1

Capítulo IV. Estadísticas cuánticas.

Lección 16Introducción a las estadísticas cuánticas. Partículas distinguibles e indistinguibles. Estadísticas de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac.

Lección 17Gas ideal de Fermi: electrones en metales.

Lección 18Gas ideal de Bose: el helio. Condensación de Bose-Einstein.

Lección 19Gas de fotones. Función de distribución de Planck

2

Lección 16

Introducción a las estadísticas cuánticas. Partículas distinguibles e indistinguibles. Estadísticas de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac.

3

Introducción a las estadísticas cuánticas. Partículas distinguibles e indistinguibles.

Hemos tratado partículas clásicas: (gas ideal diluido)

nº estados accesibles >> nº de partículas

El efecto de que las partículas sean distinguibles o indistinguibles es sólo estadístico:

N! : nº de permutaciones de N moléculas indistinguibles.

(muy difícil que coincidan en los mismos nos cuánticos)

Pero a altas densidades o bajas temperaturas sí puede ocurrir que varias partículas tengan los mismos nos cuánticos, y habrá que hacer consideraciones cuánticas sobre los estados permitidos.

Cuántica: propiedades de las funciones de onda de las partículas y de los estados en los que están

4

Introducción a las estadísticas cuánticas.

Sistema: 2 partículas 1,2 indistinguibles

)2,1(ΨEstán en un estado con función de onda:

Como son indistinguibles, al intercambiarlas:22

)1,2()2,1( Ψ=Ψ

Es decir, al cambiarlas, como mucho, cambia el signo de la función de onda: )2,1()1,2( Ψ±=Ψ

Estado simétrico:

Estado antisimétrico:

)2,1()1,2( Ψ+=Ψ

)2,1()1,2( Ψ−=Ψ

5

Introducción a las estadísticas cuánticas.

Sistema: 2 partículas 1,2, 2 estados posibles a,b.

)1()2()1,2(

)2()1()2,1(

ba

ba

φφφφ⋅=Ψ⋅=ΨEl sistema puede estar en los estados :

Partículas con función de onda antisimétrica: spin semientero, fermiones, estadística de Fermi-Dirac

Por tanto la función de onda del sistema será:

[ ][ ])1()2()2()1(

)1()2()2()1(

babaAA

babaSS

C

C

φφφφφφφφ

⋅−⋅=Ψ⋅+⋅=Ψ

Si a y b son el mismo estado: 0,0 ≠Ψ=Ψ= SAba φφ(Principio de exclusión de Pauli)

Partículas con función de onda simétrica: spin entero, bosones, estadística de Bose-Einstein

6

Introducción a las estadísticas cuánticas.

Número de estados accesibles para E=8ε : clásicas, fermiones, bosones

Ejemplo: Sistema de 3 partículas en niveles de energía E=nε, con n=1,2,...

1-32338ε4216Nº de estados:

1161348ε

1161258ε

1-31168ε

Bosones(i)

Fermiones(i)

Clásicas (d)

p3p2p1E

FD

B NΩ≥

Ω≥Ω

!!., ND

IndistClas

Ω=Ω

2!3

164 >>

7

Introducción a las estadísticas cuánticas.

Ω== −−

i

Ei

j

E ij eeZ ββ

estados niveles, degeneración

FD

B NΩ≥

Ω≥Ω

!Cuando el nº de estados accesibles sea muy grande, las estadísticas cuánticas tienden a la clásica (indistinguible)

FD

B NE Ω←

Ω→Ω∞→

!

FD

B ZNZ

ZE ←→∞→!

8

Obtención de las funciones termodinámicas.

Sistema de un componente, partículas indistinguibles sin interacción.

Método: número de estados y colectivo microcanónico

BEΩPara N y E dados:

: nº de formas distintas de dividir E entre las Npartículas, sin límite al nº de partículas por nivel

FDΩ : nº de formas distintas de dividir E entre las Npartículas, pero sólo una partícula por nivel

FDBE ´Ω≥Ω

Este tratamiento es complicado para N y E grandes y las restricciones anteriores (usar multiplicadores indeterminados)

Usamos el colectivo macrocanónico (µ, V y T dados) y se evitan las restricciones de N y E constantes. Consideramos como subsistema a un estado cuántico, junto con las partículas que lo ocupan. Estudiaremos la ocupación de cada nivel, y de ahí obtendremos las funciones termodinámicas.

∏=j j TVTV ),,(),,( µµ

(de un nivel de E)

Equivalente a lo que hicimos en el gas ideal con el colectivo canónico:

!1

1 NZZ N

moléculatotal ⋅=

9

Estadísticas de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac:Obtención de las funciones termodinámicas.

Sistema de un componente, partículas indistinguibles sin interacción.

Método: número de estados y colectivo microcanónico

BEΩPara N y E dados:

: nº de formas distintas de dividir E entre las Npartículas, sin límite al nº de partículas por nivel

FDΩ : nº de formas distintas de dividir E entre las Npartículas, pero sólo una partícula por nivel

FDBE ´Ω≥Ω

Este tratamiento es complicado para N y E grandes y las restricciones anteriores (usar multiplicadores indeterminados)

Usamos el colectivo macrocanónico (µ, V y T dados) y se evitan las restricciones de N y E constantes.

Consideramos como subsistema a un estado cuántico, junto con las partículas que lo ocupan. Estudiaremos la ocupación de cada nivel, y de ahí obtendremos las funciones termodinámicas.

∏=j j TVTV ),,(),,( µµ

(de un nivel de E)

Equivalente a lo que hicimos en el gas ideal con el colectivo canónico:

!1

1 NZZ N

moléculatotal ⋅=

10

Estadísticas de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac

Usamos colectivo macrocanónico

En F-D, para cada nivel de energía la ocupación, N, sólo puede ser 0 o 1.

= −

Nj

kTNkTVNEj eeTV j

,

//),(),,( µµ

Consideramos como subsistema a un estado cuántico, junto con las partículas que lo ocupan.Estudiaremos la ocupación de cada nivel, y de ahí obtendremos las funciones termodinámicas.

∏=j j TVTV ),,(),,( µµ

Equivalente a lo que hicimos en el gas ideal con el colectivo canónico:

!1

1 NZZ N

moléculatotal ⋅=

(de un nivel de E)

kTkTkTVEj eee j ///)( ,1 µµ λ =+= −

En B-E, no hay límite a la ocupación, N, de cada nivel de energía.

kTE

kTEkTEj j

jj

eee /

/22/

1

1.....1 −

−−

−=+++=

λλλ

1/ <− kTE jeλEsta serie converge si:

11

Estadística de Fermi-Dirac

∏=j j TVTV ),,(),,( µµ kTkTkTVE

j eee j ///)( ,1 µµ λ =+= −

Número medio de partículas en el sistema:

∂∂

=

∂∂=

∂∂=

j VT

j

VTVT

kTN,,,

lnlnlnλ

λλ

λµ

=j

jnN

1

1

1 /)(/

/

+=

+= −−

−

kTEkTE

kTE

j jj

j

ee

en µλ

λ

12

Estadística de Bose-Einstein

∏=j j TVTV ),,(),,( µµ

Número medio de partículas en el sistema:

∂∂

=

∂∂=

∂∂=

j VT

j

VTVT

kTN,,,

lnlnlnλ

λλ

λµ

=j

jnN

1

1

1 /)(/

/

−=

−−= −−

−

kTEkTE

kTE

j jj

j

ee

en µλ

λ

kTE

kTEkTEj j

jj

eee /

/22/

1

1.....1 −

−−

−=+++=

λλλ

13

Ocupación de los niveles de energía:Fermi-Dirac, Bose-Einstein, Clásica(Boltzmann)

1

1/)( +

= − kTEFD jen µ

1

1/)( −

= − kTEBE jen µ

kTECl

jen /)( µ−−=

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

FD

BEclásica

kTE j /)( µ−

n

14

Ocupación de los niveles de energía: Fermi-Dirac

1

1/)( +

= − kTEFD jen µ

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

kTE j /)( µ−

nEj , T finitos:

→∞→

→−∞→

1

0

j

j

n

n

µµ Densidad cero, N/V→0

Densidad infinita

Ej finito, µ cte, T →0 :

1

0

→<

→>

jj

jj

nE

nE

µµ

A T=0 todas las partículas llenan todos los estados hasta E=µ

Límite clásico:kTE

jjen /)(0 µλ −−→→ =

jjnN = −

j

kTE jeZ /

ZenNj

kTE

jj

j λµ === −− /)(

j

kTEj P

Ze

N

n j

==− /

Distribución de Boltzmann

En función de T

15

Ocupación de los niveles de energía: Bose-Einstein

1

1/)( −

= − kTEBE jen µ

kTE

kTEkTEj

j

jj

eee

/

/22/

1

1.....1 −

−−

−=+++=

λλλ

0/ 1 EEe jkTE j <∀<− µλEsta serie converge si:

kTe /µλ =

0,00:0 →→→<∀ NnTE jµ

0,0:0,0 >→→≈ jsinTE jµ

Nee

nNkTE

=−

=−

= − 11

11

/1/)(0 0 µ

Pero n0 puede ser todo lo grande que haga falta

Si hacemos NkTE /0 =− µ

A T=0 todas las partículas están en el estado fundamental.

( )0→T

Límite clásico:kTE

kTEjj

je

en /

/ /

10 −

− =→→ λλ

λ Todos los nj son muy pequeños: hay muchos más estados que partículas, como en la estadística de Boltzmann.

16

Obtención de las funciones termodinámicas

1

1/)( ±

= − kTEj jen µ

+ FD- BE

±

== −j

kTEj

j jenN

1

1/)( µ

±== −

jkTE

j

jjj

je

EnEE

1/)( µ

( )−±±==

j

kTE jekTkTVp /)(1lnln µEcuación de estado:

∏ ==j

jj j lnln

lnln

,

kT

kTSV

+

∂∂=

µ

( ) ( )[ ] ±−=j

jjjj nnnnkS 1ln1ln

17

Lección 17

Gas ideal de Fermi: electrones en metales.

18

Gas ideal de Fermi: electrones en metales

→ Si V grande, niveles E muy juntos, continuo de E

Gas de electrones en una caja: V=L3

Densidad de estados:εεπεεω dV

hm

d 2/12/3

2

24)(

=

∞

− +

=0

/)(

2/12/3

2 12

4 kTed

Vhm

N µεεεπ

Límite clásico:

3

2/322/3

2/

22

lnexp Λ=

=

−==VN

mkTh

VN

PkT

hmkT

e kT

ππλ µ

11 3 <<Λ⇔<<VNλ

19

11 3 <<Λ⇔<<VNλ

Pero.... masa e- << masa molécula: a 300K, 5000≈λ ¡¡ No vale lo cásico !!

Límite clásico de electrones sólo si T > 105K !!!A T.A. los electrones ya están en el límite de baja temperatura !!!! (ya están en el límite T→0)

A T=0, todas las partículas llenan los estados con E<µ.

Vhm

dVhm

N2/3

20

2/12/3

2

23

824

=

= µπεεπ

µ

Nº de electrones = Nº de estados cuánticos con E<µ

Nivel de Fermi: 3/22 38

=VN

mh

πµ (varios eV)

20

A T=0, todas la energía es cinética: µε NnEi

ii 53==

ENENdkT

kTPV32

52

)(0

==−=

−= µµεεωεµµPresión:

Entropía: A T=0, S=0

Si T>0: 3/22

0

2

0

20

38

,...125

153

==

+

+=

VNh

EkT

NE F ππµ

µπµ

TdTTC

S

kTNk

TE

CVN

V

∝=

=

∂∂=

0

2

, 2 µπ

21

Lección 18

Gas ideal de Bose: el helio.

Condensación de Bose-Einstein.

22

Gas ideal de Bose: el helio.

masa He >> masa electrón : loe efectos cuánticos no están a T.A., sólo a baja T

2/123

2,1

=Λ<<Λ

Tkmh

VN

π

La condición para comportamiento clásico es:

Para el helio líquido (4.2K): Λ3N/V =1.5, por tanto habrá efectos cuánticos.

La degeneración sólo será pequeña si hay baja densidad o alta temperatura.Tratamos el límite de degeneración débil: (usamos colectivo macrocanónico) →

kTe /µλ =

Λ−=

−=3

2/3

2ln

2ln

NV

TkNV

hTkm

Tkπµ

1,133

<<Λ=<<ΛV

NV

N λ

23

( )dEeEVhm

TkkTVp kTE

∞ −±

±==0

/2/12/3

21ln

22ln λπ

+ FD- BE

Gas ideal de Bose: el helio.

Ecuación de estado:

2/123

2,1

=Λ<<Λ

Tkmh

VN

π 13

<<Λ=V

Nλ

Para λ pequeño, desarrollando el lne integrando término a término:

≥Λ=

12/53

)1(1

j

jj

jkTp λ

VN

kTp =

Λ=→

3:0

λλGas ideal clásico monoatómico:

Funciones termodinámicas: (límite de degeneración débil)

+Λ=

+Λ±=

+Λ±=

....2

123

....2

123

....2

1

2/7

3

2/5

3

2/5

3

nkN

C

nkTNE

nkTnp

V

+Λ=

+Λ±Λ−=

+Λ±Λ=

....2

123

....2

ln25

....2

ln

2/7

3

2/7

33

2/3

33

nkN

C

nnkN

S

nnkT

V

µ Son series en:

2/3

3

−

Λ

T

n

n

24

Gas ideal de Bose: el helio.Ahora estudiamos el límite de alta degeneración: λ grande

1011

1/)(0 0

≤≤−

=−

= − λλ

λµ kTEe

n

Nº de moléculas en el estado fundamental: E0=0.

dEEVhm

dEE 2/12/3

2

22)(

= πω

∞

− +

=0

1/

2/12/3

2 12

2λ

πkTEe

dEEV

hm

N

Nº total de moléculas :

λkTEe /−Dentro de la integral multiplicamos numerador y denominador por

Desarrollamos en serie ( ) 1/1−−− kTEe

Integramos térmito a término

λµααπ α =−=

= −ekT

FVh

TkmN ,),(

22/3

2/3

2

RiemandejFejF

ejF

jj

j

j

j

ζσζα

α

σσ

σσσ

σσσ

≡===

=

≥

−

≥

−−

≥

−−

)()0(,)(

)(

11

1

25

Gas ideal de Bose: el helio.

Otra forma de hacerlo:

Suponemos densidad constante:

)10()()()( <>== λαµαα yparaTTNctenVN

λµα α =−= −ekT

,

En esta situación el nº de moléculas en el estado fundamental es desprecible frente a N

Nnn <<=−=→=−

= −− 60

660 1010110,

1λα

λλ

T alta: anteriorcasodelkT

Ngrandeµαα = )(

T baja: α dismunuye hasta su límite )(0,0 0 nTunaa−+ →→ µα

26

( ) ∞

− +

==0

/)(

2/12/3

220

12

2)()( kTe

dV

mgdDfN µε

εεπ

εεε

kTe /µλ =fugacidad:

( ) ∞

− +

=0

/1

2/12/3

220

12

2 kTed

Vmg

N ελεε

π

100 <<< λµConservación del número de bosones:

( ) ( ) NFVg

FTkmVg

N B =Λ

=

= )()(2

22 2/33

02/3

2/32/3

220 λλππ

...3322

)(32

12/32/3 +++=≡

∞

=

λλλλλr

r

rFdonde:

GAS DE BOSE:

27

11 3 <<Λ⇔<<VNλEn el límite clásico:

nos quedamos con el primer término del desarrollo en serie y

λ30

Λ= Vg

N Es decir, λ)( 03 gn =Λ

Análogamente:

( ) ( ) UFVg

TkFTkmVg

U BB =Λ

=

= )(23

)(4

322 2/53

02/5

2/52/3

220 λλππ

...3924

)(32

12/52/5 +++=≡

∞

=

λλλλλr

r

rFcon:

Comparando las dos expresiones:)()(

23

2/3

2/5

λλ

FF

TNkU B=

28

)()(

23

2/3

2/5

λλ

FF

TNkU B=

ξ

29

)(1

)( 2/32/5 λλ

λλ

FFdd =

ξ

0)0()0( 2/52/3 == FF

1)0()0(

2/3

2/5 →FF

612.2)1(2/3 =F 34.1)1(2/5 =F

612.2)1()1(' 2/32/5 == FF ∞=)1('2/3F

30

)(2/330 λFVg

NΛ

= pero con: 612.2)(0 2/3 ≤≤ λFN, V, T

612.20

3

>ΛVg

N¿... y si ???

* Cuando 612.2)(2/30

3

→=Λ λFVg

N , λ →1 y por tanto µ →0

Condensación de Bose-Einstein cuando T ≤ TBE :

612.2)( 03 gn =Λ

3/2

0

2

)(612.212

=

VgN

mTk BEB

π

31

T ≤ TBE : eNnN += 0

λλ

µ −=

+=

111

/0 kTen )1(

)(2/33

0 FVg

Ne Λ=

2/3

0 1

−=

BETT

Nn

2/3

2/3

2/5 )51.0(23

)1()1(

23

⋅⋅==

BEB

eB T

TTNk

NN

FF

TNkU

2/3

9.1

=

BEBv T

TNkC

32

33

34

Lección 19

Gas de fotones. Función de distribución de Planck

35

Gas ideal de Bose: fotonesRadiación electromagnética en equilibrio térmico.Sistema aislado, energía E.La frecuencia puede variar, N no está fijo.Fotón: spin=1, BE, 2 polarizaciones, degeneración 2. No tiene masa.

Sistema definido por E y V (no por N)

3

2

3

2 8)(

8)(

cdV

dGh

dppVd

ννπννπεεω ==

Densidad de estados: ννλ hEchhpmpE ==== ,//,2/2

Termodinámica:En equilibrio, S max respecto de N, con E y V ctes.

F (y G) min respecto de N, con P (y V) cte y T cte.

00,

==−=

∂∂ µµ

TNS

VE

36

∞

−=

0/

2

3 18

kThed

cV

N νννπ

∞

−=

0/

3

3 18

kThed

chV

E νννπ

función de distribución de energía del cuerpo negro, Planck 1900

( )∞

−−−=0

/23 1ln

8 ννπ ν dec

kTVpV kTh

9048

18 44

30

/

3

3

ππννπν

=−

= ∞

hkT

chV

ed

chV

E kThLey de stefan-Boltzmann, T4.

Energía total de la radiación

NkTEpVNkTEhckT

VN

sóloTdefcpEpVTCV

9.03/,7.2

202.116

.,3/,3

3

==≈

=

=≈

π

Entropía:

0)0(,34

0

3 ==∝=+=

+−==

TSTSTE

TpVE

S

pVTSENµ