Capítulo II : CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Curso Maacutequinas Eleacutectricas I Horacio Diacuteaz RojasUniversidad de Tarapacaacute Departamento de Ingenieriacutea Eleacutectrica-Electroacutenica

Capiacutetulo II CIRCUITOS MAGNEacuteTICOS

29 Peacuterdidas en Circuitos magneacuteticos

i

Nv


2

Peacuterdidas por histeacuteresis

i

Nv e+

+=

+=

+=+=

+=+=

TT T

T

tdtiNdttRidttitv

tdtiNdttRidttitv

dt

tdNtiR

dt

tNdtRitv

dt

tdtiRtetRitv

00 0

2

0

2

)()( )( )()(

)()()()()(

dti(t) )(

)())((

)()(

)()()()()(

Energiacutea eleacutectrica de entrada

Energiacutea disipada en R (efecto Joule)

iquestQueacute energiacutea representaesta expresioacuten


3

Peacuterdidas Por histeacuteresis

T

tdtiN0

)()( iquest

=

=

=

=

T

0

0

0

00

)()(Vol

)()()(

)()(

))(()()()(

tdBtH

tdBtHAl

tdBAltH

tBAdltHtdtiN

T

m

T

m

T

m

T



4


iquest T

0)()( tdBtH

Aacuterea bajo la curva de histeacuteresis

B

H

1

2

3

Energiacutea almacenada en elcampo magneacutetico porunidad de volumen


5


Hgt0 y dBgt0

B

H

1

2

2

1)t(dB)t(H

0)t(dB)t(H 2

1

El sistema absorbe energiacutea desde la fuente


6


0)t(dB)t(H 3

2

3

2)t(dB)t(H B

H

2

3

Hgt0 y dBlt0

El sistema devuelve energiacutea a la fuente

Note que aunque la corriente decrecioacute a cero no toda la energiacutea que se absorbioacute desde la fuente en el tramo 1-2 fue devuelta a la red

iquestDoacutende quedoacute la energiacutea restante


7


Figuras obtenidas de Internet

B

H

1

2

B

H

2

3

B

H

1

2

3

= -

B

H

1

23

=

3

2)t(dB)t(H

2

1)t(dB)t(H

3

1)()( tdBtH

3

1)()( tdBtH


8


B

H

1

23

4

La energiacutea restante se transformoacute en calor debido al proceso de magnetizacioacuten (orientacioacuten de los dominios) Peacuterdidas por histeacuteresis

El aacuterea del ciclo de histeacuteresis es la energiacutea por unidad de volumenconvertida en calor por cada ciclo de la corriente de excitacioacuten


Por simetriacutea se observa que

4

1dBH =


9


En un nuacutecleo magneacutetico excitado con CA de frecuencia (f) se tendraacute f ciclos de histeacuteresis por segundo

Las peacuterdidas de histeacuteresis (PH ) disipada en el nuacutecleo en el volumen (V) estaacuten dadas por

)histeresis de ciclo el en encerrada Aacuterea(VfPH =

FJG Landgraf M Emura and MF de Campos ldquoOn the Steinmetz

hysteresis lawrdquo

Journal of Magnetism and Magnetic Materials Volume 320 Issue

20 October 2008 Pages e531-e534

Por lo tanto el problema es obtener el aacuterea encerrada en el ciclo de histeacuteresis tema que fue estudiado por Charles Steinmetz (1892)


10



Foacutermula de Steinmetz

Steinmetz establecioacute una relacioacuten experimental para determinar laspeacuterdidas por histeacuteresis en un material magneacutetico

n

maxH BfVP =donde

Coeficiente de Steinmetz

n Exponente de Steinmetz depende del material [15 25]

V Volumen del nuacutecleo

f Frecuencia

Bmax Densidad de flujo maacutexima


11




n

maxHH BfKP =

donde

KH Constante que depende del material

caracteriacutesticas y volumen

Ref1 CP Steinmetz ldquoOn the law of hysteresisrdquo AIEE transactions Vol 9 pp 3-64 1892 Reprinted

under the title ldquoA steinmetz contribution to ac power revolutionrdquo introduction by JE Brittain in

Proccedings of the IEEE 72(2) 1984 pp 196-221rdquo

2 FJG Landgraf M Emura and MF de Campos ldquoOn the Steinmetz hysteresis lawrdquo Journal ofmagnetism and magnetic materials Vol 320 Nordm 20 October 2008

3 ldquoQuiero decir que absolutamente todos los eacutexitos que he tenido se deben a mi estudio profundo de las matemaacuteticasrdquo (CP Steinmetz)


12

Peacuterdidas por corrientes paraacutesitas

Corrientes paraacutesitas

Como el material del nuacutecleo es conductor y B varia en el tiempo seinducen tensiones y en consecuencia se establecen corrientes si lastrayectorias constituyen caminos cerrados



13


Estas corrientes producen

bull Desmagnetizacioacuten dado que su sentido es inverso al flujo principal que las crea produciendo una disminucioacuten del flujo principal

bull Peacuterdidas de potencia en el nuacutecleo que se manifiestan como calor




14

Para disminuir las corrientes paraacutesitas el nuacutecleo en ac estaacute constituido por laacuteminas delgadas (chapas) aisladas entre si




15

Laacutemina Aislamientoentre laacuteminas(barniz)

Menor seccioacuten para

la circulacioacuten de la

corriente




16



Nuacutecleo laminado menores corrientes paraacutesitas


17

Factor de apilamiento (Fap)

Cuantifica el hecho que elvolumen ocupado por las chapases mayor que el ocupado por elmaterial magneacutetico

T

efap

A

AF =

Aef Aacuterea efectiva ocupada por el material magneacutetico

AT Aacuterea total del nuacutecleo




18



Si la excitacioacuten es sinusoidal y el B uniforme las peacuterdidas por

corrientes paraacutesitas se pueden estimar como

6

222

max

2 tfBPe

=

Donde

t Espesor de las laacuteminas (chapas)

f Frecuencia

ρ resistividad del material

Ke Constante que depende del nuacutecleo

2

max

2 BfKP ee =


19

Peacuterdidas Totales en el nuacutecleo

Los fabricantes especifican estas peacuterdidas en forma de curvas PFe vs Bm

2m

2e

nmheHFe BfKBfKPPP +=+=

Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20





210 Modelo de un reactor con nuacutecleo saturable

i

Nv


22

Forma de onda de la corriente de excitacioacuten

1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+

Reactor con nuacutecleo saturable

io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2

Corriente de excitacioacuten


23

Cuando el flujo es sinusoidal y el nuacutecleosaturable la CORRIENTE DE EXCITACION esNO SINUSOIDAL



119894119900

119894119900


2


i

Nv e+

+=

+=

+=+=

+=+=

TT T

T

tdtiNdttRidttitv

tdtiNdttRidttitv

dt

tdNtiR

dt

tNdtRitv

dt

tdtiRtetRitv

00 0

2

0

2

)()( )( )()(

)()()()()(

dti(t) )(

)())((

)()(

)()()()()(

Energiacutea eleacutectrica de entrada

Energiacutea disipada en R (efecto Joule)



3


T

tdtiN0

)()( iquest

=

=

=

=

T

0

0

0

00

)()(Vol

)()()(

)()(

))(()()()(

tdBtH

tdBtHAl

tdBAltH

tBAdltHtdtiN

T

m

T

m

T

m

T



4


iquest T

0)()( tdBtH


B

H

1

2

3



5


Hgt0 y dBgt0

B

H

1

2

2

1)t(dB)t(H

0)t(dB)t(H 2

1



6


0)t(dB)t(H 3

2

3

2)t(dB)t(H B

H

2

3

Hgt0 y dBlt0





7



B

H

1

2

B

H

2

3

B

H

1

2

3

= -

B

H

1

23

=

3

2)t(dB)t(H

2

1)t(dB)t(H

3

1)()( tdBtH

3

1)()( tdBtH


8


B

H

1

23

4





4

1dBH =


9






hysteresis lawrdquo





10





n

maxH BfVP =donde




f Frecuencia



11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


3


T

tdtiN0

)()( iquest

=

=

=

=

T

0

0

0

00

)()(Vol

)()()(

)()(

))(()()()(

tdBtH

tdBtHAl

tdBAltH

tBAdltHtdtiN

T

m

T

m

T

m

T



4


iquest T

0)()( tdBtH


B

H

1

2

3



5


Hgt0 y dBgt0

B

H

1

2

2

1)t(dB)t(H

0)t(dB)t(H 2

1



6


0)t(dB)t(H 3

2

3

2)t(dB)t(H B

H

2

3

Hgt0 y dBlt0





7



B

H

1

2

B

H

2

3

B

H

1

2

3

= -

B

H

1

23

=

3

2)t(dB)t(H

2

1)t(dB)t(H

3

1)()( tdBtH

3

1)()( tdBtH


8


B

H

1

23

4





4

1dBH =


9






hysteresis lawrdquo





10





n

maxH BfVP =donde




f Frecuencia



11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


4


iquest T

0)()( tdBtH


B

H

1

2

3



5


Hgt0 y dBgt0

B

H

1

2

2

1)t(dB)t(H

0)t(dB)t(H 2

1



6


0)t(dB)t(H 3

2

3

2)t(dB)t(H B

H

2

3

Hgt0 y dBlt0





7



B

H

1

2

B

H

2

3

B

H

1

2

3

= -

B

H

1

23

=

3

2)t(dB)t(H

2

1)t(dB)t(H

3

1)()( tdBtH

3

1)()( tdBtH


8


B

H

1

23

4





4

1dBH =


9






hysteresis lawrdquo





10





n

maxH BfVP =donde




f Frecuencia



11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


5


Hgt0 y dBgt0

B

H

1

2

2

1)t(dB)t(H

0)t(dB)t(H 2

1



6


0)t(dB)t(H 3

2

3

2)t(dB)t(H B

H

2

3

Hgt0 y dBlt0





7



B

H

1

2

B

H

2

3

B

H

1

2

3

= -

B

H

1

23

=

3

2)t(dB)t(H

2

1)t(dB)t(H

3

1)()( tdBtH

3

1)()( tdBtH


8


B

H

1

23

4





4

1dBH =


9






hysteresis lawrdquo





10





n

maxH BfVP =donde




f Frecuencia



11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


6


0)t(dB)t(H 3

2

3

2)t(dB)t(H B

H

2

3

Hgt0 y dBlt0





7



B

H

1

2

B

H

2

3

B

H

1

2

3

= -

B

H

1

23

=

3

2)t(dB)t(H

2

1)t(dB)t(H

3

1)()( tdBtH

3

1)()( tdBtH


8


B

H

1

23

4





4

1dBH =


9






hysteresis lawrdquo





10





n

maxH BfVP =donde




f Frecuencia



11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


7



B

H

1

2

B

H

2

3

B

H

1

2

3

= -

B

H

1

23

=

3

2)t(dB)t(H

2

1)t(dB)t(H

3

1)()( tdBtH

3

1)()( tdBtH


8


B

H

1

23

4





4

1dBH =


9






hysteresis lawrdquo





10





n

maxH BfVP =donde




f Frecuencia



11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


8


B

H

1

23

4





4

1dBH =


9






hysteresis lawrdquo





10





n

maxH BfVP =donde




f Frecuencia



11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


9






hysteresis lawrdquo





10





n

maxH BfVP =donde




f Frecuencia



11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


10





n

maxH BfVP =donde




f Frecuencia



11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


11




n

maxHH BfKP =

donde









12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


12






13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


13








14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


14





15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


15




corriente




16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


16





17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


17



T

efap

A

AF =






18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


18





6

222

max

2 tfBPe

=

Donde


f Frecuencia



2

max

2 BfKP ee =


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900


19



2m

2e


Pfe [VAkg] o [Wkg]

B [T]

f


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



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119894119900

119894119900


20






i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



23




119894119900

119894119900




i

Nv


22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



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119894119900

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22


1198940 =119867 sdot 119897119898119873

io

Nv e+


io

wt

Curva B-H

119907 119905 = 119881119898119888119900119904 119908119905

V =119881119898

2



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119894119900

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Capítulo II : CIRCUITOS MAGNÉTICOS

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