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Capítulo – II: MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES

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Capítulo – II

MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS

GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES

SUMÁRIO

MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES .......................................................................................................... 1 MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES .......................................................................................................... 3

2. 1 – Objetivos do Capítulo .............................................................................................. 3 2. 2 – Introdução................................................................................................................ 4 2. 3 – As Leis de Newton para o Meio Discreto (Partículas e Sistema de Partículas).......... 5

2.3.1 - 1ª Lei de Newton ................................................................................................ 5 2.3.2 - 2ª Lei de Newton ................................................................................................ 5 2.3.3 - 3ª Lei de Newton ................................................................................................ 6

2. 4 – A Hipótese do Contínuo........................................................................................... 7 2. 5 – Transformação do Discreto para o Contínuo .......................................................... 10

i) Massa (Lei de Conservação da Massa) ...................................................................... 12 ii) Momento Linear (1ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)..................................... 12 iii) Força (2ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)..................................................... 12 iv) Forças de Ação e Reação (3ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)....................... 12

2. 6 – Grandezas, Densidades ou Potenciais Generalizados .............................................. 13 2.6.1 - Densidades ou Potenciais Generalizados (em termos da Geometria Euclidiana) 15 2.6.2 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Escalar: O Calor........... 16 2.6.3 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Deformação Elástica......................................................................................................................... 17 2.6.4 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Massa Fluida..................................................................................................................................... 18

2. 7 – Taxas Generalizadas (em termos da Geometria Euclidiana).................................... 19 2.7.1 - Conservação de uma Grandeza Generalizada e a sua Derivada Material ............ 19

2. 8 – Fluxos Generalizados (em termos da Geometria Euclidiana) .................................. 21


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2.8.1 – Fluxo Generalizado de Massa........................................................................... 23 2. 9 – Equações Diferenciais e Integrais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos ........ 26

2.9.1 – Teorema de Gauss e Teorema do Transporte de Reynolds para o Fluxo de uma Grandeza GX ................................................................................................................ 26 2.9.2 – Teorema da Divergência................................................................................... 29 2.9.2 – O Teorema da Divergência a partir da Derivada Material de uma Grandeza ..... 30 2.9.3 - O Teorema da Divergência Generalizado ......................................................... 31 2.9.4 - O Divergente e os Teoremas Correlatos ........................................................... 32

2. 10 – Leis Fundamentais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos............................. 35 2.10.1 – Equação da Continuidade para o Potencial Generalizado................................ 35 2.10.2 - Equação da Continuidade e Conservação da Massa......................................... 37

2. 11 – Equação do Movimento Generalizada para a Mecânica dos Meios Contínuos ...... 39 2.11.1 – Equações da Quantidade de Movimento........................................................ 39

2. 12 –Equação Constitutivas dos Potenciais Generalizados em termos da Geometria Euclidiana ........................................................................................................................ 47

2.12.1 – Fenomenologias da Mecânica do Contínuo descritas no Espaço Euclidiano ... 47 2.12.2 – O Fluxo de Generalizado, JX, através de uma Superfície................................. 48

2. 13 – A Equação de Distribuição do Potencial Escalar Generalizado e a Densidade Volumétrica Associada..................................................................................................... 52

2.13.1 – Equação do Potencial Generalizado em termos da Geometria Euclidiana ....... 52 2.13.2 - Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Escalar (Fluxo de Calor nos Sólidos – Lei de Fourier).............................................................................................. 54 2.13.3 - Equação de Distribuição do Potencial Escalar Generalizado para a Teoria do Calor ............................................................................................................................ 55

2. 14 – Exercicicos e Problemas....................................................................................... 58 2. 15 – Referências Bibliográficas .................................................................................... 59


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Capítulo – II

MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS

GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES

RESUMO Neste capítulo será visto a fundamentação matemática básica da teoria do campo

escalar, vetorial e tensorial em um meio material regular, onde desenvolvemos o cálculo

analítico das equações dos fluxos em termos dos volumes, das superfícies e dos contornos sem

a presença da irregularidades no contorno e da porosidade no domínio geométrico do

problema.

2. 1 – Objetivos do Capítulo

i) Apresentar a transição da Mecânica de Newton do Discreto para a Mecânica do Contínuo.

ii) Estabelecer a conexão entre o Meio Discreto e o Contínuo.

iii) Estabelecer as transformações das equações do meio discreto para o contínuo

iv) Descrever a Mecânica do Continuo Clássica apresentando os conceitos e os teoremas

fundamentais, as principais equações diferenciais e integrais básicas de potencial, fluxo e

continuidade.

v) Obter a partir das leis de Newton da Mecânica a Equação de Movimento de um Meio

Contínuo sem irregularidades.

vi) Fundamentar os resultados desta teoria para se fazer uma ampliação dos conceitos

utilizados neste capítulo com a presença de porosidade do volume e rugosidade das

superfícies.


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2. 2 – Introdução

Embora os primórdios de um estudo da mecânica dos corpos e das partículas

datam desde a Grécia antiga com os trabalhos de Aristóteles, uma descrição consistente de

uma equação de movimento para partículas e corpos sólidos iniciou-se com os trabalhos de

Galileu, seguido por Newton, seguido por Leibnitz e Lê Chatelier. Após inúmeros

desenvolvimentos matemáticos que levaram em conta o sistema de coordenadas utilizados na

descrição de um movimento, D’Alambert, Euler e Lagrange também obtiveram as mesma

equações de Newton, na sua forma generalizada, utilizando princípios variacionais. Estas

equações passaram a se chamar de equações de Euler-Lagrange. O desenvolvimento

matemático realizado até então, demonstrou que determinados princípios gerais estão

subtendidos no movimento de corpos e partículas, entre eles o princípio da mínima ação. Gibbs

e Onsager estenderam as generalizações da mecânica de Euler-Lagrange para leis de fluxos na

termodinâmica de processo irreversíveis incluindo a formulação do contínuo.

A transição da Mecânica Clássica para a Mecânica do Contínuo se deu graças ao

estudo dos corpos deformáveis onde se aplicou os princípios utilizados na Mecânica das

Partículas Discretas extendo-as para o Campo Contínuo. Uma generalização análoga as

equações de Euler-Lagrange foi feita por Elsheby na qual o tensor de Elsheby-Rice foi pela

primeira vez obtido.

Para se iniciar uma descrição matemática do problema do movimento de uma

partícula, pode-se optar pela linha histórica ou cronológica dos desenvolvimentos que se

seguiram desde Aristóteles até a idade moderna com Laplace, Poincaré, Lorenz, etc, ou optar

pela linha de descrição conceitual que se inicia com o conceito de momento linear, energia,

ação, etc. Contudo, o surgimento desses conceitos mais fundamentais como o de ação,

momento linear, energia, e de lagrangeano só apareceram muito tempo depois do

desenvolvimento inicial dado por Newton. Desta forma, tanto a linha histórica e cronológica

do desenvolvimento da mecânica parecem ter suas vantagens e desvantagens. Portanto, vamos

procurar mesclar as duas linhas de descrição de forma a se obter uma ascendência linear no

desenvolvimento do raciocínio lógico que deu origem a mecânica.


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2. 3 – As Leis de Newton para o Meio Discreto (Partículas e

Sistema de Partículas)

Vamos iniciar esta secção apresentando a descrição do movimento de uma

partícula a partir da postulação das três Leis de Newton, mas sem fazer quaisquer

considerações sobre a sua origem matemática ou histórica.

Em resumo as três leis de Newton se baseiam na conservação das grandezas:

massa, momento e energia e podem ser formalizadas nas seguintes expressões matemáticas

para o caso do movimento discreto de um sistema de partículas ou do centro de massa de um

corpo rígido, conforme mostra a Figura - 2. 1.

2.3.1 - 1ª Lei de Newton

A primeira lei está relacionada com o estado de movimento (massa e velocidade) e

estabelece um princípio de inércia a partir do qual “nenhum corpo inicia ou cessa seu estado

de movimento sem que sobre ele atue uma força”. Observe que para enunciar este principio

recorreu-se ao conceito de estado de movimento, o qual pode ser representado pela seguinte

expressão:

p mv (2. 1)

Nesta equação (2. 1) a letra p representa o momento linear da partícula, e m a massa e v a

sua velocidade. Também devemos observar que o princípio da inércia admite também a

existência de um outro conceito, o de força, cuja relação com o momento linear é dado pela

chamada 2ª lei de Newton:


A segunda lei proposta por Newton está relacionada a conservação do momento

linear e essa proposição feita por Newton estabelece-se que a força resultante que atua sobre

um determinado corpo ou partícula possui um valor dado pela derivada temporal do momento

linear resultante do sistema, de acordo com a seguinte expressão:

dpFdt

(2. 2)

Esta expressão constitui-se de fato em uma equação de movimento, considerando-se os


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conceitos anteriormente estabelecidos.


A terceira está relacionada a conservação da quantidade de movimento e esta

última proposição considera-se que as forças atuantes sobre os corpos possuem sua origem

nos campos (como o campo gravitacional, elétrico, magnético, etc) e nos contatos entre

superfícies (forças de pressão, choques ou colisões, etc). Neste sentido a complementaridade

das forças que atuam a partir de um mesma linha de ação, segue o seguinte postulado:

Quando corpos são submetidos a forças, estas possuem ação e reação iguais e

opostas e de mesma intensidade que não se anulam entre-si, porque atuam em corpos

diferentes, ou seja:

ação reaçãoF F

(2. 3)

Esta proposição também está relacionada com a interação entre corpos que pode se dar por

campo ou por contatos. Esta distinção ficará mais clara e útil no contexto da mecânica do

contínuo quando se utilizar o Princípio de Pascal.

Neste ponto é preciso ressaltar a diferença da natureza desses dois tipos de

interação que dão origem as forças de campo e de superfície (geradas pelo contato, pressão,

colisão, etc). Portanto, para uma descrição mais acurada do movimento de um corpo ou

partícula, deve-se distinguir na equação (2. 2) a natureza das força de campo e de superfícies

da seguinte forma:

dtpdFF sc

(2. 4)

Esta distinção ficará mais clara e útil no contexto da mecânica do contínuo quando se utilizar o

Princípio de Pascal.

A aplicação das leis de Newton ganhou grande abrangência na física e na

engenharia pela sua capacidade de explicar uma variedade enorme de fenômenos mecânicos

que vão desde o movimento de partículas, corpos celestes até sólidos e fluidos. Neste último

contexto essas leis obtiveram uma nova roupagem matemática que se iniciou com a hipótese

do contínuo.


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Figura - 2. 1. Movimento descrito pelas Leis de Newton para o caso discreto a) um sistema de partículas; b) o centro de massa de um corpo rígido .

2. 4 – A Hipótese do Contínuo


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A hipótese do contínuo assume que os materiais, sólidos e fluidos (que podem ser

líquidos ou gases), são distribuídos continuamente pela região de interesse do espaço, isto é,

tanto um quanto o outro, no caso sólido ou fluido, por exemplo, são tratados como um meio

contínuo sem recorrer a uma descrição atomística discreta.

Consideremos um material sólido formado por átomos como um metal, por

exemplo. O espaço percorrido por um elétron entre duas colisões consecutivas com o núcleo

dos átomos é chamado de caminho livre médio, l, (Figura - 2. 2).

Figura - 2. 2. Caminho livre médio, l, entre duas colisões consecutivas de um elétron com os núcleos de um sólido atômico.

Consideremos o caso onde o caminho livre médio, l, é da mesma ordem de

grandeza do volume de controle, L, isto é, L l. Neste caso, os fenômenos físicos existentes

não fazem parte do âmbito da Mecânica do Contínuo (1) e sim da Mecânica Estatística.

Contudo, se o caminho livre médio(2), l, entre duas colisões consecutivas for muito

menor do que a extensão física do volume de controle considerado, L, ou seja, quando L >>

l, a ciência capaz de tratar os fenômenos envolvidos neste volume de observação é a Mecânica

do Contínuo. Por exemplo, para os gases, o caminho livre médio é aproximadamente 10-7mm.

Logo, qualquer volume de controle da ordem de milímetros está dentro do intervalo de

conceituação dada pela Mecânica do Contínuo. Portanto, a propriedade usada para determinar

se a idéia de contínuo é apropriada, ou não, é a massa específica, ou densidade, , definida por:

1 Teoria do Calor, Mecânica dos Sólidos ou Fluidos 2 alguns livros trazem os termos “livre caminho médio”, “caminho médio livre de colisões”, que são todo equivalentes


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Vm

V

0lim

(2. 5)

Onde, m, é a massa incremental contida no volume, incremental, V . Isto significa que a

densidade do sólido contido neste volume sofre flutuações desprezíveis para a descrição

matemática da Mecânica do Contínuo de tal forma que esta pode ser calculada pela equação

(2. 5).

Figura - 2. 3. Hipótese do contínuo para o limite infinitesimal do volume de controle de um fluido. a) Medida da densidade em um ponto. b) Variação desta medida com o volume considerado.

Fisicamente não se pode fazer 0V , já que, quando V fica extremamente

pequeno a massa contida nele varia descontinuamente de pendendo do número de átomos em

V . Na prática, existe um volume pequeno abaixo do qual a idéia de contínuo falha, como

pode-se ver na Figura - 2. 3, pois abaixo desse volume, , tem-se um valor no qual as

distâncias lineares são da ordem do livre caminho percorrido pelas moléculas. Sendo assim, a

hipótese do contínuo é válida quando tem-se, L l , ou seja, a distância linear (L) é maior

que o livre caminho médio ( l ) como já foi dito anteriormente, e não é válida para L l .

Conforme o gráfico da Figura - 2. 3, a partir do ponto A entramos na região de

domínio da Mecânica do Contínuo, onde não depende mais da escala de observação do

volume de controle, ou seja, esta é a condição de continuidade da matéria. Nesta figura

mostra-se como uma medida é aceitável dentro da hipótese do contínuo. Termodinamicamente

falando este volume equivale àquele que contém um mínimo de 1015 partículas, pois coincide

com o limite termodinâmico, veja por exemplo, a representação mostrada na Figura - 2. 3a.

O limite superior da hipótese do contínuo, para acima do qual não é válida, é o


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tamanho do próprio sistema que está sendo analisado, pois se analisarmos uma grandeza com

dimensões maiores que o tamanho do sistema este se torna insignificante. Por exemplo,

assumindo-se um rio como um sistema fluido, se for tomado um volume suficientemente

pequeno, abaixo de , teremos L l e assim, a hipótese do contínuo não é válida. Porém, se

tomarmos um volume muito grande para analisar o sistema fluido rio, como o planeta terra,

por exemplo, como se estivéssemos sobrevoando-o em um avião a grande altitude, observando

a terra, o rio será considerado e visto como uma linha e não como um fluido em movimento.

2. 5 – Transformação do Discreto para o Contínuo


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A transformação da descrição matemática da Mecânica das Partículas para a

Mecânica do Contínuo, se dá quase que naturalmente com o surgimento do conceito de

“densidade generalizada” ou grandeza específica. Esse conceito é dado pela quantidade de

uma determinada grandeza contida em um volume infinitesimal do contínuo, ou seja, para o

caso de um meio onde vale a hipótese do contínuo, precisamos transformar as grandezas de

partículas discretas em densidades que serão, nada mais nada menos, que suas respectivas

grandezas por unidade de volume.

A transição da forma matemática das leis de Newton do caso discreto para o

contínuo é feito por meio das seguintes transformações matemáticas, de massa, momento

linear, força, etc:

:

p

F

X

m dm dVp dp dV

F dF dV

X dX dV

. (2. 6)

onde utiliza-se as respectivas densidades generalizadas.

:

:

:

:

:

p

F

dmm massadV

dpp J momentodVdFF f forçadV

d outrasdV

XXX

. (2. 7)

De forma análoga a transformação matemática da massa em densidade de massa, a

transformação do momento linear segue o mesmo raciocínio dessa transformação, ou seja, a

densidade de momento corresponde a quantidade de momento contida em um volume

infinitesimal do contínuo. Por último, a equação de movimento segue das transformações

anteriores em que a densidade de forças é dada pela variação temporal da densidade dos

momentos lineares.

A escala necessária para que essa transição seja válida é mostrada

esquematicamente na Figura - 2. 4.


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i) Massa (Lei de Conservação da Massa)

Logo a transformação matemática destas grandezas fica estabelecida como:

dVdmm . (2. 8)

onde,

ii) Momento Linear (1ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)

De forma análoga a transformação do momento linear segue o mesmo raciocínio

da transformação da massa, ou seja, a densidade de momento corresponde a quantidade de

momento contida em um volume infinitesimal do contínuo, ou seja:

vdV

pdJp mm . (2. 9)

iii) Força (2ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)

Por último a equação de movimento segue das transformações anteriores em que a

densidade de forças é dada pela variação temporal da densidade dos momentos lineares.

R Rdp dFF fdt dV

. (2. 10)

onde

d dp d dpdV dt dt dV

. (2. 11)

Logo

R

d vf

dt

. (2. 12)

iv) Forças de Ação e Reação (3ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)

Naturalmente tem-se que a densidade de força de ação ( ijf

) possui mesma


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intensidade e sinal oposto a força de reação ( jif

), da seguinte forma:

jiijjiij ffFF

. (2. 13)

ou

ação reaçãof f

. (2. 14)

Figura - 2. 4. Relação entre tamanho de um corpo continuo com 2310 átomos e uma partícula do continuo no interior do corpo com 1510 átomos resultando em uma escala de 81:10 do corpo.

2. 6 – Grandezas, Densidades ou Potenciais Generalizados


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Na secção anterior vimos a definição de várias densidades as quais serão chamadas

de densidades generalizadas

:

:

::

densidade de massa

J densidade de momento

f densidade de forçaoutras densidades

Xρ

(2. 15)

e podem ser generalizadas da seguinte forma:

Como conseqüência da hipótese do contínuo, nós devemos transformar as

grandezas da Mecânica Clássica e da Mecânica dos Sólidos, etc. em densidades generalizadas,

fazendo as grandezas originais se tornarem em grandezas por unidade de volume. Desta forma,

uma grandeza , , , ,m p F U etcX qualquer tipo de grandeza (3) que deverá ser transformada

na sua respectiva densidade da seguinte forma:

VX

VX

0lim

. (2. 16)

esta densidade pode ser utilizada para definir uma densidade generalizada. Logo podemos

escrever:

d d dm ddV dm dV dm

X XX X X . (2. 17)

Observe que de forma geral a densidade generalizada depende da densidade de massa do meio

e da relação da grandeza X com a massa do elemento de infinitesimal de volume que a

contém.

3 Essa grandeza X possui uma natureza geral que podem ser número de partículas, N, massa, m, momento linear, p , carga elétrica, q, Força, F

, Energia, U, calor, Q, U entropia S, Potencia, P, etc) respectivamente,

que podem ser grandezas escalares, vetoriais, tensoriais, como os tensores de tensão , Polarização P , etc. ou seja qualquer outro tipo de grandeza matematizável.


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2.6.1 - Densidades ou Potenciais Generalizados (em termos da Geometria

Euclidiana)

Para a descrição das grandezas físicas as quais foram historicamente generalizadas

no contexto da Mecânica do Continuo e da Termodinâmica, vamos utilizar como base a

geometria euclidiana. Dentro desta geometria o sistema de coordenadas adotado será o sistema

cartesiano, podendo ser utilizado o sistema de coordenadas curvilíneo que se fizer necessário e

adequado à descrições que se seguirem.

Dentro da Mecânica do Contínuo define-se uma densidade generalizada de uma

grandeza X , em termos da geometria euclidiana, associada ao meio e a essa grandeza X ,

como sendo:

oXo dV

dXρ . (2. 18)

Onde X é a densidade generalizada pode ser rescrita como:

ooXo dV

dMdMd

dVd XXρ . (2. 19)

logo

dMd

MoXoXρ . (2. 20)

onde M é a densidade de massa ou a massa especifica.

O uso de densidades generalizadas ficará claro quando invocarmos a equação da

continuidade. Para título de ilustração exemplificaremos o cálculo da densidade generalizada

para o fluxo de calor, para o fluxo de deformações elásticas e para o fluxo de massa fluida.


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2.6.2 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Escalar: O Calor

Definindo a densidade volumétrica de calor em termos da geometria euclidiana

temos:

oQo dV

dQ . (2. 21)

onde esta densidade generalizada para o calor é dada por:

ooQo dV

dmdmdQ

dVdQ

. (2. 22)

ou

dmdQ

moQo . (2. 23)

onde é a densidade de massa ou a massa especifica.

Para calcular o termo que falta, podemos determiná-lo pela definição do calor

específico, de onde sabemos que:

TmcQ (2. 24)

e m é a massa do corpo c é o calor específico a pressão constante. Logo

TcdmdQ . (2. 25)

Retornando (2. 25) em (2. 23) temos:

TcmoQ . (2. 26)

Observe que a densidade generalizada do fluxo de calor é uma grandeza escalar e

possui dimensão de unidade de energia por unidade de volume.


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2.6.3 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A

Deformação Elástica

A densidade volumétrica generalizada de energia sob a forma de deformação é

dada pela transferência de momento na deformação elástica cuja densidade generalizada

termos da geometria euclidiana é pode ser expressa como:

ouo dV

Ud

. (2. 27)

ou

oouo dV

dmdmUd

dVUd

. (2. 28)

ou

dmUd

mouo

. (2. 29)

onde é a densidade de massa ou a massa especifica. Sendo a quantidade de momento linear

transmitido pelas deformações dadas por:

dtudmcU

(2. 30)

e m é a massa da deformação do corpo c é uma constante de acoplamento elástico. Mas a taxa

de deformação pode ser escrita como:

dtudc

dmUd

(2. 31)

logo, substituindo (2. 31) em (2. 29) temos:

dtudcmouo

. (2. 32)

considerando a constante 1c temos:

uo mou . (2. 33)

A densidade generalizada de energia de deformação uo possui caráter vetorial e


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sua dimensão é dada em momento linear por unidade de volume.

2.6.4 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Massa

Fluida

Definindo a densidade volumétrica de momento em termos da geometria euclidiana

temos:

opo dV

pd . (2. 34)

onde esta densidade generalizada para fluido.

A densidade de energia sob a forma de taxa de deformação é dada pela

transferência de momento na deformação do fluido cuja densidade generalizada é dada por:

po mo o

dp dp dm JdV dm dV

. (2. 35)

ou

dmpd

mopo

. (2. 36)

onde mo é a densidade de massa ou a massa especifica do fluido.

Para calcular o termo que falta podemos determiná-lo pela definição do momento

de uma partícula.

vmp (2. 37)

e m é a massa do corpo. Logo

vdm

pd . (2. 38)

Retornando (2. 38) em (2. 36) temos:

vmpo . (2. 39)

Esta densidade generalizada de momento linear possui caráter vetorial de forma

semelhante a densidade volumétrica de força que é uma grandeza de força bem conhecida da

Mecânica do Contínuo.


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2. 7 – Taxas Generalizadas (em termos da Geometria Euclidiana)

Na natureza algumas grandezas dinâmicas podem ser representadas por meio de

taxas e fluxos generalizados. Entre eles está a taxa e o fluxo de massa, o fluxo de calor, o fluxo

de momento linear, etc., que atravessa um corpo, por exemplo.

Definimos a taxa de uma determinada grandeza X como sendo:

ddt

XX . (2. 40)

a derivada temporal de uma grandeza X define uma grandeza chamada de derivada material

no contínuo a qual é descrita a seguir:

2.7.1 - Conservação de uma Grandeza Generalizada e a sua Derivada Material

A quantificação de uma grandeza, XG , de um meio contínuo deve levar em conta o

volume na qual esta grandeza se encontra sob controle. Normalmente ao se deslocar de um

ponto a outro um meio contínuo pode-se sofrer variação de volume, mas a grandeza XG como

um todo pode permanecer constante, se o sistema não for dissipativo. Contudo, em relação a

uma região delimitada do espaço, denominada volume de controle, esta grandeza XG pode

está variando e por isso torna-se necessário equacioná-la de forma a saber quanta dessa

grandeza atravessa (chega e sai) por unidade de tempo, conforme mostra a Figura - 2. 5. Logo,

de uma forma geral, se , , ,X XG G x y z t temos:

( , , )X X X X XdG x y z G G G Gx y zdt x t y t z t t

(2. 41)

ou

X X X X Xx y z

dG G G G Gv v vdt x y z t

(2. 42)

Simplificando temos:

.X X

X

TranspoteLocal

dG Gv Gdt t

(2. 43)

Portanto, vamos considerar a derivada material de qualquer grandeza generalizada,


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denominada, XG . Esta expressão é absolutamente geral para as grandezas GX = Q (calor), q

(carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. e suas respectivas densidades, X, de,

calor, carga elétrica, concentração, momento, etc.

Figura - 2. 5. Volume e superfície de controle na qual atravessa uma massa fluida, dm = dV, em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, com velocidade, v.

De forma análoga, vamos considerar a derivada material de qualquer grandeza

generalizada, denominada, GX, como sendo dada por:

.X XX

dG Gv Gdt t

(2. 44)

Definido-se a grandeza GX como sendo da por meio de uma densidade generalizada, X, temos:

X

X XV

G dV ρ (2. 45)

A equação (2. 43) torna-se:

.X X

X X XV V

d dV v G dVdt t

ρ ρ (2. 46)

Esta expressão é absolutamente geral para as grandezas GX = Q (calor), q (carga

elétrica), C (concentração), p (momento), etc. e suas respectivas densidades, X, de, calor,

carga elétrica, concentração, momento, etc.


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2. 8 – Fluxos Generalizados (em termos da Geometria Euclidiana)

De forma geral o fluxo de uma grandeza generalizada X que atravessa uma área

infinitesimal, odA

, em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, é definido como:

Xoo o

d d ddtdA dA

X XJ . (2. 47)

O sobrescrito “ o ” indica que a geometria considerada é a geometria euclidiana regular.

Esta grandeza, X , é de natureza geral e pode ser um escalar (massa M, carga elétrica q, calor

Q, energia U entropia S, etc ) ou um vetor (momento p , velocidade v , etc.) ou um tensor

(tensão , Polarização P , etc.). O sobrescrito “o ” indica que a geometria considerada é a

geometria euclidiana regular.

Seja XoJ o fluxo generalizado da grandeza X que atravessa uma superfície

euclidiana sem rugosidade, onde oA

é a área de projeção euclidiana que o fluxo XoJ

atravessa. Mantendo-se a relação entre as taxas temporais da grandeza X inalterada, a

equação (2. 47) pode ser reescrita como:

oXo Addtd

JX. (6. 1)

Tomando a derivada volumétrica dos dois lados da equação (2. 92) temos:

oXo AddVd

dtd

dVd

JX. (6. 2)

dependendo da natureza da grandeza X temos a seguinte consideração geral a fazer. Pode-se

definir de forma absolutamente geral que, o lado direito da equação (2. 93) corresponde a uma

operação sobre o fluxo XoJ . Como este fluxo é de natureza tensorial generalizada e ele pode

ser também uma grandeza escalar, ou um vetor, vale ressaltar que:

oXoXoi

AddVd

x

JJ (6. 3)

ou


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Siijk

i

ijk dAnJdVd

xJ

...... (6. 4)

observe que a operação do lado esquerdo de (2. 94) envolve uma somatória (índices repetidos

– notação de Einstein) que pode ser representado de forma mais direta pelo operador nabla.

oXoXo AddVd

JJ. (6. 5)

A natureza da operação de nabla sobre o campo XoJ dependerá da sua natureza tensorial.

Pois se este pode ser um escalar (tensor de ordem zero), um vetor (tensor de ordem um) ou

um tensor como usualmente conhecemos. Logo, teremos:

):(

):(

VetorTensorAddVddiv

EscalarVetorJAdJdVdJdiv

o

XooXoXo

XoXoXo JJJ

. (6. 6)

Aqui é importante observar como o Teorema de Gauss pode ser escrito a partir de

(2. 92) em termos de volumes, como:

Siijk

V i

ijk dAnJdVx

J...

... (6. 7)

onde i,j,k,...= 1,2,3..

Definindo-se o divergente como sendo a seguinte operação matemática aplicada a

grandeza escalar, X :

dtdX

dVdJ

oXo

. . (6. 8)

Aqui é importante observar como o teorema da divergência pode ser escrito a

partir de (2. 92) em termos de volumes, como:

oXoo

Xo AdJdVdJ

. . (6. 9)

e conseqüentemente o teorema da divergência.


23

oXooXo dVJAdJ

. . (6. 10)

Substituindo (6. 10) em (2. 92) temos:

oXodVJdtdX

. . (6. 11)

Trocando a ordem das derivadas (6. 8) podemos escrever:

oXo dV

dXdtdJ. . (6. 12)

Retornando a equação (6. 12) temos a equação da continuidade definida para várias

fenomenologias nas geometrias euclidiana regular:

XoXo dtdJ . . (6. 13)

Note que para esse caso particular de X ser uma grandeza escalar chegamos ao

resultado (6. 13). Contudo, se quisermos generalizar o resultado podemos escrever:

dt

d XoXo

ρJ . (6. 14)

A conclusão que podemos tirar deste resultado é que para cada fluxo existe um

potencial ou densidade generalizada associado por uma operação diferencial no sistema de

coordenadas no qual as grandezas são descritas.

2.8.1 – Fluxo Generalizado de Massa

O primeiro fluxo a ser considerado é o fluxo de massa a partir de (2. 47)

mo o

dm d dmJdtdA dA

. (2. 48)

usando a regra da cadeia podemos escrever:

0

00m

dVd dmJdV dtdA

. (2. 49)

ou


24

00m

o

dVdJdtdA

. (2. 50)

onde /dV dt é uma espécie de vazão. Logo,

0 0 0m

o o

d dV dVdJdt dtdA dA

. (2. 51)

como a densidade não depende da área temos:

0o

ddA . (2. 52)

então

0m

o

dVdJdtdA

. (2. 53)

mas 0 .odV dA dx

Figura - 2. 6. Fluxo de massa atravessando uma região infinitesimal do espaço com volume dV e área

superficial dA

.

Logo,

.om

o

dA dxdJdtdA

. (2. 54)

de forma óbvia, temos que:


25

mdxJdt

. (2. 55)

ou finalmente

m mJ v . (2. 56)

observe que o fluxo de massa é igual ao escoamento ou a densidade de momento definidos

anteriormente.

.Fluxo Generalizado Densidade Associada Velocidade Associada . (2. 57)

Concluímos que para alguns casos o fluxo de massa equivale a densidade de

momento ou a taxa de escoamento. Observe que sempre haverá uma relação entre fluxos de

uma grandeza com a densidade associada.


26

2. 9 – Equações Diferenciais e Integrais Básicas da Mecânica dos

Meios Contínuos

2.9.1 – Teorema de Gauss e Teorema do Transporte de Reynolds para o Fluxo de

uma Grandeza GX

Para derivar as equações que governam o escoamento de um meio contínuo

compressível, nós precisamos considerar integrais de qualquer função de posição e tempo

),( trX sobre um volume de meio contínuo. Este volume se moverá com o meio contínuo

mas consiste das mesmas partículas. Tal volume é chamado de um volume material e será

denotado por VX(t). Logo, considerando-se a grandeza GX como sendo da por meio de uma

densidade generalizada, X, temos:

( )

( ) ,X

X XV t

G t r t dV ρ (2. 58)

A qual define a função de t. O teorema de transporte de Reynolds’s nos diz como calcular a

derivada de ( )XG t em relação ao tempo.

( )

,X

XX

V t

dG t d r t dVdt dt

(2. 59)

Note que por causa do volume V(t) variar com o tempo e mover-se com o meio contínuo, não

é possível tomar a derivada sob o sinal de integração, Contudo, é necessário usar a derivada

material de ( )XG t . Portanto o teorema pode ser escrito como:

.X X X

X X XV V V

d dV v dV dVdt t

ρ ρ ρ (2. 60)

A equação (2. 43) torna-se:

( ) ( )

,X

XX X

V t V t

d r t dV v dVdt t

ρρ ρ (2. 61)

Onde v é a velocidade da partícula fluida.

Retornando a derivada material dada em (2. 43) podemos escrever a versão

integral desta equação. Para realizarmos este cálculo devemos considerar o fato que sendo


27

XX

dGdV

ρ , onde Xρ é a densidade associada a grandeza X , logo:

Tomando o primeiro termo do lado direito de (2. 60) temos:

. .X

X XV

v G dV v ρ (2. 62)

Passando o operador gradiente para dentro da integral, temos:

. .X X

X X X XV V

v G v dV v v dV ρ ρ ρ (2. 63)

Mas dV = dxdydz, logo:

.X

X X X XV

v G v v v dVx x x ρ ρ ρ (2. 64)

Então

.X

X X X XV

v G v dydz v dxdz v dxdz ρ ρ ρ (2. 65)

Logo

ˆ ˆ ˆ. . . .X

X X x X y X zS

v G v n dydz v n dxdz v n dxdy ρ ρ ρ (2. 66)

Ou

ˆ ˆ ˆ. .. .. .X

X X x x X y y X z zS

v G v n dA v n dA v n dA ρ ρ ρ (2. 67)

Portanto

. .X

X XS

v G v dA ρ (2. 68)

Por outro lado, tomando o segundo termo do lado direito de (2. 43) ou (2. 60) temos que a

taxa de variação temporal de G é:

X X

X XX

V V

G dV dVt t t

ρρ (2. 69)

Substituindo de volta (2. 68) e (2. 69) em (2. 43) temos que:


28

.X X

X XX

S V

dG v dA dVdt t

ρρ

(2. 70)

Aplicando o teorema (2. 68) a equação (2. 61) ou substituindo de volta (2. 58), (2.

68) e (2. 69) em (2. 43) nós obtemos a seguinte forma equivalente do teorema de transporte:

( ) ( ) ( )

, .X X X

XX X

V t S t V t

d r t dV v ndA dVdt t

ρρ ρ (2. 71)

Onde SX(t) é a superfície de VX(t) e n̂ é o vetor unitário normal dirigido para fóra de SX(t).

Fisicamente, a equação (2. 71) estabelece que a taxa de variação da integral de

,X r tρ é igual a integral da taxa de variação de ,X r tρ

sobre uma região fixada mais a

resultante do fluxo de através da superfície SX(t). O resultado permanece para qualquer função

escalar, vetorial ou tensorial.

Chamando de X X vJ ρ ao fluxo de massa que atravessa a superfície do volume

de controle temos o seguinte resultado geral:

.X X

X XX

S V

dG dA dVdt t

ρJ

(2. 72)

Figura - 2. 7. Volume e superfície de controle nos quais atravessam um fluxo, J, de uma grandeza G, compressível, em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, com velocidade, v.

Para o caso em que a grandeza total se conserva, ou quando o volume de controle não envolve

a fonte de massa, temos que / 0XdG dt , logo

. 0X X

XX

S V

dA dVt

ρJ

(2. 73)


29

Esta equação diz que quando a massa é constante, o que o fluxo de uma grandeza,

G que atravessa a superfície é igual a variação de massa no seu volume de controle.

2.9.2 – Teorema da Divergência

Vamos agora definir, assim como o gradiente, um novo operador diferencial que

ajudará muito na solução de problemas de fluxo de massa e energia. Na verdade, a

interpretação física deste operador é que ele determina qual é a fonte do campo, isto, se o

volume de controle inclui essa fonte nos cálculos. Portanto, a partir de (2. 68) vamos tomar a

derivada em relação ao volume desta grandeza de tal forma que:

( . ) . (grandeza intensiva)X

XX

S

d v G d v dAdV dV

ρ (2. 74)

A qual chamaremos de divergente da grandeza escalar (x,y,z,t) definida por:

. . (vazão)X

X XS

v G v dA ρ (2. 75)

Como

(fluxo)X X vJ ρ (2. 76)

Logo (x,y,z,t) pode ser escrito como:

.X

XS

dA J

(2. 77)

Podemos chamar de divergente de XJ a equação:

0. limX V

dV dV

J (2. 78)

logo

. .X

X XS

d dAdV

J J

(2. 79)

Do qual podemos escolher o volume do cálculo do divergente coincidente com o volume de

controle da área utilizada no cálculo da vazão, e escrever:


30

. .X

X XS

dV d dA

J J

(2. 80)

ou integrando no volume:

. .X X X

X XV V S

dV d dA

J J

(2. 81)

Finalmente temos:

. .X X

X XV S

dV dA J J

(2. 82)

Desde que a superfície de controle, S, contenha o volume de controle, V.

Este teorema da divergência, de uma forma geral, relaciona integral de volume

com a integral de superfície.

2.9.2 – O Teorema da Divergência a partir da Derivada Material de uma Grandeza

Ainda podemos desenvolver a equação (6. 14) utilizando o conceito de derivada

material visto na secção - 2.7.1 o qual veremos a seguir:

.Xo XoXo

d vdt t

ρ ρρ

(2. 83)

substituindo (2. 83) em (6. 14) temos:

. . XoXo Xov

t

ρJ ρ

(2. 84)

integrando em relação ao volume temos:

. . XoXo Xo

V V V

dV v dV dVt

ρJ ρ

(2. 85)

a partir de (2. 68) temos que:

ˆ. .Xo XoV S

v dV v ndA ρ ρ (2. 86)

logo


31

ˆ. . XoXo Xo

V S V

dV v ndA dVt

ρJ ρ

(2. 87)

sendo

Xo XovJ ρ (2. 88)

temos:

ˆ. . XoXo Xo

V S V

dV ndA dVt

ρJ J (2. 89)

para a situação estacionária temos:

0Xo

t

ρ

(2. 90)

Portanto,

ˆ. .Xo XoV S

dV ndA J J (2. 91)

Esta é a expressão do teorema da divergência da forma como é comumente conhecido

2.9.3 - O Teorema da Divergência Generalizado

Seja XoJ o fluxo generalizado da grandeza X que atravessa uma superfície

euclidiana sem rugosidade, onde oA

é a área de projeção euclidiana que o fluxo XoJ

atravessa. Mantendo-se a relação entre as taxas temporais da grandeza X inalterada, a

equação (2. 47) pode ser reescrita como:

oXo Addtd

JX. (2. 92)

Tomando a derivada volumétrica dos dois lados da equação (2. 92) temos:

oXo AddVd

dtd

dVd

JX. (2. 93)

dependendo da natureza da grandeza X temos a seguinte consideração geral a fazer. Pode-se

definir de forma absolutamente geral que, o lado direito da equação (2. 93) corresponde a uma


32

operação sobre o fluxo XoJ . Como este fluxo é de natureza tensorial generalizada e ele pode

ser também uma grandeza escalar, ou um vetor, vale ressaltar que:

oXoXoi

AddVd

x

JJ (2. 94)

ou

Siijk

i

ijk dAnJdVd

xJ

...... (2. 95)

observe que a operação do lado esquerdo de (2. 94) envolve uma somatória (índices repetidos

– notação de Einstein) que pode ser representado de forma mais direta pelo operador nabla.

oXoXo AddVd

JJ. (2. 96)

A natureza da operação de nabla sobre o campo XoJ dependerá da sua natureza

tensorial. Pois se este pode ser um escalar (tensor de ordem zero), um vetor (tensor de ordem

um) ou um tensor como usualmente conhecemos. Logo, teremos:

( : )

( : )

Xo Xo o Xo

o

ddiv J J dA J Vetor EscalardVddiv dA Tensor Vetor

dV

Xo Xo XoJ J J

. (2. 97)

Aqui é importante observar como o Teorema de Gauss pode ser escrito a partir de

(2. 92) em termos de volumes, como:

...... ...( : n n 1)ijk

ijk i ijkiV S

JdV J n dA Tensor ordem ordem

x

J (2. 98)

onde , , ,... 1,2,3,...i j k

2.9.4 - O Divergente e os Teoremas Correlatos

Se acontecer que:

( )

ˆ ( )X X XS t

dJ é Escalar J J ndA gradiente de um escalardV

(2. 99)


33

e

( )

( )

( )

ˆ ( )

ˆ ( )

ˆ ( )

X XS t

X X XS t

X XS t

dJ J ndA gradiente de um vetordV

dJ é um vetor J J ndA divergente de um vetordV

dJ J ndA rotacional de um vetordV

(2. 100)

e

( )

( )

( )

ˆ ( )

ˆ. . ( )

ˆ ( )

X XS t

X X XS t

X XS t

dJ J ndA gradiente de um tensordV

dJ é um tensor J J ndA divergente de um tensordV

dJ J ndA rotacional de um tensordV

(2. 101)

Observe que estas definições dão origem aos principais teoremas integrais do

contínuo:

( )

ˆ ( )X X XV S t

J é Escalar J dV J ndA Teorema do gradiente de um escalar

(2. 102)

e

( )

( )

( )

ˆ ( )

ˆ ( )

ˆ ( )

( )

X XV S t

X XV S tX

X XV S t

J dV J ndA Teorema do gradiente de um vetor

J dV J ndA Teorema do divergente de um vetorJ é um vetor

J dV J ndA Teorema do rotacional de um vetor

Teorema de Stokes

(2. 103)

e


34

( )

( )

( )

ˆ ( )

ˆ. . ( )

ˆ ( )

X XV S t

X X XV S t

X XV S t

J dV J ndA gradiente de um tensor

J é um tensor J dV J ndA divergente de um tensor

J dV J ndA rotacional de um tensor

(2. 104)


35

2. 10 – Leis Fundamentais Básicas da Mecânica dos Meios

Contínuos

A equação que agora vamos deduzir é chamada de equação da continuidade e na

sua forma generalizada, pode servir como equação de massa, energia, entropia, momento, etc.

2.10.1 – Equação da Continuidade para o Potencial Generalizado

Equações de potencias e fluxos que atravessam superfícies euclidianas lisas ou não-

rugosas podem ser escritas em termos da geometria euclidiana.

Vejamos agora a utilidade do teorema da divergência para transformar a equação

integral dada em (2. 72) em uma equação diferencial. Portanto substituindo (2. 82) em (2. 72)

temos que:

.X X

X XX

V V

dG dV dVdt t

ρJ (2. 105)

Tomando-se os mesmo volume de controle tanto para o divergente como para o

fluxo temos que:

( ) .X XX

dGddV dt t

ρJ (2. 106)

Ou trocando a ordem das derivadas totais temos:

( ) .X XX

dGddt dV t

ρJ (2. 107)


. X XX

dt dt

ρ ρJ (2. 108)

Essa é a forma da equação da continuidade. Ela retrata um balanço espaço-temporal da

grandezagenralizada em Xρ onde essa é a densidade volumétrica associada a grandeza X .

Neste conjunto de fenomenologias que seguem a equação da continuidade estão os

fenômenos, da difusão, transferência de calor, escoamento viscoso, deformação de sólidos,

mecânica da fratura, eletromagnetismo, etc. A título de laboratório teórico e para os propósitos

deste trabalho vamos formular os fenômenos de potencial escalar como a temperatura, e nos


36

fenômenos de potencial vetorial como a teoria da elasticidade e a mecânica da fratura.

Sendo oX uma grandeza que se conserva absolutamente no tempo, ela estará

sujeito a uma lei de conservação do tipo:

. 0XXJ

t

. (2. 109)

Esta é a forma da equação da continuidade, para a maioria dos sistemas.

Para a situação de fluxo generalizado, XJ

, temos:

0)(.

tJ X

X

(2. 110)

Explicitando, JX, temos:

0)().(

tv X

X

(2. 111)

Usando a identidade diferencial temos:

XXX vvv .).().( (2. 112)

Logo

0)(.).(

tvv X

XX

(2. 113)

Esta equação explicita a equação da continuidade em termos da densidade

generalizada, X, e da velocidade, v .

Considerando o caso em que a massa total se conserva (d/dt = 0) temos:

0 (escoamento "incompressível" e permanente). 0

0 (escoamento "compressível" não permanente)t

X

XX

X

tt

ρρJ

ρ (2. 114)

Esta equação diz a mesma coisa que a equação (2. 105), porém em uma linguagem

diferencial, ou seja, quando a massa é constante, o que variação volumétrica do fluxo de massa

que atravessa a superfície é igual a variação temporal da massa no seu volume de controle.

Esta equação decide se o escoamento é incompressível ou não.


37

2.10.2 - Equação da Continuidade e Conservação da Massa

A densidade é definida como:

dMdV

(2. 115)

Como o volume V em geometria cartesianas é dado por:

d d diV L dV dr dx

(2. 116)

onde d é a dimensão topológica do espaço euclidiano. Logo,

d d

d di

d M d Mdr dx

(2. 117)

Considerando a massa total do sistema constante temos:

0dMdt

(2. 118)

donde, derivada material temos:

dM Mv Mdt t

(2. 119)

sendo

M dV (2. 120)

nos leva a:

d vdt t

(2. 121)

Como não há criação de massa

0ddt (2. 122)

logo

0vt

(2. 123)

Como


38

mJ v (2. 124)

fica

. mim

i

JJx

(2. 125)

Então

. 0mJt

(2. 126)


39

2. 11 – Equação do Movimento Generalizada para a Mecânica

dos Meios Contínuos

A partir das transformações matemáticas feitas anteriormente podemos iniciar a

descrição da Mecânica do Contínuo, a qual pode ser aplicada aos fenômenos de calor,

elasticidade, viscosidade, fratura, etc., em sólidos e fluidos.

2.11.1 – Equações da Quantidade de Movimento

A 2ª Lei de Newton estabelece que:

RdpFdt

(2. 127)

Neste ponto, a fim de se obter uma descrição mais acurada do movimento de um

corpo deformável, deve-se obter uma versão da equação (2. 2), para o caso do contínuo.

E a força resultante é dada pela somatória das forças externas aplicadas ao corpo

contínuo. A força externa total é dada pelo Princípio de Pascal por:

R ext C SF F F F

(2. 128)

Na mecânica do contínuo precisamos observar o Principio de Pascal (4) para

separar somatória das forças sobre o corpo em dois tipos principais. Logo, neste ponto, é

preciso ressaltar a diferença da natureza desses dois tipos de força de interação que dão origem

as forças de campo. Estas são de campo (gravitacional, campo elétrico, etc,) e de superfície

(geradas pelo contato, pressão, colisão, etc) as quais compõem a força resultante sobre um

corpo contínuo da seguinte forma:

R C SdpF F Fdt

(2. 129)

As forças externas que atuam sobre VX incluem ambas as forças de massa (devido

a gravidade) e as de superfície (devido as tensões). A força de massa total, f, é dada por:

4 O Principio de Pascal establece que as que as forças de volume e de superfícies se comunicam através do meio contínuo


40

( )

( , )CV t

F r t gdV (2. 130)

Onde g é a força total por unidade de massa. Usualmente g é devido a efeitos gravitacionais.

Derivando a equação (2. 129) em relação ao volume temos:

C SdF dF d dpdV dV dV dt

(2. 131)

Como /C Cf dF dV

e /S Sf dF dV

, então, de forma mais sintética podemos escrever:

C Sd dpf f

dV dt

(2. 132)

considerando as derivadas no volume e no tempo são contínuas, podemos pela regra de

Schwartz trocar os suas ordem de operação obtendo:

C Sd dpf fdt dV

(2. 133)

Portanto se quisermos utilizar a 2a Lei de Newton para analisar o estado geral de

movimento em um meio contínuo devemos conhecer todas as forças de corpo ou de volume e

as forças superficiais encontradas no mesmo. A partir de (2. 9) temos:

C SdJf fdt

(2. 134)

sendo p dado por (2. 1) temos que:

mdp d mvdV dV

(2. 135)

onde

mm

dvdmJ v mdV dV

(2. 136)

considerando que a velocidade média mv dentro de um elemento infinitesimal de volume é

uniforme, isto é 0mdvdV

para o volume infinitesimal considerado, podemos escrever:

m mJ v (2. 137)


41

A conservação do momento requer que a taxa de variação do momento de uma

partícula em um meio continuo no tempo em um volume material, VX(t) dever ser igual a soma

das forças externas que atuam sobre VX(t).

dVvtrdtdF

tVXext

X

),(

)( (2. 138)

Portanto, a expressão geral da 2ª lei de Newton para o contínuo é dada

substituindo (2. 137) em (2. 134):

C S mdf f vdt

(2. 139)

O termo mv pode ser chamado de escoamento; cf

é a densidade de forças de corpo; sf

é a

densidade de forças de superfície.

A densidade de força externa total é dada pelo Princípio de Pascal por:

R ext C Sf f f f

(2. 140)

logo (2. 139) fica

C S mdf f vdt

(2. 141)

A equação (2. 141) é a equação fundamental para o movimento de uma partícula

no contínuo, chamada de Equação de Movimento de Cauchy. Ela será a base das equações de

movimento que se seguirão na descrição dos diferentes fenômenos a serem abordados neste

trabalho. Uma das generalizações das leis de Newton para o contínuo pode ser feita de forma

mais rigorosa usando-se o teorema do transporte de Reynolds, o qual é descrito na secção

2.9.1. Um dos objetivos deste capítulo é criar subsídios para uma teoria do contínuo que

envolva a rugosidade da superfície de contorno e a porosidade do interior do volume do corpo.

De forma mais sintética podemos escrever:

C S m mdf f vdt

(2. 142)

Observe que a expressão da lei de Newton para o contínuo é geral e não envolve a

descrição matemática da rugosidade, a qual será incluída na equação constitutiva. Porque ela

será considerada uma característica para cada material e que será descrita no Capitulo III.

Vamos agora analisar as forças de superfícies e as forças internas.


42

Figura - 2. 8. Elemento de volume infinitesimal dV sobre o qual se aplica uma força superficial

sobre uma área infinitesimal dA

.

Sabendo que o tensor das tensões σ é definido como:

[ ] ( )dF tensordA

. (2. 143)

A força superficial devido as tensões que atuam sobre o elemento dA, do contorno

da superfície de V(t) é dada por:

nT ˆ].[σ

(2. 144)

Onde T

é o vetor tensão. A força de tensão total, FS, portanto dada por:

dATFtS

S )(

(2. 145)

Tanto a força de superfície SF

como as forças internas são definidas como:

dAnFtS

S )(

ˆ].[σ

. (2. 146)

Onde S(t) é a superfície de contorno de V(t), é o tensor das tensões e n̂ é o vetor normal

unitário apontado na direção de S(t). Isto porque depende da relação entre o tensor das

tensões σ e o elemento de área dA

se este é interno ou na superfície. Logo neste caso a

densidade de forças de superfícies Sf

pode ser escrita como:


43

ˆ.SS

S t

dF df ndAdV dV

σ

. (2. 147)

e pode ser relacionada com a variação temporal do momento linear como:

~SdpFdt

. (2. 148)

e de uma forma geral temos que essas forças são responsáveis pelo escoamento do material, ou

seja:

~V SV S

dF dF d dpf fdV dV dV dt

. (2. 149)

trocando a ordem das derivadas temos, uma relação da densidades das forças com a densidade

de momento linear ou o fluxo de massa, dado por:

~V Sd dpf fdt dV

. (2. 150)

observe que essa densidade de força geral está relacionada a derivada temporal do fluxo de

massa ou a densidade de momento, ou seja:

mV S

dJf fdt

. (2. 151)

usando (2. 9) em (2. 151) temos:

V Sdf f vdt

. (2. 152)

Se existe uma força superficial ou interna então existe uma tensão superficial ou

interna definida por (2. 143). Como as tensões internas representam um fluxo de momento

para dentro do corpo, usando (2. 148) em (2. 143) temos:

[ ] ~ d dpdtdA

. (2. 153)

logo a tensão está relacionada na verdade com um fluxo de momento, ou seja:

[ ] ~ p J . (2. 154)

concluímos que:


44

~Tensão Fluxo de Momento . (2. 155)

Concluímos, portanto a partir de (2. 147), que existe estreitas relações entre:

~ ~Tensão Fluxo Densidade . (2. 156)

Retornando a 2ª lei de Newton para o contínuo dada em (2. 139) temos:

C S mdf f vdt

(2. 157)

ou

SC m

dF df vdV dt

(2. 158)

a partir de (2. 146) temos:

dAnFtS

S )(

ˆ].[σ

(2. 159)

com ˆdA ndA

. Substituindo (2. 159) em (2. 158) temos:

( )

ˆ[ ].C mS t

d df ndA vdV dt

σ

(2. 160)

Observe que a 2ª lei de Newton é uma espécie de lei de fluxo. A partir do segundo termos da

equação (2. 160) e de (2. 149) temos:

( )

ˆ[ ] . ~S

SS F

S t fluxodensidade taxa

dF d d dpf ndAdV dV dV dt

σ (2. 161)

Observe que a densidade de forças superficiais é também o divergente das tensões:

.[ ]S Ff

. (2. 162)

que é definido por:

( )

ˆ.[ ] [ ].S t

d ndAdV

σ σ (2. 163)

Aplicando o teorema da divergência nós obtemos:


45

dVFtV

S )(

).( σ

(2. 164)

logo

.[ ]Sf σ

(2. 165)

e ainda temos como conseqüência o teorema da divergência:

dAndVftSV

S )(

ˆ].[. σ

(2. 166)

Esta é a expressão do teorema da divergência para um campo de tensão produzido por forças

superficiais.

A partir das equações (2. 130) e (2. 164) a força externa total em (2. 128) é dada

por:

dVdVgtrFtVtV

ext )()(

).(),( σ (2. 167)

Substituindo este resultado em (2. 138)

dVdVgtrdVvtrdtd

tVtVtVX

X

)()()(

).(),(),( σ (2. 168)

Aplicando o teorema do transporte de Reynolds (2. 61) na equação (2. 168) acima nós

obtemos:

( ) ( ) ( )

,. , , .

X

XX

V t V t V t

r tv r t dV r t gdV dV

t

σ

(2. 169)

para o caso particular em que ,X r t v e desde que V(t) é arbitrário, nós temos depois

de rearranjado os termos e eliminando a integral no volume temos que:

.[ ]d v

gdt

σ

(2. 170)

Esta equação é chamada de equação do momento. Portanto, usando-se a definição de derivada

material a equação de movimento de um meio contínuo é dada por:


46

( )( , ) . vr t g vt

σ (2. 171)

Como conseqüência da generalização do teorema da divergência mostrada na

secção - 2.9.3, veja que, de uma forma geral, podemos definir uma operação sobre

conforme for a ordem do tensor σ ou a natureza dessa grandeza, ou seja, é escalar, vetor

ou tensor, temos:

( )

ˆS t

d ndAdV

(2. 172)

O símbolo

representa uma operação do operador nabla sobre a grandeza generalizada

Reescrevendo a 2ª lei de Newton para o contínuo temos:

c mdf vdt

(2. 173)

Esta é uma equação geral para o contínuo que não depende do material, e é independente da

ordem do tensor .


47

2. 12 –Equação Constitutivas dos Potenciais Generalizados em

termos da Geometria Euclidiana

Vários fenômenos de transporte em meios contínuos podem ser unificados em

equações de potenciais (escalares ou vetoriais) e de fluxos. Entre eles se encontram a

Mecânica dos Sólidos, dos Fluidos e do Calor, Mecânica da Fratura, etc. Essa generalização é

devida a J. W. Gibbs, pois ele identificou que vários problemas de transporte podem ser

escritos em termos do gradiente de grandezas escalares ou vetoriais juntos com a equação da

continuidade. Essa unificação deu avanço a chamada Mecânica do Contínuo e a

Termodinâmica dos Processos Irreversíveis.

Até agora as deduções feitas não envolveram nenhum tipo de material. Para

descrever o comportamento particular de um tipo de material é preciso utilizar um tipo de

equação característica chamada de equação de consistência ou constitutiva. Vamos

exemplificar o uso de uma equação constitutiva para o problema do calor e da elasticidade.

2.12.1 – Fenomenologias da Mecânica do Contínuo descritas no Espaço Euclidiano

A Mecânica do Contínuo considera, ao invés de partículas, uma nova roupagem

para a 2ª Lei de Newton em termos de volumes distribuído no espaço. Nesta situação as

massas são substituídas por densidades generalizadas, as forças são substituídas por fluxos

generalizados. A equação de movimento aparece na forma da equação da continuidade. Desta

forma, diferentes fenomenologias de fluxos apresentam a mesma estrutura matemática a qual

está resumida na equação (2. 174) cujas leis fenomenológicas de fluxos são proporcionais aos

gradientes de suas respectivas grandezas


48

...

.

d d dm ddV dm dV dm

Leis de Fluxo

FickP Stevinv Newton

cte T Fourier kPol ElétricaPol Magnética

etc

d dX vdtdA

X

X

X

X X X

JEB

J

.

(2. 174)

Uma mesma equação, chamada de “equação da continuidade”, dada por

dtd

tJ XX

X

. . (2. 175)

quando aplicada sob a visão de cada uma das equações fenomenológicas listadas na (2. 174)

gera diferentes equações de movimento para as fenomenologias contidas no mesmo grupo

estrutural de equações matemáticas. Portanto, um dos objetivos deste capítulo é mostrar o uso

de equações e teoremas da Mecânica do Contínuo de forma generalizar essas equações para

abordar fenomenologias mais complexas envolvendo rugosidade de superfícies. Portanto,

vamos mostrar a seguir como diferentes fenomenologias que podem ser descritas a partir de

uma única estrutura matemática de densidades, leis de fluxos e potenciais generalizados.

2.12.2 – O Fluxo de Generalizado, JX, através de uma Superfície

Vamos a partir de agora definir o fluxo generalizado, JX, das grandezas

generalizadas, MX, consideradas anteriormente, como sendo:

dtdX

dAdJ X (2. 176)

Desde que dX/dt é uma derivada material para as grandezas X = Q (calor), q

(carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. O fluxos correspondentes podem ser


49

definidos como JX = JQ (fluxo de calor), Jq (fluxo de corrente elétrica), J (fluxo de massa), Jp

(fluxo de momento = pressão + tensão tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de

Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc.

XXXX vJdtdX

AddJ

. (2. 177)

Onde etcUFpmX ,,,,

.

pFX Jf

. (2. 178)

e

XX kJ

. (2. 179)

Portanto, a partir da equação da derivada material dada em (2. 43) a equação (2.

176) fica:

).(tXXv

dAdJ X

(2. 180)

Reescrevendo o primeiro termo do lado direito da equação acima temos:

xX

vXdAdXv

dAd

.).( (2. 181)

Logo

tXvX

dAdJ x

XX

. (2. 182)

Ou

. .X X XX X

d X X dv d XJ v

dA dA dA t

(2. 183)

Ou

. .XX X X

X X X

d X X d X dv d XJ v

dA dA dA dA t

(2. 184)


50

. . XX X X

X X X

d X X dv X d d XJ v v

dA dA dA dA t

(2. 185)

Ou

. .XX X

X X

d X d X dv d XJ v

dA dr dA dA t

(2. 186)

Ou

. .X XX

d dX X dv d XJ v

dA dr dA dA t

(2. 187)

Ou

. .X XX

dX X dv d XJ v

dV dA dA t

(2. 188)

Ou

.X X XX

X dv d XJ v

dA dA t

(2. 189)

Chamando de kX a constante de acoplamento dada por:

vXdAdk

XX

(2. 190)

Ficamos com:

tX

dAdkJ xXX (2. 191)

Para uma grandeza X que não varia explicitamente no tempo, temos que 0 tX , ficamos

finalmente com:

xXX kJ (2. 192)

Observe que, para as grandezas X = T (temperatura), (potencial elétrico), C

(concentração), v (velocidade), etc, correspondem aos fluxos JX = JQ (fluxo de calor), Jq (fluxo

de corrente elétrica), J (fluxo de massa), Jp (fluxo de momento = pressão + tensão tangencial),


51

etc, dados respectivamente pelas lei de Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc. Onde em cada caso

temos kX = -k (condutividade térmica), - (condutividade elétrica), -D (coeficiente de difusão),

(coeficiente de viscosidade), etc.


52

2. 13 – A Equação de Distribuição do Potencial Escalar

Generalizado e a Densidade Volumétrica Associada

James Williard Gibbs descobriu que os fluxos derivados de potenciais podem ser

geralmente expressos em temos de gradiente de grandezas escalares ou vetoriais. Por exemplo,

vários processos naturais seguem uma lei de condutividade da grandeza oX , dada pela

seguinte relação:

XoXoJ

. (2. 193)

onde é uma constante física associada ao fenômeno que no caso é a condutividade térmica

do material. Entre as equações dadas por (2. 193) estão a Lei de Fourier para o Calor, a Lei de

Fick para a Difusão, a Lei de Ohm para a Eletrodinâmica Clássica, etc. Observe que para cada

fluxo da grandeza X, existe uma densidade volumétrica associada dessa grandeza.

Seguindo a descrição matemática acima podemos escrever uma equação para a

distribuição da grandeza X por unidade de volume, como :

0 00

. X Xo X

dt dt

. (2. 194)

Para o caso conservativo temos:

00

. 0Xo o X t

. (2. 195)

Observe que neste tipo de problema nenhuma relação com a dimensionalidade do

espaço foi feita, pois nas equações acima considera-se que os fluxos atravessam superfícies

euclidianas regulares. Contudo, quando uma superfície ou um volume irregular são

considerados as equações descritas acima precisam ser revisadas sob o ponto de vista da

dimensionalidade topológica destas superfícies e volumes.

2.13.1 – Equação do Potencial Generalizado em termos da Geometria Euclidiana

A partir da equação da continuidade (2. 175) temos:

0 0

0. X X

X

dJ

t dt

. (2. 196)


53

Usando as considerações de Gibbs para os fluxos derivados de potenciais os quase

são geralmente expressos em temos de gradiente de grandezas escalares ou vetoriais podemos

substituir (2. 193) em (2. 175) e obter:

0. XXo Xo

dt dt

. (2. 197)

Para = cte, temos:

02 XXo Xo

dt dt

. (2. 198)

Onde a derivada material de X é dada por:

. XoXo Xo

ddt t

. (2. 199)

Logo

02 .X XoXo Xot t

. (2. 200)

Caso I)

Para campos com fluxos conservativos temos:

02 0XXo t

. (2. 201)

Caso II)

Para fluxos estacionários temos:

2 1 . 0Xo Xo

. (2. 202)

Caso III)

Para regimes onde os fluxos são perpendiculares aos gradientes( ) temos:

2 0Xo . (2. 203)

Onde . 0

Por outro lado, substituindo (2. 20) em (2. 197) temos:


54

. M M MdX dX d dXdM t dM dt dM

. (2. 204)

Considerando a densidade de massa M e cte são constantes, não dependem da posição

temos:

2M M M

dX dX d dXdM t dM dt dM

. (2. 205)

ou finalmente

2M

dX dX d dXdM t dM dt dM

. (2. 206)

Observe que para cada uma das equações anteriores dada em (2. 25),(2. 31) e (2. 38) teremos

uma fenomenologia diferente representadas pelas equações de difusão térmica, elástica e

fluídica.

2.13.2 - Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Escalar (Fluxo de Calor

nos Sólidos – Lei de Fourier)

A equação fenomenológica geral proposta por Gibbs para os fluxos derivados de

potenciais e que são geralmente expressos em temos de gradiente de grandezas escalares ou

vetoriais, no caso do fluxo de calor é dado pela lei de Fourier da seguinte forma:

QQJ

. (2. 207)


][ TcJ MQ

. (2. 208)

Sendo a difusividade térmica é definida em termos da condutividade térmica da seguinte forma:

ck

M . (2. 209)

Portanto, temos a conhecida expressão para a Lei de Fourier que fornece o fluxo de calor em

um material sólido, com condutividade térmica, k , a qual especifica o tipo de material, dado


55

por:

QJ k T (2. 210)

2.13.3 - Equação de Distribuição do Potencial Escalar Generalizado para a Teoria

do Calor

Usando as considerações de Gibbs para os fluxos derivados de potenciais os quais

podem ser geralmente expressos em temos de gradiente de grandezas escalares ou vetoriais.

temos finalmente que:

. QoQo Qo

dt dt

. (2. 211)

Agora substituindo (2. 210) e utilizando a densidade generalizada para o fluxo de

calor dado por (2. 26) em (2. 196) para X = Q temos:

0. QM M

dc T c T

t dt

. (2. 212)

Observe que esta é a equação tradicional de calor.

Considerando M , e c constantes temos:

2M M

dc T c Tdt

. (2. 213)

ou

2 1 dT Tdt

. (2. 214)

finalmente,

dtdTT

12 . (2. 215)

Esta é a clássica equação de difusão térmica para os sólidos.

Para casos onde a condutividade térmica é uma constante e o fluxo de calor é

estacionário podemos escrever:

0. T . (2. 216)

Executando as derivadas temos:


56

02 T . (2. 217)

Esta equação será a base para a dedução da equação integral de contorno.


57

2. 14 – Exemplos e Aplicações


58

2. 15 – Exercicicos e Problemas


59

2. 16 – Referências Bibliográficas


60

Apêndices

A. 1 –


61

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