Capítulo 8 - · PDF fileCapítulo 8 - Cimentaciones superficiales 271 B' = B =...

Capítulo 8

CCIIMMEENNTTAACCIIOONNEESS SSUUPPEERRFFIICCIIAALLEESS

Problemas de Geotecnia y Cimientos

268

Capítulo 8 - Cimentaciones superficiales

269

PROBLEMA 8.1 En un terreno constituido por un potente nivel de arcillas normalmente consolidadas, se pretende cimentar una zapata de dimensiones 2 x 4 m a una profundidad de 1'5 m. El nivel freático se encuentra en la superficie del terreno. Las características geotécnicas de la arcilla son:

Terreno γsat cu φ' (kN/m3)

(kN/m2)

Arcilla

20

24

25º Se pide calcular: a) Carga de hundimiento de la zapata. b) Máxima presión que puede transmitir la zapata con un coeficiente de

seguridad frente al hundimiento F = 3.

SOLUCIÓN a) Carga de hundimiento de la zapata Siendo el terreno de cimentación cohesivo, la carga de hundimiento es distinta a corto y a largo plazo. En consecuencia, se deberá hacer el cálculo en las dos situaciones para determinar cual de ellas es la más desfavorable. Las presiones total, intersticial y efectiva a cota de cimentación (figura 8.1) son:

2

2w

2sat

kN/m 15uqq

kN/m1510·5'1·5'1u

kN/m 3020·5'1·5'1q

=−=′==γ=

==γ=


270

1'5 m

hq = q' + uq = q' + uq

h

B = 2 m

1'5 m

B = 2 m

hqN.F.

Figura 8.1

a.1) Carga de hundimiento a corto plazo

En terrenos cohesivos saturados, el cálculo de la carga de hundimiento a corto plazo se realiza en totales, adoptando un ángulo de rozamiento φu = 0. Aplicando la formulación de Brinch-Hansen, la carga de hundimiento en totales se obtiene a partir de la expresión:

γγγγ γ′++= i·d·s··B·N·21

i·d·s·N·qi·d·s·N·cq qqqqccccuh (1)

Para φu = 0, los factores de capacidad de carga son:

Nc = π + 2 = 5'14 Nq = 1 Nγ = 0

Suponiendo que no hay excentricidad de carga, las dimensiones efectivas de la zapata son:


271

B' = B = 2 m L' = L = 4 m

y en consecuencia los factores de forma a corto plazo valen:

8'0'L'B

4'01s

1s

1'1'L'B

2'01s

q

c

=−=

=

=+=

γ

Por tratarse de una cimentación superficial, y para quedar del lado de la seguridad, se desprecia el efecto del empotramiento de la zapata y se adoptan los factores de profundidad iguales a la unidad (dc = dq = dγ = 1). En cuanto a los factores de inclinación, se admite que la carga es vertical y por lo tanto son iguales a la unidad (ic = iq = iγ = 1). Sustituyendo los valores anteriores en la expresión (1) se tiene que la carga de hundimiento a corto plazo de la arcilla es: 2

h m/kN7'16501·1·1·1·301·1·1'1·14'5·24q =++= (2)

y la carga de hundimiento neta vale:

2hhn m/kN7'135307'165qqq =−=−= (3)

a.2) Carga de hundimiento a largo plazo El cálculo de la carga de hundimiento a largo plazo se debe realizar en efectivas. Aplicando la formulación de Brinch-Hansen, la carga de hundimiento efectiva se puede obtener con la expresión:

γγγ∗

γ γ′+′+′=′ i·d·s··B·N·21

i·d·s·N·qi·d·s·N·cq qqqqcccch (4)


272

Para φ' = 25º, los factores de capacidad de carga son:

( ) 75'6tg·1N·5'1N

72'20)1N·(cotN

66'102

45tg·eN

q

qc

2tg·q

=φ′−=

=−φ′=

=

φ′

+=

γ

φ′π

Al igual que en el caso anterior, las dimensiones efectivas de la cimentación son:

B' = B = 2 m L' = L = 4 m

y los factores de forma valen:

8'0LB

·4'01s

25'11N

1s·Ns

23'1tg·LB

1s

q

qqc

q

=′′

−=

=−

−=

=φ′′′

+=

γ

Los factores de profundidad e de inclinación siguen siendo iguales a la unidad. Puesto que la arcilla es normalmente consolidada, la cohesión efectiva c' es nula y por lo tanto, el primer término de la expresión (4) es cero. Estando el nivel freático por encima del plano de cimentación, el peso específico γ* a adoptar es el sumergido. Sustituyendo valores en la expresión (4) se obtiene que el valor de la carga de hundimiento efectiva a largo plazo es:

2h m/kN68'2501·1·8'0·10·2·75'6·

21

1·1·23'1·66'10·150q =++=′


273

La carga de hundimiento total vale:

2

hh m/kN68'2651568'250uqq =+=+′= (5)

y la carga de hundimiento neta es:

2hhn m/kN68'2353068'265qqq =−=−= (6)

b) Máxima carga transmitida Si se compara (5) con (2) o (6) con (3), se observa que la situación mas desfavorable es la de corto plazo. En consecuencia la carga de hundimiento a adoptar en el cálculo es:

2h m/kN7'165q =

El coeficiente de seguridad frente al hundimiento se define como:

qq

qq

q

qF

t

h

tn

hn

−−

==

Si el coeficiente de seguridad frente al hundimiento debe ser igual a 3, entonces:

30q307'165

3Ft −

−==

de donde se obtiene que la máxima carga que puede transmitir la zapata es:

2

t kN/m 23'75q =


274

PROBLEMA 8.2 Calcular el coeficiente de seguridad frente al hundimiento del muro corrido indicado en la figura 8.2, si el nivel freático se encuentra situado a una profundidad de 3'75 m. Las características geotécnicas del terreno son:

Terreno γsat (kN/m3)

γ (kN/m3)

φ' (º)

Arena

21

19'5

30 El peso específico del hormigón es γh = 26 kN / m3

1'25 m

B = 3 m

1 m

1 m

2 m

1'5 mN.F.

Arena

P = 50 kN / m

N = 300 kN / m

Figura 8.2


275

1'25 m

B = 3 m

1 m

2 mN.F.

Wp

tW

zW

tW

Q

1'5 m

2'25 m

1 m

e e

P

M

1'5 m 1'5 m

QP

eB

P = 50 kN / m

N = 300 kN / m

Figura 8.3

SOLUCIÓN El coeficiente de seguridad frente al hundimiento se define como el cociente entre la carga de hundimiento neta (qhn) y la carga transmitida neta (qtn):

qq

qq

q

qF

t

h

tn

hn

−−

==

1) Presión transmitida

En principio, se calculará la carga transmitida (qt). Para ello, se deben reducir todas las fuerzas actuantes por encima del plano de cimentación al centro de gravedad de la base de la cimentación (figura 8.3).


276

Si se consideran dos planos verticales que pasan por los cantos de la zapata, el peso del terreno situado en el pie y en la puntera (2 · wt) gravitará sobre la zapata (figura 8.3). A pesar de que teóricamente es incorrecto, los empujes sobre los planos verticales se admitirán iguales y por tanto se anulan. La resultante vertical vale:

Q = N + wp + 2·wt + wz donde wp es el peso del alzado y wz el peso de la zapata. Con los datos del enunciado, se tiene:

N = 300 kN/m wp = 26 · 3 · 1 = 78 kN/m wz = 26 · 3 · 1'25 = 97'5 kN/m wt = 19'5 · 1 · 1=19'5 kN/m

y por lo tanto:

Q = 300 + 78 + 2·19'5 + 97'5 = 514'5 kN/m Por otra parte, como:

Q = Q' + Fw siendo Fw la resultante de las subpresiones en la base del cimiento del muro: Fw = u · B y u = 0 a cota de cimentación, se tiene que:

Q = Q' = 514'5 kN/m La resultante horizontal vale:

P = 50 kN/m


277

Tomando momentos en el centro de gravedad de la base del cimiento (punto medio), el momento resultante es:

M = (2 + 1 + 1'25) · 50 = 212'5 kN y su eje es perpendicular al papel (longitudinal de la zapata). Así pues: MB = M = 212'5 kN ML = 0 Las excentricidades serán pues:

0e

m 413'05'5145'212

QM

e

L

BB

=

==′

=

Al existir excentricidad en la dirección de B, el ancho efectivo B' de la cimentación es:

B' = B – 2 · eB = 3 – 2 · 0'413 = 2'17 m y la presión transmitida al terreno vale:

2t kN/m 10'237

17'25'514

BQ

q ==′

=

2) Carga de hundimiento Como se trata de arenas, el cálculo de la carga de hundimiento se efectuará en términos efectivos, aplicando la formulación de Brinch-Hansen:

γγγ∗

γ γ′+′+′=′ i·d·s··B·N·21

i·d·s·N·qi·d·s·N·cq qqqqcccch


278

A cota de cimentación, la tensión total, intersticial y efectiva son:

2

2

m/kN87'43uqq

0u

m/kN87'435'19·25'2·25'2q

=−=′=

==γ=

Para φ' = 30º, B' = 2'17 m y L' = L → 8 (zapata corrida), los factores de capacidad de carga son:

( )( ) 06'15tg·1N·5'1N

14'301N·cotN

4'182

º45tg·eN

q

qc

2tg·q

=φ′−=

=−φ=

=

φ′

+=

γ

φ′π

y los factores de forma:

1LB

4'01s

11N

1s·Ns

1tgLB

1s

q

qqc

q

=′′

−=

=−

−=

=φ′′′

+=

γ

Existiendo una carga inclinada, los factores de inclinación son distintos a la unidad y se obtienen con las expresiones:

1m

c

qqc

m

q

cot·L·B·cQP

1i

tg·N

i1ii

cot·L·B·cQP

1i

+

γ

φ′′′′+′

−=

φ′−

−=

φ′′′′+′

−=


279

donde:

BL

1

BL

2m

LB

1

LB

2m

cosmsenmm

L

B

2L

2B

′′

+

′′

+=

′′

+

′′

+=

θ⋅+θ⋅=

siendo θ el ángulo que forma la proyección en planta de la resultante de fuerzas con el eje longitudinal de la zapata (dirección L). Para θ = 90º, B' = 2'17 m, L' = L → 8 se tiene:

mB = 2 mL = 1

y por tanto:

m = 2 sen2 90º + 1 cos2 90º = 2 4 Para P = 50 kN/m, Q' = 514'5 kN/m, B' = 2'17 m, L' = L → 8 , φ' = 30º, c' = 0 (arenas) y m = 2, los factores de inclinación valen:

735'005'514

501i

8'030tg14'30

815'01815'0i

815'005'514

501i

3

c

2

q

=

+−=

=⋅

−−=

=

+−=

γ


280

D = 1'5 m

1'25 m

2 m

1 m

W

Arena

N.F.

Figura 8.4

Al tratarse de una cimentación superficial, se desprecian los efectos del empotramiento y consecuentemente los factores de profundidad serán igual a la unidad (dc = dq = dγ = 1). Falta obtener el peso específico γ* para poder calcular la carga de hundimiento y este valor depende de la posición del nivel freático respecto al plano de cimentación. Si el nivel freático se sitúa a una distancia Dw por debajo del plano de cimentación, el peso específico a adoptar en el cálculo es:

( )γ=γ→>

γ′−γ⋅′

+γ′=γ→≤

γ′=γ→≤

∗

∗

∗

'BDBD

'BD

0D

Si

w

ww

w


281

En este caso Dw = 1'5 m < B' = 2'17 m (figura 8.4) y por lo tanto:

( ) ( ) ( )( ) 3w m/kN87'1610215'1917'25'1

1021BD =−−⋅+−=γ′−γ⋅

′+γ′=γ∗

Sustituyendo ahora valores en la expresión de la carga de hundimiento efectiva, se llega a:

2h kN/m 48'860735'0·1·1·87'16·17'2·06'15·

21

815'0·1·1·4'18·87'430q =++=′

y la carga de hundimiento total será:

2hh kN/m 48'860048'860uqq =+=+′=

El coeficiente de seguridad frente al hundimiento valdrá pues:

22'487'4310'23787'4348'860

qqqq

qq

Ft

h

tn

hn =−−=

−−==


282

PROBLEMA 8.3 Calcular la máxima fuerza vertical N que puede transmitir el muro corrido que se indica en la figura 8.5, con un coeficiente de seguridad frente al hundimiento de 3. El nivel freático se encuentra situado en la superficie del terreno.

1'25 m

3 m

1 m

1 m

2 m

1'5 m

N.F.

Arenas

Arcillas

N ( kN / m )

Figura 8.5

Las características geotécnicas del terreno son:

Terreno γsat φ' c' Ru (kN / m3)

(º)

(kN / m2)

(kN / m2)

Arena

21

30 Arcilla 18 25 20 100

El peso específico del hormigón es γh = 26 kN / m3


283

1'25 m

1'5 m

3 m

1 m

2 mN.F.

1 m

N ( kN / m )

Wp

tW

zW

tW

3 m 3 m

q t

2'25 m

e e

Q

Figura 8.6

SOLUCIÓN

En primer lugar se debe calcular la carga transmitida por el muro al terreno. Para ello, se reducirá el sistema de fuerzas que actúan por encima del plano de cimentación al centro de gravedad de la cimentación (figura 8.6). Como existe simetría de cargas, la resultante Q es vertical y vale:

Q = N + wp + wz + 2·wt


284

donde: N: Carga lineal actuando en coronación del muro.

wp: Peso del alzado del muro. wz: Peso de la zapata. wt: Peso del terreno situado por encima de la zapata.

Con los datos del enunciado, se tiene:

wp = 26·3·1 = 78 kN / m wz = 26·3·1'25 = 97'5 kN / m wt = 21·1·1 = 21 kN / m

y por lo tanto:

Q = N + 78 + 97'5 + 2·21 = N + 217'5 kN / m

Puesto que no existe excentricidad de carga, el ancho eficaz es igual al ancho de la zapata (B = B'), y la presión transmitida por el muro a cota de cimentación es (figura 8.6):

2t kN/m 5'72

3N

35'217N

BQ

q +=+=′

=

Tratándose de un terreno estratificado, para el cálculo de la carga de hundimiento se utilizará un método aproximado (figura 8.7). Sean T1 y T2 dos terrenos cuyas cargas de hundimiento son qh1 y qh2, respectivamente, y se verifica que qh1 > qh2.


285

B

T1

T2

1t

T1

T2

B

t 2

B

Figura 8.7 Cuando el terreno superior es T1, la carga de hundimiento de la cimentación qh viene dada por:

h1h1

1h2h1h2h

1

h2h1

qq 1B

t

2'0B

t

0'8

q-qqq 1

B

t2'0

q q 2'0B

t

=>

−+=<<

=≤

(1)


286

2'25 m Arenas

N ( kN / m )

Arenas

q, u, q'

1 m

N.F.

Figura 8.8

Cuando el terreno superior es T2, la carga de hundimiento viene dada por:

)2(B

t·

0'7

q-qqq 7'0

B

t

q q 7'0B

t

2h2h1h1h

2

h2h2

−=<

=>

La aplicación de este método exige, a priori, determinar en el problema si el estrato superior es el T1 o es el T2, haciéndose necesario calcular las cargas de hundimiento con cada uno de los terrenos existentes por debajo del plano de cimentación. Supóngase en primer lugar que el terreno existente por debajo del plano de cimentación este constituido por las arenas (figura 8.8): Las tensiones totales, intersticiales y efectivas a cota de cimentación son:

2

2w

2arenasat

kN/m 75'24uqq

kN/m 5'2210·25'2·25'2u

kN/m 25'4721·25'2·25'2q

=−=′==γ=

==γ=


287

Como c'=0, la carga de hundimiento en efectivas es:

γγγγ γ′+=′ i·d·s·'·B·N·21

i·d·s·N·'qq arenaqqqq)arena(h (3)

Para φ' = 30º, B' = B = 3 m (no hay excentricidad) y L' = L ? 8 (zapata corrida), los factores de capacidad de carga son:

( )( ) 06'15tg·1N·5'1N

14'301N·cotN

4'182

º45tg·eN

q

qc

2tg·q

=φ′−=

=−φ′=

=

φ′

+=

γ

φ′π

y los factores de forma:

1LB

·4'01s

11N

1s·Ns

1tg·LB

1s

q

qqc

q

=′′

−=

=−

−=

=φ′′′

+=

γ

Siendo la carga vertical y centrada, los factores de inclinación son iguales a la unidad:

1iii cq === γ

y tratándose de una cimentación superficial, y para quedar del lado de la seguridad, se adoptan los factores de profundidad también iguales a la unidad:

1ddd cq === γ

Sustituyendo en la expresión (3) los valores anteriores se obtiene que la carga de hundimiento en efectivas de las arenas es:

2)arena(h kN/m89'7031·1·1·11·3·06'15·

21

1·1·1·4'18·75'24q =+=′ (4)


288

La carga de hundimiento total es::

2)arena(h)arena(h kN/m 39'7265'2289'703uqq =+=+′= (5)

y la carga de hundimiento neta será:

2)arena(h)arena(hn kN/m 14'67975'2489'703qqq =−=′−′= (6)

Supóngase ahora que por debajo del plano de cimentación solo hay arcillas (figura 8.9). En este caso, al tratarse de un material cohesivo, la carga de hundimiento es diferente a corto y a largo plazo. Las tensiones total, intersticial y efectiva a cota de cimentación son las mismas que en el caso anterior ya que no varía el terreno que existe por encima del plano de cimentación ni el nivel freático. En la situación de corto plazo, la carga de hundimiento se calcula en totales:


i·d·s·N·qi·d·s·N·cq arcillaqqqqccccu)arcilla(h (7)

Para

cu = Ru / 2 = 100 / 2 = 50 kN / m2

φu = 0 B' = B = 3 m (no hay excentricidad) L' = L → 8 (zapata corrida)

los factores de carga valen:

Nq = 1 Nc = 5'14 Nγ = 0


289

q, u, q'

Arcillas

Arenas2'25 m

N ( kN / m )

1 m

N.F.

Figura 8.9

Y los factores de forma son:

1LB

·4'01s

1LB

·0'21s

1s

c

q

=′′

−=

=′′

+=

=

γ

Los factores de inclinación y de profundidad siguen siendo iguales a la unidad. Sustituyendo en (7) los valores anteriores, la carga de hundimiento de la arcilla en totales es:

2)arcilla(h kN/m 25'30401·1·1·1·25'471·1·1·14'5·50q =++= (8)

y la carga de hundimiento neta es:

2)arcilla(h)arcilla(hn kN/m 25725'4725'304qqq =−=−= (9)


290

A largo plazo, la carga de hundimiento se calcula en efectivas:

γγγγ γ++= i·d·s·'·'B·N·21

i·d·s·N·'qi·d·s·N·'c'q arcillaqqqqcccc)arcilla(h

(10) Para

c' = 20 kN/m2

φ' = 25º B' = B = 3 m (no hay excentricidad) L' = L → 8 (zapata corrida)

Los factores de capacidad de carga son:

( )

( ) 75'6tg·1N·5'1N

72'201N·cotN

66'102

º45tg·eN

q

qc

2tg·q

=φ′−=

=−φ′=

=

φ′

+=

γ

φ′π

Los factores de forma son:

1LB

·4'01s

11N

1s·Ns

1tg·LB

1s

q

qqc

q

=′′

−=

=−

−=

=φ′′′

+=

γ

Los factores de inclinación y de profundidad siguen siendo iguales a la unidad.


291

Sustituyendo los valores anteriores en la expresión (10), el valor de la carga de hundimiento en efectivas de la arcilla es:

2)arcilla(h kN/m 23'7591·1·1·8·3·75'6·

21

1·1·1·66'10·75'241·1·1·72'20·20q =++=′

(11) y la carga de hundimiento neta en efectivas es:

2)arcilla(h)arcilla(hn kN/m 48'73475'2423'759qqq =−=′−′=′ (12)

Analicemos la situación a corto plazo en el terreno estratificado. Si se compara (5) con (8) ó (6) con (9), se observa que la arena tiene mayor carga de hundimiento. En consecuencia el terreno T1 es el superior. Como se cumple que :

15'035'1

B

t2'0 1 <==<

la carga de hundimiento del terreno estratificado viene dada por la expresión (1), o bien, trabajando con cargas netas por:

21hn2hn1hn2hn kN/m 3'4152'0

35'1

·8'0

25714'6792572'0

Bt

0'8q-q

qq =

−−+=

−+=

(13) En la situación a largo plazo, si se compara (4) con (11) ó (6) con (12), se observa que la arcilla tiene mayor carga de hundimiento. En consecuencia el terreno T1 es el inferior. Como se cumple que:

7'05'035'1

B

t 2 <==


292

La carga de hundimiento del terreno estratificado viene dada por la expresión (2), o bien trabajando con cargas netas por:

22hn2hn1hn1hn kN/m 95'694

35'1

·7'0

14'67948'73448'734

B

t·

0'7

q-qqq =−−=−=

(14) Comparando (13) y (14) se observa que la situación más desfavorable es a corto plazo. Para un coeficiente de seguridad frente al hundimiento de 3 se tiene que:

3q

qF

tn

hn ==

Si

2hn kN/m 3'415q =

y

2ttn kN/m 25'25

3N

25'475'723N

qqq +=−+=−=

sustituyendo en la expresión anterior se obtiene que: N = 339'55 kN/m2


293

PROBLEMA 8.4 En un potente nivel de arcillas normalmente consolidadas, se pretende cimentar a 2 m de profundidad un depósito circular de 20 m de diámetro, que contendrá 5 m de altura de un líquido cuyo peso específico es 18 kN / m3. El peso propio del deposito supone a cota de cimentación una presión uniforme de 40 kN / m2 y el nivel freático está situado 1 m por encima de la superficie del terreno. Las características geotécnicas de la arcilla son: o Peso específico relativo de las partículas: 2'65 o Peso específico seco: 16'5 kN/m3 o Ángulo de rozamiento efectivo: 25º o Parámetro A de presión intersticial: 1'37 o Resistencia a compresión simple: 100 kN/m2 Se pide: a) Comprobar las condiciones de flotación del depósito. b) Estado de tensiones efectivas que se tendrá, inmediatamente después del

llenado del depósito, en un punto situado a 7 m de profundidad desde la superficie del terreno y debajo del eje del depósito.

c) Calcular el coeficiente de seguridad frente al hundimiento de la cimentación.

SOLUCIÓN a) Condiciones de flotación El depósito flotará si el empuje de Arquímedes es superior a la carga vertical transmitida. Teniendo en cuenta la geometría del problema (figura 8.10), esta situación se produce cuando la presión transmitida por el depósito es inferior a la presión intersticial existente a cota de cimentación (“subpresión”), es decir, si la presión transmitida efectiva es negativa.

Estando el nivel freático 1 m por encima de la superficie del terreno, a cota de cimentación la presión intersticial vale:

2w m/kN 303·103·u ==γ=


294

q t

20 m

Arcilla

N.F.

2 m

u

2 m

1 m

Figura 8.10

La situación más desfavorable se produce cuando el depósito está vacío. En este caso, la presión transmitida por el depósito a cota de cimentación es 40 kN / m2. Comparando este valor con el de la presión intersticial a cota de cimentación, 30 kN / m2, se deduce que el depósito nunca flotará ya que la presión transmitida es mayor que la presión intersticial.

b) Estado de tensiones tras el llenado en un punto situado a 7 m de profundidad

Antes de la construcción del depósito, en cada punto del terreno existe un estado inicial de tensiones (“estado 0”). La construcción y llenado del depósito, que se suponen realizados inmediatamente (situación a corto plazo), producirán un incremento de tensiones en el terreno que añadido al estado inicial será el estado de tensiones pedido en el enunciado y que denominaremos “estado I”.


295

Arcilla

1 m

N.F.

7 m2121'48 kN / m

2151'89 kN / m

2u = 80 kN / m

Figura 8.11

Estado 0 Con los datos del enunciado, el peso específico saturado de la arcilla es:

3w

ws

ddsat kN/m 27'2010·

10·65'25'16

15'16··G

1 =

−+=γ

γ

γ−+γ=γ

En un punto situado a 7 m de profundidad (figura 8.11), la tensión total, intersticial y efectiva valen:

20v00v

20

20v

kN/m 89'718089'151u

kN/m 808·10u

kN/m 89'1511·107·27'20

=−=−σ=σ′==

=+=σ

La presión efectiva horizontal es igual a la presión efectiva vertical por el coeficiente de empuje al reposo k0. Tratándose de una arcilla normalmente consolidada, el coeficiente de empuje al reposo viene dado por la fórmula de Jaky:

577'0º25sen1sen1k 0 =−=φ′−=


296

tq = 130 kN / m

N.F.

2

ESTADO 1

N.F.

q = 130 kN / mt2

N.F.

q

Figura 8.12

En consecuencia la presión efectiva horizontal vale:

200v0h kN/m 48'41577'0·89'71k· ==σ′=σ′

y aplicando el principio de Terzaghi, la presión total horizontal es:

200h0h kN/m 48'1218048'41u =+=+σ′=σ

Estado I Se aplicará la teoría de la elasticidad para obtener los incrementos de presiones producidos por la construcción y llenado del depósito. En este caso, se trata de una cimentación circular que, con el depósito lleno, transmite una presión uniforme de valor:

2t kN/m 13018·540q =+=

Puesto que se asume un comportamiento elástico del terreno, puede aplicarse el principio de superposición (figura 8.12). Como se puede observar, la variación de tensiones a añadir al estado inicial de tensiones es la producida por la carga transmitida neta cuyo valor es:

( ) 2ttn kN/m 46'791·102·27'20130qqq =+−=−=


297

q = 79'46 kN / mtn2

r = 10 m r = 10 m

z = 5 m

Figura 8.13 A partir de la solución dada por la teoría de la elasticidad para carga uniforme circular (figura 8.13), las variaciones de tensiones totales que se producen a corto plazo ( 5'0=ν ) en un punto situado a 5 m por debajo del depósito (7 m desde la superficie del terreno) valen:

( ) ( )

( ) ( ) 22/322/12

2/322/12

tnrh

2

2

3

2

2

3

2tnv

kN/m 71'29

510

1

1

510

1

5'01·25'0·21·

246'79

zr

1

1

zr

1

1221·

2

q

kN/m 35'72

510

1

11·46'79

zr

1

11·q

=

+

+

+

+−+=

=

+

+

+

ν+−ν+=σ∆=σ∆

=

+

−=

+

−=σ∆


298

2

u = 80 kN / m2

151'89 kN / m

u1

ESTADO INICIALESTADO INMEDIATAMENTE DESPUÉS

DE LLENAR EL DEPÓSITO

121'48 kN / m2

224'24 kN / m2

151'19 kN / m2

Figura 8.14

En consecuencia, en el estado 1 se tendrán las siguientes tensiones totales:

2h0h1h

2v0v1v

kN/m 19'15171'2948'121

kN/m 24'22435'7289'151

=+=σ∆+σ=σ

=+=σ∆+σ=σ

Estas variaciones de tensiones totales producirán una variación de presión intersticial. En consecuencia, la presión intersticial será diferente a la inicial, y se hace necesario su cálculo para determinar las presiones efectivas solicitadas en el enunciado. En la figura 8.14 se han representado los estados 0 y 1. Obsérvese que, al igual que en el estado triaxial, en cada uno las tensiones horizontales son iguales, y por consiguiente, la variación de presión intersticial que se produce al pasar del estado 0 al estado 1 puede calcularse con la fórmula de Skempton. Puesto que el terreno está saturado, B = 1, y siendo A = 1'37, el incremento de presión intersticial producido es:

( )[ ] ( )[ ] 2hvh kN/m 13'8871'2935'72·37'171'29·1·A·Bu =−+=σ∆−σ∆+σ∆=∆


299

Por tanto la presión intersticial en el estado I vale:

201 kN/m 13'16813'8880uuu =+=∆+=

Finalmente, el estado de tensiones efectivas que se tiene inmediatamente después del llenado del depósito en el punto solicitado es:

2

h

2v

kN/m 94'1613'16819'151

kN/m 11'5613'16824'224

−=−=σ′=−=σ′

c) Coeficiente de seguridad frente al hundimiento Al tratarse de un cimentación en terreno cohesivo, el cálculo del coeficiente de seguridad frente al hundimiento se debe realizar a corto y a largo plazo.

Corto plazo La carga de hundimiento a corto plazo (totales) se obtiene a partir de la siguiente expresión:


i·d·s·N·qi·d·s·N·cq qqqqccccuh

Para:

φu = 0 B' = B = 20 m L' = L = 20 m

los factores de capacidad de carga son:

Nq = 1 Nc = 5'14 Nγ = 0


300

y los factores de forma valen:

Sq = 1 Sc = 1'2 sγ = 0'6

Los factores de profundidad e inclinación se tomarán igual a la unidad ya que la carga es centrada y se desprecia el efecto de empotramiento de la cimentación.

i = d = 1 Si

cu = Ru / 2 = 100 / 2 = 50 kN / m2 γ = 20'27 kN / m3 q = 50'54 kN / m2

el valor de la carga de hundimiento es:

2h m/kN94'35801·1·1·1·54'501·1·2'1·14'5·50q =++=


2hhn m/kN4'308qqq =−=

El coeficiente de seguridad frente al hundimiento a corto plazo es:

88'346'794'308

qq

Ftn

hn ===

Largo plazo La carga de hundimiento a largo plazo se calcula en términos efectivos, a partir de la siguiente expresión:

γγγγ γ′+′+′=′ i·d·s·'·N·B·21

i·d·s·N·qi·d·s·N·cq qqqqcccch


301

Para

φ' = 25º B' = B = 20 m L' = L = 20 m

Los factores de capacidad de carga son:

Nq = 10'66 Nc = 20'72 Nγ = 6'75

Y los factores de forma valen:

Sq = 1'46 Sc = 1'51 sγ = 0'6

Los factores de profundidad e inclinación siguen valiendo la unidad. Si

c' = 0 (arcilla normalmente consolidada) γ' = 10'27 kN/m3 q' = 20'54 kN/m2

el valor de la carga de hundimiento es:

2h m/kN61'7351·1·6'0·27'10·75'6·20·

21

1·1·46'1·66'10·54'200q =++=′


2hhn m/kN07'715qqq =′−′=′

Finalmente el coeficiente de seguridad frente al hundimiento a largo plazo es:

946'7907'715

q

qF

tn

)arcilla(hn ==′

′=


302

PROBLEMA 8.5 Una zapata cuadrada de 10 m de lado se va a cimentar en un terreno constituido por arenas cuyo peso específico aparente es γ = 20 kN / m3, transmitiendo una presión de 100 kN / m2 y estando el plano de cimentación a un metro de profundidad de la superficie del terreno. Se pide estimar el asiento de la zapata si los ensayos de penetración dinámica estándar (SPT) realizados han proporcionado los golpeos representativos indicados en la figura 8.15.

Profundidad (m)

Golpeo (N)

0 = z = 6

20 6 = z = 11 25

11 = z 30

Arenas

6 m

5 m N = 25

N = 30

N = 20

z

Figura 8.15


303

SOLUCIÓN

Para la estimación del asiento de una cimentación en arenas se puede utilizar el método de Schmertmann. En el caso de zapata cuadrada, el asiento viene dado por la siguiente expresión:

∑

∆⋅

⋅⋅=B2

0

ztn1 E

zIqCs

o C1 es el “factor de profundidad” que viene dado por:

tn1 q

q5'01C

′⋅−=

donde q' es la tensión efectiva a cota de cimentación y qtn la carga transmitida neta. Si

2kN/m 2020·1·Dqq ==γ=′= y

2ttn kN/m 8020100qqq =−=−=

el factor de profundidad vale:

875'08020

·5'01C1 =−=

o Iz es un coeficiente que varía con la profundidad (figura 8.16). Para una zapata cuadrada de ancho B, su valor máximo se produce a B / 2 por debajo del plano de cimentación y viene dado por la expresión:

( ) 581'020·6

801'05'0

q1'05'0I

vq

tnz =⋅+=

σ′⋅+=


304

donde σ'vq es la tensión efectiva existente a una profundidad igual a B / 2 por debajo del plano de cimentación.

o E es el módulo de deformación. Según Schmertmann, en zapatas cuadradas puede utilizarse la siguiente correlación con la resistencia por punta (qc) del ensayo de penetración estática:

cq5'2E ⋅= Si solo se dispone de resultados del ensayo de penetración dinámica estándar SPT (N), se debe buscar alguna correlación entre qc y N.

Para el caso de arenas, la correlación más usual es:

4Nqc =

Así pues, la estimación del módulo de elasticidad se realizará con la siguiente expresión:

)m/kN(N·1000)cm/kg(N·10E 22 == Procedamos ahora a calcular el sumatorio, teniendo en cuenta que hay tres zonas en las que N es constante, y según lo anterior, también E. Por lo tanto, se tendrá:

∑∑∑ ∑∑ ∆⋅+

∆⋅+

∆⋅=

∆⋅=

∆⋅ 20

10

z10

5

z20

0

5

0

z20

0

zz

30·1000zI

25·1000zI

20·1000zI

N·1000zI

EzI

=

∑∑∑ ∆⋅+∆⋅+∆⋅=20

10z

10

5z

5

0z )zI(

300001

)zI(25000

1)zI(

200001


305

N = 20

N = 30

N = 255 m

5 m

10 m

B = 10 m

0'15 0'387 0'581

B/2 = 5 m

2B = 20 m

Iz

z (m)

1 m

Figura 8.16

Los tres sumatorios que se tienen ahora representan las áreas diferenciadas en la

figura 8.16. Por lo tanto:

∑ ≅+

+

+

+

=

∆⋅20

0

z 00025'030000

10·2387'0

25000

5·2

387'0581'0

20000

5·2

581'015'0

E

zI

Sustituyendo finalmente en la expresión del asiento, se llega a: cm75'1m0175'000025'080875'0s ==⋅⋅=


306

PROBLEMA 8.6 En el terreno mostrado en la figura 8.17, en el que el nivel freático se encuentra en superficie, se pretende cimentar a 2 m de profundidad una zapata cuadrada de 4 m de lado. Durante la campaña de reconocimiento del terreno, se extrajo una muestra inalterada (M) del nivel de arcilla a 5 m de profundidad, que ensayada en laboratorio arrojó los siguientes resultados: o Peso específico relativo de las partículas (Gs): 2'7 o Humedad (w): 36% o Índice de compresión (Cc): 0'25 o Índice de hinchamiento (Cs) : 0'05 o Presión de preconsolidación (s'p): 43'1 kN / m2 o Resistencia a compresión simple (Ru): 80 kN / m2 o Módulo de elasticidad sin drenaje (Eu): 12000 kN / m2 o Parámetro A de presión intersticial: 0'8

Roca

Arcilla

N.F.

3 m

5 mM

Figura 8.17

Sabiendo que la humedad de la arcilla a una profundidad de 3 m es del 37'5% y que ésta varía linealmente con la profundidad, se pide: a) Calcular la presión máxima que puede transmitir a corto plazo la zapata al

terreno con un coeficiente de seguridad frente al hundimiento de 3. b) Para la presión transmitida anterior, estimar el asiento total bajo el centro de la

zapata. Nota: A excepción de la humedad, todos los parámetros geotécnicos de la arcilla se supondrán constantes con la profundidad.


307

Roca

Arcilla

B = 4 m

2 m

2t = 6 m

h

q, u, q'

q

N.F.

Figura 8.18

SOLUCIÓN a) Presión máxima transmitida Se trata de un terreno estratificado y la determinación de la carga de hundimiento se puede obtener aplicando el método aproximado para terreno bicapa indicado en el problema 8.3. Puesto que la carga de hundimiento de la arcilla es menor que la de la roca, el terreno T2 es la arcilla, y como (figura 8.18):

7'05'146

B

t 2 >==

la carga de hundimiento del terreno estratificado es la correspondiente a la arcilla.


308

Con los datos del enunciado, el peso específico saturado de la arcilla vale:

( ) ( ) 3

s

wssat kN/m 62'18

17'2·36'0136'0·10·7'2

1G·w

1w··G=

++=

++γ

=γ

A corto plazo, el cálculo de la carga de hundimiento debe realizarse en totales, con φu = 0º. A cota de cimentación, las tensiones valen:

2

2w

2sat

kN/m 42'17202'37uqq

kN/m 202·102·u

kN/m 24'372·62'182·q

=−=−=′==γ=

==γ=

Para φu = 0º, la carga de hundimiento en totales se obtiene a partir de la siguiente expresión:

qqqcccuh i·d·s·1·qi·d·s·14'5·cq += (1)

Puesto que no hay excentricidad de cargas, entonces:

B' = B = 4 m L' = L = 4 m

y los factores de capacidad de forma son:

sc = 1'2 sq = 1 Los factores de profundidad e inclinación son iguales a la unidad (d = i = 1). Como:

2

2uu

kN/m 24'37q

kN/m 4080·21

R·21

c

=

===


309

sustituyendo valores en la expresión (1), se obtiene que la carga de hundimiento a corto plazo de la arcilla es:

2h kN/m 96'2831·1·1·1·24'371·1·2'1·14'5·40q =+=


2hhn kN/m 72'24624'3796'283qqq =−=−=

Para un coeficiente de seguridad frente al hundimiento de 3 se tiene que:

3qqqq

qq

Ft

h

tn

hn =−−==

Sustituyendo valores en esta expresión, se obtiene que la presión máxima que puede transmitir la zapata al terreno es:

qt = 119'48 kN/m2

b) Asiento total En el caso de cimentaciones superficiales sobre terrenos cohesivos saturados, con dimensiones de zapata mucho menores que el espesor del estrato cohesivo, no existe confinamiento lateral del terreno como sucede en el edómetro. La determinación del asiento total se realizará utilizando el método de Skempton - Bjerrum donde el asiento total se obtiene como:

ciT sss +=


310

D

HB

q

L / B = 10

L / B = 5

L / B = 2

L / B = 1

círculo

L / B =

1

H / B

10 1000'10

1

2

0'8

0'9

1'0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D / B

µ0

µ 1

1000

0'93

0'5

0'5

1'5

Figura 8.19 siendo si el asiento instantáneo que se produce tras la aplicación de la carga y sc el asiento de consolidación. El asiento instantáneo (si) bajo una cimentación flexible sobre un estrato arcilloso saturado limitado inferiormente por un estrato indeformable (figura 8.19) se obtiene a partir de la siguiente expresión (Christian y Carrier, 1978)1:

10u

i ··E

B·qs µµ= (2)

1 Christian, J. T.; Carrier, W. D.(1978). "Janbu, Bjerrum and Kjaernsli's chart reinterpreted".

Canadian Geotechnical Journal, 15, p. 123-128.


311

donde q es presión transmitida por la cimentación, B es el ancho de la cimentación, Eu es el módulo de elasticidad no drenado y µ0 y µ1 son factores correctores por profundidad y por el espesor de estrato arcilloso. Para

5'042

BD

5'146

BH

==

==

los factores correctores son:

5'0

93'0

1

0

=µ=µ

Si

2

u

2t

kN/m 12000E

m 4B

kN/m 48'119qq

=

===

sustituyendo valores en la expresión (2) se obtiene que el asiento instantáneo es:

m 018'05'0·93'0·12000

4·48'119s i ==

El asiento de consolidación se obtiene a partir del asiento edométrico multiplicado por un factor de corrección (µ) que tiene en cuenta el efecto del tamaño de la cimentación:

edométricoc s·s µ= (3)


312

z

N.F.

q = 119'48 kN / mt

ESTADO FINAL

q, u, q'

2

(1)

(2)

(3)

N.F.

2 m

(3)

(1)

(2)

2 m

2 m

2 m

ESTADO INICIAL

Figura 8.20 Para el cálculo del asiento edométrico, por debajo del plano de cimentación se dividirá el estrato de arcilla en subcapas de 2 m de espesor (figura 8.20), y en el punto medio de cada subcapa, se calculará la tensión efectiva vertical inicial (σ'0i), la humedad (wi), el índice de huecos inicial (e0i) y el incremento de tensión vertical inducido por la zapata (∆σvi) Como la humedad es 37'5 % a 3 m de profundidad y 36 % a 5 m, y adoptando que la variación de la humedad con la profundidad es lineal, se tiene que:

% 75'39z·75'0)z(w +−= habiendo adoptado el origen del eje z en la superficie del terreno (figura 8.20). Las tensiones verticales efectivas, la humedad y el índice de poros iniciales en los puntos medios de cada subcapa son los siguientes:

Punto

Profundidad z (m)

σ'0 =γ'·z (kN/m2)

w (%)

e0 = Gs ·w

1

3

25'86

37'5

1'012 2 5 43'1 36 0'972 3 7 60'34 34'5 0'931


313

Si se compara la tensión efectiva vertical en el punto 2 (σ'0 = 43'1 kN/m2), profundidad a la que se extrajo la muestra, se observa que es igual a la tensión de preconsolidación (σ'p = 43'1 kN/m2) y consecuentemente se puede concluir que la arcilla es normalmente consolidada y el asiento edométrico en cada subcapa se puede obtener con la expresión:

σ′

σ∆+σ′+

=i0

vii0c

i0

i)i(edométrico ·logC·

e1

Hs (4)

y el asiento edométrico total será:

∑=

=3

1i)i(edométricoedométrico ss (5)

La zapata transmite al terreno una presión qt = 119'48 kN / m2 y la presión transmitida neta a cota de cimentación es:

2ttn kN/m 24'8224'3748'119qqq =−=−=

El incremento de tensión vertical provocado por esta carga transmitida neta en los puntos medios de cada subcapa, bajo el centro de la zapata, se obtienen a partir de la teoría de la elasticidad, resultando ser:

Punto

∆σvi

1

76'32 2 39'8 3 19'81


314

Nivelcompresible

Nivelincompresible

H

B

α

H / B Zapata circular Zapata cuadrada

0 0'25 0'5 1 2 4 10 ∞

1'00 0'67 0'50 0'38 0'30 0'28 0'26 0'25

1'00 0'74 0'53 0'37 0'26 0'20 0'14 0'00

Figura 8.21

En la siguiente tabla se han recogido los valores obtenidos con la expresión (4) para el asiento edométrico de cada subcapa, y el asiento edométrico total (5).

Punto Espesor Subcapa

Hi Cc e0i

σ'0i

∆σvi

sedm(i)

(m) (kN/m2) (kN/m2) (m)

1

2

0'25

1'012

25'86

76'32

0'148 2 2 0'25 0'972 43'1 39'8 0'072 3 2 0'25 0'931 60'34 19'81 0'032

sedométrico 0'252


315

El asiento de consolidación se obtiene con la expresión (3). El valor del factor de corrección µ vale:

( )A1·A −α+=µ donde A es el parámetro de presión intersticial y α es un coeficiente que se obtiene en función del espesor del estrato compresible H y de la anchura de la cimentación B (figura 8.21). Para H / B = 1'5 y zapata cuadrada ? α = 0'28. Si A = 0'8 el factor de corrección vale:

( ) 856'08'01·28'08'0 =−+=µ y el asiento de consolidación es:

m 216'0252'0·856'0s·s edométricoc ==µ= Por ultimo el asiento total vale: m 234'0216'0018'0sss ciT =+=+=


316

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