Capítulo 4 Elementos de Contorno Esquina -...
Transcript of Capítulo 4 Elementos de Contorno Esquina -...
19
Capítulo 4
Elementos de Contorno Esquina
4.1. Introducción
La mejor manera de resolver un problema de fractura es obtener su solución
analítica. Sin embargo, hay muchas situaciones en las que la solución analítica es
demasiado difícil de obtener o ni siquiera existe. En estos casos es necesario aproximar
la solución del problema numéricamente.
El MEC es eficiente, preciso y numéricamente estable resolviendo problemas con
geometrías y condiciones de contorno simples. Sin embargo, su aplicabilidad en
Mecánica de la Fractura ha sido limitada en parte a la dificultad de encontrar el
procedimiento de modelado que satisfaga la singularidad que presenta el campo de
tensiones en el entorno del fondo de la grieta. La funciones polinómicas de las
funciones de forma usadas por los convencionales elementos no pueden representar
los campos de tensiones y desplazamientos predichos por la teoría.
Extensas investigaciones han sido llevadas a cabo en el desarrollo de nuevos
métodos numéricos para determinar los valores del Factor de Intensidad de Tensiones
(FIT). La evaluación del FIT puede tener una aplicación práctica en la determinación del
factor de seguridad de las estructuras elásticas en el diseño en ingeniería.
20
Un avance significativo en el modelado de problemas de fractura fue la
introducción de elementos con nodos a un cuarto. Se puede demostrar que los campos
de desplazamiento, tensiones y deformaciones pueden ser representados
adecuadamente por elementos isoparamétricos con funciones de forma cuadráticas
estándar en los que sólo se han desplazado los nodos de la posición media a la
posición ¼ de forma que estos queden más cerca del fondo de la grieta. Esto introduce
una singularidad en la transformación entre los espacios de coordenadas paramétrico
y cartesiano del elemento.
4.2. Elementos de contorno a un cuarto
El efecto de mover el nodo central de un elemento cuadrático a la posición ¼
puede ser mejor ilustrado en una dimensión. Aunque los elementos unidimensionales
no son muy útiles en la práctica, el álgebra es mucho más simple que en dos y tres
dimensiones y el principio es el mismo que para dimensiones superiores.
El desplazamiento en cualquier punto del elemento se determina por
interpolación con los desplazamientos nodales usando las funciones de forma de
segundo orden de Lagrange:
(4.1.)
(4.2.)
Usando una formulación isoparamétrica, las mismas funciones de forma son
usadas para interpolar la geometría del elemento. Definiendo como variable que da
la distancia al fondo de la grieta y teniendo a como coordenada paramétrica se tiene:
21
Figura 4.1. Espacio de coordenadas paramétrico del elemento
(4.3.)
(4.4.)
donde es un parámetro que toma valores entre 0 y 1 y determina la posición del
nodo central del elemento.
Consideremos en primer lugar el caso en el que el nodo 2 se coloca en el punto
medio del elemento, esto es
, tenemos que:
(4.5.)
(4.6.)
y por tanto la expresión para el desplazamiento queda:
(4.7.)
que es incapaz de reproducir los campos de desplazamientos (y por tanto tensiones y
deformaciones) que predice la teoría en el entorno del fondo de la grieta.
22
Consideremos ahora el caso en el que colocamos el nodo central a la posición ¼,
esto es
, entonces:
(4.8.)
y la expresión de los desplazamientos es:
(4.9.)
Claramente se puede ver que esta expresión consta de tres términos: una
constante, una variación lineal con y una variación con la raíz cuadrada de . Esto
corresponde a los principales términos de la expresión de la Mecánica de la Fractura
Elástica Lineal para los desplazamientos en el entorno del fondo de la grieta. La
expresión para las deformaciones y las tensiones constarán de una constante y un
término singular que varía con la inversa de la raíz de que está en concordancia con
las expresiones que predice la MFEL.
El razonamiento llevado a cabo para una grieta 1D puede extenderse a grietas con
una dimensión adicional. En el caso de grietas definidas geométricamente por
superficies nos encontramos con elementos superficiales de la forma que se muestran
en la Figura 4.2.
23
Figura 4.2. Elemento 2D en coordenadas cartesianas
Estos elementos se colocaran de forma que la suma de todos ellos constituya la
superficie de la grieta y para que los campos de desplazamientos y tensiones puedan
cumplir con los requisitos de la teoría de la MFEL se hace necesario definir un
elemento a ¼ bidimensional que debe ser capaz de reproducir la variación con la raíz
de de los desplazamientos en el entorno del fondo de la grieta. Esto se consigue
colocando elementos como el que se describe en la Figura 4.3. en la curva que define
geométricamente el fondo de la grieta.
Figura 4.3. Elemento a ¼ 2D
24
Este elemento tiene sus nodos 1, 2 y 3 coincidentes con el fondo de la grieta y los
nodos 8, 9 y 4 a una distancia ¼ L para que en la dirección perpendicular a 1-2-3 se dé
la variación con la raíz de requerida. Haciendo uso de funciones de forma cuadráticas
bidimensionales, esto implica que la relación entre la variable y que se define en la
Figura 4.4. es la misma que la establecida en el caso 1D entre y , esto es:
(4.10.)
donde se define como la distancia a la línea 1-2-3.
Figura 4.4. Espacio de coordenadas paramétrico del elemento a ¼ 2D
El elemento a ¼ tiene que cumplir las siguientes restricciones geométricas:
- Debe ser plano.
- Las longitudes de las tres líneas 1-8-7, 2-9-6 y 3-4-5 deber ser iguales entre ellas e iguales a L
- Las distancias 1-8, 2-9 y 3-4 deber ser todas iguales a L/4 .
- Las tres líneas 1-8-7, 2-9-6 y 3-4-5 deber ser normales a la línea 1-2-3 en los
puntos 1, 2 y 3 respectivamente.
25
Con este elemento podemos modelar cualquier grieta cuyo fondo sea descrito por
una curva suave cerrada. En la Figura 4.5. se observan dos ejemplos de este tipo de
grietas y cómo se incorpora el nuevo elemento a ¼ en el modelado. Los elementos
sombreados representan los elementos a ¼ que se colocan en fondo de la grieta y el
resto de elementos que se colocan en el interior son elementos quadráticos de nueve
nodos estándar.
Figura 4.5. Discretización de grietas definidas por curvas suaves
El proceso de integración sobre un elemento a ¼ es el mismo que sobre un
elemento cuadrático de 9 nodos ya que las funciones de forma utilizadas en los dos
casos son las mismas y la transformación entre los espacios de coordenadas cartesiano
y paramétrico hace que se llegue a elementos idénticos en coordenadas paramétricas.
Para un estudio más detallado de la formulación ,implementación y características
geométricas del elemento de contorno cuadrático con sus nodos a ¼ véase la
referencia [2].
26
4.3. Elemento de contorno esquina
El hecho de discretizar el fondo de la grieta con elementos a ¼ hace posible que la
representación del comportamiento de los campos de desplazamientos y tensiones
sea adecuada en las proximidades del vértice de la grieta pero estos elementos no
pueden ser utilizados para discretizar grietas cuyo fondo esté definido
geométricamente por una curva que no sea suave, como es el caso de formas
poligonales. Para este tipo de grietas se hace necesaria la introducción de otro tipo de
elemento a ¼ que llamaremos elemento esquina y que es la principal aportación de
este proyecto.
Figura 4.6. Elemento a ¼ esquina
27
Figura 4.7. Espacio de coordenadas paramétrico del elemento a ¼ esquina
El elemento esquina tiene dos de sus lados coincidentes con el fondo de la grieta:
el lado 1-2-3 y el lado 3-4-5, en este elemento cinco nodos son desplazados a la
posición ¼ para permitir la representación adecuadas de los campos de
desplazamientos y tensiones ya no sólo en una dirección como teníamos en el
elemento a ¼ si no en dos direcciones: las perpendiculares a 1-2-3 y 3-4-5. Esto implica
que la relación entre las variables - y - son iguales a la relación establecida en
el caso 1D entre y , es decir:
(4.11.)
(4.12.)
donde se define como la distancia a 3-4-5 y como la distancia a 1-2-3.
El elemento esquina cumple con las siguientes restricciones geométricas:
- Es plano
- Las longitudes de las tres líneas 1-8-7, 2-9-6 y 3-4-5 son iguales entre ellas e iguales a L2.
- Las longitudes de las tres líneas 1-2-3, 8-9-4 y 7-6-5 son iguales entre ellas e iguales a L1.
28
- Las distancias 1-8, 2-9 y 3-4 son todas iguales a L2/4 .
- Las distancias 3-2, 4-9 y 5-6 son todas iguales a L1/4.
- Las tres líneas 1-8-7, 2-9-6 y 3-4-5 son normales a la línea 1-2-3 en los puntos
1, 2 y 3 respectivamente.
- Las tres líneas 1-2-3, 8-9-4 y 7-6-5 son normales a la línea 3-4-5 en los puntos
3, 4 y 5 respectivamente
La discretización de grietas con esquinas se realiza colocando los elementos
esquina en los vértices de la curva que describe el fondo de la grieta y los elementos a
¼ en los tramos suaves de la curva. El interior de la grieta se discretiza con elementos
cuadráticos de 9 nodos estándar. En Figura 4.8. se ilustra el proceso de discretización
de grietas con esquinas haciendo uso de los tres tipos de elementos: elementos
esquina sombreados en color oscuro, elementos a ¼ sombreados en color más claro y
elementos cuadráticos de 9 nodos sin sombrear.
Figura 4.8. Discretización de grietas con esquinas
29
4.4. Cálculo del Factor de Intensidad de Tensiones y discretización de
problemas de fractura
Una vez obtenido el valor de los desplazamientos y tracciones nodales en el borde
de la grieta es posible estimar el valor de los FIT para los tres modos de fractura.
Como ya se ha comentado, la formulación hipersingular de elementos de contorno
es muy adecuada para resolver problemas de fractura. Se puede así estudiar
problemas con falta de simetría prescindiendo de técnicas de división en subregiones y
posterior acoplamiento de las mismas. Sin embargo, ya que no es necesario hacer
pasar una sección a lo largo de la grieta, cuando se resuelva el sistema de ecuaciones
no se va a disponer directamente de los valores nodales correspondientes a puntos
cercanos al borde de la grieta y en el interior del material. Se van a utilizar entonces
como variables básicas para el cálculo de los FIT los Desplazamientos de Apertura de
Grieta (DAG).
Dependiendo del tipo de dominio en estudio y de la posición de la grieta, la
discretización del contorno y las ecuaciones integrales mínimas que hay que describir
van a ser diferentes.
Si el dominio es infinito sólo se discretiza una superficie de la grieta y se plantea
sobre estos únicamente la EIC en tracciones. La variable nodal que se emplea para
resolver el sistema de ecuaciones es el DAG. En cambio, si el dominio es finito se
discretizan el contorno exterior y una o dos caras de la grieta, dependiendo si ésta es
interior o de borde respectivamente. De modo que si se discretizan las dos caras, en
una se planteará la EIC en tracciones y en la otra la EIC en desplazamientos.
Entonces, una vez resuelto el problema de contorno, conocidos los
desplazamientos y tracciones nodales, los valores numéricos de los FIT se obtienen a
partir de ellos.
30
De modo que para , a partir de las tracciones en el sistema tenemos:
(4.13.)
(4.15.)
(4.16.)
Igualmente para , a partir de los desplazamientos en el sistema tenemos:
(4.17.)
(4.18.)
(4.19.)
donde μ es el módulo de elasticidad transversal, ν el módulo de Poisson, el
desplazamiento del nodo a un cuarto del borde y el sistema de coordenadas en un
punto de la grieta es el de la Figura 4.9.