Capítulo 3 Figuras sólidas comunes - USAC · 2013. 2. 6. · Calculando el volumen de cada uno de...
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Capítulo 3 Figuras sólidas comunes Recipientes cilíndricos, objetos cúbicos, cajas rectangulares, dispositivos esféricos, recipientes cónicos, tanques de sección interior transversal triangular, etc. son algunas concreciones de objetos geométricos sólidos comunes como: cubo, paralelepípedo, cilindro, esfera, etc. Tales objetos ocupan una porción del espacio y poseen una superficie que los limita. A la superficie que los limita se le llama área superficial. A la porción de espacio que ocupa se llama volumen, el volumen se mide en unidades cúbicas. Aceptaremos, también la degeneración de ciertos sólidos en puntos, segmentos o regiones planas. Estudiaremos algunas figuras sólidas comunes, recordaremos sus definiciones, hablaremos de sus elementos que lo conforman y de sus atributos, dimensiones, área superficial y volumen. Estudiaremos también otros sólidos que no son muy comunes en la vida diaria pero son de interés en el aprendizaje de la matemática. Como lo hemos venido haciendo en capítulos anteriores, investigaremos algunos problemas prácticos de variación en el espacio y/o tiempo relativos a estos objetos. 3.1 Cubo Imaginemos la construcción de una caja cerrada de cartón, haciendo los recortes y dobleces (en línea punteada) según se indica en el dibujo, o bien realice la Simulación cubo. La caja así construida, representa en concreto, un cubo ideal, sólido o región del espacio cerrada por seis cuadrados de lado l Elementos. A los cuadrados se les llama caras de cubo, un cubo tiene seis caras. Los segmentos en común de dos caras se les llama aristas o lados, un cubo tiene doce aristas, los puntos en común de tres caras se les llama vértices, un cubo tiene ocho vértices. El segmento que une dos vértices opuestos se le llama diagonal del cubo Dos caras que no se intersecan son paralelas y se llaman opuestas entre sí. Cada cara es perpendicular a cuatro caras adyacentes. El segmento que une dos vértices de una cara se llama diagonal de cara. El punto donde se intersecan las diagonales de un cubo se llama centro del cubo. Comúnmente el cubo se dibuja con dos caras horizontales y las otras verticales. A la cara horizontal inferior se le llama base, y la longitud de las aristas verticales se le llama altura. l l l l l l l l l l
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Capítulo 3
Figuras sólidas comunes Recipientes cilíndricos, objetos cúbicos, cajas rectangulares, dispositivos esféricos, recipientes cónicos, tanques de sección interior transversal triangular, etc. son algunas concreciones de objetos geométricos sólidos comunes como: cubo, paralelepípedo, cilindro, esfera, etc. Tales objetos ocupan una porción del espacio y poseen una superficie que los limita. A la superficie que los limita se le llama área superficial. A la porción de espacio que ocupa se llama volumen, el volumen se mide en unidades cúbicas. Aceptaremos, también la degeneración de ciertos sólidos en puntos, segmentos o regiones planas. Estudiaremos algunas figuras sólidas comunes, recordaremos sus definiciones, hablaremos de sus elementos que lo conforman y de sus atributos, dimensiones, área superficial y volumen. Estudiaremos también otros sólidos que no son muy comunes en la vida diaria pero son de interés en el aprendizaje de la matemática. Como lo hemos venido haciendo en capítulos anteriores, investigaremos algunos problemas prácticos de variación en el espacio y/o tiempo relativos a estos objetos. 3.1 Cubo Imaginemos la construcción de una caja cerrada de cartón, haciendo los recortes y dobleces (en línea punteada) según se indica en el dibujo, o bien realice la Simulación cubo.
La caja así construida, representa en concreto, un cubo ideal, sólido o región del espacio cerrada por seis cuadrados de lado l Elementos. A los cuadrados se les llama caras de cubo, un cubo tiene seis caras. Los segmentos en común de dos caras se les llama aristas o lados, un cubo tiene doce aristas, los puntos en común de tres caras se les llama vértices, un cubo tiene ocho vértices. El segmento que une dos vértices opuestos se le llama diagonal del cubo Dos caras que no se intersecan son paralelas y se llaman opuestas entre sí. Cada cara es perpendicular a cuatro caras adyacentes. El segmento que une dos vértices de una cara se llama diagonal de cara. El punto donde se intersecan las diagonales de un cubo se llama centro del cubo. Comúnmente el cubo se dibuja con dos caras horizontales y las otras verticales. A la cara horizontal inferior se le llama base, y la longitud de las aristas verticales se le llama altura.
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Otra noción de cubo es la siguiente: Consideremos un cuadrado de lado l fijo que llamaremos base, imaginemos un segundo cuadrado igual y coincidente con el primero, traslademos, sin rotar, este segundo cuadrado una distancia l en dirección perpendicular a la base. Con esta traslación generamos un cubo de lados l . Al ir trasladando el segundo cuadrado nos imaginamos la formación de varios cuadrados paralelos al cuadrado base. A estos cuadrados les llamaremos cortes transversales o secciones planas del cubo.
Área superficial. La superficie del cubo lo constituyen sus seis caras. El área superficial del cubo es igual a la suma de las áreas de los seis caras.
26)( llA = Área lateral. Se habla también de área lateral de un cubo refiriéndose al área de las 4 caras laterales, o sea el área superficial sin tomar en cuenta las áreas de las caras superior e inferior.
24)( llA = Volumen. Es igual su lado al cubo,
3)( llV = Observemos que el área de cualquier cara es 2l , en particular, es el área de la cara inferior o sea la base. Entonces, el volumen de cubo se puede considerar como, área de la base 2l por la altura l . Si hacemos variar el lado de un cubo, vemos que su área superficial varía con el cuadrado de su lado, y su volumen varía con el cubo de su lado. Decimos que ellos son función de su lado. Observación. Asumiremos que la superficie que “cubre” al sólido es parte del propio sólido. Se puede hablar de sólidos que no contienen a su superficie. Imagine un cubo que no contenga a su superficie lateral. Problemas propuestos 1. Dibuje dos cubos diferentes señalando todos sus elementos visibles y ocultos: aristas o lados, caras, vértices, diagonal y diagonal de cara.
l
l l
sección plana del cubo, un cuadrado paralelo a la base
2. ¿Cuántas diagonales tiene un cubo?, ¿cuántas diagonales de cara tiene un cubo? Dibújelas. 3. (a) ¿En qué se transforma un cubo cuando sus diagonales se transforman en diagonales de una cara? (b) ¿En qué se transforma un cubo cuando su área lateral es igual a su área superficial? 4. Un caja cúbica tapada tiene un área superficial de 56.7 cm.² Determine su volumen. 5. Exprese su área superficial de un cubo en términos de su volumen. 6. Un cubo tiene un volumen de 512 u3. Determine cuántos cubos de 64 u3 contiene. 7. 27 cubos elaborados de cierto material de 7.5 grs. /cm3, tienen 4.7 cm de lado. Determine la masa total de los 27 cubos. 8. Determine la diagonal de un cubo de lado 3 m.
9. Determine el lado de un cubo si su diagonal mide 34 pulgadas. 10. ¿Existen dos cubos diferentes de volumen 4.89 cm3? 11. Si se varía el volumen de un cubo, ¿necesariamente variará su área superficial? Explique. 12. La diagonal de cubo decrece a una razón constante de 5.6 p/min. a partir de 87.1 p. (a) Exprese su lado en función del tiempo, (b) exprese su área superficial y su volumen en función del tiempo, (c) determine a los cuántos minutos el cubo se transforma en un punto, y (d) determine la rapidez con que decrece su lado. 13. El área superficial de un cubo se incrementa a razón constante de 10 cm²/min. (a) Exprese su lado en función del tiempo. (b) Exprese su volumen en función del tiempo y determine su volumen a los 6.7 minutos transcurridos. 14. El volumen del cubo es función de su lado 3)( llV = . Si el lado l del cubo sufre un incremento h . (a) Escriba la longitud nueva que toma su lado, (b) escriba el volumen del cubo resultante, y (c) escriba el cambio de volumen y simplifique su expresión. 3.2 Paralelepípedo rectangular Imaginemos la construcción de una caja rectangular tapada, similar al proceso de construcción del cubo, pero ahora con caras rectangulares (no necesariamente cuadradas).
Dicha caja rectangular es una concreción del paralelepípedo rectangular o recto (que le llamamos simplemente paralelepípedo), sólido cerrado limitado por seis rectángulos. En el paralelepípedo rectangular se reconocen elementos como los señalados en el cubo. En el paralelepípedo distinguimos caras opuestas iguales. Dos caras opuestas pueden ser cuadrados y las restantes rectángulos. A las longitudes denotadas con la, y h usualmente se les llama ancho, largo y altura respectivamente. Se dice también que ellas representan las dimensiones del paralelepípedo. Por su puesto en algunos paralelepípedos dos dimensiones pueden ser iguales, ancho igual al largo este es el caso de un paralelepípedo con dos caras opuestas cuadradas. A igual que la generación del cubo por medio de la traslación de un cuadrado, el paralelepípedo se puede generar por medio de la traslación (sin rotación) a una cierta distancia perpendicular a la base rectangular, de un segundo rectángulo igual al rectángulo base. Es claro que en el paralelepípedo, las secciones paralelas o cortes transversales son rectángulos iguales entre sí. Área superficial. Es la suma de las áreas de sus seis caras. Dado que el paralelepípedo tiene caras opuestas paralelas, entonces. Área superficial = (áreas de caras, izquierda y derecha) + (áreas de caras, frente y atrás) + (áreas de caras, inferior y superior). Esto es,
)(2 lalhhaA ++= Al igual que en el cubo, se define el área lateral del paralelepípedo, área de las cuatro caras laterales. Volumen. Se calcula con el producto,
Volumen = (área de la base)(altura) = (ancho)(largo)(altura), lahV =
Por supuesto esta relación acepta otras escrituras halahlalhV === , etc. Si variamos las dimensiones del paralelepípedo, su área superficial y su volumen en,
a
h
h
l h
l
h h
a
l
general (no siempre), variarán, en este sentido el área y el volumen son magnitudes variables que dependen de las primeras. Se dice que el área superficial y el volumen del paralelepípedo son funciones de tres variables,
ahllhaVVahlhahlhaAA ==++== ),,(),(2),,( La caja de mayor volumen. Investiguemos la siguiente situación. De un cartón de 6 por 3 cm, se desea construir una caja tapada recortando cuadrados de igual tamaño según se indica en el dibujo. Doblando a lo largo de las líneas punteadas y disponiendo hacia adentro los dos cejas extras.
Realice la Simulación caja rectangular tapada, o imagine la construcción de las cajas. Note que el lado del cuadrado que se corta de la esquina representa la altura de la caja. Vemos también, que dependiendo de la longitud del lado de cuadrado que recortemos, así se tendremos cajas anchas pero de pequeña altura y volumen pequeño, cajas angostas pero altas y volumen pequeño, o no tan agostas y ni tan altas, y con volumen relativamente mayor. Por ejemplo,
6
3
2,82 cm 2,82 cm
0,18 cm
0,18 cm
6,00 cm
2,63 cm 2,82 cm
0,18 cm
2,63 cm3,00 cm
Calculando el volumen de cada uno de ellos notamos que, entre las tres cajas, se obtiene mayor volumen cuando se corta un cuadrado de lado 0.71. Dejamos al lector la comprobación de las dimensiones indicadas en los dibujos y la verificación de lo afirmado del volumen mayor. Con otros cortes se pueden imaginar otras cajas. Dado que el lado menor del cartón rectangular es de 3, vemos que solamente podemos recortar cuadrados de longitudes entre 0 y 1.5 cm. Es imposible, físicamente, por ejemplo, recortar 2 cuadrados con lados de 2 cm cada uno, si el lado menor del cartón es de 3 cm. O sea pues, si denotamos con x , la longitud del lado del cuadrado, la altura de la caja tiene como dominio de variación físico al intervalo [0, 1.5]. ¿Que sucede en los extremos?, Cuando 0=x , simplemente no se recorta ningún cuadrado y la caja se reduce al propio cartón plano con altura cero y volumen cero; cuando 5.1=x , la caja se reduce a una caja con ancho cero, alto 1.5 y largo 1.5, conformada por solamente cuatro cejas laterales, su volumen también es cero. De acuerdo a lo explicado o visualizado en la simulación caja rectangular tapada, vemos que al cambiar la magnitud x , en su intervalo físico, también cambia el volumen de las cajas, se dice que el volumen depende de la magnitud x , vemos también que entre todas ellas debe existir una caja de mayor volumen. Es decir, hay valor de x en dicho intervalo para el cual se obtiene una caja con mayor volumen. Para determinar el valor de x para el cual se obtiene la caja de mayor volumen, debemos, como lo hemos hecho con otros problemas de máximos y mínimos, construir la función cuyo máximo estamos buscando. Para este caso, debemos expresar el volumen en función de la variablex . Apoyémonos en dibujos.
2,29 cm 2,29 cm
0,71 cm
0,71 cm
6,00 cm
1,58 cm 2,29 cm
0,71 cm
1,58 cm3,00 cm
1,58 cm 1,58 cm
1,42 cm
1,42 cm
6,00 cm
0,16 cm1,58 cm
1,42 cm
0,16 cm3,00 cm
Puesto que la caja representa un paralelepípedo, su volumen es,
)23)(3( xxxV −−= , 5.10 ≤≤ x Esta es una función cúbica cuyas raíces son: 0, 1.5 y 3, tiene una valor máximo entre 0 y 1.5, el cual representa el volumen mayor. Dicho valor máximo se puede obtener de manera exacta con la metodología del cálculo diferencial, o en forma aproximada con la ayuda de dispositivos de graficación o bien de manera numérica por evaluación en la función encontrada. Aproximemos su valor gráficamente usando el Mathematica. Su gráfica en su dominio físico, y una ampliación alrededor de su valor máximo,
3 - x3 - x xx
x
x
3 - 2x3
x
3 - 2x3 - x
6
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
V
En la ampliación vemos que el volumen mayor es 2.6V = y sucede cuando el lado del cuadrado cortado mide 0.634x = Llenado de un tanque. Se vierte agua a un tanque a una razón constante de 30.3 m /minel cual inicialmente se encontraba vacío. La forma interior del tanque y las dimensiones del mismo se indican en el dibujo.
Es claro que al transcurrir el tiempo el nivel de la superficie del agua sube, es decir la altura del nivel del agua aumenta, investiguemos esta situación. Denotemos con t el tiempo que transcurre, con h la altura del nivel de agua medida desde su fondo, y con V el volumen de agua contenida en determinado tiempo t . Por la forma del tanque, conviene dividir el proceso de llenado en dos partes, antes de que el nivel de agua sobrepase la altura de las gradas, y después de las sobrepase. Antes de que sobrepase. Tenemos, por un lado, dado que ingresan 30.3 m /min, entonces el volumen del agua dentro del tanque en un tiempo t es 0.3V t= ; y por otro lado, dado que la forma que adopta el agua dentro del tanque se puede considerar como un paralelepípedo,
0.633 0.634 0.635 0.636x
2.59806
2.59807
2.59807
2.59807
V
2 m
1 m
1 m 2 m 1 m
6 m
su volumen se puede expresar como 2(6)V h= . Ya que ambas representan el mismo
volumen, igualando estas expresiones tenemos (0.3 12) 0.025h t t= = Esta relación vale para 0 1h≤ ≤ 0, por lo que 0 0.025 1t≤ ≤ o sea 0 400t≤ ≤ Por tanto, tenemos la relación, ( ) 0.025 , 0 400h t t t= ≤ ≤ Después de que el nivel ha sobre pasado la altura de las gradas, 1 m. el volumen del agua en el tanque se puede considerar como la suma de volúmenes de dos paralelepípedos de agua, uno que comprende la cantidad de agua entre las gradas, y otro que consiste en la cantidad de agua sobre las gradas.
Entonces 1(2)(6) 4(6)( 1) 24 12V h h= + − = − , y también 0.03 ( 400)V t t= ≥ , igualando
tenemos (0.03 24) 0.5 0.00125 0.5h t t= + = + . Ahora esta relación deja de valer cuando el tanque se llena, o sea cuando 3h = , por lo que el tiempo en que termina de llenarse se encuentra con de 3 0.00125 0.5t= + . Despejando t queda 2,000 mint = (= 33 horas y 20 min.). De modo que relación para este caso es, ( ) 0.00125 0.5, 400 2,000h t t t= + ≤ ≤ Juntando las dos relaciones tenemos que la altura en función del tiempo durante el llenado es,
0.0025 , 0 400( )
0.00125 0.5, 400 2,000
t th t
t t
≤ ≤= + ≤ ≤
Su gráfica cartesiana es,
2
1
1 2 1
6
hh - 1
1
3
Notemos que la pendiente del segmento de recta de la izquierda es dos veces mayor que la pendiente del segmento de la derecha, esto porque, el nivel del agua sube más rápido entre las dos gradas que sobre ellas. Para 0 400t< < sube a una velocidad constante de 0.25 cm/min, para 400 2,000t< < sube a una velocidad constante de 0.125 cm/min. Además, notemos que en t = 400 min, hay un cambio brusco en la velocidad con que sube. Problemas propuestos 1. Determine las dimensiones restantes de un paralelepípedo que tiene un lado de 2 cm. de longitud, y que tenga el mismo volumen que un cubo de lado 4.7 cm. ¿Se pueden proponer varios? 2. Determine las dimensiones de dos paralelepípedos diferentes que tenga la misma altura y área superficial que un cubo de lado 4.5. ¿Existen más?, ¿sus volúmenes son diferentes? 3. ¿Es cierto que, dos paralelepípedos con alturas iguales y áreas de sus bases también iguales, pero con anchos y largos diferentes, tienen el mismo volumen? 4. Se tienen 526 cajas rectangulares de 20 25.4 15.7 cm× × , cada caja está completamente
llena de cierto polvo que pesa 30.002lbs/cm. Determine el peso del contenido de las 526 cajas. 5. Un depósito de forma de un paralelepípedo dispuesto horizontalmente contiene agua hasta una altura de 20 cm. Para aproximar el volumen de cierto objeto de acero, se sumerge completamente dicho dispositivo dentro del agua del depósito. Se observa que la altura del nivel agua con el objeto completamente sumergido es de 22.3 cm. Sabiendo que área de la base del depósito es de 120 cm², aproxime el volumen del objeto. 6. Con relación al problema resuelto sobre el llenado del tanque con dos gradas. Suponga que se trata de un tanque con las mismas dimensiones pero con una sola grada. Exprese la altura en función del tiempo de llenado. 7. La base de un tanque de forma de un paralelepípedo tiene un área de 4.5 metros
500 1000 1500 2000t
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
h
cuadrados. Dicho tanque inicialmente contenía agua hasta una altura de 0.35 m. A las 8:34 horas se inicia a verter agua a dicho tanque con un flujo constante de 0.09 3m /min, el llenado se suspende a las 9:00 horas. (a) Haga dibujos de la situación e identifique cuáles son las magnitudes variables y cuáles permanecen constantes, (b) exprese la altura del agua que hay dentro del tanque en función del tiempo, (c) exprese el volumen del agua que hay dentro del tanque en función del tiempo, y (d) determine con qué rapidez sube el nivel del agua a las 8.40 horas, ¿Sube con la misma rapidez durante todo el proceso de llenado? Explique. 8. Se dispone de una hoja metálica rectangular de 4 por 6 pg. Con ella se desea construir una caja rectangular sin tapadera cortando cuadrados iguales en sus esquinas y doblando las cejas, como se indica en el dibujo. Realice las Simulaciones Caja 1 y Caja 2, y responda.
(a) Determine los volúmenes de las cajas resultantes correspondientes a cortes de longitudes: x = 0.5, 4 y 4.5 cm. ¿Quién de ellas tiene el mayor volumen?, note que los valores dados son las alturas de las cajas, (b) usted puede escoger cierta longitud para x del lado del cuadrado cortado y formar una caja. Determine el intervalo de valores que puede tomar para x , (c) describa cómo varían los volúmenes de las cajas al hacer variar continuamente x en su intervalo de variación, (d) exprese el volumen de las cajas en función de la magnitud variable x , y (e) grafique dicha función en el intervalo de variación (físico) de x , y aproxime su valor para el cual se obtiene la caja de mayor volumen. 9. Se tienen dos cartones rectangular iguales de 12 por 25 cm. Se doblan de dos maneras diferentes para formar las áreas laterales de dos paralelepípedos de base cuadrada como se muestra en la figura.
x
x
x x
4
6
x
x
Obviamente tienen la misma área lateral, ¿tienen el mismo volumen? Determínelos. 10. Existe un conjunto infinito de paralelepípedos de base cuadrada con una misma área superficial de 150 cm² y diferente volumen (esto se puede inferir del problema anterior). Hay unos muy altos pero con base muy pequeña, otros con altura pequeña y base grande, inclusive hay uno que es un cubo. (a) Sabiendo que el área superficial es de 150 cm², determine las alturas y los volúmenes correspondientes si toma como longitudes de las bases a: 0.001, 2, 5, 8.2 cm. ¿Quien tiene el mayor volumen?, (b) considere a dichos paralelepípedos como si se tratara de un paralelepípedo en el que al hacer variar el lado de su base, varía su volumen manteniendo constante su área superficial, (c) exprese su volumen en función del lado de la base. ¿Cuál es el mayor valor que físicamente puede tomar el lado de la base?, ¿en este caso a qué se reduce el paralelepípedo? 11. El desván de una casa tiene la forma y dimensiones que se indica en el dibujo. Se desea construir en su interior un cobertizo rectangular con una capacidad de 100 m3. Proponga varias alternativas con sus dimensiones de construcción del cobertizo.
24
12
12
24
12. Con relación al problema 11, al hacer variar la altura del cobertizo varía su volumen. Se desea construir un cobertizo de forma de un paralelepípedo que tenga al menos 3100 m . (a) Exprese el volumen del cobertizo en función de su altura, (b) ¿qué valores puede tomar la altura del cobertizo? Determine su intervalo de variación. Visualice este problema realizando la Simulación Cobertizo. 13. Se desea construir una edificación que tenga la forma de un paralelepípedo sobre un terreno plano el cual tiene la forma de un triángulo rectángulo. Los lados menores del terreno miden 30 y 40 m. La parte frontal del edificio debe de coincidir con el lado mayor del terreno y las dos esquinas restantes deben quedar sobre los lados menores. Se necesita que el edificio tenga un espacio físico de 35,625m y no se permite que el mismo tenga una altura superior a los 40 m. (a) ¿Se tienen varias alternativas de construcción?, haga dibujos y explique, (b) ¿entre todos esos edificios posibles de construir existe uno de menor altura? Explique. (c) Identifique las magnitudes variables y exprese la altura de edificio en función de la longitud del lado frontal, (d) si la altura es menor que 40 metros, ¿qué valores puede tomar el lado frontal?, (e) ¿es cierto que el edificio de menor altura es el que tiene mayor área de construcción? Exprese el área de construcción en función de su longitud frontal y determine las dimensiones del edificio de menor altura. 14. Resuelva el problema planteado en la Simulación caja abierta. 3.3 Cilindro Imaginemos la construcción. Tomemos dos discos circulares de radio r . Dispongámoslos uno sobre otro de tal manera que sus centros queden unidos por un segmento de longitud hy sus radios sean perpendiculares a dicho segmento. Así dispuestos los discos, “envolvamos” a su alrededor una placa rectangular (flexible) de grosor despreciable de altura h y largo 2 rπ , formando un sólido cerrado. Al sólido así formado se le llama cilindro circular recto de radio r y altura h (le llamaremos simplemente cilindro). ¿Por qué se tomó el largo de la placa rectangular envolvente es 2 rπ ?
8
10
10
Otra manera de generar un cilindro recto es rotar una vuelta completa un rectángulo sobre uno de sus lados tomado como eje de rotación fijo.
Al lado usado como eje de rotación se llama eje del cilindro, al lado paralelo al eje que gira se llama generatriz. Cuando la altura del cilindro es pequeño comparado con su radio, al cilindro se le llama disco circular y no se habla de altura sino de grosor. Por ejemplo, una moneda de 10 cts. Una tercera manera de generar un cilindro, es considerar inicialmente dos círculos concéntricos con el mismo radio, uno de ellos lo dejaremos fijo y le llamamos base, el otro lo trasladamos paralelamente a la base una distancia h .
2πh
r
r
h h
r
r
h h
r
En el proceso anterior, se genera una infinidad de círculos paralelos, se dice que las secciones planas paralelas o cortes transversales del cilindro son círculos de radio r . La intersección de cualquier plano que contenga al eje de un cilindro, con su superficie es un rectángulo de lados 2r y h . A esta región se le llama corte axial. Área superficial. Considerando nuestra primera definición de cilindro recto circular, su superficie se puede considerar formada de dos círculos (las tapas) de radio r y un rectángulo de lados 2 rπ y h (la superficie lateral). Así su área superficial es, 2( , ) 2 2S S r h r rhπ= = + Volumen. El volumen del cilindro es igual al área de su base circular por su altura, 2( , )V V r h r hπ= = Si aceptamos a y r h como variables, vemos que y S Vson funciones de dos variables. Lata de mayor volumen. Imagine la construcción de una lata de conservas que cumpla los siguientes requisitos. (1) Debe ser de forma cilíndrica. (2) Sus tapas y la parte lateral deben ser soldadas según se muestra en el dibujo. (3) La longitud total de la soldadura debe ser igual a 60 cm. Se nos pide que diseñemos la lata de conservas con esas características que tenga la mayor capacidad de contenido posible.
Solución. Primeramente veamos que tenemos muchas posibilidades (teóricamente un número infinito) de construir latas con tales características, y que entre ellas existe una que tiene mayor capacidad, o sea mayor volumen. Se trata de entender el problema y ver que tiene sentido. Considerando las restricciones imaginemos y dibujemos algunas.
r
h
Todas ellas tienen forma cilíndrica y nos imaginamos que la longitud total de soldadura en cada una de ellas es de 60 cm. Es decir, en todas ellas, la longitud de la soldadura vertical más la longitud de soldadura de dos trayectorias circulares (circunferencias) es igual a 60 cm. En (A), la lata es muy delgada y alta, los 60 cm. que debe tener la soldadura se gasta casi toda en la soldadura vertical, el radio es muy pequeño y la altura es casi 60 cm. En el caso extremo la lata cilíndrica se degenera en un segmento, su radio es cero, su altura es 60 y su volumen es cero. En (C), la lata es casi un disco de grosor pequeño, los 60 cm. de soldadura se usan en las soldaduras circulares, el radio es casi 15 π = 4.77 cm., ¿por qué?, la altura es casi cero. En el caso extremo la lata cilíndrica se degenera en un par de discos soldados, su altura es cero, su radio es igual a 15 π y su volumen es cero. Imaginando tamaños de otras latas cilíndricas, como el caso (B), con dimensiones no cercanas a los casos extremos nos damos cuenta que sus volúmenes son diferentes. Todo ello nos hace pensar, de manera correcta, que existe un conjunto infinito de posibilidades de poder construir la citada lata cumpliendo los requerimientos de diseño. Nos imaginamos también, con certeza, que entre todas esas latas cilíndricas posibles (teóricamente) de construir existe una única de mayor volumen. Ahora, pasemos a ver el problema en términos de magnitudes variables continuas, y relaciones entre ellas. Para ello, en vez de pensar en el mencionado conjunto infinito de latas cilíndricas con diferentes dimensiones, conviene pensar en un cilindro cuyas dimensiones se pueden hacer variar continuamente, manteniendo constante la longitud de la soldadura.
r
h
h
h
r
r
(A) (B) (C)
Claramente, las magnitudes variables que tienen que ver con este problema son; su radio, el cual lo denotaremos con r , y varía continuamente en 0 15r π≤ ≤ ; su altura, que lo denotaremos con h , y varía continuamente en 0 60h≤ ≤ ; y su volumen, el cual lo denotaremos con V , y varía continuamente en max0 V V≤ ≤ .
Imaginando cilindros como los platicados arriba. Vemos que su volumen depende de su radio en el sentido de que si hacemos variar su radio entonces varía su volumen, simbólicamente ( )V V r= . Describamos su naturaleza. Si su radio es cero (su altura es 60), su volumen es cero (0) 0V = . Para radios pequeños, si hacemos crecer un poco su radio (aunque su altura disminuya), su volumen crece, es decir,
( )V r es creciente para esos valores de r . Por otro lado, si hacemos crecer su radio en
valores cercanos y menores que 15 π su volumen decrece, es decir, ( )V r es decreciente
para esos valores de r , en extremo, si su radio es igual a 15 π su volumen es cero (15 / ) 0V π = .
Dado que r lo podemos hacer variar de manera continua, y como existe un volumen máximo, esto nos sugiere que existe un valor de Mr para el cual el volumen alcanza su
valor máximo ( )M MaxV r V= . Por tanto, la gráfica cartesiana de ( )V V r= tiene el aspecto
siguiente.
Notemos que precisamente en el punto máximo la función deja de crecer e inicia a decrecer. Allí en el máximo “el volumen ni crece ni decrece”. Ahora que hemos visto que el volumen puede hacerse depender del radio, que tiene el comportamiento señalado, y que posee un valor máximo; pasemos ahora a construir la representación analítica de ( )V V r= . Hagamos un dibujo con las variables.
Vmax
0 rm 15/π r
V = V(r)
Puesto que, en general, el volumen del cilindro depende de r y h , 2V r hπ= y queremos escribir V en función de r , debemos construir una ecuación de h en términos de r y sustituirla en V . Esa ecuación usualmente se construye usando la condición del problema y un dibujo de este, para el problema es; la longitud total de la soldadura debe de ser 60 cm y se trata de soldar dos trayectorias circulares de radio r y una trayectoria recta de longitud h . Esto es 60 4 r hπ= + , despejando h y haciendo la sustitución indicada tenemos la expresión analítica de la función V , 2( ) (60 4 )V r r rπ π= − Aproximemos el valor de r para el cual V alcanza su valor máximo, con el método de aproximaciones sucesivas. Demos valores a r en su dominio y determinemos su correspondiente volumen. Iniciemos con los enteros,
1 2 3 4
149 438 630 489
r
V
El volumen máximo está entre 3 y 4. Aproximemos la cifra de las décimas,
3 3.1 3.2
630 636 633
r
V
El volumen máximo está entre 3.1 y 3.2. Podemos proseguir de esta manera y determinar, entre qué valores con una aproximación hasta la cifra de las centésimas, se encuentra el valor de Mr ; y así sucesivamente, aproximarnos a Mr tanto como queramos.
Abandonemos este problema dando la respuesta aproximada, La lata de conservas con una soladura de 60 cm que tiene el mayor volumen debe tener un radio de 3.1 cm. y una altura de 21 cm. ¿Cómo puede determinarse esta altura? Si dispone de un dispositivo par graficar, haga la gráfica en el dominio físico del problema y verifique los valores aproximados. Área superficial de un tanque. Un recipiente tiene su interior de la forma indicada en el
r
h
dibujo. Los dos cilindros están unidos verticalmente por medio de una pieza rectangular de base cuadrada de lados 2 m. Dicho recipiente se va llenando lentamente con aceite del tal manera que la superficie de esa aceite se puede considerar horizontal. Describamos cómo varía el área de dicha superficie al crecer su altura.
Solución. Denotemos con h la altura del nivel de la superficie, y con ( )A A h= el área de dicha superficie. Vemos que h varía en el intervalo (0, 8]. Podemos pensar, cuando 0h = , no hay aceite y
(0)A no está definida. Cuando la altura varía en (0, 2], la superficie del aceite, las secciones planas paralelas, adoptan la forma de un círculo de radio 4, con área 16π . Podemos pensar que cuando h es exactamente igual a 2 todavía la superficie forma el mismo círculo, por tanto, si 0 2h< ≤ ,
( ) 64A h π= Cuando la altura varía en (2, 6], la superficie adopta la forma de un cuadrado de lados 2, con área 4. Podemos pensar que cuando h es exactamente igual a 6 todavía la superficie forma el mismo cuadrado. Por tanto, si 2 6h< ≤ , ( ) 4A h = De manera similar podemos obtener que, si 6 8h< ≤ , ( ) 9A h π= Por lo tanto, el área de la superficie del nivel en función de su altura se expresa por la fórmula,
16 , si 0 2
( ) 4, si 2 6
9 , si 6 8
h
A h h
h
π
π
< ≤= < ≤ < ≤
Notemos que en los valores de 2, 6 y 8h = , el área de la superficie cambia bruscamente de valores. Se dice que la función es discontinua en dicho valores. Veamos su gráfica cartesiana,
4
3
2
4
2
h
2 2
Problemas propuestos 1. Dibuje a mano alzada tres cilindros diferentes. 2. Dibuje a mano alzada dos discos circulares diferentes. 3. Determine el volumen y área superficial de un tronco cilíndrico recto de 2.31 cm. de radio y de 1.4 cm. de altura. 4. El radio de un cilindro es r y su altura es 2 3r+ . Exprese su volumen y su área superficial en términos de r . 5. Cierto metal que usa para fabricar barras cilíndricas pesa 25 lb/pie3. ¿Cuánto pesarán 32 barras cilíndricas de radio 1 pulgada y 12 pies de largo fabricadas con ese metal? 6. ¿Existe un cilindro circular recto con volumen 1 m3 y área superficial 1 m²?, ¿qué tipo de ecuación queda si se quisiera determinar sus dimensiones? 7. Determine las dimensiones de un cubo, de un paralelepípedo y de dos cilindros que tengan un área superficial de 12 cm². ¿Quien tiene el mayor volumen? 8. Un paralelepípedo y un cilindro tienen la siguiente característica: Ambos tienen bases con áreas iguales, y también tienen alturas iguales. ¿Tienen el mismo volumen?, ¿qué puede decirse de sus áreas superficiales? 9. El rectángulo dado se rota alrededor del eje y una vuelta completa. El sólido que se genera se llama capa cilíndrica. Imagine un tubo delgado de altura ( )y f x= y grosor h,
0 1 2 3 4 5 6 7 8h
4
9�
16�
A
Realice la Simulación capa cilíndrica (a) Dibuje la capa, (b) muestre que su volumen es
( )( )V a b a b yπ= − + , (c) si a es casi igual a b , es decir su grosor x a b∆ = − es muy pequeño, muestre que la capa cilíndrica se puede considerar como formada por una lámina rectangular de grosor x∆ , altura y y largo 2 aπ , y cuyo volumen es 2V ay xπ= ∆ . Imagine la formación de una capa cilíndrica con un hoja de papel rectangular. 10. El rectángulo dado se rota alrededor del eje y una vuelta completa. El sólido que se genera se llama arandela.
Realice la Simulación arandela. (a) Dibújela, (b) Muestre que su volumen es
2 2( )V a b yπ= − ∆ . 11. Calcule el volumen de cada uno de los sólidos que se forman al rotar una vuelta completa según se indica. Realice la Simulación capas cilíndricas.
0 x x+h
f(x)
y
∆y
0 a b x
y
12. Se dispone de 1 m3 de cobre, con dicha cantidad de cobre se desea construir cable cilíndrico de 2 mm de radio. Suponga que el volumen del material se conserva. (a) Determine los metros lineales de alambre que se podrían construir, (b) suponga que dicho alambre debe aislarse con un forro aislante de 1 mm de grosor, aproxime la cantidad de metros cúbicos de aislante. 13. El tronco de cierta variedad de árboles es aproximadamente un cilindro recto. Se sabe que su radio y su altura se incrementan, respectivamente, en 0.5 y 1.5 pulgadas por semestre durante cierto período de crecimiento. Si el radio de un árbol es 10 pulgadas y su altura es de 600 pulgadas. (a) Aproxime el incremento en su volumen en un semestre, (b) aproxime el incremento en su área superficial en un semestre. 14. Determine las dimensiones de un cilindro que tenga un volumen de 16 m3. ¿Cuántos existen?, ¿qué valores puede asignarse al radio?, ¿que valores puede asignarse a la altura? 15. Determine las dimensiones de un cilindro que tenga un área superficial de 11.11 cms². ¿Cuántos existen?, ¿qué valores puede asignarse al radio y la altura? 16. Proponga las dimensiones de dos cilindros que tengan un área superficial de 40.3 plgs². ¿Tienen el mismo volumen? 17. El volumen de un cilindro es de 50 cm3. ¿Podemos incrementar o disminuir su radio sin que su volumen cambie?, ¿cambia su área superficial? Explique. 18. Están ingresando, de manera constante, 1.2 m3 de agua por ahora a un depósito cuyo interior tiene la forma de un cilindro circular recto de 2.3 m de radio. Inicialmente el tanque estaba vacío. (a) Exprese su altura en función del tiempo que transcurre durante el llenado, (b) determine a qué velocidad sube el nivel de agua durante el llenado, (c) Si la altura del tanque es de 2.3 m. Determine después de cuánto tiempo el tanque se llenará. 19. Dibuje la forma y las dimensiones de una botella compuesta por cilindros sobrepuestos verticalmente en la que el área A de la superficie del líquido en función de su altura h este dado por,
7 6 4 2
6
4 3
0
1 2
9 7 5 3 0
7
5
3
y y
x x
25 , 0 4
( ) 16 , 4 8
9 , 8 12
h
A A h h
h
ππ
π
< <= = ≤ < < ≤
20. Un cilindro ideal tiene un volumen de 100π centímetros cúbicos. Manteniendo constante dicho volumen, su radio se puede hacer variar continuamente de cero a infinito. Bajo dicho proceso de variación su área superficial variará. Se ve que el área superficial es función del radio. Construya la expresión de su área superficial en función de su radio. Estúdiela, grafíquela, y compruebe con argumentos intuitivos que debe de haber un valor del radio para el cuál su área superficial es menor. En cálculo se estudia con formalidad este problema. 21. Suponga que se le encarga la construcción de una lata de conservas que cumpla los siguientes requisitos. (a) Debe ser de forma cilíndrica y, (b) Su área superficial debe ser de 100 cm². Le exigen que diseñe la lata de conservas con esas características que tenga la mayor capacidad de contenido posible. Efectúe una investigación similar a la presentada en el problema resuelto de esta sección y de una solución aceptable al encargo. 22. Con relación al problema resuelto sobre la lata cilíndrica de conservas con soldadura. Aproxime las dimensiones de la lata de conservas con capacidad de 500 cm3 que usa la menor longitud de soldadura. 23. Invente y resuelva un problema de máximos y mínimos relativo a una lata cilíndrica de conservas en las que involucre su área superficial y la longitud de su soldadura. 3.4 Esfera Imaginemos la rotación de una vuelta completa al rededor de su diámetro, en posición fija, de un semicírculo de radio r . El sólido así formado se llama esfera. Una de sus características principales es que todos los puntos sobre su superficie están a una misma distancia r del centro del semicírculo que hizo rotar. A tal punto se le llama centro de la esfera. A todo segmento que une el centro de la esfera con un punto de su superficie se llama radio de la esfera. Al todo segmento que pasa por el centro de la esfera y tiene como extremos puntos de la superficie de la esfera se llama diámetro de la esfera, es decir, el diámetro es igual a dos veces el radio.
Notemos que las secciones planas paralelas perpendiculares a todo diámetro o corte transversal es un círculo. El círculo de mayor radio, el que tiene radio igual al de la esfera se llama círculo mayor. Área superficial. El área de la es igual cuatro veces el área de su círculo mayor, 2( ) 4A r rπ= Volumen. Esta dada por la fórmula,
34( )
3V r rπ=
Problemas propuestos 1. Calcule el volumen y área superficial de una esfera de radio 3.7 cm. 2. Una esfera tiene un área superficial de 58.78 cm². ¿Cuál es su radio y su volumen? 3. Dada una esfera de radio R, diámetro D, área superficial A y volumen V. Demuestre que,
32 2 2
3
1, 36 ,
6
1 3, ,
6 2 4
A D A V V D
A A A VV R R
π π π
π π π
= = =
= = =
4. Una esfera tiene 26.7 cm. de radio. Determine su masa si sabe que el material que lo compone tiene una densidad de k gramos por centímetro cúbico. 5. Un tanque cuyo interior es una semiesfera (mitad de una esfera) con su circunferencia mayor dispuesta horizontalmente, tiene un radio de 1.34 metros. Dicho tanque contiene agua hasta una altura de 0.67 metros. Determine el radio del espejo de agua. Sugerencia. Haga el dibujo de un corte vertical sobre un diámetro, forme un triángulo rectángulo y de ese dibujo construya una ecuación. 6. Un paralelepípedo de base horizontal cuadrada de lado b y altura h esta inscrita en una esfera de radio R (sus ocho vértices están sobre la superficie de la esfera). Exprese el volumen del paralelepípedo en términos de R y h. Sugerencia. Haga el dibujo de un corte vertical paralelo a una de las caras laterales del paralelepípedo y que pase por el centro de la esfera, construya un triángulo rectángulo, y de este dibujo construya una ecuación. 7. Un depósito está formado por un cilindro horizontal en cuyos extremos están sobrepuestos semiesferas. El largo de la parte cilíndrica es igual a cuatro veces el radio de las semiesferas. Determine el radio de las semiesferas si la capacidad del depósito es de 16,000 / 3π pies cúbicos. 8. El radio de una burbuja esférica crece a partir de 3 cm. a una razón constante de 1.2 cm./s durante 2.7 s. Tomando 0t = cuando su radio es 3 cm. (a) Exprese el radio en términos del tiempo, (b) exprese su área superficial en términos del tiempo ¿cuál es área superficial después de transcurridos 1.5 seg.? (c) exprese el tiempo transcurrido en términos de su volumen, ¿a los cuántos segundos su volumen es el doble del inicial?, ¿cuál es su volumen final? 9. Un tanque esférico de radio 5cm, el cual se encontraba inicialmente vacío, se llena lentamente con agua. (a) Exprese el área de la superficie del agua en función de la altura de dicha superficie. (b) Haga la gráfica de dicha función 10. Imagine todos los cilindros rectos de base vertical inscritos en una esfera de radio 5 (la intersección de la esfera con un cilindro inscrito son dos circunferencias) (a) Haga dibujos en perspectiva que muestren algunos cilindros inscritos e imagine otros. ¿Entre todos ellos visualiza que existe uno que tiene mayor volumen?, explique, (b) Dichos cilindros se pueden generar al hacer variar la altura de un cilindro inscrito. ¿Entre qué valores pueden variar el radio y la altura del cilindro?, (c) considere al radio y la altura de los cilindros como magnitudes que se pueden hacer variar continuamente en los intervalos que determinó en el inciso anterior. Haga crecer la altura en su intervalo de variación y explique cómo varía el volumen del cilindro. Diga en qué se degeneran los cilindros en los dos casos extremos. Presente la gráfica cartesiana cualitativa del volumen en función de la altura. (d) Exprese el volumen de los cilindros en función de su altura. Sugerencia. Para construir esta relación use estrategias similares a las sugeridas en el problema anterior. (e) Si dispone de un dispositivo de graficación, aproxime la altura y su correspondiente volumen, del cilindro inscrito de mayor volumen.
3.5 Cono Imaginemos la rotación, de una vuelta completa, de un triángulo rectángulo de altura h y base r alrededor del cateto vertical considerado como eje fijo.
El sólido así generado se llama cono recto circular, le llamaremos simplemente cono. El cateto fijo considerado como eje de rotación se llama eje del cono, la longitud del eje del cono se llama altura h del cono. La rotación del otro cateto genera un círculo perpendicular al eje, a este círculo se le llama base del cono, el radio r de esta base circular se llama radio del cono. La hipotenusa del triángulo que hace rotar se llama generatriz G. El punto de intersección de la generatriz con el eje se llama vértice del cono. Usualmente se dice que el cono tiene altura h y radio r, y se dibuja con eje vertical. Las secciones planas perpendiculares al eje, secciones transversales, son círculos, dichos círculos tienen su radio cada vez menor a medida que se acercan al vértice. Cualquier corte axial, es un triángulo isósceles de base 2r y altura h, y lados iguales a G. Área superficial. Su superficie se puede considerar como formada por (a) un círculo, a dicho círculo se le llama superficie de la base; y (b) la superficie generada por la rotación de la generatriz, al desplegarlo sobre el plano es un sector circular cuyo radio es igual a la generatriz G del cono, y cuyo arco S, tiene longitud igual al perímetro de la circunferencia de la base, a dicha superficie se le llama superficie lateral del cono.
h G G h G
h
h
r
r
h
2r
2r
G h G G
G
G
r
r
Triangulo a rotar Cono generado Corte axial
El área de la base es 2rπ . Ahora, ¿cómo determinar el área de la superficie lateral para una altura h y radio r del cono? Determinémosla por analogía. El sector circular es análogo a un triángulo isósceles; el radio del sector que es igual a la generatriz del cono, es análogo a la altura del triángulo y la base del triángulo isósceles es análogo al arco del sector circular, ello porque la altura del triángulo es perpendicular a la base del triángulo isósceles y el radio del sector circular es perpendicular a la tangente del arco. Entonces el área del sector debe de tener la misma estructura que el área del triángulo isósceles, base por altura entre dos.
De esta manera el área del sector es igual a la longitud del arco S por el radio del sector G entre dos 2SG . La longitud del arco es igual al perímetro del círculo de la base 2S rπ= . Para relacionar la generatriz del cono o radio del sector, con el radio y altura del cono, realizamos un corte axial y formemos un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras
2 2G r h= + . Por tanto el área superficial del cono es,
2
2 2 2
2
( , )
A r SG
A r h r r r h
π
π π
= +
= + +
Volumen. Se puede demostrar usando cálculo integral que el volumen del cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y altura,
21
3V r hπ=
r
G
G G
S
Área superficial = área de la base + área lateral del cono
superficie lateral
base circular
h
G
G G
S
b
h
r
G
Problema del llenado de un tanque cónico. Un tanque cuyo interior tiene la forma de un cono en posición vertical con su vértice hacia abajo, tiene 1 m de radio y 4 m de altura. Dicho tanque inicialmente estaba vacío, luego se vierte agua a razón constante de 0.1 m3/min. Supongamos que en todo momento del llenado la cantidad de agua dentro del tanque adopta forma cónica. Obviamente, durante el llenado, el radio, la altura y el volumen del cono de agua crecen. Respondamos a las siguientes preguntas. (a) ¿Cuál es la capacidad del tanque?, (b) ¿cómo cambia el volumen del cono de agua en el tiempo?, (c) ¿después de cuántos minutos el tanque se llenará?, (e) ¿cómo cambia el volumen del cono de agua al crecer su altura?, y (f) ¿cómo cambia su altura en el tiempo? Solución. Hagamos dibujos en perspectiva del tanque y contenido de agua, en ellos debemos explicitar todas las magnitudes que son constantes (datos) y las que son variables.
Denotemos las magnitudes variables. Con t el tiempo que transcurre durante el llenado, donde t varía entre cero y un valor finito que representa el tiempo en minutos que tarda en llenarse completamente Lt , así 0 Lt t≤ ≤ ; con r el radio del cono de agua 0 r t≤ ≤ ; con h la
altura del cono de agua 0 4h≤ ≤ ; con V el volumen del cono de agua, variando desde cero hasta alcanzar el volumen TV del tanque 0 TV V≤ ≤ .
a) Usando los datos del tanque tenemos 2 3(1) (4) 3 4.2 mTV π= = .
b) Aquí tenemos que describir cómo crece el volumen de agua dentro del tanque al transcurrir el tiempo. Dado que ingresan, con una rapidez constante, 0.1 m3/min, y el tanque estaba inicialmente vacio, entonces la relación entre el volumen del cono de agua y el tiempo durante todo el llenado es,
( ) 0.1 , 0 LV t t t t= ≤ ≤
El volumen del agua dentro del tanque crece de manera lineal durante todo el proceso. c) El tanque se llenará cuando el volumen de cono de agua es igual a la capacidad del tanque, esto sucederá precisamente cuando Lt t= . Usando la relación del inciso anterior y
los datos del tanque cónico formamos la ecuación,
4
1
4
1
h
r
cono de agua
Tanque vacío Tanque con agua
Volumen del agua en el tiempo Lt = capacidad del tanque cónico
0.1 4.2Lt =
De donde 41.88Lt = . Por tanto, el tanque se llenará, aproximadamente, después de 42
minutos de iniciado el llenado. d) Al ir llenándose el tanque la altura, el radio y el volumen de cono de agua crecen y están
relacionadas por 21( , )
3V r h r hπ= . Se pide que describamos cómo crece V al crecer h. Para
hacer esta descripción es necesario determinar la relación entre ellas, o sea construir una expresión de V en función de ,h ( )V V h= . Esto se puede realizar de la manera siguiente. Expresemos r en términos de h y sustituyamos dicha expresión en ( , )V V r h= Esa relación se construye a partir de ciertos dibujos que nos permiten visualizar alguna relación geométrica que los vincula durante todo el proceso de llenado. En este tipo de problemas relacionados con llenados de tanques, como también de otros relacionados con figuras sólidas, los dibujos que permiten determinar las relaciones geométricas que deseamos encontrar, son los llamados dibujos en corte, ellos pueden ser axiales, longitudinales o transversales, según el problema que se quiera resolver. Imaginemos cortar el dibujo en perspectiva de los conos, sobre un plano cualquiera que contenga a su eje. Dibujemos en el plano las aristas o filos que nos imaginamos ver. En los cortes veríamos los triángulos isósceles.
Usemos el dibujo del lado derecho para determinar la relación entre r y h. Vemos que allí podemos formar un par de triángulos rectángulos semejantes.
4
2
4
2
h
r
Corte del tanque vacío Corte del tanque con agua
reje
Del cual formamos la relación 1 4r h= , por lo que 4r h= . Sustituyendo esta última ecuación en 2 / 3V r hπ= , y simplificando queda, 3( ) 48 0 4V V h h hπ= = ≤ ≤ Ella nos informa que el volumen del agua dentro del tanque crece con el cubo de su altura. Ella nos puede informar también el volumen del cono de agua para cualquier altura. (e) Para describir cómo varía la altura del cono de agua en el tiempo, es necesario construir una expresión que relacione la altura con el tiempo. Es decir expresar h en función del ,t
( )h h t= . Para lograrlo, conviene revisar, qué relaciones de las que hemos construido, tienen que ver con las variables h y t, y tratar de enlazarlas. Veamos, por un lado 0.1V t= , y por otro
3 48V hπ= . Estas dos ecuaciones expresan el volumen del cono de agua, la primera en función del tiempo, y la otra, en función de su altura. Las podemos igualar pues representan el mismo volumen. Y si despejamos h queda,
34.8
( ) , 0 42t
h t tπ
= ≤ ≤
Es decir, la altura crece con la raíz cubica del tiempo. Esto debe ser así, puesto que el agua ingresa con flujo constante, al inicio del llenado la altura debe crecer muy rápido, al final sube más lentamente. Ella nos puede informar también su altura para cualquier tiempo durante el llenado. Su gráfica cartesiana es,
4
2
h
r
Problema del cono de menor volumen. Imaginemos el conjunto infinito de conos de base horizontal circunscritos a una esfera de radio 10 cm. Hagamos algunos dibujos veamos que entre todos ellos hay un único cono de menor volumen. Lo que se quiere es aproximar las dimensiones del cono de menor volumen. Solución. Imaginemos la situación y hagamos algunos
Usando nuestra imaginación y viendo los dibujos, notamos que hay conos con radios cercanos a 10, ellos tienen alturas muy grandes, y por tanto, volúmenes también muy grandes, a medida que su radio se aproxima a 10, su forma se aproxima a un cilindro de radio 10 y altura infinita. También vemos que hay conos con alturas cercanas a 20, con radios muy grandes y volumen también muy grandes; a medida que su altura se va aproximando a 20, su forma se aproxima a un cilindro de radio infinito y altura 20. Además, vemos también, que hay conos con radios y alturas, digamos, pequeñas, no muy
10 20 30 40
1
2
3
4
h20
10r
10
Conos circunscritos a una esfera de radio 10
grandes, y por tanto, con volúmenes pequeños. Todo ello nos hacer pensar, y acertadamente, que en dicho conjunto existe un único cono de menor volumen. Realicemos ahora una discusión cualitativa en términos de magnitudes variables. Pensemos el problema dado como si se tratase de un cono de base horizontal cuyo radio r, y altura h, los podemos hacer variar con la condición de que siempre se mantenga circunscrito a la esfera, y veamos cómo varía su volumen V. Podemos hacer variar r en el intervalo (10, )∞ , podemos hacer variar h en el intervalo (20, )∞ . Por supuesto, al hacer variar r en su intervalo de variación, la altura varía en su intervalo de variación (si a una lo hacemos crecer la otra debe decrecer). Al hacer variar ya sea r o h vemos que V varía entre un valor mínimo minV , el cual corresponden al volumen
del cono de menor volumen, a infinito min[ , )V ∞ .
Hagamos variar h. Si hacemos crecer h un poco a partir de cierto valor muy cercano a 20, vemos que su volumen V decrece. Este comportamiento se mantiene hasta que h alcance cierto valor mh , a partir de cuál, si hacemos crecer h, entonces V también crece. En ese
valor mh de la altura, el volumen V, alcanza su valor mínimo minV .
Si pensamos la variación de h en (20, )∞ de manera continua, entonces V variará de
manera continua en min[ , )V ∞ .
Esta discusión cualitativa pone de manifiesto que debe existir una dependencia funcional entre V y h. Es decir, podemos escribir V en función de , ( )h V V h= . Su gráfica cartesiana debe tener el aspecto siguiente.
La tarea que sigue es determinar la expresión analítica ( )V V h= , la cual nos permitirá
aproximar las dimensiones mh y correspondiente radio del cono de menor volumen, y el
valor de dicho volumen menor mV .
V = V(h)
0 20 hm h
V
Vm
A la recta vertical h =20, se le llama asíntota vertical, en ella, si h tiende a 20 por valores mayores, entonces V tiende a infinito.
Partamos de la relación general del volumen del cono en función de su radio y altura
21
3V r hπ= . Entonces, para expresar V en función de h, debemos de construir una ecuación
que exprese r en términos de h y sustituirla en ( , )V r h . Lo mismo que en otros problemas, esa ecuación debe de construirse a partir de dibujos, para este caso, cortes de los objetos del problema. Imaginemos uno de los conos circunscritos a la esfera. Ahora imaginemos hacer un corte a través de un plano vertical que contenga el eje del cono (y también un diámetro de la esfera). Dibujemos las figuras que imaginamos ver; un triángulo isósceles de base 2r y altura h circunscrito a una circunferencia de radio 10. Tienen 3 puntos de tangencia, la observación de esta propiedad nos será útil más adelante.
Hagamos trazos auxiliares que nos permitan formar triángulos que tengan algunas propiedades geométricas con las cuales podamos construir un sistema de ecuaciones que relacionen las variables principales y auxiliares, y los datos. Tracemos la altura al lado horizontal del triángulo isósceles, con el formamos dos triángulos rectángulos iguales de catetos r y h. Con él no podemos formar ninguna ecuación que contenga r y h.
h
2r
10
h
r r
h
r
Hagamos otro trazo a fin de formar otro triángulo rectángulo. Tratemos de involucrar el radio 10 de la circunferencia con las variables r y h. Tracemos desde el punto de tangencia P un radio de la circunferencia. Con el formamos el triángulo rectángulo (el radio es perpendicular al segmento tangente). Su hipotenusa es 10h− y cateto menor es 10.
¿Qué propiedad tienen los dos triángulos rectángulos que hemos construido? Fijémonos que ellos son semejantes entre sí, pues ambos son rectángulos y comparten un mismo ángulo agudo. Aprovechemos este hecho y construyamos una ecuación.
Con la información que explícitamente disponemos en los triángulos no podemos aún formar ninguna ecuación de semejanza pues no tenemos dos pares de lados correspondientes. Es necesario, por ejemplo, encontrar el cateto vertical del triángulo pequeño, pues así tendríamos dos pares de lados correspondientes. ¿Cómo podemos determinar ese cateto? Con el teorema de Pitágoras. Denotémosle con x, entonces,
2 2 2( 10) 10 20x h h h= − − = −
y tenemos,
h-10
r r
10 10 10
h-10 h
r 10
h-10 h
De aquí,
210 10
r h
h h=
−
Por tanto,
2
10
20
hr
h h=
−
Notemos que esta última relación cumple con la variación física entre el radio y la altura del cono: Si h tiende a 20 por valores mayores que 20, entonces el denominador tiende a cero, y por tanto, r tiende a infinito; por otro lado, si h tiende a infinito, el denominador
2 10h h− tiende a h (¿por qué?) y el cociente, o sea el radio tiende a 10. Esto nos da seguridad de que dicha relación está correctamente construida.
Sustituyendo la relación encontrada en 21
3V r hπ= , y simplificando, obtenemos la relación
que expresa el volumen del cono circunscrito V, en función de su altura h.
2100
( ) , 203( 20)
hV v h h
h
π= = >−
Notemos que esta relación cumple con la variación física, si h tiende a 20 por valores mayores que 20, entonces V tiende a infinito; y si h tiende a infinito entonces V también tiende a infinito. Usando la función construida, el valor de la altura para el cual el volumen toma su valor menor, se puede aproximar con la ayuda de un dispositivo de graficación.
r 10
h-10 h
⌦(h2-20h)
Con la gráfica del MathLab podemos ver que la altura aproximada del cono circunscrito de menor volumen es de 40 cm. y que el volumen mínimo es de 8380 cm3 aproximadamente; y su radio es de 14 cm. aproximadamente. Problemas propuestos 1. Usando una hoja de papel, construya físicamente un cono de radio 2.5 cm y altura 10. 2. En todo cono, ¿el área lateral es mayor que el área de la base? 3. El área superficial y el radio de cono miden 225 cm² y 5cm respectivamente. Calcule su altura. 4. La altura y volumen de un cono son 3 pg. y 81π pg3 , respectivamente. Calcule su radio. 5. Un depósito tiene su interior de forma cónica de 2.5 m de radio y 3.7 m de altura interior. Dicho depósito se encuentra completamente lleno de cierto líquido que pesa 1,230 kg/m3. Determine el peso del líquido dentro del depósito. 6. Un sólido tiene la forma de un cono cuya base está pegada a una semiesfera. La altura de cono es z y los radios del cono y la semiesfera es z/5. Exprese el área superficial y el volumen del sólido en términos de z. 7. Construya un cuadrado de papel y trace una de sus diagonales. Gire media vuelta dicho
30 35 40 45 50 55 60
8400
8600
8800
9000
9200
9400
h
Volumen Mínimo
vol. mínimo
cuadrado alrededor de la diagonal. (a) ¿Qué sólido se genera?, (b) Exprese su volumen en términos de la longitud de esa diagonal. 8. Proponer las dimensiones de dos conos con una misma área superficial. ¿Tienen el mismo volumen? 9. Proponer las dimensiones de dos conos con un mismo volumen y calcule su área superficial. 10. Se hace variar el radio de un cono manteniendo constante su volumen. Explique cómo varía su área superficial al variar el radio en (0, ).∞ 11. Existe una infinidad de conos con una misma área superficial de 200π cm.² ¿Entre qué valores varían sus radios? 12. Un cono, un cilindro y una esfera tienen un mismo volumen. ¿Quién tiene menor área? Pruebe con algunos casos particulares. 13. Un cilindro, un cono y una esfera tienen una misma área superficial. ¿Quien tiene mayor volumen? Pruebe con casos particulares. 14. Un cilindro con diámetro igual a su altura está inscrito en una esfera de radio w . Exprese el área del cilindro en términos de .w 15. Un cono está circunscrito a un cilindro de radio 2u y altura u . Exprese el volumen del cono en términos de uy de su radio. 16. Un cono está inscrito en una esfera de radio R. El área superficial del cono es k ( 1k > ) veces mayor que el área de la base. Muestre que el volumen del cono está dado por
2 68 ( 1) .V R k kπ= − 17. Un cubo está inscrito en un cono de radio 1 y altura 3. Determine el volumen del cubo. 18. Un cubo de lado L está inscrito en una esfera, la esfera está inscrita en un cono cuyo diámetro es igual a su generatriz, el cono está inscrito en un cilindro. Exprese el área superficial y el volumen del cilindro en términos de .L 19. Considere la familia infinita de conos inscritos en una esfera con radio de 10 cm. Realizando la Simulación Cono, se puede visualizar que dichos conos se pueden generar haciendo variar la altura de un cono inscrito en la esfera. Construya la fórmula que expresa el volumen del cono en función de su altura. Use un dispositivo de graficación para graficar dicha función. De la gráfica, aproxime las dimensiones de cono inscrito de mayor volumen y dicho volumen mayor. 20. Un tanque cuya superficie interior tiene la forma un cono con eje vertical y vértice hacia abajo, tiene 36 pg de radio y 144 pg de altura. Dicho tanque contiene, inicialmente,
agua con una profundidad de 18 pg. Se vierte agua a su interior de manera que la altura de su nivel sube con una rapidez constante de 1.5 pg/min. (a) Exprese su altura en función del tiempo que transcurre, (b) ¿a los cuántos minutos se llenará completamente el tanque?, (c) durante el llenado el agua adopta la forma de un cono, cuyo radio, altura y volumen crecen en el tiempo. Exprese el radio del cono de agua en función de la altura, (d) exprese el volumen del cono de agua en función de su altura, y (e) exprese el volumen del cono de agua en función del tiempo durante el llenado. ¿Cuánta agua habrá en el tanque después de media hora de iniciarse el llenado? 21. Un cono usado como reloj de arena tiene 4 cm de radio y 20 cm de altura. De dicho cono salen 10 cm3/min. Inicialmente dentro del cono había 300 cm3 de arena. La arena que cae sobre una superficie plana horizontal va formando un cono de arena cuyo radio es siempre igual a su altura. (a) suponga que la arena dentro del cono-reloj adopta en todo momento la forma de un cono. ¿A los cuántos minutos los conos de arena tienen el mismo volumen?, (b) ¿a los cuántos minutos la altura del cono que se va formando es igual a 3 cm?, y (c) ¿cuál es la altura de cono de arena que no ha caído después de 12.4 minutos? 22. Existe un conjunto infinito de conos en el que cada uno de ellos tiene un volumen de 43π cm3. Dichos conos tienen radios, alturas y área superficial, en general, diferentes. Dichas dimensiones se pueden considerar como magnitudes que se pueden hacer variar continuamente en determinados intervalos de variación físico. ¿Física e idealmente, qué valores puede tomar el radio?, Exprese su área superficial en función del radio. Aproxime, numérica o gráficamente, el radio del cono de menor área superficial con volumen 43π cm3. 23. El radio y la altura de un cono se pueden hacer variar continuamente manteniendo constante su área superficial. Su área superficial es de 72 cm2. (a) Determine los intervalos en que se pueden hacer variar su radio y altura, (b) explique cómo varía su volumen, ¿hay un valor del radio para el cual el volumen es máximo?, (c) exprese su volumen en función del radio. Aproxime, numérica o gráficamente, el volumen del cono que tiene mayor volumen. 24. A un disco de papel de radio 6 cm. se le corta un sector, con la parte que queda (también un sector) se construye un vaso cónico. (a) Imagine o haga dibujos de sectores cortados y de vasos que se pueden construir con la parte que queda, vea que pasa con el volumen de los vasos cuando el ángulo α de los sectores que quedan toman los valores, 0, 0.1, 1, 2.5, 4.5, 6 y 2π radianes, (b) ¿existe un valor de α para el cual se puede construir un vaso de mayor volumen?, (c) considere el volumen de los vasos como una magnitud variable que se puede hacer variar, al variar continuamente el ángulo α . Esboce cualitativamente, la gráfica cartesiana del volumen del vaso en función de α . Exprese el volumen en función de α . (d) Determine el valor de α para el cual se obtiene el vaso de mayor volumen. 25. Resuelva el problema propuesto en la Simulación cilindro inscrito en cono. 3.6 Cono truncado
Se puede considerar como el sólido que queda al cortar a un cono, perpendicular a su eje, su “punta”. Se le llama cono truncado.
Área lateral. Es el área de la región generada por su generatriz,
2 2( , , ) ( ) ( ) ( )L LA A r R h G R r R r h R rπ π= = + = + + −
La deducción de esta relación se pospone como problema al lector. Área superficial. Es la suma de las áreas de las dos bases circulares y de su área lateral,
2 2 2 2( , , ) ( ) ( ) ( )L LA A r R h R r R r h R rπ π= = + + + + −
Volumen. Está dado por,
2 2( , , ) ( )3
hV V h R r R r Rr
π= = + +
Notemos que tanto el área lateral, el área superficial y el volumen del cono truncado se pueden considerar como funciones de tres variables, y ellas se reducen a las relaciones correspondientes del cono cuando 0r = . El problema de la cubeta. Una cubeta tiene la forma de un cono truncado con radios de 14 y 28 cm, y altura de 28 cm. Se vierte agua a dicha cubeta la cual estaba inicialmente vacía. Investiguemos cómo cambia el área de la superficie del nivel del agua al ir subiendo dicho nivel,
R
h
r
2R
2r
G G G
G h
Cono truncado Corte axial
R-r
Solución. La superficie del agua adopta la forma de un círculo. Denotemos con r su radio y A su área. De modo que 2( ) ,A r rπ= 14 28r≤ ≤ . Usando esta relación, si queremos expresar A en función de h, debemos expresar r en función de h y sustituir en ( )A r . La ecuación que relaciona r con h se construye a partir de un dibujo en corte axial del correspondiente dibujo en perspectiva. En él podemos formar triángulos semejantes.
Hemos introducido la variable auxiliar t que se puede relacionar con r a través de 14r t= + . De la semejanza de triángulos formamos la relación 14 28t h= . Eliminando la variable
auxiliar t de estas dos ecuaciones y simplificando tenemos que (28 ) 2r h= + .. Sustituyendo esta última expresión en ( )A r , observamos que el área de la superficie del agua crece de manera cuadrática con la altura,
2( ) (28 ) , 0 284
A A h h hπ= = + ≤ ≤
Esta función nos informa que el área de la superficie crece más rápidamente a mayor altura, así como también nos proporciona el área de la superficie para una altura dada. Dejamos al lector la graficación de dicha función. Problemas propuestos 1. Usando una hoja de papel. Construya el área superficial de un cono truncado. ¿Qué
r
h
28
28
14
14
28
28
28
14
56
t
h
r
14
forma debe tener la superficie lateral si se distendiera sobre el plano? 2. Deduzca la fórmula para calcular el área lateral de un cono truncado. Use analogía entre figuras geométricas. 3. ¿Todo cilindro es un caso especial del cono truncado? Demuestre que las relaciones de área superficial y volumen del cono truncado se reducen al las correspondientes del cilindro, si R r= en el cono truncado. 4. En el sólido siguiente, una semiesfera sobrepuesto a un cono truncado. El cono truncado tiene radios R y 3R, y altura R. Exprese su volumen en términos de R.
5. En el siguiente depósito, del cono superior fluye agua hacia el cono inferior. Inicialmente, el cono superior contenía 30 pg3 de agua y el inferior estaba vacío. Sabiendo que el flujo de agua de agua es de 2 pg3/min. (a) Exprese el volumen del agua contenida en el cono superior en función del tiempo que transcurre, (b) exprese el volumen del agua contenida en el cono inferior en función del tiempo, (c) exprese el volumen del agua contenida en el cono inferior en función de su altura, (d) exprese la altura del nivel de agua contenida en el cono inferior en función del tiempo, y (e) determine la altura mayor que alcanzará el nivel de agua contenida en el tanque inferior.
3R
3R
R
R
6. En el tanque siguiente se vierte agua hasta llenarlo completamente. Exprese el área superficial del nivel de agua en función de su altura y grafique. Note que se debe construir una función con dos fórmulas.
7. Considere el cono truncado.
El radio de su circunferencia inferior permanece constante, igual a 5. Su altura y el radio de
4
3
h
a h
2a
2a
r
a
a
h
h
r
r
5 5
Area lateral 75π Area lateral 75π
la circunferencia superior se pueden hacer variar con la condición de que se mantenga constante su área lateral en 75π (a) Haga dibujos de algunas formas que tomaría el cono truncado al realizar dichas variaciones, (b) determine los intervalos de variación del radio y la altura. ¿En qué se degenera el cono truncado cuando el radio toma los valores de los extremos de los intervalos de variación?, ¿hay un valor del radio superior para el cual el cono truncado se transforma en un cilindro?, (c) ¿entre todos esos conos truncados hay uno que tiene mayor volumen?, (d) grafique cualitativamente; el volumen del cono truncado en función del radio variable, y el volumen del cono truncado en función de su altura, (e) si se quisiera construir un depósito que tenga su interior la forma de un cono truncado con 75 pg² de área lateral y que tenga el mayor volumen posible, ¿cuáles deben ser sus dimensiones? Aproxímelas. 3.7 Sólidos con secciones transversales iguales y prismas El sólido siguiente se puede considerar como generado por la traslación (sin rotar) de un triángulo isósceles a través de una distancia L perpendicular a la base. A este sólido se le llama prisma recto de base o cara triangular, en este caso es un triángulo isósceles, sus secciones planas paralelas, también llamados cortes transversales, ellos también son triángulos isósceles.
De manera similar se pueden generar sólidos trasladando regiones de cualquier forma (regiones compuestas comunes). Por ejemplo, prismas con secciones planas paralelas o cortes transversales constituidas por; cuadrados, rectángulos, trapecios, paralelogramos, rombos, etc. O también sólidos cuyas secciones transversales son semicírculos, segmentos de círculo, banda circular concéntrica, etc. A este tipo de sólidos se les llama también sólidos rectos de secciones transversales iguales. Decimos rectos porque su cara es perpendicular al segmento L. La distancia L se llama largo o altura del sólido según se disponga horizontal o verticalmente. Estos sólidos tienen dos caras iguales. La superficie que cubre al sólido entre las dos caras se llama superficie lateral. En ellos se distinguen también vértices, aristas y generatrices. En estos sólidos las aristas o generatrices son perpendiculares a ambas caras.
L Base
La sección plana es un triángulo isósceles
Notemos que los prismas, son un caso especial de sólidos con secciones transversales iguales, dichos sólidos son sólidos limitados por dos polígonos iguales (caras) y, con superficie lateral formado por pedazos de paralelogramos. En el mundo físico, este tipo de sólidos se concretizan en tanques o depósitos que se usan para contener algún material, o bien en formas constructivas de ciertos objetos: columnas de edificaciones, componentes sólidos de maquinarias, etc. Área superficial. Está constituida por dos veces el área de la base más el área de la superficie lateral. Su área depende de dos o más magnitudes lineales,
A = 2(área de la base) + área lateral Volumen. Está determinado por la relación siguiente,
L L
Prisma de base trapezoidal Prisma cuya base es un paralelogramo
Sólido con base semicircular Prisma con base hexagonal
L L
L L
Prisma de base triangular Solido con sección plana arbitraria
V = (área de la base)(largo ó alto)
Dependiendo de la forma de la base, su volumen puede depender de dos o más variables. Problema, llenado de una artesa. Una artesa de 2 m de largo, tiene, aproximadamente, su sección transversal de forma de un trapecio isósceles cuya altura es de 0.75m, y lados superior e inferior de 1 y 0.8 m, respectivamente. Se vierte agua con un flujo constante de 0.04 m3/min. (a) Aproximemos la capacidad de la artesa, (b) al transcurrir el tiempo su volumen va aumentando con una rapidez según ingresa agua. Expresemos el volumen del agua contenida en el tanque en función del tiempo y los minutos que necesita en llenarse completamente, (c) Al llenarse el tanque el agua adopta forma de un sólido de sección transversal trapezoidal, en el cual su base superior, su altura y su volumen aumentan. Expresemos el volumen de agua contenida en función de la altura, (d) al transcurrir el tiempo su altura sube. Expresemos su altura como función del tiempo, y comprobemos que el nivel debe subir más lentamente al final que al inicio del llenado. Solución. Hagamos un dibujo en perspectiva y un dibujo en corte transversal de la artesa. Denotemos con t el tiempo que transcurre durante el llenado, con h la altura del nivel de agua medida desde el fondo de la artesa, con x el ancho de la superficie de agua, y con V el volumen del agua en cierto tiempo.
(a) V = (área de la sección transversal)(largo) = (área del trapecio)(largo)
= 1 0.8
0.75 22
+ × × = 1.35 m3.
(b) Suponiendo que cuando se inicia el llenado la artesa ella está vacía, y como ingresan constantemente 0.04 m3/min, entonces el V en función de t es, 0.04 0 FV t t t= ≤ ≤
Como el volumen del tanque es de 1.35 m3, y se llena completamente después de transcurridos Ft minutos entonces 1.35 0.4Ft= . De la cual 33.7Ft = . Por tanto, el tanque
se llenará aproximadamente en media hora.
h
x
x x h
0.75
0.8
1 1
2 0.8
0.75
(c) El volumen del agua dentro de la artesa es, (0.8 )V x h= + Fórmenos triángulos semejantes y encontremos una relación entre x y h. Usemos la variable auxiliar b de tal manera que,
0.8 2x b= + .
De la relación de triángulos semejantes,
7.5
hb =
Por lo que,
2
0.87.5
hx = +
Que al sustituir en la expresión del volumen queda, 2( ) 0.266 1.6 0 0.75V V h h h h= = + ≤ ≤ (d) Como por un lado, 0.04 ,V t= y por otro lado, 20.266 1.6 ,V h h= + igualando
20.04 0.266 1.6 .t h h= + . Por lo cual, 20.266 1.6 0.04 0h h t+ − = Esta es una ecuación cuadrática en h, por fórmula tenemos,
2.56 0.04266 1.6
( ) 0 330.533
th t t
− −= ≤ ≤
Puesto que es una función con raíz cuadrada, para t en su intervalo, h crece más lento a medida que t transcurre. Sugerimos al lector realizar su gráfica en un dispositivo de
h
0.75
0.8+2b
1
0.8
0.75
0.1
h b b b
graficación. Problemas propuestos 1. Dibuje 3 sólidos diferentes de secciones transversales, e identifique sus elementos principales. 2. Dibuje un sólido de largo 12 cm. cuya sección transversal es: (a) Sector circular de radio 5 cm. y ángulo central 4π , (b) un rombo de lados 2 cm, (c) la región limitado por dos círculos concéntricos, y (d) un semicírculo sobre puesto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo. 3. Determine el área lateral, el área superficial y el volumen de un sólido, si su sección transversal es un triángulo equilátero de lados k cm, y tiene un largo de 4k cm. 4. En los dibujos que siguen se presentan las formas y dimensiones (en metros) aproximadas de los interiores de dos bodegas. Aproxime la capacidad de cada una de ellas.
5. Una viga de concreto tiene su sección transversal en la forma y dimensiones en metros que muestran en el dibujo. Determine su volumen y área superficial si su largo es de 16 m.
6. (a) Exprese el área de la superficie del agua en función de su altura, (b) dibuje la gráfica cartesiana de dicha función (está definida por dos fórmulas)
Note que para 3h = el área de la superficie cambia de comportamiento. Allí hay un punto pico.
3 3
8
5
3 7
5
4
0.25
0.12
0.45
0.150.150.50 0.50 1.0
7. Un depósito para traslado de combustibles tiene 12.4 m de largo, y su sección transversal exterior tiene la forma de un hexágono cuyos lados miden 1.2 m. Dos de sus lados son horizontales. Se sabe que cada metro cuadrado de pintura para su protección cuesta Q18.70 y el pintor cobra Q5.6 por metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintar todo su exterior? 8. Se puede demostrar usando cálculo integral que el volumen de un prisma de base triangular trucado es,
1
( )(área de la base)3
V a b c= + +
donde a, b y c denotan las longitudes de las aristas perpendiculares a la base. Dibuje un prisma que tiene como base un triángulo equilátero de lados 2 cm. Con aristas perpendiculares de 4.5, 4,5 y 8 cm. ¿Cuál es su volumen?, ¿Cuál es su área superficial? 9. Un depósito cilíndrico recto de radio 5 pg y altura 10 pg contiene aceite exactamente a su mitad. Dicho depósito se coloca horizontalmente sobre su lado, en ese momento inicia a salir aceite del depósito por un agujero. Se sabe que el nivel del aceite decrece con una rapidez de 2 pg/min. (a) Exprese el área de la superficie del aceite en función de la altura, (b) exprese el área de la superficie en función del tiempo, y (c) a los cuantos minutos el tanque quedará vacío.
10. Un tanque de 20 m. de largo, tiene su sección interior transversal de forma de un triángulo rectángulo con su cateto menor vertical. Los catetos de dicho triángulo miden 10 y 5 m. El tanque contiene inicialmente 100 m3 de agua. Luego se vierten, constantemente, 20 m3/h. (a) Determinen la capacidad del tanque, (b) determine la altura inicial del agua, (c) Exprese el volumen del agua dentro del tanque en función de su altura durante el llenado, y (d) Exprese el volumen del agua dentro del tanque en función del tiempo. ¿A los cuántos minutos se llenará completamente el tanque? 11. Un tanque de 20 m. de largo, tiene su sección interior transversal de forma de un triángulo isósceles con su lado menor horizontal. Los lados mayores de dicho triángulo miden 10 m. y el lado menor mide 5 m. El tanque contiene inicialmente 100 m3 de agua. Luego se vierten, constantemente, 10 m3/h. Responda las misma preguntas del problema anterior. 12. Se dispone de una lámina rectangular de 0.6 5× m con el cual se desea construir un canalón de 5 m de largo y cuya sección transversal sea un trapecio isósceles. La base
h
10
5
Fuga
inferior y los lados no paralelos del trapecio deben medir 0.2 m. (a) Imagine, haga dibujos y responda: ¿Es posible construir una infinidad de canalones?, ¿tienen diferente capacidad o volumen?, ¿se puede construir uno que tiene mayor capacidad? (b) Establezca variables y relaciones entre ellas, y determine las dimensiones del canalón de mayor capacidad. 3.8 Pirámides regulares Su base es un polígono regular, sus caras laterales son triángulos que parten de un mismo punto llamado vértice de la pirámide. El segmento que une el vértice con el centro del polígono regular se llama altura h. Si la base es un polígono irregular, la altura es la longitud del segmento que parte del vértice y es perpendicular a la base.
Área superficial. Es igual al área de la base más área lateral. Para una pirámide regular es igual a un medio del perímetro de la base por la apotema, (altura de cualquiera de sus triángulos laterales) Volumen. Es igual a un tercio del área de la base por la altura. 3.9 Pirámides rectas truncadas Se forma al cortar una pirámide por un plano paralelo a su base.
a h h
a
Pirámide regular Pirámide irregularde base cuadrada de base hexagonal
h: alturaa: apotema
Base A
Base B
h
Pirámide de bases rectángulares (obelísco)
Área superficial. Áreas de las
Volumen. 1
( )3
V h A B AB= + +
Problemas propuestos 1. Determine el área superficial de una pirámide regular de base cuadrada.cuadrado miden 8 cm. La altura 2. Una pirámide cuya base un triángulo equidel triángulo miden 5.7 cm. Aproxime su volumen. 3. ¿Un prisma regular, es un caso especial de una pirámide truncada? 4. En la fórmula del volumen de la pirámide representa? 5. Una pirámide truncada 27.65 cmtiene un área de 7.65 cm2. Determine el área de la otra base. 6. En el sólido siguiente todas las aristas m
7. Un depósito tiene la forma de una pirámide regular con vértice hacia abajo y base superior horizontal. Dicha base es un rectángulo de lados 2 y vierte agua dicho depósito. Exprese el área de la superficie del agua en función de la altura. ¿La relación entre ellas es lineal? 3.10 Poliedros regulares Son sólidos limitados por polígonos reigual longitud. Existen cinco poliedros regulares, Nombre Número de caras
formas Tetraedro 4 triángulos equiláteros Cubo 6 cuadrados Octaedro 8 triángulos equiláteros Dodecaedro 12 pentágonos regulares
Áreas de las caras paralelas más área lateral.
( )V h A B AB= + +
. Determine el área superficial de una pirámide regular de base cuadrada.cm. La altura de la pirámide es también de 8 cm.
Una pirámide cuya base un triángulo equilátero tiene una altura de 18.5 cm. Aproxime su volumen.
. ¿Un prisma regular, es un caso especial de una pirámide truncada?
men de la pirámide truncada. Si A = B, ¿volu
pirámide truncada 27.65 cm3, tiene una altura de 3 cm. Se sabe que una de sus bases . Determine el área de la otra base.
. En el sólido siguiente todas las aristas miden w. Exprese su volumen en términos de
. Un depósito tiene la forma de una pirámide regular con vértice hacia abajo y base
superior horizontal. Dicha base es un rectángulo de lados 2 y 4 m. Su altura es de vierte agua dicho depósito. Exprese el área de la superficie del agua en función de la altura.
relación entre ellas es lineal?
ólidos limitados por polígonos regulares iguales. Las aristas de los poliedros tienen isten cinco poliedros regulares,
Número de caras y sus formas
No. de aristas No. de vértices Área superf
triángulos equiláteros 6 4 1.73216 cuadrados 12 8 6a
triángulos equiláteros 12 6 3.464112 pentágonos regulares 30 20 20.6457
. Determine el área superficial de una pirámide regular de base cuadrada. Los lados del
látero tiene una altura de 18.5 cm. Los lados
olumen de qué sólido
cm. Se sabe que una de sus bases
. Exprese su volumen en términos de w.
. Un depósito tiene la forma de una pirámide regular con vértice hacia abajo y base . Su altura es de 6 m. Se
vierte agua dicho depósito. Exprese el área de la superficie del agua en función de la altura.
de los poliedros tienen
Área superficial
Volumen
1.7321a² 0.1179a3 a² a3
3.4641a² 0.4714a3 20.6457a² 7.6631a3
Icosaedro 20 triángulos equiláteros 30 12 8.6603a² 2.1817a3
(a es la longitud de su arista) Tetraedro
Limitado por 3 triángulos equiláteros
Cubo
Limitado por cuatro cuadrados (realice la Simulación cubo)
Octaedro
Limitado por ocho triángulos equiláteros
Dodecaedro
Limitado por doce pentágonos
Icosaedro
Limitado por veinte triángulos equiláteros
Problemas propuestos 1. Dibuje un tetraedro y un octaedro. 2. Construya físicamente un octaedro. 3. Determine el área superficial y el volumen de icosaedro si se sabe que cada uno de los triángulos equiláteros que conforman tiene una superficie con área de 8.56 cm². 4. El volumen de un octaedro es de 12.45 pg3. ¿Cuál es su área superficial? 5. Determine las aristas de un tetraedro, un cubo, un dodecaedro y un icosaedro que tengan la misma área superficial de 105.7 cm². ¿Quién tiene el mayor volumen? 6. Si v es el número de vértices del poliedro, c es el número de caras, y a el número de aristas, usando datos de la tabla anterior, compruebe el teorema de Euler para poliedros
2v c a+ − = . 7. Dentro de un cubo dibuje un tetraedro de modo que sus aristas sean las diagonales de las caras del cubo (es posible dibujar dos diferentes) Use este dibujo para expresar el volumen del tetraedro en términos de su arista. 8. Dentro de un cubo dibuje un octaedro de modo que sus vértices estén en el centro de las
caras del cubo. Use este dibujo para expresar el volumen del octaedro en términos de su arista. (Antes resuelva el problema 7, el octaedro es la intersección de los dos tetraedros mencionados en dicho problema) 3.11 Sólidos inclinados Se llaman así a los sólidos cuyas aristas, y/o generatrices, y/o ejes, no son perpendiculares a sus base.
La distancia h entre base y vértice o entre las dos bases se llama altura. Volumen del cilindro inclinado. Imagine la siguiente situación de dos conos circulares uno recto y otro inclinado cualquiera, pero con el mismo radio r y la misma altura h. ¿Tienen dichos conos el mismo volumen?
Comparemos el volumen del cilindro recto de línea punteada (con radio r y altura h) con el correspondiente del cilindro inclinado (con el mismo radio y con la misma altura). Intuitivamente vemos que el volumen del sólido dentro del cilindro recto y fuera del cilindro inclinado (izquierda) es igual al volumen del sólido fuera del cilindro recto y dentro del cilindro inclinado (derecha). De esto se sigue que ambos deben de tener el
h hh
Cono circular Paralelepípedo Cilindro circular inclinado inclinado inclinado
GG
h h
r r
mismo volumen. Y como la misma observación se puede hacer para cualquier cilindro inclinado siempre que tenga la misma altura y radio. Entonces, el volumen del cono circular inclinado es también: área de la base por la altura, no importando su grado de inclinación. 2( , )V V r h r hπ= = Volumen del cono inclinado. Imaginando el cono circular inclinado como formado por discos cilíndricos inclinados bien delgados, especialmente en el vértice (haga los dibujos). Por lo que vimos arriba sobre la igualdad de volúmenes de cilindros inclinados y uno recto, todos con el mismo radio y altura, se sigue y concluye, que el volumen del cono circular inclinado de radio r y altura h es igual al volumen de un cono recto circular con el mismo radio r y la misma altura h. (Notemos también existen otros conos con diferente radio y altura que tienen el mismo volumen). Entonces sin importar su inclinación su volumen está dado por,
21( , )
3V h r r hπ= =
Para convencerse de lo establecido sugerimos al lector realizar los dibujos mencionados. En general, los procesos anteriores se puede utilizar para inferir que el volumen de un prisma (sólido con secciones transversales iguales), cuyas aristas no son perpendiculares a la base es igual al área de la base por la distancia entre sus bases, y que el volumen de una pirámide inclinada es igual a un tercio de la base por la altura. Problemas propuestos 1. Construya físicamente un paralelepípedo inclinado. ¿Qué forma debe tener la superficie lateral si se distendiera sobre el plano? 2. La superficie lateral de un cilindro recto circular es un rectángulo. ¿Qué forma debe tener la parte lateral de un cilindro inclinado circular? Invente un procedimiento para determinarlo. 3. Determine las dimensiones de un cono circular inclinado a 45°, que tenga un volumen de π u3. 4. El depósito cuyo dibujo se muestra abajo está construido con tubos cilíndricos inclinados. Dicho depósito se va llenado lentamente con agua. (a) ¿Las áreas de las superficies del nivel de agua son circulares?, (b) Esboce la “gráfica cualitativa” del área de su superficie del agua contra la altura de dicha superficie.
5. Entre todos los cilindros (inclinados o no) con la misma altura y volumen determine el que tiene la menor área superficial. 6. Considere todos los cilindros circulares, inclinados o no, de volumen 30π pg3 y radio 2.3 pg. ¿Cuál es el intervalo de variación de su generatriz?, ¿cuál es el intervalo de variación de su área superficial? 3.12 Sector esférico. Es el sólido que se genera al rotar un sector circular, de radio R y flecha h, media vuelta, tomando la bisectriz del ángulo central como eje de rotación.
Área superficial. La región que limita al sector esférico está constituida por una parte esférica y otra cónica. Se puede demostrar que el área de la región esférica es proporcional a la longitud de la flecha, h. Podemos obtener el área de dicha región con regla de tres, sabiendo que h es a
2.5
2.0
1.5
h
1.5
1.5
1.5
1
1
h h
R R
2a 2a
2R, el área esférica es igual al área de la esfera de radio R. Así.
22
esf
R R
h A
π→→
De donde obtenemos, 2esfA Rhπ=
Usando la relación del área lateral del cono, tenemos que el área de la parte cónica es,
conoA Raπ= Por tanto el área superficial del sector esférico está dada por, ( , , ) (2 )A A R h a R h aπ= = + Se puede deducir que 2 22a Rh h= − . Despejando a de esta ecuación y sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos el área superficial de sector esférico en función de solamente R y h,
( )( , ) 2 (2 )A A R h R R h R hπ= = + −
Volumen. Se puede deducir que el volumen del sector esférico es proporcional a la longitud de la flecha. Si 2h R= , el volumen del sector esférico correspondiente al volumen de una esfera de radio R. Así que podemos plantear la regla de tres,
32 (4 3)R R
h V
π→→
22( , )
3V V R h R h
π= =
3.13 Casquete esférico Es el sólido que se genera al rotar un segmento circular (con flecha mayor o menor que su radio), media vuelta alrededor de su flecha tomada como eje de rotación.
Área superficial. Su superficie está dada por una parte esférica y un círculo. Por tanto, su área superficial está dada por la expresión 2( , , ) 2A A R h a Rh aπ π= = + Usando la relación, 2 22 ,a Rh h= − despejando 2Rh y sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos, 2 2( , ) ( )A A h a h aπ= = + Despejando a de 2 22 ,a Rh h= − sustituyendo y simplificando obtenemos,
( , ) (4 )A A R h h R hπ= = − Volumen. Su volumen se puede obtener partiendo de la relación. Volumen de un sector esférico Volumen de un conoV = − Por lo que,
2 22 1( , , ) ( )
3 3V V R h a R h a R hπ π= = − −
Usando la relación 2 22 ,a Rh h= − y simplificando podemos obtener las relaciones,
2
( , ) (3 )3
hV V R h R h
π= = −
h h
R R
2a 2a
( )2 2( , ) 36
hV V h a a h
π= = −
3.15.1 El casquete de mayor volumen. Investiguemos el siguiente problema. Pongamos atención en la metodología y razonamientos empleados, a estas alturas, todo ello nos debe ser bastante familiar. Problema. Existe una infinidad de casquetes con una misma área esférica de π m2, y en general, con diferente volumen. En dicha familia infinita de casquetes existe un único que encierra mayor volumen. Nos interesa determinar las dimensiones de este único casquete. Iniciemos realizando una investigación cualitativa para imaginar la existencia de dicha familia de casquetes y para percibir la existencia en ellos del casquete que encierra mayor volumen. Si tomamos un casquete de π m2 de área esférica sobre una esfera con radio “infinito” entonces dicho casquete es plano, su flecha es cero, el casquete se degenera en un círculo de radio 1 m, este no encierra ningún volumen, es decir, su volumen es cero. Si tomamos un casquete de π m2 de área esférica sobre una esfera de radio grande, entonces dicho casquete es “casi plano”, su flecha es muy pequeña comparado con el radio de la esfera, este casquete encierra un volumen muy pequeño. Imagine y haga dibujos. Si tomamos un casquete de π m2 de área esférica sobre una esfera de radio relativamente no grande, entonces dicho casquete ya no es tan plano, su flecha ya no es pequeña, y nos imaginamos que encierra más volumen que el anterior. Imagine y haga dibujos. Podemos imaginar tomar un casquete π m2 de área esférica sobre una esfera donde su diámetro es solo un poco mayor que la flecha. ¿Este casquete tendrá mayor volumen que el anterior? Aquí no tenemos argumentos cualitativos para responder con cierta seguridad. Haga dibujos. Podemos imaginar degenerar el casquete de π m2 de área esférica en una esfera cuyo diámetro sea igual a la flecha, aquí el casquete se degenera en el caso extremo de una esfera con área superficial de π m2, es decir, el casquete encierra el volumen de la esfera cuya área es π m2. Por lo que su volumen es �/6 m2. ¡Compruébelo! ¿Será este casquete degenerado en una esfera con volumen �/6 m2 el que encierra mayor volumen? Otra vez no tenemos argumentos intuitivos para responder. Lo anterior nos permite percibir la existencia de una familia infinita de casquetes con una misma área esférica de π m2 y diferente volumen. Esto nos lleva a pensar que entre todos ellos debe existir un único que encierra mayor volumen. Ahora, consideremos, a la familia infinita de dichos casquetes como generada al hacer variar continuamente el volumen de un casquete manteniendo constante su área esférica en π m2. El problema es ahora determinar sus dimensiones para los cuales se obtiene el mayor
volumen. Esta traducción es necesaria hacerla, pues debemos investigar el problema en términos de magnitudes variables y relaciones entre ellas. Al hacer variar el volumen del casquete manteniendo constante su área esférica; identifiquemos, explicitemos y denotemos las magnitudes constante y variables relevantes a usar. Su área esférica es constante, π m2. Las magnitudes variables son: Su volumen, V; su flecha, h; y su radio esférico, R. Apoyándonos en las discusiones anteriores y usando representaciones analíticas, determinemos los intervalos físicos de variación de las variables, Para max, 0V V V≤ ≤ .
¿Cómo determinar el intervalo de variación para h? Veamos, sabemos que en todo casquete, 0 2 .h R≤ ≤ Ahora como 2 ,A Rhπ π= = (área esférica del casquete) entonces,
2 1 .R h hπ π= = Así que, 0 1 .h h≤ ≤ Por lo que, 1 ,h h= de donde 2 1,h = que implica 1.h = Por lo tanto, 0 1.h≤ ≤
Para R, considerando 2 1R h= , y como 0 1,h≤ ≤ entonces debe ser cierto que, 1 2 .R≤ Ahora veamos que V se puede describir como función de h. Apoyémonos en las discusiones cualitativas, imaginémonos. Vaya haciendo dibujos. Incrementemos continuamente h desde 0 hasta 1. Si 0h = entonces 0V = . Si incrementamos h cerca de cero entonces V se incrementará. ¿Qué pasa con V cuando incrementamos h tomando valores cercanos a 1?, ¿V también se incrementará, o decrecerá?, ¿Cuándo 1,h = V alcanza su valor máximo en �/6? No podemos responder con seguridad. Aunque no podemos responder con seguridad las últimas preguntas, todo lo anterior nos permite percibir que V se puede percibir como una función de h, V es función de ,h
( )V V h= . Imaginamos su comportamiento como se presenta en las gráficas. Ellas son posibles variaciones que nos imaginamos. En algún valor en 0 1,h≤ ≤ V alcanza un valor máximo.
� = �(ℎ) � �/6 0 1 ℎ Para poder avanzar en la investigación del problema, pasemos a investigarlo analíticamente. Se trata de construir el modelo analítico funcional, ( ),V V h= para luego estudiarla. Partamos de la relación general del volumen de un casquete,
2
(3 )3
hV R h
π= −
Usemos la condición de que su área esférica es π , 2 Rhπ π= Despejando R de la condición, sustituyendo en la relación del volumen y después de simplificar obtenemos,
3( ) 0 12 3
V h h h hπ π= − ≤ ≤
Su gráfica con el Mathlab es,
Comparemos esta gráfica con las que construimos cualitativamente. Vemos que ella se parece con una de las intuidas cualitativamente. Para precisar mejor el valor máximo, veamos un acercamiento de la grafica para 0.65 0.75h≤ ≤ .
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
h
Máximo de V = V(h)
vol. máximo
Vemos que el valor máximo de V es aproximadamente 0.74 m3, y se alcanza cuando h es aproximadamente 0.71 m. Esto quiere decir que cuando la flecha toma el valor de 0.71 m aproximadamente, el casquete alcanza su volumen máximo, siendo este valor de 0.74 m3. Finalmente. Regresando al enunciado original del problema, toda la investigación realizada nos permite concluir; entre todos los casquetes de área esférica π m2, el que cubre mayor volumen es el que tiene una flecha de 0.71 m aproximadamente. Siendo dicho volumen máximo de 0.74 m3. Dejamos al lector el cálculo de su radio correspondiente. En cálculo de una y varias variables tendrá la oportunidad de investigar problemas de máximos y mínimos, llamados problemas de optimización, geométricos y en otros contextos, más generales e importantes. 3.14 Zona esférica Es el sólido que se genera al rotar, media vuelta alrededor de su eje de simetría, una franja circular.
0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.750.733
0.734
0.735
0.736
0.737
0.738
0.739
0.74
0.741
h
Máximo de V = V(h)
Área superficial. La superficie que lo limita está constituida por una superficie esférica y dos círculos. El área de la superficie esférica se puede calcular restando al área de una esfera, el área esférica de dos casquetes. Por tanto, se puede deducir que el área superficial está dada por la relación, 2 2( , , , ) (2 )A A R h a b Rh a bπ= = + + Volumen. Se puede calcular restando al volumen de una esfera el volumen de dos casquetes. Está dada por,
( )2 2 21( , , ) 3 3
6V V h a b h a b hπ= = + +
3.15 Toro Sólido generado al rotar un círculo alrededor de una recta fija contenida en el mismo plano del círculo y fuera del mismo. Imagine el tubo inflado que usan algunas llantas de automóviles o bicicletas.
2a
2b2b
2a
h h
R R
Las relaciones para calcular su área superficial y volumen se pueden deducir con cálculo integral. Ellas están dadas por Área superficial 2( , ) 4A A R r Rrπ= = Volumen 2 2( , ) 2V V R r Rrπ= = Problemas propuestos 1. Dibuje en perspectiva un sector esférico. 2. Si h = R. ¿A qué se reduce el casquete esférico?, ¿a qué se reduce la fórmula de su volumen?
R r
R r
Out[2]=
3. Si h = R. ¿A qué se reduce el sector esférico?, ¿a qué se reduce la fórmula de su volumen? 4. Dibuje, (a) un toro en perspectiva y (b) una zona esférica en perspectiva. 5. (a) Calcule el volumen y el área superficial del tubo circular inflado utilizado en la llanta de una bicicleta, si el diámetro del tubo es de 3/4 de pg y su radio interior es de 12 pg, (b) Aproxime el volumen de dicho tubo considerándolo aproximadamente como un cilindro recto, y (c) determine el error cometido en su aproximación. 6. Proponga las dimensiones de una zona esférica que tenga un área de π m2. 7. Proponga las dimensiones de una zona esférica que tenga un volumen de 6π cm3. 8. Determine R y r en toro si su área es de 4π y su volumen es de 24π . 9. El casquete de una esfera de radio R tiene una flecha h y un círculo base de radio a. Deduzca que, 2 22a Rh h= −
10. Una zona esférica de una esfera de radio R tiene círculos a y b, y flecha h. Deduzca que, ( ) ( )2 2 2 2 2 24R a a b h h= + + −
11. Deduzca la fórmula para calcular el área de la parte esférica y el área superficial de una zona esférica. 12. Deduzca la fórmula para calcular el volumen de una zona esférica.
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