CAPÍTULO IV

15

CAPÍTULO IV. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA A continuación detallamos dos modelos de programación lineal, uno diario y otro

semanal. El primero de ellos trata de dar respuesta al servicio horario de un único día, pudiendo su solución repetirse cíclicamente, puesto que tiene la particularidad de que los trenes regresan al finalizar el día al nodo origen del que partieron. Este modelo es adecuado para redes radiales, generalmente de cercanías, donde existe una única estación central con capacidad para el estacionamiento y pernoctación de los trenes, desde donde parten todos los trenes todos los días y a la que llegan todos los trenes al final de la jornada. El segundo de los modelos es aplicable a un servicio horario semanal, y es idóneo cuando existe la posibilidad de pernoctar en diferentes estaciones. Este modelo encuentra el ciclo óptimo de viajes para cada tren (sucesión de servicios a lo largo de varios días consecutivos), mejorando la solución que se obtendría con el modelo diario, ya que un tren pernoctará en la estación más cercana, no teniendo porqué coincidir con la estación de la cual partió al inicio del día. El segundo día podrá realizar otro servicio distinto al primer día, sin necesidad de desplazarse hasta su estación de origen y los servicios que prestó el primer día serán realizados por otro tren diferente. Estos intercambios encuentran mayor aplicación en redes de media o larga distancia, aunque también se puede aplicar a redes de cercanías.

El modelo semanal nace con la intención de ajustarse a la demanda real de

pasajeros, ya que los servicios horarios suelen variar en función del día de la semana que estemos tratando. Si bien es cierto que con el modelo diario podemos obtener la misma respuesta que con el modelo semanal (siempre y cuando exista una única estación con capacidad de pernoctación), resulta mucho más práctico, además de rápido, obtener la planificación semanal de una vez, utilizando el segundo modelo, y dejar el modelo diario para aquellos días en los que surja algún imprevisto y resulte conveniente ajustar la planificación específicamente para ese día.

Como se comentó anteriormente, ambos modelos se fundamentan en el modelo

Alio (Canca et al. 2010), introduciendo las siguientes novedades: la primera de ellas consiste en la identificación individual de los trenes (unidades), para poder recoger la trazabilidad de los itinerarios adecuadamente (aplicada en ambos modelos); la segunda se refiere a la variable tiempo, computada diariamente, necesaria para posibilitar los intercambios en la realización de los servicios, balanceando las llegadas y salidas en las estaciones con capacidad de estacionamiento nocturno entre un día y el anterior (sólo aplicado en el modelo semanal). En el capítulo siguiente demostraremos con un ejemplo, la diferencia que existiría entre ambos modelos en caso de existir varias estaciones con posibilidad de pernoctación.

Como input del problema, en ambos modelos, tomaremos un horario formado por

varias líneas, las estaciones donde existe capacidad para el estacionamiento de los trenes durante la noche, las longitudes de las líneas y las distancias entre las estaciones, ya sean pertenecientes a la misma línea (longitud de la línea) o a líneas diferentes.

Para la interpretación del problema utilizaremos la representación gráfica de la figura 4.1. Necesitamos diferenciar el sentido de los servicios en cada línea; para ello los hemos identificado empleando la nomenclatura UP y DW. Esta definición es

arbitraria y no influye en los resultados. es la hora de salida de un servicio en

sentido UP, es la hora de llegada de dicho servicio en sentido UP,

indica la hora de salida de un servicio en sentido DW y se refiere a la hora de llegada del servicio en sentido DW.

CAPÍTULO IV

16

Figura 4.1, Representación gráfica línea 1 (Elaboración propia).

4.1, MODELO DE CIRCULACIÓN DIARIA CON RETORNO AL NODO ORIGEN

Denotamos por L al conjunto de líneas, S al conjunto de servicios y T al conjunto

de trenes. Introduciremos como input una cota superior al número de trenes necesarios, así el modelo devolverá 0 en el número de kilómetros para aquellos trenes que no utilice.

Las variables del modelo son las siguientes:

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; para los arcos que denotan el servicio j de la línea i en

sentido UP, realizado por el tren k.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; para los arcos que denotan el servicio j de la línea i en

sentido DW, realizado por el tren k.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; correspondiente a los arcos que unen el nodo origen

sentido UP de la línea i, con el servicio j, recorrido por el tren k.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; correspondiente a los arcos que unen el nodo origen

sentido DW de la línea i, con el servicio j, recorrido por el tren k.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; para los arcos que unen el servicio j de la línea i, con

el nodo fin de línea en sentido UP, recorrido por el tren k.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; para los arcos que unen el servicio j de la línea i, con

el nodo fin de línea en sentido DW, recorrido por el tren k.

i ∈ L; j, l ∈ S; k ∈ T; se refiere a los arcos que unen el servicio j sentido

UP con el servicio l sentido DW en la línea i, recorrido por el tren k.

i ∈ L; j, l ∈ S; k ∈ T; se refiere a los arcos que unen el servicio j sentido

DW con el servicio l sentido UP en la línea i, recorrido por el tren k.

CAPÍTULO IV

17

Figura 4.2, Arcos línea i modelo diario, (Elaboración propia).

i l ∈ L; k ∈ T se refiere a los arcos que unen la estación origen

UP de la línea i con la estación origen UP de la línea l, recorrido

por el tren k.

i l ∈ L; k ∈ T se refiere a los arcos que unen la estación origen

UP de la línea i con la estación origen DW de la línea l., recorrido

por el tren k.

Figura 4.3, Arcos

y

(Elaboración propia).

CAPÍTULO IV

18

i l ∈ L; k ∈ T arcos que unen la estación origen DW de la línea i

con la estación origen DW de la línea l, recorrido por el tren k.

i l ∈ L; k ∈ T arcos que unen la estación origen DW de la línea i

con la estación origen UP de la línea l, recorrido por el tren k.

Figura 4.4, Arcos

y

(Elaboración propia).

i l ∈ L; k ∈ T para los arcos que unen la estación destino UP de

la línea i con la estación origen UP de la línea l, recorrido por el

tren k.

i l ∈ L; k ∈ T para los arcos que unen la estación destino UP de

la línea i con la estación origen DW de la línea l, recorrido por el

tren k.

Figura 4.5, Arcos

y

(Elaboración propia).

CAPÍTULO IV

19

i l ∈ L; k ∈ T, arcos que unen la estación destino DW de la línea

i con la estación origen DW de la línea l, recorrido por el tren k.

i l ∈ L; k ∈ T arcos que unen la estación destino DW de la línea

i con la estación origen UP de la línea l, recorrido por el tren k.

Figura 4.6, Arcos

y

(Elaboración propia).

4.1.1, Función Objetivo

El principal objetivo es encontrar el mínimo número de trenes necesarios para cumplir el servicio y que las distancias recorridas por los mismos sean las menores posibles, es decir, la intención es minimizar el número de viajes que se dan en vacío, esto es sin pasajeros.

MIN = ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ * +

∑ ∑ ∑

∈ ∈

∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈

∈ * +

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ * (1.1)

CAPÍTULO IV

20

Los viajes en vacío están representados por las variables

y con

independencia de los sentidos UP y DW a que se refieran. El primer conjunto de variables dirige los trenes hacia aquellas estaciones origen con capacidad de estacionamiento para pernoctación, son viajes en vacío que se realizan al finalizar la jornada, mientras que el segundo conjunto de variables envía los trenes desde las estaciones origen con capacidad hacia aquellas estaciones origen que no disponen de capacidad, pero necesitan unidades de tren para comenzar el servicio el día siguiente, son por tanto viajes en vacío que se dan al comienzo de la jornada siguiente.

Dependiendo de la configuración del horario, en la práctica es posible enviar las unidades de tren vacías, a primera hora de la mañana, conjuntamente con el primer servicio hacia esa estación, siempre y cuando la hora de salida del primero de los servicios desde aquella estación fuere posterior a la hora de llegada del primer servicio en sentido contrario. Teniendo en cuenta esta diferencia entre los viajes en vacío que se realizan al finalizar una jornada y los que tienen lugar al comienzo de la siguiente, no es necesario en este modelo la inclusión de ningún atributo que contemple la componente temporal.

Como se puede apreciar, hemos multiplicado las variables

y , en

la función objetivo, por los horarios de salida de los servicios en sentido UP y DW respectivamente, con lo que pretendemos priorizar aquellos servicios que salen más

temprano, favoreciendo así los posibles enlaces mediante las variables

y

.

La distancia entre la estación fin y la estación origen para una misma línea, y en un

mismo extremo, ya sea UP o DW será cero (

o = 0 para i=l)

ya que en realidad se trata de la misma estación, únicamente se han dividido por clarificar los esquemas. 4.1.2, Restricciones

El modelo diario se encuentra sujeto a las siguientes restricciones: Todo servicio debe ser realizado por un único tren. Recordar que el horario es una

entrada de nuestro modelo, de ahí que haya que cumplir todos los servicios.

∑

∈ = 1 i ∈ L; j ∈ S, (1.2)

∑ ∈ = 1 i ∈ L; j ∈ S, (1.3)

Siempre que sea posible se enlazarán los viajes que llegan en un sentido con los

siguientes que salen en el sentido contrario:

= ∑

∈

+

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T, (1.4)

= ∑

∈

+

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T, (1.5)

= ∑

∈

+

i ∈ L; l ∈ S; k ∈ T, (1.6)

= ∑

∈

+ i ∈ L; l ∈ S; k ∈ T, (1.7)

CAPÍTULO IV

21

Para garantizar la continuidad de los trenes al inicio de las líneas:

∑

∈ + ∑

∈ + ∑

∈

=

∑

∈ + ∑

∈ +

∑

∈ + ∑

∈

i ∈ L; k ∈ T, (1.8)

∑

∈ + ∑

∈ + ∑

∈

=

∑

∈ + ∑

∈ +

∑

∈ +∑

∈

i ∈ L; k ∈ T, (1.9)

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ ≤ 1

k ∈ T (1.10)

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ +

∑ ∑

∈

∈ + ∑ ∑

∈

∈ ≤ 1

k ∈ T (1.11)

Para garantizar la continuidad de los trenes en fines de línea:

∑

∈ = ∑

∈ + ∑

∈

i ∈ L; k ∈ T, (1.12)

∑

∈ = ∑

∈ + ∑

∈

i ∈ L; k ∈ T, (1.13)

Los viajes en vacío dependerán de la capacidad de estacionamiento para pernoctación en las estaciones. Indicaremos que existe capacidad si

= 1

≤

i l ∈ L; k ∈ T, (1.14)

≤ i, l ∈ L; k ∈ T (1.15)

≤ i l ∈ L; k ∈ T, (1.16)

≤

i l ∈ L; k ∈ T (1.17)

CAPÍTULO IV

22

El mínimo número de trenes necesarios para cumplir el servicio predeterminado será:

= ∑ ∑

∈ ∈ i ∈ L, (1.18)

= ∑ ∑

∈ ∈ i ∈ L, (1.19)

El número de kilómetros recorridos por cada tren se calcula a partir de la siguiente

expresión:

= ∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈

∈ *

+

∑ ∑

∈

∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ * +∑ ∑

∈ ∈ *

k ∈ T (1.20)

Imponemos que aquellas variables que aparecen en las ecuaciones cuya suma sea

≤ 1 sean binarias. El resto de variables también valdrán o cero o uno, pero saldrán

automáticamente al satisfacer los balances:

∈ { 1} i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T (1.21)

∈ { 1} i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T, (1.22)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T, (1.23)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T, (1.24)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T, (1.25)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T, (1.26)

En el capítulo VI exponemos varios ejemplos de este modelo.

4.2, MODELO DE CIRCULACIÓN SEMANAL GENÉRICO

Además de la notación empleada en el modelo diario, emplearemos la siguiente.

Sea D el conjunto de días, que generalmente será 7, aunque como se verá en los

ejemplos podría tomarse como ciclo cualquier otro número. Las variables empleadas en este modelo son parecidas al anterior, principalmente

las que se definen para una única línea, incluyendo el atributo día como subíndice

CAPÍTULO IV

23

para diferenciar los servicios de días distintos, ya que aun pudiendo ser iguales, podrían realizarse por trenes diferentes. Así tenemos las siguientes:

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que denotan el servicio j de la

línea i en sentido UP, realizado por el tren k, el día m.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que denotan el servicio j de la

línea i en sentido DW, realizado por el tren k, el día m.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D; correspondiente a los arcos que unen el nodo

origen sentido UP de la línea i, con el servicio j, recorrido por el tren k, el

día m.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D; correspondiente a los arcos que unen el nodo

origen sentido DW de la línea i, con el servicio j, recorrido por el tren k, el

día m.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que unen el servicio j de la

línea i, con el nodo fin de línea en sentido UP, recorrido por el tren k, el

día m.

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que unen el servicio j de la

línea i, con el nodo fin de línea en sentido DW, recorrido por el tren k, el

día m.

i ∈ L; j, l ∈ S; k ∈ T; m ∈ D; se refiere a los arcos que unen el servicio j

sentido UP con el servicio l sentido DW en la línea i, recorrido por el tren

k, el día m.

i ∈ L; j, l ∈ S; k ∈ T; m ∈ D; se refiere a los arcos que unen el servicio j

sentido DW con el servicio l sentido UP en la línea i, recorrido por el tren

k, el día m.

Figura 4.7, Arcos línea i modelo semanal, (Elaboración propia).

CAPÍTULO IV

24

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; se refiere a los arcos que unen la estación

origen UP de la línea i con la estación origen UP de la línea l, recorrido por el tren k, el día m.

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; se refiere a los arcos que unen la estación

origen UP de la línea i con la estación origen DW de la línea l., recorrido por el tren k, el día m.

Figura 4.8, Arcos

y

(Elaboración propia).

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; arcos que unen la estación origen DW de

la línea i con la estación origen DW de la línea l, recorrido por el

tren k, el día m.

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; arcos que unen la estación origen DW de

la línea i con la estación origen UP de la línea l, recorrido por el

tren k, el día m.

Figura 4.9, Arcos

y

(Elaboración propia).

CAPÍTULO IV

25

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que unen la estación

destino UP de la línea i con la estación origen UP de la línea l, recorrido por el tren k, desde el día m, hasta el día siguiente.

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que unen la estación

destino UP de la línea i con la estación origen DW de la línea l, recorrido por el tren k, desde el día m, hasta el día siguiente.

Figura 4.10, Arcos

y

(Elaboración propia).

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; arcos que unen la estación destino DW de

la línea i con la estación origen DW de la línea l, recorrido por el

tren k, desde el día m, hasta el día siguiente.

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; arcos que unen la estación destino DW de

la línea i con la estación origen UP de la línea l, recorrido por el

tren k, desde el día m, hasta el día siguiente.

Figura 4.11, Arcos

y

(Elaboración propia).

CAPÍTULO IV

26

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que unen la estación origen

UP de la línea i del primer día, con la estación origen UP de la

línea l del día m, recorrido por el tren k.

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que unen la estación origen

UP de la línea i del primer día, con la estación origen DW de la

línea l del día m, recorrido por el tren k.

Figura 4.12, Arcos

y

(Elaboración propia).

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; arcos que unen la estación origen DW de

la línea i del primer día, con la estación origen DW de la línea l del día m, recorrido por el tren k.

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; arcos que unen la estación origen DW de

la línea i del primer día, con la estación origen UP de la línea l del

día m, recorrido por el tren k.

Figura 4.13, Arcos

y

(Elaboración propia).

CAPÍTULO IV

27

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que unen la estación origen

UP de la línea i del día m, con la estación origen UP de la línea l del primer día, recorrido por el tren k.

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; para los arcos que unen la estación origen

UP de la línea i del día m, con la estación origen DW de la línea l del primer día, recorrido por el tren k.

Figura 4.14, Arcos

y

(Elaboración propia).

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; arcos que unen la estación origen DW de

la línea i del día m, con la estación origen DW de la línea l del

primer día, recorrido por el tren k.

i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D; arcos que unen la estación origen DW de

la línea i del día m, con la estación origen UP de la línea l del

primer día, recorrido por el tren k.

Figura 4.15, Arcos

y

(Elaboración propia).

CAPÍTULO IV

28

4.2.1, Función Objetivo

El principal objetivo nuevamente es encontrar la circulación óptima de los trenes de manera que se minimice el número de viajes en vacío. La circulación resultante podrá llevarse a la práctica por un número determinado de trenes, que al igual que ocurría con la función objetivo del modelo diario, podemos minimizar, o bien, podría resultar interesante cumplir el servicio con alguna unidad más de tren de las estrictamente necesarias, relajando la ponderación sobre el número mínimo de trenes necesarios. Como comentamos al inicio, aquí únicamente reflejaremos la posibilidad de modificar la función objetivo en virtud de lo que queramos conseguir, pero habría que cuantificar económicamente las alternativas o conocer la situación real del operador, para elegir la opción más conveniente.

En primer lugar especificamos el modelo semanal con el objetivo de conseguir el

menor número de trenes posible y su circulación óptima.

MIN = ∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ * +

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ * +

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ * M +

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

* M+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

* M+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ * M +

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈

∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈

∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ * 5M + ∑ ∑

∈ ∈ * 5M (2.1)

Los viajes en vacío, independientemente de los sentidos UP y DW, están

representados por las variables:

, que dirigen los trenes desde las

estaciones fin de un día hacia aquellas estaciones origen con capacidad de

CAPÍTULO IV

29

estacionamiento para pernoctación del día siguiente, por tanto son viajes que se

realizan al final de cada jornada; que se ocupan de enviar los trenes desde

una estación origen con capacidad de pernoctación hacia otra estación origen que no dispone de capacidad, siendo realizados al inicio de cada jornada de trabajo;

, son viajes en vacío que se realizan en caso de que algún día en concreto

se necesite mayor número de trenes que los que llegan del día anterior, de ahí que partan, siempre, de las estaciones con capacidad de almacenamiento del primer día,

realizándose a primera hora de la mañana; , se corresponde con aquellos

viajes en vacío que devuelven los trenes desde la estación origen de cualquier día a la estación con capacidad del primer día, porque se requieran menor número de trenes para cumplir el servicio horario de ese día, también efectuados a primera hora.

Hemos multiplicado las variables

y , que contabilizarán el número de

trenes necesarios para cada día y cada línea, por una cantidad lo suficientemente

grande (representada por 5M), con la intención de priorizar el criterio correspondiente

al número de trenes. Así mismo hemos penalizado las variables

, puesto que

queremos imponer que, siempre que se pueda, sean utilizados los mismos trenes de un día para otro y únicamente sean enviados al depósito del primer día cuando sobren, evitando intercambios innecesarios entre trenes que son enviados al depósito y trenes que salen del depósito y vuelven a ese mismo nodo origen ese mismo día.

Como se puede ver, en el caso de las variables

y

se ha suprimido del producto la componente

y ,

respectivamente, puesto que la línea i y la línea l podrían ser la misma línea, de ahí que se tratase de la misma estación y por tanto, al ser su distancia igual a cero, el modelo siempre tendería a enviar los trenes por dichos arcos. El valor de la constante

M debe ser superior a todas las distancias entre estaciones.

4.2.2, Restricciones

El modelo semanal se encuentra sujeto a las siguientes restricciones:

Todo servicio debe ser realizado por un único tren:

∑

∈ = 1 i ∈ L; j ∈ S; m ∈ D, (2.2)

∑ ∈ = 1 i ∈ L; j ∈ S; m ∈ D (2.3)

Siempre que sea posible se enlazarán los viajes en un sentido con los siguientes en

el sentido contrario:

= ∑

∈

+

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D (2.4)

= ∑

∈

+

i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D (2.5)

= ∑

∈

+

i ∈ L; l ∈ S; k ∈ T; m ∈ D (2.6)

CAPÍTULO IV

30

= ∑

∈

+

i ∈ L; l ∈ S; k ∈ T; m ∈ D (2.7)

Para garantizar la continuidad de los trenes al inicio de las líneas:

∑

∈ + ∑

∈ + ∑

∈

+

∑ ∑

∈

∈

+ ∑ ∑

∈

∈

=

∑ ∑

∈

∈

+ ∑ ∑

∈

∈

+

∑

∈ + ∑

∈ +

∑

∈ + ∑

∈

i ∈ L; k ∈ T; m=1 (2.8)

∑

∈ + ∑

∈ + ∑

∈

+

∑ ∑

∈

∈

+ ∑ ∑

∈

∈

=

∑ ∑

∈

∈

+ ∑ ∑

∈

∈

+

∑

∈ + ∑

∈ +

∑

∈ + ∑

∈

i ∈ L; k ∈ T; m=1 (2.9)

∑

∈ +∑

∈ +∑

∈

+

∑

∈

+ ∑

∈

=

∑

∈

+∑

∈

+

∑

∈ + ∑

∈ +

∑

∈ + ∑

∈

i ∈ L; k ∈ T; m ∈ D/ m≠1 (2.10)

∑

∈ + ∑

∈ + ∑

∈

+

∑

∈

+ ∑

∈

=

CAPÍTULO IV

31

∑

∈

+∑

∈

+

∑

∈ + ∑

∈ +

∑

∈ + ∑

∈

i ∈ L; k ∈ T; m ∈ D/ m≠1 (2.11)

Para evitar más de una asignación de viaje a un mismo tren en un mismo día:

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ ≤ 1

k ∈ T; m ∈ D (2.12)

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ +

∑ ∑

∈

∈ + ∑ ∑

∈

∈ ≤ 1

k∈T; m ∈ D (2.13)

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ +

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ +

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ +

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ ≤ 1 k ∈ T; m ∈ D/ m≠1 (2.14)

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ +

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ +

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ +

∑ ∑

∈ ∈ + ∑ ∑

∈ ∈ ≤ 1 k∈T; m ∈ D/ m≠1 (2.15)

Un tren o comienza el servicio en sentido UP o lo comienza en sentido DW, pero no

en ambos (2.12). Del mismo modo, en caso de provenir de una estación con depósito,

sólo se activará uno de los arcos

(2.13). Así en la restricción 2.14, o se

necesita un nuevo tren, o sobra, pero no podrán darse en el mismo nodo origen ambos viajes para el mismo tren. La restricción 2.15 garantiza que un mismo tren no llegue por dos caminos a un nodo origen.

Para garantizar la continuidad de los trenes en fines de línea:

∑

∈ = ∑

∈ + ∑

∈

i ∈ L; k ∈ T; m ∈ D (2.16)

∑

∈ = ∑

∈ + ∑

∈

i ∈ L; k ∈ T; m ∈ D (2.17)

CAPÍTULO IV

32

Los viajes en vacío dependerán de la capacidad de estacionamiento para pernoctación en las estaciones:

≤

i, l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D (2.18)

≤ i, l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D (2.19)

≤ i, l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D, (2.20)

≤

i, l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D, (2.21)

≤

i, l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D (2.22)

≤ i, l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D (2.23)

≤

i, l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D, (2.24)

≤

i, l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D, (2.25)

El mínimo número de trenes diarios para cumplir el servicio predeterminado será:

= ∑ ∑

∈ ∈ i ∈ L; m ∈ D (2.26)

= ∑ ∑

∈ ∈ i ∈ L; m ∈ D (2.27)

= ∑

∈ + m ∈ D (2.28)

El mínimo número de trenes necesarios para cubrir toda la semana se

corresponderá con la cifra más alta de trenes que resulten de cumplir el horario cada día. Reseñar, que aunque reflejemos aquí estos cálculos, dicha expresión no es una restricción y hay que tener cuidado al programar el modelo, puesto que introduce una no linealidad:

= Max (2.29)

El número de kilómetros recorridos por cada tren se calcula:

= ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ * +

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ * +

∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ *

+

CAPÍTULO IV

33

∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ * +

∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈

∈ * +

∑ ∑ ∑

∈ ∈

∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ * +

∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ * k ∈ T (2.30)

Imponemos que las siguientes variables sean binarias. Tal como indicamos en el modelo diario, sólo forzamos aquellas variables que se encuentren involucradas en

alguna restricción cuya suma sea ≤ 1, con lo cual tenemos:

∈ { 1} i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D (2.31)

∈ { 1} i ∈ L; j ∈ S; k ∈ T; m ∈ D (2.32)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D (2.33)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D (2.34)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D, (2.35)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m ∈ D, (2.36)

∈ { 1} i, l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D (2.37)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D (2.38)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D, (2.39)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D, (2.40)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D (2.41)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D (2.42)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D, (2.43)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D, (2.44)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D (2.45)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D (2.46)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D, (2.47)

∈ { 1} i l ∈ L; k ∈ T; m, n ∈ D, (2.48)

CAPÍTULO IV

34

4.3, MODELO DE CIRCULACIÓN SEMANAL BALANCEADO

Una variante del modelo semanal, tal como indicamos anteriormente, consiste en añadir otro criterio a la función objetivo, con la intención de balancear los kilómetros recorridos. Así, la función objetivo 2.1 se sustituiría por la siguiente:

MIN = ∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ * +

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ * +

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ * M +

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

* M+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ *

* M+

∑ ∑ ∑ ∑

∈

∈ ∈ ∈ * M +

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈

∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ *

+

∑ ∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈

∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ * 5M + ∑ ∑

∈ ∈ * 5M + M*U

(3.1)

Incluyendo, a las restricciones desde la 2.2 a la 2.48, la restricción:

≤ U k ∈ T (2.49) y siendo la siguiente restricción optativa:

∑

∈ + ≤ b m ∈ D (2.5 )

Como podemos apreciar, se ha incluido el producto M*U que junto con la

restricción 2.49 equilibrará los kilómetros, disminuyendo la diferencia entre el mayor y

CAPÍTULO IV

35

el menor número de kilómetros recorridos. La restricción 2.50 es opcional, siendo el valor del parámetro b del orden del número de trenes necesarios.

Es necesario desglosar los kilómetros por tren y día para poder obtener el horizonte

temporal.

= ∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈

∈ * +

∑ ∑

∈

∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ *

k ∈ T m ∈ D/m=1/ (2.51)

= ∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

∑ ∑

∈

∈ * +

∑ ∑

∈

∈ *

+

∑ ∑

∈ ∈ *

+

CAPÍTULO IV

36

∑ ∑

∈ ∈ * +

∑ ∑

∈ ∈ *

k ∈ T m ∈ D/m≠1/ (2.52) Este modelo es de gran utilidad de cara a aplicar los modelos siguientes para la

planificación del mantenimiento. Imponiendo que las revisiones se lleven a cabo dentro de un rango establecido de kilómetros, por ejemplo entre 25.000 y 30.000, fácilmente obtendremos el horizonte de dicha planificación, ya que cada tren repetirá cíclicamente la circulación semanal obtenida, hasta situarse dentro del rango deseado.

Conociendo el número de trenes y el horizonte, la planificación de las revisiones se reduce a un problema de asignación de los trenes a un día concreto, pudiendo aplicarse esta solución de manera rotatoria.

4.4, MODELO PARA PLANIFICACIÓN DEL MANTENIMIENTO EN DÍA LABORABLE

Vamos a partir de la hipótesis de que la revisión de mantenimiento para cada tren dura un solo día. Asumiremos también que las revisiones se van a repartir uniformemente a lo largo del horizonte temporal, es decir, queremos evitar que un día se revise más de un tren, habiendo días donde no se revise ninguno. En este modelo suponemos que no se realizan actividades de mantenimiento los fines de semana.

Denotamos por T al conjunto de trenes, D al conjunto de días, H al horizonte

temporal y al número total de trenes. Sea L el número de días laborables dentro

del horizonte temporal. Todos estos inputs son los outputs del modelo semanal visto anteriormente.

La única variable del modelo es , que tomará el valor cero cuando el tren i pase

la revisión de mantenimiento el día j, y en caso contrario tomará el valor 1.

4.4.1, Función objetivo

MIN=∑ ∑ ∈

∈ *100+∑ ∑ ∈

∈ (4.1)

Ponderamos aquellos trenes que no realizan ningún servicio algún día, puesto que

al efectuar la revisión de mantenimiento el día que no circule, no será necesario ningún tren adicional de reserva.

4.4.2, Restricciones.

En el periodo de planificación cada tren será revisado una sola vez.

∑ ∈ = H – 1 i ∈ T (4.2)

Los fines de semana no se realizará ninguna revisión.

= 1 i ∈ T; j ∈ D/j ∈ Fin de semana/, (4.3)

CAPÍTULO IV

37

El número de unidades que se revisan cada día vendrá fijado por la siguiente restricción:

(|

⁄ | 1) ≤ ∑ ∈ ≤ - |

⁄ |

j ∈ D/ j ≠ Fin de semana/ (4.4) Imponemos que la variable sea binaria:

∈ { 1} i ∈ T; j ∈ D (4.5)

La restricción 4.4 establece que si el número de trenes es menor o igual que el

número de días laborables, como mucho se revisará un tren diario, pudiendo haber días que no se revise ninguno. Si el número de trenes es mayor que el número de días laborables, pero menor o igual que el doble de los días laborables, cada día se podrán revisar como mucho dos trenes, pero el mínimo de revisiones será una unidad. Si el número de trenes es mayor que el doble de los días laborables, pero menor o igual que el triple de los días laborables, cada día se revisarán o dos o tres trenes. 4.5, MODELO PARA PLANIFICACIÓN DEL MANTENIMIENTO CON FIN DE SEMANA

En este modelo supondremos que los trabajos de mantenimiento se realizan todos

los días del mes, incluido los fines de semana. La idea surge al verificar que los fines de semana circulan menos trenes. 4.5.1, Función Objetivo.

MIN = ∑ ∑ ∈

∈ *100+

∑ ∑ ∈ ∈

∈ 5 +

∑ ∑ ∈

∈ (5.1)

Le hemos dado el mayor peso a los trenes que no circulan en fin de semana, ya

que en estos casos no será necesario utilizar ningún tren de reserva, al no haber servicio que prestar. También hemos ponderado, aunque en menor medida, el que los trenes restantes se revisen, siempre que sea posible, en fin de semana, de esta manera sus servicios podrían realizarse por los trenes que ordinariamente no circulan dichos días. Con estas premisas, planificamos el mantenimiento minimizando el número de trenes de reserva necesarios. 4.5.2, Restricciones.

En el periodo de planificación cada tren será revisado una sola vez.

∑ ∈ = H – 1 i ∈ T (5.2)

El número de unidades que se revisan cada día vendrá fijado por las siguientes

restricciones:

CAPÍTULO IV

38

(|

⁄ | 1) ≤ ∑ ∈ ≤ - |

⁄ |

j ∈ D (5.3) Imponemos que la variable sea binaria:

∈ { 1} i ∈ T; j ∈ D (5.4)

La restricción 5.3 establece que si el número de trenes es menor que el horizonte

temporal, como mucho se revisará un tren, aunque habrá días que no se revise ninguno. Si el número de trenes es igual al horizonte temporal, cada día se revisará un tren. Si el número de trenes es mayor que el horizonte temporal, pero menor que el doble del horizonte, cada día se revisará o un tren o dos. A su vez, si el número de trenes es igual al doble del horizonte temporal, cada día se revisarán dos trenes. Si el número de trenes es mayor que el doble del horizonte temporal, pero menor que el triple del horizonte, cada día se revisarán o dos o tres trenes. Finalmente, si el número de trenes es igual al triple del horizonte temporal, cada día se revisarán tres trenes.