Capítulo 5- Estudios Ensayos y Cálculos...

Capítulo 5- Estudios, Ensayos y Cálculos Hidráulicos

Capítulo 5- Estudios Ensayos y Cálculos Hidráulicos

5.1- Introducción

En el anterior capítulo se obtuvo la ecuación que simula el comportamiento mecánico de la estructura. La entrada de dicha ecuación es el movimiento del pistón y la salida, la fuerza ejercida por éste sobre la estructura (ecuación 4.7.13). En cambio en este capítulo se estudiarán las ecuaciones que controlan el movimiento y fuerza en el pistón a partir de la intensidad de entrada en la servoválvula. La obtención de estas ecuaciones se han basado en las leyes de la dinámica de fluidos y de la mecánica [4 y 5].

A continuación, de los apartados 5.2 al 5.7, se estudiarán y deducirán las

ecuaciones que modelan el comportamiento hidráulico de la servoválvula y el cilindro. Estas ecuaciones están compuestas por una serie de parámetros cuyo cálculo o deducción no entran en el ámbito de este proyecto. Sin embargo, en el apartado 5.8 se proponen métodos para la determinación de los mismos, bien a partir de la bibliografía o bien mediante ensayos.

5.2- Ecuación Flujo-Presión para Servoválvulas de Corredera

Una servoválvula es principalmente una máquina que regula el tamaño de unos orificios por los que pasa un fluido, a menudo aceite, con el fin de controlar el flujo que circula a través de ella. La siguiente ecuación, 5.2.1 describe el flujo a través de orificios. Se tiene en cuenta, en esta ecuación, la dirección de la caída de presión en el flujo.

( psignpxcpxQQ vvV ∆∆=∆= ),( ) (5.2.1)

Con: Q Flujo a través del orificio. cv Parámetro que tienen en cuenta el tamaño del orificio, la forma, etc.

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xv Posición de la corredera que abre o cierra el orificio.

∆p Caída de presión entre ambos lados del orificio.

sign(∆p) Signo de la caída de presión. La servoválvula de la máquina de ensayo de fatiga es de cuatro vías. Se puede aproximar por una servoválvula con solapamiento ideal críticamente centrado, lo que equivale a decir que en teoría no posee solapamiento alguno. En la figura 5.1 se representa el esquema de una servoválvula de estas características, cuyos flujos QA y QB se modelan en las ecuaciones 5.2.2 y 5.2.3, basadas en la ecuación 5.2.1.

( ) ( ) ( ) ( ) TATAvvASASvvA ppppsignxsgcppppsignxsgcQQQ −−−−−−=−= 2121

(5.2.2)

( ) ( ) ( ) ( ) TBTBvvBSBSvvB ppppsignxsgcppppsignxsgcQQQ −−−−−−=−= 4343

(5.2.3) Con: xV Posición de la corredera de la servoválvula. pA y pB Presión en las cámaras A y B del cilindro. pS Presión de entrada a la servoválvula (la que da la bomba). pT Presión en el tanque de aceite. Normalmente próxima a la atmosférica.

La función sg(x) se define:

( )

<≥

=000

:xparaxparax

xsg (5.2.4)

Los coeficientes cvi se denominan coeficientes de descarga de los orificios de la servoválvula. Serán constantes para una servoválvula dada, e iguales entre si, si todos los orificios son iguales, lo que es una hipótesis de cálculo de este proyecto.

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Figura 5.1. Esquema de la servoválvula

Las ecuaciones de comportamiento flujo-presión, 5.2.2 y 5.2.3, son, como ya se dijo, de una servoválvula críticamente centrada. Sin embargo, la fabricación de este tipo de servoválvula es muy difícil de conseguir. Aparte de esto, es imposible evitar una holgura radial, lo que provoca siempre un pequeño “underlap”o falta de solape. Por ello, siempre existirá una pequeña corriente de fuga que no se ha considerado. Teniendo en cuenta que este flujo va a ser muy pequeño, se despreciará en las ecuaciones y se asumirá como una hipótesis de cálculo.

5.3- Ecuación de la Corredera Tanto la ecuación de la corredera, como otras vistas antes y después de este apartado, es decir, las ecuaciones que modelan el comportamiento dinámico de la servoválvula, implican un gran número de parámetros. Muchos de estos sólo pueden ser conocidos para un determinado rango (amplio), o incluso, no determinables. Los parámetros determinados a partir de diferentes fuentes de información (catálogos y planos de fabricantes, libros, técnicas de optimización), hacen que el modelo tenga un comportamiento dinámico poco real. Esto plantea una dificultad añadida que más tarde tendrá que ser tratada.

Por otro lado, la ecuación dinámica de la servoválvula se basa en que ésta es controlada por una corriente de mando IV en Amperios. Mediante la ecuación dinámica de la servoválvula, esta corriente, controla la posición de la corredera xv.

El estudio de las respuestas al escalón y de diagramas de frecuencias, sugiere una aproximación de la servoválvula por una ecuación diferencial de segundo orden:

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( ) vvvhSvvv

vv

v

IKxsignfxxD

x =+++ &&&&ωω21

2 (5.3.1)

Con: IV Intensidad de la corriente eléctrica de entrada a la servoválvula: en Amperios. xv Salida de la servoválvula: posición de la corredera. Kv Ganancia de la servoválvula.

ωv Frecuencia natural. Dv Coeficiente de amortiguamiento. fhS Coeficiente que tiene en cuenta la histéresis y la sensibilidad de la respuesta de

la servoválvula.

5.4- Ecuaciones del Cilindro Hidráulico

Las ecuaciones del cilindro hidráulico son la ecuación de la presión dinámica en las cámaras del cilindro y la ecuación del movimiento del pistón. Ambas se estudiarán en los dos subapartados siguientes.

5.4.1- Presión Dinámica en las Cámaras del Cilindro Ecuación de continuidad en una cámara de un cilindro:

PEVVQQ outin

&& +=− ∑∑ (5.4.1)

Con E el ‘Módulo de Elasticidad Volumétrico’. Aplicando esta ecuación en ambas cámaras del cilindro, se obtienen las ecuaciones (5.4.2) y (5.4.3). Ver el esquema de la figura 5.2.

( ) AA

AALiA p

pEVVQQ &&′

+=− (5.4.2)

70


( ) BB

BBLeLiB p

pEVVQQQ &&′

+=−+ (5.4.3)

Donde VA y VB son los volúmenes de los anillos formados entre el pistón y la

cámara. Ambos incluyen los volúmenes de las tuberías procedentes de las válvulas de conexión y los volúmenes de la cámaras. QLi y QLe representa el flujo de fuga interno y el que escapa al exterior, respectivamente. Por último, pA y pB son las presiones del fluido en las cámaras A y B.

Figura 5.2. Esquema del sistema servoválvula-cilindro hidráulico

Derivando respecto al tiempo las ecuaciones 5.4.2 y 5.4.3 se obtienen las ecuaciones 5.4.4 y 5.4.5.

ppA xAV && = (5.4.4)

ppB xAV && α−= (5.4.5)

Las ecuaciones de continuidad 5.4.2 y 5.4.3 pueden ser reorganizadas para formar las ecuaciones de la presión dinámica

( )LeALippAhA

A QQxAQC

p −+−= &&1 (5.4.6)

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( )LeBLippBhB

B QQxAQC

p −−+= && α1 (5.4.7)

La capacidad o capacitancia hidráulica de cada cámara viene expresada por las ecuaciones 5.4.8 y 5.4.9.

( ) ( )( )

( )( )AA

pppAp

AA

pApAhhA pE

AxxVpExV

xpCC′

++=

′== 0,1, (5.4.8)

( ) ( )( )

( )( )bB

pppBp

BB

pBpBhhB pE

AxxVpExV

xpCC′

−+=

′==

α0,1, (5.4.9)

Con:

AE′ Módulo de Elasticidad Volumétrico Efectivo en la cámara A.

BE′ Módulo de Elasticidad Volumétrico Efectivo en la cámara B.

xp0 Posición neutra del pistón. xp Posición de pistón. Vpl,A Volumen de la tubería desde la válvula hasta la cámara A. Vpl,B Volumen de la tubería desde la válvula hasta la cámara B. El flujo de fuga interno o cruzado de las cámaras entre si, suponiendo flujo laminar es:

( ABLiLi ppCQ −= ) (5.4.10)

Donde CLi es en coeficiente de flujo de fuga interna. El flujo de fuga externo de

cada cilindro, con salida al tanque, se puede despreciar. Por lo tanto 0== LeBLeA QQ

5.4.2- Ecuación del Movimiento del Pistón La ecuación del movimiento del pistón gobierna el movimiento de la carga mediante la aplicación de la segunda ley de Newton sobre el pistón.

( ) ( ) extpBApfpt FAppxFxm −−=+ α&&& (5.4.11)

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Con: mt Masa total a considerar del pistón.

( )pf xF & Fuerza de fricción sobre el pistón.

Ap Sección transversal del interior del cilindro en la cámara B, sobre la que actúa la presión.

α Relación entre la sección transversal de la cámara A respecto a la B en el

caso de que nuestro cilindro sea asimétrico: ApA = α..ApB Fext Fuerza exterior ejercida sobre el final del pistón (ver figura 5.2).

La masa total mt es la del pistón mp más la del fluido en las cámaras del cilindro y en las tuberías, mA,fl y mB,fl respectivamente.

flBflApt mmmm ,, ++= (5.4.12)

La masa del fluido se calcula por:

( )[ ]pppApflA AxxVm ++= 0,1, ρ

( )[ ]pppBpflB AxxVm αρ −+= 0,1, (5.4.14)

Sin embargo, normalmente la masa del fluido puede ser despreciada, comparada con la del pistón. Un método estándar para modelar la fricción es representarla como una función de la velocidad. La ecuación 5.4.15 modela la fricción que se relaciona con la curva de fricción de Stribeck, (Stribeck, 1902) .Ver figura 5.3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−++=++=

s

pscpppspcpvpf c

xFFxsignxxFxFxFxF

&&&&&&& exp. 00σ (5.4.15)

Las tres partes características de ésta curva son: fricción viscosa Fv, fricción

estática Fs y fricción de Coulomb Fc. σ es el parámetro para la fricción viscosa. Fs0 y cs

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(conocida como velocidad de Stribeck) son los parámetros de la fricción estática. Una curva típica de curva de fricción de Stribeck se muestra a continuación en la figura 5.3

Figura 5.3. Fuerzas de fricción

5.5- Modelo Completo no Lineal

En esta sección se van a recopilar las ecuaciones deducidas hasta ahora. Para ello se definirán las variables de estado, de entrada y de perturbación externa. Variables de estado: xp Posición del pistón. pA Presión en la cámara A del cilindro. pB Presión en la cámara B del cilindro. xv Posición de la corredera de la servoválvula. Variable de entrada: Iv Intensidad de entrada a la servoválvula.

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Perturbación externa: Fp Fuerza exterior en el pistón. De esta forma el modelo completo no lineal viene dado por las siguientes ecuaciones:

( ) ( )[ extpfpBApt

p FxFAppxm

x −−−−= &&& .)(

1 α ] (5.5.1)

( )),(),()()(

BALippVAApA

AAA ppQxAxpQ

xVpE

p +−′

= && (5.5.2)

( ),(.),()()(

BALippVBBpB

BBB ppQxAxpQ

xVpE

p −+′

= && α ) (5.5.3)

−−−= )(

22VhSVV

V

VVVV xsignfxx

Dux &&&

ωω (5.5.4)

La masa total viene dada por:

( )[ ] ( )[ ]pppBppppAppt AxxVAxxVmm αρρ ++++++= 0,10,1 (5.5.5)

Fuerzas de Fricción:

( ) ( )

−++=

s

pscpppf c

xFFxsignxxF

&&&& exp. 00σ (5.5.6)

Módulos de Elasticidad Volumétricos Efectivos

+

=′ 3

max2max1 100log a

pp

aEaE AA (5.5.7)

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+

=′ 3

max2max1 100log a

pp

aEaE BB (5.5.8)

Volúmenes en las cámaras de los cilindros

VA(xp) = Vpl,A + (xp0+xp)Ap (5.5.9)

VB(xp) = Vpl,B + (xp0-xp)αAp (5.5.10)

Ecuaciones del Flujo:

( ) ( ) ( ) ( ) TATAvvASASvvA ppppsignxsgcppppsignxsgcQ −−−−−−= 21

(5.5.11)

( ) ( ) ( ) ( ) TBTBvvBSBSvvB ppppsignxsgcppppsignxsgcQ −−−−−−= 43

(5.5.12) Flujo de fuga interno

( ) ( ABLiBALi ppCppQ −=, ) (5.5.13)

En la obtención de estas ecuaciones se han asumido una serie de hipótesis:

• La bomba hidráulica suministra aceite a presión constante, independientemente del flujo.

• La presión en el tanque de aceite es constante.

• La válvula modelada es simétrica, críticamente centrada y de cuatro orificios.

• El flujo de fuga es laminar.

• El flujo a través de la válvula es turbulento.

• Los volúmenes de líquido ineficientes, como por ejemplo, las tuberías entre la servoválvula y el cilindro, pueden ser modelados como volúmenes ineficientes en la carrera del cilindro.

• Las fricciones estática, dinámicas y de Coulomb se suponen actuando en el actuador (continuación del pistón que actúa sobre la carga).

• El entorno del cilindro se considera rígido.

• Se desprecia el posible comportamiento dinámico del aceite entre la válvula y el actuador.

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5.6- Simplificación del Modelo

Para poder realizar la simplificación se precisa definir los coeficientes de sensibilidad de la servoválvula. En el siguiente apartado se definirán estos coeficientes. Tras él se estudiará el modelo reducido. 5.6.1- Coeficientes de Sensibilidad de las Válvulas Las ecuaciones 5.2.2 y 5.2.3 pueden ser desarrolladas en serie de Taylor

alrededor de un punto particular de operación ( )0000 ,, BAv ppxP = :

.....00

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ ppQx

xQQ pvp

v

(5.6.1)

Que lleva a definir:

AAQpvAQxA pKxKQ ∆+∆=∆ ,, (5.6.2)

BBQpvBQxB pKxKQ ∆+∆=∆ ,, (5.6.3)

Por consiguiente, los coeficientes de sensibilidad de ganancia de flujo vienen

definidos por:

( )( )

−>−

=∂∂

=0 < xpara

0 xpara

v0

v0, 0

TAv

Asvp

v

AAQx ppc

ppcxQK (5.6.4)

( )( )

−−>−−

=∂∂

=0 < xpara 0 xpara

v0

v0, 0

BSv

TBvp

v

BBQx ppc

ppcxQ

K (5.6.5)

Y los coeficientes de sensibilidad flujo-presión se expresan:

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( )

( )

>−

<−

−

=∂∂

=0 xpara

2

0 xpara 2

v0

0

v0

0

, 0

TA

vv

AS

vv

pA

AAQp

ppxc

ppxc

pQ

K (5.6.6)

( )

( )

<−

>−

−

=∂∂

=0 xpara

2

0 xpara 2

v0

0

v0

0

, 0

BS

vv

TB

vv

pB

BBQp

ppxc

ppxc

pQK (5.6.7)

5.6.2- Modelo Reducido En este apartado se deducirá un modelo de menor orden, con el objetivo de facilitar la obtención de una función de transferencia del sistema hidráulico. Primero se eliminarán de las ecuaciones las presiones pA y pB, para sustituirlas por pL, definida mediante la expresión:

BAL ppp .α−≡ (5.6.8)

A partir de esta definición y mediante la combinación de las ecuaciones del apartado 5.5 se deducen las siguientes relaciones [4]:

LA pp 311α+

= (5.6.9)

LB pp 311α+

−= (5.6.10)

Derivando respecto al tiempo la ecuación 5.6.8:

LBA ppp &&& =− .α

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pdLh

vQL xKpT

xKp && ∆−∆−∆=∆1 (5.6.12)

Donde los parámetros KQ, Kd y Th pueden ser expresados como:

BQxB

BAQx

A

AQ K

VEK

VEK ,,

′−

′= α (5.6.13)

Kd=ApCh

′+

′=

B

B

A

Ah V

EVE

C 2α (5.6.14)

( ) ( )

+

+−′−

+

++−′=

3

2,

3

22,

11

11

1

α

α

α

ααα LiAQp

A

ALiBQp

B

B

h CKVECK

VE

T (5.6.15)

Finalmente combinando la ecuación 5.6.12 con la 5.4.11 linealizada, se tiene la

nueva ecuación del pistón:

extp

Lp

pp

pp F

mp

mA

xm

x ∆−∆+∆−=∆1

&&&σ (5.6.16)

5.7- Modelo Final

El modelo final, cuyas ecuaciones se fueron deduciendo anteriormente, se presenta a continuación. Para ello se escribirán todas las ecuaciones que permiten construir el modelo completo. Se transformarán por Laplace en función de la variable de control ‘s’. Y por último se ordenarán convenientemente para conseguir la ecuación que modela el sistema hidráulico.

Ecuación de la corredera (de la ecuación 5.3.1)

)()()()(2)( sIKsxssxDsx vvvvvvvv =++ ωω &&& (5.7.1)

Ecuación del movimiento del pistón (ec. 5.3.1)

)()()()( sFAppxFsxm extpBApfpt −−=+ α&&& (5.7.2)

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Ecuación de la presión dinámica (ec.5.6.12)

)()(1)()( sxKsPT

sxKsp PdLh

VQL && −−= (5.7.3)

Combinando la ecuación anterior y la del pistón linealizada (5.6.16) se obtiene:

)(1)()()( sFm

spmA

sxm

sx extp

Lp

pp

pp −+

−= &&&

σ (5.7.4)

Combinando adecuadamente las anteriores ecuaciones:

)2(

)(1)()( 22

hhh

exthp

hVQ

p

p

p sDss

sFTm

sTsxKmA

sxωω ++

+−

= (5.7.5)

De la ecuación 5.7.5 más la 5.7.1 se puede obtener el diagrama de control en

bloques. La entrada es Iv(s), intensidad de entrada en la servoválvula y la salida xp, movimiento del pistón. Fext es la fuerza que ejerce el pistón sobre el sistema de ensayo y la estructura, la cual, según se vio en el capítulo anterior, depende directamente del movimiento del pistón.

Figura 5.4. Esquema del modelo hidráulico

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5.8- Parámetros del Modelo Hidráulico Las ecuaciones hidráulicas o lo que es lo mismo, el esquema del modelo de la

figura 5.4, dependen de una serie de variables y parámetros. Las variables son el movimiento del pistón xp, la fuerza sobre este Fext, la corriente de entrada a la servo-

válvula IV y por supuesto la variable s = iω con i = 1− . Los parámetros de discutirán

en los siguientes subapartados. En el subapartado 5.8.1 se estudiarán los parámetros que se pueden obtener

mediante la bibliografía o bien mediante mediciones. Mientras que en los apartados 5.8.2 y 5.8.3 se propondrán ensayos para hallar los parámetros restantes. 5.8.1- Obtención de Parámetros Mediante Mediciones y Bibliografía

A continuación se muestra el listado de los parámetros que se precisa conocer para la completa definición del modelo de control hidráulico:

Kv Ganancia de la servoválvula.

ωv Frecuencia natural de la servoválvula. Dv Coeficiente de amortiguamiento de la servoválvula. Ap Área de empuje efectiva del cilindro. mp Masa del pistón. KQ Constante hidráulica 1. Th Constante hidráulica 2. Dh Coeficiente de amortiguamiento hidráulico.

ωh Frecuencia natural hidráulica.

Los parámetros conocidos o que se pueden deducir son los siguientes: La ganancia KV y el coeficiente de amortiguamiento de la servoválvula Dv pueden normalmente asumirse que estarán cerca de la unidad ([4] apartado 4.5.2). Al no disponer de más datos o fuentes de información se propone tomar KV = 1. Sin embargo en el manual de la servoválvula, en el apartado Respuesta en Frecuencia (ver apéndice) se dice que la respuesta de la servoválvula se puede asimilar a una función de segundo orden. Esto confirma el orden de la ecuación 5.3.1 del modelo. También se dice en

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dicho manual que el factor de amortiguación es 0.9. Entonces se propone tomar DV = 0.9 que además está próximo a la unidad, como se ha indicado anteriormente.

Por otro lado, el cilindro quedó definido en el capítulo 3: φ100xφ60x250 mm y por el plano del mismo. Por lo tanto el área Ap es la corona circular definida por ambas circunferencias:

4060.0100.0

4

2222 −=

−= ππ dDAP = 5.027*10-3 m2 (5.8.1)

La masa del pistón se calcula del plano del pistón, y de la densidad del acero A42. Esto da un masa mp = 18.6 kg con un error menor del 0.3%.

Quedarían por determinar los valores de los parámetros ωv, KQ, Th, Dh y ωh: frecuencia natural de la servoválvula, constante hidráulica 1, constante hidráulica 2, coeficiente de amortiguamiento hidráulico y frecuencia natural hidráulica, respectivamente. No se tiene información fiable de estos cinco parámetros, que restan para definir completamente el modelo. Por ello se precisaría realizar ensayos de los cuales obtener información, para un posterior análisis numérico de los mismos con el objeto de determinar los parámetros desconocidos.

Como se ha dicho, el cálculo de estos parámetros queda fuera de los objetivos de este proyecto fin de carrera. Sin embargo se propone un proceso para su cálculo en dos etapas.

En la figura 5.5 se divide el modelo en dos partes. La parte 1 no considera la fuerza ejercida sobre el pistón (Fext). Ello equivale a hacer ésta cero en la realización de un ensayo de fatiga, es decir, un ensayo sin probeta. En esta parte del modelo

intervienen solo 4 parámetros: ωv, KQ, Dh y ωh. Para la obtención de los mismos se realizará el ensayo 1 de respuesta en frecuencias, en control de desplazamiento.

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Figura 5.5. División del esquema de control en las partes 1 y 2

En la parte 2 del modelo si interviene la fuerza exterior. Ambas partes juntas modelarían un ensayo con probeta donde intervendrían los cinco parámetros desconocidos. Con el ensayo 2 de respuesta en frecuencias, en control de fuerza, se podría obtener el parámetro restante Th.

5.8.2- Ensayo 1 de Respuesta en Frecuencias

El modelo de control hidráulico de la figura 5.5, se ha de combinar con el modelo mecánico y el del control de la máquina para obtener un modelo completo. Este modelo completo, si está bien realizado, permitiría simular ensayos de fatiga.

En este apartado se va a explicar la realización del ensayo 1 sin probeta. Se

recuerda que la fuerza exterior sobre el pistón ha de ser nula, para que sólo implique a los parámetros de la parte 1 del modelo hidráulico. Como ya se dijo, los ensayos se pueden controlar en fuerza o en desplazamiento. En este caso, se va a realizar un control en desplazamiento. Al no haber probeta en el ensayo, no se puede pedir que el pistón produzca una fuerza determinada, como ocurriría en un ensayo con control de fuerzas. Sin embargo, con el control en desplazamientos, el controlador ajustará la fuerza (pequeña), para que el pistón se mueva según los requerimientos.

Las ecuaciones que modelan el ensayo 1, incluidas las del control de la máquina,

ahora mismo son desconocidas. Cuando se hayan obtenido se podrán agrupar en una sola función de ‘s’, a la que se denominará GE1(s). Si de esta función se conocieran todos sus parámetros, al ser multiplicada por la entrada requerida xe(s), debería producir la misma salida que el sistema real, xP(s).

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Figura 5.6. Modelo del ensayo 1 de respuesta en frecuencias

Este primer ensayo se denominará ‘Ensayo 1 de Respuesta en Frecuencia’. Para

su realización se introducirán en el controlador entradas senoidales xe = |Xe|Sen(ωt) de distintas frecuencias y amplitudes. Una vez que la máquina entre en régimen permanente, para cada entrada se medirá la amplitud del movimiento senoidal resultante

en el pistón, es decir, la amplitud de la señal xP = PX Sen(ωt+ϕ). Conviene aquí

recordar que las respuestas a un sistema lineal como éste, ante entradas senoidales de

frecuencia ω y amplitud A, son salidas senoidales de igual frecuencia ω, pero con cierto

desfase ϕ y amplitud B. Ambos se pueden determinar conocida la función de transferencia del sistema GE1(s). En este caso esta relación resultará la siguiente: |XP|/|Xe|=|GE1(s)|

ϕ=arg[GE1(s)] (5.8.2) Por lo tanto, la función de trasferencia GE1(s) producirá en el movimiento del

pistón un desfase y un cambio del módulo para cada frecuencia (recordar que s = iω) respecto de la entrada al sistema.

Los valores del controlador PIDF (proporcional, integrador y derivativo) son ajustables, así que se han de fijar para la realización del ensayo. La ganancia del controlador se tomará KP = 1 y se anularán la parte integradora y derivativa. Se ha tomado este sencillo ajuste porque el ensayo se realiza con el objeto de calcular los parámetros desconocidos. No se busca que la salida del ensayo de fatiga se parezca a la entrada del sistema. El cálculo de los parámetros se realizaría por métodos numéricos. Por lo tanto mientras más experiencias se realicen en el ensayo, mayor fiabilidad tendrán los

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resultados. En el ensayo se han introducido entradas con las frecuencias: 0.1, 0.5, 1, 2, 3, 5 , 8 y 10 Hz y las amplitudes 1, 2, 4, 6, 10, 20, 40, 60 ,80 ,100 y 125 mm. Aunque algunas combinaciones de fuerza y amplitud no se han ensayado por diferentes causas. En la tabla 5.1 se muestran los resultados del ensayo realizado. En la medición de la respuesta se obtuvieron los valores máximos y mínimos de la salida de cada ensayo, es decir, los valores de pico y valle de la curva de salida. Estos a menudo no salen simétricos debido principalmente a la gravedad.

Ensayo 1 de respuesta en frecuencias Salida (mm)

Frecuencia (Hz) Entrada

(mm) Medida 0,1 0,5 1 1,5 2 3 5 8 10

Pico 0,48 0,45 0,50 0,50 0,26 1 Valle -0,93 -0,49 -0,91 -0,91 -1,01 Pico 1,45 1,20 0,88 0,48 0,20 0,30 2 Valle -1,90 -1,20 -0,74 -0,66 -0,63 -0,82 Pico 3,40 2,60 1,80 1,10 0,72 0,50 0,44 4 Valle -3,88 -2,65 -1,60 -1,33 -1,15 -0,52 -0,47 Pico 5,40 4,02 2,70 1,67 1,17 1,32 1,10 0,03 6 Valle -5,86 -4,10 -2,50 -2,00 -1,63 -0,22 0,15 -0,86 Pico 9,36 6,81 4,50 2,90 2,14 1,25 0,67 0,32 10 Valle -9,82 -6,92 -4,27 -3,30 -2,60 -2,05 -1,38 -1,00 Pico 19,19 13,80 8,85 6,00 4,52 2,91 1,70 1,00 20 Valle -19,63 -14,05 -8,80 -6,47 -5,05 -3,60 -2,35 -1,50 Pico 38,95 27,27 16,81 11,60 8,89 5,90 3,50 40 Valle -39,24 -27,70 -17,00 -12,02 -9,30 -6,50 -4,00 Pico 58,60 40,15 23,60 16,34 12,50 8,40 5,04 60 Valle -58,78 -40,75 -23,90 -16,76 -12,96 -8,90 -5,61 Pico 78,32 51,45 27,15 18,82 14,40 9,82 5,68 80 Valle -78,31 -52,00 -27,25 -19,15 -14,70 -10,12 -6,36 Pico 97,89 57,50 29,25 20,15 15,50 10,25 5,96 100 Valle -98,00 -58,00 -29,50 -20,50 -15,80 -10,82 -6,88 Pico 119,40 61,60 31,60 21,40 16,20 11,00 5,86 125 Valle -118,95 -61,95 -31,75 -21,40 -16,35 -11,30 -7,55

Tabla 5.1. Resultados del ensayo 1 de respuesta en frecuencias

Para poder analizar los resultados de la tabla 5.1 se han de simplificar. Por ello se toma la amplitud de la respuesta como la media del pico y el valle, donde no se tiene en cuenta el efecto descentrador de la gravedad. Esto se muestra en la siguiente ecuación y en la próxima tabla:

|Xp|=2

VALLEPICO XX − (5.8.3)

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Medias de los valores de los ensayos Salida (mm)

Frecuencia (Hz) Entrada (mm) Medida

0,1 0,5 1 1,5 2 3 5 8 10 1 Media 0,71 0,47 0,71 0,71 0,64 2 Media 1,68 1,20 0,81 0,57 0,42 0,56 4 Media 3,64 2,63 1,70 1,22 0,94 0,51 0,46 6 Media 5,63 4,06 2,60 1,84 1,40 0,77 0,48 0,45

10 Media 9,59 6,87 4,39 3,10 2,37 1,65 1,03 0,66 20 Media 19,41 13,93 8,83 6,24 4,79 3,26 2,03 1,25 40 Media 39,10 27,49 16,91 11,81 9,10 6,20 3,75 60 Media 58,69 40,45 23,75 16,55 12,73 8,65 5,33 80 Media 78,32 51,73 27,20 18,99 14,55 9,97 6,02

100 Media 97,95 57,75 29,38 20,33 15,65 10,54 6,42 125 Media 119,18 61,78 31,68 21,40 16,28 11,15 6,71

Tabla 5.2. Media de los valores del ensayo 1 de respuesta en frecuencias En las ecuaciones se trabaja con la amplitud de GE1(s) o lo que es lo mismo,

GE1(iω) o GE1(ω). Como se vio antes |GE1(ω)| = |XP|/|Xe|, realizando esta sencilla operación para cada frecuencia y módulo se obtiene la tabla 5.3.

Medias de las salidas divididas por la entrada Salida (mm)

Frecuencia (Hz) Entrada (mm) Medida

0,1 0,5 1 1,5 2 3 5 8 10 1 Media 0,71 0,47 0,71 0,71 0,64 2 Media 0,84 0,60 0,41 0,29 0,21 0,28 4 Media 0,91 0,66 0,43 0,30 0,23 0,13 0,11 6 Media 0,94 0,68 0,43 0,31 0,23 0,13 0,08 0,07

10 Media 0,96 0,69 0,44 0,31 0,24 0,17 0,10 0,07 20 Media 0,97 0,70 0,44 0,31 0,24 0,16 0,10 1,25 40 Media 0,98 0,69 0,42 0,30 0,23 0,16 0,09 60 Media 0,98 0,67 0,40 0,28 0,21 0,14 0,09 80 Media 0,98 0,65 0,34 0,24 0,18 0,12 0,08

100 Media 0,98 0,58 0,29 0,20 0,16 0,11 0,06 125 Media 0,95 0,49 0,25 0,17 0,13 0,09 0,05

Tabla 5.3. Normalización de los valores del ensayo 1 de respuesta en frecuencias

Con esta última tabla se hallarían los valores de los parámetros de la parte 1 del modelo hidráulico (figura 5.5) tras un adecuado análisis numérico.

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5.8.3- Ensayo 2 de Respuesta en Frecuencias

Gracias a los datos obtenidos en el primer ensayo, debe ser posible la obtención

de los parámetros ωv, KQ, Dh y ωh de las ecuaciones del modelo hidráulico. Por lo tanto en el segundo ensayo, restaría sólo hallar el parámetro Th. Este parámetro se encuentra sólo en la parte 2 del modelo hidráulico presentado en la figura 5.5. Como se observa en el esquema de dicha figura, este parámetro se encuentra multiplicando a la fuerza exterior que actúa sobre el pistón Fext. Esto obliga a realizar un ensayo donde se tenga en cuenta la fuerza del pistón. Por lo tanto, se tendrá que llevar a cabo un ensayo con probeta.

Este ensayo dinámico con probeta se puede realizar en control de fuerzas o en

control de desplazamientos. Con ambos controles se consigue el objetivo. Aquí se ha optado por un control en fuerzas.

Para que un ensayo de este tipo tenga utilidad, es necesario que en la práctica se pueda realizar y que se disponga de un modelo teórico que lo simule. En el caso del control en fuerzas se puede obtener el modelo hidráulico-mecánico de la figura 5.7. A este modelo sólo le falta la parte del control que se verá en el capítulo 6. La deducción de modelo de dicha figura se realiza a continuación.

Como se dijo anteriormente, en el capítulo 4 se calculó la relación entre la fuerza

aplicada sobre el pistón Fp y el desplazamiento del mismo xP. Tomando esta relación Fp = Fp(xP) (ecuación 4.7.13) e introduciéndola en el esquema de control global de la figura 5.5, se obtiene el modelo de la figura 5.7. Este modelo debe ser capaz de simular un ensayo donde se consideren las fuerzas en la probeta. Realizando una serie de ensayos como en el apartado anterior, una vez conocido el modelo que lo simula, se tendrán los datos necesarios para el cálculo del parámetro Th. Como se muestra en la figura 5.7, la fuerza Fp que ejerce el pistón sobre la probeta y la estructura, vista en el capítulo 4, es igual que la fuerza Fext que ejerce el sistema de ensayo y la estructura sobre el pistón, debido al principio de acción y reacción. Entonces: Fext = Fp (5.8.4)

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Figura 5.7. Esquema del modelo del ensayo 2, con probeta y en control de fuerzas Al igual que en el ensayo 1 de desplazamiento, se podría reducir el modelo anterior a una sola función de transferencia GFE2(s) (figura 5.8). Aquí la ‘F’ del subíndice hace referencia a que la función de transferencia es para ensayos en control de fuerza. Esta función tendrá las mismas propiedades que se vieron para el anterior

ensayo. Siendo la entrada senoidal, la salida será también senoidal, con un desfase ϕ y un módulo dado por las siguientes relaciones: |FP|/|Fe| = |GFE2(s)|

ϕ = arg[G FE2 (s)] (5.8.4)

Figura 5.8. Modelo del ensayo 2 de respuesta en frecuencias

Como los valores del controlador PIDF (proporcional, integrador y derivativo)

son ajustables, se fijarán tomando KP = 1 (ganancia del controlador) y anulando la parte integradora y derivativa, de igual forma que antes. Como se dijo en el capítulo 3, el límite elástico de la probeta es de 510 MPa. Al ser su sección cuadrada de 1cm2, se podrá halla la fuerza que haría plastificar la probeta: Fe = 510.106x1.10-4 = 51000 N. El ensayo con probeta se realizará entonces con una

fuerza de ±15000 N. Ello garantiza que la probeta está lo suficientemente lejos del límite elástico. Sin embargo se ha aplicado una fuerza significativa.

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Este ensayo se realizó de forma semejante al ensayo 1 en desplazamientos, solo que con entradas y salidas en fuerza. Así, las entradas introducidas en el controlador fueron funciones senoidales de fuerza de distinto módulo y frecuencia. Se tomó un rango lo más amplio posible, dentro de las posibilidades de la máquina. Es importante saber que no se pueden sobrepasar ciertas amplitudes para cada frecuencia porque producirían esfuerzos muy importantes en el sistema. A mayor frecuencia, menores amplitudes darán iguales esfuerzos.

En la práctica se han considerado adecuados los valores presentes en la tabla 5.4, donde se pueden ver las entradas senoidales de distintas frecuencias y amplitudes de fuerza, con las correspondientes amplitudes de salida del pistón. Como ocurrió en el ensayo 1, la salida del sistema, es decir, la fuerza medida en la célula de carga, seguirá una función también senoidal de la misma amplitud, pero de distinto módulo y desfase. En el ensayo se midió la amplitud mediante los puntos del pico y del valle, los cuales muchas veces no salen simétricos debido a gravedad.

Ensayo 2 de respuesta en frecuencias

Salida (Newton)

Frecuencia (Hz) Entrada (Newton) Medida

0,1 0,5 1 1,5 2 3 5 8 10 15 20 Pico 1903 1910 1810 1830 1870 1910 1950 2260 2315 2600 2770 2000 Valle -1810 -1815 -1940 -1940 -1925 -1897 -1890 -2260 -2315 -1700 -2025 Pico 3730 3750 3765 3775 3780 3810 3760 4400 4650 5040 5880 4000 Valle -3817 -3830 -3840 -3850 -3865 -3855 -3865 -4390 -4600 -4400 -5000 Pico 5642 5655 5700 5720 5740 5770 5800 6480 6970 7500 8890 6000 Valle -5785 -5785 -5800 -5790 -5790 -5790 -5802 -6370 -6740 -6990 -8200 Pico 7660 7670 7692 7723 7750 7777 7865 8570 9270 9950 8000 Valle -7645 -7650 -7660 -7670 -7665 -7690 -7765 -8450 -9000 -9520 Pico 9675 9680 9710 9725 9740 9760 9960 10690 11520 12400 10000 Valle -9500 -9515 -9531 -9550 -9570 -9610 -9680 -10550 -11200 -11960 Pico 11617 11630 11660 11675 11690 11740 11970 12770 13600 12000 Valle -11424 -11430 -11445 -11460 -11484 -11530 -11630 -12620 -13350 Pico 13618 13575 13575 13570 13590 13712 13870 14440 14970 14000 Valle -13385 -13345 -13350 -13355 -13380 -13425 -13560 -14300 -14770 Pico 14580 14522 14520 14520 14515 14620 14700 15090 15470 15000 Valle -14350 -14325 -14325 -14340 -14340 -14360 -14420 -14960 -15300

Tabla 5.4. Resultados del ensayo 2 de respuesta en frecuencias

Para poder analizar estos resultados se simplifican tomando la amplitud como la media del pico y el valle. No se tendrá en cuenta el efecto descentrador de la gravedad. Esto se muestra en la siguiente ecuación y en la próxima tabla:

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|Fp|=2

VALLEPICO FF − (5.8.5)

Media de los valores de los ensayos

Salida (N)

Frecuencia (Hz) Entrada N

(en amplitud) Medida

0,1 0,5 1 1,5 2 3 5 8 10 15 20

2000 Media 1856,5 1862,5 1875,0 1885,0 1897,5 1903,5 1920,0 2260,0 2315,0 2150,0 2397,5

4000 Media 3773,5 3790,0 3802,5 3812,5 3822,5 3832,5 3812,5 4395,0 4625,0 4720,0 5440,0

6000 Media 5713,5 5720,0 5750,0 5755,0 5765,0 5780,0 5801,0 6425,0 6855,0 7245,0 8545,0

8000 Media 7652,5 7660,0 7676,0 7696,5 7707,5 7733,5 7815,0 8510,0 9135,0 9735,0

10000 Media 9587,5 9597,5 9620,5 9637,5 9655,0 9685,0 9820,0 10620,0 11360,0 12180,0

12000 Media 11520,5 11530,0 11552,5 11567,5 11587,0 11635,0 11800,0 12695,0 13475,0

14000 Media 13501,5 13460,0 13462,5 13462,5 13485,0 13568,5 13715,0 14370,0 14870,0

15000 Media 14465,0 14423,5 14422,5 14430,0 14427,5 14490,0 14560,0 15025,0 15385,0

Tabla 5.5. Media de los valores del ensayo 2 de respuesta en frecuencias

Al final, lo que se va a analizar es la amplitud de GE2(s) o lo que es lo mismo,

GE2(iω) o GE2(ω) y como se vio antes |GE2(ω)| = |FP|/|Fe|. Con lo cual, realizando esta sencilla operación para cada frecuencia se obtiene la tabla 5.6.

Salida (N)

Frecuencia (Hz) Entrada N

(en amplitud) Medida

0,1 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 5,0 8,0 10,0 15,0 20,0

2000 Media 0,9283 0,9313 0,9375 0,9425 0,9488 0,9518 0,9600 1,1300 1,1575 1,0750 1,1988

4000 Media 0,9434 0,9475 0,9506 0,9531 0,9556 0,9581 0,9531 1,0988 1,1563 1,1800 1,3600

6000 Media 0,9523 0,9533 0,9583 0,9592 0,9608 0,9633 0,9668 1,0708 1,1425 1,2075 1,4242

8000 Media 0,9566 0,9575 0,9595 0,9621 0,9634 0,9667 0,9769 1,0638 1,1419 1,2169

10000 Media 0,9588 0,9598 0,9621 0,9638 0,9655 0,9685 0,9820 1,0620 1,1360 1,2180

12000 Media 0,9600 0,9608 0,9627 0,9640 0,9656 0,9696 0,9833 1,0579 1,1229

14000 Media 0,9644 0,9614 0,9616 0,9616 0,9632 0,9692 0,9796 1,0264 1,0621

15000 Media 0,9643 0,9616 0,9615 0,9620 0,9618 0,9660 0,9707 1,0017 1,0257

Tabla 5.6. Normalización de los valores del ensayo 2 de respuesta en frecuencias

Con un adecuado análisis numérico de estos datos se obtendría el parámetro Th de la parte 2 del modelo.

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