Capítulo 5. ESPECIFICACIONES DE LOS...

Estudio de las Especificaciones de los Filtros 141

Capítulo 5. ESTUDIO DE LAS

ESPECIFICACIONES DE LOS FILTROS

Muy relacionado con la utilidad de la aplicación diseñada en el capítulo anterior está el

estudio de las especificaciones de los filtros. Durante la síntesis de filtros realizada en el

Capítulo 4, siempre se ha partido de una red de difracción con un perfil conocido de la

perturbación del índice de refracción en su núcleo. De ahí se ha hecho un análisis y, una

vez caracterizado el dispositivo, se han utilizado los coeficientes de la función de

transferencia del filtro para probar los algoritmos de síntesis.

Sin embargo, una vez demostrada la eficacia de los mismos, se pretende utilizar las

herramientas de síntesis desarrolladas para averiguar cuál será el perfil del índice de

refracción que es necesario grabar en una fibra con el objetivo de obtener un filtro

óptico con una característica determinada. Para ello, es muy importante conocer cómo

deben ser las especificaciones de los filtros, es decir, las restricciones que se deben

satisfacer para conseguir que el filtro sea realizable.

5.1. ESPECIFICACIONES PARA LA SÍNTESIS DE FILTROS

ÓPTICOS

El problema de estudiar las limitaciones o los requisitos que deben cumplir las especificaciones aplicables a la síntesis de filtros ópticos también está relacionado con la medición en la práctica de las funciones de transferencia de dichos filtros.

En ambos casos, la amplitud de la función de transferencia es una característica fácil de obtener, ya sea como resultado de la medida gracias a un analizador de espectros óptico (OSA, Optical Spectrum Analizer), o mediante la expresión analítica del módulo

de la característica frecuencial del filtro deseado, |f(�)| . Generalmente, el

Estudio de Redes de Difracción de Bragg en Fibra Óptica

142 Estudio de las Especificaciones de los Filtros

coeficiente de refracción en campo que se tomará como especificaciones tendrá la siguiente forma:

f(�) = Ù6(�) · .,i(3)

(5.1)

donde 6(�) es la reflectividad que se pretende conseguir, y @(�) es la fase

asociada a dicha característica frecuencial. En esta expresión � se refiere a la frecuencia angular, que está relacionada con la frecuencia óptica f mediante la

expresión � = 2�O.

Sin embargo, para caracterizar completamente el comportamiento de una red de difracción, además del módulo de la función de transferencia es necesario conocer la fase, siendo esta última fundamental a la hora de sintetizar dicha red.

En la práctica, para medir la característica de fase era necesario establecer una serie de montajes interferométricos, con los cuales la realización de la medida era muy compleja, además de lo costoso del equipamiento. En 1999, Carballar propuso una técnica para reconstruir la característica de fase a partir de la característica en amplitud de la función de transferencia (Carballar, 1999). Otros métodos también han sido utilizados, todos ellos basados en el hecho de que los filtros deben ser realizables, y por tanto, su función de transferencia ha de ser causal y estable.

De los métodos propuestos, se desarrollarán dos en este proyecto para la realización de simulaciones utilizando la herramienta de síntesis implementada.

5.2. RELACIÓN ENTRE EL MÓDULO Y LA FASE DE LA

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Cualquier dispositivo físico que interactúe con el medio puede ser modelado como una caja negra, en la que en función de la señal que incida sobre el dispositivo, se obtendrá una señal de salida modificada por su comportamiento. Realizando un tratamiento en el dominio frecuencial, si la señal de entrada es una función constante con la frecuencia, la señal a la salida se corresponde con la función de

transferencia del dispositivo, f(�) , a través de la cual se puede caracterizar el mismo en frecuencia. En el dominio temporal, se tiene que la salida del sistema a un

impulso equivale a la respuesta impulsiva, ℎ((), que se relaciona con la función de transferencia mediante la transformada de Fourier:



f(�) = ℱÚℎ(()Û

(5.2)

Generalmente, la función de transferencia de un dispositivo físico real es una función compleja, por lo que está formada por una parte real y otra imaginaria; o bien por módulo y fase.

f(�) = ℜÚf(�)Û + ÜℑÚf(�)Û = |f(�)|.,i(3)

(5.3)

Así mismo, cualquier dispositivo realizable ha de cumplir las condiciones de causalidad y estabilidad. La condición de causalidad significa que la salida de un sistema en un instante de tiempo determinado solo depende de la entrada en ese instante o en instantes anteriores. Analíticamente, eso se traduce en la siguiente condición:

ℎ(() = 0, ∀ ( < 0

(5.4)

Por otro lado, la condición se estabilidad se rige por el criterio BIBO (Bounded Input, Bounded Output), que significa que para una entrada acotada, la salida del sistema también debe estar acotada. Esto es así si se cumple que:

M |ℎ(()| es completamente integrableÌ2Ì

(5.5)

Por las propiedades de la transformada de Fourier, se tiene que si se cumplen estas condiciones, entonces:

ℜÚf(�)Û = ℱÚℎ�(()Û

(5.6)

ℑÚf(�)Û = ℱÚℎ¼(()Û

(5.7)

donde ℎ�(() se corresponde a la parte par de ℎ(() y ℎ¼(() se corresponde con la parte impar. Estas funciones se obtienen de la respuesta impulsiva realizando los siguientes cálculos:



ℎ�(() = ℎ(() + ℎ(−()2 (5.8)

ℎ¼(() = ℎ(() − ℎ(−()2

(5.9)

A la vista de estas expresiones, se puede comprobar que la parte par y la parte impar de cualquier función no son independientes entre sí, sino que se pueden relacionar por la función signo, una función que devuelve +1 para valores positivos y -1, para los negativos de entrada. Entonces, estas expresiones se pueden relacionar de esta forma:

ℎ�(() = ℎ¼(() · ��ç�(()

(5.10)

ℎ¼(() = ℎ�(() · ��ç�(()

(5.11)

Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de la función ��ç�(() es igual a 1/Ü�O , si se trasladan estas expresiones al dominio frecuencial, resultan las siguientes:

ℜÚf(�)Û = 12� ~Ü · ℑ èf(�) ∗ 2Ü�é�

(5.12)

Ü · ℑÚf(�)Û = 12� ~ℜ èf(�) ∗ 2Ü�é�

(5.13)

donde el signo * representa la operación de convolución. Estas expresiones representan la transformada de Hilbert. Por lo tanto, se concluye así que la parte real y la parte imaginaria de la función de transferencia de un sistema están relacionadas entre sí. Sin embargo, lo que se anda buscando es la relación entre el módulo y la fase de la misma, para lo cual es necesario realizar un paso intermedio, considerando el logaritmo neperiano de la función de transferencia:

f{(�) = ê�]f(�)^ = ê�(|f(�)|) + Ü · (@GT`(�) + 2��), � = 0, 1, 2, … (5.14)



donde @GT`(�) es conocida como fase mínima y toma valores entre – � y �. Esta

función intermedia, f{(�) tiene su correspondiente respuesta impulsiva, ℎ{((), que se obtiene calculando la transformada de Fourier inversa. La respuesta impulsiva es

también real, causal y estable, por lo que las partes real e imaginaria de f{(�) están relacionadas por la transformada de Hilbert, relacionando con ello el módulo y la

fase de f(�). Sin embargo, esta relación no es unívoca, debida a los saltos de fase

de 2� que acompañan a la parte imaginaria de f{(�). Para poder definirla de forma unívoca, es necesario considerar solamente la expresión de fase mínima, dando lugar con esto a la función de transferencia de fase mínima.

fGT`(�) = ê�(|f(�)|) + Ü · (@GT`(�))

(5.15)

Con esta definición sí es posible expresar la relación unívoca ente la respuesta de fase y la respuesta de amplitud de la función de transferencia, expresada de forma integral mediante la siguiente ecuación (Carballar, 1999):

@GT`(�) = �� ×�. ë. M ê�(|f(�)|)Ω�−�� 5ΩÌ2Ì Ø

(5.16)

donde P.V. simboliza el valor principal de la integral de Cauchy y Ω es la variable de integración. De esta manera, se tiene la respuesta de fase mínima en función de la respuesta en amplitud correspondiente a todo el espectro de frecuencias.

El resultado que se ha alcanzado en la ecuación (5.16) indica que no es posible partir de unas especificaciones cualesquiera sin tener en cuenta esta relación. Por lo tanto, habrá que considerarla a la hora de introducir unas especificaciones en la herramienta de síntesis de redes de difracción de Bragg.

5.3. MÉTODOS PARA AJUSTAR LA CARACTERÍSTICA

FRECUENCIAL

Una vez estudiada de forma teórica la relación entre el módulo y la fase de la función de transferencia que caracteriza a un dispositivo físico realizable, se va a



proceder a estudiar dos métodos que proporcionan la caracterización en fase a partir del módulo de la caracterización en amplitud.

El siguiente paso será la verificación de estos métodos mediante la prueba con redes de difracción previamente conocidas. De esta forma, partiendo del análisis de una red de difracción de las anteriormente estudiadas, se aplicarán los métodos mencionados para obtener la fase a partir del módulo de la función de transferencia de la red. La fase obtenida se comparará con la característica de fase exacta proporcionada por el propio análisis, y así extraer conclusiones sobre el funcionamiento de estos métodos. Además, utilizando los datos de reflectividad de partida y la fase obtenida mediante los métodos que se explican a continuación, es posible sintetizar la función de transferencia resultante para obtener qué tipo de perfil de la perturbación sería el que conseguiría dicha caracterización.

En último lugar, estos métodos serán aplicados a un coeficiente de refracción en campo genérico. Se partirá de la expresión analítica (5.24), imponiendo la reflectividad adecuada a la funcionalidad que se pretende que tenga el filtro. A partir de esta, usando cada uno de los métodos que se estudian a continuación, se determinará la caracterización completa para la realización de la red de difracción deseada.

5.3.1. ALGORITMO DE RECONSTRUCCIÓN DE FASE MÍNIMA

En el apartado 5.2 se ha estudiado el análisis matemático que demuestra la relación entre la fase y el módulo de la función de transferencia de fase mínima de un dispositivo físico real. Sin embargo, la evaluación numérica de la integral dada en la ecuación (5.16) es muy compleja. Por ello, se aplica un cambio en la variable independiente, que da lugar a un conjunto de ecuaciones más sencillas. Esta transformación es conocida como la transformada de Wiener-Lee (Papoulis, 1962), y

consiste en introducir la variable ?, definida como:

� = −(ª� ?2 (5.17)

Partiendo de una función de transferencia de fase mínima, f(�) = |f(�)|.,iíîï(3) = .2ð(3).,iíîï(3), se tiene que las funciones módulo |f(�)| y atenuación (�) , son funciones pares, mientras que la fase mínima @GT`(�) es impar. Aplicando la transformación mencionada, se pueden expresar estas funciones en serie de cosenos y en serie de senos, respectivamente:



(?) = 5E + 5� cos(?) + … + 5` cos(�?) + ⋯ (5.18)

@GT`(?) = �� sen(?) + ⋯ + �` sen(�?) + ⋯ (5.19)

donde 5` son los coeficientes asociados a la serie de cosenos de la función par y �` son los coeficientes asociados a la serie de senos de la función impar:

5` = 1� M (?) cos(�?) 5?P2P �` = 1� M @GT`(?) sen(�?) 5?P

2P � > 0 (5.20)

Se puede demostrar que si la función ℎ(() es causal y estable, los coeficientes de las ecuaciones (5.18) y (5.19) están relacionados de esta manera:

�` = −5` (5.21)

Con lo que se tiene que a partir de la transformación en serie de cosenos de la atenuación del filtro, se obtiene inmediatamente los coeficientes de la transformación en senos de la función de fase mínima. Con estos coeficientes, ya es posible reconstruir esta función mediante la expresión (5.19) y el cambio de variable de la transformación de Wiener-Lee.

A. Verificación del algoritmo

A continuación, se prueba la efectividad del presente algoritmo realizando algunas simulaciones a partir de filtros ópticos previamente estudiados.

En (Carballar, 1999) se realiza un estudio de la aplicabilidad del algoritmo a las distintas redes de difracción (uniformes, con apodizado, chirp, muestreadas, etc.), partiendo de la inexistencia de una relación biunívoca entre la característica en amplitud y en fase de la función de transferencia de una red. Para que exista esta relación, se hace necesaria la definición de función de transferencia de fase mínima. De esta forma, las funciones de transferencia de ciertas redes que resulten ser de fase mínima podrán realizar una reconstrucción perfecta basándose en dicho método, pero esto no ocurrirá con todos los tipos de redes. Cuando la función no sea de fase mínima, la fase reconstruida no será la exacta, pero sí proporcionará alguna información sobre la estructura de la red de difracción.

De este estudio se desprende que las redes uniformes sin función de apodizado son susceptibles de realizar una reconstrucción perfecta, ya que la función de



transferencia en reflexión dada por el coeficiente de reflexión en campo es de fase mínima. Por lo tanto, la verificación del algoritmo implementado se realizará partiendo de la siguiente red uniforme:

�(�) = �E + ∆�GHIsen� XπzΛ�Y (5.22)

Esta red es la misma que se utilizó en el apartado 3.3.1, pero en este caso se utilizará una red más corta, cuyos parámetros son los siguientes:

Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 Fibra AT&T Accutheter �� 0,1 �� 535 nm L 26,75 µm 50 periodos

Tabla 5.1: Valores de los parámetros para una red de difracción uniforme

La forma de esta perturbación es la que se observa en la siguiente gráfica:

(a) (b)

Ilustración 5.1: (a) Perfil de la perturbación uniforme, (b) Ampliación del inicio de la perturbación

La función de transferencia que se obtiene a partir de una red con este perfil de índice de refracción es la que se puede observar en la siguiente figura. En ella, aparecen tanto la reflectividad como la característica de fase original de la función de transferencia obtenida mediante análisis.



(a)

(b)

Ilustración 5.2: (a) Reflectividad de la red de difracción uniforme, (b) Característica de fase de la red

de difracción uniforme

De la función de transferencia se toma el módulo y se somete al algoritmo de reconstrucción de fase mínima explicado anteriormente, obteniendo así fñòó(�). Como resultado se obtiene la siguiente característica de fase:



Ilustración 5.3: Fase obtenida tras aplicar el algoritmo de fase mínima

Como puede observarse por comparación de la Ilustración 5.2.(b) y la Ilustración 5.3, la forma de la fase es sustancialmente la misma, salvo pequeñas variaciones en algunos picos del rizado. En la banda de paso, que se corresponde con la región de interés ya que es la que afecta a la salida del filtro, la fase reconstruida está centrada en 0, mientras que la fase original se encuentra centrada en 2π radianes, lo cual no supone variación alguna debido a la periodicidad de la fase.

La característica de fase reconstruida se corresponde con una función perfectamente impar. En el rango de frecuencias analizado, tanto los puntos inicial y final como el punto intermedio valen cero. Esto provoca que la pendiente de la fase sea ligeramente ascendente. Estos atributos difieren de la fase original, en la que no ocurre lo mismo. Para intentar compensar este efecto, que aparece debido al rango espectral limitado que se ha tomado, es necesario realizar una cancelación de pendientes, sumándole a la fase una recta de pendiente negativa:

@{(�) = @(�) − (E� (5.23)

El procedimiento para hacer esto de forma sencilla es mediante la aplicación de la propiedad de la transformada de Fourier de desplazamiento en el dominio del

tiempo. Un desplazamiento de (E muestras en el tiempo hacia la derecha equivale a

una multiplicación de la función de transferencia por la cantidad .2,3%½ . Por lo

tanto, en primer lugar se calcula la respuesta impulsiva de la función fñòó(�), a continuación, se desplaza una muestra hacia la derecha; y por último, se vuelve a calcular la función de transferencia asociada a esa nueva respuesta impulsiva. La fase



de esta función habrá sufrido la transformación expresada en la ecuación (5.23),

tomando (E = 1. Dicha fase se representa en la siguiente ilustración:

Ilustración 5.4: Fase obtenida tras aplicar el algoritmo de fase mínima y realizar cancelación de

pendientes. Comparación con la fase original

En la figura aparece en azul la fase que se obtiene tras aplicar el procedimiento de cancelación de pendientes, y en negro punteado, la fase original. Se puede apreciar como ahora la pendiente de la fase es la misma que la de la original, sin embargo, se han producido varios saltos de fase adicionales. Estos saltos no son preocupantes, ya que corresponden a saltos de 2π radianes, que por la periodicidad de la fase, no afectan en absoluto al comportamiento final.

Aunque muy parecida, la fase reconstruida no es exactamente igual a la original, y

esto conlleva diferencias de fñòó(�) con respecto a la dinámica de la función de partida. Para estudiar dichas diferencias, se plantea un estudio más exhaustivo, en el que se analiza el retardo de grupo reconstruido, la respuesta impulsiva reconstruida, y por último, el perfil de índice de reflexión que generaría la característica reconstruida.



Ilustración 5.5: Comparación entre el retardo de grupo reconstruido (azul) y el original (negro)

El retardo de grupo reconstruido es idéntico al original en el rango de frecuencias correspondiente a la banda de paso del filtro. Tan solo es diferente en las frecuencias de los extremos de los lóbulos secundarios de la característica en amplitud.

Ilustración 5.6: Comparación entre la respuesta impulsiva reconstruida (azul) y la original (negra)

Con respecto a la respuesta impulsiva, tanto la original como la reconstruida tienen la misma envolvente. Tan solo se aprecia un ligero desplazamiento en la portadora de ambas características. Por lo tanto, a partir del módulo de la función de transferencia de partida se ha obtenido una fase que consigue una respuesta



impulsiva causal y estable, lo que garantiza que, a pesar de las diferencias que pueda tener con respecto a la red de difracción original, se trata de un dispositivo realizable. Su efecto se podrá estudiar mejor introduciendo la respuesta impulsiva reconstruida en la herramienta de síntesis desarrollada, y comprobando qué forma tiene la perturbación del índice de refracción relacionada.

Ilustración 5.7: Comparación entre el índice de refracción sintetizado a partir de la función de

transferencia de fase mínima (azul) y el índice de refracción original (negra)

Ilustración 5.8: Comparación entre la respuesta impulsiva sintetizada (verde) y la original (roja)

Las ilustraciones anteriores muestran los resultados de la síntesis de la respuesta impulsiva de fase mínima reconstruida. Como era de esperar, el perfil del índice de refracción no es igual al original, pero se corresponde con una perturbación



sinusoidal de periodo y longitud similares a la perturbación de partida. Lo que resulta interesante es la comparación entre la respuesta impulsiva sintetizada y la

original (la obtenida tras el análisis de �(�) original). Se comprueba que ambas siguen la misma forma, a pesar de que los valores sintetizados no se encuentren en los mismos instantes de tiempo.

Si se realiza un análisis de la red de difracción obtenida, se obtiene la reflectividad que se observa en la siguiente gráfica:

Ilustración 5.9: Comparación entre la reflectividad obtenida tras el análisis de la red de difracción

sintetizada (azul) y la reflectividad original (negra)

Se puede apreciar en la figura, que compara la reflectividad original (negra) con la sintetizada a partir de la red de fase mínima (azul), que ambas características están completamente superpuestas. Por lo tanto, se concluye que la red de difracción de la Ilustración 5.7 proporciona una caracterización en amplitud igual a la de la red de partida.

B. Simulaciones

A continuación, se va a aplicar el método de reconstrucción de fase mínima a unas especificaciones genéricas dadas por una característica en amplitud concreta. Se trata de un filtro paso de banda, cuya banda de paso tiene una forma gaussiana. La expresión analítica de la reflectividad del pulso es la siguiente:

|fg(O)| = √6 · eX2 õ2õö÷øùú/�Y¾

(5.24)



El parámetro 6 da el máximo de la reflectividad, Oy es la frecuencial central del filtro

y KûfS (Full Width Half Maximum) se corresponde con el ancho de banda asociado, expresado como el intervalo de frecuencias para el que la ganancia es superior o igual a la mitad del máximo.

Esta función representa el módulo de la caracterización del filtro. El valor que se la da a cada uno de los parámetros presentes en la ecuación aparece en la siguiente tabla:

Parámetro Valor Observaciones ü� 1,452 ý 0,9 ¿þ 193 THz �� 500 GHz

Tabla 5.2: Valores de los parámetros de un filtro BP dado por una función gaussiana

La reflectividad del dispositivo quedaría con la forma que aparece en la siguiente ilustración.

Ilustración 5.10: Especificaciones en amplitud de la reflectividad del filtro que se pretende conseguir.

Aplicando el algoritmo para la reconstrucción de la fase, se obtiene el siguiente resultado para @GT`(O):



Ilustración 5.11: Característica de fase calculada a partir del método de reconstrucción de fase

mínima

Por lo tanto, teniendo en cuenta la función de transferencia formada por la característica en amplitud impuesta y la fase mínima obtenida, fg(O) =|fg(O)|.,iíîï(), se calcula mediante síntesis de filtros el perfil de la perturbación del índice de refracción que habría que grabar sobre la fibra óptica para obtener la reflectividad deseada, no sin antes comprobar que dicha función de transferencia es causal y estable (y que por tanto el filtro será realizable).

Ilustración 5.12: Perfil de índice de refracción que da lugar a la reflectividad impuesta como

especificaciones de partida



Ilustración 5.13: Respuesta impulsiva del filtro una vez calculada la característica de fase, y

comparación con la respuesta impulsiva sintetizada

La Ilustración 5.12 muestra cómo el perfil resultante se corresponde con una perturbación senoidal, con el apodizado mostrado en la gráfica. La longitud de la red es de aproximadamente 2mm. Para calcular el periodo de la red, se aplica el script que ya se mencionó en el apartado 4.2.2, obteniendo que su valor es de 534,89nm.

La verificación de este resultado se realiza introduciendo el perfil del índice de refracción en la herramienta de análisis, y comprobando que efectivamente la reflectividad es la que se impuso como especificaciones de partida.

Ilustración 5.14: Comparación entre la reflectividad original y la obtenida mediante análisis del índice

de refracción sintetizado



Con esto queda comprobada la utilidad del algoritmo de reconstrucción de fase mínima para hallar unas especificaciones válidas a la hora de fabricar un filtro óptico con una caracterización determinada.

5.3.2. CAUSALIDAD DE LA RESPUESTA IMPULSIVA

El siguiente método presentado para obtener la característica de fase partiendo de la característica en amplitud de un dispositivo físico se trata de un método mucho más sencillo, pero a la vez más inexacto, ya que no se puede obtener mediante la aplicación de un método matemático determinado. En su lugar, se realizarán pruebas gráficas, y visualmente se ajustarán los parámetros adecuados.

De nuevo, este método también está basado en idea de que un dispositivo físico real debe tener una función de transferencia causal y estable.

Para llevarlo a cabo, se parte del módulo de la función de transferencia f�(�) =|f(�)| que se desea que tenga el dispositivo deseado (ecuación (5.24)), como si

fuera la función completa (considerando @(�) = 0). Esta función no es causal: si se

aplica la transformada de Fourier inversa, la respuesta impulsiva resultante, ℎ�((), no es cero en instantes negativos de tiempo.

Sin embargo, al estar trabajando en el dominio digital (ya que todas las operaciones se deben realizar en un ordenador), hay que tener en cuenta que esta respuesta impulsiva será periódica en n, con periodo N (al aplicar la IFFT de N puntos). De

esta manera, se debe desplazar ℎ�(() hasta que en instantes negativos la función sea aproximadamente cero (en función de la forma de la propia respuesta impulsiva).

El siguiente paso es limitar los posibles lóbulos secundarios que queden en instantes negativos de la respuesta impulsiva. Para ello, habrá que imponer el valor 0 en esos instantes de tiempo negativos. Esto se consigue mediante la multiplicación por una

función cuadrada o cuasi-cuadrada �((), que mantenga las muestras deseadas y haga cero el resto.

ℎ��(( − (E) = ℎ�(( − (E) · �(() (5.25)

Sin embargo, la multiplicación por una función cuadrada ideal resulta irrealizable en la práctica. Además, no resulta conveniente debido a que alteraría en gran medida la característica de amplitud del filtro, debido al efecto Gibbs que aparece en la caracterización en frecuencia de una función cuadrada, obteniendo así resultados muy distintos a los que se pretenden con las especificaciones iniciales. Por ello, se prefiere hacer uso de la función coseno alzado para limitar la región de información



útil de la respuesta impulsiva. Las ventajas que aporta el uso de esta función son que la caída es más gradual que la de la función cuadrada, disminuyendo así el efecto Gibbs, pero es lo suficientemente acusada para no perder información en la región que se pretende dejar intacta.

Aunque el coseno alzado está definido en frecuencia, en este caso interesa su caracterización para usarla en el dominio temporal, por lo que se utilizará la siguiente expresión:

�(() =¢�£�¤ 1 , |(| ≤ 1 − �2v12 ~1 + cos X�v� ~|(| − 1 − �2v �Y� , 1 − �2v < |(| < 1 + �2v0 , |(| ≥ 1 + �2v

k

(5.26)

donde � es el factor de roll-off, y T está relacionada con el ancho del pulso (�û =(1 + �)/2v).

A la respuesta impulsiva resultante ℎ��(( − (E) se le aplica la FFT de N puntos, quedando:

ℱℎ��(( − (E) = f��(�).2,3%½ = *f�(�) *.2,3%½ (5.27)

donde se ha utilizado la propiedad de la transformada de Fourier de desplazamiento en el tiempo. La tilde sobre el módulo de la función de transferencia refleja la variación sufrida en su forma al haber impuesto un valor 0 a algunos puntos de la respuesta impulsiva.

Esta función de transferencia sí es causal y estable, ya que proviene de la FFT de una respuesta impulsiva real y estable a la que se le ha impuesto la causalidad, por lo

que caracteriza a un dispositivo físico realizable. Además, su fase @(�) = −�(E es una función lineal con la frecuencia, lo que implica que el dispositivo tendrá un retardo de grupo constante.

A. Verificación del algoritmo

Continuando con el mismo procedimiento que se siguió con el método anterior, antes de aplicar el algoritmo a unas especificaciones de reflectividad cualesquiera se va a probar su correcto funcionamiento partiendo de unas conocidas. Se utilizará



una red uniforme de 50 periodos, similar a la utilizada con el método anterior. En este caso el valor de los parámetros es el reflejado en la siguiente tabla:

Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 Fibra AT&T Accutheter �� 0,07 �� 535 nm L 26,75 µm 50 periodos

Tabla 5.3: Valores de los parámetros para una red de difracción uniforme

Por lo tanto, se empleará la característica en amplitud que se indica en la siguiente figura:

Ilustración 5.15: Reflectividad de la red de difracción uniforme

Nótese que debido a una disminución en el valor Δ�GHI, se tiene que el valor máximo de la reflectividad es ligeramente menor que el que se tenía en el caso anterior (Ilustración 5.2). Partiendo de esta función, se llegará a unas especificaciones de fase que cumplan con esta característica y a su vez hagan el dispositivo causal y estable. Nótese que en este caso no se pretende conseguir unas especificaciones de fase similares a las originales.

En primer lugar, se calcula la respuesta impulsiva a partir de dicha característica en amplitud, cuyo resultado se muestra a continuación:



Ilustración 5.16: Respuesta impulsiva del módulo de la función de transferencia asociada a la red de

partida.

Tal y como se ha comentado, es necesario desplazar esta respuesta para conseguir otra causal. En este caso, se desplaza la gráfica 3,29 picosegundos hacia la derecha, consiguiendo así tener la siguiente respuesta impulsiva:

Ilustración 5.17: Respuesta impulsiva del módulo de la función de transferencia una vez desplazada

para hacerla causal

Con esta operación se consigue añadir a la característica frecuencial en amplitud una fase lineal con la frecuencia, sin modificar el módulo. El siguiente paso de este algoritmo es multiplicar esta respuesta impulsiva causal por la función coseno alzado, para eliminar los posibles lóbulos que hagan que dicha respuesta no sea completamente nula para valores negativos de tiempo.



Para calcular la función coseno alzado �(() que actúe como filtro en tiempo para estos lóbulos secundarios, se hace uso del desplazamiento que ha sido necesario realizar, y se impone como valor máximo la unidad. Dicha función se representa a continuación.

Ilustración 5.18: Función coseno alzado que multiplica a la respuesta impulsiva desplazada en el

tiempo

La fase que se obtiene tras la aplicación de este algoritmo equivale a una recta de pendiente negativa con la frecuencia, tal y como se muestra en la siguiente figura:

Ilustración 5.19: Fase reconstruida tras la imposición de causalidad de la respuesta impulsiva del

filtro



En este caso, no merece la pena calcular el retardo de grupo, ya que como puede intuirse, se trata de una recta horizontal con respecto a la frecuencia.

La multiplicación de la respuesta impulsiva por la función �(() equivale en

frecuencia a una convolución de la función de transferencia con una función ��, lo que provoca que la amplitud de dicha función de transferencia sufra un ligero rizado debido al efecto Gibbs. No obstante, en este caso apenas se aprecia debido a la que las restricciones de la caracterización de partida son muy ligeras.

Utilizando la función de transferencia que aparece en esta ilustración, se aplica el método de síntesis para ver cuál es el perfil de la perturbación que da lugar a este filtro óptico, y se obtienen los siguientes resultados:

Ilustración 5.20: Comparación entre el índice de refracción sintetizado a partir de la función de

transferencia causal (azul) y el índice de refracción original (negra)



Ilustración 5.21: Comparación entre la respuesta impulsiva sintetizada (verde) y la que se ha

impuesto causal (roja)

En este caso, los resultados no son parecidos a los originales, como ocurría con la utilización del método de reconstrucción de fase mínima. Sin embargo, era de esperar que el filtro resultante no coincidiera con el filtro de partida, ya que la característica de fase resulta bastante diferente a la característica original.

En la Ilustración 5.21 se representa en verde la respuesta impulsiva sintetizada en comparación con la que se ha utilizado como entrada a la herramienta de síntesis, es decir, aquella cuya fase ha sido calculada a partir de este método.

No obstante, se ha comprobado que esta técnica resulta de utilidad para calcular la

perturbación de �(�) que consigue una característica en amplitud determinada, con retardo de grupo constante, ya que la fase es completamente lineal. La comprobación de esta afirmación se obtiene sin más que aplicar la herramienta de análisis al índice de refracción sintetizado, consiguiéndose este resultado:



Ilustración 5.22: Comparación entre la reflectividad original (negro) y la sintetizada aplicando el

algoritmo de causalidad de respuesta impulsiva (azul)

B. Simulaciones

En último lugar, solo resta aplicar el algoritmo de causalidad de la respuesta impulsiva a unas especificaciones de reflectividad genéricas. De nuevo se empleará la función gaussiana que se utilizó como ejemplo en el apartado de reconstrucción de fase mínima. La respuesta impulsiva obtenida de aplicar la IFFT a la función representada en la Ilustración 5.10 es la siguiente:

Ilustración 5.23: Respuesta impulsiva de la función gaussiana



Realizando un desplazamiento de 1,65 picosegundos hacia la derecha, se obtiene la respuesta impulsiva representada en la siguiente figura, a la cual se impone causalidad multiplicando por la función coseno alzado definida en la ecuación (5.26):

Ilustración 5.24: Respuesta impulsiva obtenida una vez desplazada

En este caso, la respuesta de fase generada con este método es la que aparece en la siguiente gráfica:

Ilustración 5.25: Fase lineal generada a partir del método de causalidad de la respuesta impulsiva

Se puede apreciar cómo se ha conseguido en todo el espectro una característica de fase lineal. Con esta fase, la respuesta impulsiva del filtro se ha hecho causal, tal y como se ha comprobado en la Ilustración 5.24.



Si se introduce esta función en la herramienta de síntesis, se obtiene el perfil de perturbación que sería necesario grabar en la fibra para obtener la reflectividad de partida. La perturbación resultante se muestra en la siguiente ilustración:

Ilustración 5.26: Perfil de índice de refracción que da lugar a las especificaciones de reflectividad de

partida

Se trata de un perfil sinusoidal con el apodizado que se muestra en la figura. En este caso, la longitud de la red es de aproximadamente 1mm, la mitad que la red que se sintetizó en el apartado 5.3.1.B. Para calcular el periodo de la red, se aplica de nuevo el script mencionado, obteniendo que su valor es de 534,89 nm. Lógicamente, este es el mismo periodo que se obtuvo con el método de reconstrucción de fase mínima, ya que se está buscando una red cuya frecuencia de Bragg es la misma en los dos casos, y cumple que:

O� = �2��Λ (5.28)

donde Λ se corresponde con el periodo de la perturbación.

Para verificar que efectivamente esta perturbación ofrecerá la característica espectral que se impuso como especificaciones de partida, se analiza mediante la herramienta diseñada y se consigue el siguiente coeficiente de reflexión en frecuencia:



Ilustración 5.27: Comparación entre la reflectividad original (azul) y la obtenida mediante análisis del

índice de refracción sintetizado (negra)

En la imagen se comprueba cómo ambas figuras están superpuestas. De esta forma, queda demostrada la efectividad del método de causalidad de respuesta impulsiva.

Capítulo 5. ESPECIFICACIONES DE LOS...

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