m=1 y Am=1

AM max(1tono)= (1/3) *100% 33% (11.38)

11.3.6 Modulación AM con un tono en la forma fasorial

Fig.11.15 Señal AM en la forma fasorial


197

11.4 Moduladores AM

Para conseguir una señal AM se necesita básicamente un sumador y un multiplicador ya

que:

( ) [ )]

Desglosando esta ecuación en sus dos términos, se puede desarrollar un modulador basado

directamente en esta ecuación, como se indica en la Fig. 11,16.

Fig. 11.16 Modulador AM descrito por sus bloques funcionales

Sin embargo existen otros métodos que generan una señal AM indirectamente y en forma

más sencilla, como se indica en los numerales 11.4.1 y 11.4.2.

11.4.1 Modulador de ley cuadrática:

Fig. 11.17 Modulador de Ley Cuadrática.

Considerando el modulador de Ley Cuadrática que se muestra en la Fig. 11.17, donde

como elemento no lineal se pueden usar diodos ó transistores en las regiones donde se

cumple:

( ) ( ) ( ) (11.39)

Así:

( ) ( ) (11.40)

xout(t) = a1[x(t)+ AcCosct]+ a2[x2(t)+2x(t) AcCosct + Ac

2Cos

2ct]


198

Ac2Cos

2ct =

2

212 tCosA c

c

Al transformar por Fourier:

Xout(f) = a1X(f) )()(2

1 fcffcfAa c + a2X(f)*X(f)+

2

2 2 cAa [X(f – fc)+ X(f + fc)]+ )2(

4)2(

4)(

2

2

2

2

2

2

2 fcfAa

fcfAa

fAa ccc

(11.41)

Gráficamente se aprecia en la Fig. 11.18:

Fig. 11.18 Espectro de la señal Xout(f)

Como se observa al pasar esta señal por el filtro pasabanda centrado en fc y ancho de

banda de 2W, solo queda la señal AM cuya expresión temporal es:

( ) ( )

22 c

1

2a( ) a A 1 ( )

aAM cx t X t Cos t

(11.42)

Se observa que el índice de modulación toma el valor: 1

22

a

am

Normalmente a2 << a1 lo que implica que “la profundidad de modulación” es baja. Podría

pensarse en aumentar x(t), sin embargo esta situación implica el trabajo de x(t) en otra zona

diferente a la expresada anteriormente, produciendo un xAM(t) distorsionado.

11.4.2 Moduladores de conmutación.

La Fig. 11.19 muestra un esquema del modulador AM de conmutación.

Fig. 11.19 Modulador de conmutación AM


199

fc = Frecuencia de conmutación

fc =Frecuencia de la portadora.

fc > 2W

La Fig. 11.20 muestra las señales en el dominio del tiempo para un modulador de

conmutación:

a. x(t)=Señal de entrada

b. vi(t)= Señal de entrada con nivel dc igual a c voltios.

c. vo(t)= Señal de salida del elemento no lineal

d. Señal ( ) de salida

Fig. 11.20 Señales del modulador de conmutación


200

Modulador Cowan: Es un modulador AM de conmutación como se muestra en la Fig.

11.21

Fig. 11.21 Modulador Cowan

11.5 Demoduladores AM.

11.5.1 Detector de envolvente:

La principal ventaja de modular en AM consiste en que es posible recuperar el mensaje

con un simple detector de envolvente con tiempo de carga corto y descarga largo. Su

versión más sencilla es la que se muestra en la Fig. 11.22.

Fig. 11.22 Detector de envolvente

Cuando se aplica una señal a la entrada, el capacitor se carga a través del diodo. Cuando la

tensión de entrada es baja el diodo se abre y el capacitor comienza a descargarse a través

de R.

Condición de diseño: W

Rcfc

11

(11.43)


201

Fig. 11.23 Señal en la detección de envolvente

La salida de este circuito es el mensaje sobre un nivel Dc que puede bloquearse con un

condensador c1:

Fig. 11.24 Circuito completo del detector de envolvente

11.5.2 Detector sincrónico o coherente:

Otra forma de demodular una señal AM es multiplicándola por la portadora y filtrando

como se indica:

Fig. 11.25 Detector sincrónico

( ) ( ) (11.44)

( ) [ ( )]

( ) [ ( )]

[ ( )]

Al pasar ( ) por el filtro pasabajo se anulan las componentes de alta frecuencia ( )

:

( )

[ ( )]

( ) (11.45)


202

Al bloquear la componente DC, se tiene:

( )

( ) ( ) (11.46)

Observe que se asume que el receptor dispone de una muestra de la portadora de la misma

frecuencia y fase que la usada en el modulador.

Circuitos tales como el PLL (PHASE LOCKED LOOP) permiten obtener la portadora a

partir de una señal modulada en AM.

11.6 Modulación en doble banda lateral (DSB)

Se puede definir como el AM pero con la portadora suprimida a fin de ahorrar potencia.

( ) ( ) (11.47)

El espectro por tanto es:

( )

[ ( ) ( )] (11.48)

Es decir que el espectro del mensaje es trasladado en frecuencia con ancho de banda de

transmisión 2W igual que en AM. Sin embrago la potencia es la de 2 bandas laterales.

(11.49)

Por tanto su eficiencia será:

2*100% 100%SB

T

P

P

(11.50)

A pesar del parecido espectral que tienen AM y DSB, en el dominio del tiempo se notan

más sus diferencias.

Fig. 11.26 Comparación entre AM y DSB


203

Se observa que al modular en DSB la envolvente ya no se parece a la señal x(t), por tanto

no se puede usar detector de envolvente.

11.7 Moduladores DSB

La forma directa de conseguir una señal DSB es con un multiplicador:

Fig. 11.27 Modulador DSB

Existen otras formas básicas para lograr modulación DSB:

1. Utilizando elementos no lineales:

Se usan dispositivos cuya relación vs i es del tipo:

i = a + b2 (11.51)

Un ejemplo serían los diodos y los transistores.

Fig. 11.28 Modulador DSB con elementos no lineales

i1 = a ( x(t)+Cosct ) + b (x(t)+Cosct )2

1 = Ra ( x(t)+Cosct ) + Rb x2(t ) + 2Rbx(t) Cosct + Rb Cos

2ct

i2 = a (Cosct – x(t)) + b(Cosct – x(t))2

2 = R a (Cosct - x(t)) + R b ( Cos2ct – 2 x(t) Cosct + x

2(t))


204

0 = 1 - 2 = 2 a R x(t) + 4 Rb x(t) Cosct (11.52)

Después del filtro pasabanda, se obtiene:

y0 = 4 Rb x(t) Cos ct (11.53)

11.8 Moduladores de conmutación

MODULADOR EN ANILLO (RING MODULATOR): El modulador más ampliamente

utilizado en los sistemas de comunicación. Emplea 4 diodos igualados en presión,

temperatura, etc. (matching)

Fig. 11.29 Modulador en Anillo (Ring Modulator)

Cuando la portadora es positiva conducen D1 y D2 mientras D3 y D4 se abren. En este

momento la salida x1(t) = x(t)

Cuando la portadora es negativa conducen D3 y D4 mientras D1 y D2 se abren. En este

intervalo la salida x1(t) = -x(t)

Observe el siguiente diagrama temporal (Fig. 11.30): a) Portadora analógica b)

portadora digital, c) Mensaje, d) Señal modulada en DSB.

Fig. 11.30 Formas de onda en el Modulador en anillo


205

xc(t) es de suficiente altura que equivale a la señal p(t)

x1(t) = p(t). x(t) (11.54)

La señal p(t) puede representarse a través de una serie trigonométrica de cosenos sin DC:

1

1

n c

n

x t x t a Cos n t

(11.55)

Al transformar por Fourier esta señal:

( ) [ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

El mensaje aparece trasladado a fc y sus múltiplos impares.

11.9 Demodulador DSB

Es el demodulador sincrónico o coherente:

Fig. 11.31 Demodulador sincrónico

y1(t) = x DSB(t) .Cosct

2

1 ( ) 22 2

c cc c c

A Ay t A x t Cos t x t Cos t

( )2

cAy t x t

(11.56)

Usos de la modulación DSB

- En comunicaciones punto a punto.

- Para colocar los canales L y R en el FM estéreo con el propósito de tener buena

reproducción en la zona de baja frecuencia.


206

11.10 Modulación en banda lateral única (SSB)

Analizando el espectro de DSB se encuentra que aún hay redundancia ya que las 2 bandas

alrededor de fc son simétricas.

Fig. 11.32 Espectro en DSB

Esta observación permite crear un nuevo esquema de modulación que se llamará SSB

(BANDA LATERAL UNICA).

En consecuencia, se generan 2 tipos de modulación:

XUSB(f): UPPER SINGLE SIDE BAND

XLSB(f): LOWER SINGLE SIDE BAND

Fig. 11.33a Modulación en Banda Lateral Inferior

Fig. 11.33b Modulación en Banda Lateral Superior


207

Potencia de transmisión:

En AM: 2

A

2

AP

222

c

2

c

AM T

xm

En SSB: 2

2

cSSB T

4

AP x

Ancho de banda de transmisión = W

El análisis en el dominio de la frecuencia es simple, pero no lo es en el dominio del tiempo

y antes de intentarlo es necesario invocar una herramienta básica: La transformada de

HILBERT

11.11 Transformada de Hilbert

Retarda 90° todas las componentes de frecuencia de la señal sin alterar su amplitud.

Fig. 11.34 Transformador de Hilbert

En donde la magnitud es unitaria:

1)( fH

Y la fase es:

[ ( )] { ⁄

⁄ } (11.57)

Lo cual implica:

( ) {

} (11.58)

Esta función se muestra en la fig. 11.35


208

Fig. 11.35 Característica de transferencia del Transformador de Hilbert

Y la salida en el dominio de la frecuencia es:

ˆ ( ) ( ) ( )X f j Sgn f X f (11.59)

En el dominio del tiempo:

1ˆ( ) ( ) * ( )x t jSgn f x t F

1 1ˆ( ) * ( ) ( )

( )x t x t x d

t t

(11.60)

11.11.1 Transformadas de Hilbert de interés

a) j

y(t) e ct ,

jy(t) e ctj

b) cy(t) Cos t , cy(t) tSen

c) cy(t) tSen , cy(t) tCos

d) j

y(t) ( )e ctx t

, j

y(t) ( )e ctjx t

e) cy(t) ( ) tx t Cos , cy(t) ( ) tx t Sen

f) cy(t) ( ) tx t Sen , cy(t) ( ) tx t Cos

11.11.2 Propiedades de la Transformada de Hilbert

1) x(t) y x (t) tienen la misma DEP

2) Como GX( f ) y G X ( f ) R x ( ) = R x ( )

3) x ( t ) y x ( t ) son ortogonales.

4) H [x( t )] = x ( t ); H [ x ( t )] = - x ( t )

11.12 Análisis de una señal SSB

Filtrando la señal DSB con un filtro H1(f ) se obtiene XUSB(f) y con H2(f )se obtiene XLSB(f ),

ver Fig. 11.36:


209

La señal en banda lateral superior se describe como:

XUSB(f ) = XDSB(f ). H1(f )

La señal en la banda lateral inferior es:

XLSB(f ) = XDSB(f ). H2(f )

Donde:

H2(f ) = ½ [Sgn(f+fc) - Sgn(f+fc)]

El filtro H1(f ) es el complemento del filtro H2(f)

H1(f ) = 1 - H2(f )

Sustituyendo en ( )LSSBX f :

( ) ( ) 1

( ) ( ) ( )2 2 2

LSSB

X f fc X f fcX f Sgn f fc Sgn f fc

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

4 4 4 4LSSB

B A

X f fc X f fc X f fc X f fcX f Sgn f fc Sgn f fc

F -1{A}= ½x(t) Cosct

F -1{B}= ½ (t) Senct

Por tanto:

ˆ( ) ( ) ( )2

LSSB c c

Acx t x t Cos t x t Sen t

(11.61)

ˆ( ) ( ) ( )2

USSB c c


(11.62)

Los filtros ideales para separar las bandas lateral superior e inferior se muestran en la Fig.

11.36.


210

.

Fig. 11.36 Filtros para separar bandas en SSB

11.13 Moduladores SSB:

11.13.1 1er

Método: por discriminación de frecuencia

Se genera DSB y luego se elimina una de las bandas:

Fig. 11.37 Detector SSB por discriminación de frecuencia


211

Si x(t) tiene componentes de baja frecuencia el filtro tiene que ser ideal y esto no es

realizable físicamente.

11.13.2 2do

Método: por discriminación de fase

Se basa en la ecuación:

ˆ( ) ( ) ( )2

SSB c c


(11.63)

Fig. 11.38 Detector SSB por discriminación de fase

Desventaja: Es difícil diseñar el defasador de 90º para banda ancha.

11.13.3 3er

Método: Técnica de Weaber.

Tomando como referencia una frecuencia f1 como la mitad del ancho de banda del

mensaje, para modular la señal mensaje:

f1 = W/2 (11.64)

y llamando a la frecuencia f2:

f2 = fc ± W/2 (11.65)

El modulador Weaber se muestra en la Fig. 11.39


212

Fig. 11.39 Técnica Weaber para detección en SSB.

11.14 Demodulación SSB:

Detección Sincrónica ó coherente:

Fig. 11.40 Detector coherente para SSB

ˆ( ) ( ) ( )2

SSB c c


Al multiplicar por Cosct:

2 ˆ( ). ( ) ( ) .2

SSB c c c c

Acx t Cos t x t Cos t x t Sen t Cos t

2 ˆ( ). ( ) ( ) ( ) 24 4 4

SSB c c c

Ac Ac Acx t Cos t x t x t Cos t x t Sen t

Esta señal pasa por un filtro pasabajos con ancho de banda W que solo permite el paso del

primer término que es el mensaje.

Luego

( ) ( )4

Acy t x t

(11.66)


213

11.15 Usos del SSB:

a. Telefonía multicanal.

b. En circuitos de radio punto a punto.

c. En enlaces de microondas.

d. Comunicaciones militares.

e. Radio aficionados (RADIO AMATEURS)

f. Comunicaciones móviles de alta frecuencia.

11.16 Banda Lateral Vestigial (VSB) = Residual = Asimétrica

Fig. 11.41 Modulación en Banda Lateral Vestigial

donde W = Ancho de banda residual (ó de vestigio)

Esto se logra:

Fig. 11.42 Modulador VSB

( ) ( ) ( ) ( )2

VSB

AcX f X f fc X f fc H f

(11.67)

H(f) es un filtro que debe satisfacer la siguiente ecuación:

H(f+fc)+ H(f-fc) = constante = 1 Wf (11.68)


214

Por tanto:

Fig.11.43 Filtro VSB

Se deduce:

i. El ancho de banda de la señal VSB = W + W

ii. La potencia de la señal VSB será

2 2

2 2

4 2

SSB DSB

VSB

P P

Ac Acx P x

(11.69)

11.15.1 Representación en el tiempo de una señal VSB:

Siendo h(t) la respuesta impulsiva del filtro VSB

( ) ( ) * ( )VSB cx t Ac x t Cos t h t (11.70)

( ) ( ) ( ) ( ( ))VSB cx t Ac h X t Cos t d

( ) ( ) ( ) ( ) ( )VSB c c c cx t AcCos t h x t Cos d AcSen t h x t Sen d

- Llamando:

( ) 2 ( ) ( ) . 2 ( )* ( ) .c cxi t h x t Cos d x t h t Cos

(11.71)

En frecuencia:

Xi(f)= X(f)[H(f+fc)+ H(f-fc)] (11.72)

Por simetría:

|H(f) | = |H(-f) | = ½ en magnitud (11.73)

Luego:

Xi(f)=X(f) Xi(t) = X(t) (11.74)

- Llamando:


215

( ) 2 ( )* ( ) .q cx t x t h t Sen (11.75)

( )

1( ) ( ) ( ) ( )q

Hq f

x f x f H f fc H f fcj

)()(1

)( fHqfXj

fXq

(11.76)

Luego:

tSentXqAc

tCostXiAc

tX ccVSB )(2

)(2

)( (11.77)

Si:

Fig.11.44 Filtro real VSB

por tanto:

Fig.11.45 Filtro VSB BB cuadratura

11.15.2 Moduladores VSB

a. Modulador basado en la descripción en frecuencia.

)()()(2

)( fHfcffcfAc

fVSB XXX (11.78)


216

Fig. 11.46 Demodulador VSB basado en la descripción en frecuencia

b. Modulador basado en la descripción en tiempo.

tSentXqAc

tCostXAc

tX ccVSB )(2

)(2

)( (11.79)

Fig. 11.47 Demodulador VSB basado en la descripción en el tiempo

VSB se genera en zonas DSB moduladas con 2 portadoras en cuadratura.

La principal aplicación de la modulación VSB es en la TV analógica. En la figura 11.48 se

esquematiza la señal de Televisión tradicional compuesta de las modulaciones de video en

VSB y de audio en FM.

Fig. 11.48 Señal de TV (Video y Audio)


217

El esquema del espectro de la señal de salida se muestra en la Fig. 11.49:

Fig. 11.49 Espectro de la señal de TV

11.15.3 Demodulador VSB.

VSB se demodula con detector sincrónico. Sin embargo para TV (donde se requieren

muchos receptores) se demodula con detector de envolvente, desde luego previa adición de

una portadora piloto:

( ) ( ) ( )2 2

VSB c q c c

Ac Acx t Portadora x t Cos t x t Sen t ACos t

( ) ( ) ( )2 2

VSB c q c

Ac Acx t Portadora A x t Cos t x t Sen t

Envolvente: 2 2

( ) ( ) ( )2 2

q

Ac AcR t A x t x t

2

/ 2( ) ( ) 1

2 / 2

qAc xAcR t Ac x t

A Ac x

(11.80)

Si A>>Ac/2, Xq(t) es pequeño

( ) ( )2

AcR t Ac x t

(11.81)

Eliminando el DC:

( ) ( )2

Acy t x t

(11.82)

Fig. 11.50 Detector de envolvente


218

11.15.4 Usos del VSB:

Esencialmente VBB se emplea en la transmisión de Señales de TV.

11.16 Ejercicios propuestos:

11.16.1 En el modulador AM mostrado en la Fig. 11.51, si ( ) volts y

la portadora de la señal ( ) tiene 8/9 de la potencia total.

Fig. 11.51 Ejercicio 11.16.1

a) Calcule el índice de modulación m.

b) Si ( ) ¿Cuál es el nuevo índice de modulación?

11.16.2 Un Transmisor de AM con una portadora en 100KHz es modulado con tono de

10 KHz y genera una señal como la indicada en la Fig. 11.10, donde: y

a) Calcular el índice de modulación.

b) Encontrar la expresión de la señal ( ). c) Determine el espectro de la señal AM.

d) Dibuje el espectro del punto c).

e) Halle la potencia total transmitida.

f) Determine la potencia de cada una de las bandas laterales.

11.16.3 La señal ( ) [ ( )] , donde ( ) [ ( )] , para

| | y donde | | ⁄ , se aplica al circuito de la Fig. 11.52, donde:

( ) { | |

| | }



219

a) Encuentre los valores máximos y mínimos de B para que la señal ( ) ( ) b) Halle le valor de K en la expresión anterior.

11.16.4 Dado un transmisor cuya potencia pico máxima es de 150 Watts, tiene aplicada

una señal moduladora:

( ) ( ) a) Si el transmisor se modula en AM, cuál es el índice de modulación y la amplitud de

la portadora.

b) Si el transmisor se modula en SSB, cuál es la potencia media de la onda modulada?

c) Repita el cálculo de b) para el caso en el cual venga reinyectada un 75% de la

portadora.

11.16.5 Una señal modulada en DSB con ( ) donde:

a) Halle la expresión para la modulación ( ). b) Encuentre el espectro de la señal modulada en DSB y dibújelo.

c) Determine la potencia promedio normalizada de la señal DSB.

11.16.6 El sistema mostrado en la Fig. 11.53 genera una señal en Banda Lateral

Vestigial donde el mensaje: ( ) modula una portadora: a) Determine la señal: ( ) b) Halle es espectro de la señal VSB y dibújela.

c) Encuentre la potencia de la señal VSB.



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Capítulo XI: Sistemas de Modulación...

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