Capítulo 4 manejo didÆctico de la tecnología · (pensar en la longitud de las alturas y...

De acuerdo con el proceso de formaciónpropuesto para la Fase Piloto, se llevó acabo un programa de apoyo y seguimiento alas regiones, con el propósito de generar lascondiciones de sostenibilidad y continuidaddel proyecto, cuando termine esta etapa. Esbien sabido que las acciones puntuales decapacitación tienen un bajo impacto en lapráctica profesional y, sin una estrategia deseguimiento, los pocos logros alcanzados sepierden en el mediano plazo. Para esto seprogramaron, además de los seminarios pre-senciales y virtuales de fundamentación, visi-tas periódicas de asesoría y seguimiento a loscolegios por parte de los coordinadores re-gionales y de profesionales del MEN.

A raíz de las dificultades manifiestas por losdocentes vinculados al proyecto respecto aldominio técnico de la calculadora TI92+, almanejo didáctico de la misma y al diseño deactividades, se programó un seminario deprofundización que ahondara en dichas te-máticas y a su vez permitiera a los docentesampliar el panorama de posibilidades quebrinda la calculadora y que enriquece el tra-bajo.

En este capítulo se presentan los talleres ela-borados por docentes vinculados al proyec-to y por el grupo del Ministerio para orientareste seminario.

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Capítulo

4Curso de profundización en el

manejo didáctico de la tecnología

y diseño de actividades

Problemas de exploracióngeométrica1

Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo Coordinador

Ministerio de Educación Nacional

Seleccione uno de los siguientes problemasy realice el trabajo como se indica a conti-nuación.

Explore libremente su construcción buscan-do encontrar relaciones o invariantes impor-tantes para la solución (no olvide flexibilizarlas condiciones del problema cuando lo con-sidere necesario).

Cuando crea haber encontrado los invarian-tes pertinentes para la solución, realice laconstrucción y verifique su exactitud despla-zando los puntos.

Escriba un programa de construcción.

Intente explicar por qué su construcción darespuesta al problema, y estudie las posiblesrestricciones que debe tener en cuenta (ca-sos extremos en los que la construcción dejade ser válida).

Prepare una exposición corta en la quecuente su proceso de trabajo, resaltando

las dificultades y los puntos claves para la so-lución.

1. Dadas dos rectas secantes a y b y un puntolibre P, construya un triángulo equilátero convértices en P, a y b.

2. Dados un triángulo ABC y un triángulo UVW

interior, con sus vértices en los lados de ABC,¿para qué posición de U,V y W el triángulo in-terior tiene perímetro mínimo?

3. Dados una circunferencia c, una recta r y unpunto P, dibuje un segmento que tenga comopunto medio a P y sus extremos en c y r.

4. Dados una circunferencia y dos de sus ra-dios, encuentre la cuerda que es trisecadapor los dos radios.

5. Dados un punto P, una recta r y una circun-ferencia c, construya un triángulo equiláterocon vértices en P, r y c.

6. Identifique cuáles son los datos mínimospara construir un triángulo determinado

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1 Los ejercicios propuestos son adaptaciones de algunos, consultados en SHUMAN; GREEN (1994), Discovering Geometry with the compu-

ter, Ed. Chartwel – Yorke y en MARTIN YVES (1994), Experimenter en Mathematiques avec Cabri, Utilisation en Lycée, tome 2, Complé-

ment pour le professeur, Editions Archimide.

(pensar en la longitud de las alturas y media-nas, puntos notables, etc.).

7. Dado un cuadrilátero ABCD y un segmentoPQ con extremos sobre dos lados adyacentes,construya un paralelogramo inscrito en el cua-drilátero, donde PQ sea uno de sus lados.

8. Dado un triángulo ABC y un punto D sobreuno de sus lados, construya un triánguloequilátero con vértices en D y los otros doslados.

9. Construya tres circunferencias tangentesentre sí y tangentes a una recta.

10. Dados un segmento AB y dos rectas se-cantes AD y BE, construya el punto C tal quelas rectas AD y BE sean bisectrices del triángu-lo ABC (cuando termine, manipule la cons-trucción de manera que AD y BE sean perpen-diculares).

11. Construya tres circunferencias tangentesentre sí de manera que sus centros sean losvértices de un triángulo.

12. Construya un segmento AB y un punto li-bre M. Construya un punto C tal que el puntoM sea ortocentro del triángulo ABC.

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Problemas de exploración geométrica

Simulación de un problemageométrico: volumen de un

prisma



Enunciado

Si se toma una pirámide recta con un trián-gulo rectángulo isósceles de base, puedeinscribirse en ella un prisma triangular rec-to que cambia de volumen dependiendo desu altura. Estudie la relación entre el volu-men del prisma y su altura.

Construcción de la simulación

Para representar este problema tridimensio-nal, en dos dimensiones, vamos a utilizar unaperspectiva isométrica, pues es aquella en laque los segmentos paralelos a los ejes con-servan una misma unidad de medida.

Para visualizar fácilmente la perspectiva iso-métrica piense en un cubo del cual se tomantres de sus aristas concurrentes para repre-sentar los tres ejes coordenados en el espa-cio. Si usted imagina cómo se verán estastres aristas, al colocar el vértice opuesto fren-te a sí, tendrá una imagen de la perspectivaisométrica.

1. Utilizando la herramienta Polígono Regu-lar construya un triángulo equilátero. Luegotrace semirrectas desde el centro hacia losvértices. Así tenemos la representación delespacio (figura 1).

2. Oculte el polígono regular y los tres vérti-ces. Ahora escriba los números correspon-dientes a las longitudes de la base y la alturade la pirámide (1,5cm y 2cm). Luego transfie-ra esas medidas a los ejes horizontales y ver-tical. Finalmente una los puntos con segmen-tos y oculte las semirrectas para tener unaimagen de la pirámide (figura 2).

314

Figura 1

3. Coloque un punto H sobre el segmento ver-tical para representar la altura del prisma. Aho-ra trace paralelas a los ejes horizontales por H.Los puntos de intersección de esas paralelascon las aristas de la pirámide serán los vérticesde la cara superior del prisma (figura 3).

4. Para encontrar los vértices de la cara infe-rior bastará con proyectar esos puntos sobrela base de la pirámide (con rectas paralelas aleje vertical) (figura 4).

5. Trace los segmentos correspondientes alas aristas del prisma, y coloque los del fondopunteados. Oculte los objetos intermedios.Ya tiene la representación del problema.Mueva el punto H para ver qué sucede conel prisma (figura 5).

6. Mida las aristas de la base y la altura paracalcular el volumen del prisma y estudie elproblema propuesto.

Preguntas

De acuerdo con la simulación, responda:

1) ¿Cómo varía el volumen del prisma a me-dida que varía su altura?

2) ¿Cuál es el tipo de gráfica que se esperaobtener, si se relacionan estas magnitudes?

Registre en una tabla los datos arrojados porla simulación relacionando la altura del pris-ma y su volumen. De acuerdo con la infor-mación presentada, responda:

3) ¿Para qué valor de la altura del prisma seobtiene el máximo valor del volumen?

4) ¿Cómo varía el volumen a medida que losvalores de la altura se acercan a cero?

5) ¿Cuál es el tipo de gráfica que se produciráal relacionar la altura con el volumen del pris-ma?

315

Simulación de un problema geométrico: volumen de un prisma

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

6) ¿Cuál es la expresión algebraica que mejorrelaciona el volumen del prisma y su altura?

Haga la gráfica producida por estos datos yde acuerdo con ella responda:

7) ¿Qué coincidencias encuentra con las grá-ficas que esbozó anteriormente? ¿En qué di-fieren?

8) ¿Existen valores para la altura del prismaque generen volúmenes iguales?

9) ¿Cuál es la función que mejor relaciona losdatos?

10) ¿Cuál es el volumen máximo?

11) ¿Coincide este valor con el hallado en latabla? Explique.

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Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia

Simulación de un problemageométrico: la hoja doblada



Enunciado

Si se toma una hoja de papel y se dobla demanera que una de sus esquinas quede so-bre el borde opuesto, se forma un polígonoen la parte frontal de la hoja. Estudie la va-riación del área de ese polígono a medidaque varía la posición de la esquina sobre ellado opuesto.

Construcción de la simulación

1. Tome una hoja de papel y dóblela comose indica en el enunciado del problema. Rea-lice distintos dobleces para ver la forma delpolígono que se forma en la parte frontal dela hoja.

2. Tome la hoja doblada de manera que elpolígono formado sea un triángulo. Dibujeese triángulo sobre el fondo de la hoja y des-dóblela. Ahora debe ver dos triángulos en lahoja desdoblada. ¿qué relaciones hay entreesos dos triángulos?, ¿qué relaciones hay en-tre los vértices de esos dos triángulos?

3. Construya en CABRI GÉOMÉTRE un rectángu-lo que represente la hoja de papel. Coloqueun punto P sobre uno de los lados para repre-sentar la esquina que se ha llevado al bordeopuesto. Intente dibujar la recta que repre-senta el doblez (utilice sus respuestas a laspreguntas del punto anterior. Piense en la re-lación que hay entre el punto P, la esquinadoblada y el vértice que corresponde a la es-quina sin doblar).

4. Una vez construida la recta que represen-ta el doblez, construya el polígono doblado.Ahora mueva el punto P. ¿El polígono se man-tiene? Intente explicar por qué.

5. Utilice las explicaciones del punto anteriorpara construir un nuevo polígono. Muevanuevamente el punto P y observe si este polí-gono se mantiene.

6. Para terminar, cambie el grosor de los polí-gonos construidos, oculte las construccionesintermedias y calcule las áreas.

Ya está listo para comenzar el estudio delproblema

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Preguntas

1. De acuerdo con la simulación:

a) ¿Dónde se ubica(n) el(los) punto(s) para el(los) cual (es) el área del polígono es máxi-ma? ¿Qué clase de polígono se forma?

b) ¿Dónde se ubica(n) el(los) punto(s) para el(los) cual (es) el área del polígono es mínima?Qué clase de polígono se forma?

c) ¿Cómo varía el área a medida que el puntose va alejando de uno de los vértices?

d) ¿Cómo varía el área a medida que el puntose acerca a cada uno de los vértices?

e) ¿Qué clase de función se describe al rela-cionar la distancia a la que está el punto deuno de sus vértices con el área del polígono?

2. Construya la tabla que relaciona la distan-cia del punto a uno de sus vértices con elárea del polígono. De acuerdo con los datosregistrados en la tabla responda las pregun-tas anteriores.

3. Construya la gráfica representada por es-tos datos ¿Corresponde la gráfica al tipo defunción prevista en los puntos anteriores?¿qué clase de función es?

Empleando la opción Trace, ¿cuáles son lascoordenadas del (los) punto (s) donde elárea es máxima? ¿y las del punto donde elárea es mínima?

4. Construya la función que mejor modelalos datos anteriores. Una vez obtenida la fun-ción, responda las preguntas planteadas enla primera parte.

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Simulación de movimiento.El problema de los aviones

Martín Eduardo Acosta Gempeler y Fabiola Rodríguez GarcíaGrupo Coordinador


Para realizar este taller, debe haberse graba-do previamente el archivo avpar* hecho enCABRI GÉOMÈTRE, en el cual se simula el movi-miento de tres aviones. Al final del taller seadjuntan algunos procedimientos y la cons-trucción del archivo avpar.

El archivo avpar contiene la simulación del mo-vimiento de tres aviones que se mueven para-lelamente y con el mismo sentido. Al abrir el ar-chivo usted verá tres puntos que representan acada uno de los aviones y un número que re-presenta el tiempo que transcurre.

Para dar comienzo a la simulación, apliqueAnimación2 al número y observe qué suce-de con los aviones a medida que el tiempotranscurre. (En ningún caso borre el número,pues la simulación dejará de funcionar).

Siga los pasos que se indican a continuaciónpara hacer la observación y el análisis de la si-mulación.

1. Descripción de la simulación

a. Observe (sin tomar medidas) el movimien-to de cada uno de los aviones por separado ydescríbalo en la siguiente tabla.

Tabla 1

Avión 1

Avión 2

Avión 3

319

2 Es importante dominar el procedimiento de animación de un número, por lo cual lo explicamos en detalle.a. El número puede editarse de dos maneras: haciendo doble clic sobre él, o seleccionando Edición Numérica y luego clic sobre el nú-mero. Al editar el número usted puede cambiarlo, añadirle o eliminarle cifras decimales.b. El número animado variará a una velocidad constante en las unidades, decenas, décimas, centésimas, etc. dependiendo de dóndeesté el cursor de edición. Si el número está variando en unidades y desea que varíe en centésimas, edítelo y luego oprima ♦ y mueva elcursor hasta las centésimas.c. Para animar el número seleccione Animación (menú F7) y luego haga clic sobre el número. Luego desplace el cursor hacia abajo siquiere que el número aumente, o hacia arriba si quiere que el número disminuya.d. Para detener la animación oprima ENTER. Un segundo ENTER reanuda la animación. Si desea salir de la animación oprima ESC.e. Para recomenzar la animación edite el número colocándolo en 0.00 y luego aplíquele animación.

b. Describa el movimiento de los avionescomparándolos dos a dos (sin tomar medi-das)

Tabla 2

Aviones 1 y 2

Aviones 1 y 3

Aviones 2 y 3

c. Mida las distancias recorridas por cadaavión para los tiempos indicados y calcule lavelocidad promedio de cada uno de los avio-nes, en los siguientes intervalos de tiempoque se proponen en la tabla 3

2. Registro automático de ladistancia recorrida por cada unode los aviones (ver procedimiento 1)

Utilizando la tabla, estudie qué sucede con lavelocidad de cada uno de los aviones cuan-do el intervalo de tiempo considerado esmuy cercano a 0.

Ya que el intervalo de tiempo registrado en latabla es relativamente pequeño y es constan-

te, bastaría con calcular la diferencia entre lasdistancias. Por ejemplo, para calcular la dife-rencia de distancias entre los datos registra-dos para el avión 1, suponiendo que estosdatos se encuentran en la columna 2, se pro-cede así:

• Copie en otra columna (por ejemplo enc3) y desplace hacia arriba una celda, losdatos obtenidos en c2 (correspondientesa la distancia del avión1).

• Para esto, oprima F4 con el fin de definir lacabecera de la columna donde se va a co-piar y digite allí c3 = shift (c2,1). (Si lacalculadora está en español, debe digitardesplaz (c2,1) ).

• El procedimiento anterior se realiza con elfin de obtener la diferencia de las distan-cias del avión 1 entre un dato y el anterior.Para esto, en otra columna (por ejemploc4), calcule c3-c2.

• Para hallar la velocidad, calcule en otra co-

lumnac c

t

3 2–

∆

Escriba las conclusiones con respecto a la ve-locidad casi instantánea de cada avión.

320


Tabla 3

Intervalo de

tiempo

Velocidad

Avión 1

Velocidad

Avión 2

Velocidad

Avión 3

(1, 3)

(2, 4)

(1, 4)

(3, 4.2)

3. Construcción de la gráfica querepresenta la velocidad(Ver procedimiento 2)

Escriba las conclusiones con respecto a lasgráficas.

4. Cálculo de la regresióncorrespondiente a los datos(Ver procedimiento 3)

Escriba las conclusiones.

5. Medición de la distancia entrelos aviones 1 y 2

Relacione la distancia entre los aviones conel tiempo. Consigne los datos en una tabla.Analice esta relación y concluya.

6. Repetición del proceso anteriorcon los aviones 1 y 3

Procedimientos

(1) Procedimiento para construir latabla obtenida a partir de un con-junto de datos:

– seleccionar F6 + 7 Collect data

(agrupar datos) Define Entry

(definir entrada)

– seleccionar los datos que se van arelacionar

– seleccionar F6 + 7 Collect data

(agrupar datos) Store Data (al-macenar datos)

– seleccionar F7 + 3 Animation (ani-mación)

– animar el punto correspondiente

– abrir la tabla arrojada por estos va-lores: oprimir la tecla de Aplica-

ciones y seleccionar 6: Data/

Matrix Editor + Current.

(2) Procedimiento para construir lagráfica:

– ubicados en el editor de datos, se-leccionar F2 Plot Setup

– seleccionar F1 para definir las ca-racterísticas de la gráfica

– seleccionar el tipo de gráfica(Scatter) y el tipo de marca paralos puntos (Box)

– asignar a la variable x los valorescorrespondientes a la columna 1(c1)

– asignar a la variable y los valorescorrespondientes a la columna 2(c2)

– oprimir ENTER dos veces

– graficar los puntos (♦ GRAPH)

– para visualizarlos mejor seleccio-nar ZoomData en F2 + 9.

(3) Procedimiento para hacer elcálculo de regresión:

– ubicados en el editor de datos, se-leccionar F5 Calc y escoger el tipode regresión que mejor se ajusta alos datos. Guardar esta función eny1(x).

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Simulación de movimiento. El problema de los aviones

*ARCHIVO avpar

Situación:

Tres aviones vuelan paralelamente si-guiendo el mismo rumbo; dos de ellosviajan a velocidades constantes y el últi-mo con movimiento uniformemente ace-lerado.

Construcción:

La construcción propuesta utiliza una ca-racterística de CABRI GÉOMÈTRE que per-mite definir el tiempo como variable in-dependiente. Este hecho permite la posi-bilidad de dar animación a un número.En efecto, si se escribe un número cual-quiera utilizando Edición Numérica

(Numerical Edit) y luego se le ani-ma, el número comenzará a aumentar odisminuir su valor. Teniendo en cuentaque además podemos efectuar cálculosutilizando este número y transferir esasmedidas a objetos geométricos de la pan-talla, podemos hacer la simulación de lospuntos que representan el movimientode los aviones.

La simulación consiste entonces en defi-nir un número t que representará el tiem-po en horas, y con base en él calcular las

distancias recorridas por cada avión:t*0.6, t*0.8 y (t*0.1 + t*t).

1. Con la herramienta Edición Numé-

rica, escriba el número 0,0 (la cifra deci-mal determina la rapidez de variación delnúmero).

2. Con la herramienta Calcular, obten-ga el número que representa la distanciarecorrida por el primer avión, es decirt*0,8.

3. Use el mismo procedimiento para lasdistancias recorridas por el segundoavión (t*0,6) y por el tercero (t*(0.1 + t)).

4. Construya la ruta de los aviones: dibujetres semirrectas paralelas (de manera queocupen la pantalla a lo ancho)

5. Transfiera la distancia calculada para elavión 1 sobre la semirrecta 1, la del avión2 sobre la semirrecta 2 y la del avión 3 so-bre la semirrecta 3. Así, queda preparadala simulación y sólo queda ponerla a fun-cionar.

6. Anime el número t.

Nota: para regresar la simulación al puntode partida basta con editar el número t ycolocarlo de nuevo en 0,0.

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Medición de ángulos y simulación



En el trabajo con el CABRI GÉOMÈTRE frecuen-temente se recurre a la medición de ángulospara verificar propiedades de las construc-ciones, o para satisfacer condiciones espe-ciales. Esta utilización de la medida en CABRI

GÉOMÈTRE no es simple, y se requiere un usocuidadoso para no encontrarse con resulta-dos molestos o reforzar ideas erradas en losestudiantes.

Los problemas que hay que tratar de sortearson de dos clases: primero, qué se entiendepor ángulo y segundo, en qué consiste la me-dición de ese ángulo (como un procedimien-to de comparación de patrones).

En matemáticas encontramos diferentesdefiniciones de ángulo, que responden apuntos de vista diferentes, y estas definicio-nes no son compatibles entre sí. Muchasveces no somos conscientes de estas dife-rencias y pasamos inconscientemente deuna concepción de ángulo a otra, sin com-prender las dificultades que esto suponepara los alumnos.

• Una primera definición de ángulo po-dría enunciarse como la apertura de doslados adyacentes de un polígono conve-xo. En este caso, los ángulos no tienenorientación y sus medidas varían entre

0° y 180°. (Algunos libros excluyenincluso estos valores extremos como ca-sos de ángulos, ya que no produciríanpolígonos convexos). Esta primera con-cepción de ángulo se refleja en la medi-da normal de ángulos efectuada enCABRI GÉOMÈTRE (F6 + 3/ Ángulo). Enefecto, al tomar la medida de un ánguloseñalando consecutivamente tres pun-tos, puede observarse que esa medidapuede aumentar hasta 180° y luegovuelve a disminuir. El orden en que se se-ñalen los puntos en las semirectas delángulo es indiferente para la medida.

• Una segunda definición de ángulo tieneen cuenta los ángulos externos de lospolígonos y los polígonos no convexos.En este caso, la medida de un ángulopuede variar entre 0° y 360°, pero no tie-nen orientación. Esta segunda concep-ción de ángulo está en la base de lamedición de marcas de ángulo en elCABRI GÉOMÈTRE. Si primero se coloca lamarca del ángulo y luego se mide esamarca, pueden obtenerse ángulos ma-yores de 180°, pero nunca mayores de360°. El orden en que se señalen las se-mirectas para hacer la marca de ángulono incide en la medida.

323

• Una tercera definición de ángulo es laque lo considera como un giro alrede-dor de un punto. En este caso, puedenidentificarse dos sentidos de giro (quecorresponden a medidas positivas ynegativas del ángulo) y no existen lími-tes superior ni inferior para las medidas.Esta tercera concepción de ánguloopera en el CABRI GÉOMÈTRE en las rota-ciones.

Dependiendo de la aproximación del ánguloque hagamos con nuestros alumnos, debere-mos utilizar una u otra forma de medida delángulo en CABRI GÉOMÈTRE. Sin embargo estaselección no evita algunos problemas técni-cos y conceptuales que pueden presentarsey que hemos observado con frecuencia enlas experiencias de clase. En efecto, para tra-bajar con cualquiera de las dos primeras defi-niciones de ángulo, el alumno debe determi-nar el ángulo señalando tres puntos en unorden determinado (el del medio debe ser elvértice del ángulo), operación que no es evi-dente y en la que pueden cometerse doserrores: de orden (no se señalan los puntosen el orden correcto) y de precisión (no seseñala el punto preciso, sino uno muy cercade él). Ante estos errores, fácilmente identifi-cables por parte del profesor (pues las medi-das arrojadas son evidentemente incompati-bles con la apreciación visual del ángulo),sorprende la incapacidad del alumno paracontrolar la exactitud de la medida obtenida(para un ángulo agudo, el alumno aceptacon naturalidad una medida mayor de 100°).Esta situación nos plantea dos problemas pe-dagógicos: cómo está entendiendo el alum-no la medida del ángulo (¿únicamente comoun resultado mágico que arroja la calculado-ra?) y cómo desarrollar un sentido de estima-ción de la medida que le permita controlarpor lo menos los errores más groseros.

Para responder a estas dos preocupacionessobre la comprensión de la medida del ángu-lo como un proceso de comparación con unpatrón determinado y el desarrollo de unahabilidad de estimación, propongo desarro-llar las siguientes construcciones.

1. Aproximación a la medidade un ángulo

En esta construcción se supone que la mane-ra más fácil de aproximarse a la idea de unpatrón de medida de un ángulo es concibién-dolo como un giro, es decir, utilizando la ter-cera concepción expuesta anteriormente.Esta construcción busca hacer visible el giro(como movimiento alrededor de) y planteaun primer patrón de medida como númerode vueltas.

Necesitamos entonces dos semirrectas; unaque permanezca inmóvil y la otra que gire al-rededor de su extremo, y un número quevaya contando la cantidad de vueltas delgiro. Para lograr esto, utilizaremos el mismoprincipio de la simulación de los aviones: es-cribir un número editable y animable, y trans-ferir esa medida sobre una circunferencia.Sin embargo, como las medidas de CABRI

GÉOMÈTRE siempre se transfieren en centíme-tros, esa circunferencia debe tener un tama-ño adecuado para que el número 1 signifi-que una vuelta. Es decir, 1cm debe ser lamedida de un arco de longitud 2πr; por lotanto, el radio de la circunferencia debe me-dir 1/(2π).

Construya una semirrecta cualquiera deextremo O y transfiera sobre ella el resulta-do del cálculo 1/(2π), obteniendo un puntoA. Construya la circunferencia de centro O

y radio OA. Escriba cualquier número (su-giero comenzar con 0,3) y transfiera esa

324


medida sobre la circunferencia a partir deA. Se construye así un punto B sobre la cir-cunferencia. Construya la semirrecta OB yoculte los nombres y la circunferencia. Co-loque el número en 0,00 y anímelo.

Con esta construcción el alumno puede verel movimiento de una de las semirrectas y re-lacionar el número con ese giro. Con pregun-tas adecuadas, podemos hacer ver al alumnola relación entre el signo del número y el sen-tido del giro, la periodicidad del giro y su rela-ción con la medida, y la identificación deciertos ángulos especiales (1/4 de vuelta, ½vuelta, ¾ de vuelta, 1 vuelta).

Aplicando este mismo principio de construc-ción pueden obtenerse distintos patrones demedida a partir de las vueltas (puede pensar-se por ejemplo en una medida de cuartos devuelta: es decir, 4=2πr, tercios de vuelta3=2πr, etc) de manera que sea natural llegara la división de la circunferencia en 360 par-tes iguales.

2. Un transportador virtual

Llevando esta idea un poco mas lejos pode-mos construir un transportador virtual, quepodemos utilizar para medir los ángulos deun polígono, con el patrón de medida quequeramos. Para esto necesitamos automati-zar la construcción anterior, introduciendoun parámetro extra que será el patrón de me-dida especificado como fracción de una cir-cunferencia, y hacer que la semirrecta estáti-ca se dibuje sobre un segmento (lado de unpolígono).

Instrucciones para construir la macro trans-portador virtual:

a) escriba un número que represente la me-dida estimada del ángulo (lo llamaremos n)

b) escriba un número que represente el nú-mero de partes en que dividimos la circunfe-rencia para obtener el patrón de medida (4para un cuarto de vuelta, 360 para un grado,etc.) lo llamaremos u

c) construya un segmento AB que representeel lado del polígono en el que se desea medirel ángulo

d) construya una semirrecta con extremo enA y que pase por B

e) calcule u/(2π) y transfiera esa medida so-bre la semirrecta AB (obteniendo el puntoC)

f) construya una circunferencia con centroen A y radio AC

g) transfiera n sobre la circunferencia a partirde C (obteniendo el punto D)

h) construya una segunda semirrecta con ex-tremo A y que pase por D

I) oculte la circunferencia y el resultado delcálculo

j) defina como objetos iniciales los númerosn y u y el segmento AB

k) defina como objetos finales las dos semi-rrectas.

Para poner a prueba la macro, abra un ar-chivo nuevo y construya cualquier triángu-lo. Escriba dos números: uno para definir elpatrón de medida y otro para dar una medi-da estimada del ángulo escogido. Luegoejecute la macro y señale en orden: el nú-mero estimado, el número del patrón y elsegmento inicial del ángulo (no olvide quese tiene en cuenta el sentido del giro). De-berán aparecer dos semirrectas que mar-can el ángulo con la medida estimada.

325

Medición de ángulos y simulación

Simulación en CabriGéomètre del tiro parabólico

Martín Eduardo Acosta Gempeler, Ernesto Acosta Gempelery Juan Pablo Acosta Arreaza

Grupo Coordinador y colaboradorMinisterio de Educación Nacional

En este taller sobre simulación vamos a des-cribir una construcción que ilustra el tiroparabólico, trayectoria de un proyectil lan-zado con una velocidad inicial, en la cualpueden explotarse muchas relaciones devariación de los distintos parámetros queintervienen en la situación. La idea de escri-bir este artículo surgió al leer uno sobre elmismo tema de R. C. Marion que aparecióen la revista Abracadabri No. 1. A pesar deque el resultado final es equivalente, la si-guiente representación hace uso directa-mente de la segunda ley de Newton y nodel hecho de que la trayectoria del proyec-til es una parábola.

La segunda ley de Newton establece que lafuerza que se esta ejerciendo sobre un obje-to en movimiento es proporcional a la acele-ración del mismo, siendo la constante deproporcionalidad la masa del objeto. Simbó-licamente escribimos

F = m a.

Donde F es la fuerza, a es la aceleración y mes la masa. Por ser, tanto la fuerza como la

aceleración, cantidades vectoriales hemos es-crito en negrita las letras que las representan,como lo haremos con todas las cantidadesvectoriales en el texto. Por otro lado, la ace-leración es la rapidez con que cambia la ve-locidad del objeto con respecto al tiempo.Es decir,

dv/dt = a.

A su vez, la velocidad es la rapidez con quecambia la posición del objeto con respectoal tiempo. Así,

dr/dt =v.

Supondremos que al lanzar el objeto no ejercesobre él sino la fuerza de gravedad F = -g m j,donde g es la magnitud de la aceleracióndebida a la gravedad, m es la masa del obje-to y j es un vector de longitud 1 que apuntahacia arriba (es el vector que guarda la in-formación de la dirección de la fuerza). Laaltura de lanzamiento será H y la velocidadde lanzamiento la escribiremos comoVo = Vx i + Vy j, donde i es un vector de lon-gitud 1 perpendicular a j.

326

Todos los vectores tendrán (en este contex-to) una componente horizontal y una verti-

cal. Así, por ejemplo, el vector posición seexpresará en cada instante de tiempo t así:

r (t) = x(t) i + y (t) j.

Entonces, rescribiendo la segunda ley deNewton con la información de que dispone-

mos, es decir, F = – gmj y ar= d

dt

2

2obtenemos

r¢¢= –g j.

Al integrar una vez con respecto a t y tenien-do en cuenta los parámetros establecidos, te-nemos que

d

dtgt gt

rV V V V0= = + = + +– (– )j i j

x ye integran-

do de nuevo,

r = Vx t i + ((-g/2) t2 + Vy t + H)j.

V i Vx yt

gt t H+ + +((

–) )

22 j j

Es decir,

x(t) = Vx t y y(t) =(-g/2) t2 + Vy t + H.

Usando CABRI GÉOMÈTRE vamos a construiresta situación para estudiar el comporta-

miento de la posición (x(t), y(t)) del proyectilen todo instante de tiempo t.

Comencemos representando un par de ejescoordenados usando la herramienta Mos-

trar ejes. El eje x representará el piso. So-bre el eje y (encima del eje x) representamosla altura del tiro mediante el punto H.

A continuación construimos tres semirrec-tas horizontales paralelas que servirán pararepresentar los parámetros g, |Vo| y t, res-pectivamente. Construimos los segmentosAB, CD y EF sobre cada una de estas semi-rrectas usando los extremos A, C y E de lasmismas, respectivamente. La longitud deAB representará a g, la longitud de CD repre-sentará a |Vo| y la longitud de EF represen-tará a t.

Usando Compas trazamos una circunferen-cia con centro en H y radio |Vo|. Construi-mos el vector Vo desde H hasta el punto Vosobre la circunferencia. Las proyecciones deVo sobre los ejes x y y serán Vx y Vy.

Construimos el punto de abscisa x(t) = Vx tmediante una homotecia, transfiriendo pri-mero t al eje x (figura 3).

327

Simulación en Cabri Géomètre del tiro parabólico

Figura 1

Figura 2

Construimos el punto de ordenada Vy t + H

mediante otra homotecia, transfiriendo pri-mero t al eje y a partir de H (figura 4).

Nos hace falta construir (g/2)t2. Esta cons-trucción se puede hacer sobre la semirrectadel tiempo definiendo primero una homote-cia de razón t (recuerde que |EF| = t ) y luegouna de razón t2 (figuras 5 y 6).

Una vez construido (g/2)t2, lo transferimos aleje y a partir del punto con ordenada Vy t + H

en dirección negativa. Se obtiene así el pun-to de ordenada y(t) = (-g/2) t2 + Vy t + H (figu-ra 7).

328


Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Construimos el punto con coordenadas(x(t), y(t)), donde está localizado el proyec-til en tiempo t, trazando perpendiculares alos ejes x e y por los puntos de abcisa x(t) yordenada y(t), respectivamente (figura 8).

Si ocultamos todas las construcciones inter-medias y animamos el punto F veremoscómo se desplaza el proyectil. Podemos mo-dificar la fuerza de gravedad moviendo elpunto B, la magnitud de la velocidad movien-do el punto D y la dirección de la velocidadmoviendo el punto Vo.

¿Por qué se conoce este movimiento comotiro parabólico?

329

Simulación en Cabri Géomètre del tiro parabólico

Figura 7

Figura 8

Geometría lógica oconstrucciones condicionales,

una idea de Yves Martin

Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo coordinador


El dinamismo del CABRI GÉOMÈTRE hace queen las construcciones haya puntos que apa-recen o desaparecen según como van cam-biando las relaciones entre los objetos móvi-les. Así por ejemplo, al tener una recta y unsegmento, puede suceder que la recta corteel segmento o deje de cortarlo; en este caso,si se construye el punto de intersección entrela recta y el segmento, este punto aparecerámientras la recta corte el segmento y desapa-recerá cuando deje de cortarlo (figura 1).

Esta característica puede aprovecharse pararealizar construcciones condicionales, que

dependen de la existencia de ese punto, y asu vez aparecen o desaparecen dependien-do de ciertas condiciones.

Primer ejemplo de aplicación: uncuadrilátero convexo

Sabemos que un cuadrilátero es convexo sisus diagonales se cortan, y no es convexo sisus diagonales no tienen intersección. Pode-mos aprovechar esta característica para ha-cer cambiar de apariencia el cuadrilátero,cuando es convexo o deja de serlo.

330

Figura 1

1. Construya cualquier cuadrilátero.

2. Trace las diagonales del cuadrilátero.

3. Construya la intersección de las diagona-les. (Desplace uno de los vértices del cuadri-látero y compruebe que efectivamente, esepunto de intersección desaparece cuando elcuadrilátero deja de ser convexo) (figura 2).

Necesitamos construir un segundo polígonoexactamente igual al primero, pero que sóloexista cuando existe el punto de intersecciónde las diagonales. Para esto realizamos el si-guiente procedimiento, llamado Ping Pongpor el creador de la geometría lógica.

4. Seleccione un vértice del cuadrilátero y llá-melo A.

5. Construya la imagen de A por la simetría decentro I (llame este punto B) (este punto B sólo

existe cuando existe I, por lo tanto cuando elcuadrilátero es convexo).

6. Construya la imagen de B por la simetríade centro I (Esto crea un punto sobre A quesólo existe si el cuadrilátero es convexo).

7. Construya un cuadrilátero sobre el originalcomenzando por este último punto condi-cional.

8. Modifique el grosor de este segundo cua-drilátero.

9. Mueva uno de los vértices del cuadriláteroy observe qué pasa cuando deja de ser con-vexo.

Si desea, coloque una etiqueta en el punto Icon la palabra “convexo” y observe comoaparece y desaparece.

Segundo ejemplo de aplicación:clasificación de triángulos

Nos proponemos ahora construir un trián-gulo que cambie de aspecto si es acutángu-lo u obtusángulo. Utilizaremos el ortocen-tro, ya que cuando el triángulo esacutángulo el ortocentro está en el interior,cuando es obtusángulo el ortocentro estáen el exterior.

1. Construya cualquier triángulo.

2. Construya el ortocentro del triángulo (yoculte las construcciones intermedias).

3. Trace una semirrecta con extremo en unvértice del triángulo y que pase por el orto-centro.

(Esta semirrecta cortará el lado opuesto si eltriángulo es acutángulo).

4. Construya el simétrico V’ de uno de los vér-tices del triángulo por la simetría de centro I

331

Geometría lógica o construcciones condicionales, una idea de Yves Martin

Figura 2

(punto de intersección de la semirrecta y ellado opuesto.

5. Construya el simétrico de V’ por la simetríade centro I (esto coloca un punto sobre elvértice del triangulo, que sólo existe cuandoel triángulo es acutángulo).

6. Construya un triángulo, sobre el original,con este último punto como vértice.

7. Cambie el grosor de este último triánguloy oculte la semirrecta, el ortocentro y el pun-to V’.

8. Desplace uno de los vértices del triángulode manera que sea obtusángulo.

332


Exploración de la composición detransformaciones isométricas

Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo coordinador


1. Dibuje un polígono P cualquiera y una rec-ta d1. Construya la imagen P’ del polígonopor la simetría de eje d1. Construya una rec-ta d2 paralela a d1. Construya la imagenP”de P’ por la simetría de eje d2. Luego ocul-te las rectas y el polígono P’. Mueva los vérti-ces de P y observe qué pasa con P”.

Emita una conjetura sobre la relación entre P

y P” e intente demostrarla.

Preguntas:

¿Qué sucede si aplica primero la simetría deeje d2 y luego la de eje d1?¿Qué sucede si mueve la recta d1?

¿Qué sucede si aplica una tercera simetría deeje d3 paralela a d1?

2. Realice la exploración del punto anterior,pero tomando d1 y d2 perpendiculares. Res-ponda las preguntas formuladas en el puntoanterior.

3. Realice la misma exploración del punto 1pero tomando d1 y d2 secantes. Responda laspreguntas formuladas en el punto anterior.

4. Realice una construcción para indagar sila composición de simetrías axiales es aso-ciativa.

5. Realice una construcción para indagar si lacomposición de traslaciones es conmutativa.

333

Taller con el CBR - Caída libre

Fabiola Rodríguez GarcíaGrupo coordinador


Equipo requerido

– Calculadora TI 92

– CBR

– Cable de conexión

Programas

Balldrop y Select

Procedimiento para el experimento

– Inicie el programa Balldrop en la cal-culadora. Este programa da instruccio-nes al CBR para empezar a recolectar losdatos.

– Ubique el objeto que va a dejar caer justoencima del detector de movimiento, auna distancia mayor de un metro.

– Presione TRIGGER en el CBR e inmediata-mente escuche el vibrar del CBR, deje caerel objeto.

– Si es necesario, repita el experimento has-ta obtener los datos apropiados.

La gráfica

Para un mejor análisis de los datos que inte-resan, es conveniente seleccionarlos. Paraesto, active el programa Select y seleccio-ne los datos que representan la caída del ob-jeto. (Para activar el programa Select, debesalir de la ventana gráfica oprimiendo la teclaESC y en la pantalla HOME activar el programaSelect)

Análisis de la gráfica y de los datos

• ¿Qué tipo de gráfica describen los da-tos?

• SIN HACER CÁLCULO DE REGRESIÓN, cons-truya la función que mejor modela estemovimiento y compruebe su resultadograficando la función hallada en la mis-ma ventana de los datos. ¿Qué funciónobtiene?

• Calcule la velocidad promedio paracada intervalo de tiempo registrado (se-ría una velocidad instantánea si este va-lor del tiempo es lo suficientementepequeño) ¿Qué concluye con relación alos datos obtenidos?

334

Procedimiento:

– Una vez obtenidos en la tabla los datos detiempo (en c1) y distancia (en c2) , los da-tos obtenidos en c2 se copian en otra co-lumna (por ejemplo en c3) y se desplazanhacia arriba una celda. (Para esto, oprimaF4 con el fin de definir la cabecera de lacolumna donde se va a copiar y digite allíla siguiente expresión: c3 = shift (c2,1). Sila calculadora está en español, debe digi-tar desplaz (c2,1)

– El procedimiento anterior se realiza con elfin de obtener la diferencia de las distan-cias. Para esto, en otra columna (por ejem-plo c4), calcule c3-c2

– Para hallar la velocidad, calcule en otra co-

lumnac c

t

3 2–

∆.

• Grafique los datos de la velocidad enfunción del tiempo. ¿Qué tipo de gráficaobtiene?

• SIN HACER CÁLCULO DE REGRESIÓN, cons-truya la función que mejor modele estosdatos. ¿Cuál es el significado de cadauno de los coeficientes?

• Calcule la aceleración promedio paracada intervalo de tiempo registrado yrealice la gráfica correspondiente ¿Quétipo de gráfica obtiene? Justifique su res-puesta.

335

Taller con el CBR - Caída libre

Sucesiones y series

Fabiola Rodríguez García3

Grupo coordinadorMinisterio de Educación Nacional

Problema 1

Un bosque pequeño tiene 4000 árboles. Enun nuevo plan forestal, cada año se talan el20% de los árboles y se plantan 1000 árbo-les nuevos. Calcule el número de árbolesque hay en el bosque al final de cada año.¿Se estabilizará el tamaño del bosque? Eneste caso ¿en cuántos años y con cuántos ár-boles?

Inicio

Después de

1 año

Después de

2 años

Después de

3 años

Después de

4 años

1. Al cabo de n años ¿cuántos árboles tieneel bosque?

2. Exprese el resultado anterior en una fór-mula recursiva.

3. Escriba la fórmula anterior en la calculado-ra para encontrar cuántas árboles tiene elbosque después de 7, 10, 14 y 20 años. Paraello:

a) Presione la tecla .

b) En Graph elija SEQUENCE

c) En la pantalla Y Editor (Y=), escriba en u1=,la fórmula hallada en la parte c) del numeral1 (tenga en cuenta que no se cortan fraccio-nes de árboles sino árboles completos, por lotanto anteceda a la fórmula la expresióniPart para obtener la parte entera del resul-tado).

d) En ui1, escriba el valor inicial del primertérmino.

336

3 Adaptado del Manual de la TI 92.

Introduzca los valores para distintos perio-dos de tiempo:

Después de 7 años:




e) Seleccione la ventana más apropiada paravisualizar los datos. Sugerencia: calcule el ta-maño del bosque para un periodo de 50años.

f) Grafique los datos en la pantalla GRAPH.

4. Observe la gráfica correspondiente a la su-cesión e interprete si el tamaño del bosquese equilibra en algún periodo de tiempo¿Cuándo se estabilizará el bosque? ¿Concuántos árboles?

5. Otra forma de estudiar el problema es ha-llando un modelo funcional no recursivo.Para ello introduzca la funcióny 4000(0.8) 1000 0.8n k–1

k 1

n= + =∑ en modo

FUNCTION.

Problema 2

Un amigo le propone un negocio duranteun mes. Él le da $100 000 diarios; en cam-bio usted le da $100 el primer día, el segun-do día le da el doble del anterior, el terceroel doble del anterior y así sucesivamente. Élle pide que rápidamente le responda si leaceptaría el negocio.

1. ¿Qué le diría?¿Por qué?

2. Escriba una lista del dinero que le daríacada uno de los cinco días:

3.Escriba una fórmula que represente el dine-ro que daría el n-ésimo día:

4. Realice dos gráficas en la calculadora: unaque represente lo que le daría su amigo yotra que represente lo que usted le daríacada uno de los días. Obsérvelas y escribaqué interpreta.

5. Utilizando las opciones de la pantallaGRAPH encuentre el primer día en el cual ledaría a su amigo más dinero que el que él leda.

a) ¿Qué día es?

b) ¿Cuánto le daría?

c) ¿Cómo encontró ese valor?

d) Utilice la opción TABLE para confirmar elvalor anterior y escriba los términos 30, 35,40 y 45 de la sucesión hallada.

6) ¿Hasta qué día sería rentable el negociopara usted?

337

Sucesiones y series

Día Nº 1 2 3 4 5

Dinero

Capítulo 4 manejo didÆctico de la tecnología · (pensar en la longitud de las alturas y...

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