Capítulo 9: Diagonalización de...

Capítulo 9: Diagonalización de matrices

1. Lección 33. Transformaciones linealesDel mismo modo que el estudio de las funciones usuales es importante para

analizar las relaciones y la evolución de magnitudes escalares, es convenientetambién estudiar funciones para magnitudes vectoriales; o para magnitudescuyos valores son vectores de un espacio de más de 3 dimensiones.

Las funciones más sencillas en que las variables son vectores en lugar deescalares son las transformaciones lineales.

Una transformación lineal de Rn es una función f : Rn → Rn en que lasvariables son vectores, y que está dada por una ecuación matricial lineal

[(y)] = [f(x)] = A · [x]

donde A es una matriz n×n y [x] (respectivamente, [(y)]) es la matriz-columnadel vector x (resp., del vector (y)).

Ejemplo 1. Una transformación lineal de R3 es la dada por la ecuación

[f(x, y, z)] =

−1 3 1−1 2 0

3 −2 4

·

xyz

La anterior transformación lineal puede darse de forma más desarrollada

comof(x, y, z) = (−x + 3y + z,−x + 2y, 3x− 2y + 4z)

Por ejemplo, f(0, 1, 2) = (5, 2, 6).

Algunas propiedades de las transformaciones lineales son las siguientes (enlo que sigue, f es cualquier transformación lineal, u, v vectores cualesquiera, rcualquier escalar).

1. Conservación de sumas y productos por escalares.

f(u + v) = f(u) + f(v), f(rv) = rf(v)

2. Conservación de combinaciones lineales.

f(r1v1 + · · ·+ rkvk) = r1f(v1) + · · ·+ rkf(vk)

1

http://www.um.es/docencia/jsimon/depmat/2014-2015/Matematicas-Cap9.pdf


1.1. Matriz de una transformación linealSi f : Rn → Rn es una transformación lineal dada por la ecuación matricial

[f(x)] = A · [x], entonces decimos que A es la matriz de la transformación, yescribimos A = M(f).

Para el comentario siguiente, nos centramos en el caso n = 3, aunque sepueden hacer consideraciones análogas en cualquier otro caso. Sea f : R3 → R3

una transformación lineal, y sea A = M(f). Los vectores

e1 =−→i = (1, 0, 0), e2 =

−→j = (0, 1, 0), e3 =

−→k = (0, 0, 1)

forman la base canónica de R3. Si denotamos los elementos de la matriz A comolos aij , entonces

f(e1) = (a11, a21, a31), f(e2) = (a12, a22, a32), f(e3) = (a13, a23, a33)

Es decir, la matriz A de la transformación lineal es la matriz de la sucesiónde vectores f(e1), f(e2), f(e3).

Por consiguiente, para conocer la matriz de la transformación f , basta cono-cer los valores f(ei) para los vectores ei de la base canónica.

Veamos algunos ejemplos en que podemos escribir la matriz de la transfor-mación a partir de las imágenes de los vectores de la base.

Ejercicio 1. Calcular la matriz de la transformación lineal que lleva cadavector del plano R2 a su simétrico con respecto al eje horizontal.

La transformación lleva los puntos P,Q,R a P ′, Q′, R′ respectivamente.

6

-rP=P ′

rQrQ′

rR′rRDe acuerdo con la descripción de la transformación, tendremos que (1, 0) 7→

(1, 0), puesto que los puntos del eje horizontal quedan fijos. Por otra parte, elpunto (0, 1) va a su simétrico, (0, 1) 7→ (0,−1).

La matriz será pues (1 00 −1

)Naturalmente, conocida la matriz podemos calcular f(v) para cualquier vec-

tor. Por ejemplo, f(−2, 3) =(

1 00 −1

)·(−2

3

)=

(−2−3

).

Luego f(v) = (−2,−3).

Ejercicio 2. Calcular la matriz de la transformación lineal de R2 que llevacada vector a su proyección en el eje vertical.

2



6

-rP

rP ′

r Q=Q′

rRrR′

Se tiene que (1, 0) 7→ (0, 0) y (0, 1) → (0, 1). Por tanto la matriz será(0 00 1

)De ese modo, tendremos f(a, b) = (0, b), para cualquier vector (a, b) ∈ R2.

Ejercicio 3. Calcular la matriz de la transformación gα del plano que con-siste en girar cada vector un ángulo α en sentido positivo alrededor del origen.

6

-��

��

rP

rP ′r QrQ′

Usando la representación geométrica, se puede ver que gα(1, 0) = (cosα, senα)y que gα(0, 1) = (−senα, cosα).

Por tanto, la matriz de la transformación será

M(gα) =(

cosα −senαsenα cosα

)De este modo, para cualquier vector (a, b) se tiene

gα(a, b) = (acosα− bsenα, asenα + bcosα)

1.2. Cambio de base y transformaciones linealesSupongamos ahora que queremos hallar la matriz de la transformación de

R2 que lleva cada vector a su simétrico respecto de la recta x = 2y.

6

-

��

��

��

�rP

rP ′

rQr

Q′

rR=R′

6

-

��

��*v1=f(v1)

AAAK

v2

AAAU f(v2)

Calcular los vectores f(e1) y f(e2) no es ahora tan directo como en los ejem-plos anteriores. Ocurre, sin embargo, que hay otros vectores v1, v2 que formanbase y para los cuales es fácil calcular las imágenes.

En efecto, tomando v1 = (2, 1) que está en la recta x = 2y, este vectorqueda fijo por la transformación, de modo que f(v1) = v1. También el vector

3



perpendicular a dicha recta v2 = (−1, 2) cumple que f(v2) = −v2, como se veen la figura.

Vamos ahora a hacer algunas consideraciones generales sobre estas situa-ciones, y volveremos al ejemplo más adelante.

Sea f : Rn → Rn una transformación lineal y sea B = {u1, u2, . . . , un} unabase de Rn. Para cada vector x, escribimos [x]B para indicar la matriz columnacuyos elementos son las coordenadas de x con respecto a la base B.

Llamamos matriz de la transformación f respecto de la base B, MB(f), a lamatriz n× n cuyas columnas son [f(u1)]B, [f(u2)]B, . . . , [f(un)]B.

Volviendo al ejemplo del comienzo de este apartado, se tiene que los vectoresv1, v2 forman una base B, porque la matriz de esa sucesión de vectores es

P =(

2 −11 2

)y su determinante es 6= 0.

Se tiene:f(v1) = v1, f(v2) = −v2

y además

[f(v1)]B =(

10

), [f(v2)]B =

(0

−1

)Por lo tanto,

MB(f) =(

1 00 −1

)Sabiendo MB(f), se puede calcular la matriz M(f) de la transformación.

Podemos ver en general de qué modo se hace esto.

Sea A = M(f) y C = MB(f). Sea P , como antes, la matriz de la sucesiónde vectores que forman la base. Como vimos en el capítulo anterior, se tiene

P · [v]B = [v]

Por la misma razón, se tendrá

P · [f(v)]B = [f(v)]

Por ser A la matriz de la transformación lineal, se tiene

A · [v] = [f(v)]

Esta igualdad vale también cuando tomamos la matriz de la transformaciónen otra base:

C · [v]B = [f(v)]B

Por lo tanto, tenemos

P · C · [v]B = P · [f(v)]B = [f(v)] = A · [v] = A · P · [v]B

Del hecho de que esta igualdad se cumple para todo v, se obtiene enseguidaque P · C = A · P .

4



Escribimos esta ecuación a la que hemos llegado en forma más completa:

P ·MB(f) = M(f) · P, M(f) = P ·MB(f) · P−1

Volviendo al ejemplo anterior, hemos visto que

MB(f) =(

1 00 −1

), P =

(2 −11 2

)Calculando la inversa, tenemos

P−1 =15

(2 1

−1 2

)Luego

M(f) =15

(2 −11 2

)·(

1 00 −1

)·(

2 1−1 2

)=

(3/5 4/54/5 −3/5

)De esta manera se hace el cambio de base de la matriz de una transformación

lineal.

Ejercicio 4. Sabiendo que la matriz de una transformación lineal g es 0 −2 2−1 0 1−1 −2 3

, calcular la matriz de g con respecto a la base B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}.

La matriz de la nueva base será

P =

1 0 11 1 01 1 1

Si calculamos su inversa por el procedimiento visto en el capítulo anterior,

tendremos

P−1 =

1 1 −1−1 0 1

0 −1 1

Como sabemos que se tiene M(g) = P · MB(g) · P−1, podemos despejar

MB(g) para obtenerMB(g) = P−1 ·M(f) · P

Como conocemos las tres matrices de la derecha, hacemos su producto yobtenemos

MB(g) =

0 0 00 1 00 0 2

1.3. Composición de transformaciones

Dos transformaciones Rn f→ Rn g→ Rn se pueden componer; y g ◦ f esuna transformación lineal de Rn si f, g son transformaciones lineales. Se tiene(g ◦ f)(v) = g(f(v)).

5



Para cualquier vector v ∈ Rn se tiene entonces

[g(f(v))] = M(g) · [f(v)] = M(g) · (M(f) · [v])

Pero como debe ser[g(f(v))] = M(g ◦ f)[v]

vemos que, para que esta igualdad se verifique para todo v, debe tenerse

M(g ◦ f) = M(g) ·M(f)

Así, la matriz de una compuesta es igual al producto de las matrices de cadafactor (en el orden indicado).

Vamos a ver algún ejemplo.

Ejercicio 5. Hallar la composición de dos giros en el plano.

Sean gα y gβ los giros (alrededor del origen) de ángulos α, β respectivamente.Se tiene

M(gα) =(

cosα −senαsenα cosα

), M(gβ) =

(cosβ −senβsenβ cosβ

)Su compuesta gβ ◦ gα tendrá la matriz producto(

cosβcosα− senβsenα −cosβsenα− senβcosαsenβcosα + cosβsenα −senβsenα + cosβcosα

)Por conocidas relaciones trigonométricas, esta matriz será(

cos(α + β) −sen(α + β)sen(α + β) cos(α + β)

)Pero esta es la matriz del giro de ángulo α + β. Luego la composición será

gβ ◦ gα = gα+β

Ejercicio 6. En R2, sea g el giro de ángulo π2 y sea h la simetría con respecto

a la recta y = x. Calcular g ◦ h y h ◦ g.

Empezaremos por escribir las matrices M(g) y M(h), viendo la acción deestas transformaciones sobre la base canónica e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1).

En primer lugar, el giro g cumplirá g(e1) = e2 y g(e2) = −e1. En cuanto ala simetría h:

�

�

�

�

-

=h(ı) 6

ı=h()

cumple que h(e1) = e2 y h(e2) = e1.

De esta manera, se tiene

M(g) =(

0 −11 0

), M(h) =

(0 11 0

)

6



Haciendo los productos, tendremos

M(h ◦ g) = M(h) ·M(g) =(

1 00 −1

)

M(g ◦ h) = M(g) ·M(h) =(−1 0

0 1

)Se puede comprobar que M(h ◦ g) coincide con la matriz de la simetría con

respecto al eje horizontal (recta y = 0). De este modo, h ◦ g es la simetría conrespecto al eje horizontal.

Por otro lado, la matriz M(g ◦ h) coincide con la matriz de la simetría conrespecto al eje vertical (recta x = 0). Luego g ◦ h es la simetría con respecto aleje vertical.

En general, la compuesta en el plano de un giro (alrededor del origen) y unasimetría (respecto de una recta que pasa por el origen) es una simetría. En lasmismas condiciones, la composición de dos simetrías es un giro.

2. Lección 34. Vectores y valores propios

2.1. Vectores propiosConsideremos de nuevo una simetría respecto de una recta en el plano. Sea

r la recta de ecuación general mx − y = 0 y sea f la simetría respecto de esarecta.

Como hemos comentado en la lección anterior, no es totalmente directo cal-cular las imágenes f(e1), f(e2) de los vectores de la base canónica. Sin embargo,si tomamos u1 = (1,m), vemos que ese vector tiene la dirección del eje desimetría r. Por tanto, f(u1) = u1.

Del mismo modo, la recta x + my = 0 es perpendicular a r. Así, el vectoru2 = (m,−1) tiene dirección perpendicular al eje de simetría. Por tanto, f(u2) =−u2. Estas propiedades hacen que sea fácil determinar la matriz de f respectode la base formada por los vectores u1, u2.

De modo más general, las transformaciones lineales pueden tener ciertasdirecciones privilegiadas, de manera que los vectores en esa dirección se trans-forman en vectores con la misma dirección. Estos vectores, llamados vectorespropios de la transformación, son importantes para describir la transformación;al mismo tiempo, esos vectores pueden proporcionar bases con respecto a lascuales la matriz de la transformación tiene una forma sencilla.

Definición 1. Sea f : Rn → Rn una transformación lineal. Un vector v ∈ Rn

se dice que es un vector propio para la transformación f cuando v 6= 0 y existeun número λ de manera que se tiene

f(v) = λv

En el ejemplo de la simetría anterior, u1 era un vector propio, porque f(u1) =u1 = 1 · u1. También u2 es vector propio en esa transformación porque f(u2) =−u2 = −1 · u2.

7



Si v es un vector propio para la transformación f , entonces el escalar λ quecumple la ecuación f(v) = λv está determinado por v. λ se llama el valor propioasociado a v.

Una matriz cuadrada A de orden n determina una transformación lineal ftal que M(f) = A. La condición de que un vector v 6= 0 sea un vector propiopara f se puede poner en términos de la matriz A. En efecto,

[f(v)] = A · [v], f(v) = λv ⇔ A · [v] = λ[v] = (λIn) · [v]

Por tanto, v es vector propio para f si y solo si existe un escalar λ de modoque se satisface la ecuación matricial A · [v] = (λIn)[v]. Podemos poner estaecuación en la forma

(λIn −A)[v] = 0

Sea M(f) = A. Los vectores propios para f se llaman también vectorespropios de la matriz A. Las consideraciones anteriores muestran que v 6= 0 esun vector propio de la matriz A si y solo si existe un escalar λ tal que

(λIn −A)[v] = 0

donde 0 es una matriz columna nula.

2.2. Cálculo de los vectores propiosCuando conocemos el valor propio λ, es fácil calcular los vectores propios

correspondientes a dicho valor propio, porque se trata de resolver un sistema deecuaciones lineales (homogéneas).

Ejercicio 1. Dada la matriz

A =

1 2 2−1 4 1−2 2 5

hallar los vectores propios correspondientes al valor λ = 3.

Sabemos que los vectores que buscamos son los que verifican la ecuaciónmatricial (3I3 −A)[v] = 0. Así, debemos escribir la matriz 3I3 −A.

3I3 −A =

3 0 00 3 00 0 3

−

1 2 2−1 4 1−2 2 5

− =

2 −2 −21 −1 −12 −2 −2

La ecuación que da los vectores propios es 2 −2 −2

1 −1 −12 −2 −2

·

xyz

=

000

Este es un sistema homogéneo que puede resolverse por el método general.

La resolución nos conduce a la ecuación x−y−z = 0 solamente. Para cada valorde y, z obtenemos una solución, x = y + z. Aparece así un conjunto doblementeinfinito (un plano) de soluciones: es el conjunto de todos los vectores directores

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del plano x− y − z = 0. Ahora bien: para describir este conjunto basta dar dosvectores linealmente independientes de ese conjunto: todos los demás son suscombinaciones lineales.

Por ejemplo, podemos tomar los vectores (1, 1, 0) y (1, 0, 1), que se obtienentomando y = 1, z = 0 o y = 0, z = 1, respectivamente. Estos son vectorespropios (con el valor propio λ = 3) y todas sus combinaciones lineales sonvectores propios (excepto el vector 0; pero en adelante se sobreentenderá estaexcepción).

Tenemos, por tanto, esas dos maneras de describir la colección de los vectorespropios (con valor propio λ): (1) son todos los del plano x− y− z = 0; y (2) sontodas las combinaciones lineales de los vectores (1, 1, 0), (1, 0, 1).

2.3. Cálculo de los valores propiosCuando se conoce el valor propio λ, es sencillo como hemos visto hallar los

vectores propios correspondientes. Sin embargo, el problema principal cuandose trata de calcular los vectores propios de una transformación lineal es hallarcuáles pueden ser los valores propios.

Definición 2. Sea A una matriz cuadrada, de modo que A = M(f) paraalguna transformación lineal f . Un escalar λ se llama un valor propio para lamatriz A cuando existe algún vector propio de la transformación f con valorpropio λ (por ser vector propio ha de ser 6= 0).

Cualquier escalar λ da lugar a una ecuación matricial (o sistema homogéneo)

(λIn −A)X = 0

donde X es la matriz n × 1 de las incógnitas. Por la definición, λ es un valorpropio si y solo si esa ecuación tiene alguna solución X 6= 0.

El sistema de ecuaciones anterior (λIn −A)X = 0 tiene siempre la soluciónX = 0 (y por tanto es un sistema compatible). Esta se llama la solución trivial.Por tanto, si el sistema es compatible determinado, esa será la única solución y,en consecuencia, λ no será un valor propio.

Por el contrario, si el sistema es compatible indeterminado, entonces tienesoluciones distintas de la solución trivial. Esas soluciones darán efectivamentevectores propios, y λ será un valor propio.

Usamos el teorema de Rouché para dar la conclusión de la discusión anterior.El sistema homogéneo cuya matriz es λIn − A es determinado si y solo si esamatriz tiene rango n. Por tanto, λ es un valor propio si y solo si rg(λIn−A) < n.

A su vez, el rango de dicha matriz es n si y solo si la matriz es regular, si ysolo si su determinante es no nulo. En definitiva, tenemos:

Proposición 1. λ es un valor propio de la matriz cuadrada A de orden n siy solo si

|λIn −A| = 0

Puesto de otro modo: los valores propios de la matriz cuadrada A de ordenn son las soluciones de la ecuación |xIn −A| = 0.

9



Definición 3. Si A es una matriz cuadrada de orden n, el desarrollo deldeterminante |xIn−A| es un polinomio, que se llama el polinomio característicode la matriz A.

Los valores propios de la matriz A son las raíces de su polinomio caracterís-tico.

Ejercicio 2. Hallar los valores propios de la matriz del ejercicio 1.

La matriz era 1 2 2−1 4 1−2 2 5

El polinomio característico es∣∣∣∣∣∣

x− 1 −2 −21 x− 4 −12 −2 x− 5

∣∣∣∣∣∣ =

= (x−1)(x−4)(x−5)+4+4−2(x−1)+2(x−5)+4(x−4) = x3−10x2+29x−20+8+4x−24

Esto nos darápc(A) = x3 − 10x2 + 33x− 36

El problema de hallar las raíces de un polinomio no es, en general, fácil. Eneste caso, sin embargo, tenemos éxito buscando raíces enteras, que han de serdivisores de 36. Probando, podemos ver que 3 es una raíz y en definitiva que

pc(A) = (x− 3)2(x− 4)

Luego 3, 4 son los valores propios de A.

Ejercicio 3. Calcular todos los vectores propios de la matriz A del ejercicioanterior.

Hemos calculado ya los valores propios. Son λ = 3 (con multiplicidad 2; esdecir, (x− 3)2 es un factor del polinomio característico) y λ = 4.

Hemos hallado en el ejercicio 1 los vectores propios de valor propio 3: sontodos los vectores que son combinación lineal de (1, 1, 0), (1, 0, 1). Nos falta hallarlos vectores propios para el valor propio 4.

Sabemos que (las coordenadas de) dichos vectores son las soluciones delsistema de ecuaciones

(4I3 −A)X = 0

Es decir, las soluciones del sistema homogéneo cuya matriz de coeficienteses 4 0 0

0 4 00 0 4

−

1 2 2−1 4 1−2 2 5

=

3 −2 −21 0 −12 −2 −1

Haciendo transformaciones elementales de filas (y cambiando el orden de las

indeterminadas y, z), podemos cambiar la matriz

10



1 0 −1−3 2 2−2 2 1

,

1 −1 0−2 1 2−3 2 2

,

1 −1 00 −1 20 −1 2

Al final, el sistema es equivalente a:

x− z = 0, −z + 2y = 0

El conjunto de soluciones es simplemente infinito, puesto que podemos darloen función de un solo parámetro, la incógnita y, por ejemplo. Dándole el valory = 1 a esa incógnita, obtenemos z = 2 = x. Luego el vector (2, 1, 2) es unvector propio para el valor λ = 4.

Los demás vectores propios para ese valor son combinaciones lineales dedicho vector, porque solamente hay una incógnita cuyo valor se puede elegirlibremente.

Ejercicio 4. Hallar los vectores propios de la matriz A =(−5 12−4 9

)Hay que calcular primero el polinomio característico.∣∣∣∣x + 5 −12

4 x− 9

∣∣∣∣ = x2 − 4x− 45 + 48 = x2 − 4x + 3

Los valores propios son las raíces del polinomio característico. En este caso,

x =4±

√16− 122

=4± 2

2

lo que da las dos raíces 1, 3.Ahora, hay que hallar los vectores propios para cada uno de esos dos valores

propios.(i) Con λ = 1, calculamos la matriz λI2 −A = I2 −A. Será(

6 −124 −8

)Los vectores propios para ese valor son las soluciones del sistema de ecua-

ciones (I2 −A)X = 0.

El sistema dado es equivalente a la ecuación x− y = 0. Esto da un conjun-to simplemente infinito de soluciones, tomando y = t como parámetro. Todasellas son combinación lineal de una solución no trivial cualquiera. Por ejemplo,podemos tomar u1 = (1, 1). Todos los vectores propios para el valor propio 1son combinaciones de este.

(ii) Ahora tomamos λ = 3. La matriz 3I2 −A será(8 −124 −6

)El sistema de ecuaciones para calcular los vectores propios será ahora(

8 −124 −6

)·(

xy

)=

(00

)

11



El sistema resulta equivalente ahora a la ecuación

2x− 3y = 0

El conjunto de soluciones es simplemente infinito y está formado por todoslos vectores que son combinación lineal de (3, 2).

3. Lección 35. Diagonalización de matrices cuadradas

3.1. Matrices diagonalesAdemás del interés que tienen por dar las direcciones invariantes de una

transformación lineal, los vectores propios pueden ayudar a escribir la matriz dela transformación lineal en una forma especialmente sencilla.

Una matriz cuadrada A = (aij) se llama diagonal cuando se verifica queaij = 0 siempre que sea i 6= j.

La condición indica simplemente que los elementos de la matriz que estánfuera de la diagonal principal son todos nulos.

Proposición 1. Si f : Rn → Rn es una transformación lineal y B es unabase de Rn que está formada por vectores propios para f , entonces la matriz def con respecto a la base B es una matriz diagonal.

La razón de esta propiedad es que si B = {u1, . . . , un} y cada vector ui espropio, entonces existen escalares λ1, . . . , λn (iguales o distintos) de forma quef(ui) = λiui.

Como la columna j de MB(f) debe ser [f(uj)]B, tendremos que dicha colum-na j tendrá el elemento λj en el lugar j-ésimo, y 0 en todos los demás. En efecto,

f(uj) = λjuj = 0u1 + 0u2 + · · ·+ λjuj + · · ·+ 0un

De ese modo, la matriz MB(f) tiene en cada columna j al elemento λj enel lugar (j, j) de la diagonal; y ceros en los demás lugares. Luego la matriz esefectivamente diagonal.

Proposición 2. Sea A una matriz cuadrada de orden n, y sea f la trans-formación lineal dada por esa matriz, A = M(f). Supongamos que existe unabase B de Rn formada por vectores propios de la matriz A, y sea P la matrizde los vectores de esa base. Entonces existe una matriz diagonal D tal que

A = P ·D · P−1

Esto se debe a que, en las condiciones de la proposición, MB(f) es unamatriz diagonal. Si llamamos D = MB(f), entonces P ·D · P−1 = M(f) = A,por el resultado visto en la lección 33 sobre la relación entre matrices de unatransformación lineal.

Cuando ocurre la situación de la proposición anterior, hay básicamente unaúnica matriz diagonal D que cumpla una ecuación de la forma A = Q ·D ·Q−1,siendo Q una matriz invertible (en realidad, D no es única, pero solamenteporque podemos cambiar el orden en que aparecen los elementos de la diagonal).

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Esa matriz diagonal D se llama la diagonalización de la matriz A, o la formadiagonal de A. La matriz Q que cumple la ecuación A = Q·D ·Q−1 es invertible,y se llama una matriz de paso de la diagonalización. La matriz de paso no estáunívocamente determinada por A.

Una matriz cuadrada puede tener una diagonalización o no. Las matricescuadradas que tienen una diagonalización se llaman matrices diagonalizables.

Proposición 3. Una matriz cuadrada A de orden n es diagonalizable si ysolo si existe una base de Rn que está formada por vectores propios para lamatriz A.

La manera de determinar si una matriz es diagonalizable es calcular todossus vectores propios y encontrar si se puede construir una base formada porvectores propios.

La condición necesaria y suficiente para que la matriz A sea diagonalizablees que el polinomio característico no tenga raíces complejas no reales; y que paracada valor propio λ cuya multiplicidad como raíz del polinomio característicosea k ≥ 2, existan k vectores propios linealmente independientes asociados alvalor propio λ.

Encontrar, si existe, la forma diagonal D de una matriz A se llama diago-nalizar la matriz A.

El método para intentar diagonalizar una matriz cuadrada A es:

1. Hallar el polinomio característico pc(A).

2. Resolver la ecuación pc(A) = 0 y hallar las raíces. Dichas raíces son losvalores propios de la matriz. Si el polinomio tiene raíces no reales, entoncesla matriz no es diagonalizable.

3. Para cada valor propio λ, hallar los vectores propios asociados, resolvien-do el correspondiente sistema de ecuaciones. Las soluciones del sistemaestarán dadas en función de k parámetros t1, . . . , tk. Por otra parte, lamultiplicidad de la raíz λ en el polinomio característico (esto es, el expo-nente de (x − λ) en la factorización del polinomio característico) será uncierto entero m.

Siempre se verifica k ≤ m. Si k < m para alguno de los valores propios λ,entonces la matriz no es diagonalizable.

4. Si k = m, podemos dar a los parámetros t1, . . . , tk sucesivamente los va-lores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 0, 1). Se obtienen así m vec-tores propios para el valor propio λ que son linealmente independientes. Siesto ocurre para cada λ, la matriz es diagonalizable, y todos los vectorespropios obtenidos dan una base de vectores propios.

5. Escribimos entonces la matriz de paso P que será la matriz de la base Bformada por vectores propios.

6. La diagonalización de A es la matriz diagonal D en cuya diagonal figuranlos valores propios en el orden correspondiente al orden en que hemosescrito los vectores de B (es decir, el primer elemento de D es el valor

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propio del primer vector u1 de la base B; el segundo es el valor propio delsegundo vector u2 de la base, etc).

7. Se puede comprobar la corrección del resultado calculando los productosA · P y P ·D y comprobando que A · P = P ·D (esta igualdad equivale ala igualdad A = P ·D · P−1).

Ejercicio 1. Diagonalizar la matriz(

3 11 3

)si es posible, y hallar en su

caso la matriz de paso.

Calculamos el polinomio característico:∣∣∣∣x− 3 −1−1 x− 3

∣∣∣∣ = x2 − 6x + 9− 1 = x2 − 6x + 8

Ahora, hallamos sus raíces que serán los valores propios.

x =6±

√36− 322

=6± 2

2

De este modo, vemos que los valores propios son 4 y 2.

Ahora debemos calcular los vectores propios para cada uno de los valorespropios.

(i) λ = 2. La ecuación será(−1 −1−1 −1

)·(

xy

)=

(00

)Esto da el sistema

x + y = 0, x = −t, y = t

El conjunto de soluciones está formado por todos los vectores que son com-binación lineal de u1 = (1,−1).

(ii) Buscamos ahora los vectores propios para el valor propio λ = 4. Laecuación matricial será (

1 −1−1 1

)·(

xy

)=

(00

)El sistema de ecuaciones es

x− y = 0, x = t, y = t

De este modo, los vectores propios correspondientes a λ = 4 son las combi-naciones lineales de u2 = (1, 1).

Existe una base de vectores propios que es B = {(1,−1), (1, 1)}.

La matriz de esa base es la matriz de paso

P =(

1 1−1 1

)

14



En cuanto a la forma diagonal, contiene los valores propios en la diagonalprincipal, en el mismo orden que los hemos considerado en la matriz de paso:

D =(

2 00 4

)Finalmente, podemos comprobar la solución viendo que AP = PD.

AP =(

3 11 3

)·(

1 1−1 1

)=

(2 4

−2 4

)

PD =(

1 1−1 1

)·(

2 00 4

)=

(2 4

−2 4

)La igualdad se cumple, de forma que la diagonalización es correcta.

Ejercicio 2. Diagonalizar la matriz 8 −2 63 1 3

−9 3 −7

El polinomio característico es∣∣∣∣∣∣

x− 8 2 −6−3 x− 1 −39 −3 x + 7

∣∣∣∣∣∣ = (x + 7)(x− 1)(x− 8)− 108− 9(x− 8)+

+6(x + 7) + 54(x− 1) = (x3 − 2x2 − 55x + 56)− 162 + 72 + 42 + 51x =

= x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x− 2)2(x + 2)

Vemos de este modo que hay dos valores propios: λ = −2 que es simple, yλ = 2, que es doble (tiene multiplicidad 2.)

Debemos calcular los vectores propios para cada valor propio. Empezamospor el valor doble, porque así se decidirá si la matriz es o no diagonalizable.

La ecuación matricial es (para λ = 2) −6 2 −6−3 1 −3

9 −3 9

·

xyz

=

000

Se puede resolver este sistema homogéneo transformando la matriz de los

coeficientes mediante operaciones elementales, como de costumbre: 6 −2 63 −1 39 −3 9

,

3 −1 36 −2 69 −3 9

,

3 −1 30 0 00 0 0

Aunque la matriz no está en forma escalonada simple, podemos resolverlo

ya, porque vemos que equivale a la ecuación

3x− y + 3z = 0

15



que es la ecuación de un plano.

Las incógnitas y, z pueden tomar cualquier valor, de forma que el conjuntode soluciones puede darse como

x =u

3− v, y = u, z = v

Así, el conjunto de soluciones está formado por las combinaciones linealesde los vectores (0, 3, 1), (1, 0,−1). Hemos obtenido esos vectores con los valoresde los parámetros u = 3, v = 1 y u = 0, v = −1, respectivamente.

En definitiva, los vectores propios para el valor propio 2 son las combina-ciones lineales de: (0, 3, 1) y (1, 0,−1).

Estudiamos ahora los vectores propios para el valor propio −2.

La ecuación matricial es −10 2 −6−3 −3 −3

9 −3 5

·

xyz

=

000

Hacemos las transformaciones elementales sobre la matriz del sistema 10 −2 6

3 3 39 −3 5

,

1 1 110 −2 69 −3 5

,

1 1 10 −12 −40 −12 −4

1 1 1

0 12 40 0 0

,

1 1 10 3 10 0 0

El sistema se puede resolver ya. La incógnita z puede tomar cualquier valor,

y tenemos que el sistema es equivalente a

x + y = −z, 3y = −z

Tomando z = t, obtenemos las soluciones como

z = t, y = − t

3, x = −2t

3

Dando un valor no nulo a t, tendremos (por ejemplo, para t = −3), el vectorpropio (2, 1,−3).

Hemos obtenido por tanto una base de vectores propios: (2, 1,−3), (0, 3, 1), (1, 0,−1).El primer vector es el de valor propio −2, los otros tienen valor propio 2.

La matriz de paso es la matriz de los vectores de la base de vectores propiosque acabamos de encontrar.

P =

2 0 11 3 0

−3 1 −1

16



La diagonalización es la matriz

D =

−2 0 00 2 00 0 2

Comprobamos la igualdad AP = PD.

AP =

8 −2 63 1 3

−9 3 −7

·

2 0 11 3 0

−3 1 −1

=

−4 0 2−2 6 0

6 2 −2

2 0 1

1 3 0−3 1 −1

·

−2 0 00 2 00 0 2

=

−4 0 2−2 6 0

6 2 −2

El resultado es correcto.

Ejercicio 3. Diagonalizar si es posible la matriz siguiente, dando en su casola matriz de paso.

A =

1 2 −10 0 10 −2 3

Hallamos el polinomio característico∣∣∣∣∣∣

x− 1 −2 10 x −10 2 x− 3

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)(x− 3)x + 2(x− 1) =

(x− 1)(x2 − 3x + 2)

Hay un valor propio λ = 1. Además, están las raíces del factor de segundogrado:

x =3±

√9− 8

2=

3± 12

En definitiva, el polinomio característico dará

pc(A) = (x− 1)2(x− 2)

El valor propio λ = 1 tiene multiplicidad 2. Buscamos sus vectores propios. 0 −2 10 1 −10 2 −2

·

xyz

=

000

Resolviendo el sistema de ecuaciones (y cambiando el orden de las incógnitas

al orden y, z, x), obtenemos como matriz 1 −1 0−2 1 0

2 −2 0

,

1 −1 00 −1 00 0 0

,

1 0 00 1 00 0 0

17



Tomando x = t, el sistema equivale a

x = t, z = 0, y = 0

Los vectores propios para λ = 1 son las combinaciones lineales de (1, 0, 0).Como solamente hay un vector propio linealmente independiente, y la multipli-cidad de la raíz es 2, la matriz no es diagonalizable.

4. Lección 36. Diagonalización ortogonal de ma-trices simétricas

4.1. Potencias de matricesEn muchas ocasiones, es conveniente conocer el resultado de aplicar repeti-

damente una transformación lineal f . Es decir, interesa conocer las transforma-ciones f ◦ f = f2, f ◦ f2 = f3, etc.

Como toda transformación lineal f está descrita por una matriz cuadradaA = M(f), el problema es equivalente al de calcular las potencias de una matrizcuadrada A: A2, A3, . . . , An.

El problema, teóricamente fácil, puede ser muy trabajoso en la práctica. Sinembargo, hay una situación en que el problema es fácilmente manejable: cuandoA es una matriz diagonal.

En efecto: supongamos que D es una matriz diagonal, que escribiremos comoD = diag(d1, d2, . . . , dn), indicando así que d1, d2, . . . , dn son los elementos queaparecen en la diagonal principal de la matriz (el resto de elementos de la matrizes 0).

Escribiendo las matrices, no es difícil convencerse de que las potencias dematrices diagonales siguen siendo diagonales. Concretamente,

D2 = diag(d21, d

22, . . . , d

2n), Dk = diag(dk

1 , dk2 , . . . , dk

n)

De este modo, el cálculo de la potencia Dk de una matriz diagonal se reduceal cálculo de las potencias de los números que son los elementos de la diagonal; uncálculo mucho más fácil y rápido que el de las potencias de matrices arbitrarias.

Si A es una matriz diagonalizable, también las potencias de A son bastantefáciles de calcular.

Sea A diagonalizable, con forma diagonal D y matriz de paso P . Sabemosentonces que

A = P ·D · P−1

Se deduce de aquí que

Ak = (PDP−1)k = (PDP−1)(PDP−1) · · · (PDP−1) =

= PD(P−1P )D(P−1P )D · · · (P−1P )DP−1

18



Como cada matriz P−1P = In, y los productos In ·X = X, para cualquiermatriz X, observamos por la ecuación anterior que

Ak = PDkP−1

y el cálculo de la potencia queda reducido al de la potencia de una matrizdiagonal, más el de la matriz inversa P−1 y los dos productos indicados.

Ejercicio 1. Dada la matriz A siguiente, y los vectores de R2: u, v, w, seconsidera la transformación lineal de R2 definida por A. Si aplicamos esta trans-formación reiteradamente, comenzando por el vector u, ¿qué vector se obtienetras cuatro iteraciones? ¿Se llegará tras algún número de iteraciones a obtenerel vector v? ¿y el vector w?

A =(−1 2−3 4

), u = (1, 2), v = (511, 767), w = (1023, 1531)

El primer paso debe ser diagonalizar la matriz A, siguiendo el método indi-cado en la lección anterior. Se obtiene que la forma diagonal D y la matriz depaso P son:

D =(

1 00 2

), P =

(1 21 3

)Debemos hallar también la inversa de P . Se tiene

P−1 =(

3 −2−1 1

)De este modo, estamos en condiciones de dar la expresión general para la

matriz Ak, teniendo en cuenta que Dk =(

1 00 2k

):

Ak = P ·Dk · P−1 =(

1 21 3

)·(

1 00 2k

)·(

3 −2−1 1

)=

=(

3− 2k+1 2k+1 − 23− 3 · 2k 3 · 2k − 2

)Podemos responder ahora a las preguntas planteadas. Es más práctico indicar

primero la expresión general de Ak · [u] = [fk(u)].

Ak · [u] =(

3− 2k+1 2k+1 − 23− 3 · 2k 3 · 2k − 2

)·(

12

)=

=(

2k+2 − 2k+1 − 13(2k+1 − 2k)− 1

)=

(2k+1 − 13 · 2k − 1

)De este modo, para k = 4, tenemos

f4(u) = (31, 47)

En cuanto a las dos últimas preguntas, la condición de que se alcance elvector v en alguna iteración equivale a saber si existe algún k con la propiedad

Ak · [u] = [v]

19



Es decir: (2k+1 − 13 · 2k − 1

)=

(511767

)Este es un sistema de ecuaciones (no lineales):

2k+1 = 512, 3 · 2k = 768

La segunda ecuación es 2k = 7683 = 256 = 512

2 . Luego si k cumple la primeraecuación, cumple la segunda. Será entonces k = log2256 = log228 = 8. Luegof8(u) = v.

Finalmente, la condición para w será(2k+1 − 13 · 2k − 1

)=

(10231531

)El sistema de ecuaciones es

2k+1 = 1024, 2k =1532

3

Pero 2 · 15323 6= 512. Luego el sistema no es compatible, y w no se alcanza en

ninguna iteración.

4.2. Bases ortogonales y ortonormalesUna base, formada por los vectores u1, u2, . . . , un, de Rn se dice que es

ortogonal cuando se tiene ui⊥uj para cada par de índices i 6= j.

Sea P la matriz de la sucesión de vectores que forman una base B. Así,la columna j de P contiene las coordenadas del vector uj . Si consideramos lamatriz traspuesta P t, tendremos que la fila i de P t contiene las coordenadas delvector ui (ya que es la columna i de P ).

Por esta razón, la condición de que la base B sea ortogonal se puede expresaren términos de la matriz P de los vectores de dicha base: B es una base ortogonalsi y solo si la matriz producto P t · P es diagonal.

En efecto: el elemento de lugar (i, j) en el producto se obtiene multiplicandola fila i de P t por la columna j de P ; pero ese elemento no es entonces sino elproducto escalar ui · uj . Luego estos elementos de la matriz P t · P son nulos siy solo si ui⊥uj para todo par de vectores distintos de la base B; es decir, si ysolo si la base B es ortogonal.

Una base ortogonal se dice que es ortonormal cuando cada vector ui de dichabase es unitario (e.d., su módulo es 1).

Si B es una base ortogonal y P es la matriz de los vectores de dicha base,entonces la condición de que la base sea ortonormal, puesta en términos de esamatriz, equivale a la de que P t · P = In.

En efecto: la condición de ortonormalidad equivale a la de que los productosui · ui den el valor 1; como ese será el elemento que figura en el lugar i-ésimode la diagonal de P t · P , y los elementos son nulos fuera de la diagonal, resulta

20



que la base es ortonormal si y solo si la matriz P tP tiene unos en la diagonalprincipal; esto es, si y solo si es la matriz identidad.

Con cierta inconsecuencia, las matrices cuadradas P de orden n, que cumplenque P t · P = In se llaman ortogonales. Por tanto, B es una base ortonormal siy solo si la matriz de los vectores de B es ortogonal.

4.3. Matrices simétricasRecordemos que una matriz cuadrada A se llama simétrica si A = At. Las

matrices simétricas tienen la siguiente propiedad importante.

Teorema. Toda matriz simétrica es diagonalizable. Además, puede elegirseuna matriz de paso que sea ortogonal.

Veremos algunos ejemplos para indicar el método para encontrar la formadiagonal de una matriz simétrica, y hallar una matriz de paso ortogonal. Esteproceso se llama de diagonalización ortogonal.

Describimos primero el proceso, en lo que tiene de diferente del proceso dediagonalización ya estudiado. Esta diferencia se halla solamente en la manerade escoger los vectores propios que forman la base que determina la matriz depaso.

Lo veremos en dos fases. En primer lugar, veremos cómo escoger una baseformada por vectores ortogonales. Una vez conseguido esto, sustituiremos cadavector ui de esa base por el correspondiente vector unitario 1

|ui|ui. De este modo,la base así formada será una base ortonormal.

La primera fase es la más importante, ya que la segunda consiste en calcularel vector unitario correspondiente a cada vector de la base.

Respecto a la manera de obtener una base ortogonal, hay que tener en cuentaque vectores correspondientes a valores propios distintos son ortogonales; demodo que lo único que hace falta es, para cada valor propio λ, elegir vectorespropios para dicho valor, que sean linealmente independientes y ortogonalesentre sí.

Supongamos que hemos calculado todos los vectores propios para un ciertovalor propio λ. Supongamos que todos esos vectores propios son combinaciónlineal de los vectores linealmente independientes u1, u2, u3, por ejemplo.

Entonces, u′1 = u1 será el primer vector que escojamos para la nueva base.Después, buscamos un vector que sea combinación lineal de u1, u2, pero que seaademás ortogonal a u1. Para ello, elegimos u′2 por las condiciones

u′2 = u2 − xu1, u1 · u′2 = 0

Esas condiciones dan una solución única para x; por tanto, determinan elvector u′2.

Calculados así u′1, u′2, queremos hallar u′3. Como antes, buscamos un vector

que sea combinación lineal de u1, u2, u3 y que sea ortogonal a u1 y u2 (estoimplicará que es ortogonal a u′1, u

′2). Para ello, ponemos

u′3 = u3 − xu1 − yu2, u1 · u′3 = 0, u2 · u′3 = 0

21



De este modo, obtenemos los coeficientes x, y, y el nuevo vector u′3.

Ejercicio 2. Diagonalizar ortogonalmente la matriz simétrica 3 0 −10 2 0

−1 0 3

Hacemos el proceso de diagonalización normal hasta encontrar una base de

vectores propios.

El polinomio característico es∣∣∣∣∣∣x− 3 0 1

0 x− 2 01 0 x− 3

∣∣∣∣∣∣ = (x− 3)2(x− 2)− (x− 2) = (x− 2)((x− 3)2 − 1)

Un valor propio es x = 2. Los demás son las raíces del polinomio x2−6x+8:son 2, 4. Así, 2 es un valor propio doble, 4 es simple.

Hallamos los vectores propios para cada valor propio. Para el valor simpleλ = 4, tendremos solamente un vector propio linealmente independiente.

El sistema de ecuaciones obtenido para λ = 4 es

x + z = 0, 2y = 0, x + z = 0

Esto equivale al sistema

x + z = 0, y = 0

z puede tomar cualquier valor, de manera que el conjunto de soluciones es

x = −t, y = 0, z = t

Obtenemos así el primer vector de la base de vectores propios: (1, 0,−1).

El otro valor propio es λ = 2. El sistema de ecuaciones es

−x + z = 0, 0 = 0, x− z = 0

El sistema equivale a la única ecuación x − z = 0. Tomamos y, z comoparámetros, y el conjunto de soluciones es

x = v, y = u, z = v

Un par de vectores propios linealmente independientes se puede obtenertomando, por ejemplo, (1, 0, 1) y (0, 1, 0). Estos vectores son ya ortogonales, porlo que no tenemos necesidad de aplicar el cambio del segundo vector descritoarriba.

Pero supongamos que hubiésemos elegido los dos vectores como (1, 0, 1) y(1, 1, 1), que no son ortogonales. Entonces tomamos

u1 = (1, 0, 1)

22



u2 debe verificar las condiciones

u2 = (1, 1, 1)− x(1, 0, 1), (1, 0, 1) · u2 = 0

Desarrollamos y resolvemos esas ecuaciones:

u2 = (1−x, 1, 1−x), (1, 0, 1) · (1−x, 1, 1−x) = (1−x)+ (1−x) = 2−2x = 0

Luego debe ser 2x = 2 y x = 1. Por tanto, u2 = (0, 1, 0).

Tenemos ya, pues, una base ortogonal de vectores propios: (1, 0,−1), (1, 0, 1), (0, 1, 0).

Para obtener una base ortonormal, normalizamos cada uno de estos vec-tores (es decir, calculamos el vector unitario correspondiente, dividiendo por elmódulo):

v1 =1√2(1, 0,−1) = (

√2

2, 0,−

√2

2)

v2 =1√2(1, 0, 1) = (

√2

2, 0,

√2

2), v3 = (0, 1, 0)

Podemos ya escribir la matriz de paso P , que será una matriz ortogonal

P =

√

22

√2

2 00 0 1

−√

22

√2

2 0

La forma diagonal es la matriz 4 0 0

0 2 00 0 2

Ejercicio 3. Diagonalizar ortogonalmente la matriz

M =

3 1 11 3 11 1 3

Calculamos el polinomio característico∣∣∣∣∣∣

x− 3 −1 −1−1 x− 3 −1−1 −1 x− 3

∣∣∣∣∣∣ = (x− 3)3 − 2− 3(x− 3) =

= x3 − 9x2 + 27x− 27 + 7− 3x = x3 − 9x2 + 24x− 20

Se puede observar que el polinomio tiene la raíz x = 2. Dividiendo,

pc(M) = x3 − 9x2 + 24x− 20 = (x− 2)(x2 − 7x + 10)

Para descomponer el segundo factor, hallamos sus raíces

x =7±

√49− 402

=7± 3

2

23



Así pues, las raíces son 5, 2, y obtenemos la factorización del polinomio car-acterístico

pc(M) = (x− 2)2(x− 5)

El valor propio λ = 2 es doble; y el valor propio λ = 5 es simple. Así, elconjunto de vectores propios para el valor propio 2 se expresará en términos dedos parámetros; y el de vectores propios para el valor 5 estará dado en términosde un parámetro.

Pasamos a calcular los vectores propios. Para λ = 2 obtenemos la ecuaciónmatricial 1 1 1

1 1 11 1 1

·

xyz

=

000

El sistema equivale a la única ecuación x + y + z = 0. Podemos tomar y, z

como parámetros, y obtenemos las soluciones

x = −u− v, y = u, z = v

Dando valores (1, 0) y (0, 1) a los parámetros obtenemos dos vectores propioslinealmente independientes para el valor propio λ = 2:

(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)

Pasamos al valor propio λ = 5 y seguimos el mismo procedimiento. 2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

·

xyz

=

000

Transformando la matriz del sistema, obtenemos 1 1 −2

1 −2 12 −1 −1

,

1 1 −20 −3 30 −3 3

,

1 1 −20 1 −10 0 0

y finalmente llegamos a la matriz 1 0 −1

0 1 −10 0 0

Tomamos z = t como parámetro, y el sistema nos dará

x = t, y = t, z = t

Dando a t el valor t = 1, tenemos el vector propio (1, 1, 1).

La base de vectores propios obtenida es así

(−1, 1, 0), (−1, 0, 1), (1, 1, 1)

Para obtener una base ortogonal, debemos cambiar los vectores correspon-dientes al valor propio λ = 2, que es doble. Sea

24



u1 = (−1, 1, 0), u2 = (−1, 0, 1)

Entonces u′1 = u1 = (−1, 1, 0). Para el segundo, ponemos

u′2 = u2 − xu1 = (−1, 0, 1)− (−x, x, 0) = (x− 1,−x, 1)

Ahora, debemos hallar x para que los vectores u1, u′2 sean ortogonales:

−(x− 1)− x = 0, 1− 2x = 0, 2x = 1, x =12

De este modo, obtenemos una base con vectores ortogonales:

(−1, 1, 0), (−12,−1

2, 1), (1, 1, 1)

Finalmente, debemos normalizar los tres vectores, dividiendo por su módulo,para obtener una base ortonormal.

1√2(−1, 1, 0),

√2√3(−1

2,−1

2, 1),

1√3(1, 1, 1)

Esto nos da la base ortonormal con vectores propios que se necesita:

(−√

22

,

√2

2, 0), (−

√6

6,−√

66

,

√6

3), (

√3

3,

√3

3,

√3

3)

La matriz de paso ortogonal P y la forma diagonal D son:

P =

−√

22 −

√6

6

√3

3√2

2 −√

66

√3

3

0√

63

√3

3

, D =

2 0 00 2 00 0 5

Se puede comprobar para terminar, la ecuación MP = PD, haciendo los

productos de matrices indicados.

5. Ejercicios1. Calcular la matriz de la transformación lineal de R2 que lleva cada vector a

su proyección ortogonal sobre la bisectriz del segundo cuadrante x+y = 0(es decir, transforma cada vector v =

−−→OX en el vector

−−→OY donde Y es

el punto de corte de la recta dada con la perpendicular a dicha recta quepasa por el punto X; O es el origen de coordenadas)

2. Consideramos los siguientes vectores de R3:

v1 = (1,−1, 1), v2 = (2, 0, 1), v3 = (0, 1,−1), v = (1, 2,−3)

Probar que los tres primeros vectores forman una base B, y calcular lamatriz de la transformación lineal f que cumple

f(v1) = 0, f(v2) = v1, f(v3) = v

25



3. Dar las ecuaciones de la simetría de R2 con respecto a la recta de ecuaciónax + by = 0. Obsérvese que pueden elegirse los coeficientes a, b de formaque a2 + b2 = 1, y demuéstrese que la matriz de dicha simetría es de la

forma(

A BB −A

), con determinante −1.

4. Demostrar que si f es una transformación lineal de R2 con una matriz(a b−b a

)y con determinante 1, entonces f es un giro alrededor del origen de coor-denadas.

5. Demostrar que la composición de dos simetrías respecto de rectas quepasan por el origen es igual a un giro alrededor del origen.

6. Probar que si una transformación lineal f : Rn → Rn está dada por lamatriz cuadrada A (esto es, A = M(f)) y A tiene una matriz inversa A−1,entonces la transformación g : Rn → Rn cuya matriz es A−1 es inversa def (es decir, g(f(v)) = f(g(v)) = v) para cada vector v ∈ Rn).

7. Para cada una de las dos transformaciones que siguen, ver si tiene inversa,y calcular la inversa cuando exista.

(i)f(x, y, z) = (2x + 4y − 2z, 3x + y + 2z, 2y − x− 3z)

(ii)g(x, y, z) = (2x + z, x + 2y + z, y − 2x− z)

8. Calcular los valores propios de la matriz1 −1 1 −10 1 0 00 0 1 01 0 0 −1

9. Hallar todos los vectores propios de la matriz anterior.

10. Calcular todos los vectores propios de la matriz −1 0 26 1 60 0 1

11. Decir cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables; y dar su forma

diagonal y la matriz de paso cuando lo sean. 1 0 00 −1 10 0 −1

,

5 −3 26 −4 44 −4 5

26



12. Misma pregunta para las matrices 1 4 −40 1 00 4 −3

,

(2 32 −1

)

13. Decir cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables; y dar su formadiagonal y la matriz de paso cuando lo sean. 0 1 0

−4 4 0−2 1 2

,

(−9 4−25 11

)

14. Dada la matriz A =(

6 23 7

), hallar una matriz B tal que B2 = A.

15. Diagonalizar la matriz 1 1 1 10 1 1 −10 0 −1 20 0 0 1

16. Calcular las matrices A7 y B10, para las matrices siguientes.

A =(−5 12−4 9

), B =

1 0 −10 1 0

−1 0 1

17. Diagonalizar ortogonalmente la matriz simétrica 2 0 −1

0 3 0−1 0 2

18. Diagonalizar ortogonalmente la matriz simétrica −1 0 0

0 1 10 1 1

27



Capítulo 9: Diagonalización de...

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