Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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CAPÍTULO 4: PREPROCESADOR DE VÍAS

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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1.- INTRODUCCIÓN:

En el capítulo anterior se hizo una descripción de los diferentes módulos que

integran el programa de simulación de mecanismos objeto del presente proyecto. Uno

de los más importantes, aquí analizado, es el preprocesador de vías, cuya misión

principal es implementar cualquier tipo de trazado férreo, previa introducción de las

características del mismo, para que pueda llevarse a cabo la simulación.

La utilidad de este módulo es que permite llevar a cabo simulaciones en

cualquier tipo de vía, mientras que antes sólo era posible en rectas y curvas. El

preprocesador proporciona en coordenadas globales las características geométricas de

la vía, tales como posición, curvaturas principales y tangentes, en el punto considerado.

Dicho punto viene descrito a través de los parámetros de superficie de cada carril, que

han de ser siempre datos de entrada de este módulo del programa.

Se distinguen tres tipos de tramos: rectas, curvas y transiciones. Cada uno de

ellos pueden poseer o no transiciones verticales, pero ello no afecta significativamente

al funcionamiento del preprocesador, que puede resumirse en:

- Introducción por parte de los usuarios (tanto por pantalla como a través de un

archivo de texto) de los datos que caracterizan cada tramo de la vía en cuestión.

- Generación de una base de datos para crear el modelo analítico de la vía.

- Proporcionar “externamente” la posición del sistema de referencia de la vía y de

los parámetros de superficie (denotados como s1 y s2).

- Calcular posiciones, curvaturas principales y tangentes en el punto deseado de

la superficie del carril.

En el presente capítulo de la memoria, se va a comenzar analizando la línea

central de la vía para pasar posteriormente a un epígrafe dedicado a las expresiones

analíticas para cada tipo de tramo y a otro para la geometría de los carriles. El epígrafe

final estará orientado al estudio de las funciones de MATLAB® que componen este

módulo del programa de simulación, indicando las modificaciones efectuadas.

2.- LÍNEA CENTRAL DE LA VÍA:

Para poder modelar cualquier tipo de vía se requiere conocer previamente las

características geométricas de la línea equidistante de ambos carriles o línea central de

la vía [11]. A partir de ella, es posible generar la superficie de los carriles izquierdo y

derecho y, por consiguiente, determinar la posición de cualquier punto de la superficie

de la vía.

Por tanto, como paso previo a la descripción de la geometría de ruedas y

carriles, es imprescindible conocer las magnitudes geométricas que las definen, cosa

que hace el siguiente apartado del presente epígrafe.

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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2.1- Parámetros de superficie:

La descripción matemática de una superficie se hace mediante una función

vectorial de dos variables que proporciona las tres coordenadas del vector de posición

de cualquier punto en dicha superficie. Tales variables, ya mencionadas en capítulos

anteriores, son los parámetros de superficie [8] [11] [15] y se describen gráficamente a

continuación:

Figura 4.1. Parámetros de superficie de ruedas y carriles

Como se desprende de la figura anterior, los parámetros de superficie pueden

emplearse tanto para la descripción de la superficie de la rueda como para la del carril,

lo que les hace de gran utilidad en la caracterización geométrica de ambos, así como

en el análisis del contacto rueda - carril. De hecho, s1r y s2

r se refieren al carril y s1w y s2

w

a la rueda, siendo el vector de posición de un punto en la superficie de la rueda o en la

del carril (en sus coordenadas locales) expresado como:

),( 21

llllssuu = , (4.0)

donde el superíndice l es genérico y se puede usar para la rueda (l = w) o para el carril

de la vía (l = r). Nótese que la línea central de la vía, que equidista de ambos carriles, se

refiere a la posición de éstos cuando s2r = 0.

2.2- Expresiones de cálculo:

La línea central se modela como una curva paramétrica tridimensional

dependiente del parámetro de superficie s1 (longitud de arco). La discretización de la

vía en tramos se efectúa con el fin de no perder generalidad en el análisis y el sistema

de referencia empleado para describir la línea central puede verse en las figuras 4.2 y

4.3, mostradas en la página siguiente. En la figura 4.2 puede observarse que la

coordenada longitudinal de la vía es la X, mientras que la coordenada Y es la

transversal y la Z es perpendicular al plano de la vía. Por su parte, en la figura 4.3

pueden distinguirse 3 sistemas de referencia diferentes:

- Sistema de referencia global (X, Y, Z): se trata del sistema de referencia absoluto

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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- Sistema de referencia de la vía (XV, YV, ZV): su origen es el inicio de la línea

central, siendo la orientación de sus ejes como la de la figura 4.2

- Sistema de referencia del tramo “i” (Xi, Yi, Zi): tiene su origen ubicado en el

origen de cada tramo y su orientación es igual que la del sistema de referencia

anterior, pero centrada aquí únicamente en un tramo de la vía

Figura 4.2. Sistema de referencia de la línea central de la vía

Figura 4.3. Definición del vector de posición en un punto P de la línea central

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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Por todo esto, la posición del punto P de la línea central visto en la figura 4.3

puede expresarse de la siguiente manera:

RP (s1) = RV + AV · (Ri + Ai · rP (s1)) (4.1)

siendo RP la posición del punto P de la línea central en coordenadas globales, RV la

posición en globales del origen del sistema de referencia de la vía, AV la matriz de giro

de dicho sistema de referencia respecto del global, Ri el origen del sistema de

referencia del tramo “i” (en el que se encuentra el punto P), Ai la matriz de orientación

de dichos ejes con respecto a los de la vía y rP la posición del mencionado punto P en

coordenadas locales (las del sistema de referencia del tramo “i”). Puede observarse que

el único parámetro de superficie que influye es s1, que sólo afecta a rP.

La orientación de un punto en una curva tridimensional se define a través del

triedro ortonormal de Frenet [11], formado por los vectores normal (n), tangente (t) y

binormal (b) a la curva en cada punto. Estos vectores se definen de la siguiente manera:

)(tAr

rA

R

R)(t

P

i

i

P

P

i

P

P

P

1

1

1

1

1

1

11s

s

s

s

s

s ⋅=

∂∂

⋅∂∂⋅=

∂∂

⋅∂

∂= (4.2)

)(nAr

rA

t

t)(n

P

i

i

P

P

i

P

P

P

1

2

1

22

1

2

1

1

1

11s

s

s

s

s

s ⋅=

∂∂

⋅∂

∂⋅=

∂∂

⋅∂∂= (4.3)

)(n)(t)(b PPP

111sss ×= (4.4)

El subíndice “i” se refiere al sistema de referencia del tramo en cuestión, cuya matriz de

giro (Ai) no cambia el módulo de los vectores, que siguen siendo unitarios. Dado que la

matriz AV es conocida, puesto que el usuario del preprocesador impone dónde está el

origen de la vía, sólo se requiere Ai para conocer determinar completamente el vector

de posición del punto genérico P.

3.- TRAMOS DE LA VÍA:

En un trazado ferroviario existen principalmente tres tipos de tramos, los cuales

pueden combinarse de muy diversas maneras para configurar diferentes vías:

- Tramos rectos

- Tramos curvos

- Tramos de transición

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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Además, los tramos de transición pueden dividirse en horizontales y verticales y se

caracterizan de diferente manera en virtud de los tramos que unan. Así, por ejemplo,

entre dos rectas el tramo de transición es una recta; entre 2 curvas iguales es la misma

curva y entre 2 curvas diferentes o una recta y una curva (o entre una curva y una recta)

puede hablarse de una transición “genérica”.

En los apartados siguientes, se aportan las expresiones de los vectores de

posición, tangente y normal, que serán deducidas considerando cambios de pendiente

vertical. Dichas expresiones se dan en coordenadas locales, por lo que para pasar a ejes

globales deben introducirse las pertinentes matrices de giro (Ai y AV).

3.1- Tramos rectos:

Los parámetros de superficie permiten deducir fácilmente la expresión del

vector de posición en coordenadas locales, a partir de la cual se obtienen por

derivación las expresiones de los vectores unitarios tangente y normal. La dirección del

vector normal unitario se toma como la del eje Yi positivo. Además, se expresa el caso

general en el que se produce un cambio de pendiente vertical (θ), teniéndose que:

T

T

L

ss

L

ss

⋅⋅

⋅⋅

=

20

20

2

1

1

2

1

1

θ

θ

Pr (4.5)

T

T

L

s

L

s

⋅

⋅

=1

1

01

01

θ

θP

it (4.6)

=0

1

0

P

in (4.7)

3.2- Tramos curvos:

Se considera así todo aquel tramo que posea curvatura constante (y, por

consiguiente, radio). La orientación de la curva es, por definición, a izquierdas. Para que

fuese la contraria, sólo habría que introducir la curvatura horizontal del tramo con el

signo cambiado. Además, el ángulo de peralte debe tener el mismo signo que la

curvatura, ya que de lo contrario el peralte perjudicaría la inscripción en curva en vez de

favorecerla. Si se denota por Kh a la curvatura horizontal del tramo (Kh = 1 / R), la

parametrización de la curva resulta ser:

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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⋅−

⋅

=

0

)cos(1

)(

1

1

h

h

h

h

K

sK

K

sKsen

Pr (4.8)

⋅⋅

=0

)(

)cos(

1

1

sKsen

sK

h

h

P

it (4.9)

⋅⋅−

=0

)cos(

)(

1

1

sK

sKsen

h

h

P

in (4.10)

La naturaleza de la orientación de un tramo curvo puede verse en la figura 4.4:

Figura 4.4. Orientación de ejes en un tramo de vía curvo

3.3- Transiciones:

Las curvas de transición surgen para evitar cambios bruscos en el trazado al

cambiar de un tipo de tramo a otro, lo que puede producir aumentos o disminuciones

importantes de las fuerzas centrífugas y provocar el descarrilamiento del vehículo

ferroviario. Las clotoides, espirales de Cornú o espirales de Euler [11] son las curvas de

transición horizontal empleadas en este proyecto y tienen la propiedad de que su

curvatura crece monótonamente con el parámetro de superficie que recorre la vía (s1):

L

sR1=

ρ �

L

sR

11 ⋅=ρ

, (4.11)

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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siendo R el radio de curvatura en s1 = L, ρ el valor en un punto genérico de la curva (de

coordenada s1, que es la longitud del tramo recorrida) y L la longitud total de la

transición.

Figura 4.5. Parámetros característicos de la clotoide

En el presente proyecto, se ha efectuado un análisis diferente de los tramos de

transición debido a algunos problemas que éstos presentaban en las simulaciones. La

descripción de los tramos aquí empleada es absolutamente general y utiliza como

parámetro que recorre el tramo al ángulo α (mostrado en la figura 4.5). La derivada de

dicho parámetro con respecto a s1 representa la curvatura del tramo, de donde se

puede obtener una expresión para α y el vector de posición en locales. Si la curvatura

evoluciona linealmente en el tramo (según la ecuación de la clotoide) se tiene que:

11

1

121

111

)(

1

ds

d

RL

s

RRs

αρ

=+⋅

−= (4.12)

1

1

2

1

12

1

2

11)(

R

s

L

s

RRs +

⋅⋅

−=α (4.13)

⋅

⋅

= ∫∫

0

)(

)cos(

1

1

dssen

ds

αα

Pr (4.14)

Las integrales que representan las componentes en las direcciones X e Y del

vector de posición se implementan numéricamente mediante un desarrollo en serie

(que con 5 términos dan una aproximación buena). Derivando sucesivamente respecto

de s1 se obtienen los vectores tangente y normal:

=0

)(

)cos(

αα

senPt (4.15)

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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−=

0

)cos(

)(

ααsen

Pn (4.16)

En cuanto al peralte de la vía, se tienen como datos de entrada los valores al

inicio y al final del tramo de transición (esto es, los valores de los peraltes del tramo

anterior y del tramo siguiente al de transición) y se ha decidido que la evolución de un

valor a otro sea lineal:

( ) iifL

sFI ϕϕϕ +⋅−= 1

(4.17)

Nota: las ecuaciones mostradas para este tipo de tramo no incluyen la posibilidad de

un cambio de pendiente vertical (θ) porque en la práctica de este proyecto θ = 0. En

caso contrario, bastaría con añadir a la coordenada Z lo mismo que en las expresiones

correspondientes a los otros tramos estudiados

3.4- Transiciones verticales:

Se trata de las más sencillas de implementar, pues en ellas sólo se ve afectada la

coordenada Z del vector de posición en locales. Se supone que la evolución de la

pendiente en el tramo es lineal, por lo que se tiene:

V

TE

e

K

ssii

−+= 1

, (4.18)

siendo i la nueva pendiente, ie es la pendiente al inicio de la transición (ambas

pendientes en tanto por uno), s1 es la longitud de arco sobre la curva, sTE es el valor del

parámetro al inicio de la transición y KV es la curvatura vertical y viene dada por:

θL

KV

= , (4.19)

donde L es la longitud de la transición y θ es el incremento total de pendiente en la

transición en tanto por uno.

Se deduce que la variación de la cota en función de s1 es una parábola de eje

vertical, cuyo círculo osculador en el vértice tiene radio KV. En todo punto dentro del

acuerdo vertical se demuestra que la diferencia de cota respecto de la rasante que pasa

por la tangente de entrada con inclinación ie vale:

( )

V

TE

e

K

ssz

⋅−=∆2

2

1 (4.20)

Por lo tanto, para incluir una transición vertical en cualquier tipo de tramo basta

con sumarle este término a la coordenada Z del vector de posición en locales. En

cuanto al vector tangente, se procede análogamente pero añadiendo la derivada de la

expresión (4.20) anterior.

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

40

Figura 4.6. Parámetros de una transición vertical

La función transicion.m viene incluida en el anexo de la memoria electrónica y

en ella se detallan todas las expresiones necesarias a efectos de cálculo

4.- GEOMETRÍA DE LOS CARRILES:

Una vez caracterizada la línea central de la vía para cualquier tramo de ésta,

puede abordarse la obtención de las características geométricas de cualquier punto

situado en la cabeza de cualquiera de los carriles del trazado ferroviario.

4.1- Vector de posición:

La determinación de la posición de un punto en la cabeza del carril requiere

conocer su equivalente en la línea media, lo que viene dado por la expresión (4.1).

Además de esto, se necesita conocer la función que determina el perfil de la cabeza del

carril, que es función del segundo parámetro de superficie (f (s2)), por lo que una vez

conocido éste la sección transversal del carril queda definida.

En la figura 4.7 se observa con detalle el perfil de la cabeza del carril, mientras

que la obtención del vector de posición de un punto en la cabeza del carril izquierdo (o

derecho) de la vía queda ilustrada en la figura 4.8.

La posición de un punto sobre la cabeza del carril izquierdo (RRI) viene dada por

la expresión siguiente:

⋅+

⋅+⋅+⋅+=)(

0

0

0

2

211

sf

sLss f

βIrPiiVVRIA)(A)(rARARR (4.21)

Para el carril derecho, se tiene que:

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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⋅+

−⋅+⋅+⋅+= −

)(

0

0

0

2

211

sf

sLss f

βDrPiiVVRDA)(A)(rARARR (4.22)

La figura 4.8 explica las ecuaciones (4.21) y (4.22).

Figura 4.7. Perfil de la cabeza del carril

Figura 4.8. Esquema de la posición de un punto R sobre la cabeza del carril

Ha de comentarse que Lf es el semiancho de la vía, mientras que AIr y ADr son

dos matrices de orientación cuyas expresiones se muestran a continuación:

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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[ ]

−⋅⋅=⋅⋅=

)cos()(0

)()cos(0

001

11111

ϕϕϕϕϕ

sen

sensssss )b()n()t(AA)(AA)(AisiIr (4.23)

[ ]

−⋅⋅=⋅⋅=

)cos()(0

)()cos(0

001

11111

ϕϕϕϕϕ

sen

sensssss )b()n()t(AA)(AA)(AisiDr (4.24)

φ es el ángulo de peralte del tramo en cuestión y β se refiere al ángulo de inclinación

de los carriles, lo que puede explicarse con la figura 4.9. Además, las matrices Aβ y A-β

vienen dadas por:

−=

)cos()(0

)()cos(0

001

ββββ

sen

senβ

A y

−−−−−=−

)cos()(0

)()cos(0

001

ββββ

sen

senβ

A (4.25)

Figura 4.9. Sección transversal de la vía

4.2- Vectores tangentes:

Cuando se habla en general de “vectores tangentes”, se hace referencia tanto a

las tangentes longitudinales como a la tangente transversal a cualquier punto de la

superficie de los carriles. Dichos vectores se emplean en el cálculo del punto de

contacto y de las fuerzas de creep, por lo que cabe remarcar la utilidad de las

expresiones que se adjuntan debajo:

1

21

21

,

,

s

ss

ss

∂∂

=)(R

)(tRI

LI �

⋅⋅+

⋅

∂∂⋅+⋅

∂∂

⋅+∂

∂⋅⋅=

)(

0

0

0

,

2

2

1

1

1

1

1

1

21

sf

sLs

ss

s

s

sss f

βis

s

i

P

iVLIAA

A)(AA

)(AA

)(rAA)(t

ϕϕ

(4.26)

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

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⋅⋅+

−⋅

∂∂⋅+⋅

∂∂

⋅+∂

∂⋅⋅= −

)(

0

0

0

,

2

2

1

1

1

1

1

1

21

sf

sLs

ss

s

s

sss f

βis

s

i

P

iVLDAA

A)(AA

)(AA

)(rAA)(t

ϕϕ (4.27)

∂∂

⋅⋅=∂

∂= −

2

2

1

2

21

21

)(1

0,

,

s

sfs

s

ssss β/βDr/Ir

R

TA)(A

)(R)(t (4.28)

Las expresiones (4.26) y (4.27) se refieren a las tangentes longitudinales izquierda y

derecha, respectivamente. Por su parte, la expresión (4.28) es la de la tangente

transversal de la vía objeto de análisis.

5.- CÁLCULOS EN MATLAB®:

En este epígrafe se va a indicar la función de cada uno de los subprogramas que

componen el preprocesador de vías, explicando en los casos más relevantes algunos

aspectos de su funcionamiento interno. Los archivos correspondientes a este módulo

del programa de simulación están en la carpeta Programa / Vehículos Ferroviarios /

Preprocesador Vías y son los citados a continuación:

- PrepVias.m: es la función principal del módulo y se encarga de crear una base

de datos con las características definitorias de la vía e implementarla, llamando

para ello al resto de subprogramas del preprocesador

- GeomLC.m: halla el vector de posición y la tangente longitudinal del punto de

la línea central de la vía que se le prescriba externamente

- LeftRail.m y RightRail.m: su misión es hallar el vector de posición y las

tangentes longitudinal y transversal en cada punto de la cabeza del carril que se

le indique (en cualquier punto de la longitud de la vía y en cualquier tramo de

ésta). Son funciones análogas a la del punto anterior, pero para los carriles

- CurvatLC.m: calcula las derivadas segundas y terceras del vector de posición en

la línea central de la vía con respecto al parámetro s1

- curvature_LR y curvature_RR: para cualquier punto de la superficie de los

carriles indicado, obtienen curvatura y derivadas segundas del vector posición

- f_LR, f_RR, df_LR, df_RR, ddf_LR y ddf_RR: implementan en ambos carriles el

perfil de la cabeza de los mismos y sus derivadas 1ª y 2ª, respectivamente

- transicion.m: esta función, que ha sido modificada con respecto a la original,

tiene como objetivo el cálculo del peralte, el vector de posición en locales (y sus

Capítulo 4: Preprocesador de Vías

44

derivadas 1ª, 2ª y 3ª), los vectores tangente y normal y las derivadas 1ª y 2ª de

la matriz de orientación Ai para este tipo de tramos

Todos los cálculos llevados a cabo por las funciones mencionadas en la lista

anterior se basan en las expresiones mostradas en el presente capítulo de la memoria

(y en otras que no han sido mostradas). Además de esto, la sistematización de los

cálculos numéricos implica el empleo de otras funciones que generan la superficie de

las ruedas en función del vehículo ferroviario que se simule y especifiquen la sucesión

de tramos que configuran la vía presente en la simulación.

En el caso que se estudia en este proyecto, el perfil de las ruedas está contenido

en la función de MATLAB® Profiles_ManV1_ADAMS.m y sus archivos de texto

adjuntos, que contienen las coordenadas de los puntos que han de ser interpolados

mediante splines para la generación de dichos perfiles. Por su parte, el archivo de texto

TramosVia.txt, incluido en la misma carpeta que contiene a ManV1.m, muestra la

sucesión de tramos que posee la vía. Los datos del mismo han de ser introducidos en el

siguiente orden:

- tipo de tramo (1 es recta, 3 es curva y 2 es transición)

- longitud del tramo (L), en metros

- curvatura horizontal (Kh) en el plano XY, en m-1

- cambio de pendiente vertical del tramo (θ), en tanto por uno

- peralte del tramo de la vía (φ), en radianes

La curvatura horizontal se calcula únicamente en tramos curvos (como la inversa del

radio de curvatura), no es preciso indicarla en transiciones y vale 0 en rectas. El ángulo

de peralte sólo se indica como no nulo en curvas. Con estos datos se puede generar

una curva tridimensional que represente la línea central de la vía y, a partir de ella, crear

los carriles izquierdo y derecho.

El contenido del fichero TramosVia.txt utilizado en el presente proyecto es el

mostrado en la tabla siguiente:

Tipo de tramo Longitud Curvatura horizontal Pendiente vertical Peralte

1 50 0 0 0

2 30 0 0 0

3 60 0.006667 0 0.0697

2 30 0 0 0

1 55 0 0 0

Los datos de entrada y la estructura interna de los programas más relevantes de

este módulo serán incluidos en el anexo de la memoria electrónica del proyecto.