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Capítulo VI

Análisis de esfuerzos para diferentes recipientes

Una vez entendida la teoría membranal y la teoría de flexión, aplicaremos estas

teorías a unos contenedores a presión en posición vertical debido a un líquido. El primer

ejemplo es un contenedor cilíndrico en posición vertical con paredes de espesor uniforme y

que es empotrado en la tapa inferior con el suelo o superficie.

Este ejemplo se resuelve mediante un método propuesto por Timoshenko [11] en el

cual se observa desde las ecuaciones diferenciales que se aplicaron para obtener el momento

y la fuerza que se desconocen, en la unión del contenedor con la tapa.

Para los ejemplos se asume que el líquido es agua (densidad 1000kg/m3) y las

dimensiones de los contenedores:

2a=1.5m

d=2m

h=3/4 in

u=0.3

Donde:

a= radio del contenedor

422

2 )1(3

ha

ub

-=

d= altura del contenedor

51

D= rigidez flexional de la placa DEh

=-

3

212 1( )u

E= módulo de Young

g= densidad del líquido [N/m3]

h= espesor del contenedor

x= la diferencia de altura de acuerdo al punto.

u= Razón de Poisson

Z= a la presión debido al líquido dependiendo el punto (ver Figura

6.1)

Figura 6.1

6.1 Contenedor vertical sometido a presión debido a un líquido o presión

hidrostática (método de Timoshenko [11])

Lo primero es saber la presión debido al líquido esto es:

( )Z d x= - -g (6.1)

Esto se iguala a la ecuación diferencial

( )d w

dxw

d x

D

4

444+ = -

-b g (6.2)

Se puede tomar como solución particular

( ) ( )w

d x

D

d x a

Eh1 4

2

4= -

-= -

-g

b

g(6.3)

La ecuación anterior (6.3) representa la expansión radial del contenedor cilíndrico con

bordes libres bajo la acción del esfuerzo tangencial (hoop stress.) A continuación, se

sustituye la ecuación en una desarrollada para este caso:

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( ) ( ) ( )w e C x C sin x e C x C sin x

d x a

Ehx x= + + + -

--b bb b b bg

1 2 3 4

2

cos cos (6.4)

C1 y C2 son anulados ya que se considera el contenedor como infinitamente largo.

Esto sucede cuando el espesor es tan pequeño en comparación con el radio y la profundidad

del contenedor. Ahora, tomando en cuenta las condiciones de frontera, esto es; el contenedor

está empotrado en el fondo, entonces se obtiene:

Ca d

Eh

Ca

Ehd

3

2

4

2 1

=

= -Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

g

gb

Sustituyendo las constantes encontradas se tiene,

( ) ( )

wa

Ehd x e d x d sin x

wa d

Eh

x

dx

dx

x= - - - + -Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

È

ÎÍ

˘

˚˙

ÏÌÔ

ÓÔ

¸˝Ô

Ô

= - - - - -Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

È

ÎÍ

˘

˚˙

-gb

bb

gq b

bz b

b2

2

1

1 11

cos

(6.5)

La ecuación es sustituida por constantes, donde

q b b

z b b

b

b

( ) cos

( )

x e x

x e sin x

x

x

=

=

-

-(6.6)

Ya teniendo esto, se encuentra en la segunda derivada de la ecuación (6.5) para

encontrar el momento en la unión del contenedor. Como se podrá entender, la presión

máxima debido al líquido se encuentra en el fondo del contenedor (cuando x=0.) Entonces se

obtiene:

( )( )

M Md

adhx x o=

= = -Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

-0 2

11

12 1bg

u(6.7)

53

Sustituyendo los valores presentados al principio del capítulo en la ecuación 6.7 se

obtiene:

mmNM o /*38.55=

A continuación se aplica la teoría membranal y después la teoría de flexión.

Teoría membranal para recipientes cilíndricos sometidos a presión debido a un líquido:

h

dal 2

gs =

( )s

gt

d x a

h=

-(6.8)

0=ls Dado que el esfuerzo es soportado por la superficie donde está empotrado el

contenedor. Entonces, la fórmula de esfuerzo longitudinal, aplica para cuando el contenedor

está soportado por la parte de arriba.

Sustituimos los valores

kPat 16.540=s

Teoría flexión

2

*6

h

M ol

us =

206

h

Mt =s (6.9)

kPal 61.915=s

kPat 638.274=s

Ya teniendo los esfuerzos por teoría membranal y los esfuerzos por flexión, se suman

para obtener los esfuerzos totales.

kPattt 798.81416.540638.27421 ª+=+= sss

kPalll 61.91561.915022 ª+=+= sss

Una vez obtenidos los valores de los esfuerzos principales, se comparan con los

resultados obtenidos en el software Algor/PVDesigner. Como se puede apreciar en la figura

6.2, logramos observar que los valores son semejantes a los obtenidos. Sin embargo, varían

54

debido a las condiciones de frontera a las cuales fue sometido el contenedor. Estas

condiciones sujetan completamente la tapa y un pedazo del contenedor.

Figura 6.2

Método explicado en capítulo IV:

A continuación, se resolverá mediante el método sugerido en el capítulo IV. Se

establece que las ecuaciones para el fondo de la tapa son:

( )

( )Eh

aQM

D

Eh

daQM

D

oo

oo

2

2

2

3

22

1

2

1

gb

b

gb

b

-=+

=+-

(6.10)

Se resuelven las ecuaciones y se obtiene el mismo resultado que en el método

realizado por Timoshenko.

A continuación se aplica la teoría membranal y después la teoría de flexión.

Teoría membranal (6.8) para recipientes cilíndricos sometidos a presión debido a un líquido:

kPat 16.540=s

55

Teoría flexión, ecuaciones (6.9)

2

*6

h

M ol

us =

206

h

Mt =s

kPal 61.915=s

kPat 638.274=s

Ya teniendo los resultados de las teorías membranal y de flexión, los sumamos para

obtener los esfuerzos principales.

MPattt 79.814638.27416.54021 ª+=+= sss

kPalll 61.91561.915022 ª+=+= sss

6.2 Contenedor vertical con pared de espesor variable sometido a presión

hidrostática

Para el segundo ejemplo se utiliza un contenedor cilíndrico en posición vertical con

paredes de espesores diferentes y empotrado en la parte inferior donde está la tapa del

contenedor (ver figura 6.3)

Aparentemente parece un caso más difícil, sin embargo,

solamente es la aplicación de la teoría de flexión en diferentes

puntos. Lo que se va observar es la variación de los espesores. Para este caso se tomaron en

cuenta tres diferentes espesores de placa empezando con el tomado en el caso anterior y

disminuyendo los espesores en _ in, ya que los esfuerzos son menores a medida que el punto

se encuentra más cerca de la superficie del líquido.

Figura 6.3

56

Ahora solamente es necesario ir sustituyendo los valores en las ecuaciones de la

teoría membranal de acuerdo a los puntos que se quieran tomar. Para este caso ya no se toma

el valor al fondo del contenedor puesto que ya lo sabemos. Los otros dos puntos a tomar son

a una distancia de 0.5m y de 0.9m con respecto al fondo. Para calcular con base en la teoría

de flexión se toma en cuenta la posición del punto y el cambio de espesor.

Teniendo h1=0.01905m (3/4in), h2=0.0127m (1/2in) y h3=0.00635m (1/4in)

Si se tiene para Mo: ( )hE

DdaM o *

*1***2 2 gbb -=

Y para Qo: ( )tE

DdaQo *

*1*2**2 22 gbb --=

Para el esfuerzo membranal en h2:

kPat 866.520=s

Para el esfuerzo de flexión:

kPat 78.259=s

kPal 94.865=s

Al sumar para obtener los esfuerzos principales:

kPat 646.780=s

kPal 94.865=s

Para el esfuerzo membranal en h3:

kPat 992.462=s

Para el esfuerzo de flexión:

kPat 35.218=s

57

kPal 82.727=s

Al sumar para obtener los esfuerzos principales:

kPal 82.727=s

kPat 342.681=s

A continuación se muestra los resultados de forma gráfica con los mismos parámetros

utilizados en la teoría. Se nota que de acuerdo al software, los esfuerzos obtenidos son

menores y gran parte se debe la forma en que se colocaron las condiciones de frontera. Es

comprensible que los valores más altos se generen en el fondo del contenedor.

Figura 6.4

58

6.3 Contenedor vertical de pared uniforme sometido a presión hidrostática

con tapa hemisférica en el fondo

Para el tercer ejemplo, se tiene un contenedor cilíndrico en posición vertical

empotrado de la parte superior del contenedor y con la variante de tener una tapa

semiesférica en la parte inferior del contenedor.

Para este ejemplo algunos parámetros cambian de símbolo

como H que venía siendo d. Las magnitudes de los parámetros son

los mismos que en los casos anteriores.

Figura 6.5

2a=1.5m

H=2m

Hes=R=1m

h=0.01905 (3/4 in)

u=0.3

Si tenemos para la tapa los esfuerzos membranales:

( )( )

sg

l es

R

hH H x

x R x

R x= + - +

-

-

È

ÎÍ

˘

˚˙2

3

3 2

( )( )s

gt es

R

hH H x

x R x

R x= + - -

-

-

È

ÎÍ

˘

˚˙2

3

3 2

Al sustituir los valores dados al principio del capítulo en el punto donde está la unión

de la tapa con el contenedor, entonces obtenemos:

kPal 914.685=s

kPat 957.342=s

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Se obtienen primero el momento Mo, tomando en cuenta que la tapa en el fondo del

contenedor es hemisférica. Entonces, los esfuerzos por flexión que son las ecuaciones (6.9)

entonces obtenemos:

kPat 72.8=s

kPal 44.17=s

Al sumar los esfuerzos membranales y los de flexión, entonces se obtiene:

kPal 63.702=s

kPat 677.351=s

A continuación se observan los resultados obtenidos por Algor para el mismo

ejemplo.

Figura 6.6

60

Los valores resultantes son semejantes en gran medida. Se logra observar que con la

tapa hemisférica se reducen los esfuerzos. Esto se concluye al tener las mismas dimensiones

en el contenedor y los mismos parámetros que se tenían anteriormente.

Se logra observar que los esfuerzos por flexión se reducen en gran proporción,

tomando en cuenta los esfuerzos resultantes en los contenedores con tapas planas.